GeoGebra Pomoć Službeni priručnik 3.2

Markus Hohenwarter i Judith Hohenwarter www.geogebra.org

2

Pomoć za program GeoGebra 3.2

Posljednja promjena: 23.4.2009. Autori Markus Hohenwarter, markus@geogebra.org Judith Hohenwarter, judith@geogebra.org Hrvatska verzija: Šime Šuljić, sime.suljic@pu.t-com.hr Ela Rac Marinić Kragić, ela.kragic-marinic@skole.hr Josip Kličinović, kjosip@net.amis.hr GeoGebra na internetu Web-stranica: http://ww.geogebra.org Pretražnik pomoći: http://www.geogebra.org/help/search.html

3

Sadržaj

1. ŠTO JE GEOGEBRA? ................................................................................................................. 6

1.1. Višestrukost prikaza matematičkih objekata ................................................................................... 6 1.1.1. Grafički prikaz ................................................................................................................................. 6 1.1.2. Algebarski prikaz ............................................................................................................................. 7 1.1.3. Tablični prikaz ................................................................................................................................. 8

1.2. GeoGebra kao oruđe za učenje i poučavanje matematike ............................................................... 8 1.2.1. Prilagodba korisničkog sučelja ........................................................................................................ 8 1.2.2. Izmjena svojstava objekta ............................................................................................................. 10 1.2.3. Korištenje skočnog izbornika ........................................................................................................ 10

1.3. GeoGebra kao prezentacijski alat .................................................................................................. 11 1.3.1. Korištenje trake za korake konstrukcije ........................................................................................ 11 1.3.2. Korištenje opisa konstrukcije ........................................................................................................ 11 1.3.3. Izmjena postavki programa GeoGebra ......................................................................................... 12

1.4. GeoGebra kao autorski alat .......................................................................................................... 13 1.4.1. Postavke ispisa .............................................................................................................................. 13 1.4.2. Izrada slika grafičkog prikaza ........................................................................................................ 13 1.4.3. Izrada interaktivne web‐stranice .................................................................................................. 14

2. GEOMETRIJSKI UNOS ........................................................................................................... 16

2.1. Opće napomene ........................................................................................................................... 16

2.2. Alati za konstruiranje .................................................................................................................... 16 2.2.1. Opći alati ....................................................................................................................................... 17 2.2.2. Točke ............................................................................................................................................. 18 2.2.3. Vektori .......................................................................................................................................... 19 2.2.4. Dužine ........................................................................................................................................... 19 2.2.5. Zrake ............................................................................................................................................. 20 2.2.6. Mnogokuti .................................................................................................................................... 20 2.2.7. Pravci ............................................................................................................................................ 20 2.2.8. Konike ........................................................................................................................................... 21 2.2.9. Luk i isječak ................................................................................................................................... 22 2.2.10. Broj i kut ........................................................................................................................................ 23 2.2.11. Logički ........................................................................................................................................... 25 2.2.12. Lokus ............................................................................................................................................. 25 2.2.13. Geometrijske transformacije ........................................................................................................ 25 2.2.14. Tekst .............................................................................................................................................. 26 2.2.15. Slike ............................................................................................................................................... 28

3. ALGEBARSKI UNOS ............................................................................................................... 30

3.1. Opće napomene ........................................................................................................................... 30

3.2. Izravan unos ................................................................................................................................. 32 3.2.1. Brojevi i kutovi .............................................................................................................................. 32

4

3.2.2. Točke i vektori ............................................................................................................................... 33 3.2.3. Pravci i osi ..................................................................................................................................... 33 3.2.4. Konike ........................................................................................................................................... 34 3.2.5. Funkcije po x ................................................................................................................................. 34 3.2.6. Unaprijed definirane funkcije i aritmetičke operacije .................................................................. 35 3.2.7. Logičke varijable i operacije .......................................................................................................... 36 3.2.8. Lista objekata i operacije s listama ............................................................................................... 36 3.2.9. Matrice i operacije s matricama ................................................................................................... 37 3.2.10. Kompleksni brojevi i operacije ...................................................................................................... 38

3.3. Naredbe ....................................................................................................................................... 39 3.3.1. Opće naredbe ............................................................................................................................... 40 3.3.2. Logičke naredbe ............................................................................................................................ 40 3.3.3. Brojevi ........................................................................................................................................... 40 3.3.4. Kutovi ............................................................................................................................................ 44 3.3.5. Točke ............................................................................................................................................. 44 3.3.6. Vektor ........................................................................................................................................... 46 3.3.7. Dužine ........................................................................................................................................... 47 3.3.8. Zrake ............................................................................................................................................. 47 3.3.9. Mnogokuti .................................................................................................................................... 47 3.3.10. Pravci ............................................................................................................................................ 47 3.3.11. Konike ........................................................................................................................................... 49 3.3.12. Funkcije ......................................................................................................................................... 50 3.3.13. Parametarske krivulje ................................................................................................................... 51 3.3.14. Lukovi i isječci ............................................................................................................................... 52 3.3.15. Tekst .............................................................................................................................................. 53 3.3.16. Lokus ............................................................................................................................................. 55 3.3.17. Liste i nizovi ................................................................................................................................... 55 3.3.18. Geometrijske transformacije ........................................................................................................ 59 3.3.19. Statističke naredbe ....................................................................................................................... 60 3.3.20. Tablične naredbe .......................................................................................................................... 64 3.3.21. Matrične naredbe ......................................................................................................................... 65

4. PODIZBORNICI ....................................................................................................................... 66

4.1. Izbornik Datoteka ......................................................................................................................... 66

4.2. Izbornik Uređivanje ...................................................................................................................... 68

4.3. Izbornik Pogled ............................................................................................................................. 70

4.4. Izbornik Postavke ......................................................................................................................... 71

4.5. Izbornik Alati ................................................................................................................................ 73

4.6. Izbornik Prozor ............................................................................................................................. 74

4.7. Izbornik Pomoć ............................................................................................................................. 74

5. POSEBNE MOGUĆNOSTI ...................................................................................................... 76

5.1. Animacija ..................................................................................................................................... 76 5.1.1. Automatska animacija .................................................................................................................. 76 5.1.2. Ručna animacija ............................................................................................................................ 76

5.2. Uvjetni prikaz objekta ................................................................................................................... 77

5

5.3. Korisnički definirani alati .............................................................................................................. 78

5.4. Dinamične boje ............................................................................................................................ 79

5.5. JavaScript sučelje .......................................................................................................................... 79

5.6. Tipkovničke kratice ....................................................................................................................... 80

5.7. Oznake i natpisi ............................................................................................................................ 83

5.8. Razine .......................................................................................................................................... 84

5.9. Redefiniranje ................................................................................................................................ 84

5.10. Trag i lokus ................................................................................................................................... 85

INDEKS .............................................................................................................................................. 87

6

1. Što je GeoGebra?

Program GeoGebra je matematički softver koji povezuje geometriju, algebru i analizu. Razvio ga je Markus Hohenwarter i međunarodni tim programera za poučavanje matematike u školama.

1.1. Višestrukost prikaza matematičkih objekata

GeoGebra ima tri različita načina promatranja matematičkih objekata: grafički prikaz, algebarski prikaz i tablični prikaz. Oni omogućavaju predstavljanje matematičkih objekata na tri različita načina: grafički (npr. točka, graf funkcije), algebarski (npr. koordinate točke, jednadžba) ili u ćelijama tabličnog prikaza. Svi prikazi jednog objekta su dinamički povezani i automatski će se promijeniti ako promijenite bilo koji prikaz, bez obzira na koji je način objekt izvorno kreiran.

1.1.1. Grafički prikaz

Koristeći alate za konstrukciju koji su dostupni u alatnoj traci mišem možete izvoditi geometrijske konstrukcije u grafičkom prikazu. Odaberite bilo koji alat za konstrukciju iz alatne trake i pročitajte pomoć alatne trake (nalazi se pored alatne trake) kako biste saznali kako se koristi odabrani alat. Bilo koji objekt kreiran u grafičkom prikazu ima svoju reprezentaciju u algebarskom prikazu. Napomena: Možete pomicati objekt u grafičkom prikazu povlačeći ga mišem. Istodobno se njegov algebarski prikaz dinamički mijenja u algebarskom prikazu.

Algebarski prikaz

Grafički prikaz

Tablični prikaz

Traka za unos

Alatna traka

7

Svaka ikona u alatnoj traci predstavlja alatni okvir koji sadrži slične alate za konstrukciju. Kako biste otvorili alatni okvir, pritisnite malu strelicu u donjem desnom uglu ikone na alatnoj traci. Savjet: Alati za konstrukciju su organizirani prema prirodi rezultirajućeg objekta. Naći ćete alate za konstruiranje različitih vrsta točaka u alatnom okviru Točka (početna ikona ) i alate koji omogućavaju različite geometrijske transformacije u alatnom okviru Transformacije (početna ikona ).

1.1.2. Algebarski prikaz

Koristeći traku za unos možete izravno unijeti algebarski izraz u GeoGebru. Kad pritisnete tipku Enter vaš se algebarski unos pojavljuje u algebarskom prikazu, dok se grafički prikaz automatski prikaže u grafičkom prikazu. Na primjer, unos f(x) = x^2 će napisati funkciju f u algebarskom prikazu i prikazati graf te funkcije u grafičkom prikazu. U algebarskom prikazu matematički su objekti organizirani kao nezavisni i zavisni objekti. Ukoliko kreirate neki novi objekt ne koristeći neki od postojećih objekata, on se klasificira kao nezavisni objekt. Ako je novi objekt kreiran koristeći već postojeći objekt, on se klasificira kao zavisni objekt. Savjet: Želite li sakriti algebarski prikaz objekta u algebarskom prikazu, možete objekt označiti kao pomoćni objekt: desni klik (MacOS: Ctrl+klik) na odgovarajući objekt u algebarskom prikazu te odaberite Svojstva iz skočnog izbornika. Na kartici Osnovno uključite Pomoćni objekt. Obično pomoćni objekti nisu prikazani u algebarskom prikazu, ali to se može promijeniti odabirući opciju Pomoćni objekti iz izbornika Pogled. Primijetite da je također moguće promijeniti objekt u algebarskom prikazu: pazite da je odabran alat Pomicanje prije nego što dvaput kliknete na nezavisni objekt u algebarskom prikazu. U okviru za unos koji se pojavio možete direktno promijeniti algebarski prikaz objekta. Kad pritisnete tipku Enter, grafički prikaz objekta će se automatski promijeniti. Ukoliko kliknete dvaput na zavisni objekt u algebarskom prikazu pojavit će se dijaloški okvir koji omogućava redefiniranje objekta. GeoGebra nudi široki popis naredbi koje se mogu unijeti u traku za unos. Možete otvoriti popis naredbi u desnom uglu trake za unos tako što kliknete na padajući izbornik Naredbe. Nakon što odaberete naredbu iz popisa (ili upišete naredbu izravno u traku za unos) možete pritisnuti F1 kako biste dobili informaciju o načinu uporabe naredbe (sintaksa i argumenti naredbe).

8

1.1.3. Tablični prikaz

U GeoGebri svaka ćelija tabličnog prikaza ima specifični naziv čime je omogućeno izravno adresiranje svake ćelije. Na primjer, ćelija u stupcu A i redu 1 se zove ćelija A1. Napomena: Naziv ćelije se može upotrijebiti u izrazima i naredbama kako bi se adresirao sadržaj pripadajuće ćelije. U ćelije možete unijeti ne samo brojeve, već sve tipove matematičkih objekata (na primjer, koordinate točaka, funkcije, naredbe). Ako je moguće, GeoGebra će odmah po unosu objekta prikazati grafički prikaz tog objekta. Takvim unosom naziv objekta će odgovarati nazivu ćelije u kojoj je objekt izvorno kreiran (na primjer A5, C1). Napomena: Prema početnim postavkama objekti u ćelijama klasificiraju se kao pomoćni objekti u algebarskom prikazu. Možete prikazati ili sakriti pomoćne objekte odabirući opciju Pomoćni objekti iz izbornika Pogled.

1.2. GeoGebra kao oruđe za učenje i poučavanje matematike

1.2.1. Prilagodba korisničkog sučelja

Korisničko sučelje GeoGebre se može prilagoditi koristeći izbornik Pogled. Tako možete sakriti različite dijelove sučelja (npr algebarski prikaz, tablični prikaz ili traku za unos) birajući odgovarajuće stavke iz izbornika Pogled.

Prikaz i skrivanje objekata Na različite načine možete pokazati ili skriti objekte u grafičkom prikazu.

• Korištenjem alata Pokaži / sakrij objekt. • Otvaranjem skočnog izbornika i odabirom Pokaži objekt za promjenu

statusa vidljivosti odabranog objekta. • U algebarskom prikazu ikona s lijeve strane svakog objekta označava njegov

trenutni status vidljivosti ( ‘vidljiv’ ili ‘skriven’). Klikom na malu kugličastu ikonu izravno možete mijenjati status vidljivosti objekta.

• Možete koristiti alat Kontrolni okvir za prikaz i skrivanje objekata kako biste upravljali statusom vidljivosti jednog ili više objekata.

Prilagodba grafičkog prikaza Kako biste prilagodili vidljivi dio grafičkog prikaza, možete pomicati pozadinu grafičkog prikaza koristeći alat Pomicanje grafičkog prikaza iz alatne trake ili koristiti slijedeće načine povećavanja/smanjivanja prikazanog dijela:

9

• Možete koristiti alat Povećanje i Smanjenje kako biste povećali ili smanjili trenutni pogled u grafičkom prikazu Napomena: Središte povećanja/smanjenja je određen klikom miša

• Možete koristiti kotačić na mišu kako biste povećali ili smanjili pogled u grafičkom prikazu

• Možete koristiti tipkovničke kratice kako bi povećali (Ctrl +) ili smanjili (Ctrl -) prikaz.

• Nakon klika desnom tipkom miša (MacOS: Ctrl + klik) na prazno mjesto u grafičkom prikazu, pojavljuje se skočni izbornik koji omogućava povećanje ili smanjenje prikaza

• Možete odrediti područje povećanja tako što kliknete desnom tipkom miša (MacOS: Cmd + klik) na prazno mjesto u grafičkom prikazu i povlačeći miš do suprotnog vrha željenog pravokutnika povećanja. Pustite gumb miša kako biste završili željeni pravokutnik povećanja, nakon čega se automatski sve unutar tog pravokutnika prikazuje preko cijelog grafičkog prikaza.

U grafičkom prikazu možete prikazati ili sakriti koordinatne osi i koordinatnu mrežu u grafičkom prikazu koristeći izbornik Pogled. Napomena: Drugi način pokazivanja ili skrivanja osi i mreže je da kliknete desnom tipkom miša (MacOS: Ctrl + klik) na pozadinu grafičkog prikaza i odabirete odgovarajuće ikone Koordinatne osi ili Koordinatna mreža iz skočnog izbornika.

Prilagodba koordinatnih osi i mreže Koordinatne osi i mrežu možete prilagoditi koristeći svojstva grafičkog prikaza. Kad kliknete desnim gumbom miša (MacOS: Ctrl + klik) na pozadinu grafičkog prikaza otvara se skočni izbornik unutar kojeg možete odabrati Svojstva.

• Na kartici ‘Koordinatne osi’ možete, na primjer, promijeniti vrstu crte (obična ili podebljano), odabrati mjernu jedinicu osi (mm, cm…) i postaviti razmak između oznaka veličina. Primijetite da možete prilagoditi svaku os zasebno odabirući karticu xOs ili yOs. Nadalje, možete promijeniti omjer između osi i prikazati ili sakriti osi zasebno.

• Na kartici ‘Koordinatna mreža’ možete, na primjer, promijeniti boju, vrstu crte mreže i postaviti udaljenost između linija mreže na proizvoljnu vrijednost. Dodatno, možete postaviti mrežu da bude ‘Izometrična’.

Napomena: U svakom trenutku možete skalirati osi držeći tipku Shift (PC: može i Ctrl tipka) dok mišem povlačite osi. Napomena: Dijaloški okvir Svojstava grafičkog prikaza se razlikuje od dijaloškog okvira Svojstva objekata.

Prilagodba alatne trake Alatna traka se može prilagoditi odabirući opciju Prilagodba alatne trake iz izbornika Alati. Odaberite alat koji želite ukloniti iz GeoGebrine alatne trake s liste na lijevoj strani dijaloškog okvira i kliknite na gumb Ukloni ->.

10

Napomena: Možete vratiti izvorno stanje alatne trake klikom na gumb Vrati izvornu alatnu traku u donjem lijevom uglu dijaloškog okvira.

1.2.2. Izmjena svojstava objekta

Dijaloški okvir Svojstva omogućava mijenjanje svojstava objekata (npr. boju, stil crte, vidljivost). Možete ga otvoriti na nekoliko načina:

• Desnim klikom miša (MacOS: Cmd + klik) na objekt i izabrati Svojstva … iz skočnog izbornika koji se pojavi.

• Izborom Svojstva u izborniku Uređivanje. • Označavanjem alata Pomicanje i dvostrukim klikom na objekt u

grafičkom prikazu. U prikazanom dijaloškom okviru Redefiniranje odaberite opciju Svojstva….

U dijaloškom okviru Svojstva objekti su organizirani po tipovima (npr. točke, pravci, kružnice) što olakšava manipuliranje mnogobrojnim objektima. Svojstva izabranih objekata možete mijenjati pomoću kartica na desnoj strani. Zatvorite dijaloški okvir kada ste napravili željene izmjene svojstava objekta. Napomena: Klikom na pojedini naslov u popisu objekata (na primjer, točka) odabiru se svi objekti tog tipa, pa je time omogućeno brže mijenjanje svojstava za te objekte. Možete promijeniti svojstva odabranih objekata koristeći kartice na dijaloškom okviru (na primjer Osnovno, Boja, Stil, Dodatno). Napomena: U ovisnosti o tipu objekta, na raspolaganju su različite kartice. Zatvorite dijaloški okvir Svojstva kada ste završili sa mijenjanjem svojstava objekata.

1.2.3. Korištenje skočnog izbornika

Skočni izbornik pruža brži način promjene ponašanja ili dodatnih svojstva nekog objekta. Kliknite desnom tipkom miša (MacOS: Ctrl+klik) na objekt kako bi se otvorio skočni izbornik. Na primjer, možete promijeniti algebarsku notaciju objekta (polarne ili Kartezijeve koordinate, implicitni ili eksplicitni oblik pravca); možete izravno pristupiti nekim opcijama kao što su Preimenuj, Izbriši, Uključi trag, ili Kopiraj u traku za unos. Napomena: Ako otvorite skočni izbornik za točku u grafičkom prikazu, imate i opciju

Bilježi u tablicu (samo ako je aktivan i tablični prikaz). Ova opcija omogućava bilježenje koordinata točke u ćelije tabličnog prikaza kada se točka pomiče. Odabirom Svojstva u skočnom izborniku otvara se dijaloški okvir Svojstva, u kojem možete promijeniti svojstva svih objekata koji su korišteni (na primjer boju, stil, debljinu crte, vrsta crte, ispuna).

11

1.3. GeoGebra kao prezentacijski alat

1.3.1. Korištenje trake za korake konstrukcije

GeoGebra nudi Traku za korake konstrukcije koji vam dopuštaju da prolazite kroz korake konstrukcije gotove GeoGebrine datoteke. Odaberite Traka za korake konstrukcije iz izbornika Pogled kako biste otvorili Traku na dnu grafičkog prikaza. Traka za korake konstrukcije raspolaže gumbima za navigaciju i prikazuje broj koraka konstrukcije (npr. 2/7 znači da se trenutno prikazu drugi korak konstrukcije od ukupno 7 koraka).

• ‘idi natrag na prvi korak’ • ‘idi natrag jedan korak’ • ‘idi naprijed jedan korak’ • ‘idi na zadnji korak’ • ‘Pokreni’: ‘automatski ide jedan po jedan korak’

Napomena: Možete promijeniti brzinu pokretanja koristeći okvir desno od ‘Pokreni’.

• ‘Pauza’: ‘pauziraj pokrenutu konstrukciju’ Napomena: Ovaj gumb se pojavljuje tek nakon klika na gumb ‘Pokreni’

• Ovaj gumb otvara Opis konstrukcije.

1.3.2. Korištenje opisa konstrukcije

Možete pristupiti interaktivnom opisu konstrukcije odabirom podizbornika Opis konstrukcije iz izbornika Pogled. Radi se o tablici koja prikazuje sve korake konstrukcije. Opis konstrukcije omogućava da ponovite gotovu konstrukciju korak po korak koristeći Traku za korake konstrukcije na dnu grafičkog prikaza.

Upravljanje i mijenjanje opisa konstrukcije Možete koristiti tipkovnicu za prolaženje kroz opis konstrukcije:

• Upotrijebite ↑ ‘strelica gore’ na vašoj tipkovnici kako biste se vratili na prethodan korak konstrukcije.

• Upotrijebite ↓ ‘strelica dolje’ na vašoj tipkovnici kako biste išli na slijedeći korak konstrukcije.

• Upotrijebite tipku Home da biste se vratili na početak konstrukcije. • Upotrijebite tipku End kako biste skočili na kraj konstrukcije. • Upotrijebite tipku Delete kako biste izbrisali izabrani korak konstrukcije.

Napomena: Ovo može utjecati na objekte koji ovise o odabranom objektu/koraku konstrukcije.

Možete koristiti miš za pomicanje kroz opis konstrukcije:

• Dvostruki klik na redak odabire korak konstrukcije. • Dvostruki klik na zaglavlje bilo kojeg stupca vraća na početak opisa

konstrukcije.

12

• Povucite mišem i pustite redak kako biste promijenili redoslijed koraka konstrukcije u opisu konstrukcije. Napomena: Ovo nije uvijek moguće zbog zavisnosti među objektima.

• Kliknite desnom tipkom miša na redak kako biste otvorili skočni izbornik pripadnog objekta.

Napomena: Možete umetnuti korak konstrukcije bilo gdje: Odaberite redak opisa konstrukcije ispod kojeg želite umetnuti novi korak konstrukcije. Ostavite dijaloški okvir Opis konstrukcije otvoren dok kreirate novi objekt. Novi korak konstrukcije se odmah umeće na odabrano mjesto u opisu konstrukcije. Koristeći stupac Kontrolna točka u izborniku Pogled dijaloškog okvira Opis konstrukcije, možete definirati neke korake konstrukcije kao kontrolne točke. Ovo vam omogućava da grupirate nekoliko objekata zajedno. Kad se pomičete kroz konstrukciju koristeći traku za korake konstrukcije, ta grupa objekata se prikazuje istodobno. Napomena: Možete uključiti ili isključiti i druge stupce Opisa konstrukcije koristeći izbornik Pogled dijaloškog okvira Opis konstrukcije.

Izvoz opisa konstrukcije kao web-stranice GeoGebra omogućava izvoz opisa konstrukcije u obliku web-stranice. Najprije morate otvoriti Opis konstrukcije koristeći izbornik Pogled. Zatim iz izbornika Datoteka dijaloškog okvira Opis konstrukcije izaberite Izvoz kao web-stranica. U dijaloškom okviru izvoza opisa konstrukcije možete unijeti naslov, autora i nadnevak konstrukcije i izabrati želite li umetnuti sliku grafičkog prikaza i algebarskog prikaza Također možete odabrati izvoz opisa konstrukcije u boji. To znači da će retci u opisu konstrukcije imati boju odgovarajućeg objekta u odgovarajućem koraku konstrukcije. Napomena: Stvorena HTML datoteka može se otvoriti bilo kojim web-preglednikom (npr. Firefox, Internet Explorer) i mijenjati pomoću raznih programa za uređivanje teksta (npr. OpenOffice Writer).

1.3.3. Izmjena postavki programa GeoGebra

GeoGebra omogućava mijenjanje i spremanje vaših omiljenih postavki koristeći izbornik Postavke. Na primjer, možete promijeniti 'Kutnu mjeru' sa 'stupnjevi' u 'radijani', ili promijeniti 'Oblik točke', 'Veličina kontrolnog okvira' i 'Oznaka pravog kuta'. Također možete odabrati kako su koordinate ('Koordinate') prikazane na ekranu i koji su objekti označeni ('Označavanje'). Molimo pogledajte dio o Izbornik postavke za daljnje informacije. Možete spremiti vaše promijenjene postavke odabirući ‘Spremi postavke’ iz izbornika Postavke. Kad to učinite, GeoGebra će zapamtiti vaše postavke i koristiti ih za svaku novu GeoGebra datoteku koju budete izradili.

13

Napomena: Postavke možete vratiti na početno stanje odabirući 'Vrati zadane postavke' iz izbornika Postavke. Napomena: Ukoliko koristite GeoGebru kao alat za prezentaciju, možete povećati veličinu fonta (izbornik Postavke) kako bi vaši slušatelji lakše pročitali tekst i oznake objekata.

