fundamentos de teoría del consumidor

MICROECONOMÍA AVANZADAFundamentos de la Teoría del Consumidor

Erix Ruiz

Universidad Nacional del Callao

Notas basadas Jehle, G. and Reny, P. (2001) Advanced Microeconomic Theory.

La Teoría del Consumidor

Problema de elección del consumidor

Fundamentos:

1. El conjunto de elección de consumo (X)2. El conjunto factible (alcanzable) (B)3. La relación de preferencias ( )4. El axioma de comportamiento

2

1. El conjunto de elección de consumo (X)

Representa el conjunto de todas las alternativas o planes de consumo que elconsumidor puede concebir, independiente de si algunas de ellas es imposible ono.

Si cada bien es medido en unidades infinitamente divisibles, el número deunidades de cada bien puede expresarse como: ix +∈

Asumiendo n diferentes bienes, el plan de consumo puede expresar como:

( )1,...,n

nx x += ∈x R

3


Asumiendo que X = , el conjunto de elección (X) cumple con lassiguientes propiedades:

n+R

1. n+∅ ≠ Χ ⊆ R

2. X es cerrado

3. X es convexo

4. (0,…,0) Є X

4


Ejemplos de conjuntos de elección

1. Asumiendo n=2, 1 20, 0x x≥ ≥

1x

2x

2+Χ = R

5


2. Asumiendo n=2, 1 20, 0 24x x≥ ≤ ≤

Horas de ocio

1x

2x

Χ

24

6


3. Asumiendo n=2, , sólo puede consumirse en cantidades discretas.1 0x ≥

1x

2x

2x

1x3x

2x

1 2 3, ,x x x ∈ Χ

¿Es X convexo?

7

2. El conjunto factible (B)

El conjunto alcanzable , , se define como:B ⊆ Χ

{ }B I= ∈ Χ ≤x p .x

Donde:

( )1 2 3, , ..., 0p p p=p : Vector de precios

I : Ingreso del consumidor (en términos monetarios)

La restricción presupuestal se define como:

1 1 2 2

.... n n

Ip x p x p x I

≤+ + + ≤

p x

Los precios y el ingreso son exógenos 8

La restricción presupuestal es:

Para n=2


1x1I p

2x

2I p 1 1 2 2p x p x I+ =

9

Factible


No es factible

Exáctamente factible

1 1 2 2p x p x I+ =

1x1I p

2x

2I p


10

ConjuntoFactible


1 1 2 2p x p x I+ =

1x1I p

2x

2I p


Así, la pendiente de la restricciónpresupuestal es: ‐p1/p2

De la restricción presupuestal se puede despejar

12 1

2 2

p Ix xp p

= − +

11


La pendiente de la restricción presupuestaria nos indica el costo deoportunidad de aumentar el consumo de una unidad del bien 1.

Si aumenta en consumo del bien 1 en una unidad, el consumo del bien 2 sereduce en p1/p2 unidades.

De manera similar, el costo de oportunidad de una unidad adicional del bien 2 es p2/p1 unidades del bien 1.

El conjunto factible depende de los precios y el ingreso. ¿Qué sucede cuando estas variables cambian?

12

Para n=2

1x0 1I p

2x

1 2I p

2 2I p

0 2I p

1 1I p 2 1I p

0 1 2I I I< <


Cambios en el ingreso del consumidor

Cambios en el ingreso implicandesplazamientos paralelos de la restricciónpresupuestal.

13


Para n=2

1x

2x

2I p

1I p ,1I p

,1 1p p<

Cambios en los preciosEl precio del bien 1 se reduce

Cambios en los precios modifican lapendiente de la restricción presupuestal.

1

2

pp

−

,1

2

pp

−

14


Aplicación de impuesto Ad Valorem

Un impuesto Ad Valorem de una tasa t incrementa lo precio de p a (1+ t)p

La restricción presupuestal se modifica de la siguiente manera:

( ) ( )1 1 2 21 1t p x t p x I+ + + =

O lo que es equivalente:

( )1 1 2 2 1p x p x I t+ = +

Así, la aplicación de un impuesto Ad Valorem es equivalente a una pérdida en elingreso:

( )11

tI I t It

− + =+

15

Para n=2

1x

2x

( ) 21It p+

2I p

1I p


( ) 11It p+

Un impuesto uniforme a los precios de una tasa tes equivalente a la aplicación de un impuesto sobreel ingreso equivalente a:

( )1t

t+

16

Cupones de consumo

1x

1x

2I p

1I p


2x2x: Dinero asignado a gasto en educación.

