vezbe iz fizike

Eksperimentalne vezbe iz fizike

2001/02

Danilo Xegan

Predspis

Ove stranice predstavljaju izvestaje iz eksperimentalnih vezbi iz fizike (predmet Fizicka mehanika i ter-mofizika na prvoj godini smera Teorijska fizika na Fizickom fakultetu).

Vecina vezbi je organizovana na isti nacin (Uvod, Postupak rada, Oprema, Rezultati i Obrada rezultata),posto se to ispostavilo kao najprigodniji nacin izlaganja. Za pojedine vezbe je bilo logicnije prvo objasnitiopremu koja se koristi, a zatim sam postupak rada (naime vezbe 2. i 8.).

Sve vezbe su pripremljene za dvostranu stampu, i u skladu sa tim sadrze i po jednu potpuno praznu stranicuza svaku vezbu (stranica koja prati naslovnu stranicu vezbe).

Vezbe nisu date u poretku u kakvom bi se one radile u idealnom slucaju (logicki/hijerarhijski raspored), veconako kako sam ja sam imao prilike da ih radim. Ovo je i objasnjenje za (u neku ruku) nepravilan rasporedvezbi, a pravilan raspored (onaj dat u Praktikumu) je 3, 4, 1, 2, 9, 10, 5, 6, 7, 8. Jedna vezba se ne nalazime -du izvestajima (Provera Bernulijeve jednacine) zato sto je to vezba koja je poslednja ra -dena, i za kojunije potrebno napisati izvestaj.

Od literature je koriscen nezaobilazni (i to ne zbog kvaliteta) Praktikum iz fizike—laboratorijske vezbe odSvetozara Bozina, Milene Napijalo, Slobodana Zegarca, Jelene Bozin, Petra Vidakovica, Jablana Dojcilovicai Ljubise Zekovica. Pored toga, za neka preciznija objasnjenja i teorijske postavke korisceni su Fizika I odVlastimira Vucica i Dragise Ivanovic, kao i Uvod u teorijsku fiziku I—teorijska mehanika od -Dor -da Musickog.

Nista u ovom radu nije preuzeto direktno iz drugih izvora. Niko nije direktno pomogao u izradi izvestaja, azahvalnost dugujem poznatom Donaldu Knutu za njegove programe TEX (za izradu samih izvestaja) i META-FONT (za izradu slika). Sva autorska prava zadrzana, osim prava na distribuciju (raspodelu) ukoliko se ovastranica nalazi u svim kopijama i vecim iseccima iz Vezbi (sto znaci da su manji citati/plagijati dozvoljeniukoliko ne prelaze par recenica).

6. aprila 2002.U Beogradu,

Danilo Segan<[email protected]>

<http://alas.matf.bg.ac.yu/~mm01142>

[ 12. Novembar 2001. ]

1Odre -divanje modula torzije zice

Danilo Xegan

3

UvodPod uticajem sile, uvek dolazi do izvesnih deformacija cvrstih tela. Od toga kakva je sila, i kakvo je telo,zavisi i vrsta deformacije.

U slucaju zice, i sile koja deluje tangencijalno na poprecni presek iste, doci ce do uvrtanja, tj. torzijezice. Jasno je da ce uvrtanje biti vece, sto je i intenzitet same sile veci. Tako -de, da ne bi doslo do ,,krivljenja“zice, potrebno je koristiti spreg sila (dve antiparalelne sile jednakih intenziteta koje deluju na dijametralnosuprotne tacke poprecnog preseka).

1L

B

B′θC

A

A′α

R

r

dr

F

F

M

Slika 1–1. Poprecni presek zice

Ukoliko pre ikakvog dejstva sile primetimo tacke na zici A, B i C, koje leze na jednoj pravi, mozemopratiti deformaciju zice u toku delovanja izvesne sile F . Tacka A ce imati najveci ugaoni pomeraj, dok cetacka C biti na prakticno istom mestu. Ove tri tacke ce i dalje biti na jednoj pravoj (priblizno, posto cezapravo biti rec o zavojnici, ali kako je duzina zice L >> D precnika, i kako ce uglovi pomeraja biti relativnomali, ova aproksimacija je dozvoljena).

Sada cemo moci primetiti i ugao θ = 6 ACA′. Ovaj ugao cemo zvati ugao uvrtanja, i, zbog L >> D,imamo

θ ≈ tg θ =AA′

L≈

_

AA′

L=

Rα

L. (1–1)

Ovaj ugao mozemo smatrati za meru uvrtanja.Uvescemo tangencijalni napon koji je definisan kao

τdef=

F

S, (1–2)

gde je F sila kojom se deluje, a S povrsina na koju deluje ta sila. Na osnovu Hukovog zakona imamo damodul torzije na ovakav nacin zavisi od ugla uvrtanja θ, i tangencijalnog napona:

G =τ

θ. (1–3)

Kada uocimo suplji cilindar kao deo zice, poluprecnika r i debljine dr, iz (1–2) zakljucujemo da vazi

τ =dF

ds=

dF

2πrdr, odnosno, po (1–3), θ =

1G

dF

2πrdr.

Dalje, za silu F i moment sile M , po (1–1), vazi,

dF = G2πα

Lr2dr, tj. dM = rdF = G

2πα

Lr3dr,

odnosno, integracijom

M =∫ R

0

G2πα

Lr3dr = G

παR4

2L. (1–4)

Konacno, imamo zavisnost modula torzije G od poluprecnika R, duzine zice L, ugla pomeraja na krajuα i momenta sile M

G =2ML

παR4. (1–5)

4

Postupak radaSada, kada nam je jasno sta nam je potrebno da bi odredili modul torzije izvesnog materijala, treba seodluciti kako to izvesti.

Naravno, uvek treba izabrati velicine koje se lakse mogu proizvoljno menjati, i koje su na taj nacinpogodne da budu nezavisno promenljive. Tako, poluprecnik zice nije prigodan, posto je komplikovano cestomenjati zicu sa kojom radimo. Isti je slucaj i sa duzinom zice. Zato je jasno da cemo za nezavisno i zavisnopromenljive u nasem eksperimentu uzeti vrednosti M (odnosno sile F , posto nam krak sile ostaje isti), iugao pomeraja neke krajnje tacke α. Opet, posto je lakse meriti ugao u zavisnosti od sile nego obrnuto,zavisno promenljiva bice upravo sam ugao α.

Nas moment sile M ce zavisiti od sile kojom na njega delujemo i kraka sile. Krak sile iz prakticnihrazloga nece biti jednak poluprecniku zice, vec ce imati neku vrednost D

2 . Jos cemo, zbog mogucnostidirektnog merenja, koristiti precnik zice d = 2R, umesto samog poluprecnika R. Sada mozemo ugao αizraziti u funkciji od sile F kao

α = α(F ) = kF

gde je

k =16LD

πd4G

koeficijent pravca prave koja opisuje zavisnost ugla α od sile F . Kada α izrazimo u stepenima (α◦ = 180◦

π ·α),imacemo

α◦ = F16LD

π2d4G· 180◦, odnosno, k =

16LD

π2d4G· 180◦. (1–6)

Na osnovu eksperimentalnih rezultata, odredicemo koeficijent pravca k, i na osnovu toga odrediti modultorzije G po formuli

G =16LD

π2d4· 180◦ · 1

k. (1–7)

OpremaOsnovnu opremu predstavlja ure -daj sastavljen od horizontalne zice, ucvrscene na jednom kraju, a na drugompovezane sa diskom sa zljebom pomocu kojeg se vrsi uvrtanje zice. Oko zljeba diska je obmotan konac, kojije jednim krajem i pricvrscen, a na drugom kraju se nalazi tas.

Na sam disk je tako -de prikacena i kazaljka koja pokazuje ugao pomeraja tacke na kraju zice (a on seocitava na skali ispod kazaljke).

2Slika 1–2. Ure -daj za odre -divanje modula torzije zice

Pri merenju duzine zice, treba meriti samo slobodan deo zice, tj. deo izme -du mesta na kojima je zicaucvrscena. Tako -de, pri merenju precnika zice, treba meriti na nekoliko razlicitih mesta zbog toga sto zicanajverovatnije nije ,,idealan cilindar“.

Radi stvaranja sile odre -denog intenziteta, koristice se tegovi poznatih masa postavljeni na tasu (v. sl.1–2). Na njih ce delovati sila Zemljine teze, za ciji intenzitet ce se uzeti da je g = 9, 81 N

kg .

5

RezultatiDuzina zice

Duzina zice se meri direktno, vise puta, i zatim se uzima aritmeticka sredina dobijenih vrednosti za ,,pravu“duzinu. Apsolutna greska se uzima kao najvece odstupanje izmerenih duzina od prave, ili vrednost kojapredstavlja pola podeoka instrumenta kojim se meri (sta god da je vece).

L1 (mm) L2 (mm) L3 (mm) L (mm) ∆L (mm)640 639 640 639,7 0,7

Tabela 1–1. Izmerene duzine zice, srednja vrednost i greska

Precnik zice

Precnik zice se tako -de meri direktno, vise puta, i zatim se uzima aritmeticka sredina dobijenih vrednosti za,,pravi“ precnik.

d1 (mm) d2 (mm) d3 (mm) d4 (mm) d5 (mm) d (mm) ∆d (mm)2.51 2.51 2.52 2.51 2.52 2.514 0.006

Tabela 1–2. Izmereni precnik zice, srednja vrednost i greska

Precnik diska i dubina zljeba

Obe ove vrednosti se mere direktno, vise puta, i zatim se uzima aritmeticka sredina dobijenih vrednosti.

D01 (mm) D02 (mm) D03 (mm) D0 (mm) ∆D0 (mm)129,58 129,62 129,58 129,59 0,03

Tabela 1–3. Precnik diska: srednja vrednost i apsolutna greska

h1 (mm) h2 (mm) h3 (mm) h (mm) ∆h (mm)1,88 1,92 2,02 1,94 0,08

Tabela 1–4. Dubina zljeba: srednja vrednost i apsolutna greska

Krak sile se sada dobija po formuli D = D0 − 2h, tj. ∆D = ∆D0 + 2∆h, pa

D = (125, 7± 0, 2)mm.

Ugao pomeraja u funkciji sile delovanja

Posto imamo na raspolaganju skalu, potrebno je pre svakog merenja zabeleziti pocetno stanje (p1). Zatim,izabirom raznih tegova, i pretpostavljajuci da je sila zemljine teze 9, 81 N

kg , dobijamo razne sile koje delujupreko prethodno odre -denog kraka sile.

N

1

2

3

4

F (N)

0,4905

1,4715

2,4525

3,9240

p1(◦)-2-2-2-2-2-3-2-2-2-2-2-2

p2(◦)333988

151515252425

αi(◦)555

111011171717272627

α(◦)

5,0

10,7

17,0

26,7

∆α(◦)

1, 0

1, 4

1, 0

1, 2

N

5

6

7

8

F (N)

4,9050

6,3765

6,8670

8,3385

p1(◦)-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2

p2(◦)323232434342484848575960

αi(◦)343434454544505050596162

α(◦)

34,0

44,7

50,0

60,7

∆α(◦)

1, 0

1, 2

1, 0

2, 2

Tabela 1–5. Izmereni uglovi pomeraja za razne sile F

6

Obrada rezultata

Graficka obrada

Unosenjem podataka na grafik, mozemo priblizno ucrtati pravu koja predstavlja linearnu zavisnost ugla αod sile F : α = k · F + n. Tada mozemo i odrediti koeficijent k te prave izborom dve tacke sa nje.