1.4. GeoGebra kao autorski alat

1.4.1. Postavke ispisa

Ispis grafičkog prikaza GeoGebra nudi ispis grafičkog prikaza vaše konstrukcije. Odaberite Pretpregled ispisa iz izbornika Datoteka. U dijaloškom okviru koji se pojavio možete unijeti 'Naziv', 'Autor' i 'Nadnevak' konstrukcije. Dodatno, možete podesiti 'Mjerilo u centimetrima' i promijeniti orijentaciju papira (portret ili pejzaž). Napomena: Kako biste obnovili pretpregled ispisa nakon što ste unijeli promjene na ispisu, morate pritisnuti tipku Enter.

Ispis opisa konstrukcije Ukoliko želite ispisati opis konstrukcije, prvo morate otvoriti Opis konstrukcije iz izbornika Pogled. Zatim možete otvoriti Pretpregled ispisa iz izbornika Datoteka dijaloškog okvira Opis konstrukcije. I ovdje možete unijeti 'Naziv', 'Autor' i 'Nadnevak' ili promijeniti orijentaciju papira prije nego ispišete svoj opis konstrukcije. Napomena: Možete uključiti ili isključiti razne stupce ‘Naziv’, ‘Definicija’, ‘Naredba’, ‘Algebra’, i ‘Kontrolna točka’ opisa konstrukcije koristeći izbornik Pogled dijaloškog okvira Opis konstrukcije.

1.4.2. Izrada slika grafičkog prikaza

Spremanje grafičkog prikaza kao slike Možete spremiti grafički prikaz vaše konstrukcije na svoje računalo kao sliku. Napomena: Čitav grafički prikaz će biti spremljen kao slika. Ako vaša konstrukcija ne koristi cijeli iskoristivi prostor grafičkog prikaza, možete...

• …koristiti alate Pomicanje grafičkog prikaza, Povećanje, Smanjenje kako biste pomakli svoju konstrukciju u gornji lijevi ugao grafičkog prikaza. Zatim možete smanjiti veličinu GeoGebrinog prozora klikom i povlačenjem jednog ugla prozora mišem.

14

• …koristiti područje odabira kako biste odredili koji dio grafičkog prikaza će biti izvezen i spremljen kao slika.

• …kreirati točke Export_1 i Export_2 koje definiraju suprotne vrhove pravokutnika izvoza . Napomena: Točke Export_1 i Export_2 moraju biti unutar vidljivog područja grafičkog prikaza.

U izborniku Datoteka > Izvoz odaberite 'Grafički prikaz kao slika (png, eps)...'. U dijaloškom okviru koji se otvorio možete definirati 'Format', 'Mjerilo u cm' i 'Rezolucija u dpi' slike koja će nastati izvozom. Napomena: Prava veličina slike nastale izvozom je prikazana u dnu dijaloškog okvira (povrh gumba) i u centimetrima i u točkicama (pikselima). Više informacija o različitim formatima slike možete naći u poglavlju Izvoz grafičkog prikaza kao slike.

Kopiranje grafičkog prikaza u međuspremnik Postoji nekoliko načina za kopiranje grafičkog prikaza u međuspremnik računala:

• U izborniku Uređivanje, možete odabrati ‘Grafički prikaz u međuspremnik’.

• U izborniku Datoteka, prvo odaberite Izvoz prije nego kliknete na ‘Grafički prikaz u međuspremnik’.

• U dijaloškom okviru ‘Izvoz grafičkog prikaza kao slike’ (izbornik Datoteka > Izvoz > Grafički prikaz kao slika (png, eps)…) možete kliknuti mišem na gumb ‘Međuspremnik’

Ova opcija kopira grafički prikaz u međuspremnik vašeg računala kao PNG (vidi PNG format) sliku. Na taj se način može zalijepiti u neki drugi dokument (npr. u program za obradu teksta). Napomena: Kako biste napravili izvoz vaše konstrukcije u određenom mjerilu (u centimetrima), koristite opciju ‘Grafički prikaz kao slika’ u izborniku Datoteka, Izvoz (vidi Grafički prikaz kao slika).

1.4.3. Izrada interaktivne web-stranice

S GeoGebrom možete izraditi web-stranice s interaktivnim apletom (aplet je zaseban Java program koji se izvršava u okviru web-preglednika). U izborniku Datoteka odaberite Izvoz, a potom kliknite na 'Web-stranica s apletom (html)’. Ovo otvara dijaloški okvir izvoza vaše konstrukcije kao apleta ugrađenog u web-stranicu:

• Na vrhu dijaloškog okvira možete unijeti ‘Naziv’, ‘Autor’ i ‘Nadnevak’ web-stranice.

• Kartica ‘Osnovno’ vam omogućava da unesete neki tekst iznad i ispod apleta (npr. opis konstrukcije i neke upute korisniku). Ovdje možete odrediti hoće li se aplet prikazati na web-stranici ili tek kad se klikne na gumb.

15

• Kartica ‘Dodatno’ omogućava promjenu funkcionalnosti apleta (npr. pokazuje ikonu za resetiranje konstrukcije, dvostruki klik na aplet otvara prozor programa) kao i promjenu korisničkog sučelja prikazanog u apletu (npr. pokazuje alatnu traku, promjenu širinu i visinu apleta). Napomena: Ukoliko je veličina vašeg apleta prevelika da stane na zaslon standardne rezolucije (1024 x 768), preporučamo da smanjite veličinu prije izvoza u web-stranicu.

Napomena: Prilikom izvoza web-stranice s apletom, stvara se nekoliko datoteka:

• html datoteka (npr. kruznica.html) – ova datoteka je sama web-stranica • GGB datoteka (npr. kruznica.ggb) – ova datoteka sadrži GeoGebrinu

konstrukciju • geogebra.jar (nekoliko datoteka) – ove datoteke zapravo su program koji

pokreće aplet. Sve datoteke (npr. kruznica.html, kruznica.ggb i geogebra.jar datoteke) moraju biti u jednoj mapi kako bi dinamični prikaz zbilja radio. HTML datoteka (npr. kruznica.html) koja je nastala izvozom se može pogledati bilo kojim internet preglednikom (npr. Mozilla, Internet Explorer, Safari). Kako bi dinamični uradak radio, na računalu mora biti instaliran program Java. Program možete besplatno preuzeti s adrese http://www.java.com. Ukoliko želite svoje web-stranice koristiti na školskom računalu, zamolite administratora lokalne mreže da instalira program Java na računala. Napomena: Možete uređivati tekst web-stranice sa raznim programima za obradu teksta (npr. MS FrontPage, OpenOffice Writer) otvarajući HTML datoteku nastalu izvozom.

16

2. Geometrijski unos

2.1. Opće napomene

U grafičkom prikazu (desni prozor) prikazane su grafičke reprezentacije matematičkih objekata (kao što su točke, vektori, dužine, mnogokuti, grafovi funkcija, krivulje, zrake, pravci i konike). Uvijek kada mišem prelazimo preko nekog objekta javlja se njegov opis u žutom pravokutniku (tooltip), a sam objekt je istaknut. Postoji nekoliko načina kojima program GeoGebra reagira na unose mišem u grafičkom prikazu (vidi Alati). Npr. klikom miša na grafički prikaz kreirat ćete točku (vidi alat Nova točka), sjecište objekata (vidi alat Sjecište dvaju objekata), ili kružnicu (vidi Kružnica, alati).

2.2. Alati za konstruiranje

Klikom na ikone u alatnoj traci možete odabrati dolje opisane alate. Klikom na malu strelicu pored ikone otvara se padajući izbornik s ostalim srodnim alatima. Napomena: Većinom alata mogu se konstruirati nove točke jednostavnim klikom na crtaću plohu.

Odabiranje objekta Odabrati objekt znači kliknuti na njega mišem nakon što ste aktivirali alat Pomicanje. Istovremeno možete odabrati i više objekata zadavanjem područja odabira: Odaberite alat Pomicanje te kliknite na položaj prvog vrha željenog područja odabira. Držeći lijevu tipku miša pritisnutu povlačite miš do dijagonalno suprotnog vrha željenog područja odabira. Nakon što pustite tipku miša, svi objekti unutar područja odabira biti će označeni. Napomena: Držite pritisnutu tipku Ctrl (MacOS: Cmd) dok klikate na odvojene objekte kako biste odabrali nekoliko objekata istovremeno.

Brzo preimenovanje objekta Kako biste brzo preimenovali odabrani ili novi objekt samo treba početi tipkati pa će se otvoriti dijaloški okvir Preimenuj za taj objekt. Upišite novi naziv objekta i pritisnite gumb 'U redu'.

17

2.2.1. Opći alati

Prenositelj oblikovanja Ovaj alat vam omogućava prenošenje vizualnih svojstava objekata (npr boja, veličina, oblik crte) s jednog objekta na nekoliko drugih. Kako biste to izveli prvo označite objekt čija svojstva želite kopirati. Nakon toga kliknite na sve objekte kojima ćete pridijeliti ta svojstva.

Brisanje objekta Kliknite na objekt koji želite obrisati. Napomena: Možete upotrijebiti tipku 'Poništi' ako ste slučajno izbrisali pogrešan objekt.

Pomicanje Koristeći ovaj alat možete povlačiti i ispuštati nezavisne objekte pomoću miša. Kada ste odabrali alat Pomicanje odaberite objekt klikom na njega, a zatim možete:

• brisati ga tipkom Delete sa tipkovnice • pomicati ga pomoću strelica na tipkovnici (vidi Animaciju)

Napomena: Pritiskom tipke Esc na tipkovnici također možete aktivirati Pomicanje.

Pomicanje crtaće plohe Povlačite i ispuštajte crtaću plohu u grafičkom prikazu kako biste promijenili vidljivo područje crtaće plohe. Napomena: Možete pomicati crtaću plohu i istovremenim pritiskom tipke Shift (PC: također i Ctrl ) i povlačenjem miša kod bilo kojeg alata. Uz pomoć ovog alata možete i rastezati koordinatne osi povlačeći ih mišem. Napomena: Rastezanje osi moguće je i s bilo kojim drugim alatom ako držite pritisnutu tipku Shift (PC: također i Ctrl) dok povlačite osi mišem.

Zabilježi u tablicu Ovaj alat omogućava pomicanje objekta i bilježenje niza njegovih vrijednosti u tabličnom prikazu. Može se koristiti za brojeve, točke i vektore. Napomena: GeoGebra će koristiti prva dva slobodna stupca tabličnog prikaza kako bi zabilježila vrijednosti odabranih objekata.

18

Veza Označite dva objekta kako biste dobili informaciju o njihovom međusobnom odnosu (također pogledajte naredbu Veza).

Rotacija oko točke Najprije izaberite točku za središte vrtnje. Potom možete zakretati nezavisni objekt oko središta povlačeći ga mišem.

Pokaži / sakrij oznaku Kliknite na objekt kako biste pokazali odnosno sakrili njegovu oznaku.

Pokaži / sakrij objekt Kliknite na objekt kako biste ga pokazali odnosno sakrili nakon aktiviranja ovog alata. Promjena vidljivosti nastupa tek kada kliknete na neki drugi alat. Objekti mogu biti vidljivi (pokaži) ili nevidljivi (sakrij). Upotrebom alata Pokaži / sakrij objekt ili skočnog izbornika mijenja se stanje vidljivosti objekta. Ikona koja se nalazi lijevo od objekta u algebarskom prikazu govori nam o stanju vidljivosti objekta. ( “nevidljiv” ili “vidljiv”). Napomena: Kada aktivirate ovaj alat svi objekti odabrani za skrivanje bit će naglašeni. Na taj način možete lako ponovo pokazati skrivene objekte kako biste ih odznačili prije nego što aktivirate drugi alat Napomena: Možete koristiti i alat Kontrolni okvir za prikaz i skrivanje objekata u svrhu pokazivanja ili skrivanja nekoliko objekata.

Povećanje Kliknite bilo gdje na grafički prikaz kako biste ga povećali (vidi zumiranje)

Smanjenje Kliknite bilo gdje na grafički prikaz kako biste ga smanjili (vidi zumiranje)

2.2.2. Točke

Nova točka Klikom na grafički prikaz konstruirana je nova točka. Napomena: Točki su pridružene koordinate u algebarskom prikazu čim pustimo tipku miša.

19

Klikom na dužinu, zraku, pravac, koniku, graf funkcije ili krivulju konstruirana je točka koja pripada tom objektu (vidi naredbu Točka). Napomena: Klikom na sjecište dvaju objekata crta se presječna točka (vidi naredbu Sjecište dvaju objekata).

Sjecište dvaju objekata Sjecište dvaju objekata možete izraditi na dva načina.

• Odaberete li dva objekta biti će konstruirana sva sjecišta (ako je moguće). • Izravnim klikom na mjesto gdje se sijeku dva objekta dobivamo samo to

određeno sjecište.

Napomena: Za dužine, zrake ili lukove možete naglasiti želite li omogućiti sjecište u produžetku (vidi dijaloški okvir Svojstva). Tako možete dobiti sjecište koje leži na produžetku objekta. Na primjer, produžetak dužine ili zrake je pravac.

Polovište ili središte Kliknite na ...

• dvije točke kako biste dobili njihovo središte. • dužinu kako biste dobili njezino polovište. • koniku kako biste dobili njeno središte.

2.2.3. Vektori

Vektor između dviju točaka Samo odaberite početak i kraj vektora.

Vektor iz točke Odaberite točku A i vektor v kako biste dobili novu točku B = A + v kao i novi vektor od A do B.

2.2.4. Dužine

Dužina između dviju točaka Odabirom dviju točaka A i B nacrta se dužina između točaka A i B. U algebarskom prikazu zapisana je duljina te dužine.

20

Dužina zadane duljine iz točke Kliknite na točku A koja će biti prva rubna točka dužine. Unesite željenu duljinu a dužine u dijaloško polje. Napomena: Rezultat će biti dužina duljine a s drugom rubnom točkom B. Rubna točka B može se vrtiti pomoću alata Pomicanje oko početne točke A.

2.2.5. Zrake

Zraka kroz dvije točke Odabirom točke A i točke B crta se zraka s početkom u točki A koja prolazi točkom B. U algebarskom prikazu vidi se jednadžba pravca nositelja te zrake.

2.2.6. Mnogokuti

Mnogokut Odaberite najmanje tri točke, jednu po jednu i ponovo kliknite na početnu. U algebarskom prikazu vidjet će se površina mnogokuta.

Pravilni mnogokut Odabirom dviju točaka A i B i upisom broja n u dijaloško polje dobit ćemo pravilni mnogokut s n vrhova (uključujući točke A i B).

2.2.7. Pravci

Pravac kroz dvije točke Odabirom dviju točaka A i B pomoću ovog alata konstruirat ćete pravac kroz točke A i B. Smjer pravca je vektor (B - A).

Usporednica Odabirom pravca g i točke A konstruirat ćete pravac kroz A usporedan s g. Smjer je jednak smjeru pravca g.

Okomica Odabirom pravca g i točke A konstruirat ćete pravac kroz A okomit na g. Smjer je jednak smjeru vektora okomitog na g (vidi također naredbu Okomiti vektor).

21

Simetrala dužine Simetrala dužine se može izraditi odabirom dužine s ili odabirom dviju točaka A i B. Smjer je jednak smjeru vektora okomitog na dužinu s ili AB (vidi naredbu Okomiti vektor).

Simetrala kuta Simetrala kuta može se zadati na dva načina.

• Odabirom triju točaka A, B i C konstruirat ćete simetralu kuta kojeg čine ove tri točke, gdje je B vrh.

• Odabirom dvaju pravaca konstruirat ćete dvije simetrale kuta zadanog para pravaca.

Napomena: Vektor smjera svih simetrala kuta ima duljinu 1.

Tangente Tangente na konike možete izraditi na dva načina.

• Odabir točke A i konike c daje sve tangente na c koje prolaze kroz A. • Odabir pravca g i konike c daje sve tangente na c koje su usporedne s g.

Odabir točke A i funkcije f daje sve tangente od f u diralištu s apscisom x=x(A). Napomena: x(A) predstavlja x-koordinatu točke A. Ako A pripada grafu funkcije, tangenta prolazi točkom A.

Polara ili konjugirani promjer Ovaj alat daje polaru, odnosno konjugirani promjer konike.

• Odabirom točke i konike dobit ćete polaru. • Odabirom pravca ili vektora i konike dobit ćete pravac nositelj konjugiranog

promjera.

Pravac regresije Pravac regresije za zadani skup točaka možete konstruirati na sljedeće načine:

• kreiranjem područja odabira kojim obuhvatite sve točke. • odabirom liste točaka.

2.2.8. Konike

Kružnica određena središtem i jednom točkom Odabirom točke M i točke P definirate kružnicu sa središtem u M koja prolazi kroz P. Napomena: Polumjer ove kružnice je udaljenost MP.

22

Kružnica određena središtem i polumjerom Odabirom točke M određeno je središte, a u otvoreno dijaloško polje unesite duljinu polumjera.

Šestar Odaberite dužinu ili dvije točke da biste zadali polumjer. Tada kliknite na točku koja bi trebala biti središte nove kružnice.

Kružnica kroz tri točke Odabir triju točaka A, B, C određuje kružnicu kroz te tri točke. Napomena:Ako tri točke leže na jednom pravcu kružnica degenerira u taj pravac.

Konika kroz pet točaka Odabirom pet točaka kreirate koniku kroz njih. Napomena: Ako bilo koje četiri od ovih pet točaka leže na pravcu, konika nije određena.

Elipsa Odaberite dva žarišta elipse, a zatim treću točku koja pripada elipsi.

Hiperbola Odaberite dva žarišta hiperbole, a zatim treću točku koja pripada hiperboli.

Parabola Odaberite žarište i ravnalicu parabole.

2.2.9. Luk i isječak

Napomena: Algebarska vrijednost luka je njegova duljina, a isječka površina.

Polukružnica Odabir točaka A i B daje polukružnicu nad dužinom AB.

23

Kružni luk određen središtem i dvjema točkama Prvo odaberite za središte točku M, zatim početnu točku luka A a tek tada odaberite točku B kojom je određena duljina luka. Napomena: Dok točka A uvijek leži na kružnom luku, točka B ne mora ležati na njemu.

Kružni isječak određen središtem i dvjema točkama Prvo odaberite za središte točku M, zatim početnu točku A na luku isječka, a tek tada odaberite točku B kojom je određena duljina luka. Napomena: Dok točka A uvijek leži na kružnom luku isječka, točka B ne mora ležati na njemu.

Luk opisan trima točkama Odabirom triju točaka A, B, i C konstruirat ćete kružni luk kroz te točke. Pri tome je točka A početna, točka B leži na kružnom luku, a točka C je krajnja.

Isječak luka opisanog trima točkama Odabirom triju točaka A, B, i C konstruirat ćete kružni isječak kroz te točke. Pri tome je točka A početna točka luka isječka, točka B leži na kružnom luku, a točka C je krajnja točka luka isječka.

2.2.10. Broj i kut

Udaljenost ili duljina Ovim alatom dobit ćemo udaljenost između dviju točaka, dvaju pravaca ili točke i pravca i istovremeno dinamični tekst na grafičkom prikazu. On također daje duljinu dužine, opseg kružnice ili mnogokuta.

Površina Ovaj alat daje površinu mnogokuta, kružnice ili elipse kao broj i dinamični tekst u grafičkom prikazu.

Nagib Ovaj alat daje nagib pravca i crta trokut nagiba u grafičkom prikazu.

24

Klizač Napomena: U programu GeoGebra klizač nije ništa drugo nego grafička predodžba nezavisnog broja ili kuta. Uvijek možete lako izraditi klizač za svaki nezavisni broj odnosno kut izborom pokazivanja objekta (desni klik, skočni izbornik; vidi alat Pokaži / sakrij objekt). Kliknite na slobodnu površinu grafičkog prikaza kako biste izradili klizače za brojeve ili kutove. Dijaloški okvir tražit će određivanje intervala [min, max] i korak povećanja broja, odnosno kuta, kao i položaj i širinu klizača (u pikselima). Položaj klizača može biti apsolutan na zaslonu (to znači da na njegov položaj ne utječe zumiranje ali uvijek ostaje u vidljivom dijelu grafičkog prikaza) ili relativan u koordinatnom sustavu (vidi dijaloški okvir Svojstva za odgovarajuće brojeve ili kutove). Napomena: U dijaloškom okviru možete upotrijebiti simbol za stupanj ° ili broj pi π kod intervala i koraka povećanja koristeći slijedeće tipkovničke kratice:

Alt-O (MacOS: Ctrl-O) za simbol stupnja ° Alt-P (MacOS: Ctrl-P) za simbol broja pi π

Kut Ovim alatom kreiramo …

• kut između tri točke • kut između dvije dužine • kut između dva pravca • kut između dva vektora • sve unutarnje kutove mnogokuta

Napomena: Ako ste kreirali mnogokut pomoću njegovih vrhova u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, ovim alatom dobit ćete unutarnje kutove mnogokuta Svi kutovi orijentirani su u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Redoslijed odabira objekata relevantan je za alat kut. Ako želite ograničiti veličinu kuta na 180°, isključite oznaku Dozvoli izbočeni kut u dijaloškom okviru Svojstva, kartica Osnovno.

Kut zadane veličine Nakon označavanja dviju točki A i B otvorit će se dijaloško polje koje će tražiti veličinu kuta. Dobivate točku C i kut α, gdje je α kut ABC.

25

2.2.11. Logički

Kontrolni okvir za prikaz i skrivanje objekata Klikom na grafički prikaz kreira se kontrolni okvirić (vidi logičke varijable) za prikaz ili skrivanje jednog ili više objekata. U dijaloškom okviru koji se pojavi možete specificirati na koje objekte želite utjecati iz kontrolnog okvira. Napomena: Ove objekte možete odabrati s dane liste u dijaloškom okviru ili birajući ih mišem u bilo kojem prikazu.

2.2.12. Lokus

Lokus Najprije odaberite točku Q koja opisuje lokus. Potom kliknite na točku P o kojoj je točka Q zavisna. Napomena: točka P je točka na nekom objektu (pravac, dužina, kružnica…) Primjer:

• Upišite f(x) = x^2 – 2 x – 1 u traku za unos. • Smjestite točku A na x-os (vidi alat Nova točka; vidi naredbu Točka). • Konstruirajte točku B = (x(A), f’(x(A))) koja ovisi o točki A. • Izaberite alat Lokus i prvo kliknite na točku B pa na točku A.

Povlačite točku A duž x-osi i promatrajte pomicanje točke B duž njenog lokusa - pravca.

2.2.13. Geometrijske transformacije

Geometrijske transformacije odnose se na točke, pravce, konike, mnogokute i slike.

Zrcaljenje objekta preko točke Odaberite objekt za zrcaljenje, a potom kliknite na točku preko koje će se zrcaliti (središte simetrije).

Zrcaljenje objekta preko pravca Odaberite objekt za zrcaljenje, a potom kliknite na pravac (os simetrije) preko kojeg se zrcali.

Inverzija Napomena: Ova se transformacija još naziva i zrcaljenje na kružnici. Ovaj alat omogućava inverziju točke u odnosu na kružnicu. Izaberite točku kojoj želite kreirati inverznu a potom kliknite na kružnicu inverzije.

26

Rotacija objekta oko točke za kut Odaberite objekt koji ćete rotirati, a potom kliknite na točku koja će biti središte rotacije. U otvoreno dijaloško polje upišite kut rotacije.

Translacija objekta za vektor Odaberite objekt i kliknite na vektor.

Rastezanje objekta iz točke za faktor Odaberite objekt, a zatim kliknite na točku koja će biti središte rastezanja (homotetije). Otvara se dijaloško polje u koje se upisuje faktor rastezanja.

2.2.14. Tekst

Umetanje teksta Pomoću ovog alata možete izraditi statični i dinamični tekst ili LaTeX formule u grafičkom prikazu. Najprije morate odrediti položaj teksta na jedan od slijedećih načina:

• klikom na grafički prikaz izradit ćete novi tekst na tom mjestu. • klikom na točku izradit ćete tekst čiji je položaj vezan uz tu točku.

Nakon toga, otvara se dijaloško polje u koje možete unositi tekst. Napomena: Na kartici 'Osnovno' dijaloškog okvira Svojstva teksta, položaj teksta možete postaviti kao apsolutan na zaslonu ili relativan u koordinatnom sustavu. Statičan tekst nije ovisan o niti jednom matematičkom objektu i promjene u konstrukciji neće se odražavati na taj tekst. Dinamičan tekst sadrži vrijednosti objekta koje se automatski pridjeljuju promjenama vezanim uz promjene objekta. Mješovit tekst je kombinacija statičnog i dinamičnog teksta. Kako biste izradili dinamični tekst možete statični dio teksta upisati preko tipkovnice (npr., Točka A =) a zatim kliknite na objekt čiju vrijednost treba prikazati tekstom. Napomena: GeoGebra automatski dodaje sintaksu ("Point A = " + A ) potrebnu za izradu vašeg mješovitog teksta: navodnike koji ograđuju statičan dio teksta i znak plus (+) za spajanje različitih dijelova teksta.

