CEDART

DAVID ALFARO SIQUEIROS BACHILLERATO DE ARTE Y HUMANIDADES INBA Y BELLAS ARTES

AacuteLGEBRA

MAESTRO ING VICTOR MANUEL MORALES AacuteRZAGA

ALUMNA LUISA EDITH CEPEDA GLEZ

GRADO _____1________

GRUPO _____1________

FECHA DE ENTREGA jueves 16--12--2010

Iacutendice

Primer parcialhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2

Segundo parcialhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip5

Tercer parcialhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip10

Tercer parcial (continuacioacuten)helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip26

INTRODUCCIOacuteN

A) DEFINIR LOS SIGUIENTES CONCEPTOS

AacuteLGEBRA

Para los usos matemaacuteticos de la palabra aacutelgebra como estructura algebraica veacutease

aacutelgebra no asociativa aacutelgebra asociativa aacutelgebra sobre un cuerpo El aacutelgebra es la rama

de las matemaacuteticas que estudia las estructuras las relaciones y las cantidades (en el caso

del aacutelgebra elemental) Junto a la geometriacutea el anaacutelisis matemaacutetico la combinatoria y la

teoriacutea de nuacutemeros La palabra laquoaacutelgebraraquo es de origen aacuterabe deriva del tratado escrito

por el matemaacutetico persa Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi titulado Kitab al-yabr wa-l-

muqabala (en aacuterabe لة قاب م بر وال ج تاب ال que significa Compendio de caacutelculo por el) (ك

meacutetodo de completado y balanceado) el cual proporcionaba operaciones simboacutelicas

para la solucioacuten sistemaacutetica de ecuaciones lineales y cuadraacuteticas Etimoloacutegicamente la

palabra laquoaacutelgebraraquo بر proviene del aacuterabe y significa reduccioacuten (yabr)ج

APLICACIONES ASIDUIDAD CON QUE SE ESTUDIA ADORNO SOBREPUESTO EN UN MATERIAL

DIFERENTE

TEacuteRMINOS ALGEBRAICOS MEDIA ARITMEacuteTICA PROMEDIO

EXPONENTES

Nuacutemero que puesto arriba a la derecha de otro llamado base indica las veces en que

hay que multiplicarse por si mismo

B) EJEMPLO DE SUMA ALGEBRAICA (PERIacuteMETRO)

SI SUMAMOS EL SALOacuteN DE 1acuteacute1acuteacute Y EL DE 1acuteacuteAacuteacute NOS DA UN TOTAL DE 900 MTS iquestCuaacutento MIDE CU R 450 X+X=900 X+X=900 X=450 2X=900 X=900divide2 Marisol tiene tres repisas llenas de juguetes Su hermana Juana quiere saber cuantos juguetes deben de ir en cada repisahellip iquestCuaacutentos debe haber en cada repisa si son un total de 60 muntildeecos

3X=60

3X=60

X=60divide3 = 20

X=20

1acuteacute

1acuteacute

1acuteacute

Aacuteacute

Iacutendice

Primer parcialhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2

Segundo parcialhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip5

Tercer parcialhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip10

Tercer parcial (continuacioacuten)helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip26

INTRODUCCIOacuteN

A) DEFINIR LOS SIGUIENTES CONCEPTOS

AacuteLGEBRA

Para los usos matemaacuteticos de la palabra aacutelgebra como estructura algebraica veacutease

aacutelgebra no asociativa aacutelgebra asociativa aacutelgebra sobre un cuerpo El aacutelgebra es la rama

de las matemaacuteticas que estudia las estructuras las relaciones y las cantidades (en el caso

del aacutelgebra elemental) Junto a la geometriacutea el anaacutelisis matemaacutetico la combinatoria y la

teoriacutea de nuacutemeros La palabra laquoaacutelgebraraquo es de origen aacuterabe deriva del tratado escrito

por el matemaacutetico persa Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi titulado Kitab al-yabr wa-l-

muqabala (en aacuterabe لة قاب م بر وال ج تاب ال que significa Compendio de caacutelculo por el) (ك

meacutetodo de completado y balanceado) el cual proporcionaba operaciones simboacutelicas

para la solucioacuten sistemaacutetica de ecuaciones lineales y cuadraacuteticas Etimoloacutegicamente la

palabra laquoaacutelgebraraquo بر proviene del aacuterabe y significa reduccioacuten (yabr)ج

APLICACIONES ASIDUIDAD CON QUE SE ESTUDIA ADORNO SOBREPUESTO EN UN MATERIAL

DIFERENTE

TEacuteRMINOS ALGEBRAICOS MEDIA ARITMEacuteTICA PROMEDIO

EXPONENTES

Nuacutemero que puesto arriba a la derecha de otro llamado base indica las veces en que

hay que multiplicarse por si mismo

B) EJEMPLO DE SUMA ALGEBRAICA (PERIacuteMETRO)

SI SUMAMOS EL SALOacuteN DE 1acuteacute1acuteacute Y EL DE 1acuteacuteAacuteacute NOS DA UN TOTAL DE 900 MTS iquestCuaacutento MIDE CU R 450 X+X=900 X+X=900 X=450 2X=900 X=900divide2 Marisol tiene tres repisas llenas de juguetes Su hermana Juana quiere saber cuantos juguetes deben de ir en cada repisahellip iquestCuaacutentos debe haber en cada repisa si son un total de 60 muntildeecos

3X=60

3X=60

X=60divide3 = 20

X=20

1acuteacute

1acuteacute

1acuteacute

Aacuteacute

INTRODUCCIOacuteN

A) DEFINIR LOS SIGUIENTES CONCEPTOS

AacuteLGEBRA

Para los usos matemaacuteticos de la palabra aacutelgebra como estructura algebraica veacutease

aacutelgebra no asociativa aacutelgebra asociativa aacutelgebra sobre un cuerpo El aacutelgebra es la rama

de las matemaacuteticas que estudia las estructuras las relaciones y las cantidades (en el caso

del aacutelgebra elemental) Junto a la geometriacutea el anaacutelisis matemaacutetico la combinatoria y la

teoriacutea de nuacutemeros La palabra laquoaacutelgebraraquo es de origen aacuterabe deriva del tratado escrito

por el matemaacutetico persa Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi titulado Kitab al-yabr wa-l-

muqabala (en aacuterabe لة قاب م بر وال ج تاب ال que significa Compendio de caacutelculo por el) (ك

meacutetodo de completado y balanceado) el cual proporcionaba operaciones simboacutelicas

para la solucioacuten sistemaacutetica de ecuaciones lineales y cuadraacuteticas Etimoloacutegicamente la

palabra laquoaacutelgebraraquo بر proviene del aacuterabe y significa reduccioacuten (yabr)ج

APLICACIONES ASIDUIDAD CON QUE SE ESTUDIA ADORNO SOBREPUESTO EN UN MATERIAL

DIFERENTE

TEacuteRMINOS ALGEBRAICOS MEDIA ARITMEacuteTICA PROMEDIO

EXPONENTES

Nuacutemero que puesto arriba a la derecha de otro llamado base indica las veces en que

hay que multiplicarse por si mismo

B) EJEMPLO DE SUMA ALGEBRAICA (PERIacuteMETRO)

SI SUMAMOS EL SALOacuteN DE 1acuteacute1acuteacute Y EL DE 1acuteacuteAacuteacute NOS DA UN TOTAL DE 900 MTS iquestCuaacutento MIDE CU R 450 X+X=900 X+X=900 X=450 2X=900 X=900divide2 Marisol tiene tres repisas llenas de juguetes Su hermana Juana quiere saber cuantos juguetes deben de ir en cada repisahellip iquestCuaacutentos debe haber en cada repisa si son un total de 60 muntildeecos

3X=60

3X=60

X=60divide3 = 20

X=20

1acuteacute

1acuteacute

1acuteacute

Aacuteacute

2- RESOLVERuml

(5Asup2 ndash 2 asup3 +a ) + (4 a + 3 asup2) + (5 asup3 ndash 2 a +7)

8asup2 +3asup3+3a+7 acomodacioacuten 3a sup3+ 8asup2 +3a+7 polinomio cubico

(34x sup2 - 43x +2)+ (16x ndash 52 xsup2+ 78)

xsup2 - frac34 - 52= -- 148 xsup2 x - 43 - 16 = -- 2118x

- 2+78= 238

-- 148 xsup2 -- 2118x +238 trinomio cuadrado

(4y- 5z+3)+ (4z-y+2)- (3y -2z-1)

6ymdash3z+4 trinomio lineal (12 m + 35 m ndash 47) + (38 m- 54) + (53 m ndash 310 m)

Msup2 frac12- 310 =420 Msup2 M 35+ 38=3940 M + 53 m=317120 M

-47- 54= - 51 28

420 Msup2 + 317120 M - 51 28 TRINOMIO CUADRADO

(2pq ndash 3psup2 + 4pqsup2)+ (Pq-5pqsup2 -7p sup2 q)+(- 4pqsup2 +3pq ndash p sup2 q)

6P Q ndash 3P sup2 ndash 5PQ sup2 ndash 8P sup2 Q

ndash8P sup2 Qndash 5PQ sup2 ndash 3P sup2 + 6P Q POLINOMIO CUBICO CONTINUACION RESTA

A) EJEMPLIFICA UNA APLICACIOacuteN DE LA RESTA ALGEBRAICA (DESCRIBE EL

PROBLEMA AGREGA IMAGEN O ESQUEMA Y RESUELVE)

B) MIRNA TIENE CINCO ROSAS Y TRES TULIPANES EN SU JARDIN AYER BRENDA

LE QUITO DOS ROSAS PERO LE DIO UN TULIPAN

NATASHA LE QUITO TRES TULIPANES PERO LE DIO UNA ROSA iquestCuaacutentas ROSAS Y TULIPANES LE QUEDARON

(5N+3M) ndash (2N+1M) - (3M+N) -2N - 1M BINOMIO LINEAL

RESUELVE LAS SIGUIENTES OPERACIONES (5M+4Nndash7) ndash (8N ndash7) + (4Mndash3N+5) ndash (- 6M+4Nndash3)

15M- 11N+ 15 TRINOMIO LINEAL

(4M4 ndash 3Msup3+ 6Msup2 +5M- 4) ndash (6Msup3- 8Msup2 -3M ndash 1)

4M4- 9Msup3+14 Msup2+8M ndash 5 POLINOMIO CUARTO GRADO

(- XY4- 7Ysup3+XYsup2) + (- 2 XY4+5Y ndash 2) ndash (- 6Ysup3 +XYsup2 +5)

- 3 XY4 - 1 Ysup3 +0XYsup2 +5Y ndash 7 POLINOMIO CUARTO GRADO

(16X+ 3 8 Y - 5) - (8 3Y - 5 4) + (32 X + 2 9)

