finales y libres de matematica del cbc

Final de matemática – Cátedra Gutiérrez – CBC – 1993. Pág. 1

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Final de Matemática

(1) Marzo: 1993 Tema 4

Elegir una sola respuesta de las cuatro opciones:

1. Si f(x) = 2 x 2 + x – 3, entonces (h o f )(x) = 2 x 2 + x para:

a) h(x) = 2x + 6 b) h(x) = x – 3 c) h(x) = x + 3 e) h(x) = 3 x

Rta.: c

2. Las asíntotas verticales de f(x) = x

x x−

− −1

2 3( )( ) son las rectas:

a) x = 3; x = 2 b) x = 1; x = 0 c) x = 3; x = 2; x = 1 d) x = 1; x = 2.

Rta.: a

3. Si f ’(x) = 3 (x + 2) x 2 entonces f(x) tiene:

a) un mínimo en 0 b) un máximo en 0 c) un mínimo en − 2 d) un máximo en –2

Rta.: c

4. Si f(x) = Sen2 (3x 2 +1), entonces la derivada de f es:

a) 2 sen (3x2 + 1) b) 12 x. sen (3x2+1) . cos(3x2 + 1) c) 2 sen (3x2 + 1).cos(3x2 + 1) d) cos (3 x2 +1) . 6 x

Rta.: b

5. Los ceros de f(x) = sen (x + π) + 1 en [-2π; π] son:

a)32 2

π π,− b)

π π2

32

, c) ππ25

,2

d) π π2

32

,−

Rta.: d

6. Si A = { x x∈ =[ , ] / cos ,052

0 8π } entonces:

a) A tiene ∞ elementos. b) A tiene 4 elementos c) A tiene 3 elementos. d) A tiene 2 elementos

Rta.: c

7. Sean P = (3,2) y Q (3,a). Si la distancia entre P y Q es igual a 4, entonces a es igual a:

a) 2 ó -2 b) 4 ó 0 c) 2 ó 6 d) 6 ó –2



Rta.: b

8. si f(x) = x 4 + 5 x 3 – 2 x + 1 entonces:

a) f no tiene ceros en (-2,2) b) f no tiene ceros en (-1,0)

c) f no tiene ceros en (-1,1) d) f no tiene ningún cero.

Rta.: c

9. Sea f(x) = ln (5x 2), entonces f ‘(2) + 2 f ”(2) es igual a: a) 1 b) 320

c) 2x

d) 0

Rta.: d

10. Sea f(x) = – 3 (x – 1)(x2 – 5x + 6) los intervalos de positividad son:

a) (3, + ∝) b) (−∝, 1)∪(2,3) c) ∅ d) (−∝, −1)

Rta.: b

11. El dominio de f(x) = 4 ln (5 – x) – 2 ln (x – 1) es: a) (1,5) b) (−∝, 5) c) R – (1,5) d) R

Rta.: a

12. {x ∈ R/ − 1 < − x + 2 < 4 } es igual a: a) (– 2 ,3) b) (– 3,2) c) (–1,4) d) (–1,6)

Rta.: a

13. f fe

xx

x: { } ( )R R definida por − → =

−2

2es estrictamente creciente en:

a) (− ∞,2) b) (2, 3) c) (− ∞, 2)∪ (3, + ∞) d) (3, + ∞)

Rta.: d

14. La ecuación de la recta tangente al gráfico de 82)( −= xf x en el punto (3,1) es:

a) y = 2 x + 2 b) y = 3 x c) y = 3 x – 8 d) y = 2 x – 3

Rta.: c

15. Si una recta pasa por el punto (–2, –3) y tiene pendiente m = 2 entonces su ordenada al origen vale: a) 2 b) 3 c) – 3 d) 1

Rta.: d

16. La ecuación de la parábola que tiene vértice (3, – 4) y pasa por (1, 0) es:

a) y = x2 + 6 x – 7 b) 25

3= 221 −+− xxy c) y = x 2 – 6 x + 5 d) y = x 2 + 6 x + 5

Rta.: c



17. El área A de la región encerrada por la función f xx( ) sen= y el eje de las x, entre las rectas x =

−π y x = π , es:

a) ∫∫π

π

π

-0

sen =A d) 2=A c) 0=A b) sen2=A dxxdxx

Rta.: a

18. Una ∫++

+dx

xx

x

92

12 es: a)92

92 92x92

ln

2d) 2 c) ln b)

++++++++

xxxxxxx

x

Rta.: c

19. 2 1

522

3 x

x xdx

+

+ −∫ es igual a: a)

4948

b) ln 3 – ln 2 c) ln 7 d) 2

Rta.: c

20. Si f dx f dxx x( ) ( ) ) entonces (5 0

3= −∫ ∫

0

34 2 es igual a: a) 18 b) 14 c) 2 d) 3

Rta.: b

(2) Julio 1993 Tema 2

1. Si A = (2, 2), entonces 2B)A,(d = para B igual a: a) (3,1) b) (1,0) c) (0,1) d) (2,-1)

Rta.: a

2. El vértice de la parábola de ecuación )21

)(1(2 +−= xxy es:

a) (3, 1) b) ( ¼ , – 9/8) c) (– ¼, – 3/8) d) (– ½ , 0)

Rta.: b

3. El gráfico de 3

11)( +

+=x

f x

a) tiene dos asíntotas b) tiene una asíntota vertical y una horizontal c) tiene dos asíntotas d) no tiene asíntotas

Rta.: b (asíntota vertical: – 3; asíntota horizontal: 1).

4. El dominio natural de )53ln( 2)( xxf x −= es:

),0(, )0R ),,0)( )1,)35

35

21 +∞∪

−∞−>

+∞∪−∞

dcba

Rta.: b



5. Si f(x) = 2x + 1, g(x) = sen x y h = f o g(x) ⇒ la imagen de h es:

a) [–1, 1] b) [– 3, 1] c) [– 2, 2] d) [–1, 3]

Rta.: d

6. Sea f: [0,½ π] →R / f(x) = cos (2x), entonces:

ππ=

π=

π=+

ππ=+

2,

4-C)

2,0-C )

2,0C )

2,

4C ) dcba Rta.: d.

7. Si la derivada de f es xx exf −−= ).2(' 2)( entonces f tiene:

2en local mínimoun y 2en local mínimoun 2en local máximoun y 2en local máximoun

2en local máximoun y 2en local mínimoun 2en local mínimoun y 2en local máximoun

) )

) )

−−

−−

•d•b

•c•a

Rta.: c

8. La derivada de 1

)(ln 2

)(+

=x

xf x es:

1).1.(2

lnln).1(4)1.ln4 )

)1(

lnln).1(4 )

)1(2lnln)14(

)2

23

22

++−++

+

−++−+

xxx

xxxxd

xxxc

x

xxxb

xxxxxx

a

Rta.: d

9. Si 23

)6 )23

)9 ):es )-(entonces6 3

0)(

3

0)( −−= ∫∫ dcbadttfdtf tt Rta.: b

10. El área encerrada entre la gráfica de f(x) = cos x y el eje x entre 0 y 2π

es:

a) 0 b) – sen. x c) 1 d) 2 Rta.: c

11. Los gráficos de f(x) = x2 + 2x + 1 y g(x) = 2x + 10 se cortan en:

a) (2, 16) y (– 2, 4) b) (– 3, 4) y (3, 16) c) (3, 16) y (– 3, 4) d) (16, 3) y (4, – 3)

Rta.: c

12. Una primitiva de f(x) = 1 + ln x es: cxxxdx

xccx

bxxa ++++++ ln )2

ln1 )

1 )4ln)

2

Rta.: a

13. La derivada de 2

cos 2

sen)(xx

f x = en el punto de abscisa π vale: a) ½ b) – ½ c) 1 d) – 1

Rta.: d



14. Si 12

2/}

21

{R}21

{R: )( +−

=−−→−−x

xff x entonces f- -1 es igual a:

122

d)2

12 c)

122

b)1

)21 +

−−+

−−

+ xx

xx

xx

xa

Rta.: d

15. Si 13 2)( −+= xxf x entonces la ecuación de la recta tangente al gráfico en el punto (1, f(1) ) es

igual a: a) y = 7 x – 4 b) y = 6 x – 4 c) y = 6 x – 3 d) y = 7 x + 4

Rta.: a

16. ∫−

1

1

. dxex x es igual a: a) x ex - ex b) 2/e c) e – 1/e d) x . ex

Rta.: b

17. Si 1)(

23 +−+−= xxxx ef , entonces f ‘(a) + f(a) = 0 si y solo si:

a) a = 0 ó a = 2/3 b) a = 0 c) a = e d) a = 1

Rta.: a.

18. La función 26279 23)( +−+−= xxxf x :

a) tiene un máximo relativo en x = 3 b) tiene un mínimo relativo en x = 3 c) es decreciente d) es creciente.

Rta.: c

19. Si f: R → R es creciente en (− ∞, 3] y decreciente en [3, + ∞), entonces h(x) = – f(x +1) es:

a) creciente en (− ∞, 2] y decreciente en [2, + ∞) b) decreciente en (− ∞, 3] y creciente en [3, + ∞) c) decreciente en (− ∞, 2] y creciente en [2, + ∞) d) creciente en (− ∞, 3] y decreciente en [3, + ∞) Rta.: c

20. La población (en millones de habitantes) de una cuidad t años después del año 1970 está dada por la ecuación: P(t) = 5.e0,03 t . Será el triple de lo que era en 1975 para t igual a:

03,0)15,03ln(

)03,0ln15,03

)03,0

3ln15,0)

03,03ln15,0

)+−+−

dcba

Rta.: b

Matemática – CBC – U. B. A – Cátedra Gutiérrez Pág. 1

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Examen Final: Diciembre 1995 Tema 4.

