geometría semestral sm ade 2015

11 22 33 44Boletín Virtual: Geometría

. . .

Geometría

2

Triángulos I

NIVEL BÁSICO

1. Del gráfico, calcule x.

2x – 100º2x – 100º

x 2x

A) 60º B) 80º C) 70ºD) 75º E) 53º

2. Según el gráfico, calcule x.

αβ

β

x

50º

20º

A) 50º B) 20º C) 70ºD) 40º E) 110º

3. En el gráfico, calcule a – b.

140º

θ

θa

b

A) 20º B) 70º C) 40ºD) 80º E) 90º

4. A partir del gráfico, calcule x+y+z+w.

θ

θ

y

xw z

100º

A) 100º B) 150º C) 180ºD) 400º E) 200º

5. En el gráfico, a+b=135º. Calcule x.

ααθθ

ab

x

A) 100º B) 110º C) 120ºD) 135º E) 105º

6. Del gráfico, calcule a.

3α 5αα

θ

θ

A) 10º B) 15º C) 20ºD) 25º E) 30º

. . .

Geometría

3


70ºα

α

β

β

ω

ω

θ

θ

x

A) 75º B) 70º C) 80ºD) 85º E) 90º


α

α

β

β

x

110º

A) 70º B) 60º C) 55ºD) 80º E) 65º

NIVEL INTERMEDIO

9. A partir del gráfico, calcule x+y+z.

α

α

ω

ω ω

x

y

z

A) 90º B) 120º C) 150D) 180º E) 360º

10. En la figura, w+b=180º. Calcule a.

4α5α

β+α

ω

θ

θ

A) 9º B) 18º C) 16ºD) 15º E) 14º

11. A partir del gráfico, calcule x.

α2α

β

β

θ 2θ

x 40º

A) 40º B) 80º C) 100ºD) 120º E) 110º

12. En el gráfico, calcule x. Si a+2b=140º.

α

ββ

θ

θ x

A) 20º B) 30º C) 40ºD) 50º E) 60º

. . .

Geometría

4

NIVEL AVANZADO

13. En el gráfico, calcule q.

150º

80ºα

α

ω

ωθ

A) 70º B) 35º C) 40ºD) 75º E) 50º

14. A partir del gráfico, calcule x+y.

40º

x

α α

α

θ

θ

y

A) 80º B) 120º C) 90ºD) 160º E) 220º

15. En el gráfico, m ABC=m DBE – 30º y BF // AM. Calcule b.

β2β

3β6β

4β

5βθ

θB

D

F

M

C

A) 5º B) 6ºC) 10ºD) 8ºE) 12º

. . .

Geometría

5

Triángulos II

NIVEL BÁSICO


28º

x

50º

76º 65º

A) 100º B) 120º C) 101ºD) 135º E) 102º

2. En el gráfico, AB=BC. Calcule x.

20º

20º40º

A

BC

x

A) 5º B) 10º C) 12ºD) 15º E) 20º

3. En el gráfico, el triángulo ABC es isósceles (AB=BC) y el triángulo BDC es equilátero. Calcule x.

A) 5º B) 10º

A

B

C

D

35º5x

C) 15ºD) 25º E) 35º

4. En el gráfico, AB=BC, calcule m EBC.

40º β

3β

θ3θ

A

B

CE

A) 20º B) 30º C) 5ºD) 25º E) 35º

5. En el gráfico, AB=BC y BD=BE. Calcule x.

A

B

CD

E

30º

x

A) 30º B) 10º C) 12ºD) 15º E) 20º


32º

αα

θ θ

x

A) 64º B) 31º C) 16ºD) 60º E) 34º

. . .

Geometría

6


ω

ββ

ω2x

4x

A) 12º B) 15º C) 18ºD) 16º E) 14º


β

θ θ

70ºx2β

A) 80º B) 40º C) 70ºD) 60º E) 50º

NIVEL INTERMEDIO

9. En el gráfico, AB=BC y PQ=QR. Calcule x.

α

α

4αA

B

PQ

R

Cx

A) 40º B) 50º C) 55ºD) 60º E) 65º


70º

xα

α

β

β

β

A) 15º B) 20º C) 25ºD) 30º E) 40º


40º

αα ββ

m m

x

nn

A) 40º B) 80º C) 60ºD) 45º E) 20º


40º

αα

ββ

θ

θ

x

A) 90º B) 80º C) 120ºD) 100º E) 110º

. . .

Geometría

7

NIVEL AVANZADO

13. En un triángulo ABC, se traza la ceviana interior AP. Si AC=AB+PC y

2(m BAP)=6(m PAC)=3(m PCA), calcule m ABC.

A) 18º B) 36º C) 108ºD) 120º E) 72º

14. Según el gráfico, b+f=180º. Calcule x.

αα

φ

θ θ

x

β

x

A) 90º B) 100º C) 110ºD) 120º E) 135º

15. En el gráfico, L L��

1 2 y son mediatrices de AB y BC, respectivamente. Calcule x.

αα

x

L 1

L 2

55º

θθ

A

B

C

A) 100º B) 70º C) 110ºD) 105º E) 140º

. . .

Geometría

8

Congruencia de triángulos

NIVEL BÁSICO

1. En el gráfico, PS=SR. Calcule RM si NS=7.

M

N

P

R

S

A) 5 B) 6 C) 7D) 8 E) 9

2. Calcule x, si AC=CD y BC=CE.

A

B

CD

E

5

x – 6

A) 10 B) 11 C) 12D) 13 E) 14

3. En la figura, AP=8. Calcule CD.

A) 6 B) 7

α α

2α2α

B

A D

P

C

C) 8D) 9 E) 11

4. En el gráfico, calcule x si AB=DE y BC=CD.

A B C

D

E

130º

x

A) 130º B) 50º C) 65ºD) 70º E) 80º

5. En el gráfico, ABC y CDE son triángulos isós-celes de bases AB y DE, respectivamente. Si AD=BE, calcule x.

A B

C

D

E

x40º

A) 10º B) 30º C) 40ºD) 20º E) 15º

6. En el gráfico, AB=DE, BD // AC, AC=8 y CE=2, calcule BD.

A

B

C

D

E

θθ

A) 3 B) 4 C) 5D) 6 E) 7

. . .

Geometría

9

7. Según el gráfico, AB=BD=5 y CD=3. Calcule ED.

θ

θθ

A E

B

C

D

A) 1 B) 2 C) 4D) 2,5 E) 3

8. Se tiene el triángulo ABC equilátero. Si BP=7 y CQ=5, calcule PQ.

θ

θθ

A

B

C

P

Q

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

NIVEL INTERMEDIO

9. En el gráfico, AB=CE y AB+DE=15. Calcule AE.

θθ

θA

B

C

D

E

A) 12 B) 17,5 C) 15D) 30 E) 7,5

10. En la figura, calcule x si AB=BC, AM=QC y AQ=NC.

A

B

C

x

M N

Q

70º

A) 66º B) 55º C) 58ºD) 70º E) 56º

11. A partir del gráfico, AB=PB y BQ=BC. Calcule x.

80º 80º

A

B

C

x

P Q

A) 100º B) 105º C) 110ºD) 115º E) 120º

12. Calcule x si AB=ED y AE=CD.

70º 70º

x

A

BC

DE

A) 55º B) 58º C) 63ºD) 65º E) 70º

. . .

Geometría

10

NIVEL AVANZADO

13. En la figura, calcule x si BC // DF, BC=DF y AD=CE.

6

A

B

CD

E

F

x

A) 8 B) 4 C) 3D) 6 E) 5

14. En el gráfico, los triángulos ABC y BMN son equiláteros. Si BM=6 y AB=5, calcule el perí-metro de la región triangular AMC.

A

B

C

M

N

A) 9 B) 11 C) 10D) 13 E) 12

15. Según la figura, calcule x si BP=AQ.

4x 5x

13x

9xθθ

A

B

P Q

A) 9º B) 8º C) 4ºD) 5º E) 4,5º

. . .

