geometría anual ade 2015

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  • 11 22 33 44

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    Boletn Virtual: Geometra

  • . . .

    Geometra

    2

    Definiciones primitivas, segmentos y ngulos

    NIVEL BSICO

    1. Sobre una lnea recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D. B es punto medio de AC y CD=2BC. Si AD=40, calcule AB.

    A) 20 B) 10 C) 5D) 30 E) 25

    2. Sobre una lnea recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D adems B es punto medio de AD. Si AD=30 y CD=12, calcule BC.

    A) 1 B) 3 C) 4D) 5 E) 2

    3. De una lnea recta se toman los puntos con-secutivos A, B, C y D, de modo que AD=30, AC=14 y BD=20. Calcule BC.

    A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6

    4. Sobre una lnea recta se ubican los puntos con-secutivos A, B, C, D y E. Si DE=2(AB), BC=CD y AC=13, calcule BE.

    A) 12 B) 26 C) 18D) 20 E) 24

    5. Si Sa=3Ca, donde S y C representan el suple-mento y complemento de la medida de un n-gulo, respectivamente, calcule a.

    A) 35B) 45C) 40D) 30E) 12

    6. Segn el grfico

    m m m AOB BOC COA

    5 6 7= =

    Calcule m AOB.

    A

    B

    C

    O

    A) 20 B) 40 C) 100D) 140 E) 50

    7. De acuerdo con el grfico, OM

    y ON

    son las bisectrices de los ngulos AOB y COD, respec-tivamente. Calcule la mAOB si

    m m m AOB BOC COD2 4 6

    = =

    A

    M B C

    N

    D

    O

    64

    A) 30 B) 32 C) 24D) 16 E) 40

    8. En una lnea recta se ubican los puntos conse-cutivos A, B, C, D y E.

    Si ABBC CD DE= = =2 3 4

    y AC=9, halle AE.

    A) 20 B) 30 C) 40D) 27 E) 21

  • . . .

    Geometra

    3

    NIVEL INTERMEDIO

    9. Sobre una recta se tienen los puntos consecu-tivos A, B, C, D y E, de modo que AE=4BD y AD+BE=80. Halle AB+DE.

    A) 80 B) 16 C) 48D) 64 E) 32

    10. En una recta se ubican los puntos consecuti-vos M, N, P, Q y R. F y Q son los puntos me-dios de MN y PR, respectivamente, NP=4 y 2PF+PR=18. Calcule FN+QR.

    A) 4 B) 9 C) 8D) 5 E) 10

    11. En el grfico, m BOD=90 y m AOD m AOB=20. Halle m COD.

    O

    D

    B

    CA

    A) 55 B) 35 C) 25D) 40 E) 30

    12. Se trazan n ngulos consecutivos alrededor de un punto. Si la suma de medidas de sus com-plementos es 810, halle n.

    A) 7 B) 8 C) 9D) 10 E) 13

    NIVEL AVANZADO

    13. De una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y D, de modo que AC=12. Si M y N son los puntos medios de AB y CD, respectivamente, adems MN=16, calcule BD.

    A) 16 B) 12 C) 18D) 15 E) 20

    14. Calcule la medida de un ngulo si se sabe que los tres cuartos del suplemento de su comple-mento es 90.

    A) 15 B) 30 C) 45D) 60 E) 75

    15. Si + = C S4 2 10

    , donde S y C representan

    el suplemento y complemento de un ngulo,

    respectivamente, calcule S2a.

    A) 50 B) 100 C) 80D) 160 E) 130

  • . . .

    Geometra

    4

    ngulos entre rectas paralelas

    NIVEL BSICO

    1. Segn el grfico, si L L

    1 2// , calcule a+b+q+w.

    L 2

    L 1

    A) 180 B) 360 C) 540D) 270 E) 450

    2. Si L L

    1 2// y L L

    3 4// , calcule x+y+z.

    L 1

    L 3

    L 2

    L 4

    30

    y

    y

    x

    z

    130

    A) 160 B) 80 C) 150D) 50 E) 40

    3. Si L L

    1 2// , calcule x.

    44

    x

    L 2L 1

    A) 90 B) 135 C) 120

    D) 144 E) 108

    4. Segn el grfico, si L L

    1 2// , calcule a+b.

    2 L 1

    L 2

    A) 36

    B) 95

    C) 60

    D) 72

    E) 80

    5. Si L L L

    1 2 3// // , calcule x.

    L 1

    L 2

    L 3

    x+50

    150

    x+30

    140x

    2x

    A) 10

    B) 20

    C) 30

    D) 35

    E) 15

  • . . .

    Geometra

    5

    6. A partir del grfico, calcule x si a+b=140 y L L

    1 2// .

    L 1

    L 2

    mm

    n

    x

    n

    A) 50 B) 110 C) 80D) 160 E) 130

    7. En el grfico mostrado, L L

    1 2// , calcule x si q b=40.

    L 1

    L 2

    x

    A) 40 B) 20 C) 30D) 50 E) 60

    8. Si L L

    1 2// , calcule x.

    L 2

    L 1

    x

    x

    120

    A) 45 B) 20 C) 30D) 37 E) 60

    NIVEL INTERMEDIO

    9. Segn el grfico, calcule x.

    x 4x

    A) 50 B) 20 C) 30D) 18 E) 36

    10. En el grfico, si L L

    1 2// , calcule x.

    L 2

    L 1

    30

    40

    2x

    A) 10 B) 20 C) 30D) 35 E) 15

    11. Si L L

    1 2// , calcule x.

    L 2

    L 1

    120

    x

    140

    A) 60 B) 120 C) 80D) 110 E) 100

  • . . .

    Geometra

    6

    12. Si L L

    1 2// y a+b+q=135, calcule x+y.

    L 1

    L 2

    x y

    76

    50

    A) 109 B) 93 C) 97D) 114 E) 100

    NIVEL AVANZADO

    13. Si L L

    1 2// , calcule w+q.

    L 2

    L 1

    20

    80

    A) 60 B) 120 C) 80D) 140 E) 100

    14. Si L L

    1 2// , calcule x.

    L 2

    L 1m+n n

    4xx

    a

    a

    m

    A) 30 B) 18 C) 24D) 36 E) 37

    15. Segn el grfico, L L

    1 2// , BP

    es bisectriz del ngulo ABC, m+a=70 y n a=100.

    Calcule x.

    L 1

    L 2

    m

    x

    aA

    B

    Cn

    P

    A) 60 B) 50 C) 30D) 70 E) 80

  • . . .

    Geometra

    7

    Tringulo

    NIVEL BSICO

    1. Segn el grfico, calcule x.

    20

    65 110 3050

    x

    A) 45 B) 60 C) 90D) 100 E) 120

    2. A partir del grfico, calcule b+d a c.

    50 60

    a

    d

    bc

    A) 10 B) 55 C) 110D) 80 E) 85

    3. Del grfico, mostrado, calcule x.

    A) 40 B) 50

    x

    60a

    40

    C) 60D) 70 E) 80

    4. Del grfico mostrado, calcule x.

    x

    100

    3x

    A) 50 B) 75 C) 25D) 20 E) 30

    5. A partir del grfico, calcule x.

    2

    2

    2x3x

    5x

    A) 18 B) 20 C) 36D) 27 E) 30

    6. Del grfico, calcule x.

    +

    4x

    3x

    2x

    A) 20 B) 14 C) 18D) 16 E) 15

  • . . .

    Geometra

    8

    7. En el siguiente grfico, cul es la suma de me-didas sealadas?

    A) 405 B) 180 C) 390D) 450 E) 360

    UNMSM 2000

    8. A partir del grfico, calcule x+y+z.

    40

    y

    x

    z

    A) 360 B) 420 C) 320D) 400 E) 280

    NIVEL INTERMEDIO

    9. En el grfico, calcule x.

    2

    108x

    2

    A) 72 B) 36 C) 24D) 54 E) 27

    10. Calcule x+y.

    3 3

    x

    y

    3065

    A) 95 B) 105 C) 115D) 120 E) 150

    11. Del grfico, calcule a+b+q+w+f.

    A) 180 B) 270 C) 360D) 150 E) 240

    12. A partir del grfico, calcule el valor de x.

    130

    x

    30

    A) 30 B) 25 C) 50D) 20 E) 15

  • . . .

    Geometra

    9

    NIVEL AVANZADO

    13. Segn el grfico, q+b=180. Calcule x.

    80

    50

    30

    x

    A) 110B) 160C) 130D) 145E) 100

    14. En el grfico, si m+n=30, calcule x.

    A) 20

    m

    x

    n

    100

    B) 25C) 30D) 35E) 15

    15. En el grfico, calcule x si a+b=160.

    m

    mx x

    b

    a

    nn

    A) 100 B) 130 C) 140D) 160 E) 80

  • . . .

    Geometra

    10

    Clasificacin de tringulos

    NIVEL BSICO

    1. Segn el grfico, si AB=CD, calcule x.

    x

    x 40A D C

    B

    A) 50 B) 60 C) 80D) 70 E) 55

    2. En el grfico, AB=BP y AC=QC. Calcule b.

    32

    Q

    P

    A

    B

    C

    A) 10 B) 15 C) 20D) 12 E) 18

    3. En un tringulo ABC, se ubica P en el lado BC, de tal manera que AP=PC y AB=AP. Si m BAP=40, calcule m BCA.

    A) 20B) 35C) 40D) 80E) 75

    4. Del grfico, AQ=QM y QN=QC. Calcule x.

    A Q C

    NM

    x

    B

    70

    A) 70 B) 110 C) 55D) 140 E) 40

    5. En el grfico, AB=AD=CD. Calcule x.

    70

    60 xA D

    CB

    A) 60 B) 70 C) 80D) 130 E) 65

    6. En el grfico, AB=BC y AC=CD. Si m ABC=2(m ADC), calcule x.

    B

    A C

    D

    x

    A) 45 B) 60 C) 70D) 90 E) 30

  • . . .

    Geometra

    11

    7. En el grfico, AB=AC=CD=CE. Calcule x.

    80

    60

    x

    A C

    E

    DB

    A) 30 B) 35 C) 40D) 10 E) 20

    8. En el grfico, AB=BD=BC, AC=21 y CE=20. Calcule AE.

    60

    60

    D

    A

    B

    C

    E

    A) 27 B) 29 C) 20D) 21 E) 22

    NIVEL INTERMEDIO

    9. En la regin exterior relativa al lado AC de un tringulo rectngulo ABC, recto en B, se ubi-ca D, de modo que AD=17, AB=15, BC=8 y m ADC=50. Calcule m DAC.

    A) 50 B) 65 C) 80D) 70 E) 55

    10. A partir del grfico, AC=CD=DE=EF=FB y AB=BC. Calcule x.

    A D F B

    E

    C

    x

    A) 60B) 80C) 90D) 100E) 120

    11. En la regin exterior relativa al lado BC de un tringulo issceles de base AC, se ubica el punto P, de modo que el tringulo BPC es equiltero y m CAP=3(m APC). Calcule m APB.

    A) 45 B) 50 C) 37D) 55 E) 48

    12. En un tringulo ABC, AB=2 y BC=12. Calcule el mximo valor entero de AC.

    A) 11 B) 12 C) 13D) 14 E) 15

    NIVEL AVANZADO

    13. En un tringulo ABC, en AB y BC se ubican los puntos P y Q, respectivamente, tal que AP=QC=PQ y m QAC+m PCA=70.

    Calcule m ABC.

    A) 40 B) 50 C) 35D) 45 E) 20

  • . . .

    Geometra

    12

    14. En un tringulo ABC, en el lado AC y en la regin exterior relativa a BC, se ubican los puntos P y Q, respectivamente, de modo que PQ y BC se intersecan en F. Si AB=BP=PQ, PF=FC y m ABC=80, calcule m PBQ. Calcu-le m PBQ.

    A) 80B) 100C) 40D) 50E) 60

    15. En el grfico, AB=QC. Calcule x.

    2x 2x

    7x

    Q

    A C

    B

    x

    A) 10 B) 20 C) 15D) 14 E) 12

  • . . .

    Geometra

    13

    Lneas notables asociadas al tringulo

    NIVEL BSICO

    1. Del grfico, calcule x+y.

    A) 45 B) 55

    x

    y

    70

    C) 65D) 70 E) 75

    2. En el grfico, calcule x.

    A) 20

    5x 5x

    2xB) 25C) 15D) 30E) 12

    3. En un tringulo rectngulo ABC, recto en B, se traza la altura BH y la bisectriz interior BF del ngulo HBC. Si AB=20 y BC=21, calcule FC.