1. Si f(x) = sen2 (π − 2x), entonces f ’(−π/8) es igual a: a) 2 b) 2 2 c) 1 d) 2 Rta: a

2. Si f(x) = 4x2 + 3x – 5 ; g(x) = x2 + x – 4; el conjunto A = {x ∈ R/ f(x) > g(x)} es igual a:

a) (– 1, 1/3 ) b) (− ∞, − 1/3) ∪ (1, + ∞) c) (0, 1/3) d) (− ∞, −1) ∪ (1/3, + ∞) Rta: a

3. ∫π

π+0

)3sen( dxx es igual a: a) 32− b) π

32

c) 0 d) 2 Rta.: a

4. la función 12)(

+=

x

xf x tiene:

a) Un mínimo en x = 1 y un mínimo en x = – 1 b) Un mínimo en x = 1 y un máximo en x = – 1

c) Un máximo en x = 1 y un máximo en x = – 1 d) Un máximo en x = 1 y un mínimo en x = – 1

Rta: d

5. Si f(x) = e ax entonces f ’(0) + f ”(0) = 2 sólo para :

a) a = 0 b) a = – 1 c) a = – 2 ó a = 1 d) a > 0 Rta: c

6. La función derivada de 4)(

2 += xx ef es igual a:

a) 421 2 +xe b) 2 42 +xe c) x 42 +xe d) 2x 42 +xe Rta: d

7. El área de la región limitada por el eje y, por la recta f(x) = 3x – 4 , y g(x) = – x + 4 es igual a:

a) 16 b) 8,5 c) 8 d) – 8. Rta.: c

8. El gráfico de f(x) = ½ + sen 2x para x ∈ [0, 2π] corta al eje x:

a) 2 veces b) ninguna vez c) 3 veces d) 4 veces Rta.: d

9. La función f tiene por derivada a f ’(x) = 2x2 – 16x + 30, entonces f es:

a) creciente en (− ∞, 3) b) creciente en (− ∞, 3) ∪ (5, + ∞) c) creciente en (5, + ∞) d) creciente en (3, 5) Rta.: b

10. El conjunto {t ∈ R/ t2 e – t > t e – t } es: a) (− ∞, 0) ∪ (1, + ∞) b) (1, e) c) (0, 1) d) (1, + ∞)

Rta.: a

11. El conjunto A = {x ∈ R/ – 5x – 7 > 0} contiene al intervalo:

a) (–1, 1) b) (– 6, – 5) c) (– 6, – 1) d) (–2, –1) Rta.: b

12. Sea f(x) = – 6(x – 2) (x + 1). El área de la región encerrada entre el gráfico y el eje x es igual a:

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a) 16 b) – 16 c) 27 d) 0 Rta: c

13. Si 2

2)( +

−=x

f x y g(x) = – x, entonces f o g(– 5) es 72

d)32

c)32

b)72

a) −− Rta.: a

14. La función f tal que f(0) = 2 y su derivada es 43' )( += xf x es:

23

21

21

23

)43(d))43(c)

4)(3b)4)(3a)

92

)(47

21

)(

21

)(92

92

)(

+=++=

+=++=

−

−

xfxf

xfxf

xx

xx Rta.: a

15. Sea f dada por f(x) = ex – e – x ; f es positiva en: a) [– 1, 1] b) (− ∞, – 2) c) R d) (0, + ∞)

Rta.: d

16. El conjunto {x ∈ R: >+

−2

3x

0} es igual a:

a) ( – ∞, – 2) b) (2, + ∞) c) (1, + ∞) d) (− ∞, −1) Rta.: a

17. Para x ∈ [0, 2π], sea f(x) = cos2 x – 3 sen x. Entonces {x: f ’(x) = 0} es :

}{)}{)}){}){2

3,24

,4

34

,2

34

,2

ππππππππ dcba Rta.: d

18. Sea f(x) = x3 – 2x2 + x. la recta de ecuación y = 5x – 8 es tangente a la curva y = f(x) :

a) en ningún punto b) en (2,2) c) en (0,0) d) en (2, 0) Rta.: b

19. Si ∫∫−−

=+2

3)(

2

3

2)( 2 )3( dxfdxxf xx , entonces ∫

−

2

3)( dxf x es igual a:

a) –35 b) – 15 c) 0 d) 35 Rta.: d

20. Sea f la función polinómica de grado 3 tal que su gráfico corta al eje de las x en (–2, 0); (1, 0) y (2, 0) tal que f(– 1) = – 3. Entonces:

a) f(0) > 0 b) f(0) < 0 c) f(0) = 0 d) f(0) ≠ 0, pero no puede decidirse el signo de f(0).

Rta.: b

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Final: 1998 Tema 1.

1) La función inversa de f(x) = ln (2x + 1) es f – 1

(x) = a) ln− 1(2x + 1) b) e 2x + 1 c) (ex – 1):2 d) e – 0,5 x + 1

Rta: c

2) El conjunto de positividad de x

xf x −

−=

15

)( es:

a) (5, + ∞) �b) (1, 5) c)(– ∞, 1) d) (−3, + ∞) Rta: b.

3) La función 43

)( ++

=bxax

f x tiene a “y = 4” y a “x = 1” como asíntotas para:

a) a = – 16, b = – 4 b) a = – 4, b = – 16 c) a = 16, b = 4 d) a = 4, b = 1. Rta: a 4) Sea A ={(x, y)/ |x| > ½ , |y – 1|< 2} y sean P =(0,0), Q = (1,3)

a) P ∉ A, Q ∉ A b) P ∈ A, Q ∈ A c) P ∈ A, Q ∉ A d) P ∉ A, Q ∈ A Rta: a 5) El gráfico de la función lineal que pasa por el punto (1,2) y tiene pendiente – ½ también pasa por:

a) (2,1) b) (7, – 1) c) (– 4, – ½) d) (7, 5) Rta: b

6) La función ax

xf x −

=1

2

)( tiene un punto crítico en x = ½ para “a” igual a: a) – ¼ b) ½ c) 2 d) 4

Rta: d

7) La función 24)( 23 xxf x += es decreciente en: a) (0, + ∞) b) (−∞, 0) c)

−

31

3

1; d) R.

Rta: b 8) Sea f: R → R tal que su derivada es f ’(x) = (x – 1)3 (x + 3)4 a) f tiene mínimo local en x = 1 y no tiene extremo en x = – 3. b) f tiene mínimo local en x = 1 y tiene máximo local en x = – 3. c) f tiene máximo local en x = 1 y tiene mínimo local en x = – 3. d) f tiene máximo local en x = 1 y no tiene extremo en x = – 3. Rta: b

9) La cantidad de soluciones reales de sen x = 23

− en el [0, 4π] es: a) 0 b) 4 c) 2 d) infinitas.

Rta.; b

10) F(x) = 2 – 2xe tiene alguna raíz real en el intervalo: a) (1, 2) b) (3, 4) c) (0, 1) d) (– 4, – 3)

Rta.: c 11) Si f: [0, 2π] → R es f(x) = sen2x, es creciente en:

a) (0, ½ π) y en (3/2 π , 2 π) b) (0, π) c) todo su dominio d) (0, ½ π) y en (π , 3/2 π ) Rta.: d 12) Si f(x) es una función exponencial tal que f(1) = 1 y f(3) = 4, entonces, f(5) = a) 16, b) 5, c) 4, d) 32 Rta.: a 13) Sea f(x) = e – x + a – 3 con a ∈ R. Entonces f ‘ (2) = - e – 1 para:

a) a = 1, b) cualquier valor de a, c) a = – 1, d) ningún valor de a.



Rta.: a 14) Si f es una función continua que tiene exactamente tres ceros (ver tabla de valores), entonces f tiene exactamente dos ceros en : a) (– ∞, 0) b) (2, 3) c) (– 1, 1) d) ( – ∞, 1)

Rta.: a

15) El área limitada por las curvas y = x3, y = x2, x = – 1, x = 1, es igual a:

∫∫

∫∫ ∫

−−

−−+−

−

−1

0

231

1

23

1

1-

320

1

1

0

2332

)(d)2 )(b)

)(c) )( )()a

dxxxdxxx

dxxxdxxxdxxx

Rta.: a 16) El máximo que alcanza la función f(x) = - a sen x es igual a 1 cuando:

a) a = 1 ó a = – 1 b) a = - 1 ó a = 3 c) a = 0 ó a = ½ π d) a = 1 ó a = 0 Rta.: a 17) La recta y = 3x + a es tangente a la curva y = x3 – 9x para:

a) ningún valor de a b) a = 16 ó a = – 16 c) a = 10 ó a = – 10 d) a = 2 ó a = – 2 Rta.: b 18) Si f(x) = ax2 + 4x – 1 y g(x) = x2 + ax + 2, el máximo de f coincide con el mínimo de g cuando:

a) a = 2 b) a = – 2 c) a = – 1 d) a = 1 Rta.: b

19) Si ∫−

=3

1)( 5 dxf x entonces, ∫

−

+3

1

)(2 )2

( dxf

x x es igual a: a) 25/3 b) 11 c) 71/6 d) 21/2

Rta.: c 20) En el intervalo [0, 3/2π], la función f(x) = cos (x + ¾ π) . sen x tiene:

a) 2 ceros b) 3 ceros c) 4 ceros d) 5 ceros. Rta.: d

x – 2 – 1 0 1 2 3 4 f(x) – 4 1 – 6 – 3 0 2 2

CBC – EXAMEN FINAL MATEMÁTICA CÁTEDRA – GUTIERREZ – DICIEMBRE 1999

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1. 2La ecuación 6 7 4 es satisfecha porxx

− = +

0 , 2x x= = ningún número real2 , 1/ 6x x= = − únicamente por 2x =

__________________________________________________________________________

2. 17Todos los valores de para los que la distancia entre (5 ; ) y (7 ; 1) es igual a son2

a a∈

0 , 3a a= = 1/ 2 , 3 / 2a a= = sólo 3/ 2a = no hay ningún .a__________________________________________________________________________

3. 1El dominio natural de esln(2 - 3 )x

; 1/ 3 ; 2 / 3( ) (1/ 3−∞ ∪ ) (0 ; )+ ∞ ; 2 / 3( )−∞ (2 / 3 ; )+ ∞ __________________________________________________________________________