Konkretno, za vrednost F = 2N, ocitavamo α = 14◦, 4, a za vrednost sile F = 8N, imamo α = 56◦, 4. Naosnovu ovih podataka imamo

α = 7◦, 0 ·N−1 · F + 0◦, 4, tj. k = 7◦, 0 ·N−1.

Gresku za modul torzije izracunavamo po formuli

∆G

G=

∆L

L+

∆D

D+ 4

∆d

d+

∆k

k. (1–8)

Prema (1–7) i (1–8), i na osnovu dobijenih podataka za k, za modul torzije G imamo

G = (8, 3946± 0, 3328) · 1010Nm−2,

ili, po zaokrugljivanju,

G = (8, 4± 0, 4) · 1010Nm−2

Racunska obrada

Primenom nekog racunskog metoda (konkretno ,,metoda najmanjih kvadrata“ ili ,,linearna regresija“), mo-zemo tako -de doci do rezultata. Takav rezultat predstavlja ,,najbolju“ pravu za date tacke.

i Fi αi Fi − Fs (Fi − Fs)2 (Fi − Fs) · αi αr di d2i

1 0,4905 5,0 -3,8627 14,9205 - 19,3135 3,83 -1,17 1,372 1,4715 10,7 -2,8817 8,3042 - 30,8342 10,70 0,00 0,003 2,4525 17,0 -1,9007 3,6127 - 32,3119 17,57 0,57 0,324 3,9240 26,7 -0,4292 0,1842 - 11,4596 27,87 1,17 1,375 4,9050 34,0 0,5518 0,3045 18,7612 34,74 0,74 0,556 6,3765 44,7 2,0233 4,0937 90,4415 45,04 1,17 0,347 6,8670 50,0 2,5138 6,3192 125,6900 48,47 -1,53 2,348 8,3385 60,7 3,9853 15,8826 241,9077 58,77 -1,23 1,51Σ 34,8255 248,8 53,6216 382,8812 7,80

Tabela 1–6. Metod najmanjih kvadrata

Tako, iz dobijenih rezultata imamo da je

α = 7◦, 140 ·N−1 · F + 0◦, 016,

tj. daα ≈ 7◦, 14 ·N−1 · F, k = 7◦, 14 ·N−1.

Konacno, odavde i po formulama (1–7) i (1–8) imamo

G = (8, 2± 0, 3) · 1010Nm−2.

[ 19. Novembar 2001. ]

2Odre -divanje momenta inercije tela

Danilo Xegan

9

UvodPri obrtnom kretanju inertnost tela se opisuje velicinom koja se naziva moment inercije (J). Za materijalnutacku mase m koja se nalazi na rastojanju r od ose obrtanja, vazi

J = mr2.

Primenom ovoga na proizvoljno telo (podeljeno na veoma male delove koje smatramo za materijalne tacke),imamo da je

J =n∑

i=1

∆mir2i ,

ili, u granicnom slucaju (kada n →∞)

J =∫

r2dm = ρ

∫v

r2v. (2–1)

Poznato je da je moment inercije aditivna velicina, pa se tako moment inercije sistema koji se sastojiod vise tela dobija kao zbir momenata inercije svakog od tela sistema. Tako -de, poznato je da se momentinercije tela u odnosu na bilo koju osu moze odrediti ukoliko se zna moment inercije tog tela u odnosu naosu koja prolazi kroz njegov centar. Ovo je poznato kao ,,Stajnerova teorema“ i formulise se kao

J = J0 + md2, (2–2)

kada je J0 moment inercije u odnosu na osu koja prolazi kroz njegov centar, m masa tela, a d rastojanje dvepomenute ose.

1A

B

M1 2

Slika 2–1. Torziono klatno

Za neka tela (tela pravilnih geometrijskih oblika) moguce je pomocu (2–1) i (2–2) odrediti momentinercije. Za ostala, nepravilna, tela moment inercije se odre -duje eksperimentalnim metodama.

Za ovu svrhu se koristi torziono klatno (v. sl. 2–1). Ovakvo klatno se bazira na elasticnim svojstvimazice koja se javljaju po uvrtanju (torziji) zice. Period oscilovanja ovog klatna zavisi od momenta inercijeupotrebljenog tela i torzione konstante zice na sledeci nacin:

T = 2π

√J

C. (2–3)

Iako je i torzionu konstantu moguce eksperimentalno odrediti (v. vezbu 1.), zelja nam je da to izbegnemo.Ovo mozemo postici tako sto cemo koristiti Stajnerov obrazac da izbacimo torzionu konstantu iz merenja (aza ovo nam je potrebno bar dva merenja).

OpremaOprema koja ce se koristiti je, kao sto je vec receno, torziono klatno. Ono se sastoji od vertikalno postavljenezice zategnute izme -du drzaca A i B (v. sl. 2–1). Na zicu je zakacena jedna sipka M pod pravim uglom.

10

Rotacijom ove sipke u horizontalnoj ravni dolazi do uvrtanja zice, koja tada ispoljava otpor, i dovodi dooscilacija sipke.

Na sipku M , postavljaju se dva tela (konkretno, dva ista suplja valjka), i to tako da se nalaze simetricnou odnosu na zicu, ili, sto je prakticnije, da su jednako udaljeni od krajeva sipke. Ovo rastojanje je mogucelako menjati, i na taj nacin menjati i moment inercije celog sistema.

Postupak radaSustina vezbe je iskazana u formuli (2–3). Da znamo konstantu torzije zice, ne bi postojali problemi priodre -divanju momenta inercije. Me -dutim, i bez tog podatka, mozemo doci do rezultata.

Ukoliko na krajeve torzionog klatna postavimo tela poznatih ,,sopstvenih“ momenata inercije J0 (i, radijednostavnosti, jednakih), mozemo iskoristiti Stajnerovu teoremu (2–2) da izrazimo ukupni moment inercijesistema

J = Jx + 2(J0 + md2),

gde je Jx moment inercije datog torzionog klatna (njega odre -dujemo), m masa svakog od tela (a koja sujednaka), i d rastojanje ose u odnosu na koju je dobijen J0 od ose torzionog klatna. Sada, prema (2–3)imamo

T = 2π

√Jx + 2(J0 + md2)

C,

odnosno, po kvadriranju i sre -divanju tako da imamo T 2 = T 2(d2)

T 2 =8π2m

C· d2 +

4π2(Jx + 2J0)C

. (2–4)

Vidimo da T 2 linearno zavisi od d2, tj. da je T 2 = k · d2 + n, za

k =8π2m

C, n =

4π2(Jx + 2J0)C

. (2–5)

Zato je potrebno uzimati d kao nezavisno, a T kao zavisno promenljivu. Zatim cemo po dobijanju k i ngrafickom metodom (i racunskom) iskoristiti njihove vrednosti i poznat moment inercije J0 za dobijanje Jx:

Jx = 2(n

km− J0

). (2–6)

Iz (2–1), za suplji valjak spoljasnjeg poluprecnika D1, unutrasnjeg poluprecnika D2 i visine H imamo

J0 =m

16(D2

1 + D22 + 1, 33H2

)(2–7)2L

d

H l

Slika 2–2. Rastojanje osa rotacija valjka i torzionog klatna

Na osnovu slike 2–2, vidimo da je

d =L

2− l − H

2= L0 − l, gde je L0 =

L−H

2. (2–8)

Sto se tice osnovnog perioda oscilovanja, njega cemo dobiti na osnovu merenja perioda 10 oscilacija(radi vece preciznosti).

11

RezultatiDobijeni su sledeci rezultati.

Dimenzije i osobine valjka

Masa jednog valjka se dobija merenjem oba na terazijama, i zatim deljenjem dobijene vrednosti sa dva (da bigreska bila manja, a pretpostavlja se da su valjci jednaki). Naravno, pre toga je potrebno izvrsiti kalibracijuterazija.

m (g) D1 (cm) D2 (cm) H (cm) J0 (gcm2) L (cm) L0 (cm)34,96 1,598 0,618 2,504 24,628 35,0 16,248

Tabela 2–1. Dimenzije i osobine valjka

Visina, unutrasnji i spoljasnji precnik se direktno mere nonijusom, i na osnovu toga se izracunavamoment inercije jednog valjka.

Period oscilovanja klatna za razna rastojanja tela

Najlakse je menjati i precizno utvrditi rastojanje valjaka l od krajeva sipke. Zatim se izracunava d = L0 − lrastojanje centara valjaka od ose rotacije, a zatim i kvadrat tog rastojanja d2. Za svako rastojanje l se meriperiod n = 10 oscilacija 3 puta, i uzima se aritmeticka sredina dobijenih vrednosti ti kao period 10 oscilacijat.

l (cm) d (cm) d2 (cm2) N ti(s) t (s) ∆t (s) T (s) ∆T (s) T 2 (s2) ∆T 2 (s2)27, 4

1 1, 000 15, 248 232, 502 10 27, 2 27, 27 0, 13 2, 727 0, 013 7, 437 0, 0727, 225, 2

2 2, 520 13, 728 188, 458 10 25, 4 25, 40 0, 20 2, 540 0, 020 6, 452 0, 1025, 623, 8

3 4, 000 12, 248 150, 014 10 23, 8 23, 87 0, 13 2, 387 0, 013 5, 698 0, 0624, 022, 0

4 5, 500 10, 748 115, 520 10 22, 2 22, 20 0, 20 2, 220 0, 020 4, 928 0, 0922, 420, 8

5 7, 000 9, 248 85, 526 10 20, 8 20, 80 0, 10 2, 080 0, 010 4, 326 0, 0420, 819, 4

6 8, 500 7, 748 60, 032 10 19, 4 19, 47 0, 13 1, 947 0, 013 3, 791 0, 0519, 618, 4

7 10, 008 6, 240 38, 938 10 18, 4 18, 33 0, 13 1, 833 0, 013 3, 360 0, 0518, 2

Tabela 2–2. Zavisnost perioda od rastojanja tela od ose

Period jedne oscilacije T se dobija deljenjem t sa brojem oscilacija N = 10. Na isti nacin se dobija igreska (koja je 10 puta manja od greske ∆t, sto objasnjava zasto se meri 10 oscilacija a ne jedna). Na krajuse izracunava kvadrat osnovnog perioda T 2 i njegova greska po formuli ∆T 2 = 2T∆T (sto ce nam trebatikako bi izrazili linearnu zavisnost (2–4)).

12

Obrada rezultata

Graficka obrada

Kada dobijene vrednosti za T 2 u zavisnosti od d2 iscrtamo na grafiku, bicemo u mogucnosti da kroz dobijenetacke provucemo vizuelno ,,najbolju“ pravu. Zatim cemo biti u stanju da odredimo koeficijent pravca teprave k i vrednost n koje predstavlja vrednost T 2 za d2 = 0.

Na grafiku primecujemo da za d21 = 100 cm2, imamo da je T 2

1 = 4, 650 s2, a za d22 = 200 cm2 je

T 22 = 6, 775 s2. Na osnovu ovih podataka dobijamo sledece vrednosti za k i n:

k = 0, 0213 s2

cm2 , n = 2, 52 s2.

Pomocu dobijenih podataka i formule (2–6), sada mozemo izracunati moment inercije torzionog klatnaJx, a za gresku cemo koristiti formulu

∆Jx = 2(mba−2∆a + ma−1∆b + mba−1 + ∆J0), (2–9)

gde je

∆J0 = J0

(∆m

m+

2∆D(D1 + D2 + 1, 33H)D2

1 + D22 + 1, 33H2

).

Konacno, imamoJx = (8.222, 97± 72, 41)gcm2,

ili, po zaokrugljivanju

Jx = (8, 22± 0, 08) · 10−4kgm2.

