g financiera victor

Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 1 1

SESIÓN 1

CONCEPTOS FINANCIEROS

EL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

EVALUACIÓN FINANCIERA DE PROYECTOS

Un Sol hoy vale más que un Sol mañana


Introducción: ¿de qué trata las Finanzas?

Línea de tiempo

Definición de valor del dinero

Diagrama de flujo de caja

Costo del dinero: Definición del interés

Interés Simple

Valor presente

Valor futuro

Ejercicios

AGENDA

Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 1

3

Finanzas

Interés Flujos

Valor presente

Valor futuro

Flujos equivalentes

Anualidades

Deuda

Valor Actual Neto

Tasa Interna de Retorno

Flujos de caja

Valor del dinero en el tiempo

Tasas de interés

¿De qué trata las Finanzas?

Todo dinero tiene un precio y ese precio es el

interés.

En que invertir y como financiarlo…esa es la finalidad de las finanzas



El supuesto básico es que el dinero aumenta su valor en el tiempo

Esto significa que una cantidad determinada que se recibirá en el futuro, vale menos que esa misma cantidad en el presente

Por ejemplo:

S/. 1 hoy día vale más que ese mismo S/. 1 mañana…¿Por qué?

Porque todo dinero tiene un precio y ese precio es el interés.

Pregunta:

¿Tendrá que ver en esto la Inflación? … ¿Si no hubiese Inflación también

valdría menos el dinero futuro que el presente?


Como cualquier precio, la Tasa de Interés depende de la Oferta y la Demanda.

En esto influyen principalmente 2 factores:


Preferencia por el consumo presente

Oportunidades de Inversión

Valor del Dinero en el Tiempo (VDT)

Fuentes del Valor del

Dinero en el Tiempo



Diferentes Perspectivas sobre la Tasa de Interés

ACREEDOR (Ahorrador -

Inversionista)

DEUDOR (Emisor)

Tasa de Interés Pasiva

Rendimiento

Tasa de Interés Activa

Costo de Capital

Perspectiva del Ahorrador: Tasa de Interés Pasiva. Es el Interés

que le paga el Banco por sus ahorros.

Perspectiva del Deudor: Tasa de Interés Activa. Es el Interés que

le cobra el Banco por el uso de sus fondos. También se le llama

Costo de Capital.


Herramienta que permite el análisis del valor del dinero en el tiempo.

Permite visualizar gráficamente lo que sucede en un caso particular para

plantear la solución a un problema planteado.

Por ejemplo:

0 1 2 3 4 Un año dividido en trimestres

0 1 2 3 4 Un año dividido en bimestres

5 6

0 1 2 Un año dividido en semestres

Línea de Tiempo

En general:

Un año dividido en “n” periodos 0 1

… n

Periodo


Ejemplo 01

Un año dividido en semestres.

0 1 2

El momento

cero “0” es hoy.

Es el inicio del

periodo de

evaluación o

análisis

El momento 1

señala el término

del primer

semestre y el

inicio del

segundo

semestre

El momento 2

señala el término del

segundo semestre y el

término del horizonte

de análisis

de 1 año

•1 semestre

•1er periodo

Línea de Tiempo


Una persona recibe a fin de año un ingreso extra de S/.10,000. Sobre ello,

no sabe si consumir todo lo que a recibido en el momento o solo consumir

una parte y ahorrar la diferencia.

¿Cuánto consumirá en el presente y cuanto en el futuro?

¿De que dependerá que ahorre hoy y postergue su consumo para el futuro?

S/.

S/.

S/.

S/.

S/.

S/.

S/.

S/.

S/.10,000

S/.10,500

S/.

S/. S/.

S/.

C A

S/.

S/. S/.

S/.

C A

Alternativa 1 Alternativa 2

S/.

Elige la alternativa 1

0 1 año

Ahorro = Consumo pospuesto

Las empresas no mueren de infarto, se desangran, por lo general por falta de liquidez (de caja).

Valor de Dinero en el Tiempo


Valor de Dinero en el Tiempo

S/.

S/.

S/.

S/.

S/.

S/. S/.

S/.

S/.10,000 S/.5,000 S/.

S/. S/.

S/.

C A

S/.

S/. S/.

S/.

C A

Alternativa 1 Alternativa 2

S/.

Elige la alternativa 2

0 1 año

Ahorro: Consumo pospuesto S/.5,250

El valor del dinero en el tiempo, expresa que una agente

(empresa o persona) prefiere el consumo presente al

consumo futuro.

Por esa razón, el escenario de elección de la alternativa 2 es siempre

el más probable.


Flujos de efectivo positivos son ingresos para

la empresa.

• Flujo de ingresos

• Ingresos por operaciones

• Prestamos bancarios

• Cobros a clientes, etc.

Flujos de efectivo negativo son egresos para

la empresa.

• Flujo de egresos

• Inversiones

• Pago de intereses y servicio de deuda, etc.

Ejemplo. Un año dividido en semestres.

ENCIMA DE LA LÍNEA

•Flujo de ingresos

•Recepción de ingresos

•Desembolsos de deuda

DEBAJO DE LA LÍNEA

•Flujo de egresos

•Inversiones

•Cuotas de una deuda

Flujo de Caja: Todo lo que entra versus todo lo que sale

Diagrama de Flujo de Caja


Ejemplo 02

Industrias del Envase S.A. efectuará una inversión de S/.100 mil para el

Proyecto de construcción de una planta. Las operaciones en la nueva

planta le permitirán a la empresa recibir ingresos netos en un lapso de 5

años, al finalizar cada año, de S/.20, S/.35, S/.45, S/.50, S/.50 mil

respectivamente.

0 1 2 3 4 5

-100,000

20,000 35,000 45,000 50,500 50,000

Años


Flujo de Caja

para el Proyecto

¿Podemos afirmar que la Inversión se

recupera al final del 3er año?

¿Podemos sumar flujos de periodos distintos?

Se trata de un Flujo

de Caja Típico



Ejemplo 03

Juan le pide 1,000 soles prestado a María y se compromete a pagar 200 soles

cada mes durante 6 meses. Construya el flujo de caja para Juan y María.

1,000

0 1 2 3 4 5 6

200 200 200 200 200 200

JUAN

0

1 2 3 4 5 6

1,000

200 200 200 200 200 200

MARÍA

Tenga presente que,

lo que es Ingreso

para uno de ellos es

Egreso para el otro y

viceversa.



Otra forma de presentar los Diagramas de Flujo es mediante el uso de la Hoja

de Cálculo Excel.

Periodo 0 1 2 3 4 5 6

Monto 1,000 -200 -200 -200 -200 -200 -200

Periodo 0 1 2 3 4 5 6

Monto -1,000 200 200 200 200 200 200

JUAN

MARÍA


Interés

• Interés es el pago que se hace al propietario del capital por el uso del dinero.

• El pago de interés siempre está asociado a un periodo de tiempo.

• El interés puede ser visto como un rendimiento cuando:

• Se invierte dinero.

• Se consigue o se otorga algún préstamo.

• Se compran bienes o servicios para su explotación con dinero de terceros.

– En el empleo del interés se tienen las siguientes notaciones:

• Tasa de interés : i

• Monto inicial : P

• Intereses (para un periodo) : I = P*i

• Monto Final (para un periodo) : F = P + I = P + P*i = P*(1+i)


F = P*(1+i)

Interés Simple

La expresión anterior para el calculo del Interés y con ello del valor al final

de un periodo se conoce como Interés Simple.

En el Interés Simple, el Interés se calcula siempre tomando como base el

Valor Inicial (P). Así en cada periodo el monto del Interés es siempre el mismo.

En el Interés Simple, el Interés generado en un periodo NO se

suma al capital anterior.