Unos Opis “Ovo je statičan tekst” Statičan tekst

27

A Dinamičan tekst (ako postoji točka A)

“Točka A = ” + A Dvodijelni mješovit tekst koji koristi vrijednost točke A

“a =” + a + “ cm” Trodijelni mješovit tekst koji koristi vrijednost broja a

Napomena: Ako objekt naziva xx već postoji i vi pokušate izraditi statičan tekst koristeći njegov naziv, morate ga staviti unutar navodnika ("xx"), inače će GeoGebra automatski izraditi dinamičan tekst koji će prikazivati vrijednost objekta xx umjesto njegovog naziva. Međutim, tekst koji ne odgovara nazivu niti jednog postojećeg objekta možete utipkati i bez navodnika. Napomena: Unutar mješovitog teksta statičan dio treba biti unutar para navodnika. Različiti dijelovi teksta (npr., statični i dinamični dijelovi) trebaju biti povezani sa znakom plus (+).

LaTeX formule U programu GeoGebra možete pisati i matematičke formule. Kako biste to napravili trebate označiti okvirić ispred LaTeX formula dijaloškog okvira alata Umetanje teksta i upisati formulu u sintaksi programa LaTeX. Napomena: Kako biste izradili tekst koji sadrži LaTeX formulu kao statičan dio teksta dodajte formulu ograđenu znakovima dolara ($). Primjer: Duljina dijagonale je $\sqrt{ 2 }$. Možete odabrati sintaksu nekih najčešćih matematičkih simbola iz padajućeg izbornika odmah uz LaTeX okvirić. Klikom na neki redak u padajućem izborniku ubacujete LaTeX kod u polje za tekst, a kursor se postavi unutar vitičastih zagrada. Ukoliko želite umetnuti dinamičan tekst unutar formule, dovoljno je da kliknete na neki objekt i Geogebra će umetnuti njegovo ime sa svom sintaksom za mješoviti tekst. Ovdje su navedene neke važne naredbe programa LaTeX. Pogledajte bilo koju LaTeX dokumentaciju za potpuniju informaciju.

LaTeX unos Rezultat a \cdot b ba ⋅

\frac{a}{b} ba

\sqrt{x} x \sqrt[n]{x} n x \vec{v} vr \overline{AB} ABx^{2} 2x a_{1} 1a \sin\alpha + \cos\beta βα cossin +

28

LaTeX unos Rezultat

\int_{a}^{b} x dx ∫b

axdx

\sum_{i=1}^{n} i^2 ∑ =

n

ii

12

2.2.15. Slike

Umetanje slike Ovaj alat omogućava umetanje slika u konstrukciju.

• Klikom na grafički prikaz odredili ste položaj lijevog donjeg ugla slike. • Klikom na točku odredili ste točku za koju se vezuje lijevi donji ugao slike.

Nakon toga pokaže se dijaloški okvir za otvaranje datoteka u kojem odabirete željenu sliku.

Svojstva slike Položaj Položaj slike može biti apsolutan na zaslonu ili relativan u koordinatnom sustavu što odredite u kartici 'Položaj' dijaloškog okvira Svojstva. Možete odabrati tri točke na uglovima slike u kartici ‘Položaj’ dijaloškog okvira Svojstva. To vam daje i mogućnost smanjenja ili povećanje, zakretanja i ukošenja slike.

• 1. ugao: položaj lijevog donjeg ugla slike. • 2. ugao (desni donji)

Napomena: njega se može podesiti jedino ako je prethodno određen 1. ugao. 2. ugao kontrolira širinu slike.

• 4. ugao (gornji lijevi) • Napomena: njega se može podesiti jedino ako je prethodno određen 1. ugao.

Kontrolira visinu slike. Napomena: Vidi naredbu Ugao Primjeri: Nacrtajte tri točke A, B i C i istražite učinak pridruživanja tih točaka uglovima slike.

• Postavite točku A za prvi i B za drugi ugao vaše slike. Povlačenjem točaka A i B alatom Pomicanje otkrit ćete vrlo lako učinak.

• Podesite sada točku A kao prvu i C kao četvrtu. • I na kraju postavite sve tri točke za uglove slike, pa uočite kako povlačenje

točaka utječe na sliku. Vidjeli ste kako utjecati na položaj i veličinu slike. Ako želite priključiti sliku točki A i odrediti njezinu širinu na 3 i visinu na 4 jedinične dužine, napravite sljedeće:

• 1. Ugao: A • 2. Ugao: A + (3, 0) • 4. Ugao: A + (0, 4)

Napomena: Kada budete povlačili točku A alatom Pomicanje, slika neće

29

mijenjati veličinu.

Pozadinska slika Na kartici 'Osnovno' dijaloškog okvira Svojstva možete postaviti sliku da bude pozadinska. Tada slika leži iza koordinatnih osi i ne može se odabrati pomoću miša. Napomena: Za promjenu svojstava pozadinske slike potrebno je izabrati Svojstva u izborniku Uređivanje.

Prozirnost Slika se može učiniti transparentnom tako da se vide koordinatne osi ili slika koja leži iza nje. Transparentnost slike možete podesiti određujući vrijednost ispune između 0% i 100% u kartici 'Stil' dijaloškog okvira Svojstva.

30

3. Algebarski unos

3.1. Opće napomene

Algebarska reprezentacija matematičkih objekata (kao npr. njihove vrijednosti, koordinate, jednadžbe) vidi se u algebarskom prikazu na lijevoj strani. Objekte možete izraditi i mijenjati koristeći traku za unos podataka koja se nalazi na dnu GeoGebrinog prozora (vidi poglavlja Izravan unos i Naredbe). Napomena: Uvijek pritisnite tipku Enter nakon upisivanja jednadžbi i naredbi u traku za unos. Napomena: Pritiskom tipke Enter prebacuje se fokus s trake za unos na grafički prikaz i obratno. To omogućava unos izraza i naredbi u traku za unos a da prethodno ne morate kliknuti mišem na nju.

Nazivi objekata Napomena: Ako sami ne pridružite nazive objektima, GeoGebra će ih pridijeliti abecednim redom. Pojedinom objektu možete pridijeliti naziv dok ga konstruirate koristeći traku za unos.

• Točke: U GeoGebri točke se označavaju velikim slovima. Samo utipkajte naziv (npr., A, P) i znak jednakosti ispred koordinata u traci za unos. Primjeri: C = (2, 4), P = (1; 180°), Kompleksni = 2 + i

• Vektori: Kako bi se napravila razlika između točaka i vektora, vektorima se u Geogebri pridjeljuju nazivi s malim slovima. Ponovo, utipkajte naziv (npr., v, u) i znak jednakosti ispred koordinata vektora. Primjer: v = (1, 3), u = (3; 90°), kompleksni = 1 – 2i

• Pravci, kružnice, konike: Ovim se objektima mogu pridijeliti nazivi tako da se utipka naziv pa dvotočka ispred njihove jednadžbe. Primjeri: g: y = x + 3, c: (x-1)^2 + (y – 2)^2 = 4, hip: x^2 – y^2 = 2

• Funkcije: Funkciju možete imenovati tako da utipkate na primjer, f(x) = ili g(x)= ispred funkcijske jednadžbe. Primjeri: h(x) = 2 x + 4, q (x) = x^2, trig(x) = sin(x)

Napomena: Ukoliko vi ne dodijelite naziv nekom objektu, Geogebra će mu sama dodijeliti ime po abecednom redu. Napomena: U nazivima objekata možete koristiti indekse pomoću crte, na primjer A1 se upisuje kao A_1 i sAB se upisuje kao s_{AB}.

Izmjena vrijednosti Vrijednosti nezavisnih objekata možemo mijenjati na dva načina:

31

• Izmijenite postojeću vrijednost novom tako da unesete naziv i novu vrijednost objekta u traku za unos (vidi Izravan unos). Primjer: Želite li promijeniti vrijednost postojećeg broja a = 3, utipkajte a = 5 u traku za unos i pritisnite tipku Enter.

• Uredite algebarski prikaz: Aktivirajte alat Pomicanje i kliknite dvaput na objekt u algebarskom prikazu. Time ćete otvoriti tekstualno polje u kojem možete urediti vrijednost objekta. Pritisnite tipku Enter za prihvat vaših izmjena.

Napomena: Dok vrijednost nezavisnih objekata možete mijenjati izravno, na izmjenu vrijednosti zavisnih objekata možete utjecati indirektno mijenjajući vrijednosti njihovih ‘roditeljskih’ objekata ili redefinirajući zavisni objekt.

Pregled povijesti trake za unos Kada smjestite kursor u traku za unos možete koristiti strelice↑ ‘gore’ i ↓ ‘dolje’ na tipkovnici kako biste korak po korak prolazili kroz prethodne unose. Napomena: Klikom na mali znak upitnika lijevo od trake za unos otvara se prozor sa pregledom pomoći trake za unos.

Umetanje naziva, vrijednosti ili definicije nekog objekta u traku za unos Umetanje naziva nekog objekta: Uzmite alat Pomicanje i odaberite objekt čiji naziv želite umetnuti u traku za unos, a zatim pritisnite tipku F5 na tipkovnici. Napomena: Naziv objekta bit će dodan izrazu koji utipkavate u traku za unos dočim pritisnete tipku F5. Umetanje vrijednosti nekog objekta: Dva su načina za umetanje vrijednosti nekog objekta (npr. (1, 3) ili 3x – 5y = 12) u traku za unos.

• Desni klik (MacOS: Ctrl-klik) na objekt pa iz skočnog izbornika odaberite podizbornik ‘Kopiraj u traku za unos’.

• Uzmite alat Pomicanje i odaberite objekt čiju vrijednost želite umetnuti u traku za unos, a zatim pritisnite tipku F4 na tipkovnici. Napomena: Vrijednost objekta bit će dodana izrazu koji utipkavate u traku za unos dočim pritisnete tipku F4.

Umetanje definicije nekog objekta: Dva su načina na koji možete umetnuti definiciju objekta (npr., A = (4, 2), c = Kružnica[A, B]) u traku za unos.

• Alt + klik na objekt umetnut će definiciju objekta uz prethodno brisanje svega što se u traci za unos nalazilo.

• Uzmite alat Pomicanje i odaberite objekt čiju definiciju želite umetnuti u traku za unos , a zatim pritisnite tipku F3 na tipkovnici. Note: Definicija objekta zamijenit će svaki izraz koji se prethodno nalazio u traci za unos dočim pritisnete tipku F3.

32

3.2. Izravan unos

U programu GeoGebra možemo rukovati brojevima, kutovima, točkama, vektorima, dužinama, pravcima, konikama i parametarskim krivuljama. Ove objekte upisujemo pomoću koordinata ili jednadžbi u traku za unos nakon čega treba pritisnuti tipku Enter.

3.2.1. Brojevi i kutovi

Brojevi Koristeći traku za unos možete izraditi brojeve. Ako samo utipkate broj (npr. 3), GeoGebra će pridijeliti malo slovo nazivu broja. Ako broju želite pridijeliti naziv, utipkajte ga u traku za unos i nakon toga znak jednakosti pa broj (na primjer možemo dobiti broj r unosom r = 5.32.). Napomena: Brojevi i kutovi koriste znak '.' kao decimalnu točku. Možete koristiti i konstantu π i Eulerovu konstantu e u izrazima i izračunima tako da ih odaberete iz padajućeg izbornika odmah iza trake za unos ili koristeći tipkovničke kratice. Napomena: Ako varijabla ‘e’ nije još iskorištena kao naziv postojećeg objekta, GeoGebra će ju prepoznati kao Eulerovu konstantu kod korištenja u novim izrazima.

Kutovi Kutovi se zadaju u stupnjevima (°) ili radijanima (rad). Konstanta π je korisna kod radijana i možemo je upisati i kao pi. Napomena: Možete upisati simbol za stupanj ° ili pi simbol za π koristeći slijedeće tipkovničke kratice:

• Alt-O (MacOS: Ctrl-O) za simbol stupnja ° • Alt-P (MacOS: Ctrl-P) za pi simbol π

Primjer: Kut α možemo unijeti u stupnjevima (α=60°) ili u radijanima (α=pi/3). Napomena: Program GeoGebra sve interne proračune izvodi u radijanima. Znak ° nije ništa drugo nego konstanta za π/180 koja se koristi za pretvaranje stupnjeva u radijane. Primjer: Ako je a = 30 broj, tada α = a° pretvara broj a u kut α = 30°, bez izmjene njegove vrijednosti. Ako utipkate b = α / °, kut α se pretvara natrag u broj b = 30, bez izmjene njegove vrijednosti.

Klizači i strelice Nezavisne brojeve i kutove možemo prikazati kao klizače u grafičkom prikazu (vidi

Klizač). Pomoću strelica možemo mijenjati brojeve i kutove u algebarskom prikazu (vidi Ručna animacija).

33

Granične vrijednosti intervala Nezavisni brojevi i kutovi mogu se ograničiti intervalom [min, max] koristeći karticu 'Klizač' dijaloškog okvira Svojstva. Taj se interval također koristi kod klizača Klizač. Za zavisne kutove možete naznačiti želite li omogućiti izbočeni kut ili ne u kartici 'Osnovno' dijaloškog okvira Svojstva.

3.2.2. Točke i vektori

Točke i vektori mogu se upisivati u Kartezijevim ili polarnim koordinatama (vidi Brojevi i kutovi). Primjeri:

• Za upisivanje točke P ili vektora v u Kartezijevim koordinatama koristite P = (1, 0) ili v = (0, 5).

• Ako ih želite upisati u polarnim koordinatama utipkajte P = (1; 0°) ili v = (5;90°). Napomena: Kod polarnih koordinata trebate koristiti točku zarez kako biste odvojili koordinate. Ako ne upišete znak za stupanj, GeoGebra će uzeti da je kut unesen u radijanima.

3.2.3. Pravci i osi

Pravci Pravac unosimo u obliku linearne jednadžbe s dvije nepoznanice x i y, ili u parametarskom obliku. U oba slučaja možemo koristiti prethodno definirane varijable (brojeve, točke, vektore) u jednadžbi pravca. Napomena: Oznaka za pravac mora biti zadana na početku unosa odvojena dvotočkom. Primjeri:

• Unesite g: 3x + 4y = 2 kako biste dobili pravac g pomoću njegove linearne jednadžbe.

• Definirajte parametar t (t = 3) prije nego unesete pravac g u parametarskom obliku koristeći g: X = (-5, 5) + t (4, -3).

• Za početak definirajte parametre m = 2 i b = -1. Tada možete upisati jednadžbu g: y = m*x + b kako biste dobili pravac u eksplicitnom obliku.

Koordinatne osi Obje koordinatne osi možemo koristiti u naredbama pozivajući njihove nazive pomoću xOs i yOs. Primjer: Naredba Okomica[A, xOs] konstruira pravac točkom A okomit na x os. Napomena: Nazive xOs i yOs upisujete kao jednu riječ bez razmaka i s velikim slovom O.

34

3.2.4. Konike

Konike upisujemo kao jednadžbe drugog stupnja po x i y. Možemo koristiti prethodno definirane varijable (brojeve, točke, vektore) u jednadžbi konike. Napomena: Oznaka za koniku mora se zadati na početku unosa odvojena dvotočkom. Primjeri:

• elipsa el: el: 9 x^2 + 16 y^2 = 144 • hiperbola hip: hip: 9 x^2 – 16 y^2 = 144 • parabola par: par: y^2 = 4 x • kružnica k1: k1: x^2 + y^2 = 25 • kružnica k2: k2: (x – 5)^2 + (y + 2)^2 = 25

Napomena: Ako unaprijed zadamo parametre npr. a = 4 i b = 3, tada možemo unijeti elipsu el ovako el: b^2 x^2 + a^2 y^2 = a^2 b^2.

3.2.5. Funkcije po x

Funkcije možemo zadavati već prethodno zadanim varijablama (brojevima, točkama, vektorima i drugim funkcijama. Primjeri:

• funkcija f: f(x) = 3 x^3 – x^2 • funkcija g: g(x) = tan(f(x)) • bezimena funkcija: sin(3 x) + tan(x)

Sve interne funkcije (poput sin, cos, tan itd.) opisane su u poglavlju Predefinirane funkcije i operacije. U programu GeoGebra možete koristiti naredbe za Integral i Derivaciju funkcije. Također možete koristiti f’(x) ili f’’(x),… za derivacije prethodno definirane funkcije f(x). Primjer: Za početak zadajte funkciju f ovako: f(x) = 3 x^3 – x^2. Tada upišite g(x) = cos(f’(x + 2)) kako biste dobili funkciju g. Funkciju možemo pomicati za zadani vektor (vidi naredbu Translacija), a nezavisnu funkciju možemo pomicati mišem (vidi alat Pomicanje).

Ograničenje funkcije na interval Kako biste ograničili funkciju unutar zadanog intervala [a, b] koristite naredbu Funkcija (vidi naredbu Funkcija).

35

3.2.6. Unaprijed definirane funkcije i aritmetičke operacije

Brojeve, jednadžbe ili koordinate (vidi Izravan unos) možemo unositi i pomoću sljedećih unaprijed definiranih funkcija i operacija. Napomena: Predefinirane funkcije koristimo sa zagradama. Ne smijete ostaviti razmak između naziva funkcije i zagrada.

Operacija Unos zbrajanje + oduzimanje - množenje * ili razmaknica skalarni produkt * ili razmaknica dijeljenje / potenciranje ^ ili 2 faktorijela ! gama funkcija gamma( ) zagrade ( ) x-koordinata x( ) y-koordinata y( ) apsolutna vrijednost abs( ) predznak sgn( ) kvadratni korijen sqrt( ) kubni korijen cbrt( ) slučajan broj između 0 i 1 random( )

eksponencijalna funkcija exp( ) ili ℯx logaritam (prirodni po e) ln( ) ili log( ) logaritam po 2 ld( ) logaritam po 10 lg( ) kosinus cos( ) sinus sin( ) tangens tan( ) arkus kosinus acos( ) arkus sinus asin( ) arkus tangens atan( ) kosinus hiperbolni cosh( ) sinus hiperbolni sinh( ) tangens hiperbolni tanh( ) Area kosinus hiperbolni acosh( ) Area sinus hiperbolni asinh( ) Area tangens hiperbolni atanh( ) najveće cijelo manje od ili jednako floor( ) najmanje cijelo veće od ili jednako ceil( ) zaokruženo round( )

Primjeri: U programu GeoGebra možete raditi i proračune s točkama i vektorima.

• Središte M između dviju točaka A i B možete upisati M = (A + B) / 2 u traku za unos.

• Duljinu vektora v možete izračunati koristeći l = sqrt(v * v).

36

3.2.7. Logičke varijable i operacije

U GeoGebri možete koristiti logičke varijable “true” (istina) i “false” (laž). Samo upišite na primjer a = true ili b = false u traku za unos i pritisnite tipku Enter.

Kontrolni okvir i strelice Nezavisne logičke varijable bit će prikazane kao kontrolni okvirići (vidi alat Kontrolni okvir za prikaz i skrivanje objekata). Upotrebom strelica na tipkovnici možete mijenjati logičke varijable u algebarskom prikazu (vidi Ručna animacija). Napomena: Možete također koristiti logičke varijable kao brojeve (vrijednosti 0 ili 1). To vam omogućuje da rabite kontrolni okvir kao vrijednost brzine nekog animiranog klizača za pokretanje i zaustavljanje animacije. Animacijski gumb je vidljiv u grafičkom prikazu samo ako je brzina animiranog klizača određena statičnom vrijednošću (ne preko logičke vrijednosti).

Logičke operacije U programu GeoGebra možete koristiti sljedeće logičke operacije tako da ih unesete u traku za unos iz padajućeg izbornika koji se nalazi pored trake za unos ili upišete preko tipkovnice: Izbornik Tipkovnica Primjer Tipovi

jednako ≟ == a ≟ b ili a == b brojevi, točke, pravci, konike a, b

nije jednako ≠ != a ≠ b ili a != b brojevi, točke, pravci, konike a, b

manje od < < a < b brojevi a, b veće od > > a > b brojevi a, b manje ili jednako ≤ <= a ≤ b ili a <= b brojevi a, b veće ili jednako ≥ >= a ≥ b ili a >= b brojevi a, b i ∧ && a ∧ b logički a, b ili ∨ || a ∨ b logički a, b ne ¬ ! ¬a ili !a logički a usporedan || a || b pravci a, b okomit ⊥ a ⊥ b pravci a, b

3.2.8. Lista objekata i operacije s listama

Koristeći se vitičastim zagradama možete izraditi listu nekoliko objekata (npr. točaka, dužina, kružnica). Primjeri:

• L = {A, B, C} daje listu koja se sastoji od tri prethodno definirane točke A, B, i C.

37

• L = {(0, 0), (1, 1), (2, 2)} stvara listu unesenih točaka, iako su one neimenovane.

Napomena: Prema postavci, elementi ove liste nisu prikazani u grafičkom prikazu.

Uspoređivanje lista objekata Možete uspoređivati dvije liste objekata:

• lista1 == lista2: Uspoređuje jesu li liste objekata jednake i vraća true ili false kao rezultat.

• lista1 != lista2: Uspoređuje jesu li liste objekata različite i vraća true ili false kao rezultat.

Primjenjivanje operacija i funkcija na liste Napomena: Ako primjenjujete operacije ili predefinirane funkcije na liste, uvijek ćete dobiti novu listu kao rezultat. Primjeri zbrajanja i oduzimanja:

• lista1 + lista2: Zbraja odgovarajuće elemente dviju lista. Napomena: Dvije liste moraju biti jednakih duljina.

• lista + broj: Pribraja broj svakom elementu liste. • lista1 – lista2: Oduzima odgovarajuće elemente druge liste od

odgovarajućih elemenata prve liste. Napomena: Liste moraju biti jednakih duljina.

• lista – broj: Oduzima broj od svakog elementa liste. Primjeri množenja i dijeljenja:

• lista1 * lista2: Množi odgovarajuće elemente dviju lista. Napomena: Liste moraju biti jednakih duljina. Napomena:Ako su dvije liste kompatibilne matrice, koristi se matrično množenje.

• lista * broj: Množi svaki element liste brojem. • lista1 / lista2: Dijeli odgovarajuće elemente prve liste odgovarajućim

elementima druge liste. Napomena: Dvije liste moraju biti jednakih duljina.

• lista / broj: Dijeli svaki element, liste brojem. • broj / lista: Dijeli broj svakim elementom liste.

Ostali primjeri:

• lista^2: Kvadrira svaki element liste. • sin(lista): Primjenjuje funkciju sinus na svaki element liste.

3.2.9. Matrice i operacije s matricama

GeoGebra podržava i matrice koje su reprezentirane kao liste od lista što sadrže retke matrice.

38

Primjer: U GeoGebri, {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}} predstavlja matricu .

Operacije s matricama Primjeri zbrajanja i oduzimanja:

• matrica1 + matrica2: Zbraja odgovarajuće elemente dviju usklađenih matrica.

• matrica1 - matrica2: Oduzima odgovarajuće elemente dviju usklađenih matrica.

Primjeri množenja:

• matrica * broj: Množi svaki element matrice danim brojem. • matrica1 * matrica2: Koristi matrično množenje za izračunavanje

matrice koja je rezultat množenja. Napomena: Retci prve i stupci druge matrice moraju imati jednak broj elemenata. Primjer: {{1, 2}, {3, 4}, {5, 6}} * {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}} dat će matricu {{9, 12, 15}, {19, 26, 33}, {29, 40, 51}}.

• 2x2 matrica * točka (ili vektor): Množi matricu danom točkom ili vektorom i daje točku kao rezultat. Primjer: {{1, 2}, {3, 4}} * (3, 4) daje točku A = (11, 25).

• 3x3 matrica * točka (ili vektor): Množi matricu danom točkom ili vektorom i daje točku kao rezultat. Primjer: {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {0, 0, 1}} * (1, 2) daje točku A = (8, 20). Napomena: Ovo je specijalni slučaj afine transformacije gdje se koriste homogene koordinate: (x, y, 1) za točku i (x, y, 0) za vektor. Ovaj primjer je zato ekvivalentan: {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {0, 0, 1}} * {1, 2, 1}.

Ostali primjeri: (vidi poglavlje Matrične naredbe):

• Determinanta[matrica]: Izračunava determinantu dane matrice. • InverznaMatrica [matrica]: Daje inverznu matricu zadane matrice. • TransponiranaMatrica[matrica]: Daje transponiranu matricu zadane

matrice.

3.2.10. Kompleksni brojevi i operacije

GeoGebra ne podržava kompleksne brojeve izravno, ali vi možete koristiti točke koje će simulirati operacije s kompleksnim brojevima. Primjer: Ako upišete kompleksni broj 3 + 4i u traku za unos dobit ćete točku (3, 4) u grafičkom prikazu. U algebarskom prozoru koordinate ove točke bit će prikazane kao 3 + 4i

39

Napomena: Možete u algebarskom prikazu prikazati bilo koju točku kao kompleksni broj. Otvorite dijaloški okvir svojstva za točku i odaberite ‘Kompleksni broj’ iz padajućeg izbornika 'Koordinate' na kartici Algebra. Ako varijabla i još nije definirana, ona će biti prepoznata kao uređeni par i = (0, 1) ili kompleksni broj 0 + 1i. To znači da možete koristiti varijablu i kako biste upisali kompleksni broj u traku za unos (npr., q = 3 + 4i). Primjeri zbrajanja i oduzimanja:

• (2 + 1i) + (1 – 2i) daje kompleksni broj 3 – 1i. • (2 + 1i) - (1 – 2i) daje kompleksni broj 1 + 3i.