2012X - 1524Y - 12736 TRINOMIO LINEAL

DISENtildeAR OTRA RESTA CON FRACCIONES (MINIMO TRINOMIO)

(12Xsup2 - 310 X +16) ndash (38+510 Xsup2) + (36 X)

-520Xsup2 +1260X -1048 TRINOMIO CUADRADO

INTRODUCCIOacuteN

B) DEFINIR LOS SIGUIENTES CONCEPTOS

iquestQueacute es divisioacuten algebraica

Divisioacuten de expresiones algebraicas Una expresioacuten algebraica es aquella en la que se

utilizan letras nuacutemeros y signos de operaciones

Es la operacioacuten que tiene como objeto dado el producto de dos factores (dividendo) y

uno de los factores (divisor) hallar el otro factor

Definicioacuten

Son aquellos productos que se rigen por reglas fijas y cuyo resultado puede hallarse por

simple inspeccioacuten Su denominados tambieacuten Identidades Algebraicas Son aquellos

productos cuyo desarrollo es claacutesico y por esto se le reconoce faacutecilmente Es una multiplicacioacuten inversa Estaacute compuesta por dividendo divisor cociente y

residuo

Propiedades de la divisioacuten algebraica

Divisioacuten es una multiplicacioacuten inversa Estaacute compuesta por dividendo divisor cociente y Residuo

PROPIEDADES DE LA DIVISION

PReintegrativa

En una divisioacuten dada si el cociente se multiplica por el divisor da como producto el

dividendo

P Divisor 1

En cualquier divisioacuten el divisor es 1 el dividendo y el cociente son iguales

Existen tres tipos de divisioacuten algebraica

(Solo se mencionan dos)

Monomio entre monomio

Polinomio entre monomio

INTRODUCCIOacuteN

B) DEFINIR LOS SIGUIENTES CONCEPTOS

iquestQueacute es divisioacuten algebraica

Divisioacuten de expresiones algebraicas Una expresioacuten algebraica es aquella en la que se

utilizan letras nuacutemeros y signos de operaciones

Es la operacioacuten que tiene como objeto dado el producto de dos factores (dividendo) y

uno de los factores (divisor) hallar el otro factor

Definicioacuten

Son aquellos productos que se rigen por reglas fijas y cuyo resultado puede hallarse por

simple inspeccioacuten Su denominados tambieacuten Identidades Algebraicas Son aquellos

productos cuyo desarrollo es claacutesico y por esto se le reconoce faacutecilmente Es una multiplicacioacuten inversa Estaacute compuesta por dividendo divisor cociente y

residuo

Propiedades de la divisioacuten algebraica

Divisioacuten es una multiplicacioacuten inversa Estaacute compuesta por dividendo divisor cociente y Residuo

PROPIEDADES DE LA DIVISION

PReintegrativa

En una divisioacuten dada si el cociente se multiplica por el divisor da como producto el

dividendo

P Divisor 1

En cualquier divisioacuten el divisor es 1 el dividendo y el cociente son iguales

Existen tres tipos de divisioacuten algebraica

(Solo se mencionan dos)

Monomio entre monomio

Polinomio entre monomio

Reglas - los coeficientes se dividen o simplifican aplicando la ley de los signos - los exponentes se restan indicando el resultado donde estaba el mayor - El primero solo se indica si es el uacutenico resultado - [NOTA EL NUMERO DE TERMINOS ES EL NUMERO DE RESULTADOS]

iquestCuaacuteles son los elementos (partes) de la divisioacuten

Sus elementos son

Dividendo

Divisor

Cociente

Residuo RESOLVER 8m9n2-10m7n4-20m5n6+12m3n8 2m2n3= 4m7-5m5n-10m3n+6mn5 2mn 2 2 2 20x4-5x3-10x2+15x 5x= 4x3-1x2-2x+3 5 5 4a8-10a6-5a4 2a3= 2a5-5a3-2a 2 2ordf2 2x2y+6xy2-8xy+10x2y2 2a3= x+3y-4+5xy 2y 2x 2xy 2 3x2 +2x-8 x+2= 3x+8

2x3-4x-2 2x+2= x2+3x2

2a4-a3+7a-3 2a+3= a3-1

14y2-71y-33 7y+35= 2y

Si un espacio rectangular tiene el aacuterea de 6x2-19x+15 y la anchura es de 3x-5

iquestCuaacutento mide la base

2x-3

6- expresar conclusiones personales sobre la primera unidad umlacuteoperaciones algebraicasumlacute

Es la generalizacioacuten de las ideas de la aritmeacutetica la rama de la matemaacutetica en la que las

cantidades desconocidas se pueden representar por letras y asiacute determinar sus valores

para resolver problemas

Productos Notables

iquestQue son los productos notables

Productos notables

Ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por

simple inspeccioacuten

Productos notables es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones

algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspeccioacuten sin verificar la

multiplicacioacuten que cumplen ciertas reglas fijas Su aplicacioacuten simplifica y sistematiza la

resolucioacuten de muchas multiplicaciones habituales

Cada producto notable corresponde a una foacutermula de factorizacioacuten Por ejemplo la

factorizacioacuten de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios

conjugados y reciacuteprocamente

Es la multiplicacioacuten de ciertas expresiones utilizando reglas para obtener el resultado

a) Binomios a una potencia= EXPRESIONES

IGUALES QUE SE MULTIPLICAN VARIAS

VECES ENTRE SI

b) Binomio con Termino Comuacuten

Cuadrado del comuacuten

Suma o resta de los no comunes por el comuacuten

Producto de los no comunes

c) Binomios Conjugados

Cuadrado del primero

(-) menos cuadrado del segundo

I- BINOMIO AL CUADRADO

II- BINOMIO AL CUBO

III- BINOMIOS A UNA POTENCIA SUPERIOR

IV- BINOMIO AL CUADRADO

Cuadrado del primero

Doble producto del primero por el segundo

Cuadrado del segundo

6- expresar conclusiones personales sobre la primera unidad umlacuteoperaciones algebraicasumlacute

Es la generalizacioacuten de las ideas de la aritmeacutetica la rama de la matemaacutetica en la que las

cantidades desconocidas se pueden representar por letras y asiacute determinar sus valores

para resolver problemas

Productos Notables

iquestQue son los productos notables

Productos notables

Ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por

simple inspeccioacuten

Productos notables es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones

algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspeccioacuten sin verificar la

multiplicacioacuten que cumplen ciertas reglas fijas Su aplicacioacuten simplifica y sistematiza la

resolucioacuten de muchas multiplicaciones habituales

Cada producto notable corresponde a una foacutermula de factorizacioacuten Por ejemplo la

factorizacioacuten de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios

conjugados y reciacuteprocamente

Es la multiplicacioacuten de ciertas expresiones utilizando reglas para obtener el resultado

a) Binomios a una potencia= EXPRESIONES

IGUALES QUE SE MULTIPLICAN VARIAS

VECES ENTRE SI

b) Binomio con Termino Comuacuten

Cuadrado del comuacuten

Suma o resta de los no comunes por el comuacuten

Producto de los no comunes

c) Binomios Conjugados

Cuadrado del primero

(-) menos cuadrado del segundo

I- BINOMIO AL CUADRADO

II- BINOMIO AL CUBO

III- BINOMIOS A UNA POTENCIA SUPERIOR

IV- BINOMIO AL CUADRADO

Cuadrado del primero

Doble producto del primero por el segundo

Cuadrado del segundo

V- BINOMIO AL CUBO

Cubo del primero

Triple producto del cuadrado del primero por el segundo

Cubo del segundo

VI- BINOMIOS A UNA POTENCIA SUPERIOR

Te guiacuteas por el triangulo de pascal seguacuten la potencia

Se va a ir repitiendo el problema cuantas veces sean necesarias

Se multiplica el nuacutemero afuera del pareacutentesis por el de adentro

En la calculadora se oprime el botoacuten

Exponente por el siguiente nuacutemero del otro pareacutentesis exponente

Triangulo de pascal

Triangulo de pascal

El triaacutengulo de Pascal en matemaacuteticas es un conjunto infinito de nuacutemeros enteros

ordenados en forma de triaacutengulo que expresan coeficientes binomiales El intereacutes del

Triaacutengulo de Pascal radica en su aplicacioacuten en aacutelgebra y permite calcular de forma

sencilla nuacutemeros combinatorios lo que sirve para aplicar el binomio de Newton

Tambieacuten es conocido como Triaacutengulo de Tartaglia En paiacuteses orientales como China

India o Persia este triaacutengulo se conociacutea y fue estudiado por matemaacuteticos como Al-

Karaji cinco siglos antes de que Pascal expusiera sus aplicaciones o por el astroacutenomo y

poeta persa Omar Jayyam (1048-1123) En China es conocido como Triaacutengulo de

Yanghui en honor al matemaacutetico Yang Hui quien lo describioacute el antildeo 13031

Ejercicio

(3a+4)2= 9ordf2+24ordf+16

(2x2-5)2= 4x4-20x2+25

(7m+8n)2=49m2+112mn+64n2

(4ordf+5)3= 64ordf3+240ordf+125

(2ordf3-7)3=8ordf9-84ordf6+294ordf3-343

(5m+4)3=125m3+300m2+240m+64

(3x+2)4=1(3x)4(2) deg4(3x)3(2)1 6(3x)2(2)2 4(3x)1(2)31(3x)0(2)4

81x4+216x3+216x2+96x1+16

(2x2-4)5=32x5-320x4+1280x3-2560x2+2560x-32

(4y3+3)6=4096x6+18432x5+34560x4+34560x3+19440x2+5832x+729

(2x+3) (2x+5)=4x2+16x+15

(x2-1) (x2+1)=x4-1x2-1

(m+4) (m-2)=m2-2m-8

(3ordf-7) (3ordf+7)=9ordf2-49

(5ordf+36)(5ordf-26)=25ordf2+50ordf-936

(4x3+3)(4x3-3)=16x6-9

(a2-1)(a2-4)=a4-3ordf2-4

Factorizacioacuten

Define queacute es factorizacioacuten

En aacutelgebra la factorizacioacuten es expresar un objeto o nuacutemero (por ejemplo un nuacutemero compuesto una matriz o un polinomio) como producto de otros objetos maacutes pequentildeos (factores) (en el caso de nuacutemeros debemos utilizar los nuacutemeros primos) que al multiplicarlos todos resulta el objeto original Ilustra en un mapa conceptual los diversos meacutetodos de factorizacioacuten