El monto del Interés generado en “n” periodos, será “n” multiplicado por el

monto del interés generado en un periodo. Por lo tanto, el Monto Final (F)

luego de “n” periodos será:

F = P*(1+ni)

El interés se calcula sobre el capital. Los intereses que se van ganando NO se

acumulan como parte del capital. El capital permanece constante y el interés

ganado se acumula al término de la operación.

17

0 1 2

P P P

P*i P*i

P*i

n . . .

. . .

P

P*i

P*i

P*i . . . n

Interés Simple


Interés de 1 periodo


Interés Simple

Periodos

Val

or

Futu

ro

P

1 2 3 4

F

Valor Futuro luego de 4 periodos

Valor Presente

Interés de los 4 periodos

La Gráfica del Interés Simple, se parece a una escalera de escalones

iguales, donde la altura de cada escalón representa el Monto del Interés

ganado en el periodo.

Si la Tasa de Interés es

más alta, más alto es

el escalón.

Interés simple Ejemplo

0 1 2

1,000 1,000 100

1,000 100 100

1 2

1,200

P = 1000

Interés 1 = 1000*10% = 100

Interés 2 = 1000*10% = 100

MF = P + Interés 1 + Interés 2

MF = 1000 + 1000*10% + 1000*10%

MF = 1000 + 100 + 100

MF = 1200

Gerardo deposita $1000 en una cuenta de ahorro a un 10% de interés anual simple

por un plazo de 2 años. ¿Cuánto tendrá al final de los 2 años?

19

0

1,000

¿Cuál es la tasa de interés que ganó en los 2 años? Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 1


Ejemplo 03

Deposito en cuenta de ahorro

Alejandro López ha depositado en el Banco de Crédito del Perú (BCP) la

suma de S/.10 mil. El BCP le ha ofrecido pagarle por su depósito, una tasa

anual de 5% en moneda nacional. ¿Cuánto recibirá al cabo de 1 año?

Interés Simple

P = 10,000

I = P*i

I = 10,000*5% = (10,000)*(0.05)

I = 500 (Monto de Interés generado en 1 año)

0

-10,000

5%

1 Año

¿ F ?

Luego:

F = P + I

F = 10,000 + 500

F = 10,500 1


Ejemplo 04

Deposito en cuenta de ahorro

Alejandro López ha depositado en el Banco Continental de Trujillo un monto

de S/.20 mil. Al cabo de 1 año retiró su dinero obteniendo S/.20.8 mil. ¿Cuál

es la tasa interés anual que pagó el Banco Continental a Alejandro?

Interés Simple

P = 20,000

F = 20,800

i = ¿?

0 1

-20,000

¿ i% ?

20,800

F = P*(1+ni)

De la fórmula del Interés Simple tenemos:

%4

)000,20)(1(

)000,20800,20(

*

)(

i

i

Pn

PFi


Ejemplo 05

Interés Simple

Una persona invierte $10,000 en un fondo de inversiones. El fondo garantiza un

rendimiento mensual de 3%. Si la persona retira su dinero después de 20 días,

¿cuánto recibe?

En este caso lo que se debe resaltar es

que la tasa dada es mensual (30 días) y el

Plazo de 20 días (2/3 mes). Lo primero

que debemos hacer es uniformizar

escalas.

Bien la Tasa la expresamos en días o el

Plazo lo expresamos en meses.

1ra Forma: Expresamos la Tasa en días.

3% -------------- 30días X% --------------- 1 día

Regla de tres

simple

X = 0.1%

Esta es la Tasa de Interés por día

Luego:


mesesX3

2

Interés Simple

2da Forma: Expresamos el Plazo en meses.

1 mes -------------- 30días X meses -------------- 20 días

200,10

%))1.0)(20(1)(000,10(

)1(*

F

F

niPF

Luego:

200,10

%))3)(3

2(1)(000,10(

)1(*

F

F

niPF

Ambos métodos nos llevan al mismo resultado.

Sin embargo, es importante resaltar que esta

equivalencia solo ocurre si la forma de cálculo

es mediante el Interés Simple.

Para el Interés compuesto solo se debe

proceder con el primer método.


Interés Simple

Ejemplo 06

Para recibir $1,000 hoy, Daniel firma un pagaré por $1,200 que vence dentro de

6 meses. ¿Cuál es la Tasa Anual de Interés Simple en este pagaré?

En este caso lo que tenemos

como información son los

Valores presente (P) y futuro (F).

Asimismo el plazo es de 6

meses.

Pero, tenga presente que se

pide la Tasa Anual, no la Tasa

Semestral.

Al igual que en el caso anterior,

primero debemos uniformizar escalas.

Bien podemos trabajar directamente en

años o bien en semestres.

Como se pide la Tasa Anual, es mejor la

primera alternativa.

%404.0

)*5.01)(000,1(200,1

)1(*

i

i

niPF

Esta es la Tasa Anual

Existen situaciones en las que recibiremos cantidades o valores en el

futuro y deseamos conocer su equivalencia hoy. Por ejemplo.

25

Se es propietario de una casa la

cual se alquila, con ello sabemos

que por un periodo de tiempo

recibiremos determinados flujos.

Futuro Hoy

S/.

BONO

Compramos un bono emitido por

una empresa que promete pagar un

monto dado a su vencimiento.

Iniciamos un negocio y

pronosticamos un flujo de caja a

futuro.

Hoy Futuro

S/. S/. S/.

. . .

Hoy Futuro

S/. S/. S/.

. . .

Valor Actual

25 Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 1

http://www.sagafalabella.com.pe/catprodpr/CMRCORP/logica/jsp/CMRCORPFFLogin.jsp?PAGINA=CATPROD02&PAIS=PE

En las situaciones mencionadas conocemos que

recibiremos determinadas cantidades. Es decir

se tienen flujos futuros conocidos o estimados.

26

El responder ambas preguntas estamos buscando saber

cual es el valor, en este momento , de los flujos o

cantidades que recibiremos en el futuro. Nos estamos

refiriendo al VALOR ACTUAL del flujo futuro o de los

flujos futuros.

Cabe preguntarse: si tuviera la oportunidad de

cambiar los flujos futuros por una cantidad en este

momento, es decir, hoy:

i. ¿Cómo determinaría dicha cantidad?

ii. ¿A cuánto ascendería dicha cantidad?

Flujos

Futuros

Conocidos Estimados

HOY

¿Cómo?

¿Cuánto?

Flujos

Futuros

VALOR

ACTUAL

Flujos

Futuros

Valor Actual



Valor Actual

El cálculo del Valor Actual, es un procedimiento inverso del cálculo del Valor

Futuro. Así, si procedemos mediante el Interés simple sería:

)1(* niPF

)1( ni

FP

Ejemplo 07

¿Cuál es el Valor Presente de $ 3,000 que se recibirán dentro de 18 meses,

con un Interés Simple de 50% anual?


Valor Actual

Aplicando la Ecuación para el valor

Presente:

)1( ni

FP

28.714,1

%))50)(5.1(1(

000,3

P

P

Primero debemos uniformizar escalas.

Como el plazo es de 18 meses y tenemos

la Tasa Anual, el plazo equivale a 1.5

años.

Esto significa que $1,714.28 hoy,

colocado a una Tasa de 50% anual, se

convierten (rinde) en $3,000 en 18

meses.

Por eso a esta Tasa también se le conoce

como Tasa de Rendimiento (iR)

Ahora, una pregunta interesante es

¿cuál deberá ser la Tasa Anual a la que se

debe descontar $3,000 para que en 18

meses se obtenga el Valor Presente de

$1714.28?