Geometría

11

Aplicaciones de la congruencia

NIVEL BÁSICO

1. En el gráfico, AB=5, BC=3 y AD=2. Calcule CD.

ββ

A

B

C

D

A) 4 B) 5 C) 4 2D) 3 2 E) 5 2

2. En la figura, BC=3 y CD=5. Calcule x.

ββ

A

B

C

Dx

A) 37º B) 53º C) 37º/2D) 53º/2 E) 30º

3. En el gráfico, L��

es mediatriz de AD y AB=CD. Calcule x.

40ºA

B

C

D

x

L

A) 40º B) 60º C) 80ºD) 100º E) 120º

4. En el gráfico, L��

es mediatriz de AC. Si AB=3 y PC=5, calcule x.

P

CA

B L

x

A) 37º B) 53º C) 37º/2D) 53º/2 E) 30º

5. En el gráfico siguiente, AM=MB, AD=DL y CE=EL. Si ED=2, calcule MN.

θ

A

B

C

D E

LM N

θθ

A) 3 B) 4 C) 5D) 2 E) 2,5

6. En la figura, AB=CD y AF=FE. Calcule x.

A

B

C

D

EF

x

A) 37º B) 45º C) 30ºD) 53º E) 60º

. . .

Geometría

12

7. En el gráfico, BC=8 y AD=1. Calcule x.

A

B

C

D

x

15º

A) 30º B) 60º C) 53º/2D) 127º/2 E) 53º

8. En la figura, BP=PQ, ML=LQ y AC=2(AM)=12. Calcule PL.

A M C

BP

L

Q

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 6

NIVEL INTERMEDIO

9. En la figura, calcule FP si MR – RQ=12.

90º – 2θ

θ

F

M

PQ

R

A) 10 B) 8 C) 12D) 15 E) 16

10. En la figura, AB=CD. Calcule x.

A

B C

D

x 53/2º

A) 10º B) 15º C) 75ºD) 30º E) 45º

11. En la figura, BD=DC y AE=3(EC). Si ED=2, cal-cule EC.

A

B

C

D

E

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

12. A partir del gráfico, AM=MC y AC=BF. Calcule x.

A

B

CMF

x

A) 45º B) 37º C) 53ºD) 30º E) 60º

. . .

Geometría

13

NIVEL AVANZADO

13. Según la figura, calcule x si 3(AP)=5(PD).

α α

θθ

A

B

C

Dx

P

A) 10º B) 20º C) 37ºD) 53º E) 60º

14. Del gráfico, BD=8. Calcule AC.

3θ 2θ

θ

A

B

CD

A) 24 B) 12 C) 4D) 8 E) 16

15. En un triángulo ABC, las mediatrices de AB y BC se intersecan en O, tal que 8(BO)=5(AC). Calcule m ABC.

A) 53º B) 37º C) 60ºD) 30º E) 45º

. . .

Geometría

14

Cuadriláteros

NIVEL BÁSICO


A) 20º B) 30º 2x

3x 4x

x

C) 36ºD) 18º E) 15º

2. Si ABCD es un trapecio isósceles y PCD es un triángulo equilátero, calcule x. (BC // AD).

A

B C

D

x

P

A) 60º B) 80º C) 100ºD) 120º E) 150º

3. En el gráfico, BC // AD. Si AB=4, CD=6 y AD=8, calcule PQ.

ββ θ

θ

A

B C

DPQ

A) 3 B) 6 C) 2D) 4 E) 5

4. En el gráfico, ABCD es un romboide AM=MB y PN=ND. Si AD=16 y DC=4, calcule MN.

θθ

A

B C

D

M N

P

A) 10 B) 14 C) 13D) 16 E) 12

5. En el gráfico, ABCD es un trapecio isósceles (BC // AD). Si AP=2(BD), calcule m APD.

90 – θ

θ

A

B C

D

P

A) 36º B) 37º C) 53º/2D) 53º E) 30º


45º

x

A) 15º B) 30º C) 22,5ºD) 18,5º E) 26,5º

. . .

Geometría

15

7. En el gráfico, ABCD es un cuadrado y DAE es un triángulo isósceles. Si AD=AE, calcule m BED.

A

B C

D

E

A) 37º B) 36º C) 45ºD) 53º E) 60º

8. En el gráfico, ABCD es un cuadrado. Si PD=5 y PH=3, calcule x.

A

B

P

C

D

H

x

A) 30º B) 60º C) 53ºD) 37º E) 53º/2

NIVEL INTERMEDIO

9. En el gráfico, BC // AD y AM=MB. Si BC=1, CD=10 y m CMD=90º, calcule AD.

A

B C

D

M

A) 9 B) 5,5 C) 8D) 7 E) 11

10. En la figura, ABCD es un rectángulo, PC=3AP y AM=MD. Si AB=6 y BC=8, calcule x.

A M

B

P

C

Dx

A) 37º B) 53º C) 60ºD) 30º E) 45º

11. En el gráfico, ABCD y BEFC es un rombo y un cuadrado, respectivamente. Calcule x.

A

B C

D

E F

x

A) 30º B) 37º C) 45ºD) 53º E) 60º

12. En el gráfico, ABCD es un cuadrado de centro O. Si EO=5, calcule CE.

53ºA F

B

O

C

D

E

A) 0,5 B) 1 C) 1,5D) 2 E) 2,5

. . .

Geometría

16

NIVEL AVANZADO

13. En un trapecio isósceles de diagonales perpen-diculares, la altura mide 4 y la base menor 2. Calcule la longitud del segmento que une los puntos medios de las diagonales.

A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6

14. Según el gráfico, ABCD es un romboide BC=10 y AB=6. Calcule PC.

θθ 2θ

A

B

P

C

D

A) 7 B) 8 C) 9

D) 10 E) 11

15. Si PBQC y ABCD son paralelogramos. En el

gráfico, si PD=6, calcule BH.

A

B C

D

H

P

Q

A) 3

B) 2

C) 4

D) 1

E) 3

Geometría

2

Circunferencia

NIVEL BÁSICO

1. Del gráfico, A, B, C y D son puntos de tangencia. Calcule x.

A

B

CD

2x3x

x

A) 20º B) 30º C) 36ºD) 40º E) 45º

2. Según el gráfico, calcule x si A y B son puntos de tangencia.

A

x

B

100º

A) 35º B) 55º C) 50ºD) 45º E) 30º

3. En el gráfico, RS//MN. Calcule b – a.

αβ

M N

R S

A) 80º B) 100º C) 60ºD) 90º E) 120º

4. En el gráfico T es punto de tangencia. Si AB=3, calcule BC.

A

B

C

T

5

A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6

5. En el gráfico, a+b=180º, AB=6 y CD=8. Calcule R.

A) 3

α

β

A

B

CD

R

B) 4

C) 5

D) 6

E) 8

6. En el gráfico, A, B, C y D son puntos de tangencia. Calcule la longitud de la base media del trapecio MNPQ (NP//MQ).

128A

B

C

DM

N P

Q

A) 8 B) 12 C) 10D) 9 E) 11

Geometría

3

10. En el gráfico, mMN = 20º. Calcule x.

A

B

x

M

NO

A) 20º B) 40º C) 36ºD) 50º E) 35º

11. Según el gráfico, P, T y C son puntos de tangen-cia. Calcule x.

C

P

x

T

40º

A) 20º B) 25º C) 40ºD) 30º E) 60º

12. Según el gráfico, P y Q son puntos de tangen-cia. Si AP=4(OM)=4 y R=3, calcule x.

A

B

MOP

Q

R

x

A) 48º B) 58º C) 68ºD) 78º E) 29º

7. En el gráfico, A, B, C y D son puntos de tangencia. Calcule x.

130º

A

BC

D

x

A) 20º B) 60º C) 40ºD) 36º E) 37º

8. En el gráfico, A, B, C, E y F son puntos de tangencia. Calcule x.

40º

A

B

x C

EF

A) 45º B) 55º C) 60ºD) 30º E) 53º

NIVEL INTERMEDIO

9. En el gráfico, EC=CB. Calcule m

m

CB

AB

.

