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Lezioni di storia della logica: Gargnano, 26-31 agosto 2013

Massimo Mugnai

Scuola Normale Superiore, Pisa

e-mail: [email protected]

Massimo Mugnai (SNS Pisa) Gargnano, Storia della logica agosto 2013 1 / 119

LA MATEMATIZZAZIONE DELLA LOGICA.


logica e matematica nell’antichita e

nel medioevo

Aristotele: Organon

Euclide: corpus degli Elementi

Megarico- stoici (Filone, Crisippo, ecc.)

Commentatori

Logica e matematica (geometria) come 2 discipline distinte. Inparticolare nel medioevo.

calculatores

arti del trivio: Grammatica, Retorica, Dialettica;

arti del quadrivio: Aritmetica, Geometria, Astronomia, Musica.


Sebbene gli autori scolastici individuino prevalentemente nella logicalo standard di rigore dimostrativo, non mancano, durante il medioevo,coloro che si ispirano, invece, alla matematica. Nel secolo XII vi sonoaddirittura dei teologi che si prefiggono di elaborare una teologiarigorosa, le cui forme di argomentazione siano esemplate sui trattatidi geometria dell’epoca (una sorta di theologia more geometricodemonstrata). In un periodo nel quale si cerca di dare alla teologiaun’impronta matematica, e curioso che ben pochi si pongano ilproblema dei rapporti tra logica e matematica, tanto piu che propriola logica conosce, nell’epoca medievale, una fioritura straordinaria.


Per quanto singolare cio possa sembrare, affinche i rapporti tra logicae matematica vengano posti all’ordine del giorno, bisogna attendereall’incirca la seconda meta del secolo XVI. Prima di questa data, coltramonto della scolastica e l’affermarsi dell’Umanesimo, si diffonde,nella cultura europea, una generale diffidenza verso la logica. Allalogica delle scuole si tende a contrapporre la retorica e, con lariscoperta dei testi della tradizione euclidea, si indica nellamatematica (nella geometria) il vero esempio di rigore dimostrativo.


G. Savonarola, Compendium logicae, in Scritti filosofici, vol. I, Roma,1982, 3 [seconda meta sec. XV]:

“Io, dunque, [. . . ] stabilii di raccogliere in un unico testo,brevemente, in modo chiaro e facile, secondo il costume deimatematici [more mathematico], tutta la dialettica,basandomi su quanto detto dai piu eccellenti tra gliuomini.”

G. Saccheri, Logica demonstrativa, Torino, 1697, 10:

“[. . . ] quando dico ‘logica dimostrativa’, vorrei si pensassealla geometria, a quel severo metodo di dimostrazione, chesi limita ad assumere pochi principi primi e non ammettenulla di non chiaro, di non evidente, di non esente dadubbio [. . . ]”


Mutamento di prospettiva

Jacob Pelletier (1515-1582):

“I dialettici chiamano ‘dimostrazione’ un sillogismoproduttivo di conoscenza, tale cioe che conclude a partireda premesse dimostrate, ma cio trae la propria origine dallageometria. O meglio: ogni dimostrazione che ci conducealla verita ha carattere geometrico. Com’e stato dettoottimamente, non saremmo capaci di distinguere il vero dalfalso se prima non fossimo stati familiari con Euclide.”1

1Pelletier 1557, p. 12Massimo Mugnai (SNS Pisa) Gargnano, Storia della logica agosto 2013 7 / 119

A cominciare dal secolo XVI, seconda meta, logica e matematicacominciano ad avvicinarsi secondo due prospettive:

si ha un ‘movimento’ della logica verso la matematica’;

si ha un ‘movimento’ della matematica verso la logica.


Movimento della logica verso la

matematica

Nella seconda meta del secolo XVI vedono la luce alcune opere chesollevano in maniera esplicita il problema se la logica tradizionale, diimpianto aristotelico-scolastico, sia adeguata a svolgere ledimostrazioni matematiche:

Commentarius de certitudine mathematicarum disciplinarum[Commentario sulla certezza delle discipline matematiche] diAlessandro Piccolomini, edito a Venezia nel 1565;

Analyseis Geometricae sex librorum Euclidis [Analisi geometrichedei primi sei libri di Euclide] di Conrad Dasypodius e ChristianHerlinus, edito nel 1566.


Alessandro Piccolomini si muove nell’orbita della scuola aristotelica diPadova, mentre Dasypodius (latinizzazione di Rauchfuss e un editoredegli Elementi euclidei e di scritti di Erone (a lui si deve, tra l’altro,la costruzione dell’orologio astronomico della cattedrale diStrasburgo, ispirata da un progetto ricavato da Erone); ChristianHerlinus e il maestro di Dasypodius e a lui si deve l’analisi logica deilibri primo e quinto degli Elementi.


Secondo Piccolomini, lo strumento logico piu potente, quella che latradizione aristotelica chiama ‘dimostrazione per eccellenza’[demonstratio potissima], non puo essere applicato alla matematica.Per Piccolomini, la matematica deriva la propria certezza non dallaforza delle dimostrazioni logiche, bensı dalla natura peculiare deglioggetti intorno ai quali verte. Tali oggetti sono ‘prodottidell’immaginazione’ e non sono reali. Chiaramente, questa posizioneimplica una forte divisione tra logica e matematica.


John Wallis, 1616-1703


Wallis difende la tesi opposta a quella di Piccolomini: gli oggetti dellamatematica SONO astrazioni, ma cio non implica che siano meriprodotti dell’immaginazione o finzioni. Accetta la distinzione tra unadimostrazione sillogistica, che procede dalle cause [demonstratiopotissima] e una dimostrazione sillogistica che muove dagli effetti,ammettendo che in matematica non tutti i generi di dimostrazionepartono dalle cause. Cio, tuttavia, non implica che tutte ledimostrazioni matematiche procedano soltanto dagli effetti. Wallisosserva che numerose dimostrazioni matematiche hanno unastruttura complessa e sono un misto di dimostrazioni dalle cause edimostrazioni dagli effetti.


Dasypodius e Herlinus

Dasypodius e Herlinus cercano di rendere esplicita la struttura logicadi ciascuna dimostrazione degli Elementi, a partire dal primoproblema del primo libro, per finire con l’ultimo teorema del libro VI.La ‘logica’ impiegata da D e H e costituita da un corpo dottrinalecentrale rappresentato dalla sillogistica aristotelica, al quale sono statiaggiunte regole e principi della tradizione stoica (del calcoloenunciativo: per es. modus ponens, legge di contrapposizione, ecc).D e H costituiscono il primo tentativo nella cultura occidentale dimostrare che la logica tramandata dalla tradizione scolastica eadeguata a riprodurre le dimostrazioni euclidee.


Ch. Clavio 1612, I, 28

“Tutte le altre proposizioni, non solo di Euclide, ma anchedi tutti gli altri matematici non si analizzano altrimenti.Tuttavia, i matematici non tengon conto di questarisoluzione nelle loro dimostrazioni, in quanto possonodimostrare cio che si propongono, in modo piu breve e piufacile[. . . ]”

possibilita ‘di fatto’;

possibilita in linea di principio


Vagetius

Johannes Vagetius (1633–1691) aggiunse una prefazione all’edizionedel 1681 della Logica Hamburgensis di Joachim Jungius (1587-1657),nella quale discute in dettaglio la proposta di D e H, rilevando unapeculiare mancanza nelle loro dimostrazioni. D e H non riconosconoil carattere autonomo, e percio non sillogistico, di inferenze cheimplicano relazioni e operazioni sulle relazioni.Esempio: ‘Se a e padre di b, allora b e figlio di a’ (inversione direlazione)Necessita di esprimere la quantita del predicato.NB. Vagetius e corrispondente di Leibniz e manterra con questirapporti di amicizia.


Inferenza dal caso retto al caso

obliquo (Jungius 1957, 115-16)

Grammatica est ars

Ergo: Qui discit grammaticam discit artem

La grammatica e un’arte;

Dunque: Colui che impara la grammatica impara un’arte


L’influenza di D e H si estende fino

alla seconda meta del secolo XIX

Ch. Wolff, Mathesis Universalis

William Hamilton, On the Study of Mathematics as an Exerciseof Mind, 1836

A. De Morgan, (1806-1871) [vari testi sul sillogismo]

Problema delle inferenze sillogistiche con relazioni.


Dalla matematica verso la logica

Thomas Hobbes (1588-1679), Computatio sive logica:

“Con ‘ragionamento’ io intendo un calcolo [computatio].Calcolare significa raccogliere la somma di piu cose aggiuntel’una all’altra oppure, se si detrae una cosa dall’altra,conoscere quel che rimane. Quindi ragionare e il medesimoche addizionare e sottrarre, e se poi qualcuno vi aggiungessemoltiplicare e dividere, non mi opporrei, dal momento che lamoltiplicazione equivale all’addizione di termini uguali, e ladivisione alla sottrazione di termini uguali tante voltequanto e possibile. Ogni ragionamento, quindi, si riduce adue operazioni dell’animo, l’addizione e la sottrazione .”

