fixpunktmengen von kontraktionen in endlichdimensionalen normierten räumen

PETER M. GRUBER

F I X P U N K T M E N G E N VON K O N T R A K T I O N E N

IN E N D L I C H D I M E N S I O N A L E N N O R M I E R T E N

R A U M E N

Herrn Prof. Dr. Edmund Hlawka zum 60. Geburtstag gewidmet

1. E I N L E I T U N G

Es sei L ein reeller, linearer Raum. Im Rahmen der Untersuchung yon Fixpunkteigenschaften yon Abbildungen yon L oder Teilmengen yon L nach L sind in den letzten Jahren die beiden folgenden Probleme mehrfach untersucht worden:

1. Es ist die Menge aller Paare (11 IE, F) genau zu beschreiben, wobei 11 II eine Norm auf L i s t und F c L die Menge der Fixpunkte einer passenden Abbildung f yon L in sich. Von f wird dabei verlangt, daB fiir x, y s L stets I l f (x)-f(y) l l - IIx-Yll gilt, kurz, fsoll II ll-kontrahierend oder nicht expansiv beziiglich der Norm II II sein.

2. Es ist die Menge aller Paare ([I II, R) anzugeben, wobei II II wiederum eine Norm auf Lis t und R c L ein [I [l-kontrahierender Retrakt von L. Das heiBt, es gibt eine II II-kontrahierende Retraktion yon L auf R.

Mit den Arbeiten [1], [2], [3] hat Bruck wichtige Beitr~ige zum ersten Problem geleistet und Verbindungen zwischen den beiden Probtemen aufgezeigt. Das zweite Prob!em haben Busemann und Feller [7], Sch~iffer [19], de Figueiredo und Karlovitz [9], [10], Karlovitz [15], Reich [18], Bruck [2], [3], Thiele [23] und Gruber [12] untersucht. Anwendungen verschiedener Resultate aus den beiden Problemkreisen findet man bei de Figueiredo und Karlovitz [10], [11], Karlovitz [15], Reich [17], [18] und Bruck [2], [5].

Nach Bruck [2] stimmen die L6sungen der beiden Fragen sicher dann iiberein, wenn die Dimension d yon L endlich ist. Abgesehen yon den trivialen F~Ulen d=0 und 1 sind die Fragen allerdings fiir keine einzige Dimension gel6st. Dagegen sind bei Einschr~inkung auf konvexe F u n d R fiir d=2 die L6sungen bekannt. Nach Karlovitz [15] und Bruck [3] ist nfimlich im Falle d= 2 jede abgeschlossene, konvexe Menge _R c L beztiglich jeder Norm 11 II auf L ein 11 II-kontrahierender Retrakt yon L. Es zeigt sich sogar, daB die dabei verwendeten Retraktionen r so gew~ihlt werden k6nnen, dab f'tir alle x e L und 2eR + gilt r(x)=r(r(x)+Z(x-r(x)). So ein r nennt

Geometriae Dedicata 4 (1975) 179-198. All Rights Reserved Copyright @) 1975 by D. Reidel Publishing Company, Dordrecht-Holland

180 PETER M. GRUBER

man aus naheliegenden Granden sonnenartig und R heiBt ein sonnenartiger Retrakt (vgl. insbesondere Reich [18] und Bruck [3]).

Im zweiten Abschnitt dieser Arbeit geben wir die L6sung der beiden Probleme fiir den Fall d= 2 an. Es erhebt sich die Frage, ob die dabei auftretenden Retraktionen nicht in besonders einfacher Weise gew/ihlt werden k6nnen. Wie sich zeigt, lassen sie sich immer sonnenartig w/ihlen. Ferner kann man die genauen Bedingungen dafiir angeben, warm sie als metrische Projektionen oder als Radialprojektionen gewiihlt werden k6nnen. Unter einer metrischen Projektion von L auf R c L im Sinne der durch die Norm 11 [l bestimmten Metrik auf L, kurz IJ []-Pro]ektion, versteht man eine Retraktion r von L auf R mit der Eigenschaft: Far alle x e L gilt ilr(x)-xl] =inf{]Jy-x[i ]y~R}. ~ber ][ II-Projektionen existiert eine ausgedehnte Literatur. In unserem Zusammenhang vgl. Busemann und Feller [7] und de Figueiredo und Karlovitz [10]. Ist R = L eine Sternmenge in bezug auf den Ursprung o von L, deren Durchschnitt mit jeder Geraden durch o abgesehlossen ist, dann ist die Radialprojektion r von L auf R in folgender Weise definiert: Far x e R ist r(x): =x und fiir x e L \ R ist r(x) der Punkt von R auf der Geraden dutch o und x, der x am niichsten liegt (vgl. Schiiffer [19], de Figueiredo und Karlovitz [9], Thiele [23] und Gruber [12]).

Im dritten Abschnitt geben wir unter Beschr/inkung auf streng konvexe Normen die L6sung der besprochenen Probleme fiir den endlich-dimen- sionalen Fall an. Ein wesentliches Hilfsmittel ist dabei der Begriff des Banachschen Mitte]s. Fiir diesbeztigliche Hinweise danke ich Herrn Prof. Pelczynski sehr herzlich. Der ursprangliche Beweis beschr/inkte sich auf streng konvexe, glatte Normen.

Falls nicht anders angegeben, sei L im folgenden stets endlich-dimensional und mit der fiblichen Topologie versehen. Ist [I [1 eine Norm auf L, dann nennen wir eine Jordankurve in L, die zwei Punkte p, q verbindet, eine 1] lI-Strecke mit den Endpunkten p, q, wenn ihre L/inge gleich liP-q[[ ist. Die Lfinge soll dabei mit Hilfe der Norm II 11 bestimmt werden. Eine Menge A =L beige ferner [I ll-konvex, wenn je zwei ihrer Punkte dutch eine II H- Strecke verbunden werden k6nnen, die ganz in A liegt (vgl. [6], S.27ff.). Ist B ~ L , dann bezeichnen wir mit clB, intB, bdB, convB und linB den Ab- schluB, das Innere, den Rand und die konvexe und die lineare Halle von B. Far B ~ C~-L bezeichne relintcB das Innere yon B in der Relativtopologie auf C.

2. D~R FALL d=2

SATZ 1. Easei d=2, II ][ eine Norm auf L und F c L . F i s t genau dann die Fixpunktmenge einer It [I-kontrahierenden Abbildung yon L in sich, wenn F

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abgesehlossen und II [[-konvex ist. Ist F abgeschlossen und 11 [I-konvex, dann ist F ein sonnenartiger, I1 [I-kontrahierender Retrakt yon L.

Eine genaue Beschreibung der abgeschlossenen, II [I-konvexen Teilmengen yon L entnimmt man den Hilfss~itzen 1 und 2 und der Aussage (5). Aus dem Beweis des Satzes 1 liest man ohne gr6Bere Schwierigkeiten ab, dab die dort konstruierte Retraktion als [[ [I * -Projektion gew/ihlt werden kann. Dabei ist 11 l[ ~ eine aus 1[ I[ gebildete neue Norm auf L. Fiir konvexes F i s t das nach Karlovitz [15] schon bekannt. Wir geben nun an, wann es eine I[ H- kontrahierende 1[ [I-Projektion von L auf F gibt und ftihren dazu folgenden Hilfsbegriff ein: Ist 11 11 eine Norm a u f L und E:={xeLI [Ixll <__1} die zu- geh6rige Einheitskugel, dann nennt man zwei Geraden M und N durch o konjugierte Durchmesser yon E, wenn M parallel ist zu Sfiitzgeraden an E durch die Punkte von N n b d E und entsprechend flit N.

