Mechanika tekutin

Tekutiny = plyny a kapaliny

1

Zařazení mechaniky tekutin

2

Rozdělení tekutin

3

Základní pojmy

Tekutina je pojem zahrnující kapaliny a plyny. Je to spojité prostředí, které je

homogenní a izotropní (jeho vlastnosti jsou ve všech směrech stejné). Kapaliny

se odlišují od plynů a par konstantní či téměř konstantní měrnou hmotností, tj.

hustotou ( = konst ) a jsou tedy nestlačitelné či velmi málo stlačitelné. Zavádí

se pojem kapaliny ideální, což je kapalina bez vnitřního tření a nestlačitelná.

Fyzikální vlastnosti tekutin

rovnicí ve tvaru pV = mRT p/RT (R je plynová konstanta)

4

5

6

se změnou teploty se mění také hustota

vztah:

ρ = ρ0. ( 1 - β∆T)

voda je mezi kapalinami výjimkou z hlediska závislosti objemu na teplotě

ze závislosti objemu na teplotě vyplývá, že hustota vody se od teploty 0 °C do 4 °C

zvětšuje a teprve nad touto teplotou se zmenšuje

tato odlišná změna hustoty se nazývá anomálie vody

Velký význam v přírodě : ve 4 °C má voda největší ρ, drží se u dna, v zimě při

zamrzání rybníků voda začíná zamrzat na hladině, ale u dna je voda stále kapalná

(vysvětlením je dvojí struktura vody a její shlukování do klastrů,

viz např. http://www.lsbu.ac.uk/water/explan2.html#density)

7

Stlačitelnost

8

9

10

11

12

13

Povrchová vrstva kapalin

− volný povrch kapaliny se chová stejně jako tenká pružná blána,

− kolem každé molekuly je tzv. sféra molekulového působení, poloměr (rm )

řádově 1 nm

− je-li molekula i její sféra uvnitř kapaliny výslednice přitažlivých sil je nulová ,

−jiná situace u molekul , jejichž vzdálenost od volného povrchu je menší než rm -

výslednice F přitažlivých sil je kolmá k volnému povrchu a má směr dovnitř

kapaliny,

−vrstva molekul, jejíž vzdálenost od volného povrchu je menší než rm

= povrchová vrstva kapaliny

14

„Na každou molekulu ležící v povrchové vrstvě kapaliny

působí sousední molekuly výslednou přitažlivou silou,

která směřuje dovnitř kapaliny a je kolmá na volný

povrch.“

povrchová vrstva má povrchovou energie (molekuly povrchové vrstvy mají

větší Ep než molekuly uvnitř kapaliny),

povrchová energie – jednou ze složek vnitřní energie,

kapalina má tendenci nabývat takového tvaru, aby obsah jejího povrchu byl

co nejmenší a tím byla minimální povrchová energie – při daném objemu má

nejmenší obsah povrchu koule, proto se tvoří kapky (deformují se účinkem

tíhové síly)

15

16

17

18

19

Měření povrchového napětí na základě povrchových jevů

Hladina kapaliny v úzké trubici:

-není rovinná,

- povrch se zakřivuje, tvoří meniskus (dutý nebo vypouklý),

- při vydutém vystoupí kapalina výše (kapilární elevace),

- při vypouklém stojí kapalina níže (kapilární deprese)

Při elevaci – zdvižený sloupec kapaliny h visí svou povrchovou blanou na vnitřní stěně

trubičky.

Svislá složka povrchového napětí při krajovém úhlu je cos .

20

Na celý vnitřní obvod trubice o poloměru R

připadá síla 2.R.cos ,

- ta udržuje v rovnováze tíhu

.R2..h.g

zdviženého sloupce kapaliny o hustotě

Z rovnosti obou sil pro příslušné povrchové napětí plyne:

=

Krajový úhel je tak malý, že je možno položit cos = 1

Potom lze vztahu použít k měření povrchového napětí z výšky výstupu h v úzké

trubičce známého vnitřního průměru.

Stejný vztah platí i pro kapilární depresi.

