függvények ábrázolása, jellemzése i. · brósch zoltán (debreceni egyetem kossuth lajos...
TRANSCRIPT
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
1
Függvények ábrázolása, jellemzése I.
DEFINÍCIÓ: (Hozzárendelés)
Két nem üres 𝐴 és 𝐵 halmaz elemei közti kapcsolat (megfeleltetés, hozzárendelés, reláció), a
két halmaz elemeiből képezhető rendezett elempároknak egy nem üres részhalmaza.
DEFINÍCIÓ: (Alaphalmaz, képhalmaz)
Azt az 𝐴 halmazt, amelynek az elemeihez hozzárendeljük egy 𝐵 halmaz elemeit,
alaphalmaznak, a 𝐵 halmazt képhalmaznak nevezzük.
DEFINÍCIÓ: (Képelem, őselem)
Ha az 𝑓 hozzárendelés az 𝐴 alaphalmaz egy 𝑥 eleméhez a 𝐵 képhalmaz egy 𝑦 elemét rendeli,
akkor az 𝑦 - t az 𝑥 képének, 𝑥 - et az 𝑦 ősének nevezzük.
DEFINÍCIÓ: (Egyértelmű hozzárendelés)
Egyértelmű a hozzárendelés, ha az alaphalmaz elemeinek legfeljebb egy képük van a
képhalmazban. Ellenkező esetben többértelmű a hozzárendelés.
DEFINÍCIÓ: (Függvény)
Legyen az 𝑈 alaphalmaznak 𝐴 egy nem üres részhalmaza. Az 𝐴 halmazon értelmezett
függvénynek nevezzük a hozzárendelést, ha az 𝐴 halmaz minden elemének pontosan egy képe
van a 𝐵 képhalmazban.
Megjegyzés:
Azt is mondhatjuk, hogy az 𝐴 halmazt leképeztük a 𝐵 halmazba. Amennyiben 𝐵 minden eleme
hozzá van rendelve 𝐴 valamely eleméhez, akkor az 𝐴 halmazt a 𝐵 halmazra képeztük le.
Egy függvény akkor adott, ha megadtuk az értelmezési tartományát, értékkészletét és
hozzárendelési szabályát. Jelölés: 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵; 𝑥 ⟼ 𝑓(𝑥).
A függvények hozzárendelési szabályát megadhatjuk táblázattal, grafikonnal, képlettel,
utasítással, nyíldiagrammal, stb..
Descartes – féle derékszögű – koordinátarendszer: Két egymásra merőleges valós
számegyenes, amelyek zéruspontja (origó) közös. A vízszintes 𝑥 - tengely az értelmezési
tartomány, a függőleges 𝑦 - tengely az értékkészlet elemeit tartalmazza. Lényege, hogy a sík
pontjai és a rendezett számpárok között kölcsönösen egyértelmű hozzárendelést adunk meg.
Az összetartozó értékpároknak egy pont felel meg: első koordinátája az értelmezési
tartománynak, a második az értékkészletnek az eleme, s ezek a koordináták a pontnak a
tengelyektől mért előjeles távolságát adják meg.
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
2
DEFINÍCIÓ: (Helyettesítési érték)
Az 𝐴 - ból 𝐵 - be képező 𝑓 függvény esetén, ha 𝑥 ∈ 𝐴, akkor az 𝑦 = 𝑓 (𝑥) ∈ 𝐵 jelöli a függvény
𝑥 helyen felvett értékét (helyettesítési értékét).
DEFINÍCIÓ: (Szám – szám függvény)
Egy függvényt szám – szám függvénynek nevezünk, ha az alaphalmaz és a képhalmaz is
számhalmaz.
Megjegyzés:
Az olyan függvényt, melynek értelmezési tartománya és értékkészlete is a valós számok
részhalmaza, valós függvénynek nevezzük.
Egy pont első koordinátáját abszcisszának, a második koordinátáját ordinátának nevezzük.
DEFINÍCIÓ: (Injektív függvény)
Egy függvényt injektívnek nevezünk, ha az értelmezési tartomány különböző elemeihez az
értékkészlet különböző elemeit rendeli.
DEFINÍCIÓ: (Szürjektív függvény)
Egy függvényt szürjektívnek nevezünk, ha minden értékkészletbeli elemnek létezik őse.
Injektív, de nem szürjektív Szürjektív, de nem injektív
DEFINÍCIÓ: (Bijektív függvény)
Egy függvényt bijektívnek (kölcsönösen egyértelműnek) nevezünk, ha injektív és szürjektív.
Megjegyzés:
A kölcsönösen egyértelmű függvény értékkészlete egyenlő a képhalmazzal és különböző elemek
képe különböző.
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
3
Elemi függvények
DFINÍCIÓ: (Egyenes arányosság függvény)
A valós számok halmazán (vagy annak valamely részhalmazán) értelmezett 𝑓 ∶ 𝑥 ⟼ 𝑚𝑥
függvényt egyenes arányosságnak nevezzük.
Megjegyzés:
Ha egyenes arányosság van az 𝐴 és 𝐵 halmaz elemei között, akor az összetartozó értékpárok
aránya egy (0 – tól különböző) állandó: 𝑚 =𝑦
𝑥 (𝑥 ≠ 0).
Szemléletesen: Egyenes arányosság esetén az egyik mennyiséget valahányszorosára
változtatva a másik mennyiséget is ugyanennyiszeresére kell változni.
Az egyenes arányosság grafikonja az origón átmenő egyenes.
Az egyenes állása az 𝑚 aránytól függ, így az 𝑚 – t meredekségnek (vagy iránytényezőnek)
nevezzük.
DEFINÍCIÓ: (Lineáris függvény)
A valós számok halmazán (vagy annak valamely részhalmazán) értelmezett 𝑓 ∶ 𝑥 ⟼ 𝑚𝑥 + 𝑏
függvényt lineáris függvénynek nevezzük. Jelölés: 𝑓 (𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏, vagy 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏.
Megjegyzés:
Szemléletesen: Az 𝑚 meredekség megmutatja, hogy egy egységet mozdulva az
𝑥 – tengely mentén jobbra, mennyi egységet kell mozdulni az 𝑦 – tengely mentén, míg a
𝑏 szám megmutatja, hogy az egyenes hol metszi az 𝑦 – tengelyt.