4. 1 13 2 4Si ( ) y ( ) es su función inversa, entonces es igual a1 3xf x f x fx

− −− ⎛ ⎞= ⎜ ⎟− ⎝ ⎠

10 /13 2− 1/ 6− 7 /13__________________________________________________________________________ 5. { }2El conjunto x / x 7 13 3 8 es igual ax x∈ − + > −

∅ (3 ; 7) ( ; 3 / 2) (3 ; )−∞ ∪ + ∞ ) ( ; 3) (7 ;−∞ ∪ + ∞__________________________________________________________________________ 6. La parábola ( ) 3( )( 5) tiene eje de simetría de ecuación 17 / 6. Entoncesp x x a x x= − − =

2 / 9a = 1/ 3a = 2 / 3a = 3/ 2a = −__________________________________________________________________________ 7. 2La función inversa de ( ) 2 viene dada porxf x e −= +

21

2 xye −=

+ ln( 2) 2y x= − + ln( )y x= 2

1 12 xy

e −= +

__________________________________________________________________________ 8. Entre todos los rectángulos cuyos lados e están relacionados por 2 24, el de área

máxima viene dado porx y x y+ =

6 ; 12x y= = 6 ; 6x y= = 7 ; 10x y= = 12 ; 6x y= =__________________________________________________________________________ 9. Si ( ) es una función polinomial de segundo grado tal que (3) ( 7) 0 y (0) 42,

entonces (4) es igual a: P x P P P

P= − = = −

22 11 21 11− __________________________________________________________________________ 10. 2La recta que pasa por el origen (0 ; 0) se corta con la parábola de ecuación 3

en un punto de abscisa 1. Entonces la recta también se corta con la parábola en el puntoy x= −L

( 2 ; 1)− − ( 3 ; 6)− − ( 6 ; 3)− − (0 ;3)__________________________________________________________________________

11. 2La función homográfica ( ) tiene asíntota vertical 1/ 5 y asíntota1

horizontal 3 cuando

f x a xbx

y

= + =−

=

3 , 5a b= = 1/ 5 , 3a b= = 0 , 5a b= = 3 , 0a b= =

sokolovsky

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sólo dos ninguna sólo una exactamente tres__________________________________________________________________________ 13.

( )( )0,01

Un nuevo rumor se propaga en una pequeña población, y el número ( ) de personas que

lo conocen al cabo de días viene dado por ( ) 5000 1 2 . Llega a ser conocido

por la mitad de la población

t

N t

t N t −= −

a los 36500 días 125 días nunca 100 días

__________________________________________________________________________ 14. 3La recta tangente a ( ) 1 en el punto (1 ; (1)) intercepta al eje de las

en el punto de abscisa f x x x f= + + x

0 1/ 4 3 / 2 3/ 2− __________________________________________________________________________ 15. 3 2

2

Los móviles y se desplazan respectivamente según las ecuaciones ( ) 3 4y ( ) . Sabiendo que en el instante 4 se encuentran en el mismo lugar y llevan la misma velocidad,

A B A t t tB t t mt n t

m

= − +

= − + =y deben valer respectivamenten

10 ; 100m n= = 16 ; 60m n= − = − 16 ; 60m n= = − 20 ; 64m n= =

__________________________________________________________________________ 16. ( ) ( )2 3Si : , y su derivada viene dada por ( ) 3 1 , entonces tiene'f f x x x x→ = − + f

mínimo relativo en 0 y máximo relativo en 1x x= = − mínimo relativo en 0 y en 3, y máximo relativo en 1x x x= = = − máximo relativo en 0 y mínimo relativo en 1x x= = − mínimo relativo en 0, y máximos relativos en 1 y en 3x x x= = − =

__________________________________________________________________________

17. 1

La función : , ( ) es decreciente xxf f x e

+−{0}→ =

en ( ; 1) y en (1 ; )−∞ − + ∞ solamente en (1 ; )+ ∞en ( 1 ;0) y en (0 ; 1)− en ( 1 ; 1)−

__________________________________________________________________________ 18. Una función : (0 ; ) tal que (1) 3 y ( ) ln es'f f f x x+ ∞ → = =

21 ln ( ) 32

x + ln 4x x x− + 21 ln ( ) 22

x x+ + ln 3x x x− +

__________________________________________________________________________ 19. 3El área de la región encerrada por los gráficos de , el eje , y las rectas 2, 1 ,

viene dada por y x x x= = − =x

0 13

2 0

3x dx x dx−

− +∫ ∫ 1 3

2x dx

−∫ 0 13

2 0

3x dx x dx−

−∫ ∫ 1 3

2x dx

−∫

__________________________________________________________________________ 20.

5 5

0 0Si [3 ( ) 2] 7, entonces ( ) es igual af x dx f x dx+ =∫ ∫0 1 5 1−

__________________________________________________________________________

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CBC – MATEMÁTICA – EXAMEN FINAL – CÁTEDRA GUTIÉRREZ – JULIO 2000

Si necesitas clases para preparar tu parcial o final llamá al 011–15–67625436 1. El cuadrado de la distancia entre los puntos ( ; 1) y (3 ; 5) esx x +

2 29 ( 1) 25x x− + + − ( ) (2 23 4x x− − − ))24 )( ) (23x x− + − ( ) (2 25 2x x− + −

________________________________________________________________________________

2. 10 1Las asíntotas de ( ) +1 son 2 5xf xx+

=−

2 / 5 ; 2x y= = − 5 / 2 ; 1x y= − = 1 ; 2 / 5x y= − = 2 / 5 ; 1x y= = −

________________________________________________________________________________ 3. ( )2El conjunto de raíces reales de 5 x 9 18 es igual ax x− − +

{3,5,6} {5,6} ∅ {−5,5,6}________________________________________________________________________________

4. 1 13 2Si ( ) y es su función inversa, entonces (3)3

xf x f fx

− −−=

+

0= no existe 2 / 3= − 3= − ________________________________________________________________________________ 5. La inversa de cierta función es tal que (1) 2, (0) 0 y ( 3) 1/ 2.

Entonces (2)g f g g gf

= = − ==

1/ ( 3)g − faltan datos 1 6− ________________________________________________________________________________ 6. Los valores de para los cuales la distancia entre los puntos ( ;1) y (2 ; ) vale 10 / 2 sona a a

0 , 3 5 / 2 , 1/ 2 sólo 10a = sólo 0a = ________________________________________________________________________________ 7. 2Sea la región encerrada entre los gráficos de 4 e 2. Se considera

los puntos del plano ( 1 ; 2) y (2 ; 1). EntoncesA y x y

P Q= − = − −

= − = −x

;P A Q A∈ ∉ ;P A Q A∉ ∉ ;P A Q A∈ ∈ ;P A Q A∉ ∈

________________________________________________________________________________ 8. { }3El conjunto x / x es igual ax∈ >

( 1 ; 0)− ( 1 ; 0) (1 ; )− ∪ + ∞ ( ; 1) (1 ; )−∞ − ∪ + ∞ ∅ ________________________________________________________________________________ 9. ( )( ) 1 y ( ) es una función lineal. Si ( ) 3 1, entonces ( ) es igual ax xf x e g x g f x e g x= − = −

3x −1 2 3x + 3x 3 1xe − ________________________________________________________________________________ 10. Un polinomio ( ) tal que ( 1) (2) 0 y (6) 4 es:P x P P P− = = = −

( )1/10 ( 2)( 1)( 5)x x x+ − − ( )1/ 7 ( 2)( 1)( 5)x x x− − + − 4( 2)( 1)x x− − + ( 2)( 1)( 6x x x )− + −

________________________________________________________________________________ 11. En el intervalo [0 ; 4 ], el total de raíces de la ecuación 1 sen 2 0 es:xπ + =

4 8 2 1________________________________________________________________________________

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Si necesitas clases para preparar tu parcial o final llamá al 011–15–67625436 12. ( 1)

0,2

Un proceso de desintegración se describe por ( ) . Se sabe que (1) 3 y (3) 3 Entonces los valores de y de vienen dados como

k tD t C DD C k

ee

− −

−

= =

=

faltan datos 3 ; 0,1C k= = 3 ; 0, 2C k= = − 1/ 3 ; 0,1C k= =

________________________________________________________________________________ 13. 3/ 2 1La recta que es tangente a en el punto (1 ; 2) tiene ecuaciónxy x e −= +

( )5/ 2 ( 1) 2y x= − + ( ) 1/ 2 1 3 / 2 xy x e −= + ( )5/ 2 2y x= + 2 / 5y = ________________________________________________________________________________ 14. 2La recta tangente a ( ) 4 en el punto de abscisa 1 se corta con los ejes

coordenados en los puntosf x x x= − =

(0 ; 0) y (1 ; 1) (5 / 2 ; 0) y (0 ; 5)−(5 / 2 ; 0) y (0 ; 5) ( 2 ; 3) y (0 ; 1)−

________________________________________________________________________________

15. 2

La función ( ) es creciente en1 2xf xx

=−

(0 ; 1) (0 ; 1/ 2) y en (1/ 2 ; 1)(1 ; )+ ∞ ( ; 0) y en (1 ; + )−∞ ∞

________________________________________________________________________________ 16. 3 2La función ( ) 2 9 60 tienef x x x x= + −

mínimo relativo en 0x = mínimo relativo en 5 y máximo relativo en 2x x= − = máximo relativo en 5 y mínimo relativo en 2x x= − = mínimo relativo en 9 / 4x = −

________________________________________________________________________________ 17. El área de la región encerrada por el gráfico de cos , el eje de las abscisas

y las rectas 0, 3 es igual a2

y x

x x π=

= =

1− ( )3/ 2 π 1 3________________________________________________________________________________

18. ( )1 220

2 ln 1 es igual a1x x dxx

++∫

1 ( ) 21/ 2 ln (2) ln 2 ( ) 2 21/ 2 ln (1 )x+ ________________________________________________________________________________ 19.

