unidad 3 - teoría del consumidor

EconomıaGeneral

Jose DavidSolorzano

III Cuatrimestre 2013

Economıa GeneralTeorıa del Consumidor

Jose David Solorzano

Octubre 2013

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Axiomas de decisiones racionalesPropiedades del comportamiento racional

Cuando un individuo afirma que “A es preferido a B” se entiende quese siente mejor con la situacion A que en la situacion B. La relacionde preferencia tiene las siguientes propiedades:

Completitud: Si A y B son dos situaciones cualesquiera, el indivi-duo siempre puede elegir entre las posibilidades:

1 A es preferido a B2 B es preferido a A3 A y B son igualmente preferidos

Transitividad: Si el individuo afirma que A es preferido a B y B espreferido a C, entonces A es preferido a C.

Continuidad: Si un individuo afirma que “A es preferido a B”entonces tambien “Cercano a A es preferido a B”

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Utilidad

Dados los axiomas de elecciones racionales es posible ordenar to-das las situaciones de la menos a la mas deseable.

A este ordenamiento Jeremy Bentham le llamo utilidad.

Las situaciones mas deseables ofrecen mayor utilidad que las me-nos deseables.

Si A es preferido a B entonces U(A) > U(B)

Aunque a la utilidad se le puede asignar un valor numerico, esevalor no tiene ningun significado ni es comparable a traves dediferentes individuos. Solo se utiliza para comparar situacionesdel mismo individuo

Es como un ranking de una pelıcula

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Utilidad

La funcion de utilidad puede representarse de la siguiente manera:

Utilidad = U(x1, x2, . . . , xn; otras cosas)

donde xi se refiere a las cantidades consumidas de diferentes bie-nes. Otras cosas son los otros factores que tambien afectan lautilidad (por ejemplo, el clima)

Se centra la atencion en el consumo de bienes y por tanto sepuede obviar las “otras cosas” asumiendo ceteris paribus

Utilidad = U(x1, x2, . . . , xn)

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Bienes economicosMas es mejor

Se asume que un consumo mayor de un bien es preferido a menosconsumo

Esto se puede observar en la siguiente figura

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Curvas de indiferenciaCombinaciones de bienes con la misma utilidad

Una curva de indiferencia es el conjunto de cestas de consumo enel que el individuo es indiferente, es decir, que generan el mismonivel de utilidad.

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Relacion marginal de sustitucionRMS

El negativo de la pendiente de una curva de indiferencia en unpunto se llama relacion marginal de sustitucion (RMS), es decir:

RMS = −dy

dx

∣∣∣∣U=Ui

La relacion marginal de sustitucion indica acerca del intercambioque harıa una persona del bien x por el bien y para mantenersecon el mismo nivel de utilidad

Esta relacion varıa a lo largo de la curva (la pendiente se hace cadavez menor en terminos absolutos), lo que muestra que mientrasmas se tiene de un bien menos se esta dispuesto a ofrecer por unaunidad mas

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Mapa de Curvas de indiferenciasCurvas de nivel de una funcion de dos variables

Se pueden graficar varias curvas de indiferencia en un mismo plano

Cada curva de nivel representa diferentes niveles de utilidad, mien-tras mas alejadas esten del origen mayor es la utilidad

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ConvexidadBalance en el consumo

Un conjunto de puntos se dice convexo si dos puntos cualesquierase pueden unir por un segmento de recta que este contenido enel conjunto

La convexidad es equivalente a la propiedad de una RMS decre-ciente

Si la curva de indiferencia es estrictamente convexa la combina-cion (x1+x2)

2 y (y1+y2)2 son preferidos a las combinaciones iniciales.

Esto significa que un consumo balanceado es preferido a consumode canastas de bienes con mucho de un producto

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ConvexidadGrafica

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Derivacion matematica de la RMS

Si la utilidad de una persona en esta representada por U(x,y),entonces:

dU =∂U

∂xdx +

∂U

∂ydy

En una curva de indiferencia particular dU = 0, entonces:

RMS = −dy

dx

∣∣∣∣U=cte

=∂U/∂x

∂U/∂y

Esto quiere decir que la RMS de x por y es la razon de la utilidadmarginal de x entre la utilidad marginal de y

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Funciones de UtilidadFunciones que expresan diferentes preferncias

