1. Osnovni pojmovi kinematike translatornog I rotacionog kretanja

Kinematika je oblast fizike koja se bavi proucavanjem premestanja tela u prostoru i vremenu ne uzimajuci u obzir

uzrok takvog kretanja. Oblik kretanja koji se manifestuje promenom polozaja tela naziva se mehanicki oblik kretanja.

Polozaj tela se odredjuje u odnosu na neko drugo telo. To telo se naziva uporedno telo ili sistem referencije. Kao

sistem referencije uzimamo dekartov pravougli koordinatni sistem. Ako se materijalna tacka krece po nekoj krivoj

putanji onda se njen polozaj odredjuje pomocu koordinata u svakom trenutku.

X = f1(t)

Y = f2(t)

Z = f3(t)

Polozaj tacke se moze odrediti i

pomocu vektora polozaja OA=rA

cije su koordinate x, y, z.

r = r(t) ; x = x(t); y = y(t); z = z(t)

r = x i+y j+z k

Putanja je linija koja spaja sve tacke kroz koje prolazi materijalna tacka. Na osnovu putanje kretanje se deli na

krivolinijsko i pravolinijsko.

Odnos puta i vremena daje brzinu:

v = lim (∆t->0) ∆r/∆t

v = dr/dt

|v| = |dr|/dt = ds/dt

v = dx/dt i + dy/dt j + dz/dt k

Promena brzine u vremenu je ubrzanje:

a = lim (∆t->0) ∆v/∆t

a = dv/dt = d2r/dt2

∆v = v’ - v

a = d2x/dt2 i + d2y/dt2 j + d2z/dt2 k

Pravolinijsko kretanje:

-ravnomerno:

v = const a = 0 ∫ds = ∫v dt s = v t – v t0 t0 = 0 => s = v t

-jednako ubrzano:

a = const a = dv/dt dv = a dt ∫dv = ∫a dt v - v0 = a t - a t0 t0 = 0 => v = v0 ± a t

∫ds = ∫ v dt s - s0 = ∫v0 dt ± ∫a t dt = v0 t0 ± a t2/2 s = s0 + v0 t ± a t2/2

Krivolinijsko kretanje:

a = aτ + an

aτ – tangencijalno ubrzanje

an – normalno ubrznje

aτ = d|v|/dt τ

an = v2/R n

R – poluprecnik krive

Kruzno kretanje:

ω = lim (∆t->0) ∆θ/∆t = dθ/dt

α = lim (∆t->0) ∆ω/∆t = dω/dt

∫dθ = ∫ω dt

ω = const => θ = ω t

r = r cosθ i + r sinθ j = r cosωt i + r sinωt j

v = dr/dt = -r ω sinθ i + r ω cosθ j

v v =v2 => v2 = r2 ω2 (sin2θ + cos2θ)

v = r ω

v = r x ω

ω = const => a = dv/dt = -r ω2 cosθ i - r ω2 sinθ j = -ω2 r an = v2/r n

ω ≠ const => a = an + aτ aτ = d|v|/dt τ= r dω/dt τ aτ = r α τ

∫dω = ∫α dt ω = ω0 ± α t

∫dθ = ∫ω dt θ - θ0 = ω0t ± αt2/2 θ = θ0+ ω0t ± αt2/2

2. Njutnovi zakoni dinamike

I Njutnov zakon: zakon inercije

Svako telo ostaje u stanju mirovanja ili uniformnog pravolinijskog kretanja sve dok pod dejstvom spoljnih sila ne

bude prinudjeno da to stanje promeni.

F = 0 => v = const odnosno mv = const

II Njutnov zakon:

Promena kolicine kretanja u vremenu proporcionalna je sili koja deluje i vrsi se u pravcu dejstva te sile.

dp/dt = F => m dv/dt = F => F = m a

III njutnov zakon:

Dejstva dva tela su jednaka i suprotno usmerena, tj. akcija je suprotna reakciji.

FA = FR

3. Moment sile i moment kolicine kretanja

Moment sile:

Ako na telo deluje sila F, obrtni deo ukupnog dejstva sile na bilo koju tacku je moment sile F na tu tacku.

M = r x F

d = r sinθ

M = F r sinθ = F

F = dp/dt => M = r x dp/dt d/dt (r x p) = dr/dt x p + r x dp/dt = v x p + r x F (v x m v = 0)

M = d/dt (r x p)

Moment kolicine kretanja:

Pri nekim kretanjima, umesto vektora kolicine kretanja pogodnije je koristiti moment kolicine kretanja:

L = r x p

L = r x m v

M = dL/dt

Vektor L je normalan na ravan koju cine vektori r i p. Vektor L zavisi od polozaja tacke 0.

4. Njutnov zakon gravitacije i jacina gravitacionog polja

Dva tela se privlace silom koja je proporcionalna proizvodu njihovih masa, a obtnuto proporcionalna kvadratu

medjusobnog rastojanja. Koeficijent proporcionalnosti oznacava se sa γ i naziva se gravitaciona konstanta. Njena

brojna vrednost odredjena je silom kojom se privlace dva tela jedinicnih masa koja se nalaze na medjsobnom

rastojanju jedinicne duzine.

F = γ (m1 m2)/r2 γ = 6.67 10-11 Nm2/kg2

F = γ (m M)/r2 ; r ≥ R

F = γ (m M)R3 r ; r < R

Zakon gravitacije vazi strogo za dve materijalne tacke. Ako su tela znatnih dimenzija onda se ovaj zakon moze

primeniti samo na delove tela koji se mogu smatrati materijalnim tackama.

Tezina tela se definise kao sila izmedju Zemlje i datog tela.

Q = γ (m Mz)/Rz2 Q = m g g = γ Mz/Rz

2 – gravitaciono ubrzajne g = 9.81 m/s2

Jacina (intezitet) gravitacionog polja nekog tela definise se kao kolicnik sile F kojom to polje deluje na bilo koje drugo

telo u mase tela n koje deluje sila F.

G = F/m G = (γ (M m)/r2)/m => G = γ M/r

2

5. Mehanicki rad i zakon odrzanaj mehanicke energije

Ako telo pomeramo pod dejstvom neke sile kazemo da vrsimo rad.

dA = F ds = F cosα ds

A = ∫F cosα ds F = const => A = F cosα ds

0<α<π/2 – rad je pozitivan

α>π/2 – rad je negativan

Telo u kretanju moze istovremeno imati i kineticku i potencijalnu energiju. Kada se telo krece onda se moze menjati i

brzina i visina u odnosu na nulti nivo potencijalne energije. Ukupna energija se odrzava, tj. ostanje konstantna pod

uslovom da nema trenja, odnosno prelaza te energije u druge oblike.

AAB = ∫m dv/dt ds = ∫m dv/dt ds/dt dt = m ∫dv/dt v dt

d/dt v2 = d/dt (v v) = 2 dv/dt v

AAB = m/2 ∫d(v2) AAB = m/2 (vB2 – vA

2)

A = Ep(rA)-Ep(rB) => mvB2/2-mvA

2/2 = VA-VB => mvB

2/2+VB = mvA

2/2 + VA

E = Ek + V = const

Za sistem od vise tela takodje vazi ovaj zakon:

mv12/2 + mv2

2/2 + . . . + V1 + V2 + . . . = const

6. Zakon odrzanja kolicine kretanja i momenta kolicine kretanja

Zakon odrzanja kolicine kretanja:

Tela teze da zadrze stalnu kolicinu kretanja. Po zakonu inercije tela se krecu uniformno konstantnom brzinom v, pa

samim tim i kolicina kretanja mv, odnosno impuls, ostanje stalna. Npr., neka se dva tela krecu po nekim putanjama.

Ako zanemarimo dejstvo ovih tela na okolna tela, mozemo ih posmatrati kao sistem.

Po III Njutnovom zakonu FAB = -FBA

pA0 = mA0 vA0 pB0 = mB0 vB0

pA = mA vA pB = mB vB

F = ∆(m v)/∆t = ∆p/∆t F ∆t = ∆p

FAB ∆t = pA - pA0

=> pA - pA0 + pB - pB0 = 0 => mA vA + mB vB = mA0 vA0 + mB0 vB0 => p = const => ∑mi vi = const

FBA ∆t = pB - pB0

Zakon odrzanja momenta kolicine kretanja:

M = 0 => dL/dt = 0 => L=const => ∑(ri x pi) = const

Ako je rezultanta momenta svih spoljasnjih sila jednaka nuli, ukupan moment kolicine kretanja sistema stalan je u

toku vremena.

7. Raspad i sudari

Raspad je proces pri kome setelo mase m i brzine v seli na 2 ili vise tela ciji je zbir masa jednam m. Prilikom raspada

vazi zakon odrzanja energije i impulsa.

m v = m1 v1 + m2 v2 + m3 v3

∆E = m1v12/2 + m2 v2

2/2 + m3 v32/2 + m v2/2

Postoje elasticni i neelasticni sudari. Kod elasticnih sudara vazi zakon odrzanja energije i impulsa, dok kod

neelasticnih vazi zakon odrzanja impulsa.

Elasticni:

m1 v1 + m2 v2 = m1 v1’ + m2 v2’

m1 v12/2 + m2 v2

2/2 = m1 v1’

2/2 + m2 v2’

2/2

Neelasticni:

(m1 + m2) v = m1 v1 + m2 v2

8. Centar mase sistema, osnovne jednacine dinamike krutog tela

Posmatramo sistem od N materijalnih tacaka masa mi ciji su vektori polozaja u odnosu na nepokretnu tacku O dati sa

ri.

Ukupna masa sistema jednaka je zbiru masa materijalnih tacaka i oznacava se sa M.

Centar mase sistema: rc = 1/M ∑mi ri

Brzina sistema: vc = drc/dt = 1/M ∑mi vi ∑mi vi – kolicina kretanja

Ubrzanje sistema: ac = dvc/dt = 1/M ∑mi ai

∑Fi = ac ∑mi = ac M

Uslov ravnoteze krutog tela je da ukupna sila bude jednaka 0 i da ukupni moment sile bude jednak 0.

F1 + R + F2 + m g = 0 ; F1 + R - F2 - m g = 0

(d1 x F1) + (d2 x F2) + (d x m g) = 0 ; d1 F1 - d2 F2 - d m g = 0

R – sila reakcije

Moment inercije materijalne tacke jednak je proizvodu mase materijalne tacke i kvadratu njenog rastojanja od ose

rotacije.

I = m r2 I = ∑mi ri

2 I = ∫r

2dm

Hajgens-Stajnerova teorema:

Moment inercije nekog tela u odnosu na osu Z1 jednak je zbiru momenata inercije u odnosu na osu Z koja prolazi

kroz teziste tela i paralelna je sa Z1, i proizvoda mase tela i kvadrata rastojanja.

I = I0 + m l2

Moment inercije homogenog stapa

dI = x2 dm dm = m/L dx I = ∫x2 m/L dx = m/l ∫x2dx = m/L x3/3 (0-L)

I = 1/3 m L2 – osa na kraju stapa

I = I0 + m (L/2)2 => I0 = I - m (L/2)2 = m (L2/3 - L2/4)

I0 = 1/12 m L2 – osa kroz sredinu stapa

Moment inercije cilindra mase M, poluprecnika R: i = 1/12 M R2

Moment inercije sfere: I = 2/5 M R2

9. Dinamika rotacionog kretanja

Proizvod momenta inercije krutog tela i njenog ugaonog ubrzanja jednak je momentu svih spoljasnjih sila koja deluje

na telo.

