matlab y el diseño de filtros digitales

Matlab y el diseño de filtros digitales. Ricardo Valerio Bautista Cuéllar

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NÚMERO 19

SEPTIEMBRE DE 2005

Volumen II

ISSN 1696-7208

Matlab y el diseño de filtros digitales.

Ricardo Valerio Bautista Cuéllar

En este artículo pretendemos mostrar cómo con ayuda de herramientas para cálculo numérico

podemos diseñar filtros digitales apropiados para una gran diversidad de aplicaciones. Aunque en

el curriculum para Técnicos Superiores en Desarrollo de Productos Electrónicos no se contemplan

estos contenidos, sí resulta de interés que conozcan los alumnos la existencia de herramientas no

específicas para diseño de circuitos pero que pueden facilitar mucho la labor de diseño, en este

caso de filtros.

Tal vez estamos comentiendo un error al decir “no específicas” ya que Matlab tiene una completa

gama de herramientas para diseño de filtros mediante esta utilidad. Pero también es cierto que

esta “toolbox” ha ido desarrollandose a lo largo de los años pues esas funciones especiales no son


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más que scripts totalmente desarrollados y comprobados en base a los comandos matemáticos

básicos de Matlab. O, lo que es lo mismo, nosotros mismos podemos enriquecer la gama de

herramientas mediante el desarrollo de scripts propios para realizar determinadas tareas (por

ejemplo, para automatizar determinados diseños).

En definitiva, el texto aquí desarrollado se dirige principalmente a los compañeros de mi

especialidad (Sistemas Electrónicos) para que puedan usar los resultados y conocimientos aquí

mostrados a la hora de mostrar a los alumnos otras formas de realizar diseños electrónicos a la

vez que adquieren unos conocimientos básicos sobre filtrado.

Breve introducción a Matlab.

Matlab es tanto un entorno poderoso para cálculo computacional como un lenguaje de

programación que maneja de forma sencilla matrices y aritmética compleja. Es un gran

paquete de software que tiene muchas utilidades avanzadas desarrolladas y ha llegado a

ser una herramienta estándar para muchos trabajos en las disciplinas de la ciencia y la

ingeniería, donde el cálculo asistido por ordenador siempre ha tenido vital importancia.

Entre otras muchas cosas, permite la realización de gráficos de forma sencilla tanto en

tres como en dos dimensiones.

Matlab tiene dos modos diferentes para la ejecución de comandos: el modo interactivo y

el modo batch. En el modo interactivo, los comandos son tecleados (o cortados y

pegados) en la ventana de comandos de Matlab. En el modo batch, una serie de

comandos se salvan en un fichero de texto (usando para ello el editor propio de Matlab

con las funciones de depurado que posee o cualquier otro editor de textos) sin tener que

recordad o teclear de nuevo el conjunto completo de comandos. También, cuando usamos

el editor de matlab, existen herramientas de depurado simples que pueden llegar a ser de

gran cuando el script (el archivo .m) comienza a ser grande y complicado.


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El diseño de filtros

En el texto no tratamos de mostrar de forma teórica cuales son las técnicas más habituales

para el diseño de filtros discretos en el dominio de la frecuencia si no más bien de una

forma cualitativa. Para ello mostramos las características propias de algunas

implementaciones.

Como regla general, cualquier algoritmo o sistema de tratamiento puede interpretarse

como un filtro. Aquí se entiende por filtro aquel sistema lineal e invariante que permite el

paso de las componentes de la señal existentes en un determinado intervalo frecuencial, y

elimina las demás. De forma ideal, el módulo de la respuesta frecuencial del filtro toma

un valor constante en el margen de frecuencias que queremos conservar, que se denomina

banda de paso. El intervalo de frecuencias complementario al anterior en que la respuesta

en magnitud es nula se denomina banda de rechazo o atenuada. La banda de transición es

aquella que se sitúa entre dos bandas cuyas atenuaciones están específicada, por tanto, se

caracteriza porque no imponemos al filtro ningún requisito en dicho intervalo frecuencial

dando libertad de esa forma al diseño del filtro siempre y cuando se cumplan los

requisitos impuestos en la banda de paso y de rechazo. Los cuatro filtros básicos, desde el

punto de vista ideal del comportamiento del módulo de la respuesta frecuencial, según

sea la posición relativa de bandas de paso y bandas atenuadas, reciben el nombre de paso

bajo, paso alto, paso banda y elimina banda, dependiendo de la parte del espectro de

frecuencias en la que se centra la banda de paso. Por ejemplo, el paso bajo se caracteriza