A

B

C

E

A) 1 B) 1/2 C) 1/3D) 1/4 E) 3/4

Geometría

4

NIVEL AVANZADO

13. Del gráfico, T es punto de tangencia y 2(AB)= 2(TB). Calcule mCT .

45º

A B C

T

A) 20º B) 15º C) 25ºD) 10º E) 30º

14. Según el gráfico, m mAB DFC� �+ =2 200( ) º y F es punto de tangencia. Calcule x.

A) 100º

A

B

CF

DE

xB) 80º

C) 120º

D) 40º

E) 60º

15. Según el gráfico, HN=BN=AB, AM=MB y mHND=80º. Calcule mLMO.

A) 40º AB M

L

NO

D

H

B) 50º

C) 55º

D) 60º

E) 80º

Geometría

5

Posiciones relativas entre dos circunferencias

NIVEL BÁSICO

1. En el romboide ABCD, calcule el inradio del triángulo ABP si BP=3 y AP=4.

αα

θθ

A

B C

D

P

A) 4 B) 3 C) 2D) 1 E) 5

2. En el gráfico mostrado, ABCD es un trapecio isósceles de bases BC y AD. Calcule mAB si B, D y T son puntos de tangencia.

A) 90º

A

T

C

D

BB) 120º C) 75ºD) 150º E) 135º

3. En el gráfico, AD+BC=28 y AB+CD=20. Calcu-le EF. Considere que H, I, J, K, M, N, P y Q son puntos de tangencia.

A

BC

D

H

K Q

J

M

EI

N

P

F

A) 4 B) 7 C) 10D) 6 E) 8

4. En el gráfico, A, B y C son puntos de tangencia.

Calcule x.

110º

x

B

C

A

A) 35º B) 60º C) 45º

D) 70º E) 50º

5. En el gráfico, BC = 2 3 y AD = 7. Calcule AB.

30ºA

BC

D

A) 1 B) 6 C) 3D) 4 E) 9


150º

100º

x

A) 45º B) 70º C) 90ºD) 50º E) 60º

Geometría

6

7. En el gráfico, calcule q.

3θ

7θ7θ

A) 18º B) 10º C) 19ºD) 9º E) 5º

8. En el gráfico, calcule r si BC=2 AB=AE y CD=DE. Considere que M, N, P, Q, F, G y H son puntos de tangencia.

FA D

P

CB

M

rG

HE

N

Q

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

NIVEL INTERMEDIO

9. En el gráfico, calcule x+y+z.

x

z

y

A) 180º B) 300º C) 360ºD) 270º E) 250º

10. En el gráfico, calcule x.

30º20º

xx

A) 25º B) 10º C) 30ºD) 50º E) 70º

11. En el gráfico, A, B y C son puntos de tangencia. Calcule x.

B

A Cx

R

R

A) 60º B) 90º C) 110ºD) 100º E) 120º

12. Si P es punto de tangencia y mAB = 100º, calcule x.

A

B

P

x

A) 135ºB) 125ºC) 100ºD) 130º E) 120º

Geometría

7

NIVEL AVANZADO

13. En el gráfico mABC = 200º. Calcule mABD .

A

BC

D

A) 120º B) 100º C) 140º

D) 160º E) 240º

14. En un triángulo ABC se ubica R en su región in-terior. Si m RAB=m RCB, m RCA=m RBA y m RAC=40º, calcule m ACB.

A) 40º B) 50º C) 70ºD) 35º E) 65º

15. Según el gráfico, C y D son puntos de tangencia, 3r=2R y AH=HD. Calcule m AOH.

A

DH

B CO

R

r

A) 532º B) 45º C) 53º

D) 1272º

E) 1432º

Geometría

8

Proporcionalidad de segmentos y Semejanza de triángulos

NIVEL BÁSICO

1. En el gráfico, L L L�� 1 2 3// // . Calcule b – a.

123

5 15

a

b

L 1

L 2

L 3

A) 20 B) 9 C) 12D) 15 E) 11

2. En el gráfico, L L L�� 1 2 3// // , AB=x+1,

BC=3x+13, PQ=x y QR=12. Calcule AC.

A

B

C

P

Q

R

L 1

L 2

L 3

A) 5 B) 4 C) 8D) 10 E) 20

3. En el gráfico, AB=8, BC=6 y AC=7. Calcule QR.

β

βθ θ

A C QR

B

A) 16 B) 12 C) 14D) 21 E) 24

4. En el gráfico, CD=9 y AB=16. Calcule BC.

A B

CD

A) 10 B) 12 C) 13D) 14 E) 15

5. En el gráfico, MN//AC, AB=12, BC=16 y BN=7. Calcule MA.

A

B

M N

C

A) 34

B) 274 C)

174

D) 214

E) 134

6. En el gráfico, BD=2 y CD=6. Calcule AB.

αα

A

B

C

D

A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6

Geometría

9

7. En el gráfico, BH=6, HE=8 y BD=16. Calcule AH.

A) 21/2

A

BC

D

EH

B) 8

C) 13,5

D) 22

E) 16,5

8. Si ABCD es un paralelogramo, AB=18 y AP=4(PQ), calcule PD.

A

B C

D

PQ

A) 4,5 B) 4 C) 6D) 8 E) 10

NIVEL INTERMEDIO

9. Del gráfico, se sabe que ABCD es un cuadrado y DF=2(ED)=4. Calcule BE.

θ

θA

B C

D

F

E

A) 5 B) 2 C) 3D) 6 E) 4

10. Según el gráfico, ABCD es un cuadrado. Si 2(DP)=3(PB) y AB = 5 2, calcule QD.

P

A

B C

D

Q

45º

A) 6 B) 3,5 C) 4

D) 3 2 E) 4 2

11. Si CH=2 y HB=4, calcule AC.

AA BC H

A) 2 2 B) 2 3 C) 3 3

D) 3 2 E) 3

12. En el gráfico, T es punto de tangencia, OT // MR y (OT)(MR)=24. Calcule RT.

M

O

R

T

A) 4 B) 3 6 C) 6

D) 2 3 E) 2 6

Geometría

10

NIVEL AVANZADO

13. En un trapecio ABCD (BC // AD), la bisectriz del ángulo ABC interseca a AD en F, además, se ubican los puntos M y N en AB y CD, respectivamente. Si MN // AD, FN // AC, BM=2 y FD=24, calcule AM.

A) 4 B) 9 C) 6D) 8 E) 5

14. En un rombo ABCD, de centro O, se ubica G en AD, m BOG+m BCO=180º y (AB)(GD)=36. Calcule BO.

A) 4 B) 6 C) 9D) 8 E) 12

15. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior BM, además, se ubica un punto P en su región

interior, tal que m MPC=m PAC+m ACP.

Si 2(AP)=5(PM), calcule ABBC

.

A) 3/2 B) 2/3 C) 4/3D) 5/2 E) 2/5

Geometría

11

Relaciones métricas I

NIVEL BÁSICO

1. Según el gráfico, BC=24 y AC=25. Calcule BH.

A

B

CH

A) 4,67 B) 5,18 C) 6,72D) 3,28 E) 6,12

2. Según el gráfico, T es punto de tangencia,

AT=8, TB=2 y mMN = 270º. Calcule r.

A

r

MN

BT

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

3. Según el gráfico, A es punto de tangencia, AB=10 y BC=CD. Calcule BC.

A

B

C

D

A) 4 2 B) 10 C) 8D) 5 2 E) 5

4. Según el gráfico, AB=9, AD=8 y BC=7. Calcule ED.

A

B

C

DE

A) 8 B) 9 C) 6D) 7 E) 10

5. Según el gráfico, AB=3, BC=5 y CD=12. Calcule CE.

AB

C

D

E

A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6

6. En el gráfico, BH=4,5, HC=8 y CD=10. Calcule QH.

A

B C

D

H

Q

A) 9 B) 4 C) 5D) 10 E) 6

Geometría

12

7. Del gráfico se sabe que MH=2(BM), AH=4 y HC=9. Calcule x.

A) 53º

A

B

CH

M

xB) 37º C) 60ºD) 30º E) 45º

8. En el gráfico, AB=7, BC=5 y AD=29. Calcule CD.

A

B C

D

A) 30 B) 21 C) 25D) 23 E) 24

NIVEL INTERMEDIO

9. En el gráfico, AQ=18 y PQ=16. Calcule BP.

A

P

B

C

θθ

Q

A) 9 B) 10 C) 12

D) 16 E) 13

10. Según el gráfico, AB=8, BC=2 y CD=4. Calcule DE.

A

BC

D

E

A) 10 B) 12 C) 14D) 16 E) 18

11. En el gráfico, GM=2(AG) y MG=2. Calcule r.

A

G

r

M

A) 2 6

B) 2 3

C) 3

D) 2 2

E) 5

Geometría

13

12. En el gráfico, T es punto de tangencia TD=6,

BC=5, ED=2 y CD=4(AB). Calcule EF.

