genel yetenek - genel kÜltÜr geometrİ geo_ka.pdfkapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi,...

PRATİK BİLGİLER

SINAVLARA EN YAKIN ÖZGÜN SORULAR VEAÇIKLAMALARI

VİDEO DESTEKLİ

KONU ANLATIMLI

GENEL YETENEK - GENEL KÜLTÜR

GEOMETRİ

KPSS 2019 120 sorudaSORU86

Komisyon

KPSS Geometri Konu Anlatımlı

ISBN 978-605-241-274-9

Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir.

© Pegem AkademiBu kitabın basım, yayım ve satış hakları

Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. AŞ’ye aittir.Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri,kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıtya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz.

Bu kitap T.C. Kültür ve Turizm Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır.Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında

yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınlarısatın almamasını diliyoruz.

1. Baskı: 2018, Ankara

Proje-Yayın Yönetmeni: Mehmet Ali TutluDizgi-Grafik Tasarım: Dilara Çetiner

Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı

Baskı: Vadi Grup Basım A.Ş.İvedik Organize Sanayi 28. Cadde 2284 Sokak No:105

Yenimahalle/ANKARA(0312 394 55 91)

Yayıncı Sertifika No: 36306Matbaa Sertifika No: 26687

İletişim–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARAYayınevi: 0312 430 67 50 - 430 67 51

Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60Dağıtım: 0312 434 54 24 - 434 54 08

Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60

İnternet: www.pegem.netE-ileti: [email protected]

ÖN SÖZ

Değerli Adaylar;

Bu kitap Kamu Personeli Seçme Sınavı (KPSS) Genel Yetenek Testinde önemli bir yer tutan “Geometri” kapsamındaki 3 veya 4 soruyu etkili bir şekilde çözebilmeniz amacıyla hazırlanmıştır.

Kitabın çalışmalarınızda yararlı olması dileğiyle, KPSS’de ve meslek hayatınızda başarılar.

Pegem Akademi

Uygulama İndirme

Aktivasyon

QR Kod Okutma

Uygulamanızı

Üye girişi yaptıktan sonraaçılan pencerede sağ altta bulunan aktivasyon menüsünden kitabınızın aktivasyon işlemini yapabilirsiniz.

QR kodları uygulamamızda bulunan kamera simgesini kullanarak kolaylıkla okutabilirsiniz. Set kapağında bulunan QR kodu okutarak setin içeriğindeki kitaplara, kitap kapağında bulunan QR kodu okutarak kitap içeriğindeki ünitelere, ünite başlarında bulunan QR kodları okutarak ünite ile ilgili videolara ulaşabilirsiniz.

mağazalarından “Pegem Kampüs”yazarak indirebilirsiniz.

ÜyelikÜyelik ekranını eksiksiz

doldurduktan sonra uygulamayı kullanmaya başlayabilirsiniz.

AktifKitaplar

Aktivasyonunu yapmış olduğunuz kitap veya kitaplarınızı

Aktif Kitaplar sekmesinden görüntüleyebilir ve videolarınızı

izlemeye başlayabilirsiniz.

v

İÇİNDEKİLER

1. Bölüm Geometrik Kavramlar ve Doǧruda

AçılarGeometrik Kavramlar .....................................................1

Tanımsız Kavramlar ...................................................1

Açılar .........................................................................1

Açı Çeşitleri ...............................................................2

Açıortay .....................................................................3

Tümler Açılar .............................................................4

Bütünler Açılar ..........................................................4

Ters Açılar .................................................................4

Paralel İki Doğrunun Bir Kesen ile Yaptığı Açılar ......4

Paralel İki Doğrunun Birden Çok Kesen ile Meydana Getirdiği Açılar ..........................................5

Kenarları Paralel Açılar ..............................................7

Kenarları Dik Açılar ...................................................7

Üçgenler ......................................................................11

