flexion vigas-1
TRANSCRIPT
This is the demo version of PDF-to-Word. It replacesrandom characters in the destination document withasterisks. Click the link below to order full version:
http://www.avanquest.com/redirections/intelligentconverters/pdftoword_AQUK.htm
3. FLEXIÓN E * VIGAS RECTAS
3.1.- Conceptos Bás*cos
Una vig* se encuentra sometid* a *l**ión Pura cuando el *o*en*o Flector es la ú*ica fuerz* al int*rior de la sección.
Ejemplo:
Una viga simple*ente ap*yada de luz "L" y solicitada por dos *a*gas "P", ubic*da* a una d**tancia "a" de cad* *no de los apo*os.
Calculem*s las *e*cciones e* los apoyos y a **ntin*ación los *iag*amas d* e*fuerzo* internos (N,Q y Mf).
Equi*ib*io:
i)
Fx 0
AH
0
ii) Ma *** Pa P (
a )
DV
P
i*i)
Fy 0
AV
DV
2P
AV P
*sfuerzos *nternos:
Eq * ilibrio:
i) *y 0*y ( x) PP Qy
( x) * * xa
ii) Mo
* Mf
*x P ( x a ) M f ( x)
Pa a *a
** Tramo BC *e encuentra en Fl*x*ón Pura.
Un* viga se encu*ntra en Flexión Co*pue*ta, cuando el M*men*o F*ecto* está acom*añ*d* por un esf*erz* Normal, para pr*ducir una fuerza al interior de *a sección.
3.2.- Fle*i*n *i*pl*
Se di*e qu* *a Flexión es Simp*e *uand* la deforma*a del eje ** l* barra es una curva conte*ida en *l *lano de la* *o*ici*aciones.
*i el plano d* *as solic*tacion*s pasa por *no de *os ejes pr*ncipale* de ine*cia de la s**ción tran*versal, entonc*s la *l*xión se denomina Sim*l* ó Plana.
*.2.1.- Hipó**sis Fu*damentales de la Teor*a de la **exión
i.
ii.
iii.
iv.
A*alicemo* *na p*qu*ñ* *orción de* tramo *entral d* viga someti*a * Flexió* Pura
Existe una sección "c" *e*t*o de la viga q*e no se acorta ni *e **a*g*, *s decir, e x = 0, ta* como lo muestra la *ig*ra ad*unta.
3.2.2.- *cuacione* Básica*
La ecuación (1) representa el Giro Relat**o entre dos secc*ones
1
ddx d
(1) dx
Determina*e*os la def*rmación u*i*a*ia de una fibra a una distancia "*" con resp*c*o al Eje Neutro.
abf
ab*
(
dx
y )
d
x
a*f
x
( y )
d
dx
dx con dx d
x
y(2) *cua*ión de Comp*ti*ilidad
Con*iderando u* materi*l *n r**go l*n*a* *lástic* (Ley *e **oke)
*y E
(3) *
x
*
Ecua*ión d* Tensiones
*o** el Módu*o de El*sticid** d*l material *s constante y su radio de c*rvatura, también lo es, se puede seña*ar que:
y k* y cte.* y x
x
Donde:
1: Cur*atura del Eje Neutro (E.N.)
Por lo tant*, se pue*e señalar que las defo*maciones *nit*rias n*r*ales * las tensiones normale* *arí*n linealme*te con la dist*ncia "y", siendo máximas en las fibras ext**mas.
Veamos como va*ía el radio de curvat*ra con *as diferentes tip*s de momentos Flectores.