A esto se le denomina: Tasa de

Descuento (iD)


Valor Actual

Para el cálculo de la Tasa de

Descuento (iD) usamos la siguiente

relación:

)1( ii

iR

R

D n

Esto significa que $3,000 descontados

durante 18 meses a la Tasa Anual del

28.57% , tiene un Valor Presente de

$1,714.28

Existe una Ecuación que permite

relacionar la Tasa de Rendimiento (iR)

y la Tasa de Descuento (iD) :

%57.282857.0

)))(5.1(1(*000,328.714,1

)1(*

i

i

i

D

D

DnFP

)1( ii

iD

D

R n

o también:

Veamos en nuestro ejemplo:

2857.0))5.0)(5.1(1(

5.0

iD


Ejemplo 08

Un certificado de depósito a 270 días con el valor inicial de $100 produce

una tasa de interés simple de 32% anual. Después de 90 días se vende el

documento, cuando la tasa de interés para este tipo de documentos ha

bajado a 27%.

a.- ¿A qué precio debe venderse el certificado después de 90

días?

b.- ¿Qué rendimiento (anual) obtuvo el dueño del certificado

durante los 90 días de su tenencia?


Datos:

P= $100

I = 32% = 0.32

n = 270 días = 0.75 años

Primero debemos determinar el

Valor Futuro del Certificado luego de

270 días:

124

%))32)(75.0(1(*100

)1(*

F

F

niPF

Ahora, en una Línea de Tiempo,

representemos el caso señalado:

0 90

180 270

100

124

X

X: Es el Valor del Certificado luego de 90 días.

180 días

Tasa = 27% Tasa = 32%

Luego de 90 días, el Certificado se

convierte en un nuevo Instrumento con

Valor “X” que luego de 180 días tiene un

Valor Futuro de $124 a una tasa anual de

27% (recuerde que la tasa ha disminuido).


SESIÓN 2

CONCEPTOS FINANCIEROS

EL VALOR DE DINERO EN EL TIEMPO


Un Sol hoy vale más que un Sol mañana

Interés Compuesto

Capitalizaciones

Tasas de interés: nominal y efectiva

Equivalencia entre tasas

Ejercicios

33

AGENDA



Interés Compuesto

En el Interés Compuesto, los Intereses que se van generando se suman al Capital en

Periodos establecidos y se consideran, junto con el Capital original, como la base para

calcular los Intereses del Periodo siguiente.

Esto significa que los Intereses se Capitalizan.

El Interés Compuesto se trata del cálculo de Intereses sobre Intereses, esa es

su característica fundamental.

En el Interés compuesto el Capital NO es constante, sino que aumenta al final

de cada Periodo por la adición de los Interese ganados.

El Periodo para el cual se calculan los Intereses se denomina:

Periodo de Capitalización.


Interés Compuesto

Algunos Periodos de Capitalización típicos son o Anual o Semestral o Mensual o Diario (sobretodo cuando hay hiperinflación)

Al número de veces que el Interés se capitaliza durante 1 año, se

denomina: Frecuencia de Conversión.

Por ejemplo, si la Capitalización es trimestral, significa que los

Intereses se capitaliza cada 3 meses, es decir 4 veces al año.

Entonces, su frecuencia de Conversión es de 4.

La Tasa de Interés se expresa en forma Anual, pero es indispensable

indicar el Periodo de Capitalización.


Por ejemplo: 12% anual capitalizable en forma trimestral.

Esto significa una Tasa de Interés de 3% trimestral.

Interés Compuesto

En general, para determinar la Tasa de Interés por cada Periodo de

Capitalización, se aplica:

ConversióndeFrecuencia

AnualInterésdeTasaPeriodoporInterésTasa

__

______

Para nuestro ejemplo sería:


AnualTasaTrimestralTasa

__

__

%34

12_ TrimestralTasa

En 1 año hay 4

Trimestres. Por ello la

Frecuencia de

Conversión es 4.

Interés Compuesto

Emplea la capitalización compuesta. Se incluye el interés, sobre el interés

ganado, en los periodos previos.

P : Monto inicial

I : Intereses

i : Tasa de interés

n : Plazo al que se coloca el monto

inicial. (P)

F: Monto final

F = P*(1+i)n

Monto Final

37

Como el interés se capitaliza: ¿Cuál habrán sido los Intereses (I)

generados en un determinado periodo?

I = P (1+i)n-1*i

Intereses

iiiI

iiI

FFI

n

n

nn

n

nnn

P

PP

**

**

)(

)1()1(1

1

1


38

0 1 2

P P F1

P*i

n . . .

F1 = P + P*i

F1*i . . .

F2 = F1 + F1 *i

Fn-1

Fn-1*i

Fn = Fn-1 + Fn-1*i

Interés Compuesto

0 1 2

1,000 100 1,100

110

0 1 2

1,000

1,210

P = 1,000

Interés 1 = 1,000*10% = 100

Interés 2 = 1100*10% = 110

F = I + Interés 1 + Interés 2

F = 1,000 + 1,000*10% + 1,100*10%

F = 1,000 + 100 + 110

F = 1,210

Ejemplo 01

Gerardo deposita $1000 en una cuenta de ahorro a un 10% de interés anual

compuesto por un plazo de 2 años. ¿Cuánto tendrá al final de los 2 años?

39

1,000

¿Cuál es la tasa de interés que ganó en los 2 años?

Interés Compuesto

Como no se dice nada de la capitalización, la asumimos anual. Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 2

Interés de 1 periodo


Interés Compuesto

Periodos

Val

or

Futu

ro

P

1 2 3 4

F

Valor Futuro luego de 4 periodos

Valor Presente

Interés de los 4 periodos

La Gráfica del Interés Compuesto, se parece a una escalera de escalones

desiguales, donde la altura de cada escalón crece a medida que transcurren los

periodos y representa el Monto del Interés ganado en el periodo.

Note que de periodo a

periodo el Interés (altura

del escalón) es cada vez

mayor.

Alberto deposita $1,500 en una cuenta de ahorro a un 12% de interés anual

compuesto por un plazo de 3 años; ¿cuánto tendrá al final de los 3 años?

Ejemplo 02

Interés Compuesto

Lo que se pide en el ejercicio es

determinar el Valor Futuro de

$1,500 que se capitalizan cada año

a una tasa de 12%.

De la fórmula para el Interés compuesto tenemos:

)1(* iPFn

)12.01(500,13

* F

F = 2,107.4

¿Cuál es la tasa de interés que ganó en los 3 años?

%5.40405.0

500,1

)500,14.107,2(

i

i

P

PFi


Interés Compuesto

Durante 3 años, Alberto ganó una Tasa (Tasa

Efectiva) de 40.5%.

¿Cómo interpretamos este resultado?

Esto significa que 12% anual equivale en

3 años a 40.5% cuando la capitalización

es anual.

…y, ¿por qué no es 36% (12%*3)?

Ejemplo 03

En el ejemplo anterior, ¿cuál sería el

resultado si la capitalización fuese

trimestral?

¿Qué relación encuentra entre la Tasa Anual y

la Tasa Efectiva del Periodo?

Lo primero que debemos hacer

en este caso es determinar la Tasa

de acuerdo al Periodo de

Capitalización.

Recuerde que en 1 año hay 4

trimestres. Por lo tanto, en 1 año

hay 4 capitalizaciones.



AnualInterésdeTasaPeriodoporInterésTasa

__

______

Interés Compuesto

%34

12_ TrimestralTasa

Luego en 3 años hay 12 Trimestres

(4 Trimestres por año).

Por lo tanto:

n = 12

Finalmente aplicamos la fórmula del

Interés Compuesto para el Valor

Futuro:

)1(* iPFn

12)03.01(*500,1 F

F = 2,138.6

Note que el resultado es mayor que cuando la capitalización fue anual.

TrimestralAnual 6.138,2104,2

¿Por qué? 43 Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 2

Claudia hace un deposito de $2,000 en una cuenta de ahorro a un 8%

de interés anual compuesto por un plazo de 5 años. ¿Cuánto tendrá al

final de los 5 años?

Patricia hizo un deposito de $1,000 en una cuenta de ahorro y al final

de 5 años obtuvo $1,350. ¿Cuál fue la tasa de interés anual

compuesta?