M = I α α = dω/dt => M = I dω/dt = d(I ω)/dt = dL/dt => L = I ω

Moment kolicine kretanja jednak je proizvodu momenta inercije i ugaone brzine.

Kinematicka energija kod rotacionog kretanja:

Rotaciona kinematicka energija cvrstog tela mase m koja rotira oko ose ugaonom brzinom ω jednaka je zbiru

kinematickih energija elementarnih delova mase mi koje se krecu razlicitim tangencijalnim brzinama vi i istom

ugaonom brzinom ω.

Ek = 1/2 ∑mi vi2 vi = ri ω => Ek = 1/2 ∑mi ri

2 ωi

2 = 1/2 I ω2

10. Specijalna teorija relativnosti; Lorencove transformacije; Kontrakcija duzine i dilatacija vremena

Do pojave ove teorije koristila se pretpostavka da vreme tece samo po sebi bez obzira na kretanje tela. Neka imamo

dva sistema referencije koji se krecu tako da im se x-ose poklapaju. U klasicnoj mehanici koristile su se takozvane

Galilejeve transformacije za veze izmedju koordinata i vremena i u prvom i u drugom sistemu. Ovo je vazilo do 1905.

kada je Albert Ajnstajn pokazao da su prostor i vreme povezani. Ajnstajnova teorija podrzava takozvane Lorencove

transformacije koje glase:

x’ = (x - v t)/√(1 - v2/c

2)

y’ = y

z’ = z

t’ = (t - x v/c2)/√(1 - v

2/c

2)

Kontrakcija duzine:

Ako imamo stap duzine L0 u sistemu S duz x-ose to znaci da je u sistemu S’ pocetak stapa x1’=0 , a kraj x2’=L0. Duzina

tog stapa je:

L0 = x2’ - x1’ = (x2 - v t)/√(1 - v2/c

2) - (x1 - v t)/√(1 - v

2/c

2) = (x2 – x1) /√(1 - v

2/c

2) = L/√(1 - v

2/c

2)

L = L0 √(1 - v2/c

2)

Dilatacija vremena:

∆t0 = t2’ – t1’ x2’ = x1’ = x’

∆t = t2 – t1 = (t2’ - x v/c2)/√(1 - v2/c2) - (t1’ - x v/c2)/√(1 - v2/c2) = (t2’ – t1’)/ √(1 - v2/c2) = ∆t0/√(1 - v2/c2)

∆t = ∆t0/√(1 - v2/c2)

11. Dinamika specijalne teorije relativnosti

Jedan od glavnih stavova klasicne fizike bio je da je masa konstantna u svim procesima. Specijalna teorija relativnosti

tvrdi da postoji zavisnost mase od brzine, tj. promenljivost mase.

m = m0/√(1 - v2/c

2) ; dakle, masa se povecava sa povecanjem brzine

Relativisticki izraz za kolicinu kretanja: p = m v = m = v m0/√(1 - v2/c

2)

Kinematicka energija:

Ek = A = ∫F dx F = dp/dt = d/dt (v m0/√(1 - v2/c2))

dEk = F dx = dx/dt d(v m0/√(1 - v2/c

2))

d(v m0/√(1 - v2/c

2)) = d(v m0 (1 - v

2/c

2)

-1/2) = m0 (1 - v

2/c

2)

-1/2 dv + m0 v (-1/2) (1 - v

2/c

2)

-3/2 (-2/c) v dv =

= m0/√(1 - v2/c2) (1 + v2/((1 – v2/c2) c2)) dv = m0/√(1 - v2/c2) (1 + v2 c2/((c2 – v2) c2)) dv =

= m0/√(1 - v2/c

2) ( c

2 –v

2 +v

2)/(c

2 – v

2) dv = m0/√(1 - v

2/c

2) 1/(1- v

2/c

2) dv = m0/√(1 - v

2/c

2)

3 dv

dEk = v m0/√(1 - v2/c

2)

3 dv

v m0/√(1 - v2/c2)3 dv = c2 d (m0/√(1 - v2/c2))

dEk = d (m0 c2 /√(1 - v2/c2)) Ek = ∫d (m0 c

2 /√(1 - v2/c2)) Ek = m0 c2 /√(1 - v2/c2) (0-v)

Ek = m0 c2 /√(1 - v

2/c

2) - m0c

2 Ek = m0 c

2 (1/√(1 - v

2/c

2) - 1) za v

2/c

2 << 1 => Ek = m v

2/2

12. Defekt mase i energija veze

13. Harmonijske oscilacije

Oscilacije umaju najprostiji oblik kada se vrse po pravoj i kada je sila koja vraca telo u ravnotezni polozaj

proporcionalna rastojanju tela od ravnoteznog polozaja (elongacija). Uslov za ove oscilacije je:

F = -k x ; x – elongacija k – konstanta proporcionalnosti

x = x0 sin(ωt + ϕ) - izraz za elongaciju

±x0 - amplituda oscllacije

F = -k x

m a = -k x

m d2x/dt

2 +k x = 0

d2x/dt

2 + k/m x = 0 ; k/m = ω2

d2x/dt

2 + ω2

x = 0 => r2 + w

2 = 0 => r = ± ω i

x = C1 eiωt + C2e-iωt = C1 (cosωt + i sinωt) + C2 (cosωt - i sinωt) = (C1 + C2) cosωt + (C1 - C2) i sinωt

za t = 0 i x = 0 => C1 = -C2

x = 2 C1 i sinωt => x=x0 sin(ωt + ϕ) ; x0 = 2 C1 i

Energija kod harmonijskog oscilovanja

Ep = -∫F dx = -∫-k x dx

Ep = k x2/2

=> E = 1/2 (m v2 + k x

2) Euk = k x0

2/2

Ek = m v2/2 za neprigusene oscilacije E = const

w = √(k/m) T = 2 π/ω => T = 2 π √(m/k) - period oscilovanja

F = -kuk x

kuk = k1 k2/(k1 + k2)

ω = √(k1 k2/(m(k1 + k2)))

T = 2 π √((m(k1 + k2)/k1 k2))

F = -kuk x

kuk = k1 + k2

ω = √((k1 + k2)/m)

T = 2 π √(m/(k1 + k2))

Matematicko klatno:

F = -m g sinθ sinθ ≈ θ ≈ x/L

F = -m g x/L

m d2x/dt2 = -m g x/L

d2x/dt

2 + g x/L = 0

d2x/dt

2 + g/L x = 0 => g/L = ω2

ω = √(g/L) T = 2 π √(L/g)

Fizicko klatno:

M = -m g d sinθ

M = I α

I d2θ/dt

2 = -m g d sinθ sinθ ≈ θ

d2θ/dt2 + m g d/I θ = 0

ω = √(m g d/I) θ = θ0 sin(ωt + ϕ

14. Elektro-mehanicke analogije

15. Prigusene harmonijske oscilacije

Oscilacije su prigusene ako se njene amplitude menjaju u toku vremena. Fazni oblici ovakvih oscilacija mogu se dobiti

pomocu oscilatora koji predstavlja telo obeseno o oprugu i uronjenu u tecnost, u kojoj telo prlikom kretanja stvara

trenje pa oscilator brzo izgubi energiju.

Ftr = -v r = -r dx/dt r – faktor proporcionalnosti

m a = -k x - Ftr

m d2x/dt

2 + k x + r dx/dt = 0

d2x/dt

2 + r/m dx/dt + k/m x = 0

x = A e-αt sin(ωt + ϕ0)

dx/dt = -A α e-αt sin(ωt + ϕ0) + ω A α e-αt cos(ωt + ϕ0)

d2x/dt2 = -A α2 e-αt sin(ωt + ϕ0) - ω A α e-αt cos(ωt + ϕ0) - A ω α e-αt cos(ωt + ϕ0) - A ω2 e-αt sin(ωt + ϕ0) = (α2 - ω2) A e-αt

sin(ωt + ϕ0) - 2 A α ω e-αt cos(ωt + ϕ0)

(α2 - ω2) A e-αt sin(ωt + ϕ0) - 2 A α ω e-αt cos(ωt + ϕ0) - r/m A α e-αt sin)ωt + ϕ0) + r/m ω A α e-αt cos(ωt + ϕ0) + k/m A e-

αt sin(ωt + ϕ0) = 0

(α2 - ω2 - r/m α + k/m) A e-αt sin(ωt + ϕ0) - (2 α ω - r/m ω) A e-αt cos(ωt + ϕ0)

α2 - ω2 - r/m α + k/m = 0 2 α ω - r/m ω = 0

2 α ω = r/m ω => α = r/2m

α2 - ω2 - r/m α + k/m = 0 => α2 - ω2 - 2 α2 + k/m = 0 => ω2 = -α2 + k/m

ωo2 = k/m => ω = √(ω0

2 - α2)

x = A e-αt sin(ωt + ϕ0)

ω = √(k/m – r2/4m2)

16. Prinudno oscilovanje. Rezonanca

Oscilator se moze odrzavati u stanju oscilovanja i pomocu neke spoljasnje periodicne sile. To su prinudne oscilacije.

Vrse se frekvencijom prinudne sile.

F(t) – prinudna sila

m a = F(t) - v r - k x

m d2x/dt2+r dx/dt + kx = F(t)

m d2x/dt2 + 2 m α dx/dt + m ω02 x = F0 sinωt

d2x/dt2 + 2 α dx/dt + ω02 x = F0/m sinωt

x = x0 sin(ωt + ϕ0)

dx/dt = x0 ω cos(ωt + ϕ0)

d2x/dt2 = -x0 ω2 sin(ωt + ϕ0)

-x0 ω2 sin(ωt + ϕ0) + 2 α x0 ω cos(ωt + ϕ0) + ω02 x0 sin(ωt +ϕ0) = F0/m sinωt

(1) x0 = F0/(m √((ω02 - ω2)2 + 4 α2 ω2)

Ako je frekvencija prinudne sile bliska sopstvenoj frekvenciji oscilatora, s obzirom da oscilator stalno prima rad,

njegova energija mora da raste, a amplitude se jako povecavaju. Ova pojava naziva se rezonanca. Kada su amplitude

najvece, nastaju rezonantne frekvencije. Amplitude ce biti najvece kada je imenilac u izrazu (1) najmanji.

dx0/dω = d/dω[F0/(m √((ω02 - ω2

)2 + 4 α2

ω2)] = F0/m d/dω[((ω0

2 - ω2

)2 + 4 α2

ω2)

-1/2] =

=F0/m (-1/2) ((ω02 - ω2

)2 + 4 α2

ω2)

-3/2 (2 (ω0

2 - ω2

) (-2 ω) + 8 α2 ω) = 0

-4 (ω02 - ω2

) ω = -8 α2 ω => ω0

2 - ω2

= 2 α2 => ω2

= ω02 – 2 α2

=>

=> ω = √(ω02 – 2 α2) – uslov za rezonanciju

17. Pritisak u fluidima. Paskalov zakon

Tecnost na zidove suda deluje normalno, pa sile moraju da imaju razlicite pravce ako je zid suda kriva povrsina. Za

sudove sfernog oblika sile su radijalne u svim pravcima.

s1 ∆s1 = s2 ∆s2 = ∆V p = F/s - pritisak

F1 = s1 p1 ; F2 = s2 p2

A = F1 ∆s1 = F2 ∆s2 => p1 s1 ∆s1 = p2 s2 ∆s2 => p1 = p2

Paskalov zakon: Pritisak se prenosi podjednako u svim pravcima kroz tecnost

F1/s1 = F2/s2 = F3/s3 = . . . = Fn/sn = p

18. Hidrostaticki pritisak. Arhimedov zakon

Q = dm g = ρ dV g = ρ s dh g

F1 = p s ; F2 = (p + dp) s

F2 = Q + F1

(p+ dp) s = p s + ρ s g dh

∫dp = ρ g ∫dh => p = pA + ρ g h

Arhimedov zakon:

Na telo potopljeno u tecnost deluje pritisak koji je jednak tezini tecnosti koja je istisnuta tim telom.