1 1

0 0[3 ( ) ] 10 e ( ) . Entonces:f x x dx I f x dx− = =∫ ∫11/ 3I = 7 / 2I = 0I = ( )10 / 3I x= +

________________________________________________________________________________ 20. 2 2Si el área de la región encerrada entre el gráfico de ( ) ( 0) y el eje

de las abscisas vale 32/3, entonces es igual af x a x a

a= − >

7 / 3 1 3/ 7 2________________________________________________________________________________

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CBC – EXAMEN FINAL DE MATEMÁTICA – FEBRERO 2000CÁTEDRA GUTIERREZ-FAURING

Si necesitas clases de apoyo para aprobar tu parcial o final llamá al 4585 - 1548 __________________________________________________________________________ 1. 2Si el vértice de la parábola es (1 ; ), entonces:vy x bx y= +

2 ; 2vb y= − = 2 ; 1vb y= − = − 1 ;2 2vb y= − =

1 2 ; 0vb y= =

_________________________________________________________________________ 2. Los ceros de ( ) 1 sen que pertenecen al intervalo [ ;2 ] son:f x x π π= + −

, 0, , 2π π π− 2π , 3

2 2π π

− , , 32 2 2π π π

−

__________________________________________________________________________

3. 12Si ( ) entonces (1) es igual a:2 1xf x fx

−−=

+

3 1− 3− 1__________________________________________________________________________

4. 1Las asíntotas de ( ) 1 son las rectas de ecuaciones:1

f xx

= −−

1 ; 0x y= − = 1 ; 1x y= − = 1 ; 1x y= = − 1 ; 0x y= =__________________________________________________________________________ 5. El punto ( ; 48) pertenece a la recta que pasa por los puntos (0 ; 0) y (1 ; 3) sia −

16a = 51a = − 1/16a = − 16a = −__________________________________________________________________________

6. 2 y son los puntos donde el gráfico de ( ) corta a los ejes coordenados.2

La distancia entre y es igual a:

xP Q f xx

P Q

+=

−

5 5 1 3 __________________________________________________________________________ 7. La imagen de la función ( ) 3 2sen esf x x= +

[1 ; 5] [3 ; 5] [ 1 ; 1]− __________________________________________________________________________

8. 3El conjunto x / 2 es igual a:x

⎧ ⎫−∈ <⎨ ⎬

⎩ ⎭

3( ;2

− + ∞) 3( ;2

−∞ − )

3( ; 0 ) (0 ;2

−∞ ∪ ) 3( ; ) (0 ;2

)−∞ − ∪ + ∞

__________________________________________________________________________ 9. El dominio natural de ( ) ln( ) es:f x x=

(0 ; )+∞ (0 ; ]e [1 ; )+ ∞__________________________________________________________________________ 10. Si ( ) es la función polinomial de grado 3 cuyo gráfico pasa por los puntos

(2 ; 0) , (-1 ; 0), (1 ; 0) y (0 ; 1), se puede afirmar que ( 2)f x

f− −es positiva es negativa es nula no existe

__________________________________________________________________________ Si necesitas clases de apoyo para aprobar tu parcial o final llamá al 011–15–67625436

11. 2

2

1Si la derivada de es ( ) , se puede asegurar que es creciente en' xf f x fx−

=

( )0 ;1 ( )1/ 2 ; 3/ 2 ( ; 1−∞ − )__________________________________________________________________________ 12. El área de la región encerrada por las curvas , 0 , 3 está dada por:y x x y= = =

( )9

03 x dx−∫

9

0x dx∫ ( )3

03 x dx−∫

3

0x dx∫

__________________________________________________________________________ 13. ( )

0 2

22 1 es igual a:x dx

−+∫

14 / 3 2− 28 / 3 13/ 3−__________________________________________________________________________ 14. ( )3Si ( ) ln 2 1 entonces su derivada ( ) es igual a'f x x f x⎡ ⎤= +⎣ ⎦

( )3

12 1x +

( )23 ln 2 1xx

⎡ ⎤+⎣ ⎦ 62 1x +

( )2

62 1x +

__________________________________________________________________________ 15. { }2Si ( ) 6 ln( ), entonces x / 3x 9 (2) es igual a'g x x g= ∈ − >

( ; 2) (2 ;−∞ − ∪ + ∞) (2 ; )+ ∞ ( 2 ; 2)− ( ; 2−∞ − )__________________________________________________________________________ 16. 2 2La recta tangente al gráfico de ( ) en 0 es:xf x e x−= =

2y e−= 0y =2 22 xy xe −= 2y e−= −

__________________________________________________________________________ 17. [ ]

3 3

0 0Si ( ) 6, entonces ( ) 3 es igual a:f x dx f x x dx= −∫ ∫152

3− 152

− 32

__________________________________________________________________________ 18. 3La recta 3 1 es tangente al gráfico de ( ) 2 3 5 en:y x f x x x= − = − −

( 1 ; 4)P = − − (1 ; 6)P = − (1 ;2)P = ( 1 ;4)P = −__________________________________________________________________________ 19. sen ( )En el intervalo (0 ; 2 ), ( ) tienexf x eπ =

mínimo relativo en y máximo relativo en 32 2

x xπ π= =

máximo relativo en x π=

máximo relativo en y mínimo relativo en 32 2

x xπ π= =

mínimo relativo en x π= __________________________________________________________________________ 20. Una primitiva de ( ) 3 5 es ( ) igual a:f x x F x= +

( ) 1/ 21 3 52

x −+ ( ) 3 / 23 3 52

x + ( ) 3 / 22 3 59

x + ( ) 1/ 23 3 52

x −+

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CBC – FINAL DE MATEMÁTICA – CÁTEDRA GUTIERREZ – DICIEMBRE 2000 Por cada ítem hay cuatro respuestas, siendo verdadera exactamente una de ellas. Marque con una cruz la respuesta que considere correcta. Para aprobar este examen hay que tener al menos 8 respuestas correctas, y la cantidad de correctas debe ser mayor que la cantidad de incorrectas. Los ítems no contestados no se tendrán en cuenta. __________________________________________________________________________________________

1. 1¿Qué cuadrante no es atravesado por el gráfico de ( ) 1 ?2

f x x= − +

el primero el tercero el segundo el cuarto__________________________________________________________________________________________ 2. 2La recta de pendiente 3 que pasa por el origen, se corta con la parábola de ecuación 4

en los puntos de abscisa:y x= −

0 y 3 4 y 1− 2 y 2− 1 y 4− __________________________________________________________________________________________ 3. 2Si ( ) , ( ) 9 y { / ( )( ) 1} entonces es igual a:xf x e g x x B x R f g x B= = − = ∈ >

{ 3 ; 3}− ( ; 3) (3 ; )−∞ − ∪ + ∞ (3 ; )+ ∞ __________________________________________________________________________________________

4. 13Si ( ) entonces , la función inversa de , es igual a:1xf x f fx

−−=

+

13xx

+−

31

xx−+

3 11xx

−−

+

31xx

−+

__________________________________________________________________________________________ 5. El mayor valor que puede alcanzar ( ) 2 sen es igual af x x= −

2 1 3 / 2π− __________________________________________________________________________________________ 6. 2 ¿Cuál de los siguientes valores no pertenece a la imagen de ( ) 1 ( 2) ?f x x= − −

1 2 0 1/ 2− __________________________________________________________________________________________ 7. 2 1 6 1Los gráficos de las funciones e se cortan en el punto de abscisa x xy ye e− + x == =

12

12

− no se cortan 1ln2

−

__________________________________________________________________________________________ 8. En el intervalo [ ; 2 ] la función ( ) 1 sen(2 ) tiene exactamentef x xπ π− = −

un cero seis ceros dos ceros tres ceros__________________________________________________________________________________________

9. ln( 2)El dominio de ( ) es

4xf xx+

=−

( 2, )− +∞ ( 2, 4) (4, )− ∪ +∞ {4}− ( 1, )− +∞

__________________________________________________________________________________________

10. 1Si ( ) , entoncesxf xx−

=

0lim ( ) y lim ( ) 1

xxf x f x+ → − ∞→

= −∞ = 0

lim ( ) y lim ( ) 1xx

f x f x+ → − ∞→= +∞ =

0lim ( ) 1 y lim ( ) 1

xxf x f x+ → − ∞→

= = 0

lim ( ) y lim ( ) 0xx

f x f x+ → − ∞→= −∞ =

__________________________________________________________________________________________ 11. es una función polinomial de segundo grado que se anula en 1 y en 1, y además

(3) 1. Entonces (0) es igual a:f xf f

x= − ==

2 / 3 1/8− 1− 1/ 8__________________________________________________________________________________________

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12. 2= + + − La ecuación de la recta tangente a ( ) 3 1 tiene pendiente 1 paraf x x x 2x = ningún x 5 / 2x = − 2x = −

____ __________________________ ______________ __________ _ ___ ___________ ___________ __________

( )22El valor positivo de que hace que ( ) tenga un punto crítico en 1/ 2 es:a f x x

x= =

x a+13.