Ha az egyenes két pontja 𝑃 (𝑥1; 𝑦1) és 𝑄 (𝑥2; 𝑦2), akkor a meredeksége: 𝑚 =𝑦1 − 𝑦2
𝑥1 − 𝑥2.
A lineáris függvény grafikonja párhuzamos az 𝑒 ∶ 𝑥 ⟼ 𝑚𝑥 fügvénnyel.
Ha 𝑚 ≠ 0, akkor elsőfokú függvénynek nevezzük.
Ha 𝑚 = 0, akkor nulladfokú (konstans) függvénynek nevezzük.
Ha 𝑚 > 0, akkor növekvő 𝑥 értékhez növekvő 𝑦 érték tarozik, vagyis a függvény növekvő.
Ha 𝑚 < 0, akkor növekvő 𝑥 értékhez csökkenő 𝑦 érték tartozik, vagyis a függvény csökkenő.
Az egyenes arányosság olyan lineáris függvény, amelyben 𝑏 = 0.
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
4
Lineáris függvények: egyenes arányosság függvény (piros)
DEFINÍCIÓ: (Fordított arányosság függvény)
Ha az 𝑓 függvény értelmezési tartománya a 0 – tól különböző valós számok halmaza (vagy
annak valamely részhalmaza) és 𝑓 (𝑥) =𝑚
𝑥 (ahol 𝑚 egy 0 – tól különböző valós szám), akkor
az 𝑓 függvényt fordított arányosságnak nevezzük.
Megjegyzés:
Ha fordított arányosság van az 𝐴 és 𝐵 halmaz elemei között, akor az összetartozó értékpárok
szorzata egy (0 – tól különböző) állandó: 𝑚 = 𝑥𝑦 (𝑥 ≠ 0).
Szemléletesen: Fordított arányosság esetén az egyik mennyiséget valahányszorosára
változtatva a másik mennyiséget ugyanennyied részére kell változtatni.
A fordított arányosság képét hiperbolának nevezzük, s az 𝑥 = 0 helyen szakadása van.
Az 𝑥 ↦𝑎𝑥 + 𝑏
𝑐𝑥 + 𝑑 hozzárendelési szabályú függvényt lineáris törtfüggvénynek nevezzük, ha
ekvivalens algebrai átalakításokkal nem hozható konstans alakra (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ; 𝑐 ≠ 0).
Fordított arányosság függvény
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
5
DEFINÍCIÓ: (Másodfokú függvény)
A valós számok halmazán értelmezett 𝑓 (𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 függvényt másodfokú
függvénynek nevezzük, ahol 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ és 𝑎 ≠ 0.
Megjegyzés:
Ha 𝑎 > 0, akkor a függvény képe egy felfelé nyíló, ha 𝑎 < 0, akkor egy lefelé nyíló parabola.
A teljes négyzetté alakítást elvégezve megkapjuk a parabola 𝑇 (𝑢; 𝑣) tengelypontjának
koordinátáit: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 ∙ (𝑥 − 𝑢)2 + 𝑣.
Az 𝑓 (𝑥) = 𝑥𝑛 függvényt hatványfüggvénynek nevezzük, ahol 𝑛 ∈ ℕ és 𝑛 > 1.
Másodfokú függvény
DEFINÍCIÓ: (Abszolútérték függvény)
A valós számok halmazán értelmezett 𝑓 (𝑥) = |𝑥| függvényt abszolútérték függvénynek
nevezzük.
Abszolútérték függvény
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
6
DEFINÍCIÓ: (Négyzetgyök függvény)
A nem negatív valós számok halmazán értelmezett 𝑓 (𝑥) = √𝑥 függvényt négyzetgyök
függvénynek nevezzük.
Megjegyzés:
A négyzetgyök függvény képe egy ,,félparabola”.
Az 𝑓 (𝑥) = √𝑥3
köbgyök függvény értelmezési tartománya a valós számok halmaza.
Négyzetgyök függvény
DEFINÍCIÓ: (Egészrész függvény)
Azt a függvényt, amely minden 𝑥 valós számhoz hozzá rendeli az 𝑥 egész részét, azaz azt a
legnagyobb egész számot, amely nem nagyobb 𝑥 – nél, egészrész függvénynek nevezzük.
Jelölés: 𝑓 (𝑥) = [𝑥].
Megjegyzés:
Példa: [2; 3] = 2; [5,2] = 5; [−2] = −2; [3] = 3; [−1,7] = −2; [−3,4] = −4;…
Egészrész függvény
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
7
DEFINÍCIÓ: (Törtrész függvény)
Ha egy számból elvesszük az egész részét, akkor meg kapjuk a szám tört részét. Azt a
függvényt, amely minden 𝑥 valós számhoz hozzárendeli a törtrészét, törtrész függvénynek
nevezzük. Jelölés: 𝑓 (𝑥) = {𝑥} = 𝑥 − [𝑥].
Megjegyzés:
Példa: {1,3} = 0,3; {6,7} = 0,7; {−3} = 0; {2} = 0; {−2,1} = 0,9; {−4,8} = 0,8;…
Törtrész függvény
DEFINÍCIÓ: (Előjelfüggvény)
Előjelfüggvénynek (vagy szignum függvénynek) nevezzük a következő eljárással
meghatározott függvényt:
𝑓 ∶ ℝ → ℝ; 𝑥 ⟼
{
1, ℎ𝑎 𝑥 > 0
0, ℎ𝑎 𝑥 = 0
−1, ℎ𝑎 𝑥 < 0
.
Jelölés: 𝑓 (𝑥) = 𝑠𝑔𝑛 (𝑥).
Előjel (szignum) függvény
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
8
Függvények jellemzői
DEFINÍCIÓ: (Értelmezési tartomány)
Az 𝐴 halmaz a függvény értelmezési tartománya, vagyis az a halmaz, amelynek az elemeihez
a másik halmaz egy – egy elemét rendeljük. Jelölés: 𝐷𝑓.