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porque deja pasar todas las componentes frecuenciales de la señal en el rango bajo de las

frecuencias, por debajo de una determinada frecuencia de corte, siendo el resto de

componentes atenuadas por el filtro. Es el típico filtro que en amplificación se emplea en

una etapa previa al amplificador para que el ruido no se amplifique y llegue a saturar al

mismo. El filtro paso alto presenta el comportamiento complementario al paso bajo; el

filtro paso banda cancela las bajas y las altas frecuencias (bandas atenuadas inferior y

superior), y conserva una banda determinada de frecuencias; el último, presenta bandas

de paso en baja y alta frecuencia, y una banda atenuada en un margen de frecuencias

intermedio.

Hasta el momento hemos hablado de características ideales, de ahí que a los filtros que

cumplen la condición de eliminar completamente la señal de su banda atenuada y que no

altera la señal en la banda de paso se denominen ideales.

En este texto vamos a presentar cómo se puede obtener diseños de filtros que aproximen

la respuesta ideal del filtro en el dominio digital (o Z). Para ello obtenemos la respuesta

impulsional h[n] correspondiente y su correspondiente transformada en Z H(z). El estudio

se limita al diseño de filtros lineales, invariantes, causales, estables y que puedan

describirse por una ecuación en diferencias finitas de coeficientes reales y constantes.

En el diseño de filtros digitales se pueden distinguir dos tipos básicos. Por un lado,

aquellos en la que la respuesta impulsional del filtro tiene un número finito L de muestras


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distintas de cero, lo que da lugar a la denominación abreviada de filtros FIR (Finite

Impulse Response). La función de transferencia de un filtro FIR es polinómica en z-1, y su

orden es L-1. Esto implica que el filtro tiene L-1 ceros distribuidos en el plano complejo

z y todos los polos en el origen. Por ello suele hablarse de los filtros FIR como filtros

sólo ceros. Por otro lado, existen los llamados filtros recurrentes cuya respuesta

impulsional tiene longitud infinita o filtros IIR (Infinite Impulse Response). Un filtro IIR

tiene Q ceros y P polos distribuidos en el plano complejo.

Para que un sistema sea realizable debe ser causal y estable. En ningún caso el filtro

diseñado puede tener una respuesta frecuencial ideal. Por tanto, el filtro se diseña de

modo que su función de transferencia presente una

respuesta frecuencial cuyo módulo se aproxime al

ideal. En esta aproximación se permite una tolerancia

alrededor del valor teórico unidad del módulo de la

respuesta frecuencial en la banda de paso y sobre el valor nulo en la banda atenuada. Esas

tolerancias suelen recibir el nombre de rizado. Además, se acepta una banda de transición

entre la banda de paso y la atenuada. Estas especificaciones suelen plasmarse en modo de

plantilla como la de abajo en la que se plasmen las libertades o tolerancias y las

especificaciones frecuenciales del filtro, en el caso de la figura, paso bajo.

Especificaiones del filtro que vamos a diseñar.

En el texto mostramos las características de diversos métodos aplicados para el disdiseño

de un filtro FIR de fase lineal pasobaja con las siguientes especificaciones:


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001.0,01.0,22.0,1.0 ==== spsp ww δδππ

donde las primeras dos magnitudes son correspondientes a las frecuencias de corte de la

banda de paso y la banda de rechazo, entre ellas se extiende la banda de paso. Las dos

últimas son las tolerancias permitidas tanto en la banda de paso como en la de rechazo.

Filtros FIR

Existen diversos métodos para el diseño de filtros FIR, entre ellos destacan tres. El más

sencillo es el de enventanado de la respuesta impulsional. Durante mucho tiempo se ha

trabajado en el diseño de filtros analógicos obteniendo para ello implementaciones

caracterizadas porque al llevarlas al campo digital tenían una respuesta de tipo IIR.