Cobb-Douglas:U(x , y) = xαyβ

Los valores de α y β indican la importancia relativa de los bienespara el individuo. Usualmente se normaliza α + β = 1

Sustitutos perfectos

U(x , y) = αx + βy

Esta relacion lineal que tiene una RMS constante indica que lapersona esta dispuesta a cambiar la misma cantidad de un bienpor otro

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Funciones de UtilidadFunciones que expresan diferentes preferncias

Complementos perfectos:

U(x , y) = mın (αx , βy)

En este caso α y β son parametros positivos. Esta funcion indi-ca que se requiere una proporcion exacta de los dos bienes paraconsumir, no se puede consumir mas de uno y aumentar la utilidad

CES

U(x , y) =xδ

δ+

yδ

δ

para δ ≤ 1, δ 6= 0 y

U(x , y) = ln x + ln y

cuando δ = 0 Esta funcion es una generalizacion de los casosanteriores, lo que hace probar casos que esten entre esos

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Funciones de UtilidadGraficas

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El caso de muchos bienesGeneralizacion del caso de dos bienes

La utilidad esta en funcion de n bienes:

Utilidad = U(x1, x2, ..., xn)

El diferencial total de esta expresion es

dU =∂U

∂x1dx1 +

∂U

∂x2dx2 + . . .+

∂U

∂xndxn

Como antes, sabemos que dU = 0, y manteniendo constante lascantidades diferentes a solo dos tenemos:

dU = 0 =∂U

∂xidxi +

∂U

∂xjdxj

Por lo tanto

RMS(xi por xj) = −dxjdxi

=∂U/∂xi∂U/∂xj

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Maximizacion de utilidadCrıtica a la teorıa de la eleccion

El modelo del comportamiento del consumidor asume que esta li-mitado por su poder adquisitivo y busca maximizar su utilidad. Sebasa en los axiomas de eleccion

Aunque el consumidor en la realidad no conozca sus funciones deutilidad, de manera subjetiva si optimiza su utilidad tomando encuenta su restriccion presupuestaria

El altruismo tambien provee utilidad

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Maximizacion de utilidadPrincipio de Optimizacion

Principio de optimizacion

Para maximizar la utilidad, dada una cantidad de renta fija disponiblepara gastar, un individuo comprara las cantidades de bienes que agotensu renta total y para las que la relacion de intercambio psıquica entredos bienes cualquiera (RMS) sea igual a la tasa a la que se puedeintercambiar esos bienes entre sı en el mercado.

Como no hay saciedad, es logico que se exija gastar toda la rentapara maximizar la utilidad

La tasa a la que se cambia un bien por el otro en el mercado vienedada por el cociente de sus precios

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Restriccion presupuestariaAnalisis grafico

El individuo tiene que asignar I unidades monetarias entre el bienx y el bien y . Si px y py son sus precios, entonces:

pxx + pyy ≤ I

Un individuo solo puede elegir combinaciones en el area sombreada

La pendiente de esa recta es −px/py

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Condiciones de primer ordenPunto optimo

Si solo se puede elegir las cesta de bienes que estan en el areadefinida por la restriccion presupuestaria se desea elegir la cestaque brinda la mayor utilidad posible

Las curvas de utilidad mientras mas largo estan del origen mayorutilidad representa

Por estas dos razones el punto que se debe elegir es en el cual lacurva de indiferencia sea tangente con la restriccion presupuestaria

La pendiente de la restriccion presupuestaria debe ser igual a lapendiente de la curva de indiferencia

−pxpy

=dy

dx

∣∣∣∣U=cte

pxpy

= −dy

dx

∣∣∣∣U=cte

= RMS(de x por y)

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Condiciones de primer ordenAnalisis grafico

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Condiciones de segundo ordenNecesidad de la convexidad

La condicion de tangencia es condicion necesaria pero no sufi-ciente. Se puede dar el caso que se cumpla la condicion de primerorden pero no se alcance la utilidad maxima como se muestra enel siguiente grafico

Por tanto se debe de suponer cuasi concavidad de las curvas deindiferencia, es decir, que la RMS sea decreciente, para que latangencia sea una condicion suficiente

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El caso de n bienesDerivacion matematica

Con n bienes el objetivo del individuo es maximizar la utilidad quegeneran estos bienes:

Utilidad = U(x1, x2, . . . , xn)

Sujeto a la restriccion presupuestaria:

I = p1x1 + p2x2 + . . .+ pnxn

oI − p1x1 − p2x2 − · · · − pnxn = 0

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Condiciones de primer ordenEl Lagragiano

Para realizar la optimizacion anterior se plantea el Lagrangiano

L = U(x1, x2, . . . , xn) + λ(I − p1x1 − p2x2 − . . .− pnxn)

Derivando e igualando a cero:

∂L

∂x1=∂U

∂x1− λp1 = 0

∂L

∂x2=∂U

∂x2− λp2 = 0

...