Antecedenti: Pietro Ramo (1515-1572) - sillogismo e calcolo.


Francois Viete (1540–1603)

Con la cosiddetta speciosa generalis, Viete mostro che si possonoeseguire calcoli che implicano quantita operando su letteredell’alfabeto e ottenendo un alto livello di generalita. L’uso di letterevenne percepito al tempo come qualcosa che assimilava l’algebra auna specie di linguaggio artificiale, un linguaggio particolarmenteadatto a esprimere argomentazioni logiche rigorose. Comincio cosı afarsi strada l’idea che fosse possibile esprimere in forma algebricaalcune operazioni logiche fondamentali.


A. Arnauld e P. Nicole, La logique ou

l’art de penser, 1662

Con la pubblicazione del libro di Arnauld e Nicole si afferma unaconcezione generale di idea o concetto destinata a dominare per oltredue secoli nell’ambito della cultura occidentale. Intorno a taleconcezione si organizzano vari tentativi di ricondurre la logica a uncalcolo di tipo matematico.


A. Arnauld e P. Nicole, La logique ou

l’art de penser, 1662

Idee e concetti sono distinti in semplici o composti :

i semplici sono ‘afferrati’ con un atto di intuizione e non sonosuscettibili di definizione (nel senso classico di definizionemediante genere e differenza specifica);

i complessi, vengono intesi come collezioni o insiemi di noteconcettuali. Ciascuna idea complessa viene concepita come uncontenitore, nel quale sono riposte tutte e sole le idee che lacompongono;

ciascuna idea componente (parte) ‘inerisce’ alla, oppure econtenuta nella, idea composta.


Arnauld e Nicole, [1662] 1981, 59

“Chiamo comprensione dell’idea gli attributi che essaracchiude e che non possono esserle tolti senza distruggerla.La comprensione dell’idea di triangolo, per esempio,racchiude estensione, figura, tre linee, tre angoli el’uguaglianza di questi tre angoli a due a due, ecc. Chiamoestensione dell’idea i soggetti ai quali quest’idea conviene,quelli che vengono anche chiamati gli ‘inferiori’ di untermine generale che, rispetto ad essi, e chiamato‘superiore’, come l’idea del triangolo in generale si estende adiverse specie di triangoli.”


Jacob Bernoulli, 1685: Parallelo tra il

ragionamento logico e quello algebrico

Esistono 2 tipi fondamentali di idee:

idee di cose;

idee di quantita.

Le idee di cose sono designate mediante parole, mentre quelle diquantita mediante lettere (algebra).Due tipi di operazioni:

somma di idee di ‘cose’ (espressa dalla congiunzione ‘et’)/somma algebrica (‘+’) per quantita;

sottrazione di idee di ‘cose’: ‘uomo - animale’ = ‘razionale’/stesso segno per quantita.




Idee come agglomerati, raccolta di concetti, designate mediantelettere;

parallelo tra operazioni: ‘et’/ ‘+’; sottrazione (‘meno’)/‘-’;

proposizioni/eguaglianzeI proposizioni affermative/eguaglianzeI proposizioni negative/ disuguaglianze;




Secondo Bernoulli, non appena la mente concepisce accordo odisaccordo tra due idee, forma una proposizione mediante le dueparticelle ‘e’ e ‘non e’, come in ‘uomo e animale’, ‘uomo non e pietra’.Bernoulli cerca di stabilire un parallelo anche tra uguaglianze eproposizioni, ma si rende conto che nel caso di una proposizioneaffermativa non si ha corrispondenza con un’uguaglianza: nel caso di‘uomo e animale’ non si ha ‘uomo = animale’.Esempio di Bernoulli: nel caso di ‘rubare e peccato’, il predicato nonesaurisce completamente il soggetto, poiche nel concetto del soggettoe incluso il peccato e “qualcosa in piu’.


B. distinge 2 tipi di predicazione

1 essenziale;

2 accidentale.

(1) e espressa mediante una relazione tra concetti; (2) richiede unaquantificazione su individui.

“[. . . ] se diciamo ‘l’uomo e peccatore’, ‘l’uomo e sapiente’,sembra che intendiamo dire che l’uomo in quanto uomo epeccatore e sapiente, cioe che il concetto di uomo include ladottrina e il peccato, il che e falso. Percio, aggiunti i segnidi universalita e particolarita, siamo soliti distribuire ilsoggetto negli individui che vi corrispondono, dicendo:‘Ogni uomo e peccatore’, ‘qualche uomo e sapiente’.”

Che ogni uomo e peccatore, significa che Pietro, Paolo e tutti gliindividui umani restanti sono infetti dal peccato, non che il concettodi peccato inerisce essenzialmente al concetto di uomo.


Concetti fondamentali

B. afferma la superiorita dell’algebra rispetto alla logica;

stabilisce un confronto fra operazioni logiche e algebriche;

considera concetti (idee) come collezioni di note concettuali, allequali corrisponde una collezione di cose o enti individuali;

concepisce la relazione che sussiste tra una parte di un concettoe l’intero concetto come una relazione di ‘inerenza’ (il concettocorrispondente al termine ‘animale’ e contenuto nel concettocorrispondente a ‘uomo’)

Arnauld: comprensione ed estensione.


Tentativi di assiomatizzazione: Fabry,

Saccheri

Honore´ Fabry (1607–1688) e Gerolamo Saccheri (1667– 1733),entrambi gesuiti mostrano la volonta di stabilire una connessione tralogica e matematica.Fabry distingue la logica, che appartiene alla filosofia, dallamatematica, che determina uno specifico dominio scientifico esubordina entrambe alla metafisica, in quanto scienza suprema. Lametafisica, infatti, indaga i principi dai quali tutte le scienzedipendono.La logica e piu generale della matematica e penetra tutte le scienze,in quanto tutte le scienze hanno bisogno di eseguire dimostrazioni diqualche sorta. Al tempo stesso, la logica si subordina all’aritmetica(necessita di trovare tutte le combinazioni).


Padre Honore Fabry SJ

Esponente autorevole della Compagnia di Gesu, entro nel noviziatoad Avignone nel 1626 e prese gli ordini nel 1635. Si occupo dimatematica, fisica e astronomia, oltre che di filosofia e teologia.Accusato di essere filo-cartesiano difese la concezione copernicana eGalileo: la seconda edizione del suo Apologeticus fu messa all’indiceed egli fu imprigionato nelle prigioni del Vaticano. Oltre che inrapporti personali con Gassendi, fu corrispondente di Descartes,Mersenne, Leibniz e molti altri filosofi e scienziati del tempo.Le disavventure con le gerarchie ecclesiastiche non gli impedirono didiventare un influente consigliere di papa Clemente IX. Matematico diun certo valore, ebbe tra i suoi allievi l’astronomo Jean-DominiqueCassini (1625-1712) e il matematico Philippe de La Hire (1640-1718).


Philosophiae Tomus primus, qui complectitur scientiarum Methodumsex Libris explicatam: Logicam Analyticam, duodecim librisdemonstratam, et aliquot controversias logicas, breviter disputatas,Auctore Petro Mosnerio Doctore Medico, cuncta excerpta expraelectionibus R. P. Hon. Fabry, Soc. Iesu, Lugduni, SumptibusIoannis Champion, in foro Cambii, 1646.


Sulle proposizioni e il tempo

“La proposizione Pietro corre, asserita nell’istante A eequivalente [aequipollens] a Pietro corre ora, cioenell’istante A: ovvero, questo predicato inerisce al soggettonell’istante A; quando pero e asserita nell’istante B, eequivalente a Pietro corre nell’istante B, e cosı non e lamedesima, dal momento che non ha il medesimo predicato.Correre nell’istante A e correre nell’istante B sono infattipredicati diversi [. . . ]”


Fabry e il primo caso a me noto di logico che pubblica una tavola diverita in un libro a stampa!!


logica naturale e arificiale

Fabry adotta una distinzione, piuttosto comune al tempo, tra

1 logica naturale

2 logica artificiale

(1) coincide con la facolta di ragionare e concerne gli usi delleinferenze nella vita quotidiana; (2) determina le regole delle inferenzevalide. (2) non considera “come la nostra mente opera”: in quantodisciplina che si propone di studiare le forme piu astratte del pensiero,puo essere assimilata all’algebra. Percio deve avere strutturaassiomatica, come la geometria. Partendo da una classificazione direlazioni basilari tra termini, sviluppa una nozione di conseguenzafondata su queste relazioni.