Fi = pi ∆s ; F1 = p1 s = (p0 + ρ g x) s ; F2 = p2 s = (p0 + ρ g (x + h)) s

Fp = F2 - F1 = ρ g h s

Fp = Qfluida - Arhimedov zakon

ρfl V g = ρt V g Q’ = Q - Fp = V g (ρt - ρfl) - prividna tezina

ρt > ρfl - telo tone

ρt = ρfl - telo lebdi

ρt < ρfl - telo pluta

19. Bernulijeva jednacina

V1 = V2

s1 ∆s1 = s2 ∆s2

∆m = ρ s1 ∆s1 ∆t = ρ s2 ∆s2 ∆t

A = F1 ∆s1 - F2 ∆s2 = p1 s1 ∆s1 - p2 s2 ∆s2 = p1 ∆V - p2 ∆V

∆E = ∆m v22/2 + ∆m g h2 - ∆m v1

2/2 - ∆m g h1

∆E = A => p1 ∆V - p2 ∆V = ∆m v22/2 + ∆m g h2 - ∆m v1

2/2 - ∆m g h1 ∆m/∆V = ρ

p1 - p2 = ρ v22/2 + ρ g h2 - ρ v1

2/2 - ρ g h1 => p1 + ρ v1

2/2 + ρ g h1 = p2 + ρ v2

2/2 + ρ g h2

p + ρ v2/2 + ρ g h = const - zbir statickog i dinamickog pritiska ostaje stalan

U strujnoj cevi pritisak je veci tamo gde je brzina manja i obrnuto.

20. Sila viskoznog trenja

Posmatrajmo realnu tecnost dubine d na ciju je povrsinu stavljena plocica PP1. Na plocicu, paralelno sa povrsinom

tecnosti, deluje sila F odredjena tezinom tega Q. Posle izvesnog vremena prlocica ce se kretati ravnomerno

konstantnom brzinom. Sila -F se javlja analogno kao kod kretanja po povrsini drugog cvrstog tela. To je unutrasnje

trenje. Sloj molekula uz samu ivicu plocice vezna je za nju i krece se zajedno sa njom, a susedni slojevi svojom

reakcijom teze da sprece kretanje prvog sloja. Ovo je laminarno kretanje.

Otpor sredine je sila trenja kojom se neki fluid opire kretanju nekog tela kroz njega. Za lagano kretanje lopte u

viskoznoj tecnosti vazi Stoksov zakon:

F = 6 π η r v η – koeficijent viskoznosti tecnosti ; r – poluprecnik lopte ; v – brzina kretanja

Q = Fp + Ftr Fe = E q

Fp + Ftr = E q + Q

q = n e e = 1.6 10-19

C

Q = 4/3 π r3 r g Fp = 4/3 π r

3 ρt g

Ftr = 4/3 π r3 g (ρ - ρt)

21. Barometarska formula

Barometarska formula pokazuje zavisnost pritiska od visine stuba. Vazi samo pri konstantnoj temperaturi. Pritisak se

smanjuje sa visinom.

dp = -ρ g dh

p V = n R T <=> p V = m/M R T

ρ = m/V => dp = - p M/(R T) g dh

dp/p = - M g/(R T) dh

R = kB NA M = µ NA – masa jednog molekula

∫dp/p = -M g/(R T) ∫dh => ln p/p0 = - M g h/ (R T) => p = p0 e-M g h/ (R T)

p = p0 e-µ g h/ (kB T)

µ g h – potencijalna energija molekula u polju zemljine teze

p V = N/NA R T => p = N/V R T/NA n(h) = N/V – broj molekula po jedinici zapremine

n(h) = n(0) e-µ g h/ (kB T) - broj molekula po jedinici zapremine smanjuje se sa povecanjem pritiska

22. Maksvel-Bolcmanova raspodela po brzinama i energijama

dN/N – verovatnoca (zbog nemogucnosti tacnog odredjivanja fizicke velicine)

dN/N = f(E) dE – funkcija raspodele po energiji

dN/N = f(v) dv – funkcija raspodele po brzini

f(vz) dvz = A e-E/(k

B T)

dvz

∫f(vz) dvz = 1 [smena: √(E/(kB T)) = ε dvz = √(2 kB T/µ) dε]

A √(2 kB T/µ) ∫e-ε² de = 1

∫e-ε² dε = √π => A √(2 kB T/µ) √π = 1 => A = √( µ/(2 π kB T))

Verovatnoca da klasicni sistem poseduje energiju E na temperaturi T:

f(E) = f0 e-E/(kB

T) - Maksvel-Bolcmanova funkcija raspodele po energijama

Maksvelova raspodela po brzinama:

Pretpostavka da se molekuli krecu istim brzinama nakon mnogih sudara je gruba aproksimacija. Ako je N broj

molekula datog gasa, a ∆N broj molekula cije su brzine u intervalu v + ∆v i v, onda je Maksvelova funkcija raspodele

po brzinama:

f(v) = 4/√π (µ/(2 kB T))3/2 e-µ v²/2 kB

T v2

23. Srednja brzina, srednji kvadrat brzine i najverovatnija brzina

Srednja brzina:

<v> = ∫v f(v) dv = 4/√π (µ/(2 kB T))3/2 ∫e-µ v²/2 kB

T v3 dv = [smena: ε2 = µ v2/(2 kB T) vdv = 2 kB T/µ ε dε] = 4/√π (µ/(2 kB

T))3/2 ∫e-ε² (2 kB T/µ) ε2 (2 kB T/µ) ε dε = 4/√π (µ/(2 kB T))3/2 (µ/(2 kB T))-2 ∫ e-ε² ε3 dε = 4/√π (µ/(2 kB T))-1/2 1/2 =>

<v> = √(8 kB T/(µ π))

Srednji kvadrat brzine:

<v2> = ∫v2 f(v) dv = 4/√π (µ/(2 kB T))3/2 ∫e-µ v²/2 kB

T v4 dv = [smena: ε2 = µ v2/(2 kB T) vdv = 2 kB T/µ ε dε] = 4/√π (µ/(2 kB

T))3/2 ∫e-ε² (2 kB T/µ) ε2 √(2 kB T/µ) ε (2 kB T/µ) ε dε = 4/√π (µ/(2 kB T))3/2 (µ/(2 kB T))-5/2 ∫ e-ε² ε4 dε = 4/√π (µ/(2 kB T))-1

3/8 √π => <v2> = 3 kB T/µ

Najverovatnija brzina odgovara maksimumu funkcije f(v):

df(v)/dv = 0 => 4/√π (µ/(2 kB T))3/2 e-µ v²/2 kB

T (2 v - µ v3/(kB T)) = 0

v e-µ v²/2 kB

T (2 - µ v2/(kB T)) = 0 => µ v2/(kB T)) = 2 => v = √(2 kB T/µ)

24. Jednacina stanja idealnog gasa

Ako posmatramo malu povrsinu s na zidu suda u kome se nalazi gas, vidimo da pri svakom sudaru sa zidom molekul

mase µ preda zidu impuls:

∆p = µ vx - (-µ vx) = 2 µ vx

Sve cestice povrsini s pri sudaru predaju ukupan impuls

<∆px> = 1/2 n0 s vx ∆t 2 µ vx => <∆px> = µ n0 s vx2 ∆t n0 – broj molekula po jedinici zapremine

<F> = <∆px>/∆t = µ n0 <vx2> s - srednja sila nastala udarom svih molekula o povrsinu s

p = <F>/s = µ n0 <vx2>

<v2> = <vx2> + <vy

2> + <vz2> <vx

2> = <vy2> = <vz

2> => <vx2> = <v2>/3

p = µ n0 <v2>/3 <v2> = 3 kB T/µ => p = n0 kB T

n0 = N/V => p V = N kB T

n = N/NA , R = NA kB => p V = n R T - jednacina stanja idealnog gasa

25. Unutrasnja energija gasa

Vaznu karakteristiku stanja nekog sistema predstavlja njegova unutrasnja energija. To je srednja vrednost ukupne

energije svih cestica. Ako se sistem sastoji od N cestica njegova unutrasnja energija je:

U = Σ(µ <vi2>/2 + <Ep>)

(zbir srednje kineticke energije svih molekula i potencijalne energije medjusobnih interakcija svih molekula)

Vazna osobina unutrasnje energije je njena aditivnost, tj. unutrasnja energija sistema je zbir unutrasnjih energija

svakog tela:

U = ΣUi

Idealan jednoatomski gas:

U = Σ <Eki> = N <Ek> <Ek> = µ <vx2>/2 + µ <vy

2>/2 + µ <vz

2>/2 = 3 kB T/2 => U = 3 kB T/2 N

Dvoatomski gas:

<Ek> = µ <vx2>/2 + µ <vy

2>/2 + µ <vz2>/2 + I1 <ω1

2>/2 + I2 <ω22>/2 => U = 5 kB T/2 N

Troatomski gas:

<Ek> = µ <vx2>/2 + µ <vy

2>/2 + µ <vz2>/2 + I1 <ω1

2>/2 + I2 <ω22>/2 + I3 <ω3

2>/2 => U = 3 kB T N

j – stepen slobode => U = j/2 N kB T = j/2 n R T

U = n Cv T ; Cv = i/2 R

26. Prvi princip termodinamike i rad kod termodinamickih procesa

Zakon odrzanja energije u ciju je formulaciju ukljucena unutrasnja energija haoticnog kretanja i njene promene

predstavlja prvi princip termodinamike.