Megjegyzés:
Az értelmezési tartomány elemei a független változó értékek.
Szemléletesen: Egy függvény értelmezési tartománya azon 𝑥 értékek halmaza az 𝑥 tengelyen,
melyeken a függvény értelmezve van.
DEFINÍCIÓ: (Értékkészlet)
A képelemek (függvényértékek) a képhalmaznak azok az elemei, amelyeket a független változó
értékeihez rendelünk. A függvényértékek halmaza a függvény értékkészlete. Jelölés: 𝑅𝑓.
Megjegyzés:
Az 𝑅𝑓 részhalmaza 𝐵 – nek.
Az értékkészlet elemeit függő változóknak is nevezzük.
Szemléletesen: Egy függvény értékkészlete azon 𝑦 értékek halmaza az 𝑦 tengelyen, melyeket
a függvény felvesz.
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
9
DEFINÍCIÓ: (Zérushely)
Egy függvény zérushelyének (nullhelyének) nevezzük az értelmezési tartomány minden olyan
𝑥 értékét, amelyhez a 0 függvényérték tartozik.
Megjegyzés:
Ha a zérushelyet nem tudjuk egyértelműen leolvasni az ábráról, akkor azt megkaphatjuk az
𝑓 (𝑥) = 0 egyenlet megoldásával is.
Szemléletesen: A függvény zérushelye az a pont, ahol a függvény grafikonja metszi az
𝑥 tengelyt.
DEFINÍCIÓ: (Szigorúan monoton növekvő függvény)
Egy függvényt értelmezési tartománya egy intervallumán szigorúan monoton növekvőnek
nevezzük, ha az adott intervallumon a függvény változójának növekvő értékeihez a
függvényérték növekvő értékei tartoznak. Jelöléssel: bármely 𝑥1 < 𝑥2 esetén 𝑓 (𝑥1) < 𝑓 (𝑥2).
DEFINÍCIÓ: (Szigorúan monoton csökkenő függvény)
Egy függvényt értelmezési tartománya egy intervallumán szigorúan monoton csökkenőnek
nevezzük, ha az adott intervallumon a függvény változójának növekvő értékeihez a
függvényérték csökkenő értékei tartoznak. Jelöléssel: bármely 𝑥1 < 𝑥2 esetén 𝑓 (𝑥1) > 𝑓 (𝑥2).
Megjegyzés:
Amennyiben megengedjük az egyenlőséget, akkor monoton növekvő (illetve csökkenő)
függvényről beszélünk.
DEFINÍCIÓ: (Páros függvény)
Egy függvényt párosnak nevezünk, ha bármely értelmezési tartománybeli 𝑥 elemére (−𝑥) is
eleme az értelmezési tartománynak és 𝑓 (𝑥) = 𝑓 (−𝑥) teljesül.
Megjegyzés:
Szemléletesen: A függvény ellentett helyen ugyanazt az értéket veszi fel, s ilyenkor a függvény
képe az 𝑦 tengelyre szimmetrikus.
DEFINÍCIÓ: (Páratlan függvény)
Egy függvényt páratlannak nevezünk, ha bármely értelmezési tartománybeli 𝑥 elemére (−𝑥) is
eleme az értelmezési tartománynak és 𝑓 (−𝑥) = − 𝑓 (𝑥) teljesül.
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
10
Megjegyzés:
Szemléletesen: A függvény ellentett helyen ellentett értéket vesz fel, s ilyenkor a függvény képe
az origóra szimmetrikus.
DEFINÍCIÓ: (Globális szélsőérték: maximum)
Egy függvénynek globális (abszolút) maximuma van az értelmezési tartomány egy
𝑥0 értékénél, ha az értelmezési tartomány minden 𝑥 elemére 𝑓 (𝑥) ≤ 𝑓 (𝑥0) teljesül.
Megjegyzés:
Az 𝑥0 - t a maximum helyének, az 𝑦 = 𝑓 (𝑥0) - t a maximum értékének nevezzük.
Személetesen: Maximuma van a függvénynek, ha van olyan legnagyobb pontja, ami fölé nem
halad a függvény képe.
DEFINÍCIÓ: (Globális szélsőérték: minimum)
Egy függvénynek globális (abszolút) minimuma van az értelmezési tartomány egy 𝑥0 értékénél,
ha az értelmezési tartomány minden 𝑥 elemére 𝑓 (𝑥) ≥ 𝑓 (𝑥0) teljesül.
Megjegyzés:
Az 𝑥0 - t a minimum helyének, az 𝑓 (𝑥0) - t a minimum értékének nevezzük.
Személetesen: Minimuma van a függvénynek, ha van olyan legkisebb pontja, ami alá nem
halad a függvény képe.
DEFINÍCIÓ: (Lokális szélsőérték)
Egy függvénynek lokális (helyi) maximuma, illetve minimuma van az értelmezési tartomány
𝑥0 értékénél, ha az 𝑥0 - nak van olyan ]𝑥0 − 𝛿; 𝑥0 + 𝛿[ környezete, ahol az ebbe eső 𝑥 – ekre a
függvény értelmezve van és 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓 (𝑥0), illetve 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓 (𝑥0).
DEFINÍCIÓ: (Alsó korlát)
Egy függvényt alulról korlátosnak nevezünk, ha van olyan 𝑘 valós szám, hogy bármely
értelmezési tartománybeli 𝑥 elem esetén 𝑓 (𝑥) ≥ 𝑘 teljesül.
Megjegyzés:
A legnagyobb alsó korlátot pontos alsó korlátnak nevezzük.
Szemléletesen: A függvény pontos alsó korlátja az a legnagyobb szám, amelynél kisebb
értéket nem vesz fel a függvény.
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
11
DEFINÍCIÓ: (Felső korlát)
Egy függvény felülről korlátos, ha van olyan 𝐾 valós szám, hogy bármely értelmezési
tartománybeli 𝑥 elem esetén 𝑓 (𝑥) ≤ 𝐾 teljesül.
Megjegyzés:
A legkisebb felső korlátot pontos felső korlátnak nevezzük.
Szemléletesen: A függvény pontos felső korlátja az a legkisebb szám, amelynél nagyobb
értéket nem vesz fel a függvény.