Parece más o menos intuitivo el pensar que si tomamos la secuencia infinita de la

respuesta impulsional h(n) y nos quedamos con una parte de ella, el resultado desde el

punto de vista de la función de filtrado del sistema sería el mismo. Aunque grosso modo

eso es así, desde el punto de vista frecuencial se producen una serie de deformaciones en

el espectro del filtro obtenido que nos llevarían a considerables errores a no ser por el uso

de ventanas pensadas para este uso. Esas ventanas no son más que secuencias de longitud

finita que tienen una respuesta frecuencial que permite que al ser multiplicadas por la

función de transferencia utilizada el error no sea muy grande. Esto es una descripción

intuitiva y nada rigurosa del sentido del enventanado. Básicamente se utilizan tres tipos

de ventanas, la de Kaiser, la de Hamming y la de Blackman. Nosotros estudiaremos más

adelante un ejemplo concreto.


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Otra metodología simple para el diseño de filtros la ofrece el muestreo en frecuencia de la

respuesta Ideal. El procedimiento asegura un error nulo para la aproximación en un

conjunto finito de frecuencias equiespaciadas, aquéllas en las que se muestrea la

respuesta frecuencial ideal. El diseño por muestreo en frecuencia es muy popular dada su

sencillez. Presenta, sin embargo, importantes deficiencias. No es posible controlar

directamente la amplitud del error. Tampoco se conoce un criterio estimativo del orden

del filtro. Para conseguir un comportamiento ajustado a una plantilla debe acudirse a una

estrategia de ensayo y error tediosa, que en la mayoría de los casos proporciona un filtro

de orden excesivo y que, incluso, no garantiza la existencia de solución.

La tercera metodología empleada es la del uso de filtros óptimos, considerados así

aquellos con rizado de amplitud constante. La respuesta frecuencial que ofrecen los

filtros diseñados mediante la manipulación directa del comportamiento ideal (el

enventanado de la respuesta impulsional o el muestreo de la respuesta frecuencial)

presenta un error en las bandas de paso y atenuadas cuya amplitud crece en las

proximidades de las bandas de transición. La solución a ese problema que aporta esta

metodología es la de repartir el error por las diversas bandas usando una función que lo

permita. En nuestro caso, para ejemplificar, usaremos el método de Parks-McClellan o

también denominado método de Remez.

A continuación presentamos dos ejemplos de diseño de filtros FIR empleando Matlab.

Entre las propiedades que podremos comprobar en los resultados del enventanado para la


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obtención de filtros FIR está, gracias al ajuste del orden del filtro por el método de

Remez, que la anchura de la banda de transición del filtro, que se corresponde con la

anchura del lóbulo principal de la transformada de la ventana, es tanto menor cuanto

mayor sea la longitud, y en definitiva el orden, de la misma.

También descubriremos el por qué la ventana de Kaiser es una de las más utilizadas.

Sólo dos parámetros son necesarios para la obtención del filtro y dichos parámetros (beta

y N) son fácilmente obtenibles a partir de unas fórmulas fáciles de usar. Su sencillez, por

tanto, es lo más destacable.

Y podremos observar que a diferencia del caso de los filtros IIR, el cumplimiento de los

requisitos del filtro no se realiza de una forma tan exacta e inmediata. Esta característica

es propia del uso de la técnica de enventanado en la que generalmente se acepta un

notable sobrecumplimiento de los requerimientos para la banda de paso, debido a que los

máximos del error en la banda de paso y la banda atenuada son del mismo orden de

magnitud, ya que ambos provienen de la amplitud de los lóbulos secundarios de la

transformada de la ventana.

Por último, veremos que el orden del filtro FIR obtenido por el método de Remez es

menor que el obtenido usando la ventana de Kaiser. Como recordaremos más adelante,

del estudio del diseño de filtros analógicos la aproximación que menor orden requiere

para satisfacerlas es aquella en que los máximos del valor absoluto del error en la banda

de paso son todos iguales, así como en la banda de atenuación. Es la aproximación

elíptica la que al tener un comportamiento de rizado constante en ambas bandas posibilita

que el error presente alternativamente máximos y mínimos. Es por tanto de esperar que el


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caso de diseño de filtros FIR no sea distinto y este tipo de comportamiento resulte

óptimo. Esto se traduce en que para una selectividad y una discriminación dada no exista

un diseño de menor orden que el que presenta comportamiento con rizado de amplitud

constante. O de otra forma, fijados el orden y la selectividad del filtro, no puede

obtenerse un diseño con menor discriminación, desde el punto de vista de los filtros FIR.