: Dinero asignado a otros bienes.

El gobierno otorga un cupón por una cantidad N > 0, intransferible, en gasto en educación.

1

I Np+ 17

3. La relación de preferencias:

Relación binaria que permite comparar pares de canastas que pertenecen al conjunto deelección de consumo X.

Definición:

Sean las canastas , si se dice que , entonces la canastaes considerada por el consumidor al menos tan buena como la canasta .

1 2 y x x∈Χ ∈Χ 1 2x x 1x2x

Decimos que la relación de preferencias es una relación de preferencias débil ,concretamente, la canasta es débilmente preferida a la canasta .1x 2x

Definición:

La relación binaria definida en X se define como una relación de preferencias estricta.Si , entonces la canasta es estrictamente preferida a la canasta . Es decir:1 2x x 1x 2x

1 2 1 2x x x x⇔ pero2 1x x/

18


Definición:

La relación binaria definida en X se define como una relación de indiferencia. Es decir:

∼

1 2 1 2 2 1 x x x x y x x⇔∼

Conjuntos que se definen en X a partir de la relación de preferencias:

Suponiendo la existencia de una canasta de referencia , denotada por 0x ∈Χ

( ) { }0 0x x x x= ∈Χ

( ) { }0 0x x x x= ∈Χ≺ ≺

: Conjunto débilmente preferido a la canasta dereferencia.

: Conjunto débilmente aborrecido a la canasta dereferencia.

19


( ) { }0 0x x x x= ∈Χ∼ ∼ : Conjunto de canastas indiferentes a 0x

( ) { }0 0x x x x= ∈Χ

( ) { }0 0x x x x= ∈Χ≺ ≺

: Conjunto de canastas estrictamente preferidas a 0x

: Conjunto de canastas estrictamente no preferidas a 0x

20


1x

2xPara n=2

X0x

( )0x

( )0x≺

( )0x∼

21


Axiomas sobre la relación de preferencias

Axioma 1: Completitud

Para todo , se debe cumplir que: o 1 2,x x ∈Χ 1 2x x 2 1x x

La relación de preferencias debe permitir la comparación de cualquier par decanastas que pertenecen al conjunto de elección.

Axioma 2: Transitividad

1 2 3, ,x x x ∈Χ1 2x x 2 3x x

Para todo

Si: y , se debe cumplir que 1 3x x

Este axioma asegura que las comparaciones realizadas por un individuo sean consistentes.

22


Por el axioma de transitividad, ninguna canasta puede pertenecer a más de unconjunto de indiferencia.

Supongamos que:

( ) { }2 0 0x x x x x∈ = ∈Χ∼ ∼

( ) { }2 1 1x x x x x∈ = ∈Χ∼ ∼0 1x x≠

Asumiendo que 0 1x x/∼

2x no puede simultáneamente pertenecer a ambos conjuntos de indiferencia, porque se viola el axioma de transitividad.

0 1x x∼ y 2 1x x∼ , por transitividad, entonces 0 1x x∼Si ⇒⇐

¡No existe intersección entre conjuntos de indiferencia distintos! 23


1x

2xPara n=2

X

0x

( )0x

( )0x≺

( )0x∼

Los axiomas de completitud ytransitividad permiten que el conjunto deindiferencia:a) Tenga zonas gruesasb) No incluya algunos de sus puntos

fronterac) Tenga zonas crecientes( )0x∼

¡Es necesario la imposición de otros axiomas!

24


Axioma 3: Continuidad

Definiciones previas

Bola Abierta: ( ) { }0 0,nB x x x x xε ε+= ∈ − <R

0xε

Conjunto Abierto en D: Sea D un subconjunto de , un subconjunto S de D es abierto si tal que

n+R

, 0x S ε∀ ∈ ∃ > ( )B x D Sε ∩ ⊂25


Conjunto cerrado en D: Sea D un subconjunto de , Un subconjunto S de D es cerrado en D si su complemento, el conjunto , es abierto en D.

n+R

{ }S x D x S= ∈ ∉

El axioma de continuidad establece que para todo , los conjuntos y son conjuntos cerrados.