DEFINÍCIÓ: (Korlátos függvény)
Egy függvényt korlátosnak nevezünk, ha alulról és felülről is korlátos.
Megjegyzés:
Alsó (felső) korlátból végtelen sok lehetséges, de pontos alsó (felső) korlátból csak egy.
A függvény szélsőértéke része a függvény képének, de az alsó (felső) korlátja nem feltétlen.
DEFINÍCIÓ: (Periodicitás)
Ha van olyan 𝑝 > 0 valós szám, hogy az értelmezési tartomány minden 𝑥 elemére (𝑥 ± 𝑝) is
eleme az értelmezési tartománynak és 𝑓 (𝑥) = 𝑓 (𝑥 ± 𝑝) teljesül, akkor az 𝑓 függvényt
periodikusnak nevezzük. Ezen lehetséges 𝑝 értékek közül a legkisebbet (amennyiben létezik) a
függvény periódusának nevezzük.
Megjegyzés:
Mivel a 𝑝 értékek között nem mindig létezik legkisebb, így lehetséges, hogy egy periodikus
függvénynek nincs periódusa (pl.: konstans függvény).
Szemléletesen: Periodikus a függvény, ha van olyan távolság, mellyel bármelyik irányba,
bármennyiszer elmozdítva a grafikont önmagába megy át.
DEFINÍCIÓ: (Konvex függvény)
Egy 𝑓 függvényt értelmezési tartománya egy intervallumán konvexnek nevezzük, ha az adott
intervallum bármely 𝑥1; 𝑥2 pontjaira teljesül a következő összefüggés: 𝑓 (𝑥1+𝑥2
2) ≤
𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)
2.
Megjegyzés:
Szemléletesen: Egy függvény konvex, ha a görbe feletti síktartomány konvex halmaz; érintője
mindenütt a görbe alatt halad; a görbe két pontját összekötő húr a görbe felett halad.
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
12
DEFINÍCIÓ: (Konkáv függvény)
Egy 𝑓 függvényt értelmezési tartománya egy intervallumán konkávnak nevezzük, ha az adott
intervallum bármely 𝑥1; 𝑥2 pontjaira teljesül a következő összefüggés: 𝑓 (𝑥1+𝑥2
2) ≥
𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)
2.
Megjegyzés:
Szemléletesen: Egy függvény konkáv, ha a görbe feletti síktartomány konkáv halmaz; érintője
mindenütt a görbe felett halad; a görbe két pontját összekötő húr a görbe alatt halad.
DEFINÍCIÓ: (Inflexiós pont)
Egy függvénynek egy pontját inflexiós pontnak nevezzük, ha az adott pontban a görbe
konvexitást vált (konvexből konkávba vagy konkávból konvexbe megy át).
DEFINÍCIÓ: (Aszimptota)
Egy függvény aszimptotája egy olyan görbe (többnyire egyenes), ami a függvény grafikonját
tetszőlegesen megközelíti, de nem éri el.
Megjegyzés:
A fordított arányosság grafikonjának aszimptotái az 𝑥 -, illetve 𝑦 – tengelyek.
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
13
Alapfüggvények jellemzői
Másodfokú függvény:
𝑓 (𝑥) = 𝑥2
𝒇 (𝒙)
Értelmezési tartomány 𝐷𝑓: 𝑥 ∈ ℝ
Érték készlet 𝑅𝑓: 𝑦 ∈ [0;+∞[
Zérushely 𝑥 = 0
Monotonitás
𝑥 ∈ ]−∞; 0] szigorúan monoton csökkenő
𝑥 ∈ [0; +∞[ szigorúan monoton növekvő
Szélsőérték
Minimum helye: 𝑥 = 0
Minimum értéke: 𝑦 = 0
Korlátosság Pontos alsó korlát: 𝑘 = 0
Paritás Páros
Periodicitás Nem periodikus
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
14
Abszolútérték függvény:
𝑔 (𝑥) = |𝑥|
𝒈 (𝒙)
Értelmezési tartomány 𝐷𝑔: 𝑥 ∈ ℝ
Érték készlet 𝑅𝑔: 𝑦 ∈ [0;+∞[
Zérushely 𝑥 = 0
Monotonitás
𝑥 ∈ ]−∞; 0] szigorúan monoton csökkenő
𝑥 ∈ [0; +∞[ szigorúan monoton növekvő
Szélsőérték
Minimum helye: 𝑥 = 0
Minimum értéke: 𝑦 = 0
Korlátosság Pontos alsó korlát: 𝑘 = 0
Paritás Páros
Periodicitás Nem periodikus
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
15
Fordított arányosság függvény:
ℎ (𝑥) =1
𝑥
𝒉 (𝒙)
Értelmezési tartomány 𝐷ℎ: 𝑥 ∈ ℝ \ {0}
Érték készlet 𝑅ℎ: 𝑦 ∈ ℝ \ {0}
Zérushely Nincs zérushelye
Monotonitás
𝑥 ∈ ]−∞; 0[ szigorúan monoton csökkenő
𝑥 ∈ ]0; +∞[ szigorúan monoton csökkenő
Szélsőérték Nincs szélsőértéke
Korlátosság Nincs alsó és felső korlátja sem
Paritás Páratlan
Periodicitás Nem periodikus
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
16
Négyzetgyök függvény:
𝑘 (𝑥) = √𝑥
𝒌 (𝒙)
Értelmezési tartomány 𝐷𝑘: 𝑥 ∈ [0;+∞[
Érték készlet 𝑅𝑘: 𝑦 ∈ [0;+∞[