A) 16

A

B

C

EF

D

T

B) 14 C) 18

D) 15E) 20

NIVEL AVANZADO

13. En un triángulo rectángulo ABC, recto en

B, se ubica P en la prolongación de la al-

tura BH. Si AP=6, AH=4 y CH=5, calcule

m HBC+m APH.

A) 53º B) 82º C) 106º

D) 74º E) 90º

14. En un paralelogramo ABCD, se traza una

circunferencia por A, B y D, la cual interseca a

AC en un punto R. Si BD=6 y AC=8, calcule RC.

A) 5/4 B) 9/4 C) 2

D) 13/4 E) 7/4

15. En la hipotenusa AC de un triángulo rectángulo

ABC, se ubica el punto N y en AB se ubica el

punto medio M. Si m MNC=m BCA, AN=3 y

NC=7. Calcule BC.

A) 2 5 B) 5 C) 2 3

D) 6 E) 8

Geometría

14

Relaciones métricas II

NIVEL BÁSICO

1. En el gráfico, AB=5, BC=7 y AC=10. Calcule AH.

A H

B

C

A) 3,8 B) 4 C) 5D) 2,8 E) 3

2. En el gráfico, AB=12, BC=9 y AC=5. Calcule CH.

A) 4

A

B

C H

B) 3,8C) 4,2D) 4,5 E) 5

3. En el gráfico, AB=10, BC=14 y AC=12. Calcule AH.

A

B

C

H

A) 257

6 B) 7 6 C) 5314

6

D) 3 6 E) 247

6

4. En el gráfico, AB=8, BC=12 y AC=14. Si AM=MC, calcule BM.

A

B

CM

A) 3 3 B) 5 5 C) 55

D) 2 14 E) 65

5. Según el gráfico, AN=4 y ND=7. Calcule

(LC)2 – (LB)2.

A

B C

D

L

N

A) 30 B) 35 C) 32D) 36 E) 28

6. Según el gráfico, AB=5, BC=10 y AC=12. Calcule BD.

A

B

CD

θ θ

A) 5 B) 6 C) 3 2

D) 4 2 E) 4

Geometría

15

7. En el paralelogramo ABCD, AB=8 y BC=10. Calcule (AC)2+(BD)2.

A

B C

D

A) 82 B) 164 C) 328D) 246 E) 400

8. En el gráfico, a2+b2=12. Calcule (AD)(DC).

A

B

C

D

θ θ

a

b

A) 6 B) 12 C) 24D) 3 E) 36

NIVEL INTERMEDIO

9. Según el gráfico, AEBD es un rombo. Si AB=13, AC=14 y BC=15, calcule BH.

A

B

CD

E

H

A) 13 B) 9 C) 12D) 8 E) 10

10. En el gráfico, AB=15, BC=13 y AC=14. Calcule ED.

A) 15/4

A

B

CE

D

B) 13/4

C) 7/4

D) 5/4

E) 1

11. En el gráfico, AB=13, BC=9, BM=10 y AM=MC. Calcule MQ.

A

B

CM

Q

A) 2,5 B) 5,2 C) 25/2D) 25/4 E) 4

12. En el gráfico, BC//AD. Si AB=7, BC=3 y CD=AD=8, calcule la longitud de la altura del trapecio ABCD.

A

B C

D

A) 3 B) 4 3 C) 5 3D) 6 E) 7

Geometría

16

NIVEL AVANZADO

13. En un triángulo ABC, AB=6, BC=8 y AC=7.

Calcule la longitud de la bisectriz interior

relativa a AC.

A) 5 B) 6 C) 7

D) 8 E) 9

14. En un triángulo ABC, AB=2, AC=7 y

m BAC=2m BCA. Calcule BC.

A) 8 B) 7 C) 3 2

D) 3 3 E) 4 2

15. Según el gráfico, calcule AB si CD=15, CE=13

y ED=4.

A) 5/4

A

B

C

D

O

B) 7/4

C) 15/4

D) 13/4

E) 1

Geometría

2

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822

Áreas de regiones planas I

NIVEL BÁSICO

1. Según el gráfico, ABCD es un cuadrado. Si M=3S y PC=1, calcule BC.

A D

CSS

mm

P

B

A) 2 3 B) 3 2 C) 2 2

D) 2 E) 3

2. En el gráfico, 7(AD)=3(CD) y el área de la re-gión ABC es 120. Calcule el área de la región sombreada.

A C

B

D

A) 63 B) 84 C) 91D) 98 E) 70

3. Los lados de un triángulo ABC miden AB=5, BC=8 y AC=11. Calcule el área de la región ABC.

A) 21 B) 2 21 C) 3 21

D) 4 21 E) 6 7

4. Según el gráfico, AB=5, BC=6 y AC=7. Calcule r.

B C

A

r

A) 23

6 B) 6 6 C) 2 6

D) 3 6 E) 64

5. Según el gráfico, BQ=3(QP)=6 2. Calcule el área de la región sombreada.

45 Q

P

C

BA

A) 8 B) 16 C) 82 2

D) 42 6 E) 24

6. Según el gráfico, ABC es equilátero. Si FC=EB+1 y AC=5(EB)=10, calcule el área de la región sombreada.

A C

F

E

B

A) 53

6 B) 49

2 C) 72

3

D) 79

6 E) 72

7

Geometría

3


7. En el gráfico, BM=MC, AP=2(PB) y el área de la región ABC es 42. Calcule el área de la re-gión sombreada.

A C

M

P

B

A) 28 B) 35 C) 36D) 24 E) 21

8. En el gráfico, T es punto de tangencia. Si AB=BD y AT=10, calcule el área de la región sombreada.

A

D

T

CB

A) 30 B) 40 C) 50D) 75 E) 100

NIVEL INTERMEDIO

9. En el gráfico, AB=BC, AD=6 y CD=10. Calcule el área de la región sombreada.

A D C

B

A) 15 B) 20 C) 18D) 24 E) 30

10. En el gráfico, P y Q son puntos de tangencia, AB=6 y BC=8. Calcule el área de la región triangular ABC.

A C

44

P

BQ

A) 18 B) 26 C) 28D) 36 E) 38

11. En el gráfico, P y Q son puntos de tangencia. Si OP=4 y r=3, calcule el área de la región sombreada.

O P

rQ

A) 16 B) 18 C) 24D) 27 E) 30

12. Según el gráfico, (AC)(BH)=30, calcule el área de la región triangular ABC.

B

H

C

ββ

2β2βA

A) 9 B) 12 C) 15D) 10 E) 30

Geometría

4


NIVEL AVANZADO

13. Según el gráfico, P es punto de tangencia. Cal-

cule el área de la región sombreada.

P

5

A) 20

B) 36

C) 40

D) 15

E) 18

14. En el gráfico, si ABCD es un rectángulo, P, Q

y S son puntos de tangencia, además, AB=6 y

BC=8, calcule el área de la región sombreada.

P

Q C

DA

B

S

A) 36 B) 18 C) 24D) 16 E) 12 3

15. En el gráfico, m ºBD = 37 . Calcule la razón de áreas de la regiones sombreadas.

B

D

A) 1/2 B) 1/3 C) 2/3

D) 3/5 E) 4/5

Geometría

5


Áreas de regiones planas II

NIVEL BÁSICO

1. Según el gráfico, AB=2 y BC=4. Calcule el área

de la región paralelográmica ABCD.

60º

A B

D C

A) 3

B) 2 3

C) 4 3

D) 3 3

E) 6 3

2. En el gráfico, A y C son puntos de tangencia

y AB = +2 2 2. Calcule el área de la región

CDEF.

