15. 3. 2006 1

FI-09 Mechanika tekutin II.

15. 3. 2006 2

Hlavní body

• Úvod do mechaniky kapalin a plynů

• Hydrodynamika ideálních kapalin• Bernoulliho rovnice a její použití

• Hydrodynamika viskózních kapalin• Vlastnosti Newtonovských kapalin

• Zákony: Newtonův, Poiseuillův a Stokesův

• Hydrodynamika krevního oběhu

15. 3. 2006 3

Zachování energie I

• Bernoulliho rovnice vyjadřuje zákon zachování (hustoty) energie :

• V praxi se vyjadřuje několika způsoby, například v rozměrech délkových :

.2

2

konstV

Epgh

v

.2

2

konstg

ph

g

v

15. 3. 2006 4

Odvození Bernoulliho rovnice I• Uvažujme dvě různá místa, ohraničující určitý

úsek jednéné proudové trubice, která jsou popsána rychlostí vi, tlakem pi a výškou hi.

• Působením tlakových sil se určitý objem V se přemístí za čas t z prvního místa do druhého.

• Na oba objemy působí z vnějšku úseku tlakové síly opačné orientace Fi = Si pi.

• Práce, kterou vykonají tyto síly za t se musí rovnat přírůstku celkové energie daného objemu.

15. 3. 2006 5

Odvození Bernoulliho rovnice II

• Tedy :

• Po dosazení :

• Aplikujme rovnici kontinuity :

)()( 11222211 pkpk EEEEvFvFt

)(2

)()( 12

21

22

222111 hhmgvvm

vSpvSpt

)(2

)()( 12

21

22

21 hhmgvvm

ppV

15. 3. 2006 6

Odvození Bernoulliho rovnice III• Tento vztah, vyjadřující zachování energie, bývá

zvykem vydělit V a přeskupit podle uvažovaných míst :

• Daniel Bernoulli 1700-1783, Švýcar

• Celková energie proudící kapaliny má tedy tři složky : tlakovou, kinetickou a potenciální.

2

22

21

21

1 22gh

vpgh

vp

15. 3. 2006 7

Použití Bernoulliho rovnice I

• Bernoulliho rovnice lze použít jako prvního přiblížení při řešení řady praktických problémů.

• Uvažujme například výtok kapaliny ze široké (nebo doplňované) nádoby malým otvorem umístěným v hloubce h pod hladinou. V Bernoulliho rovnici můžeme udělat několik úprav a zanedbání :

15. 3. 2006 8

Použití Bernoulliho rovnice II

• Oba tlaky jsou atmosférické : p1= p2.

• Vyjádříme hloubku: h = z1 – z2

• Rychlost v1 můžeme zanedbat.

• Po zkrácení a úpravě :Tento tzv. Torrichellio vzorec byl znám sto let

před Bernoullim.

2

22

21

21

1 22gz

vpgz

vp

ghv 22

15. 3. 2006 9

Použití Bernoulliho rovnice III• Není-li možné rychlost v1 zanedbat,

použijeme rovnici kontinuity v1 = v2S2/S1 :

• Po zkrácení , zavedení hloubky a úpravě :

(výraz má zjevně smysl jen pro S1 > S2)

2

22

121

22

22

22gz

vgz

S

Sv

22

21

12

2

SS

ghSv

15. 3. 2006 10

Použití Bernoulliho rovnice IV• Uvažujeme-li místa o stejné výšce je z Bernoulliho

rovnice patrná zajímavá vlastnost proudících tekutin a to, že v místech s větší rychlostí je nižší tlak. Na tomto principu je založena řada jevů od bouchání dveří v průvanu, přes střílení rohového kopu ve fotbale, po létání letadel. Protože jsou důsledky na první pohled překvapivé, je tento jev znám jako hydrodynamický paradoxon.

• Významné je jeho využití při měření rychlosti.

15. 3. 2006 11

Použití Bernoulliho rovnice V

• Pitotova trubice (potřebuje fajfku) :• do měřené kapaliny jsou vnořeny dvě trubice,

ústí jedné je kolmo, ústí druhé rovnoběžně s jejím proudem (fajfka) v2 = 0.