3.2.3.- Ec*acione* de E*uilibrio
i) Fx
0 F
x F
x
dF
x *
xdA 0 A
x*A E y d A 0
A
Se* Sz, el momen*o est*tico *e la se*ción con respecto al ej* "z":
Sz
ydA 0 (*) A
La ecuaci*n (*) i*dica que la Lí*ea Neutra en la Flexi*n pasará por *l Centro de Gra*edad de la Secc*ón.
ii) Mz 0 Mz
F
x
ydFx A
* *dA M z ( x) E y2dA A
*ea Iz, el momen*o de inercia de la secc*ó* con re*p*cto al eje "z":
Iz A
y2dA M z ( *)
EI z (4) M z ( x)
E*
z
1(5)
De la ecuación (*) y (3) s* p**de obtener:
xM z ( x)
* Iz
(6) Ec*ación Fun*amenta * de la Flexión (Navier)
En *a f*g*ra s* aprecia q*e las tensiones v*rí*n lin*almente con *a d*stan*ia "y", teni*nd* tracciones par* *as dista**ia "y" positivas * c*mpresione* par* la* *istancias "y" nega*i*as.
iii) My 0 My zdFx
z xdA My E *z d A 0
Fx A
A
Iy*
Sea Iyz, el Pro*ucto de I*ercia de la *ec*ión:
*zdA A
D*bido a que Iyz = *, los ej*s "z" e "y" deberán ser Ej*s Pri*ci*ale* de Inercia d* la secc*ón y e* M*mento Flect*r *eb*r* enco*trarse en *l plano qu* pasa po* uno de ést*s ejes.
My M x (Torsor) 0
N Q y *z 0
Se defin* Wz, como e* Momento Resistente de ** sección con *especto *l eje "z"
I z máx M z y máx Mz
Wz
ymáximo x Iz *z (7)
Ejemplo:
*na vig* *im*lemente apoya*a de luz *,* *. se enc*entra so*icitada por una ca*ga un*f*rmemen*e *ep*rti*a de 2,* t*n/m. Si la sección de la viga es tria*gular de base 2* *m. y altura 30 cm. Se *ide determi*ar l*s Máxi**s *ensiones N*rmales qu* se desarrollan *n l* viga y el lugar donde ocurr*n. In*icació*: El plano de c*rga coinci** con el e*e de Sime*ría de *a sección.
Solución:
i. El Plano de *arga p**a por el Cent*oide y *o***i*e *on el *j* de Sim*tría de la Se*ció*.
ii. ** Eje "y" por se* de Simetría es un Eje Principal *e I*er*ia.
iii. De i) y ii) se deduce que la *lexión es Si*ple.
1.- Cálculo del Mome*t* Má*imo:
*ramo AB 0 x
M * ( x)
q * qx2
* 2*,*x x2 dM z (x)
dx q q x *, 0 *x 2
0
x
2 Mmáx M z (x
) 2
q2
8 M*áx 6,25 ton - m Mmáx
6,25x*05 *g/*m 2
2.- Cál*ulo *e Inercia:
** y2*A * bh 3
15000 c*4
*6 A
3.- Cálculo de las *ens***** Normal*s Máximas:
Determinare*os las tensiones normales al centro de ** luz de la vi**, q*e es la s*cción do*de *cur*e ** Momen*o *lector **ximo.
xM z ( x)
y
*,25x105 y 41,67 y máx T
x ( y *0) 416,67 kg/c* *
Iz *5*00
m*
x
Cx (y 20) 833,33 kg/cm *
3.3.- Flexió* Comp*esta
La Flex**n Compuesta *curre, como y* se señalo, c*and* ad*c*on*lmente al Momen** F*ector existe u* E**uerzo N*rmal *ctu*nte en l* Secc**n.
*ara calcul** la dis**ibución de Tensione* Normal*s d*bido a la F*exión Compuest*, utilizare*os el Princi*i* de *upe*posició*.
x ( y) 1
) x
(* Flexión Pura
*
) *
(y **mpresi*nPura
Para Flexió* Pura:
x
*( y) Mz * Iz
( y) N Mz y
Pa*a Carg* A*ia* *ura: x * Iz (8)
x
2 ( y) N
A
Nota:
El Eje N*utr* no coincide co* e* Cen*roid* * las distan*ias se **man d**de el Cen*r* de *r*vedad. La distancia "d" *e puede obtener h**i*ndo σx = *
3.3.*.- Ecu*ci*nes de Equil*br*o
i ) *x 0 N
F
x
*F
x A
***
ii) Mz 0 Mz
*x
ydFx A
y xd*
Obs*rvación:
El Eje Neutro no coincide con el Centro *e Gra*edad de la sección, puesto que:
*A N
0x
A
Veamos que ocur*e si la fuerza "N" es de Tr*cción y e* Momento Flector "M*" es **gativo (*o*o vect*r en la d*rección *os*t*v* del e*e "z").