Contratamos un préstamo por $5,000, a 2 años, con la tasa anual de

15% compuesta semestralmente, pero decidimos cancelar el préstamo

anticipadamente a los 15 meses. ¿Cuál es la cantidad que debemos de

liquidar?

Ejercicios Propuestos

Interés Compuesto


Es una tasa de interés enunciativa que no refleja el verdadero interés que se

obtiene por el capital. Se presenta con fines nominativos. Esta tasa debe estar

acompañada de los periodos de capitalización compuesta. Por lo general, se

expresa como una Tasa Anual.

Ejemplos

Tasa nominal de 12% anual con capitalización semestral

Tasa nominal de 18% anual con capitalización bimestral

Tasa nominal de 21% anual con capitalización trimestral

16% nominal anual con capitalización quincenal

10% nominal anual con capitalización diaria

32% nominal anual con capitalización semestral

Tasa de Interés Nominal ( r )

i m = r/m m : Número de periodos de capitalización en

un año

im : Tasa de interés del periodo “m”


Tasa de Interés Nominal ( r )

Para los ejemplos anteriores:

Tasa Nominal Anual

Periodo de Capitalización

Número de Periodos en 1 año

Tasa Efectiva del Periodo

12% Semestral 2 12/2 = 6%

18% Bimestral 6 18/6 = 3%

21% Trimestral 4 21/4 = 5.25%

16% Quincenal 24 16/24 = 0.67%

10% Diaria 360 10/360 =0.028%

32% Semestral 2 32/2 = 16%

¿Cómo sería si la capitalización fuese continua, por ejemplo 10% anual con capitalización continua?

Ejemplo 04


Tasa de Interés Nominal (r )

0 1 2

El Banco Atlántico ofrece una tasa de 10% nominal anual con capitalización

semestral . ¿Cuál es la tasa semestral correspondiente?

10% nominal

0 1 2

5% semestral

r = 10%

m = 2 (hay 2 semestres en 1 año)

im = r/m

im = 10%/2

isemestral = 5%

5% semestral

47

Ejemplo 05


El Banco Fortaleza ofrece una tasa de 12% nominal anual con capitalización diaria.

¿Cuál es la tasa diaria correspondiente?

El Banco Nuevo Continente ofrece una tasa de 14% nominal anual con capitalización

trimestral. ¿ Cuál es la tasa trimestral correspondiente?

El Banco América ofrece una tasa de 24% nominal anual con capitalización

quincenal. ¿Cuál es la tasa quincenal correspondiente?

El SwissBank ofrece una tasa de 18% nominal anual con capitalización bimestral.

¿Cuál es la tasa bimestral correspondiente?

48

Tasa de Interés Nominal (r )



Es una tasa de interés que refleja el interés que verdaderamente se

obtendrá por el capital. La tasa de interés efectiva emplea el concepto del

interés compuesto.

La tasa de interés efectiva se suele expresar en términos anual recibiendo el

nombre de Tasa Efectiva Anual o TEA y en algunos casos mensual (Tasa

Efectiva Mensual – TEM).

La tasa de interés efectiva es la empleada entre otros en:

Préstamos concedidos por los bancos a empresas.

Compras de bienes de consumo a plazos.

Créditos hipotecarios.

Créditos vehiculares.

Prestamos de consumo.

49

TEM: por lo general para tarjetas de crédito

Tasa de Interés Efectiva (i )


Tasa de Interés Nominal ( r ) y Tasa de Interés Efectiva ( i )

i = (1 + r/m)m - 1

Relación entre la Tasa de Interés Nominal (r) y la Tasa de Interés Efectiva ( i )

i m = r/m

m : Número de periodos de capitalización en un año

im : Tasa de interés efectiva del periodo “m”

i : Tasa de interés efectiva correspondiente a 1 año

(siempre que “r” se haya expresado como una tasa

anual).

50

El exponente “m” de esta

ecuación, debe entenderse como

el número de periodos que hay

dentro del plazo dado (que en

nuestro caso es 1 año).


0 1 2

El Atlántico ofrece una tasa de 10% nominal anual con capitalización semestral .

¿Cuál es la tasa efectiva anual correspondiente?

10% nominal

0 1 2

5% semestral

r = 10%

m = 2 (dos capitalizaciones al año)

im = r/m

im = 10%/2

isemestral = 5%

5% semestral

i = (1+ r/m)m - 1

i = (1+ 5%)2 -1

i = 10.25%

0 1 2

10.25% efectivo

51


Ejemplo 06


52

i = (1 + r/m)m - 1



Tasas Efectivas Equivalentes

Dos o más Tasas Efectivas son Equivalentes cuando capitalizándose en periodos

distintos, generalmente menores a 1 año, sobre el mismo Capital inicial, el monto

final obtenido ,en igual plazo, es el mismo.

x,y: en días

iy : Tasa conocida

ix : Tasa incógnita

iX = (1+iy)(x/y) - 1


Ejemplo 07


La tasa efectiva anual que paga un Banco por una cuenta a plazo fijo

es de 15%. ¿Cuál será la tasa efectiva mensual?

Note que aquí no se trata de

convertir una Tasa Nominal en otra

Efectiva, sino se trata de convertir

una Tasa Efectiva para un periodo en

otra (equivalente) también Efectiva

pero para un periodo distinto.

iX = (1+iy)(x/y) - 1

Se conoce la Tasa Efectiva Anual (TEA) y

se desea conocer la Tasa Efectiva

Mensual (TEM).

De la ecuación anterior:

TEM TEA

30 días 360 días

iX = 0.012 = 1.2%


Una entidad financiera cobra por préstamo una tasa

efectiva mensual de 5%.¿Cuál será la Tasa Efectiva anual

que cobra el Banco por préstamo?



¿Cuál es la Tasa Nominal compuesta trimestralmente

equivalente a una Tasa Nominal de 25% compuesta

diariamente?


Valor actual de un flujo futuro o de una serie de flujos cuando se convierte

en interés compuesto a cierta tasa.

57

0 1

F1

0 1

F1 P0

i

F1 = P0 * (1+i)

F1

(1+i) P0 =

LEYENDA:

F1 : Flujo futuro. Flujo en el momento 1.

P0 : Valor actual del Flujo futuro.

I : Tasa de interés efectiva del periodo 1.

Relación entre el flujo futuro (F1) y su valor en este momento (P0)

Despejando el valor en este momento (P0) en función al flujo futuro (F1)

1°

2°

3°


Valor Actual y Valor Futuro

Valor actual de un flujo futuro o de una serie de flujos cuando se convierte en

interés compuesto a cierta tasa.

58

1 2

F2

0

F1

1 2 0

F1

1 2

F2

0

P1 P0

P0 F1

(1+i) P0 =

F2

(1+i) P1 =

P1

(1+i) P0 =

(1+i)

F2

(1+i) =

F2

(1+i)2 =

i

i i

F1

(1+i) VA =

F2

(1+i)2 +



Valor actual de un flujo futuro o de una serie de flujos cuando se convierte en

interés compuesto a cierta tasa.

59

0 1 2 3 4

F1

F2

F3 F4

n

Fn

F1

(1+i) VA =

F2

(1+i)2 +

F3

(1+i)3 +

F4

(1+i)4 +

Fn

(1+i)n +

… +

…



0 1 2 3 4 5

10,000

5,000 7,500 9,000

6,000

Años

Alejandro López depositará en el

Banco América al final de cada uno de

los próximos 5 años los siguientes

montos. ¿Cuánto tendrá acumulado al

final del año 5? Considere que el

banco ofrece una tasa efectiva anual

de 6.5%.

Alejandro espera depositar al final de

cada uno de los próximos 5 meses en

el Banco América los siguientes

montos. ¿Cuánto tendrá acumulado al

final del mes 5? Considere una tasa

efectiva mensual de 0.54%.