Racunska obrada

Primenom metoda najmanjih kvadrata, doci cemo tako -de do rezultata. Na ovaj nacin dobicemo ,,najbolju“pravu kroz date tacke.

i xi yi xi − xs (xi − xs)2 (xi − xs) · yi yr di d2i

1 232,502 7,437 108,075 11.680,21 803,75 7,413 -0,024 0,00062 188,458 6,452 64,031 4.099,97 413,13 6,488 0,036 0,00133 150,014 5,698 25,587 654,70 145,80 5,680 -0,018 0,00034 115,520 4,928 - 8,907 79,34 - 43,89 4,956 0,028 0,00085 85,526 4,326 - 38,901 1.513,29 -168,29 4,326 0,0 0,06 60,032 3,791 - 64,395 4.146,72 -244,12 3,791 0,0 0,07 38,938 3,360 - 85,489 7.308,37 -287,24 3,348 -0,012 0,0002Σ 870,990 35,992 29.482,60 619,14 0,0032


U tabeli 2–3, za xi je uzeto d2i , a za yi T 2

i (radi jednostavnijeg zapisa). Zatim, po izracunavanju i zaokruglji-vanju vrednosti, dobija se da je

Jx = (8, 37± 0, 04) · 10−4kgm2.

Moze se primetiti da je greska u ovom slucaju dva puta manja od greske odre -divanja momenta inercije izistih podataka grafickim putem. Dalje, tako -de se vidi da dva dobijena intervala nemaju preseka (tj. nemajuzajednickih vrednosti), a ovo se mora objasniti manjom tacnoscu citanja sa grafika, kao i upisivanja tacakai crtanja same prave. Cak, sigurno se poreklo ove greske mora traziti u autorovom licnom vi -denju najboljeprave kroz date tacke.

[ 26. Novembar 2001. ]

3Odre -divanje ubrzanja zemljine teze

matematickim klatnom

Danilo Xegan

15

UvodMatematicko klatno predstavlja telo zanemarljivih dimenzija i znacajne mase okaceno o neistegljivu nitzanemarljive mase a znacajne duzine. Ovakvo klatno je realno klatno koje je najblize idealizovanom klatnuza koje vaze neki jednostavni zakoni (idealizovano klatno se predstavlja kao materijalna tacka okacena oneistegljivu nit bez mase).

Kretanje matematickog klatna se vrsi po krugu poluprecnika l (gde je l duzina klatna, v. sl. 3–1).Prema tome, ovakvo kretanje u opstem slucaju ne predstavlja prosto harmonijsko kretanje.

1θ

mg

l

xm

Slika 3–1. Matematicko klatno

Samo klatno se krece pod uticajem gravitacione sile mg, me -dutim, na samo kretanje direktno uticesamo komponenta F = mg sin θ, dok druga komponenta vrsi zatezanje niti.

Za male uglove θ (kada vazi aproksimacija sin θ ≈ θ), imamo da je pre -deni put od ravnotezne tacke

lθ ≈ l sin θ = lx

l= x. (3–1)

Odavde vidimo da je pre -deni put priblizno jednak rastojanju x od vertikalne ose.Dalje, kada iskoristimo da je sin θ = x

l , imamo da je

F = mgx

l,

odnosno,F = kx, za k =

mg

l. (3–2)

Na osnovu ovoga, i (3–1), mozemo posmatrati kretanje matematickog klatna kao prosto harmonijsko kretanje,za koje znamo da vazi

T = 2π

√m

k,

gde je T period oscilacija. Na osnovu ovoga, za dobijeno k u (3–2) imamo da je

T = 2π

√l

g. (3–3)

Jasno je da se matematicko klatno moze iskoristiti za odre -divanje ubrzanja zemljine teze pomocu obrasca(3–3) (ali samo za dovoljno male amplitude oscilovanja).

16

Postupak radaPomocu (3–3), jednostavnim transformacijama, dolazimo do zakljucka da postoji linearna zavisnost kvadrataperioda T 2 i duzine klatna l

T 2 =4π2

g· l. (3–4)

Izmenama duzine klatna, i merenjem perioda oscilovanja za svaku duzinu cemo dobiti rezultate koji cenam omoguciti da odredimo koeficijent pravca prave (3–4), tj.

T 2 = a · l, za a =4π2

g. (3–5)

Prema tome, iz odre -denog koeficijenta pravca a linearne zavisnosti (3–5), lako cemo odrediti ubrzanje zemljineteze g kao

g =4π2

a. (3–6)

Pri merenju duzine klatna, mericemo duzinu sa i bez kuglice (odnosno tela na kraju niti), i zatim uzimatiaritmeticku sredinu ove dve duzine kao duzinu klatna. Ovo radimo pod pretpostavkom da je telo homogenoi simetricno. Zatim je potrebno izmeriti period oscilovanja za svaku duzinu klatna (a ovo radimo sa vecimbrojem oscilacija kako bi smanjili gresku).

OpremaOprema se sastoji od jednog stalka na kome je montirano matematicko klatno. Sama duzina klatna se mozejednostavno izmeniti namotavanjem i odmotavanjem kotura K (v. 3–2). Samo telo m je okaceno pomocu,,neistegljive“ niti za kotur K.

2K

m

Slika 3–2. Matematicko klatno promenljive duzine

Na vertikalnom stubu stalka se nalazi i skala kojom se moze odrediti duzina klatna. Ona je takopodesena da pokazuje rastojanje upravo od tacke na kojoj je zakacena nit (tacka ispod kotura odakle nit idevertikalno).

Sama duzina klatna se dobija kao aritmeticka sredina vrednosti za duzinu l1 klatna bez tela m, i duzinul2 klatna sa telom m. Pri citanju vrednosti za l1 i l2 potrebno je uloziti trud da pogled bude normalan naskalu i u visini vrednosti koja se cita.

Telo treba izvesti iz ravnoteze kako bi pocelo da osciluje, i tada hronometrom meriti vreme oscilacija.Potrebno je da se oscilacije vrse u jednoj ravni.

17

RezultatiZa svaku pojedinacnu duzinu klatna l se meri tri puta period 50 oscilacija. Zatim se kao ,,pravi“ period 50oscilacija uzima aritmeticka sredina dobijenih vrednosti. Zatim, deljenjem te vrednosti sa brojem oscilacijaN = 50 se dobija osnovni period oscilovanja matematickog klatna duzine l.

l1 (cm) l2 (cm) l (cm) N ti(s) t (s) ∆t (s) T (s) ∆T (s) T 2 (s2) ∆T 2 (s2)32, 4

1 9, 4 10, 7 10, 05 50 32, 4 32, 4 0, 1 0, 648 0, 002 0, 420 0, 00332, 445, 0

2 19, 5 20, 8 20, 15 50 45, 2 45, 13 0, 13 0, 903 0, 003 0, 815 0, 00645, 254, 2

3 26, 0 27, 3 26, 65 50 54, 0 54, 13 0, 13 1, 083 0, 003 1, 173 0, 00754, 264, 6

4 40, 1 41, 4 40, 75 50 64, 4 64, 47 0, 13 1, 289 0, 003 1, 662 0, 00864, 471, 6

5 49, 9 51, 2 50, 55 50 71, 6 71, 67 0, 13 1, 433 0, 003 2, 054 0, 00871, 877, 4

6 59, 7 61, 0 60, 35 50 77, 2 77, 27 0, 13 1, 545 0, 003 2, 39 0, 0177, 284, 6

7 70, 3 71, 6 70, 95 50 84, 8 84, 73 0, 13 1, 695 0, 003 2, 87 0, 0284, 890, 6

8 80, 7 81, 9 81, 30 50 90, 8 90, 73 0, 13 1, 815 0, 003 3, 29 0, 0290, 8

Tabela 3–1. Zavisnost kvadrata perioda od duzine klatna

Obrada rezultata

Graficka obrada

Ucrtavanjem eksperimentalno dobijenih podataka na grafik T 2 = a · l, i provlacenjem ove prave sto je mogucetacnije kroz date tacke, mozemo uociti dve konkretne vrednosti za T 2 za odabrane vrednosti l. Naime, zal1 = 0, 0 cm vidimo da je T 2

1 = 0, 02 s2, odnosno, za l2 = 80, 0 cm je T 22 = 3, 25 s2. Prema tome, imamo da je

a =T 2

1 − T 22

l1 − l2= 0, 0404 s2

cm .

Relativnu gresku ∆a/a odre -dujemo kao

∆a

a= 2 · T1∆T1 + T2∆T2

T 21 − T 2

2

+∆l1 + ∆l2

l1 − l2= 0, 0142.

Odavde, i iz (3–6) imamo da jeg = (977, 19± 13, 88) cm

s2 ,

odnosno, konacno

g = (980± 20) cms2 .

18

Racunska obrada

Uvek je pozeljno i pored graficke obrade rezultata, uraditi i neku racunsku obradu. Zato su svi rezultatiobra -deni i metodom najmanjih kvadrata.

Vrednosti xi u datim tabelama predstavljaju odgovarajuce vrednosti li, gde je i broj merenja, dok yi

predstavlja dobijeni kvadrat osnovnog perioda za tu duzinu klatna T 2i .


1 10, 05 0, 420 −35, 04 1.227, 80 − 14, 72 0, 440 0, 020 0, 00042 20, 15 0, 815 −24, 94 622, 00 − 20, 33 0, 842 0, 027 0, 00073 26, 65 1, 173 −18, 44 340, 03 − 21, 63 1, 101 −0, 072 0, 00524 40, 75 1, 662 − 4, 34 18, 84 − 7, 21 1, 662 0, 000 0, 00005 50, 55 2, 054 5, 46 29, 81 11, 21 2, 052 −0, 002 0, 00006 60, 35 2, 39 15, 26 232, 87 36, 47 2, 442 0, 052 0, 00277 70, 95 2, 87 25, 86 668, 74 74, 22 2, 864 −0, 006 0, 00008 81, 30 3, 29 36, 21 1.311, 16 119, 13 3, 286 −0, 014 0, 0002Σ 360, 75 14, 674 4.451, 25 177, 14 0, 0092


Primenom metoda najmanjih kvadrata na sve rezultate dobijamo da je

g = (991, 92± 14, 95) cms2 .

Me -dutim, mozemo primetiti na grafiku ili po vrednostima kvadrata devijacija za 3. i 6. merenje da jenacinjena gruba greska. Zato je pozeljno te rezultate izbaciti iz obrade. U ovom slucaju, nas rezultat jenesto drugaciji, a greska je znatno manja.


1 10, 05 0, 420 −35, 58 1.265, 94 − 14, 94 0, 418 −0, 002 0, 0000042 20, 15 0, 815 −25, 48 649, 23 − 20, 77 0, 825 0, 010 0, 0001004 40, 75 1, 662 − 4, 88 23, 81 − 8, 11 1, 655 −0, 007 0, 0000495 50, 55 2, 054 4, 92 24, 21 10, 11 2, 050 −0, 004 0, 0000167 70, 95 2, 87 25, 32 641, 10 72, 67 2, 872 0, 002 0, 0000048 81, 30 3, 29 35, 67 1.272, 35 117, 35 3, 289 −0, 001 0, 000001Σ 273, 75 11, 111 3.876, 64 156, 31 0, 000174

Tabela 3–3. Metod najmanjih kvadrata bez 3. i 6. merenja

Na ovaj nacin dobijamo da jea = (0, 0403± 0, 0002) s2

cm ,

odnosnog = (979, 61± 4, 86) cm

s2 .

Na kraju, po zaokrugljivanju vrednosti imamo da je

g = (980± 5) cms2 .

[ 3. Decembar 2001. ]

4Odre -divanje modula elasticnosti

Danilo Xegan

21

UvodKao sto je vec primeceno u vezbi 1., pod dejstvom sila dolazi do izvesnih deformacija cvrstih tela. Za elasticnatela je poznato da vazi Hukov zakon koji daje zavisnost relativne deformacije δ = l/L od normalnog naponaσ = F/S.