ZUSATZ 1. Es sei d=2 , I1 II eine Norm auf L mit der Einheitskugel E und R c L abgesehlossen und I[ I[-konvex. Dann gibt es genau dann eine (sonnenartige) [I I[-kontrahierende [1 [I-Projektion yon L auf R, wenn folgendes gilt: Zu jeder Geraden M durch o, welche parallel ist zu einer gew6hnlichen Strecke in L, die mit R genau die Endpunkte gemeinsam hat oder zu einer Sti~tzgeraden an convR dureh einen regul6ren Randpunkt, gibt es eine Gerade N durch o, so daft M und N konjugierte Durchmesser yon E sind (symboliseh: (H I[, R) ~ ~ ) .

In diesem Zusatz kann das Wort 'sonnenartig' nach Belieben gesetzt oder weggelassen werden.

Aus Griinden der Vollst~indigkeit sei das entsprechende Resultat ftir Radialprojektionen angeftihrt. Wit halten in L irgendein inneres Produkt und eine Orientierung fest. Fiir A c L bezeichne A * die zu A polare Menge, gedreht um o um ~/2 im positiven Sinne (vgl. [22], S. 76).

ZUSATZ 2 (Gruber [12]). Es sei d=2 , I[ I[ eine Norm auf L mit der Einheits- kugel E und R c L abgesehlossen, 11 [I-konvex und sternf6rmig in bezug auf o. Dann ist die Radialprojektion yon L auf R genau dann 11 N-kontrahierend, wenn entweder R---{o} oder R-=L oder R =~E ~ gilt m/t he R +.

Wir zerlegen den Beweis yon Satz 1 und Zusatz 1 in mehrere Schritte. Es sei d = 2 und 11 I1 sei eine feste Norm auf L mit der Einheitskugel E.

Man zeigt leicht (vgl. [6], S. 28 ft.):

Ist Se ine Kurve in L, die p, qEL, t) ~ q, verbindet, "~ so gilt: S ist eine I[ I[-Strecke~-S hat eine Para- meterdarstellung g: [0, II q - P II]-~L mit Ilg(~)- g(~) I1 - - IZ-N ft~r Z, ~ [ 0 , IIq-Pll]-

(1)

182 PETER M. G R U B E R

HILFSSATZ 1. Es sei p, qeL, p # q, und D sei der Durchschnitt yon E m i t

einer Stiitzgeraden an E dutch (q-p)/( l lq-pl[) . Ferner sei Seine dordankurve in L, die p, q verbindet. Dann ist S genau dann eine 11 II-Strecke, wenn gilt

x - - y x, y e S , x ~ y ~ - - e D oder e - D . (2)

Itx - yll

Beweis. O.B.d.A. sei p = o und Jlp-qll = 1. Wir w~ihlen in L eine Basis so, dab q = (1, 0) ist und D auf der Geraden {(1, ~2) I ~2 e R} iiegt. Offenbar gilt

x=(~e l ,$2 ) , Y = ( v l , v 2 ) e L , x # y = > )

[Ix - YI! = I~x - v i i / (3) • ~ ( x - y ) / ( l l x - YI[) e D oder e - D .

1. Es sei Seine [[ l[-Strecke und g: [0, 1]-~L eine Parameterdarstellung yon S, wie sie in (1) beschrieben ist. O.B.d.A. sei g(0)=o und g(1)---q=(1, 0). Ffir 2e[0, 1] gelten wegen (1) die Aussagen ][g(2)[I =2 und I[g(2)-qI[ = 1 - L Da die Gerade {(2, ~:2) [ ~2eR} die Kugeln 2E und q + ( 1 - Z ) E trennt, so muB g(2) auf dieser Geraden liegen. Das heiBt, es ist g(2)=(2, ~ ) ftir he[0, 1]. Ffir 2,/ze[0, 1], 2#/z, ergibt sich aus g(2)=(2, ~) , g(/t)=(/z, ~ ) und der aus (1) folgenden Beziehung Hg(2)-g(/0[]=12-/~[ nach (3) (g(2) - g(p))/(Hg(2) -g(#)[]) e D oder e - D. Damit ist (2) nachgewiesen.

2. Es gelte (2). Da S als Jordankurve stetig ist und o, (1, 0) verbindet, so hat S ffir ;re [0, 1] mit der Geraden {(2, ~2) ]~2~ R} mindestens einen Punkt gemeinsam. Wegen (2) kann S mit dieser Geraden nicht mehr als einen Punkt gemeinsam haben. Wir kSnnen also eine Funktion g: [0, 1]~L in folgender Weise definieren: Fiir 2e [0, 1 ] ist g(2) der Schnittpunkt yon S mit {(~, ~2) ] ~2eR}. Offenbar ist g(0)=o, g(1)=q und wegen (2) und (3) ist [[g(2)-g(/z)[I =1~-/~1 fiir 2,/ze[0, 1], 2#/z. g ist wegen (1) die Parameter- darstellung einer II I]-Strecke die o, q verbindet. Diese II [l-Strecke liegt in der Jordankurve S und hat dieselben Endpunkte wie S. Das heiBt, die beiden Kurven stimmen iiberein. Damit ist S als [1 l[-Strecke erkannt. []

Aus dem Hilfssatz folgt sofort:

Ist p, qeL, p # q, dann gilt: conv {p, q} ist die einzige ] H [[-Strecke, die p, q verbindet ~- die Parallelgerade durch o zu cony{p, q} trifft b d E in zwei extremen [ (4) Punkten. ) Ist Q c L ein Parallelogramm mit oeintQ, dessen Seiten parallel sind zu Geraden dutch o, die b d E in extremen Punkten treffen, so gilt fiir A = L : A i s t / (5) I1 l l -konvex ¢~ n Q n A ist 11 II-konvex fiir alle n e N . )


HILFSSATZ 2. Es sei A c L kompakt. A ist genau dann I[ ]l-konvex, wenn A aus convA hervorgeht, indem man aus convA hSchstens abziihlbar vide, disjunkte Sti~cke herausschneidet, die jeweils aus dem relativen Inneren einer abgeschlossenen Strecke S ~ b d c o n v A bestehen, vereinigt mit einem Jordan- gebiet, das yon S und einer [I [[-Strecke T c b d A berandet wird, wobei S und T genau die Endpunkte gemeinsam haben.

Beweis 1. Es sei A II [I-konvex. Wir zeigen zuniichst:

Ist S=conv{p , q}cbdconvA, S(~A={p, q}, p~q,~ dann gibt es eine I] [[-Strecke T c b d A , die p, q ver-[ bindet mit S n T = {p, q}, so dab das Innengebiet der~ (6) geschlossenen Jordankurve S u T und A dis junkt [ sind. ]

Wir halten derartige p, qeA fest. O.B.d.A. sei p=o und [[p-q[[ =1. In L sei eine Basis so gewfihlt, dab gilt

q = (1, 0), A c {(~:1, ~2) [ ~1, ~2 s R, ~2 -> 0} (7)

und dab ferner die Gerade {(1, ~2) [ ~:2 e R} eine Stiitzgerade an E durch q ist. Daraus folgt

x = (~1, ~2), y = ( ~ , v2)~ L, 0 _< ~ _< v~ / (8) J [~1-< IIx[I-< liyll.