0 1 2 3 4 5

$600

meses

$600 $600 $600 $600



0 1 2 3 4 5

10,000

5,000 7,500 9,000

6,000

Años

Alejandro López depositará al

final de los cada uno de los

próximos 5 años los

siguientes montos en el

Banco de Crédito ¿A cuanto

ascenderá el monto total

acumulado al final del año 5?

Considerando que la tasa de interés del primer año será 12% y cada año ira

creciendo en 1.5% hasta el 5to año.

Valor Futuro Ejercicio Propuesto


Valor Actual Ejercicios Propuestos

0

El Banco Atlántico le ofrece a Rolando

pagarle por sus ahorros $5,000 cada fin de

año. La tasa efectiva anual que el banco

ofrece es 15% ¿Cuál sería el monto que

Rolando estaría depositando?

Alejandro espera recibirá al final de cada

uno de los próximos 5 meses los

siguientes ingresos. Sin embargo requiere

el dinero en estos momentos. Para ello

acude al banco y este le indica que podría

entregarle el dinero pero descontando

cada flujo a una tasa efectiva mensual de

2.4%.¿Cuanto recibirá por ello?

1 2 3 4 5

5,000

Años

0 1 2 3 4 5

5,000 5,000 6,500 7,500 6,000

meses

5,000 5,000 5,000 5,000


63

El Banco Fortaleza le ofrece a

Alejandro dos opciones de ahorro,

las que se muestran en los

esquemas siguientes.

En la opción “A” el banco le ofrece

una tasa de 15%.

En la opción “B” el banco le ofrece

una tasa de 12%

¿Cuál de las opciones de ahorro le

conviene?.

0 1 2 3 4 5

$700

años

$700 $700 $700 $700

0 1 2 3 4 5

$400

años

$500 $600 $700 $800

OPCIÓN B

OPCIÓN A

Valor Actual Ejercicios Propuestos



Determinaremos “X” con la fórmula

de Valor Presente: “X” al 27% de tasa

anual deberá dar un valor de $124 luego

de 180 días (0.5 años).

25.109

%))27)(5.0(1(

124

)1(

X

X

ni

FP

a.- Luego de 90 días el Certificado deberá

venderse en $ 109.25.

Ahora para obtener el Rendimiento

(Tasa) anual del Certificado durante los 90

días (0.25 años), planteamos.

%3737.0

)*)25.0(1(*10025.109

)1(*

i

i

niPF

b.- La Tasa Anual del Certificado para

el periodo de 90 días fue 37%.

¿Por qué el Rendimiento Anual del

Certificado (37%) durante los primeros 90

días fue MAYOR que la Tasa pactada

originalmente (32%).


Alberto deposita $3,000 en una cuenta de ahorro a un 4% de interés anual

simple por un plazo de 10 años. ¿Cuánto tendrá al final de los 10 años?

Claudia hace un deposito de $2,000 en una cuenta de ahorro a un 8% de

interés anual simple por un plazo de 5 años. ¿Cuánto tendrá al final de los

5 años?

Patricia hizo un deposito de $1,000 en una cuenta de ahorro y al final de 5

años obtuvo $1,350. ¿Cuál fue la tasa de interés anual simple?

Interés Simple



SESIÓN 3

ANUALIDADES


Concepto de Anualidad

Anualidades anticipadas, diferidas y perpetuas

Valor Presente y Futuro de Anualidades

Ejercicios

67

AGENDA


Concepto de Anualidad

Una Anualidad es una serie de pagos iguales que se efectúan

a intervalos fijos durante cierto número de periodos.

Una anualidad es una serie de pagos que cumple con las

siguientes condiciones:

• Todos los pagos son de igual valor.

• Todos los pagos se hacen a iguales intervalos de tiempo.

• A todos los pagos se les aplica la misma tasa de interés.

• El número de pagos es igual al número de periodos.

Aunque Anualidad se refiere a 1 año, NO necesariamente es un pago anual.


Tipos de Anualidades Hay varios tipos de Anualidades:

Tipo de Anualidad Descripción

Anualidad cierta Cuando las fechas son fijas y establecidas de antemano.

Anualidad contingente Cuando la fecha del primer pago depende de un hecho que se sabe ocurrirá, pero no se sabe cuando. (Ej. Renta por viudez).

Anualidad simple Cuando el periodo de pago coincide con el periodo de capitalización de los intereses.

Anualidad general Cuando el periodo de pago no necesariamente coincide con el periodo de capitalización de los intereses.

Anualidad vencida También conocida como ordinaria. Cuando los pagos se efectúan al final de cada periodo.

Anualidad anticipada O pagadera. Cuando los pagos se realizan al principio de cada periodo.

Anualidad inmediata Cuando los cobros (pagos) se efectúan inmediatamente después de la formalización del contrato.

Anualidad diferida Cuando se posponen la realización de los cobros (periodos de gracia).

Las Anualidades más comunes son: la Simple, la Cierta, la Ordinaria y la Inmediata. 69

Anualidad Regular (diferida)

Anualidad cuyos pagos se efectúan al final de cada periodo.

0 1 2 3 4 5

10,000 10,000 10,000 10,000 10,000

Años

0 2 4 6 8 10

5,000 5,000 5,000 5,000 5,000

Años

0 3 6 9 12 15

400 400 400 400 400

Meses

Una anualidad diferida de S/.10 mil durante 5 años a intervalos anuales.

Una anualidad diferida de S/.5 mil durante 10 años a intervalos bianuales.

Una anualidad diferida de S/.400 durante 15 meses a intervalos trimestrales.


Anualidad Anticipada o inmediata

Anualidad cuyos pagos iguales realizan al inicio de cada periodo.

0 1 2 3 4 5

8,000 8,000 8,000 8,000 8,000

Años

0 3 6 9 12 15

2,500 2,500 2,500 2,500 2,500

Años

0 1 2 3 4 5

1,400 1,400 1,400 1,400 1,400

Meses

Una anualidad anticipada de S/.8 mil durante 5 años a intervalos anuales.

Una anualidad anticipada de S/.2.5 mil durante 12 años a intervalos de tres años.

Una anualidad diferida de S/.1.4 mil durante 5 meses a intervalos mensuales


Ejemplo 01

Anualidades

¿Qué cantidad se acumulará en 5 meses, si al finalizar cada mes se hace un

pago de $100 a una cuenta de inversiones que rinde 36% compuesto anual?

0 1 2 3 4 5

100 100 100 100 100

meses

En principio construyamos los Flujos:

Datos:

i = 36% anual = 0.36 anual

i = 0.36/12 = 0.03 mensual

n = 5 meses.

Note que el Flujo

en cada periodo

es el mismo

($100), por ello se

trata de una

Anualidad.

Cada Flujo hay que llevarlo al 5to mes

a la misma tasa mensual (3%) y de

acuerdo al número de periodos

correspondiente. 72 Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 3

Anualidades

Luego el Valor Futuro (VF) de la Anualidad en el quinto mes. será la suma

de los Valores Futuros de cada flujo en dicho mes:

5to flujo 4to flujo 3er flujo 2do flujo 1er flujo

Cada termino expresa el Valor del Flujo en el 5to mes, que es donde se

desea hallar el Valor de la Anualidad.

A partir de este método de razonamiento, se deducen Fórmulas que nos permiten calcular de

manera directa y práctica, el Valor Futuro y Presente de una Anualidad.


Valor Presente y Valor Futuro de Anualidades – Fórmulas

74

VP = A 1 – (1+i)-n

i VF = A

(1+i)n – 1

i

VF = A (1+i)n – 1

i (1+i) VP = A

1 – (1+i)-n

i (1+i)

VALOR PRESENTE VALOR FUTURO

ANUALIDAD VENCIDA

ANUALIDAD ANTICIPADA

Leyenda:

i : tasa de interés

n : número de periodos

A : anualidad

Note que la diferencia entre los VP y los VF, para una

Anualidad Vencida o Anticipada, es el factor (1+i). Esto se

debe a que el pago se hace con 1 periodo de desfase.