A

B45º

E

F

C

D

A) 4 B) 4 3 C) 6

D) 4 2 E) 8 3

3. En el gráfico, la suma de áreas de las regiones sombreadas es 48. Calcule el área de la región paralelográmica ABCD.

B C

DA

A) 86 B) 84 C) 72D) 96 E) 124

4. En el gráfico, ABCD es un trapecio (BC // AD), BC=15 y AD=27. Si las regiones ABCP y PCD son equivalentes, calcule AP.

A P D

CB

A) 6 B) 5 C) 8D) 7 E) 9

5. Según el gráfico, ABCD es un paralelogramos. Si A+B=18, calcule x.

AA

bb

xx

A) 9 B) 12 C) 24D) 36 E) 18

Geometría

6


6. En el gráfico, AB=2 y BC=10. Calcule el área

de la región paralelográmica ABCD.

B

C

D

A

A) 24 B) 12 C) 16

D) 3 6 E) 10

7. Según el gráfico, BF=2 y FC=8. Calcule el área

de la región rectangular ABCD.

B F C

DA

A) 30 B) 32 C) 36

D) 60 E) 40

8. En el gráfico, A y C son puntos de tangencia.

Si PQ=2 y QM=6, calcule el área de la región

sombreada.

B C

DA

P Q M

A) 12

B) 16

C) 20

D) 20 2

E) 25

NIVEL INTERMEDIO

9. En el gráfico, AE=2 y CD=1. Calcule el área de

la región sombreada.

O

A

E

B

DC

A) 6 B) 8 C) 10

D) 12 E) 15

10. Según el gráfico, ABCD es un trapecio, BC // AD,

BC=10, AD=24, AB=13 y CD=15. Calcule el

área de la región trapecial ABCD.

B C

DA

A) 654

B) 658

C) 204

D) 656

E) 650

Geometría

7


11. En el gráfico, ABCD es un cuadrado, T es punto

de tangencia y AB=5. Calcule el área de la

región BCAT.

B C

DA

T

A) 5

B) 10

C) 15

D) 20

E) 25

12. En el gráfico, AB=4 y BC=12. Calcule el área

de la región sombreada.

θθ

A D

CB

A) 40

B) 30

C) 50

D) 60

E) 80

NIVEL AVANZADO

13. Según el gráfico, calcule el área de la región trapecial ABFE, BF // AE, si AB = 4 2, CE=2 y ABCD es un cuadrado.

53ºA

B F

C E

D

A) 21 B) 25 C) 26D) 27 E) 28

14. Se tiene el rectángulo ABCD, en el exterior y relativo a BC se ubica el punto P, mSBPD=90º, PD interseca a BC y AC en los puntos M y N, respectivamente. Si 3(AC)=5(BP), PM=6 y BP // AC, calcule el área de la región ABCD.

A) 80 B) 100 C) 120D) 160 E) 200

15. En un trapecio isósceles una diagonal mide 20 cm y la base media mide 10 cm. Calcule el área de la región trapecial.

A) 100 cm2 B) 100 6 2cm C) 100 3 2cm

D) 200 cm2 E) 200 3 2cm

Geometría

8


Áreas de regiones planas III y Geometría del espacio I

NIVEL BÁSICO

1. Según el gráfico, AB=OC=6. Calcule el área de la región sombreada.

A

OB

C

A) 3p B) 6p C) 12pD) 36p E) 24p

2. En el gráfico, AB=4. Calcule el área de la re-gión sombreada.

A

B22

A) 2p – 2 B) 2p – 3 C) 2p – 1D) 2(p – 2) E) 2(p – 4)

3. En el gráfico, T es punto de tangencia y AB=2. Calcule el área de la corona circular.

ABTT

A) 2p B) 3p C) 3p/4D) 4p E) p

4. Según el gráfico, AB=2 y BC=5. Calcule el área de la región sombreada.

BA C

A) 5p B) 4p C) 7pD) 3p E) 10p

5. En el gráfico, AB=5 y BC=12. Calcule el área del círculo inscrito en la región ABC.

A

B

C

A) p B) 4p C) 9pD) 16p E) 26p

Geometría

9


6. En el gráfico, P, R y Q son puntos de tangencia. Si L 1 // L 2, calcule el área de la región som-breada.

L 1

L 2

3

P

R

Q

A) 94

π B) 32

π C) 54

π

D) π9

E) π4

7. Según el gráfico, P // Q. Calcule x.

P

q

40º

30º

x

A) 70º B) 110º C) 10ºD) 80º E) 60º

8. Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) respecto a las siguientes proposi-ciones:

I. Una recta y un punto determinan un plano. II. Las rectas que no se intersecan son paralelas.

III. La intersección de dos planos puede ser un punto.

IV. Si una recta es paralela a un plano, enton-ces será paralela a todas las rectas conteni-das en dicho plano.

A) FFFF B) VFVF C) VVFFD) FFVV E) FVFV

NIVEL INTERMEDIO

9. Según el gráfico, calcule el área de la región sombreada si m ºAB = 37 .

3B

A

A) 9p B) 37p C) 374

π

D) 3740

π E) 18p

10. Indique la secuencia de verdad (V) o false-dad (F) respecto a las siguientes proposiciones:

I. Dos rectas paralelas siempre determinan planos paralelos.

II. Dos rectas alabeadas se intersecan. III. Tres puntos determinan un plano. IV. Dos rectas alabeadas determinan un plano.

A) VVFF B) VVVF C) VVVVD) FFFF E) VFVF

Geometría

10


11. En el gráfico, P y Q son puntos de tangencia, AB=8 y BC=9. Si el área de la región triangular ABC es 51, calcule el área de la región som-breada.

B

A

PQ

C

A) 34p B) 16p C) 18pD) 14p E) 20p

12. En el gráfico, OA=6. Calcule el área de la región sombreada si T es punto de tangencia.

A

T

O B30º30º

A) π2

B) 32π

C) 2p

D) p E) 3p

NIVEL AVANZADO

13. Según el gráfico, P, Q y T son puntos de tan-gencia. Si (AP)(CT)=7, calcule el área de la región sombreada.

A) 3,5p A

P Q

C

T

BB

B) 6p

C) 7p

D) 14p

E) 7 2π

14. En el gráfico, OB=6. Calcule el área de la re-gión sombreada.

BO

A

A) 69 32

π −

B) 9 9 3π −

C) 12 9 3π −

D) 6 9 3π −

E) 5 3 3π −

15. Según el gráfico, P es un punto de tangencia. Si AB=2 y CD=4, calcule el área de la región sombreada.

A) 2p

B

C

P

A D

B) 4p

C) 6p

D) 3p

E) 3p/2

Geometría

11


Geometría del espacio II

NIVEL BÁSICO

1. Según el gráfico, A y B están en el plano P y BH ⊥ P. Si AH=50 y BH=48, calcule la longi-tud de la proyección de AH sobre el plano P.

A) 7

PP

AA

BB

H

B) 18

C) 14

D) 16

E) 24

2. Según el gráfico, OP es perpendicular al plano de la circunferencia. Si OP R= 2 y m ºBD = 120 ,calcule x.

A) 30º

P

O

D

R

x

BB) 45º

C) 60º

D) 37º

E) 53º

3. Según el gráfico, ABCD es romboide, ABEF es rectángulo, CD=8 y AF=6. Calcule la medida del ángulo entre AE y CD.

E

B C

DA

F

A) 30º B) 60º C) 37ºD) 53º E) 45º

4. En el gráfico, PQ es perpendicular al plano R, QA y AB están contenidos en el plano R. Halle PB si AQ=9, PQ=12 y AB=8.

RRQQ

AA

BB

P

A) 15 B) 16 C) 10D) 17 E) 20

5. En el gráfico, ABCD y ABEF son cuadrados ubicados en planos perpendiculares, cuyos centros son P y Q, respectivamente. Si AB=6, calcule PQ.

A) 3

A

D

C

E

F

BPP

QQ

B) 3 2

C) 6 2

D) 6

E) 4 2

6. Según el gráfico, los cuadrados ABCD y CDEF están en planos perpendiculares. Si O es cen-tro de ABCD y AB=4, calcule la medida del diedro EF.

A

F

OC

D

B

E

A) 30º B) 60º C) 53º/2D) 15º E) 37º

Geometría

12


7. Según el gráfico, PC es perpendicular al plano del rectángulo ABCD, AB=4 y AD=6. Calcule la medida del ángulo entre DP y el plano de ABCD.