Üçgen Çeşitleri .......................................................11

Açılarına Göre Üçgenler .....................................11

Kenarlarına Göre Üçgenler.................................11

Üçgende Temel ve Yardımcı Elemanlar ..................12

Üçgende Açılar ile İlgili Özellikler ............................13

Dik Üçgen ...............................................................19

Üçgende Açıortay Teoremleri .................................25

Üçgende Kenarortay Teoremleri .............................29

Özel Üçgenler .........................................................34

İkizkenar Üçgen .................................................34

Eşkenar Üçgen ..................................................37

Üçgende Alan .........................................................41

Üçgende Benzerlik .................................................47

Üçgende Açı – Kenar Bağıntıları .............................57

Üçgen Eşitsizliği......................................................57

Cevaplı Test 1 – 13 ��63

2. Bölüm Çokgenler ve Dörtgenler

Çokgenler ....................................................................89

Dörtgenler ....................................................................95

Dörtgenlerde Alan ...................................................97

Paralelkenar .................................................................99

Paralelkenarda Alan ..............................................100

Eşkenar Dörtgen ........................................................103

Dikdörtgen ................................................................105

Kare ...........................................................................108

Yamuk .......................................................................110

Deltoid .......................................................................115


3. Bölüm Çember ve Daire

Çember ve Daire ........................................................126

Çemberde Açı .......................................................126

Çemberde Yardımcı Elemanlar .............................126

Çemberde Yay ve Açı Özellikleri ...........................128

Çemberde Kiriş Yay Özellikleri ..............................133

Çemberde Uzunluk ....................................................134

Bir Noktanın Bir Çembere Göre Kuvveti ....................134

İki Çemberin Ortak Teğetleri ......................................139

Üçgenin Çemberleri ...................................................142

Teğetler Dörtgeni .......................................................143

Dairede Alan ..............................................................143

Dairenin Alanı ve Çevresi ......................................143

Çemberde Benzerlik ..................................................147


vi

İÇİNDEKİLER

4. Bölüm Analitik Geometri

Noktanın Analitik İncelenmesi ...................................156

Analitik Düzlem .....................................................156

İki Nokta Arasındaki Uzaklık .................................157

Doğrusal Noktalar .................................................158

Doğrusal Olmayan Noktalar ..................................161

Doğrunun Analitik İncelenmesi ..................................164

Doğrunun Eğim Açısı ve Eğimi .............................164

Doğrunun Grafiğinin Çizimi ...................................165

Doğrunun Denklemleri ..........................................166

Özel Doğrular ........................................................168

İki Doğrunun Birbirine Göre Durumları ..................169

Doğru Demeti .......................................................171

Simetriler ...................................................................173

Noktanın Simetriği ................................................173

Doğrunun Simetriği ...............................................177

Eşitsizlikler .................................................................179

Cevaplı Test ��186

5. Bölüm Katı Cisimler

Prizma .......................................................................188

Dikdörtgenler Prizması ..............................................189

Küp ............................................................................191

Silindir ........................................................................192

Piramit .......................................................................195

Koni ...........................................................................196

Küre ...........................................................................198


1

Geometrik Kavramlar ve Doğruda Açılar 1.Bölüm

GEOMETRİK KAVRAMLAR

Tanımsız KavramlarNokta, doğru, düzlem gibi kavramlar tanımsız kav-ramlardır.

Nokta

Kalem ucunun kâğıt üzerine bıraktığı işaret veya iz-dir. Noktanın belli bir alanı, hacmi veya boyutu yoktur. Nokta büyük harfle gösterilir.

Örneğin;A B

A noktası B noktası

Doğru

İki ucu sınırsız aynı doğrultulu noktaların kümesidir.A B d

Doğrular genelde küçük harfle temsil edilirler. d doğ-rusu veya AB diye sembolize edilebilir.

Doğru Parçası

İki nokta ile bu iki nokta arasında kalan noktaların bir-leşim kümesine doğru parçası denir.