    A) 2 B) 3 C) 8D) 9 E) 14,5

    4. Del grfico, calcule x.

    2x+21

    2x+7

    x

    A) 15 B) 20 C) 21D) 14 E) 7

    5. En el grfico, calcule x.

    2 2

    40

    x

    A) 80 B) 100 C) 115D) 120 E) 125

    6. En un tringulo ABC, se trazan la altura BH y la bi-sectriz BD del ngulo ABC, tal que D est en HC. Si m DBH=40, calcule m BAC m BCA.

    A) 40 B) 80 C) 120D) 50 E) 100

    7. Del grfico, calcule x+y.

    5050

    x

    y

    A) 115B) 120C) 130D) 240E) 245

  • . . .

    Geometra

    14

    8. En el grfico, calcule x.

    A) 10

    8x

    x

    120B) 5C) 20D) 15E) 14

    NIVEL INTERMEDIO

    9. En un tringulo ABC se trazan las cevianas inte-

    riores AP y CQ, que intersecan en M, de modo

    que AC=QC=AP. Calcule mm

    PMCABC

    .

    A) 1 B) 2 C) 1/2D) 3 E) 1/3

    10. Del grfico, calcule x.

    A) 100

    x

    50

    B) 110C) 115D) 120E) 140

    11. Del grfico, calcule x.

    2x

    A) 20 B) 36 C) 30D) 15 E) 22,5

    12. Del grfico, calcule el valor de x.

    50x

    A) 50 B) 25 C) 65D) 60 E) 45

    NIVEL AVANZADO

    13. Se tiene un tringulo ABC, en el que m ABC m CAB=50; adems se traza la

    bisectriz interior CD y en AC se ubica el punto E, de modo que m EDC=80. Calcule m ADE.

    A) 20 B) 15 C) 25D) 30 E) 35

    14. En un tringulo ABC se tiene que m ABC=70; adems se traza la altura BH. Calcule la medida del ngulo que determinan las bisectrices de los ngulos BAC y HBC.

    A) 95 B) 100 C) 85D) 105 E) 90

    15. Se tiene un tringulo ABC, tal que m ABC=100. Se traza la ceviana interior BM y la bisectriz interior CQ, las cuales se intersecan en P. Si AB=AM, calcule m QPB.

    A) 40 B) 50 C) 65D) 80 E) 45

  • Geometra

    2

    Congruencia de tringulos

    NIVEL BSICO

    1. En la figura, calcule x si AB=BC=CD=DE.

    A2x

    x

    B

    C

    D

    E

    A) 18 B) 36 C) 72D) 30 E) 15

    2. Segn el grfico AB=BC. Calcule x.

    A

    B

    C

    20x

    A) 19 B) 28 C) 22D) 25 E) 20

    3. En el grfico, calcule x si AC=CD.

    3x

    12

    A CD

    A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6

    4. Si AB=12 y CD=16, calcule AD. Considere que BE=EC.

    EA

    B

    C

    D

    A) 22 B) 24 C) 26D) 28 E) 30

    5. En la figura, AM=MC y 3(BC)=AB+8. Calcule BC.

    B

    A CM

    A) 3 B) 4 C) 6D) 7 E) 8

    6. Segn la figura, PQ=AC, AB=6 y CQ=10. Cal-cule BP.

    B

    P

    CA

    Q

    A) 3 B) 4 C) 5D) 6 E) 7

  • Geometra

    3

    7. En la figura, AD=4. Calcule BE.

    B E

    A

    D

    C

    A) 1 B) 1,5 C) 2D) 3 E) 4

    8. En la figura, AB=BD. Si a+b=60, calcule x.

    A

    B

    C

    x

    D

    A) 60 B) 100 C) 120D) 140 E) 110

    NIVEL INTERMEDIO

    9. En el grfico, ABC y CDE son tringulos equil-teros. Calcule x.

    A C

    E

    B

    D

    x

    100

    A) 30 B) 40 C) 45D) 50 E) 60

    10. Segn el grfico, las regiones sombreadas son congruentes y BC=DE. Calcule x.

    P

    A B

    x

    20

    DC

    E

    A) 60 B) 65 C) 45D) 55 E) 50

    11. En el grfico, BD=AB+AC. Calcule x/y.

    Y

    A C

    D

    B

    x

    A) 1/2 B) 1/3 C) 1D) 2 E) 3

    12. Del grfico, AM=MC y AN=BC. Calcule m MBC.

    B

    x

    CMA

    N

    A) 30B) 45C) 60D) 37E) 53

  • Geometra

    4

    NIVEL AVANZADO

    13. Segn el grfico, AE=DC, BC=AD y AM=MC. Calcule x.

    40

    A M C

    Dx

    B

    E

    A) 10 B) 20 C) 25D) 30 E) 35

    14. En un tringulo ABC, se traza la ceviana interior AD. Luego se ubica E en AD, tal que AB=EC y CD=AE. Si m BAE=m ECD, calcule m BDE.

    A) 30 B) 40 C) 50D) 80 E) 60

    15. En un tringulo ABC (AB=BC), se traza la ce-viana interior BP y en BC se ubica el punto M, tal que AP=MC, m BAP=40 y m PBC=70. Calcule m MPC.

    A) 20 B) 30 C) 40D) 45 E) 60

  • Geometra

    5

    Aplicaciones de la congruencia

    NIVEL BSICO

    1. Segn la figura, AC=12 y AB=9. Calcule FC.

    A B

    CF

    A) 7 B) 6 C) 3D) 4 E) 5

    2. Del grfico, calcule x si BD=DE.

    B D

    48

    E

    x

    A) 48 B) 42 C) 24D) 21 E) 14

    3. En el grfico, BH=a 1 y HC=2a 7. Calcule a.

    A

    B

    C

    H

    A) 6 B) 7 C) 8D) 4 E) 5

    4. Segn el grfico, PQ=5 y QC=3. Calcule BP.

    A

    B

    P

    CQ

    A) 4 B) 5 C) 3D) 34 E) 29

    5. En el grfico, AM=MC, calcule x.

    A) 30B) 31

    31A

    B

    x

    CM

    C) 15,5D) 45E) 59

    6. En el grfico, AM=MB y MN+AC=21. Calcule (MN)(AC).

    A

    B

    C

    M N

    A) 42 B) 84 C) 98D) 49 E) 63

    7. Segn el grfico, BC=18 y AM=2x. Calcule x.

    C

    A

    BM

    A) 9 B) 18 C) 4,5

    D) 5 E) 6

  • Geometra

    6

    8. En el grfico, AP=PC y BM=MD. Si AC=16, calcule MN.

    A

    B

    CP

    N

    M D

    A) 8 B) 4 C) 12

    D) 2 E) 6

    NIVEL INTERMEDIO

    9. En el grfico, L

    es mediatriz de AC y AB=PC.

    Calcule x.

    A) 10

    B) 30 80

    L

    A

    B

    Cx

    P

    C) 50

    D) 40

    E) 20

    10. Del grfico, CD=2(AB). Calcule x.

    A

    B

    CD

    x

    21

    A) 15 B) 16 C) 27D) 21 E) 14

    11. En el grfico, AM=MC y BC=2(BM), calcule x.

    A) 40B) 50 70

    A

    B

    C

    x

    M

    C) 55D) 70E) 35

    12. Segn el grfico, AB=BC y AC=2(BE). Calcule x.

    30

    A

    B

    C

    E

    x

    A) 30 B) 40 C) 50D) 10 E) 20

    NIVEL AVANZADO

    13. Se tiene el tringulo rectngulo ABC, recto en B. Exterior y relativo a AC se ubica P, tal que AC=2(BP). Si m ABP=10 y m ACB=20, calcule m ACP.

    A) 5 B) 8 C) 10D) 12 E) 20

    14. En un tringulo ABC, se ubican M y N en AC y en la prolongacin de CB, respectivamente. Si NB=BC=BM y AM=NM, calcule m NAM.

    A) 30 B) 35 C) 40D) 45 E) 60

    15. En un tringulo ABC, se trazan la mediana AM y la ceviana BQ, que se intersecan en P, tal que

    AP=PM. Calcule PQPB

    .

    A) 14

    B) 13

    C) 12

    D) 1 E) 2

  • Geometra

    7

    Tringulos rectngulos notables

    NIVEL BSICO

    1. En la figura, CD=4. Calcule AC.

    30

    60

    A

    B

    C

    D

    A) 4 3 B) 4 2 C) 8

    D) 8 2 E) 8 3

    2. En el grfico, BD=3 y DC=5. Calcule x.

    A

    B

    C

    D

    xx

    A) 30 B) 15 C) 452

    D) 372

    E) 532

    3. Del grfico, AD=DC y BC=40. Calcule ED.

    53

    A

    E

    D

    B

    C

    A) 8 B) 10 C) 12D) 16 E) 24

    4. En la figura, AC=20. Halle BH.

    45

    30A

    B

    CN

    H

    A) 5 2

    B) 3 2

    C) 52

    2

    D) 4 2

    E) 5 3

    5. En la figura, AC=12 y BN=8. Calcule q.

    37

    A

    B CN

    A) 15 B) 12 C) 7D) 8 E) 22

    6. Del grfico, AB=BD. Calcule x.

    53/2

    A

    B

    D

    x

    A) 7 B) 8 C) 4,5D) 3,5 E) 10

  • Geometra

    8

    7. En el grfico, AC=20 y BD=4. Calcule x.

    15

    A

    B

    C

    D

    x

    A) 37 B) 53 C) 22

    D) 15 E) 37/2

    8. En el grfico, las regiones sombreadas son congruentes. Si BP=6, calcule AP.

    A

    B

    C

    P

    A) 10 B) 12 C) 6 10

    D) 6 5 E) 6 3

    NIVEL INTERMEDIO

    9. En el grfico, AM=MB, BN=NC y AC=2(QN)=8. Calcule NH.

    20

    40

    B

    A C

    M N

    Q

    H

    A) 2 B) 3 C) 3

    D) 2 3 E) 3 2

    10. En el grfico, L

    es mediatriz de AC y PC=3(PB). Calcule x.

    45A

    B

    C

    Px

    A) 60 B) 75 C) 1272

    D) 1432

    E) 75

    11. Segn el grfico, BH=2(HC)=2(AB). Calcule x.

    A

    BC

    D

    H

    x

    A) 20 B) 50 C) 1272

    D) 532

    E) 372

    12. En el grfico, AP=PB y BC=PC. Calcule x.

    2

    A

    B

    Cx

    P

    A) 15 B) 16 C) 18D) 30 E) 37

  • Geometra

    9

    NIVEL AVANZADO

    13. Del grfico, calcule x.

    45 xx

    53/2

    A) 15 B) 30 C) 372

    D) 532

    E) 452

    14. En un tringulo ABC, se traza la mediana BM, tal que AB=8 y BC=5. Si m MBC=53, calcule m ABM.

    A) 53 B) 37 C) 45D) 60 E) 30

    15. En un tringulo ABC, se ubican los puntos M y N en BC y AC, respectivamente, tal que BM=MC, NC=8, AB=10 y m BAC=m MNA=53. Cal-cule AN.

    A) 9 B) 12 C) 15D) 18 E) 20

  • Geometra

    10

    Cuadrilteros I

    NIVEL BSICO

    1. Segn el grfico, halle x.

    7080

    x

    A) 65 B) 75 C) 85D) 90 E) 80

    2. En el trapecio ABCD (BC // AD), AB=4, CD=6 y AD=8. Calcule PQ.

    A P Q D

    B C

    A) 3 B) 6 C) 2D) 4 E) 5

    3. En el trapecio ABCD (BC // AD), BC=4, AB=8, CD=10 y AD=20. Si BP=PM y CQ=QN, calcule PQ.

    A M N D

    B C

    P Q

    A) 3 B) 1 C) 2D) 4 E) 5

    4. Del grfico, calcule x.

    70

    100

    x

    A) 85 B) 15 C) 95D) 30 E) 16

    5. En el grfico, BC // AD y MBCD es un trapezoide simtrico (MB=BC). Calcule x.

    140 100

    A

    B C

    Dx

    M

    A) 70 B) 50 C) 35D) 25 E) 60

    6. En el grfico, BM=5, MH=3 y CM=MD. Calcule x.

    A D

    B Cx

    M

    H

    A) 30 B) 37 C) 53D) 60 E) 53/2

  • Geometra

    11

    7. Del grfico, calcule b.

    3

    60

    A) 65 B) 70 C) 45D) 55 E) 80

    8. En el grfico, AM=MB, BC=x, AD=13 y MN=x+5. Halle MN.

    A

    B C

    D

    M N

    A) 3 B) 5 C) 8D) 10 E) 11

    NIVEL INTERMEDIO

    9. Del trapecio ABCD (BC // AD), AM=MB, BC=1 y CD=10. Calcule AD.

    A

    B C

    D

    M

    A) 9 B) 5,5 C) 8D) 7 E) 11

    10. En el grfico, CM=MD y BM=ND. Calcule x.

    A

    B C20

    x

    D

    M

    N

    A) 10 B) 15 C) 18D) 5 E) 20

    11. En el trapecio ABCD (BC // AD), M es punto medio de CD y ANPM es trapecio issceles. Si BC+AD=10, calcule AP.

    A D

    B C

    MN

    P

    A) 4 B) 4,5 C) 5,5D) 5 E) 6

    12. En el trapecio issceles ABCD (BC // AD), BD=AQ=QC. Calcule x.

    80A

    B C

    Dx

    Q

    A) 30 B) 20 C) 60D) 50 E) 40

  • Geometra

    12

    NIVEL AVANZADO

    13. En el grfico, AC=CD. Calcule b.

    2

    3

    5

    24A

    B

    C

    D

    A) 10 B) 12 C) 14D) 15 E) 8

    14. En un trapecio issceles ABCD (BC // AD), la longitud de la base media es igual a la altura del trapecio. Calcule m CAD.