KAISER El código Matlab para la obtención de una aproximación de este tipo es muy sencillo. kw = KAISER(N,Beta); hn=fir1(N-1,Wp,kw); [Yz,w]=freqz(hn,1,512);

La función de matlab Kaiser nos da la respuesta de la ventana a partir de dos parámetros:

beta y el orden(N), que se obtienen mediante unas fórmulas relacionadas con el valor de

la atenuación en la banda de paso y la anchura de la banda de paso.

Por otro lado la función fir1 realiza la obtención del filtro(de la secuencia) hn mediante

una serie de manipulaciones matemáticas que aquí no vamos a profundizar. El lector

puede consultar el MITRA o cualquier otro libro dedicado al procesamiento digital de la

señal. Lo importante es que la función de matlab fir1 requiere como entradas la ventana a

emplear(en nuestro caso kw), la frecuencia de corte de la banda de paso (Wp) y el orden

deseado.

Luego, mediante la función freqz obtenemos la respuesta en frecuencia del sistema

diseñado.

El orden del filtro para cunplir las especificaciones que hemos tomado para el diseño es

de 63, cálculo que se realiza de forma sencilla en el entorno de trabajo.


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La respuesta en magnitud del filtro es fácilmente obtenible mediante la función plot. plot(w/pi,abs(Yz));grid xlabel('Frecuencia normalizada');ylabel('Magnitud');title('espectro de salida');

Media

nte un

sencil

lo

zoom

podemos ver el detalle respuesta en magnitud mostrado. Normalmente esto se realiza

para comprobar que el diseño cumple con las especificaciones. Como se observa, la

respuesta del filtro es paso baja, como deseamos.

Especialmente de interés resulta conocer la respuesta en magnitud del sistema para

conocer como se atenúan las distintas componentes espectrales de la señal (secuencia) de

entrada a nuestro filtro. La obtención de esa respuesta se obtiene de forma sencilla

mediante los siguientes comandos:

M = 20*log10(abs(Yz)); plot(w/pi,M-M(1));grid axis([0 1 -100 10]) xlabel('Frecuencia normalizada');ylabel('Gain dB');title('espectro de salida dB');


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Otro parámetro importante es la respuesta de fase del filtro, que interesa sea

lo más lineal posible, de ahí que usualmente se suela representar su

der

iva

da,

den

om

ina

da retardo de grupo. El hecho de que sea lo más lineal posible el retardo de fase implica

que el retardo de grupo sea constante. Esto implica que el filtro no influya ni distorsione

la salida deseada del filtro en la banda de paso, objetivo primordial de un filtro.

Como se observa el retardo de grupo es casi constante, lo cual es una caracteristica muy

buena de este tipo de filtros. Los filtros FIR tienen un mejor comportamiento desde el


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punto de vista del retardo de grupo y de la distorsión de fase que provoque el filtro que

los filtros IIR.

Filtro de igual rizado (Remez)

La obtención de esta aproximación es más compleja que la que hemos empleado con

anterioridad. Si bien, el empleo de las funciones de matlab remez y remezord facilitan la

labor, la complejidad de los comandos a emplear es mayor.

La estimación del orden del filtro dada por la función remezord utilizada no era lo

suficientemente buena al presentar una atenuación en la banda de rechazo insuficiente así

como un rizado insuficiente en la de paso. Esta característica de comprobación de las

restricciones a aplicar al filtro es algo importante a la hora de abordar este tipo de

diseños. Al ser el orden un factor muy crítico en una implementación pues marca los

recursos a emplear, existe ocasiones que las aproximaciones efectuadas para el cálculo

automático del orden no sean exactas, por lo que tendremos que modificar manualmente

el orden, si bien sirve de base para

poder obtener la solución

deseada.

En la figura se observa como la banda

de paso no cumplía las

especificaciones (la atenuación

permitida de la banda de paso era


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menor de 0.01). Por ello, hemos aumentado manualmente el orden del filtro desde los 42

dados por la estimación hasta los 47 para los que el filtro cumple las especificaciones.

La respuesta en magnitud de este filtro, tal como se observa en las figuras siguientes, es

de tipo oscilatorio o de igual rizado, en las bandas de interés. Esa característica es la que

hace del filtro Remez el de menor orden (u

óptimo) para una aproximación tipo FIR.

La respuesta en magnitud en decibelios también nos muestra ese rizado en las bandas de

paso y de rechazo.