∆Q = ∆U + ∆A

dQ = dU + dA

Q = ∆U + A

Za beskonacno male promene imamo:

δQ = dU + δA

δQ > 0 - toplota se dovodi telu

δQ < 0 - toplota se odvodi od tela

δQ = 0 - adijabatski proces

Klip se usled dodavanja male kolicine toplote δQ pomeri za dx i izvrsi se rad:

dA = F dx

F = p s => dA = p s dx = p dV

A = ∫p dV A > 0 – gas vrsi rad A < 0 – nad gasom se vrsi rad

Ako je:

V = const : dA = p dV => A = 0

p = const : A = p ∫dV = p (V2 - V1)

t = const : p = n R T/V => A = ∫n R T/V dV = n R T ln V2/V1

27. Masena i molarna toplota gasova

Razlicita tela koja imaju istu masu mogu da se zagreju za razlicit porast temperature ako ima se dovede ista kolicina

toplote. Takva tela imaju razlicite specificne toplote.

dQ = n C dT C – molarna kolicina toplote

dQ = m c dT c – masena kolicina toplote

n C = m c => c = C/M

Cp – molarna kolicina toplote pri p = const

CV – molarna kolicina toplote pri V = const

dQ = dU + dA = dU + p dV = dU + n R dT - za p = const

dQ = n Cp dT

dU = n CV dT

n Cp dT = n CV dT + n R dT => Cp = CV + R

CV = j/2 R => Cp = (j + 2)/2 R

k = Cp/CV = (j + 2)j - Poasonova konstanta

28. Kruzni procesi ; Koeficijent korisnog dejstva ciklusa

Termodinamicki rad za sva 4 procesa

1) izohora (V = const) dA = p DV => A = 0

2) izobara (p = const) dA = p dV => A = p ∫dV => A = p (V2-V1)

3) izoterma ( T = const) dA = p dV ; p V = n R T => dA = n R T dV/V => A = n R T ln V2/V1

4) adijabata (dQ = 0) dA = -dU => dA = -n CV dT => A = -n CV (T2-T1)

Moze se desiti da u rezultatu nekog termodinamickog procesa telo na kraju dospe u pocetno stanje. To je kruzni

proces.

Ukupan rad koji se izvrsi jednak je mrezasto strafiranoj povrsini:

dA = p dV

Za ciklus je vazno znati koeficijentkorisnog dejstva. To je odnos ukupnog

rada i ulozene kolicine toplote:

η = Auk/Q↓ - koeficijent korisnog dejstva je uvek manje od 1

Ako se vratimo u pocetno stanje, kolicina energije je uvek jednaka 0 (∆Uuk = 0)

29. Karnoov kruzni proces

To je proces koji se sastoji iz dve izoterme i dve adijabate

Q = A – ukupna toplota jednaka je izvrsenom radu

Q↑

= Q34 – oslobodjena = A34 = n R T2 ln V4/V3

Q↓

= Q12 – ulozena = A12 = n R T1 ln V2/V1

η = (Q↑

+ Q↓

)/Q↓

= (Q12 + Q23)/Q12 =

=(n R T1 ln V2/V1 + n R T2 ln V4/V3)/(n R T1 ln V2/V1)

V T1/(k-1) = const

2 -> 3 : V2 T11/(k-1)

= V3 T21/(k-1)

=> V2/V1 = V3/V4

4 -> 1 : V1 T11/(k-1) = V4 T2

1/(k-1)

η = 1 + (n R T2 ln V4/V3)/(n R T1 ln V2/V1) = 1 - (T2 ln V2/V1)/ (T1 ln V2/V1) => η = (T1 - T2)/T1

Karnoov ciklus maksimalno iskoristava toplotu za dobijanje rada. Kod njega je η najveci i zavisi samo od temperature.

30. Entropija

Kolicinu toplote je moguce izmeriti i preko termodinamicke funkcije (velicine koja se zove entropija). To je

reverzibilni proces – funkcija stanja.

dS = dQ/T ∫dS = ∫dQ/T => S2 = S1 + ∫dQ/T

Ukupna entropija sistema jednaka je algebarskom zbiru entropija pojedinacnih delova.

S = ∑Si dS = dQ/T <=> dS = dU/T + dA/T

Idealni gas:

dQ = dU + dA => dQ = n CV dT + p dV ; p = n R T/V => dQ = n CV dT + n R T dV/V

dS = n CV dT/T + n R dV/V => ∆S = n CV ln T2/T1 + n R ln V2/V1 – ukupna promena entropije

Entropija je srazmerna unutrasnjoj energiji. Porast entropije znaci porast haoticnosti sistema.

31. Drugi princip termodinamike

Drugi princip termodinamike kaze da je nemoguc proces pri kome bi se toplota pretvarala jedino u mehanicki rad bez

drugih procesa. U svakom izolovanom termodinamickom sistemu promena entropije pri njenom procesu je veca ili

jednaka nuli:

∆S ≥ 0

Za izolovane sisteme je dQ = 0, pa je ∆S ≥ 0, tj. toplota ne opada. Za nepovratne procese je S ≥ 0, a za povratne je

S=0. Velicina promene entropije predstavlja karakteristiku stepena nepovratnosti sistema. U svim sistemima samo

deo energije prelazi u entropiju.

32. Fazni prelazi

Fazni prelazi su procesi usled kojih dolazi do skokovite promene fizickih svojstava. Dele se na fazne prelaze I i II vrste.

Fazni prelazi I vrste:

Oni se karakterisu skokovitim promenama gustine (r), unutrasnje energije (U) i entropije (S). Pri nekom konstantnom

pritisku fazni prelaz uvek tece pri strogo konstantnoj temperaturi. Sledi da je izotermski fazni prelaz istovremeno i

izobarski.

Trojna tacka je tacka ravnoteze sve 3 faze.

Ako posmatramo proces izotermskog sabijanja materije na prelasku gasa u

tecnost, vidimo da se zapremina faze smanjuje dovodjenjem pritiska.

Sabijanje tece spontano sve dok sistem ne dodje u tacku B

– tacku faznog prelaza. Tada dolazi do formiranja II faze uz

T = const i p = const. Energija koja se utosi na prelaz u

neko stanje je latentna toplota (isparavanja, topljenja ili

kondezacije).

Fazni prelaz II vrste:

Dva karakteristicna prelaza II vrste su superprovodnost i superfluidnost.

Superprovodnost je osobina da na nekim temperaturama topljenja tela gube svoju otpornost (ziva na 415K nema

otpornost bez oslobadjanja toplote).

Superfluidnost je osobina koja se javlja kada se neko telo dovede na neku temperaturu topljenja, gde viskoznost tog

tela pada na nulu (helijum na 212K).

33. Van der Valsova jednacina realnog gasa i kriticni parametri

Van der Vals je kod gasova uzeo u obzir medjumolekulskadejstva i sile i dao jednacinu realnog gasa.

(p + n a/V2)(V - n b) = n R T

n = 1 => (p + a/V2)(V - b) = R T / V

2

(p V2 + a)(V – b) = R T V

2

P V3 - p b V2 + a V - a b = R T V2

V3 - (b + R T/p) V2 + a/p V - a b/p = 0 - jednacina III stepena

p, T, a, b > 0 => nema negativnih korena

Kriva isparavanja ima vaznu osobinu da ne ide u beskonacnost, ona ima kraj na kom iscezavaju razlike izmedju

tecnog i gasovitog stanja; to je kriticna tacka cijej su koordinate Tk, pk i Vk koje se nazivaju kriticni parametri.

Na nizim temperaturama tela (T < Tk) izoterme imaju minimum i maksimum, pa imamo segmente koji se ponasaju

ne-fizicki, tj. imamo porast pritiska sa porastom zapremine pri T = const.

∂p/∂V = 0 ^ ∂2p/∂V2 ^ p = R T/(V - b) - a/V2

∂p/∂V = -R T/(V - b)2 + 2 a/V3 = 0

∂2p/∂V

2 = 2 R T/(V - b)

3 - 6 a/V

4 = 0

1. pk = R Tk/(Vk - b) - a/Vk2 Vk = 3 b

2. R Tk/(Vk - b)2 = 2 a/Vk

3 => Tk = 8 a/(27 b R)

3. 2 R Tk/(Vk - b)3 = 6 a/Vk

4 pk = a/(27 b

2)

34. Difuzija

Difuzija je prelaz sa mesta vece koncentracije na mesto manje koncentracije. Ako posmatramo difuziju elektrona koja

se menja samo duz x-ose (kod poluprovodnika), vidimo da dolazi do pojave difuzne struje. Gustina te struje je

kolicina molekula kroz povrsinu s u jedinici vremena.

ID = -D (dn0/dx) – difuzna struja (I Fikov zakon)

dn0/dx = 0 => nema difuzne struje jer je koncentracija konstantna

II Fikov zakon

dn0(x,t)/dt = D d2n0(x,t)/dx2

Pokazuje kakva je prostorna raspodela molekula u zavisnosti od vremena.

Difuzija je nepovratan proces, pa zavisnost koncentracijeod vremena nije ista kao zavisnost od koncentracije.

35. Provodjenje toplote

Provodjenje toplote je slicno difuziji. Ako je jedan kraj nekog tela na visoj a drugi kraj na nizoj temperaturi imamo tok

toplote u cilju izjednacavanja temperature. Uvodino struju toplote, tj. kolicinu toplote koja u jedinici vremena prodje

kroz povrsinu s.

IQ = dQ/(s dt) = -k (dT/dx) - Furijev zakon

K – koeficijent provodljivosti (brzina predaje toplote)

Ako imamo homogeno telo duzine d na cijim krajevima su razlicite temperature (T1 > T2), tada fluks kroz povrsinu s

iznosi:

ΦQ = IQ s = dQ/dt = -k s (dT/dx)

Φ dx = -k s dT

Φ x = - k s (T - T1)

T = T1 – Φ x/(k s)

Φ = k s/d (T - T1)

Φ = -k s dT/dr = -4 π r2 k dT/dr

dr/r2 = -4 π k/Φ dT

T = T1 - Φ/(4 π k) (1/r1 - 1/r2)

Φ = 4 π k (T1 - T2)/(1/r1 - 1/r2)

36. Prostiranje ravnih talasa; Talasna jednacina

Talasi predstavljaju prenosenje oscilacija brzinom v. Talasno kretanje nastaje kada se duz jednog niza tacaka ili u

jednoj neprekidnoj sredini prenosi treperenje nekom brzinom. Ako su oscilacije normalne na pravac kretanja talasa

onda je to transverzalni talas, a ako se oscilacije vrse u pravcu kretanja talasa onda je to longitudalni talas. Poremecaj

ravnoteze posredstvom elasticnih sila se prenosi kroz sredinu konacnom brzinom v pa zato tacke udaljenije od izvora

kasnije pocinju da trepere.

v0 = √(E/ρ) - brzina talasa u cvrstim i tecnim telima (E – moduo elasticnosti, ρ – gustina)

Talasna jednacina:

ψ = ψ0 sinωt

Tacke koje su udaljene za x od izvora oscilovanje pocinju za interval t’ = x/v, pa imamo:

ψ = ψ0 sin(ω (t - t’)) = ψ0 sin((t - x/v) ω)

ω = 2 π/T => ψ = ψ0 sin(2 π (t/T - x/(T v)))

T v = λ - talasna duzina => ψ = ψ0 sin(2 π (t/T - x/λ))

k = 2 π/λ => ψ = ψ0 sin(ω t - k x)

v = ∂x/∂t - brzina oscilovanja a = ∂2x/∂t2 - ubrzanje oscilovanja

37. Difrakcija i interferencija talasa; Stojeci talasi

Difrakcija talasa je pojava da talasi obilaze prepreke koje stoje na putu njegovog pravolinijskog prostiranja, tj.

prodiranje u oblast geometrijske senke.

Ako imamo pukotinu duzine b i ako sa njenoh krajeva pod uglom θ prolaze dva talasa, tada je putna razlika tih talasa

δ = b sinθ

δ = b sinθ = ± n λ - uslov minimalne interferencije

δ = b sinθ = ± (2 n +1) λ/2 - uslov maksimalne interferencije

Intezitet difraktovanog talasa: I = I0 sin(p b sinq / l) / (p b sinq / l)2

Interferencija (slaganje dva ili vise talasa) predstavlja prostornu preraspodelu energije.