Factoriza las sig Expresiones

a) 25a 2 ndash 64b2 =(5ordf+8)(5ordf-8)

b) 8m2 ndash 14m- 15=(-1m+1)(2m-5)

c) X2 ndash 15x+54=(x-6)(x-9)

d) 5x2 -13x +6=(x+x)(1+6)

e) 27ordf9 ndashb3=(7ordf3 +b)(7ordf3-b)

f) 5a 2+10ordf=5ordf(1ordf+2)

g) N2 -14n +49=(n-7)2

h) X2 -20x -300=(x -2)(x +150)

i) 9x6 -1=(3x3-1) (3x3+1)

j) 64x3 +125=(8x+5)(8x2-40x+25)

k) X2 -144=(x+72)(x-72)

l) 2x2+11x+12= 2(x+6)

m) 4x2y ndash 12xy2=xy(4x-12y)

n) Xw ndash yw + xz ndash yz=(w+z)(x-y)

o) X2 +14x + 45=(x+5)(x+9)

p) 6y2 ndash y ndash 2=(2y+2)(3-2)

q) 4m2 ndash 49=(2m+7)(2m-7)

r) X2 ndash x ndash 42=x(x-4x)

s) 2m2 + 3m ndash 35=(2m+5)(2m-7)

t) A2 ndash 24ordf + 119=(a+12)2

Investiga la aplicacioacuten de la factorizacioacuten en la solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas

Solucioacuten de la ecuacioacuten de segundo grado por medio de la factorizacioacuten

El meacutetodo para solucionar ecuaciones de segundo grado por medio de la factorizacioacuten es un poco complicado pero con algo de praacutectica se puede obtener cierta habilidad este meacutetodo se basa en que el producto de dos o maacutes factores es cero si cualquiera de los factores es cero

De este modo la ecuacioacuten (X-4)(X-3) = 0 se satisface ya sea para X = 4 o para X= 3

Nota Una buena habilidad adquirida en este meacutetodo nos pueda dar buenos frutos en la solucioacuten de no solo ecuaciones de segundo grado sino incluso de grado superior

Los pasos a seguir son los siguientes

Coloca todos los miembros del lado izquierdo de la ecuacioacuten e iguaacutelalos a cero Factoriza el miembro de la izquierda en factores de primer grado Cada factor asiacute formado de primer grado se iguala a cero y se obtienen asiacute las raiacuteces

Factorizacioacuten

Define queacute es factorizacioacuten

En aacutelgebra la factorizacioacuten es expresar un objeto o nuacutemero (por ejemplo un nuacutemero compuesto una matriz o un polinomio) como producto de otros objetos maacutes pequentildeos (factores) (en el caso de nuacutemeros debemos utilizar los nuacutemeros primos) que al multiplicarlos todos resulta el objeto original Ilustra en un mapa conceptual los diversos meacutetodos de factorizacioacuten

Factoriza las sig Expresiones

a) 25a 2 ndash 64b2 =(5ordf+8)(5ordf-8)

b) 8m2 ndash 14m- 15=(-1m+1)(2m-5)

c) X2 ndash 15x+54=(x-6)(x-9)

d) 5x2 -13x +6=(x+x)(1+6)

e) 27ordf9 ndashb3=(7ordf3 +b)(7ordf3-b)

f) 5a 2+10ordf=5ordf(1ordf+2)

g) N2 -14n +49=(n-7)2

h) X2 -20x -300=(x -2)(x +150)

i) 9x6 -1=(3x3-1) (3x3+1)

j) 64x3 +125=(8x+5)(8x2-40x+25)

k) X2 -144=(x+72)(x-72)

l) 2x2+11x+12= 2(x+6)

m) 4x2y ndash 12xy2=xy(4x-12y)

n) Xw ndash yw + xz ndash yz=(w+z)(x-y)

o) X2 +14x + 45=(x+5)(x+9)

p) 6y2 ndash y ndash 2=(2y+2)(3-2)

q) 4m2 ndash 49=(2m+7)(2m-7)

r) X2 ndash x ndash 42=x(x-4x)

s) 2m2 + 3m ndash 35=(2m+5)(2m-7)

t) A2 ndash 24ordf + 119=(a+12)2

Investiga la aplicacioacuten de la factorizacioacuten en la solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas

Solucioacuten de la ecuacioacuten de segundo grado por medio de la factorizacioacuten

El meacutetodo para solucionar ecuaciones de segundo grado por medio de la factorizacioacuten es un poco complicado pero con algo de praacutectica se puede obtener cierta habilidad este meacutetodo se basa en que el producto de dos o maacutes factores es cero si cualquiera de los factores es cero

De este modo la ecuacioacuten (X-4)(X-3) = 0 se satisface ya sea para X = 4 o para X= 3

Nota Una buena habilidad adquirida en este meacutetodo nos pueda dar buenos frutos en la solucioacuten de no solo ecuaciones de segundo grado sino incluso de grado superior

Los pasos a seguir son los siguientes

Coloca todos los miembros del lado izquierdo de la ecuacioacuten e iguaacutelalos a cero Factoriza el miembro de la izquierda en factores de primer grado Cada factor asiacute formado de primer grado se iguala a cero y se obtienen asiacute las raiacuteces

Nota Si no se cumple el primer paso entonces la ecuacioacuten no es factorizable

Ahora bien te has de preguntar querido lector como se hace en la praacutectica pues aquiacute estaacute la solucioacuten con el siguiente ejemplo

X^2 = 2X + 3

X^2 - 2X - 3 = 0 (Paso 1)

Para el caso dos el secreto estaacute en encontrar dos nuacutemeros que sumados nos den -2 y al multiplicarlos nos den como resultado - 3

Esos nuacutemeros son -3 y 1 a continuacioacuten dichos nuacutemeros los sustituimos por -2 y la ecuacioacuten nos da como

resultado

X^2 - 3X + X -3 = 0

X(X - 3) + (X -3) = 0

(X + 1)(X - 3)=0 (Paso 2)

Solucioacuten a la ecuacioacuten

X = -1

X = 3 (Paso 3)

No obstante no siempre es faacutecil encontrar ambos nuacutemeros sobre todo si son cantidades grandes ahora bien un problema muy comuacuten es que en el primer teacutermino de la ecuacioacuten el coeficiente sea mayor a uno (A gt 1) y es aquiacute donde tenemos una solucioacuten muy interesante para poder factorizar los teacuterminos

Resulta que debemos multiplicar el coeficiente de X2 por el tercer teacutermino ( C ) lo que nos daraacute como resultado un nuacutemero maacutes grande

Una vez que hemos hecho el paso anterior la tarea se centra en encontrar dos nuacutemeros que sumados nos el segundo termino y multiplicados nos den el numero grande encontrado

Es asiacute como funciona

2X^2 - X -6 = 0

(2)(-6) = -12 (Obtenemos el numero)

Los dos nuacutemeros son 3 y -4 los cuales sumados nos dan - 1 y multiplicados nos dan -12 que es el gran numero obtenido

2X^2 - 4X + 3X -6 = 0 (Sustitucioacuten de los dos nuacutemeros)

2X(X - 2) + 3(X - 2) (Factorizacioacuten por factor comuacuten)

(X - 2)(2X + 3) = 0 (Ecuaciones de primer grado)

X = 2 (Resolucioacuten de las ecuaciones de primer grado)

X = -32

Conclusiones personales sobre la unidad de factorizacioacuten

Es una herramienta uacutetil para separar los sub-conjuntos de los conjuntos simplificando asiacute la reagrupacioacuten

FRACCIONES ALGEBRAICAS

Realiza las operaciones con fracciones algebraicas

X2 ndash 16 = x-4

X2 + 8x + 16 x+4

4x2 ndash 20x = 4

X2 ndash 4x -5 x+1

3ordf ndash 9b = 3

6ordf ndash 18b 6

X2 ndash 6x + 9 x2 + 6x + 5 = (x+3)(x+5)(x+1)

X2 ndash 7x + 12 3x2 + 2x ndash 1 (x+4)3(x-3)

7x + 21 x2 ndash 5xy + 4y2 = 7(x+5)(x-1)

X2 ndash 16y2 4x2 + 11x (x+4y)(x-4y) 4

X2 ndash 3x ndash 10 2x + 10 = 2

X2 ndash 25 6x + 12 6

X ndash 4 4x + 8 = 4(x+2)

2x + 8 x2 ndash 16 2(x+4)2

3x ndash 15 divide 12x + 18 =3x-1512+3x+9 12x+1812x2+36

X + 3 4x + 12 X + 3 4x + 12

4x2 ndash 9 divide 2x ndash 3 = 4(x-2)2x-3

X + 3y 2x + 6y x+3y 2(x+3)

X2 ndash 14x - 15 divide x2 ndash 12x ndash 45 = (x-7)(x+2)

X2 ndash 4x ndash 45 x2 ndash 6x ndash 27 (x+3)(x-9)

a ndash 3 - a = a

a2 ndash 3ordf + 2 a2 ndash 4ordf + 3 (a+1)

m + 3 m = (3m2)(1)

m2 - 1 m + 1 (m+1)2(m-1)

2ordf - 4 = 2ordf2-4ordf+8

a2 ndash a ndash 6 a2 ndash 7ordf + 12 (a-2) (a+4)

2 - 1 + 1 = 2m2-1m2

m2 ndash 11m + 30 m2 ndash 36 m2 ndash 25 m2-15 m2-5 m2-5

x + 2 = x +2

x2 - 5x - 14 x ndash 7 x-7

2 Define queacute es una fraccioacuten compleja y da un ejemplo

Fraccioacuten en la que el numerador o el denominador o ambos contienen

fracciones

3 Conclusiones personales sobre la unidad de fracciones algebraicas

Herramienta uacutetil para resolver incoacutegnitas que se pueden aplicar en la vida diaria

Define que es una ecuacioacuten lineal los tipos que existen y cuaacuteles son los meacutetodos de

resolucioacuten

Es una ecuacioacuten que representa una liacutenea recta de modelo Y=a+bx a) ordenada al origen (interseccioacuten con y)

b) pendiente (inclinacioacuten)

O bien

Ecuacioacuten de primer grado

Ejemplo graacutefico de ecuaciones lineales

Una ecuacioacuten de primer grado o ecuacioacuten lineal es un planteamiento de igualdad

involucrando una o maacutes variables a la primera potencia que no contiene productos entre

las variables es decir una ecuacioacuten que involucra solamente sumas y restas de una

variable a la primera potencia En el sistema cartesiano representan rectas Una forma

comuacuten de ecuaciones lineales es

Donde representa la pendiente y el valor de determina la ordenada al origen (el

punto donde la recta corta al eje y)

Las ecuaciones en las que aparece el teacutermino (llamado rectangular) no son

consideradas lineales Algunos ejemplos de ecuaciones lineales

Tipos de ecuacioacuten lineal

Conclusiones personales sobre la unidad de factorizacioacuten

Es una herramienta uacutetil para separar los sub-conjuntos de los conjuntos simplificando asiacute la reagrupacioacuten