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El retardo de grupo y el retardo de fase también nos muestran un comportamiento

apropiado y deseable para nuestro filtro (fase lineal).


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Filtros IIR

En el caso de los filtros con respuesta al impulso de longitud infinita, la expresión de la

función de transferencia en el dominio Z es en forma de cociente de polinomios. Por eso,

la forma de obtener en general la salida en este tipo de filtros es mediante fórmulas

recursivas.

Una de las particularidades de estos filtros respecto a los tipo FIR es el hecho de que su

comportamiento respecto a la fase es peor. Además, estos filtros proceden directamente

de la aplicación de métodos que tradicionalmente se han aplicado en el desarrollo de

filtros analógicos tales como eran las aproximaciones de Butterword, Chebyshev o

Elíptica.

En nuestros resultados veremos que la implementación que mayor coste computacional

requeriría es la Butterword mientras que la que menos (menor orden) es la elíptica. Por su

parte, tanto la implementación chebyshev directa como inversa son del mismo orden y,

por tanto, de igual complejidad computacional. Esto implica que para unas restricciones

dadas el orden (en definitiva, el coste computacional de nuestro sistema) será mayor con

la aproximación Butterword y menor con la elíptica.

Por otra parte, se comprueba en las mismas gráficas que se manifiestan las características

propias de cada una de las aproximaciones tratadas.


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Las aproximaciones Chebychev y elíptica o de Cauer presentan rizado con amplitud

constante en la banda de paso. La elíptica presenta también un rizado en la banda

atenuada, al igual que la chebyshev inversa, que sin embargo presenta una banda de paso

plana.

Como ya hemos mencionado, la aproximación elíptica es, entre todas, la que requiere

menor orden, por lo que es comúnmente utilizada cuando el principal interés se centra en

minimizar el orden del filtro; sin embargo, veremos que su fase es la que más se aleja del

comportamiento lineal, tal como se observa en las gráficas, entre las diversas

aproximaciones.

También comprobaremos que la aproximación inversa de Chebychev proporciona filtros

con menor distorsión de fase que la aproximación elíptica a costa de aumentar

ligeramente el orden. La aproximación de Chebychev precisa igual orden que la inversa

de Chebychev, pero su fase se comporta considerablemente peor.

Finalmente, comprobaremos que la aproximación de Butterworth es la que presenta una

fase más próxima al ideal para un orden dado, pero el orden que necesita para cumplir las

especificaciones suele ser notablemente mayor al que requieren las demás.

Butterworth Para la realización de este tipo de filtros digitales mediante Matlab se emplean

básicamente dos comandos. Por un lado buttord que, a partir de las especificaciones de


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atenuación máxima en la banda de paso y mínima en la de rechazo así como de las

respectivas frecuencias de corte de cada una de las bandas, nos da el orden del filtro y la

frecuencia natural del filtro. Por otro lado, a partir del orden del filtro y de la frecuencia

natural, la función butter nos da los polinominios correspondientes al numerador y al

denominador de la función de transferencia. Mediante sencillas transformaciones por

medio de las funciones filter y freqz podemos obtener la respuesta en Z del filtro digital.

El orden del filtro obtenido mediante esta aproximación es de 11. Si bien en un primer

momento nos puede sugerir este orden que computacionalmente es más eficiente que las

implementaciones tipo FIR, debemos tener en cuenta que el error de fase implicita en este

tipo de filtros IIR hace no tan aconsejable este tipo de filtrado cuando la linealidad de la

fase es lo que prime.

La

respues

ta en

magnit

ud del filtro Butterword cumple los requisitos

buscados. Si vemos la función de transferencia en

dB podemos comprobar que la atenuación en la

banda de rechazo es muy superior a la que se le


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pedía al filtro. Esta característica es propia de los filtros Butterword y repercute en el

orden de este tipo de aproximación, orden que es superior a otras aproximaciones debido

al exceso de atenuación que provee en la banda de rechazo.

La respuesta de fase de esta aproximación, sin embargo, es mejor que la del resto de

aproximaciones IIR como veremos, siendo algo más próxima a la ideal, pero nunca tan

buena como la de los filtros FIR estudiados.

Chebyshev-I Matlab

dispon

e de

funcio

nes semejantes a las anteriores para el desarrollo de aproximaciones chebyshev. En este

caso, en la aproximación tipo I de chebyshev o llamada también directa, las funciones a

utilizar son la chen1ord y la cheby1.