    A) 30 B) 45 C) 53/2D) 60 E) 53

    15. En el trapecio issceles ABCD, (BC // AD), AC=8 y BP=5. Calcule x.

    2x

    A

    B C

    Dx

    P

    A) 30 B) 37 C) 53D) 15 E) 16

  • Geometra

    13

    Cuadrilteros II

    NIVEL BSICO

    1. En el paralelogramo ABCD, calcule x.

    A

    B C

    D

    x+30

    4x

    A) 10 B) 20 C) 16D) 15 E) 14

    2. En el grfico, ABCD es un paralelogramo. Calcule x.

    A

    B C

    D3x+20 5x

    A) 10 B) 20 C) 15D) 25 E) 30

    3. En el grfico, ABCD es un cuadrado y BP=PQ. Calcule x.

    40

    A

    B C

    D

    P

    xQ

    A) 10 B) 20 C) 50D) 40 E) 30

    4. En el grfico, BC // AD, BC=4 y CD=6. Calcule AD.

    A

    B C

    D

    A) 5 B) 7 C) 8

    D) 9 E) 10

    5. Si ABCD es un rombo de centro O, OH=1 y OA = 10 , calcule x.

    A

    B C

    D

    Hx

    O

    A) 532 B) 53 C) 37

    2

    D) 37 E) 30

    6. Si ABCD es un rombo, calcule x.

    70

    10

    A

    B C

    D

    x

    A) 70 B) 80 C) 60D) 55 E) 65

  • Geometra

    14

    7. En el paralelogramo ABCD, BP=3. Calcule AQ.

    A

    B C

    D

    P

    Q

    A) 3 B) 4 C) 5D) 6 E) 7

    8. En el paralelogramo ABCD, AB=PD. Calcule x.

    70

    10

    A

    B C

    D

    x

    P

    A) 70 B) 80 C) 60D) 65 E) 55

    NIVEL INTERMEDIO

    9. En el rombo ABCD, OH=12 y AC=40. Calcule BH. (O: centro de ABCD).

    A

    B C

    D

    H

    O

    A) 20 B) 16 C) 26D) 9 E) 12

    10. En el grfico, ACDQ es un trapecio issceles. Calcule x.

    40

    A

    B C

    D

    x

    Q

    A) 40 B) 50 C) 20D) 25 E) 30

    11. Segn el grfico, ABCD es un cuadrado y AMCN un romboide. Si CD=20, calcule MH.

    53A

    B C

    D

    H

    M

    N

    A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

    12. En el grfico, ABCD es un paralelogramo. Si BP=2(PQ), calcule x.

    A

    B C

    D

    xP

    Q

    A) 53/2 B) 30 C) 60D) 45 E) 53

  • Geometra

    15

    NIVEL AVANZADO

    13. En un romboide ABCD, en la diagonal AC, se ubica L, tal que LC=2(AL) y m ABL=2m DLC.

    Calcule m DLC. (BL AC).

    A) 45 B) 53 C) 37D) 30 E) 60

    14. En la regin interior de un cuadrado ABCD, se ubica el punto M, de modo que AMD es un tringulo equiltero. Calcule la distancia de A a CM

    . (CD=12)

    A) 3 2

    B) 3

    C) 6 2

    D) 3 3

    E) 4 2

    15. En un rectngulo ABCD, de centro O, sobre el lado AD, se ubica el punto E, de modo que EO BD. Si AC=8 y EO=3, calcule ED.

    A) 4 B) 5 C) 6D) 7 E) 8

  • Geometra

    2

    Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822

    Circunferencia I

    NIVEL BSICO

    1. En el grfico, mSOAB=40. Calcule m AB .

    A B

    O

    A) 40 B) 80 C) 120D) 100 E) 70

    2. Segn el grfico, calcule x.

    x

    40

    A) 40 B) 20 C) 80D) 90 E) 100

    3. En el grfico, A y B son puntos de tangencia. Si m APB = 120 , calcule m mAB AQB + .

    A

    B

    P Q

    A) 240 B) 300 C) 180D) 360 E) 270

    4. Segn el grfico, m APB = 120 . Calcule AB.

    6

    A

    B

    P

    A) 6 3 B) 6 2 C) 12D) 6 E) 18

    5. Segn el grfico, m AB = 60 . Calcule x.

    Ax

    B

    A) 130 B) 60 C) 120D) 45 E) 53

    6. En el grfico, D es punto de tangencia. Si AD=5, calcule AE.

    C

    B

    F

    E

    D

    A

    A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6

  • Geometra

    3

    Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822

    7. En el grfico, A es punto de tangencia y m AB = 100 . Calcule x.

    40

    A

    Bx

    C

    A) 50 B) 80 C) 20D) 5 E) 10

    8. Segn el grfico, T es punto de tangencia. Cal-cule x si m AB = 140 .

    T

    x

    B50

    PA

    A) 25 B) 50 C) 30D) 40 E) 100

    NIVEL INTERMEDIO

    9. En el grfico, F es punto de tangencia. Si m mAM MB = , calcule x.

    M

    x

    B

    A

    P40

    F

    A) 90 B) 100 C) 110D) 120 E) 130

    10. Segn el grfico, A, B y C son puntos de tangen-cia. Calcule x.

    A

    C

    xB

    40

    A) 60 B) 65 C) 70D) 75 E) 80

    11. En el grfico, m CDE = 40 . Calcule x si m AB = 50 .

    CB

    A

    E

    D2x

    x

    A) 10 B) 20 C) 8D) 15 E) 12

    12. En el grfico, T es punto de tangencia. Calcule x.

    T

    x

    A) 30 B) 35 C) 25D) 45 E) 15

  • Geometra

    4

    Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822

    NIVEL AVANZADO

    13. En el grfico, A es punto de tangencia. Si m mAC ABC = , m m AC AD + =114 y m CL =36 ,calcule mSBAL.

    D

    L

    A

    B

    C

    A) 36

    B) 38

    C) 57

    D) 37

    E) 45

    14. Segn el grfico, BP=8. Calcule (AH)2+(PH)2 si A es punto de tangencia.

    A) 32

    CH

    P

    B

    A

    B) 64

    C) 32 2

    D) 8 2

    E) 128

    15. Del grfico, ABCD es un rombo y L es media-triz de AD. Calcule ME.

    L 6

    B

    M

    C

    A D E

    A) 6 B) 6 3 C) 6 2

    D) 12 E) 18

  • Geometra

    5

    Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822

    Circunferencia II

    NIVEL BSICO

    1. En el grfico, A y B son puntos de tangencia, AP=6 2x y PB=4x. Calcule x.

    A

    B

    P

    A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

    2. En el grfico, calcule x si A y B son puntos de tangencia.

    A

    B

    xx

    4040

    A) 70 B) 80 C) 30D) 20 E) 10

    3. Segn el grfico, A es punto de tangencia y BC=R. Calcule x.

    A

    CR Bx

    A) 53 B) 30 C) 15D) 45 E) 60

    4. Segn el grfico, A y B son puntos de tangen-cia, CD=DE y AC=6. Calcule DH.

    AD

    BE H

    C

    A) 3 B) 4 C) 5D) 6 E) 12

    5. En el grfico, T es punto de tangencia. Calcule x.

    O

    T

    x

    A) q B) q/5 C) q/4D) q/2 E) q/3

    6. En el grfico, calcule x.

    2

    x

    A) 2 B) 3 C) 5D) 4 E) 6

  • Geometra

    6

    Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822

    7. En el grfico, PM=6. Halle NQ.

    QP

    NM

    A) 3 B) 4 C) 12D) 6 E) 9

    8. Segn el grfico, m mAB CD = , PC=4 y AB=5. Calcule mQLC .

    D

    Q

    P

    L

    A

    BC

    A) 37 B) 74 C) 53D) 106 E) 90

    NIVEL INTERMEDIO

    9. En el grfico, D es punto de tangencia. Si AB=6, calcule BC.

    A

    B

    C D

    5

    A) 2 B) 1 C) 4D) 3 E) 1/2

    10. Segn el grfico, TC=2(TB). Calcule x si T es punto de tangencia.

    C

    B

    T

    x

    A) 45 B) 15 C) 45/2D) 30 E) 37

    11. En el grfico, T es punto de tangencia, m TB = 90 , AT=7 y R=4. Calcule AB.

    T

    BR

    A

    A) 63 B) 33 C) 5D) 4 2 E) 7 2

    12. Segn el grfico, P y Q son puntos de tangencia. Calcule x.

    PQ

    x

    A) 15 B) 100 C) 75D) 80 E) 90

  • Geometra

    7

    Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822

    NIVEL AVANZADO

    13. En el grfico, P y Q son puntos de tangencia. Si R=5 y r=2, calcule PQ.

    P

    r

    Q

    R

    A) 2 10

    B) 3

    C) 2 2

    D) 4

    E) 6

    14. En el grfico, ABCD es un romboide. Si BM=MC=2, calcule OM. Considere que B es

    punto de tangencia.

    15B

    A D

    O

    MC

    A) 6 B) 3 C) 2 5

    D) 10 E) 2 3

    15. Del grfico mostrado, AD=BC. Si B y D son puntos de tangencia, calcule mTB .

    B

    T

    A D

    C

    A) 45 B) 90 C) 135

    D) 60 E) 53

  • Geometra

    8

    Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822

    Posiciones relativas entre dos circunferencias

    NIVEL BSICO

    1. En el grfico, T es punto de tangencia y m TB = 80 . Calcule x.

    T

    xB

    A) 20 B) 30 C) 40D) 80 E) 50

    2. En el grfico, T es punto de tangencia. Si AB=20, calcule BC.

    A

    B

    C1415

    A) 20 B) 16 C) 20 2D) 18 E) 21

    3. Segn el grfico, T es punto de tangencia. Si m TQ = 100 , calcule x.

    T

    Q

    x70

    A) 170 B) 100 C) 140D) 100 E) 120

    4. Segn el grfico, m AB = 40 . Calcule m BC .

    C

    B

    A

    A) 20 B) 40 C) 80

    D) 120 E) 140

    5. Segn el grfico, calcule m

    m

    AB

    CD

    si P y Q son

    puntos de tangencia.