FRACCIONES ALGEBRAICAS

Realiza las operaciones con fracciones algebraicas

X2 ndash 16 = x-4

X2 + 8x + 16 x+4

4x2 ndash 20x = 4

X2 ndash 4x -5 x+1

3ordf ndash 9b = 3

6ordf ndash 18b 6

X2 ndash 6x + 9 x2 + 6x + 5 = (x+3)(x+5)(x+1)

X2 ndash 7x + 12 3x2 + 2x ndash 1 (x+4)3(x-3)

7x + 21 x2 ndash 5xy + 4y2 = 7(x+5)(x-1)

X2 ndash 16y2 4x2 + 11x (x+4y)(x-4y) 4

X2 ndash 3x ndash 10 2x + 10 = 2

X2 ndash 25 6x + 12 6

X ndash 4 4x + 8 = 4(x+2)

2x + 8 x2 ndash 16 2(x+4)2

3x ndash 15 divide 12x + 18 =3x-1512+3x+9 12x+1812x2+36

X + 3 4x + 12 X + 3 4x + 12

4x2 ndash 9 divide 2x ndash 3 = 4(x-2)2x-3

X + 3y 2x + 6y x+3y 2(x+3)

X2 ndash 14x - 15 divide x2 ndash 12x ndash 45 = (x-7)(x+2)

X2 ndash 4x ndash 45 x2 ndash 6x ndash 27 (x+3)(x-9)

a ndash 3 - a = a

a2 ndash 3ordf + 2 a2 ndash 4ordf + 3 (a+1)

m + 3 m = (3m2)(1)

m2 - 1 m + 1 (m+1)2(m-1)

2ordf - 4 = 2ordf2-4ordf+8

a2 ndash a ndash 6 a2 ndash 7ordf + 12 (a-2) (a+4)

2 - 1 + 1 = 2m2-1m2

m2 ndash 11m + 30 m2 ndash 36 m2 ndash 25 m2-15 m2-5 m2-5

x + 2 = x +2

x2 - 5x - 14 x ndash 7 x-7

2 Define queacute es una fraccioacuten compleja y da un ejemplo

Fraccioacuten en la que el numerador o el denominador o ambos contienen

fracciones

3 Conclusiones personales sobre la unidad de fracciones algebraicas

Herramienta uacutetil para resolver incoacutegnitas que se pueden aplicar en la vida diaria

Define que es una ecuacioacuten lineal los tipos que existen y cuaacuteles son los meacutetodos de

resolucioacuten

Es una ecuacioacuten que representa una liacutenea recta de modelo Y=a+bx a) ordenada al origen (interseccioacuten con y)

b) pendiente (inclinacioacuten)

O bien

Ecuacioacuten de primer grado

Ejemplo graacutefico de ecuaciones lineales

Una ecuacioacuten de primer grado o ecuacioacuten lineal es un planteamiento de igualdad

involucrando una o maacutes variables a la primera potencia que no contiene productos entre

las variables es decir una ecuacioacuten que involucra solamente sumas y restas de una

variable a la primera potencia En el sistema cartesiano representan rectas Una forma

comuacuten de ecuaciones lineales es

Donde representa la pendiente y el valor de determina la ordenada al origen (el

punto donde la recta corta al eje y)

Las ecuaciones en las que aparece el teacutermino (llamado rectangular) no son

consideradas lineales Algunos ejemplos de ecuaciones lineales

Tipos de ecuacioacuten lineal

2ordf - 4 = 2ordf2-4ordf+8

a2 ndash a ndash 6 a2 ndash 7ordf + 12 (a-2) (a+4)

2 - 1 + 1 = 2m2-1m2

m2 ndash 11m + 30 m2 ndash 36 m2 ndash 25 m2-15 m2-5 m2-5

x + 2 = x +2

x2 - 5x - 14 x ndash 7 x-7

2 Define queacute es una fraccioacuten compleja y da un ejemplo

Fraccioacuten en la que el numerador o el denominador o ambos contienen

fracciones

3 Conclusiones personales sobre la unidad de fracciones algebraicas

Herramienta uacutetil para resolver incoacutegnitas que se pueden aplicar en la vida diaria

Define que es una ecuacioacuten lineal los tipos que existen y cuaacuteles son los meacutetodos de

resolucioacuten

Es una ecuacioacuten que representa una liacutenea recta de modelo Y=a+bx a) ordenada al origen (interseccioacuten con y)

b) pendiente (inclinacioacuten)

O bien

Ecuacioacuten de primer grado

Ejemplo graacutefico de ecuaciones lineales

Una ecuacioacuten de primer grado o ecuacioacuten lineal es un planteamiento de igualdad

involucrando una o maacutes variables a la primera potencia que no contiene productos entre

las variables es decir una ecuacioacuten que involucra solamente sumas y restas de una

variable a la primera potencia En el sistema cartesiano representan rectas Una forma

comuacuten de ecuaciones lineales es

Donde representa la pendiente y el valor de determina la ordenada al origen (el

punto donde la recta corta al eje y)

Las ecuaciones en las que aparece el teacutermino (llamado rectangular) no son

consideradas lineales Algunos ejemplos de ecuaciones lineales

Tipos de ecuacioacuten lineal

Define que es una ecuacioacuten lineal los tipos que existen y cuaacuteles son los meacutetodos de

resolucioacuten

Es una ecuacioacuten que representa una liacutenea recta de modelo Y=a+bx a) ordenada al origen (interseccioacuten con y)

b) pendiente (inclinacioacuten)

O bien

Ecuacioacuten de primer grado

Ejemplo graacutefico de ecuaciones lineales

Una ecuacioacuten de primer grado o ecuacioacuten lineal es un planteamiento de igualdad

involucrando una o maacutes variables a la primera potencia que no contiene productos entre

las variables es decir una ecuacioacuten que involucra solamente sumas y restas de una

variable a la primera potencia En el sistema cartesiano representan rectas Una forma

comuacuten de ecuaciones lineales es

Donde representa la pendiente y el valor de determina la ordenada al origen (el

punto donde la recta corta al eje y)

Las ecuaciones en las que aparece el teacutermino (llamado rectangular) no son

consideradas lineales Algunos ejemplos de ecuaciones lineales

Tipos de ecuacioacuten lineal

Ecuacioacuten con una incoacutegnita

spades Todos los valores se multiplican entre si

clubs se suman o restan todos los valores con x

hearts se suman o restan todos los valores con

diams Se reacomodan

loz se suman o restan seguacuten sea el caso

Ejemplo

4(2x+1)-5(x+4)+3(x-2)=7(x+3)-2x+3(x+5)

8x+4-5x-20+3x-6=7x+21-2x+3x+15

6x-22=8x+36

6x-8x=36+22

-2x=58

X=58 = -29 2

Grafica de ecuaciones lineales spades Una ecuacioacuten se convierte en una funcioacuten

clubs Tabular

Ejemplo y=3x-5

3x-5

X Y 3x-5=0 53=166

0 -5

1 -2

Dos incoacutegnitas

a) suma-resta

spades elegir una variable para eliminar cruzando sus coeficientes y cambiando el signo a

uno de ellos

clubs multiplicar sumar y restar

hearts obtener el valor

diams despejar la otra variable y sustituir el valor

Ejemplo

(-5) 2x+3y=7

(2) 5x-2y=-3

(-5) 2x+3y=7 x=7-3y=7-3x (41)

2 2 19

(2) 5x-2y=-3

-10x-15y=-35 x=5

10x -4y=-6 19

-19y=-41

Y=41

19

Igualacioacuten

spades despejar la misma variable de ambas ecuaciones

clubs igualar los despejes

hearts hacer operaciones hasta encontrar el valor de la literal

diams sustituir en uno de los dos despejes para obtener el segundo valor Ejemplo

4ordf-3b=6 a=6+3b= 6+3(-34) =a=9 5ordf+2b=-1 4 23 23 4 A=a 6+3b=-1-2b 4 5 5(6+3b) =4(-1-2b)

30+15b=-4-8b a=-1-2b=

15b+8b=-4-30 5

23b=-34

b=-34

23

Determinantes (Regla de Cramer)

La regla de Cramer s i rve para reso lver s i s temas de

ecuac iones l inea les Se ap l i ca a s i s temas que cumplan l as dos

cond ic iones s iguientes

E l nuacutemero de ecuaciones es igua l a l nuacutemero de incoacutegnitas

E l determinante de la matr i z de los coef i c ientes es dist into

de cero

Tales sistemas se denominan sistemas de Cramer

spades primero se abren dos []

clubs se desmenuza la ecuacioacuten

hearts se abren dos []

diams se multiplican

loz se suman o restan

Ejemplo

4x-2y=7

3x+5y=-3 4 -2 7

3 5 -3 x 7 -2

(-) =35-6=29

26

∆=20+6=26 (-) -3 -5

Y 4 7

= -12-21=-33

3 -3 26

(-)

2- resolver

a) 4(2x-3)+5(x-1)=7(x+2)-(3x+4)

x= 1

9

b) 5x-3+2x=x+1

4 3 2

X=30

34

b) 3(4x+3)+2x-3(2-x)=2+3(x-4)+5x-2

x=9

9

d) 2x+5-3x=x+2 +3x

7 5 2

X=20

267

e)5(2x-3)+4(x+1)-5=2x-3+x

2 3

X=87

76

Graficar a) b) y c)

a) y =5x-1

b) y =2x+3

c) y =12x+2

a)

b)

c)

4) dos automoacuteviles viajan por la misma carretera uno se encuentra delante que el otro El de adelante va a

60kmh y el otro a 70kmh iquestCuaacutento tardara el 2do automoacutevil en rebasar al 1ro

R=116

(Un minuto dieciseacuteis segundos)

Una joyeriacutea vende su mercanciacutea al 50 maacutes cara de su costo Si vende un anillo de diamantes en $1500

iquestCuaacutento pago el proveedor

R=$1125

Resolver las siguientes ecuaciones

a)2x-3y=4

X-4y=7

X=-5 y=10

-5 -5

b)4ordf+b=6

3ordf+5b=10

A= 20 b= 22

17 17

c) m-n=3

3m+4n=9 indefinido

M=21 n= 0

7 7

d) 5p+2q=-3

2p-q = 3

P=-3 q=21

9 9

e) x+2y=8

3x+5y=12

X=16 y=-12

-1 -1

f) 3m+2n=7

M-5n=-2

M= -31 n=13

17 17

g) 2h-i=-5

3h-4i=-2

H= -18 i= -11

-5 -5

7) grafica los incisos a c e y g

a)

c)

e)

g)

8 Se vendieron boletos para una obra de teatro escolar a $4 para adultos y $150 nintildeos Si se vendieron

1000 boletos recaudando $3500 iquestCuaacutentos boletos de cada tipo se vendieron