U slucaju zice (ili sipke) duzine L i povrsine poprecnog preseka S, i sile F koja deluje normalno napoprecni presek iste, dolazi do izduzivanja zice za neku duzinu l (apsolutno istezanje zice). Tada, po Hukovomzakonu, vazi

F

S= E

l

L. (4–1)

U izrazu (4–1) se pojavljuje konstanta proporcionalnosti E koja se naziva modul elasticnosti ili Jungov modulelasticnosti.

1L l

dF

Slika 4–1. Izduzivanje zice

Za zicu (v. sl. 4–1) znamo da je povrsina poprecnog preseka

S =d2π

4.

Odavde, i iz (4–1) imamo da apsolutno istezanje zice

l =4L

d2πE· F,

linearno zavisi od intenziteta sile F . Kako cemo silu F dobijati pomocu tegova raznih masa u gravitacionompolju Zemlje, nju mozemo izraziti kao F = mg, pa l linearno zavisi i od mase upotrebljenih tegova m kao

l =4Lg

d2πE·m. (4–2)

Zatim, odre -divanjem koeficijenta pravca prave koja predstavlja izraz (4–2), mozemo odrediti i sam modulelasticnosti za datu zicu

l = k ·m, za, k =4Lg

d2πE. (4–3)

Iz jednacine (4–3) (po odre -divanju koeficijenta k), Jungov modul elasticnosti za datu zicu izracunavamo kao

E =4Lg

d2πk. (4–4)

Dobijene formule (4–3) i (4–4) vaze samo pod uslovom da vazi Hukov zakon. Hukov zakon vazi samo doizvesne granice naprezanja koja se zove granica proporcionalnosti. Ova granica se nalazi nesto ispod graniceelasticnosti deformacija, a same deformacije izme -du ove dve granice se vrse po slozenom zakonu koji visenije linearan.

22

Postupak radaNa osnovu (4–3) je jasno da je najbolje uzimati mase tegova m za nezavisno promenljivu, i vrednosti izduzenjal za zavisno promenljivu vrednost. Pomocu ovih parova vrednosti (pozeljno je da ih bude 6–8), moci cemoda izaberemo pravu koja ,,najbolje“ prolazi kroz tacke na grafiku koje predstavljaju ove vrednosti.

Na taj nacin cemo dobiti koeficijent pravca k, pomocu kojeg cemo racunati modul elasticnosti E poformuli (4–4).

Me -dutim, kako bi mogli da koristimo formulu (4–4) moramo imati dostupne sve vrednosti koje sepojavljuju u njoj, a koje smatramo za konstantne. Ubrzanje zemljine teze g i broj π mozemo uzeti saproizvoljnom tacnoscu (dovoljnom da ne utice na rezultat). Konkretno, za ubrzanje zemljine teze cemokoristiti vrednost g = 9, 81m

s2 , a za broj π = 3, 14159 (i manje cifara za broj π bi dalo isti rezultat, me -dutim,posto se sav racun obavlja pomocu kalkulatora, ovaj dodatni ,,napor“ pri racunanju je neznatan).

Ostale vrednosti su specificne za zicu ciji modul elasticnosti odre -dujemo. To su duzina zice L i njenprecnik d.

Duzinu zice L merimo izme -du mesta na kojima je ucvrscena posto merimo i izduzenje u odnosu nate tacke. Radi tacnijeg rezultata, potrebno je obaviti tri merenja duzine, i zatim uzeti aritmeticku sredinudobijenih vrednosti koju cemo smatrati za pravu duzinu zice L.

Precnik zice moze vise varirati (vise u smislu vece relativne greske), i zato je potrebno izvesti 5 merenjana razlicitim mestima zice. Tek onda je potrebno uzeti aritmeticku sredinu dobijenih vrednosti za praviprecnik zice d.

OpremaOprema se sastoji od jednog stalka postavljenog horizontalno. Na stalku je ucvrscena zica ciji je modulelasticnosti potrebno odrediti (izme -du tacaka A i B, v. sl. 4–2). U tacki B je zica ucvrscena za stalak, dokje u tacki A ucvrscena za disk koji se moze pomerati u pravcu pruzanja zice. Pomeranjem ovog diska dolazii do pomeranja na skali komparatora K, pa se na taj nacin moze utvrditi apsolutno istezanje zice l.

2K A B

Slika 4–2. Ure -daj za odre -divanje modula elasticnosti zice

Od tacke A se pruza zica (koja ne mora biti od istog materijala, cak najcesce i nije) preko kotura nakraju stalka. Na drugom kraju ove zice se nalazi kuka o koju je moguce kaciti tegove raznih masa. U svakomtrenutku je neophodno da bude okacen odre -deni teg koji sluzi za zatezanje zice.

Posto ce se vrednost na komparatoru menjati pri pomeraju tacke A (naravno, pod uticajem sile), duzinazice L koju treba meriti je rastojanje izme -du tacaka A i B u pocetnom trenutku.

23

Rezultati

Dimenzije zice

Prvo se odre -duju osnovne dimenzije zice: njena duzina L i precnik d.

L1 (mm) L2 (mm) L3 (mm) L (mm) ∆L (mm)876 876 877 876,3 0,7

Tabela 4–1. Izmerena duzina zice, srednja vrednost i greska

d1 (mm) d2 (mm) d3 (mm) d4 (mm) d5 (mm) d (mm) ∆d (mm)0,37 0,365 0,36 0,36 0,36 0,363 0,007

Tabela 4–2. Izmereni precnik zice, srednja vrednost i greska

Zavisnost apsolutnog istezanja od mase tegova

Izabirom tegova raznih masa, i njihovih kombinacija, dobicemo i razna izduzenja zice. Dobijeni podaci suuneti u sledecu tabelu.

m (kg) li (mm) l (mm) ∆l (mm)

0, 1881 0, 342 0, 186 0, 186 0, 002

0, 1850, 273

2 0, 511 0, 275 0, 274 0, 0010, 2750, 427

3 0, 825 0, 428 0, 427 0, 0010, 4270, 454

4 0, 853 0, 455 0, 454 0, 0010, 454

m (kg) li (mm) l (mm) ∆l (mm)

0, 6075 1, 167 0, 606 0, 607 0, 002

0, 6090, 694

6 1, 336 0, 692 0, 695 0, 0030, 6980, 867

7 1, 678 0, 865 0, 867 0, 0030, 870

Tabela 4–3. Zavisnost apsolutnog istezanja od mase opterecenja

Na raspolaganju smo imali 3 tega razlicitih masa, pa je na taj nacin bilo moguce dobiti najvise 7 raznihopterecenja (kombinovanjem ovih tegova).

Obrada rezultata

Graficka obrada

Crtanjem grafika koji predstavlja zavisnost (4–3) pomocu dobijenih vrednosti za apsolutno istezanje l uzavisnosti od mase opterecenja m, mozemo priblizno odrediti ,,najbolju“ pravu kroz te tacke, pa i samkoeficijent k pravca te prave.

Konkretno, mozemo primetiti na grafiku da je za m1 = 1, 60kg, l1 = 0, 825mm, odnosno za m2 = 0, 50kgje l2 = 0, 265mm. Na osnovu ovih podataka imamo da je

k =l1 − l2

m1 −m2= 0, 509mm

kg .

Sada, pomocu ove vrednosti za k i izraza (4–4) dobijamo da je

E = 163.192, 77 Nmm2 ≈ 16, 3 · 1010 N

m2 .

24

Gresku ∆E odre -dujemo iz∆E

E=

∆L

L+ 2

∆d

d+

∆k

k, (4–5)

za ∆kk = ∆l1+∆l2

l1−l2. Prema tome, imamo da je ∆E = 0, 79 · 1010 N

m2 , i konacno

E = (16, 3± 0, 8) · 1010 Nm2 .

Racunska obrada

Kao i dosad, i sada cemo dobijene podatke obraditi metodom najmanjih kvadrata.Mase opterecenja su obelezene pomocu xi, dok je apsolutno istezanje predstavljeno kao yi. Srednja

vrednost xs je xs =7∑

i=1

xi/7.


1 0, 342 0, 186 −0, 617 0, 3807 −0, 1148 0, 187 0, 001 0, 0000012 0, 511 0, 274 −0, 448 0, 2007 −0, 1228 0, 273 −0, 001 0, 0000013 0, 825 0, 427 −0, 134 0, 0180 −0, 0572 0, 433 0, 006 0, 0000364 0, 853 0, 454 −0, 106 0, 0112 −0, 0481 0, 447 −0, 007 0, 0000495 1, 167 0, 607 0, 208 0, 0433 0, 1263 0, 607 0, 000 0, 0000006 1, 336 0, 695 0, 377 0, 1421 0, 2620 0, 693 −0, 002 0, 0000047 1, 678 0, 867 0, 719 0, 5170 0, 6234 0, 867 0, 000 0, 000000Σ 6, 712 3, 510 1, 3130 0, 6688 0, 000091


Na osnovu ovoga, dobijamo da je

k = 0, 5094mmkg , ∆k = 0, 0037mm

kg ,

odnosnok = (0, 509± 0, 004)mm

kg .

Dalje, prema (4–4) imamo da jeE = 163.192, 77 N

mm2 .

Za gresku ∆E dobijamo po (4–5) da je

∆E = 7.706, 75 Nmm2 .

Konacno, po zaokrugljivanju i pretvaranju u Nm2 , imamo

E = (16, 3± 0, 8) · 1010 Nm2 .

Moze se primetiti da je dobijeni rezultat identican sa rezultatom dobijenim u grafickoj obradi. Razlog ovomeje jednostavan: na gresku najvise utice greska pri merenju precnika zice (a ona je i najveca), pa iako je sadagreska pri odre -divanju k manja, to nema velikog uticaja na konacnu gresku. Tako -de, sama vrednost za k jeista u oba slucaja s obzirom na gresku.

[ 4. Mart 2002. ]

5Odre -divanje koeficijenta viskoznosti

Danilo Xegan

27

UvodViskozne sile su najizrazitije u gasovitim i tecnim sredinama. One predstavljaju sile otpora sredine (i nazivajuse, u skladu sa tim, i silama viskoznog trenja). Karakteristicne su za supstancu pod odre -denim uslovima(temperatura, pritisak).

Viskoznost se opisuje koeficijentom viskoznosti η koji predstavlja konstantu proporcionalnosti u Njut-novom zakonu viskoznosti

F = ηSdv

dx. (5–1)

Zakon (5–1) opisuje viskoznu silu trenja pri laminarnom (slojevitom) kretanju fluida. Velicina S pred-stavlja dodirnu povrsinu dva sloja, od kojih se jedan krece relativnom brzinom dv u odnosu na drugi, i kojisu na me -dusobnom rastojanju dx.

Na osnovu ovog izraza, lako se utvr -duje da je jedinica za koeficijent viskoznosti Pa · s.

1F

Fp

G

Slika 5–1. Kretanje kuglice u cevi ispunjenoj tecnoscu

Pri kretanju tela kroz tecnosti tako -de dolazi do manifestacije viskoznih sila. Stoks je ustanovio zakon ukojem se opisuje zavisnost intenziteta viskoznih sila od brzine kretanja tela: Sila je upravno proporcionalnaprvom stepenu brzine tela, koeficijentu viskoznosti tecnosti u kojoj se to telo krece i linearnim dimenzijamatela.

