Flexin y pandeo de vigas

Objetivo

Estudiar experimentalmente la forma que adopta una barra en flexin, esto es estudiar la elstica de la viga. Tambin se busca determinar el mdulo de elasticidad del material.

Vista longitudinal

A)B)z

1

dFdFS0

y

tan =df(x)/dxz=f(x)

R0

Vista transversal

dA

S

R= radio de curvatura

C)yx

Figura xx.1: A) Barra sometida a flexin. A la izquierda se observa un tramo infinitesimal de la misma sometida a traccin por la parte superior y a compresin en su parte inferior. La lnea de trazos indica la lnea neutra, la cual no esta sometida a traccin ni compresin. B) A la derecha observamos un tramo finito de la misma barra. C)En la zona central vemos una vista transversal de la barra.

Consideremos un tramo infinitesimal de una barra sometida a flexin, como se ilustra esquemticamente en la figura xx.1. Es claro que mientras la parte superior de la barra se encuentra solicitada a tensiones de traccin su parte inferior esta sometida a tensiones de compresin. Asimismo, habr una superficie de la misma, cercana a su zona central, que no estar sometida ni a traccin ni compresin. Esta superficie se conoce como la zona neutra de la barra, y en la figura xx.1.A) est representada por la lnea de trazos. Si tomamos un elemento infinitesimal de la barra, paralela a la zona o lnea neutra a una distancia y de la misma, este segmento corresponde a la regin sombreada de la figura xx.1a.

Supondremos que el rea transversal de este elemento es dA. Con R0 designamos el radio de curvatura de la zona neutra y llamamos S0 a la longitud del elemento de barra arco de la barra en consideracin a lo largo de la zona neutra. La longitud del arco de que esta a una distancia y de la lnea neutra lo designamos con S(y). De la geometra del problema podemos escribir en primera aproximacin:

S ( y)R0 y

S0R0

por lo tanto S ( y) S ( y) S0

S0 y R0

(aa1)

Si df designa la fuerza infinitesimal, responsable de la traccin (o compresin) de este elemento infinitesimal de la barra, por la ley de Hooke tenemos:1,2,3

df (E dS ) dA E ySoR0

dA .(aa2)

El momento de esta fuerza infinitesimal, relativa a la lnea neutra ser dM=y.df, por lo tanto el momento flector de la barra ser: 1,2,3

o bien:

M y df

(E dSSo

) dA E R0

Area y2

dA ,(aa3)

M E I ,(aa4)R0donde hemos definido el momento areal o momento de inercia de la seccin transversal de la barra como:

I Area y2

dA .(aa5)Aqu E representa el mdulo de rigidez o mdulo de Young del material. El producto I.E se conoce como el coeficiente de rigidez ( flexural rigidity o Stiffness) a la flexin de la barra. Por su parte el radio de curvatura de la barra puede escribiesecomo:4,5,6

1 (dz

dx)2 3 / 2

f '2 () g'2 ()3 / 2dS

R d 2 z dx 2

f ' () g ' ' () f ' ' () g' ()d.(aa6)

La primera forma de expresar el radio de curvatura corresponde al caso en que se dispone de la expresin de la curva de la forma z=z(x) y la segunda cuando la forma de la curva se expresa en forma paramtrica (x=f(), z=g()). La tercera forma, expresa el radio de curvatura en trminos de la longitud de arco S y el ngulo que la tangente a la curva forma con el eje x, como se ilustra en la figura xx.1. Si la curvatura de la viga es pequea, o equivalentemente, si el radio de curvatura R es mucho mayor que el tamao de la viga, o sea si R>>L, tenemos que:

R 1d 2 z dx 2

( f ' ())3f ' () g' ' () f ' ' () g' ().