Ejemp * o:
Un* v*ga co* un extremo empot*ado y el otro en *olad**o de l** 5,* m. se **cuentr* s*licita*a por una carga pu*ta* exc*nt*ica 5* to*. Si la sección de la viga es un perf*l "I" d* *l*s iguales de 30x*0*15 cms., tal **mo lo muestra la f*gura adjunt*. Se pide determi**r las Má*im*s *ensi*nes Nor*al*s *ue se de*arrollan en la vig* y el lug** donde o**rren. *ndicación: *l *lano de c*rga coinci*e con el ej* de *imetría d* la secci*n.
Sol*c*ó*:
La carga "*" al estar ex*éntr*ca me genera un Momento Flecto* c/r al eje "z", al *es*laz*r la *arga al ce*troid* (Resu*tante de un Sistema de Fuerzas Copl*n*res)
La secció* es Simétrica, ent*nces e* *je "y" e* Principal y el P*ano *e carg* *oincide con el eje *rin*ipal, po* *o que la Comp*nente de la *lexión es Simp*e.
*a Distribuc*ón d* T**siones N*rmales viene dada *or:
x ( y) N
AMz y *
z
x ( y) P
*Pe * Iz
(*)
L*s Propiedade* de l* *ecc*ón son:
Reemplaz*ndo los *atos *n la ec*a**ón (*):
Iz 506.250 cm4
A 1.350 cm2
e 15 cm
( y) 37,03 1,48y x
*ensiones *ormales *áxim*s en las Fi*r*s Ex*remas:
máx *
x ( y 30) 7,4* kg/*m 2
má* *
x (y 3*) 81,43 kg/cm 2
L* que s* de**laza e* E*e Neutro s* ob*iene de: ( y) 0 x
( y) 37,03 1,48y 0 y 25,02 cm x
3.4.- Flexión De**i*da
La Flex*ó* Desv*ada ocurre si la def*rmada de la vi*a no e*t* con**n*da en uno de los p**no* principa**s *e l* s*cción.
A c*nti*u*ció* reco*daremos *os con*eptos de Ejes Princip*les de Inercia *e una Sec*ión.
3.4.1.- Ejes P*incipale* de una Se*ción:
Mo**ntos de Inercia */r a l*s Ejes Z-Y:
Iz
*y
Iyz
A
A
A
y2dA
z2d*
yzdA
Moment*s de In**cia c/r a los Ejes u-v:
Iu
Iv
Iuv
A
A
v2dA
u2dA
u vd A A
Rotación d * * jes:
u * cos *sen
* zsen
y cos
En forma Matricial:
*
cos
se*
z
vn o y s e c s
R
Reemplazando en el valo* de l*s M*men*os d* Inercia* de los ejes rotad**
Iu v2** ( *sen y co* )2 dA (z2sen2
2z**en *os y2 cos2 )dA
* A
A
Iu
Iv
Iuv
I *sen2
I y cos2
Iz I*
2
Iz cos2
I z se n 2
*en2
I yzsen*
I yzs*n2
I yz cos 2
(9)
(10)
(*1)
Al hacer *ari*r el ángulo a, *as magnitu*es de Iu, Iv e Iuv t*mbién va*ían.
*as ecuaciones (9), (10) y (1*), son las *cu**io*es de Tr*ns*ormación de
M*men*os de Inercia y corr**ponden a ecuaciones *ar*métricas, cuyo parámetr* es el á*gulo α.
El m*xi*o Momento de In*rc*a se obtiene derivando la ecuaci*n (9) con *esp*c*o al p**ámetr* e *gu*lando a cero.
** máximo ocurre cuando:
*Iu
*(I y Iz )sen(2 ) 2I yz cos(2 )
2I
*z
*
tg(2 p ) (I y Iz ) (12)
El subínd**e "*" i*dica que e* *ngulo * define la orie*ta*ión de lo* planos pri*cipa*es.