∂L

∂xn=∂U

∂xn− λpn = 0

∂L

∂λ= I − p1x1 − p2x2 − · · · − pnxn = 0

Estas n + 1 ecuaciones se puede resolver para obtener los valoresoptimos de x1, x2, . . . , xn y para λ

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Condiciones de primer ordenImplicaciones

Reescribimos los resultados de la optimizacion anterior para dosbienes cualesquiera xi y xj ,

∂U/∂xi∂U/∂xj

=pipj

Pero sabemos que el cociente de las utilidades marginales de dosbienes es igual a la RMS entre ambos, por tanto

RMS(xi por xj) =pipj

Este es el mismo resultado derivado de forma grafica para el casode dos bienes

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Multiplicador de LagrangeInterpretacion

Otra manera que se puede reescribir las soluciones optimas delproblema planteado es la siguiente

λ =∂U/∂x1

p1=∂U/∂x2

p2= . . . =

∂U/∂xnpn

o lo que es lo mismo

λ =UMx1

p1=

UMx2

p2= . . . =

UMxn

pn

Estas ecuaciones indican que cada bien adquirido debe ofrecer lamisma cantidad marginal por dolar gastado en ese bien

Si no se cumpliera esta condicion, se puede asignar un mayormonto gastado al bien que brinde el mas alto cociente

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Multiplicador de LagrangeInterpretacion

La ecuacion anterior plantea que un dolar adicional deberıa ofrecerla misma utilidad marginal independientemente en que bien segaste

Se puede considerar λ como la utilidad marginal de un dolar adi-cional en consumo (la utilidad marginal de la renta)

Si reescribimos de otra manera los resultados

pi =UMxi

λ

lo que afirma que el precio de cada bien que compra el indivi-duo representa su evaluacion de la utilidad de la ultima unidadconsumida

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Funcion de utilidad indirectaV (p1, p2, . . . , pn, I )

Los valores obtenidos de la optimizacion por lo general dependende los precios de todos los bienes y la renta del individuo (Estasson funciones de demanda)

x∗1 = x1(p1, p2, . . . , pn, I )

x∗2 = x2(p1, p2, . . . , pn, I )

...

x∗n = xn(p1, p2, . . . , pn, I )

Si sustituimos estos valores en la funcion de utilidad, obtenemos

Utilidad maxima = U(x∗1 , x∗2 , . . . , x

∗n )

= V (p1, p2, . . . , pn, I )

La funcion de utilidad indirecta V indica que la utilidad de unindividuo depende indirectamente de los precios de los bienes ydel ingreso

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El principio de grandes cantidadesIntuicion

Ilustra la superioridad en los impuestos al ingreso de las personassobre los impuestos a un bien especıfico

Este resultado se deriva del hecho que un impuesto a la renta dejala libertad individual de decidir como asignar sus recursos

Los impuestos cambian el poder adquisitivo de la persona y dis-torsionan sus decisiones porque se crean precios artificiales

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El principio de grandes cantidadesGrafico

Graficamente se tiene que con el impuesto sobre el producto secambia la pendiente de la restriccion presupuestaria (razon deprecios) y con el impuesto sobre la renta se desplaza hacia laizquierda

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Minimizacion del gastoProblema dual de la Maximizacion de utilidad

Para el problema primal de la maximizacion de la utilidad sujetoa la restriccion presupuestaria se tiene asociado el problema dualde la minimizacion del gasto sujeto a alcanzar determinado nivelde utilidad

Los dos problemas son equivalentes en el sentido que da los mis-mos valores optimos de x1, x2, ..., xn

Algunas veces este enfoque del problema es mas util porque losgastos son directamente observable, mientras que la utilidad nolo es

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Minimizacion del gastoGrafico

Para resolver el problema dual se debe de alcanzar la curva deutilidad con la recta presupuestaria mas cerca al origen