Momentos flectores: Un problema comn en diversos problemas que involucran vigas, es determinar el valor del momento flector M(x) o momento resistente en un punto de coordenada x. Para ello imaginemos que la barra se corta en el punto de coordenadas x (lnea mn). Para mantener en equilibrio la seccin que esta a la derecha de la lnea mn ser necesario una fuerza cortante V(x) (cortante resistente) y un momento flector M(x), que en realidad realiza la seccin de la viga a la izquierda de la lnea mn. De las condiciones de equilibrio (Fi=0 y Mi) podemos obtener los valores de M(x) y V(x).

A)n

M(x)xmP

V(x)n mP M(x)=-(L-x)PV(x)=-P

B)n

M(x)

V(x)

n

x

m

mP=.g.(L-x)

M(x)=-(L-x)2g./2

V(x)= -g..(L-x)

Figura xx2: A) Barra empotrada de longitud L, sometida a flexin por una fuerza P aplicada en su extremo libre. B) Barra empotrada de longitud L, sometida a flexin por una fuerza uniforme g.distribuida al lo largo de toda la barra. El objetivo en general es determinar el valor del momento flector M(x) o momento resistente en un punto de coordenada x. De las condiciones de equilibrio (Fi=0 y Mi) obtenemos los valores de M(x) y V(x). El ngulo que forman las tangentes a la barra en sus dos extremos, A, se conoce con el nombre de ngulo de giro.

Algunos casos de inters son los siguientes:

Viga de peso despreciable empotrada con un extremo libre que sostiene un peso P: esta situacin se ilustra en la figura x.2.A). Si concediramos la seccin de la viga a la derecha de mn, de las condiciones de equilibrio es fcil obtener:

V (x) Py

(aa9)

M (x) P (L x) .(aa10)De la expresin (aa.4) o (aa.8), para pequeas deformaciones de la barra (1/ R d 2 z dx 2 ) tenemos que:

z(x) 1 P L x2 (3 x ) ,

3fy

1 P L3f .

6 E I

LA2 L

3E I

(aa11)

En estas ltimas ecuaciones hemos tenido en cuenta las condiciones de borde del problema,

ms especficamente hemos impuesto las condiciones:

z(0) z(0) x 0.

Viga de con carga distribuida uniformemente, empotrada y con el otro extremo libre: esta situacin se ilustra en la figura x.2.B). Si concediramos la seccin de la viga a la derecha de mn, de las condiciones de equilibrio es fcil obtener:V (x) g (L x) ,(aa12)aqu, g.es carga por unidad de longitud, la densidad lineal de masa, r la densidad (masa por unidad de volumen), A el rea transversal de la barra y g la aceleracin de la gravedad. Tambin tenemos:M (x) g A (L x)2 .(aa13) 2De la expresin (aa.8), para pequeas deformaciones de la barra tenemos que:

z(x) 1 24g.m L E I

x2

6L 4x

x2 ,L 3

4 fy

f 1 m.g L

.(aa14)

A3L

8E I

Viga de con carga distribuida variable g.(x), empotrada en un extremo y con el otro extremo libre: esta situacin es una generalizacin de la ilustrada en la figura x.2.B). Si concediramos la seccin de la viga a la derecha de mn, de las condiciones de equilibrio obtenemos:LV (x) g (x' ) dx' .(aa15)x

Tambin tenemos:

LM (x) g (x' ) (x x' ) dx' .(aa16)x

Si derivamos esta ltima expresin respecto de x obtenemos:

M (x)Lg (x') dx V (x) .(aa17)xxDerivando nuevamente obtenemos:

2 M (x)g (x) g A(x) (x)x2

(aa18)

Combinando esta ltima expresin con (aa.7) para pequeas deformaciones, obtenemos la importante relacin de Euler Bernoulli:

2 M (x)2E

(I

z ) (x)2

(aa19)

x2

x2

x2

Si la seccin de la viga es uniforme, esta ltima expresin se reduce a::4 zEI g (x)x4

(aa20)

Usando el principio de Dalambert, est ltima expresin nos permite escribir la ecuacin diferencial del movimiento de la barra:4

4 z

2 z

EI (x)x4t 2

(aa21)