4 3 2 1__________________________ ___________________________ ______________________ __ ______ ___ ____14. 3 −La función ( ) ( 1) 1) 1 es creciente f x x x= − − + 3(

sólo en (2 ; )+ ∞ sólo en ( ; 0)−∞ en ( ; 0) y en (2 ; )−∞ + ∞ en ____ __________________________ ______ ___ __________________ _________________________________15. ta tange te en el punto donde ( ) alcanza su máximo sLa ecuación de la rec n exf x x e−= ⋅

1y = 1y = 1xe

= 1xe

=

__________________________ ______________________ __________________ _________ ___ ________ ____16. ( 1)sen sx + 2imitiva de ( ) ( 2 ) ef x x x= + Una pr

21 cos( 2 )2

x x− + 21 cos( 2 )2

x x+ 2cos( 2 )x x− + 2cos( 2 )x x+

__________________ ____ ____________ __ ____ ______ ____ ___________ _______________ ______________17 2 3Dada : sabe que su derivada ( 1) ( 2) ( ).f f x x x→ = + − −. , se es ( ) 4x′

Entonces la cantidad de extremos relativos de esf

2 3 1 ninguno __________________________ ___________________ ______________________ __ ______ ____ ___________

18. 1

t20

La es igual a1

t+∫ t d

ln 2 ln 4 2ln(1 )2

t1+ 1 ln 2

2

______ ___________________ ___ ____________ ________________________ _ ____________________ _____19. Da s las irmac nes :da af io

( ) ( 2) cos cos 2 cosI x x dx x x dx x dx− = −∫ ∫ ∫( ) ( 2)( 3) ( 2) ( 3)II x x dx x dx x dx− + = − ⋅ +∫ ∫ ∫

(I) y (II) son verdaderas (I) y (II) son falsas (I) es verdadera y (II) es falsa erdadera (I) es falsa y (II) es v

__________________________________________________________________________________________ 20. es: 3ntre las curvas e y x y x= =El área de la región encerrada e

1 3( )1x x dx−∫ 1 3( )

1x x dx−∫

− −

0 1

1( )3 3

0( )x x dx

−−∫

0 1x x dx+ −∫ 3 3

1 0( ) ( )x x dx x x dx

−− + −∫ ∫

____________________________ ____________________________ __________________________________

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Final de Matemática 2000

Cátedra de Gutiérrez

Examen Final: Julio del 2000

1) La función lineal de f satisface f(3) – f(0) = 8. Entonces la pendiente de f es a) 83 b) 8 c)

38 d) 3

Rta.: c

2) El valor máximo y el valor mínimo que toma la función f (x) = –3 cos(2x + π) + 1 es:

a) 4 y –2 b) 1 y –3 c) 1 y –1 d) 301 y – 301

Rta.: a

3) Una de las raíces del polinomio P(x) = ½ (x – 2)3 – (x – 2)2 es igual a 2, otra es:

a) 0 b) 4 c) – ½ d) – 2

Rta.: b

4) Los valores pertenecientes a los reales por los cuáles la distancia entre (2a –1, – 4) y (1,2) es igual a10 son: a) – 5 y 3 b) – 3 y 5 c) 0 y 100 d) 1 y ½

Rta.: b

5) El dominio natural de la función f(x) = ln(x –1) + ln(2 + x) es:

a) (– 2; + ∞) b) (– ∞; – 2) ∪ (1, + ∞) c) (0; + ∞) d) (1; + ∞)

Rta.: d

6) Si 413

2)( −

+=

xf x , entonces la asíntota horizontal de f –1

(x) tiene ecuación:

a) 43−=y b) y = 2 c) y =

31− d) y = 3

Rta.:

7) Si f(x) = e – 3x + 2 entonces la imagen de f es igual a: a) (– ∞; 2) b) (0; + ∞) c) (2; + ∞) d) (– ∞; 0)

Rta.: c

8) Si una parábola tiene vértice en (4,7) y corta al eje de los x en (5,0) entonces también corta el eje de los x en el punto: a) (3,0) b) (0,0) c) (6,0) d) (– 5,0)

Rta.: a

9) El conjunto de positividad de f(x) = (x2 – 3) ex – 5 es igual a:

a) (– 3 ; 3 ) b) (– ∞, – 3) ∪ (3 + ∞)

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c) (– ∞,– 3 ) ∪ ( 3 , 5) ∪ (5, + ∞) d) (– ∞, – 3 ) ∪ ( 3 , + ∞)

Rta.: d

10) El gráfico de f(x) = x2

corta a la recta de ecuación y = x +1 en los puntos de abscisa:

a) –1 y 0 b) – 2 y 0 c) 1 y – 2 d) 1 y 0

Rta.: c

11)Dada 2)( 1cos xf x += su derivada es igual a:

a)2

2

12

1sen

x

xx

+

+− b)

2

2

12

1sen

x

x

+

+ c)

2

2

1

1sen

x

x

+

+− d)

2

2

1

1sen

x

xx

+

+−

Rta.: d

12) ∫1

0. dxex x es igual a: a) 1 b) x. ex – e + 1 c) ½ e d) x. ex – ex.

Rta.: a

13) La función f(x) = 2x2 – 1n x:

a) es creciente (0 + ∞) b) es decreciente en (0 + ∞)

c) tiene un máximo relativo en x = ½ d) tiene un mínimo relativo en x = ½

Rta.:d

14) Si x ∈ [0,2 π] es tal que sen x < 0 y cos x > 0, entonces x pertenece a:

( ) ( ) ( ) ( )πππππ ππ23

2223 ,),0),)2 ,) dcba

Rta.: a

15) La función f(x) = (x – 3)2 + 10 es creciente solamente en: a) R b) (3, + ∞) c) (4, + ∞) d) (– ∞,3)

Rta.: b

16) La recta tangente al gráfico de f(x) = x2 + 4x –1 en xo = –1 es:

a) y = – 2x – 6 b) y = 2x + 4 c) y = 2x –2 d) no existe

Rta.: c

17) El área de la región encerrada entre la curva y = – x2 y la recta y = x es:

a) ∫−

−−0

1

2 )( dxxx b) ∫−

+−0

1

2 )( dxxx c) ∫−

+0

1

2 )( dxxx d) ∫−

+−0

1

2 )( dxxx

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Rta.: b (para que3 el valor sea positivo)

18) Dadas las afirmaciones: ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫

+−=+−

−=

dxxdxxdxxx

dxxdxxxdxxx

).3().2().3)(2()II(

.cos2.cos.cos)2–()I(

Decir : a) (I)verdadera b) (II)falso c) (I) es falso y (II) verdadera

d) (I) y (II) son verdaderas e) (I) y (II) son falsos.

Rta.: a

20) Si en dxx

xx

sen2

cos.sen2∫

+ se realiza la sustitución de y = sen x, se obtiene:

a) dyyy

y∫

−+

12 22 b) dy

y

y

2 2∫+

c) dyy

yy

2

12

2

∫+

− d) dy

y

y∫

+

−

2 2

Rta.: b

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∉

CICLO BÁSICO COMÚN MATEMÁTICA EXAMEN FINAL SEPTIEMBRE 2001

CÁTEDRA GUTIÉRREZ-FAURING _____________________________________________________________________ 1. 2Dados {( , ) : 3 0} y los puntos (2,7) y (2,6)A x y R x y P Q= ∈ − < = =

y P A Q A∈ y P A Q A∈ ∈ y P A Q A∉ ∉ y P A Q A∉ ∈

_____________________________________________________________________

2. 3 2El conjunto de puntos que satisfacen la inecuación 0 es igual axx−

<

(0,1) (3 / 2 , )+ ∞ ( ,0) (3 / 2, )−∞ ∪ +∞ ( ,1−∞ )_____________________________________________________________________ 3. Todos valores de que hacen que ( 1; ) diste de (2, 4) en 1 sona a a∈ −

3, 1 y 4 y 2− 3 1, 0 y 1− 3 y 4_____________________________________________________________________ 4. 2Si ( ) 7 6 y ( ) 1, el conjunto de raíces de ( ) ( )( ) es:f x x x g x x h x f g x= + + = + =

{ 5,0}− { 7 , 2}− − { 1,6}− { 2,6,7}−_____________________________________________________________________ 5. Una función lineal tal que (2) ( 2) 6 y (1) 1 es ( ) igual a f f f f x+ − = =

23 7x x+ − 9 3 2x− + 9 8x − 4 2x −_____________________________________________________________________ 6. 2La distancia entre el vértice de la parábola de ecuación ( 2) 1 y el origen es:y x= − − +

0 2 , 236067 2 1+ 5 ______________________________________________________________________

7. : [0, ] definida como ( ) cos(2 ) toma su valor mínimo cuando vale2

f R f x x xππ → = +

4π

4 2π π+ π

2π

______________________________________________________________________ 8. La imagen de ( ) 3sen(2 / 7) es igual af x x π= − +

[ 3,3]− [ 1 ,1]− [ 3 / 7 , 3 / 7]π π− [0 , / 2]π _____________________________________________________________________

9. Si 13Si ( ) y es la función inversa de , entonces1

xf x f fx

−−=

+

1 (1) 1f − = − 1 (1) no existef − 1 (1) 1/ 2f − = 1 (1) 0f − = _____________________________________________________________________ 10.S i ( ) es una función polinomial de grado 3 con raíces -5, 2 y 4 y (0) 120,

entoncesP x P = −

(1) 18P = (1) 54P = − (1) 0P = (1) 120P = −_____________________________________________________________________

11. 1

5 3 5 2Se sabe que lim y lim , entonces2 2 2 5x x

ax axx b x b→+∞ →

− −= =

− −

2 / 3 , 1/ 5a b= = 3 , 2a b= = 3, 7a b= = 0 , 1a b= =

_____________________________________________________________________

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_____________________________________________________________________ 12. 2senLa derivada de es igual axe

(2 2sen ) 1(sen ) xx e − (2sen ) 12sen cos xx x e −⋅2sen(2sen ) xx e 2sen2sen cos xx x e

_____________________________________________________________________ 13. 3 2La recta tangente al gráfico de ( ) 1 en el punto (1, (1))

tiene ecuaciónf x x x x f= + + +

6 2y x= − 6 2y x= − 3 1y x= − 2 1y x= +_____________________________________________________________________

14. 2 1( ) tiene un punto crítico en 1 para

3axf x xx

+= =

+

cualquier 0a > 1/ 7a = − 1/ 7a = 3/ 5a =_____________________________________________________________________ 15. : es una función derivable cuya derivada verifica ( ) 0 en

( , 2) (3, ) y ( ) 0 en (2 , 3). Entonces'

'f f

f x→ <

−∞ ∪ +∞ >x

x alcanza un máximo relativo para 2 y un mínimo relativo para 3f x = = alcanza un mínimo relativo para 2 y un máximo relativo para 3f x x= = alcanza mínimos relativos para 2 y para 3f x x= =

Con los datos suministrados no se puede asegurar extremos. ___________________________________________________________________ 16. 2( ) .(1 ) es creciente únicamente enf x x x= −

( 3 / 3 ; 3 / 3− ) ( ) ( ), 3 / 3 y en 3 / 3,−∞ − + ∞

(0, 3 / 3) (0, )+∞ _____________________________________________________________________