A ist ][ ][-konvex. Daher kann man o, q in A durch ein¢ [I [I-Strecke verbin- den. Es folgt {0., ~2) [ ~ :2~R}nA~0 ftir 2~[0, 1]. Man kann also

q0 :[0, 1] -~ R def. durch ~(2) : -- inf (~e2 ](2, ~2)~A} ftir 2~[0, 1]

und damit

g : [0, 1] ~ L def. durch g(2) : = (2, ~(2)) fiir 2 ~ [0, 1].

Aus den Voraussetzungen in (6), der Kompakthei t von A und (7) ergibt sich

g(0)=o, g(1)=q, g(2)~A und {(2, ~2) [ ~2sR, / (9)

J ~2 <q0(2)} n A =0f i i r2~[0 , 1]und (i0(2) > 0 fiir 2e]0, 1 [.

Zum Beweis der Aussage

[Ig(2)][ = 2, Jig(2) - ql[ = 1 - 2 fiir 2 ~ [0, 1] (10)

sei 2el0, 1] gew/ihlt. Es sei Q., v) ein Schnittpunkt der Geraden {(2, ~2) [ ~2 e R} mit einer [1 []-Strecke in A, die o, q verbindet und somit die Lfinge 1 hat. Eine Anwendung yon (1) auf diese 1[ [[-Strecke ergibt [1(4, v)-o][


+ 11(2, r ) -q l l = 1. Andererseits ist wegen (9) sicher 0< ~0(2)_<v und nach (8) daher 11(2, ~)lr- IIg(2)ll >_2, 11(2, ~)-qll-> IIg(2)-qlt >- 1 -2 . Zusammenfassend erh/ilt man daraus (10). Wir zeigen nun

[lg(2) - g(#)[I = 12 - / z [ frir 2,/~ ~ [0, 1]. (11)

Dazu seien 2,/z~ [0, 1] mit 2</z gew/ihlt. Nachdem man eventuell die Rolle yon p = o und q vertauscht hat, darf man q)(2) < ~0(/z) annehmen. Es sei (/z, v) ein Schnittpunkt der Geraden {(/z, ~2) I ~2 ~ R} mit einer It ]]-Strecke in A, die g(2), q verbindet. Diese 11 II-Strecke hat nach (10) die L~inge 1 -2 . Wendet man (1) auf diese II II-Strecke an, so folgt 11g(2)-(/~, w)ll + I[(/~, ~)-qll = 1 - 2 . Andererseits ergeben sich aus ~(2)<9(/z) und (9) die Ungleichungen 0<9(2 )<9(# )<v . Eine mehrfache Anwendung von (8) zeigt daher IIg(2) - ( m ~')ll-> [Ig(2)-g(/z)ll _>/~-2 und II(/z, ~)-qll >-llg(#)-qtl >_ 1 - # . Zusam- menfassend ergibt sich daraus (11). Wegen (1), (11) und (9) ist g die Para- meterdarstellung einer II II-Strecke T, wie sie in (6) gesucht ist. Damit ist (6) bewiesen. Nun gilt

A entsteht aus convA durch Herausnahme v o n ] hfchstens abz~ihlbar vielen disjunkien Stricken, wie / (12) sie im Hilfssatz besehrieben sind.

Frir jede der h6chsten abz~ihlbar vielen Strecken ScbdconvA, die mit A genau die Endpunkte gemeinsarn haben, schneiden wir aus convA das Strick heraus, das aus dem relativen Inneren yon S besteht, vereinigt mit dem Jordangebiet, welches durch S u T berandet wird. T ist dabei die [I II- Strecke in A, die nach (6) zu S geh6rt. Alle diese Stricke sind offenbar dis- junkt. Wir erhalten auf diese Weise aus convA eine kompakte Menge B, welche schon die gewrinschte Form hat. Offenbar ist A c B und bd B = bdA. Wir zeigen A =B. Dazu sei ein Punkt p~B gew~ihlt. Man legt durch p eine Gerade, deren Parallele durch o aus bdE zwei extreme Punkte ausschneidet. Auf dieser Geraden w~ihlt man Punkte r, s~bdBcbdA mit p~conv{r, s}. Ist r=s, dann ist trivialerweise pebdA=A. Ist aber r¢s, so folgt aus der Tatsache, dab A ja II [I-konvex ist und aus (4) peconv {r, s }cA . Das heiBt, es ist A = B und (12) ist bewiesen. 2. A babe die im Hilfssatz beschriebene Form. Wir zeigen

A ist II II-konvex (13)

und w~ihlen dazu p, qeA. conv{p, q} n A entsteht aus conv{p, q} durch Herausnahme einer offenen Menge, also durch Herausnahme yon h6chstens abz/ihlbar vielen offenen Strecken, deren Endpunkte zu A n conv{p, q} geh6ren. Die Endpunkte einer solehen Strecke geh6ren wegen der angenom- menen Form von A derselben I[ [I-Strecke aus bdA an. Man ersetzt nun die

FIXPUNKTMENGEN VON KONTRAKTIONEN 185

Strecke durch das Stiick der II II-Strecke, welches die Endpunkte der Strecke verbindet. Da offenbar jeder Teilbogen einer 11 [I-Strecke wieder eine [I IF- Strecke ist (beachte (1)!), erh/ilt man auf diese Weise eine Jordankurve der L~inge IIP-qll , die p, q verbindet und ganz in A liegt. Damit ist (13) bewiesen. []

HILFSSATZ 3 (vgL Bruck [2], Theorem 3). Es sei f'.L--rL eine 11 ][-kontrahierende Abbildung. Dann ist die Menge F der Fixpunkte von f abgeschlossen

und tl II-konvex. < Beweis. Aus der Stetigkeit vonf fo lg t , dab F abgeschlossen ist. Nach [6],

S. 29 gilt folgendes: Eine Teilmenge yon L i s t genau dann 11 I[-konvex, wenn sie mit je zwei verschiedenen Punkten p, q einen Punkt r Cp, q enth~ilt mit ][P-qH = [lp-rll + [[r-q[l. Wir zeigen, dab F 1[ I]-konvex ist und w~ihlen dazu p, q~F. Es sei S die abgeschlossene Strecke {xl[Ix-p[l = Fix-all =½ l ip - all}. Da f II I[-kontrahierend ist und p, q Fixpunkte yon f sind, so ist f ( S ) ~ S. f bildet also S stetig in sich ab. Daher gibt es einen Punkt r~S mitf(r) --r, also r~F (etwa nach dem Brouwerschen Fixpunktsatz (vgl. [20], S.288)). Offenbar gilt r~p , q und l ip-al l = l lp-r l l + I[r-qll. []

Die folgende Aussage ist ktar:

M, M1, N1,/I//2, N2 . . . . c L Geraden durch o, M1 ,~ M2 . . . . ~ M , und M1, N1, M2, N2, . . . konjugierte | Durchmesser yon E =~ es gibt eine Gerade N durch~ o, die Limes einer Teilfolge der Folge N1, N2, . . .1 ist, so dab M, Nkonjugierte Durchmesser von Es ind . ]

(14)

HILFSSATZ 4. Es sei R c L abgeschlossen und IF [[-konvex und f :L-- ,R eine tl II-kontrahierende II [I-Projektion. Ferner sei M eine beliebige Gerade durch o, die parallel ist zu einer Strecke, die mit R genau die Endpunkte gemeinsam hat, oder zu einer Stiitzgeraden an convR durch einen reguliiren Randpunkt. Dann gibt es eine Gerade N durch o, so daft M, N konjugierte Durchmesser yon E sind.