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Minimizacion del gastoPlanteamiento matematico

Formalmente el problema se puede plantear como la minimizacionde

gasto total = E = p1x1 + p2x2 + . . .+ pnxn

sujeto a la restriccion

utilidad = U = U(x1, x2, ..., xn)

Los valores optimos van a depender de los precios y del nivel deutilidad requerida. Esta dependencia se resume en la funcion degasto

La funcion de gasto muestra el gasto mınimo necesario para alcan-zar un determinado nivel de utilidad para un determinado conjuntode precios

gasto mınimo = E (p1, p2, ..., pn,U)

Esta es la funcion inversa de la funcion de utilidad indirecta

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Funciones de demandaDerivadas del problema primal del consumidor

Las funciones de demanda fueron las obtenidas como solucion delproblema primal del consumidor

Al resolver la maximizacion con restricciones se tiene:

x∗1 = x1(p1, p2, . . . , pn, I )

x∗2 = x2(p1, p2, . . . , pn, I )

...

x∗n = xn(p1, p2, . . . , pn, I )

Ahora analizaremos que ocurre cuando cambia el ingreso o cuandocambia el precio de un bien

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Variaciones de la renta∂x∂I

A medida que aumenta la renta la cantidad de cada bien compradotambien incrementa

Como la razon pxpy

permanece constante, lo que pasa es que la res-

triccion presupuestaria se desplaza paralelamente hacia la derecha

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Bienes normales e inferioresVariaciones en la renta

En la figura anterior tanto ∂x/∂I y ∂y/∂I son positivas. Este esel caso de los bienes normales

Si se tiene que ∂z/∂I es negativo entonces tenemos un bien infe-rior

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Cambios en el precio del bien∂x∂px

El efecto de un cambio del precio de un bien en la cantidad de-manda es mas complejo de analizar que el efecto de la renta

Geometricamente es porque un cambio en el precio hace variar nosolo el intercepto de la restriccion presupuestaria pero tambien supendiente

Por lo tanto, moverse a la nueva opcion mazimizadora implica nosolo un movimiento de la curva de indiferencia, sino tambien unaalteracion de la RMS

Cuando cambia el precio de un bien entran en juego dos efectos:el efecto sustitucion y el efecto renta

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Cambios en el precio del bienGrafico

La figura ilustra los dos efectos que suceden cuando hay una dis-minucion del precio del bien x

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Cambios en el precio del bienAnalıticamente

Se tiene una recta presupuestaria I = p1xx + pyY . Y ahora su-

pongamos que el precio baja a p2x ,ası que se tiene la nueva recta

presupuestaria I = p2xx + pyY

El movimiento a un nuevo punto optimo se puede descomponeren dos movimientos

El primero se debe al cambio de la pendiente, al disminuir pxse vuelve menos inclinada negativamente la recta presupuestaria,ası que se mueve sobre la misma curva de indiferencia hacia unnuevo punto donde consume mas de x . Este es el efecto sustitu-cion.

Despues ocurre lo mismo que pasaba cuando variaba la renta, lapersona ahora tiene mayor renta real y puede obtener una utilidadmayor desplazando hacia la derecha. Este es el efecto renta.

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Cambios en el precio del bienGrafico

La figura ilustra los dos efectos que suceden cuando hay un au-mento del precio del bien x

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Cambio de precios de un bien inferiorEfecto renta y efecto sustitucion contrarios

Para el caso de bienes inferiores el efecto renta y el efecto susti-tucion actuan en direccion contraria

Una disminucion en el precio provocara que por el efecto sustitu-cion el individuo consuma mas del producto, pero por el efectorenta el individuo va a consumir menos del producto

Por lo tanto, el resultado esta indeterminado y va a depender dela magnitud de los dos efectos

Si el efecto ingreso es mayor que el efecto sustitucion, resul-tara que a mayor precio la cantidad consumida sera mayor. Estaes la paradoja de Giffen.