X=480 nintildeos

Y=695 adultos

9 Si se mezcla una aleacioacuten que tiene 30 de Ag con otra que contiene 55 del mismo metal

para obtener 800 kg de aleacioacuten al 40 iquestqueacute cantidad de cada una debe emplearse

A=1112gr

B=3121gr

Ecuaciones de 2do grado

Definir que es una ecuacioacuten cuadraacutetica

Ecuacioacuten de segundo grado

Los puntos comunes de una paraacutebola con el eje X (recta y=o) si los hubiese son las soluciones reales de la ecuacioacuten

cuadraacutetica

Una ecuacioacuten de segundo grado ecuacioacuten cuadraacutetica o resolvente es una ecuacioacuten polinoacutemica donde el mayor

exponente es igual a dos Normalmente la expresioacuten se refiere al caso en que soacutelo aparece una incoacutegnita y que se expresa en la forma canoacutenica

donde a es el coeficiente cuadraacutetico o de segundo grado y es siempre distinto de 0 b el coeficiente lineal o de primer

grado y c es el teacutermino independiente

Expresada del modo maacutes general una ecuacioacuten cuadraacutetica en es de la forma

Con n un nuacutemero natural y a distinto de cero El caso particular de esta ecuacioacuten donde n = 2 se conoce como

ecuacioacuten bicuadraacutetica

La ecuacioacuten cuadraacutetica es de gran importancia en diversos campos ya que junto con las ecuaciones lineales permiten modelar un gran nuacutemero de relaciones y leyes

Definir que es un nuacutemero real y que es un nuacutemero imaginario

Grafica de ecuaciones lineales spades Una ecuacioacuten se convierte en una funcioacuten

clubs Tabular

Ejemplo y=3x-5

3x-5

X Y 3x-5=0 53=166

0 -5

1 -2

Dos incoacutegnitas

a) suma-resta

spades elegir una variable para eliminar cruzando sus coeficientes y cambiando el signo a

uno de ellos

clubs multiplicar sumar y restar

hearts obtener el valor

diams despejar la otra variable y sustituir el valor

Ejemplo

(-5) 2x+3y=7

(2) 5x-2y=-3

(-5) 2x+3y=7 x=7-3y=7-3x (41)

2 2 19

(2) 5x-2y=-3

-10x-15y=-35 x=5

10x -4y=-6 19

-19y=-41

Y=41

19

Igualacioacuten

spades despejar la misma variable de ambas ecuaciones

clubs igualar los despejes

hearts hacer operaciones hasta encontrar el valor de la literal

diams sustituir en uno de los dos despejes para obtener el segundo valor Ejemplo

4ordf-3b=6 a=6+3b= 6+3(-34) =a=9 5ordf+2b=-1 4 23 23 4 A=a 6+3b=-1-2b 4 5 5(6+3b) =4(-1-2b)

30+15b=-4-8b a=-1-2b=

15b+8b=-4-30 5

23b=-34

b=-34

23

Determinantes (Regla de Cramer)

La regla de Cramer s i rve para reso lver s i s temas de

ecuac iones l inea les Se ap l i ca a s i s temas que cumplan l as dos

cond ic iones s iguientes

E l nuacutemero de ecuaciones es igua l a l nuacutemero de incoacutegnitas

E l determinante de la matr i z de los coef i c ientes es dist into

de cero

Tales sistemas se denominan sistemas de Cramer

spades primero se abren dos []

clubs se desmenuza la ecuacioacuten

hearts se abren dos []

diams se multiplican

loz se suman o restan

Ejemplo

4x-2y=7

3x+5y=-3 4 -2 7

3 5 -3 x 7 -2

(-) =35-6=29

26

∆=20+6=26 (-) -3 -5

Y 4 7

= -12-21=-33

3 -3 26

(-)

2- resolver

a) 4(2x-3)+5(x-1)=7(x+2)-(3x+4)

x= 1

9

b) 5x-3+2x=x+1

4 3 2

X=30

34

b) 3(4x+3)+2x-3(2-x)=2+3(x-4)+5x-2

x=9

9

d) 2x+5-3x=x+2 +3x

7 5 2

X=20

267

e)5(2x-3)+4(x+1)-5=2x-3+x

2 3

X=87

76

Graficar a) b) y c)

a) y =5x-1

b) y =2x+3

c) y =12x+2

a)

b)

c)

4) dos automoacuteviles viajan por la misma carretera uno se encuentra delante que el otro El de adelante va a

60kmh y el otro a 70kmh iquestCuaacutento tardara el 2do automoacutevil en rebasar al 1ro

R=116

(Un minuto dieciseacuteis segundos)

Una joyeriacutea vende su mercanciacutea al 50 maacutes cara de su costo Si vende un anillo de diamantes en $1500

iquestCuaacutento pago el proveedor

R=$1125

Resolver las siguientes ecuaciones

a)2x-3y=4

X-4y=7

X=-5 y=10

-5 -5

b)4ordf+b=6

3ordf+5b=10

A= 20 b= 22

17 17

c) m-n=3

3m+4n=9 indefinido

M=21 n= 0

7 7

d) 5p+2q=-3

2p-q = 3

P=-3 q=21

9 9

e) x+2y=8

3x+5y=12

X=16 y=-12

-1 -1

f) 3m+2n=7

M-5n=-2

M= -31 n=13

17 17

g) 2h-i=-5

3h-4i=-2

H= -18 i= -11

-5 -5

7) grafica los incisos a c e y g

a)

c)

e)

g)

8 Se vendieron boletos para una obra de teatro escolar a $4 para adultos y $150 nintildeos Si se vendieron

1000 boletos recaudando $3500 iquestCuaacutentos boletos de cada tipo se vendieron

X=480 nintildeos

Y=695 adultos

9 Si se mezcla una aleacioacuten que tiene 30 de Ag con otra que contiene 55 del mismo metal

para obtener 800 kg de aleacioacuten al 40 iquestqueacute cantidad de cada una debe emplearse

A=1112gr

B=3121gr

Ecuaciones de 2do grado

Definir que es una ecuacioacuten cuadraacutetica

Ecuacioacuten de segundo grado

Los puntos comunes de una paraacutebola con el eje X (recta y=o) si los hubiese son las soluciones reales de la ecuacioacuten

cuadraacutetica

Una ecuacioacuten de segundo grado ecuacioacuten cuadraacutetica o resolvente es una ecuacioacuten polinoacutemica donde el mayor

exponente es igual a dos Normalmente la expresioacuten se refiere al caso en que soacutelo aparece una incoacutegnita y que se expresa en la forma canoacutenica

donde a es el coeficiente cuadraacutetico o de segundo grado y es siempre distinto de 0 b el coeficiente lineal o de primer

grado y c es el teacutermino independiente

Expresada del modo maacutes general una ecuacioacuten cuadraacutetica en es de la forma

Con n un nuacutemero natural y a distinto de cero El caso particular de esta ecuacioacuten donde n = 2 se conoce como

ecuacioacuten bicuadraacutetica

La ecuacioacuten cuadraacutetica es de gran importancia en diversos campos ya que junto con las ecuaciones lineales permiten modelar un gran nuacutemero de relaciones y leyes

Definir que es un nuacutemero real y que es un nuacutemero imaginario

Dos incoacutegnitas

a) suma-resta

spades elegir una variable para eliminar cruzando sus coeficientes y cambiando el signo a

uno de ellos

clubs multiplicar sumar y restar

hearts obtener el valor

diams despejar la otra variable y sustituir el valor

Ejemplo

(-5) 2x+3y=7

(2) 5x-2y=-3

(-5) 2x+3y=7 x=7-3y=7-3x (41)

2 2 19

(2) 5x-2y=-3

-10x-15y=-35 x=5

10x -4y=-6 19

-19y=-41

Y=41

19

Igualacioacuten

spades despejar la misma variable de ambas ecuaciones

clubs igualar los despejes

hearts hacer operaciones hasta encontrar el valor de la literal

diams sustituir en uno de los dos despejes para obtener el segundo valor Ejemplo

4ordf-3b=6 a=6+3b= 6+3(-34) =a=9 5ordf+2b=-1 4 23 23 4 A=a 6+3b=-1-2b 4 5 5(6+3b) =4(-1-2b)

30+15b=-4-8b a=-1-2b=

15b+8b=-4-30 5

23b=-34

b=-34

23

Determinantes (Regla de Cramer)

La regla de Cramer s i rve para reso lver s i s temas de

ecuac iones l inea les Se ap l i ca a s i s temas que cumplan l as dos

cond ic iones s iguientes

E l nuacutemero de ecuaciones es igua l a l nuacutemero de incoacutegnitas

E l determinante de la matr i z de los coef i c ientes es dist into

de cero

Tales sistemas se denominan sistemas de Cramer

spades primero se abren dos []

clubs se desmenuza la ecuacioacuten

hearts se abren dos []

diams se multiplican

loz se suman o restan

Ejemplo

4x-2y=7

3x+5y=-3 4 -2 7

3 5 -3 x 7 -2

(-) =35-6=29

26

∆=20+6=26 (-) -3 -5

Y 4 7

= -12-21=-33

3 -3 26

(-)

2- resolver

a) 4(2x-3)+5(x-1)=7(x+2)-(3x+4)

x= 1

9

b) 5x-3+2x=x+1

4 3 2

X=30

34

b) 3(4x+3)+2x-3(2-x)=2+3(x-4)+5x-2

x=9

9

d) 2x+5-3x=x+2 +3x

7 5 2

X=20

267

e)5(2x-3)+4(x+1)-5=2x-3+x

2 3

X=87

76

Graficar a) b) y c)

a) y =5x-1

b) y =2x+3

c) y =12x+2

a)

b)

c)

4) dos automoacuteviles viajan por la misma carretera uno se encuentra delante que el otro El de adelante va a

60kmh y el otro a 70kmh iquestCuaacutento tardara el 2do automoacutevil en rebasar al 1ro

R=116

(Un minuto dieciseacuteis segundos)

Una joyeriacutea vende su mercanciacutea al 50 maacutes cara de su costo Si vende un anillo de diamantes en $1500

iquestCuaacutento pago el proveedor

R=$1125

Resolver las siguientes ecuaciones

a)2x-3y=4

X-4y=7

X=-5 y=10

-5 -5

b)4ordf+b=6

3ordf+5b=10

A= 20 b= 22

17 17

c) m-n=3

3m+4n=9 indefinido

M=21 n= 0

7 7

d) 5p+2q=-3

2p-q = 3

P=-3 q=21

9 9

e) x+2y=8

3x+5y=12

X=16 y=-12

-1 -1

f) 3m+2n=7

M-5n=-2

M= -31 n=13

17 17

g) 2h-i=-5

3h-4i=-2

H= -18 i= -11

-5 -5

7) grafica los incisos a c e y g

a)

c)

e)

g)