0 nx +∈R ( )0x ( )0x≺

Así, el axioma de continuidad elimina “hoyos” en los conjuntos y ( )0x ( )0x≺

Definición:

La relación de preferencias es continua si los puntos límites de las sucesiones y que cumplen que , satisfacen:

{ }1

s

sx

∞

={ }1

s

sy

∞

=

s sx y

x ylim s

sx x

→∞= lim s

sy y

→∞=y

26


La continuidad de la relación de preferencias garantiza que no exista reversión en lapreferencias.

El caso de las preferencias lexicográficas

Para n=2, las preferencias se definen como:

x y

Si 1 1x y> o si 1 1 2 2, x y x y= >

Consideremos las siguientes sucesiones de canastas:

( )( )1 ,0

0,1

s

s

x s

y

=

=

27


Si s = 1, ( ) ( )1 1 1 11,0 , 0,1x y x y= = ⇒

Si s = 2,

Si s = 3,

( ) ( )2 2 2 21 2,0 , 0,1x y x y= = ⇒

( ) ( )3 3 3 31 3,0 , 0,1x y x y= = ⇒

( ) ( )lim 0,0 , lim 0,1 , s s s s s s

s sx y x y y x

→∞ →∞= = ⇒ /

Las preferencias lexicográficas no son continuas, por lo que pueden implicar la reversión de las preferencias

28


Axioma 4: No saciedad local

Para todo y para todo , existe , tal que:0 nx +∈R 0ε > ( )1 0 nx B xε +∈ ∩R1 0x x

Este axioma elimina la posibilidad de“zonas gruesas” de indiferencia. Sinembargo, no se elimina la posibilidad deque la canasta elegida tenga menosbienes que la canasta de referencia.

1x

2x

0x

( )0x∼

29


Axioma 4.1: Monotonicidad estricta

Para todo , si , entonces . Mientras que si ,entonces

0 1, nx x +∈R 0 1x x≥ 0 1x x 0 1x x>0 1x x

1x

2x

0x

( )0x∼

El axioma de monotonicidad elimina zonascrecientes del conjunto de indiferencia.

30

Axioma 5: Convexidad


0 1, nx x +∈R 0 1x xPara todo , si , entonces:

( )1 0 01tx t x x+ − [ ], 0,1t∀ ∈

Versión estricta:

0 1, nx x +∈R 0 1x x

( )1 0 01tx t x x+ − ( ), 0,1t∀ ∈

Para todo y , si , entonces: 1 0x x≠

Son preferibles canastas balanceadas en lugar de canastas con proporciones “extremas de unode los bienes”

31

3. La relación de preferencias: Finalmente, si se cumplen los axiomas mencionados (convexidad en su versión estricta) elconjunto de indiferencia para el caso de dos bienes puede verse como en el siguientegráfico.

1x

2x

0x

( )0x∼

32

4. El Axioma de comportamiento del consumidor

Definición:

Una función es una Función de Utilidad que representa a la relaciónde preferencias , si se cumple:

: nU + →R R0 1 , nx x +∀ ∈R

( ) ( )1 0 1 0 x x U x U x⇔ ≥

Teorema:Si la relación de preferencias es completa, transitiva, continua y estrictamente monótona,entonces existe una función real continua, creciente , que representa dichaspreferencias.

: nU + →R R

Adicionalmente:1. U(X) es estrictamente creciente si y sólo si es estrictamente monótona.2. U(X) es cuasi‐cóncava si y sólo si es convexa.3. U(X) es estrictamente cuasi‐cóncava si y sólo si es estrictamente convexa. 33


Teorema:Sea una relación de preferencias definida en y supongamos que lafunción representa a dicha relación de preferencias. Entonces,representa a la relación de preferencias si y sólo si ,donde es estrictamente creciente en el conjunto de valores que tomaU

n+R

( )U x ( )V x( ) ( )( ) , nV x f U x x += ∀ ∈R

:f →R R

Transformaciones monótonas de una función de utilidad representan lasmismas preferencias.

( )1 2 1 2,U x x x xα β=

( ) ( )1 2 1 2, , , 0V x x U x xθ

θ= >⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( )1 2 1 2, , , V x x U x x k k= + ∈R

( ) ( )1 21 2

1,,

V x xU x x

=

( ) ( )1 21 2

1,,

V x xU x x

= −

( )1 2 1 2, ln lnV x x x xα β= +

Ejemplos:

34


Utilidad Marginal

Es la utilidad adicional que reporta el consumo de una unidad adicional de unbien:

( )1,..., ni

i

U x xUMg

x∂

=∂

Curva de IndiferenciaUna curva de indiferencia es el conjunto de canastas que reportan el mismo nivelde utilidad.

