UNIVERSIDAD DE CUENCA

INTEGRANTES:

Patricio Agudo

Diego Guilln

Joel Montalvan

Marcelo Tenesaca

FACULTAD:

Ingeniera

PARALELO:

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PROFESORA:

Ing. Jessica Pinos

MATERIA:

Matemticas Discretas

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ndice

ndice............................................................................................................................................2

Objetivos ......................................................................................................................................3

Introduccin .................................................................................................................................4

GRAFOS PLANARES .......................................................................................................................5

Formula de Euler ......................................................................................................................5

Ejemplo 1. ............................................................................................................................6

Ejemplo 2 .............................................................................................................................6

Ejemplo 3 .............................................................................................................................7

COLORACIN DE GRAFOS ............................................................................................................8

Propiedad: ................................................................................................................................8

NUMERO CROMTICO .............................................................................................................9

Ejemplo 1. ............................................................................................................................9

Ejemplo 2.- .........................................................................................................................10

Ejemplo 3. ..........................................................................................................................11

Conclusiones ..............................................................................................................................13

Bibliografa .................................................................................................................................14

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Objetivos

Tener claro que es un grafo planar.

Aplicar correctamente la frmula de Euler.

Definir de una forma clara lo que es la coloracin de grafos.

Estudiar las propiedades de la coloracin de grafos.

Tener la capacidad de aplicar los conceptos estudiados a ejemplos

prcticos.

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Introduccin

Los grafos son un conjunto de puntos, de los cuales algn par de ellos est conectado por unas lneas. Si estas lneas son flechas, hablaremos de grafo dirigido (digrafo), mientras que si son simples lneas estamos ante un grafo no dirigido.

Ms formalmente se pueden definir como un conjunto de vrtices y un conjunto de aristas. Cada arista es un par (u, v), donde u y v pertenecen al conjunto de vrtices. Si este par es ordenado el grafo es dirigido.

En este trabajo enfocaremos ms el tema de los grafos planares que no es ms que dibujar un grafo sin que sus aristas se crucen y de la coloracin de grafos es asociar a cada vrtice un color de manera que si dos vrtices forman una arista, entonces sean de distinto color.

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GRAFOS PLANARES

Se dice que un grafo es plano si y solo si puede dibujarse en el plano de

manera que ningn par de sus aristas se corte.

Formula de Euler

Si G es un grafo plano, conexo, con n vrtices, q aristas y que descompone

al plano en r regiones (o caras), entonces

nq + r = 2

Si G es un grafo simple y planar con n vrtices y q aristas

1.- Si n 3, entonces q 3n 6 r 2n4

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Ejemplo 1.

Obtenga el siguiente grafo plano

1) Utilizamos la frmula de Euler para calcular el nmero de caras

nq + r = 2 r=2-5+7 r=4

2) colocamos los vrtices y unimos con las aristas sin que se crucen

Ejemplo 2

6

Ejemplo 3

tiene 5 Regiones

Observacin: p=8

q=11

r=5

Comprobacion:

p + r - q=2

8 + 5 11 = 2

2 = 2

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COLORACIN DE GRAFOS

Dado un grafo G y un conjunto de colores, k colores, una coloracin con k

colores del grafo es asociar a cada vrtice un color de manera que si dos

vrtices forman una arista, entonces sean de distinto color.

La meta del coloreado de grado es agregar un colora cada uno de los

vrtices o nodo, de tal forma que los vrtices adyacente tengan colores

diferentes.

Propiedad:

Si un grafo tiene n vrtices entonces x (G) < n

Todo grafo plano admite cuatro colores. Un claro ejemplo de esto se

puede apreciar en la siguiente figura, en que cada color del plano

representa un nodo del grafo.

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NUMERO CROMTICO.- Es el nmero de colores con que se colorea un

grafo, que es el menor valor que puede tomar k, donde k es el nmero de

colores con que se puede colorear el grafo.

Ejemplo 1.

El primer curso de licenciatura consta de nueve asignaturas,

A1,..., A9. Hay alumnos que estn matriculados, simultneamente, en las

asignaturas (A1 y A2), (A3y A4), (A5 y A6) y (A7 yA8) .Adems, todo

alumno que se matricule en alguna de las asignaturas A1,..., A8 debe

cursar, obligatoriamente, la asignatura A9. Se trata de disear un horario,

utilizando el menor nmero de horas posible, que permita a todos los

alumnos asistir a las clases de las asignaturas en las que este matriculado.

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Ejemplo 2.-

Resolver el sudoku.

1) Completamos la primera fila y columna, y la

diagonal con puntos azules indicando que en

esos cuadros no aparecer el nmero 1.

2) se contina ejecutando el mismo

procedimiento para todos los nmeros, para el

numero 2 es la segunda fila, la primera columna.

3) completamos donde estn 3 colores y

colocamos el nmero del color que falta

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Ejemplo 3.

Colorear el siguiente grafo:

Ejemplo 4

Colorear el siguiente grafo

Si a = color rojo

b= color azul

c = color amarillo, entonces:

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1)

2)

3)

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Conclusiones

Con el desarrollo del trabajo hemos podido alcanzar los objetivos

que nos hemos planteado anteriormente, pudiendo dar a conocer

todas las caractersticas y propiedades de lo que son grafos

planares as como de la coloracin de grafos.

Al utilizar los grafos planares desarrollamos ciertas habilidades para

poder encontrar un camino para que no se crucen las aristas

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Bibliografa

2.dc.uba. (26 de 04 de 2012). 2dc.uba. Recuperado el 16 de Junio de 2014, de planaridad: http://www-2.dc.uba.ar/materias/aed3/2012-01/Documents/algo3_planar_handout.pdf

matmam. (25 de Octubre de 2012). Coloracion propia de graficas. Recuperado el 16 de junio de 2014, de matemam: http://www.matetam.com/glosario/definicion/coloracion-propia-graficas

Tool, D. (08 de Septiembre de 2012). HCI. Recuperado el 16 de Junio de 2014, de Ds tool: http://www.hci.uniovi.es/Products/DSTool/grafos/grafos-operaciones.html

uam. (09 de febrero de 2010). unam.es. Recuperado el 16 de junio de 2014, de uam.es: http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/gallardo/capitulo8b.pdf

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ndiceObjetivosIntroduccinGRAFOS PLANARESFormula de EulerEjemplo 1.Ejemplo 2Ejemplo 3

COLORACIN DE GRAFOSPropiedad:Ejemplo 1.Ejemplo 2.-Ejemplo 3.Ejemplo 4

ConclusionesBibliografa