    A) 1/2 A

    B

    CQ

    P

    D

    B) 2 C) 1D) 1/3 E) 2/3

    6. En el grfico, A y B son puntos de tangencia. Si m MN = 130 , calcule x.

    A

    B

    N

    x

    M

    P Q

    A) 53 B) 60 C) 74D) 65 E) 70

  • Geometra

    9

    Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822

    7. En el grfico, AB=8 y R=5. Calcule PQ.

    A

    QP

    BR

    A) 1 B) 2 C) 1,5D) 2,5 E) 0,5

    8. Segn el grfico, T es punto de tangencia. Calcule x.

    Tx

    A) a q B) q a C)

    2

    D)

    2 E) a+q

    NIVEL INTERMEDIO

    9. A partir del grfico, calcule MQ/PC. Considere que A, B, C, D, M y N son puntos de tangencia.

    B

    P CN

    DM

    A Q

    A) 1 B) 2 C) 1/2D) 3/2 E) 2/3

    10. Segn el grfico, P es punto de tangencia, R=5 y r=2. Calcule m PQ .

    P

    r

    R

    Q

    A) 30 B) 37 C) 45D) 53 E) 60

    11. Si ABCD es un cuadrado, M, N, P y Q son puntos de tangencia y PQ=2, calcule x.

    Mx

    B C

    P

    Q

    N

    A D

    A) 1 B) 1,5 C) 4D) 3 E) 2

  • Geometra

    10

    Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822

    12. Segn el grfico, T es punto de tangencia. Si mAB = 40 y m CT = 120 , calcule x.

    T

    A

    BC

    x

    A) 80 B) 100 C) 60

    D) 90 E) 120

    NIVEL AVANZADO

    13. En la figura, T es punto de tangencia, AC=R. Calcule mTB .

    T

    AAB

    R

    C

    100

    A) 100 B) 120 C) 140

    D) 160 E) 150

    14. En el grfico, M, Q y T son puntos de tangencia. Si m AT = 40 , calcule mNQ .

    A

    Q

    M

    N

    T

    A) 140 B) 80 C) 135

    D) 120 E) 106

    15. Segn el grfico, calcule m AB .

    A B

    A) 120 B) 135 C) 100

    D) 130 E) 150

  • Geometra

    11

    Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822

    Cuadriltero inscrito e inscriptible

    NIVEL BSICO

    1. Segn el grfico, AB=BC. Calcule x.

    C

    x

    80

    A

    B

    A) 20 B) 80 C) 60D) 50 E) 40

    2. Del grfico, calcule x.

    104x

    A) 66 B) 76 C) 104D) 30 E) 60

    3. A partir del grfico, calcule x.

    20

    x

    A) 50 B) 10 C) 20D) 40 E) 70

    4. Segn el grfico, la circunferencia est inscrita en el tringulo ABC. Si AB=7, calcule R.

    R

    16

    A

    B C

    A) 1 B) 6 C) 2D) 4 E) 3

    5. En el grfico, la circunferencia est inscrita en el cuadriltero ABCD. Si AD=3, AB=4 y CD=7, calcule BC.

    B

    A D

    C

    A) 7 B) 4 C) 9D) 8 E) 12

    6. Segn el grfico, la circunferencia est inscrita en el tringulo ABC. Si r=2, calcule AC.

    A

    r

    B

    37C

    A) 10 B) 6 C) 8D) 15 E) 20

  • Geometra

    12

    Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822

    7. Segn el grfico, calcule x.

    40

    x60

    A) 60 B) 80 C) 100D) 120 E) 90

    8. En el grfico, A y B son puntos de tangencia. Calcule x/y.

    A

    By

    x

    A) 1 B) 2 C) 1/2D) 2/3 E) 3/2

    NIVEL INTERMEDIO

    9. A partir del grfico, calcule x.

    4040

    100

    x

    A) 90 B) 60 C) 45D) 80 E) 70

    10. Segn el grfico, calcule q.

    55

    A) 15 B) 10 C) 30

    D) 19 E) 20

    11. Segn el grfico, CD = 2 2 y AD = 7. Calcule AB.

    B

    C

    A30

    D

    A) 3 B) 1 C) 5

    D) 4 E) 2

    12. En el grfico, AC=14 y BC = 8 2. Calcule el in-radio del tringulo AOB.

    O

    A

    B

    C

    A) 1 B) 1,5 C) 2

    D) 2,5 E) 3

  • Geometra

    13

    Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822

    NIVEL AVANZADO

    13. Segn el grfico, T es punto de tangencia y m m AT MBT + ( ) =2 110 . Calcule x.

    A

    B

    M

    T

    Ox

    A) 30 B) 40 C) 45

    D) 35 E) 50

    14. Se tiene un cuadrado ABCD de centro O, se ubica el punto P exterior al cuadrado y relativo

    a AB, tal que mSAPB=90 y mSPBA=20. Se

    traza CH perpendicular a OP

    . Si H OP

    , calcu-

    le mSDCH.

    A) 35

    B) 25

    C) 10

    D) 38

    E) 20

    15. En el grfico, la circunferencia est inscrita en el cuadriltero ABCD. Si BC=4, calcule la suma

    de inradios de los tringulos ABD y BCD.

    A

    B

    C

    D

    A) 2

    B) 4

    C) 6

    D) 8

    E) 4 2

  • Geometra

    14

    Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822

    Puntos notables

    NIVEL BSICO

    1. En el grfico, G es baricentro de la regin ABC, GM=6 y GN=8. Calcule AG+BG.

    A) 14

    A

    B

    C

    N

    M

    G

    B) 28 C) 20D) 22 E) 26

    2. Segn el grfico, G es baricentro de la regin ABC, BG=2 y AC=4. Calcule x.

    Ax

    B

    C

    G

    A) 53/2 B) 127/2 C) 60D) 30 E) 45

    3. En el grfico, I es incentro del tringulo ABC. Calcule x.

    A

    Ix

    50

    B

    C

    A) 100 B) 130 C) 140D) 115 E) 120

    4. Segn el grfico, O es circuncentro del tringu-lo ABC, BN=NC y AM=MC. Calcule x.

    x

    A

    O

    N

    M

    B

    C50

    A) 130 B) 100 C) 80D) 50 E) 100

    5. En el grfico, H es ortocentro del tringulo ABC. Calcule x.

    A

    B

    Cx

    H

    50

    A) 35 B) 30 C) 60D) 50 E) 40

    6. A partir del grfico, calcule AC si G es baricentro de la regin ABC y BG=4.

    A C

    B

    G

    A) 10 B) 12 C) 14D) 18 E) 8

  • Geometra

    15

    Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822

    7. A partir del grfico, calcule x.

    50

    x

    80

    5570

    A) 15 B) 20 C) 30D) 40 E) 35

    8. Segn el grfico, O es centro del rectngulo ABCD. Si BQ=QC, calcule PC/AO.

    A

    B C

    D

    O

    P

    Q

    A) 1/2 B) 1 C) 2/3D) 3/2 E) 2

    NIVEL INTERMEDIO

    9. En el grfico, I es incentro de ABC. Si AI=AD, calcule x.

    A

    B

    I

    CD

    x40

    A) 10 B) 20 C) 30D) 40 E) 80

    10. En el grfico, O es circuncentro del tringulo ABC. Calcule x.

    A

    B

    C

    O

    x2x 120

    A) 25 B) 20 C) 15D) 30 E) 40

    11. Segn el grfico, H es ortocentro del tringulo ABC. Si AC=14, calcule BH.

    45A

    B

    C

    H

    37

    A) 7 B) 6 C) 3D) 2 E) 5

    12. En el grfico, I es incentro del tringulo ABC. Si MN // AC, AM=4 y NC=5, calcule MN.

    A

    M

    B

    NI

    C

    A) 4 B) 5 C) 9D) 7 E) 14

  • Geometra

    16

    Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822

    NIVEL AVANZADO

    13. Si ABCD es un cuadrado, qu punto notable es P del tringulo MCN?

    B C

    DNA

    MP

    45

    A) incentroB) baricentroC) circuncentroD) ortocentroE) excentro

    14. En un romboide de ABCD, la mSCAD=30. Si la distancia de B a AD es 6, calcule la distancia del baricentro de la regin triangular ABD a C.

    A) 6

    B) 10

    C) 12

    D) 8

    E) 9

    15. Segn el grfico, H es ortocentro del tringulo ABC. Si BH=HP, calcule x.

    A P C

    B

    H

    x 40

    40

    A) 40

    B) 20

    C) 25

    D) 15

    E) 30

  • Geometra

    2

    Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822

    Proporcionalidad de segmentos

    NIVEL BSICO

    1. En el grfico, L

    1 // L

    2 // L

    3. Calcule x si 3(AB)=2(BC).

    L 1

    L 2

    L 3

    A

    B

    C

    2x 3

    x+1

    A) 4 B) 9 C) 7D) 8 E) 5

    2. Segn el grfico, MN // AC y AB // NQ, 4(AM)=5(MB) y QC=15. Calcule AQ.

    A Q C

    NM

    B

    A) 12 B) 15 C) 18D) 20 E) 9

    3. En el grfico, si BC=4(AB) y AD=2, halle CD.

    A D C

    B

    A) 12 B) 13 C) 14D) 7 E) 8

    4. Segn el grfico, 3(AB)=2(BC) y NC=9. Calcu-le ND.

    A

    N

    D

    C

    B

    A) 5 B) 6 C) 7D) 8 E) 9

    5. Segn el grfico, AQ=3(QC). Calcule x.

    45

    A Dx

    Q

    B C

    A) 30 B) 53 C) 37

    D) 532 E) 37

    2

    6. Segn el grfico, 2(BC)=5(AB), AC=6. Calcule AD.

    A) 2

    D A

    C

    BB) 3

    C) 5/2

    D) 4

    E) 5

  • Geometra

    3

    Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822

    7. Segn el grfico, AB=6, BC=8 y AC=7. Calcule CD.

    A D C

    B

    A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 1

    8. Segn el grfico, el tringulo ABC es equiltero y CDEF es un cuadrado. Si 5(BC)=6(DE),

    calcule BDDM

    .

    A C F

    M

    ED

    B

    A) 12

    B) 13

    C) 35

    D) 53

    E) 23

    NIVEL INTERMEDIO

    9. En el grfico, FC=3, AF=6 y DF // BC. Calcule EF.

    A E F C

    D

    B

    A) 1 B) 2 C) 3D) 2,5 E) 3,5

    10. En el grfico, m mAC CE = y AB=3(EB). Calcu-

    le CHHL

    .

    A B

    C

    H

    L

    E

    A) 3 B) 2 C) 3/2D) 5/2 E) 4/3

    11. Segn el grfico P, Q y R son puntos de tangen-cia. Si PH=4 y m LNM=37, calcule NH.

    Q

    R N

    H

    P

    L

    M

    A) 5 B) 6 C) 8D) 10 E) 12

    12. Segn el grfico, P, Q, R y L son puntos de tan-gencia; 12(AB)=5(BC) y LM=5. Calcule MC.

    A) 5

    C

    N

    R

    BLA

    P

    Q M

    B) 6

    C) 7

    D) 8

    E) 10

  • Geometra

    4

    Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822

    NIVEL AVANZADO

    13. Segn el grfico, AB=5, BC=6 y AC=7. Calcule AM MNMN si N, S y Q son puntos de tangencia.

    A S C

    N

    MQ

    B

    A) 3/4 B) 2/3 C) 3/5D) 3/2 E) 4/5

    14. En un tringulo ABC, se trazan la bisectriz interior AE y la ceviana BF, que se intersecan en D. Si 3(AD)=DE, AB=4 y AC=16, calcule AF.

    A) 0,5B) 1C) 1,5D) 2E) 2,5

    15. En un tringulo ABC, se traza la bisectriz interior BM y la ceviana AN, tal que se intersecan en Q. Si m BQN=m NQC, AB=4, BC=6 y QC=5, calcule QM.

    A) 4B) 3C) 2D) 5E) 1

  • Geometra

    5

    Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822

    Semejanza de tringulos

    NIVEL BSICO

    1. Segn el grfico, calcule x.

    5x 10

    72x3

    A) 2930

    B) 15

    C) 20

    D) 30

    E) 29

    2. A partir del grfico, 7(PQ)=2(AC) y AP=3. Calcule PB.

    A C

    QP

    B

    A) 67

    B) 76

    C) 56

    D) 65

    E) 143

    3. En el grfico, 5(AM)=3(MB) y MN=10. Calcule AC.

    A C

    M N

    B

    180

    A) 12 B) 14 C) 16D) 18 E) 20

    4. Segn el grfico, AC=7 y DC=3. Calcule AB.

    A D C

    B

    A) 21 B) 28 C) 21

    D) 10 E) 2 7

    5. En el grfico, BC 5=AB y CD=7. Calcule AB.

    A C

    D

    B

    A) 103

    B) 310

    C) 356

    D) 73

    E) 35

  • Geometra

    6

    Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822

    6. Segn el grfico, ABCD es un romboide. Si

    2(AN)=3(BN), calcule NQQC

    .

    A D

    QN

    B C

    A) 23

    B) 32

    C) 25

    D) 52

    E) 1

    7. Segn el grfico, los tringulos ABC y CDE son equilteros, AC=6 y CE=4. Calcule PQ.

    A Q C E

    D

    P

    60

    B

    A) 32

    B) 23

    C) 125

    D) 512

    E) 12

    8. Segn el grfico, PC=7 y AP=2. Calcule AB.

    A P C

    B

    A) 1 B) 1,5 C) 2D) 2,5 E) 3 2

    NIVEL INTERMEDIO

    9. En el grfico, ABCD es un rombo. Si FC=1 y BM=3(MC), calcule LF.

    A E D

    L

    F

    CMB

    A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5/2

    10. Segn el grfico, ABCD es un cuadrado y AB=4. Calcule PQ.

    A D

    P53

    CQB

    A) 167

    B) 716

    C) 127

    D) 712

    E) 57

  • Geometra

    7

    Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822

    11. En el grfico, (CE)(ED)=12. Calcule (AC)(BD).

    A

    B

    DC

    E

    A) 6 B) 18 C) 12

    D) 12 2

    E) 6 2

    12. Del grfico, L es punto de tangencia. Si LDDE

    =

    32, calcule AB

    CD.