21

Úhel θ se nazývá stykový úhel

θ = 0° dokonale smáčí stěny

θ =180° dokonale nesmáčí stěny

0°< θ < 90° smáčí stěny

90°< θ < 180° nesmáčí stěny

zakřivení povrchu kapaliny při stěnách nádoby ,v

kapilárách, u kapek a bublin způsobuje vznik přídavného tlaku

v kapalinách. Tento tlak se nazývá kapilární tlak

o pod vypuklým povrchem je tlak větší o kapilární tlak než tlak

uvnitř kapaliny,

o pod dutým je o tento tlak menší

o pokud má volný povrch tvar kulového vrchlíku (koule) ,

kde je povrchové napětí a R je poloměr kulového

povrchu

pak vztah pro kapilární tlak je:

Pk = 2 σ / R

o u mýdlové bubliny ( 2 povrchy) je to:

Pk = 4 σ / R

22

h.ρ.g = 2 σ / R

h = 2 σ / R.ρ.g

při daném poloměru kapiláry je výška h tím větší, čím větší má

kapalina povrchové napětí

Stejné vztahy platí i pro kapilární depresi

23

Uplatnění v praxi:

• voda stoupá v půdě a vypařuje se – vzlínavost,

• zabraňuje se mu rozrušením kapilár orbou,

okopáváním rostlin, apod.,

• naopak stlačováním půdy se kapiláry v půdě

nevytvářejí, to umožňuje vzlínání vody k povrchu se

zasetými semeny,

• kapilární elevací se kapalina nasává do knotů,

vysává se pórovitými látkami( dřevo,cukr, cihly,.),

vzlíná do stěn domů při špatné izolaci proti vlhkosti,

• vzlínavost v cévách rostlin umožňuje pronikání

živých roztoků z kořenů až do vrcholku rostlin.

24

25

Hydrostatika

Nauka o rovnováze kapalin a jejich účinků na tuhá tělesa v klidu. Kapalina je v

rovnováze v klidu, jestliže se její částečky nepohybují vzhledem ke stěnám nádoby, v

níž se nachází. Je–li nádoba vůči zemi v klidu a kapalina se nepohybuje, hovoříme o

absolutní rovnováze. Pohybuje–li se nádoba a kapalina je vůči stěnám v klidu,

hovoříme o relativní rovnováze.

Tlak

Vyjadřuje plošný účinek síly a je určen silou působící kolmo na jednotku plochy.

26

Tlak v kapalině vyvozený vnější silou

Na povrch kapaliny se přenáší účinek vnějších sil jako tlak působící na

kapalinu z vnějšku – tzv. vnější tlak pv

Vnější tlak může být vyvozen:

27

c) Tlakem vzdušného obalu Země

– atmosférickým (barometrickým)

tlakem působícím na hladinu otevřených

nádob – pb

Plocha, na kterou působí atmosférický tlak se nazývá volná hladina.

Plocha, na kterou působí jiný než atmosférický tlak, se nazývá napjatá

hladina.

Neuvažujeme–li působení tíhového pole Země, platí Pascalův zákon:

Tlak v celém objemu kapaliny je stejný, v kapalině se šíří rovnoměrně

všemi směry a působí vždy kolmo na ponořená tělesa (stěny).

Pascalův zákon

• Tlak vyvolaný vnější silou, která působí na kapalinu v

uzavřené nádobě, je ve všech místech kapaliny stejný

(platí i pro plyny)

28

Tlaková síla působící na rovinnou plochu:

Podle Pascalova zákona je tlak v celém objemu kapaliny stejný, tlaková

energie je proto rovna součinu objemu a tlaku.

Aplikace Pascalova zákona

Hydraulická zařízení

1

1

S

Fp

2

2

S

Fp

2

2

1

1

S

F

S

F

2

1

2

1

S

S

F

F

29

Aplikace Pascalova zákona

• Pneumatická zařízení

Pracují na stejném principu jako hydraulická

zařízení, rozdíl je v tom, že tlak se přenáší

stlačeným vzduchem

30

Hydrostatická tlaková síla Hydrostatickou tlakovou silou působí kapalina na

dno a na stěny nádoby a na všechna tělesa

ponořená v kapalině

gmGFh . .Vm

hSV . ghSFh ...

31

32

Tlak na dno nádoby

33

Statický tlak

Souhrnný účinek tlaku vyvozeného působením vnějších sil a

hydrostatického tlaku nazýváme tlakem statickým.

