Capítulo 18

Tecnología

Es un proceso mediante el cual los insumos son convertidos en producto.

Por ejemplo, el trabajo, un proyector, un computador, la electricidad y el software, se combinan para producir ésta clase.

Generalmente diversas tecnologías producirán el mismo producto. Una pizarra y tiza pueden ser empleados en lugar del proyector y el computador.

¿Cuál es la “mejor” tecnología?¿Cómo podemos comparar

tecnologías?

Conjunto de insumos

xi denota la cantidad empleada del insumo i;

Un conjunto de insumos es el vector de cantidades de los insumos;(x1, x2, … , xn).

Por ejemplo: (x1, x2, x3) = (6, 0, 93).

Función de Producción

y denota el nivel de producción.La función de producción determina

la cantidad máxima de producción posible a partir del conjunto de insumos.

y f x xn ( , , )1

y = f(x) es la función de producción.

x’ xCantidad de insumo

producción

y’y’ = f(x’) es el máximo nivel de producción que se puede obtener de x’ unidades del insumo.

Un insumo, un producto

Conjunto de tecnologías Un plan de producción es un conjunto de

insumos y un nivel de producción; (x1, … , xn, y).

Un plan de producción es factible si

El conjunto de todos los planes factibles de

producción es el conjunto de tecnologías.

y f x xn ( , , )1

x’ x

y’

y”y” = f(x’) es un nivel de producción factible con x’ unidades del insumo.

y = f(x) es la función de producción.

Cantidad de insumo

producción

Un insumo, un producto

y’ = f(x’) es el máximo nivel de producción que se puede obtener de x’ unidades del insumo.

El conjunto de tecnologías es

}.0,,0

),,(|),,,{(

1

11

n

nn

xx

paraxxfyyxxT

x’ x

y’

y”

Conjunto detecnologías

Cantidad de insumo

producción

Un insumo, un producto

x’ x

y’

y” Planestecnológicamenteineficientes

Planes tecnológicamenteefecientes

Conjunto detecnologías

Cantidad de insumo

producción

Un insumo, un producto

Tecnologías con múltiples insumos¿Cómo se presenta el problema

cuando tenemos más de un insumo?El caso de dos insumos: las

cantidades de los insumos son x1 y x2. El nivel de producción es y.

Supongamos la siguiente función de producción

y f x x x x ( , ) .1 2 11/3

21/32

Por ejemplo, el máximo nivel de producción factible con el conjunto de insumos (x1, x2) = (1, 8) es

Y el máximo nivel de producción factible con el conjunto de insumos (x1,x2) = (8,8) es

y x x 2 2 1 8 2 1 2 411/3

21/3 1/3 1/3 .

y x x 2 2 8 8 2 2 2 811/3

21/3 1/3 1/3 .

y

x1

x2

(8,1)(8,8)

Una isocuanta es el conjunto de todos los insumos que generan como máximo el mismo nivel de producción y.

Isocuantas con dos insumos

y

y x1

x2

Las isocuantas se pueden graficar añadiendo el eje de producción y mostrando cada una de las isocuantas a una cierta altura correspondiente al nivel de producción.

y

x1

x2

y

y

Más isocuantas nos dicen más sobre la tecnología de producción.

y

y

x1

x2

y

y

y

x1

x2

y

y

y

y

El conjunto de isocuantas es el mapa de isocuantas.

El mapa de isocuantas es equivalente a la función de producción

Por ejemplo3/1

23/1

121 2),( xxxxfy

x1

x2

y

x1

x2

y

x1

x2

y

x1

x2

y

x1

x2

y

x1

x2

y

x1

y

x1

y

x1

y

x1

y

x1

y

x1

y

x1

y

x1

y

x1

y

x1

y

Tecnologías a laCobb-Douglas

Una función de producción a la Cobb-Douglas es de la forma

y Ax x xa anan 1 2

1 2 .

y x x 11/3

21/3

.3

1,

3

1,1,2 21 aaAn

x2

x1

Todas las isocuantas sonhipérbolas, son asintóticasa los ejes y nunca se tocancon ellos.

y x xa a 1 21 2

x2

x1

x x ya a1 21 2 "

y x xa a 1 21 2

Todas las isocuantas sonhipérbolas, son asintóticasa los ejes y nunca se tocancon ellos.

x2

x1

x x ya a1 21 2 '

x x ya a1 21 2 "

y x xa a 1 21 2

Todas las isocuantas sonhipérbolas, son asintóticasa los ejes y nunca se tocancon ellos.

x2

x1

x x ya a1 21 2 '

x x ya a1 21 2 "

y" y'>y x xa a 1 2

1 2

Todas las isocuantas sonhipérbolas, son asintóticasa los ejes y nunca se tocancon ellos.