A B

doğru parçası AB6 @ sembolü ile gösterilir.CD CD"6 @ doğru parçasıCD CD" doğru parçasının uzunluğu olarak gösterilir.

Işın

Bir ucu başlangıç noktası olup diğer ucu sonsuza gi-den noktaların oluşturduğu kümeye ışın denir.

A B d

AB "6 AB yarı doğrusu diye okunur.

Yarı Doğru

AB6 ışınından başlangıç noktası yani A noktasının çı-kartılması ile elde edilen noktaların kümesine AB yarı doğrusu denir.

A B d

AB AB"@ yarı doğrusu diye okunur.

Düzlem

Bir masanın üstü, durgun su yüzeyi gibi tamamen düz ve aynı zamanda her yöne sınırsız olan noktaların oluşturduğu kümeye düzlem denir.

AÇILAR Başlangıç noktaları

A

B

C

[AB ∪ [AC = VA

aynı olan iki ışının birleşimine “Açı” denir.

Yani, AB ve AC6 6 ışınlarının birleşimi ile oluşan açı BAC ya da CAB açısıdır.

BAC açısı BAC% ya da CAB% şeklinde gösterilir.

Açının Ölçüsü

AB ve AC6 6 ışınları ara-

A

B

C

α

sında kalan bölgeye AW nın ölçüsü denir. Her AW na 0 ile 360 arasında bir tek reel sayı karşılık gelir. Bu reel sayıya BAC açısının (ya da CAB açısının) ölçüsü denir.

Yani BAC açısının ölçüsü α dır.

ve ( ) ( )BACm m A a= =W% veya( ) ( )BACs s A a= =W% ile gösterilir.

Eş Açılar: Ölçüleri eşit olan açılara eş açılar denir.

Yani, ( ) ( )m mA B &=W W A ile B açıları eş açılardır.Açının Düzlemde Ayırdığı Bölgeler

Herhangi bir açı düzlemi üç farklı bölgeye ayırır.

Bu bölgeler

I. Açının kolları

A

B

C

α

I.

II.

III.

II. Açının iç bölgesi

III. Açının dış bölgesi

Açı Ölçü Birimleri

Derece, Grad, Radyan açı ölçü birimleridir. Genelde ölçü birimi olarak derece kullanılır. ° °, ,...20 40 şeklinde

gösterilir.

Bu üç farklı açı ölçü birimleri arasındaki bağıntıyı şöy-le verebiliriz.

D: Derece

G: Grad

R: Radyan olmak üzere

D G R180 200 r= = bağıntısı vardır.

2

Geometrik Kavramlar ve Doğruda Açılar

NOT

Bir ışının başlangıç noktası etrafında bir tur döndürül-mesi ile oluşan açı 360°, 400 Grad ve 2π Radyandır.

Derecenin Alt Birimleri

1° → Bir derece

14243

1° = 60ʹ

1ʹ → Bir dakika 1ʹ = 60ʹʹ

1ʹʹ → Bir saniye 1° = 3600ʹʹ dir.

AÇI ÇEŞİTLERİDar Açı

Ölçüsü 0° ile 90° arasında olan açılara dar açı denir.

Yani, < < 900° +a ac dar açıdır.

A

B

C

α

Dik Açı

Ölçüsü 90° olan açıya dik açı denir.

Yani, °90 + aa = dik açıdır.

A

B

C

α

Geniş Açı

Ölçüsü 90°ile 180° arasında olan açılara geniş açı denir.

Yani,

° < < 18090 ° +a a geniş açıdır.

A

B

C

α

Doğru Açı

Ölçüsü 180° olan açıya doğru açı denir.

Yani, °180 +a a= doğru açıdır.

AB C

α=180°

Tam Açı

Ölçüsü 360° olan açıya tam açı denir.

Yani,

°360 +a a= tam açıdır.

AB

α=360°

ÖrnekA, O ve B noktaları

OA B2α

7α3α

DC

doğrusal,

( )DOBm 2a=%

( )CODm 7a=% ve

( )AOCm 3a=%

Yukarıdaki verilenlere göre, α kaç derecedir?