Působí–li na volnou hladinu otevřené

nádoby pouze atmosférický tlak ,

pak statický tlak se rovná pb

ps = pv + ph

ps = pb + ph

34

Spojené nádoby

užití spojených nádob: plavební komory, kapalinové manometry, vodoznaky

(např.: cisternách a nádržích), hadicové libely, sifóny, rozvod vody, …

Hydrostatické paradoxon

Velikost hydrostatické tlakové síly nezávisí

na tvaru a celkovém objemu nádoby

35

Atmosférický tlak

• pa

• nedá se určit podle vztahu p = h.ρ.g,

protože hustota vzduchu není stálá

• Rovná se hydrostatickému tlaku rtuťového

sloupce v Torricelliho trubici

36

Torricelliho pokus

37

Torricelliho pokus

38

Torricelliho pokus

• Atmosférický tlak pa je v rovnováze s

hydrostatickým tlakem ph = h.ρ.g rtuťového

sloupce

• Normální atmosférický tlak pn = 101,325 kPa

39

40

Hydrostatický vztlak

Vztlaková síla v kapalinách

Archimédův zákon

těleso ponořené do kapaliny je nadlehčováno vztlakovou

silou, jejíž velikost se rovná tíze kapaliny stejného objemu,

jako je objem ponořené části tělesa

41

42

Chování těles ponořených v kapalině

Částečně ponořené těleso

43

Zcela ponořené těleso

Nadlehčování těles v plynu

• Platí také Archimédův zákon, ale

vzhledem k malé hustotě plynů je

vztlaková síla menší než u kapalin

44

Proudění tekutin

Proudnice = trajektorie jednotlivých částic proudící kapaliny

Turbulentní proudění – tvoří se nepravidelné víry

Laminární proudění – nejjednodušší druh proudění, proudnice

jsou souběžné a navzájem se neprotínají, vzniká při malé

rychlosti proudění

Každým průřezem proudové trubice prochází za jednotku času

stejné mn. Tekutiny

Za jednotku času projde průřezem mn.tekutiny objemu V1=S1v1

o hmotnosti m=V11=S1v11

V jiném místě m=V22=S2v22

Platí obecně pro libovolný průřez Sv=konst.

45

Proudění tekutin

Ustálené proudění ideální kapaliny je

charakterizováno stálou rychlostí a stálým

tlakem v určitém libovolně zvoleném místě toku

Objemový průtok QV = objem kapaliny, který

proteče daným průřezem za jednotku času

QV = S . v

S……………..průřez …….m2

v……………rychlost proudění……….m/s

QV………….objemový průtok ………m3/s 46

Rovnice kontinuity

Kapalina se při proudění nemůže hromadit v

trubici, proto dojde-li ke zúžení nebo

rozšíření proudící trubice zůstává objemový

průtok konstantní

47

Rovnice kontinuity

Při ustáleném proudění ideální kapaliny je

součin obsahu průřezu S a rychlosti

proudění v v každém místě trubice stejný

S1.v1 = S2.v2

S . v = konst.

V menším průřezu má kapalina větší

rychlost než ve větším průřezu 48

Proudění kapaliny

Mění-li se rychlost proudící kapaliny ve

vodorovné trubici, mění se její kinetická energie.

V užší části má kapalina větší kinetickou energii

a podle zákona zachování energie má menší

potenciální energii tlakovou – projeví se

snížením tlaku

49

Bernoulliova rovnice

• Kinetická energie kapaliny o jednotkovém objemu

• Potenciální energie tlaková kapaliny o jednotkovém

objemu

• Pro ustálené proudění nestlačitelné tekutiny ještě

člen p – tlaková energie

22

.2

1..

2

1v

V

vm

V

Ek

hgV

hgm

V

E p..

..

50

Vyjadřuje zákon zachování energie proudící tekutiny

Bernoulliova rovnice

Součet kinetické, potenciální a tlakové energie kapaliny o

jednotkovém objemu je ve všech místech vodorovné trubice

stejný

22221

211 2211

..2

1.

2

1pgvpgv hh

51

konstpgv h 2.