Uslov interferencije je da talasi budu koherentni. Dva talasa su koherentna ako je razlika njihovih faza stana u toku

vremena.

Na slici su prikazana dva ravna talasa istih frekvencija koji pogadjaju istu

tacku prostora u kojoj imaju kolinearne vektore oscilovanja:

ψ1(x,t) = ψ01 ei(ωt - kx₁)

ψ2(x,t) = ψ02 ei(ωt - kx₂)

ψ = ψ1 + ψ2 - reziltujuci talas

|ψ|2 = |ψ1 + ψ2|2 = (ψ1 + ψ2)* (ψ1 + ψ2) = (ψ01 e-i(ωt - kx₁) + ψ02 e-i(ωt - kx₂)) (ψ01 ei(ωt - kx₁) + ψ02 ei(ωt - kx₂))

|ψ|2 = ψ012 + ψ02

2 + 2 ψ01 ψ02 cos(k (x2 - x1))

Posto je intezitet tog talasa I ≈ |ψ|2 => I = I1 + I2 + 2 √(I1 I2) cos(k (x2-x1))

Ako su talasi koherentni:

∆ = k (x2-x1) = 2 π n , n = 0, 1, 2 . . . – uslov maksimalnog pojacanja => I = 4 I1 (I1 = I2)

∆ = k (x2-x1) = (2 n +1) π , n = 0, 1, 2 . . . – uslov maksimalnog slabljenja => I = 0

Ako su nekoherentni: cos(k (x2-x1)) = 0 => I = I1 +I2

Stojeci talasi su talasi kod kojih amplitude oscilovanja nisu iste u svim tackama ; u tackama ucvrscenja su jednake

nuli i to su cvorovi talasa ; tacke gde je amplituda maksimalna se zovu trbusi stojecih talasa.

ψ = 2 ψ0 cos(2 π x/λ) sinωt - jednacina stojeceg talasa

38. Zakon odbijanja i prelamanja talasa

Da bismo protumacili odbijanje talasa postavimo ravnu prepreku od koje ce se odbijati talas. Uglovi α i β (upadni i

odbojni) su medjusobno jednaki. Upadni zrak, normala i odbojni zrak leze u istoj ravni.

Ako talas prelazi iz sredine I u sredinu II na ravnoj povrsini, vidi se na osnovu Hajgensovog principa da svaka tacka

ove povrsine postaje izvor elementarnog talasa. Vreme τ, koje protekne od trenutka kada talasni front pogodi tacku

A do trenutka kada stigne u tacku C, dobija se iz:

BC/c1 = τ ili AB/c2 = τ

BC/c1 = AB/c2 => sinα / sinβ = c1/c2 = n2/n1

39. Sferni talasi; Slabljenje talasa; Zvuk

Sferni talas je talas koji se sferno siri kroz homogeni prostor u svim pravcima. Koncentricni krugovi odgovaraj sfernim

talasnimfrontovima. Talasni front je skup tacaka koji imaju istu fazu.

Zavisnost amplitude talasa od rastojanja: ψ0(r) = ψ0/r

Elongacija sfernog talasa: ψ(r) = ψ0/r cos(ωt-kr)

Slabljenje talasa:

ψ = ψ0 sin(ωt-kx)

Ovaj talas bi trebalo da se prostire u beskonacnost, sto nije realno jer dolazi do interakcije oscilovanja molekula sa

postojecim toplotama tih istih molekula, pa dolazi do slabljenja talasa, Ako posmatramo apsorber vidimo da

smanjenje inteziteta zvuka pri prolasku iznosi dI, pa je:

dI = -A I dx ; A – koeficijent slabljenja

∫dI/I = -A ∫dx

I = I0 e-Ax - intezitet slabi sa porastom x

Zvuk je obicni mehanicki talas cije su frekvencije u opsegu od 20Hz do 20kHz – oblast culnosti ljudskog uha. Pri

prolasku zvucnog talasa, cestice koje osciluju poseduju i predaju energiju talasnog kretanja. Zvuk je, u stvari,

prenosenje energije.

<E> = 1/2 k x2 - 1/2 µ ω2

ψ02 - srednja energija harmonijskog oscilovanja

Zvucni talasi imaju osobinu da im je talasna duzina mnogo veca od karakteristike linearne duzine sredine kroz koju se

zvuk prostire.

40. Doplerov efekat

Ako se izvor krece u odnosu na prijemnik, dolazi do promene frekvencije i talasne duzine talasa iako je sredina

homogena. Ova pojava se zove Doplerov efekat. Izvor emituje sferne talase koji se nezavisno od sistema krecu

brzinom v0. Talasni frontovi se sabijaju ; talasna suzina se smanjuje kako se izvor priblizava prijemniku, tj. ν se

povecava.

νp = νi v0/(v0 - vi) - ako se izvor primice prijemniku

νp = νi v0/(v0 + vi) - ako se izvor udaljava od prijemnika

Ako se i sredina i prijemnik krecu onda imamo: νp = νi (v0 ± vp)/(v0 ± -vi)

41. Elektromagnetni talasi

Maksvel je pomocu cetiri parcijalne diferencijalne jednacine I reda opisao ponasanje elektricnog polja E i indukcije B

u sklopu elektromagnetskog talasa:

1) div E = 0

2) div B = 0

3) rot E = -∂B/∂t

4) rot B = -c-2

∂E/∂t

E = Ex i + Ey j + Ez k B = Bx i + By j + Bz k

1) Fluks elektricnog polja kroz zatvorenu povrsinu bez naelektrisanja je nula:

div E = (∂/∂x i + ∂/∂y j + ∂/∂z k) (Ex i + Ey j + Ez k) = ∂Ex/∂x + ∂Ey/∂y + ∂Ez/∂z = 0

2) Fluks magnetnog polja kroz zatvorenu povrsinu je nula:

div B = ∂Bx/∂x + ∂By/∂y + ∂Bz/∂z = 0

3) Linije elektricnog polja rotiraju oko linija magnetnog polja:

rot E = = (∂Ez/∂y - ∂Ey/∂z) i + (∂Ez/∂x - ∂Ex/∂z) j + (∂Ey/∂x - ∂Ex/∂y) k = -∂B/∂t

4) Vremenski promenlivo elektricno polje indukuje magnetno polje, cije se linije rotiraju oko linija elektricnog

polja:

rot B = = (∂Bz/∂y - ∂By/∂z) i + (∂Bz/∂x - ∂Bx/∂z) j + (∂By/∂x - ∂Bx/∂y) k = -c-2

∂E/∂t

Dobijamo: E = E0 cos(ωt - ϕ) B = B0 cos(ωt - ϕ)

i j k

∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z

Ex Ey Ez

i j k

∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z

Bx By Bz

42. Talasna optika -iInterferencija svetlosnih talasa

Efekti interferencije, difrakcije i polarizacije svetlosti se mogu objasniti jedino modelom talasne optike. Uslov

interferencije je koherentnost talasa, a koherentni su samo oni talasi koji poticu od iste grupe atoma, tj.

koherentnost nastaje za talase izmedju kojih postoji velika razlika predjenih optickih duzina puta. Pojava

interferencije svetlosti je u suprotnosti sa zakonom medjusobne nezavisnosti pri ukrstanju.

Ako dva talasa pogadjaju istu tacku u kojoj imaju kolinearne vektore oscilovanja:

ψ1(x,t) = ψ01 ei(ωt - kx₁)

ψ2(x,t) = ψ02 ei(ωt - kx₂)

ψ = ψ1 + ψ2 - reziltujuci talas

|ψ|2 = ψ012 + ψ02

2 + 2 ψ01 ψ02 cos(k (x2 - x1))

I ≈ |ψ|2 => I = I1 + I2 + 2 √(I1 I2) cos(k (x2-x1)) - intezitet talasa

Uslov interferencije je da svetlost potice iz istog izvora, jer se koherentnost ne moze postici sa dva izvora, i razlika

faza talasa mora biti konstantna u toku posmatranja.

Ako se ispune uslovi interferencije i ako je n index prelamanja sredine, svetlost pruge ce se na ekranu javiti pri:

δ = n (s2 - s1) = k λ

A tamna pruga ce se javiti pri:

δ = (2 k +1) λ/2

43. Interferencija na tankim listicima

δ = n (s2 - s1)

δ = n (AB + BC) - (DC + λ/2) - za n1 < n

δ = n (AB + BC) - DC - za n1 > n

AB = BC

(AC/2)/d = tgβ => AC = 2 d tgβ

AD/AC = sinα => AD = 2 d sinα tgβ

d/AB = cosβ => AB = d/cosβ

=> δ = 2 n d/cosβ - 2 d sinα sinβ/cosβ - λ/2 sinα/sinβ = n => sinβ = sinα / n

δ = 2 d/cosβ (n - sin2α / n) - λ/2 = 2 d (n2 - sin2α)/n 1/√(1 - sin2β) - λ/2 = 2 d/n (n2 - sin2α)/√((n2 - sin2α)/n2) - λ/2 =

= 2 d/n n √(n2 - sin2α) - λ/2

maksimalno pojacanje: δ = k λ => k λ +λ/2 = 2 d/n n √(n2 - sin2α) => (2 k + 1) λ/2 = 2 d/n n √(n2 - sin2α)

maksimalno slabljenje: δ = (2 k - 1) λ/2 => k λ = 2 d/n n √(n2 - sin2α)

44. Geometrijska optika

45. Raderfordov eksperiment

Poznat je Raderfordov eksperiment rasejanja α-cestica, koje predstavljaju jezgra helijuma, na tankoj zlatnoj foliji. On

je izmerio monoenergetski snop α-cestica energije E0 = 7.68 MeV na vrlo tankoj zlatnoj foliji debljine L = 6 10-7 m.

Zlatne folije se mogu izvuci tako da budu veoma tanke. U tankim folijama je manja verovatnoca da dodje do

visestrukih sudara jedne α-cestice sa preprekama, tako da za skrenute cestice moze biti smatrano da posle izlaska iz

folije pretrpe samo pojedinacne sudare. Posto su atomi zlata znatno vece mase od mase α-cestica, pri njihovom

sudaru α-cestica gubi energiju ∆E ≈ mα/mAU E0 ≈ 1/50 E0, pa se moze smatrati da atom zlata ostaje nepomican, dok

α-cestica odskoci ocuvavsi energiju. Malobrojne α-cestice odskacu unazad od folije. Raderford je pretpotavio da se

atom sastoji od sicusnog jezgra u kome je skoncentrisana skoro sva masa atoma i svo pozitivno naelektrisanje. α-

cestica zato trpi odbojnu Kulonovu silu. Oko jezgra se nalazi elektronski oblak. Primetno skretanje pretrpe samo one

α-cestice koje pridju dovoljno blizu jezgra da Kulonova sila postane uporedna sa Ek α-cestice. Znaci, samo α-cestice

koje se nadju vrlo blizu jezgra skrecu za merljive iznose.

46. Borova teorija jednoelektronskih atoma

Bor je uocio netacnost u Raderfordovom eksperimentu. Posto se elektroni lrecu oko jezgra, oni moraju da emituju

elektromagnetne talase, a usled emitovanja oni gube energiju, pa bi bilo logicno da vremenom padaju na jezgro.