Primjeri množenja i dijeljenja:

• (2 + 1i) * (1 – 2i) daje kompleksni broj 4 – 3i. • (2 + 1i) / (1 – 2i) daje kompleksni broj 0 + 1i.

Napomena: Uobičajeno množenje (2, 1)*(1, -2) daje skalarni umnožak dviju točaka (dvaju vektora). Ostali primjeri: GeoGebra u izrazima prepoznaje realne i kompleksne brojeve.

• 3 + (4 + 5i) daje kompleksni broj 7 + 5i. • 3 - (4 + 5i) daje kompleksni broj -1 - 5i. • 3 / (0 + 1i) daje kompleksni broj 0 - 3i. • 3 * (1 + 2i) daje kompleksni broj 3 - 6i.

3.3. Naredbe

Pomoću naredbi možemo stvarati nove ili mijenjati postojeće objekte. Napomena: Rezultat naredbe možemo imenovati oznakom iza koje slijedi “=”. U sljedećem primjeru rezultat je nova točka nazvana S. Primjer: Kako biste dobili sjecište dvaju pravaca g i h upišite S = Sjecište[g,h] (vidi naredbu Sjecište). Napomena: Možemo koristiti i indekse u nazivu objekata: A1 upisujemo kao A_1, dok sAB dobijemo unosom s_{AB}.

Automatska dopuna naredbe Dok utipkavate GeoGebrinu naredbu u traku za unos, program pokušava automatski dopuniti naredbu umjesto vas. To znači kada upišete prva dva slova naredbe u traku za unos, GeoGebra prikazuje prvu naredbu u abecednom poretku koja počinje tim slovima.

• Kako biste prihvatili taj prijedlog i smjestili kursor između uglatih zagrada, pritisnite tipku Enter.

• Ako predložena naredba nije ona koju ste htjeli, samo nastavite tipkati. GeoGebra će prilagoditi predložene naredbe slovima koja unosite.

40

3.3.1. Opće naredbe

Korak konstrukcije KorakKonstrukcije[]: vraća važeći redni broj koraka iz Opisa konstrukcije. KorakKonstrukcije[objekt]: vraća važeći redni broj koraka iz Opisa

konstrukcije za zadani objekt.

Veza Veza[objekt a, objekt b]: pokazuje poruku u kakvom su odnosu objekt a i

objekt b. Napomena: Ova vam naredba omogućava da odredite jesu li dva objekta jednaka,

leži li točka na pravcu ili konici i u kojem su međusobnom položaju pravac i konika (tangenta, sekanta, pravac bez zajedničkih točaka, ili asimptota konike).

Izbriši Izbriši[objekt]: briše dani objekt i sve o njemu zavisne objekte.

3.3.2. Logičke naredbe

Ako Ako[uvjet, objekt]: dat će kopiju zadanog objekta ako je logička vrijednost

uvjeta true, odnosno nedefinirani objekt ako je ta vrijednost false. Ako[uvjet, objekt a, objekt b]: dat će kopiju objekta a ako je logička

vrijednost uvjeta true, tj. kopiju objekta b ako je ta vrijednost false.

Definiranost Definiranost[objekt]: vraća true ili false zavisno od toga je li objekt definiran ili

nije.

Uvjet cjelobrojnosti UvjetCjelobrojnosti[broj]: vraća true ili false zavisno od toga je li broj cijeli ili

nije.

3.3.3. Brojevi

Duljina Duljina[vektor]: daje duljinu vektora Duljina[točka]: daje duljinu radijvektora dane točke Duljina[funkcija, broj x1, broj x2]: daje duljinu grafa funkcije na

intervalu [x1 , x2]

41

Duljina[funkcija, točka A, točka B]: duljina grafa funkcije između dviju točaka A i B koje leže na grafu.

Duljina[krivulja, broj t1, broj t2]: daje duljinu krivulje između parametarskih vrijednosti t1 i t2

Duljina[krivulja, točka A, točka B]: daje duljinu krivulje između dviju točaka A i B koje leže na krivulji.

Duljina[lista]: daje duljinu liste (broj elemenata liste)

Površina Površina[točka A, točka B, točka C, ...]: površina mnogokuta

zadanog točkama A, B, C,… Površina[konika c]: površina konike c (kružnica ili elipsa). Napomena: Za izračunavanje površine između grafova dviju funkcija koristite

naredbu Integral .

Razmak na osima RazmakNaOsiX[]: vraća važeću duljinu razmaka na x-osi RazmakNaOsiY[]: vraća važeću duljinu razmaka na y-osi Napomena: Zajedno s naredbama Ugao i Niz, naredbe RazmakNaOsi omogućavaju

vam kreiranje korisnički definiranih koordinatnih osi (vidi poglavlje Prilagodba koordinatnih osi i mreže).

Binomni koeficijent BinomniKoeficijent[broj n, broj r]: Izračunava binomni koeficijent ‘n

povrh r’

Udaljenost Udaljenost[točka A, točka B]: daje udaljenost dviju točaka A i B Udaljenost[točka, pravac]: daje udaljenost točke i pravca Udaljenost[pravac g, pravac h]: daje udaljenost pravaca g i h. Napomena: Udaljenost pravaca koji se sijeku je 0. Ova naredba je interesantna za

usporedne pravce.

Modulo funkcija OstatakDijeljenja[cio broj a, cio broj b]: izračunava ostatak pri

dijeljenju broja a brojem b

Cjelobrojno dijeljenje CjelobrojnoDijeljenje[broj a, broj b]: izračunava cjelobrojni količnik pri

dijeljenju broja a brojem b

42

Nagib Nagib[pravac]: daje nagib zadanog pravca. Napomena: Ova naredba također crta nagib kao trokut ispod ili iznad pravca, čiju

veličinu možemo mijenjati (vidi dijaloški okvir Svojstva).

Zakrivljenost Zakrivljenost[točka, funkcija]: izračunava zakrivljenost funkcije u danoj

točki Zakrivljenost[točka, krivulja]: izračunava zakrivljenost krivulje u danoj

točki

Polumjer Polumjer[kružnica]: daje polumjer kružnice

Opseg Opseg[mnogokut]: daje opseg mnogokuta Opseg[konika]: daje opseg konike.

Napomena: Ova naredba ima smisla jedino kod kružnice i elipse

Parametar Parametar[parabola]: daje parametar parabole (udaljenost ravnalice i žarišta)

Najveći zajednički djelitelj NZD[broj a, broj b]: izračunava najveći zajednički djelitelj brojeva a i b NZD [lista brojeva]: izračunava najveći zajednički djelitelj liste brojeva

Najmanji zajednički višekratnik NZV[broj a, broj b]: izračunava najmanji zajednički višekratnik brojeva a i b NZV[lista brojeva]: izračunava najmanji zajednički višekratnik liste brojeva

Glavna poluos GlavnaPoluos[konika]: daje duljinu glavne poluosi konike.

Sporedna poluos SporednaPoluos[konika]: daje duljinu sporedne poluosi konike.

Linearni ekscentricitet LinearniEkscentricitet[konika]: izračunava linearni ekscentricitet konike. Napomena: Linearni ekscentricitet je udaljenost između središta konike i njenog

žarišta, ili jednog od njenih dvaju žarišta.

43

Integral Integral[funkcija, broj a, broj b]: izračunava određeni integral zadane

funkcije na intervalu [a , b]. Napomena: Ova naredba crta i površinu između grafa funkcije i x-osi. Integral[funkcija f, funkcija g, broj a, broj b]: daje određeni

integral razlike funkcija f(x)-g(x) na intervalu [a , b]. Napomena: Ova naredba također crta površinu između grafova funkcija f i g. Napomena: Vidi Neodređeni integral

Donja suma DonjaSuma[funkcija, broj a, broj b, broj n]: daje donju sumu zadane

funkcije na intervalu [a, b] s n pravokutnika. Napomena: Ova naredba također crta pravokutnike donje sume.

Gornja suma GornjaSuma[funkcija, broj a, broj b, broj n]: daje gornju sumu

zadane funkcije na intervalu [a, b] s n pravokutnika. Napomena: Ova naredba također crta pravokutnike gornje sume.

Iteracija Iteracija[funkcija, broj x0, broj n]: izvodi n puta iteraciju funkcije

koristeći kao početnu vrijednost x0. Primjer: Nakon definicije f(x) = x^2 naredba Iteracija[f, 3, 2] dat će rezultat (32)2 = 81.

Minimum i maksimum Minimum[broj a, broj b]: daje (naj)manji od zadanih brojeva a i b Maksimum[broj a, broj b]: daje (naj)veći od zadanih brojeva a i b

Afini omjer AfiniOmjer[točka A, točka B, točka C]: daje afini omjer λ triju kolinearnih

točaka A, B, i C, gdje je C = A + λ * AB

Dvostruki omjer DvostrukiOmjer [točka A, točka B, točka C, točka D]: dvostruki

omjer λ četiri kolinearne točke A, B, C, i D, gdje je λ = AfiniOmjer [B, C, D] / AfiniOmjer [A, C, D]

Naredbe slučajnih brojeva SlučajniBrojIzmeđu[minimalni cijeli broj, maksimalni cijeli

broj]: generira slučajni cijeli broj između minimalnog i maksimalnog (uključivo)

44

BinomnaSlučajnaVarijabla[broj pokušaja n, vjerojatnost p]: generira slučajni broj iz binomne razdiobe s n pokušaja i s vjerojatnošću p

NormalnaSlučajnaVarijabla[aritmetička sredina, standardna devijacija]: generira slučajni broj iz normalne razdiobe zadane aritmetičke sredine i standardne devijacije

PoissonovaSlučajnaVarijabla[aritmetička sredina]: generira slučajni broj iz Poissonove razdiobe zadane aritmetičke sredine

Trapezna suma TrapeznaSuma[funkcija, broj a, broj b, broj trapeza n]:

izračunava trapeznu sumu zadane funkcije na intervalu [a, b] koristeći n trapeza.

Napomena: Ova naredba također crta trapeze.

3.3.4. Kutovi

Kut Kut[vektor v1, vektor v2]: daje kut između vektora v1 i v2 (od 0° do 360°) Kut[pravac g, pravac h]: daje kut između vektora smjera dvaju pravaca g i h

(od 0° do 360°) Kut[točka A, točka B, točka C]: daje kut kojeg zatvaraju BA i BC (od 0° do

360°) gdje je točka B vrh kuta. Kut[točka A, točka B, kut alfa]: daje kut veličine α crtan iz točke A kroz

vrh B. Napomena: Također će biti konstruirana točka Rotacija[B, A, α]. Kut[konika]: daje kut zakreta glavne osi konike (vidi naredbu Osi) Kut[vektor]: daje kut između x-osi i danog vektora Kut[točka]: daje kut između x-osi i radij vektora točke A Kut[broj n]: pretvara broj n u kut (rezultat je između 0 i 2pi) Kut[mnogokut]: konstruira sve kutove mnogokuta koji su matematički pozitivno

orijentirani (suprotno od kazaljke na satu). Napomena: Ako je mnogokut kreiran u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, dobit

ćete unutarnje kutove mnogokuta. Ako je kreiran u smjeru kazaljke na satu dobit ćete vanjske kutove mnogokuta.

3.3.5. Točke

Točka Točka[pravac]: daje točku na pravcu Točka[konika]: daje točku na konici Točka[funkcija]: daje točku na grafu funkcije Točka[mnogokut]: daje točku koja pripada rubu mnogokuta Točka[vektor]: daje točku na vektoru Točka[točka, vektor]: nacrta novu točku pribrajajući vektor danoj točki

45

Središte Središte[konika]: daje središte konike

Napomena: Naredba ima smisla za kružnicu, elipsu i hiperbolu.

Polovište i središte Polovište[točka A, točka B]: daje polovište između točaka A i B Polovište[dužina]: daje polovište dužine

Žarište Žarište[konika]: daje (sva) žarišta konike

Tjeme Tjeme[konika]: daje (sva) tjemena konike

Težište Težište[mnogokut]: daje težište vrhova mnogokuta (ono nije jednako težištu

mnogokuta osim za trokut)

Ugao Ugao[broj n ugla]: konstruira točku na uglu grafičkog prikaza (n = 1, 2, 3, 4) koji

nikada nije vidljiv na ekranu Ugao[slika, broj n ugla]: konstruira točku na uglu slike (n = 1, 2, 3, 4) Ugao[tekst, broj n ugla]: konstruira točku na uglu teksta (n = 1, 2, 3, 4)

Napomena: Uglovi su orijentirani u smjeru suprotno od kazaljke na satu i počinju se numerirati u lijevom donjem uglu.

Sjecište Sjecište[pravac g, pravac h]: daje sjecište pravaca g i h Sjecište[pravac, konika]: daje sva sjecišta pravaca i konike (najviše. 2) Sjecište[pravac, konika, broj n]: daje n-to sjecište pravca g i konike c Sjecište[konika c1, konika c2]: daje sva sjecišta od c1 i c2 (najviše 4) Sjecište[konika c1, konika c2, broj n]: daje n-to sjecište konika c1 i c2 Sjecište[polinom f1, polinom f2]: daje sva sjecišta polinoma f1 i f2 Sjecište[polinom f1, polinom f2, broj n]: daje n-to sjecište polinoma f1

i f2 Sjecište[polinom, pravac]: daje sva sjecišta polinoma i pravca Sjecište[polinom, pravac, broj n]: n -to sjecište polinoma i pravca Sjecište[funkcija f, funkcija g, točka A]: daje sjecište od f i g sa

početnom vrijednošću A (za Newtonovu metodu) Sjecište[funkcija, pravac, točka A]: daje sjecište funkcije i pravca sa

početnom vrijednošću A (za Newtonovu metodu) Napomena: Također vidi alat Sjecište dvaju objekata

46

Nultočka Nultočka[polinom]: daje sve nultočke polinoma (kao točke) Nultočka[funkcija, broj a]: daje nultočku funkcije sa početnom vrijednošću

a (Newtonova metoda) Nultočka[funkcija, broj a, broj b]: daje nultočku funkcije na intervalu [a,

b] (metoda regula falsi)

Ekstrem Ekstrem[polinom]: daje sve lokalne ekstreme zadanog polinoma (kao točke)

Točka pregiba TočkaPregiba[polinom]: daje sve točke pregiba zadanog polinoma

3.3.6. Vektor

Vektor Vektor[točka A, točka B]: konstruira vektor od A do B Vektor[točka]: konstruira radijvektor zadane točke

Vektor smjera VektorSmjera[pravac]: daje vektor smjera pravca. Napomena: Pravac s jednadžbom ax + by = c ima vektor smjera (b, - a).

Jedinični vektor JediničniVektor[pravac]: daje vektor smjera zadanog pravca duljine 1 JediničniVektor[vektor]: daje vektor duljine 1, jednakog smjera i orijentacije

kao i zadani vektor

Okomiti vektor OkomitiVektor[pravac]: daje okomiti vektor u odnosu na zadani pravac.

Napomena: Pravac jednadžbe ax + by = c ima okomiti vektor (a, b). OkomitiVektor[vektor]: daje okomiti vektor na zadani vektor. Napomena: Vektor s koordinatama (a, b) ima okomiti vektor (- b, a).

Jedinični okomiti vektor JediničniOkomitiVektor[pravac]: daje okomiti vektor na zadani pravac

duljine 1 JediničniOkomitiVektor[vektor]: daje vektor duljine 1, okomit na zadani

vektor v

47

Vektor zakrivljenosti VektorZakrivljenosti[točka, funkcija]: daje vektor

zakrivljenosti funkcije u zadanoj točki VektorZakrivljenosti[točka, krivulja]: daje vektor

zakrivljenosti krivulje u zadanoj točki Napomena: Zakrivljenost je recipročna duljini polumjera kružnice zakrivljenosti, pa je

tako i duljina vektora zakrivljenosti recipročna duljini polumjera kružnice zakrivljenosti!

3.3.7. Dužine

Dužina Dužina[točka A, točka B]: konstruira dužinu između točaka A i B Dužina[točka A, broj a]: konstruira dužinu duljine a s početnom točkom A.

Napomena: Također će biti kreirana i krajnja točka dužine.

3.3.8. Zrake

Zraka Zraka[točka A, točka B]: kreira zraku s početkom u A kroz B Zraka[točka, vektor v]: kreira zraku s početkom u zadanoj točki istoga smjera

kao i vektor v

3.3.9. Mnogokuti

Mnogokut Mnogokut[točka A, točka B, točka C,...]: daje mnogokut definiran

zadanim točkama A, B, C,… Mnogokut[točka A, točka B, broj n]: konstruira pravilni mnogokut s n

vrhova (uključujući točke A i B)

3.3.10. Pravci

Pravac Pravac[točka A, točka B]: daje pravac kroz dvije točke A i B Pravac[točka, pravac]: daje pravac kroz zadanu točku paralelan sa zadanim

pravcem Pravac[točka, vektor v]: daje pravac kroz zadanu točku s vektorom smjera v

48

Okomica Okomica[točka, pravac]: kreira pravac kroz zadanu točku okomit na zadani

pravac Okomica[točka, vektor]: kreira pravac kroz zadanu točku okomit na zadani

vektor

Simetrala dužine SimetralaDužine[točka A, točka B]: crta simetralu dužine AB SimetralaDužine[dužina]: crta simetralu zadane dužine

Simetrala kuta SimetralaKuta[točka A, točka B, točka C]: daje simetralu kuta A, B, i C.

Napomena: Točka B je vrh ovog kuta. SimetralaKuta[pravac g, pravac h]: daje obje simetrale kutova koje

zatvaraju pravci g i h.

Tangenta Tangenta[točka, konika]: konstruira (sve) tangente kroz zadanu točku na

koniku Tangenta[pravac, konika]: konstruira (sve) tangente na koniku koje su

paralelne sa zadanim pravcem Tangenta[broj a, funkcija]: konstruira tangentu na zadanu funkciju za x=a

(a je apscisa dirališta) Tangenta[točka A, funkcija]: konstruira tangentu na zadanu funkciju za x =

x(A) (x(A) je apscisa dirališta) Tangenta[točka, krivulja]: konstruira tangentu na krivulju u zadanoj točki

Asimptota Asimptota[hiperbola]: konstruira obje asimptote hiperbole

Ravnalica Ravnalica[parabola]: konstruira ravnalicu parabole

Osi Osi[konika]: daje glavnu i sporednu os konike

Glavna os GlavnaOs[konika]: daje glavnu os konike

Sporedna os SporednaOs[konika]: daje sporednu os konike

49

Polara Polara[točka, konika]: daje polaru zadane točke (zadana točka je pol) u

odnosu na zadanu koniku

Konjugirani promjer KonjugiraniPromjer[pravac, konika]: daje konjugirani dijametar paralelan

sa zadanim pravcem konike c KonjugiraniPromjer[vektor, konika]: daje konjugirani dijametar konike koji

ima smjer kao i zadani vektor

3.3.11. Konike

Kružnica Kružnica[točka M, broj r]: konstruira kružnicu sa središtem u M i

polumjerom r Kružnica[točka M, dužina]: konstruira kružnicu sa središtem u M i

polumjerom koji je jednake duljine kao i zadana dužina Kružnica[točka M, točka A]: konstruira kružnicu sa središtem u M kroz A Kružnica[točka A, točka B, točka C]: konstruira kružnicu kroz zadane

točke A, B i C

Kružnica zakrivljenosti KružnicaZakrivljenosti[točka, funkcija]: daje kružnicu

zakrivljenosti funkcije f u zadanoj točki KružnicaZakrivljenosti[točka, krivulja]: daje kružnicu

zakrivljenosti krivulje u zadanoj točki

Elipsa Elipsa[točka F, točka G, broj a]: izradit će elipsu sa žarištima F, G i

glavnom poluosi duljine a. Napomena: Uvjet: 2a > Udaljenost[F, G] Elipsa[točka F, točka G, dužina]: izradit će elipsu sa žarištima F, G i

glavnom poluosi koja je jednake duljine kao i zadana dužina Elipsa[točka A, točka B, točka C]: izradit će elipsu sa žarištima A i B koja

prolazi točkom C

Hiperbola Hiperbola[točka F, točka G, broj a]: konstruira hiperbolu sa žarištima F,

G i sa glavnom poluosi duljine a. Napomena: Uvjet: 0 < 2a < Udaljenost[F, G] Hiperbola[točka F, točka G, Dužina s]: konstruira hiperbolu sa žarištima

F, G i glavnom poluosi duljine Dužina s (a = Duljina[s]) Hiperbola[točka A, točka B, točka C]: konstruira hiperbolu sa žarištima A

i B koja prolazi točkom C

50

Parabola Parabola[točka F, pravac g]: konstruira parabolu sa žarištem F i ravnalicom

g

Konika Konika[točka A, točka B, točka C, točka D, točka E]: nacrtat će

koniku kroz pet točaka A, B, C, D, i E. Napomena: Ako četiri točke leže na istom pravcu, konika nije definirana.

3.3.12. Funkcije

Derivacija Derivacija[funkcija]: crta derivaciju zadane funkcija Derivacija[funkcija, broj n]: crta n – tu derivaciju zadane funkcije Napomena: Možete koristiti f’(x) umjesto Derivacija[f] kao i f’’(x) umjesto Derivacija[f, 2].

Faktoriziraj Faktoriziraj[polinom]: faktorizira polinom

Primjer: Faktoriziraj [x^2 + x - 6] dati će f(x) = (x-2)(x+3)

Funkcija Funkcija[funkcija, broj a, broj b]: proizvodi graf zadane funkcije na

intervalu [a, b] koja nije definirana izvan [a, b] Napomena: Ova funkcija se koristi samo za prikazivanje grafa na zadanom intervalu.

Primjer: f(x) = Funkcija [x^2, -1, 1] crta graf funkcije x2 na intervalu [-1, 1]. Ako poslije utipkate g(x) = 2 f(x) dobiti ćete funkciju g(x) = 2 x2, ali ne njenu restrikciju na intervalu [-1, 1].

Integral Integral[funkcija]: daje neodređeni integral zadane funkcije Napomena: Vidi Određeni integral

Polinom Polinom[funkcija]: zadanu funkciju prikazuje kao polinom u kanonskom zapisu.

Primjer: Polinom[(x - 3)^2] daje x2 - 6x + 9 Polinom [lista od n točaka]: kreira interpolacijski polinom stupnja n-1 kroz

zadanih n točaka.

51

Taylorov polinom TaylorovPolinom[funkcija, broj a, broj n]: kreira red potencija za

zadanu funkciju u okolini točke s apscisom x = a reda n

Uvjetne funkcije Kako biste kreirali uvjetnu funkciju možete koristiti uvjetnu naredbu Ako . Napomena: Derivacije i integrale takvih funkcija kao i njihova sjecišta možete koristiti na isti način kao i kod “običnih” funkcija. Primjeri: f(x) = Ako[x < 3, sin(x), x^2] dat će funkciju koja je jednaka sin(x) za x < 3 i x2 za x ≥ 3. Uvjet a ≟ 3 ∧ b ≥ 0 provjerava je li a jednako 3 i b veće ili jednako od 0. Napomena: Simbole poput ovih ≟, ∧, ≥ naći ćete u padajućem izborniku desno od trake za unos.

Proširi Proširi[funkcija]: pomnožiti će izraze u zagradama.

Primjer: Proširi[(x + 3)(x - 4)] dati će f(x) = x2 - x - 12

Pojednostavni Pojednostavni[funkcija]: pojednostavniti će zapis funkcije ako je to moguće. Primjeri: Pojednostavni [x + x + x] dati će funkciju f(x) = 3x Pojednostavni [sin(x) / cos(x)] dati će funkciju f(x) = tan(x) Pojednostavni [-2 sin(x) cos(x)] dati će funkciju f(x) = sin(-2 x)

3.3.13. Parametarske krivulje

Krivulja Krivulja[izraz e1, izraz e2, parametar t, broj a, broj b]: daje

parametarsku krivulju u kartezijevim koordinatama sa zadanim izrazima e1 za x i e2 za y (koji koriste parametar t) unutar zadanog intervala [a, b] Primjer: c = Krivulja[2 cos(t), 2 sin(t), t, 0, 2 pi]

Napomena: Parametarske krivulje možemo poput funkcija koristiti u aritmetičkim izrazima. Primjer: Unos c(3) daje točku za vrijednost parametra 3 na krivulji c. Napomena: Korištenjem miša također možete zadati točku na krivulji uz pomoć alata

Nova točka ili naredbu Točka. Kako bi a i b bili dinamični možete koristiti klizače (vidi alat Klizač).