Zérushely 𝑥 = 0
Monotonitás Szigorúan monoton növekvő
Szélsőérték
Minimum helye: 𝑥 = 0
Minimum értéke: 𝑦 = 0
Korlátosság Pontos alsó korlát: 𝑘 = 0
Paritás Nem páros, nem páratlan
Periodicitás Nem periodikus
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
17
Egészrész függvény:
𝑚 (𝑥) = [𝑥]
𝒎 (𝒙)
Értelmezési tartomány 𝐷𝑚: 𝑥 ∈ ℝ
Érték készlet 𝑅𝑚: 𝑦 ∈ ℤ
Zérushely 𝑥 = [0;+1[
Monotonitás Monoton növekvő
Szélsőérték Nincs szélsőértéke
Korlátosság Nincs alsó és felső korlátja sem
Paritás Nem páros, nem páratlan
Periodicitás Nem periodikus
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
18
Törtrész függvény:
𝑛 (𝑥) = {𝑥}
𝒏 (𝒙)
Értelmezési tartomány 𝐷𝑛: 𝑥 ∈ ℝ
Érték készlet 𝑅𝑛: 𝑦 ∈ [0; 1[
Zérushely 𝑥 = ℤ
Monotonitás
𝑥 ∈ [0; 1[ szigorúan monoton növekvő
𝑥 ∈ [1; 2[ szigorúan monoton növekvő
Szélsőérték
Minimum helye: 𝑥 ∈ ℤ
Minimum értéke: 𝑦 = 0
Korlátosság
Pontos alsó korlát: 𝑘 = 0
Pontos felső korlát: 𝐾 = 1
Korlátos függvény
Paritás Nem páros, nem páratlan
Periodicitás Periodikus: 𝑝 = 1
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
19
Előjel (szignum) függvény:
𝑠 (𝑥) = 𝑠𝑔𝑛 (𝑥)
𝒔 (𝒙)
Értelmezési tartomány 𝐷𝑠: 𝑥 ∈ ℝ
Érték készlet 𝑅𝑠: 𝑦 ∈ {−1; 0; 1}
Zérushely 𝑥 = 0
Monotonitás Monoton növekvő
Szélsőérték
Minimum helye: 𝑥 ∈ ]−∞;0[
Minimum értéke: 𝑦 = −1
Maximum helye: 𝑥 ∈ ]0; +∞[
Maximum érétke: 𝑦 = 1
Korlátosság
Pontos alsó korlát: 𝑘 = −1
Pontos felső korlát: 𝐾 = 1
Korlátos függvény
Paritás Páratlan
Periodicitás Nem periodikus
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
20
Függvénytranszformációk
Az egyes függvénytípusokhoz tartozó függvényeken bizonyos fajta átalakításokat végezve a
típus nem változik meg. Ha egy koordináta – rendszerben ábrázolt függvény grafikonját
valamelyik tengely irányában eltoljuk, megnyújtjuk vagy összenyomjuk, akkor azt mondjuk,
hogy függvénytranszformációt hajtottunk végre.
Változó transzformációk (𝒙 koordináták változtatása):
𝑓 (−𝑥): az 𝑦 tengelyre való tükrözés
𝑓 (𝑥 + 𝑐): az 𝑥 tengely mentén (−𝑐) – vel való eltolás
𝑓 (𝑏 ∙ 𝑥): az 𝑦 tengelyre merőleges irányban zsugorítás / nyújtás
(az 𝑥 koordinátákat 1
𝑏 - szeresére változtatjuk, az 𝑦 koordinátákat nem változtatjuk)
𝑓 (|𝑥|): az 𝑥 ≥ 0 értékekhez tartozó görbét tükrözzük az 𝑦 tengelyre
Érték transzformációk (𝒚 koordináták változtatása):
− 𝑓 (𝑥): az 𝑥 tengelyre való tükrözés
𝑓 (𝑥) + 𝑑: az 𝑦 tengely mentén (+𝑑) – vel való eltolás
𝑎 ∙ 𝑓 (𝑥): az 𝑥 tengelyre merőleges irányban zsugorítás / nyújtás
(az 𝑦 koordinátákat 𝑎 – szorosára változtatjuk, az 𝑥 koordinátákat nem változtatjuk)
|𝑓(𝑥)|: az 𝑦 < 0 értékeket tükrözzük az 𝑥 tengelyre
Transzformációk sorrendje:
Először a változó transzformációkat, majd az érték transzformációkat végezzük el.
1. 𝑓 (𝑥)
2. 𝑓 (𝑥 + 𝑐)
3. 𝑓 (𝑏 ∙ 𝑥 + 𝑐)
4. 𝑓 (−𝑏 ∙ 𝑥 + 𝑐)
5. 𝑎 ∙ 𝑓 (−𝑏 ∙ 𝑥 + 𝑐)
6. −𝑎 ∙ 𝑓 (−𝑏 ∙ 𝑥 + 𝑐)
7. −𝑎 ∙ 𝑓 (−𝑏 ∙ 𝑥 + 𝑐) + 𝑑
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
21
Gyakorló feladatok
K: középszintű feladat E: emelt szintű feladat
1. (K) Az alábbi hozzárendelések közül melyik függvény? Válaszod indokold!
A: Minden emberhez hozzárendeljük a munkahelyének nevét.
B: Minden valós számhoz hozzárendeljük az ellentettjét.
C: Minden természetes számhoz hozzárendeljük az osztóit.
D: Minden bolygóhoz hozzárendeljük a Nap körüli keringésének idejét.
2. (K) Az alábbi függvények közül, melyik kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés?
A: A testekhez rendeljük a felszínüket.
B: A négyzetekhez rendeljük a kerületüket.
C: A kémiai elemekhez rendeljük a rendszámukat.
D: A könyvekhez rendeljük a kiadójukat.
3. (K) Az alábbi függvényeket fogalmazzuk meg geometriai függvényként!
𝒇 (𝒙) = ℝ+ → ℝ+; 𝒈(𝒙) = 𝟐𝒙𝝅 𝒈 (𝒙) = ℝ+ ⨯ ℝ+ → ℝ+; 𝒉(𝒙; 𝒚) =𝒙𝒚
𝟐
4. (K) Az alábbi grafikonok közül melyik lehet egy függvény grafikonja?