A) 30º

A D

B C

P

53º

B) 60º

C) 53º

D) 37º

E) 127º/2

8. Según el gráfico, AP es perpendicular al plano de la semicircunferencia, m ºBD = 60 y AP=3. Calcule el área de la región triangular PBD.

P

A

B

D

2

A) 4 B) 2 C) 5D) 21 E) 7

NIVEL INTERMEDIO

9. En el gráfico, AC=2 y CD = 3. Calcule la me-dida del diedro determinado por las regiones triangulares equiláteras ABC y ABD.

A

D

B

C

A) 30º B) 60º C) 45ºD) 37º E) 53º

10. En el gráfico, se tiene un rectángulo ABCD y un triángulo equilátero ABE ubicados en planos perpendiculares. Si AD=3 y DC=4, calcule el área de la región triangular AED.

E

B A

C D

A) 6 B) 10 C) 12D) 16 E) 18

11. En el gráfico, los triángulos isósceles ABC y ABD, ambos de base AB, están contenidos en planos perpendiculares. Si 2(AH)=3(DL), cal-cule la medida del diedro determinado por las regiones ABC y BDC.

B

H

C

A L

D

A) 1352º

B) 1272º

C) 60º

D) 75º E) 53º

Geometría

13


12. Según el gráfico, L 1 y L 2 son alabeadas,

AB=4, AD=6 y CD=5. Calcule la medida del

ángulo determinado por L 1 y L 2.

L 1

L 2

A D

C

B

A) 15º B) 16º C) 30º

D) 45º E) 60º

NIVEL AVANZADO

13. Dado un cuadrante AOB, de centro O, por el

punto medio N de OA se traza NQ perpendi-

cular al plano del cuadrante en AB se ubica el

punto M, tal que m ºAM = 60 y AN=NQ. Calcule

la medida de ángulo entre MQ y el plano que

contiene al cuadrante.

A) 30º B) 37º C) 60º

D) 45º E) 15º

14. Se tiene una semicircunferencia de diáme-

tro AB(AB=2R), se ubica en P en AB , siendo

m ºPB = 60 . Luego se traza AL perpendicular al

plano que contiene a la semicircunferencia. Si

AL=PB, calcule el área de la región triangular

BLP.

A) R2

2 B) 2R2 C) R2

D) 32

2R E) 4R2

15. Se tiene una región cuadrada ABCD, se traza

CP perpendicular al plano que lo contiene,

CP=4; se ubican en AP y CD, los puntos me-

dios N y M, respectivamente, siendo la medida

del ángulo entre MN� ��

y el plano ABCD de 30º.

Calcule el área de la región ABCD.

A) 24 3 B) 24 C) 48

D) 65 E) 96

2


GeometríaPrisma regular y Cilindro de revolución

NIVEL BÁSICO

1. Calcule el volumen del cilindro de revolución si r=2 y mS AOB=37º.

OOrr

BA

A) 18p B) 24p C) 16pD) 26p E) 22p

2. En el cilindro circular recto, calcule x si el área de la superficie lateral es igual al área de una de sus bases.

A) 100º

xx

B) 90º C) 127ºD) 120º E) 135º

3. Calcule el área de la superficie lateral del cilin-

dro de revolución si AB=BC= 5 .

CC

A

B

A) 6p B) 3p C) 4pD) 5p E) 2p

4. En el cilindro circular recto, OP=5. Calcule el área de la superficie lateral.

A) 24p

OO

PP 33B) 20p

C) 12p

D) 18p

E) 30p

5. Calcule el volumen del prisma regular si T es punto de tangencia.

22

TT

A) 4 B) 4 3 C) 8 3D) 6 E) 9

6. Según el gráfico, AB=2 y FC=4. Calcule el volumen del prisma regular ABC-EFG.

BB

A C

G

F

E

A) 4 B) 2 C) 6D) 8 E) 4 2

3


Geometría

7. En el gráfico, ABCDEF-GHIJKL es un prisma regular y el área de la región cuadrada AEJH es 12. Calcule AG.

A) 2

DD

B A

F

L

KJ

I

C

HH GG

EE

B) 4C) 3 2D) 2 2E) 5

8. En el cilindro de revolución mostrado, el área de la región cuadrada ABCD es 4 u2. Calcule el volumen del cilindro.

A) 2 u3 A B

D C

B) 4 u3 C) 2p u3

D) 4p u3 E) 3p u3

NIVEL INTERMEDIO

9. En el gráfico se tiene un prisma regular ABC-DEF cuya arista básica mide 4. Calcule el volumen de dicho prisma.

53º53º

FF

DD EE

AA BB

CC

A) 4 3 B) 8 3 C) 6 3

D) 2 3 E) 9 3

10. Según el gráfico, se tiene un cilindro de revo-lución, BM=2(AM)=4. Calcule el área de la su-perficie lateral del cilindro.

B

A

MM

A) 8 2π B) 10 2π C) 12 2πD) 14 2π E) 16 2π

11. Según el gráfico, calcule el área de la superficie lateral del cilindro de revolución si AQ=2 y AB=BC= 5.

A

B

C

QQ

A) 6 5π B) 25p C) 20pD) 8 5π E) 18p

12. Calcule la razón de longitudes de las aristas lateral y básica de un prisma regular hexagonal si el área de la superficie lateral es el doble del área de la base.

A) 2 2 B) 32 C)

34

D) 3

3 E) 2

4


Geometría

NIVEL AVANZADO

13. En un cilindro de revolución, O es el centro de una de sus bases, en la cual se ubica el punto A y se traza la generatriz AB. Si la superficie lateral del cilindro es equivalente a la base del cilindro, calcule mS AOB.

A) 372º B)

532º

C) 30º

D) 15º E) 14º

14. En un prisma cuadrangular regular ABCD-EFGH y AE=2(AB). Si BH= 6 , calcule el área de la superficie lateral de dicho prisma.

A) 6 B) 10 C) 12

D) 10 2 E) 8

15. Calcule la razón de volúmenes de los cilindros que genera una región rectangular de lados 2 y 3, cuando gira alrededor de cada uno de dichos lados.

A) 3/4 B) 1/2 C) 3/5D) 2/5 E) 2/3

5


GeometríaPirámide regular y Cono de revolución

NIVEL BÁSICO

1. En el gráfico, P-ABCD es pirámide regular y PA=CD=2. Calcule el área de la superficie total.

A D

CB

P

A) 3 B) 3 1+ C) 4 3 4+D) 3 4− E) 3 1−

2. Calcule el área de la superficie lateral del cono de revolución si AP=PV.

A) 81p

44A

P

V

C

B) 30p

C) 36p

D) 24p

E) 32p

3. En el gráfico, se muestra un cono circular recto y el rombo ABOC, tal que AB=R=2. Calcule el área de la superficie lateral del cono.

A) 4p

RROO

B C

A

B) 6p

C) 5pD) 8p

E) 9p

4. Calcule el área de la superficie lateral del ci-lindro de revolución si el cono es equilátero y AB=2.

A) 8p

B

AA

B) 4 3π

C) 12p

D) 6 3π

E) 2 2π

5. En el gráfico se muestra un cono circular recto y un cilindro de revolución que es equivalente al cono parcial. Calcule la altura del cono par-cial si la altura del cono total es 4.

A) 2,5 B) 4C) 3D) 2 E) 3,5

6. En la pirámide regular V-ABCD, BH=12 y VD=13. Calcule el área de la región triangular AVH.

A D

H

CB

V

A) 20 B) 60 C) 30D) 40 E) 25

6


Geometría

7. Según el gráfico, V-ABCDEF es una pirámide regular cuyo volumen es 6 3 y AB=2. Calcule la longitud del apotema de dicha pirámide.

V

D

EF

A

B C

A) 3 B) 2 C) 3D) 2 3 E) 3 3

8. Según el gráfico, V-ABC es una pirámide regu-lar, VB=5 y BC=6. Calcule el área de la super-ficie lateral de dicha pirámide.