Finamente, es til de tener el cuenta dos teoremas de las reas de los momentos, que pueden demostrarse a partir de la expresin (aa4),4,5 para pequeas deformaciones de una barra saber: Primer teorema del rea de momentos: referida a la figura xx.3, si A, representa el ngulo entre las tangentes a la barra en sus dos extremos, conocido con el nombre de ngulo de giro, se cumple la siguiente relacin: 4,5

A

M (x) dx .(aa22)L

0E I

xAAM(x)

z

x LFigura xx.3: Barra de longitud L, sometida a flexin por un momento flector aplicado deforma general, M(x), a lo largo de la misma. A, se conoce con el nombre de ngulo de giro. La distancia A se mide a lo largo de una lnea perpendicular a la barra.4,5

Segundo teorema del rea de momentos: si A,es la distancia entre la tangente en uno de los extremos de la barra al otro extremo de la misma, a lo largo de una direccin perpendicular a la barra (en su posicin original sin deformacin) se cumple que: 4,5L

A

M ( x) x dxE I0

(aa23)

Es importante sealar que estos teoremas son validos tanto para toda ala barra como para una porcin de la misma.

Problema de Euler: pandeo de una viga.

El problema de Euler consiste en encontrar a forma de una viga sometida a pandeo. La curva que describe dicha forma se conoce con el nombre de la elstica de la misma. En primer trmino analizaremos caso de pequeas flexiones y seguidamente el caso de flexiones arbitrariamente grandes.

Pequeas deflexiones: En este caso supondremos que tenemos una barra de seccin uniforme vertical, empotrada en su parte inferior como se ilustra en la figura xx.4, sometida a una fuerza o carga F a lo largo de la misma. Ntese la diferencia con el caso analizado en figura xx.2, donde la fuerza se aplicaba perpendicular a la viga. El torque M(x) que la fuerza F ejerce sobre un punto de la barra de coordenada x, como vimos anteriormente (aa.9), puede expresarse como:1,2

M (x) F (u0 z(x))

(aa24)

Combinando esta expresin con (aa.3) y (aa.7) tenemos:

d 2 z E I dx 2 F (u0 z(x))

(aa25)

En esta expresin, suponemos que el radio de curvatura es grande en comparacin del largo L de la barra. La Ec.(aa22) tambin puede escribirse como:

d z 2 z(x) 2 u2

(aa26)

dx 20

con

2

F E I

(aa27)

La ecuacin diferencial (23) es del mismo tipo que la que se encuentra al resolverel problema del oscilador armnico. Su solucin es de al forma:z A sin(x) B cos(x) u0 ,(aa28) las condiciones de borde: z(0)=0 , dz(0)/dx=0 y z(L)=u0 conducen a: B=-u0 y A=0.Por lo tanto:

z u0 (1 cos(x)) Para que z(L)= u0, tenemos que:

(aa29)

por lo tanto: 1,2

L n ,2

con

n 1,3,5,... ,(aa30)

Fn 2 2

E I ,

con

n 1,3,5,...

(aa31)

crit

4L2

El menor valor de corresponde a n=1. Esta condicin establece el menor valor de la carga necesaria para que la barra se pandee. Para lograr defecciones de orden superior, n=3, 5, etc, se requieren fuerzas mayores. La forma de la flexin para n=1 y 3 se indican esquemticamente en los diagramas de la derecha de la figura xx3.Si la viga no est empotrada en su base, es fcil probar, siguiendo el procedimiento usado anteriormente que el valor de la fuerza crtica es:5

Fcrit

n22 E I ,L2

con

n 1,2,3,...

(aa32)

x

FFF

A) B)C)

LLL

z

Fcrit

2 E I L2

Fcrit

42 E I L2

Fcrit

2 E I4 L2

Figura xx.4: Pandeo de una viga con distintas condiciones de borde. A) ambos extremos libres, B) ambos extremos empotrados y C) extremo inferior empotrado y superior libre y mvil.