Saccheri Logica demonstrativa

Possiamo pensare la Logica demonstrativa come divisa in 2 parti:

Una prima, nella quale viene abbozzato un sistema assiomaticoper derivare teoremi e ricavare i modi validi della sillogisticaclassica;

Un seconda nella quale si cerca di ricavare i modi validi senzal’ausilio di un postulato assunto nella parte precedente


Assiomi + Postulato

Assiomi:

La stessa cosa non puo simultaneamente essere e non essere.Questo assioma e comune a tutte le scienze [. . . ]

Qualsiasi cosa e o non e. Anche questo assioma e comune atutte le scienze [. . . ]

Postulato:

“Viene postulato che non tutti i termini siano pertinenti persequela reciproca o ripugnanza, ma che alcuni siano terminisuperiori e inferiori, che alcuni, inoltre, siano impertinenti.Cio risulta palesemente vero; ma poiche non puo essereprovato, almeno dalla logica, per procedere scientificamentedeve essere postulato.”2

2LD, p. 22Massimo Mugnai (SNS Pisa) Gargnano, Storia della logica agosto 2013 38 / 119

relazioni fra i termini

“Se poi due termini comuni vengono comparati fra loro, si

dicono impertinenti quelli nessuno dei quali implica o esclude

l’altro, come bianco e caldo; sono detti pertinenti per

ripugnanza quelli dei quali uno esclude l’altro, come bianco e

nero; sono denominati pertinenti per sequela quei termini dei

quali uno implica l’altro, come animale e sensibile. Inoltre, tutti

i termini pertinenti per ripugnanza si escludono reciprocamente.

Se infatti bianco esclude nero, a sua volta nero escludera

bianco, altrimenti nero potrebbe stare con bianco e percio,

contro l’ipotesi, anche bianco con nero. Al contrario, tra i

termini pertinenti per sequela vi sono quelli pertinenti per

sequela reciproca e per sequela non reciproca. I termini che si

implicano reciprocamente, come animale e sensibile si dicono

pertinenti per sequela per antonomasia.”


relazioni fra i termini

“Fra quelli di cui uno solo implica l’altro, si chiama inferiore il

termine che implica e superiore il termine implicato; pertanto,

uomo sara termine inferiore e animale termine superiore, in

quanto uomo implica animale, mentre non vale il viceversa:

animale non implica uomo. Vi e anche una seconda nozione di

termine inferiore e superiore: si dice, infatti, termine superiore

quel termine che si predica di tutti quelli di cui si predica

l’inferiore e in piu di altri ancora; si dice invece inferiore quel

termine che si predica soltanto di alcuni di quelli di cui si

predica il superiore. In verita, le due nozioni date concordano;

infatti, il termine implicato e non implicante sara sempre piu

esteso rispetto al termine implicante e non implicato; e il

termine implicato e non implicante potra essere predicato di

tutti quelli di cui si predica il termine implicante e non

implicato, e inoltre di altri ancora.”


il postulato e CM

Il postulato sulla natura dei termini e i loro rapporti reciproci eindispensabile per dimostrare asserzioni negative riguardo ai modisillogistici (per dimostrare, per esempio, che nella prima figura lapremessa minore non puo essere negativa). Il ricorso al postulato,tuttavia, puo essere evitato facendo uso di un meccanismo logicopeculiare, che consente di dimostrare la verita di una determinataproposizione a partire addirittura dalla sua negazione:

“Procedero nel modo seguente. Assumero il contraddittoriodelle proposizioni da dimostrare e, a partire da esso, dedurrola tesi in maniera ostensiva e diretta.”


“Questa procedura dimostrativa la utilizzarono Euclide nellaproposizione 12 del libro 9; Teodosio nella proposizione 12del libro 1 delle Sferiche; Cardano nella proposizione 201 dellibro 5 sulle Proporzioni (Cardano fu biasimato da Clavio,nello scolio successivo alla proposizione 12 del libro 9 diEuclide, per essersi vantato di aver scoperto prima di tuttiquesto modo di dimostrare).”


Gerolamo Cardano (1501-1576), De proportionibus:

“Non ho scritto questa proposizione perche fosse di grandeimportanza, bensı per il modo della dimostrazione. Aconsiderarla attentamente, infatti, ci si rende conto che daun opposto, cioe che l’arco di cerchio e maggiore dei lati deltriangolo, mostro con una dimostrazione diretta, non conuna che porta all’assurdo, che l’arco stesso e minore dei latidel triangolo; e cio non e mai stato fatto da alcuno, anzisembra semplicemente impossibile. Ed e la cosa degna dimaggior meraviglia che sia stata scoperta dalla fondazionedel mondo, dimostrare cioe qualcosa dalla sua negazione,con una dimostrazione che non conduce a un assurdo e inmodo tale che non si possa svolgere quella dimostrazione senon ricorrendo proprio all’ipotesi che e contraria allaconclusione, come se qualcuno dimostrasse che Socrate ebianco perche e nero, e non si potesse dimostrarlo in altromodo [. . . ]”


In forma implicativa

1 (¬α→ α)→ α [CM];

2 ((α→ α) ∧ (¬α→ α))→ α [Distinzione dei casi];

3 (¬α→ (α ∧ ¬α))→ α [Assurdo]

Fabio Bellissima - Paolo Pagli, Consequentia Mirabilis. Una regolalogica tra matematica e filosofia, Firenze, Olschki, 1996.


“Se qualche sillogismo costruito in una certa maniera nonconclude correttamente, nessun altro sillogismo costruitosimilmente concludera in ragione della forma.” (Lemma)

“Di conseguenza, riterro provato sufficientemente che, peresempio, il modo IA non conclude correttamente in prima figura,se avro dimostrato che qualche sillogismo cosı costruito nonconclude correttamente nella detta figura.” (Corollario)


1 Ogni sillogismo in prima figura avente la premessa maggioreuniversale e la minore affermativa (=M) e un sillogismo valido(= P); [A(MP)]

2 Nessun sillogismo con premesse AE in prima figura [=S] e unsillogismo in prima figura avente la premessa maggiore universalee la minore affermativa (= M); [E(SM)]

3 Dunque: Nessun sillogismo con premesse AE in prima figura[=S] e un un sillogismo valido (=P); [E(SP)]

A(MP), E(SM) ` E(SP)


Stabilita la conclusione 3), si distinguono due casi:

1 Si accetta la conseguenza. Poiche 1) e 2) sono vere, dalmomento che dal falso puo seguire il vero, ma non viceversa, dalvero il falso, si ammette che anche 3) sia vera; ma 3) non e altroche l’enunciato di quanto si voleva dimostrare. Per via dellemma e del corollario si e cosı dimostrato che nessun sillogismodi prima figura con premessa minore negativa e valido.

2 Si nega la conseguenza. Si nega cioe che vi sia inferenza opassaggio logico dall’antecedente costituito dalle premesse, allaconclusione del particolare sillogismo considerato. Quest’ultimo,pero, e un’istanza di un modo di prima figura con premesse AE,dunque, per il lemma e il corollario, segue che nessun sillogismodi prima figura con premessa minore negativa e valido.


Secondo la sintetica conclusione di Saccheri:

“Pertanto, o concedi o neghi la conseguenza. Se la concedi,si e ottenuto quel che si voleva. Se la neghi, allora laconcedi [. . . ]”.


Johann Andreas Segner (Pressburg

1704 – Halle 1777

Specimen logicae universaliter demonstratae:

impiego di lettere latine maiuscole: A, B, C . . . per denotare ideeo concetti;

relazione binaria di ‘contenimento’ di un’idea nell’altra;

operazione di composizione tra idee (giustapposizione): ‘AB’

riconosce esplicitamente che la giustapposizione e idempotente:“La composizione dell’idea di un soggetto con se stessa non puoprodurre niente di nuovo;

usa ‘AxB’ per indicare che alcuni determinati A sono B e chealcuni determinati B sono A;

‘Ogni A e B’ = ‘Ogni idea che contiene l’idea A contiene l’ideaB’;

‘Qualche A e B’ = ‘Qualche idea, ecc.’Massimo Mugnai (SNS Pisa) Gargnano, Storia della logica agosto 2013 49 / 119

Johann Heinrich Lambert (1728–1777);

Daniel Bernoulli (1700–1782)

Lambert fa riferimento a una concezione intensionale analoga aquella indicata da Jacob Bernoulli e, tipicamente, incontradifficolta con le operazioni inverse (sottrazione!)

Daniel Bernoulli sviluppa una concezione estensionale e proponechiaramente una sistematica quantificazione del predicato (es.:‘Tutti gli A sono alcuni B’)


Christian Wolff (1679–1754),

Philosophia Rationalis sive Logica, 1735, 272

All’interno di una concezione della logica piuttosto tradizionale, Wolffsi pone domande generali di carattere meta-teorico, concernentiproprieta globali del sistema logica che ha elaborato:

§544. Propositio, quae demonstrari potest, vera est. [. . . ]§545. Ad verum a falso discernendum regulae logicae sufficiunt.’