C

B

V

A

A) 36 B) 24 C) 12D) 90 E) 48

NIVEL INTERMEDIO

9. En la pirámide regular L-ABCD, BM=ML, OM=5 y AB= 6 2 . Calcule el volumen de dicha pirá-mide si O es centro de ABCD.

A D

CB

O

M

L

A) 160 B) 180 C) 192D) 200 E) 176

10. En el gráfico se muestra un cilindro de revolu-ción. Si mS ABC=53º, calcule la razón de volú-menes del cilindro y del cono de generatriz PC.

BA

C D

PP

A) 758

B) 7516 C)

358

D) 3516

E) 354

11. Calcule la razón de volúmenes de los sólidos de revolución mostrados.

A) 16 B) 12 C) 20D) 13 E) 18

7


Geometría

12. En un cono de revolución, la generatriz mide 10 y la distancia del centro de la base a la generatriz es igual a 3. Calcule la razón entre el volumen y el radio de dicho cono.

A) 20p B) 15p C) 10pD) 20 2π E) 15 3π

NIVEL AVANZADO

13. Calcule el volumen de la pirámide regular M-ABCDEF si AB=2 y la distancia entre los puntos medios de BC y DM es 2 2 .

A) 2 5 B) 6 C) 8 3D) 4 3 E) 4

14. En una pirámide regular V-ABCDEF, el área de la región triangular equilátera AVC es 3 3. Cal-cule el volumen de la pirámide.

A) 6 B) 3 C) 3 2

D) 4 3 E) 4 6

15. Se tiene la pirámide cuadrangular regular O-ABCD. Si la altura de la pirámide es 3 11 y el triángulo BMD es equilátero, siendo M el punto medio de OC, calcule el volumen de dicha pirámide.

A) 17 11 B) 15 11 C) 36 11

D) 18 11 E) 9 11

8


GeometríaEsfera y teoremas de Pappus-Guldin

NIVEL BÁSICO

1. Calcule el área de una superficie esférica cuyo diámetro mide 4.

A) 64p B) 24p C) 32pD) 16p E) 48p

2. Calcule la longitud del radio de una esfera si se sabe que el área de su superficie es numérica-mente igual a su volumen.

A) 1 B) 2 C) 2D) 3 E) 3

3. En el gráfico, la esfera está inscrita en el cilin-dro de revolución de volumen 54p. Calcule el volumen de la esfera.

A) 45p B) 48p C) 54pD) 60p E) 36p

4. El círculo máximo de una esfera tiene como área 36p. Halle el volumen de la esfera.

A) 386p B) 288p C) 188pD) 278p E) 268p

5. En el gráfico, el volumen del cono es 18p. Cal-cule el volumen de la semiesfera.

rr rr

A) 36p B) 42p C) 72pD) 120p E) 144p

6. Calcule el área de la superficie generada por la circunferencia al girar 360º en torno a L

��. (T es

punto de tangencia).

A) p2R2

RR

L

T

360ºB) 4p2R2 C) 3p2R2

D) 5p2R2 E) 6p2R2

7. Halle el volumen de la esfera inscrita a un cono de revolución que tiene 6 u de radio y 8 u de altura.

A) 12p B) 24p C) 36pD) 18p E) 20p

9


Geometría

8. Calcule el volumen del sólido generado por la región triangular equilátera al girar 360º alrededor de L

��.

360º

L

6

A) 36p B) 72p C) 54pD) 27p E) 108p

NIVEL INTERMEDIO

9. La altura y el diámetro de un cono de revolu-ción son de igual longitud que el radio de una esfera de 4 u3 de volumen. Calcule el volumen del cono.

A) 1/3 B) 1/4 C) 2/5D) 1/5 E) 2/3

10. En el gráfico, AB=PC=6. Calcule el volumen del sólido generado por la región ABC cuando gira 360º alrededor de L

��.

360º

P C

B

A

A) 108p B) 72p C) 60pD) 27p E) 24p

11. Según el gráfico, el cono es equilátero y su volumen es V. Calcule el volumen de la esfera inscrita en dicho cono.

A) 49V

B) 37V

C) 25V

D) 35V E)

38V

12. Según el gráfico, calcule el volumen del sólido generado por la región cuadrada al girar 360º alrededor de L

��, si AB=2.

L15º

D

A

B

C

A) 2 6π B) 3 6π C) 32

6π

D) 4 6π E) 52

6π

10


Geometría

NIVEL AVANZADO

13. Los lados de una región triangular miden 13, 14 y 15. Calcule el volumen del sólido gene-rado por dicha región triangular al girar 360º alrededor del lado intermedio.

A) 564p B) 672p C) 720pD) 620p E) 648p

14. Calcule el área de la superficie generada por la circunferencia inscrita en una región triangular equilátera, cuya área es 9 3 , al girar 360º en torno a uno de sus lados.

A) 6p2 B) 9p2 C) 10p2

D) 12p2 E) 15p2

15. Una esfera se encuentra inscrita en un cilindro de revolución. Si el área de la superficie de la esfera más el área total del cilindro es 90p, calcule el volumen de la esfera.

A) 18p B) 36p C) 54pD) 27p E) 10p

11


GeometríaPoliedros regulares

NIVEL BÁSICO

1. Calcule el volumen de un hexaedro regular si el área de su superficie total y su volumen son numéricamente iguales.

A) 196 B) 206 C) 336D) 366 E) 216

2. Calcule el volumen del tetraedro regular inscri-to en el hexaedro regular cuya arista es a.

A) a3 B) a3

2 C) a3

3

D) a3

33 E) a3 2

3. Según el gráfico, ABCD-EFGH es un hexaedro regular. Calcule el área de la región triangular BEG.

FF

DD

a

E H

G

CB

A

A) a2 B) a2 3 C) 2 32a

D) a2

23 E)

a2

43

4. Calcule el área de la superficie total de un hexaedro regular cuya diagonal mide 2 3 .

A) 64 B) 18 C) 36D) 24 E) 8

5. Calcule el volumen del tetraedro regular si se sabe que el área de su superficie es 18 3 .

A) 3

B) 9

C) 12

D) 9 2

E) 1

6. Calcule el volumen de un tetraedro regular cuya arista mide 6.

A) 18

B) 18 2

C) 18 3

D) 9 3

E) 4 2

7. Calcule el área de un tetraedro regular cuya arista mide 6.

A) 3 B) 6 3 C) 2 3D) 4 3 E) 3 2

12


Geometría

8. Si la arista de un tetraedro regular mide 3, calcule su altura.

A) 3

B) 3 6

C) 6

D) 62

E) 63

NIVEL INTERMEDIO

9. La distancia de un vértice a la diagonal de un

hexaedro regular es 2. Calcule el volumen de dicho hexaedro.

A) 8

B) 3 3

C) 2 2D) 4

E) 2 6

10. En el gráfico, ABCD-EFGH es un hexaedro re-gular y O es centro de CDHG. Si AO=2 3 , cal-cule el área de la superficie total del hexaedro.

A) 48

A

E H

G

CB

D

O

F

B) 45 C) 64D) 16 E) 20

11. En el cubo ABCD-EFGH, NH= 2 3 . Calcule el volumen de dicho cubo.

B

F G

H

DA

C

EN

A) 290 B) 216 C) 254D) 206 E) 256

12. En el gráfico, P y Q son puntos medios de AB

y CD, respectivamente. Si PQ= 2 , calcule el volumen del tetraedro regular.

A

P

B C

Q

D

A) 2

B) 2

C) 4 3

D) 2 23

E) 2 33

13


Geometría

NIVEL AVANZADO

13. Se tiene un cubo de arista a, calcule el área

de la región triangular PQR, si P es centro del

cubo. (Q y P son puntos medios de las aristas).

Q

RP

A) a2

63

B) a2

143

C) a2

83

D) a2 34

E) a2 316

14. En un cubo ABCD-EFGH de arista a, con centro

en E, se traza un arco de circunferencia BQ (Q

en CH), situado en el plano BCHE. Calcule el

área de la región triangular EBQ.

A) 2

22a

B) 52

2a

C) 23

2a

D) 24

2a

E) 32

2a

15. Se tiene el tetraedro regular PABC en el cual se

traza la altura PH y cuya longitud es 2 6 . Si M

y N son puntos medios de PB y AH, respectiva-

mente, calcule MN.