    Br

    r

    DE

    C

    L

    A F

    A) 32

    B) 4 C) 2

    D) 53

    E) 23

    NIVEL AVANZADO

    13. En el grfico, AB=2, AC=5 y 2(AF)=3(AE). Calcule FC.

    A C

    FE

    90

    B

    A) 2 B) 5 C) 2 2D) 10 E) 4

    14. En la figura, mCD = 2, BC=2 y AB=3. Calcule ED.

    A

    E

    B

    C

    D

    A) 4 B) 10 C) 2 5D) 13 E) 6

    15. En el grfico, BC=4 y CD=6. Calcule DE.

    E

    D

    C

    B

    A

    A) 5 B) 8 C) 3 5D) 2 15 E) 4 3

  • Geometra

    8

    Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822

    Relaciones mtricas I

    NIVEL BSICO

    1. Segn el grfico, calcule x.

    x+1

    x+2

    x+4

    x

    A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

    2. En el grfico, T es punto de tangencia,

    AT = 2 6 y BC=2. Calcule AB.

    C

    B

    T A

    A) 5 B) 6 C) 7D) 4 E) 3

    3. Segn el grfico, calcule x.

    x

    46

    5

    A) 5 B) 6 C) 7D) 8 E) 9

    4. En el grfico, AB=5, BC=3 y CD=1. Calcule DE.

    A

    BC D

    E

    A) 5/3 B) 4 C) 6D) 2 E) 2/3

    5. En el grfico, T es punto de tangencia. Si AT=6 y AB=4, calcule BC.

    C

    B

    T

    A

    A) 4 B) 5 C) 6D) 7 E) 8

    6. Segn el grfico, T es punto de tangencia, AT = 2 5, AE=10 y BC=1. Calcule CD.

    A B CD E

    T

    A) 4 B) 10/3 C) 11/3D) 3 E) 5

  • Geometra

    9

    Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822

    7. Segn el grfico, PH=6. Calcule (AH)(HC).

    A

    C

    H

    P

    A) 12 B) 36 C) 24D) 30 E) 18

    8. En el grfico, A, B, C y D son puntos de tangen-

    cia. Calcule PBDQ

    .

    D

    A

    B

    CQ

    P

    A) 1/3 B) 2/3 C) 4/3D) 2 E) 1

    NIVEL INTERMEDIO

    9. Segn el grfico, R=6 y MC=1. Calcule AN.

    A) 2,5

    N

    A

    O C M

    B

    R

    B) 3,75 C) 4,25D) 2,75 E) 3

    10. Segn el grfico, BD=12, AM=8 y mCD = 2.Calcule AN.

    C

    A

    M

    B

    D

    EN

    A) 8 B) 10 C) 14D) 9 E) 12

    11. En el grfico, P, Q y T son puntos de tangencia. Si AB=3(BC) y QN=2, calcule PM.

    A M

    P

    Q

    T N B C

    A) 5 B) 2 2 C) 4D) 4 2 E) 3

    12. En el grfico, T es punto de tangencia, m mAB BC = , TE=6 y CE=4. Calcule (BM)(MT).

    T

    MA C

    E

    B

    A) 4 B) 6 C) 8D) 6 2 E) 4 3

  • Geometra

    10

    Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822

    NIVEL AVANZADO

    13. En el grfico, D es punto de tangencia, CB=2(LD)=6(AL)=6 y m mBQC CD = . Calcu-le DF.

    AL

    D

    F

    B

    QC

    E

    A) 6 B) 4 C) 4 2D) 3 3 E) 6 2

    14. En el grfico, M, N y T son puntos de tangencia, mMTN = 210 , AC=3 y CF=2. Calcule EB.

    A C

    FTE N

    M

    B

    A) 4 B) 13/4 C) 21/4D) 23/6 E) 4 3

    15. En el grfico, CM=MB y R = 30. Calcule MF.

    A O B

    M

    F

    C

    R

    A) 3 2 B) 4 3 C) 2 3D) 3 E) 3

  • Geometra

    11

    Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822

    Relaciones mtricas II

    NIVEL BSICO

    1. Segn el grfico, calcule a, si HC=3(AH).

    A H C

    A) 37 B) C) 372

    D) 532 E) 30

    2. A partir del grfico, calcule x.

    x x+1

    x+9

    A) 5 B) 10 C) 15D) 20 E) 12

    3. En el grfico, AB=5. Calcule AD.

    B

    A

    D

    A) 5 B) 6 C) 10D) 12 E) 3

    4. En el grfico, AB=6 y AQ=2(CP). Calcule CD.

    A QP C

    D

    B

    A) 62

    B) 6 C) 3

    D) 5 E) 4

    5. Segn el grfico, PH=a y AC=b. Calcule AH.

    C

    AH

    P

    A) a+b

    B) ab

    C) a b2 2

    D) b a2 2

    E) b a2 2

    2

  • Geometra

    12

    Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822

    6. Segn el grfico, ADDC

    = 2. Calcule ABBC

    .

    A D C

    B

    A) 1 B) 2 C) 2

    2

    D) 3 E) 32

    7. Del grfico, (BM)(MH)=7 y AC=4(MN). Calcule (AB)(BC).

    A H C

    MN

    B

    A) 10 B) 14 C) 21D) 28 E) 35

    8. Segn el grfico, AC=2. Calcule (AB)(BC).

    15A

    B

    C

    A) 4 B) 1 C) 8D) 3 E) 5

    NIVEL INTERMEDIO

    9. Segn el grfico, BC=4(AB). Calcule x si T es punto de tangencia.

    T

    A

    Cx

    A) 30 B) 37 C) 532

    D) 15 E) 60

    10. Segn el grfico, ABCD es un cuadrado y (PC) (CQ)=16. Calcule MC.

    M A D N

    Q

    C

    P

    B

    A) 5 B) 6 2 C) 7D) 4 3 E) 3 3

    11. En el grfico, A es punto de tangencia y AC = 5 2. Calcule AD.

    A B

    C

    D

    A) 5 B) 10 C) 15D) 20 E) 25

  • Geometra

    13

    Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822

    12. En el grfico, R=5, AQ=QD=1 y m mDN NB = . Calcule MQ.

    A O B

    R

    N

    D

    QM

    A) 1/7 B) 1/5 C) 1/9D) 1/3 E) 1

    NIVEL AVANZADO

    13. Segn el grfico, NQ=K(AP). Calcule Rr

    .

    A Q B

    N

    53P

    C r

    R

    A) 54K

    B) 43K

    C) 43K

    D) 53K

    E) 54K

    14. En el grfico, P y Q son puntos de tangencia. Calcule (PH)(PC).

    B

    H

    A P D

    Q

    C

    27

    A) 18B) 20C) 12D) 15E) 24

    15. En el grfico, AE=2(EL), mCD = 60 y ML=MF.

    Calcule ACEM

    .

    A E L B

    D

    C

    M

    FF

    A) 3 B) 5 C) 2 3

    D) 2 E) 6

  • Geometra

    14

    Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822

    Relaciones mtricas III

    NIVEL BSICO

    1. En el grfico, (AB)2+(BC)2=100 y AM=MC=6. Calcule BM.

    A M C

    B

    A) 10 B) 8 C) 34

    D) 14 E) 17

    2. Segn el grfico, (AB)(BC)=48 y PH=6. Calcu-le BH.

    HA C

    B

    P

    A) 2 3 B) 12 C) 42D) 54 E) 3 6

    3. En el grfico, AB=13, BC=15 y AC=14. Calcule AH.

    A H C

    B

    A) 2 B) 5 C) 7D) 9 E) 1

    4. En el grfico, AB=5, BC=7, AD=2 y CD=4. Calcule BD.

    A D C

    B

    A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

    5. Segn el grfico, AP=6 y AM=MC=9. Calcule (BC)2 (AB)2.

    A M C

    P

    B

    A) 45B) 60C) 120D) 180E) 117

    6. En un tringulo ABC, AB=4, BC=7 y AC=9. Calcule la longitud de la altura relativa a AC.

    A) 34

    15 B) 6 5 C) 43

    5

    D) 27 5 E) 3 5

  • Geometra

    15

    Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822

    7. Segn el grfico, (AB)(BC)=60, EC=4 y AD = 21. Calcule BE.

    A

    D

    EC

    B

    A) 2 3 B) 2 2 C) 2 15D) 8 E) 4 3

    8. En el grfico, (AB)2+(AC)2=108 y BC=6. Cal-cule AP.

    O B

    P

    CA

    A) 5 B) 2 5

    C) 3 5D) 6 E) 6 3

    NIVEL INTERMEDIO

    9. En el grfico, AB=1, BC=2 y CD=3. Calcule la distancia de Q a AD.

    A B C D

    Q

    A) 3 B) 14 C) 2 14

    D) 3 14 E) 23

    14

    10. Segn el grfico, O es centro del rectngulo ABCD. Si AE=2 y AD=6, calcule (OE)2 (OC)2.

    A D

    O

    B C

    E

    A) 12 B) 20 C) 14D) 16 E) 18

    11. En el grfico, 4(AE)=4(ED)=DC=12. Calcule BD.

    2

    A E D C

    B

    A) 304

    B) 5

    5 C) 6 2

    D) 23

    6 E) 4 6

  • Geometra

    16

    Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822

    12. En el grfico, (AB)(BC)=20, FC=3(FL) y AC=6. Calcule BM.

    2

    L

    FB

    A M C

    A) 4 B) 3 C) 2 3D) 3 2 E) 2 2

    NIVEL AVANZADO

    13. Se tiene el tringulo ABC en el cual se traza la altura BH (H AC) y HM (M BC), tal que BM=MC. Si AB=5, BC=7 y AC=6, calcule la dis-tancia de C a HM

    .

    A) 7 B) 67

    C) 35

    6

    D) 67

    E) 107

    6

    14. Segn el grfico, ABCD es un romboide, tal que (AD)2+(CD)2=250 y PQ=10. Calcule QC.

    P

    A D

    Q

    CB

    A) 6B) 3C) 5D) 4E) 2

    15. En un tringulo ABC, se traza la altura BM y con dimetro HD (D HC) se traza una semicircunferencia tangente a BC en T. Si AB=13, BC=20 y AC=21, calcule el radio de la semicircunferencia.

    A) 4B) 4,5C) 5D) 5,5E) 6

  • Geometra

    2

    Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822

    6

    PRCTICA POR NIVELES

    NIVEL BSICO

    1. En el grfico, AB 1=BC=4. Calcule el rea de la regin ABC.

    53

    A C

    B

    A) 6 B) 12 C) 8D) 16 E) 18

    2. Segn el grfico, AC=8 y BH=4. Calcule el rea de la regin sombreada.

    A H C

    B

    A) 32 B) 16 C) 64D) 12 E) 24

    3. En el grfico, AC=2(AB)=10 y BC=9. Calcule el rea de la regin sombreada.

    A C

    B

    A) 35 B) 21 C) 3 14

    D) 2 14 E) 6 14

    4. Segn el grfico, AB=7, BC=8 y AH=1. Calcule el rea de la regin ABC.

    A CH

    B

    A) 20 3 B) 10 3 C) 15 3D) 4 3 E) 12 3

    5. En el grfico, AD=5 y DC=4. Calcule el rea de la regin ABC.

    30

    A D C

    B

    A) 12 B) 24 C) 36D) 18 E) 6

    6. Segn el grfico, AH=4 y HC=6. Calcule el rea de la regin ABC.

    B

    H CA

    A) 24B) 12C) 24 6D) 10 6E) 12 6

    reas de regiones triangulares

  • Geometra

    3

    Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822

    7

    Anual San Marcos Geometra

    7. Segn el grfico, T es punto de tangencia, AT=6 y AB=AC. Calcule el rea de la regin ABD.

    TA

    D

    C

    B

    30

    A) 6 B) 12 C) 18D) 9 E) 24

    8. Segn el grfico, (AB)2+(BC)2=50, AC=8 y MF=2. Calcule el rea de la regin MFB si AM=MC.

    B

    A M

    F

    C

    A) 2 B) 4 C) 6D) 8 E) 3

    NIVEL INTERMEDIO

    9. Segn el grfico, T es punto de tangencia y AB=R=6. Calcule el rea de la regin som-breada.

    2

    B

    C

    A T

    R

    A) 36 B) 18 C) 12D) 24 E) 30

    10. En el grfico, E es el punto de tangencia, AB=4 y BC=2. Si m mCE BE = 60, calcule el rea de la regin sombreada.

    E

    B CA

    A) 6 B) 2 6 C) 4 6D) 16 E) 24

    11. Segn el grfico, m mAM MC = y 4(AB)=5(BC). Calcule el rea de la regin triangular AFB.

    F5

    AM

    CB

    A) 10/3 B) 20/3 C) 40/3D) 10 E) 15

    12. Segn el grfico, T es punto de tangencia y (AB)(TC)=40. Calcule el rea de la regin ATC.

    A B C

    T

    A) 10 B) 20 C) 40D) 80 E) 30

    Segn el grfico,Calcule el rea de la regin triangular Segn el grfico,Calcule el rea de la regin triangular

    4 C) 68 E)

    F

    11.