Beweis. Wir halten in L ein beliebiges inneres Produkt fest und unterscheiden die folgenden drei F/ille. 1. M i s t parallel zu einer Strecke S =conv {p, q~, p ~ q, mit R n S = {p, q}. p, q k6nnen in R dutch eine [I ][-Strecke T # S verbunden werden. Wegen (4) trifft M daher b d E in zwei nicht-extremen Punkten. N sei die eindeutig bestimmte Gerade dutch o, die parallel ist zu StiJtzgeraden an E durch die Punkte yon M n b d E . Wir zeigen

x ~ S\{p, q} =~ cony {x, f (x)} ist parallel zu N. (15)

186 P E T E R M. G R U B E R

Es sei so ein x gew/ihlt, f i s t nach Voraussetzung eine II I[-kontrahierende [I I[-Projektion yon L auf R. Wegen p, qeR ist daher IIf(x)-pll---IIx-pll und IIf(x)-qll <-Ilx-qll. Da die Gerade x + N die Kugeln p + IIx-Pll E und q+l lx -q l lE trennt, mul3 f(x) auf dieser Geraden liegen. Damit ist (15) bewiesen, f i s t eine I[ II-Projektion yon L auf R, daher gilt

x e S ~ f ( x ) e R, R c~ int (x + Ilf(x) - xII E) = 0. (16)

Ist yeS(\{p, q}) so gewahlt, dab I[f(Y)-Y[[ maximal ist, dann ergeben (15), (16) und die Stetigkeit vonf , dab S und somit M parallel ist zu einer Stiitz- geraden an y+ ][f(y)-yEIE dutch f (y) . Mit (15) ergibt sich daher, dab M parallel ist zu Stiitzgeraden an E in den Punkten yon N n bdE. Zusammen mit der Definition von N zeigt das, dab M, N konjugierte Durchmesser von E sind. 2. M i s t parallel zu einer Stiitzgeraden an clconvR durch einen regul/iren Randpunktp yon clconvR mitpCR. R ist II I]-konvex und somit zusammen- h/ingend. Daher ist ein Punkt yon convR entweder in R enthalten oder er liegt auf einer Strecke, deren Endpunkte zu R geh6ren (vgl. [8], S. 35). p ist also ein innerer Punkt einer Strecke, deren Endpunkte in R liegen, oder der Limes einer derartigen Punktfolge Pl, Pz . . . . e(convR)\R. Da p ein regu- 1/irerer Randpunkt ist, schliegen im letzteren Falle die zugeh6rigen Strecken mit M Winkel ein, die gegen 0 gehen. Aus dem sehon erledigten Fall 1 und (14) folgt die Existenz einer Geraden N durch o, so dab M, N konjugierte Durchmesser yon E sind.

Da die F/ille 1 und 2 schon erledigt sind, darf man unter Beachtung von (14) fiir den weiteren Beweis die folgende Annahme treffen:

Es gibt ein eeR +, so dab 1. keine Strecke in L, die'~ mit R nur die Endpunkte gemeinsam hat, mit M| einen Winkel < e einschlieBt und 2. jede Rand- ) (17) streeke yon clconvR, die mit M einen Winkel < e | einsehliegt, ganz zu R geh6rt. /

3. M i s t parallel zu einer Stiitzgeraden an clconvR durch einen regul~iren Randpunkt p yon clconvR mit peR. O.B.d.A. p = o. Wegen (17) gibt es eine konvexe Umgebung U yon o mit

U n elconv R = U n R. (18)

Wir definieren ftir neN eine Funktion f~:L~nR durchf,(x):=nf(x/n) fiir xeL. Mit f i s t auch f~ eine II II-Projektion. Ferner ist f , auch II II-kontrahierend und wegen oeR gilt f,(o)=o. Daher ist die Funktionenfolge (f,) gleichgradig stetig und fiir jedes x e L ist {f,(x) IneN}c{Y l l lY l l <-Ilxll}, also beschr/~nkt. Nach dem Satz yon Arzel~t-Ascoli (vgl. [20], S. 149) gibt es

F I X P U N K T M E N G E N V O N K O N T R A K T I O N E N 187

eine Funktion g:L~L, die der kompakte Limes einer passenden Teilfolge (f,~) ist . f , ist eine II [l-kontrahierende II I[-Projektion von L aufnR. Deshalb und wegen (18) ist g eine II I[-kontrahierende II [I-Projektion yon L auf clU{nkclconvR [ k~ N). o ist ein regul/irer Randpunkt yon clconvR und M die zugeh6rige Stiitzgerade. Daher ist clU{nkclconvRIk~N } entweder gleich M oder eine von M berandete, abgeschlossene Halbebene M +. g i s t also eine 11 [I-kontrahierende II [I-Projektion auf M (oder M+). Aus Stetig- keitsgriinden gibt es einen Punkt qq~M (oder M +) mit g(q)= o. Es sei N die Gerade durch o, q und M c ~ b d E = : (r, - r ) . gist I[ I[-kontrahierend. Daher folgt aus (1/2)rEM jedenfalls II&q-rl[ =l&l [Iq-(1/R)rll >-I;LI II(1/~)rl[ =1 fiir alle 2e R\{0}. Das heiBt, N hat mit r+E keinen inneren Punkt gemeinsam. N ist also parallel zu Stiitzgeraden an E durch die Punkte ___ r, d.h. dutch die Punkte von Mc~bdE. gist eine 11 II-Projektion yon L auf M (oder M +) mit g(q) = o. Es folgt o =g(q)eM(oder M +) und M(oder M +) c~ int (q + II qll E) = 0. M i s t also parallel zu Stiitzgeraden an E durch die Punkte q/[I qll, d.h. durch die Punkte von Nc~bdE. M, N sind damit als konjugierte Durch- messer yon E erkannt. []

Eine Teilmenge P c L heiBt ein Polygon, wenn sie als Vereinigung yon endlich vielen kompakten, konvexen Polygonen darstellbar ist.

HILFSSATZ 5. Es sei P c L ein 1] ll-konvexes Polygon. Dann gibt es eine sonnenartige, [I ]l-kontrahierende Retraktion f yon L auf P. Ist zusdtzlich (it I], P ) ~ , so kann f als [1 I[-Projektion gewiihlt werden.