• v každé trubici vystoupí kapalina do výšky zi podle odpovídající tlaku pi = gzi při jejím ústí

)(22 1212

21

1 zzgvgzv

gz

15. 3. 2006 12

Použití Bernoulliho rovnice VI

• Venturiho trubice (potřebuje zúžení) :• do měřené kapaliny jsou kolmo vnořeny dvě

trubice, jedna v místě s průřezem S1, druhá S2.

• v každé trubici vystoupí kapalina do výšky zi podle odpovídající tlaku pi = gzi při jejím ústí

2211

22

2

21

1 22vSvS

vgz

vgz

15. 3. 2006 13

Použití Bernoulliho rovnice VII

• Z obou rovnic :

• Pro rychlost v1 a průtok Q platí po úpravě :

22

21

2121

)(2

SS

zzgSv

22

21

21

21

21 22)(

S

Svvzzg

22

21

212111

)(2

SS

zzgSSvSQ

15. 3. 2006 14

Viskózní kapaliny I• Při proudění reálných tekutin se sousední vrstvy

ovlivňují tečným napětím, které závisí na vzájemné rychlosti vrstev a viskozitě tekutiny.

• Mějme tekutinu proudící ve směru osy x. Potom pro tečné napětí, čili napětí působící ve směru proudění, platí Newtonův zákon:

dy

dv

15. 3. 2006 15

Viskózní kapaliny II (éta) je tzv. dynamická viskozita

• [] = kg m-1s-1 = Nm-2s = Pa s

• Starší jednotka Poise [P]=gcm-1s-1=0.1 Pas

• Převrácená hodnota se nazývá tekutost:

= 1/• Často se používá viskozita vztažená na

hustotu, tzv. kinematická viskozita = /

15. 3. 2006 16

Viskózní kapaliny III• Dynamická a kinematická viskozita

některých kapalin: [Pa s] [m2/s]

• ETOH 1.2 10-3 1.51 10-6

• benzín 2.9 10-4 4.27 10-7

• rtuť 1.5 10-3 1.16 10-7

• olej 0.26 2.79 10-4

• voda 1.005 10-3 0.804 10-6

15. 3. 2006 17

Viskózní kapaliny IV

• Viskozita : • snižuje průtok kapaliny (za daných podmínek)

• způsobuje, že rychlost v protékaném průřezu není konstantní, ale má určité rozložení, u krajů je minimální (nulová) a uprostřed maximální.

• Zkusíme ukázat, že v proudovém vlákně kruhového průžezu je rozložení rychlosti na vzdálenosti od osy parabolické.

15. 3. 2006 18

Viskózní kapaliny V

• Mysleme si v laminárně a rovnoměrně proudící kapalině váleček o poloměru y. Na• podstavy působí tlakové síly (p1 > 0, p2 < 0)

• plášť síla způsobená třením okolních vrstev.

• Pohybuje-li se válec rovnoměrně, musí být všechny síly na něj působící v rovnováze :

02)( 212

dy

dvlyppy

15. 3. 2006 19

Viskózní kapaliny VI• Předpokládejme, že p1 > p2 a kapalina se

pohybuje ve směru růstu souřadnice x.

• Znaménko + znamená, že třecí sílu bychom považovali (jako obvykle) za kladnou, kdyby měla směr rychlosti.

• Protože první člen je kladný, musí být třecí síla záporná, čili brzdící a rychlost klesá směrem od osy.

15. 3. 2006 20

Viskózní kapaliny VII• Po zavedení p = p1 – p2 a úpravě :

• Po integraci :

dyyl

pdv

2

1

kyl

pyv

2

4

1)(

15. 3. 2006 21

Viskózní kapaliny VIII• Uvažujeme-li trubici o poloměru r. Obdržíme

hodnotu integrační konstanty k z okrajové podmínky v(r) = 0 :

• a celkově dostáváme parabolickou závislost :

2

4

1r

l

pk

)(4

1)( 22 yr

l

pyv

15. 3. 2006 22

Viskózní kapaliny IX• Důležitou a snadněji měřitelnou veličinou je průtok. Celkový

průřez musíme rozdělit na mezikruží o poloměru y, v nichž je vždy rychlost konstantní:

• Celkový průtok obdržíme integrací :

• To je známá Hagen-Poiseuillova rovnice.

dyyyrl

pyydyvdQv )(

2

1)(2 22

l

prdyyyr

l

pQ

r

v

8)(

2

1 4

0

22

15. 3. 2006 23

Viskózní kapaliny X

• Stokesův zákon:• Na kuličku o poloměru r, která se pohybuje

malou rychlostí v v kapalině působí brzdící síla

F = 6rv• Kulička o hustotě bude po ustálení rovnováhy

padat v kapalině 0 konstantní rychlostí vt :

)(9

20

2

gr

vt

15. 3. 2006 24

Viskózní kapaliny XI• Laminární proudění

• brzdící síla je úměrná rychlosti• rychlost je úměrná r2

• střední rychlost vyplývající z H-P rovnice <v>=Qv/S je také úměrná r2 a tlakovému spádu

• Za mezí Stokesova zákona :• Často je brzdící síla úměrná v2 : Fd = CdSv2

• Cd je parametr, který závisí na tvaru

15. 3. 2006 25

Viskózní kapaliny XII• Pro posouzení, zda je proudění ještě laminární se

používá tzv. Reynoldsovo číslo. • pro kuličku o poloměru r, pohybující se rychlostí v• pro kapalinu pohybující se střední rychlostí <v> v trubici

o poloměru r platí :

• Pro R >1000 se považuje proudění za turbulentní(ve jmenovateli posledního výrazu je řecké (ný), tedy kinematická viskozita!)

vrvr

R

15. 3. 2006 26

Dynamika krevního oběhu I• Krevní oběh je udržován srdcem. Levá část síň ->

komora pumpuje krev do velkého (tělního) oběhu a pravá část do malého oběhu (plic).

• Krev v aortě :• <v> = 0.3 ms-1

• r = 0.01 m = 1060 kg m-3

= 3.3 10-3 Pa s

• R 970 proudění je těsně ještě laminární.

15. 3. 2006 27

Dynamika krevního oběhu II

• Ve velkých žilách proudí krev pomaleji, jen rychlostí <v> = 0.1 ms-1 a ve vlásečnicích dokonce jen rychlostí <v> = 0.001 ms-1. Pomocí rovnice kontinuity můžeme odhadnout, že celkový průřez• vlásečnic je 300 krát větší než průřez aorty

• velkých žil je 3 krát větší než průřez aorty

15. 3. 2006 28

Dynamika krevního oběhu III

• Podle H-P zákona je tlakový spád nepřímo úměrný čtvrté mocnině poloměru trubice. K největšímu spádu tedy musí docházet v arteriální sekci :• aorta plicnice

• systola 16 kPa (120 torr) 3.3 kPa

• diastola 10.5 kPa (80 torr) 1.3 kPa

15. 3. 2006 29

Dynamika krevního oběhu IV

• Práce srdce bývá vyjadřována jako součet • statické – objemové dodávající tlakovou energii

• kinetické – dodávající kinetickou energii odpovídající příslušné střední rychlosti :

• Pro střední hodnoty V = 70 ml a p = 13.3 kPa je Wo= 0.93 J a Wk= 0.003 J, tedy W = 0.94 J

VvVpWWW ko 221

15. 3. 2006 30

Dynamika krevního oběhu V• Práce pravé komory je asi jedna pětina práce

komory levé. Celková mechanická práce srdce při jedné systole je tedy asi 1.13 J.

• Při tepové frekvenci 70 min-1 je výkon srdce přibližně 1.3 W.

• Tato hodnota představuje jen asi jednu desetinu celkového mechanického výkonu srdce. Převažující část se spotřebuje na udržování stálého napětí (tonusu) srdeční svaloviny.

15. 3. 2006 31

Dynamika krevního oběhu VI

• Celkový srdeční výkon je tedy 13 W, což představuje přibližně 13% celkového klidového výkonu organismu.

• Srdce ale funguje nepřetržitě řadu let. Za 60 let života vykoná práci 2.5 GJ, což je :• 3 s výkonu Chvaletické elektrárny

• Vyzdvižení 30 t břemene na Mt. Everest