U slucaju kuglice (v. sliku 5–1), sila viskoznog otpora je

F = 6πηrvk, (5–2)

gde je r poluprecnik kuglice, a vk njena brzina i η koeficijent viskoznosti fluida u kojem se ona krece.Ukoliko data kuglica slobodno pada, njena brzina ce se povecavati, a time i sila otpora sredine (Stoksova

sila). Me -dutim, posle nekog vremena ce se zbir sile potiska Fp i Stoksove sile F izjednaciti po intenzitetu sasilom zemljine teze G, tj.

G = F + Fp. (5–3)

Nakon toga ce telo nastaviti da se krece ravnomerno kroz tecnost.Kada zamenimo odgovarajuce vrednosti za G = 4/3πr3ρg, F = 6πηrvk i Fp = 4/3πr3ρ0g, gde je ρ

gustina kuglice, ρ0 gustina tecnosti, umesto (5–3), posle sre -divanja imamo

vk =2r2g

3η(ρ− ρ0). (5–4)

28

Postupak radaStoksov zakon (5–2) vazi ukoliko se kretanje vrsi u tecnosti cije su dimenzije beskonacne (odnosno, mnogovece od dimenzija kuglice). Naravno, u praksi je ovakve osobine tesko obezbediti (ako ne i nemoguce), pa jepotrebno izvrsiti neku korekciju.

Ukoliko dobijemo za brzinu kuglice vrednost v, znamo da bi brzina kuglice u ,,Stoksovom” slucaju bila

vk = v(1 + k

r

R

),

gde je R poluprecnik cevi kroz koju prolazi kuglica, i k neka bezdimenziona konstanta (a kako cemo videti,njena vrednost nam nije neophodna za odre -divanje koeficijenta viskoznosti).

Zamenom ovog izraza za brzinu u (5–4) imamo

r2

v=

9η

2g(ρ− ρ0)+

9kη

2g(ρ− ρ0)· r

R= b + a · r

R, (5–5)

za b = 9η/(2g(ρ− ρ0)) i a = k · b. Odre -divanjem parametra b ovakve prave dobijamo i koeficijent viskoznostikao

η =29gb(ρ− ρ0). (5–6)

Vidimo da mozemo koristiti vise kuglica raznih dimenzija od istog materijala (odnosno iste gustine), ina taj nacin odrediti pravu (5–5).

OpremaKuglicu ubacujemo kroz procep U i ubrzo se Stoksova i sila potiska izjednacavaju sa silom zemljine teze.Tako ceo put s od tacke A do tacke B kuglica pro -de krecuci se ravnomernom brzinom. Fototranzistor FTAotkriva prolazak kuglice pored tacke A i aktivira digitalni merac vremena DMV , dok ga fototranzistor FTBzaustavlja. Na taj nacin dobijamo vreme t koje je kuglica utrosila (da li se vreme trosi? ) na putu s, i na tajnacin odre -dujemo njenu brzinu (pretpostavljajuci da se kretala ravnomerno, imamo da je v = s/t).

2s

I

00.44DMV

FTA

FTB

A

B

U

Slika 5–2. Aparatura za odre -divanje koeficijenta viskoznosti Stoksovom metodom

Ukoliko smo odredili unutrasnji poluprecnik cevi R, mozemo koristiti kuglice raznih poluprecnika r, iodre -divati njihove brzine v, i zatim naci parametar b u (5–5).

I konacno, znajuci gustine tecnosti ρ0 i samih kuglica ρ, koristimo (5–6) da odredimo koeficijentviskoznosti.

29

RezultatiPoluprecnik cevi

R1 (mm) R2 (mm) R3 (mm) R4 (mm) R (mm) ∆R (mm)21,43 21,49 21,38 21,34 21,41 0,08

Tabela 5–1. Unutrasnji poluprecnik cevi

Pre -deni put kuglice

s = (432, 0± 0, 5)mm

Gustina kuglica i tecnosti

ρ0 =1, 234g

cm3

ρ =7, 800g

cm3

Brzina kuglica i zavisnost (5–5)

ri (mm) r (mm) ∆r (mm) ti(s) t (s) ∆t (s) v (cm/s) ∆v (cm/s) r2/v (cm·s) r/R

3,135 0,961 3,160 3,15 0,02 0,97 0,97 0,01 45 1 0,00221(7) 0,147 (2)

3,155 0,972,975 1,02

2 2,980 2,977 0,005 1,03 1,02 0,01 42 1 0,00211(6) 0,1390(8)2,975 1,022,760 1,11

3 2,755 2,757 0,005 1,11 1,11 0,01 38,9 0,7 0,00195(4) 0,1286(8)2,755 1,112,360 1,32

4 2,360 2,358 0,005 1,33 1,33 0,01 32,5 0,6 0,00171(4) 0,1102(7)2,355 1,332,235 1,41

5 2,235 2,235 0,005 1,40 1,40 0,01 30,9 0,6 0,00162(4) 0,1044(6)2,235 1,40

Tabela 5–2. Brzina i poluprecnik svake kuglice

30

Obrada rezultata

Graficka obrada

U tabeli 5–2 su dati i rezultati neophodni za iscrtavanje grafika (5–5). Ucrtavanjem tih vrednosti na grafikr2/v = b + a · r/R, i provlacenjem prave kroz ove tacke, presek sa osom r2/v je

b = 0, 00020 cm · s.

Odavde po (5–6) imamo da je η = 0, 029Pa · s, a zbog

∆η =(

∆b

b+

∆ρ + ∆ρ0

ρ− ρ0

)η (5–7)

imamo da je trazeni rezultat

η = (0,029± 0,002)Pa · s.

Racunska obrada

U pokusaju da smanjimo greske nastale pri obradi rezultata, koristicemo metod najmanjih kvadrata. Vred-nosti xi u tabeli predstavljaju vrednosti ri/R, a yi su r2

i /vi.


1 0, 1472 0, 00221 0, 0213 0, 000455 0, 0000471 0, 00221 0, 000004 16 · 10−12

2 0, 1390 0, 00211 0, 0131 0, 000172 0, 0000277 0, 00210 −0, 000009 83 · 10−12

3 0, 1286 0, 00195 0, 0027 0, 000007 0, 0000053 0, 00196 0, 000008 56 · 10−12

4 0, 1102 0, 00171 0, 0157 0, 000246 −0, 0000268 0, 00170 −0, 000006 38 · 10−12

5 0, 1044 0, 00162 0, 0215 0, 000461 −0, 0000348 0, 00162 0, 000004 15 · 10−12

Σ 0, 6294 0, 00960 0, 001341 0, 0000185 208 · 10−12


Iz tabele 5–3 direktno izracunavamo da je (a imajuci u vidu da je b izrazeno u cm · s)

a = 0, 0138, ∆a = 0, 0002b = 0, 00018, ∆b = 0, 00002

,

pa imamo da jer2

v=

(0, 00018 + 0, 0138 · r

R

)cm · s.

Pomocu ove vrednosti b sada dobijamo η i ∆η prema (5–6) i (5–7):

η = (0, 026± 0, 004) Pa · s.

Moze se primetiti da je sada greska znatno veca nego u slucaju graficke obrade rezultata, me -dutim razlogza ovo je jednostavan: pri grafickoj obradi je pretpostavljeno (prilicno optimisticki) da je greska parametrab jednaka velicini najmanjeg podeoka, i tako je izmisljena preciznost koja zapravo ne postoji (radi se osubjektivnom izboru ,,najbolje” prave, a bilo je moguce provuci veci broj odgovarajucih pravih zbog velicinegresaka ulaznih vrednosti).

[ 11. Mart 2002. ]

6Odre -divanje koeficijenta

povrsinskog napona

Danilo Xegan

33

UvodSile molekulskog privlacenja koje se javljaju na povrsini tecnosti su usmerene unutra, ka masi tecnosti. Zbogtoga masa tecnosti tezi da zauzme sferni oblik (u tom slucaju su ove sile normalne na povrsinu). Ove silenazivamo i silama povrsinskog napona.

Kao izuzetan slucaj ispoljavanja sila povrsinskog napona, izdvajamo ove sile koje se javljaju pri kontaktunekog cvrstog tela sa povrsinom tecnosti. Utvr -deno je da u ovakvim slucajima sila povrsinskog naponalinearno zavisi od duzine ivice dodirne povrsine l i karakteristike same tecnosti α, tj. F = αl. Koeficijent αnazivamo koeficijentom povrsinskog napona tecnosti pod datim uslovima.

1F

D

d

Slika 6–1. Efekat povrsinskog napona izme -du prstena i tecnosti

Prsten unutrasnjeg precnika d i spoljasnjeg D, izazivace sile povrsinskog napona za svaku od ivica (zaunutrasnju ivicu silu F1 i za spoljasnju F2)

F1 = απd, F2 = απD.

Za odvajanje prstena od tecnosti neophodno je savladati obe ove sile, pa je granicna vrednost sile F , usmerenenavise, po intenzitetu jednaka zbiru ove dve sile, odnosno

F = απ(d + D). (6–1)

Odre -divanjem granicne sile F mozemo pomocu zakona (6–1) utvrditi koeficijent povrsinskog napona tecnosti.

Postupak radaGranicna sila F se moze odrediti samo postepenim povecavanjem intenziteta sile. Najlaksi nacin da se ovoizvede je upotrebom elasticne opruge.

Elasticna opruga

Kao sto je poznato, elasticna opruga se izduzuje srazmerno intenzitetu sile koji na nju deluje. Tako, ukolikoje doslo do istezanja opruge za duzinu x, znacemo da je na oprugu delovala sila intenziteta F , gde je

F = k · x. (6–2)

Koeficijent k predstavlja karakteristiku opruge (u odre -denim granicama elasticnosti opruge), i mora se un-apred odrediti. Suprotnim postupkom, merenjem izduzenja opruge x pri delovanju poznatih vrednosti silemozemo pronaci koeficijent elasticnosti opruge k.

Radi smanjenja greske, ovaj postupak cemo ponoviti za vise raznih opterecenja opruge (kacenje raznihtegova u polju zemljine teze). Tako -de, iz istih razloga cemo koristiti i graficko odre -divanje i metod najmanjihkvadrata pri konacnom izracunavanju koeficijenta istezanja opruge.

34

Povrsinski napon

Kada znamo karakteristiku opruge, na jednostavan nacin, pomocu (6–1) i (6–2), odre -dujemo koeficijentpovrsinskog napona tecnosti kao

α =kx

π(d + D). (6–3)

OpremaNasa aparatura se sastoji od opruge vezane za drzac na stubu, o koju je okacen prsten unutrasnjeg poluprec-nika d i spoljasnjeg poluprecnika D. Na stub je okacena i skala na kojoj mozemo ocitavati duzinu istezanjaopruge.

2Slika 6–2. Odre -divanje koeficijenta povrsinskog napona tecnosti

Na nizem drzacu se nalazi sud ispunjen tecnoscu ciji koeficijent povrsinskog napona odre -dujemo. Rasto-janje izme -du drzaca opruge i nivoa tecnosti se moze postepeno menjati (bilo vertikalnim pomeranjem drzacaopruge ili drzaca suda, bilo isticanjem tecnosti iz suda — ovo je upravo varijanta koja je koriscena).

Eksperiment zapocinjemo stvaranjem dodirne povrsine izme -du prstena i tecnosti, kada dolazi do ispolja-vanja sila povrsinskog napona. Ukoliko opruga nije suvise istegnuta (a treba teziti takvom pocetnom stanju),sile povrsinskog napona ce biti jace, i zadrzace prsten na tecnosti.

Laganim ispustanjem tecnosti iz posude (ili pomeranjem posude nanize/opruge navise), opruga ce sesve vise istezati (a samim tim i delovati silom sve veceg intenziteta na prsten), dok konacno opruga ne budedovoljno istegnuta i raskine vezu koju odrzavaju sile povrsinskog napona. Neposredno pre toga treba uocitiizduzenje opruge, i na osnovu njega izracunati koeficijent povrsinskog napona (pomocu (6–3)).