Sviluppo in parallelo, a partire dal

secolo XIX (seconda meta) di due

processi:

sviluppo dell’algebra;

processo di ‘rigorizzazione’

dell’analisi.


La disputa sulla priorita

Nella seconda meta del secolo XVII si ha la scoperta del calcoloinfintesimale. Ai primi del Settecento, un’aspra disputa circa lapriorita della scoperta divampa in Europa, coinvolgendo i duescopritori, Newton e Leibniz, i quali, tuttavia, (come e stato ormaiaccertato) erano giunti indipendentemente l’uno dall’altro aimedesimi risultati. Una conseguenza della disputa saral’arroccamento della maggioranza dei matematici del Regno Unito indifesa dell’approccio analitico proposto da Newton, fondato su unaconcezione ‘geometrico-dinamica’ (cinematica) delle grandezze.


Le nozioni di flussione e di fluente erano due concetti centralidell’approccio newtoniano: ‘fluente’ indica una grandezza capace divariare con continuita, ‘flussione’ designa la velocita con cui varia lagrandezza in questione. Leibniz, per parte sua, aveva fatto ricorso aun diverso approccio, dando luogo al metodo e alla notazione tuttorain uso nel calcolo differenziale. A seguito della disputa, mentre nelRegno Unito i matematici continuavano a rimanere legati allanotazione newtoniana, sul continente (soprattutto in Francia eGermania) si diffondeva la notazione leibniziana, piu facile da usare esvincolata dall’interpretazione di tipo fisico-cinematico, propriadell’approccio di Newton. Cio aveva posto i matematici del RegnoUnito in una posizione di relativo isolamento, che si era fattaparticolarmente pesante agli inizi del secolo XIX, quando una serie diiniziative aveva dato impulso a un deciso mutamento di prospettiva.


Robert Woodhouse (1773-1827)

Insegnante di matematica a Cambridge, nei Principles of AnalyticalCalculation (1803) illustro e difese il sistema notazionale leibnizianoin analisi e pose l’accento sull’importanza delle dimostrazioni formalinel giustificare la validita dei procedimenti matematici. L’esistenza diuna dimostrazione era garantita dalla fondamentale convenzionalitadella matematica: se il sistema dei simboli con i quali opera ilmatematico sono di sua invenzione, allora non possono esserci in essone paradossi ne misteri inesplicabili. L’idea della convenzionalita dellamatematica, sottintendeva implicitamente la distinzione tra unsistema di regole e procedimenti puramente formali, da un lato, e lepossibili interpretazioni di tale sistema, dall’altro. Veniva indebolita,in tal modo, la convinzione che il sistema di regole puramenteconvenzionali, costituito dalla matematica, avesse un’interpretazione‘naturale’ privilegiata.


George Peacock (1791-1858)

Nel Treatise on Algebra (1830; seconda edizione ampliata in 2 volumi:1842-1845), si propone di fornire una sistemazione della teoria deinumeri complessi e di quelli negativi ricorrendo a una trattazionerigorosamente logica, di tipo assiomatico, che gli valse l’appellativo di‘Euclide dell’algebra’. Nel Treatise Peacock due tipi di algebra:aritmetica e simbolica. L’algebra aritmetica e una trattazione astrattadell’aritmetica, nella quale i segni di operazione indicano le medesimeoperazioni dell’algebra aritmetica, senza pero tender conto dellerestrizioni sotto le quali le operazioni sono valide nell’algebraaritmetica. Cosı, la sottrazione a − b, mentre vale nell’algebraaritmetica sotto la condizione a ≤ b, nell’algebra simbolica vale senzaquesta restrizione, e diventa percio sempre eseguibile.


Principio di permanenza

L’estensione delle operazioni dell’algebra aritmetica all’algebrasimbolica e attribuita da Peacock a quello che egli denomina principiodi permanenza delle forme equivalenti, secondo il quale in algebrasussiste una fondamentale uniformita delle operazioni,indipendentemente dal dominio di enti matematici ai quali leoperazioni sono applicate. Alla base dell’applicazione del ‘principio dipermanenza’, Peacock pone una distinzione tra l’assunzione di unaregola di operazione e la definizione dell’operazione stessa. I risultatidell’addizione e della sottrazione, per esempio, sono ottenutiprescrivendo certe regole di esecuzione delle operazioni, nonricavandoli dalla definizione delle operazioni, che per Peacock hannoil significato attribuito loro nell’algebra aritmetica.


William Rowan Hamilton (1805-1865)

Il ‘principio di permanenza’ fu ridimensionato dalla scoperta,compiuta nel 1843 da Hamilton, di un’algebra di quadruple di numeri(i ‘quaternioni’), nella quale non vale la proprieta commutativa delprodotto. Il risultato di Hamilton venne reso pubblico l’annosuccessivo, tuttavia l’idea che potesse esistere una pluralita di algebreera stata avanzata anche da Augustus De Morgan (1806-1871) nelsaggio On the Foundation of Algebra del 1843. Cio mostra che lascoperta di Hamilton si situa in un clima culturale diverso, rispetto aquello che dominava nel Regno Unito agli inizi dell’Ottocento: unclima meno chiuso e piu disposto ad accogliere contributi innovatori.


Charles Babbage (1791-1871) e John

Herschel (1792-1871)

Nel 1812 Babbage e Herschel fondano a Cambridge, con Peacock ealtri colleghi, l’Analytical Society. L’Analytical Society promosseincontri tra i soci, conferenze pubbliche e discussioni su argomenti dimatematica e si incarico della traduzione in lingua inglese (a operadegli stessi Babbage, Herschel e Peacock) del Traite du calculdifferentiel et du calcul integral (1799), un testo introduttivo delmatematico francese Sylvestre-Francois Lacroix (1763-1843). Permerito anche dell’Analytical Society, in poco meno di un ventennio,nelle universita del Regno Unito la notazione differenziale sostituıprogressivamente quella newtoniana, e intorno alla meta del secolo sipoteva affermare che i matematici europei fossero tornati a parlareuna medesima lingua.


Duncan F. Gregory (1813-1844)

Fondatore nel 1838, con Richard Ellis, del “Cambridge MathematicalJournal”. Gregory elaboro una concezione dell’algebra intesa come“la scienza che tratta della combinazione di operazioni definite nondalla loro natura, vale a dire da cio che esse sono o fanno, ma dalleleggi di combinazione alle quali le operazioni sono soggette.” Uno deipunti centrali di questa concezione era il cosiddetto “principio diseparazione dei simboli di operazione da quelli di quantita”, giaimpiegato dal matematico francese Francois- Joseph Servois(1767-1847) e da Herschel. La separazione dei simboli esprimentiquantita da quelli esprimenti operazioni consentiva una considerazioneastratta delle operazioni e delle loro proprieta, indipendentemente dalparticolare dominio di enti ai quali le operazioni si applicavano.


Duncan F. Gregory, Examples of the

Process . . . , Cambridge, 1846, 237

“Nell’algebra ordinaria ci sono numerosi teoremi i quali, bencheapparentemente provati come veri soltanto per simboli rappresentantinumeri, ammettono un’applicazione molto piu estesa. Questi teoremidipendono soltanto dalle leggi di combinazione alle quali sonosottoposti i simboli, e sono percio veri per tutti i simboli che sonosoggetti alle medesime leggi di combinazione, quale che possa esserela loro natura. Le leggi con le quali abbiamo a che fare in questo casosono poche di numero, e possono essere enunciate nella manieraseguente. Poniamo che a, b rappresentino due operazioni, e u, v duesoggetti sui quali esse operano; allora le leggi sono:

1 ab(u) = ba(u)

2 a(u + v) = a(u) + a(v)

3 am · an · u = am+n · u”


1 ab(u) = ba(u)

2 a(u + v) = a(u) + a(v)

3 am · an · u = am+n · u

La prima di queste eleggi e chiamata legge commutativa e i simboliad essa soggetti sono chiamati simboli commutativi. La seconda leggee chiamata distributiva, e i simboli ad essa soggetti sono chiamatisimboli distributivi. La terza legge e una legge di combinazione nontanto dell’operazione denotata da a, quanto piuttosto dell’operazioneeseguita su a, che e indicata dall’indice aggiunto ad a.”


George Boole (1815-1864)

Boole pubblico due testi che si riveleranno fondamentali per ilprocesso di matematizzazione della logica: The MathematicalAnalysis of Logic (1847) e The Laws of Thought (1847). La spinta acomporre il primo dei due lavori, come egli stesso ammise, gli vennedalla disputa sulla cosiddetta ‘quantificazione del predicato’ che, inquegli stessi anni, era divampata tra il matematico Augustus DeMorgan (1806-1871) e il filosofo scozzese William Hamilton(1788-1856).