Vrseci eksperiment sa disperzijom zracenja koji daje usijani gas atoma vodonika, Bor je dobio drugaciji spektar

zracenja.

Bor je dao cetiri postulata:

1) Elektroni se krecu oko jezgra pod dejstvom Kulonove sile i u skladu sa Njutnovim zakonima

2) Od svih orbita dozvoljene su samo one ciji je moment impulsa elektrona jednak celobrojnom umnosku

osnovnog kvanta momenta impulsa: L = m0 v r = n ћ

3) Pri kretanju elektrona po dozvoljenoj orbiti atom ne zraci elektromagnetnu energiju (ne vaze Maksvelove

teorije)

4) Pri prelasku elektrona sa jedna orbite (Ei) na drugu orbitu (Ej) (Ei > Ej) emituje se foton frekvencije n.

h ν = Ei - Ej = Efotona

1/(4 π ε0) e2/r

2 = m v

2/r

L = m v r = n ћ => vn = n ћ/(mn rn) => rn = 4 π ε0 ћ2/(Z m e

2) n

2

vn = Z e2/(4 π ε0 ћ) 1/n ν = c/λ 1/λ = Z R (1/nj

2-1/ni

2)

serije: n = 1 – lamjanova ; n = 2 – balmerova ; n = 3 - pasenova

Prelasci sa viseg na osnovni nivo dovode do emitovanja fotona cije su talasne duzine tacno jednake

odgovarajucim linijama lamjanove serije.

47. Laseri

Razlikujemo indukovanu apsorpciju, spontanu emisiju i stimulisanu emisiju.

Indukovana apsorpcija:

h ν = En-Em - kada elektron prelazi na visi energetski nivo on apsorbuje

foton

Spontana emisija:

h ν = En-Em - kada elektron dodje na visi energestki nivo on se zadrzava

kratko i opet vraca na nizi nivo emitujuci foton

Stimulisana emisija:

- ovde foton dolazi na elektron u pobudjenom stanju pa imamo emisiju dva

fotona istog pravca pa su koherentni i ovo se koristi u laserima

Broj fotona koji se emitiju stimulisanom emisijom:

∆Nnm = Bnm U(ν,T) Nn U(ν,T) – gustina energije zracenja , Bnm – koeficijent prelaza , Nn – broj fotona na n

Broj fotona koji se emituju pri apsorpciji:

∆Nmn = Bmn U(ν,T) Nm

Broj fotona koji se emituju spontanom emisijom:

∆Nnm’ = Anm Nn’

Ako je h ν << k T onda je to koherentno zracenje (radio-talasi)

Ako je h ν >> k T onda je to nekoherentno zracenje (vidljiva svetlost)

Za apsorber sa dominantnom apsorpcijom je I(x) = I0 e-µx

Za apsorber sa dominantnom emisijom je I(x) = I0 eµx

µ – koeficijent apsorpcije , x – debljina apsorbera , I0 – prvobitni intezitet zracenja

Da bi snop zraka bio maksimalno pojacan apsorber mora biti beskonacno dugacak sto u praksi nije izvodljivo pa se

koristi sistem ogledala. Radno telo lasera je ustvari apsorber. Ogledalo O1 ima propustljivost 100% a O2 96% pa

propusta zrake odredjenog inteziteta

U pocetku su svi elektroni

nepobudjeni...

Dejstvom svetlosti neki od njih se

pobudjuju...

Pobudjeni elektroni emituju

fotone koji se odbijaju od

ogledala sve dok usled

stimulisane emisije je postigne

zeljeni intezitet

Laseri se dele na:

1) prema radnoj supstanci: cvrsta, tecna, gasovita

2) prema nacinu rada: impulsni (rubinski), kontinualni (He-Ne)

48. Fotoefekat i Komptonov efekat

Pojava da, kada se povrsine izvesnih materijala izloze snopu svetlosti, dolazi do izbijanja elektrona iz povrsine

materijala naziva se fotoelektricni efekat. Klasicna teorija predvidja da ako obasjavamo vecim intezitetom iste

svetlosti, iste frekvencije, brzine elektrona su tim vece. Medjutim, brzine izbacenih elektrona su bivale vece samo

ako se poveca frekvencija upadne svetlosti, cak iako je intezitet osvetljavanja mali. Ajnstajn je fotoefekat objasnio

kao diskretne interakcije pojedinih fotona sa pojedinim kvazislobodnim elektronima iz provodne zone metala. Da bi

izbacili elektron, potrebno je izvrsiti izlazni rad A. Protiv Kulonovih sila energija fotona se transformise u izlazni rad a

visak visak biva saopsten izbacenom elektronu u vidu Ek = 1/2 m0 v2 . Sledi da je broj izbacenihelektrona direktno

proporcionalan intezitetu osvetljavanja. Maksimalna Ek elektrona zavisi od frekencije a ne od broja fotona. Izbaceni

elektroni gotovo da nemaju Ek, pa postoji minimalna rekvencija fotona za izazivanje fotoefekta.

Komptonov efekat

Ako se komad grafita izlozi x-zracima, on emituje x-zrake iste talasne duzine, x-zrake povecane talasne duzine pod

uglom θ (sto je θ veci, veca je i λ, manja ν) i elektrone velike brzine. Kompton to objasnjava tako sto tretira foton i

elektron kao dve kuglice za koje vazi zakon odrzanja energije i impulsa.

Zakon odrzanja energije: h ν + m0 c2 = h ν’ + m c

2

ћ ω + m0 c2 = ћ ω’ + m c

2; m = m0/√(1 - v

2/c

2)

Zakon odrzanja impulsa: pk = m v + pk’

ћ k = m v + ћ k’ ; p = ћ k , k =2 π/λ

=> ∆λ = λ’ - λ = 2 π ћ/(m0 c2) (1 - cosθ) = h/(m0 c2) (1 - cosθ) ; ν = c/λ , ћ k = h/(2 π) (2 π)/λ = h/λ

Iz ovoga se zakljucuje da promena l ne zavisi od energije fotona, vec od ugla skretenja.

49. De Broljeva hipoteza; difrakcija elektronanakristalima

De Brolj je 1924. godine uspostavio vezu izmedju cesticnih i talasnih svojstava materije.

Plankov izraz: E = h ν

Ajnstajnov izraz: E = m c2 = p c

=> λ p = h , λ = h/p , p = ћ k

Po De Brolju svakoj slobodnoj cestici pripada neki elementarni ravan talas, kao kod fotona.

E = h ν , h = λ p => ν = E/h ω = 2 π ν = E/ћ

Treba istaci da je fotonski talas elektromagnetni, dok je talas ostalih mikrocestica drugaciji.

ν = eU/h , λ = h/(2 m0 eU)1/2

=> Ek = m v2/2 = p

2/(2 m) = eU

Ispravnost De Broljeve teorije da elektroni imaju talasne osobine dokazana je eksperimentalno difrakcijom x-zraka na

kristalnoj resetki od elektrona.

U kristalnu resetku atomi obrazuju niz familija atomskih ravni. Sve ravni iste familije su paralelne.

Rastojanje izmedju 1-1’ je a, dok je izmedju 2-2’ d = a/√2.

Ako na atomsku ravan kristala padaju ravni talasi, atomi takodje

emituju avan talas koji zaklapa ugao sa ravni isti kao i upadni.

Medjutim, jedan sloj atoma reflektuje samo mali broj talasa, tako

da talasi prodiru u dubinu kristala, pa imamo putnu razliku:

2 d sinθ = n λ

50. Hajzenbergova relacija neodredjenosti

Hajzenberg je postavio pitanje jednovremenog odredjivanja parova fizickih velicina i dosao da zakljucka da se bez

greske ne mogu jednovremeno odredjivati parovi velicina ciji operatori ne komutiraju. On je dosao do nejednakosti:

∆px ∆x ≥ ћ ∆px – neodredjenost projekcije impulsa , ∆x – neodredjenost koordinate

Ovim je pokazao da, ako je blize poznat polozaj cestice, to je neodredjenija vrednost projekcije impulsa i obrnuto.

Jedna od posledica ove teorije je nemogucnost pojave stanja mirovanja mikro-objekta.

Hladjenjem tela bi trebalo da prestane svako kretanje, tj. p = 0, sto ova formula ne potvrdjuje. Kretanje mokrotela je

odredjeno jedino ako znamo p i x.

51. Fizicki smisao talasnihfunkcija

U kvantnoj mehanici, sto se vidi iz Hajzenbergove relacije neodredjenosti, ne postoji mogucnost tacnog odredjivanja

polozaja cestice, pa se koristi verovatnoca da ce ispitivana fizicka velicina imati ovu ili onu vrednost. Posto cestice

stalno menjaju stanja, najlakse ih je opisati pomocu talsnih funkcija (funkcija stanja) ψ(r,t), koja je funkcija

koordinata i vremena ψ(x,y,z,t) = ψ(x,y,z) ϕ(t) – proizvod funkcije koja zavisi samo od koordinata i koja zavisi samo

od vremena.

Sredinger je dao relaciju po kojoj je verovatnoca nalazenja cestice (dp) u zapremini (dV), koja sadrzi tacku sa

vektorom polozaja r, srazmerna kvadratu amplitude talasa:

dp = |ψ|2 dV - verovatnoca

ρ = |ψ|2 = ψ* ψ - gustina verovatnoce

Posto se cestica sigurno nalazi negde u zapremini V sledi da ce suma verovatnoca nalazenja po celoj zapremini biti 1:

∫dp = ∫ρ dV = 1 - uslov normiranja talasne funkcije

Talasna funkcija nesme imati prekide prve vrste, jer ona opisuje stanje mikroobjekta koji nesmeju skokovito menjati

stanje ; mora biti ogranicena ,tj. ∫ρ dV mora biti konacan broj.

52. Operatori fizickih velicina; Sredingerova jednacina; Svojstveni problem operatora

Operator je skup matematickih operacija. Operatori u kvantnoj mehanici zamenjuju fizicke velicine. Kao rezultat

dejstva tog operatora dobije se vrednost fizicke velicine.

Operator koordinate: x ψ = x ψ , tj. nema razlike izmedju x i x

Operator impulsa: p = -i ћ (∂/∂x i + ∂/∂y j + ∂/∂z k) , i2 = -1 , ћ = h/(2 π)

px = - i ћ d/dx - projekcija na x-osu

-i ћ dψ/dx = p ψ p – svojstvena vrednost impulsa

dψ/ψ = -p/(i ћ) dx => ψ = ψ0 e-i k x

; 1/c = ψ0 => ψ = ψ0 (coskx + i sinkx)

H – operator energije

E = Ek + Ep = m vx2/2 + Ep(x) ; px = m vx => E = px

2/(2 m) + Ep(x)

E = H = px2/(2 m) + Ep(x) = -ћ

2/(2 m) (∂

2/∂x

2 + ∂

2/∂y

2 + ∂

2/∂z

2) + Ep(x)

H ψ = E ψ - svojstveni problem

(-ћ2/(2 m) + Ep(x)) ψ = E ψ => -ћ

2/(2 m) d

2ψ/dx2 + ψ (Ep - E) = 0

d2ψ/dx

2 + 2 m/ћ

2 ψ (Ep - E) = 0 - Sredingerova jednacina (vremenski nezavisna)

Uobicajeni oblik je : i ћ ∂ψ(r,t)/∂t = H ψ(r,t)

Pomocu Sredingerove jednacine se odredjuje talasna funkcija

Svojstveni problem operatora:

Stanje u kome data fizicka velicina nema tacnost (formula odskace od prakse) zove se svojstveno stanje ili

karakteristicno stanje date velicine. Jednacina svojstvenog stanja operatora je:

F ψ = F ψ ; F – neki broj koji treba odrediti ( svojstvena vrednost) , ψ – svojstvena funkcija

Skup svih svojstvenih vrednosti zove se spektar operatora F. On moze biti kontinualan (sacinjava ga skup realnih

brojeva intervala) i diskretan (sacinjava ga diskretan skup realnih bdojeva).