Ovaj postupak je potrebno ponoviti u nekoliko navrata, i onda tek u zavrsnom odre -divanju koeficijentapovrsinskog napona koristiti srednju vrednost dobijenih izduzenja opruge u izrazu (6–3).

35

RezultatiKarakteristika opruge

F (mN) xi (mm) x (mm)

111 4, 91 11 11

1122

2 9, 81 23 22, 72334

3 14, 72 34 343445

4 19, 62 46 45, 34569

5 29, 43 68 68, 368

Tabela 6–1. Izduzenje opruge pod uticajem sile

Osobine prstena

D1 (mm) D2 (mm) D3 (mm) D4 (mm) D5 (mm) D (mm) ∆D (mm)41,35 41,85 41,35 41,55 41,30 41,5 0,4

Tabela 6–2. Spoljasnji precnik prstena

d1 (mm) d2 (mm) d3 (mm) d4 (mm) d5 (mm) d (mm) ∆d (mm)40,00 40,20 40,25 40,05 40,25 40,2 0,2

Tabela 6–3. Unutrasnji precnik prstena

Izduzenje pod uticajem povrsinskog napona

x1 (mm) x2 (mm) x3 (mm) x4 (mm) x5 (mm) x (mm) ∆x (mm)40 38 40 39 38 39 1

Tabela 6–4. Izduzenje opruge pod uticajem sila povrsinskog napona

36

Obrada rezultataKarakteristika opruge je jedino sto moramo odrediti nekom (malo) komplikovanijom metodom (grafickomili racunskom), dok sam koeficijent povrsinskog napona tecnosti odre -dujemo direktnim racunanjem izraza(6–3).

Pri svakom nacinu odre -divanja koeficijenta elasticnosti opruge, dobijamo i razne rezultate za koeficijentpovrsinskog napona. Prema tome, razdvojicemo dva nacina obrade na graficku i racunsku (iako se svaki odnjih odnosi samo na karakteristiku opruge).

Graficka obrada

Ucrtavanjem parova vrednosti (x, F ) iz tabele 6–1 na (u?) grafik, i provlacenjem sto je moguce bolje pravekroz te tacke, pronalazimo da je za x1 = 55 mm, odgovarajuci intenzitet sile F1 = 23, 75 mN. Tako -de,grafik prolazi kroz koordinatni pocetak pa uzimamo i (x2, F2) = (0 mm, 0 mN). Na osnovu ovih podatakasa grafika dobijamo da je

k =F1 − F2

x1 − x2= 0, 432 mN/mm.

Koeficijent povrsinskog napona sada direktno izracunavamo po formuli (6–3), i dobijamo

α = 0, 0656 mN/mm.

Gresku za α izracunavamo kao

∆α =(

∆k

k+

∆x

x+

∆d + ∆D

d + D

)· α, (6–4)

i konacno dobijamo da je

α = (0, 066± 0, 005)N/m.

Racunska obrada

Obradom istih podataka iz tabele 6–1, dobijamo tabelu 6–5.

i xi Fi xi − xs (xi − xs)2 (xi − xs) · Fi Fr di d2i

1 11, 0 4, 91 −25, 26 638, 1 −124, 0 4, 87 0, 04 0, 00202 22, 7 9, 81 −13, 56 183, 9 −133, 0 9, 88 −0, 07 0, 00533 34, 0 14, 72 − 2, 26 5, 1 − 33, 3 14, 73 −0, 01 0, 00014 45, 3 19, 62 9, 04 81, 7 177, 4 19, 57 0, 05 0, 00205 68, 3 29, 43 32, 04 1026, 6 942, 9 29, 44 −0, 01 0, 0001Σ 181, 3 78, 48 1935, 3 830, 0 0, 0095


Sada, direktnim izracunavanjem pomocu tabele 6–5 dobijamo da je

k = (0, 429± 0, 001) mN/mm,

a dalje, pomocu izraza (6–3) i (6–4) da je

α = (0, 065± 0, 003)N/m.

Greska je dvostruko manja u ovom slucaju, me -dutim, relativno je jos uvek velika. Relativna greska priodre -divanju izduzenja opruge najvise doprinosi ukupnoj gresci, pa bi najbolji nacin za smanjenje greske bioupotreba osetljivije opruge (tj. opruge sa manjom karakteristikom k).

[ 18. Mart 2002. ]

7Provera Njutnovog zakona hla -denja

Danilo Xegan

39

UvodToplota stalno prelazi sa jednog mesta na drugo. Ovaj proces tece spontano sa tela vise temperature na telonize temperature. Razlikujemo tri nacina prenosa toplote: provo -denje, konvekcija i zracenje.

Provo -denje toplote (slika 7–1.a) se vrsi u telima bez njihovog kretanja: kineticka energija molekula seu sudarima prenosi sa molekula na molekul, pa se tako prenosi i toplota. Osnovnu ulogu kod metala imajuelektroni u provo -denju toplote.

Konvekcija (slika 7–1.b) je prenosenje toplote putem strujanja ili kretanja unutar samog fluida. Stru-janjem se prenose molekuli sa jednog na drugo mesto, a samim tim i njihova kineticka energija i njihovatoplota.

1a) Provo -denje b) Konvekcija c) Zracenje

T1

T2

T2

T1

T2 T1

Slika 7–1. Prenosenje toplote iz sredine sa visom temperaturom (T1) u sredinu sa nizom (T2)

Zracenje (slika 7–1.c) je nacin posrednog prenosenja toplote. Posrednika u ovom slucaju predstavljajuelektromagnetni talasi koje zraci zagrejano telo.

Kada se najveci deo toplote prenosi konvekcijom, eksperimentalno je potvr -deno da je brzina prenosenjatoplote proporcionalna razlici temperatura toplog tela i okoline:

dT

dt= −k · (T − T0). (7–1)

Izraz dT/dt predstavlja brzinu prenosa toplote, T je temperatura tela, T0 je temperatura okolnog fluida, ak je konstanta koja jos nosi naziv konstanta hla -denja. Konstanta hla -denja k je karakteristika zajednicka zatoplo telo i fluid.

Zakon (7–1) je (prvi) uocio Njutn, pa prema njemu i nosi ime: Njutnov zakon hla -denja.

Postupak radaTransformacijom izraza (7–1), i zatim njegovim integraljenjem imamo da je∫

dT

T − T0= −

∫kdt,

ln(T − T0) = −kt + lnC,

odnosno,T − T0 = C · e−kt. (7–2)

Ako nam je poznata temperatura TT u nekom pocetnom trenutku (t = 0s), odre -dujemo i konstantu C kaoC = TT − T0, pa logaritmovanjem (7–2) dobijamo

ln(

T − T0

TT − T0

)= −kt. (7–3)

40

Vidimo da u jednakosti (7–3) imamo linearnu zavisnost po k, a kako u svakom trenutku eksperimentamozemo odrediti (izmeriti) velicine T , T0 i t, mozemo koristiti upravo datu relaciju za odre -divanje k metodomnajmanjih kvadrata ili pomocu grafika. TT merimo na pocetku eksperimenta, pa nam je i ta velicina poznata.

Posto nam je cilj provera Njutnovog zakona hla -denja, moramo izraziti i neka ocekivanja. Naime, ukolikoNjutnov zakon hla -denja vazi, onda je jasno da vrednost k mora biti konstanta. Ukoliko nas eksperiment topotvrdi (u granicama greske), mozemo reci da smo uspesno proverili Njutnov zakon hla -denja.

OpremaAparatura sa kojom radimo se sastoji od jednog staklenog balona. Balon se moze napuniti toplom vodom, iu njega je umetnut termometar. Pored toga, na raspolaganju imamo i termometar kojim merimo promenutemperature okoline (ako ih bude). Za merenje vremena potrebno je imati hronometar.

2Slika 7–2. Aparatura za proveru Njutnovog zakona hla -denja

Eksperiment zapocinjemo sipanjem tople vode u balon, i belezenjem njene temperature u nekom trenutkukoji proglasavamo za pocetni (t = 0s). Istovremeno ukljucujemo i hronometar, i povremeno ocitavamotemperaturu vode i temperaturu okoline.

Pri pocetku, promene temperature ce biti znatnije, i zato je dobro cesce beleziti temperaturu vode iokoline. Kako vreme prolazi, promene temperature ce biti sve manje, pa samim tim i teze uocljive. Tako,prvih nekoliko merenja izvodimo u razmaku od 1–2 minuta, zatim nekoliko merenja u razmaku od 5 minuta,i na kraju u razmaku od 10 minuta merimo do isteka 90 minuta.

Dobijene podatke upisujemo u odgovarajucu tabelu, i na osnovu grafika (ili metodom najmanjih kvad-rata) procenjujemo koeficijent hla -denja k. Ukoliko odstupanja od dobijene vrednosti nisu velika, eksperimentje uspesno zavrsen.

41

RezultatiU pocetnom trenutku, izmerena je temperatura vode

TT = 54, 3 ◦C.

t(min) T0 (◦C) T (◦C) − ln(

T−T0TT −T0

)∆ ln

(T−T0TT −T0

) 25,5 54,1 0,007 0,007

25,6 53,8 0,018 0,007

25,9 53,4 0,032 0,008

26,2 52,9 0,051 0,008

26,3 52,5 0,066 0,008

26,4 52,0 0,086 0,008

26,6 51,0 0,127 0,008

26,7 49,9 0,173 0,008

26,9 48,9 0,220 0,009

26,7 47,9 0,264 0,009

26,7 46,0 0,358 0,009

26,7 44,4 0,44 0,01

26,6 42,9 0,53 0,01

26,6 41,4 0,63 0,01

26,6 40,2 0,71 0,01

26,5 39,0 0,80 0,01

Tabela 7–1. Promena temperature vode i okoline u zavisnosti od vremena

Temperatura vode i okoline u raznim trenucima je zabelezena u tabeli 7–1. Apsolutna greska za izrazln((T − T0)/(TT − T0)) je racunata po formuli

∆ =∆T

T − T0+

∆T

TT − T0. (7–4)

Ovde je za ∆T uzeto 0, 1 ◦C (najmanji podeok na skali termometara).

Obrada rezultata

Graficka obrada

Ucrtavanjem dobijenih vrednosti iz tabele 7–1 u grafik

− ln(

T − T0

TT − T0

)= k · t

i povlacenjem najbolje prave kroz te tacke, mozemo izabrati vrednost

x1 = 100min, y1 = 0, 8938.

Iscrtani grafik prolazi i kroz koordinatni pocetak, pa je vrednost koeficijenta hla -denja

k = (8, 9± 0, 1) · 10−3min−1,

42

odnosno, pretvaranjem u sekunde

k = (1, 49± 0, 02) · 10−4s−1.