    F

  • Geometra

    4

    Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822

    8

    Academia ADUNI Material Didctico N.o 5

    NIVEL AVANZADO

    13. Calcule el rea de una regin triangular equil-tera si se sabe que el radio de la circunferencia inscrita en este, mide 4.

    A) 48 3 B) 24 3 C) 12 3D) 9 3 E) 6 3

    14. Se tiene un cuadrado ABCD, en las prolon-gaciones de los lados AD y DC se ubican los puntos E y F, respectivamente, de modo que m BEF=m EBC. Si (EF)(AB)=90, calcule el rea de la regin triangular EFB.

    A) 30B) 60C) 90D) 50E) 45

    15. En una circunferencia de radio 20, se trazan los dimetros perpendiculares AC y BD. En el arco CD se ubica el punto Q, AQ y BD se intersectan en E. Si QC=24, calcule el rea de la regin triangular AED.

    A) 24 B) 48 C) 50D) 25 E) 100

  • Geometra

    5

    Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822

    12

    PRCTICA POR NIVELES

    NIVEL BSICO

    1. En el grfico el rea de la regin ABC es 100 y 3(AD)=2(CD). Calcule el rea de la regin BDC.

    A D C

    B

    A) 20 B) 40 C) 60D) 50 E) 30

    2. Segn el grfico, 3(BM)=7(MC) y el rea de la regin ABQ es 21. Calcule el rea de la regin sombreada.

    A

    Q

    C

    M

    B

    A) 21/2 B) 12 C) 10D) 9 E) 15

    3. En el grfico, T es punto de tangencia AT=6 y

    BC=9. Calcule Ab

    .

    B

    A B

    T A

    C

    A) 1 B) 2 C) 3D) 2/3 E) 3/2

    4. Segn el grfico, calcule Ab

    .

    53/253/2

    AA BB

    A) 1/2 B) 1/3 C) 2/3D) 1/4 E) 3/2

    5. Segn el grfico, CD=3(BD) y EC=2(AE). Cal-cule la razn entre las reas de las regiones BFD y AFE.

    B

    D

    F

    E CA

    A) 1/2 B) 3/2 C) 4/3D) 1/3 E) 4/5

    6. Segn el grfico, 4(AB)=6(BD)=12. Calcule la razn entre las reas de las regiones

    sombreadas.

    D

    A

    B

    C

    E

    A) 1 B) 1/2 C) 2/3D) 3/5 E) 9/4

    M

    es 21. Calcule el rea de la regin es 21. Calcule el rea de la regin

    Razn de reas de regiones triangulares

  • Geometra

    6

    Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822

    13

    Anual San Marcos Geometra

    7. Segn el grfico, G es baricentro de la regin ABC. Si el rea de la regin APQC es 25, calcule el rea de la regin triangular PBQ.

    B

    P QG

    A C

    A) 20 B) 25 C) 30D) 40 E) 50

    8. Segn el grfico, calcule la razn de reas de las regiones triangulares equilteras sombreadas.

    A) 5/12 B) 3/4 C) 7/12D) 11/13 E) 6/7

    NIVEL INTERMEDIO

    9. Segn el grfico, MN es base media del trin-gulo ABC y el rea de la regin triangular MBN es 40. Calcule el rea de la regin sombreada.

    B

    M N

    A C

    A) 40 B) 50 C) 60D) 70 E) 120

    10. En el grfico, E, F y T son puntos de tangencia y 5(BT)=3(AT). Calcule la razn de las reas de las regiones triangulares BCF y ADE.

    A) 3/5B) 2/3C) 4/5

    T

    B

    C

    F

    AE

    D

    D) 9/25E) 25/9

    11. Segn el grfico, AB = 2 2 y AD=4. Calcule la ra-zn entre las reas de las regiones sombreadas.

    B C

    A D

    A) 1/2 B) 1/16 C) 2/3D) 1/4 E) 1/3

    12. Segn el grfico, AB=4 y CD=9. Calcule la razn entre las reas de las regiones sombreadas.

    A B C D

    A) 1/2 B) 2/3 C) 4/5D) 2/9 E) 1/3

    Segn el grfico, zn entre las reas de las regiones sombreadas.Segn el grfico, zn entre las reas de las regiones sombreadas.

    3/4 C)

    11. 11.

  • Geometra

    7

    Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822

    14

    Academia ADUNI Material Didctico N.o 5

    NIVEL AVANZADO

    13. En el grfico, BC=5(AB). Halle la razn entre las reas de las regiones sombreadas.

    A) 2/5B) 1/4C) 1/11 33

    B

    A C

    D) 1/10E) 3/4

    14. Segn el grfico, AB=30 y AC=BC=25. Calcule la razn entre las reas de las regiones som-breadas.

    B

    A C

    A) 5/6 B) 7/18 C) 1/2D) 2/3 E) 7/25

    15. Segn el grfico, ABCD es un cuadrado y EC=DF. Indique la relacin correcta entre las reas de las regiones sombreadas.

    B C

    E

    A

    A 2A 2

    A1A1

    A 3A 3

    D F

    A) A3=A2 A1

    B) AA A

    32 12

    =

    C) AA A

    32 12

    =

    +

    D) A3=A2+A1

    E) A2=2A1+A3

    A A2 1A A2 1A A2

    A A2 1A AA A2 1A AB) A3 =

    C) AA A

    C

  • Geometra

    8

    Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822

    18

    PRCTICA POR NIVELES

    NIVEL BSICO

    1. Segn el grfico, 4(AC)=3(BD)=24. Calcule el rea de la regin cuadrangular ABCD.

    4545

    BC

    DA

    A) 48 2 B) 24 2 C) 12 2D) 10 2 E) 20 2

    2. A partir del grfico, calcule el rea de la regin sombreada si AC=8 y BD=2.

    A

    D

    B C

    60

    A) 4 3 B) 8 3 C) 16 3D) 32 3 E) 12 3

    3. Segn el grfico, BC // AD, AB=10 y AD=16. Calcule el rea de la regin trapecial ABCD si AB=CD.

    B C

    A D

    5353

    A) 40 B) 80 C) 160D) 100 E) 50

    4. Segn el grfico, ABCD es un cuadrado y +=90. Calcule el rea de la regin som-breada si AP=4 y QD=9.

    P A

    B

    D

    C

    Q

    A) 13 B) 26 C) 39D) 30 E) 36

    5. Segn el grfico, (AC)(BD)=16 y +=120. Calcule el rea de la regin cuadrangular ABCD.

    B

    C

    D

    A

    A) 32 B) 64 C) 16 3

    D) 8 3 E) 4 3

    6. En el grfico, EC=4(BF) y AD=5. Calcule el rea de la regin sombreada.

    A

    D

    C

    E

    FB

    A) 20 B) 40 C) 60D) 100 E) 80

    reas de regiones cuadrangulares

  • Geometra

    9

    Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822

    19

    Anual San Marcos Geometra

    7. En el grfico, 4(HC)=5(AH)=20 y HD = 5. Calcule el rea de la regin sombreada.

    B

    D

    CA H

    A) 9 52

    B) 27 52

    C) 18 52

    D) 36 52

    E) 15 52

    8. En el grfico, FBCE es un cuadrado. Si PF=5 y FQ=8, calcule el rea de la regin sombreada.

    B CQ

    F

    EA

    P

    A) 30 B) 15 C) 40D) 45 E) 20

    NIVEL INTERMEDIO

    9. A partir del grfico, calcule el rea de la regin paralelogrmica ABCD si mAB = 53 y R=5.

    A) 10B) 15C) 12

    B C

    A D

    R

    D) 18E) 20

    10. Segn el grfico, CD = 2 2 y mDC = 37. Calcu-le el rea de la regin paralelogrmica ABCD.

    B

    CA

    D

    A) 4 B) 8 C) 12D) 16 E) 20

    11. En el grfico, (AC)(BD)=36 y mBC = 60. Cal-cule el rea de la regin sombreada.

    A

    B

    C

    D

    A) 36 3B) 18 3C) 27 3D) 10 3E) 9 3

    12. Segn el grfico, AM=MB, BN=NC, AB=9 y BC=12. Calcule el rea de la regin sombreada.

    A C

    B

    NM

    A) 6 B) 9 C) 12D) 25 E) 3

    =8, calcule el rea de la regin sombreada.

    Q

    =8, calcule el rea de la regin sombreada.

  • Geometra

    10

    Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822

    20

    Academia ADUNI Material Didctico N.o 5

    NIVEL AVANZADO

    13. Si AD=CM y (BH)(BC)=20, halle el rea de la regin paralelogrmica ABCD.

    B C

    A M D

    H

    A) 5B) 7,5C) 10D) 15E) 20

    14. En el grfico, AOEC es un trapecio issceles. Si CD=2, calcule el rea de la regin sombreada.

    A O

    E

    D

    C

    A) 4 2 B) 6 2 C) 8 2D) 12 2 E) 16 2

    15. En el grfico, ABCD es un cuadrado, AP=PQ y DP=2. Calcule el rea de la regin cuadrada.

    A) 4B) 8C) 16

    B C

    QQ

    A P D

    D) 12E) 20

    16 16 D) 12E) 20

    =2, calcule el rea de la regin sombreada es un trapecio issceles. Si

    =2, calcule el rea de la regin sombreada es un trapecio issceles. Si es un trapecio issceles. Si es un trapecio issceles. Si es un trapecio issceles. Si

    =2, calcule el rea de la regin sombreada.

  • Geometra

    11

    Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822

    24

    PRCTICA POR NIVELES

    NIVEL BSICO

    1. Segn el grfico, BM=MC y AN=ND. Calcule X.

    BM

    C

    771010XX

    A N D

    A) 3 B) 4 C) 13D) 8,5 E) 5

    2. En el grfico, CM=MD y BC // AD. Calcule X.

    B C

    22

    2020

    A D

    M

    XX

    A) 9B) 11C) 18D) 10E) 12

    3. En el grfico, BC // AD. Calcule X.

    B C

    99

    44

    A D

    XX

    A) 13 B) 26 C) 12D) 6 E) 6,5

    4. Segn el grfico, halle la relacin entre A, B y C.

    AA

    BBCC

    A) A=B+C B) B=A+C C) B=A+2C

    D) AB C

    =

    +

    2 E) A B

    C= +

    2

    5. En el grfico, BC // AD y CF // DE. Calcule X en funcin de A y B.

    A) A+BB) B+2AC) A+2B

    AA XX

    BB

    F E

    CB

    A D

    D) 2A BE) 2B A

    6. Segn el grfico, halle la relacin entre las reas de las regiones sombreadas. (ABCD: paralelo-gramo)

    A

    D

    C

    B

    B C

    DA

    A) A+B= C+D

    B) A+C=B+D

    C) A BD C

    +

    2D) A+C=D+2C

    E) A+D=2(B+C)

    A+BB) B+2AC) A+2B D) 2A

    D

    X

    M

    Razn de reas de regiones cuadrangulares

  • Geometra

    12

    Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822

    25

    Anual San Marcos Geometra

    7. Segn el grfico, halle la relacin entre las reas de las regiones sombreadas.

    A) A+C=B+DB) A+B=C+DC) C+D=2A+B

    b

    d

    c

    c

    a

    a

    b

    d

    AB

    CD

    D) B+D=2(A+C)E) D B=C A

    8. En el grfico, ABCD es un paralelogramo. Ha-lle la relacin entre las reas de las regiones sombreadas.

    AA

    BBCC

    DD

    B C

    DA

    A) A+C =B+DB) C+D=A+BC) D=A+B CD) D=A+B+CE) B=D+A 2C

    NIVEL INTERMEDIO

    9. A partir del grfico, calcule A BC D

    +

    +.

    dd

    a a

    CC

    DD

    BB

    AA

    bbcc

    ccbb

    A) 1/3 B) 1/4 C) 3/2D) 1/2 E) 2/3

    10. En el grfico, ABCD es un romboide. Halle la re-lacin entre las reas A1, A2 y A3.

    A D

    CB

    A 3A 3

    A 2A 2A1A1

    A) A2=A1 2A3B) A1=A3+A2C) 2A1=A3+A2D) 2A3=A1+A2E) A1=A3 A2

    11. En el grfico, ABCD y DEFG son cuadrados. Calcule la razn entre las reas de las regiones sombreadas.

    B C

    A D G

    FE 88

    A) 1/7 B) 1/4 C) 9/16D) 1/8 E) 9/25

    12. Segn el grfico, AE=6, BE=3 y ED=4. Calcule la razn entre las reas de las regiones DECF y ABCD. (DECF es un paralelogramo).