17. 216 3La función ( ) decrece en3

x xf xx+ −

=−

( , 1) y en (7, )−∞ − +∞ ( 1,3) y en (3,7)− ( 1,7)− (7, )+∞

_____________________________________________________________________ 18. 2

Una función cuya derivada es ( ) y (0) 1 es' xf f x x xe f= =sensen cos2sen 1

2 2

xe+

2sen

2

xe 2sensen . xx e 2 cossen xxe

______________________________________________________________________

19. 2 2 23

1 1 1

1Si [ ( ) ] ( ) entonces ( ) es igual a4

f x x dx f x dx f x− − −

+ = −∫ ∫ ∫

2 1/ 4 0 3_____________________________________________________________________ 20. El área de la región encerrada entre los gráficos de sen , el eje de las , y las rectas

de ecuaciones , / 2, es igual ax

x xπ π= − =x

1− 3 1 2−_____________________________________________________________________


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CICLO BÁSICO COMÚN MATEMÁTICA EXAMEN FINAL CÁTEDRA GUTIÉRREZ-FAURING

DICIEMBRE 2003

Si necesitas clases para preparar tu parcial o final llamá al 011-15-676254361. 2La imagen de la función ( ) 2 4 1 esf x x x= − +

[1, )+∞ ( , 1]−∞ [ 1 , )− +∞ ( , 1−∞ − ]________________________________________________________________________________ 2. Si [ , ] , ( ) cos es positiva enx f x xπ π∈ − =

( ; / 2) ( / 2 ; )π π π− − ∪ π ) ( / 2 ; / 2π π− (0 ; )π ( ; 0)π− ________________________________________________________________________________ 3. Sea ( ) 3 2cos . El valor máximo que alcanza es f x x f= −

3 5 1 2_______________________________________________________________________________

4. 2 1 : 4 1 , entonc3xA x R − + = ∈ − < ≤

Si es

A A

1 6A∉ ∈ 1 6A A∈ ∈ 1 6A∈ ∉ 1 6A A∉ ∉________________________________________________________________________________ 5. Si 2 ( ) ( 1 ) y ( ) 2 , entonces el conjunto de ceros de esf x x g x x f g= − = +

∅ {1} { 1}− { 1,1}− ________________________________________________________________________________

6. 4Las ecuaciones de las asíntotas de la función ( ) 2 son1

f xx

= ++

1 ; 2x y= − = 1 ; 2x y= = 1 ; 0x y= − = 2 ; 1x y= = −

)

________________________________________________________________________________ 7. 2El dominio de ( ) ln ( 1) es igual af x x= −

( 1 , 1 )− (0 ; )+∞ ( , 1 ) (1,−∞ − ∪ +∞ R ________________________________________________________________________________ 8. S 1ea ( ) 5 3. Entonces (2) es igual a xf x e f −= −

2e − 25e −3 1 0________________________________________________________________________________

9 1El gráfico de ( ) 1 corta a los ejes coordenados en los puntos y .1

La distancia entre y es igual a

f x Px

P Q

= ++

Q

8 8 0 2________________________________________________________________________________

10. 2 3El conjunto de positividad de la función ( ) es

2 1xf xx+

=−

( , 1/ 2−∞ ) ( , 3 ) ( 3 , )−∞ − ∪ +∞ ( 3 , 3− ) (1/ 2, )+∞

________________________________________________________________________________

1

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11. Si la función lineal cumple (6) (3) 4, su gráfico tiene pendiente igual af f f− =

4 /3 3 4 3/ 4________________________________________________________________________________ 1 . 2 2La función ( ) ln ( 4) es creciente enf x x= +

(0, )+∞ ( 2, )− +∞ R ( , 0−∞ )________________________________________________________________________________ 13. Si 2 la derivada de es ´( ) ( 1)( 2) , entoncesf f x x x= − −

tiene un máximo relativo en 1 y no tiene mínimo relativof x = no tiene extremos relativosf tiene un mínimo relativo en 1 y no tiene máximo relativof x = tiene un mínimo relativo en 1 y no tiene máximo relativo.f x =

________________________________________________________________________________

14. 1 ( ) . Entonces ´(2) es igual a1

xf x fx−

=+

Sea

2 /9 3/5 28 2 / 6________________________________________________________________________________ 15. Sea 2 ( ) 3 1. La ecuación de la tangente al gráfico de en el punto (1, (1) ) esf x x x f f= − + −

1y x= + 1y = 2y x 3= − + y x= ________________________________________________________________________________ 16. Sea 2 ( ) 1. Si es el valor del área de la región comprendida entre los gráficos

de , el - , y las rectas 0 y 3, entonces se obtiene calculandof x x Af eje x x x A

= −= =

1 32 2

0 1(1 ) ( 1)x dx x dx− + −∫ ∫

3 2

0( 1)x dx−∫

3 2

0(1 )x dx−∫

1 32 2

0 1( 1) (1 )x dx x dx− + −∫ ∫

________________________________________________________________________________

17. ( )1 2

12 para x a dx

−+ =∫

Ningún valor de .a 43

a = 23

a = 1a =

________________________________________________________________________________ 18.

2Una primitiva de la función ( ) . es la función ( )xf x x e F x−= =

212

xe −− 222

2x xe x e− −− 2xe −

2xe −−

________________________________________________________________________________ 19. Si 2/3 ( ) (2 1) , su derivada es ´( )f x x f x= + =

5 / 33 (2 1)10

x + 1 / 3(2 1)x −+

1 / 34 (2 1)3

x −+ 1 / 32 (2 1 )3

x −+

________________________________________________________________________________

20. cos( ) es igual ax dxx∫

1 sen ( )2

x C+ 1 sen ( )2

x C− +

2sen ( )x C− + 2sen ( )x C+ Si necesitas clases para preparar tu parcial o final llamá al 011-15-67625436

2

http://www.rinconmatematico.com/

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CICLO BÁSICO COMÚN EXAMEN FINAL DE MATEMÁTICA JULIO 2004 CÁTEDRA GUTIERREZ-FAURING

_____________________________________________________________________ 1. 2Si ( ) 4 y ( ) 5, el gráfico de tiene vértice en el puntof x x g x x f g= − = −

(0 ; 4)V = − (5 ; 4)V = − (0 ; 9)V = − (5 ; 4)V =_____________________________________________________________________ 2. En el intervalo [0 ; 2 ] , el gráfico de ( ) cos(2 ) corta al eje f x xπ = x

4 veces 1 vez nunca 2 veces_____________________________________________________________________ 3. 2El dominio de la función ( ) ln( 5 6) esf x x x= − +

(2 ; 3) (0 ; )+ ∞ ( ; 2) (3 ;−∞ ∪ + ∞)_____________________________________________________________________ 4. 1La función inversa de ( ) 1 2 es ( ) igual a f x x f x−= + −

( )22x + −1 ( )21 2x − + 2 1x + − 11 2x + −

_____________________________________________________________________ 5. ( )El conjunto de negatividad de la función ( ) ln 100 es f x x= −

(101; )+∞ ( ;101)−∞ (100 ; 101) (100 ; )+ ∞_____________________________________________________________________ 6. 3xLa imagen de la función ( ) 1 es igual af x e += −

( ; 1−∞ − ) ( 1 ; )− + ∞ ( 3 ; )− + ∞_____________________________________________________________________ 7. S i ( ; 1) y Q (2 ; 4) entonces ( , ) 5 sólo paraP a d P Q= = =

6 ; 2a a= − = ningún valor de a 6 ; 2a a= = 6 ; 2a a= = −_____________________________________________________________________ 8. { }22Si ( , ) / 3 ;| 2 | 4 , ( 2 , 7) y Q (3 , 0), entoncesA x y x y P= ∈ > − < = − =

,P A Q A∉ ∈ ,P A Q A∉ ∉ ,P A Q A∈ ∉ ,P A Q A∈ ∈

_____________________________________________________________________

9. 1 1La recta que pasa por ( , ) y por (1 , 1) tiene pendiente2 3

A B= =

34

m = 32

m = 43

m = 13

m =

_____________________________________________________________________

10. 2

2

2 8Las ecuaciones de todas las asíntotas de ( ) son 1

xf xx

−=

−

1 ; 1 ; 2y y x= = − = ; 01 yx == 2 ; 2x x= = − 1 ; 1 ; 2x x y= = − =

_____________________________________________________________________

11. 0lnLa recta tangente al gráfico de ( ) en el punto de abscisa tiene

pendiente

xf x x ex

= =

0m = 1me

= 1m = 2

2me

=

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_____________________________________________________________________ 12. 2sen( )x x dx⋅ =∫

22cos( )

2x x C− + 21 cos( )

2x C− +

21 cos( )2

x C+ 2cos( )x C− +

_____________________________________________________________________

13. 9

4

dxx=∫

1 ln 3 ln 2− 2 2 x _____________________________________________________________________ 14. 3Si ( ) y (0) 2, entonces ( )' xf x e f f x= = =

31 53 3

xe + 3 1xe + 33 1xe − 313

xe

_____________________________________________________________________ 15.

2

1Si ( ) 4, entonces x a dx+ =∫

32

a = 52

a = 1a = 56

a =

_____________________________________________________________________ 16. 2 ;El área de la región encerrada por las curvas +1 1 esy x y x= − = − +

21

0( 2)x x d− + +∫ x 21

0( )x x dx− +∫

20 1

1 0( 1) ( 1)x dx x dx

−− + + − +∫ ∫ 21

0( )x x dx− +∫

_____________________________________________________________________ 17. ( ) ( )2Si la derivada de es ( ) 1 2 , entonces tiene'f f x x x f= + −

un mínimo relativo en 2x = un máximo relativo en 2x = un mínimo relativo en 1 y un máximo relativo en 2x x= − = un máximo relativo en 1 y un mínimo relativo en 2x x= − =

_____________________________________________________________________ 18. 1

0

La ecuación de la recta tangente al gráfico de ( ) ( 1) en el punto de abscisa1 es

xf x x ex

−= +=

1y x= + 3y x= 3y x 1= − y x= _____________________________________________________________________ 19. 2La función ( ) sen ( ) es decreciente enf x x=