George Boole (1815-1864)


Boole pubblico due testi che si riveleranno fondamentali per ilprocesso di matematizzazione della logica: The MathematicalAnalysis of Logic (1847) e The Laws of Thought (1847). La spinta acomporre il primo dei due lavori, come egli stesso ammise, gli vennedalla disputa sulla cosiddetta ‘quantificazione del predicato’ che, inquegli stessi anni, era divampata tra il matematico Augustus DeMorgan (1806-1871) e il filosofo scozzese William Hamilton(1788-1856).


La disputa riguardava chi per primo, tra De Morgan e Hamilton,avesse sostenuto, contrariamente al parere di Aristotele, che neglienunciati categorici tradizionali era legittimo esprimere la quantita delpredicato, oltre a quella del soggetto. La quantificazione delpredicato portava ad accettare come logicamente ammissibilienunciati del tipo: “Tutti gli uomini sono alcuni animali”.Nonostante che un’analoga concezione si trovasse gia in autori delpassato (Leibniz, Jungius), e anche in alcuni contemporanei (inOutline of a new System of Logic di George Bentham); e sebbenefosse evidente che De Morgan era giunto ad essa per vie indipendenti,rispetto a Hamilton, questi accuso De Morgan di plagio. Diconseguenza, in Gran Bretagna si creo un caso intorno a unaquestione di argomento logico e cio contribuı ad accrescere l’interesseper la disciplina. Da tale clima Boole ricevette lo stimolo a“riprendere il filo quasi dimenticato di precedenti indagini.” 3

3G. Boole, L’analisi matematica della logica, Milano, Boringhieri,1993, p. 3.Massimo Mugnai (SNS Pisa) Gargnano, Storia della logica agosto 2013 66 / 119

Nell’Analysis Boole distingue l’interpretazione dei simboli impiegatinel calcolo dalle leggi che, di quei medesimi simboli regolano lacombinazione; e afferma che l’interpretazione quantitiva dei simboli(mediante numeri o grandezze geometriche) non e l’unica possibile. Isimboli possono essere usati per designare in modo altrettantolegittimo operazioni logiche o concetti generali (classi di oggettiqualsiasi). Proprio siffatta peculiarita, sostiene Boole, sanzional’avvenuta evoluzione della matematica da ’scienza della quantita ascienza della qualita’. Cosı, Boole difende la tesi secondo la quale eun fatto puramente accidentale che la matematica abbia avuto fino alsuo tempo un’interpretazione meramente quantitativa.


“Il fatto che alle forme esistenti di analisi sia attribuitaun’interpretazione quantitativa e il risultato delle circostanzeda cui quelle forme sono state determinate, ma non si devefarne una condizione universale dell’analisi. Appunto sullabase di questo principio generale io mi propongo di fondareil calcolo logico e pretendo per esso un posto tra le formericonosciute di analisi matematica, indipendentemente dalfatto che, per quanto concerne il suo oggetto e i suoistrumenti, esso deve per il momento rimanere isolato.” 4


La riconduzione della logica nell’ambito di una trattazione algebricaestende la sfera delle applicazioni della matematica: il calcolo logicodiventa un particolare settore della matematica applicata.Coerentemente con questa impostazione, Boole, anche nellesuccessive Leggi del pensiero (1854), tiene distinte logica ematematica. Rispetto all’Analysis, tuttavia, sottolinea con maggiorenfasi il ruolo del linguaggio nella determinazione delle leggi logiche.


La matematica, secondo l’impostazione di The Laws of Thought,offre gli strumenti d’indagine e l’apparato simbolico per studiare leleggi logiche fondamentali, ovvero quelle che regolano le operazioni invirtu delle quali si svolge il ragionamento. In primo luogo, viene il‘ragionamento’, il naturale svolgersi dei processi razionali. Illinguaggio e l’introspezione sono i due mezzi che consentono discoprire e far venire alla luce distintamente le operazioni eseguite nelcorso del ragionamento. La struttura matematica fornisce, infine, lapossibilita di indicare con simboli alcuni processi mentali e di definireil comportamento dei simboli in base a leggi, che presiedono allosvolgersi delle operazioni mentali. La logica e percio una scienzadescrittiva: fondandosi, al pari di ogni altra scienza empirica,sull’osservazione, analizza le forme attraverso l’applicazione distrumenti matematici.


L’osservazione, tuttavia, non conduce alle leggi logiche mediantegeneralizzazione induttiva, come accade per altre scienze empiriche,come la fisica. Basta la considerazione di un solo esempio, affinchel’intelletto ricavi la legge nella sua generalita. Boole considera le leggilogiche come ‘leggi del pensiero’: esse hanno a che fare col modo incui e costituita la nostra mente. Dal momento, pero, che non sonodeterminate mediante induzione, non sono esposte al rischio di falliree cosı la loro necessita e salva. Gli errori di ragionamento sonocausati dai limiti intrinseci alle nostre capacita, sono dovutiall’applicazione delle leggi, non alla loro natura intrinseca.


D’altra parte, proprio la possibilita di dare forma matematica alle‘leggi del pensiero’ permette (se non altro, in linea di principio) unostudio astratto di logiche diverse da quella che possediamo (Boole fal’esempio di una logica a tre valori). Tali logiche sarebbero per noinon concepibili, nel senso che non potremmo immaginare qualisarebbero i procedimenti mentali di esseri che avessero la mentestrutturata in armonia con esse. Potremmo tuttavia studiarle comemeri oggetti matematici.


Boole adopera i simboli x, y, z . . . per designare i singoli atti di sceltacon i quali la mente umana seleziona da un determinato dominio dioggetti, la classe di quelli che sono x, di quelli che sono y, e cosı via.Questa capacita di formare classi e il fondamento medesimo dellalogica:

Cio che rende possibile la logica e l’esistenza, nella nostramente, di nozioni generali: la nostra capacita di concepireuna classe e designare con un nome comune gli individuiche ne sono membri. 5


Boole definisce quindi le seguenti operazioni, che si applicano aisimboli di classi:

prodotto: xy, indicante la classe degli oggetti che sono sia in xsia in y ;

somma: x + y, indicante la classe degli oggetti che sono xoppure y ma non entrambi.

La somma corrisponde all’uso esclusivo della disgiunzione e ammetteun’operazione inversa: la sottrazione, che Boole designa ricorrendo alsegno di sottrazione ‘-’. Col numero ‘1’ egli indica la totalita di tuttele cose alle quali si possono applicare gli atti di scelta (l’universo didiscorso, totalita che nell’Analysis viene assunta come fissa, mentrein The Laws of Thought (accettando un suggerimento di DeMorgan) e considerata variabile.


col simbolo 1 - x B. indica la classe di tutte le cose che non sonox, ovvero il complemento di x ;

x = y indica che le classi x e y sono uguali (sono costituite daglistessi elementi);

‘0’ designa l’atto di selezione al quale corrisponde la classe vuota.

Definiti i simboli fondamentali e le operazioni principali del calcolo(introdotta la relazione di identita), Boole fissa quindi tre leggi, cheritiene sufficienti per le basi del calcolo:


“Le leggi che abbiamo enunciato in forma simbolica,1 x(u + v) = xu + xv2 xy = yx3 xn = x

sono sufficienti per le basi del calcolo. Dalla prima di esserisulta che i simboli elettivi sono distributivi, dalla secondache sono commutativi; proprieta, queste, che posseggono incomune con i simboli di quantita, e in virtu delle quali tuttii processi dell’algebra ordinaria sono applicabili al presentesistema. Il solo assioma implicito in quest’applicazione e ilseguente: operazioni equivalenti, compiute su soggettiequivalenti, producono risultati equivalenti.La terza legge (3) la chiameremo legge degli indici. Essa etipica dei simboli elettivi e vedremo che e di grandeimportanza nel metterci in grado di ridurre i nostri risultatia forme interpretabili.” 6


La terza legge, che Boole chiama ‘legge degli indici’, e considerata lalegge caratteristica, sulla quale poggia l’intero sistema (in The Lawsof Thought la stessa legge e espressa come xx = x). La strutturaalgebrica cosı costruita e un sistema astratto, suscettibile di differentiinterpretazioni: i ‘simboli elettivi’ del sistema (le variabili) possonoessere interpretati come classi di enti qualsiasi, oppure si puo attribuirloro un valore numerico. In quest’ultimo caso, date le restrizioniimposte dalla legge degli indici, gli unici valori che possono essereimpiegati sono ‘0’ e ‘1’.