Tecnología de proporciones fijas

Una función de producción de proporciones fijas es de la forma

y a x a x a xn nmin{ , , , }.1 1 2 2

y x xmin{ , }1 22

.2,1,2 21 aan

x2

x1

min{x1,2x2} = 14

4 8 14

247

min{x1,2x2} = 8min{x1,2x2} = 4

x1 = 2x2

y x xmin{ , }1 22

Tecnología de insumos sustitutos perfectos

Una función de producción con insumos sustitutos perfectos es de la forma

y a x a x a xn n 1 1 2 2 .

y x x 1 23

.3,1,2 21 aan

9

3

18

6

24

8

x1

x2

x1 + 3x2 = 18

x1 + 3x2 = 36

x1 + 3x2 = 48

Todas son lineales y paralelas

y x x 1 23

Producto Marginal

El producto marginal del insumo I es la tasa de cambio del nivel de producción cuando cambia el nivel de empleo del insumo, manteniendo constantes el nivel de empleo de los otros insumos.

Es decir,

y f x xn ( , , )1

ii x

yPMg

siy f x x x x ( , ) /

1 2 11/3

22 3

Entonces el producto marginal del insumo 1 es

3/22

3/21

11 3

1xx

x

yPMg

Y el producto marginal del insumo 2 es

3/22

3/21

11 3

1xx

x

yPMg

.3

2 3/12

3/11

22

xxx

yPMg

En general, el producto marginal de uno de los insumos depende de la cantidad empleada de los otros insumos. Por ejemplo, si

3/22

3/211 3

1xxPMg

3/2

13/23/2

11 3

48

3

1 xxPMg

Y si x2 = 27

si x2 = 8,

.3273

1 3/21

3/23/211

xxPMg

El producto marginal del insumo I es decreciente si se hace más pequeño a medida que se incrementa el empleo del insumo i. Es decir, si

.02

2

iiii

i

x

y

x

y

xx

PMg

3/22

3/211 3

1xxPMg 3/1

23/1

12 3

2 xxPMgy

Por ejemplo, si

y x x 11/3

22 3/

09

2 3/22

3/51

1

1 xxx

PMg

.09

2 3/42

3/11

2

2 xxx

PMg

Ambos productos marginales son decrecientes

Retornos a Escala

El producto marginal describe el cambio en el nivel de producción como resultado del cambio en el empleo de uno de los insumos.

Los retornos a escala describen cómo cambia el nivel de producción como resultado del cambio en las cantidades de todos los insumos en la misma proporción.

Si, para el conjunto de insumos (x1,…,xn),

f kx kx kx kf x x xn n( , , , ) ( , , , )1 2 1 2

Entonces la tecnología descrita por la función de producción presenta retornosconstantes a escala.Por ejemplo (k = 2); al duplicar el empleode todos los factores se duplica el nivelde producción.

y = f(x)

x’ x

y’

2x’

2y’

Retornos constantesa escala

Cantidad de insumo

producción

Un insumo, un producto

f kx kx kx kf x x xn n( , , , ) ( , , , )1 2 1 2

Entonces la tecnología descrita por lafunción de producción presenta retornosa escala decrecientes.Por ejemplo, (k = 2): duplicando el empleode todos los insumos, se obtiene menos del doble de producción.

Si, para el conjunto de insumos (x1,…,xn),

y = f(x)

x’ x

f(x’)

2x’

f(2x’)

2f(x’)

Retornos aescaladecrecientes

Cantidad de insumo

producción

Un insumo, un producto

f kx kx kx kf x x xn n( , , , ) ( , , , )1 2 1 2

Entonces la tecnología descrita por lafunción de producción presenta retornosa escala crecientes.Por ejemplo, (k = 2): duplicando el empleode todos los insumos, la producción crecemás del doble.

Si, para el conjunto de insumos (x1,…,xn),

y = f(x)

x’ x

f(x’)

2x’

f(2x’)

2f(x’)

Retornosa escalacrecientes

Cantidad de insumo

producción

Un insumo, un producto

Una tecnología puede mostrar “localmente” diferentes retornos a escala.

y = f(x)

x

Retornos a escaladecrecientes

Retornos a escalacrecientes

Cantidad de insumo

producción

Un insumo, un producto

Ejemplos de retornos a escala

y a x a x a xn n 1 1 2 2 .

