Függvények típusai

Gelle CsabaIV. matematika

Azt a halmazt, amelynek az elemeihez a másik halmaz egy-egy elemét rendeljük, a függvény értelmezési tartományának nevezzük.

Jelölése: D (pl. jelentése: az ƒ-fel jelölt függvény értelmezési tartománya)

Az értelmezési tartomány elemeihez rendelt elemek halmazát a függvény Az értelmezési tartomány elemeihez rendelt elemek halmazát a függvény értékkészletértékkészletének nevezzük.ének nevezzük.

Jelölés: R (pl. jelentése: az Jelölés: R (pl. jelentése: az ƒƒ-fel jelölt függvény értékkészlete)-fel jelölt függvény értékkészlete)Minden olyan halmazt, amelynek részhalmaza egy függvény értékkészlete, a Minden olyan halmazt, amelynek részhalmaza egy függvény értékkészlete, a

függvény függvény képhalmazképhalmazának nevezzük.ának nevezzük.

Függvény

fR

Az olyan hozzárendelést, ahol egy nem üres halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük egy szintén nem üres halmaz egy, de csakis egy elemét,

függvénynek nevezzük.

fD

Függvény megadása

Egy függvényt akkor tekintünk adottnak, ha ismerjük az

• értelmezési tartományát

• egy képhalmazát (lehetőleg az értékkészletét)

• azt az utasítást, amely megmondja, hogy az értelmezési tartomány elemeihez milyen módon rendeljük hozzá az értékkészlet elemeit.

A függvény megadása leggyakrabban történhet:

a) értéktáblázattal:

b) nyíldiagrammal:

c) képlettel:

x

f(x)

-3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4

9 4 1 1 4 90 25

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

ƒ: R→R x 2x + 1ƒ: R→R ƒ(x) 2x + 1ƒ: R→R y = 2x + 1

A függvény megadása történhet még:

d) grafikonnal

e) utasítással, körülírással,

f) különböző formulákkal

Függvénytípusok

Lineáris függvények: • konstans függvény

• elsőfokú függvény

Nem lineáris függvények:

• másodfokú függvény (parabola)

• abszolútérték függvény

• 1/x függvény (hiperbola)

• exponenciális függvény

• négyzetgyök-függvény

• logaritmus függvény

• trigonometrikus függvények

A lineáris függvény

Az ff matematikai függvényt lineáris függvénynek nevezzük, ha az nulladfokú, vagy elsőfokú.

A hozzárendelés szabálya a következő alakban adható meg:

Ha a értéke 0, akkor konstans függvényről beszélünk, és a grafikonja párhuzamos lesz az x tengellyel. Minden más esetben

metszi azt.A „lineáris” szó arra utal, hogy a függvény grafikonja egyenes.A „lineáris” szó arra utal, hogy a függvény grafikonja egyenes.

(Nem lehet párhuzamos az y tengellyel!!!)

bxaxf

bxaxf

)(

:

A konstans függvény

Az ff matematikai függvényt konstans függvénynek nevezzük, ha az értelmezési taromány minden elméhez az értékkészletnek ugyanazt az elemét rendeljük hozzá. Szokás nulladfokú függvénynek is nevezni.

A függvény grafikonja ekkor az x tengellyel párhuzamos egyenes.

f :f :4x

QQ

Például: minden f(x) képelem 4-gyel egyenlő a következő függvényben:

Az elsőfokú függvény

Egy a valós számok halmazán értelmezett ƒ függvény

elsőfokú, ha van olyan a,b R , a≠0, hogy:

Az „elsőfokú” elnevezés azt jelzi, hogy az x változó az első

hatványon fordul elő.

)(

)(

:

0

aahol

bxaxf

bxaxf

Például:

22

xx

QQ

f :f :

A másodfokú függvény

cxbxaxf

cxbxax

RRf

2

2

)(

:

Egy a valós számok halmazán értelmezett f f függvény másodfokú, ha van olyan a,b,c R, a≠0, hogy:

A függvény képe parabola.

x

f(x)

-3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4

9 4 1 1 4 90 25

A négyzetgyök-függvény

Egy a nem negatív valós számok halamazán értelmezett ƒ függvény négyzetgyök-függvény, ha

A függvény képe egy félparabola.

xxf

xx

RRf

)(

:

y

x

Abszolútérték függvény

Egy a valós számok halmazán értelmezett f f függvényt abszolútérték függvénynek nevezzük, ha

A függvény képe egy „v” alakbanmegtört egyenes.

Az értékkészletben a képhalmaznak csak a pozitív elemei, illetve a 0 szerepelnek.

0,

:)(

0,

xhax

xxf

xhax

Az 1/x függvény

Az f f függvényt reciprok illetve 1/x függvénynek nevezzük, ha a függvény hozzárendelése a következő:

f :f :

xx

RR

1

A függvény képe hiperbola. A tengelyeket nem éri el sehol!

Az exponenciális függvény

Legyen adott a>0, a≠1 valós szám. Egy

a valós számok halmazán értelmezett

szigorúan monoton ƒ függvényt a-alapú

exponenciális függvénynek nevezünk, ha

minden x racionális szám esetén.

A grafikon az y-tengelyt a (0;1) pontban

metszi.

xaxf

RRf

)(

:

)1()( aaxf x

)10()( aaxf x

xaxf )(

A logaritmus függvény

Legyen adott a>0, a≠1 valós szám. Azt

a valós számok halamazán értelmezett

ƒ függvényt, amely az a-alapú

exponenciális függvény inverz

függvénye a-alapú logaritmus

függvénynek nevezzük, és

módon jelöljük.

A grafikon az x-tengelyt az (1;0)

pontban metszi.

)1(log)( axxf a

)10(

log)(

a

xxf a

)1(

log)(

a

xxf a

xxf alog)(

Trigonometrikus függvények

Azt a valós számok halmazán értelmezett ƒ függvényt, amely minden valós számhoz az ugynennyi radián ívmértékű szög sinusát rendeli sinusfüggvénynek nevezzük, és ƒ(x)=sin x módon jelöljük.

Azt a valós számok halmazán értelmezett ƒ függvényt, amely minden valós számhoz az ugyanennyi radián ívmértékű szög cosinusát rendeli cosinusfüggvénynek nevezzük,és ƒ(x)=cos x módon jelöljük.

Trigonometrikus függvények

Azt a intervallumon értelmezett ƒ függvényt, amely minden

valós számhoz az ugyanannyi radián ívmértékű szög tangensét rendeli

tangensfüggvénynek nevezzük, és ƒ(x)=tg x módon jelöljük.

2;

2

Azt a intervallumon értelmezett ƒ függvényt, amely minden valós számhoz az ugyanannyi radián ívmértékű szög cotangensét rendeli cotangensfüggvénynek nevezzük, és ƒ(x)=ctg x módon jelöljük.

;0

3D függvények

Térben elhelyezkedő függvények, jelenleg felsőfokú anyag!