A) 19

B) 15

C) 3 6D) 2 10

E) 21

14


GeometríaGeometría analítica

NIVEL BÁSICO

1. Según el gráfico, halle la pendiente de L��

. (G es baricentro de la región ABC)

L

A(4; 2)

G

B(6; 6)

B(5; 7)

P(– 2; 4)

A) 1/7B) 2/7C) 7/2D) 7E) 5/4

2. Según el gráfico, halle la pendiente de la recta L.

L

X

30º

Y

A) 33

B) 3 C) − 33

D) − 3 E) – 1

3. Según el gráfico, L��

//AB. Halle la ecuación de la recta L.

C(1; 6)

B(2; 5)

A(– 2; – 3)

L

A) 2x – y – 4=0B) 2x+y – 6=0C) 2x – y+4=0D) x – 2y – 6=0E) x – 2y+6=0

4. En el gráfico, A(0; 5) y B(4; 0). Si AB=BC, halle las coordenadas de C.

A

C

B X

Y

A) (4; 3) B) (4; 9) C) (4; 8)

D) (9; 4) E) (7; 5)

5. Dados los puntos A(1; 5), B(k; 3k) y C(5; 13)

colineales, halle 4k.

A) 9 B) 12 C) 16

D) 10 E) 20

6. Según el gráfico, Q, T y P son puntos de tan-

gencia. Calcule la pendiente de L��

.

A

P Q X

Y

L

T

A) – 1 B) 1 C) – 2

D) – 3 E) − 23

15


Geometría

7. Halle la medida del ángulo que determinan las rectas L1 y L2.

L 2:4x – 3y+156=0

L 1:7x – 24y – 156=0

A) 30º B) 37º C) 53ºD) 45º E) 60º

8. Según el gráfico, AB=6 y BC=8. Halle las coor-denadas de Q.

A(– 2; – 3) C(4; 3)

θ θ

B

Q

A) −

47

37;

B) − −

47

37

;

C) 47

37;

D) 47

37

; −

E) 37

47

; −

NIVEL INTERMEDIO

9. Según el gráfico, la pendiente de L��

es 1/4 y el área de la región sombreada es 18. Determine las coordenadas de A.

L

(0; 4)

X

YA

A) (6; 8) B) (8; 6) C) (4; 8)D) (4; 6) E) (4; 5)

10. Según el gráfico, OABC es un cuadrado y AB=8. Calcule la abscisa del punto medio de PO.

75º

CO

AB

P

X

Y

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

11. Según el gráfico, BM es mediana y la pendiente

de BM� ��

es –1/3. Determine la ecuación de L��

.

A(1; 3)

L

C(11; 7)

M

B

A) x – 3y – 13=0B) x – 3y+13=0C) 3x – y – 13=0D) 3x – y+13=0E) 3x+y – 13=0

16


Geometría

12. En el gráfico, se tiene A(8; 6n) y B(4n; 8). Si M es punto medio de AB, halle la pendiente de L��

.

LB

A

M

53ºX

Y

A) 1/2 B) –1/2 C) 1D) – 1 E) – 2

NIVEL AVANZADO

13. Del gráfico, las regiones sombreadas son equi-valentes. Si R=4, halle la ecuación L

��.

L

RR

Y

X

A) 2 4 0x y− − =B) 2x – y – 3=0

C) 3x – y – 4=0

D) x – y – 3=0

E) x – y – 4=0

14. Halle la ecuación de la recta que dista 6 u del

origen, pasa por (10; 0) y que interseca a la

parte positiva del eje de ordenadas.

A) 3x+4y – 25=0

B) x+2y – 5=0

C) 4x+3y – 40=0

D) 4x+3y – 30=0

E) 3x+4y – 30=0

15. Siendo A(3; 5), B(– 1; – 3), la mediatriz de AB

interseca al eje y en N. Halle la ecuación de la

recta que contiene a N y es paralela a AB.

A) 3x – 2y+4=0

B) 2x – 4y+3=0

C) 2x+4y – 3=0

D) 4x – 2y+3=0

E) 3x+2y – 4=0

. . .

Semestral SM

Triángulos i01 - B

02 - E

03 - C

04 - E

05 - E

06 - E

07 - B

08 - A

09 - D

10 - B

11 - E

12 - C

13 - B

14 - E

15 - B

Triángulos ii01 - C

02 - B

03 - A

04 - E

05 - D

06 - A

07 - C

08 - E

09 - D

10 - E

11 - B

12 - E

13 - E

14 - D

15 - C

CongruenCia de Triángulos

01 - C

02 - B

03 - C

04 - B

05 - C

06 - D

07 - B

08 - B

09 - C

10 - B

11 - A

12 - A

13 - D

14 - B

15 - E

apliCaCiones de la CongruenCia

01 - D

02 - A

03 - C

04 - C

05 - D

06 - B

07 - C

08 - C

09 - C

10 - D

11 - B

12 - E

13 - C

14 - E

15 - A

CuadriláTeros

01 - C

02 - D

03 - C

04 - B

05 - E

06 - E

07 - C

08 - D

09 - A

10 - A

11 - C

12 - B

13 - A

14 - A

15 - A

Semestral SM

CirCunferenCia

01 - D

02 - C

03 - D

04 - C

05 - C

06 - C

07 - C

08 - B

09 - B

10 - E

11 - B

12 - E

13 - B

14 - B

15 - B

PosiCiones relativas entre dos CirCunferenCias

01 - D

02 - B

03 - A

04 - A

05 - C

06 - B

07 - B

08 - A

09 - C

10 - D

11 - E

12 - D

13 - D

14 - B

15 - D

ProPorCionalidad de segmentos y semejanza de triángulos

01 - E

02 - B

03 - E

04 - B

05 - B

06 - C

07 - E

08 - C

09 - D

10 - A

11 - E

12 - E

13 - C

14 - B

15 - A

relaCiones métriCas i01 - C

02 - D

03 - D

04 - E

05 - A

06 - B

07 - E

08 - C

09 - C

10 - D

11 - C

12 - C

13 - E

14 - E

15 - A

relaCiones métriCas ii01 - A

02 - B

03 - E

04 - D

05 - B

06 - C

07 - C

08 - B

09 - C

10 - A

11 - A

12 - B

13 - B

14 - C

15 - C

Semestral SM

Áreas de regiones planas i01 - C

02 - B

03 - D

04 - A

05 - E

06 - C

07 - B

08 - C

09 - B

10 - C

11 - C

12 - C

13 - C

14 - B

15 - A

Áreas de regiones planas ii01 - C

02 - D

03 - D

04 - A

05 - E

06 - C

07 - E

08 - E

09 - D

10 - C

11 - B

12 - A

13 - C

14 - D

15 - C

Áreas de regiones planas iii y geometría del espacio i01 - B

02 - D

03 - E

04 - E

05 - B

06 - A

07 - A

08 - A

09 - D

10 - D

11 - C

12 - D

13 - C

14 - A

15 - B

geometría del espacio ii01 - C

02 - C

03 - C

04 - D

05 - B

06 - C

07 - E

08 - D

09 - B

10 - A

11 - E

12 - C

13 - A

14 - C

15 - C

Semestral SM

Prisma regular y Cilindro de revoluCión

01 - B

02 - C

03 - A

04 - A

05 - C

06 - C

07 - D

08 - C

09 - B

10 - C

11 - D

12 - B

13 - B

14 - E

15 - E

Pirámide regular y Cono de revoluCión

01 - C

02 - E

03 - D

04 - B

05 - C

06 - C

07 - D

08 - A

09 - C

10 - B

11 - A

12 - C

13 - C

14 - E

15 - D

esfera y teoremas de PaPPus-guldin

01 - D

02 - E

03 - E

04 - B

05 - E

06 - B

07 - C

08 - C

09 - B

10 - B

11 - A

12 - D

13 - B

14 - D

15 - B

Poliedros regulares

01 - E

02 - C

03 - D

04 - D

05 - B

06 - B

07 - B

08 - C

09 - B

10 - A

11 - B

12 - D

13 - C

14 - A

15 - B

geometría analítiCa

01 - C

02 - C

03 - C

04 - D

05 - B

06 - A

07 - B

08 - D

09 - E

10 - E

11 - C

12 - E

13 - A

14 - E

15 - D

geometría semestral sm ade 2015

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