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
22
5. (E) Döntsd el az alábbi függvényekről, hogy melyik injektív / szürjektív / bijektív!
a) 𝒆 ∶ ℝ → ℝ; 𝒙 ⟼ −𝟏𝟗
b) 𝐟 ∶ ℝ → ℝ; 𝐱 ⟼ 𝟓𝐱 − 𝟏
c) 𝐠 ∶ ℝ → ℝ; 𝐱 ⟼ 𝐱𝟐
d) 𝐡 ∶ ℝ → ℝ; 𝐱 ⟼ |𝐱|
e) 𝒌 ∶ ℝ → [𝟎; 𝟏[; 𝒙 ⟼ {𝒙}
f) 𝐬 ∶ [𝟐; 𝟕] → ℝ; 𝐱 ⟼ 𝐱𝟐
g) 𝐭 ∶ [−𝟑; 𝟓] → [𝟎; 𝟓]; 𝐱 ⟼ |𝐱|
h) 𝒛 ∶ ℝ+ → ℝ+; 𝒙 ⟼𝟏
𝒙
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
23
6. (K) Határozd meg a következő függvények 𝒇 (−𝟐) helyettesítési értékét!
a) 𝒇 (𝒙) = 𝒙 + 𝟏
b) 𝒇 (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟕
c) 𝒇 (𝒙) = |𝒙 + 𝟖| − 𝟓
d) 𝒇 (𝒙) = √𝟏𝟏 + 𝒙
e) 𝒇 (𝒙) =𝟏
𝒙 − 𝟐+ 𝟔
7. (K) Határozd meg, hogy a következő függvények hol veszik fel a 𝟑 értéket!
a) 𝒇 (𝒙) = −𝒙 − 𝟓
b) 𝒈 (𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟏
c) 𝒉 (𝒙) = |𝒙 − 𝟑|
d) 𝒌 (𝒙) = √𝒙 − 𝟒
e) 𝒕 (𝒙) = −𝟏
𝒙 + 𝟏𝟎
8. (K) Döntsd el ábrázolás nélkül, hogy illeszkedik - e a 𝑷 (𝟏;−𝟑) pont a következő
függvények grafikonjára!
a) 𝒇 (𝒙) = 𝟓𝒙 − 𝟖
b) 𝒈 (𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 − 𝟓
c) 𝒉 (𝒙) = |𝒙 + 𝟐| + 𝟏
d) 𝒌 (𝒙) = √𝒙 + 𝟑
e) 𝒕 (𝒙) =𝟖
𝒙 − 𝟓− 𝟏
9. (K) Határozd meg, hogy a 𝑷 (𝟐𝟎; 𝟏𝟓𝟎) és a 𝑸 (𝟏𝟎𝟎; 𝟗𝟎𝟎) pontok hogyan helyezkednek
el az 𝒇 (𝒙) = 𝟖𝒙 − 𝟕 függvény grafikonjához képest!
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
24
10. (K) Határozd mag a 𝑷 (𝒙; 𝟐) és 𝑸 (−𝟓; 𝒚) pontok koordinátáit úgy, hogy
illeszkedjenek a következő függvényekre!
a) 𝒇 (𝒙) = −𝟏
𝟐𝒙 + 𝟑
b) 𝒈 (𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟕
c) 𝒉 (𝒙) = 𝟐 ∙ |𝒙 − 𝟏|
d) 𝒌 (𝒙) = √𝒙 + 𝟑𝟎
e) 𝒕 (𝒙) = −𝟒
𝒙 + 𝟏
11. (K) Határozd meg ábrázolás nélkül, hogy hol metszik a következő függvények a
koordináta – tengelyeket!
a) 𝒇 (𝒙) = −𝟏𝟒𝒙 + 𝟏𝟏
b) 𝒈 (𝒙) = 𝟕 ∙ (𝒙 + 𝟓)𝟐 − 𝟐𝟖
c) 𝒉 (𝒙) = 𝟑 · |𝟐𝒙 + 𝟖|
d) 𝒌 (𝒙) = √𝟓𝒙 − 𝟏𝟎
e) 𝒕 (𝒙) = −𝟐
𝒙+𝟔
12. (K) Határozd meg ábrázolás nélkül a következő függvények zérushelyeit!
a) 𝒇 (𝒙) =𝟐
𝟓𝒙 − 𝟏
b) 𝒈 (𝒙) = (𝒙 + 𝟕)𝟐
c) 𝒉 (𝒙) = |𝟖𝒙 − 𝟏𝟔|
d) 𝒌 (𝒙) = −𝟔 ∙ √𝒙 + 𝟏
e) 𝒕 (𝒙) =𝟕
𝟐𝒙 + 𝟑− 𝟒
13. (K) Írd fel annak a 𝒈 (𝒙) függvénynek a hozzárendelési szabályát, amelyet úgy
kapunk, hogy az adott 𝒇 (𝒙) függvényt eltoljuk az adott �⃗⃗� vektorral!
a) 𝒇 (𝒙) = 𝒙𝟐 és �⃗⃗� (𝟓; 𝟖)
b) 𝒇 (𝒙) = 𝟑 ∙ |𝒙| és �⃗⃗� (−𝟐;−𝟕)
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
25
14. (K) Határozd meg a következő pontokra illeszkedő egyenes egyenletét!
a) 𝑨 (𝟏; 𝟏) és 𝑩 (−𝟐;−𝟐)
b) 𝑪 (−𝟓; 𝟒) és 𝑫 (𝟖;−𝟏𝟎)
c) 𝑷 (𝟐; 𝟓) és 𝑸 (−𝟏; 𝟖)
d) 𝑹 (−𝟑; 𝟕) és 𝑺 (𝟒; 𝟏𝟏)
15. (K) Határozd meg az elsőfokú függvény hozzárendelési szabályát, ha tudjuk, hogy
𝒇 (−𝟑) = 𝟐 és 𝒇 (𝟕) = 𝟒!
16. (K) Ábrázold a következő lineáris függvényeket!
a) 𝒇 (𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟏
b) 𝒈 (𝒙) = 𝟓
c) 𝒉 (𝒙) = −𝒙 + 𝟑
d) 𝒌 (𝒙) = 𝟒𝒙
e) 𝒕 (𝒙) = −𝟐
𝟑𝒙 − 𝟐
17. (K) Ábrázold a következő másodfokú függvényt: 𝒇(𝒙) = −𝟏
𝟐 ∙ (𝒙 − 𝟏)𝟐 + 𝟐!
18. (E) Ábrázold a következő másodfokú függvényt: 𝒇 (𝒙) = (𝟐𝒙 + 𝟒)𝟐 − 𝟑!