52

Naredbe za parametarske krivulje Zakrivljenost[točka, krivulja]: izračunava zakrivljenost krivulje u danoj

točki VektorZakrivljenosti[točka, krivulja]: daje vektor

zakrivljenosti krivulje u zadanoj točki Derivacija[krivulja]: daje derivaciju zadane krivulje Derivacija[krivulja, broj n]: daje n-tu derivaciju zadane krivulje Duljina[krivulja, broj t1, broj t2]: daje duljinu krivulje između

parametarskih vrijednosti t1 i t2 Duljina[krivulja, točka A, točka B]: daje duljinu krivulje između dviju

točaka A i B koje leže na krivulji KružnicaZakrivljenosti[točka, krivulja]: daje kružnicu

zakrivljenosti krivulje u zadanoj točki

3.3.14. Lukovi i isječci

Napomena: Algebarska vrijednost luka je njegova duljina, a isječka njegova površina.

Luk Luk[konika, točka A, točka B]: daje luk konike između točaka A i B koje

pripadaju zadanoj konici Napomena: Ova naredba djeluje samo kod kružnice ili elipse.

Luk[konika, broj t1, broj t2]: daje luk konike između dvaju parametarskih vrijednosti t1 i t2

Napomena: U parametarskom obliku konike su zadane na sljedeći način: • kružnica: (r cos(t), r sin(t)) gdje je r polumjer kružnice • elipsa: (a cos(t), b sin(t)) gdje su a i b duljine prve i druge poluosi

Polukružnica Polukružnica[točka A, točka B]: daje polukružnicu nad promjerom AB.

Kružni luk KružniLuk[točka M, točka A, točka B]: konstruira kružni luk određen

središtem M između dviju točaka A i B. Napomena: točka B ne mora ležati na luku.

Luk opisan trima točkama OpisaniLuk[točka A, točka B, točka C]: daje kružni luk kroz tri točke A, B,

i C

Kružni isječak KružniIsječak[točka M, točka A, točka B]: kružni isječak sa središtem M

omeđen točkama A i B.

53

Napomena: točka B ne mora ležati na luku.

Isječak opisanog luka IsječakOpisanogLuka[točka A, točka B, točka C]: kružni isječak kroz tri

točke A, B, i C

Isječak Isječak[konika, točka A, točka B]: konstruira isječak konike između dviju

točaka A i B koje pripadaju konici (kružnica ili elipsa) Isječak[konika, broj t1, broj t2]: konstruira kružni isječak između dvaju

parametarskih vrijednosti t1 i t2 koje su zadane u slijedećem obliku: • Kružnica: (r cos(t), r sin(t)) gdje je r kružni radijus • Elipsa: (a cos(t), b sin(t)) gdje su a i b duljine prve i druge poluosi

3.3.15. Tekst

Tekst s formulom TekstFormulom[objekt]: prikazuje formulu objekta kao LaTeX tekst.

Primjer: Ako je a = 2 i f(x) = a x2, tada TekstFormulom[f] daje 2 x2 (kao LaTeX tekst)

TekstFormulom[objekt, logička vrijednost]: prikazuje formulu objekta kao LaTeX tekst. Logička vrijednost određuje hoće li se vrijednost varijable u formuli objekta zamijeniti iznosom (true) ili će u tekstu biti prikazan naziv varijable (false). Primjeri: Ako je a = 2 i f(x) = a x2, tada TekstFormulom[f, true] daje 2 x2 (kao LaTeX tekst) TekstFormulom[f, false] daje a x2 (kao LaTeX tekst)

Tekst razlomkom TekstRazlomkom[broj]: pretvara broj u razlomak koji je prikazan kao (LaTeX)

tekst u grafičkom prikazu. Primjer: Ako je zadan pravac a: y = 1.5 x + 2, tada naredba TekstRazlomkom[Nagib[a]] daje razlomak 3/2 kao tekst.

Unikod znaka UnikodZnaka["znak"]: zamjenjuje pojedini znak njegovim unikodnim brojem

Napomena: Znak treba napisati između navodnika. Primjer: UnikodZnaka["a"] daje broj 97

ZnakIzUnikoda ZnakIzUnikoda[prirodni broj]: pretvara unikodni broj u znak koji je prikazan

kao tekst na grafičkom prikazu. Primjer: ZnakIzUnikoda[97] dati će tekst "a".

54

Unikod teksta UnikodTeksta["tekst"]: zamjenjuje tekst u listu unikodnih brojeva, po jedan za

svaki znak. Primjer: UnikodTeksta["Neki tekst"] daje listu unikodnih brojeva {78, 101, 107, 105, 32, 116, 101, 107, 115, 116}. Ako je tekst1 "zdravo", tada UnikodTeksta[tekst1] daje listu {122, 100, 114, 97, 118, 111}.

Tekst iz unikoda TekstIzUnikoda[lista prirodnih brojeva]: pPretvara unikodne brojeve u

tekst. Primjer: TekstIzUnikoda[{122, 100, 114, 97, 118, 111}] daje tekst "zdravo".

Naziv Naziv[objekt]: pokazuje naziv danog objekta kao tekst u grafičkom prikazu. Napomena: Koristite ovu naredbu kod dinamičnog teksta za objekte koje biste

mogli preimenovati. Naredba Naziv suprotnog je djelovanja od naredbe Objekt

Objekt Objekt[naziv objekta kao tekst]: vraća objekt za zadani naziv. Rezultat je

uvijek zavisni objekt. Napomena: Naredba Objekt suprotnog je djelovanja od naredbe Naziv. Primjer: Ako postoje točke A1, A2, ... , A20 i klizač n = 2, tada Objekt["A" + n] daje kopiju točke A2.

Tekst kao tablica TekstKaoTablica[lista 1, lista 2, lista 3,...]: izraditi će tekst koji

sadrži tablicu lista objekata. Napomena: Svaka lista se ispisuje u novom retku tablice. Primjeri: • TekstKaoTablica[{x^2, 4}, {x^3, 8}, {x^4, 16}] kreira tablicu

kao tekstualni objekt s tri retka i dva stupca. Svi podaci u tablici su lijevo poravnani.

• TekstKaoTablica[Niz[i^2, i, 1, 10]] izraditi će tablicu s jednim stupcem kao tekst. Svi podaci u tablici su lijevo poravnani.

TekstKaoTablica[lista 1, lista 2, lista 3, "poravnanje

teksta"]: Izraditi će tekst koji sadrži tablicu listi objekata. Neobavezan tekst “poravnanje teksta” kontrolira orijentaciju i poravnanje teksta u tablici. Napomena: moguće vrijednosti su "vl", "vc", "vr", "v", "h", "hl", "hc", "hr". Zadano je "hl".

"v" = vertikalan, tj. liste su stupci "h" = horizontalan, tj. liste su retci "l" = lijevo poravnan

55

"r" = desno poravnan "c" = centriran

Primjeri: TekstKaoTablica[{1,2,3,4},{1,4,9,16},"v"] kreira tablicu s dva stupca i četiri retka u kojoj su elementi poravnani lijevo. TekstKaoTablica[{1,2,3,4},{1,4,9,16},"h"] kreira tablicu s dva retka i četiri stupca u kojoj su elementi poravnani lijevo. TekstKaoTablica[{11.2,123.1,32423.9,"234.0"},"r"] kreira tablicu kojoj su elementi poravnani desno.

Tekst Tekst[objekt]: daje formulu objekta u obliku teksta.

Napomena: Zadano je da vrijednost zamjenjuje varijablu. Primjer: Ako je a = 2 i c = a2, tada naredba Tekst[c] proizvodi tekst "4".

Tekst[objekt, logička vrijednost]: daje formulu objekta u obliku teksta. Logička vrijednost određuje hoće li iznos zamijeniti naziv varijable (true) ili će u tekstu biti prikazan naziv varijable (false). Primjer: Ako je a = 2 i c = a2, tada Tekst[c, true] proizvodi tekst "4". Tekst[c, false] proizvodi tekst "a2"

Tekst[objekt, točka]: daje formulu objekta u obliku teksta koji je smješten na poziciji zadane točke. Primjer: Tekst["zdravo", (2, 3)] crta tekst na poziciji (2, 3).

Tekst[objekt, točka, logička vrijednost]: daje formulu objekta u obliku teksta koji je smješten na poziciji zadane točke. Logička vrijednost određuje hoće li iznos zamijeniti naziv varijable (true) ili će u tekstu biti prikazan naziv varijable (false).

3.3.16. Lokus

Lokus Lokus[točka Q, točka P]: daje krivulju lokusa točke Q, koja je zavisna od

točke P. Napomena: Točka P je točka koja pripada nekom objektu (pravcu, dužini, kružnici,...)

3.3.17. Liste i nizovi

Pripoji Pripoji[lista, objekt]: listi pripaja zadani objekt

Primjer: Pripoji[{1, 2, 3}, (5, 5)] daje {1, 2, 3, (5, 5)} Pripoji[objekt, lista]: pripaja listu zadanom objektu

Primjer: Pripoji[(5, 5), {1, 2, 3}] daje {(5, 5), 1, 2, 3}

56

UvjetnoPrebrajanje UvjetnoPrebrajanje[uvjet, lista]: prebraja broj elemenata liste koji

zadovoljavaju zadani uvjet Primjeri: UvjetnoPrebrajanje[x < 3, {1, 2, 3, 4, 5}] daje broj 2 UvjetnoPrebrajanje[x<3, A1:A10] gdje je A1:A10 raspon ćelija u tablici, prebraja sva polja čije su vrijednosti manje od 3.

Element Element[lista, broj n]: daje n-ti element zadane liste Napomena: Elementi liste mogu biti samo objekti istog tipa (npr., samo brojevi ili

samo točke).

Početni Početni[lista]: daje prvi element liste Početni[lista, broj n elemenata]: izraditi će novu listu koja sadrži samo početnih n elemenata zadane liste.

Umetni Umetni[objekt, lista, pozicija]: umeće u listu dani objekt na zadanu

poziciju. Primjer: Umetni[x^2, {1, 2, 3, 4, 5}, 3] stavlja x2 na treće mjesto dane liste i daje listu {1, 2, x2, 3, 4, 5} Napomena: Ako je pozicija zadana negativnim brojem, tada se računa s desna na lijevo. Primjer: Umetni[(1, 2), {1, 2, 3, 4, 5}, -1] smješta dani objekt na kraj i daje listu {1, 2, 3, 4, 5, (1, 2)}

Umetni[lista 1, lista 2, pozicija]: umeće sve elemente liste lista1 u listu lista2 na zadanu poziciju. Primjer: Umetni[{11, 12}, {1, 2, 3, 4, 5}, 3] umeće elemente liste lista1 na treće (i slijedeća) mjesto(a) liste lista2 te daje listu {1, 2, 11, 12, 3, 4, 5} Napomena: Ako je pozicija zadana negativnim brojem, tada se računa s desna na lijevo. Primjer: Umetni[{11, 12}, {1, 2, 3, 4, 5}, -2] umeće elemente liste lista1 na kraj liste lista2 prije njenog zadnjeg elementa i daje listu {1, 2, 3, 4, 11, 12, 5}.

Presjek Presjek[lista 1, lista 2]: daje novu listu koja sadrži zajedničke elemente

obiju listi

Iteracijska lista IteracijskaLista[funkcija, broj x0, broj n]: daje listu duljine n+1 čiji

elementi su iteracije zadane funkcije s početnom vrijednošću x0.

57

Primjer: Nakon definiranja funkcije f(x) = x^2 naredba L = IteracijskaLista[f, 3, 2] daje listu L = {3, 32, (32)2} = {3, 9, 81}

Minimum Minimum[lista]: daje minimalni element zadane liste

Maksimum Maksimum[lista]: daje maksimalni element zadane liste

Spajanje Spajanje[lista 1, lista 2, ...]: spaja dvije (ili više) listi

Napomena: Nova lista sadrži sve elemente početnih listi, čak i jednake. Elementi nove liste ne mijenjaju poredak. Primjeri: Spajanje[{5, 4, 3}, {1, 2, 3}] izraditi će listu {5, 4, 3, 1, 2, 3}

Spajanje[lista listi]: spaja podliste u dulju listu Napomena: Nova lista sadrži sve elemente početnih listi, čak i jednake. Elementi nove liste ne mijenjaju poredak. Primjeri: Spajanje[{{1, 2}}] izraditi će listu {1, 2}

Spajanje[{{1, 2, 3}, {3, 4}, {8, 7}}] izraditi će listu {1, 2, 3, 3, 4, 8, 7}

Uvjetno zadržavanje UvjetnoZadržavanje[uvjet, lista]: izraditi će novu listu koja sadrži samo

one elemente početne liste koji zadovoljavaju zadani uvjet. Primjer: UvjetnoZadržavanje[x<3, {1, 2, 3, 4, 1, 5, 6}] daje novu listu {1, 2, 1}

Posljednji Posljednji[lista]:daje posljednji element liste. Posljednji[lista, broj n elemenata]: daje listu koja sadrži posljednjih n

elemenata zadane liste

Duljina Duljina[lista L]: daje duljinu zadane liste koja predstavlja broj elemenata liste.

Umnožak Umnožak[lista brojeva]: izračunava umnožak svih brojeva – elemenata liste

Ukloni nedefinirano UkloniNedefinirano[lista]: uklanja nedefinirane objekte iz liste.

Primjer: UkloniNedefinirano[Niz[(-1)^i, i, -3, -1, 0.5]] uklonit će drugi i četvrti član niza koji nemaju cjelobrojne eksponente i stoga su nedefinirani.

58

Inverzni niz InverzniNiz[lista]: preokreće poredak liste

Niz Niz[izraz, varijabla i, broj a, broj b]: proizvodi listu objekata

kreiranih iz danog izraza upotrebom indeksa i koji se mijenja na intervalu od a do b. Primjer: L = Niz[(2, i), i, 1, 5] izraditi će listu točaka čije su y-koordinate od 1 do 5.

Niz[izraz, varijabla i, broj a, broj b, korak povećanja]: proizvodi listu objekata kreiranih iz danog izraza upotrebom indeksa i koji se mijenja na intervalu od a do b s danim korakom povećanja. Primjer: L = Niz[(2, i), i, 1, 5, 0.5] izraditi će listu točaka čije su y-koordinate od 1 do 5 s korakom povećanja 0.5.

Napomena: Kako bi parametri a i b bili dinamični možete koristiti klizač za promjenu vrijednosti varijabli.

Sortiraj Sortiraj[lista]: sortira listu brojeva, tekstova ili točaka.

Napomena: Lista točaka se sortira prema x-koordinati. Primjeri: Sortiraj[{3, 2, 1}] daje listu {1, 2, 3}. Sortiraj[{"smokve", "breskve", "jabuke",}] daje listu tekstova u abecednom poretku. Sortiraj[{(3, 2), (2, 5), (4, 1)}] daje {(2, 5), (3, 2), (4, 1)}.

Zbroj Zbroj[lista]: izračunava zbroj svih elemenata liste.

Napomena: Ova naredba djeluje na brojeve, točke, vektore, tekstove, i funkcije. Primjeri:Zbroj[{1, 2, 3}] daje broj a = 6. Zbroj[{x^2, x^3}] daje f(x)=x2 + x3. Zbroj[Niz[i,i,1,100]] daje broj a = 5050. Zbroj[{(1, 2), (2, 3)}] daje točku A = (3, 5). Zbroj[{(1, 2), 3}] daje točku B = (4, 2). Zbroj[{"a","b","c"}] daje tekst "abc".

Zbroj[lista, broj n elemenata]: izračunava zbroj prvih n elemenata liste. Napomena: Ova naredba djeluje na brojeve, točke, vektore, tekstove, i funkcije. Primjer: Zbroj[{1, 2, 3, 4, 5, 6}, 4] daje broj a = 10.

Podniz Podniz[lista, početna pozicija m, završna pozicija n]: proizvodi

listu koja sadrži elemente zadane liste od pozicije m do n

59

Unija Unija[lista 1, lista 2]: spaja dvije liste i odstranjuje elemente koji se

pojavljuju opetovano.

3.3.18. Geometrijske transformacije

Translacija Translacija[točka, vektor]: translatira točku za dani vektor Translacija[pravac, vektor]: translatira pravac za dani vektor Translacija[konika, vektor]: translatira koniku za dani vektor Translacija[funkcija, vektor]: translatira funkciju za dani vektor Translacija[mnogokut, vektor]: translatira mnogokut za dani vektor.

Napomena: Konstruirani su novi vrhovi i dužine. Translacija[slika, vektor]: translatira sliku za dani vektor Translacija[vektor, točka]: translatira dani vektor u točku P Napomena: Također vidi alat Translacija objekta za vektor

Rotacija Rotacija[točka, kut]: rotira točku za kut oko ishodišta koordinatnog sustava Rotacija[vektor, kut]: rotira vektor za kut oko ishodišta koordinatnog sustava Rotacija[pravac, kut]: rotira pravac za kut oko ishodišta koordinatnog sustava Rotacija[konika, kut]: rotira koniku za kut oko ishodišta koordinatnog sustava Rotacija[mnogokut, kut]: rotira mnogokut za kut oko ishodišta koordinatnog

sustava. Napomena: Biti će konstruirani novi vrhovi i dužine. Rotacija[slika, kut]: rotira sliku za kut oko ishodišta koordinatnog sustava Rotacija[točka A, kut, točka B]: rotira točku A za kut oko točke B Rotacija[pravac, kut, točka]: rotira pravac za kut oko točke. Rotacija[konika, kut, točka]: rotira koniku za kut oko točke. Rotacija[mnogokut, kut, točka]: rotira mnogokut za kut oko točke.

Napomena: Biti će konstruirani novi vrhovi i dužine. Rotacija[slika, kut, točka]: rotira sliku za kut oko točke. Napomena: Također vidi alat Rotacija objekta oko točke za kut

Zrcaljenje Zrcaljenje[točka A, točka B]: zrcali točku A preko točke B Zrcaljenje[pravac, točka]: zrcali pravac preko zadane točke Zrcaljenje[konika, točka]: zrcali koniku preko zadane točke Zrcaljenje[mnogokut, točka]: zrcali mnogokut preko zadane točke

Napomena Novi vrhovi i dužine bit će također konstruirani. Zrcaljenje[slika, točka]: zrcali sliku preko zadane točke Zrcaljenje[točka, pravac]: zrcali točku preko zadanog pravca

60

Zrcaljenje[pravac g, pravac h]: zrcali pravac g preko pravca h Zrcaljenje[konika, pravac]: zrcali koniku c preko zadanog pravca Zrcaljenje[mnogokut, pravac]: zrcali mnogokuta preko zadanog pravca.

Napomena: Novi vrhovi i dužine bit će također konstruirani. Zrcaljenje[slika, pravac]: zrcali sliku preko zadanog pravca Napomena: Također vidi alat Zrcaljenje objekta preko točke; alat Zrcaljenje objekta preko pravca, Inverzija

Rastezanje Rastezanje[točka A, broj, točka S]: homotetično preslika ("rasteže")

točku A iz središta homotetije (točka S) sa zadanim koeficijentom - faktorom rastezanja

Rastezanje[pravac, broj, točka S]: homotetično preslika ("rasteže") pravac iz točke S za zadani faktor rastezanja

Rastezanje[konika, broj, točka S]: homotetično preslika ("rasteže") koniku iz točke S za faktor rastezanja

Rastezanje[mnogokut, broj, točka S]: homotetično preslika ("rasteže") mnogokut iz točke S za zadani faktor rastezanja. Napomena: Konstruirani su novi vrhovi i dužine.

Rastezanje[slika, broj, točka S]: homotetično preslika ("rasteže") sliku iz točke S za zadani faktor rastezanja

Napomena: Također vidi alat Rastezanje objekta preko točke za vektor

3.3.19. Statističke naredbe

Stupčasti dijagram StupčastiDijagram[početna vrijednost, završna vrijednost,

lista visina]: proizvodi stupčasti dijagram nad zadanim intervalom gdje je broj stupaca određen duljinom liste čiji su elementi visine stupaca Primjer: StupčastiDijagram[10, 20, {1,2,3,4,5}] daje stupčasti dijagram s pet stupaca specificiranih visina na intervalu [10, 20].

StupčastiDijagram[početna vrijednost a, završna vrijednost b, izraz, varijabla k, od broja c, do broja d]: proizvodi stupčasti dijagram iznad zadanog intervala [a, b], a visine stupaca se izračunavaju pomoću izraza čija varijabla k poprima vrijednosti od c do d Primjer: Ako su p = 0.1, q = 0.9, i n = 10 zadani brojevi, tada će StupčastiDijagram[-0.5, n + 0.5, BinomniKoeficijent[n, k]*p^k*q^(n-k), k, 0, n] izraditi stupčasti dijagram na intervalu [-0.5, n+0.5]. Visine stupaca ovise o vjerojatnosti koja se izračunava koristeći zadani izraz.

StupčastiDijagram[početna vrijednost a, završna vrijednost b, izraz, varijabla k, od broja c, do broja d, korak širine s]: proizvodi stupčasti dijagram iznad zadanog intervala [a, b], visine stupaca se izračunavaju pomoću izraza čija varijabla k poprima vrijednosti od c do d sa korakom širine s

61

StupčastiDijagram[lista neobrađenih podataka, širina stupaca]: proizvodi stupčasti dijagram koristeći zadane neobrađene podatke, stupci su zadane širine Primjer: StupčastiDijagram[{1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,5,5,5,5}, 1]

StupčastiDijagram[lista podataka, lista frekvencija]: proizvodi stupčasti dijagram koristeći listu podataka s odgovarajućim frekvencijama Napomena: Lista podataka treba sadržavati brojeve koji rastu za stalni iznos. Primjeri: StupčastiDijagram[{10,11,12,13,14}, {5,8,12,0,1}] StupčastiDijagram[{5, 6, 7, 8, 9}, {1, 0, 12, 43, 3}] StupčastiDijagram[{0.3, 0.4, 0.5, 0.6}, {12, 33, 13, 4}]

StupčastiDijagram[lista podataka, lista frekvencija, širina stupaca w]: proizvodi stupčasti dijagram koristeći listu podataka s odgovarajućim frekvencijama, sa stupcima širine w Napomena: Lista podataka treba sadržavati brojeve koji rastu za stalni iznos. Primjeri: StupčastiDijagram[{10,11,12,13,14}, {5,8,12,0,1}, 0.5] ostavlja razmak između stupaca StupčastiDijagram[{10,11,12,13,14}, {5,8,12,0,1}, 0] će izraditi linijski dijagram

Dijagram pravokutnika DijagramPravokutnika[pomak po y osi, skala na y osi, lista

neobrađenih podataka]: proizvodi dijagram pravokutnika koristeći dane neobrađene podatke. Vertikalnu poziciju u koordinatnom sustavu kontrolira varijabla pomak po y osi dok na visinu utječe koeficijent skala na y osi Primjer:

DijagramPravokutnika[0, 1, {2,2,3,4,5,5,6,7,7,8,8,8,9}] DijagramPravokutnika[pomak po y osi, skala na y osi, početna

vrijednost, Q1, medijan, Q3, završna vrijednost]: proizvodi dijagram pravokutnika za dane statističke podatke na intervalu [početna vrijednost, završna vrijednost]

Kovarijanca Kovarijanca[lista1 brojeva , lista2 brojeva]: izračunava kovarijancu

koristeći elemente iz obje liste Kovarijanca[lista točaka]: izračunava kovarijancu koristeći x- i y-koordinate

koristeći elemente iz obje liste

Linearna prilagodba (regresija) PrilagodbaLinearna[lista točaka]: izračunava (y ovisi o x) pravac regresije zadanih točaka PrilagodbaLinearnaX[lista točaka]: izračunava (x ovisi o y) pravac regresije zadanih točaka

62

Ostale naredbe prilagodbe PrilagodbaEksponencijalna[lista točaka]: izračunava prilagođenu

eksponencijalnu krivulju PrilagodbaLogaritamska[lista točaka]: izračunava prilagođenu

logaritamsku krivulju PrilagodbaLogistička[lista točaka]: izračunava prilagođenu logističku

krivulju u obliku a/(1+b x^(-kx)). Napomena: Prvi i posljednji podatak trebaju biti dovoljno blizu krivulji. Lista treba sadržavati najmanje 3 točke, no preporuča se više.

PrilagodbaPolinomna[lista točaka, stupanj n polinoma]: izračunava prilagođenu polinomnu krivulju stupnja n

PrilagodbaPotencijska[lista točaka]: izračunava prilagođenu krivulju oblika a xb. Napomena: Sve korištene točke moraju pripadati prvom kvadrantu koordinatnog sustava.

RegresijaSinusna[lista točaka]: izračunava prilagođenu krivulju oblika a + b sin(cx+d). Napomena: Lista treba sadržavati najmanje 4 točke, no preporuča se više. Lista treba pokrivati bar dvije točke ekstrema. Prva dva lokalna ekstrema ne bi trebala biti previše različita od apsolutnih ekstrema krivulje.

Histogram Histogram[lista granica razreda, lista visina]: proizvodi histogram s

pravokutnicima zadane visine. Granice razreda određuju širinu i poziciju svakog pravokutnika histograma. Primjer: Histogram[{0, 1, 2, 3, 4, 5}, {2, 6, 8, 3, 1}] izradit će histogram s 5 pravokutnika zadane visine. Prvi je pravokutnik pozicioniran nad intervalom [0, 1], drugi nad intervalom [1, 2], i tako dalje.