Una apreciacin cualitativa pero til de tener en cuenta, es el hecho que la energa necesaria para deformar una viga, y consecuentemente la fuerza necesaria para hacerlo, aumenta a medida que mayor curvatura se genera el la viga. Ntese que en el ejemplo de la viga del ejemplo de la figura xx.4, el caso de la viga doblemente empotrada corresponde al caso en que la longitud de la barra es igual a una longitud de onda completa, o sea =L. el caso A) de la misma figura corresponde a =2L. Para el caso C) =4L. Estas relaciones se correlacionan exactamente con los correspondientes valores de Fcrit (=42.E.I/2).

Asimismo es interesante notar que para reflexiones transversales no se requiere una fuerza o carga crtica, al contrario de lo que ocurre para el caso del pandeo.

Deflexiones mayores- Elstica: Para deflexiones mayores es necesario usar la expresin exacta para el radio de curvatura,2,7 la ecuacin diferencial de la elstica se puede encontrar de la ecuacin bsica que establece la proporcionalidad entre la curvatura en cada punto de la barra y el momento flector en ese punto de la barra. El torque de lasfuerzas externas sobre la barra, en un punto de coordenada z ser F.(u0-z), por lo tanto:

E I ddS

F u0

F z(x) F u

con

z(x) u0

u(x)

(aa33)

dzxdxdSu0F

Lfx

u0

n=1

u0 n=3

uz

zz

Figura xx.5: Pandeo de una viga. L representa su longitud, F es la carga vertical aplicada a la misma, cuya direccin coincide con la orientacin original de barra sin carga. El parmetro f se denomina la flecha. La forma de la barra, llamada la elstica viene descripta por la funcin z(x). De la figura tenemos que dx/dz=tan. Las condiciones de contorno son: para x=0, z=0 y dx/dz=0; para z=u0 , tenemos =0 y ds/d=0. 2,7

Derivando esta expresin respecto de S y recordando que:

dz du siny

dx cos

(aa34)

dSsSdSdonde es el ngulo entre la tangente a la curva y el eje x, tenemos:

Definiendo:

d 2dS 2

F E I

sin.(aa35)

2 1A2

0

F E I

,(aa36)

la ecuacin diferencia de la elstica se convierte en:

d 22 sin0 ,(aa37)dS 2

Vemos que esta ecuacin diferencial es idntica a la ecuacin diferencial del pndulo simple. Multiplicando esta ltima ecuacin por d/dS e integrando respecto de S obtenemos:

1 d 2

2 cos2 cos

,(aa38)

2 dS 0

La constante del segundo miembro de (aa38) surge de hacer cumplir las condiciones de bordes de la barra. En el extremo libre de la misma, el momento o torque en este punto es nulo, por lo tanto su curvatura de la misma (d/dS) tambin lo es. Por lo tanto para , d/dS =0, donde es el ngulo que forma la tangente a la barra en el extremo libre el ejex. De este modo podemos escribir (aa38) como:

dS

2

dcoscos0

2

sin 2 (

d/ 2) sin 2 (/ 2)0

.(aa39)

Como suponemos que la longitud de la barra L no se modifica al flexionarse, tenemos:

01

L

d1

/ 2dt

1 K (/ 2, k ) ,(aa40)

2 / 20

sin 2 (

/ 2) sin 2 (/ 2)

01 k 2 sin 2t

A)

xzB)

u f

2f

f

Figura xx.6: Barra libre sometida a flexin. La misma se puede suponer como la superposicin de dos barras empotradas como muestra la figura de la izquierda.7,8 De este modo, la barra de la derecha, (B) de longitud 2L y flecha 2f se puede tratar con la mismas ecuaciones que la barra empotrada (A) de longitud L y flecha f.

donde introdujimos las variable k=sin(0/2+/4). Aqu K(,k) es la integral elptica incompleta de primera especie.3 Este relacin es til ya que establece una relacin implcita de como funcin de L, y F. Combinando la expresin (aa.33) con la relacin dz/dS=costenemos:

dddz

2 u

2 z(x)

(aa41)

por lo tanto:

dSdz dS0

1

u() u0 z()

sin0 sin.(aa42)