19. (E) Ábrázold a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) = |𝒙𝟐 − 𝟒|!
20. (E) Ábrázold a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) =(𝟑 − 𝒙)𝟐
𝟑!
21. (K) Ábrázold és jellemezd a következő másodfokú függvényt: 𝒇 (𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟑!
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
26
22. (K) Ábrázold a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) = 𝒙𝟑!
23. (K) Határozd meg ábrázolás nélkül a következő másodfokú függvény szélsőértékének
(tengelypontjának) koordinátáit!
a) 𝒇 (𝒙) = (𝒙 + 𝟖)𝟐 − 𝟓
b) 𝒈 (𝒙) = −𝟑 ∙ (𝒙 − 𝟏)𝟐 + 𝟕
c) 𝒉 (𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟔
d) 𝒌 (𝒙) = −𝟐𝒙𝟐 − 𝟑𝟔𝒙 + 𝟏𝟏
24. (E) Határozd meg az 𝒇 (𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝒄 függvényben szerpelő 𝒄 paraméter értékét
úgy, hogy minimuma az 𝒚 = −𝟑 legyen!
25. (K) Ábrázolás nélkül add meg az 𝒇 (𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟔 függvény szélsőértékeit, ha
a) 𝒙 ∈ ℝ,
b) 𝒙 ∈ [−𝟑; −𝟐],
c) 𝒙 ∈ ]𝟎; 𝟏]!
26. (K) Ábrázolás nélkül add meg az 𝒇 (𝒙) = −𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟑 függvény szélsőértékeit, ha
a) 𝒙 ∈ ℝ,
b) 𝒙 ∈ [−𝟐; 𝟎],
c) 𝒙 ∈ ]𝟐; 𝟑]!
27. (K) Adj meg olyan 𝒇 (𝒙) másodfokú függvényt, amelynek maximuma a (𝟒; −𝟑) pont,
illetve olyan 𝒈 (𝒙) másodfokú függvényt, melynek minimuma van az (𝟏; 𝟔) pontban!
28. (E) Az 𝒇 (𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 függvény két zérushelye 𝒙𝟏 = −𝟐 és 𝒙𝟐 = 𝟒. Add meg
az 𝒂, 𝒃 és 𝒄 értékét úgy, hogy a függvény grafikonja az 𝒚 – tengelyt −𝟔 – nál metsze!
29. (E) Add meg az 𝒂, 𝒃, 𝒄 értékeket úgy, hogy az 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 függvény
tengelypontja a 𝑻 (𝟑;−𝟐) legyen és illeszkedjen rá a 𝑷 (𝟏; 𝟔) pont!
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
27
30. (K) Ábrázold a következő függvényt: 𝒇(𝒙) = 𝟑 ∙ |𝒙 + 𝟐| − 𝟒!
31. (E) Ábrázold a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) = − |𝟏
𝟐𝒙 − 𝟑| + 𝟏!
32. (E) Ábrázold és jellemezd szélsőérték szempontjából az 𝒇 (𝒙) = ||𝒙| − 𝟐|−𝟑||
függvényt!
33. (E) Ábrázold a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) = |𝒙| − |𝒙 − 𝟑|!
34. (E) Ábrázold a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) = |𝒙| + |𝒙 + 𝟐|!
35. (E) Ábrázold a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟒 ∙ |𝒙|!
36. (K) Ábrázol és jellemezd a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) = −|𝒙 − 𝟏| + 𝟔!
37. (K) Ábrázold a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) = 𝟐 ∙ √𝒙 + 𝟑!
38. (E) Ábrázold a következő függvényt: f(x) = 𝟏 + √−𝒙!
39. (E) Ábrázold a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) = |√𝒙𝟑|!
40. (K) Ábrázold és jellemezd a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) = 𝟑 − √𝒙 − 𝟒!
41. (K) Ábrázold a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) =𝟏
𝒙 − 𝟏+ 𝟐!
42. (E) Ábrázold a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) = −𝟏
𝟐𝒙!
43. (E) Ábrázold a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) =𝒙 + 𝟏
𝒙 − 𝟐!
44. (E) Ábrázold a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) =|𝒙| − 𝟏
|𝒙| − 𝟐!
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
28
45. (K) Ábrázold és jellemezd a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) =𝟏
− 𝒙!
46. (E) Ábrázold a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) = |𝟐
𝒙 + 𝟑− 𝟒|!
47. (E) Hány rácsponton megy át az 𝒇 (𝒙) =𝟐𝒙 + 𝟑
𝟐 − 𝒙 függvény grafikonja!
48. (E) Egy lineáris törtfüggvény értelmezési tartománya ℝ \ {𝟑} és a grafikonja
illeszkedik a 𝑷 (𝟎; 𝟒) és 𝑸 (−𝟐; 𝟐) pontokra. Add meg a függvény hozzárendelési
szabályát!
49. (K) Ábrázold a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) = {𝟐𝒙}!
50. (K) Ábrázold a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) = 𝟐 ∙ [𝒙]!
51. (E) Ábrázold a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) = 𝒔𝒈𝒏 (𝒙𝟐 − 𝟒𝒙)!
52. (E) Ábrázold a következő függvényt: 𝒇(𝒙) = [𝒙]𝟐!
53. (E) Ábrázold a következő függvényt: 𝒇(𝒙) = 𝒙 ∙ [𝒙]!
54. (K) Ábrázold és jellemezd a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) = [𝒙 − 𝟑]!
55. (K) Ábrázold és jellemezd a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) = {𝒙} + 𝟒!
