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Filtro Ideal Diseño Filtros Digitales Butterworth Chebyshev Chebyshev II Elípticos Bessel Comparación Bibliografia

Filtros Digitales

Bioing. Juan Manuel Reta

Procesamiento Digital de Señales

Outline1 Filtro Ideal2 Diseño Filtros Digitales

Clasificación de MétodosTécnicas IIR

3 ButterworthCaracterísticas

4 ChebyshevCaracterísticasComparación

5 Chebyshev IICaracterísticas

6 ElípticosCaracterísticas

7 BesselCaracterísticas

8 ComparaciónRespuesta en Frecuencia

9 BibliografiaBibliografia

Concepto

¿Cuál es el concepto de Filtrado?

Concepto

h (t) = sinc (t)

Un filtro ideal corresponde a un sistema no causal-físicamente irrealizable-En la práctica se relajan las exigencias sobre el filtro:

Se inserta una banda de transiciónNo se exige respuesta 1 en la banda de pasoNo se exige atenuación absoluta en la banda de rechazo

Concepto

h (t) = sinc (t)

Concepto

h (t) = sinc (t)

Concepto

Clasificación de Métodos

Clasificación

Diseño de un filtro discreto

1 Definir especificaciones de las propiedades deseadas.

2 Aproximación de las especificaciones mediante un sistemadiscreto (FIR o IIR)

3 Implementación del sistema.

Clasificación

1 Definir especificaciones de las propiedades deseadas.2 Aproximación de las especificaciones mediante un sistema

discreto (FIR o IIR)

3 Implementación del sistema.

Clasificación

1 Definir especificaciones de las propiedades deseadas.2 Aproximación de las especificaciones mediante un sistema

discreto (FIR o IIR)3 Implementación del sistema.

Clasificación

Técnicas IIR

IIR discretos

1 Se trata de técnicas muy populares de diseño basadas enaproximaciones analógicas.

2 Fórmulas que dan los coeficientes de los filtros en formacerrada.

3 Aún con especificaciones exigentes se obtienen sistemascon un número pequeño de coeficientes.

Técnicas IIR

IIR discretos

Técnicas IIR

IIR discretos

Técnicas IIR

IIR discretos

Características

Butterworth

Filtros IIR - Aproximaciones

Características

Butterworth

La aproximación de Butterworth aproxima la característica demagnitud del filtro ideal pasabajos.

|H (jω)|2 =1

1 + ω2n

Características

Butterworth

La aproximación de Butterworth aproxima la característica demagnitud del filtro ideal pasabajos.

|H (jω)|2 =1

1 + ω2n

Características

Butterworth

Propiedades:

1 Para todo n |H (j0)|2 = 1; |H (j1)|2 = 12 y |H (j∞0)|2 = 0

2 La función magnitud de Butterworth es monotónicamentedecreciente para ω ≥ 0

3 Las primeras (2n − 1) derivadas de un filtro pasabajos deButterworth de orden n son cero en ω = 0. Por este motivose los llama de magnitud maximamente plana.

4 A alta frecuencia la pendiente de caida de un filtro deButterworth de orden n es 20n dB/década.

Características

Butterworth

Propiedades:

Características

Butterworth

Propiedades:

Características

Butterworth

Propiedades:

Características

Butterworth

Aproximación de Chebyshev

Características

Chebyshev

La aproximación de Chebyshev aproxima la característica demagnitud del filtro ideal pasabajos.La aproximación se contruye a partir de los polinomios deChebyshev.

Tn (ω) , cos(

n · cos−1 ω)

Considerando:

x , cos−1 ω

Entonces:

Tn (ω) = cos (n · x)

Características

Chebyshev

Tn (ω) , cos(

n · cos−1 ω)

Considerando:

x , cos−1 ω

Entonces:

Características

Chebyshev

Tn (ω) , cos(

n · cos−1 ω)

Considerando:

x , cos−1 ω

Entonces:

Características

Chebyshev

T0(ω) = cos 0 = 1

T1(ω) = cos x = cos(

cos−1 ω)= ω

T2(ω) = cos 2x = 2 cos2 x − 1 = 2ω − 1

T3(ω) = cos 3x = −3 cos x + 4 cos3 x = −3ω + 4ω3

T4(ω) = 1− 8 cos2 x + 8 cos4 x = 1− 8ω2 + 8ω4

Características

Chebyshev

T0(ω) = cos 0 = 1

T1(ω) = cos x = cos(

cos−1 ω)= ω

T2(ω) = cos 2x = 2 cos2 x − 1 = 2ω − 1

T3(ω) = cos 3x = −3 cos x + 4 cos3 x = −3ω + 4ω3

T4(ω) = 1− 8 cos2 x + 8 cos4 x = 1− 8ω2 + 8ω4

Características

Chebyshev

|H (jω)|2 =1

1 + ε2 · T 2n (ω)

Características

Chebyshev

|H (jω)|2 =1

1 + ε2 · T 2n (ω)

Características

Chebyshev

Propiedades:

1 Para todo |ω| ≤ 1, |H (jω)|2 oscila entre 11+ε2 y 1.

Hay n puntos críticos para el intervalo de ω entre 0 y 1.

2 Para ω ≥ 1; |H (jω)|2 decrece monotónicamente a 0 arazón de 20 · ndB/decada;

3 Para todo n:|H (j1)|2 = 1

|H (j0)|2 = 1; Para n impar|H (j0)|2 = 1

1+ε2 ; Para n par

4 AMAX dB , −10 log 11+ε2

AMAX dB = 10 log(1 + ε2

Características

Chebyshev

Propiedades:

Hay n puntos críticos para el intervalo de ω entre 0 y 1.2 Para ω ≥ 1; |H (jω)|2 decrece monotónicamente a 0 a

razón de 20 · ndB/decada;

3 Para todo n:|H (j1)|2 = 1

|H (j0)|2 = 1; Para n impar|H (j0)|2 = 1

1+ε2 ; Para n par

Características

Chebyshev

Propiedades:

razón de 20 · ndB/decada;3 Para todo n:

|H (j1)|2 = 11+ε2

|H (j0)|2 = 1; Para n impar|H (j0)|2 = 1

1+ε2 ; Para n par

Características

Chebyshev

Propiedades:

razón de 20 · ndB/decada;3 Para todo n:

|H (j1)|2 = 11+ε2

|H (j0)|2 = 1; Para n impar|H (j0)|2 = 1

1+ε2 ; Para n par

Comparación

Respuesta en Frecuencia

Comparación

Temporal

¿La resupuesta al impulso?

Comparación

Temporal

¿La resupuesta al impulso?

Características

Aproximación de Chebyshev II

Características

Chebyshev II

La aproximación de Chebyshev II aproxima la característica demagnitud del filtro ideal pasabajos.

|H (jω)|2 =ε2 · T 2

n( 1ω

)1 + ε2 · T 2

n( 1ω

Características

Chebyshev II

La aproximación de Chebyshev II aproxima la característica demagnitud del filtro ideal pasabajos.

|H (jω)|2 =ε2 · T 2

n( 1ω

)1 + ε2 · T 2

n( 1ω

Filtros de Cauer

Filtros Elípticos

Características

Elípticos

La aproximación de Elípticos aproxima la característica demagnitud del filtro ideal pasabajos.También se los denomina Filtros de Cauer.

|H (jω)|2 =1

1 + ε2 · R2n (ω)

Características

Elípticos

La aproximación de Elípticos aproxima la característica demagnitud del filtro ideal pasabajos.También se los denomina Filtros de Cauer.

|H (jω)|2 =1

1 + ε2 · R2n (ω)

Bessel

Características

Bessel

La aproximación de Bessel aproxima la característica de Fasedel filtro ideal pasabajos.

H (s) =k

Bn (s)

B1 (s) = s + 1

B2 (s) = s2 + 3s + 1

Bn (s) = (2n − 1)Bn−1 (s) + s2Bn−2 (s)

Características

Bessel

La aproximación de Bessel aproxima la característica de Fasedel filtro ideal pasabajos.

H (s) =k

Bn (s)

B1 (s) = s + 1

B2 (s) = s2 + 3s + 1

Bn (s) = (2n − 1)Bn−1 (s) + s2Bn−2 (s)

Características

Bessel

Comparativa

Temporal

Bibliografia

Bilbliografía

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