Es interesante notar que esta ecuacin satisface las condiciones de borde: para z=0, =0 y para z=u0, =. Tambin tenemos la relacin: u02.2=sin0. La otra ecuacin paramtrica de x=x() se puede obtener de las relaciones dx/dz=tany derivada de (aa42) respecto de .

dx

dx dz

1 sin

cos.(aa43)

ddz d

2cos

sin0 sin

Integrando esta ecuacin obtenemos:

x() 12

/ 2

sindt sin0 sin t

1 2E(k,) K (k,),

(aa44)

donde introdujimos las variable k=sin(0/2+/4) y sin=sin(/2+/4)/ sin(0/2+/4). Las funciones K(k,) y E(k,) son las integrales elpticas incompletas de primera y segunda especie3 respectivamente. Las expresiones (aa42) y (aa44) son las ecuaciones paramtricas de la elstica. La ecuacin (aa40) nos permite encontrar el ngulo 0 en funcin de L. Finalmente la flecha f se puede encontrar a partir de la expresin (aa44), haciendo x(0), o sea:

La integrales elpticas incompletas de primera especia se definen como:

K (, k ) 0

definen como:

dt1- k 2 sin 2tE(, k ) 0

y las La integrales elpticas incompletas de segunda especia se

1- k 2 sin 2t dt . Las correspondientes integrales elpticas completas

se obtienen para el caso particular en que 2. Estas funciones no puede expresarse en trminos de funciones elementales. Para su clculo es necesario realizar la integracin numricamente. Ver apndice A.

1f x(0 ) 2

/ 2 0

sin t dtsin0 s int

(aa45)

1 2 E(k,/ 2) K (k,/ 2)donde E(k,/2) y K(k,/2) son las integrales elpticas completas de segunda y primera especie respectivamente 3 y el parmetro k= sin(0/2+/4). En trminos de estas funciones podemos escribir (aa40) como:

L 1

/ 2

d1 K (, k,/ 2) .(aa46)22

01- k

sin

Finalmente, si tenemos una barra con dos extremos libre, la misma se puede suponer como la superposicin de dos barras empotradas una invertida respecto de la otra como ilustra la figura xx.5. De este modo, las ecuaciones desarrolladas hasta aqu, para una barra empotrada de longitud L y flecha f, se pueden usar para describir una barra libre de longitud total 2L y flecha 2.f entre sus extremos. Las ecuaciones paramtricas de la curvadescripta por la barra libre vendrn dada por las expresiones (aa42) y (aa44). 7,8 En laprctica, para describir analticamente la forma de una barra de longitud 2L y flecha 2f, que por lo general son las magnitudes que fcilmente se pueden se controlar y sirven de vnculos fsicos del problema, se puede proceder de la siguiente manera: usamos las ecuaciones (aa45) y (aa46) para encontrar una relacin matemtica entre las variables f/L como funcin de . Puede resultar til generar un grfico de f/L como funcin de .

f2 E(k,/ 2)

con

k sin(

/ 2 / 4)

(aa47)

10LK (k,/ 2)

Elstica - Fleccin de una barra1.0

0.5

0.0f/L

-0.5

-1.0

-90 -70 -50 -30 -101030507090(grad)

Figura xx.7: Grfico de f/L como funcin del ngulo 0 segn la relacin universal (aa47)

A partir del grfico o la relacin matemtica (aa.47), obtenemos el valor de , como funcin de los valores observados de f/L.