Para el ángulo αp obtenido de la ecuación (12), las expres*on*s de I* e Iv al*a*zan valo*es *xtremos.
Al igual q*e las te**iones y las defor*a*iones, *as Ecuacione* de transfo*mació* de Momen*os de Inercias pue*en s*r *ep*esentadas e* u* Círculo *e Mohr de Inercias.
Con*ición para Ejes Princip*le* de I*er*ia
Iu
Iv
Iuv
*áximo
Mín*m
o
es *ulo
3.4.2.- Flexión Desvi*da
(u,*) ejes Principales d* In*rcia
Obse * va * iones:
1. Si un Eje es de Simet*ía en l* sección, entonces el eje es princip*l, puesto que la *i*et*ía indica necesa*ia*ente que e* ej* es centroidal.
*. Si el **a** de carga es de simetría, ento*ces la Flexión e* Simple.
3. La condición anterior *s s*ficient* pero no necesaria, en efecto, el pl*no de ca*ga p*ede no s** de s*metría y *a *lexión *s s*mpl*, puesto que *in eje e* p*in*ipa* no necesariamen*e es por ser de si*etría.
En este caso, el Plano *e *arg* no es de *ime*ría, p*ro pasa p*r un Eje P*i*cipal de Inercia, por lo que la Fle*ió* e* Sim*le.
3.4.2.1- Análisi* General de la *le*i*n D*svi*da
S* *et*rmina el M*men*o Flector que gener* la solicitación. El Plan* *onde actú* el Momento Fle*tor ** "*erpendi*ul*r" al Plano de las Sol*citaci*nes.
Para de*erm*nar *l M*mento F*ecto* que actúa en los Ej*s Principales de Ine*cia, exi*ten do* alternativas:
i.
ii.
Pro*ectar el Momento Flector (M) a l*s Ejes "Z" e "Y" * determinar los Mo*entos Flecto*es "M*" y "My". * con*inuación, a **avés de la Matr*z de Rotación para el est*do Plano, pr**ect*r los Mom*ntos "Mz" y "My" * lo* Ejes "u" y *" y deter*inar los momentos "Mu" * "Mv".
Mu cos α senα M z
M* senα co* α M *
*ro*ect*r el M**ento Flector (M) a l*s Ej** "u" e "v" y determinar los Momentos Flecto*es "Mu" y "Mv".
Se calcula* la distribu*ión de las T*nsiones Norm*l*s como:
Fle*ión B**xial x (*, v) *u v
Iu
M* u Iv
(13)
3.4.2.2- Ecuación Gen*r*l ** ** Flex*ón
Para determinar *a distr*bu*ión de las Tensione* Norm*l*s en la sección, se realiza *e l* misma ma*er* *ue p*ra la Flexión Biaxial, co* la sa*v*dad que se le adiciona *a comp*nent* del Esfuerz* A*ia* (*), el qu* deb* estar ubicado en el Centroide de la Sec*ión.
x* Iu
Mv u Iv
(14)
NF*exión *iaxial Compue**a (u, *) Mu v
Ejemplo:
Un* viga con un extr*mo empotrado y el otro en vol*dizo ** luz 20,0 m. se encuentra solici*a*a po* una ca*ga puntal excéntrica de * ton y una c*rga uniformemente **stribuida *e 15 kg/m. Si la sección de la viga es un pe*fil "Z" de alas desiguales, ta* como lo muestra la figur* adjunta. Se pide determ*nar la* Máximas Tens*o*e* **rma*es q*e se desa*rollan en la viga y el lugar donde ocurren. Indicac*ón: *l plano de carga distri*ui*a coincide con el eje "y" de la se**ión.
Sol **** n:
*a carg* "P" *l es*ar excéntric* *e genera M*mentos *lector*s c/* a los eje "z" e "y", al *esplazar la carga al Cen*roide.
*a c*rga uniformemen*e distri*u*da me g*nera un Momento *lector c/r al eje "z".
Los Ejes "z" e "y" no son Ej*s Pri*cipa*es de I*erc*a, entonces s* desarro*la *lexión Desviada.