    A) 1/3 C

    B

    AD

    F

    5353EE

    B) 1/5C) 2/7D) 1/9E) 1/4

    En el grfico, Calcule la razn entre las reas de las regiones sombreadas.Calcule la razn entre las reas de las regiones sombreadas.

    BDD

  • Geometra

    13

    Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822

    26

    Academia ADUNI Material Didctico N.o 5

    NIVEL AVANZADO

    13. En un cuadriltero convexo ABCD, M, N y Q son los puntos medios de AB, BC y CD, respectiva-mente. Calcule la razn entre las reas de las regiones MNQ y ABCD.

    A) 1/2 B) 1/3 C) 2/3D) 1/4 E) 2

    14. En un trapecio ABCD (BC // AD), se trazan sus diagonales. Las reas de las regiones BCD y ACD son 5 m2 y 20 m2, respectivamente. Cal-cule el rea de la regin trapecial ABCD.

    A) 20 m2 B) 25 m2 C) 35 m2

    D) 30 m2 E) 50 m2

    15. En el tringulo ABC, BN es mediana y el rea de la regin PQM es 4 u2. Calcule el rea de la regin trapecial APMC si las regiones AQP y NQC son equivalentes.

    B

    P M

    A N

    QQ

    C

    A) 18 u2 B) 24 u2 C) 36 u2

    D) 72 u2 E) 54 u2

  • Geometra

    14

    Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822

    30

    PRCTICA POR NIVELES

    NIVEL BSICO

    1. Segn el grfico, calcule A B.

    AA BB

    34

    A) 5 B) 7 C) 9D) E) 6

    2. Segn el grfico, T es punto de tangencia y AB=4. Calcule el rea de la corona circular.

    B

    A

    T

    A) B) 2 C) 3D) 4 E) 8

    3. Segn el grfico, R=6. Calcule A B si AB=AC.

    RR B

    A C

    AA BB

    3030

    A) B) 2 C) 3D) 4 E) 6

    4. Segn el grfico, R=4 y BC=6. Calcule la di-ferencia entre las reas de las regiones som-breadas.

    R

    B

    C

    A) 4 8 B) 3( 4) C) 4( 3)D) 4( 12) E) 4( 1)

    5. Segn el grfico, AB=14 y AC=50. Calcule el rea del crculo inscrito en ABC.

    B C

    A

    A) 12 B) 24 C) 18D) 36 E) 20

    6. Calcule el rea del crculo cuyo permetro es 8.

    A) 4 B) 16 C) 24D) 32 E) 8

    7. En el grfico, ABCD es un cuadrado y AB=4. Calcule el rea de la regin sombreada.

    B C

    DA

    A) 1 B) 3 C) 2D) 4 E) 2 2

    reas de regiones circulares

  • Geometra

    15

    Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822

    31

    Anual San Marcos Geometra

    8. Segn el grfico, BC=CD y R=4. Calcule el rea de la regin sombreada.

    R

    D

    B

    C

    A) 8 B) 16 C) 4D) 2 E) 32

    NIVEL INTERMEDIO

    9. En el grfico, AB=3 y BC=4. Calcule el rea de la corona circular.

    BC

    A

    A) 12 B) 6 C) 18D) 21 E) 15

    10. Segn el grfico, ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 8. Calcule la suma de las reas de las regiones sombreadas.

    A) 4 8B) 2+4C) 16

    B C

    A D

    D) 32E) 2+8

    11. En el grfico, T y Q son puntos de tangencia, AT=4 y TB=12. Calcule el rea de la regin sombreada.

    Q

    TA B

    A) 8 B) 16 C) 20D) 55 E) 23

    12. Halle el rea de la regin sombreada si m AOB=60 y OA=OB=12.

    A) 4B) 12C) 16

    O

    B

    A

    D) 20E) 36

    NIVEL AVANZADO

    13. Segn el grfico, T es punto de tangencia, TB=24 y BF=36. Calcule la diferencia entre las reas de las regiones sombreadas.

    FB

    T

    A) 69 B) 169 C) 85D) 50 E) 79

    12

    C) 16 D) 20E) 36

  • Geometra

    16

    Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822

    32

    Academia ADUNI Material Didctico N.o 5

    14. Halle el rea de la regin sombreada si AB es dimetro, OA=OB y FH=2. (O es punto de tan-gencia)

    A O BH

    F

    A) 2 8 B) 4 4 C) 4 1D) 2 1 E) 4 8

    15. Halle el rea de la regin sombreada si ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 10 u.

    B C

    A D

    A) 100 25 B) 150 50 C) 50D) 50 E) 25 50

  • 6Prctica por Niveles

    NIVEL BSICO

    1. Cul de las siguientes afirmaciones no es co-rrecta?

    I. Una recta y un punto determinan un plano. II. Si una recta es paralela a una recta conte-

    nida en un plano, entonces es paralela a dicho plano.

    III. Las rectas alabeadas son coplanares.

    A) solo I B) solo II C) solo IIID) I y III E) todas

    2. Cul de las siguientes proposiciones es inco-rrecta?

    I. Si dos planos son paralelos, las interseccio-nes de estos con un tercero son paralelas.

    II. Toda recta paralela a un plano es paralela a algunas rectas contenidas en dicho plano.

    III. Si dos rectas son paralelas a un mismo pla-no, entonces dichas rectas son paralelas.

    A) solo I B) solo II C) solo IIID) todas E) ninguna

    3. Indique verdadero (V) o falso (F) segn co-rresponda y elija la secuencia correcta.

    I. Dos planos paralelos a una misma recta son paralelos entre s.

    II. Un punto determina un plano. III. Si una recta no interseca a un plano, no es

    paralela a dicho plano.

    A) VFF B) FFF C) VVFD) VFV E) FFV

    4. Respecto a las siguientes afirmaciones, in-dique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F).

    I. Si una recta es perpendicular a una recta contenida en un plano, dicha recta ser se-cante al plano.

    II. Si dos rectas determinan un plano, son pa-ralelas o alabeadas.

    III. Si dos planos no son secantes, entonces no son paralelos.

    A) VVF B) FFV C) VFFD) FFF E) VVV

    5. Cul de las siguientes afirmaciones es inco-rrecta?

    I. Las rectas alabeadas no se intersecan. II. Las rectas pueden ser secantes, paralelas o

    alabeadas. III. Si una recta es paralela a dos planos, di-

    chos planos son paralelos.

    A) solo I B) solo II C) solo IIID) todas E) ninguna

    6. Indique verdadero (V) o falso (F) segn co-rresponda y elija la secuencia correcta.

    I. Tres puntos determinan un plano. II. Dos rectas determinan un plano. III. Las rectas paralelas son coplanares.

    A) VVVB) VVF C) VFVD) VFF E) FFV

    7. Segn el grfico, P // Q; A y B estn en el plano P, y C y D estn en el plano q. Calcule m

    m

    AD

    BC

    .

    PP

    QQ

    AA BB

    CCDD

    A) 1 B) 2 C) 3

    D) 4 E) 12

    2

    Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822

    Geometra Introduccin a la geometra del espacio

  • 6Prctica por Niveles

    NIVEL BSICO

    1. Cul de las siguientes afirmaciones no es co-rrecta?

    I. Una recta y un punto determinan un plano. II. Si una recta es paralela a una recta conte-

    nida en un plano, entonces es paralela a dicho plano.

    III. Las rectas alabeadas son coplanares.

    A) solo I B) solo II C) solo IIID) I y III E) todas

    2. Cul de las siguientes proposiciones es inco-rrecta?

    I. Si dos planos son paralelos, las interseccio-nes de estos con un tercero son paralelas.

    II. Toda recta paralela a un plano es paralela a algunas rectas contenidas en dicho plano.

    III. Si dos rectas son paralelas a un mismo pla-no, entonces dichas rectas son paralelas.

    A) solo I B) solo II C) solo IIID) todas E) ninguna

    3. Indique verdadero (V) o falso (F) segn co-rresponda y elija la secuencia correcta.

    I. Dos planos paralelos a una misma recta son paralelos entre s.

    II. Un punto determina un plano. III. Si una recta no interseca a un plano, no es

    paralela a dicho plano.

    A) VFF B) FFF C) VVFD) VFV E) FFV

    4. Respecto a las siguientes afirmaciones, in-dique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F).

    I. Si una recta es perpendicular a una recta contenida en un plano, dicha recta ser se-cante al plano.

    II. Si dos rectas determinan un plano, son pa-ralelas o alabeadas.

    III. Si dos planos no son secantes, entonces no son paralelos.

    A) VVF B) FFV C) VFFD) FFF E) VVV

    5. Cul de las siguientes afirmaciones es inco-rrecta?

    I. Las rectas alabeadas no se intersecan. II. Las rectas pueden ser secantes, paralelas o

    alabeadas. III. Si una recta es paralela a dos planos, di-

    chos planos son paralelos.

    A) solo I B) solo II C) solo IIID) todas E) ninguna

    6. Indique verdadero (V) o falso (F) segn co-rresponda y elija la secuencia correcta.

    I. Tres puntos determinan un plano. II. Dos rectas determinan un plano. III. Las rectas paralelas son coplanares.

    A) VVVB) VVF C) VFVD) VFF E) FFV

    7. Segn el grfico, P // Q; A y B estn en el plano P, y C y D estn en el plano q. Calcule m

    m

    AD

    BC

    .

    PP

    QQ

    AA BB

    CCDD

    A) 1 B) 2 C) 3

    D) 4 E) 12

    7

    Anual San Marcos Geometra

    8. En el grfico, P // Q. Calcule x.

    QQ

    PP

    3030

    xx

    4040

    A) 70 B) 50 C) 60D) 35 E) 40

    NIVEL INTERMEDIO

    9. En el grfico, P // Q // R, 2(AB)=3(BC) y EF=6. Calcule ED.

    PP

    QQ

    RR

    AA

    BB

    CC

    DD

    EE

    FF

    A) 6 B) 7 C) 8D) 9 E) 5

    10. En el grfico, P // Q, E y B estn en el

    plano P; A, C y D estn en el plano Q. Si G es

    baricentro de la regin ABC, calcule EGGD

    .

    QQ

    PP

    AA

    BB

    CC

    DD

    EE

    G

    A) 1 B) 2 C) 3

    D) 12

    E) 13

    11. Indique verdadero (V) o falso (F) segn co-rresponda y elija la secuencia correcta.

    I. Las rectas alabeadas solo tienen un punto en comn.

    II. Las rectas secantes son coplanares. III. Si una recta no es secante a un plano, en-

    tonces es paralela a dicho plano.

    A) VFV B) VVF C) FFVD) FFF E) FVF

    12. Indique verdadero (V) o falso (F) segn co-rresponda y elija la secuencia correcta.

    I. Dos rectas siempre determinan un plano. II. La interseccin de tres planos siempre es

    una recta. III. Si una recta es paralela a un plano, enton-

    ces dicha recta ser paralela a todas las rectas contenidas en dicho plano.

    A) VFF B) VFV C) FVFD) FVV E) FFF

    Geometra

    3

    Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822

  • 8Academia ADUNI Material Didctico N.o 6

    NIVEL AVANZADO

    13. Indique verdadero (V) o falso (F) segn corres-ponda y elija la secuencia correcta.

    I. Si dos rectas no se intersecan, entonces son paralelas.

    II. Por una recta secante a un plano se puede trazar solo un plano secante al primero.

    III. Si dos planos no son paralelos, entonces son secantes.

    A) VFV B) VVV C) FFVD) FVV E) FFF

    14. Indique las proposiciones incorrectas. I. Si una recta es perpendicular a una recta

    paralela a un plano, entonces dicha recta es paralela al plano.

    II. Toda recta contenida en uno de dos planos paralelos es paralela al otro plano.

    III. Dos rectas paralelas a un mismo plano siempre determinan un plano.

    A) todasB) solo IC) I y IIID) I y IIE) II y III

    15. Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones y elija la se-cuencia correcta.