Una curva de indiferencia es equivalente al conjunto de indiferencia definidopreviamente, asociado a un nivel de utilidad específico.

35


Mapa de Indiferencia

1x

2x

0U 1U2U

3U4U

4 3 2 1 0U U U U U> > > >Una curva deindiferencia es lacurva de nivel deuna función deutilidad.

36


La curvas de indiferencia típicas tienen las siguientes propiedades:1. Tienen pendiente negativa2. Son convexas respecto al origen 3. No se cortan

Tasa Marginal de Sustitución (TMS)

Es el costo de oportunidad de sacrificar el consumo de un bien por una unidad de otro bien, manteniendo el mismo nivel de utilidad. Así, la TMS se mide a través de la pendiente de la curva de indiferencia.

Teniendo en cuenta el teorema de la función implícita la pendiente la una curvade indiferencia se calcula como:

2 1 1

1 2

2

Ud x x U M g

Ud x U M gx

∂∂

= − = −∂∂

Y la TMS entre los bienes 1 y 2 es:

11 , 2

2

U M gT M SU M g

= −37


1x

2x

1x

2x

1x

2x

1x

2x

Preferencias típicas (Cobb‐Douglas) Sustitutos perfectos

Complementos perfectos Preferencias cuasilineales

( )1 2 1 2,U x x x xα β=

( )1 2 1 2,U x x ax bx= +

( ) { }1 2 1 2, min ,U x x ax bx= ( )1 2 1 2,U x x x x= +

38


Problema de elección del consumidor

Supuestos:Los consumidores son tomadores de precios: p>> 0Los consumidores tienen ingresos monetarios exógenos:I

El objetivo del consumidor es escoger , tal que *x B∈ * , x x x B∀ ∈

Recordemos que el conjunto factible se define: { }.B x p x I= ∈ Χ ≤

Así, el problema del consumidor es un problema de optimización restringida

( )m ax

su jeto a .

nxU x

p x I+∈

≤R

39


1x

2x

*x

Gráficamente:

0U1U

2U

*2x

*1x

2I p

1I p

Cómo U(x) es una función real y continua y B es no vacioy compacto (cerrado y acotado). Por el Teorema deWeirtrass, el problema tiene solución. Además, B esconvexo. Si U(x) es estrictamente cuasi‐cóncava, lasolución es única.

El problema de optimización restringida del consumidor se puedesolucionar formulando la función Lagrangiano y aplicando lascondiciones de Kuhn‐Tucker.

40


Formulando el Lagrangiano

( ) ( ) [ ], .L x U x p x Iλ λ= − −

Las condiciones de Kuhn‐Tucker están dadas por:

( ) ( )**,

0ii i

U xL xp

x xλ

λ∂∂

= − =∂ ∂

( ) [ ]*,. 0 , .

L xp x I p x I

λλ

λ∂

= − ≤ −∂

A)

B)

De A), por monotonicidad estricta, se debe cumplir la restricción presupuestal comoigualdad.

( )m ax

su jeto a .

nxU x

p x I+∈

=R

41


Adicionalmente, de A)

( )** i

i

U x xp

λ∂ ∂

=( )*

* j

j

U x xp

λ∂ ∂

=

( ) ( )* *i j

i j

U x x U x xp p

∂ ∂ ∂ ∂=

( )( )

*

* , 1, 2,..., ; i i

jj

U x x p i n i jpU x x

∂ ∂= ∀ = ≠

∂ ∂

Así, el consumidor maximiza su utilidad en el punto en el que la TMS entre dos bienes es igual a sus precios relativos.

( )( )

*

, * , 1, 2,..., ; ii i

i jj jj

U x xUMg pTMS i n i jUMg pU x x

∂ ∂= = = ∀ = ≠

∂ ∂42


Finalmente, que resuelve el problema de optimización restringida delconsumidor viene dado por el sistema de demandas ordinarias(Marshallianas).

*x

( )( )

( )

*1 1

*2 2

*1 1

,

,

,

x x p I

x x p I

x x p I

=

=

=

43

fundamentos de teoría del consumidor

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