La D*stribución de Tensiones *orm**es viene dad* por:
*.- Cálc*lo *e *e*tro*d*s:
x (u, v) N
AMu v Iu
*v u Iv
Element* *i zi yi *i*zi ***yi Ai*zi*yi 12*
100 125 50
*0 2 ,5 1 7 ,5 1 7 ,5 20 3 2 ,*
1000 2 1 * 7 ,5 100*
250 2 1 8 7 ,5 1625
2500 3 8 2 8 1 ,2 5
*2**0 = 275 4 1 8 7 ,* 4 0 6 2 ,5 * 3 2 8 1 ,2 5
A* yi Ai
*i * 14,773 cm
z 15,227 cm
Ai
Ai
2.- Cálc*lo ** *nercias:
Base Altura *rea Centroides
Elem*n*o bi
Ine *zi
ias *e**ro*d Iy i
a le *
Iziyi 1 *0 5100
1 5 2 7 0 ,3 1 7 7 * 4 0 ,1 6 9
1 5 * 1 6 ,9 7 7
6 0 6 5 ,7 7 1 9 * 6 ,0 7 8
1 * 5 * ,* 1 3
-19994,835 1 0 1 6 * ,7 0 7 2 1 * 5 * ,5 8 3
= 3 8 5 2 7 ,4 6 2 8 5 * 7 ,4 6 2 1 1 * 2 0 ,4 5 5 rc
I
*
Iy
3
i1
3
i1
3
I
zi
I y
i
*
i1
3
i1
3
bihi3
12
hibi
3
12
( y yi )* Ai
(z zi )2 Ai
I yz
i1 I
yi zi
i1
Ai (z*
yi
z y)
2.1- Inercia* Princi*ales:
2I
*z tg(* )
0,761 18,642
p(I y
*z )
Iu
I
*s*n2 ( 18,642 ) *
z cos2 ( 18,642 ) I
yzsen2( 1*,6*2 ) Iu
42.3*0,23 c*4
3.- Cálculo *e Moment* Flec*o* Máximo d*bido a *a ca*ga "q":
Tramo AB 0 x 20,0 m.
M qz(*) q*2
2*,0075 x 2 x M*áx M q*(x )
q2
2M*áx
3,00 ton - m
4.- Proyección d* Mo*entos Flect*r*s a lo* Ejes Pr*nc*pal*s:
Determinemos los *omentos Flectore* en los Ejes "z" e "y"
*2
Mz Mq M pz Py 2,261 *on - m
2
My
M py
Pz 0, * 6 * ton - m
A través de *a Matriz de R*tac*ón determi*emos ** y Mv.
Mu cos( 18,642 ) sen( 18,642 ) * z Mu 1,899 to* - m
Mv se*( *8,642 )
*os( 18,642 ) M y M v 1,*44 ton - m
Nota: Si *tilizamos descomposición de vec*ores, utilizare*os a en Valor Absoluto. Si lo hacemos con la matr** de r**ación lo haremos con si*no.
* *u v
Mv * x
(u, v)
A
N
Iu
Mu v
Iv
(u, v)
Mv u x
AIu
Iv
( u , v ) 18,18 4,481 v 30,890 u x
Para determinar la* Te*s*one* Normales Máxi*a*, es compli*ado *tilizar la ecuación anterior en e* sistema "u-v", por lo que nos devol*emos a* s*s*ema "z-y" a tra*és *e:
u cos( 18,642 ) sen( 18,6*2 ) z
v sen( 18,64* ) *os( 18,642 ) *
(z, *) 18,18 27,837* 14,12* *
5.- Cálculo del Eje Neu*r*:
( z, y ) 18,18 27,837z 14,12y 0 x
y 1,*71(z-*,653 ) Ec. Eje Neutro
tg m 1,972 6*,104
b -*,288 cm (i*tersec*ión eje ordenado)
6.- Tensiones Normales Máximas:
Máxima Tracción en el P*nto A
Máxima Compre*ión en e* Pu*to B
y
z
*
y
*,*7 c*
14,7* cm
0,23 cm
20,23 cm
A
B
323,16 kg/cm 2
310,*3 kg/c* 2