Con el valor encontrado de , utilizando las expresiones (aa42) y (aa44) podemos obtener al ecuacin paramtrica de la forma de la elstica. Adems podemos utilizar la expresin (aa45) para expresar =K(k,/2)/L. De este modo obtenemos:

x()

y

LK (k,/ 2)

2E(k,) K (k,),(aa48)

u() u0

z()

LK (k,/ 2)

2

sin0

sin0

sin,(aa49)

que puede comparase con los valores medidos de x(z) para la elstica de una barra de longitud 2L y flecha 2f.Es interesante notar que la relacin f/L y la forma de una barra de una dada longitud L y un dado valor de f es universal, igual para todas las barras. Adems hay un factor de escala universal, que relaciona la fuerza F con la rigidez de la barra dada por E.I, que se combinan para producir un dado valor de . segn la expresin (aa36)

Vibraciones transversales de una viga

Como vimos anteriormente, la ecuacin de movimiento de una barra, para pequeas amplitudes, viene dada por le Ec. (aa21). Mas especficamente, si las barra vibra en ausencia de roce o friccin, sin una fuerza impulsora, el movimiento de vibracin libre viene dado por la ec.(aa21), con las condiciones de borde adecuadas para cada caso especial. Si la barra vibra, como es usual en un medio viscosa, aire, agua, etc. o debido a fuerzas de friccin internas del material, la ecuacin de movimiento ser:

E I

y A

y b y

(aa47)

x z 442

t 2t

y definiendo

c2 E I x

b

0A y

E I x

(aa48)

la ecuacin (aa47) se transforma en:

y 1420

y y 0

(aa49)

z 4c

2 t 2t

yxA) B)z

Figura xx7. Barra de longitud L, soportada por una morsa y con el otro extremo libre. A la izquierda con una sobrecarga en su extremo y a la derecha sin sobrecarga y vibrando.

Vibraciones forzadas de una barraLa ecuacin de movimiento de una barra con vibracin transversal, cuando existen fuerzasde friccin (internas del material o externas, p.ej. medio viscoso), caracterizada por un coeficiente de friccin b (por unidad de longitud) y adems existe una fuerza impulsora F(z,t) por unidad de longitud (direccin z), la ecuacin de movimiento (aa46) o (aa47) de transforman en:

4 yE I x 4z

2 yA t 2

b yt

F (z,t)

(aa50)

Barra empotrada con un extremo libre

Un caso de inters practico es la forma que toma una barra de longitud L soportada por una morsa y de la que pende una sobrecarga m de su extremo como se ilustra en la Figura xx7.A). La funcin que describe la fuerza por unidad de longitud se puede escribir, usando la notacin (x) para describir la funcin delta de Dirac, como: F(z)=m.g.(x-L). Integrando la ecuacin (aa50) obtenemos la forma de la curva que forma la barra viene dada por la ecuacin:

cuya solucin es:

2 yz 2

m gE I x

(L z)

(aa51)

y(z)

m g

zz 2 (L )

(aa52)

2E I 3x

Si la barra vibra sin sobrecarga (es decir con su extremo libre) la frecuencia de vibracin se

obtiene a partir de (14) con la condiciones de bordes (y(z=0)=0,

y z

z 0

0 ,

2 y

z 2

0z L

y 3 y

z3

z L

0 ), la frecuencia fundamental viene dada por la

expresin siguiente expresin:6,9,10

f 0.28 1L2

E I xA

0.28L2

c0

(aa53)

Vibraciones de una barra con ambos extremos libresSimilarmente, para una barra con sus dos extremos libres, la solucin de (14) conduce a las siguientes frecuencia propias6,9,10:

f 1.7908 c

si n=1(aa54)

1L20y

1 2

1

fn n 2

c si n>1(aa55)2 L20

En presencia de roce o friccin, Ec. (aa49), las frecuencias se modifican ligeramente, si 0k es la frecuencia natural sin roce (Ec. 18,19, 20) y las correspondientes frecuencias con roce son k, entonces:

2 2

2

con

I x E

c2b 0 b

(21)

k0k

2 A 2

en esta ecuacin d representa el factor de atenuacin que determina como la amplitud de oscilacin decrece en el tiempo, o sea que para un dado punto de la barra, la oscilacin en el tiempo puede escribirse como:

y(z0 ,t) B(z0 ) exp(t) sin(k t (z0 )) ,(22) aqu, z0 indica la coordenada de la barra en la que se observa la oscilacin.Procedimientos y mtodos Arreglo experimentalProyecto 1.- Medicin del mdulo de Young de alambres de

cobre, acero, etc. por mtodo de carga y descarga.