(0 ; )π ( ; 2 )π π 3( ; )2

π π ( ; )2π π

_____________________________________________________________________

20. 1La función ( ) es creciente enf x xx

= +

( ; 0)−∞ ( 1 ; 0) y en (0 ; 1)− ( ; 1) y en (1 ; )−∞ − + ∞ (0 ; )+ ∞ _____________________________________________________________________


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Si necesitas clases para preparar tu parcial o final llamá al 011-15-67625436CBC – Metemática – Examen Final – Febrero 2004

1. La parábola de vértice (1,2) que pasa por (0,5) tiene ecuación

23 6y x x= + + 55

2 2 3y x x= + +

23 6y x x= − + 2 2 3y x x= − +______________________________________________________________________________ 2. { }2ea ( , ) / 1 5 ; | 2 | 1 Si (2, 1) y (3, 2) , entoncesA x y R x y P Q= ∈ − ≤ < − > = − =S

y P A Q A∉ ∉ ∈∈

y P A Q A∈ y P A Q A∉ y P A Q A∈ ∉

______________________________________________________________________________ 3. La recta que pasa por los puntos (0, 3) y (2,1) tiene ecuación−

1 32

y x= − 2y = x 32y x= − 3y x= − −

______________________________________________________________________________ 4. Si 2 { / 4 }, entonces A x R x A= ∈ < =

) )( , 16−∞ ( 2 , 2 )− ( , 2−∞ ( , 2) (2, )−∞ − ∪ +∞ ______________________________________________________________________________ 5. La distancia entre los puntos (2,1) y ( 1,5) es−

7 25 17 5______________________________________________________________________________ 6. La imagen de la función ( ) 2 2sen esf x x= − R [ 0 ; 4] [ 1; 1 ]− [ 2;2]−

______________________________________________________________________________

7. 3El gráfico de la función ( ) 2 corta al en el punto1

f xx

= −−

eje - x

(5/ 2 ; 0) ( 2 ; 1) (0 ; 5)− (0 ;5/ 2)______________________________________________________________________________ 8. 3 2Los intervalos de crecimiento de ( ) 3 5 sonf x x x= + +

( ;0) y (5;−∞ +∞ ) ) ( ; 2) y (0;−∞ − +∞ ( 2;0)− (5; )+∞ ______________________________________________________________________________

9. 5 1Las ecuaciones de las asíntotas de ( ) son2 1xf xx−

=+

1/5 ; 0x y= = − 5 / 2 ; 1/ 2x y= =1/ 2 ; 5/ 2x y= − = 1/ 2 ; 1/5x y= − =

______________________________________________________________________________ 10. 1La función inversa de ( ) 3 ln 2 es ( )f x x f x−= + =

312xe − 1 ( 3

2xe − ) 1 ln ( 3)

2x − 31

2xe +

______________________________________________________________________________ 11. La función ( ) cos2 , en el intervalo [0 ;2 ] , tiene exactamentef x x π=

cuatro ceros un cero seis ceros dos ceros

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12. 02 4La recta tangente al gráfico de ( ) en el punto de abscisa 2,

tiene ecuación

xf x e x−= =

4y x= − 7 1 4y x= + 1y x= + 1y x= −______________________________________________________________________________ 13. 2La derivada de ( ) sen (3 ) es ( )f x x f x= =´

2cos(3 )x 2sen(3 )cos(3 )x x 6sen(3 )cos(3 )x x 2sen(3 )x ______________________________________________________________________________ 14. 0

2La recta tangente al gráfico de ( ) ln (4 1) en el punto de abscisa 1

tiene pendiente

f x x x= + =

0 1/5 ln5 8/5______________________________________________________________________________ 15 . Si 2 la derivada de ( ) es ( ) ( 1), entonces tiene f x f x x x f= −´

No tiene extremos relativos Máximo relativo en 1 y mínimo relativo en 0x x= = Mínimo relativo en 1 y no tiene máximo relativo.x = Mínimo relativo en 1 y máximo relativo en 0x x= =

______________________________________________________________________________ 16. 2El área de la región encerrada por el gráfico de ( ) 4 y el eje-

para 0 3 es igual af x x

x= −

≤ ≤x

2

2 320 2

( 4) ( 4)x dx x dx− + − −∫ ∫ 3 20

[ ( 4)]x x d− −∫ x

2 32 20 2

( 4) ( 4)x dx x dx− − + −∫ ∫ 3 20

( 4)x dx−∫

______________________________________________________________________________

17. 1Una primitiva de ( ) es ( )f x Fx

= =x

3/ 212x −− 2 x x ln( )x

______________________________________________________________________________

18. 3ln

ln2es igual a x dxe∫

1 0 ln3 ln 2− xe ______________________________________________________________________________

19. 0

4/cos (2 ) es igual ax dx

π∫

1− 1/ 2− 1

=

1/ 2______________________________________________________________________________

20. Si

1 1

1 1 [2 3 ( )] 4, entonces ( )x f x dx f x dx− −

+ =∫ ∫24

3x− 2

3 1 4

3

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CICLO BÁSICO COMÚN EXAMEN FINAL DE MATEMÁTICA DICIEMBRE 2004 (A) CÁTEDRA GUTIERREZ-FAURING

1. 5El conjunto / 1 es igual a 2

A xx

⎧ ⎫= ∈ <⎨ ⎬−⎩ ⎭

( , 2) (7,−∞ ∪ +∞) ) (7, )+∞ ( , 2) (3,−∞ ∪ +∞ ( , 3−∞ − )________________________________________________________________________________ 2. La recta que pasa por los puntos (1, 3) y (0,5) tiene ecuación A B= − =

1 58

y x−= + 8y = − x 58y x= − + 5 8y x= −

________________________________________________________________________________ 3. 2La función ( ) 2 4 tiene por imagen el intervalo [7,+ ) sif x x x c= − + ∞

7c = 9c = 1c = 1c = − ________________________________________________________________________________ 4. La distancia entre los puntos (1, 2) y (3, 1) es igual aP Q= − = −

5 2 3 5 ________________________________________________________________________________ 5. 2El conjunto de positividad de ( ) (2 7 3)( 1) es igual af x x x x= + + −

1( 3, ) (1, )2

− − ∪ +∞ 1( , 3 ) ( ,12

−∞ − ∪ − ) ) ( , 1−∞ 1( ,2

− + ∞)

________________________________________________________________________________

6. 3

2Si ( ) , lim ( ) y lim ( ), entonces3 9 xx

xf x l f x L f xx + →+∞→

− += = =

−

1;3

l L= +∞ = − 1;3

l L= −∞ = − 1 ;3

l L= − = −∞ 22 ;9

l L= = −

________________________________________________________________________________ 7. ( )En el intervalo [0,2 ] la función ( ) cos 3 1 tiene exactamentef x xπ = +

1 cero 6 ceros 2 ceros 3 ceros________________________________________________________________________________

8. 1 1Si ( ) + 4 y ( ) y , entonces ( )2

f x g x h f g h xx x

= = =−

=

9 42 1xx−−

29 4

xx

−−

9 12 1xx−−

92

x−

________________________________________________________________________________ 9. 1Si ( ) ln( 1) 2 , entonces ( )f x x f x−= − + =

12 xe −+ 21 xe −+ 21 xe −− + 1ln( 1) 2x − +

________________________________________________________________________________ 10. Si ( ) 3sen(2 ) 1, entonces el conjunto imagen de esf x x f= +

[ 3 ; 3]− [ 1 ; 1]− [ 2 ; 4]− [0 ; 2]________________________________________________________________________________

11. 2 1Si ( ) ln , entonces ( )x

'f x f⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

x

12 lnx

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

12 lnxx

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

12 lnxx

⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎝ ⎠

2 1lnx x

⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎝ ⎠

________________________________________________________________________________ Si necesitas clases de apoyo para el parcial, final o libre podes llamar al 011-15-67625436

12. 3 2

0

La pendiente de la recta tangente al gráfico de ( ) 3x 2 3 en el punto de abscisa =1 es

f x xx m

= + +=

2 112

23

48

________________________________________________________________________________

13. 2

2

4Si la derivada de es ( ) , entonces es decreciente en2

' xf f x fx−

=

( , 2) y en (2, )−∞ − +∞ ( ,0)−∞ ( 2, 2)− ( 2,0) y en (0, 2)−________________________________________________________________________________ 14.

3 23La función ( ) tienex xf x e +=

0 0Un máximo relativo en 2 y un mínimo relativo en 0x x= − =

0 0Un mínimo relativo en 2 y un máximo relativo en 0x x= − = No tiene extremos relativos

0 0Un máximo relativo en 2 y un máximo relativo en 0x x= − = ________________________________________________________________________________

15. Si ( ) sen( ) con , entonces 4 para2

''f x a x a f π⎛ ⎞= ∈ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

2 ó 2a a= = − 4a = − 4a = Ningún .a________________________________________________________________________________ 16. Si ( ) y (9) 10, entonces ( )'f x x f f x= = =

3 / 22 83x − 3 / 22

3x 1/ 21

2x− 1/ 21 5

2 6x− +

9

________________________________________________________________________________

17. sen(2 )x dx =∫

1 cos(2 )2

x C− + 1 cos(2 )2

x C+ cos(2 )x C+ cos(2 )x C− +

________________________________________________________________________________

18. 2

0Si x 9, entonces

adx =∫

9 / 2a = 9 / 2a = − 3a = 3a = −________________________________________________________________________________

19. 2 3

x

x

e dxe

=+∫

( )ln 2 3 xe+ +C ( )1 ln 2 33

xe C+ + ( )2

2

2 3

x

x

e Ce

++

2 3

x

x

e Cx e

++

________________________________________________________________________________

20. 4El área de la región encerrada por las curvas , 5 es igual ay y xx

= = − +

4

1

4 5x dxx

⎛ + −⎜⎝ ⎠∫ ⎞

⎟ 1

4

4 5x dxx

−

−

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠∫

4

1

45x dxx

⎛− + −⎜⎝ ⎠∫ ⎞

⎟ 4

1

45x dxx

−

−

⎛ ⎞− + −⎜ ⎟⎝ ⎠∫

________________________________________________________________________________

Si necesitas clases de apoyo para el parcial, final o libre podes llamar al 011-15-67625436