A) 10 B) 12 C) 15 D) 18 E) 20

Çözüm:

A, O ve B noktaları doğrusal olduğundan doğru açı tanımı gereği 180°lik açı meydana getirirler.

Yani, °3 7 2 180a a a+ + = dir.

12 180°a =

°15& a = bulunur.

Komşu Açılar

Köşeleri ve birer kenarı ortak

A

BC

O

olan iç bölgelerinin kesişim-leri boş küme olan açılara komşu açılar denir.

Yani, COB% ile BOA% komşu iki açıdır.

3


AÇIORTAYAçıyı iki eşit açıya ayıran ışına

A

B

C

O

açıortay denir.

Yani, ( ) ( )COB BOAm m=% % dır.

OB6 ye COA% nın açıortayı de-nir.

[OC ile [OA ya açıortayın kolları (kenarları) denir.

ÖrnekA, O ve B noktaları doğrusal

A BO

80°C

D E

FOC6 ile OF6 açıortay ( )DOEm 80o=%

Yukarıdaki verilenlere göre, ( )COFm % kaç derece-dir?

A) 100 B) 110 C) 120 D) 130 E) 140

Çözüm:

A, O ve B noktaları doğrusal olduğundan meydana ge-len açıların ölçüleri toplamı 180°dir.

( ) ( )AOC CODm m a= =% %

( ) ( )EOF FOBm m b= =% %

dersek

A BO

80°C

D E

Fββ

αα

° 180 2 2 100 502 2 80 ° ° °& &= + = + =a b a ba b+ +

m( ) 130( )COF COFm 80° °&a b= + + =% % bulunur.

ÖrnekKomşu iki açının açıortayları arasında kalan açı 54°dir.

Buna göre, bu iki açının ölçüleri toplamı kaç de-recedir?

A) 100 B) 104 C) 106 D) 108 E) 110

Çözüm:

A

O

C54° D

B

E

ββαα

BOC% ile COA% komşu iki açıdır. OD6 ile OE6 açıortaydır. ( )DOEm 54°=% olduğundan

( ) ( )BOD DOCm m a= =% % ve

( ) ( )COE EOAm m b= =% % dersek

( )DOEm 54°a b= + =% dir.

Buradan ( ) ( )BOC COAm m 2 2a b+ = +% %

( )2 108°54°a b+ => bulunur.

NOT

Açıortay üzerinde alınan herhangi bir noktanın, açının kollarına olan dik uzunlukları birbirine eşittir.

OD6 açıortay, OB6 ile OA6 açıortayın kolları olmak üzere

, ,CK OB DL OB= =6 6 6 6@ @] veCE OA DF OA= =6 6 6 6@

çizilirse

O

C

D

B

AE F

L

K .

,

,

CK CE DL DF ve

KO EO LO FO dur

= =

= =

4


TÜMLER AÇILAR

O

B

A

C

αβ

Ölçüleri toplamı 90° olan iki açı-ya tümler iki açı denir.

Yani, α ile β bulundukları açıla-rın ölçüleri olmak üzere

°90 + aa b+ = ile β tümler iki açıdır.

α nın tümleri 90° – α

β nın tümleri 90° – β dır.

BÜTÜNLER AÇILAR

OA B

Cβ

α

Ölçüleri toplamı 180° olan iki açıya bütünler açılar denir.

Yani, α ile β bulundukla-rı açıların ölçüleri olmak üzere

°180 + aa b+ = ile β bütünler iki açıdır.

α nın bütünleri 180° – α

β nın bütünleri 180° – β dır.

ÖrnekBir açının 4 katının 5° fazlası aynı açının tümlerine eşit olduğuna göre, açının bütünleri kaç derece-dir?

A) 157 B) 159 C) 161 D) 163 E) 165

Çözüm:

Açı Tümleri

α 90° – α dır.