Beweis. Wir w/ihlen in L eine Orientierung. Nach Hilfssatz 2 ist es m6g- lich, P im positiven Sinne zu umlaufen. Dabei wird jeder Randpunkt einmal oder zweimal (und dann in entgegengesetzten Richtungen) durchlaufen. Es seien Sa . . . . , S, die einem solchen Umlauf gem~il~ angeordneten Strecken aus P n bdconvP bzw. die entsprechenden [1 l[-Strecken. P l , P2; Pz, Pa; .--; p. ,p l seien die Endpunkte yon S~ . . . . , S.. Wir setzen 0: =n und n + 1:= 1 und i, j durchlaufen {1 . . . . . n}. M~ . . . . , M. seien Geraden durch o, so dab Ms parallel ist zu conv{pi,p~+l}, also parallel zu S~, falls Ss in bdconvP liegt. Offenbar gilt

Ps + Mt ist Stiitzgerade an P und p~, p~+ 1 e (Ps + Ms) c~ P. (19)

SchlieBlich seien /-/1 . . . . . H , von o auslaufende, abgeschlossene Halb- strahlen mit den folgenden (vertr/iglichen) Eigenschaften.

p~+M~-t-Is ist Stiitzhalbebene yon convP. Ist P] eine Strecke, also n=2 , dann sei H i = - / / 2 . Ist~ p~+M~-Hs=p~+Mj-Hj , also M~=Mj, dann ist[ I-I, = H:. )

(20)

188 PETER M. GRUBER

Nt :=Htw( -Ht ) ist parallel zu Stiitzgeraden an E} (21) in den Punkten von Mt c~bdE. Ist (11 II, P ) e ~ , dann sind Mr, Nt konjugierte~

(22) Durchmesser yon E. l

Aus dem Hilfssatz 1, (19) und (21) folgt jedenfalls

St+H~=S,w(Innengebietvon Stwconv{p~,p~+l}) } u ( f , + H3 u (?,+1 + H), (23) u (((cony {Pt, P, +l})\{Pt, Pc +1 }) + H3 .

(19), (20), (21) und (23) zusammen zeigen

(St + Hi) c~ P = St c P, (24)

(St + Hi) n (St+l + Hi+l) c e w ((pt+l + Hi) 1 (24) J c~ (Pi+l + Hi+l)) ,

(St + H t ) c ~ ( S j + H j ) c P fiir i ~ { j - 1 , j , j + 1}. (24)

P u ($1 +111)w ... u (S,+Hn) besteht wegen (20), (23) und (24) aus convP und Parallelstreifen, die yon den Seiten von convP auslaufen und einander nicht iiberkreuzen. Es kann durchaus der Fall eintreten, dal3 mehrere der Mengen St + H~ zum selben Parallelstreifen beitragen. Der strahlenfSrmige Bereich P u ($1 q-/-/1) w. . . w (Sn +/4,) laBt in L Winkelbereiche frei, die von gewissen Punkten unter Pl . . . . . p , ausgehen. Wit stellen sie in der Form pq+ W1, ...,P~m+ Wm dar mit {il . . . . , im}~{1, . . . , n} passend, k, l durchlaufen im folgenden (il, ..., in}. Pt~ + Wa wird berandet yon (pt~ + Ht,,-1) w (Pt~ + Ht~). Aus der Konstruktion von Ptk + Wt~ folgt

(Ptk + Wk) n P = { p J c P, (24)

(p,~+ Wk) n ( p , , + W ~ ) = O fiir k # l , (24)

(p~,, + Wk) n (S~ + H~) = Pt~, + Ht oder = 0 / (24)

J fiir ik e {i, i + 1} oder ik $ {i, i + 1}.

Wegen (24) kann man auf eindeutige Weise

f : L --* P def. durchf(x) : =x , = s oder =Ptk fiir x ~ P, x ~ s + H~ mit s e St oder x e Ptk + Wk.

Wir zeigen

f i s t eine sonnenartige, II II-kontrahierende Retrak- (25) tion yon L auf P. J


fist eine sonnenartige Retraktion yon L auf P nach Definition. Wit beweisen nun die folgende Aussage

u, v e P , u , v ~ S ~ + H i oder u, vep ik + W~/

J => liT(u) - f ( v ) [ l --- Ilu - vi i . (26)

Dazu seien solehe u, v gew~ihlt. (26) gilt jedenfalls, wenn u, veP oder u, vep~ + Wk gilt. Es sei nun u=s+g, v=t +h mit s, teS, , g, heH~. Da im Falle s = t jedenfalls f ( u )= f (v )=s gilt, daft man s ~ t voraussetzen. Wir wenden den Hilfssatz 1 auf die 11 II-Strecke & an. Wegen unserer Wahl yon Ms und (21) folgt, dab (s-t)/(lls-tll) auf dem Durchschnitt yon E und einer zu N, parallelen Sttitzgeraden an E liegt. Daraus und ans g - h e N , ergibt sich nun Ilu-vl[ = I I ( s - t ) + ( g - h ) l l >-Ila-tll = I l f (u)- f (v) l l und (26) ist auch in diesem Fall gezeigt. Um zu zeigen, daBfauch II ll-kontrahierend ist, seien x, y eL gew/ihlt. Da L = P to (S, + / /1) w. . . to (S, + H,) to (pq + W,) u . . . to (p~, + IV,) ist und die hier auftretenden Mengen alle abgeschlossen sind, kann man auf cony{x, y} eine Folge x = u , , u2 . . . . , up=y finden mit der natiirlichen Reihenfolge, so dab ftir j ~ { 1 , . . . , p - 1 } gilt uj, uj+xeP, uj, u j+ ,e&+H, oder uj, ul+,ep,~+Wk fiir passende i, k. Aus (26) folgt

nun l l f ( x ) - f ( y ) t l <-l[f(u~)-f(u2)ll + "" + IIf(u~- ~)-f(up)ll-< Ilu~-u2ll + " " + llu~-~-u~ll =l lx-yl l . f i s t also I1 tl-kontrahierend. Damit ist der Beweis yon (25) abgeschlossen. Wir zeigen nun

(ll I1, P) e ~ =>f is t eine II II-Projektion. (27)

Dazu sei ([I I1, P ) ~ . Aus der Definition yon f, (20) und (22) folgt

xeP, x ~ & + Hi mit & c b d c o n v P oder x~p~k+ Wk] =>P n int(x + Ilf(x)-x[l E) = 0. J

(28)

Die folgende Aussage werden wir unten benStigen.

Ist S~ CbdconvP und M eine Parallelgerade zu einer] Sehne v o n & , dann sind M, N~ konjugierte Durch-~ messer yon E. ]

(29)

Nach (21) und Hilfssatz 1 liegen die Punkte yon M n b d E auf Strecken yon bdE, welche zu N~ parallel sin& Im Falle, dab diese Punkte relativ innere Punkte sind, ist N~ die einzige Gerade durch o, die fiir einen zu M konju- gierten Durchmesser in Frage kommt. Da wegen (ll II, P ) e ~ N ein solcher Durchmesser existiert, so sind also M, N~ konjugierte Durchmesser yon E. Sind die Punkte yon M n b d E relative Randpunkte der zu N~ parallelen


Strecken in bdE, dann betrachtet man eine gegen M konvergente Folge yon Geraden durch o, welche parallel zu Sehnen yon St sind und die zu Ni par- aUelen Strecken yon b d E i n relativ inneren Punkten treffen. Aus dem schon erledigten Fall und (14) folgt nun, dab M, N~ konjugierte Durchmesser von E sind und (29) ist bewiesen. Zum Beweis der Aussage

x e S t + H t mit S t C b d c o n v P l =~ P n i n t (x + liT(x) - xll E) = 0 / (30)

sei so ein x=s+h mit seSt, heH~ gew/ihlt. Es istf(x)=s. Ist se{pi,pt+l}, dann gilt (30) nach (20) und (22). Andernfalls ist seStc~int(p~+Mt-H~), denn St liegt in p~+Mt-H~ und hat mit p~+Mt nur P~,Pt+I gemeinsam. Wegen (29) ist jede Gerade dutch s, die einen weiteren Punkt von St enth/ilt, Stiitzgerade an x + IIs-x[I E in s. Der Teil von in t (x+ lls-xll E), der in der StiJtzhalbebene Pt + Mt - Hi yon P liegt, hat also mit P keinen Punkt gemeinsam. Damit gilt (30) auch in diesem Fall. (30) ist damit bewiesen. Aus (28) und (30) folgt (27). Mit dem Nachweis von (25) und (27) ist der Beweis des Hilfssatzes erbracht. []

HILFSSATZ 6. Es sei R c L kompakt und 11 I[-konvex. Dann gilt der Hilfs- satz 5, wenn man P durch R ersetzt.