8 Se vendieron boletos para una obra de teatro escolar a $4 para adultos y $150 nintildeos Si se vendieron

1000 boletos recaudando $3500 iquestCuaacutentos boletos de cada tipo se vendieron

X=480 nintildeos

Y=695 adultos

9 Si se mezcla una aleacioacuten que tiene 30 de Ag con otra que contiene 55 del mismo metal

para obtener 800 kg de aleacioacuten al 40 iquestqueacute cantidad de cada una debe emplearse

A=1112gr

B=3121gr

Ecuaciones de 2do grado

Definir que es una ecuacioacuten cuadraacutetica

Ecuacioacuten de segundo grado

Los puntos comunes de una paraacutebola con el eje X (recta y=o) si los hubiese son las soluciones reales de la ecuacioacuten

cuadraacutetica

Una ecuacioacuten de segundo grado ecuacioacuten cuadraacutetica o resolvente es una ecuacioacuten polinoacutemica donde el mayor

exponente es igual a dos Normalmente la expresioacuten se refiere al caso en que soacutelo aparece una incoacutegnita y que se expresa en la forma canoacutenica

donde a es el coeficiente cuadraacutetico o de segundo grado y es siempre distinto de 0 b el coeficiente lineal o de primer

grado y c es el teacutermino independiente

Expresada del modo maacutes general una ecuacioacuten cuadraacutetica en es de la forma

Con n un nuacutemero natural y a distinto de cero El caso particular de esta ecuacioacuten donde n = 2 se conoce como

ecuacioacuten bicuadraacutetica

La ecuacioacuten cuadraacutetica es de gran importancia en diversos campos ya que junto con las ecuaciones lineales permiten modelar un gran nuacutemero de relaciones y leyes

Definir que es un nuacutemero real y que es un nuacutemero imaginario

Igualacioacuten

spades despejar la misma variable de ambas ecuaciones

clubs igualar los despejes

hearts hacer operaciones hasta encontrar el valor de la literal

diams sustituir en uno de los dos despejes para obtener el segundo valor Ejemplo

4ordf-3b=6 a=6+3b= 6+3(-34) =a=9 5ordf+2b=-1 4 23 23 4 A=a 6+3b=-1-2b 4 5 5(6+3b) =4(-1-2b)

30+15b=-4-8b a=-1-2b=

15b+8b=-4-30 5

23b=-34

b=-34

23

Determinantes (Regla de Cramer)

La regla de Cramer s i rve para reso lver s i s temas de

ecuac iones l inea les Se ap l i ca a s i s temas que cumplan l as dos

cond ic iones s iguientes

E l nuacutemero de ecuaciones es igua l a l nuacutemero de incoacutegnitas

E l determinante de la matr i z de los coef i c ientes es dist into

de cero

Tales sistemas se denominan sistemas de Cramer

spades primero se abren dos []

clubs se desmenuza la ecuacioacuten

hearts se abren dos []

diams se multiplican

loz se suman o restan

Ejemplo

4x-2y=7

3x+5y=-3 4 -2 7

3 5 -3 x 7 -2

(-) =35-6=29

26

∆=20+6=26 (-) -3 -5

Y 4 7

= -12-21=-33

3 -3 26

(-)

2- resolver

a) 4(2x-3)+5(x-1)=7(x+2)-(3x+4)

x= 1

9

b) 5x-3+2x=x+1

4 3 2

X=30

34

b) 3(4x+3)+2x-3(2-x)=2+3(x-4)+5x-2

x=9

9

d) 2x+5-3x=x+2 +3x

7 5 2

X=20

267

e)5(2x-3)+4(x+1)-5=2x-3+x

2 3

X=87

76

Graficar a) b) y c)

a) y =5x-1

b) y =2x+3

c) y =12x+2

a)

b)

c)

4) dos automoacuteviles viajan por la misma carretera uno se encuentra delante que el otro El de adelante va a

60kmh y el otro a 70kmh iquestCuaacutento tardara el 2do automoacutevil en rebasar al 1ro

R=116

(Un minuto dieciseacuteis segundos)

Una joyeriacutea vende su mercanciacutea al 50 maacutes cara de su costo Si vende un anillo de diamantes en $1500

iquestCuaacutento pago el proveedor

R=$1125

Resolver las siguientes ecuaciones

a)2x-3y=4

X-4y=7

X=-5 y=10

-5 -5

b)4ordf+b=6

3ordf+5b=10

A= 20 b= 22

17 17

c) m-n=3

3m+4n=9 indefinido

M=21 n= 0

7 7

d) 5p+2q=-3

2p-q = 3

P=-3 q=21

9 9

e) x+2y=8

3x+5y=12

X=16 y=-12

-1 -1

f) 3m+2n=7

M-5n=-2

M= -31 n=13

17 17

g) 2h-i=-5

3h-4i=-2

H= -18 i= -11

-5 -5

7) grafica los incisos a c e y g

a)

c)

e)

g)

8 Se vendieron boletos para una obra de teatro escolar a $4 para adultos y $150 nintildeos Si se vendieron

1000 boletos recaudando $3500 iquestCuaacutentos boletos de cada tipo se vendieron

X=480 nintildeos

Y=695 adultos

9 Si se mezcla una aleacioacuten que tiene 30 de Ag con otra que contiene 55 del mismo metal

para obtener 800 kg de aleacioacuten al 40 iquestqueacute cantidad de cada una debe emplearse

A=1112gr

B=3121gr

Ecuaciones de 2do grado

Definir que es una ecuacioacuten cuadraacutetica

Ecuacioacuten de segundo grado

Los puntos comunes de una paraacutebola con el eje X (recta y=o) si los hubiese son las soluciones reales de la ecuacioacuten

cuadraacutetica

Una ecuacioacuten de segundo grado ecuacioacuten cuadraacutetica o resolvente es una ecuacioacuten polinoacutemica donde el mayor

exponente es igual a dos Normalmente la expresioacuten se refiere al caso en que soacutelo aparece una incoacutegnita y que se expresa en la forma canoacutenica

donde a es el coeficiente cuadraacutetico o de segundo grado y es siempre distinto de 0 b el coeficiente lineal o de primer

grado y c es el teacutermino independiente

Expresada del modo maacutes general una ecuacioacuten cuadraacutetica en es de la forma

Con n un nuacutemero natural y a distinto de cero El caso particular de esta ecuacioacuten donde n = 2 se conoce como

ecuacioacuten bicuadraacutetica

La ecuacioacuten cuadraacutetica es de gran importancia en diversos campos ya que junto con las ecuaciones lineales permiten modelar un gran nuacutemero de relaciones y leyes

Definir que es un nuacutemero real y que es un nuacutemero imaginario

Determinantes (Regla de Cramer)

La regla de Cramer s i rve para reso lver s i s temas de

ecuac iones l inea les Se ap l i ca a s i s temas que cumplan l as dos

cond ic iones s iguientes

E l nuacutemero de ecuaciones es igua l a l nuacutemero de incoacutegnitas

E l determinante de la matr i z de los coef i c ientes es dist into

de cero

Tales sistemas se denominan sistemas de Cramer

spades primero se abren dos []

clubs se desmenuza la ecuacioacuten

hearts se abren dos []

diams se multiplican

loz se suman o restan

Ejemplo

4x-2y=7

3x+5y=-3 4 -2 7

3 5 -3 x 7 -2

(-) =35-6=29

26

∆=20+6=26 (-) -3 -5

Y 4 7

= -12-21=-33

3 -3 26

(-)

2- resolver

a) 4(2x-3)+5(x-1)=7(x+2)-(3x+4)

x= 1

9

b) 5x-3+2x=x+1

4 3 2

X=30

34

b) 3(4x+3)+2x-3(2-x)=2+3(x-4)+5x-2

x=9

9

d) 2x+5-3x=x+2 +3x

7 5 2

X=20

267

e)5(2x-3)+4(x+1)-5=2x-3+x

2 3

X=87

76

Graficar a) b) y c)

a) y =5x-1

b) y =2x+3

c) y =12x+2

a)

b)

c)

4) dos automoacuteviles viajan por la misma carretera uno se encuentra delante que el otro El de adelante va a

60kmh y el otro a 70kmh iquestCuaacutento tardara el 2do automoacutevil en rebasar al 1ro

R=116

(Un minuto dieciseacuteis segundos)

Una joyeriacutea vende su mercanciacutea al 50 maacutes cara de su costo Si vende un anillo de diamantes en $1500

iquestCuaacutento pago el proveedor

R=$1125

Resolver las siguientes ecuaciones

a)2x-3y=4

X-4y=7

X=-5 y=10

-5 -5

b)4ordf+b=6

3ordf+5b=10

A= 20 b= 22

17 17

c) m-n=3

3m+4n=9 indefinido

M=21 n= 0

7 7

d) 5p+2q=-3

2p-q = 3

P=-3 q=21

9 9

e) x+2y=8

3x+5y=12

X=16 y=-12

-1 -1

f) 3m+2n=7

M-5n=-2

M= -31 n=13

17 17

g) 2h-i=-5

3h-4i=-2

H= -18 i= -11

-5 -5

7) grafica los incisos a c e y g

a)

c)

e)

g)

8 Se vendieron boletos para una obra de teatro escolar a $4 para adultos y $150 nintildeos Si se vendieron

1000 boletos recaudando $3500 iquestCuaacutentos boletos de cada tipo se vendieron

X=480 nintildeos

Y=695 adultos

9 Si se mezcla una aleacioacuten que tiene 30 de Ag con otra que contiene 55 del mismo metal

para obtener 800 kg de aleacioacuten al 40 iquestqueacute cantidad de cada una debe emplearse

A=1112gr

B=3121gr

Ecuaciones de 2do grado

Definir que es una ecuacioacuten cuadraacutetica

Ecuacioacuten de segundo grado

Los puntos comunes de una paraacutebola con el eje X (recta y=o) si los hubiese son las soluciones reales de la ecuacioacuten

cuadraacutetica

Una ecuacioacuten de segundo grado ecuacioacuten cuadraacutetica o resolvente es una ecuacioacuten polinoacutemica donde el mayor

exponente es igual a dos Normalmente la expresioacuten se refiere al caso en que soacutelo aparece una incoacutegnita y que se expresa en la forma canoacutenica

donde a es el coeficiente cuadraacutetico o de segundo grado y es siempre distinto de 0 b el coeficiente lineal o de primer

grado y c es el teacutermino independiente

Expresada del modo maacutes general una ecuacioacuten cuadraacutetica en es de la forma

Con n un nuacutemero natural y a distinto de cero El caso particular de esta ecuacioacuten donde n = 2 se conoce como

ecuacioacuten bicuadraacutetica

La ecuacioacuten cuadraacutetica es de gran importancia en diversos campos ya que junto con las ecuaciones lineales permiten modelar un gran nuacutemero de relaciones y leyes