La función de producción de insumossustitutos perfectos es

Si se incrementa el empleo de todos losinsumos proporcionalmente en el factor k,El nivel de producción cambia a:

a kx a kx a kxn n1 1 2 2( ) ( ) ( )

a kx a kx a kx

k a x a x a xn n

n n

1 1 2 2

1 1 2 2

( ) ( ) ( )

( )

a kx a kx a kx

k a x a x a x

ky

n n

n n

1 1 2 2

1 1 2 2

( ) ( ) ( )

( )

.

La función de producción de insumossustitutos perfectos presenta retornosa escala constantes.

y a x a x a xn nmin{ , , , }.1 1 2 2

La función de producción de insumoscomplementarios perfectos es

min{ ( ), ( ), , ( )}a kx a kx a kxn n1 1 2 2

Si se incrementa el empleo de todos losinsumos proporcionalmente en el factor k,El nivel de producción cambia a:

min{ ( ), ( ), , ( )}

(min{ , , , })

a kx a kx a kx

k a x a x a xn n

n n

1 1 2 2

1 1 2 2

min{ ( ), ( ), , ( )}

(min{ , , , })

.

a kx a kx a kx

k a x a x a x

ky

n n

n n

1 1 2 2

1 1 2 2

La función de producción de insumossustitutos perfectos presenta retornosa escala constantes.

y x x xa anan 1 2

1 2 .

La función de producción a la Cobb-Douglas es

( ) ( ) ( )kx kx kxa an

an1 2

1 2

Si se incrementa el empleo de todos losinsumos proporcionalmente en el factor k,El nivel de producción cambia a:

( ) ( ) ( )kx kx kx

k k k x x x

a an

a

a a a a a a

n

n n

1 21 2

1 2 1 2

( ) ( ) ( )kx kx kx

k k k x x x

k x x x

a an

a

a a a a a a

a a a a ana

n

n n

n n

1 2

1 2

1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

( ) ( ) ( )

.

kx kx kx

k k k x x x

k x x x

k y

a an

a

a a a a a a

a a a a ana

a a

n

n n

n n

n

1 2

1 2

1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1

( ) ( ) ( ) .kx kx kx k ya an

a a an n1 2

1 2 1

Los retornos a escala de la función deproducción a la Cobb Douglas sonconstantes si a1+ … + an = 1

( ) ( ) ( ) .kx kx kx k ya an

a a an n1 2

1 2 1

crecientes si a1+ … + an > 1

Los retornos a escala de la función deproducción a la Cobb Douglas sonconstantes si a1+ … + an = 1

( ) ( ) ( ) .kx kx kx k ya an

a a an n1 2

1 2 1

decrecientes si a1+ … + an < 1.

Los retornos a escala de la función deproducción a la Cobb Douglas sonconstantes si a1+ … + an = 1crecientes si a1+ … + an > 1

Pregunta: ¿Una tecnología puede presentar retornos a escala crecientes incluso si todos sus productos marginales son decrecientes?

respuesta: sí.Por ejemplo:

y x x 12 3

22 3/ / .

y x x x xa a 12 3

22 3

1 21 2/ /

a a1 2431 en consecuencia esta

tecnología presenta retornosa escala crecientes.

Pero 3/22

3/111 3

2xxPMg es decreciente

y3/1

23/2

12 3

2 xxPMgtambién es decreciente

En consecuencia, una tecnología puede presentar retornos a escala crecientes incluso si sus productos marginales son decrecientes. ¿Por qué?

El producto marginal es la tasa de cambio de la producción cuando el nivel de uno de los insumos se incrementa, manteniendo todos los otros insumos fijos.

El producto marginal es decreciente debido a que el nivel de empleo de los otros insumos es fijo, en consecuencia las unidades adicionales del insumo tienen cada vez menos y menos de los otros insumos con los cuales trabajar.

Cuando los niveles de todos los insumos se incrementan proporcionalmente, no es necesario que el productomarginal disminuya porque cada insumo siempre tendrá la misma cantidad de los otros insumos para trabajar. La productividad de los insumos no tiene por qué caer y, en consecuencia, los retornos a escala pueden ser constantes o crecientes.