Beweis. Aus den Hilfss~itzen 1 und 2 folgt, dab man II [l-konvexe Poly- gone Px = P2 ~ " " in L finden kann mit R =. N {P" [ n E N }. Ist (11 11, R) ~ ~ , so kann man ferner annehmen, dab (11 II, Px), (11 II, e2) , . . . ~ gilt. (W~hle die Strecken, aus denen bd Px, bdP2 . . . . zusammengesetzt sind, so, dab sie parallel sind zu Stiitzgeraden an convR durch regul/ire Randpunkte oder zu Sehnen yon R.) Wegen Hilfssatz 5 gibt es sonnenartige, [[ [I-kontrahierende Retraktionenfl , fz , ... von L auf P1, P2 . . . . Ist (11 1I, e l ) , (11 II, P2), ... c ~ , so daft man annehmen, dab f l , f2, ... dariiber hinaus II lI-Projektionen sind. O.B.d.A. sei o eR = N Pn. f~ ist II H-kontrahierend und es istf~(o)= o. Daher ist die Funktionenfolge (f~) gleichgradig stetig und fiir jedes x c L ist (f~(x) [ nc N} c {y ] [1Y[I -< IIx[I }, also beschr/inkt. Nach dem Satz yon Arzel~t-Ascoli gibt es eine Funktionf:L~L, die der kompakte Limes einer passenden Teil- folge (f,~) ist. Man sieht leicht,

f ist eine II LI-kontrahierende Retraktion von L aufl R und m i t f l , f 2 , . . , ist auch fe ine II II-Projektion.I

1 (31)

Wir zeigen nun

f i s t sonnenartig. (32)


D a f l , f2, ..- sonnenartig und II I]-kontrahierend sind, so gilt

liT(Ix + (1 - 2)f(x)) - f (x ) l l

= lira []f~k(ix + (1 - 2)f(x)) -f .k(x)ll k'-+ oO

< lim l l f . f l x + (1 - 2)f(x)) - f , ~ ( i x + (1 - 2)f.~(x))[I k--+ oo

+ lim l l L f l x + (1 - ~) f .~(x)) - f . ~ ( x ) l l k--* oO

< lim l l ix + (1 - D f ( x ) - I x - (1 - 2)f.~(x)[l k"+ oo

= 0 ffir x e L , 2 e R +,

d . h . f ( i x + ( 1 - 2 ) f ( x ) )=f (x ) fiir xeL, 2 e R + und (32) ist bewiesen. []

HILFSSATZ 7. Es sei R c L abgeschlossen und 11 II-konvex. Dann gilt der Hilfssatz 5, wenn man P dutch R ersetzt.

geweis. Wir halten in L ein inheres Produkt lest. Q sei ein Parallelogramm in L mit o als Mittelpunkt, so dab die Parallelgeraden durch o zu den Seiten yon Q konjugierte Durchmesser yon E sind, die b d E in extremen Punkten schneiden. (W/ihle die Seiten von Q parallel zu den Diagonalen eines E ein- beschriebenen, inhaltsgr6Bten Parallelogramms, dessen Eckpunkte extreme Punkte von E sind (vgl. Hell und Krautwald [13]).) n Q n R ist nach (5) [I I[-konvex ffir jedes n~N und die spezielle Wahl von Q zeigt, dab (ll [J, n Q c ~ R ) e ~ ist fiir alle neN, falls (11 II, R)e~5~ ist. Daraus folgt mit einer /ihnlichen Schlul3weise wie im Beweis des vorhergehenden Hilfssatzes unsere Behauptung. []

Die Hilfss/itze 3, 4 und 7 zusammen ergeben den Satz 1 und ebenso den Zusatz 1.

3. DER FALL d > 3

SATZ 2. Es sei d endlich und > 3, ferner [] [I eine streng konvexe Norm auf Lund F c L mit o~F. Fist genau dann die Fixpunktmenge einer [[ ][-kontrahierenden Abbildung yon L in sieh, wenn F abgesehlossen und konvex ist und auflerdem folgendes gilt: Es gibt eine [I [J-lcontrahierende, lineare Projektion yon L auf M : = l inF und zu jedem Unterraum N yon M, yon dem ein passendes Translat Stihzhyperebene an F dutch einen reguliiren Randpunkt ist, gibt es eine II JJ-kontrahierende, lineare Projektion yon M auf N (symboliseh: (H I[, F ) ~ ) . Ist F abgesehlossen und konvex und gilt ([I I], F)~3, dann ist F ein II [l-kontrahierender Retrakt yon L.


Die Voraussetzung oeF dient lediglich der einfacheren Formulierung. Die linearen Projektionen yon L auf M, die I[ II-kontrahierend sind, sind im Falle M ~ {o} genau diejenigen mit der Norm 1.

Ist F abgeschlossen, konvex und gilt ([l [I, F)e~ , dann ist F nicht nut ein I1 II-kontrahierender, sonderneinll [I-kontrahierender, sonnenartigerRetrakt von L. Bei glatter Norm folgt das aus Reich [18], Lemma 2.9 oder Bruck [3], Theorem 2. Ist II I1 nicht glatt, so folgt diese Aussage aus einem direkten Beweis yon Hilfssatz 10, der analog zum Beweis im Falle d = 2 verlfiuft und von der Arbeit [2] von Bruck keinen Gebrauch macht.

Verzichtet man auf die Voraussetzung, dag H l[ streng konvex ist, so erhebt sich die Frage, ob marl die Forderungen, dab F abgeschlossen und konvex ist und (ll II, F ) ~ gilt, ersetzen kann durch die Forderungen, dab Fabgeschlossen und II ll-konvex ist und (11 II, clconvF)e~3 gilt und passende weitere Bedingungen erftillt sind.

Ebenso wie bei d = 2 liegt die Frage nahe, wann die im Satz auftretende Retraktion als [1 [[-Projektion oder als Radialprojektion gewfihlt werden kann. Die Antwort f'tir II l[-Projektionen ist nicht bekannt, dagegen lautet sie fiir Radialprojektionen wie folgt.

ZUSATZ 3 ( Gruber [15]). Es sei d> 3 (aber nicht notwendig endlieh),ferner II II eine Norm auf L und R c L abgeschlossen und sternf6rmig beziiglieh o. Dann ist die Radialprojektion yon L auf R genau dann II [[-kontrahierend, wenn entweder R = {o} oder R =L gilt oder wenn II II euklidisch und R eine Kugel mit dem Mittelpunkt o ist.

Wir zerlegen den Beweis yon Satz 2 wieder in mehrere Schritte. Es sei d endlich und H I[ eine Norm auf L.

HILFSSATZ 8. Es sei M ein Unterraum yon L, der ein II II-kontrahierender Retrakt yon Lis t . Dann gibt es eine 1[ [[-kontrahierende, lineare Projektion yon L auf M.