Definir que es un nuacutemero real y que es un nuacutemero imaginario

2- resolver

a) 4(2x-3)+5(x-1)=7(x+2)-(3x+4)

x= 1

9

b) 5x-3+2x=x+1

4 3 2

X=30

34

b) 3(4x+3)+2x-3(2-x)=2+3(x-4)+5x-2

x=9

9

d) 2x+5-3x=x+2 +3x

7 5 2

X=20

267

e)5(2x-3)+4(x+1)-5=2x-3+x

2 3

X=87

76

Graficar a) b) y c)

a) y =5x-1

b) y =2x+3

c) y =12x+2

a)

b)

c)

4) dos automoacuteviles viajan por la misma carretera uno se encuentra delante que el otro El de adelante va a

60kmh y el otro a 70kmh iquestCuaacutento tardara el 2do automoacutevil en rebasar al 1ro

R=116

(Un minuto dieciseacuteis segundos)

Una joyeriacutea vende su mercanciacutea al 50 maacutes cara de su costo Si vende un anillo de diamantes en $1500

iquestCuaacutento pago el proveedor

R=$1125

Resolver las siguientes ecuaciones

a)2x-3y=4

X-4y=7

X=-5 y=10

-5 -5

b)4ordf+b=6

3ordf+5b=10

A= 20 b= 22

17 17

c) m-n=3

3m+4n=9 indefinido

M=21 n= 0

7 7

d) 5p+2q=-3

2p-q = 3

P=-3 q=21

9 9

e) x+2y=8

3x+5y=12

X=16 y=-12

-1 -1

f) 3m+2n=7

M-5n=-2

M= -31 n=13

17 17

g) 2h-i=-5

3h-4i=-2

H= -18 i= -11

-5 -5

7) grafica los incisos a c e y g

a)

c)

e)

g)

8 Se vendieron boletos para una obra de teatro escolar a $4 para adultos y $150 nintildeos Si se vendieron

1000 boletos recaudando $3500 iquestCuaacutentos boletos de cada tipo se vendieron

X=480 nintildeos

Y=695 adultos

9 Si se mezcla una aleacioacuten que tiene 30 de Ag con otra que contiene 55 del mismo metal

para obtener 800 kg de aleacioacuten al 40 iquestqueacute cantidad de cada una debe emplearse

A=1112gr

B=3121gr

Ecuaciones de 2do grado

Definir que es una ecuacioacuten cuadraacutetica

Ecuacioacuten de segundo grado

Los puntos comunes de una paraacutebola con el eje X (recta y=o) si los hubiese son las soluciones reales de la ecuacioacuten

cuadraacutetica

Una ecuacioacuten de segundo grado ecuacioacuten cuadraacutetica o resolvente es una ecuacioacuten polinoacutemica donde el mayor

exponente es igual a dos Normalmente la expresioacuten se refiere al caso en que soacutelo aparece una incoacutegnita y que se expresa en la forma canoacutenica

donde a es el coeficiente cuadraacutetico o de segundo grado y es siempre distinto de 0 b el coeficiente lineal o de primer

grado y c es el teacutermino independiente

Expresada del modo maacutes general una ecuacioacuten cuadraacutetica en es de la forma

Con n un nuacutemero natural y a distinto de cero El caso particular de esta ecuacioacuten donde n = 2 se conoce como

ecuacioacuten bicuadraacutetica

La ecuacioacuten cuadraacutetica es de gran importancia en diversos campos ya que junto con las ecuaciones lineales permiten modelar un gran nuacutemero de relaciones y leyes

Definir que es un nuacutemero real y que es un nuacutemero imaginario

b)

c)

4) dos automoacuteviles viajan por la misma carretera uno se encuentra delante que el otro El de adelante va a

60kmh y el otro a 70kmh iquestCuaacutento tardara el 2do automoacutevil en rebasar al 1ro

R=116

(Un minuto dieciseacuteis segundos)

Una joyeriacutea vende su mercanciacutea al 50 maacutes cara de su costo Si vende un anillo de diamantes en $1500

iquestCuaacutento pago el proveedor

R=$1125

Resolver las siguientes ecuaciones

a)2x-3y=4

X-4y=7

X=-5 y=10

-5 -5

b)4ordf+b=6

3ordf+5b=10

A= 20 b= 22

17 17

c) m-n=3

3m+4n=9 indefinido

M=21 n= 0

7 7

d) 5p+2q=-3

2p-q = 3

P=-3 q=21

9 9

e) x+2y=8

3x+5y=12

X=16 y=-12

-1 -1

f) 3m+2n=7

M-5n=-2

M= -31 n=13

17 17

g) 2h-i=-5

3h-4i=-2

H= -18 i= -11

-5 -5

7) grafica los incisos a c e y g

a)

c)

e)

g)

8 Se vendieron boletos para una obra de teatro escolar a $4 para adultos y $150 nintildeos Si se vendieron

1000 boletos recaudando $3500 iquestCuaacutentos boletos de cada tipo se vendieron

X=480 nintildeos

Y=695 adultos

9 Si se mezcla una aleacioacuten que tiene 30 de Ag con otra que contiene 55 del mismo metal

para obtener 800 kg de aleacioacuten al 40 iquestqueacute cantidad de cada una debe emplearse

A=1112gr

B=3121gr

Ecuaciones de 2do grado

Definir que es una ecuacioacuten cuadraacutetica

Ecuacioacuten de segundo grado

Los puntos comunes de una paraacutebola con el eje X (recta y=o) si los hubiese son las soluciones reales de la ecuacioacuten

cuadraacutetica

Una ecuacioacuten de segundo grado ecuacioacuten cuadraacutetica o resolvente es una ecuacioacuten polinoacutemica donde el mayor

exponente es igual a dos Normalmente la expresioacuten se refiere al caso en que soacutelo aparece una incoacutegnita y que se expresa en la forma canoacutenica

donde a es el coeficiente cuadraacutetico o de segundo grado y es siempre distinto de 0 b el coeficiente lineal o de primer

grado y c es el teacutermino independiente

Expresada del modo maacutes general una ecuacioacuten cuadraacutetica en es de la forma

Con n un nuacutemero natural y a distinto de cero El caso particular de esta ecuacioacuten donde n = 2 se conoce como

ecuacioacuten bicuadraacutetica

La ecuacioacuten cuadraacutetica es de gran importancia en diversos campos ya que junto con las ecuaciones lineales permiten modelar un gran nuacutemero de relaciones y leyes

Definir que es un nuacutemero real y que es un nuacutemero imaginario

4) dos automoacuteviles viajan por la misma carretera uno se encuentra delante que el otro El de adelante va a

60kmh y el otro a 70kmh iquestCuaacutento tardara el 2do automoacutevil en rebasar al 1ro

R=116

(Un minuto dieciseacuteis segundos)

Una joyeriacutea vende su mercanciacutea al 50 maacutes cara de su costo Si vende un anillo de diamantes en $1500

iquestCuaacutento pago el proveedor

R=$1125

Resolver las siguientes ecuaciones

a)2x-3y=4

X-4y=7

X=-5 y=10

-5 -5

b)4ordf+b=6

3ordf+5b=10

A= 20 b= 22

17 17

c) m-n=3

3m+4n=9 indefinido

M=21 n= 0

7 7

d) 5p+2q=-3

2p-q = 3

P=-3 q=21

9 9

e) x+2y=8

3x+5y=12

X=16 y=-12

-1 -1

f) 3m+2n=7

M-5n=-2

M= -31 n=13

17 17

g) 2h-i=-5

3h-4i=-2

H= -18 i= -11

-5 -5

7) grafica los incisos a c e y g

a)

c)

e)

g)

8 Se vendieron boletos para una obra de teatro escolar a $4 para adultos y $150 nintildeos Si se vendieron

1000 boletos recaudando $3500 iquestCuaacutentos boletos de cada tipo se vendieron

X=480 nintildeos

Y=695 adultos

9 Si se mezcla una aleacioacuten que tiene 30 de Ag con otra que contiene 55 del mismo metal

para obtener 800 kg de aleacioacuten al 40 iquestqueacute cantidad de cada una debe emplearse

A=1112gr

B=3121gr

Ecuaciones de 2do grado

Definir que es una ecuacioacuten cuadraacutetica

Ecuacioacuten de segundo grado

Los puntos comunes de una paraacutebola con el eje X (recta y=o) si los hubiese son las soluciones reales de la ecuacioacuten

cuadraacutetica

Una ecuacioacuten de segundo grado ecuacioacuten cuadraacutetica o resolvente es una ecuacioacuten polinoacutemica donde el mayor

exponente es igual a dos Normalmente la expresioacuten se refiere al caso en que soacutelo aparece una incoacutegnita y que se expresa en la forma canoacutenica

donde a es el coeficiente cuadraacutetico o de segundo grado y es siempre distinto de 0 b el coeficiente lineal o de primer

grado y c es el teacutermino independiente

Expresada del modo maacutes general una ecuacioacuten cuadraacutetica en es de la forma

Con n un nuacutemero natural y a distinto de cero El caso particular de esta ecuacioacuten donde n = 2 se conoce como

ecuacioacuten bicuadraacutetica

La ecuacioacuten cuadraacutetica es de gran importancia en diversos campos ya que junto con las ecuaciones lineales permiten modelar un gran nuacutemero de relaciones y leyes

Definir que es un nuacutemero real y que es un nuacutemero imaginario

7) grafica los incisos a c e y g

a)

c)

e)

g)

8 Se vendieron boletos para una obra de teatro escolar a $4 para adultos y $150 nintildeos Si se vendieron

1000 boletos recaudando $3500 iquestCuaacutentos boletos de cada tipo se vendieron

X=480 nintildeos

Y=695 adultos

9 Si se mezcla una aleacioacuten que tiene 30 de Ag con otra que contiene 55 del mismo metal

para obtener 800 kg de aleacioacuten al 40 iquestqueacute cantidad de cada una debe emplearse

A=1112gr

B=3121gr

Ecuaciones de 2do grado

Definir que es una ecuacioacuten cuadraacutetica

Ecuacioacuten de segundo grado

Los puntos comunes de una paraacutebola con el eje X (recta y=o) si los hubiese son las soluciones reales de la ecuacioacuten

cuadraacutetica

Una ecuacioacuten de segundo grado ecuacioacuten cuadraacutetica o resolvente es una ecuacioacuten polinoacutemica donde el mayor

exponente es igual a dos Normalmente la expresioacuten se refiere al caso en que soacutelo aparece una incoacutegnita y que se expresa en la forma canoacutenica

donde a es el coeficiente cuadraacutetico o de segundo grado y es siempre distinto de 0 b el coeficiente lineal o de primer

grado y c es el teacutermino independiente

Expresada del modo maacutes general una ecuacioacuten cuadraacutetica en es de la forma