Denklem kurulursa

4α + 5° = 90° – α dır.

5α = 85° ⇒ α = 17° bulunur.

O hâlde, açının bütünleri

° 180 17 163180 ° ° °- = - =a bulunur.

ÖrnekBütünler iki açıdan biri diğerine bölündüğünde bölüm 4, kalan 10° dir.Buna göre, küçük açı kaç derecedir?

A) 32 B) 34 C) 36 D) 38 E) 40

Çözüm:

Bütünler iki açı

α ile β olsun.

O hâlde, α + β = 180° dir.

Verilen denklem yazılacak olursa

α β

410°

⇒ α = 4β + 10° dir.

Buradan °4 10a b= + denklemi

°180a b+ = denkleminde yerine yazılacak olursa

4β + 10° + β = 180° ⇒ 5β = 170°

⇒ β = 34°

⇒ α = 146°dır.

O hâlde, küçük açı β = 34° bulunur.

TERS AÇILARKesişen iki doğrunun oluşturduğu açılardan birbirine komşu olmayan açılara ters açılar denir.

d1

d2

ab

cd

Yani, Kesişen d1 ve d2 doğrularında at ile ct , bt ile dt

açıları ters açılardır.

Ters açıların ölçüleri birbirine eşittir. a = c ve b = d dir.

PARALEL İKİ DOĞRUNUN BİR KESEN İLE YAPTIĞI AÇILAR d1 // d2 ve a, b, c, d, x, y, z, t bulundukları açıların ölçüleridir.

ab

c d

xy

z t

d1

d2

5


(i) Yöndeş açılar

d1 // d2 ise

at ile xt , bt ile yt , dt ile tt , ct ile zt yöndeş açılardır. Yön-deş açıların ölçüleri birbirine eşittir.

Yani, ., , , dira x b y c z d t= = = =

(ii) İç ters açılar

d1 // d2 ise

ct ile xt ve dt ile yt iç ters açılardır. İç ters açıların öl-çüleri birbirine eşittir.

Yani, c x= ve d y= dir.

(iii) Dış ters açılar

//d d1 2 ise

at ile zt ve bt ile tt dış ters açılardır.

Dış ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.

Yani, a = z ve b = t dir.

(iv) Karşı durumlu açılar

d1 // d2 ise

ct ile yt ve dt ile xt karşı durumlu iki açıdır. Karşı du-rumlu açıların ölçüleri toplamı 180° dir.

Yani, °c y 180+ = ve °d x 180+ = dir.

NOT

Karşı durumlu açıların açıortayları birbirine diktir.

Yani, d1 // d2 AC6 ile BC6 A

B

C

d1

d2

d3

açıortay AC BC& =6 6 dir.

PARALEL İKİ DOĞRUNUN BİRDEN ÇOK KESEN İLE MEYDANA GETİRDİĞİ AÇILAR

(i) // ved d d d B1 2 3 4+ = " ,α, δ, β bulundukları açıların ölçüleri olmak üzere

α + δ = β dır.

A

B

C

d3

d1

d2

d4

α

β

δ

(ii) d1 // d2

α, δ, β bulundukları açıların ölçüleri olmak üzere

α + β + δ = 360°dir. A

B

C

d1

d2δ

β

α

NOT

Paralel doğrular n doğruyla kesilirse meydana gelen

aynı yönlü açıların ölçüleri toplamı n · 180° dir.

(iii) d1 // d2 ise şekildeki açılar ardışık zıt yönlü açı-lardır.

Aynı yöndeki açıların ölçüleri toplamı ile bu açılara göre, ters yönde olan aynı yönlü açıların ölçülerinin toplamları birbirine eşittir.

x

d1

d2

yδ

β

α

Yani, α, δ, β, x, y bulundukları açıların ölçüleri olduğu-na göre x ya b d+ + = + dir.

genel yetenek - genel kÜltÜr geometrİ geo_ka.pdfkapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi,...

Documents