Beweis. Wir zeigen zun/tchst folgendes:

Es seien E, Fendlich-dimensionale, reelle, normierte Rfiume und II I1~ die Norm yon F. Ferner sei L~°= L ~° (E, F) der Banachraum aller beschr~inkten Abbildungen f : E ~ F mit der Norm I[ II ~, die fol- gendermaBen definiert ist: I[fil® : =sup {[IT(x)IIF ] x~E}. Dann gibt es einen linearen Operator bEv:L°~-->F, genannt Banachsches Mittel, mit folgenden Eigenschaften 1. [IbE~ll:=sup{ltbEF(f)llF I f~Z ®, Ilfll~ --- 1} = 1.

(1)


2. IstfsFundconstEfeL °° die Funktion, die anjeder [ Stelle von E den Wer t fha t , so gilt bgv(constEf) = f I 3. Ist f s L ~ und e~E, dann sei fe~L ~ definiert durch

fi(x): =f(x+e) fiir xeE und es gilt b~F(f~)=bE~(f). ]

Ist F = R, dann findet man einen Beweis von (1) etwa in [14], S. 230ff., und im wesentlichen auch in [21], S.64, 65. In [21] wird als Hilfsmittel ein Satz yon Alaoglu (vgl. [14], S. 458) und ebenso ein Satz yon Markov und Kaku- tani (vgl. [21], S. 54) herangezogen. Der letztere besagt folgendes: Es sei eine nichtleere, kompakte, konvexe Teilmenge eines lokalkonvexen, reellen, linearen Raumes gegeben, ferner eine Menge yon stetigen, affinen und ver- tauschbaren Abbildungen dieser Menge in sich. Dann gibt es in der Menge einen gemeinsamen Fixpunkt aller dieser Abbildungen. Wir beschr/inken uns auf eine Skizze des Beweises yon (1) und gehen zun/ichst in Analogie zum Beweis des Satzes yon Alaoglu in [14], S. 458, vor. Im linearen Raum B der beschr/inkten, linearen Operatoren b:L°°~F sei eine Topologie durch folgende Umgebungsdefinition eingefiihrt: Ist b eB und sind f l . . . . . fneL °° und ist ss R +, dann sei

U(b;ft, ...,f,; s)

:= {c e Z I Ilc(fl) - b(f~)[Ir < s fiir i e {1 . . . . . n}}

die zu f l , . . . , f ~ u n d e gehSrige Umgebung yon b. B wird durch diese Definition zu einem lokalkonvexen Raum. Ftir beB deiinieren wir (vgl. (1) 1.)

Ilbll := sup {[]b(f)H e I f eL ~, ]]f][~o < 1}.

Wir zeigen

{b e B [ IIbH ~ 1} ist kompakt

im Sinne der eingefiihrten Topologie. Nach dem Satz yon (vgl. [20], S. 61) gilt

(2)

Tyehonoff

im Sinne der Produkttopologie auf / / . Die Abbildung T: {beB [ Ilbll ~ 1}~H, definiert dutch T(b)s:=b(f) ftir beB mit ][bl[<l, ist ein injektiver HomSomorphismus yon {beB ] Ilbll -< 1} nach H. Ferner enth/ilt T{bEB I [Ib[l-< 1} jeden seiner H~iufungspunkte, ist also abgeschlossen in H. Wegen (3) ergibt sich damit (2). Unter Verwendung yon (2) sieht man

C: ={beB ] HbH __ 1, b(constEf)=ffiirfeF} ist kompakt und konvex. J (4)

I-I := I-[ {Y ~ F I HYlIF -- [Ifllo~} ist kompakt (3) feLQO


Wir halten uns nun an den Beweis in [21], S. 65. Fiir e~E sei der Operator T~: C ~ C definiert dutch Te(b)(f): =b(f~) fiir b~C. Die Operatoren Tel e~E sind aUe stetig und affin und fiir e, e' ~E ist T~Te, = Te,Te. Deshalb und wegen (4) haben die Operatoren Te [ e e E nach dem zitierten Satz von Markov und Kakutani einen gemeinsamen Fixpunkt. Das heiBt, es gibt ein b~C, so dab Te(b)=b gilt fiir alle e~E. b hat offenbar die in (1) gewtinschten Eigenschaften 1.-3. Damit ist (1) bewiesen.

Der Rest des Beweises des Hilfssatzes folgt einem Vorschlag von Petczynski. Es se i f :L-+M so gew/ihlt, dab folgendes gilt:

f i s t eine l[ []-kontrahierende Retrakfion von L auf M. (5)

Wir werden eine Abbildung g:L--*M konstruieren mit den folgenden Eigen- sehaften:

g i s t eine II l[-kontrahierende Retraktion von L auf M, (6)

g ( x + z ) = g ( x ) + z ftir x e L , z e M . (7)

Naeh (5) i s t f e ine Abbildung auf M. Man kann daher fiir x e L

fx : M ~ m def. durchif(z) : = f ( x + z) - z fiir z ~ M. (8)

Aus (5) folgt [If~(z)][ = [I f (x+z)-zl[ <- [[x+z-z][ = Ilxll fiir z~M, also fXeL~° (M, M) fiir xuL. Nun beaehtet man (1) und w~ihlt ein festes Banaeh- sehes Mittel bMM:L°~(M, M ) ~ M . Es sei

g : L --* M def. dureh g(x) : = buM(if') fiir x E L.

Ist x¢M, also f ~ = c o n s t u x , so folgt aus (1)2. jedenfalls g(x)=x, g i s t also eine Retrakfion yon L auf M. Es seien nun x, yuL. Aus der Linearit~it yon bum und (1)1. folgt

I[g(x) - g(y)][ = []bMu(ff) -- bMM(ff)][

= [[bMM(f x - f011 -< [ [ f f - f i l l ® -< I [ x - y[[,

denn es ist naeh (8) und (5)

][f~(z) - if(z)][

= ]]f(x + z) - - f ( y + z)ll -< ]Ix -- Yl[ fiir z e M.

g i s t also auch II [I-kontrahierend und (6) ist gezeigt. Es sei nun x e L und z~M. Aus (8) folgt

fx+z(W) = f ( x + z + W) -- W

= f ( x + z + W) -- (z + W) + z

= f~(w) + z ffir w e M

F I X P U N K T M E N G E N VON KONTRAKTIONEN 195

und daher wegen der Linearit~it von bMM und (1)2., 3.

g (x + z) = b~tM(f x+')

= balM(f if) + bum (const~ z) = g(x) + z.

Damit gilt (7). Als n/ichstes konstruieren wir eine Abbildung h : L ~ M mit folgenden Eigenschaften:

h ist eine 11 [[-kontrahierende Retraktion von L auf 34",

h (x + y) = h(x) + h(y) fiir x , y ~ L ,

h(ocx)=c~h(x) f'fir x ~ L , ~eR.

Nach (6) ist g eine Abbildung yon L auf M. Man kann daher fiir x s L

(9)

(10)

(11)

g* : L --* M" def. durch gX(y) : = g (x + y) - g(y) fiir y ~ L.

Aus (6) folgt []gX(y)H _< [Ixl] fiir y~L, also g~L°~(L, M). Unter Berufung auf (1) w/ihlen wir ein festes Banachsches Mittel bLM:L°~(L, M ) ~ M . Es sei

h : L ~ M def. durch h(x) : = bLM(g ~) ftir x e L.