Histogram[lista granica razreda, lista neobrađenih podataka]: proizvodi histogram koristeći neobrađene podatke. Granice razreda određuju širinu i poziciju svakog pravokutnika histograma i koriste se za određivanje koliko elemenata pripada svakom razredu. Primjer: Histogram[{1, 2, 3, 4},{1.0, 1.1, 1.1, 1.2, 1.7, 2.2, 2.5, 4.0}] izraditi će histogram s 3 pravokutnika, visine 5 (prvi pravokutnik), 2 (drugi pravokutnik), i1 (treći pravokutnik).

Inverzna normalna razdioba InverznaNormalnaRazdioba[aritmetička sredina, standardna

devijacija, vjerojatnost]: izračunava vrijednost funkcije Φ(x)-1 * (standardna devijacija) + (aritmetička sredina) gdje je Φ(x)-1 inverzna funkcija funkcije gustoće vjerojatnosti Φ(x) za N(0,1) Napomena: Daje x-koordinatu za zadanu vjerojatnost (površina lijevo ispod krivulje normalne razdiobe).

Aritmetička sredina naredbe AritmetičkaSredina[lista brojeva]: izračunava aritmetičku sredinu zadanih brojeva

63

AritmetičkaSredinaX[lista točaka]: izračunava aritmetičku sredinu x-koordinata zadanih točaka

AritmetičkaSredinaY[lista točaka]: izračunava aritmetičku sredinu y-koordinata zadanih točaka

Medijan Medijan[lista brojeva]: određuje medijan zadanih brojeva

Mod Mod[lista brojeva]: određuje mod(ove) zadanih brojeva.

Primjeri: Mod[{1,2,3,4}] daje praznu listu {} Mod[{1,1,1,2,3,4}] daje listu {1} Mod[{1,1,2,2,3,3,4}] daje listu {1, 2, 3}

Normalna razdioba NormalnaRazdioba[aritmetička sredina, standardna devijacija,

vrijednost varijable]: izračunava funkciju Φ((x – aritmetička sredina) / standardna devijacija) gdje je Φ (x) funkcija gustoće vjerojatnosti za N(0,1). Napomena: Daje vjerojatnost za zadanu x-koordinatu tj. površinu ispod krivulje normalne razdiobe lijevo od zadane x-koordinate).

Koeficijent korelacije KoeficijentKorelacije[lista x-koordinata, lista y-koordinata]:

izračunava produkt moment koeficijent korelacije (Pearsonov koeficijent korelacije) koristeći dane x- i y-koordinate.

KoeficijentKorelacije[lista točaka]: izračunava produkt moment koeficijent korelacije (Pearsonov koeficijent korelacije) koristeći koordinate zadanih točaka.

Kvartili naredbe Q1[lista brojeva]: određuje donji kvartil zadanih brojeva Q3[lista brojeva]: određuje gornji kvartil zadanih brojeva

SD SD[lista brojeva]: izračunava standardnu devijaciju brojeva u listi

Sigma naredbe SigmaXX[lista brojeva]: izračunava zbroj kvadrata zadanih brojeva Primjer: Kako biste izračunali varijancu liste možete koristiti izraz

SigmaXX[lista]/Duljina[lista]-AritmetičkaSredina[lista]^2. SigmaXX[lista točaka]: izračunava zbroj kvadrata x-koordinata zadanih točaka SigmaXY[lista x-koordinata, lista y-koordinata]: izračunava zbroj

umnožaka x- i y-koordinata

64

SigmaXY[lista točaka]: izračunava zbroj umnožaka x- i y-koordinata danih točaka. Primjer: Kako biste izračunali varijancu liste točaka možete koristiti izraz SigmaXY[lista]/Duljina[lista] - AritmetičkaSredinaX[lista] * AritmetičkaSredina[lista]Y.

SigmaYY[lista točaka]: izračunava zbroj kvadrata y-koordinata zadanih točaka

Naredbe statističkih veličina Sxx[lista brojeva]: izračunava Σ(x2) - Σ(x) * Σ(x)/n Sxx[lista točaka]: izračunava Σ(x2) - Σ(x) * Σ(x)/n koristeći apscise danih točaka Sxy[lista brojeva, lista brojeva]: izračunava Σ(xy) - Σ(x) * Σ(y)/n Sxy[lista točaka]: izračunava Σ(xy) - Σ(x) × Σ(y)/n. Syy[lista točaka]: izračunava Σ(y2) - Σ(y) * Σ(y)/n koristeći ordinate danih točaka. Napomena: Ove veličine su pojednostavljeni oblici varijanci i kovarijanci od X i Y koje su dane sa Sxx = N var(X), Syy = N var(Y), i Sxy = N kov(X,Y) Primjer: Možete napraviti koeficijent korelacije za listu točaka koristeći izraz Sxy[lista] / sqrt(Sxx[lista] Syy[lista]).

Varijanca Varijanca[ista brojeva]: izračunava varijancu zadanih brojeva

3.3.20. Tablične naredbe

Raspon ćelija RasponĆelija[početna ćelija, završna ćelija]: kreira listu koja sadrži

vrijednosti ćelija zadanog ranga Primjer: RasponĆelija[A1, A3] daje listu {A1, A2, A3}

Stupac Stupac[ćelija tablice]: daje redni broj stupca ćelije (počevši s 1)

Primjer: Stupac[B3] daje broj a = 2 budući je stupac B drugi stupac u proračunskoj tablici.

Naziv stupca NazivStupca[ćelija tablice]: daje naziv stupca ćelije kao tekst

Primjer: NazivStupca[A1] daje tekst “A” u grafičkom prikazu.

65

Redak Redak[ćelija tablice]: daje redni broj retka ćelije (čiji sadržaj nije prazan)

(počevši s 1) Primjer: Ako je B3 neprazna ćelija, tada Redak[B3] daje broj a = 3.

3.3.21. Matrične naredbe

Determinanta Determinanta[matrica]: izračunava determinantu matrice

Primjer: Determinanta[{{1, 2}, {3, 4}}] će dati broj a = -2.

Inverzna matrica InverznaMatrica[matrica]: izračunava inverznu matricu dane matrice

Primjer: InverznaMatrica[{{1, 2}, {3, 4}}] izraditi će matricu {{-2, 1}, {1.5, -0.5}}.

Transponirana matrica TransponiranaMatrica[matrica]: transponira zadanu matricu.

Primjer: TransponiranaMatrica[{{1, 2}, {3, 4}}] izraditi će matricu {{1, 3}, {2, 4}}.

66

4. Podizbornici

4.1. Izbornik Datoteka

Novi prozor Tipkovnička kratica: Ctrl-N (MacOS: Cmd-N) Ovaj podizbornik otvara novi GeoGebrin prozor sa zadanim postavkama sučelja. Napomena: Ako promijenite i spremite neke od ovih postavki, novi GeoGebrin prozor će se otvoriti koristeći vaše prilagođene postavke.

Nova Ovaj podizbornik otvara novu datoteku s praznim korisničkim sučeljem u istom prozoru. Prije toga će vas pitati želite li sačuvati postojeću datoteku. Napomena: Novo korisničko sučelje prilagođava postavke korištene u prethodnoj datoteci. Na primjer, ako su koordinatne osi bile skrivene prije odabira izbornika 'Nova', koordinatne će osi biti skrivene i u novoj datoteci.

Otvori … Tipkovnička kratica: Ctrl-O (MacOS: Cmd-O) Ovaj podizbornik vam omogućava otvaranje GeoGebrine datoteke (datoteke s ekstenzijom .ggb) koja je spremljena na vaše računalo. Napomena: Da bi otvorili GeoGebrinu datoteku možete ju jednostavno povući u programski prozor i ispustiti.

Spremi Tipkovnička kratica: Ctrl-S (MacOS: Cmd-S) Ovaj podizbornik omogućava spremanje aktualne konstrukcije kao GeoGebrine datoteke (datoteke s ekstenzijom .ggb) na vaše računalo. Napomena: Ako je datoteka bila već spremljena ranije, bit će zamijenjena stara datoteka novom koja nosi isto ime.

Spremi kao … Ovaj podizbornik omogućava spremanje aktualne konstrukcije kao GeoGebrine datoteke (datoteke s ekstenzijom .ggb). Program će od vas tražiti unos novog imena datoteke pod kojim će biti spremljena na vaše računalo.

Pretpregled ispisa Tipkovnička kratica: Ctrl-P (MacOS: Cmd-P)

67

Ovaj podizbornik otvara prozor Pretpregled ispisa grafičkog prikaza. Možete navesti ‘Naslov’, ‘Autora’, ‘Nadnevak’ i ‘Mjerilo’ ispisa u centimetrima. Napomena: Pritisnite tipku Enter nakon što ste napravili promjene, kako bi se ažurirao pretpregled vašeg ispisa.

Izvoz - Web-stranica s apletom (html)… Tipkovnička kratica: Ctrl-Shift-W (MacOS: Cmd-Shift-W) Ovaj podizbornik omogućava izvoz vaše konstrukcije u obliku web-stranice s interaktivnim apletom (aplet je zaseban Java program koji se izvršava u okviru web-preglednika). Za više informacija pogledajte poglavlje Izrada interaktivnih web-stranica.

Izvoz - Grafički prikaz kao slika (png, eps)… Tipkovnička kratica: Ctrl-Shift-P (MacOS: Cmd-Shift-P) Ovaj podizbornik omogućava spremanje GeoGebrinog grafičkog prikaza kao slikovne datoteke na vaše računalo. U otvorenom dijaloškom okviru odaberite datotečni format, promijenite mjerilo u centimetrima i rezoluciju slike u točkicama po inču (dpi). Napomena: Na raspolaganju su vam sljedeći formati:

• PNG – Portable Network Graphics je standard zapisivanja rasterskih slika s nepatentiranim algoritmom namijenjen prvenstveno za prenošenje slika među različitim programima. Viša rezolucija (u dpi) daje bolju kvalitetu slike. Rezolucija 300 dpi će najčešće biti sasvim dovoljna. PNG format je pogodan za korištenje na web-stranicama i u tekstualnim dokumentima. Napomena: Kad god umetnete PNG sliku u dokument nekog programa za obradu teksta (izbornik Umetanje > Slika iz datoteke) provjerite je li veličina postavljena na 100%. Inače će se dotično mjerilo u centimetrima promijeniti.

• EPS – Encapsulated Postscript je vektorski zadan grafički format. EPS crteže možemo povećavati ili smanjivati bez gubitka kvalitete. EPS grafičke datoteke su prikladne za korištenje s vektorskim grafičkim programima kao što su Corel Draw ili profesionalni tekst procesor sustav LATEX. Rezolucija EPS grafičkih datoteka je uvijek 72dpi. Ova vrijednost se odnosi samo na izračun stvarne veličine crteža u cm i nema učinka na njegovu kvalitetu. Napomena: učinci transparentnosti kao što su ispuna mnogokuta ili konika nisu mogući s EPS formatom.

• PDF – Portable Document Format (vidi EPS format) Napomena: U SVG i PDF izvoznom formatu možete izvesti tekst kao tekst za daljnje uređivanje ili tekst kao gotov oblik. Ako je tekst pohranjen kao tekst možete ga dalje uređivati nekim programima kao što je npr.

68

InkScape, a ako uključite ‘Izvoz teksta kao oblik’, tekst će na slici izgledati isto, čak i ako odgovarajući font nije instaliran na računalu.

• SVG – Scaleable Vector Graphic (vidi EPS format) • EMF – Enhanced Meta Format (vidi EPS format)

Izvoz - Grafički prikaz u međuspremnik Tipkovnička kratica: Ctrl-Shift-C (MacOS: Cmd-Shift-C) Ovaj izbornik kopira grafički prikaz u međuspremnik vašeg računala, nakon čega možete jednostavno sliku zalijepiti u druge dokumente (npr. u word dokument).

Izvoz – Grafički prikaz kao PSTricks… Tipkovnička kratica: Ctrl-Shift-T (MacOS: Cmd-Shift-T) Ovaj podizbornik omogućava vam spremanje grafičkog prikaza kao PSTricks slike, to jest LaTeX slikovni format.

Izvoz - Grafički prikaz kao PGF/TikZ… Ovaj podizbornik omogućava vam spremanje Grafičkog prikaza kao PGF/TikZ slike. To je LaTeX-ov slikovni format.

Zatvori Tipkovnička kratica: Alt-F4 (MacOS: Cmd-W) Ovaj podizbornik zatvara GeoGebrin prozor. Ukoliko niste spremili svoj rad program će vas prije zatvaranja zatražiti da to učinite.

4.2. Izbornik Uređivanje

Poništi Tipkovnička kratica: Ctrl-Z (MacOS: Cmd-Z) Ovaj podizbornik omogućava poništavanje vaših radnji korak po korak. Napomena: Možete također koristiti gumb ‘Poništi’ na desnom rubu alatne trake.

Ponovi Tipkovnička kratica: Ctrl-Y (MacOS: Cmd-Shift-Z) Ovaj podizbornik omogućava ponavljanje vaših poništenih radnji korak po korak. Napomena: Možete također koristiti gumb ‘Ponovi’ na desnom rubu alatne trake.

Grafički prikaz u međuspremnik izvoz Tipkovnička kratica: Ctrl-Shift-C (MacOS: Cmd-Shift-C)

69

Ovaj izbornik kopira grafički prikaz u međuspremnik vašeg računala. Nakon toga vrlo jednostavno možete zalijepiti sliku grafičkog prikaza u neki drugi dokument (na primjer u Word).

Izbriši Tipkovnička kratica: Tipka Delete Ovaj podizbornik omogućava brisanje odabranih objekata i njihovih zavisnih objekata. Napomena: Najprije morate odabrati objekte ukoliko ih želite obrisati (možete, na primjer, koristiti pravokutnik za odabir koji se crta lijevom tipkom miša).

Odaberi sve Tipkovnička kratica: Ctrl-A (MacOS: Cmd-A) Ovaj podizbornik omogućava odabir svih objekata vaše konstrukcije.

Odaberi trenutnu razinu Tipkovnička kratica: Ctrl-L (MacOS: Cmd-L) Ovaj podizbornik omogućava odabir svih objekata koji su iste razine kao i odabrani objekt. Napomena: Prije nego upotrijebite ovaj podizbornik morate odabrati jedan objekt koji pripada željenoj razini.

Odaberi potomke Tipkovnička kratica: Ctrl-Shift-Q (MacOS: Cmd-Shift-Q) Ovaj podizbornik omogućava odabir svih objekata koji zavise o odabranom objektu. Napomena: Prethodno morate odabrati objekt 'roditelj', a potom upotrijebiti podizbornik.

Odaberi pretke Tipkovnička kratica: Ctrl-Q Ovaj podizbornik omogućava odabir svih objekta predaka odabranog objekta, odnosno sve objekte o kojima odabrani objekt zavisi. Napomena: Prije uporabe podizbornika odaberite zavisni objekt.

Svojstva … Tipkovnička kratica: Ctrl-E (MacOS: Cmd-E) Ovaj podizbornik otvara dijaloški okvir Svojstva koji vam omogućava mijenjanje svojstava svih objekata korištenih u GeoGebrinoj datoteci.

70

4.3. Izbornik Pogled

Koordinatne osi Ovaj podizbornik vam omogućava pokazivanje ili skrivanje koordinatnih osi u grafičkom prikazu. Napomena: Možete koristiti Svojstva grafičkog prikaza kako biste prilagodili koordinatne osi.

Koordinatna mreža Ovaj podizbornik vam omogućava pokazivanje ili skrivanje koordinatne mreže u grafičkom prikazu. Napomena: Možete koristiti Svojstva grafičkog prikaza kako biste prilagodili koordinatnu mrežu.

Algebarski prikaz Tipkovnička kratica: Ctrl-Shift-A (MacOS: Cmd-Shift-A) Ovaj podizbornik vam omogućava pokazivanje ili skrivanje algebarskog prikaza.

Tablični prikaz Tipkovnička kratica: Ctrl-Shift-S (MacOS: Cmd-Shift-S) Ovaj podizbornik vam omogućava pokazivanje ili skrivanje tabličnog prikaza.

Pomoćni objekti Ovaj podizbornik vam omogućava pokazivanje ili skrivanje Pomoćnih objekata u algebarskom prikazu.

Rasporedi vodoravno Ovaj podizbornik vam omogućava rasporediti razne prikaze GeoGebrinog prozora ili vertikalno ili horizontalno.

Traka za unos Ovaj podizbornik vam omogućava pokazivanje ili skrivanje trake za unos na dnu GeoGebrinog prozora.

Izbornik naredbi Ovaj podizbornik vam omogućava pokazivanje ili skrivanje izbornika naredbi trake za unos na dnu GeoGebrinog prozora.

Opis konstrukcije… Pomoću ovog podizbornika možete otvoriti opis konstrukcije u novom prozoru.

71

Traka za korake konstrukcije Ovaj podizbornik vam omogućava pokazivanje ili skrivanje trake za korake konstrukcije na dnu grafičkog prikaza.

Osvježi Tipkovnička kratica: Ctrl-F (MacOS: Cmd-F) Ovaj izbornik omogućava osvježenje svih prikaza na ekranu. Napomena: Ovaj podizbornik možete koristiti za brisanje svih tragova točaka ili pravaca u grafičkom prikazu.

Preračunaj sve objekte Tipkovnička kratica: F9 Ovaj podizbornik preračunava sve objekte korištene u GeoGebrinoj datoteci. Napomena: Ovaj podizbornik možete koristiti za dobivanje novih slučajnih brojeva ako ste ih koristili u GeoGebrinoj datoteci.

4.4. Izbornik Postavke

Opće postavke mogu se mijenjati u izborniku Postavke. Napomena: Za mijenjanje postavki objekta, koristite skočni izbornik i dijaloški okvir Svojstva.

Vezivanje točke na mrežu Ovom postavkom se određuje hoće li vezivanje točke na mrežu biti uključeno ili ne. Napomena: Postavka 'automatsko' uključuje vezivanje točaka za čvorove koordinatne mreže kada su koordinatne osi ili mreža prikazani i isključuje ako nisu prikazani.

Kutna mjera Ovom postavkom se određuje hoće li kutna mjera biti prikazana u stupnjevima (°) ili radijanima (rad). Napomena: Unos je uvijek moguć na oba načina (stupnjevi i radijani).

Zaokruživanje Ovom postavkom se određuje broj prikazanih decimalnih mjesta i značajnih znamenki.

Neprekidnost GeoGebra omogućava uključivanje / isključivanje heurističkog pristupa neprekidnosti traženja sjecišta u izborniku Postavke. Program koristi metodu blisku heurističkoj kako bi pri pomicanju zadržao sjecišta (pravac-konika, konika-konika) blizu njihovih

72

starih pozicija i tako izbjegava preskakanje sjecišta. U nekim situacijama ta metoda daje neželjene rezultate pa ju zato ovdje možete uključiti ili isključiti. Napomena: Ova postavka je početno isključena. Za korisnički definirane alate neprekidnost je uvijek isključena.

Oblik točke Ovom postavkom se određuje hoće li će zadano točka biti prikazana kao ● točka, ○ kružnica, ili x križić.

Veličina kontrolnog okvira Ovom postavkom postavljate veličinu kontrolnog okvira na 'običan' ili 'velik'. Napomena: Ukoliko koristite GeoGebru kao prezentacijski alat ili radite sa „pametnom pločom“, postavka 'velik' bi vam mogla olakšati korištenje kontrolnog okvira.

Oznaka pravog kuta Ovom se postavkom određuje hoće li pravi kut biti označen pravokutnikom □, točkom •, ili kao ostali kutovi (‘isključeno').

Koordinate Ovom postavkom se određuje hoće li koordinate točke biti prikazane kao ‘A = (x, y)’ ili kao ‘A(x | y)’.

Označavanje Možete odrediti hoće li se naziv novih objekata prikazati ili ne. Možete izabrati između 'svi novi objekti', 'isključeno', 'samo nove točke' i 'automatski'. Napomena: Postavka 'automatski' prikazuje naziv (oznaku) novih objekata samo ako je uključen i algebarski prikaz.

Veličina fonta Ovom postavkom određujete veličinu fonta (slova) za oznake i tekst u pikselima (pt). Napomena: Ukoliko koristite GeoGebru kao prezentacijski alat, povećanje fonta će olakšati auditoriju čitanje teksta, oznaka i algebarskog unosa koji koristite u prezentaciji.

Jezik GeoGebra je višejezični sustav i omogućava mijenjanje trenutnog jezika. Ta postavka utječe na sve unose, uključujući naredbe i sve ispise. Napomena: Bez obzira koji jezik koristite, ikona će vas odvesti natrag u izbornik jezika. Nazivi svih jezika su prikazani na engleskom jeziku.

73

Grafički prikaz Ova postavka otvara dijaloški okvir postavke grafičkog prikaza u kojem mogu biti namještene razne postavke kao što su: koordinatna mreža i osi, boja pozadine. Napomena: Ovaj dijaloški okvir možete otvoriti i desnim klikom miša (MacOS: Ctrl + klik) na pozadinu grafičkog prikaza.

Spremi postavke GeoGebra pamti vaše omiljene postavke (npr. postavke u izborniku Postavke, trenutno stanje alatne trake i postavke grafičkog prikaza) ukoliko odaberete Spremi postavke iz izbornika Postavke.

Vrati zadane postavke Ovim izborom vraćate zadane postavke GeoGebre.

4.5. Izbornik Alati

Izrada novog alata… Koristeći postojeću konstrukciju u GeoGebri možete kreirati vlastite alate. Nakon što pripremite konstrukciju vašeg alata, iz izbornika Alati izaberite Izrada novog alata. U dijaloškom okviru koji se otvorio možete specificirati izlazne i ulazne objekte vašeg alata i odabrati ime ikone i naredbu. Napomena: Vaš alat možete koristiti pomoću miša, ali i pomoću naredbe u traci za unos. Svi alati su automatski spremljeni u 'GGB' datoteci.

Upravljanje alatima… Koristeći podizbornik Upravljanje alatima... (izbornik Alati) možete izbrisati alat ili promijeniti njegovo ime i ikonu. Možete također spremiti odabrane alate u GeoGebra Alati (‘GGT’). Ova datoteka može kasnije biti korištena (izbornik Datoteka, Otvori) kako biste učitali alate u nekoj drugoj konstrukciji. Napomena: Dok imate otvoren programski prozor s nekom datotekom, otvaranje nove 'GGT' datoteke neće promijeniti vašu trenutnu konstrukciju, kao što se to inače događa s otvaranjem 'GGB' datoteke!

Prilagodba alatne trake… Možete prilagoditi alate u GeoGebrinoj alatnoj traci odabirući Prilagodba alatne trake iz izbornika Alati. Ovo je posebno korisno za izradu interaktivnih web-stranica gdje možete ograničiti dostupne alate u alatnoj traci. Napomena: Trenutna alatna traka je spremljena zajedno sa vašom konstrukcijom u 'GGB' datoteci.

74

4.6. Izbornik Prozor

Novi prozor Tipkovnička kratica: Ctrl + N (MacOS: Cmd-N) Ovim podizbornikom otvara se novi GeoGebrin prozor koji koristi zadane postavke GeoGebrinog sučelja. Napomena: Ukoliko promijenite i spremite neke od postavki, novi GeoGebrin prozor će biti otvoren s promijenjenim postavkama.

Popis otvorenih GeoGebra prozora Ukoliko imate više otvorenih GeoGebrinih prozora, ovim podizbornicima možete lako prebacivati između otvorenih prozora. Napomena: Ovo može biti korisno kod uporabe GeoGebre kao prezentacijskog alata ako imate otvorenih nekoliko GeoGebrinih prozora – možete lako prelaziti između njih.

4.7. Izbornik Pomoć

Pomoć Ovaj podizbornik vam daje pristup html verziji GeoGebrinog dokumenta Pomoć. U ovisnosti kako ste instalirali GeoGebru na vaše računalo, možda ćete trebati imati vezu s internetom kako biste koristili ovu stavku.

• Ukoliko ste s interneta preuzeli i instalirali GeoGebru na svoje računalo, koristeći instalacijsku datoteku, nećete morati imati pristup internetu kako biste koristili pomoć. Html verzija dokumenta je spremljena na vaše računalo pri instalaciji GeoGebre.

• Ukoliko ste koristili GeoGebraWebstart kako biste instalirali GeoGebru na svoje računalo, morate imati pristup internetu kako biste koristili ovaj podizbornik. Ako nemate pristup internetu, primit ćete poruku o grešci.

Napomena: Html verzija GeoGebrinog dokumenta Pomoć je dostupna na http://www.geogebra.org/help.

www.geogebra.org Ukoliko imate pristup internetu, ova stavka izbornika će otvoriti GeoGebrino web-sjedište u vašem web-pregledniku (http://www.geogebra.org)

GeoGebra Forum Ukoliko imate pristup internetu, ova stavka izbornika će otvoriti GeoGebrin korisnički forum u vašem web-pregledniku (http://www.geogebra.org/forum). Napomena: Možete postavljati i odgovarati na pitanja vezana uz GeoGebru na GeoGebrinom korisničkom forumu.