Valor Presente y Valor Futuro de Anualidades – MS Excel

75

VP = VA(tasa, nper, pago,,0) VF = VF(tasa, nper, pago,,0)

VALOR PRESENTE (VP) VALOR FUTURO (VF)

ANUALIDAD VENCIDA

ANUALIDAD ANTICIPADA

VP = VA(tasa, nper, pago,,1) VF = VF(tasa, nper, pago,,1) Leyenda:

tasa : tasa de interés

nper : número de periodos

pago : anualidad

0 : anualidad vencida

1 : anualidad anticipada Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 3

Anualidad Perpetua

Anualidad cuyos pagos iguales se espera que se prolonguen indefinidamente.

Este tipo de anualidad se presenta, cuando se coloca un capital y únicamente

se retiran los intereses.

0 1 2 3 4 5

6,000 6,000 6,000 6,000 6,000

0 2 4 6 8 10

3,200 3,200 3,200 3,200 3,200

Años

0 3 6 9 12 15

800 800 800 800 800

Meses

Una anualidad perpetua de S/.6 mil a intervalos anuales.

Una anualidad perpetua de S/.3.2 mil a intervalos bianuales.

Una anualidad perpetua de S/.800 a intervalos trimestrales.

Años

. . .

. . .

. . .


Valor Presente y Valor Futuro de una Anualidades Perpetua

Solo existe el Valor Presente de una Anualidad Perpetua. El Valor

Final (Futuro) de una Anualidad infinita sería infinito.

77

VP = A 1 – (1+i)-n

i

VALOR PRESENTE

VALOR FUTURO

Leyenda:

i : tasa de interés

n : número de periodos (n → ∞)

A : anualidad

lim n → ∞ = A

1 – (1+i)-n

i lim n → ∞

lim n → ∞ = A

1 – 0

i =

A

i



La Anualidad Perpetua es un Método interesante para calcular el Valor de

Rescate (Valor de Desecho) de un Proyecto de Inversión.

Cuando se quiere liquidar un Proyecto hay 3 Métodos para calcular el

Valor de Rescate:

Método Contable: Valor en libros de los activos del proyecto.

Método Comercial: Valor de mercado de los activos del proyecto.

Método Económico: Valor de los Flujos Futuros que el proyecto

seguirá generando (Anualidad Perpetua).

Este tercer método es válido cuando quién compra el proyecto, va a seguir

operándolo y no piensa liquidarlo.


Ejemplo 02


Juan le ofrece a su amigo Pedro el traspaso de su negocio, el cual actualmente

genera una utilidad neta de 2,000 soles mensuales. Pedro tiene una oportunidad de

inversión que le rendiría 10% mensual. ¿Cuánto es lo máximo que debería pagarle

Pedro a Juan en caso aceptará comprarle el negocio?

Como Pedro Tiene una

Oportunidad de inversión de 10%

mensual, este sería el rendimiento

mínimo que debería esperar por la

compra del negocio de Juan.

Por lo tanto:

i = 10% = 0.1 mensual

Por otro lado, como el negocio

está estabilizado y generará de

manera constante una utilidad

neta de 2,000 soles mensuales, se

trata de una Anualidad Perpetua.

A = 2,000



Luego, lo que Pedro debe pagar

por el negocio de Juan es el Valor

Presente de una Anualidad Perpetua

de 2,000 soles mensuales a una Tasa

Mensual del 10%.

VP= A

i

Pedro debe pagar como máximo

20,000 soles.

Si Pedro paga más de 20,000 soles NO

obtendría el rendimiento de 10% mensual

que espera y sería mejor para él invertir en

la otra oportunidad de negocio que tiene,

aunque esto afecte su amistad con Juan.

Aunque la idea de calcular el valor de

Rescate por el método de la

Anualidad Perpetua es interesante,

adolece de una debilidad.

¿Cuál cree que sea? … y ¿cómo la

corregiría?


EJEMPLOS PROPUESTOS

Calcular el Valor Presente (VP) y el Valor Futuro (VF) de las siguientes

anualidades:

• Una anualidad diferida de S/.14.5 mil durante 7 años a intervalos anuales.

• Una anualidad diferida de S/.2.5 mil durante 10 años a intervalos bianuales.

• Una anualidad diferida de S/.750 durante 12 meses a intervalos

bimestrales.

* En todos los casos considerar una TEA de 10%.

81

Valor Presente y Valor Futuro de Anualidad Regular (diferida)


Valor Presente y Valor futuro de Anualidad Inmediata o Anticipada

EJEMPLOS

Calcular el Valor Presente (VP) y el Valor Futuro (VF) de las siguientes

anualidades:

• Una anualidad anticipada de S/.3.4 mil durante 15 años a intervalos

anuales.

• Una anualidad anticipada de S/.500 durante 12 meses a intervalos

mensuales.

• Una anualidad anticipada de S/.1.8 mil durante 4 años a intervalos

semestrales.

* En todos los casos considerar una TEA de 8%.


Ejercicio 1

Explique:

a) ¿Qué diferencia hay entre una anualidad regular y una anualidad inmediata?

b) En igualdad de condiciones ¿Qué anualidad tiene mayor valor futuro: una anualidad

regular o una anualidad inmediata?¿Por qué?

c) Suponga un depósito de S/.7,500 al final de cada uno de los tres años siguientes en una

cuenta de ahorro que paga 3% de TEA. ¿Cuánto tendrá al terminar el periodo de tres

años?

d) Suponga un depósito de S/.7,500 al inicio de cada uno de los tres años siguientes en una

cuenta de ahorro que paga 3% de TEA. ¿Cuánto tendrá al terminar el periodo de tres

años?

e) ¿Qué diferencia hay en el valor futuro de la anualidad de S/7,500 de acuerdo a los

resultados de “c” y “d”?


Ejercicio 2

84

Para la compra de un automóvil que vale $25,000, se exige una cuota inicial del 40%

y el resto se cancela en cuotas mensuales, ¿A cuanto ascenderá la cuota, si los

intereses son del 1.5% efectivo mensual?

Una persona arrienda una casa en $5,000 pagaderos por mes anticipado. Si tan

pronto como recibe cada arriendo lo invierte en un fondo que le paga el 2% efectivo

mensual. ¿Cuál será el monto de sus ahorros al final del año?

El contrato de arriendo de una casa estipula pagos mensuales de $4,000, al principio

de cada mes, durante un año. Si suponemos un interés del 12% nominal anual

capitalizable mensualmente. ¿Cuál será el valor del pago único que, hecho al

principio del contrato, lo cancelaria en su totalidad?


Ejercicio 3

85

Palma Industria S.A. requiere contar con oficinas, por un periodo de 10 años, para ello

tiene dos alternativas, emplear el edificio “A” o emplear el edificio B. Ambos edificios

cumplen con las especificaciones que requiere la empresa, la diferencia radica en:

a) El edificio “A” requiere S/.5 millones cada año como costo de mantenimiento y S/.6

millones cada 5 años para reparaciones

b) El edificio “B” requiere S/.5.1 millones cada año como costo de mantenimiento y

S/.1 millón cada 2 años para reparaciones.

Suponiendo una TEA del 15% ¿Cuál de los edificios le resulta mas conveniente utilizar?


Ejercicio 4

Palma Industria S.A. desea adquirir un equipo de procesamiento para su planta. En la

línea de tiempo mostrada a continuación le presentan la serie de pagos (en dólares) que

debería hacer al inicio de cada año, durante 5 años. Palma Industria desea que le ayude

a sustituir esta serie de pagos por el equivalente a una serie de 5 pagos anuales:

a) Iguales anticipados

b) Iguales vencidos

86

0 1 2 3 4 5

10,000

Años

10,000 10,000

5,000 5,000

TEA = 10%


Ejercicio 5

Se desea reunir un fondo de S/.100,000 mediante depósitos trimestrales de

S/8,000 cada uno. Si la TEA es 12%:

a) ¿Cuántos depósitos completos de S/.8,000 deberían efectuarse?

b) ¿Con que depósito final, hecho simultáneamente con el último depósito de

S/8,000 completaría el fondo?

c) ¿Con que depósito final, hecho un trimestre después del último depósito

de S/8,000 completaría el fondo?