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Curvas de demandaDescripcion

Asumiendo que solo se tienen dos bienes, la curva de demandaesta dada por

x∗ = x(px , py , I )

Si mantenemos constante py e I . Esto para poder graficar en elplano cartesiano

x∗ = x(px , py , I )

El grafico muestra las cantidades maximizadoras de utilidad de xe y a medida que se bajan los precios de x manteniendo constantelo demas

Asumimos que no son bienes Giffen

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Curvas de demandaGrafico

La curva de demanda se construye a partir de las curvas de indi-ferencias al variar los precios

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Curva de demanda compensadaDemandas hicksianas

En la figura anterior, el nivel de utilidad varıa a medida que elprecio cambia

Esto ocurre porque la curva de demanda se construye manteniendoconstante el ingreso nominal, por lo que una disminucion en elprecio hace aumentar el poder adquisitivo

Una manera alternativa de construir curvas de demanda puede sermanteniendo el ingreso real constante (o Utilidad)

En este caso al aumentar el precio de un bien, para mantenerse enel mismo nivel de utilidad, al individuo se le tiene que compensaren su ingreso nominal

Una curva de demanda compensada muestra la relacion entre elprecio de un bien y la cantidad consumida asumiendo que los otrosprecios y la utilidad permanecen constantes. Tambien se le llamacurva de demanda hicksiana

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Curva de demanda compensadaGrafica

La demanda hicksiana se puede representa por

x = xc(px , py , U)

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Relacion entre las curvas de demandascompensadas y no compensadasDemandas marshallianas vs demandas hicksianas

A un precio determinado las demandas son iguales porque el ingre-so nominal es igual al ingreso real, es decir, con el ingreso nominalse puede alcanzar el nivel de utilidad de la demanda compensada

Para precios menores que este la demanda compensada es me-nor que la demanda no compensada porque se reduce el ingresonominal para mantener el mismo nivel de utilidad

Para precios mayores la demanda compensada es mayor que lademanda no compensada porque se compensa el ingreso nominalpara mantener el mismo nivel de utilidad

Para cuestiones practicas se usan mas las demanda marshallianasporque los datos son observables, pero para cuestiones teorica lasdemandas hicksianas son muy utiles

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Relacion entre las curvas de demandascompensadas y no compensadasGrafico

La demanda compensada es menos sensible al precio que la de-manda no compensada

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Cambios en los preciosDerivacion matematica

Partimos de la funcion de gasto, que indica el gasto mınimo paraobtener un nivel deseado de utilidad

gasto mınimo = E (px , py ,U)

Entonces, por definicion

xc(px , py ,U) = x [px , py ,E (px , py ,U)]

La demanda compensada se obtiene al introducir el nivel de gastoen la funcion de demanda marshalliana

Si derivamos parcialmente la ecuacion

∂xc

∂px=

∂x

∂px+∂x

∂E× ∂E

∂px

reordenando se tiene∂x

∂px=∂xc

∂px− ∂x

∂E× ∂E

∂px

El primer termino de la expresion de la derecha indica el efectosustitucion y el segundo el efecto ingreso

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La ecuacion de Slutsky

La ecuacion anterior se puede reescribir sustituyendo ∂xc

∂pxpor

∂x∂px|u=cte y ∂E

∂pxpor x .

Esta ecuacion muestra que el efecto sustitucion y renta provoca-das por un cambio de precio puede ser representado por

∂x

∂px= efecto sustitucion + efecto sustitucion

∂x

∂px=

∂x

∂px

∣∣∣∣U=cte

− x∂x

∂I

La expresion del efecto sustitucion sera negativo siempre que laRMS sea decreciente

Si x es un bien normal entonces el segundo termino es positivo.En el caso del bien inferior, el termino es negativo. Si este terminoes suficientemente grande puede dar lugar a la paradoja de Giffen

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Identidad y LemasObtencion de las demandas

La identidad de Roy sirve para obtener la demanda Marshallianaa partir de la funcion de utilidad indirecta

x(px , py , I ) = −∂V /∂px∂V /∂I

El lema de Sheppard sirve para obtener la demanda hicksiana apartir de la funcion de mınimo gasto

xc(px , py ,U) =∂E

∂px

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Relacion entre los conceptos de demandaResumen

Problema primalMaximizar U(x , y)s.a. I = pxx + pyy

Utilidad indirectaU∗ = V (px , py , I )

Identidad de Roy

Demanda marshallianax(px , py , I ) = −∂V/∂px∂V/∂I

Problema dualMinimizar E (x , y)s.a. U = U(x , y)

Gasto mınimoE∗ = E (px , py , U)

Lema de Sheppard

Demanda hicksianaxc(px , py ,U) = ∂E

∂px

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