Con n un nuacutemero natural y a distinto de cero El caso particular de esta ecuacioacuten donde n = 2 se conoce como

ecuacioacuten bicuadraacutetica

La ecuacioacuten cuadraacutetica es de gran importancia en diversos campos ya que junto con las ecuaciones lineales permiten modelar un gran nuacutemero de relaciones y leyes

Definir que es un nuacutemero real y que es un nuacutemero imaginario

e)

g)

8 Se vendieron boletos para una obra de teatro escolar a $4 para adultos y $150 nintildeos Si se vendieron

1000 boletos recaudando $3500 iquestCuaacutentos boletos de cada tipo se vendieron

X=480 nintildeos

Y=695 adultos

9 Si se mezcla una aleacioacuten que tiene 30 de Ag con otra que contiene 55 del mismo metal

para obtener 800 kg de aleacioacuten al 40 iquestqueacute cantidad de cada una debe emplearse

A=1112gr

B=3121gr

Ecuaciones de 2do grado

Definir que es una ecuacioacuten cuadraacutetica

Ecuacioacuten de segundo grado

Los puntos comunes de una paraacutebola con el eje X (recta y=o) si los hubiese son las soluciones reales de la ecuacioacuten

cuadraacutetica

Una ecuacioacuten de segundo grado ecuacioacuten cuadraacutetica o resolvente es una ecuacioacuten polinoacutemica donde el mayor

exponente es igual a dos Normalmente la expresioacuten se refiere al caso en que soacutelo aparece una incoacutegnita y que se expresa en la forma canoacutenica

donde a es el coeficiente cuadraacutetico o de segundo grado y es siempre distinto de 0 b el coeficiente lineal o de primer

grado y c es el teacutermino independiente

Expresada del modo maacutes general una ecuacioacuten cuadraacutetica en es de la forma

Con n un nuacutemero natural y a distinto de cero El caso particular de esta ecuacioacuten donde n = 2 se conoce como

ecuacioacuten bicuadraacutetica

La ecuacioacuten cuadraacutetica es de gran importancia en diversos campos ya que junto con las ecuaciones lineales permiten modelar un gran nuacutemero de relaciones y leyes

Definir que es un nuacutemero real y que es un nuacutemero imaginario

8 Se vendieron boletos para una obra de teatro escolar a $4 para adultos y $150 nintildeos Si se vendieron

1000 boletos recaudando $3500 iquestCuaacutentos boletos de cada tipo se vendieron

X=480 nintildeos

Y=695 adultos

9 Si se mezcla una aleacioacuten que tiene 30 de Ag con otra que contiene 55 del mismo metal

para obtener 800 kg de aleacioacuten al 40 iquestqueacute cantidad de cada una debe emplearse

A=1112gr

B=3121gr

Ecuaciones de 2do grado

Definir que es una ecuacioacuten cuadraacutetica

Ecuacioacuten de segundo grado

Los puntos comunes de una paraacutebola con el eje X (recta y=o) si los hubiese son las soluciones reales de la ecuacioacuten

cuadraacutetica

Una ecuacioacuten de segundo grado ecuacioacuten cuadraacutetica o resolvente es una ecuacioacuten polinoacutemica donde el mayor

exponente es igual a dos Normalmente la expresioacuten se refiere al caso en que soacutelo aparece una incoacutegnita y que se expresa en la forma canoacutenica

donde a es el coeficiente cuadraacutetico o de segundo grado y es siempre distinto de 0 b el coeficiente lineal o de primer

grado y c es el teacutermino independiente

Expresada del modo maacutes general una ecuacioacuten cuadraacutetica en es de la forma

Con n un nuacutemero natural y a distinto de cero El caso particular de esta ecuacioacuten donde n = 2 se conoce como

ecuacioacuten bicuadraacutetica

La ecuacioacuten cuadraacutetica es de gran importancia en diversos campos ya que junto con las ecuaciones lineales permiten modelar un gran nuacutemero de relaciones y leyes

Definir que es un nuacutemero real y que es un nuacutemero imaginario

Ecuaciones de 2do grado

Definir que es una ecuacioacuten cuadraacutetica

Ecuacioacuten de segundo grado

Los puntos comunes de una paraacutebola con el eje X (recta y=o) si los hubiese son las soluciones reales de la ecuacioacuten

cuadraacutetica

Una ecuacioacuten de segundo grado ecuacioacuten cuadraacutetica o resolvente es una ecuacioacuten polinoacutemica donde el mayor

exponente es igual a dos Normalmente la expresioacuten se refiere al caso en que soacutelo aparece una incoacutegnita y que se expresa en la forma canoacutenica

donde a es el coeficiente cuadraacutetico o de segundo grado y es siempre distinto de 0 b el coeficiente lineal o de primer

grado y c es el teacutermino independiente

Expresada del modo maacutes general una ecuacioacuten cuadraacutetica en es de la forma

Con n un nuacutemero natural y a distinto de cero El caso particular de esta ecuacioacuten donde n = 2 se conoce como

ecuacioacuten bicuadraacutetica

La ecuacioacuten cuadraacutetica es de gran importancia en diversos campos ya que junto con las ecuaciones lineales permiten modelar un gran nuacutemero de relaciones y leyes

Definir que es un nuacutemero real y que es un nuacutemero imaginario

Nuacutemero complejo

Ilustracioacuten del plano complejo Los nuacutemeros reales se encuentran en el eje de coordenadas horizontal y los

imaginarios en el eje vertical

El teacutermino nuacutemero complejo describe la suma de un nuacutemero real y un nuacutemero imaginario (que es un muacuteltiplo real de

la unidad imaginaria que se indica con la letra i) Los nuacutemeros complejos se utilizan en todos los campos de las

matemaacuteticas en muchos de la fiacutesica (y notoriamente en la mecaacutenica cuaacutentica) y en ingenieriacutea especialmente en la

electroacutenica y las telecomunicaciones por su utilidad para representar las ondas electromagneacuteticas y la corriente eleacutectrica

En matemaacuteticas los nuacutemeros constituyen un cuerpo y en general se consideran como puntos del plano el plano

complejo La propiedad maacutes importante que caracteriza a los nuacutemeros complejos es el teorema fundamental del aacutelgebra que afirma que cualquier ecuacioacuten algebraica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas

Los nuacutemeros complejos son una extensioacuten de los nuacutemeros reales cumplieacutendose que Los nuacutemeros

complejos representan todas las raiacuteces de los polinomios a diferencia de los reales

Los nuacutemeros complejos son la herramienta de trabajo del aacutelgebra ordinaria llamada aacutelgebra de los nuacutemeros

complejos asiacute como de ramas de las matemaacuteticas puras y aplicadas como variable compleja aerodinaacutemica y

electromagnetismo entre otras de gran importancia

Contienen a los nuacutemeros reales y los imaginarios puros y constituyen una de las construcciones teoacutericas maacutes

importantes de la inteligencia humana Los anaacutelogos del caacutelculo diferencial e integral con nuacutemeros complejos reciben el nombre de variable compleja o anaacutelisis complejo

Resolver las siguientes ecuaciones cuadraacuteticas

FORMULA GENERAL

+

X b- b2 - 4 a c

7 x2- 21x=0 A= b= c=0

4x2 16 0

92 ndash 3ordf + 2 ndash 0 x1= 040

x2=024

9m2 + 2m ndash 5 = 0 x1=117

X2=106

X2 3x 0

5x2 + 10 ndash 0 A= b= c=0

7 y2 ndash 3y ndash 10 = 0 x1= 048

X2=042

2x2 + 1 0 A= b= c=0

8x2 ndash 7x -0 A= b= c=0

A2 ndash 25 ndash 0 A= b= c=0

A= b= c=

iquestQueeeee

iquestQueeeee

Nota

Las ecuaciones no resueltas no son

adecuadas al sistema

X b

b2 - 4 a c

No se realizaron las demaacutes

ecuaciones ya que carezco de la

informacioacuten necesaria pues con

anterioridad presenteacute mi receta

meacutedica donde se me permitieron 3

diacuteas de descanso en el cual no se

me informoacute sobre eacuteste trabajo en

particular A= b= c=

CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES

Dado un problema determinar la ecuacioacuten lineal cuadraacutetica o el sistema de ecuaciones con que se

puede resolver y viceversa proponer una situacioacuten que se modele con una de esas representaciones

CONOCIMIENTOS

En ocasiones un problema lo podemos resolver con un procedimiento aritmeacutetico pero

resulta maacutes eficiente el uso de ecuaciones para la solucioacuten Este tipo de ecuaciones

recuerda que pueden ser lineales o cuadraacuteticas

Ecuacioacuten lineal

5x + 8 = 2x + 20

5x ndash 2x = 20 ndash 8

3x = 12

X = 12

3

X = 4

Ecuacioacuten cuadraacutetica

X2-2x ndash 15 = 0

X= -b +- b2 ndash 4 ac

2ordf

A= 1 b= -2 c= -15

X = -(-2) +- (-2)2 -4(1)(-15)

2(1)

X1=5 x2= -3

4 Graficar las siguientes funciones cuadraacuteticas

y=x2 ndash 5x - 6

y=x2 ndash 1

y = x2 +4

FIN

DEL

TERCER

PARCIAL

SEMESTRAL

CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES

Dado un problema determinar la ecuacioacuten lineal cuadraacutetica o el sistema de ecuaciones con que se

puede resolver y viceversa proponer una situacioacuten que se modele con una de esas representaciones

CONOCIMIENTOS

En ocasiones un problema lo podemos resolver con un procedimiento aritmeacutetico pero

resulta maacutes eficiente el uso de ecuaciones para la solucioacuten Este tipo de ecuaciones

recuerda que pueden ser lineales o cuadraacuteticas

Ecuacioacuten lineal

5x + 8 = 2x + 20

5x ndash 2x = 20 ndash 8

3x = 12

X = 12

3

X = 4

Ecuacioacuten cuadraacutetica

X2-2x ndash 15 = 0

X= -b +- b2 ndash 4 ac

2ordf

A= 1 b= -2 c= -15

X = -(-2) +- (-2)2 -4(1)(-15)

2(1)

X1=5 x2= -3

4 Graficar las siguientes funciones cuadraacuteticas

y=x2 ndash 5x - 6

y=x2 ndash 1

y = x2 +4

FIN

DEL

TERCER

PARCIAL

SEMESTRAL

4 Graficar las siguientes funciones cuadraacuteticas

y=x2 ndash 5x - 6

y=x2 ndash 1

y = x2 +4

FIN

DEL

TERCER

PARCIAL

SEMESTRAL

FIN

DEL

TERCER

PARCIAL

SEMESTRAL