- degenerisan – ako nekoj svojstvenoj vrednosti pripada svojstvenih funkcija ψnl : Fn <-> ψn1 , ψn2, . . . , ψnl

- nedegenerisan – ako nekoj svojstvenoj vrednosti odgovara samo jedna talasna funkcija : Fn <-> ψn

Najveci znacaj svojstvenih vrednosti operatora F je u tome sto oni odredjuju moguce rezultate svakog pojedinacnog

merenja.

Spektar operatora F : F ψn = Fn ψ

Ako se stanje sistema opisuje talasnom funkcijum ψn koja se ne poklapa ni sa jednom svojstvenom funkcijom ψi,

onda ta funkcija nema odrdjenu vrednost u stanju ψ.

53. Stacionarna stanja

Stanja su stacionarna ako se energija ne menja sa vremenom, tj. ako vazi: ∂H/∂t = 0. Ako jezadovoljen ovaj uslov,

onda Sredingerova jednacina dozvoljava resenje talasne funkcije y samo sa razdvojenim promenljivama:

ψ = ψ(r) A(t) ; ψ(r) – nepoznata funkcija vektora polozaja r , A(t) – nepoznata funkcija vremena t

Kada uvrstimo u Sredingerovu jednacinu : i ћ dψ/dt = H ψ , imamo:

dψ/dt = ψ(r) dA(t) /dt => i ћ ψ(r) dA(t) /dt = H ψ(r) A(t) /: ψ(r) A(t)

i ћ 1/A(t) dA(t)/dt = H ψ(r)/ψ(r) - da bi vazila za svako t i r obe strane moraju da imaju istu konstantnu vrednost E

i ћ 1/A(t) dA(t)/dt = E , H ψ(r)/ψ(r) = E

∫dA(t)/A(t) = -i E/ћ ∫dt + c => A(t) = c e-i E t/ћ

H ψ(r) = E ψ(r) => E predstavlja svojstvenu vrednost energije

Vremenski zavisna talasna funkcija y stacionarnog stanja:

ψ (r,t) = A(t) ψ(r) = c e-i E t/ћ ψ(r)

54. Cestica u jednodimenzionalnoj potencijalnoj jami

Elektronski gas ne napusta uzorak metala jer ga sprecava dvojni sloj. Potencijalna energija kod jednodimenzionalne

potencijalne jame ima vrednost:

U =

Polazimo od svojstvenog problema: H ψ(x) = E ψ(x)

H = Ek + U = px2/(2 m) + 0

px2/(2 m) ψ(x) = E ψ(x) ; px

2 = -ћ

2 d

2/dx

2 => -ћ

2/(2 m) d

2ψ(x)/dx2 = E ψ(x)

d2ψ(x)/dx

2 – 2 m E/ћ

2 ψ(x) = 0 ; 2 m E/ћ

2 = k

2 => d

2ψ(x)/dx2 – k

2 ψ(x) = 0 ψ(x) = A e

ikx + B e

-ikx

- granicni uslovi:

ψ(0) = 0 , ψ(L) = 0

ψ(0) = -2 B i sinkx = 2 A i sinkx ; ψ0 = 2 A i => ψ = ψ0 sinkx

ψ(L) = ψ0 sinkL = 0 => sinkL = 0 => k L = n π => k = n π/L

ψ = ψ0 sin(n π/L x) k = n π/L => k2 = n2 π2/L2 = 2 m E/ћ2

2 m E/ћ2 = n2 π2/L2 => E = n2 π2 ћ2/(2 m L2)

- uslov normiranja: p = ∫|ψ|2 dx = ∫ψ(x)* ψ(x) dx = 1

∫ψ(x)* ψ(x) dx = ∫ψ02 sin

2(n π/L x) dx = 1

1/2 ψ02 ∫(1 - cos(2 n π/L x))dx = 1/2 ψ0

2 (∫dx - ∫cos (2 n π/L x) dx) = 1

1/2 ψ02 (L - L/(2 n π) [sin(2 n π/L L) - sin0]) = 1

ψ02/2 L = 1 => ψ0 = √(2/L)

ψ(x) = √(2/L) sin(n π/L x) ρ(x) = ψ(x)* ψ(x)

55. Cestica u trodimenzionalnoj potencijalnoj jami

U =

∞ , x ≤ 0

0 , 0 < x ≤ L

∞ , L ≤ x

0 , 0 < x < a , 0 < y < b , 0 < z < c

∞ , ostali slucajevi

Svojstveni problem: H ψ(x,y,z) = E ψ(x,y,z)

H = Ek + U = px2/(2 m) + 0 => px

2/(2 m) ψ(x,y,z) = E ψ(x,y,z)

p2 = -ћ

2 (∂

2/∂x + ∂

2/∂y + ∂

2/∂z) => -ћ

2/(2 m) (∂

2 ψ(x,y,z) /∂x + ∂2 ψ(x,y,z) /∂y + ∂

2 ψ(x,y,z) /∂z) = E ψ(x,y,z)

ψ(x,y,z) = ψ(x) ψ(y) ψ(z)

ψ(y) ψ(z) d2ψ(x)/dx2 + ψ(x) ψ(z) d2ψ(y)/dy2 + ψ(x) ψ(y) d2ψ(z)/dz2 + 2 m E/ћ2 ψ(x) ψ(y) ψ(z) = 0 /: ψ(x) ψ(y) ψ(z)

1/ψ(x) d2ψ(x)/dx2 + 1/ψ(y) d2ψ(y)/dy2 + 1/ψ(z) d2ψ(z)/dz2 + 2 m E/ћ2 = 0

1/ψ(x) d2ψ(x)/dx

2 = c1 = -k1

2 /ψ(x) d

2ψ(x)/dx2 + k2

2 ψ(x) = 0

1/ψ(y) d2ψ(y)/dy

2 = c2 = -k2

2 /ψ(y) => d

2ψ(y)/dy2 + k2

2 ψ(y) = 0

1/ψ(z) d2ψ(z)/dz

2 = c3 = -k3

2 /ψ(z) d

2ψ(z)/dz2 + k2

2 ψ(z) = 0

d2ψ(x)/dx

2 + k2

2 ψ(x) = 0 , ψ(x) = A eikx

+ B e-ikx

=> ψ(x) = √(2/a) sin(n π/a x)

ψ(y) = √(2/b) sin(n π/b y) ψ(z) = √(2/c) sin(n π/c z)

ψ(x,y,z) = √(8/(a b c)) sin(n π/a x) sin(n π/b y) sin(n π/c z)

Energiju izracunavamo preko k:

-k12 - k2

2 - k32 = -k2 => k1

2 + k22 + k3

2 = k2 => 2 m E/ћ2 = n12 π2/a2 + n2

2 π2/b2 + n32 π2/c2

E = ћ2 π2/(2 m) (n12/a2 + n2

2/b2 + n32/c2)

56. Kvantnomehanicko resenje za jednoelektronske atome

Izvodimo izraz za svojstvenu vrednost energije., kako bismo dokazali da je on za jednoelektronske atome isti i po

Borovoj i po kvantnoj teoriji:

Ek = -ћ2/(2 m) (∂

2/∂x

2 + ∂

2/∂y

2 + ∂

2/∂z

2) - operator kineticke energije u trodimenzionalnoj jami

U = -1/(4 π ε0) Z e2/r

2 - operator potencijalne energije

H = Ek + U

H ψ(x,y,z) = E ψ(x,y,z)

-ћ2/(2 m) (∂2ψ/∂x2 + ∂2ψ/∂y2 + ∂2ψ/∂z2) - 1/(4 π ε0) Z e2/r2 = E ψ r = √(x2 + y2 + z2)

E = -Z2 e4/(32 π2 ћ2 ε02 n2)

Svako stacionarno stanje jednoelektronskog atoma je odredjeno kvantim brojevima:

n - glavni kvantni broj (n = 1,2,3..) ; l - orbitalni kvantni broj (l = 0,1,...,n-1) ; ml - magnetni kvantni broj (ml = 0,±1,...,±l)

n2 - ukupan broj kvantnih stanja

Glavni kvantni broj (n) – odredjuje energetske nivoe i energiju

Orbitalni kvantni broj (l) – odredjuje intezitet momenta impulsa |L| preko formule: |L| = ћ √(l (l + 1))

Magnetni kvantni broj (ml) – odredjuje projekciju momenta impulsa L u pravcu magnetnog polja po formuli: L = me ћ

Spinski kvantni broj (s) – odredjuje intezitet spinskog momenta impulsa |Ls| preko formule:

|Ls| = ћ √(s (s + 1)) ; s = ±1/2 , 3/2 , 5/2 - za sve elektrone je s = ½

Magnetni spinski kvantni broj (ms = ±1/2) – odreduje projekciju momenta impulsa na pravac magnetnog polja po

formuli: Ls = ћ ms

57. Paulijev princip

Cestice se u kvantnoj mehanici ne mogu razlikovati, sto utice na osobine talasnih funkcija. Pri zameni mesta dvaju

cestica verovatnoca pronalazenja cestica mora ostati ista.

Pretpostavimo da imamo dve razlicite sredine (kvantna stanja) k1 i k2, i u svakom od njih cesticu sa vektorom

polozaja r1 i r2. Ukupne talasne funkcije su:

ψ = ψk1(r1) ψk2(r2) ; ψ = ψk1(r2) ψk2(r1)

ρ(r1,r2) ≠ ρ(r2,r1) - u opstem slucaju

ρ(r1,r2) = ψk1(r1)* ψk2 (r2)* ψk1(r1) ψk2 (r2) , ρ(r2,r1) = ψk1(r2)* ψk2(r1)* ψk1(r2) ψk2(r1) => ρ(r1,r2) ≠ ρ(r2,r1)

ψB – simetricna funkcija, opisuje bozone: ψB = 1/√2 ( ψk1(r1) ψk2(r2) + ψk2(r1) ψk1(r2) )

ψF – asimetricna funkcija, opisuje fermione: ψF = 1/√2 ( ψk1(r1) ψk2(r2) - ψk2(r1) ψk1(r2) )

Ako imamo dva ista stanja, tj. k1 = k2 = k:

ψB = √2 ψk(r1) ψk (r2)

ψF = 0 - dva fermiona se ne megu naci u istom kvantnom stanju (Paulijev princip)

58. Viseelektronski atomi

Sadrze dva ili vise elektrona u omotacu. I za njih takodje vazi Paulijev princip. Energija ovih atoma je opisana i

glavnim i orbitalnim kvantnim brojem:

- u podljusci za dato l moze biti 2 (2 l + 1) ekektrona

- u ljusci za dato n moze biti 2 n2 elektrona

Ako imamo stanje n = 3 za l = 2, onda je to d stanje, itd.