El orden obtenido a partir de esa función, que requiere las mismas entradas de datos que

la correspondiente de la aproximación Butterword, es de 7. Este orden es muy inferior al

de las anteriores aproximaciones. Si pensamos en términos de coste, el área de silicio

requerido (en la FPGA, en el ASIC o en el circuito que vaya a implementar el filtrado

digital) es mucho menor y, por ende, el coste.


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La respuesta en magnitud de esta aproximación explica por sí misma el orden menor de

esta aproximación. Vemos que la banda de paso no es totalmente plana. Decimos que la

banda de paso de la Butterword es máximamente plana y es una cualidad interesante si lo

que se pretende es perturbar lo menos posible la magnitud de la señal de entrada en esa

banda. Sin embargo, esa característica implica un coste en términos de orden que se

reduce en el caso de la chebyshev directa al introducir un rizado en la banda de paso tal

como se observa en las figuras adjuntas.

Al

observar la

respuesta en dB podemos comprobar que el rizado

de la banda de paso es apenas apleciable. De hecho,

el rizado en la banda de paso, en media, no introduce grandes variaciones en la magnitud

de la señal de entrada y en muchas aplicaciones puede ser admisible.

La característica que más se ve afectada es la fase, como vemos en las gráficas, siendo la

misma no tan cercana al comportamiento lineal.


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Chebyshev-II Mediante

las

funcione

s de

matlab cheb2ord y cheby2 obtenemos de forma relativamente sencilla la aproximación

buscada. El orden es 7, igual que la anterior aproximación. Eso se debe a que la forma de

obtener una a partir de la otra es mediante una sencilla transformación matemática que

implica dejar inalterado el orden de la aproximación. El único cambio que se introduce es

que el rizado se traslada a la banda de rechazo siendo ahora la banda de paso

máximamente plana como lo era en el caso de

Buterword. Si bien, el orden es menor pues ahora no

tenemos un exceso de atenuación en la banda de

rechazo tan acentuado como en el caso de la

Butterword.


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La respuesta de fase de esta aproximación tampoco es excesivamente buena.

Elíptico Ellipord y

ellip son

las

funciones en este caso a aplicar. El orden del

filtro en nuestro caso es 5, menos de la mitad

del orden necesario para el caso del Butterword.

Para explicar el por qué del menor orden de esta

aproximación basta con fijarnos en las bandas

de paso y de rechazo de este filtro. Por un lado, mientras que la banda de paso del

Butterword es máximamente plana la del elíptico manifiesta un rizado, por otro, mientras

que el Butterdord ocasionaba un exceso de atenuación en la banda de rechazo no

necesario, el elíptico manifiesta también un rizado en la misma. Ambas circunstancias

ocasionan que el orden del filtro sea incluso menor que la aproximación Chebyshev, tanto

directa como inversa.


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La respuesta de fase tampoco es tan buena como la de los filtros FIR.

En

conclusión

Hemos podido comprobar la importancia de disponer de una herramienta de cálculo

potente para el diseño de sistemas electrónicos complejos como pueden ser los filtros.

Dentro de esas herramientas Matlab se sitúa como una de las más empleadas y la que, por

el momento, a conseguido mayor aceptación y desarrollo. Por ende, hemos visto las

principales características de los filtros digitales que se usan hoy día para aplicaciones

diversas en los sistemas electrónicos. Así, podemos concluir que, cuando la fase juega un

papel fundamental en el tratamiento de la señal (por ejemplo, en el caso de

comunicaciones de datos) es mejor el uso de filtros FIR de mayor coste pero de fase

lineal. Mientras que cuando la fase no toma gran importancia (por ejemplo, en

aplicaciones de audio, donde el oido humano no es capaz de discernir pequeñas

variaciones de la fase) el empleo de filtros IIR, de menor coste, es el apropiado.

BIBLIOGRAFÍA

• “Digital Signal Processing. A computer-based approach.” S.K. Mitra. Ed. Mc-Graw Hill

• “Digital communication systems”, P.Z. Preebles. Ed. Prentice Hall International.

• “Digital Signal Processing Handbook”, Madisetti y Williams. Ed. CRC Press.

• “Signals and Systems”, A.V. Oppenheim. Ed. Prentice-Hall.

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