Ejercicio 6

Los padres de José instruyen para que se haga un deposito de $20,000 en el banco

cuando José cumpla 9 años. Ello para que a partir de los 10 años José empiece a

recibir todos los meses, a fin de mes, los intereses que genera el deposito hecho

por sus padres. Los intereses los recibirá mientras José este vivo. La tasa de interés

efectiva mensual que paga el banco es 1%. Hoy es el cumpleaños número 8 de

José.

¿A cuando ascenderá el valor actual de todos los montos que recibirá José?

¿A cuando ascenderá el valor futuro de todos los montos que recibirá José?


SESIÓN 4

VALOR ACTUAL NETO – VAN

TASA INTERNA DE RETORNO – TIR

89


90

AGENDA

Concepto de VAN - Introducción a la Tasa de Descuento

Definición y significado de la TIR

Relación entre el VAN y Tasa de descuento

Flujos de Caja Atípicos y Múltiples TIR

Ejercicios

VAN - TIR

Estimación del Valor Actual

Valor presente de un flujo futuro o de una serie de flujos cuando se convierte en

interés compuesto a cierta tasa (igual para todos los periodos).

91

VA = VNA(i, F1, F2, F3, F4,…Fn)

Función en Ms. Excel

0 1 2 3 4

F1

F2 F3

F4

n

Fn

…

5

F5

VA = + + + F1

(1+i)

F2

(1+i)2

F3

(1+i)3

F4

(1+i)4

Fn

(1+i)n + + …

F : Flujo de caja

i : Tasa del periodo

VA : Valor actual de los flujos

n : Número de periodos

No confundir el

Valor Actual (VA)

con el Valor Actual

Neto (VAN)

91 VAN - TIR

Valor Actual Neto - VAN

Reconoce el valor del dinero en el tiempo. Es decir, un dólar ($) de HOY vale más

que un dólar ($) de MAÑANA.

Sólo depende de los flujos de caja previstos procedentes del proyecto y del costo

de oportunidad del capital.

Debido a que todos los valores actuales se miden en moneda de hoy, es posible

sumarlos. Por ello, el VAN tiene la propiedad de aditividad:

VAN (A+B) = VAN A + VAN B

Mide en dinero de hoy, cuánto más riqueza se genera al realizar el proyecto,

por tanto mide la generación de valor. De allí que mide cuanto mas “rico” es el

inversionista si decide llevar a cabo el proyecto hoy. 92 VAN - TIR

Tasa de Descuento

La tasa de descuento debe tener un valor que represente el rendimiento

esperado de la inversión.

Es la tasa que solicita el inversionista como rendimiento de sus inversiones.

Es la tasa que normalmente gana el inversionista en sus mejores negocios.

Es la tasa que refleja el costo de oportunidad del capital que el inversionista

piensa invertir en el proyecto.

Puede estar expresada en términos nominal o reales. Lo que se debe evitar es

emplear cifras de flujos nominal y tasa de descuento real o viceversa.

93

En general si se emplean flujos de caja nominal, la tasa de descuento

debe ser nominal. Para emplear una tasa de descuento real, los flujos de

caja deben estar expresados en términos reales.

VAN - TIR

Valor Actual y Valor Actual Neto

Años

Años

Valor Actual Neto =

Valor Actual -

Inversión Inicial

0 1 2 3 4 5

Inversión Inicial

Valor Actual

Suma de flujos de caja

descontados 0 1 2 3 4 5

F1 F2

F3 F4

F5

VA

5 K K K K K

94 VAN - TIR

Estimación del Valor Actual Neto

95

VAN = VNA(K, F1, F2, F3, F4,…Fn) – I0

Función en Ms. Excel F : Flujo de caja

i : Tasa de descuento



I0 : Inversión inicial

VAN = + + + F1

(1+K)

F2

(1+K)2

F3

(1+K)3

F4

(1+K)4

Fn

(1+K)n + + … – I0 +

0 1 2 3 4

F1

F2 F3

F4

n

Fn

…

5

F5

I0 = Inversión

95

Flujo de Caja

Típico: solo hay

un cambio de

signo en el flujo.

VAN - TIR

96

VAN = VNA(K, -I1, -I2, F3, F4,…Fn) – I0


F : Flujo de caja

K : Tasa del periodo




I1 : Inversión del periodo 1


VAN = – + + I1

(1+K)

I2

(1+K)2

F3

(1+K)3

F4

(1+K)4

Fn

(1+K)n + + … – I0 –

0 1 2 3 4

F3 F4

n

Fn

…

5

F5

I0

I1 I2


Flujo de Caja

Típico: solo hay

un cambio de

signo en el flujo.

96 VAN - TIR

97

VAN = VNA(K, -I1, -I2, F3, F4,…Fn) – I0


VAN = – + - I1

(1+K)

I2

(1+K)2

F3

(1+K)3

I4

(1+K)4

Fn

(1+K)n + + … – I0 –

0 1 2 3

4

F3

n

Fn

…

5

F5

I0

I1 I2


Flujo de Caja Atípico: hay

más de un cambio de signo

en el flujo.

I4

97 VAN - TIR

Criterio de decisión con Valor Actual Neto - VAN

Criterio de

decisión

VAN > 0

VAN = 0

VAN < 0

VAN > 0, habrá una ganancia por

encima de la tasa.

VAN = 0, es indistinto realizar el

proyecto en evaluación. El Proyecto

solo gana lo esperado.

VAN < 0, no es recomendable realizar

el proyecto por que no se alcanza la

rentabilidad que el inversionista

usualmente obtiene.

Indistinto

98

Si el VAN es negativo no necesariamente

representa pérdida, puede representar

ganancia, pero por debajo de lo

esperado.

VAN - TIR

Consideraciones con Valor Actual Neto - VAN

El VAN considera que los flujos excedentes de cada periodo se reinvierten a la tasa

del inversionista (tasa de descuento) en el mismo proyecto o en otro.

En alternativas mutuamente excluyentes los proyectos

se evalúan por separado.

Al comparar el VAN de proyectos siempre habrá de emplearse el mismo horizonte

de evaluación. Asimismo, deberán provenir de riesgos de naturaleza similar. Es

decir no servirá para comparar proyectos con distinto horizonte de evaluación. ¿Qué

podría usarse en este caso?

Mientras mas alta sea la tasa con que se evalúe el proyecto, será mas difícil que

este tenga un VAN mayor a cero o positivo.

99 VAN - TIR

Se desea evaluar un negocio de “Comida criolla por delivery”. La inversión estimada es de

$25,800 y los flujos de caja estimados para los siguientes 5 años son: 11000, 12500,

14500, 16700, 18900. Considerando que los inversionista deseen obtener una

rentabilidad de 20% ¿recomendaría llevar adelante el proyecto?. ¿En qué plazo se prevé

se recuperará la inversión?

0 1 2 3 4 5

11,000 12,500 14,500

16,700 18,900

Años

(25,800)

Ejemplo 01 Propuesto

100 VAN - TIR

Relación entre VAN y K

En proyectos con flujos de caja convencionales (Típicos), la relación

entre el VAN y la K (tasa de descuento es inversa).

Esto significa que el VAN disminuye a medida que la tasa de descuento

se incrementa.

Esto se debe a que el Inversionista es más exigente y por lo tanto lo

que queda como excedente, luego de cumplir con las expectativas

del Inversionista, es cada vez menor.

También se suele indicar que el Flujo de Caja está siendo castigado

en mayor medida, razón por la cual el VAN, valor generado por

encima de la inversión, se reduce.