Pomeranje nivoa: 1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 4s, 3d, 4p, 5s, 4d, 5p, . . .

l 1 2 3 4 5 6 7 8

oznaka s p d f g h i

59. Model slobodnog elektronskog gasa; Fermijeva energija

Elektroncki gas nastaje tako sto svaki atom iz uzorka odaje nekoliko najslabije vezanih elektrona, Upravo zato metali

provode elektricnu staruju. Oslobadjanje elektrona se vrsi zbog dejstva atoma na temperaturi apsolutne nule.

Elektroni popunjavaju nivoe pocevsi od najnizeg pa sve do najviseg (Fermijev nivo). Popunjavanje se vrsi po

Paulijevom principu (na jedan nivo idu dva elektrona razlicitih spinova), sve do Fermijevog, posle cega ih vise nema,

pa je verovatnoca nalazenja elektrona do Fermijevog nivoa 1, a dalje je 0.

Ef(0) = ћ2 π2/(2 m l2) (n12 + n2

2 + n32) = ћ2 π2/(2 m l2) nf

2

Ne = 2 1/8 4/3 nf3 π - ukupan broj elektrona Nks = 1/8 4/3 nf

3 π - broj kvantnih stanja je zrazmeran zapremini

Ne = 2 Nks - izraz za gustinu elektrona

Broj elektrona se moze zapisati i preko broja elektrona u jedinici zapremine:

Ne = ne V = ne l3 nf = l (3 ne/π)

1/3 Ef(0) = ћ/(2 m) (3 ne/(8 π) )

2/3

60. Funkcija gustine stanja

g(E) – funkcija gustine stanja

Trazimo funkciju gustine stanja u nekom intervalu (n,n + dn), pa moramo izracunati zapreminu tog intervala jer ona

odgovarabroju kvantnih stanja.

g(E) dE = 4 π n2 1/8 dn = 1/2 n2 π dn

polazeci od formule za energiju imamo: n = l/(ћ π) √(2 m E)

dn = l/(ћ π) √(2 m) d(√E) = l/(ћ π) √(2 m) 1/2 dE/√E => g(E) dE = π 1/2 l2/(ћ2 π2) (2 m E) l/(ћ π) √(2 m) 1/2 dE/√E

g(E) dE = l3/(2 ћ2 π2) (2 m)3/2 √E dE ; c = l3/(2 ћ2 π2) (2 m)3/2 => g(E) = c √E dE

61. Fermi-Dirakova funkcija rasoidele

Na T > 0K dogadja se preraspodela elektrona po energijama. Jedan broj elektrona ispod Fermijevog nivoa

povecanjem kineticke energije prelazi uzanu oblast neposredno iznad Fermijevog nivoa, ostavljajuci prazna mesta.

Zato se po Fermi-Dirakovom zakonu f(E) postepeno smanjuje.

f(E) = 1/(e(E-Ef)/(kB T)

+ 1)

Vidi se da je f(E) na Fermijevom nivou 50%

Broj elemenata izmedju E i E + dE:

dN = f(E) g(E) dE - proizvod gustine verovatnoce i funkcije gustine stanja

dn = dN/V = g(E)/V f(E) dE = ρ(E) f(E) dE

ρ(E) = g(E)/V = 1/(2 ћ2 π2

) (2 m)3/2

√E

62. Podela kristala na provodnike, izolatore i poluprovodnike prema teoriji zona

Pri priblizavanju atoma njihovi energetski nivoi se cepaju na

onoliko gustih nivoa koliko ima atoma, obrazujuci provodne

zone. Izmedju njih su zabranjene zone. Ove zone su odvojene

oblascu lpja obuhvata energiju koje elektroni u kristalu ne

mogu da imaju i to je energetski procep. Prema njegovoj

velicini (sirini) materijali mogu biti: izolatori, polprovodnici i

provodnici.

Izolatori:

Eg ≈ 9eV, tj. najveca sirina energetskog procepa je upravo kod izolatora.

Elektroni u valentnoj zoni su cvrsto vezani za atome. Ove veze se tesko

razbijaju jer je potrebna velika energija da se savlada energetski procep i

predje u provodnu zonu.

Poluprovodnici:

Eg ≈ 1eV, tj. uzi energetski procep. Zato je dovoljna mala energija da bi

elektron presao u provodnu zonu. Pri napustanju ostaje supljina (pozitivno

naelektrisanje).

Provodnici:

Nemaju energetski procep, tj. provodna i valentna zona se ili dodiruju ili

preklapaju. Elektroni zato mogu da prelaze u provodnu zonu pa odlicno

provode elektricnu struju.

63. Poluprovodnici; elektricna provodnost poluprovodnika

Poluprovodnici su materijali koji imaju cetiri elektrona u spoljasnjoj lusci. Zato mogu da grade cetiri kovalentne veze

sa susednim atomima. Do prekida svih veza dolazi kada elektron predje iz valentne u provodnu zonu.

Elektricna provodnost elektrona: σn = e n µn

Elektricna provodnost supljina: σp = e p µp

Ukupa elektricna provodnost poluprovodnika: σ = σn + σp = e (n µn + p µp)

Na niskim temperaturama se poluprovodnici ponasaju kao izolatori dok kod visih temperatura termalne oscilacije

mogu daraskinu kovalentne veze.

64. Koncetracija elektrona

Slobodni elektroni se nalaze u provodnoj zoni. Verovatnoca nalazenja elektrona u provodnoj zoni je zato jednaka

jedinici. Verovatnoca f(E,T) pronalazenja na Fermijevom nivou (Ef) je 1/2.

Koncetracija elekrona: dn = ρc(E) f(E,T) dE

Vidi se da je verovatnoca pronalazenja elektrona

najveca u provodnoj zoni dok je u valentnoj zoni

jednako nula.

ρc(E) = 4 π/h3 (2 me)3/2 (E - Ec)

1/2 , f(E,T) = 1/(e(E - Ef)/(k T) + 1)

n = ∫ρc(E) f(E,T) dE => n = ∫4 π/h3 (2 me)3/2 (E-Ec)

1/2 1/(e(E - Ef)/(k T) + 1) dE

Umesto me koristimo efektivnu masu me* koja je korisna zato sto nam omogucava da koristimo elektrone i supljine

kao obicne naelektrisane cestice.

k T ≈ 0.025eV => e(E - Ef)/(k T)

>> 1 => zanemarimo 1 => n = 4 π/h3 (2 me*)

3/2 ∫ (E - Ec)

1/2 e

-(E - Ef)/(k T) dE

smena: (E - Ec)/(k T) = x2 => E - Ec = k T x2 => dE = 2 k T x dx

(E - Ef)/(k T) = (E - Ef)/(k T) + Ec/(k T) - Ec/(k T) = (E - Ef + Ec - Ec)/(k T) = (E - Ec)/(k T) + (Ec - Ef)/(k T)

n = 4 π/h3 (2 me*)3/2 ∫(k T x2)1/2 e-((E - Ec)/(k T) + (Ec - Ef)/(k T)) 2 k T x dx

n = 4 π/h3 (2 me*)3/2 2 (k T)3/2 e-(Ec - Ef)/(k T) ∫x2 e-x² dx ∫x2 e-x² dx = √π / 4

n = 2 (2 π k T me*/h2)3/2 e-(Ec - Ef)/(k T)

65. Koncentracija supljina

Supljine nastaju u valentnoj zoni pri napustanju elektrona, na mesu gde je bio elektron. Imaju suprotan smer od

elektrona.

Koncenstracija supljina: dp = rv(E) fp(E,T) dE , fp(E,T) = 1- f(E,T)

ρv(E) = 4 π/h3 (2 mp*)

3/2 (Ev - E)

1/2

fp(E,T) = 1 - 1/(e(E - Ef)/(k T)

+ 1)

(resava se isto kao i kod elektrona)

p = 4 π/h3 (2 mp*)3/2 ∫ (Ev - E)1/2 e(E - Ef)/(k T)/(e(E - Ef)/(k T) + 1) dE

p = 4 π/h3 (2 mp*)3/2 2 (k T)3/2 e-(Ef - Ev)/(k T) ∫x2 e-x² dx ∫x2 e-x² dx = √π / 4

p = 2 (2 π k T mp*/h2)3/2 e-(Ef - Ev)/(k T)

66. Poluprovodnici N-tipa

To su donorom dopirani poluprovodnici (atomima koji daju elektrone).Dakle, vecinski nosioci su elektroni.

n p = ni2

n = ND + p => p = n - ND

n (n - ND) = ni2 => n = ND/2 [ 1 + √(1 + (2 ni/ND)

2) ]

p (p + ND) = ni2 => p = ND/2 [ √(1 + (2 ni/ND)2) - 1 ]

Ako je ni2 << ND : n ≈ ND p ≈ ni

2/ND (√(1 + x2) ≈ 1 + 1/2 x2)

67. Poluprovodnici P-tipa

To su akceptorom dopirani poluprovodnici (atomima koji daju supljine). Znaci, vecinski nosioci su supline.

n p = ni2

p = NA + n => n = p - NA

p (p – NA) = ni2 => p = NA/2 [ 1 + √(1 + (2 ni/NA)2) ]

n (n + NA) = ni2 => n = NA/2 [ √(1 + (2 ni/NA)2) - 1 ]

Ako je ni2 << NA : p ≈ NA n ≈ ni

2/NA (√(1 + x

2) ≈ 1 + 1/2 x

2)

68. PN-spoj

To jej fizicki spoj poluprovodnika P i N tipa. Pri prelasku supljine (elektrona) iz P u N (iz N u P) oblast, ona biva

okruzena elektronima (supljinama) pa zbog toga dolazi do stvaranja pozitivnog (negativnog) jona u N (P) oblasti.

Oblast ovih jona se zove oblast prostornog naelektrisanja. Ovi pozitivni i negativni joni stvaraju efekat drifta i

elektricno polje. Slobodni nosioci naelektrisanja slobodno prolaze kroz PN-spoj jer im se potencijalna barijera E ne

suprostavlja. Vecinski nosioci moraju da savladaju potencijalnu barijeru E da bi prosli PN-spoj. To je moguce jedino

upotrebom spoljasnjeg polja.

Jn1 – gustina struje elektrona (sprednih nosilaca naelektrisanja u P-delu) uz P-dela u N-deo

Jn2 – gustina struje elektrona (glavnih nosilaca naelektrisanja u N-delu) uz N-dela u P-deo

Jp1 – gustina struje supljina (sprednih nosilaca naelektrisanja u N-delu) uz N-dela u P-deo

Jp2 – gustina struje supljina (glavnih nosilaca naelektrisanja u P-delu) uz P-dela u N-deo

Ako nismo prikljucili napon, tada je Jn1 = Jn2 i Jp1 = Jp2 , tj. gustina struja elektrona i supljina kao glavnih i kao

sporednih nosilaca naelektrisanja su jednake.

Pri direktnoj polarizaciji napon VD > E se suprostavlja oblastiprostornog naelektrisanja i suzava je pa se povecavaju

struje vecinskih nosilaca, dok struje manjinskih sotaju iste.

Ukupna gustina struje: J = Jn1 + Jn2 + Jp1 + Jp2 =>

I = Is (ee VD/(k T)

- 1) - ukupan intezitet struje PN-spoja ( vidi se da Is jako brzo raste sa povecanjem VD )