Equipamiento recomendado: Alambre de cobre esmaltado de espesores entre 0.20 a 0.35 mm. Un potencimetro, un sensor de fuerzas y una sistema de adquisicin de datos por computadora.

Fm

Potencimetro H0

hFS

F h H0

Fm

F

l 1 d 2

Figura xx8. Alambre de longitud L, soportado por una barra vertical libre de rotar y ligada a un sensor de fuerza. La fuerza medida por el sensor de fuerza Fm se relaciona con la fuerza F que tracciona el alambre. Un potencimetro mide el ngulo de rotacin de su eje, que suponemos tiene dimetro d. La fuerza F puede aplicarse colgando pesos del extremo del alambre.

Hay muchos modos de realizar este experimento, una posible realizacin se ilustra en la figura xx.8. Esta realizacin es susceptible de implementarse usando un sistema de adquisicin de datos asociado a una computadora. De este modo se puede medir l como funcin de la fuerza aplicada F. Como suponemos el dimetro del alambre conocido (se puede medir directamente) como la longitud L, este dispositivo nos permite en principio estudiar la relacin entre la deformacin unitaria del alambre =l/L y el esfuerzo =F/(). Usando el dispositivo experimental de su eleccin, estudie la relacin entre como

funcin del esfuerzo para varios dimetros de alambres del mismo material. Para cada dimetro grafique para de Es posible graficar todos los alambre de mismo material en un mismo grafico de en funcin de ? de ser este ltimo el caso, que puede concluir de este estudio? Es la relacin entre y lineal? A partir de su estudio obtenga el valor de la pendiente del grafico de en funcin de

Como se compara el mdulo de elasticidad E obtenido de su estudio con los valores conocidos para estos materiales. Para uno de sus alambres estudie la relacin de en funcin de tratando el alambre sobrepase el limite de fluencia. Grafique la relacin entre y para la carga y la

descarga del material. Son la trayectoria de carga y descarga idnticas en este caso?

Observa deformacin perramente despus de traccionar el material?

Proyecto 2.- Medicin del mdulo de Young de barras por mtodo esttico- Deflexin de barras. Medicin cargas y flecha.

Equipamiento recomendado: Barras de aluminio, bronce, hierro o acero de aproximadamente 1 m y seccin transversal uniforme. Las dimensiones y forma pueden variar, pero secciones rectangulares de 12x2 mm pueden ser adecuadas. Tambin barras de secciones circulares de dimetros de 8 a 15 mm pueden servir para este experimento. Una vez implementada la tcnica, claramente la misma se puede usar para estudiar otras muestras de caractersticas similares a las sugeridas. Para este proyecto se requiere dos reglas milimetradas u opcionalmente un comparados micromtrico.

yxA) B)z

Figura xx7. Barra de longitud L, soportada por una morsa y con el otro extremo libre. A la izquierda con una sobrecarga en su extremo y a la derecha sin sobrecarga y vibrando.

Proyecto 3.- Medicin del mdulo de Young de barras por mtodo esttico- Deflexin de barras. Determinacin de la forma mediante fotografas digitales cargas y flecha

Equipamiento recomendado Barras de aluminio, bronce, hierro o acero de aproximadamente 1 m y seccin transversal uniforme, similares a las usadas en el proyecto anterior y una cmara digital o webcam para obtener una imagen digitalizada de la barra.

Proyecto 4.- Medicin del mdulo de Young de barras por mtodo dinmico- Deflexin de barras. Fotointerruptores.

Equipamiento recomendado: Barras de aluminio, bronce, hierro o acero de aproximadamente 1 m y seccin transversal uniforme, similares a las usadas en el proyecto anterior y un fotointerruptor conectado a una computadora.

Proyecto 5.- Medicin del mdulo de Young de barras y tubos por

Estudio de la flexin de una viga y la elstica de una barra- S. Gil 200417

Equipamiento recomendado: Tubos huecos de bronce acero o aluminio de espesores entre 0.1 a 2 mm y de varia longitudes entre 10 a 90 cm. Un micrfono conectado a una computadora con tarjeta digitalizadora de sonido o bien y un micrfono conectado a un sistema de adquisicin de datos por computadora.