101 VAN - TIR

-20,000

-10,000

0

10,000

20,000

30,000

40,000

50,000

60,000

0% 20% 40% 60% 80% 100% 120%

Relación VAN y TIRVAN

16,087.54

0% 47,800.00

5% 37,087.48

10% 28,566.38

15% 21,695.92

20% 16,087.54

25% 11,457.47

30% 7,595.35

35% 4,343.06

40% 1,580.26

45% -785.76

50% -2,827.16

55% -4,600.71

60% -6,151.49

65% -7,515.59

70% -8,722.18

75% -9,795.00

80% -10,753.51

85% -11,613.78

90% -12,389.16

95% -13,090.82

100% -13,728.13

Relación entre VAN y K

TIR

102 VAN - TIR

Tasa Interna de Retorno - TIR

Es aquella tasa que aplicada a los flujos de caja de un proyecto, iguala el valor actual

de estos a las inversiones previstas. Es decir hace el VAN = 0.

Mide la rentabilidad de una inversión y de los flujos que permanecen invertidos en el

proyecto.

Es uno de los índices de mayor empleo en finanzas.

Puede ser una medida práctica , pero, también puede ser una medida engañosa. Por

ello se requiere mucho cuidado en su aplicación.

Desde el punto de vista comercial, hablar de TIR es más entendible que hablar de VAN.

El término rentabilidad es ampliamente empleado, de allí su sencillez para tomar y

trasmitir decisiones de inversión.

103 VAN - TIR

Estimación de la TIR

104

TIR = TIR(–I0 , F1, F2, F3, F4,…Fn)


TIR : Tasa Interna de Retorno



0 = + + + F1

(1+TIR)

F2

(1+TIR)2

F3

(1+TIR)3

F4

(1+TIR)4

Fn

(1+TIR)n

+ + … – I0 +

0 1 2 3 4

F1

F2 F3

F4

n

Fn

…

5

F5

I0 = Inversión

104 VAN - TIR

105

TIR = TIR(–I0,–I1, –I2, F3, F4,…Fn)






0 = – + + I1

(1+TIR)

I2

(1+TIR)2

F3

(1+TIR)3

F4

(1+TIR)4

Fn

(1+TIR)n

+ + … – I0 –

0 1 2 3 4

F3 F4

n

Fn

…

5

F5

I0

I1 I2

Estimación de la TIR

105 VAN - TIR

Criterio de decisión con la Tasa Interna de Retorno - TIR

• Es un índice que permite

medir la rentabilidad que se

esta obteniendo en el

proyecto.

Rentabilidad del

Proyecto

VAN (TIR) = 0 Es la tasa a la cual el VAN se hace igual a cero.

Ingresos futuros Egresos futuros Es la tasa que equipara todos los

ingresos con los egresos del proyecto medidos en el momento inicial o de evaluación del proyecto.

TIR = Tasa Mínima Es la tasa de rentabilidad mínima que se obtendría en un proyecto.

106 VAN - TIR

Criterio de

decisión

TIR > K

TIR = K

TIR < K

TIR > K, habrá una ganancia por

encima de la tasa.

TIR = K, el inversionista solo obtiene

su costo de oportunidad.

TIR < K, no es recomendable realizar

el proyecto por que no se alcanza la

rentabilidad que el inversionista

usualmente obtiene.

Indistinto

Si las TIRs son similares entre varias alternativas, es mejor escoger aquella que presente

menor riesgo y me permita tener mayor liquidez.

Criterio de decisión con la Tasa Interna de Retorno - TIR

107 VAN - TIR

Se desea evaluar un negocio de “Comida criolla por delivery”. La inversión estimada es de

$25,800 y los flujos de caja estimados para los siguientes 5 años son: 11000, 12500,

14500, 16700, 18900. Considerando que los inversionista deseen obtener una

rentabilidad de 20% ¿Cuál sería la rentabilidad que se estaría obteniendo en la inversión?

0 1 2 3 4 5

11,000 12,500 14,500

16,700 18,900

Años

(25,800)

Ejemplo 02 Propuesto

108 VAN - TIR

Múltiples Tasas Internas de Retorno

En los flujos de caja convencionales (Típicos) se suele tener un solo cambio

de signo, el cual sucede cuando en primer lugar se realiza la inversión y

luego se suceden los ingresos como resultado del proyecto.

Sin embargo, existen situaciones en las que a lo largo del horizonte de

evaluación del proyecto se pueden presentar salidas o desembolsos de

dinero. Si imaginamos una línea de tiempo, tendremos entonces, un flujo

negativo, correspondiente a la inversión, luego flujos positivos y nuevamente

un flujo negativo, ocasionado por alguna salida importante de dinero.

109

Por lo tanto se tiene más de un cambio de signo en el flujo de caja.

VAN - TIR

Situaciones como las señaladas se presentan cuando por ejemplo Existen

costos importantes de desinstalación (ej. Si se explota una mina, puede que

se tenga que invertir en recuperar el terreno).

Teniendo en cuenta situaciones como las descritas previamente, al

momento de estimar la TIR, nos encontraremos con que habrá más de

un resultado que produzca un VAN igual a cero, ello producto de los

cambios de signo en la ecuación que estima la TIR.

De allí que teniendo en cuenta la “regla de los signos “ de Descartes,

puede haber tantas soluciones diferentes para un polinomio como

cambios de signo tenga.


Por lo tanto se tendrán varias TIRs 110 VAN - TIR

111

25% 400%

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

0% 100% 200% 300% 400% 500% 600%


VAN

32.04

0% -160.00

25% 0.00

50% 62.22

75% 84.90

100% 90.00

125% 86.91

150% 80.00

175% 71.40

200% 62.22

225% 53.02

250% 44.08

275% 35.56

300% 27.50

325% 19.93

350% 12.84

375% 6.20

400% 0.00

425% -5.80


Aquí encontramos 2 TIRs

VAN - TIR

VAN

7.28

0% 40.00

5% -3.52

10% -20.60

15% -23.15

20% -18.26

25% -10.12

30% -1.15

35% 7.28

40% 14.45

45% 20.02

50% 23.91

55% 26.14

60% 26.83

65% 26.12

70% 24.16

75% 21.13

80% 17.16

85% 12.39

90% 6.96

95% 0.97

100% -5.47

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

0% 20% 40% 60% 80% 100% 120%



Aquí encontramos 3 TIRs

112 VAN - TIR

Período de retorno (PBP)

• Es la velocidad del retorno financiero expresado como número

de periodos de tiempo requeridos para recuperar la inversión

antes que el beneficio empiece a ser acumulado.

• Por lo general NO considera el Valor del Dinero en el Tiempo.

• No toma en cuenta los Flujos futuros más allá de del Periodo de

Recuperación.

• Siempre se debe seleccionar el proyecto con menor PBP.

113

VAN - TIR

K = 10% VAN - TIR 114

¿Qué Proyecto seleccionaría, si su criterio de evaluación fuese solo

económico?

VAN ($) TIR (%) (K = 20%)

PR (Años)

Proyecto A 5,000 25 2

Proyecto B 7,000 22 2,5

Proyecto C 4,000 24 1,8

115 VAN - TIR

Ejercicio VAN y TIR

Considere un proyecto de 5 años cuyos ingresos para el año 1 serán $54,500 y

luego crecerán a una tasa del 12%.

De otro lado tendrá los siguientes egresos:

Costos 65% de los ingresos de cada año.

G. Administración $2,000 anuales.

G. Ventas 5.5% de los ingresos cada año

Impuestos para los 5 años, $1,200, 1,310 , 1,480 , 1,610 y 1,720.

La inversión estimada en el momento actual es $40,500. No se tiene valor de

recupero.

Con dicha información calcule el VAN considerando una tasa del inversionista del

10% anual.

Calcule la TIR.

¿Recomienda llevar adelante el proyecto.?

116 VAN - TIR

g financiera victor

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