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CBC – Final de Matemátic

Cátedra Gutiérrez – Diciembre 2004 ___________________________________________________________________________ 1. es una función cuadrática cuyos ceros son -1 y 2, y tal que (1) 3. Entonces el

conjunto de negatividad de esf f

f=

( 1 ; 2)− ( ; 1) (2 ;−∞ − ∪ + ∞) )( ; 3−∞ ( ; 0)−∞ ___________________________________________________________________________ 2. S i ( ) verifica ( 3) 8, (3) 4, entoncesf x mx b f f= + − = = −

2 ; 2m b= = − 4 ; 8m b= = − 2 ; 2m b= − = 4 ; 20m b= − =___________________________________________________________________________ 3. S i ( ) ( 6)( 2) entonces es creciente enf x x x f= + −

( ; 6) y (2 ;−∞ − + ∞) ( 2 ; )− + ∞ ( 16 ; )− + ∞ ( ; 2−∞ − )___________________________________________________________________________

4. 2

1El dominio de ( ) es4

xf xx

−=

−

−{−2,2} [0 ; )+ ∞ [1 ; 2) (2 ; )∪ + ∞ [1 ; )+ ∞ ___________________________________________________________________________

5. 20Si ( ) 1 y ( ) 2 4 entonces ( )(5)1

f x g x x f gx

= + = −−

=

12 4 12− 4−___________________________________________________________________________ 6. 1Si ( ) 1 ln(6 3 ) entonces ( )f x x f −= − + =x

11 23

xe − − 11 23

xe − − 1 6xe −− − ( 1 )/3 61 xe +−

___________________________________________________________________________ 7. { } :Si / 1 (2 ) entonces A x x a a+ ∞= ∈ + > − = =

3 3− 1 1−___________________________________________________________________________ 8. Un punto del eje que dista 5 de ( 2 ;3) esP = −x

( 6 ; 0)− (0 ; 6)− (6 ; 0) (0 ; 6)___________________________________________________________________________ 9. El conjunto de ceros de ( ) sen(2 ) 1 que pertenecen al intervalo [0 ; 2 ] esf x x π= +

π{3 / 4} 7π π{3 / 4 ; / 4} 2π{3 / } 5π π{ / 4 ; / 4} ___________________________________________________________________________

10. 3

1Si ( ) verifica que ( ) 2 y ( ) , entonces4

lim limx x

axf x f x f xx b +→+∞ →

+= =− +

= +∞

8 y 12a b= − = 8 y 4a b= − = 8 y 12a b= = 8 y 12a b= = −

___________________________________________________________________________ 11. ( ) es creciente enxf x x e= −

; 0(−∞ ) ;(1 )+ ∞ ; 1( )−∞ ;(0 )+ ∞ ___________________________________________________________________________ 12. La pendiente de la recta tangente a ( ) sen(3 ) en es 18 para f x a x x aπ= = =

18 18− 6 6−___________________________________________________________________________

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2

13. 2Sea ( ) Entonces1

xf xx

= ⋅+

tiene un mínimo relativo en 1 y un mínimo relativo en 1.f x x= − = tiene un máximo relativo en 1 y un máximo relativo en 1.f x x= − = tiene un mínimo relativo en 1 y un máximo relativo en 1.f x x= − = tiene un máximo relativo en 1 y un mínimo relativo en 1.f x x= − =

___________________________________________________________________________ 14. 2 2La derivada de es ( ) ( 4) , entonces crece en'f f x x x f= −

; 2 ; 2( ) y en (0 )−−∞ ;(0 )+ ∞ ; 2 ;( ) y en (2 )−−∞ + ∞ ; 0( )−∞

___________________________________________________________________________

15. 3Si ( ) ln entonces ( )2

'xf x fx+⎛ ⎞= =⎜ ⎟+⎝ ⎠

x

1( 3)( 2x x

−+ + )

1( 3)( 2x x )+ +

23

xx++

1 1( 3)( 2x x x )

−⋅

+ +

___________________________________________________________________________

16. 21

21 entonces 3

adx a

x−

= =∫

3 3/ 5− 3 / 5 1 / 33− __________________________________________________________________________

17. ( )cos ln(x)

Una primitiva de esx

(sen ln( ))x sen( ) ln( )x x⋅

sen(1/ )x ( ) ( )

2

sen ln( ) cos ln( )x xx

− −

___________________________________________________________________________ 18. [ ]

0 0Si ( ) 3 entonces 5 ( ) sen( )f x dx f x x dx

π π= +∫ ∫ =

)

17 15 13 10___________________________________________________________________________ 19. 2Si ( ) y ( ) 2, entonces el área de la región comprendida entre el

gráfico de y el gráfico de está dada porf x x g x x

f g= = +

(2 2

12x x d

−− −∫ x ( )2 2

12x x dx

−+ −∫

( )1 2

22x x d

−− −∫ x ( )1 2

22x x dx

−+ −∫

___________________________________________________________________________

20. xxe dx =∫

xx e +C ( )1xe x C+ + 2

2xx e C+ ( )1xe x C− +

___________________________________________________________________________

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CBC: Final Libre: Cátedra Gutiérrez. – 2005 – Pág. 1

Final Libre de Matemática Febrero 2005 Cátedra de Gutiérrez

1) Los puntos donde la gráfica de 2

1)( −

=x

f x – 3 corta al eje x en:

a) (–5/3, 0) b) (0, – 7/2) c) (2, 0) d) (7/3, 0)

2) Si x

f x5

)( = y g(x) = 2x – 3 entonces la función h = f o g tiene por asíntotas a las rectas de

ecuaciones: a) x = 3/2 y = 5 b) x = 0 y = 0 c) x = 2/3 y = 5 d) x = 3/2 y = 0

3) El dominio natural de f(x) = ln (2x – x2) es: a) (– ∞, 2) b) (– ∞, 0) ∪ (2, + ∞) c) (0, + ∞) d) (0, 2)

4) la cantidad de ceros de la función f(x) = 2 cos2(x) – 1 en el intervalo [0, 3π] es igual a:

a) 3 b) 2 c) 6 d) 4

5) La distancia entre el punto de la parábola y = 2x2 – 4x + 5 de abscisa – 1 y el vértice es:

a) 68 b) 2 c) 20 d) 8

6) Si 43

5)( −

+=

xf x entonces la función inversa de f es f – 1 igual a:

a) 34

5+

−x, b) 31

−x

, c) 34

5−

+x, d) 15

−x

7) La función f(x) = 3 cos (2x) + 5 tiene un período P e imagen I para:

a) P = π ; I = [– 3, 3] b) P = 2π ; I = [– 3, 3] c) P = 2π ; I = [2, 8] d) P = π ; I = [2, 8]

8) La función lineal f que verifica f(1) = 5 y f(–1) = 3 esta definido por:

a) y = – x + 2 b) y = x + 4 c) y = – x + 6 d) y = 3/5 x

9) El conjunto de f(x) = ln (x2 – 5x + 7) es: a) ln 7 b) {1} c) {2, 3} d) vacío

10) La función cuadrática f cuyo conjunto de ceros es {1; 5} y que verifica f(0) = – 10 es igual a:

a) – 2(x + 1).(x + 5) b) 2(x – 1) (x – 5) c) – 2(x – 1).(x – 5) d) 2(x + 1).(x + 5)

11) Si , entonces ∫ es iguala: a) – 3/2 b) 0 c) 3/2 d) ½ (3 – x( )∫ =+4

2 )( 32 dxxf x

4

2 )( dxf x2/2) + c

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CBC: Final Libre: Cátedra Gutiérrez. – 2005 – Pág. 2

12) La derivada de la función f(x) = ln (x2 + 10) – 1/x es igual a:

a) xx

x ln10

22 −

+ b) 22

110

1xx

++

c) 22

110

2xx

x+

+ d)

101

2 +x– lnx

13) Una primitiva de 4x e2x es f (x) igual a: a) e2x (8x + 4) b) e2x (2x – 1) c) e2x (2x + 1) d) x2 e2x

14) La función 292)( +−= xf x es decreciente en:

a) (– ∞, 3) ∪ (3, + ∞) b) (– ∞, 3) c) (3, + ∞) d) (– ∞, 0)

15) Se sabe que la derivada de f es f ’(x) = (x – 3) (x + 2)2, entonces f tiene:

a) Un mínimo en x = 5 y un máximo en x – 2 b) Un máximo en x = 5 y un máximo en x – 2

c) Un máximo en x = 5 y no tiene mínimo d) Un mínimo en x = 5 y no tiene máximo.

16) Si entonces: a) no existe a b) a = 3 c) a = – 3 d) a = 9/2 90

2 =∫ dxxa

17) La función f’(x) = 4x3 – 3x es creciente

a) en (0, + ∞) b) en (− ∞, – ½) y en (½, + ∞) c) solo en (½, + ∞) d) (– ½ , ½)

18) El área de la región limitada por las curvas y = x2, y = 1 para x [–1, 4] es:

a) ∫ b) c) d) −

−4

1

2 )1( dxx ∫−−

4

1

2 )1( dxx =−+− ∫∫−

4

1

21

1

2 )1()1( dxxdxx =−+− ∫∫−

4

1

21

1

2 )1()1( dxxdxx

19) Las ecuaciones de la recta tangente al gráfico 4)( +

=x

xf x en x0 = – 1 es:

a) y = – 1/3 x + 1 b) y = 4/9 x – 1/3 c) y = 4/9 x + 1/9 d) y = – x + 1/3

20) Una primitiva de f(x) = 6 cos2 x . sen x es f igual a:

a) cos3 x . sen2 x + 8 b) 2 cos3 x + 6 c) – 2 cos3 x + 5 d) – 12 cos x sen2 x + 6 cos3 x + 10

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