75

GeoGebraWiki Ukoliko imate pristup internetu, ova stavka izbornika otvara web-stranice GeoGebraWiki u vašem web-pregledniku (http://www.geogebra.org/wiki). Napomena: GeoGebraWiki je mjesto slobodne razmjene obrazovnih materijala korisnika iz cijelog svijeta.

O programu/Licenca Ovaj izbornik otvara dijaloški prozor u kojem su dane informacije o licenci GeoGebre i zahvale ljudima koji su podupirali razvoj GeoGebre na razne načine (npr. programiranje, prijevod).

76

5. Posebne mogućnosti

5.1. Animacija

5.1.1. Automatska animacija

GeoGebra omogućava animiranje jednog ili više brojeva i/ili kutova u isto vrijeme, pod uvjetom da su prikazani kao klizači u grafičkom prikazu. Kada želite animirati broj ili kut, koji su prikazani kao klizač, potrebno je desnim klikom (MacOS: Ctrl-klik) na broj ili kut odabrati ‘Animiraj’ u skočnom izborniku. Za zaustavljanje animacije samo isključite naredbu ‘Animiraj’ u istom skočnom izborniku. Napomena: Nakon uključenja animacije nekog broja ili kuta pojavljuje se gumb u donjem lijevom kutu grafičkog prikaza. Na raspolaganju su gumb za pauzu i gumb

za nastavak animacije. U dijaloškom okviru Svojstva na kartici ‘Klizač’ možete mijenjati ponašanje animacije. Prije svega, možete kontrolirati 'brzinu' animacije. Napomena: Brzina vrijednosti 1 znači da za otprilike 10 sekundi točka prijeđe cijelu duljinu klizača. Osim toga možete mijenjati način ponavljanja, odnosno kruženja animacije:

• <=> Naizmjence: animacija se izmjenjuje između ‘padajuće’ i ‘rastuće’.

• Rastuće: Vrijednost klizača se stalno povećava. Kada postigne maksimum skače na najmanju vrijednost i ponovo raste.

• <= Padajuće: Vrijednost klizača se stalno smanjuje. Kada postigne minimum skače na najveću vrijednost i ponovo pada.

Napomena: Kada je automatska animacija uključena ostale mogućnosti programa su potpuno dostupne. To znači da možete mijenjati vašu konstrukciju dok se animacija odvija.

5.1.2. Ručna animacija

Želimo li ručno mijenjati neki broj ili kut trebamo u načinu Pomicanje odabrati broj ili kut i držati pritisnute tipke + ili -, ili tipke sa strelicama na tipkovnici. Držite jednu od tih tipki pritisnute kako biste postigli ručnu animaciju.

77

Primjer: Ako koordinate točke zavise o broju k kao u P = (2 k, k), točka će se pomicati uzduž pravca dok se k neprekidno mijenja. Napomena: Korak povećanja možemo podesiti u dijaloškom okviru Svojstva pojedinog objekta. Kratice:

• Shift + strelica deset puta umanjuje korak povećanja • Ctrl + strelica udeseterostručuje korak povećanja • Alt + strelica ustostručuje korak.povećanja

Napomena: Točka na pravcu ili krivulji također se može pomicati korištenjem tipke + ili -.

5.2. Uvjetni prikaz objekta

Osim što neki objekt možete prikazati ili skriti samog za sebe, isto tako možete vidljivost objekta vezati za neki uvjet. Na primjer, možete željeti da se neki objekt pojavljuje kada se uključi kontrolni okvir za prikaz objekta ili kada klizač postigne određenu vrijednost.

Uvjetni prikaz ili skrivanje postojećih objekata Možete koristiti alat Kontrolni okvir za prikaz i skrivanje objekata za izradu kontrolnog okvira kojim kontrolirate vidljivost jednog ili više postojećih objekata na ekranu. Alternativno, možete izraditi logičku vrijednost (na primjer, b = true) kroz traku za unos i učiniti je vidljivom kao kontrolni okvir u grafičkom prikazu mijenjajući status prikaza. To možete učiniti uporabom alata Pokaži / sakrij objekt ili skočnog izbornika. Kako biste koristili logičku vrijednost kao uvjet za prikaz određenih objekata slijedite opisane korake u nastavku teksta.

Mijenjanje statusa vidljivosti novoizrađenih objekata U dijaloškom okviru Svojstva, možete dodati uvjet za prikaz nekog objekta na kartici 'Dodatno'. Napomena: Možete odabrati logičke operatore (e.g., ≠, ≥, ∧, ∨ ) iz padajućeg izbornika pored trake za unos kako biste precizno odredili vaš uvjet. Primjeri:

• Ako je a klizač, tada izraz a < 2 znači da će pridruženi objekti biti prikazani u grafičkom prikazu samo kada je vrijednost klizača manja od 2.

• Ako je b logička varijabla, možete koristiti b kao uvjetni izraz. Pridruženi objekti bit će prikazani kada logička varijabla b poprima vrijednost true i skriveni kada je b jednako false.

• Ako su g i h dva pravca, a vi želite da se neki tekst pojavi kadgod su ova dva pravca usporedna, tada upišite g || h kao uvjet.

78

5.3. Korisnički definirani alati

Na temelju postojeće konstrukcije u GeoGebri možete napraviti svoje vlastite alate. Vaš se alat može koristiti na oba načina, pomoću miša iz alatne trake i kao naredba iz trake za unos. Svi alati se automatski spremaju u pripadnu “ggb” datoteku.

Izrada korisnički definiranog alata Prvo, izradite konstrukciju kako biste kasnije mogli kreirati vaš alat. Odaberite ‘Izrada novog alata’ u izborniku Alati. U otvorenom dijaloškom okviru potrebno je popuniti polja na tri kartice: 'Izlazni objekti' i 'Ulazni objekti', i 'Naziv i ikona' . Primjer: Izrada 'Alat kvadrat' kojim ćete moći nacrtati kvadrat klikom na dvije točke ili na neka dva mjesta u grafičkom prikazu.

• Konstruirajte kvadrat počevši s dvije točke A i B. Konstruirajte ostale vrhove i spojite ih alatom Mnogokut tako da dobijete kvadrat mnogokut1.

• Odaberite Izrada novog alata u izborniku Alati. • Nabrojite izlazne objekte: kliknite na kvadrat ili ih odaberite u padajućem

izborniku. • Izaberite ulazne objekte: GeoGebra automatski izabire ulazne objekte. U

ovom slučaju to su točke A i B. Ali također možete precizno odrediti ulazne objekte koristeći padajući izbornik ili klikanjem na objekte u vašoj konstrukciji.

• Navedite naziv alata i naziv naredbe za vaš novi alat. • Napomena: Naziv alata pojavljivat će se u alatnoj traci programa, a naziv

naredbe u traci za unos. • Također možete upisati i tekst koji će se pokazivati u Pomoći alatne trake. • Možete izabrati i neku sliku za ikonu u alatnoj traci. GeoGebra će automatski

promijeniti veličinu slike na veličinu gumba alatne trake.

Spremanje korisnički definiranog alata Svoj korisnički definiran alat možete spremiti kako biste ga kasnije upotrijebili u bilo kojoj GeoGebrinoj konstrukciji. Otvorite izbornik Alati > Upravljanje alatima i na listi ponuđenih alata odaberite onaj koji želite spremiti. Kliknite na gumb 'Spremi kao' da bi ga pohranili na svoje računalo. Napomena: Korisnički definirani alati pohranjuju se s ekstenzijom 'ggt' u imenu datoteke, pa lako možete razlikovati datoteke s korisničkim alatima od uobičajenih GeoGebrinih konstrukcija s ekstenzijom 'ggb'.

Pristupanje korisnički definiranom alatu Otvorite li novo GeoGebrino sučelje uporabom podizbornika ‘Nova’ izbornika Datoteka, nakon što ste izradili novi alat on će se nalaziti u alatnoj traci. Međutim koristite li podizbornik ‘Novi prozor’ ili otvorite GeoGebru neki drugi dan vašeg korisničkog alata neće biti u alatnoj traci. Na više načina možete osigurati da se vaš korisnički alat nađe u alatnoj traci novog Geogebrinog prozora:

• Nakon definiranja svog korisničkog alata možete spremiti svoje postavke koristeći ‘Spremi postavke’ iz izbornika Postavke. Tako će ubuduće vaš

79

novi alat biti u GeoGebrinoj alatnoj traci. Napomena: Možete ukloniti svoj korisnički alat iz alatne trake tako da najprije otvorite ‘Prilagodba alatne trake’ u izborniku Alati. Odaberite svoj alat na ponuđenoj listi u lijevom prozoru i kliknite na gumb 'Ukloni'. Nemojte zaboraviti spremiti svoje promjene klikom na gumb 'Primijeni'.

• Nakon spremanja korisnički definiranog alata na vaše računalo (kao ‘.ggt’ datoteka), možete ga uvesti u novi GeoGebrin prozor kad god to želite. Samo kliknite na podizbornik ‘Otvori’ u izborniku Datoteka i otvorite datoteku s vašim alatom. Napomena: Otvaranjem Geogebrine alatne datoteke neće doći do gubitka vaše tekuće konstrukcije. Samo će se izmijeniti trenutna alatna traka programa.

5.4. Dinamične boje

U GeoGebri, možete mijenjati boje objekata uporabom kartice 'Boja' u dijaloškom okviru Svojstva. Međutim, možete boju dodijeljenu nekom objektu mijenjati dinamično. Otvorite dijaloški okvir Svojstva određenog objekta i kliknite na karticu 'Dodatno'. U odjeljku 'Dinamične boje' popunite polja za komponenta boja: 'Crvena', 'Zelena' i 'Plava'. Napomena: U svako polje možete upisati funkciju čiji skup vrijednosti pripada intervalu [0, 1]. Primjer:

• Izradite tri klizača a, b, i c s vrijednostima od 0 do 1. • Izradite mnogokut čiju će boju određivati vrijednosti tih klizača. • Otvorite dijaloški okvir Svojstva za objekt mnogokut1 i unesite imena

klizača u polja za komponente boje. • Zatvorite dijaloški okvir Svojstva i mijenjajte vrijednosti klizača. Promatrajte

kako pojedina komponenta utječe na boju mnogokuta. Napomena: Možete također animirati klizače s različitim brzinama da bi promatrali kako se boja mnogokuta mijenja automatski.

5.5. JavaScript sučelje

Napomena: GeoGebrino JavaScript sučelje zanimljivo je korisnicima koji imaju nešto iskustva u uređivanju HTML koda. Da bi poboljšali vaše dinamične web stranice i povećali njihovu interaktivnost, GeoGebrini apleti podržavaju JavaScript sučelje. Na primjer, možete kreirati gumb za „randomsko“ postavljanje vaše konstrukcije. Molimo vas, pogledajte web-stranicu GeoGebrini apleti i JavaScript (ili na web mjestu http://www.geogebra.org link ‘Pomoć’) gdje su dani primjeri i informacije o korištenju JavaScripta u GeoGebrinim apletima.

80

5.6. Tipkovničke kratice

Tipka [sama tipka] Ctrl (MacOS: Cmd)

Ctrl-Shift (MacOS: Cmd-Shift)

Alt (MacOS: Ctrl)

A Označi sve Pokaži/sakrij algebarski prikaz

alfa α

B beta β

C Kopiraj (traka za unos, tablica, polje)

Izvoz ‘Grafički prikaz u međuspremnik'

D delta δ

E Dijaloški okvir Svojstva

Eulerova konstanta ℯ

F Osvježi pogled fi φ G gama γ H I J K

L Označi trenutnu razinu lambda λ

M mi μ N Novi prozor

O Otvori Simbol stupnja °

P Pretpregled ispisa

Izvoz 'Grafičkog prikaza' kao slike (png, eps, …)

pi π

Q Odaberi potomke Odaberi pretke

R

S Spremi Pokaži/sakrij Tablični prikaz sigma σ

T Izvoz kao PSTricks theta θ

U

V Zalijepi (traka za unos, tablica, polje)

W Zatvori (samo MacOS)

Izvoz ‘Web-stranica s apletom (html)’

X Y Ponovi Z Poništi

81

Tipka [sama tipka] Ctrl (MacOS: Cmd)

Ctrl-Shift (MacOS: Cmd-Shift)

Alt (MacOS: Ctrl)

0 Eksponent 0 1 Eksponent 1 2 Eksponent 2 3 Eksponent 3 4 Eksponent 4 5 Eksponent 5 6 Eksponent 6 7 Eksponent 7 8 Eksponent 8 9 Eksponent 9

- Smanji odabrani broj/kut Smanjenje minus-ili-

plus

+ Povećaj odabrani broj/kut Povećanje plus-ili-

minus ±

= Povećaj odabrani broj/kut Povećanje nije-jednako

≠

< manje-ili-jednako-od ≤

, (zarez) manje-ili-jednako-od ≤

> veće-ili-jednako-od ≥

. (period) veće-ili-jednako-od ≥

*  

F1 Pomoć

F2 Početak uređivanja odabranog objekta (algebarski prikaz)

F3 Postavlja kursor u traku za unos

F4

F9 Osvježava slučajne brojeve

Enter Aktivira unose iz trake za unos u grafičkom prikazu

Lijevi klik

82

Tipka [sama tipka] Ctrl (MacOS: Cmd)

Ctrl-Shift (MacOS: Cmd-Shift)

Alt (MacOS: Ctrl)

Desni klik (MacOS: Ctrl-klik) u grafičkom prikazu

Klik na objekt: Otvara skočni izbornik Klik u pozadini: Dijaloški okvir Svojstva grafičkog prikaza Klik na objekt i povlačenje: Omogućava trenutno povlačenje Drži i povlači na pozadinu: Pravokutnik povećanja

Kotačić miša

Povećanje /smanjenje

Povećanje /smanjenje u apletu

Delete Briše odabrano Backspace Briše odabrano

Strelica gore ↑

Povećava odabrani broj/kut Pomiče odabranu točku na gore Skače na stariji unos trake za unos Skače prema gore u opisu konstrukcije

Deseterostruko povećanje brzine

Deseterostruko smanjenje brzine (samo Shift)

Stostruko povećanje brzine

Strelica desno →

Povećava odabrani broj/kut Pomiče odabranu točku udesno Skače prema gore u opisu konstrukcije

Deseterostruko povećanje brzine

Deseterostruko smanjenje brzine (samo Shift)

Stostruko povećanje brzine

83

Tipka [sama tipka] Ctrl (MacOS: Cmd)

Ctrl-Shift (MacOS: Cmd-Shift)

Alt (MacOS: Ctrl)

Lijeva strelica ←

Smanjuje odabrani broj/kut Pomiče odabranu točku ulijevo Skače prema dolje u opisu konstrukcije

Deseterostruko povećanje brzine

Deseterostruko smanjenje brzine (samo Shift)

Stostruko povećanje brzine

Strelica dolje ↓

Smanjuje odabrani broj/kut Pomiče odabranu točku na dolje Skače na noviji unos u povijesti trake za unos Skače prema dolje u opisu konstrukcije

Deseterostruko povećanje brzine

Deseterostruko smanjenje brzine (samo Shift)

Stostruko povećanje brzine

Home /PgUp

Skače na prvi redak opisa konstrukcije

End/PgDn Skače na zadnji redak opisa konstrukcije

Dodatne tipkovničke naredbe:

• Alt-Shift (MacOS: Ctrl-Shift): velika slova grčkog pisma • Proračunska tablica: Ctrl-Alt-C kopira vrijednosti (ne i formule)

Napomena: Simbol stupnja ° (Alt-O, MacOS: Ctrl-O) i simbol slova π (Alt-P, MacOS: Ctrl-P) mogu se rabiti u dijaloškom okviru klizača za interval (min, max) i za povećanje.

5.7. Oznake i natpisi

Pokaži i sakrij oznake Možete pokazati ili sakriti oznake objekata u grafičkom prikazu na različite načine:

• Odaberite alat Pokaži / sakrij oznaku i kliknite na objekt čiju oznaku želite pokazati ili skriti.

• Otvorite skočni izbornik željenog objekta i odaberite ‘Pokaži oznaku’. • Otvorite dijaloški okvir Svojstva željenog objekta i uključite ili isključite

stavku ‘Pokaži oznaku’ na kartici ‘Osnovno’.

84

Naziv i vrijednost U GeoGebri, svaki objekt ima jedinstveni naziv koji može biti upotrijebljen za označavanje objekta u grafičkom prikazu. Nadalje, objekt može biti označen sa svojom vrijednošću ili nazivom i vrijednošću. Ove se postavke mogu mijenjati u dijaloškom okviru Svojstva na kartici ‘Osnovno’ birajući ponuđene stavke u padajućem izborniku koji se nalazi pored kontrolnog okvira 'Pokaži oznaku': ‘Naziv’, ‘Vrijednost’, ili ‘Naziv i vrijednost’. Napomena: Vrijednosti za točku su koordinate, dok je vrijednost za funkciju njena jednadžba.

Natpis Ponekad ćete imati potrebu različitim objektima pridijeliti istu oznaku. Na primjer četiri stranice kvadrata želite označiti s ‘a’. U tom slučaju, GeoGebra, osim već spomenute tri mogućnosti, nudi i mogućnost pridjeljivanja natpisa objektima. Tu mogućnost možete naći na kartici ‘Osnovno’ dijaloškog okvira Svojstva, u padajućem izborniku pored kontrolnog okvira 'Pokaži oznaku'.

5.8. Razine

U GeoGebri se razine (slojevi) koriste radi lakšeg odabira, povlačenja ili raspoznavanja objekata koji se preklapaju. Prema zadanim postavkama, svi objekti nalaze se na razini 0, koja je osnovna 'pozadinska' razina grafičkog prikaza. Ukupno je raspoloživo 10 razina (brojevi od 0 do 9), tako da veći broj daje viši položaj objektu. Korištenjem kartice ‘Dodatno’ u dijaloškom okviru Svojstva, možete mijenjati razinu željenog objekta (raspoložive su razine od 0 do 9). Nakon što promijenite razinu za barem jedan objekt na broj veći od nule, na primjer 3, svi novi objekti bit će postavljeni na najvišu uporabljenu razinu. Napomena: Nakon odabira nekog objekta možete odabrati i sve objekte iste razine u izborniku Uređivanje > Odaberi trenutnu razinu (tipkovnička kratica: Ctrl-L). Ovaj izbornik je raspoloživ samo ako svi odabrani objekti leže u istoj razini. Daljnje korištenje razina:

• Za SVG izvoz objekti su grupirani po razinama. • Razine mogu biti kontrolirane uporabom JavaScript sučelja u GeoGebrinim

apletima.

5.9. Redefiniranje

Redefiniranje objekata je vrlo moćan alat za promjenu konstrukcije. Imajte na umu da time može biti promijenjen redoslijed koraka konstrukcije u Opisu konstrukcije.

85

Svaki objekt može biti redefiniran na različite načine: • Odaberite alat Pomicanje i dvaput kliknite na neki objekt u algebarskom

prikazu. o Za nezavisne objekte otvorit će se polje za uređivanje koje vam

omogućava izravan unos nove algebarske vrijednosti. Pritisnite tipku Enter za prihvat promjene.

o Za zavisne objekte otvorit će se dijaloški okvir Redefiniranje koji vam dozvoljava redefiniranje objekta.

• Odaberite alat Pomicanje i dvostrukim klikom na objekt u grafičkom prikazu otvorite dijaloški okvir Redefiniranje kroz koji ćete izmijeniti objekt.

• Izmijeniti objekt možete i unosom njegovog naziva i nove definicije u traku za unos.

• Otvorite dijaloški okvir Svojstva i promijenite neki objekt kroz polje za definiciju na kartici ‘Osnovno’.

Napomena: Nepomični objekti se ne mogu redefinirati. Ukoliko ih ipak želite redefinirati najprije ih morate učiniti pomičnima kroz dijaloški okvir Svojstva. Primjeri:

• Kako biste smjestili nezavisnu točku A na neki postojeći pravac h, potrebno je dvostrukim klikom na točku A otvoriti dijaloški okvir Redefiniranje za točku A i tada upisati Točka[h] u polje za tekst pa kliknuti na 'U redu’. A da bi maknuli točku s pravca i učinili je ponovo nezavisnom potrebno je redefinirati ju s nekim slobodnim koordinatama, na primjer (1, 2).

• Drugi primjer je prevođenje pravca h kroz dvije točke A i B u dužinu. Otvorite dijaloški okvir Redefiniranje za pravac h i upišite naredbu Dužina[A, B] u otvoreno dijaloško polje.

5.10. Trag i lokus

Objekti u grafičkom prikazu mogu ostavljati trag pri gibanju. Otvorite skočni izbornik i odaberite opciju ‘Uključi trag’. Tada izvodite promjene u konstrukciji tako da željeni objekt ostavlja trag. Napomena: Preko skočnog izbornika možete isključiti ostavljanje traga. Izbornik Pogled > ‘Osvježi’ čisti sve tragove. Možete prepustiti Geogebri da automatski kreira skup točaka definiran nekim svojstvom (lokus). Za to koristite alat Lokus iz alatne trake ili naredbom Lokus kroz traku za unos. Napomena: Točka čiji lokus želite kreirati mora biti zavisna o nekoj drugoj točki čije je gibanje ograničeno na nekom objektu (pravcu, dužini, kružnici). Primjer:

• Nacrtajte dužinu između dviju točaka A = (-1, -1) i B = (1, -1). • Smjestite točku C na nju pa je njeno gibanje ograničeno na dužinu a.

86

• Definirajte točku P tako da zavisi o točki C (npr., P = (x(C), x(C)^2)). • Koristite bilo alat ili naredbu Lokus kako biste dobili lokus točke P u

zavisnosti od točke C: o Alat Lokus: kliknite prvo na točku P i tada na točku C. o Naredba Lokus: upišite Lokus[P, C] u traku za unos i pritisnite

tipku Enter. Napomena: Dobiveni lokus je graf parabole na intervalu [-1, 1].