Racunska obrada

Drugi nacin obrade rezultata koji nam moze dati nesto bolje rezultate je metod najmanjih kvadrata.

i ti yi xi − xs (xi − xs)2 (xi − xs) · yi yr di d2i

1 1 0, 007 −30, 94 957, 13 − 0, 22 0, 0056 0, 0014 0, 00000202 2 0, 018 −29, 94 896, 25 − 0, 53 0, 0145 0, 0031 0, 00000953 4 0, 032 −27, 94 780, 50 − 0, 90 0, 0324 −0, 0002 0, 00000004 6 0, 051 −25, 94 672, 75 − 1, 33 0, 0503 0, 0008 0, 00000075 8 0, 066 −23, 94 573, 00 − 1, 59 0, 0682 −0, 0018 0, 00000316 10 0, 086 −21, 94 481, 25 − 1, 89 0, 0860 0, 0000 0, 00000007 15 0, 127 −16, 94 286, 88 − 2, 15 0, 1307 −0, 0039 0, 00001546 30 0, 264 −11, 94 142, 50 − 2, 07 0, 1754 −0, 0017 0, 00000298 20 0, 174 − 6, 94 48, 13 − 1, 52 0, 2201 −0, 0006 0, 00000049 25 0, 220 − 1, 94 3, 75 − 0, 51 0, 2648 −0, 0010 0, 0000010

11 40 0, 358 8, 06 65, 00 2, 88 0, 3542 0, 0035 0, 000012412 50 0, 44 18, 06 326, 25 8, 03 0, 4436 0, 0007 0, 000000513 60 0, 53 28, 06 787, 50 14, 88 0, 5330 −0, 0027 0, 000007114 70 0, 63 38, 06 1448, 75 23, 86 0, 6223 0, 0045 0, 000019915 80 0, 71 48, 06 2310, 00 34, 19 0, 7117 −0, 0003 0, 000000116 90 0, 80 58, 06 3371, 25 46, 41 0, 8011 −0, 0018 0, 0000033Σ 511 4, 514 13150, 94 117, 55 0, 0000782


Na osnovu ove tabele, imamo da je k = (0, 008938± 0, 000045)min−1, ili, po zaokrugljivanju

k = (8, 94± 0, 05) · 10−3 min−1.

Kada izmenimo minute u sekunde, konacno dobijamo da je

k = (1, 49± 0, 01) · 10−4 s−1.

[ 25. Mart 2002. ]

8Odre -divanje specificne

toplote cvrstih tela

Danilo Xegan

45

UvodKolicina toplote je jedna od osnovnih velicina koja se javlja kod toplotnih pojava (pored temperature).Kolicina toplote Q koja se utrosi pri zagrevanju nekog tela mase m sa temperature T1 na temperaturu T2 jesrazmerna razlici temperatura T2 − T1 i masi tela, odnosno

Q = cm(T2 − T1). (8–1)

Faktor proporcionalnosti c je karakteristika supstance i moze se smatrati konstantom u manjem intervalutemperatura. Koeficijent c jos nazivamo i specificnom toplotom tela, a odnos Q/(T2 − T1) zovemo toplotnimkapacitetom tela.

Na osnovu vec recenog, specificna toplota tela je kolicina toplote koja jedinici mase tela povisi temper-aturu za jedinicu temperature (jedan stepen).

Kada zelimo da odredimo specificnu toplotu nekog cvrstog tela posmatramo razmenu toplote izme -dunjega i sistema poznatih toplotnih osobina. Sistem koji se koristi pri ispitivanju toplotnih pojava se nazivakalorimetar.

OpremaKalorimetar je aparatura koja sluzi za merenje kolicine toplote. Postoji veliki broj raznih vrsta kalorimetarazasnovanih na raznim principima, a mi cemo ih podeliti na one sa promenljivom i one sa stalnom (konstant-nom) temperaturom.

Promene temperature kod kalorimetara sa promenljivom temperaturom su izazvane manje uticajemrazmene toplote sa sredinom, a vise uticajem upravo osloba -danja toplote koju merimo. Neki od kalorimetaraove vrste su kalorimetri sa tecnoscu, vakuumski kalorimetar, kalorimetri sa stacionarnim tokom, i td.

Kalorimetri sa stalnom temperaturom (izotermni kalorimetri) imaju karakteristicnu stalnu temperaturu(zar?), a sva primljena toplota se trosi na promenu agregatnog stanja supstance koja je u sastavu samogkalorimetra. U izotermnim kalorimetrima se kolicina toplote odre -duje na osnovu kolicine supstance koja jepresla iz jednog agregatnog stanja u drugo.

1Slika 8–1. Kalorimetar sa vodom

Kalorimetar koji smo koristili je kalorimetar sa vodom (znaci sa promenljivom temperaturom). On sesastoji od staklene case sa vodom koja se nalazi u termoizolovanoj kutiji. Odgovarajuci procep za spustanjetermometra se nalazi na poklopcu kutije, tako da termometrom mozemo meriti temperaturu vode u casi.

Kada zelimo da ubrzamo toplotnu razmenu u vodi, koristimo mesalicu koja je, slicno termometru, jednimkrajem u vodi, a drugim iznad poklopca. Po potrebi mozemo u casu sa vodom dosuti vodu, istu prosuti, iliubaciti neko drugo telo (ono ciju specificnu toplotu odre -dujemo).

Grejanje tela se vrsi zasebno, u parnom kupatilu. Telo se nalazi u cevi kroz koju prolazi para iz kljucalevode, i na taj nacin, posle duzeg izlaganja temperaturi bliskoj temperaturi kljucanja vode, i samo telo jezagrejano na tu temperaturu.

46

Postupak radaOdre -divanje toplotnog kapaciteta kalorimetra

Toplotni kapacitet kalorimetra Ck je kolicina toplote potrebna da se temperatura u kalorimetru povisi za1◦C. Pri zagrevanju kalorimetarskog sistema sa temperature T1 na temperaturu T2 ukupna razmena toploteizme -du kalorimetra i okoline je

Q = (cvmv + Ck) · (T2 − T1). (8–2)

Velicina cv predstavlja specificnu toplotu vode i iznosi cv = 4, 185 ·103J/kgK−1, dok je mv masa vode u casi.Kada u casi u kalorimetru drzimo hladnu vodu temperature T1 i mase m1 i zatim dodamo toplu vodu

temperature T2 i mase m2, doci ce do razmene toplote izme -du kalorimetarskog sistema i tople vode.Topla voda ce predati istu kolicinu toplote koju ce primiti kalorimetarski sistem, pa je

(cvm1 + Ck)(Tm − T1) = cvm2(T2 − Tm).

Temperatura Tm je temperatura kalorimetarskog sistema kada se postigne termodinamicka ravnoteza (ubrzoposle mesanja). Kako smo u mogucnosti da odredimo sve velicine u gornjem izrazu, mozemo odrediti ivrednost toplotnog kapaciteta kalorimetra

Ck = cvm2 ·T2 − Tm

Tm − T1− cvm1. (8–3)

Koristeci jednacinu (8–3) vidimo da je dovoljno ustanoviti ravnoteznu temperaturu vode dobijenemesanjem tople i hladne vode.

Odre -divanje specificne toplote cvrstog tela

Za odre -divanje specificne toplote cvrstog tela koristimo nacin slican odre -divanju toplotnog kapaciteta kalori-metra.

U casi u kalorimetru se nalazi voda mase mv na temperaturi Tv. Telo mase mt zagrejano u parnomkupatilu do temperature Tt se ubacuje u casu sa vodom. Mesalicom se pospesuje razmena toplote izme -dutela i vode, i u kratkim intervalima (svakih 10 sekundi) se belezi temperatura koju pokazuje termometar.

Posle nekog vremena (priblizno 100 sekundi) temperatura se stabilizuje i pocinje da opada nesto sporije.Dostignuta temperatura je ravnotezna temperatura Tr. Zatim se jos 15 minuta prati pad temperature, i nakraju ona opada lagano usled razmene toplote sa okolinom.

Ukupna toplota koju je predalo zagrejano telo je

Qt = mtct · (Tt − Tr),

a toplota koju je primio kalorimetarski sistem je

Q = (cvmv + Ck) · (Tr − Tv).

Ove dve toplote su me -du sobom jednake, pa na osnovu toga izracunavamo specificnu toplotu tela

ct =cvmv + Ck

mt· Tr − Tv

Tt − Tr. (8–4)

Korekcija temperature

Pri odre -divanju specificne toplote tela se razmena toplote vrsi znatno sporije nego pri odre -divanju toplotnogkapaciteta kalorimetra, pa je i efekat razmene toplote sa okolinom veci. Zato je potrebno izvrsiti korekcijutemperature vode i ravnotezne temperature.

47

2A A′

BB′

t

T

Slika 8–2. Promena temperature sa vremenom

Kada se dobijene vrednosti unesu na grafik dobije se linija koja izgleda kao na slici 8–2. Kriva izme -dutacaka A i B je posledica razmene toplote sa okolinom (prvo je temperatura okoline veca od temperaturevode pa voda prima toplotu, a zatim je temperatura vode veca od temperature okoline, pa voda osloba -datoplotu). Da nema razmene sa okolinom (idealan slucaj), imali bi smo nagli skok sa A′ na B′. Dobijeni izraz(8–4) vazi jedino u slucaju ovakvog naglog skoka, pa cemo izvrsiti odgovarajucu korekciju produzavanjemlinije iz A do A′ i iz B do B′.

Konacno, za temperature Tv i Tr uzimamo ovako dobijene temperature u tackama A′ i B′, respektivno.

RezultatiToplotni kapacitet kalorimetra

Masa hladne vode m1 = (103, 55± 0, 07) g Temperatura hladne vode T1 = (25, 4± 0, 1)◦CMasa tople vode m2 = (106, 3 ± 0, 1 ) g Temperatura tople vode T2 = (38, 5± 0, 1)◦C

Ravnotezna temperatura Tm= (31, 6± 0, 1)◦C

Tabela 8–1. Temperatura posle mesanja tople i hladne vode

Odre -divanje specificne toplote tela

Eksperiment je podeljen u tri faze. U prvoj fazi se prati razmena toplote izme -du kalorimetarskog sistemai okoline (do 15 minuta). U drugoj fazi se zagrejano telo ubacuje u vodu, i prati se promena temperaturezbog razmene toplote sa njim. Sada su promene nesto brzi (i uocljivije), pa se svakih 10 sekundi belezi novavrednost temperature.

I period II period III period– min – min – min

t T t T t T t T t T t T(s) (◦C) (s) (◦C) (s) (◦C) (s) (◦C) (s) (◦C) (s) (◦C)

× 24,8 26,0 31,0 31,0 30,9 × 30,4

× 24,9 28,0 31,1 31,0 30,9 × 30,1

× 24,9 29,2 31,1 31,0 30,8 × 29,9

29,7 31,1 31,0 30,8

30,6 31,0 30,9 30,8

30,9 31,0 30,9 30,8

Tabela 8–2. Promena temperature vode sa vremenom

U poslednjoj, trecoj fazi, razmena toplote izme -du tela i vode je zavrsena, pa pratimo samo razmenutoplote izme -du okoline i vode. Kako je sada voda toplija, ona odaje toplotu, sto se i vidi kroz opadanjetemperature u intervalu od 15 minuta.

Da bi smo mogli da primenimo izraz (8–4) za odre -divanje specificne toplote tela potrebno je da znamoi masu tela, kao i masu vode upotrebljene u kalorimetarskom sistemu.

Masa vode mv= (169, 67± 0, 07) gMasa tela mt = (150, 78± 0, 04) g

Tabela 8–3. Masa vode i tela u kalorimetarskom sistemu

Obrada rezultataToplotni kapacitet kalorimetarskog sistema

Na osnovu podataka iz tabele 8–1 i koristeci izraz (8–3) direktnim izracunavanjem dobijamo da je toplotnikapacitet kalorimetarskog sistema

Ck = 61, 50JK

.

Greska pri merenju temperature je mnogo veca od greske pri merenju mase, pa je potrebno samo nju koristitipri odre -divanju greske

∆Ck = 2cvm2∆T · T2 − Tm

Tm − T1·(

1Tm − T1

+1

T2 − Tm

). (8–5)

Na osnovu (8–3) i (8–4), imamo da je konacno

Ck = (60± 20)JK

.