Unter Verwendung yon (6) und (7) sieht man genauso wie zuvor bei g, dab (9) und (10) gilt. h ist nach (9) stetig und geniigt naeh (10) der Cauchy- schen Funktionalgleichung. Daraus folgt speziell (11). Aus (9)-(11) ersieht man, dab h die gesuchte lineare Projektion yon L auf Mis t . []

Ohne Verwendung der Banachschen Mittel kann man auf elementarem Wege eine Funktion g : L ~ M konstruieren mit den Eigenschaften (6) und (7). Ist ][ H glatt, so 1/iBt sieh ferner - ebenfalls auf elementarem Wege - eine Funktion h : L ~ M konstruieren, welche die Eigenschaften (9)-(11) besitzt. Das heiBt, bei glatter Norm l~iBt sich der Hilfssatz 8 ganz elementar beweisen.

HILFSSATZ 9. Es sei [] LI streng konvex, F c L mit oeF die Fixpunktmenge einer [[ [I-kontrahierenden Abbildung yon L in sich und M: =linF. Dann ist F abgeschlossen und konvex und es ist (l] H, F)e~3.

Beweis. Da eine ][ ]l-kontrahierende Abbildung stetig ist, so gilt

F i s t abgeschlossen. (12)

Wir beniitzen nun die bekannte Aussage, dab in einem normierten Raum mit streng konvexer Norm die Fixpunktmenge einer Norm-kontrahierenden Abbildung des Raumes in rich konvex ist (vgl. Bruck [2], S. 255 oder Smart [21], Lemma 7.1.12). Es folgt

F ist konvex. (13)


Theorem 2 in Bruck [2] sagt folgendes aus. Es sei eine nicht-leere, im Sinne der schwachen Topologie lokalkompakte, konvexe Teilmenge eines Banach- raumes gegeben. Ferner sei eine Norm-kontrahierende Abbildung dieser Teilmenge in sich vorgelegt mit folgender Eigenschaft: Entweder hat die Abbildung gar keinen Fixpunkt oder sie besitzt einen Fixpunkt in jeder nicht- leeren, beschr~inkten, abgeschlossenen und konvexen Teilmenge der obigen Teilmenge, welche sie invariant l~il3t. Dann ist die Fixpunktmenge dieser Abbildung ein Norm-kontrahierender Retrakt der zuerst gegebenen Teil- menge. Beachtet man den Fixpunktsatz yon Brouwer, so sieht man, dab aus d.iesem Satz sofort folgt

F i s t ein 1[ [l-kontrahierender Retrakt yon L und / (14)

damit auch von M. / Nach Theorem 2 yon de Figueiredo und Karlovitz [10] gilt folgendes: Es sei in einem reflexiven Banachraum eine abgeschlossene, konvexe Teilmenge gegeben mit dem Ursprung als inneren Punkt. Ferner sei ein abgeschlossener Unterraum der Codimension 1 gegeben, yon dem ein geeignetes Translat Sttitzhyperebene an die konvexe Teilmenge durch einen regul/iren Rand- punkt ist (d. h. dutch diesen Randpunkt eNstiert keine weitere Stiitzhyper- ebene). Existiert keine Norm-kontrahierende, lineare Projektion des Banach- raumes auf diesen Unterraum, dann ist die gegebene Teilmenge kein Norm- kontrahierender Retrakt des Raumes. Aus diesem Satz, (12), (13), (14) und da wegen o ~F und (13) jedenfalls relintMF¢ 0 ist, erhalten wir die Aussage:

Zu jedem Unterraum Nvon M, yon dem ein passen-] des Translat Sttitzhyperebene an F dutch einen~

regul~iren Randpunkt ist, gibt es eine II II-kontra-| (15) hierende, lineare Projektion von M auf N. ]

Lemma 5 in Bruck [2] besagt folgendes: Ist in einem reflexiven Banachraum ein Norm-kontrahierender Retrakt R gegeben und reR, dann ist auch U {2R + (1 - 2) r 12 e R + } ein Norm-kontrahierender, konvexer Retrakt. Es sei nun perelintMF. Dann ist offenbar M = U {2F+ (1-2)p 12~ R+}. Wegen (14) und Lemma 5 in Bruck ist M daher ein rl [I-kontrahierender Retrakt yon L. Mit Hilfssatz 8 folgt daraus:

Es gibt eine II II-kontrahierende, lineare Projektion I (16)

yon L auf M. J (12), (13), (15) und (16) zusammen ergeben die Richtigkeit des Hilfs- satzes. []

HILFSSATZ 10. Es sei I1 II streng konvex, F=L mit o~F abgeschlossen und konvex und es gelte (11 II, F ) ~ . Dann ist F ein II ll-kontrahierender Retrakt yon L.


Beweis. Es sei M: =linF. Wir unterscheiden zwei Fiille. 1. M=L. Die beiden folgenden Aussagen sind klar:

Es sei N + ein abgesehlossener Halbraum yon L mit'~ der Randebene N und oEN und f sei eine 1[ II t kontrahierende, lineare Projektion von L auf N.~ Dann ist f+ , definiert durch f+(x): =x fiir x~N+] und f+(x):--f(x) fiir x~L\N +, eine [1 I]-kontra-| hierende Retraktion yon L auf N +. ]

(17)

F=()(H~+ I nsI} mit I = N , wobei H+~ l ns I pas -] sende Stiitzhalbrgume yon F durch reguliire Rand-~ punkte sind. )

(18)

Wir werden das folgende Lemma 3 yon Bruck [2] sofort beniitzen: Ist in einem Banachraum mit streng konvexer Norm eine Folge yon Norm-kontrahierenden Abbildungen einer abgeschlossenen, konvexen Teilmenge des Raumes in den Raum gegeben, so gibt es eine Norm-kontrahierende Abbil- dung dieser Teilmenge in den Raum, deren Fixpunktmenge genau der Durchschnitt der Fixpunktmengen der gegebenen Abbildungen ist. Daraus, wegen dem im vorigen Beweis zitierten Theorem 2 yon Bruck [2], (11 II, F)e~, (17), (18) und der strengen Konvexit/it von [[ [[ folgt, dab Fein 1[ I[-kontrahierender Retrakt yon L ist.

2. M#L. Wendet man 1. auf M an und setzt eine 1[ [[-kontrahierende Retrakfion yon M auf F zusammen mit der [l [l-kontrahierenden, linearen Projektion yon L auf M (beachte (11 [I, F ) ~ ! ) , so erh/ilt man eine 11 []- kontrahierende Retrakfion yon L auf F. []

Aus den Hilfss/itzen 9 und 10 folgt der Satz 2.

4. SCHLUSSBEMERKONG

Einige Resultate der vorliegenden Arbeit lassen sich so erweitern, dab sie den Fall yon nicht-notwendig symmetrischen Normen mit umfassen (vgl. dazu auch Gruber [12]). Dasselbe gilt ffir mehrere Ergebnisse aus den zitierten Arbeiten.

Aus den Beweisen der verschiedenen Resultate dieser Arbeit sieht man, dab zur Herleitung der Kennzeichnungen yon Fixpunktmengen bzw. Retrakten die ][ lI-Kontraktivit~t nut in Umgebungen dieser Mengen herangezogen wurde. Ist C~L abgeschlossen und konvex, so kann man daher die obigen Resultate zur Kennzeichnung der Fixpunktmengen yon II II- kontrahierenden Abbildungen yon C in sich beniitzen und welter, um I[ ][- kontrahierende Retraktionen yon C auf solche Fixpunktmengen anzugeben.


(Eingegangen am 10.10. 1974)

B I B L I O G R A P H I E

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fixpunktmengen von kontraktionen in endlichdimensionalen normierten räumen

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