La tasa marginal de sustitución de factores

¿A qué tasa se puede sustituir un insumo por otro sin modificar el nivel de producción?

x2

x1

y

x2'

x1'

x2

x1

y

La pendiente es la tasa a la cual se sacrifican unidades del insumo 2 para incrementar una unidad del insumo 1 sin cambiar el nivel de producción. La pendiente de la isocuanta se conoce como la tasa marginal de sustitución de factores.x2

'

x1'

¿Cómo se calcula la tasa marginal de sustitución de factores?

La función de producción esUn pequeño cambio (dx1, dx2) en el

conjunto de insumos genera un cambio en el nivel de producción igual a

y f x x ( , ).1 2

dyyx

dxy

xdx

1

12

2 .

dyyx

dxy

xdx

1

12

2 .

Pero dy = 0 porque no debe haber ningúncambio en el nivel de producción, en consecuenciaLos cambios dx1 y dx2 deben satisfacer

01

12

2

yx

dxy

xdx .

01

12

2

yx

dxy

xdx

reordenando

yx

dxyx

dx2

21

1

dxdx

y xy x

2

1

1

2

//

.

dxdx

y xy x

2

1

1

2

//

Es la tasa a la cual se sustituyen unidadesdel insumo 2 para incrementar en una unidadel insumo 1 manteniendo el nivel deproducción constante. Es la pendiente dela isocuanta.

Ejemplo con la función de producción a la Cobb Douglas

y f x x x xa b ( , )1 2 1 2

yx

ax xa b

1112

y

xbx xa b

21 2

1 .

dxdx

y xy x

ax x

bx x

axbx

a b

a b2

1

1

2

112

1 21

2

1

//

.

x2

x1

1

2

1

2

1

2

2)3/2(

)3/1(

x

x

x

x

bx

axTMgS

3

2

3

1;3/2

23/1

1 baxxy

x2

x1

8

4

142

8

2 1

2

x

xTMgS

x2

x1

6

12

142

8

2 1

2

x

xTMgS

Tecnologías regulares

Las tecnologías regulares sonmonotónicas, yconvexas.

Monotonicidad: Más de cualquier insumo genera más producción.

y

x

y

x

monotónica

nomonotónica

Convexidad: si el conjunto de insumos x’ y x” generan y unidades de producto, entonces la combinación tx’ + (1-t)x” proporciona al menos y unidades deproducto, para cualquier 0 < t < 1.

x2

x1

x2'

x1'

x2"

x1"

y

x2

x1

x2'

x1'

x2"

x1"

tx t x tx t x1 1 2 21 1' " ' "( ) , ( )

y

x2

x1

x2'

x1'

x2"

x1"

tx t x tx t x1 1 2 21 1' " ' "( ) , ( )

yy

x2

x1

x2'

x1'

x2"

x1"

La convexidad implicaque la TMgS es decrecientecuando x1 se incrementa.

x2

x1

yy

y

Mayores nivelesde producción

Corto y Largo Plazo

El largo plazo es el período de tiempo en el cual la empresa no tiene restricciones para escoger todos los niveles de empleo de todos los insumos.

Existen muchos “cortos plazos” posibles. El corto plazo es el período de tiempo en

el cual la empresa está restringida ,en alguna forma, para escoger el nivel de empleo de al menos uno de los insumos.

Ejemplo de restricciones en el corto plazo:Temporalmente es incapaz de instalar

o remover maquinariaEstá requerido por la ley a mantener

niveles positivos de empleo de algunos insumos

Sometido a regulaciones para contratar insumos locales.

¿Qué implican las restricciones de corto plazo en términos de la tecnología de producción?

Supongamos que la restricción de corto plazo es fijar el nivel del insumo 2.

El insumo 2 es, en consecuencia, un insumo fijo en el corto plazo. El insumo 1 se mantiene como un insumo variable.

x2

x1y

x2

x1y

x2

x1

y

x2

x1

y

x2

x1

y

x2

x1

y

x2

x1

y

x2

x1

y

x2

x1

y

x2 x1

y

x1

y

x1

y

x1

y

Four short-run production functions.

y x x 11/3

21/3

es la función de producción de largo plazo (x1 y x2 son variables).

La función de producción de corto plazocuando x2 1 es

.x1xy 3/11

3/13/11

La función de producción de corto plazocuando x2 10 es

.15210 3/11

3/13/11 xxy

x1

y

3/13/11 10xy

3/13/11 5xy

3/13/11 2xy

3/13/11 1xy