Specificna toplota tela

Ucrtavanjem vrednosti iz tabele 8–2 u grafik, i izvrsavanjem korekcije kako je opisano u postupku rada,dobijamo sledece (ispravljene) vrednosti za temperaturu:

Tv = 24, 9 ◦CTr = 31, 2 ◦C

,

sto nam, uz prethodno dobijenu vrednost za temperaturu tela pre ubacivanja Tt = 98, 1 ◦C, omogucava daizracunamo specificnu toplotu tela koristeci izraz (8–4). Prema tome je

ct = 480, 95J

kg K,

a gresku racunamo kao

∆ct =∆Ck

cvmv + Ck+

2∆T

Tr − Tv+

2∆T

Tt − Tr= 20, 85

Jkg K

.

Konacno, po zaokrugljivanju dobijenih vrednosti, imamo da je

ct = (480± 20)J

kg K.

[ 1. April 2002. ]

9Odre -divanje frekvencije zvucne

viljuske pomocu monokorda

Danilo Xegan

51

UvodProblem odre -divanja frekvencije zvucnog izvora je veoma cest u tehnici i prakticnim problemima. Kadapoznajemo brzinu prostiranja zvucnih talasa u odgovarajucoj sredini, problem mozemo svesti na problemodre -divanja talasne duzine istih zvucnih talasa pomocu poznate zavisnosti

c = νλ. (9–1)

Velicina c je brzina prostiranja talasa, ν je frekvencija, a λ je talasna duzina zvucnih talasa.

1l=λ/2

l=2·λ/2

l=3·λ/2

Slika 9–1. Pojava stojecih talasa iste talasne duzine kod zategnute zice

Kada zicu zategnemo na dva mesta, ona moze da vrsi transverzalne oscilacije zahvaljujuci elasticnostimaterijala od koga je napravljena. U tackama ucvrscenja zice talas se odbija i dolazi do interferencije.Ukoliko razmak izme -du ucvrscenja (duzina zice l) predstavlja ceo broj polovina talasnih duzina, tj.

l = nλ/2 za n ∈ N, (9–2)

duz zice se moze javiti stojeci talas.

Postupak radaPrilago -davanjem duzine zice (odnosno izmestanjem ucvrscenja) mozemo postici da se duz zice javi stojecitalas sto se moze primetiti povecanim oscilacijama. U ovom slucaju ce vaziti odnos (9–2), i koristeci jednakost(9–1), imamo da je ν = c/(2l/n), odnosno

ν =nc

2lza n ∈ N. (9–3)

Sama brzina prostiranja talasa u zici je odre -dena kao

c =

√Fl

m, (9–4)

gde je F sila kojom je zica zategnuta, l duzina, a m masa zice. Masu, kao i uvek, mozemo saznati prekozapremine i gustine. Zapremina zice je, pod pretpostavkom da je zica cilindar, srazmerna duzini zice ikvadratu poluprecnika, pa je masa

m = ρld2

4.

Velicina d predstavlja precnik (a d2/4 kvadrat poluprecnika), a ρ je gustina upotrebljene zice koja je unapredpoznata.

Konacno, prema izrazu za masu i (9–3), (9–4), uzimajuci za n = 1 (najmanja duzina zice za koju vazi(9–2)), imamo da je

ν =1ld·

√F

πρ. (9–5)

Prinosenjem zvucnog izvora (u nasem slucaju zvucne viljuske) ovako pripremljenoj zici, ona ce pocetida osciluje primetnije kada je duzina zice ceo broj polovina talasnih duzina.

52

OpremaOprema za odre -divanje ucestanosti (frekvencije) zvucnog izvora je monokord. Monokord se sastoji od rezona-torske kutije nad kojom je zategnuta zica. Jedno mesto ucvrscenja (tacka B na slici 9–2) zice je fiksirano,dok se drugo (tacka A) moze menjati.

2BA

m

Slika 9–2. Monokord

Sama zica se zateze tegom mase m preko kotura koji je pricvrscen na jednom kraju rezonatorske kutije.Na kutiji se nalazi skala koja se moze koristiti. Izme -du tacaka A i B na zici se nalazi manji kolutovi stiroporakoji nam omogucavaju da pratimo amplitudu oscilovanja zice (i da primetimo kada je ona najveca).

Pored monokorda, na raspolaganju nam je i zvucna viljuska ciju ucestanost odre -dujemo. Zvucna viljuskakoja osciluje se moze staviti jednim krajem na tacku A ili B, tako da do -de do kontakta izme -du zice i nje.

RezultatiOsobine aparature i zice

Gustina zice je

ρ = 7800kgm3

.

Precnik zice je meren na vise mesta, i dobijeni rezultati su uneti u tabelu 9–1.

d1 = 0, 48 mmd2 = 0, 48 mm d = (0, 48± 0, 01) mmd3 = 0, 47 mm

Tabela 9–1. Precnik zice

Masa tegova koja je koriscena za zatezanje zice je 3, 835 kg, a sila kojom su oni delovali je

F = 37, 6214 N.

Odgovarajuca duzina zice

Prilikom odre -divanja najmanje duzine zice koja zadovoljava (9–2), isprobavali smo sve vrednosti od veomamalih (bliskih nuli) dok nismo naisli na prvu odgovarajucu (stoga i najmanju, za n = 1).

l1 = 158 mml2 = 156 mm l = (157± 1) mml3 = 157 mm

Tabela 9–2. Odgovarajuca duzina zice

Obrada rezultataSama obrada rezultata se sastoji u zameni dobijenih vrednosti u izraz (9–5). Na osnovu toga dobijamo daje ν = 519, 94 Hz, a koristeci izraz za gresku ∆ν/ν = ∆l/l + ∆d/d, dobijamo za gresku 14, 15 Hz.

Tako, konacno imamo

ν = (520± 15) Hz.

[ 1. April 2002. ]

10Odre -divanje brzine zvuka u vazduhu

Danilo Xegan

55

UvodBrzina zvuka u vazduhu se moze odrediti na mnogo nacina. Jedan od tih nacina je pracenjem rezonancije uvazdusnom stubu. Vazdusni stub se ne moze nezavisno formirati, vec samo u cevima. Tada se mogu javitilongitudinalni stojeci talasi.

Kada je cev zatvorena sa jedne strane, do rezonancije ce doci jedino ako se na zatvorenom kraju ceviobrazuje cvor, a na otvorenom kraju cevi trbuh stojecih talasa. Ovo znaci da ce do obrazovanja stojecihtalasa doci samo ako je

l =2n− 1

4· λ, za n ∈ N. (10–1)

Velicina l predstavlja duzinu cevi (odnosno vazdusnog stuba), a λ je talasna duzina obrazovanih oscilacija.

1l=λ/4

l=3·λ/4

l=5·λ/4

Slika 10–1. Pojava stojecih talasa iste talasne duzine u cevi

Ucestanost talasa sa talasnom duzinom λ je ν = c/λ, gde je c brzina prostiranja talasa u datoj sredini.Kada do -de do rezonancije, cuce se pojacan zvuk i vazice (10–1), pa vidimo da je i

ν =2n− 1

4l· c, za n ∈ N. (10–2)

Jasno je da utvr -divanjem najmanje duzine cevi (n = 1) za koju ce do -di do rezonancije sa zvucnimizvorom poznate frekvencije ν lako mozemo odrediti brzinu zvuka kroz vazduh c.

Postupak radaPronalazenjem najmanje duzine cevi za koju ce se ispoljiti rezonancija u vazdusnom stubu sa zvucnomviljuskom poznate frekvencije, mozemo lako odrediti brzinu zvuku koristeci izraz (10–2).

Me -dutim, pokazalo se da se trbuh stojecih talasa zapravo ne formira na samom kraju cevi, nego nestoispred (izvan) cevi. Neka je taj pomeraj neka duzina p. Sada imamo da vazi

ln + p =2n− 1

4· λ, za n ∈ N,

odnosno izborom vrednosti n = 1 i n = 2 da je

l1 + p = λ/4 i l2 + p = 3λ/4, odnosno l2 − l1 = λ/2.

Dalje, upotrebom izraza c = νλ imamo da je

c = 2ν · (l2 − l1). (10–3)

Vrednosti l1 i l2 su duzine cevi u kojima se za datu zvucnu viljusku pojavi rezonancija, i to prvo najmanja(l1), a zatim prva sledeca duzina (l2). Tako, odre -divanjem dve uzastopne duzine cevi uklanjamo gresku kojase javlja usled prvenstveno pogresne (idealizovane) pretpostavke.

56

OpremaOprema se sastoji od jedne cevi koja je otvorena na jednom kraju (slika 10–2, zona O). Kroz celu cev jemoguce provlaciti zatvarac A pomocu poluge B, i na taj nacin obezbediti cev proizvoljne duzine.2 B

AO

Slika 10–2. Cev koja obezbe -duje vazdusni stub promenljive duzine

Na pozadini osnovne cevi se nalazi skala kojom je moguce odrediti trenutnu efektivnu duzinu cevi (rastojanjeizme -du O i A).

Pored cevi, u eksperimentu koristimo i zvucnu viljusku poznate ucestanosti, kojom pobu -dujemo oscilacijeu vazdusnom stubu.

RezultatiFrekvencija zvucne viljuske

ν = 440 Hz

Odgovarajuce duzine cevi

merenje l1 (mm)

1. 1832. 1843. 1844. 183

srednjavrednost

183,5

merenje l2 (mm)

1. 5732. 5733. 5744. 575

srednjavrednost

573,8

Tabela 10–1. Precnik zice

Obrada rezultataJednostavnom zamenom dobijenih vrednosti za l1 i l2 u izraz (10–3) dobijamo da je

c = 343, 464ms

,

a gresku racunamo kao

∆c =∆l2 + ∆l1

l2 − l1· c. (10–4)

Prema tome, greska je ∆c = 1, 496 m/s, posto za gresku pri merenju duzine uzimamo polovinu najmanjegpodeoka na skali (0,5 mm) ili najvece odstupanje dobijenih od srednje vrednosti.

Konacan rezultat je

c = (343± 2) ms .

Me -dutim, mora se istaci da je mogucnost greske ipak nesto veca od navedene, posto se prepoznavanjenajjaceg zvuka vrsi culom sluha u neodgovarajucim okolnostima (buka sa ulice, u laboratoriji, i td.).

Sadr�aj

Vezba 112. Novembar 2001.

Odre -divanje modula torzije zice . . . . . . . . . . . . . 1

Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Postupak rada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Oprema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Rezultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5Obrada rezultata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6


Odre -divanje momenta inercije tela . . . . . . . . . . 7

Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Oprema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Postupak rada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Rezultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Obrada rezultata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12


Odre -divanje ubrzanja zemljine teze matematickimklatnom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Postupak rada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

Oprema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Rezultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17


Vezba 43. Decembar 2001.

Odre -divanje modula elasticnosti . . . . . . . . . . . 19

Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Postupak rada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

Oprema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Rezultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23


Vezba 54. Mart 2002.

Odre -divanje koeficijenta viskoznosti . . . . . . . . 25

Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Postupak rada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28

Oprema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Rezultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29



Odre -divanje koeficijenta povrsinskog napona 31

Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Postupak rada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33

Oprema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Rezultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35



Provera Njutnovog zakona hla -denja . . . . . . . . 37

Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Postupak rada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39

Oprema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Rezultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41



Odre -divanje specificne toplote cvrstih tela . . 43

Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Oprema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Postupak rada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46

Rezultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47


Vezba 91. April 2002.

Odre -divanje frekvencije zvucne viljuske pomocumonokorda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Postupak rada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51

Oprema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Rezultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52


Vezba 101. April 2002.

Odre -divanje brzine zvuka u vazduhu . . . . . . . 53

Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Postupak rada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55

Oprema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Rezultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56


vezbe iz fizike

Documents