Estudio de la flexin de una viga y la elstica de una barra- S. Gil 200418

mtodo dinmico. Sonido emitido por la muestra al ser golpeada. Grabacin del sonido- Sound card.

Proyecto 6.- Determinacin de la fuerza critica de pandeo de una viga.

Equipamiento recomendado: Alambre de cobre esmaltado de espesores entre 0.15 a 0.25 mm. Un potencimetro, un sensor de fuerzas y una sistema de adquisicin de datos por computadora.

Proyecto 7.- Determinacin de la forma de una barra para grandes curvaturas.

Equipamiento recomendado: Barras de aluminio, bronce, o de plstico flexible de aproximadamente 50 cm a 90 cm y seccin transversal uniforme. Lo importante es que estos barras o flejes se puedan doblar sin presentar deformaciones permanentes. Cmara digital o webcam para obtener una imagen digitalizada de la barra deformada. Si no se dispone de una cmara digital se puede usar un lpiz para registrar la forma de la barra deformada sobre un papel milimetrado.

Referencias

1. S.P. Timoshenko, History of strength of materials (Dover, N.Y. 1983) pp.28-40.2. P. A.A. Laura y M. J. Maurizi, Introduccin a la mecnica de los slidos, Eudeba, Buenos Aires 1979. pp. 249-2563. M. Abramowitz and I.A. Stegun, Handbook of mathematical functions with formulas, graphs and mathematical tables (NBS 1964) pp. 591-592 (www.convertit.com)4. F.V. Warnock Strength of materials Sir Issac Pitman &Sons, London 19355. Nash, W.A.: Strength of Materials, Schaums outline series, 2nd edition, McGraw-Hill, INC, N.Y. 19986. Seto W.W.: Mechanical vibrations, Schaums outline series, McGraw-Hill, INC, N.Y.1970. (Vibraciones Mecnicas Mc Graw-Hill NY 1970 )7. A. Valiente, An experiment in nonlinear beam theory Am. J. Phys. 72, 1008 -1012 (2004).8. Th. Hopfl, D. Sander, and J. Kirshner,, Demonstration of different bending profiles of a cantilever caused by a torque or a force Am. J. Phys. 68, 1113 -1115 (2001).9. Introduccin a la Teora de las Vibraciones Mecnicas - F. L. Babio y H.M. Corts - Ed.Labor S.A. Barcelona 197010. Matemticas superiores para Ingenieros y Cientficos L.A. Pipes - Mc Graw-Hill NY 197011. A Student Project on Wind Chimes G.W. Baxter and K.M. Hagenbuch Phys. Teach.36, 204 (1998) y Phys. Teach. 36, 209 (1998)12. Manual del Ingeniero - Htte - Ed. Gustavo Gili S.A. Barcelona 198013. Handbook of Chemistry and Physics CRC - Lide, D.R. (Ed.) - Springer - 80th ed. 199914. Manual de Fsica Elemental N.I. Koshkin y M.G. Shirkvich MIR Mosc 1975

Experimentos:1. Medicin del mdulo de Young de alambres de cu, al, etc. por mtodo de carga y descarga.2. Medicin del mdulo de Young de barras por mtodo esttico- Deflexin de barras. Medicin cargas y flecha3. Medicin del mdulo de Young de barras por mtodo esttico- Deflexin de barras. Determinacin de la forma mediante fotografas digitales cargas y flecha4. Medicin del mdulo de Young de barras por mtodo dinmico- Deflexin de barras. Fotointerruptores.5. Medicin del mdulo de Young de barras y tubos por mtodo dinmico. Sonido emitido por la muestra al ser golpeada. Grabacin del sonido- Sound card.

Estudio de la flexin de una viga y la elstica de una barra- S. Gil 200420

6. Determinacin de la fuerza critica de pandeo de una viga.