Tipico del sistema booleano e il procedimento per sviluppare unadata funzione logica f(x), f(x, y), ecc., sviluppo che Boole concepiscein analogia con la serie di Maclaurin per lo sviluppo di f(x) secondopotenze crescenti di x. L’analogia e del tutto estrinseca e ha valoremeramente euristico: data, per esempio, la funzione logica f(x,y), sesi interpretano x e y come classi, lo sviluppo da luogo a unadisgiunzione delle quattro classi che esauriscono l’universo di discorsoe che si possono descrivere affermando e negando x e y. Se invece xe y sono interpretati come enunciati, lo sviluppo da luogo a unadisgiunzione di membri che esaurisce tutti i possibili stati di verita efalsita in cui si puo trovare una coppia di enunciati:xy+x(1-y)+(1-x)y+(1-x)+(1-y) = 1.


G. Boole, Indagine sulle leggi del pensiero,

Torino, Einaudi, 1976, 101.

“a) Ai simboli che si impiegano per esprimere i dati si deveassegnare un’interpretazione ben definita, e le leggi dicombinazione di questi simboli devono essere correttamentedeterminate da tale interpretazione.b) I processi formali di soluzione o dimostrazione devonoessere condotti, dal principio alla fine, in osservanza a tuttele leggi stabilite nel modo sopra indicato, senza prendere inconsiderazione la questione dell’interpretabilita dei risultatiparticolari ottenuti.c) Il risultato finale dev’essere interpretabile formalmente, edev’essere effettivamente interpretato in accordo con quelsistema d’interpretazione che e stato impiegato peresprimere i dati.”


Gli sviluppi dell’algebra della logica:

William S. Jevons; Charles S. Peirce

William S. Jevons (1835-1882), logico ed economista, allievo di DeMorgan, nel saggio intitolato Pure Logic, or Logic of Quality apartfrom Quantity (1864), sebbene reputi eccessivamente‘matematizzante’ il punto di vista di Boole, introduce nel calcolomodifiche che ne semplificano le procedure. Due tra le modifiche piuimportanti (tra loro collegate) sono l’eliminazione dell’operazioneinversa rispetto alla somma e l’interpretazione della somma come nonesclusiva. Quest’ultima modifica permette di estendere il principio diidempotenza alla somma logica, stabilendo un’ evidente simmetria colprodotto: aa = a, a+a = a. Consente, inoltre, di derivare importantiteoremi che rendono piu agevole il calcolo, come le cosiddette leggi diassorbimento: a+(ab) = a e a(a+b) = a.


Charles Sanders Peirce (1839-1914)


Qualche anno dopo la pubblicazione della Pure Logic di Jevons,Peirce proponeva in un saggio sull’algebra di Boole (On anImprovement in Boole’s Calculus of Logic (1867)) l’adozione dellasomma logica non esclusiva e avanzava l’esigenza di ‘depurare’ ilcalcolo booleano dal ricorso a un uso non sempre motivato distrumenti e metodi dedotti dalla matematica. Tra il 1687 e i primidel Novecento, Peirce si occupo intensamente di logica, sviluppandouna trattazione algebrica dei termini relativi (termini implicantirelazioni) e individuando una nutrita serie di teoremi per il calcolodelle classi, che Ernst Schroder riprendera nelle Vorlesungen [Lezioni ].


A partire dal 1870, Peirce introduce nei saggi sul calcolo logico ilsegno ‘≺’ per indicare la relazione di inclusione tra classi. Circa diecianni dopo, impieghera il medesimo segno per indicare sia l’inclusionetra classi sia l’implicazione tra enunciati, in maniera da sviluppare,contemporaneamente al calcolo delle classi, un vero e proprio calcolodegli enunciati. A questo proposito e degno di nota il fatto che Peircefissa un insieme di assiomi per la logica enunciativa e propone divalutare gli enunciati composti attribuendo in maniera puramentecombinatoria i valori vero e falso agli enunciati componenti. Egliapplica in modo sistematico la tecnica delle ‘tavole di verita perdeterminare se certi enunciati sono logicamente validi o no. Resosiconto che, in molti casi, a causa della complessita della formula daesaminare, procedendo in modo diretto si devono affrontare calcolipiuttosto complicati da maneggiare, Peirce arriva a proporre unmeccanismo di valutazione basato sul tentativo di falsificare laformula in questione.


Data, per esempio, la formula:

(x≺y)≺{(y≺z)≺(x≺z)},

nella quale ‘≺’ va letto come un condizionale materiale, questarisultera falsa, se (x≺y) (l’antecedente) e vero e {(y≺z)≺(x≺z)} (ilconseguente) e falso. Se il conseguente e falso, allora devonoverificarsi le condizioni seguenti:

1 (y≺z) = 12 (x≺z) = 03 x = 14 z = 0.

Sostituendo i valori di ‘x’ e di ‘z’ in, rispettivamente, ‘(x≺y)’ e’(y≺z)’, si ottiene:

(1≺y) e (y≺0)

le quali, pero, “non possono esser soddisfatte entrambe”. Dunque, laformula non potendo essere falsificata, e logicamente vera.


In altri termini:

Se l’antecedente di

(x≺y)≺{(y≺z)≺(x≺z)},

e vero e il conseguente falso (per ipotesi), e vale (1≺y), alloradev’essere y = 1. Cosı, pero, poiche z = 0 in (y≺z), se{(y≺z)≺(x≺z)} dev’essere falso, y non puo essere = 1nell’antecedente. Si avrebbe, infatti: {(1≺0)≺(1≺0)} e 0≺0 e = 1,contro l’ipotesi.


Non tutti gli scritti logici di Peirce furono editi mentre questi era invita. Tra i saggi pubblicati postumi, merita di essere ricordato unbreve scritto del 1880, nel quale vengono espressi mediante un unicoconnettivo (‘ne. . . , ne. . . ’) tutti i connettivi del calcolo enunciativoclassico; un risultato analogo sara ottenuto nel 1913 da Henry M.Sheffer.7 Peirce si impegnera, inoltre, con notevole intensita nellacostruzione e nello studio di grafi per rappresentare enunciati,inferenze e operazioni logiche complesse, che ricorrono anche aquantificatori.

7Cfr. H. M. Sheffer, On a Set, etc.Massimo Mugnai (SNS Pisa) Gargnano, Storia della logica agosto 2013 86 / 119

Friedrich Wilhelm Karl Ernst

Schroder (1841-1902)


Matematico tedesco, insegnante dal 1876 al 1902 presso laTechnische Hochschule di Karlsruhe, e colui che sistema e porta acompimento l’algebra della logica del secolo XIX. I tre monumentalivolumi delle sue Vorlesungen uber die Algebra der Logik [Lezionisull’algebra della logica], furono pubblicati a Lipsia, rispettivamente,nel 1890 (calcolo delle classi), nel 1891 (calcolo enunciativo) e nel1895 (calcolo dei relativi; ma la pubblicazione di parti inedite proseguıdopo la morte dell’autore, fino al 1905). Le Vorlesungen sono unaraccolta completa dei principali risultati ottenuti dall’algebra dellalogica nei circa cinquant’anni successivi alla comparsa dell’opera diBoole.


Animato dal desiderio di conferire un solido fondamento alla fisica eall’intero ambito delle scienze della natura, Schroder vede nellalogica, e in quella che chiama ‘algebra assoluta’, intesa come unateoria generale delle connessioni, la base di tutte queste discipline. Lalogica, secondo Schroder, ha il compito di indagare le regole, la cuiapplicazione ci permette di conoscere la verita. Oggetto della logica eil pensiero in quanto ha come fine la conoscenza; l’algebra, a suavolta, ha tra i propri compiti quello di indagare le proprieta strutturalidella logica: sotto questo aspetto, la logica e una disciplinasubordinata all’algebra.


Nello scritto Uber die formalen Elemente der Absoluten Algebra[Sugli elementi formali dell’algebra assoluta] (1874), la concezionedell’algebra assoluta di Schroder risente dell’influenza che su di luiaveva esercitato la prospettiva combinatoria avanzata da CarlFriedrich Hindenburg (1741-1808). Altri autori che ebbero un ruoloimportante nella formazione delle idee di Schroder furono MartinOhm (1792-1872) e i fratelli Grassmann: Hermann Gunther(1809-1877) e Robert (1815-1901).


Ohm

Ohm, nel primo volume del Versuch eines vollkommen consequentenSystems der Mathematik [Ipotesi per un sistema matematicoperfettamente coerente] (1822) aveva distinto, come fara in seguitoBoole, l’aspetto quantitativo da quello qualitativo della matematica,e aveva impiegato nel calcolo simboli che designavano operazionimentali. Inoltre, nella seconda parte del saggio Der Geist dermathematischen Analysis [Lo spirito dell’analisi matematica] (1862),aveva legato strettamente l’analisi matematica alla logica,presentando l’attivita di calcolo come fondata non su grandezze onumeri, bensı su ‘forme’, ovvero su operazioni.