    I. Si dos planos no se intersecan, entonces son secantes.

    II. La interseccin de dos planos secantes es un segmento.

    III. Cuatro puntos no colineales determinan a los ms un plano.

    A) VFVB) VVVC) FFVD) FVVE) FFF

    Geometra

    4

    Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822

  • 8Academia ADUNI Material Didctico N.o 6

    NIVEL AVANZADO

    13. Indique verdadero (V) o falso (F) segn corres-ponda y elija la secuencia correcta.

    I. Si dos rectas no se intersecan, entonces son paralelas.

    II. Por una recta secante a un plano se puede trazar solo un plano secante al primero.

    III. Si dos planos no son paralelos, entonces son secantes.

    A) VFV B) VVV C) FFVD) FVV E) FFF

    14. Indique las proposiciones incorrectas. I. Si una recta es perpendicular a una recta

    paralela a un plano, entonces dicha recta es paralela al plano.

    II. Toda recta contenida en uno de dos planos paralelos es paralela al otro plano.

    III. Dos rectas paralelas a un mismo plano siempre determinan un plano.

    A) todasB) solo IC) I y IIID) I y IIE) II y III

    15. Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones y elija la se-cuencia correcta.

    I. Si dos planos no se intersecan, entonces son secantes.

    II. La interseccin de dos planos secantes es un segmento.

    III. Cuatro puntos no colineales determinan a los ms un plano.

    A) VFVB) VVVC) FFVD) FVVE) FFF

    12

    Prctica por Niveles

    NIVEL BSICO

    1. En el grfico, OP es perpendicular al plano del crculo y PL=5. Calcule OP.

    OO33

    P

    LL

    A) 3 B) 4 C) 5D) 8 E) 2

    2. Segn el grfico, ABCD y ABEF son cuadrados. Calcule la medida del ngulo determinado por BC y EF.

    A

    B C

    D

    E

    F

    A) 90 B) 75 C) 60D) 53 E) 45

    3. En el grfico, ABCD es un cuadrado y AQD es un tringulo equiltero. Calcule la medida del ngulo determinado por AQ y CD.

    A B

    CD

    Q

    60

    A) 30B) 45C) 53D) 37E) 60

    4. Segn el grfico, ABCD es un cuadrado de centro O, OP es perpendicular al plano de di-cho cuadrado y AB=OP. Calcule x. (CM=MD).

    MOO

    P

    B C

    DA

    x

    A) 45 B) 532 C) 37

    2

    D) 30 E) 60

    5. Segn el grfico, G es baricentro de la regin equiltera ABC, AP es perpendicular al plano de dicha regin. Si AB=6 y AP = 3, calcule x.

    A

    P

    B

    C

    xx

    GG

    A) 15 B) 30 C) 18

    D) 8 E) 372

    5

    Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822

    GeometraGeometra del espacio I

  • 13

    Anual San Marcos Geometra

    6. Segn el grfico, PC es perpendicular al pla-no del rectngulo ABCD, PC=CD=5. Calcule la medida del ngulo entre AP y el plano del rectngulo.

    A

    BC

    D

    P

    3030

    A) 15 B) 16 C) 532

    D) 30 E) 372

    7. Segn el grfico, GQ es perpendicular al plano de la regin equiltera ABC, cuyo baricentro

    es G, BC=12 y GQ = 3 3. Calcule la medida del ngulo entre BQ y el plano de ABC.

    A

    B

    C

    Q

    G

    A) 53B) 37C) 30D) 45E) 60

    8. En el grfico, la proyeccin ortogonal de AB sobre el plano P mide 6 u y BN=17. Calcule AB - AM.

    A

    B

    MMPPNN

    37

    A) 5 B) 4 C) 3D) 2 E) 1

    NIVEL INTERMEDIO

    9. Determine la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes afirmaciones y elija la secuencia correcta.

    I. Si dos rectas forman el mismo ngulo con un mismo plano, sern paralelas.

    II. Si dos rectas son perpendiculares a un mis-mo plano, sern paralelas.

    III. Un segmento y su proyeccin ortogonal so-bre un plano son de igual longitud.

    A) VVF B) VVV C) FVFD) VFV E) FFF

    10. En el grfico, PC es perpendicular al plano del cuadrado ABCD cuyo lado mide 4. Calcule la distancia de P al punto medio de AD.

    P

    B C

    DA

    5

    A) 2 5 B) 2 C) 4D) 5 E) 3 5

    Geometra

    6

    Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822

  • 13

    Anual San Marcos Geometra

    6. Segn el grfico, PC es perpendicular al pla-no del rectngulo ABCD, PC=CD=5. Calcule la medida del ngulo entre AP y el plano del rectngulo.

    A

    BC

    D

    P

    3030

    A) 15 B) 16 C) 532

    D) 30 E) 372

    7. Segn el grfico, GQ es perpendicular al plano de la regin equiltera ABC, cuyo baricentro

    es G, BC=12 y GQ = 3 3. Calcule la medida del ngulo entre BQ y el plano de ABC.

    A

    B

    C

    Q

    G

    A) 53B) 37C) 30D) 45E) 60

    8. En el grfico, la proyeccin ortogonal de AB sobre el plano P mide 6 u y BN=17. Calcule AB - AM.

    A

    B

    MMPPNN

    37

    A) 5 B) 4 C) 3D) 2 E) 1

    NIVEL INTERMEDIO

    9. Determine la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes afirmaciones y elija la secuencia correcta.

    I. Si dos rectas forman el mismo ngulo con un mismo plano, sern paralelas.

    II. Si dos rectas son perpendiculares a un mis-mo plano, sern paralelas.

    III. Un segmento y su proyeccin ortogonal so-bre un plano son de igual longitud.

    A) VVF B) VVV C) FVFD) VFV E) FFF

    10. En el grfico, PC es perpendicular al plano del cuadrado ABCD cuyo lado mide 4. Calcule la distancia de P al punto medio de AD.

    P

    B C

    DA

    5

    A) 2 5 B) 2 C) 4D) 5 E) 3 5

    14

    Academia ADUNI Material Didctico N.o 6

    11. Segn el grfico, ABCD y ABEF son cuadrados de centro O y O1, respectivamente. Calcule la medida del ngulo entre OO1 y BC.

    A

    C

    D

    E

    F BB

    OO

    O1O1

    120

    A) 45 B) 90 C) 60D) 30 E) 37

    12. En el grfico, G es baricentro de la regin equi-ltera BEC y O es centro del cuadrado ABCD. Calcule la medida del ngulo entre OG y CD.

    GG

    OO

    E

    B C

    DA

    A) 30 B) 60 C) 532

    D) 372

    E) 15

    NIVEL AVANZADO

    13. Segn el grfico, AB=BC y AB est contenido en el plano P. Si la medida del ngulo entre BC y el plano P es de 45, calcule la medida del ngulo entre AC y el plano P.

    C

    PP

    BB

    AA

    A) 45 B) 37 C) 53D) 60 E) 30

    14. Segn el grfico, AB y BC estn contenidos en el plano P, y AD es perpendicular al plano P. Si BC=8 y AD=6, calcule la medida del ngulo entre MN y BC.

    m

    m

    M

    D

    PP BB

    NNnn

    nnCCAA

    A) 30B) 53C) 37D) 45E) 60

    15. En un semicrculo de dimetro AB y radio 5, por B se traza BP perpendicular a su plano y se

    ubica Q en el arco AB. Si BP=18 y mBQ = 74, calcule la medida del ngulo entre PQ y el plano del semicrculo.

    A) 30 B) 60 C) 532

    D) 45 E) 1432

    Geometra

    7

    Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822

  • 18

    Prctica por Niveles

    NIVEL BSICO

    1. Si la medida del diedro determinado por los rectngulos congruentes ABCD y CDEF es de 120, y BC=4, calcule AE.

    C

    D A

    B

    E

    F

    A) 8 B) 12 C) 4 3D) 6 3 E) 8 3

    2. Segn el grfico, AH=9, HC=4 y BQ=6. Calcu-le la medida del diedro AC.

    A

    B

    C

    H

    Q

    A) 30B) 60C) 45D) 53E) 37

    3. En el grfico, los semicrculos estn en planos perpendiculares, m mBQ AP = = 90.

    Calcule PQ.

    3

    A B

    P

    Q

    A) 6 B) 9 C) 6 2D) 4 2 E) 3 2

    4. Las regiones triangulares equilteras ABC y BCD determinan un diedro de 106, y AB=10. Calcule AD.

    AA

    BB

    CC

    D

    A) 4 3 B) 6 3 C) 10D) 20 E) 8 3

    5. Segn el grfico, BP es perpendicular al plano del tringulo ABC, AB=15, BC=20 y BP=9. Cal-cule la medida del diedro AC.

    A

    B

    C

    P

    A) 45 B) 53 C) 60

    8

    Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822

    GeometraGeometra del espacio II

  • 18

    Prctica por Niveles

    NIVEL BSICO

    1. Si la medida del diedro determinado por los rectngulos congruentes ABCD y CDEF es de 120, y BC=4, calcule AE.

    C

    D A

    B

    E

    F

    A) 8 B) 12 C) 4 3D) 6 3 E) 8 3

    2. Segn el grfico, AH=9, HC=4 y BQ=6. Calcu-le la medida del diedro AC.

    A

    B

    C

    H

    Q

    A) 30B) 60C) 45D) 53E) 37

    3. En el grfico, los semicrculos estn en planos perpendiculares, m mBQ AP = = 90.

    Calcule PQ.

    3

    A B

    P

    Q

    A) 6 B) 9 C) 6 2D) 4 2 E) 3 2

    4. Las regiones triangulares equilteras ABC y BCD determinan un diedro de 106, y AB=10. Calcule AD.

    AA

    BB

    CC

    D

    A) 4 3 B) 6 3 C) 10D) 20 E) 8 3

    5. Segn el grfico, BP es perpendicular al plano del tringulo ABC, AB=15, BC=20 y BP=9. Cal-cule la medida del diedro AC.

    A

    B

    C

    P

    A) 45 B) 53 C) 60

    19

    Anual San Marcos Geometra

    D) 37 E) 156. En el grfico, los cuadrados ABCD y CDEF

    estn en planos perpendiculares y O es cen-tro de CDEF. Calcule la medida del diedro O - AB - C.

    A B

    CD

    E F

    O

    A) 30 B) 532 C) 37

    2

    D) 45 E) 53

    7. En el grfico, BP es perpendicular al plano de la regin equiltera ABC, AB=8 y BP = 3 3. Calcule la distancia de P a AC.

    P

    BB

    AA

    CC

    A) 4 B) 8 C) 5 2D) 5 3 E) 4 3

    8. Indique verdadero (V) o falso (F) segn co-rresponda y elija la secuencia correcta.

    I. Dos planos son perpendiculares si su die-dro mide 90.

    II. Si L L

    1 2y son perpendiculares a L

    3, en-tonces L

    1 // L

    2. III. El ngulo diedro se determina trazando,

    en cada plano, rectas perpendiculares a la

    arista de dicho diedro.A) VFF B) VVF C) VVVD) VFV E) FFF

    NIVEL INTERMEDIO

    9. Segn el grfico, BF es perpendicular al plano ABCD; AB=BC=BF=6 y M es punto medio de CD. Halle el rea de la regin sombreada.

    F

    M

    A

    B C

    D

    A) 9 2 B) 36 C) 12 3D) 9 E) 18 2

    10. Segn el grfico, GP es perpendicular al plano de la regin equiltera ABC cuyo baricentro es G. Si AC PG= ( ) =3 6 3, calcule la medida del diedro AB.

    A

    B

    C

    GG

    P

    A) 1272 B)

    1432

    C) 30

    Geometra

    9

    Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822

  • 20

    Academia ADUNI Material Didctico N.o 6

    D) 60 E) 4511. Segn el grfico, AF es perpendicular al pla-

    no del semicrculo, AB=AF=6 y m mMB MA = . Calcule el rea de la regin BFM.

    A

    B

    F

    M

    A) 6 3 B) 9 2 C) 9 3D) 6 2 E) 12

    12. Segn el grfico, AP es perpendicular al plano del cuadrado ABCD y CD=4. Calcule el rea de la regin PDC.

    A B

    CD

    P

    37

    A) 2 B) 4 C) 6D) 8 E) 10

    NIVEL AVANZADO

    13. Por el extremo A del dimetro AB de una cir-cunferencia, se traza AM perpendicular al pla-no de la circunferencia y se ubica un punto C en la circunferencia. Calcule MC si MB=26 y BC=14.