56. (K) Ábrázold a következő függvényeket az adott intervallumokon!
a) 𝒇 (𝒙) = 𝒙𝟑, ha 𝒙 ∈ ]−𝟏; 𝟐]
b) 𝒇 (𝒙) = √𝒙 + 𝟐, 𝒉𝒂 𝒙 ∈ [𝟏; 𝟔]
c) 𝒇: [−𝟒; 𝟓[ → ℝ; 𝒙 ⟼ ||𝒙| − 𝟑|
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
29
57. (K) Ábrázold a következő függvényeket!
a) 𝒇 (𝒙) =
{
𝟏
𝟐𝒙 + 𝟔, 𝒉𝒂 𝒙 < −𝟒
|𝒙|, 𝒉𝒂 − 𝟒 ≤ 𝒙 < 𝟑
𝟑, 𝒉𝒂 𝒙 ≥ 𝟑
b) 𝒇 (𝒙) =
{
(𝒙 + 𝟓)𝟐 − 𝟑, 𝒉𝒂 𝒙 ≤ −𝟑
−|𝒙| + 𝟒, 𝒉𝒂 − 𝟑 < 𝒙 < 𝟐
−𝟐 ∙ √𝒙 − 𝟐 + 𝟐, 𝒉𝒂 𝒙 ≥ 𝟐
58. (E) Ábrázold a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) =𝟐𝒙𝟐 − 𝟖
𝒙 + 𝟐!
59. (E) Állapítsd meg a következő függvények paritását!
𝒇:ℝ → ℝ; 𝒙 ↦𝟓𝒙𝟑
𝟔 + 𝒙𝟏𝟎 𝒈 (𝒙) = √|𝒙 − 𝟕| 𝒉 (𝒙) = |𝒙| − 𝟐 + 𝒙𝟖
60. (E) Igazold, hogy az 𝒇 (𝒙) = 𝟒𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏 függvény az egész értelmezési
tartományán szigorúan monoton növekvő!
61. (E) Mennyi a periódusa az 𝒇 (𝒙) = −𝟓 · {𝒙} + 𝟐, illetve a 𝒈 (𝒙) = {𝒙
𝟕− 𝟖}
függvénynek?
62. (K) Oldd meg grafikusan a következő egyenleteket!
a) 𝟐𝒙 + 𝟑 = −𝒙 + 𝟔
b) 𝒙𝟐 = 𝟒
c) |𝒙| = −𝟑𝒙
d) 𝒙𝟐 − 𝟒 = |𝒙 + 𝟐|
e) 𝒙𝟐 + 𝟑 = −|𝒙| + 𝟐
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
30
63. (K) Oldd meg grafikusan a következő egyenlőtlenségeket!
a) 𝟑
𝟒𝒙 − 𝟓 < −𝒙 + 𝟐
b) 𝒙 + 𝟒 > −𝟏
c) 𝒙𝟐 ≤ √𝒙
d) 𝟐 ≥ −|𝒙 + 𝟏|
e) |𝒙| − 𝟐 ≥ (𝟐𝒙)𝟐
64. (K) Add meg az ábrázolt függvények hozzárendelési szabályát!
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
31
65. (K) Milyen függvénytípusokkal lehet szemléltetni az alábbi szituációkat?
A: Egy telefontársaság perc alapú számlázása esetén fizetendő összeg, ahol az első
megkezdett perc ingyenes, majd minden további megkezdett percért (a perc nulladik
másodpercétől kezdve) 𝟐𝟎 𝑭𝒕 – ot kell fizetni.
B: Egy kerékpáros egyenletes sebességgel haladva adott idő alatt megtett útja.
C: Egy ferdén feldobott kő legmagasabb emelkedési pontjának meghatározása.
D: A nagymutató által mutatott perc 𝟔 és 𝟏𝟎 óra között.
E: Feszültség jelzése egy vezető két vége között (a két állapot megkülönböztetése).
F: A munkások és az elkészített alkatrészek száma közötti kapcsolat ábrázolása.
66. (E) Ábrázold derékszögű koordináta – rendszerben a következő halmazokat!
a) 𝑨 = {𝑷(𝒙; 𝒚)|𝟏 < 𝒙 < 𝟒 é𝒔 − 𝟏 ≤ 𝒚 é𝒔 𝒙, 𝒚 ∈ ℝ}
b) 𝑩 = {𝑷(𝒙; 𝒚)|𝒙 ≥ 𝟐 𝒗𝒂𝒈𝒚 𝒚 > 𝟏 é𝒔 𝒙, 𝒚 ∈ ℝ+}
c) 𝑪 = {𝑷(𝒙; 𝒚)|𝒚 < 𝒙 + 𝟏 é𝒔 𝒚 ≥ 𝒙𝟐 − 𝟏 é𝒔 𝒙 ∈ ℝ−, 𝒚 ∈ ℝ}
d) 𝑫 = {𝑷(𝒙; 𝒚)|𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 ≤ 𝟐𝟓 é𝒔 |𝒚| < 𝟑 é𝒔 𝒙, 𝒚 ∈ ℝ}
67. (E) Adott az 𝒇 (𝒙 − 𝟐) = |𝒙|, 𝒙 ∈ ℝ függvény. Add meg az 𝒇 (𝒙 + 𝟏), 𝒙 ∈ ℝ függvényt!
68. (E) Add meg a valós számok megfelelő részhalmazán értelmezett 𝒇 függvényt, ha
tudjuk, hogy 𝒇 (𝒙 + 𝟑) = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟑!
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
32
Felhasznált irodalom
(1) Hajdu Sándor; 2002.; Matematika 9.; Műszaki Könyvkiadó; Budapest
(2) Urbán János; 2001.; Sokszínű matematika 9; Mozaik Kiadó; Szeged
(3) Ábrahám Gábor; 2012.; Matematika 9; Maxim Könyvkiadó; Szeged
(4) Urbán János; 2014.; Sokszínű matematika feladatgyűjtemény 9; Mozaik Kiadó; Szeged
(5) Korányi Erzsébet; 1998.; Összefoglaló feladatgyűjtemény matematikából;
Nemzeti Tankönyvkiadó; Budapest
(6) Vancsó Ödön; 2005.; Egységes Érettségi Feladatgyűjtemény Matematika I.;
Konsept H Könyvkiadó; Piliscsaba
(7) Fuksz Éva; 2011.; Érettségi feladatgyűjtemény matematikából 9 − 10. évfolyam;
Maxim Kiadó; Szeged
(8) Fröhlich Lajos; 2006.; Alapösszefüggések matematikából – emelt szint; Maxim Kiadó; Szeged
(9) https://users.itk.ppke.hu/itk_dekani/files/matematika/list.html
(10) Saját anyagok