Grassmann

Schroder aveva stretti rapporti personali con Hermann Grassmann edera familiare con le prospettive filosofiche e con i risultati presenti sianell’Ausdehnungslehre [Teoria dell’estensione] (1862), sia nelLehrbuch der Arithmetik [Manuale di aritmetica] (1861), scritto incollaborazione col fratello Robert. In Hermann Grassmann, Schrodertrovava una distinzione delle scienze in ‘reali’, concernenti l’essere, e‘formali’, che studiano i principi generali del pensiero; e trovava unateoria astratta delle connessioni delle loro proprieta. AttraversoRobert Grassmann, Schroder veniva a contatto con un vasto eambizioso progetto per la costruzione di una dottrina del pensiero,capace di determinare le leggi, o forme, del ragionamento scientificoche rimangono identiche per tutti gli uomini. Nel tentativo direalizzare questo progetto, Robert Grassmann aveva costruito, per viedel tutto indipendenti, un sistema logico affine a quello booleano.


Schroder

Nel primo volume delle Vorlesungen, Schroder sviluppa il calcolo delleclassi sulla base della relazione di ‘sussunzione’ (inclusione). Date dueclassi a e b, ‘a=(=b’ significa: la classe a e sussunta o e identica allaclasse b. Della relazione di ‘sussunzione’ fissa quindi le proprietacaratteristiche:

a=(=a

Se a=(=b e b=(=c , allora a=(=c

Se a=(=b e b=(=a, allora a=b


Sulla base della ‘sussunzione’, dopo aver definito il significato deisimboli ‘1’ (l’universo) e ‘0’ (la classe vuota), Schroder introduce lanegazione di una classe, mediante un apice in basso a destra daaggiungere al simbolo della classe da negare; per cui, la negazione diuna classe qualsiasi a viene rappresentata come a|. Schroderdetermina, quindi, i seguenti rapporti tra 0, 1 e la negazione:

aa|=(=0

a+a|=(=1


Indipendentemente dall’inclusione, Schroder introduce le operazioni diprodotto e di somma, che rappresenta, rispettivamente, con lagiustapposizione di lettere e col segno ‘+’, descrivendone, quindi, leproprieta caratterizzanti:ab = ba a + b = b + aa(bc) = (ab)c a + (b + c) = (a + b) + ca(b + c) = ab + ac a + (bc) = (a + b)(a + c)


Un’importante risultato ottenuto da Schroder e l’aver posto inevidenza il carattere duale delle operazioni di prodotto e di sommalogica. Date due formule f e g, nelle quali le sole operazioni checompaiono sono la somma, il prodotto logico e la negazione, se inentrambe si scambiano tra loro simultaneamente le occorrenze delprodotto con quelle della somma, si ottengono due formule f’ e g’,che sono ‘duali’ rispetto a f e g. Nel caso che f implichi g, f’ (ilduale di f ) implica g’ (il duale di g), ecc. Le cosiddette ‘leggi di DeMorgan’ che , come abbiamo visto, erano note fin dal medioevo, sonoun tipico esempio di comportamento duale di congiunzione edisgiunzione: ‘non(p e q)’ equivale a ‘non-p o non-q’; ‘non(p o q)’equivale a ‘non-p e non-q’ (per ‘p’ e ‘q’ enunciati qualsiasi).


All’algebra delle relazioni Schroder attribuisce un ruolo fondante inrapporto alla costituzione di una lingua universale (‘pasigrafia’),mutuato direttamente da Leibniz. Per costruire una lingua scientificache fosse al di sopra delle peculiarita linguistiche nazionali, Schroderriteneva necessaria la costruzione di una ‘filosofia esatta’, che avrebbedovuto avere come momento essenziale lo studio dei relativi. Nelterzo volume delle Vorlesungen, Schroder introduce le operazioni sullerelazioni e ne studia le proprieta piu rilevanti.


L’inserimento della dottrina delle relazioni nel programma per lacostruzione della lingua universale fa sı, tuttavia, che Schroder abbiascarso interesse per la definizione di una struttura assiomatica per ilcalcolo dei relativi. Di conseguenza, l’opera di Schroder soffre, sottoquesto punto di vista, di scarsa selettivita: come osservera Peirce,Schroder deriva una gran quantita di teoremi e svolge complessedimostrazioni, senza un criterio che ne specifichi l’importanza e ireciproci rapporti all’interno del sistema.


Altre figure di rilievo nel panorama degli algebristi della logica delsecondo Ottocento, sono John Venn (1834-1923) e Hugh McColl(1837-1909). Venn, insegnante di logica e scienze morali pressol’Universita di Cambridge, propose una tecnica di utilizzo didiagrammi che, estendendo i metodi di Euler, permette di ottenereuna rappresentazione geometrica delle relazioni tra le classi e tra glienunciati. Nella Symbolic Logic (1881) egli fornı, inoltre,un’interessante traccia storica degli sviluppi della logica fino allaseconda meta dell’Ottocento. McColl, laureatosi presso l’Universitadi Londra, insegno per lungo tempo in una scuola francese aBoulogne-sur-Mer. Riteneva che la logica dovesse trovare il propriofondamento nella teoria degli enunciati, piuttosto che nella teoriadelle classi e, a partire dalla fine degli anni Settanta, sviluppo unsistema logico nel quale teorizzava il ricorso a un condizionale diversodall’usuale condizionale ‘filoniano’ o ‘materiale’.


Se si prendono in esame gli scritti logici di Leibniz e i suoi progettiper la costruzione dell’arte caratteristica universale, e facile rendersiconto che in essi coesistono due modi diversi di concepire la logica.Da un lato si ha una prospettiva di tipo combinatorio, per cui, datoun insieme di simboli, si procede a ‘manipolarli’ mediante operazioniben definite, avendo di mira fondamentalmente il risultato finale, inevidente affinita col punto di vista algebrico; dall’altro, ci si imbattecontinuamente nella dichiarazione secondo la quale in unadimostrazione tutto deve essere specificato nei minimi dettagli inmodo rigoroso, senza salti e senza affidarsi a espressioni delle qualinon si controlla il significato.


Ciascuna di queste prospettive sottintende un differente rapporto tralogica e matematica: la prima implica un assorbimento della logicanella matematica, la seconda, attraverso il concetto di dimostrazionerigorosa, conferisce una preminenza alla logica rispetto allamatematica. Nel momento in cui, nella seconda meta dell’Ottocento,il sogno leibniziano di ‘matematizzare’ la logica viene realizzato, ecome se questi due differenti punti di vista assumessero vita propria,concretizzandosi in due distinti progetti, che sono portati avanti,rispettivamente, da George Boole e da Gottlob Frege (1848-1925).


Per Boole, anche se l’ultima opera che stava progettando, rimastainedita allo stadio di abbozzo, testimonia il desiderio di esprimere inlinguaggio ordinario, non matematico, i risultati delle proprie ricerche,la logica va considerata come un ramo della matematica applicata;per Frege, la matematica (l’aritmetica e tutte le parti dellamatematica che si mostrino riducibili all’aritmetica) non e altro, inultima analisi, che una struttura originata dallo sviluppo, mediantedefinizioni e teoremi, da nozioni e principi logici fondamentali. Sel’opera di Boole matura e si sviluppa all’interno della tradizionealgebrica del Regno Unito, l’opera di Frege si situa al puntoculminante di quel processo noto come ‘aritmetizzazione dell’analisi’,che matura sul continente, soprattutto in Germania.


Nel 1797, con la pubblicazione della Theorie des functions analytiquescontenant le principes du calcul differentiel [Teoria delle funzionianalitiche, contenente i principi del calcolo differenziale], JosephLouis Lagrange (1736-1813) si aveva un primo tentativo di rendererigorose le basi del calcolo e di sistemare in modo organico i principidell’analisi. Sebbene da questo punto di vista non comportasserisultati definitivi, l’opera di Lagrange aveva il merito di cercare diconnettere gli sviluppi dell’analisi matematica con i fondamenti daiquali era stata generata e di far valere una forte esigenza di chiarezzarelativamente a tali fondamenti.


Agli inizi dell’Ottocento, il decisivo affermarsi, in matematica, di unpiu elevato livello di rigore e il consolidarsi di un atteggiamento didiffidenza nei confronti del ricorso all’intuizione, condizionano inmaniera decisiva l’indagine relativa ai concetti fondamentalidell’analisi. Testimonianza del diffondersi di questo atteggiamentosono le opere di Karl Friedrich Gauss (1777-1855), del norvegeseNiels Henrik Abel (1802-1829) e del francese Augustin-Louis Cauchy(1789-1857), che, nel 1821 col Cours d’analyse tenta di elaborare unateoria generale dei limiti..