87

Indeks

—A— afini omjer, naredba ..................................................... 43 ako, naredba ........................................................... 40, 51 alati za konstruiranje .................................................... 16 alati, izbornik ................................................................ 73 alati, korisnički definirani ........................................ 73, 78 alati, upravljajnje .......................................................... 73 alatna traka, postavke .................................................. 73 alatna traka, prilagodba .................................................. 9 alatna traka, vratiti u izvorno stanje ............................. 10 algebarski prikaz ............................................................. 7 algebarski prikaz, izbornik ............................................. 70 animacija ....................................................................... 76 animacija, automatska .................................................. 76 animacija, brzina ........................................................... 76 animacija, kruženje ....................................................... 76 animacija, pauza ........................................................... 76 animacija, plus / minus tipke ........................................ 76 animacija, ponavljanje .................................................. 76 animacija, ručna ............................................................ 76 animacija, strelice ......................................................... 76 animiraj ......................................................................... 76 aplet, izvoz .................................................................... 14 apsolutna vrijednost ..................................................... 35 aritmetička sredina naredbe, naredba ......................... 62 aritmetička sredina, naredba ........................................ 62 AritmetičkaSredinaX, naredba ...................................... 62 AritmetičkaSredinaY, naredba ...................................... 62 aritmetičke operacije .................................................... 35 asimptota, naredba ....................................................... 48 

—B— bilježi u tablicu, svojstvo ............................................... 10 binomni koeficijent, naredba ........................................ 41 boja ............................................................................... 10 boja, svojstva ................................................................ 10 boje, dinamične ............................................................ 79 brisanje traga ................................................................ 71 brisanje, izbornik........................................................... 69 brisanje, objekt, alat ..................................................... 17 broj ............................................................................... 32 broj, granična vrijednost ............................................... 33 brojevi, naredbe............................................................ 40 

—C— cjelobrojno dijeljenje, naredba ..................................... 41 crta, debljina ................................................................. 10 crta, vrsta ...................................................................... 10 crtež, odaberi uglove .................................................... 28 crtež, položaj ................................................................. 28 

—D— datoteka, izbornik ......................................................... 66 decimalna mjesta, postavke ......................................... 71 decimalna točka ............................................................ 32 definicija u traku za unos .............................................. 31 definicija, objekt ........................................................... 31 definiranost, naredba ................................................... 40 derivacija, naredba ................................................. 50, 52 determinanta, naredba ................................................. 65 dijagram pravokutnika, naredba ................................... 61 dijaloški okvir Svojstva .................................................. 10 dijaloški okvir Svojstva, izbornik ................................... 69 dijeljenje ....................................................................... 35 dinamičan tekst ............................................................. 26 dinamične boje ............................................................. 79 donja suma, naredba .................................................... 43 duljina liste, naredba .................................................... 57 duljina, naredba ...................................................... 40, 52 dužina, između dviju točaka, alat .................................. 19 dužina, naredba ............................................................ 47 dužina, simetrala dužine, naredba ................................ 48 dužina, zadane duljine iz točke, alat ............................. 20 dužine ........................................................................... 19 dužine, naredbe ............................................................ 47 dvostruki omjer, naredba ............................................. 43 

—E— eksponencijalna funkcija ............................................... 35 ekstrem, naredba .......................................................... 46 element, naredba ......................................................... 56 elipsa, alat ..................................................................... 22 elipsa, naredba .............................................................. 49 Eulerova konstanta ....................................................... 32 

—F— faktorijela ...................................................................... 35 faktoriziraj, naredba ...................................................... 50 formula ......................................................................... 27 funkcija ......................................................................... 34 funkcija, eksponencijalna .............................................. 35 funkcija, naredba .......................................................... 50 funkcija, naziv ............................................................... 30 funkcija, ograničenje na interval ................................... 34 funkcije, naredbe .......................................................... 50 funkcije, unaprijed definirane ....................................... 35 

—G— gama funkcija ................................................................ 35 geometrijske transformacije ......................................... 25 geometrijske transformacije ......................................... 59 

88

gibanja .......................................................................... 59 glavna os, naredba ........................................................ 48 glavna poluos, duljina, naredba .................................... 42 gornja suma, naredba ................................................... 43 grafički prikaz ............................................................ 6, 16 grafički prikaz u međuspremnik izvoz, izbornik ............ 68 grafički prikaz u međuspremnik, izvoz .......................... 14 grafički prikaz, ispis ....................................................... 13 grafički prikaz, izvoz ...................................................... 13 grafički prikaz, postavke................................................ 73 granična vrijednost, vrijednost broja ............................ 33 granična vrijednost, vrijednost kuta ............................. 33 

—H— hiperbola, alat ............................................................... 22 hiperbola, naredba ....................................................... 49 histogram, naredba....................................................... 62 

—I— indeks ...................................................................... 30, 39 integral, naredba .................................................... 43, 50 integral, neodređeni ..................................................... 50 integral, određeni ......................................................... 43 interaktivna web‐stranica, izvoz ................................... 14 inverzija, alat ................................................................. 25 inverzna matrica, naredba ............................................ 65 inverzna normalna razdioba, naredba .......................... 62 inverzni niz, naredba ..................................................... 58 isječak opisanog luka, naredba ..................................... 53 isječak, naredba ............................................................ 53 isječci, naredbe ............................................................. 52 ispis ............................................................................... 13 ispis, grafički prikaz ....................................................... 13 ispis, opis konstrukcije .................................................. 13 ispuna ........................................................................... 10 iteracija, naredba .......................................................... 43 iteracijska lista, naredba ............................................... 56 izbočeni kut ................................................................... 33 izbornik naredbi, izbornik ............................................. 70 izbriši ............................................................................. 10 izbriši, izbornik .............................................................. 69 izbriši, naredba ............................................................. 40 izmjena postavki ........................................................... 12 izrada novog alata, postavke ........................................ 73 izvoz grafičkog prikaza kao PGF/TikZ, izbornik .............. 68 izvoz grafičkog prikaza kao PSTricks, izbornik ............... 68 izvoz grafičkog prikaza kao slike, izbornik ..................... 67 izvoz grafičkog prikaza u međuspremnik, izbornik ....... 68 izvoz web‐stranice s apletom, izbornik ......................... 67 izvoz web‐stranice, izbornik .......................................... 67 izvoz, aplet .................................................................... 14 izvoz, grafički prikaz ...................................................... 13 izvoz, grafički prikaz u međuspremnik .......................... 14 izvoz, interaktivna web‐stranica ................................... 14 izvoz, izbornik ............................................................... 67 izvoz, opis konstrukcije kao web‐stranica ..................... 12 izvoz, web‐stranica s apletom ....................................... 14 

—J— JavaScript ...................................................................... 79 

jedinični okomiti vektor, naredba ................................. 46 jedinični vektor, naredba .............................................. 46 jezik, postavke ............................................................... 72 

—K— Kartezijeve, koordinate ................................................. 33 klizač, alat ..................................................................... 24 koeficijent korelacije, naredba ...................................... 63 kompleksni brojevi ........................................................ 38 konika, kroz pet točaka, alat ......................................... 22 konika, naredba ............................................................ 50 konika, naziv ................................................................. 30 konike ........................................................................... 34 konike, naredbe ............................................................ 49 konike, naziv ................................................................. 34 konstrukcija, izvoz ......................................................... 12 kontrolna točka ............................................................. 12 kontrolni okvir, za prikaz i skrivanje objekata ............... 25 konjugirani promjer, naredba ....................................... 49 koordinate oblik, postavke ........................................... 72 koordinate, Kartezijeve ................................................. 33 koordinate, x‐koordinata .............................................. 35 koordinate, y‐koordinata .............................................. 35 koordinatna mreža, izbornik ......................................... 70 koordinatna mreža, pokaži / sakrij .................................. 9 koordinatna mreža, prilagodba ....................................... 9 koordinatne osi, izbornik .............................................. 70 koordinatne osi, pokaži / sakrij ....................................... 9 koordinatne osi, prilagodba ............................................ 9 koordinatne osi, x‐os, i y‐os .......................................... 33 koordinte ...................................................................... 33 kopiraj u traku za unos .................................................. 10 korak konstrukcije, naredba ......................................... 40 korak povećanja, ručna animacija ................................. 77 korelacija, koeficijent, naredba ..................................... 63 korisnički definirani alati ......................................... 73, 78 kosinus .......................................................................... 35 kovarijanca, naredba..................................................... 61 krivulja, naredba ........................................................... 51 krivulje, naredbe ........................................................... 52 kružni isječak, naredba ................................................. 52 kružni isječak, određen središtem i dvjema točkama, alat

 ................................................................................. 23 kružni isječak, određen trima točkama, alat ................. 23 kružni luk, naredba ....................................................... 52 kružni luk, određen središtem i dvjema točkama, alat . 23 kružni luk, određen trima točkama, alat ....................... 23 kružnica zakrivljenosti, naredba .............................. 49, 52 kružnica, kroz tri točke, alat .......................................... 22 kružnica, naredba ......................................................... 49 kružnica, određena središtem i jednom točkom, alat ... 21 kružnica, određena središtem i polumjerom, alat ........ 22 kubni korijen ................................................................. 35 kut 32 kut, alat ......................................................................... 24 kut, granična vrijednost ................................................ 33 kut, izbočeni .................................................................. 33 kut, naredba .................................................................. 44 kut, zadane veličine, alat ............................................... 24 kutna mjera, postavke .................................................. 71 kutovi, mnogokut .......................................................... 44 kutovi, naredbe ............................................................. 44 

89

kvadratni korijen ........................................................... 35 kvartili naredbe, naredba.............................................. 63 

—L— LaTeX, naredba ............................................................. 53 linearna regresija, naredba ........................................... 61 linearni ekscentricitet, naredba .................................... 42 lista ............................................................................... 36 liste, naredbe ................................................................ 55 liste, primjena aritmetičkih operacija ........................... 37 liste, primjena funkcija .................................................. 37 liste, uspoređivanje ....................................................... 37 logaritam ....................................................................... 35 logički, naredbe............................................................. 40 logički, operacije ........................................................... 36 logički, pokaži varijable ................................................. 36 logički, varijable ............................................................ 36 lokus ........................................................................ 25, 85 lokus, alat ...................................................................... 25 lokus, naredba .............................................................. 55 luk opisan trima točkama, naredba .............................. 52 luk, naredba .................................................................. 52 lukovi, naredbe ............................................................. 52 

—M— maksimum liste, naredba.............................................. 57 maksimum, naredba ..................................................... 43 matrica, naredbe .......................................................... 65 matrice .......................................................................... 37 matrice, primjena aritmetičkih operacija...................... 38 medijan, naredba .......................................................... 63 minimum liste, naredba ................................................ 57 minimum, naredba ....................................................... 43 mješovit tekst ............................................................... 26 mnogokut, alat .............................................................. 20 mnogokut, kutovi .......................................................... 44 mnogokut, naredba ...................................................... 47 mnogokut, pravilni, alat ................................................ 20 mnogokuti ..................................................................... 20 mnogokuti, naredbe ..................................................... 47 množenje ...................................................................... 35 mod, naredba ............................................................... 63 modulo funkcija, naredba ............................................. 41 mreža, izbornik ............................................................. 70 mreža, pokaži / sakrij ...................................................... 9 mreža, prilagodba ........................................................... 9 

—N— nagib, alat ..................................................................... 23 nagib, naredba .............................................................. 42 najmanje cijelo .............................................................. 35 najmanji zajednički višekratnik, naredba ...................... 42 najveće cijelo ................................................................ 35 najveći zajednički djelitelj, naredba .............................. 42 naredba pomoć ............................................................... 7 naredba, automatska dopuna ....................................... 39 naredbe..................................................................... 7, 39 natpis, oznaka ............................................................... 84 natpisi ........................................................................... 83 naziv ćelije ...................................................................... 8 

naziv stupca, naredba ................................................... 64 naziv u traku za unos..................................................... 31 naziv, funkcija ............................................................... 30 naziv, konika ................................................................. 30 naziv, konike ................................................................. 34 naziv, naredba ............................................................... 54 naziv, objekt .................................................................. 31 naziv, pravac ........................................................... 30, 33 naziv, točka ................................................................... 30 naziv, vektor .................................................................. 30 nazivi objekata .............................................................. 30 neprekidnost, postavke ................................................ 71 nezavisni objekt .............................................................. 7 niz, naredba .................................................................. 58 nizovi, naredbe ............................................................. 55 normalna razdioba, naredba ......................................... 63 nova točka, alat ............................................................. 18 nova, izbornik ................................................................ 66 novi prozor, izbornik ............................................... 66, 74 nultočka, naredbe ......................................................... 46 NZD, naredba ................................................................ 42 NZV, naredba ................................................................ 42 

—O— objekt, definicija ........................................................... 31 objekt, naredba ............................................................. 54 objekt, naziv ............................................................ 30, 31 objekt, pokaži / sakrij ...................................................... 8 objekt, vrijednost .......................................................... 31 objekti, izmjena ............................................................. 30 oblik crte, svojstva ........................................................ 10 oblik točke, postavke .................................................... 72 oblikovanje, kopiraj ....................................................... 17 oblikovanje, prenositelj oblikovanja ............................. 17 odaberi potomke, izbornik ............................................ 69 odaberi pretke, izbornik ................................................ 69 odaberi sve, izbornik ..................................................... 69 odaberi trenutnu razinu, izbornik ................................. 69 oduzimanje ................................................................... 35 ograničenje, funkcije na interval ................................... 34 okomica, alat ................................................................. 20 okomica, naredba ......................................................... 48 okomiti vektor, naredba ............................................... 46 opći alati, alati ............................................................... 17 operacije s kompleksnm brojevima .............................. 38 operacije s listama ........................................................ 36 operacije s matricama ................................................... 37 opis konstrukcije ........................................................... 11 opis konstrukcije kao web‐stranica, izvoz ..................... 12 opis konstrukcije, ispis .................................................. 13 opis konstrukcije, izbornik ............................................ 70 opis konstrukcije, izvoz ................................................. 12 opis konstrukcije, kontrolna točka ................................ 12 opis konstrukcije, promjena redoslijeda koraka ........... 12 opis konstrukcije, stupci .......................................... 12, 13 opis konstrukcije, umetanje novog koraka ................... 12 opseg, naredba ............................................................. 42 osi, izbornik ................................................................... 70 osi, koordinatne ............................................................ 33 osi, naredba .................................................................. 48 osi, pokaži / sakrij ............................................................ 9 osi, prilagodba................................................................. 9 

90

osi, x‐os, i y‐os ............................................................... 33 ostatak dijeljenja ........................................................... 41 osvježi, izbornik............................................................. 71 otvori, izbornik .............................................................. 66 označavanje, postavke .................................................. 72 oznaka pravog kuta, postavke ...................................... 72 oznake ........................................................................... 83 oznake, natpis ............................................................... 84 oznake, naziv i vrijednost .............................................. 84 oznake, pokaži i sakrij ................................................... 83 

—P— parabola, alat ................................................................ 22 parabola, naredba......................................................... 50 parametar, naredba ...................................................... 42 parametarske krivulje, naredbe .............................. 51, 52 pauza, animacija ........................................................... 76 PGF/TikZ izvoz, izbornik ................................................ 68 pi konstanta .................................................................. 32 pi simbol ....................................................................... 24 plus / minus tipke, animacija ........................................ 76 početni, naredba ........................................................... 56 podizbornici .................................................................. 66 podniz, naredba ............................................................ 58 područje odabira .......................................................... 16 pogled, izbornik ............................................................ 70 pojednostavni, naredba ................................................ 51 pojednostavni, polinom ................................................ 50 pokaži / sakrij objekt ....................................................... 8 pokaži / sakrij, oznaka, alat ........................................... 18 pokaži/sakrij, objekt, alat .............................................. 18 polara ili konjugirani promjer, alat ............................... 21 polara, naredba ............................................................ 49 polarne, koordinate ...................................................... 33 polinom, naredba ......................................................... 50 polovište, alat ............................................................... 19 polovište, naredba ........................................................ 45 polukružnica, alat .......................................................... 22 polukružnica, naredba .................................................. 52 polumjer, naredba ........................................................ 42 pomicanje crtaće plohe, alat......................................... 17 pomicanje, alati ............................................................ 17 pomoć alatne trake ......................................................... 6 pomoć, alatna traka ........................................................ 6 pomoć, izbornik ...................................................... 74, 75 pomoć, sintaksa naredbe ................................................ 7 pomoć, traka za unos ................................................ 7, 31 pomoćni objekt ............................................................... 7 pomoćni objekti, izbornik ............................................. 70 poništi, izbornik ............................................................ 68 ponovi, izbornik ............................................................ 68 posljednji, naredba ....................................................... 57 postavke, decimalna mjesta ......................................... 71 postavke, grafički prikaz................................................ 73 postavke, izbornik ......................................................... 71 postavke, izmjena ......................................................... 12 postavke, izrada novog alata ........................................ 73 postavke, jezik .............................................................. 72 postavke, koordinate oblik ........................................... 72 postavke, kutna mjera .................................................. 71 postavke, neprekidnost ................................................ 71 postavke, oblik točke .................................................... 72 

postavke, označavanje .................................................. 72 postavke, oznake pravog kuta ...................................... 72 postavke, prilagodba alatne trake ................................ 73 postavke, spremanje ..................................................... 12 postavke, spremi postavke ........................................... 73 postavke, upravljanje alatima ....................................... 73 postavke, veličina fonta ................................................ 72 postavke, veličina kontrolnog okvira ............................ 72 postavke, vezivanje točaka na mrežu ........................... 71 postavke, vrati zadane postavke ................................... 73 postavke, vrati zadano .................................................. 13 postavke, zaokruživanje ................................................ 71 postavke, značajne znamenke ...................................... 71 potenciranje .................................................................. 35 povećanje / smanjenje .................................................... 8 povijest trake za unos ................................................... 31 površina između dvije funkcije...................................... 43 površina, alat ................................................................ 23 površina, naredba ......................................................... 41 površina, određeni integral ..................................... 41, 43 pozadinska slika ............................................................ 29 pravac ........................................................................... 33 pravac regresije, alat ..................................................... 21 pravac, kroz dvije točke, alat ........................................ 20 pravac, naredba ............................................................ 47 pravac, naziv ........................................................... 30, 33 pravci ............................................................................ 20 pravci, naredbe ............................................................. 47 pravilni mnogokut, alat ................................................. 20 pravokutnik izvoza ........................................................ 14 pravokutnik povećanja .................................................... 9 predznak ....................................................................... 35 preimenovanje, brzo ..................................................... 16 preimenuj...................................................................... 10 prenositelj oblikovanja, alat .......................................... 17 preračunaj sve objekte, izbornik ................................... 71 presjek, naredba ........................................................... 56 pretpregled ispisa, izbornik ........................................... 66 prikaz, uvjetni ............................................................... 77 prilagodba alatne trake ................................................... 9 prilagodba alatne trake, postavke ................................ 73 prilagodba grafičkog prikaza ........................................... 8 prilagodba korisničkog sučelja ........................................ 8 prilagodba, linearna, naredba ....................................... 61 prilagodba, naredbe ...................................................... 62 pripoji, naredba ............................................................ 55 produkt moment koeficijent korelacije, naredba ......... 63 proširi polinoma ............................................................ 50 proširi, naredba ............................................................. 51 prozirnost, slika ............................................................. 29 prozor, izbornik ............................................................. 74 PSTricks izvoz, izbornik .................................................. 68 

—Q— Q1, naredba .................................................................. 63 Q3, naredba .................................................................. 63 

—R— raspon ćelija, naredba ................................................... 64 rasporedi vodoravno, izbornik ...................................... 70 rastezanje objekta iz točke za faktor, alat ..................... 26 

91

rastezanje, naredba ...................................................... 60 ravnalica, naredba ........................................................ 48 razine ............................................................................ 84 razmak na osima, naredba ............................................ 41 redak, naredba .............................................................. 65 redefiniranje ................................................................. 84 redefiniranje nepomičnih objekata .............................. 85 regresija, linearna, naredba .......................................... 61 regresija, naredbe ......................................................... 62 rotacija objekta oko točke, alat .................................... 26 rotacija, naredba ........................................................... 59 rotacija, oko točke, alat ................................................ 18 

—S— SD, naredba .................................................................. 63 sigma naredbe, naredba ............................................... 63 SigmaXX, naredba ......................................................... 63 SigmaXY, naredba ......................................................... 63 SigmaYY, naredba ......................................................... 63 simbol za stupanj .......................................................... 24 simetrala dužine, alat .................................................... 21 simetrala kuta, alat ....................................................... 21 simetrala kuta, naredba ................................................ 48 sintaksa naredbe pomoć ................................................. 7 sinus .............................................................................. 35 sjecište, dvaju objekata, alat ......................................... 19 sjecište, naredbe ........................................................... 45 skalarni produkt ............................................................ 35 skočni izbornik .............................................................. 10 slika ............................................................................... 28 slika izvoz, izbornik ....................................................... 67 slika, odaberi uglove ..................................................... 28 slika, položaj ................................................................. 28 slika, pozadinska ........................................................... 29 slika, prozirnost ............................................................. 29 slika, svojstva ................................................................ 28 slika, ugao ..................................................................... 45 slika, umetanje .............................................................. 28 slučajan ......................................................................... 35 slučajna binomna varijabla, naredba ............................ 43 slučajna normalna varijabla, naredba ........................... 43 slučajna Poissonova varijabla, naredba ........................ 43 slučajni broj između, naredba ....................................... 43 slučajni brojevi, novi ..................................................... 71 slučajni, naredba ........................................................... 43 sortiraj, lista .................................................................. 58 spajanje, naredba ......................................................... 57 sporedna os, naredba ................................................... 48 sporedna poluos, duljina, naredba ............................... 42 spremanje postavki ....................................................... 12 spremi kao, izbornik ...................................................... 66 spremi postavke, postavke ........................................... 73 spremi, izbornik ............................................................ 66 središte, naredba .......................................................... 45 standardna devijacija, naredba ..................................... 63 statičan tekst ................................................................ 26 statističke veličine, naredba ......................................... 64 statistika, naredbe ........................................................ 60 stil objekta .................................................................... 10 strelice, animacija ......................................................... 76 stupac, naredba ............................................................ 64 stupčasti dijagram, naredba ......................................... 60 

svojstva ......................................................................... 10 svojstva grafičkog prikaza ............................................... 9 

—Š— šestar, alat..................................................................... 22 

—T— tablica, naredbe ............................................................ 64 tablični prikaz .................................................................. 8 tablični prikaz, izbornik ................................................. 70 tangens ......................................................................... 35 tangenta, alat ................................................................ 21 tangenta, naredba ........................................................ 48 Taylorov polinom, naredba ........................................... 51 tekst .............................................................................. 26 tekst iz unikoda, naredba .............................................. 54 tekst kao tablica, naredba ............................................. 54 tekst razlomkom, naredba ............................................ 53 tekst s formulom, Command ........................................ 53 tekst, dinamičan ............................................................ 26 tekst, mješovit............................................................... 26 tekst, naredba ............................................................... 55 tekst, naredbe ............................................................... 53 tekst, statičan ................................................................ 26 tekst, umetanje ............................................................. 26 težište, naredba ............................................................ 45 tipkovničke kratice ........................................................ 80 tjeme, naredba ............................................................. 45 točka ............................................................................. 33 točka pregiba, naredba ................................................. 46 točka, naredbe .............................................................. 44 točka, naziv ................................................................... 30 točke ............................................................................. 18 točke, naredbe .............................................................. 44 trag ................................................................................ 85 trag, izbriši .................................................................... 71 traka za korake instrukcije ............................................ 11 traka za korake konstrukcije ......................................... 11 traka za korake konstrukcije, izbornik ........................... 71 traka za unos ................................................................. 32 traka za unos pomoć ....................................................... 7 traka za unos, izbornik .................................................. 70 traka za unos, pokaži unose .......................................... 31 transformacije ............................................................... 25 transformacije ............................................................... 59 translacija objekta za vektor, alat ................................. 26 translacija, naredba ...................................................... 59 transponirana matrica, naredba ................................... 65 trapezna suma, naredba ............................................... 44 trigonometrijske funkcije .............................................. 34 trigonometrijske funkcije, Area kosinus hiperbolni ...... 35 trigonometrijske funkcije, Area sinus hiperbolni .......... 35 trigonometrijske funkcije, Area tangens hiperbolni...... 35 trigonometrijske funkcije, arkus kosinus ...................... 35 trigonometrijske funkcije, arkus sinus .......................... 35 trigonometrijske funkcije, arkus tangens ...................... 35 trigonometrijske funkcije, kosinus ................................ 35 trigonometrijske funkcije, kosinus hiperbolni ............... 35 trigonometrijske funkcije, sinus .................................... 35 trigonometrijske funkcije, sinus hiperbolni................... 35 trigonometrijske funkcije, tangens ............................... 35 

92

trigonometrijske funkcije, tangens hiperbolni .............. 35 

—U— udaljenost, alat ............................................................. 23 udaljenost, naredba ...................................................... 41 ugao, naredba ............................................................... 45 ukloni nedefinirano, naredba ....................................... 57 uključi trag .................................................................... 10 umetanje teksta, alat .................................................... 26 umetanje, slike, alat ...................................................... 28 umetanje, teksta ........................................................... 26 umetni, naredba ........................................................... 56 umnožak, naredba ........................................................ 57 unija, naredba ............................................................... 59 unikod teksta, naredba ................................................. 54 unikod znaka, naredba .................................................. 53 upravljanje alatima, postavke ....................................... 73 upravljanje, alati ........................................................... 73 uređivanje, izbornik ...................................................... 68 usporednica, alat .......................................................... 20 uvjet cjelobrojnosti, naredba ........................................ 40 uvjetna naredba ............................................................ 40 uvjetne funkcije, naredba ............................................. 51 uvjetni prikaz objekta ................................................... 77 uvjetno prebrajanje, naredba ....................................... 56 uvjetno zadržavanje, naredba ....................................... 57 

—V— varijanca, naredba ........................................................ 64 vektor ............................................................................ 33 vektor smjera, naredba ................................................. 46 vektor zakrivljenosti, naredba ...................................... 52 vektor, iz točke, alat ...................................................... 19 vektor, između dviju točaka, alat .................................. 19 vektor, naredba ............................................................ 46 vektor, naziv.................................................................. 30 vektori ........................................................................... 19 vektori, naredbe ........................................................... 46 veličina fonta, postavke ................................................ 72 veličina fonta, povećanje .............................................. 13 veličina kontrolnog okvira, postavke ............................ 72 veza, alat ....................................................................... 18 veza, naredba................................................................ 40 vezivanje točke na mrežu, postavke ............................. 71 vidljivost, svojstva ......................................................... 10 vrati zadane postavke ................................................... 13 vrati zadane postavke, postavke ................................... 73 

vratiti izvornu alatnu traku ........................................... 10 vrijednost u traku za unos ............................................. 31 vrijednost, objekt .......................................................... 31 vrijednosti, izmjena ....................................................... 30 

—W— web‐stranica izvoz, izbornik .......................................... 67 web‐stranica s apletom, izvoz ....................................... 14 

—X— x‐koordinata .................................................................. 35 x‐os ............................................................................... 33 

—Y— y‐koordinata .................................................................. 35 y‐os ............................................................................... 33 

—Z— zabilježi u tablicu, alat ................................................... 17 zagrade ......................................................................... 35 zakrivljenost, naredba ................................................... 52 zakrivljenost, naredbe ................................................... 42 zakrivljenost, vektor, naredba ...................................... 47 zaokruženo .................................................................... 35 zaokruživanje, postavke ................................................ 71 zatvori, izbornik ............................................................ 68 zavisni objekt .................................................................. 7 zbrajanje ....................................................................... 35 zbroj, naredba ............................................................... 58 značajne znamenke, postavke ...................................... 71 znak iz unikoda, naredba .............................................. 53 zoom, povećanje, alat ................................................... 18 zoom, smanjenje, alat ................................................... 18 zraka, kroz dvije točke, alat ........................................... 20 zraka, naredba .............................................................. 47 zrake ............................................................................. 20 zrake, naredbe .............................................................. 47 zrcaljenje objekta preko pravca, alat ............................ 25 zrcaljenje objekta preko točke, alat .............................. 25 zrcaljenje, naredba........................................................ 59 

—Ž— žarište, naredba ............................................................ 45