Da un lato, pero, la costruzione di Cauchy si fonda su una nozione, incerto senso, ‘intuitiva’ del sistema dei numeri reali, dall’altro, propriola mancanza di un’accurata indagine di tale sistema fa sı che, inrelazione al concetto stesso di limite, si insinui un vizio di circolarita.Come osservera in seguito Karl Weierstrass (1815-1897), Cauchyaveva fatto ricorso alla nozione di limite per definire il concetto dinumero irrazionale, senza rendersi conto che, a sua volta, la nozionedi limite presuppone logicamente proprio quel concetto. Nellaseconda meta dell’Ottocento, a circa trent’anni dalla pubblicazionedel Cours d’analyse, sara lo stesso Weierstrass ad avviare,sviluppando i risultati del matematico francese, un programma dirigorizzazione dell’analisi, che si concludera con i lavori di GeorgCantor (1845-1918) e di Richard Dedekind (1831-1916).


Gia nel 1859, quando, presso l’Universita di Berlino, teneva le lezionisulla teoria delle funzioni, Weierstrass sottolinea con particolare forzala distinzione fra momento della scoperta e momento dellagiustificazione. Al ricercatore, egli sostiene, e consentito batterequalsiasi strada; ma quando e in gioco la giustificazione razionale deirisultati ottenuti, allora si deve percorrere l’unica via della fondazionesistematica della teoria. Sulla base di questa assunzioneprogrammatica, il progetto di Weierstrass acquista una fisionomiaprecisa. Rifacendosi all’opera di Cauchy, Weierstrass ne mette inrilievo la circolarita richiamata sopra, libera l’introduzione dei numeriirrazionali dal riferimento alla geometria e li definisce come aggregatidi numeri razionali.


L’indagine relativa ai fondamenti dell’analisi si configura quindi comela fase conclusiva di un processo di rigorizzazione e strutturazione delsistema dei numeri che era stato avviato tra la fine del Settecento e iprimi dell’Ottocento con l’interpretazione geometrica dei numericomplessi, e che aveva raggiunto un primo traguardo nel 1843 con lariconduzione dei numeri complessi ai reali ad opera di William RowanHamilton. Con la riconduzione della teoria dei numeri reali a quelladei razionali (e quindi, implicitamente, a quella dei naturali) operatasimultaneamente da Cantor e Dedekind nel 1872, il programma diaritmetizzazione dell’analisi poteva considerarsi realizzato.


Il trattamento sistematico della teoria delle funzioni aveva indottoWeierstrass a svolgere un approfondito esame della struttura deinumeri reali. Sulla traccia indicata da Weierstrass, e soprattuttoappellandosi alla medesima esigenza di rigore logico che animavaquest’ultimo, Cantor e Dedekind avevano elaborato, da prospettivedifferenti, una fondazione teorica definitiva dei numeri reali,mostrando come il progetto di costruire la matematica sulla base dialcune nozioni fondamentali dell’aritmetica potesse effettivamenterealizzarsi.


Soltanto facendo riferimento a questo peculiare sviluppo dellamatematica, le concezioni logiche di Frege possono ricevere una luceadeguata e divenire comprensibili nella loro genesi storica. Inserendosinel processo di rigorizzazione dell’analisi avviato da Weierstrass,Frege concepisce un programma di riduzione ancor piu radicale:definire i concetti dell’aritmetica in termini meramente logici ericondurre quindi le proposizioni aritmetiche a un certo numero diassiomi o proposizioni primitive della logica, facendo uso dideterminate regole di inferenza. L’immagine della matematica checorrisponde a siffatta concezione e quella di un edificio avente perbase l’aritmetica. Nella misura in cui le parti ‘superiori’ dellacostruzione possono venir ricondotte al loro fondamento, una voltache quest’ultimo si sia rivelato risolubile in assiomi e definizionilogiche, si e mostrato che l’intera matematica (a eccezione dellageometria, che per Frege, come per Kant, e il dominio dei giudizisintetici a priori, non sia altro che logica applicata.


Come compito prioritario per l’attuazione di tale progetto, Fregeindica la costruzione di uno strumento linguistico che consenta diesprimere in una notazione non equivoca le varie fasi delladimostrazione matematica. Il modello che tiene presente e l’arscharacteristica universalis, della quale, pero, contesta, sia pureparzialmente, la pretesa universalistica. Limitando il proprio compitoalla costruzione di un linguaggio artificiale per la matematica, Frege,rispetto al programma leibniziano, restringe l’ambito dell’artecaratteristica; al tempo stesso, tuttavia, non manca di rilevare ilcarattere centrale della matematica, rispetto ai domini particolaridelle altre scienze, e auspica, proprio sulla base della ‘centralita’ cheassumerebbe un linguaggio artificiale per la matematica, unsuperamento delle divisioni che sussistono tra i linguaggi artificialidelle rimanenti discipline.


Con il suo primo scritto di logica: Begriffsschrift. Eine derarithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens[Ideografia. Un linguaggio in formule, modellato su quellodell’aritmetica, per il pensiero puro], edito nel 1879, Frege traccia lelinee fondamentali di tale linguaggio, costruendo, sulla base di unanotazione simbolica chiara, anche se all’apparenza bizzarra, unsistema formale rigoroso, composto essenzialmente da una serie diproposizioni che sono assunte come primitive (assiomi) e da regoleben specificate per derivare nuove proposizioni da quelle primitive.


Principali risultati raggiunti da Frege nella Begriffsschrift:

Riunificazione sistematica, su un’unica base, della logica deglienunciati promossa dagli stoici e della logica dellaquantificazione avviata da Aristotele.

Sostituzione dell’analisi dell’enunciato in termini disoggetto-predicato con l’analisi funzione-argomento.

Costituzione (per la prima volta nella storia della logica) di unateoria coerente della quantificazione.

Definizione (conseguente ai risultati menzionati nei due puntiprecedenti) di uno strumentario adeguato per la trattazione dellalogica delle relazioni, anche nel caso di quantificatori mescolati arelazioni e nel caso di quantificatori ‘intrecciati’ tra loro.

Presentazione di un sistema assiomatico di logica completo econsistente, comprensivo della logica enunciativa, della logicaquantificata e della logica quantificata con identita.


I Principia Mathematica

I tre volumi dei Principia Mathematica di Bertrand Russell e AlfredNorth Whitehead costituiscono un punto di svolta nella storia dellalogica: pubblicati negli anni compresi tra il 1910 e il 1913, raccolgonoe sistematizzano i principali risultati ottenuti nella disciplina a partiredalla seconda meta dell’Ottocento.


Bertrand Russell, 1872-1970


Alfred North Whitehead, 1961-1947


Semplificando in modo radicale, potremmo guardare ai Principiacome a un’opera di sintesi ottenuta mettendo insieme

la Begriffsschrift di Frege (senza la quantificazione su funzioni,cioe senza il second’ordine);

il linguaggio formale proposto da Peano;

importanti innovazioni introdotte dalla tradizione algebrica sortacon Boole, De Morgan e Peirce (l’elaborazione di una logicadelle relazioni, per esempio);

la teoria degli insiemi come era stata sviluppata fino ad allora daGeorg Cantor.


Whitehead-Russell, 1977, p. 11

Nella prefazione ai Principia, Russell e Whitehead riassumono neitermini seguenti il loro debito nei confronti della tradizioneprecedente:

“In fatto di notazione, abbiamo seguito quanto piu possibile

Peano, integrando la sua notazione, ove cio si rendeva

necessario, con quella di Frege o con quella di Schroder. Gran

parte del simbolismo, tuttavia, si e dovuto crearla ex novo, e cio

non tanto perche fossimo insoddisfatti del simbolismo altrui,

quanto perche avevamo a che fare con idee mai prima trasposte

in simboli. In tutte le questioni di analisi logica, il nostro debito

principale e con Frege.”

Poco oltre, i due autori riconoscono che, per quel che riguardal’aritmetica e la “teoria delle serie”, la loro opera “si fonda su quelladi Georg Cantor.”


Per cio che concerne gli argomenti strettamente logici, sempre inun’ottica semplificatrice, si puo dire che Russell e Whitehead operinoin tre direzioni fondamentali: a) depurano e rendono accessibili lescoperte di Frege, esprimendole in un linguaggio piu facile a leggersirispetto a quello fregeano; b) rendono esplicito il senso e lemotivazioni di siffatte scoperte; c) integrano i risultati di Frege in uncontesto piu ampio, saldandoli a un vasto insieme di altri contributi,in modo da dar forma a un corpo dottrinale unitario e organico. Inparticolare, a chi li assumera come oggetto di studio, i Principia

1 consentiranno di mettere a fuoco in maniera chiara la distinzionetra logica degli enunciati e logica della quantificazione o deipredicati;

2 forniranno una caratterizzazione precisa della struttura di unsistema formale, permettendo lo sviluppo di indagini cheverteranno sulle proprieta globali di siffatti sistemi.


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