2

1

Úpravu provedeme dělením rovnice konstantními veličinami g,

Tento tvar se uplatňuje hlavně v technické praxi, všechny tři sčítance mají rozměr délky

a mají následující význam:

52

udává výšku, ze které by těleso muselo padat, aby dosáhlo rychlosti v,

nazývá se rychlostní výška

Určuje výšku, kterou musí mít sloupec tekutiny, aby měl hydrostatický tlak

p, nazývá se tlaková výška

h udává tzv. místní výšku uvažovaného místa (proudnice nad nulovou

hladinou potenciální energie), nazývá se potenciální výška

Slovní vyjádření rovnice:

Součet výšky rychlostí, tlakové a místní je v každém místě ustáleného proudového pole

nestlačitelné tekutiny stálý

Proudí-li kapalina vodorovnou trubicí, potom je místní výška h stálá a rovnice nabývá

tvaru:

22221

211 ..

2

1.

2

1pvpv

konstpv 2.

2

1

53

Vysvětlení některých jevů, se kterými se setkáme v praxi

1) Proudění tekutiny trubicí, jejíž průřez se mění

V místě zúžení trubice pokles tlaku uvnitř tekutiny. V místě širokého průřezu je

rychlost malá a tlak velký, v zúženém místě se rychlost zvětší a tlak je menší

Je-li v takto zúženém místě otvor ve stěně trubice, nejenže kapalina otvorem

nevytéká, ale naopak nasává do trubice okolní vzduch

Využití – vodní vývěva, rozprašovače kapalin, plynový kahan, v přírodě potom

zvednutí střechy při silném větru, nadzvedávání aut při rychlé jízdě, vznik vodních vln

na hladině, obtížné dýchání při silném větru

Dosavadní předpoklad:

Při proudění kapalin a plynů nepůsobí žádné vnitřní tření.

Při pohybu kapaliny trubicí pracujeme s předpokladem, že kapalina se ve všech

místech průřezu pohybuje stejnou rychlostí.

Zkušenost:

Rychlost proudění v celém průřezu trubice není stejná.

Při stěně je rovna nule, s rostoucí vzdáleností od stěny se postupně zvyšuje. Největší –

v ose trubice.

Příčina:

V proudící tekutině vznikají tečné síly, tzv. síly vnitřního tření (vznikají mezi sousedními

vrstvami tekutiny, mají směr tečny k povrchu vrstvy a způsobují zpomalení rychlejších

vrstev a zrychlení pomalejších vrstev.

54

Důsledkem vnitřního tření je odpor, který kapaliny kladou pohybu tuhých těles.

Při velmi malých rychlostech a hladkém tvaru tělesa – odpor vyvolán pouze

viskozitou kapaliny, obtékání těles je laminární, potom pro odpor těles platí Stokesův

zákon:

Odpor je přímo úměrný prvé mocnině rychlosti, dynamické viskozitě a lineárním

rozměrům tělesa.

Pro těleso tvaru koule platí pro odpor vztah:

F = 6rv

kde r je poloměr koule a v je její rychlost

55

Řešme situaci:

V tekutině o viskozitě padá koule o poloměru r.

Její rychlost v se bude zpočátku zvětšovat, tím bude růst i odpor tekutiny.

Koule nabude konečné rychlosti, tzv. mezní rychlosti vm, při níž se síla zrychlující

(tíha koule zmenšená o vztlakovou sílu) právě vyrovná síle brzdné (odporu tekutiny).

56

Tělískový viskozimetr

Viskozimetry tohoto typu jsou založeny na

rychlosti pádu tělíska, nejčastěji hladké koule ve

zkoumané tekutině. Předpokládejme, že se koule

o průměru „d“ a hustoty k pohybuje ustálenou

rychlostí w (tato rychlost se také nazývá

sedimentační nebo pádová) vlastní tíhou v

kapalině, kapalina má hustotu v a dynamickou

viskozitu .

Na pohybující se kouli podle obr. působí tíhová

síla G, vztlaková síla Fv a odporová síla Fo

57

Definujme Reynoldsovo číslo sedimentace

Je-li Re ≤1, potom se jedená o laminární otékání koule a součinitel odporu podle

Stokese je definován rovnicí

S využitím posledních dvou rovnic pro odporovou sílu dostaneme vztah, označovaný

také jako Stokesův zákon

Z rovnic pro dynamickou viskozitu po jednoduchých úpravách odvodíme rovnici

58

Viskozimetr Stokesův – patří mezi nejjednodušší tělískové viskozimetry.

Je to v podstatě skleněný válec naplněný měřenou kapalinou, na válci jsou

vyznačeny dvě rysky, jejich vzdálenost je L, stopkami se změří čas průchodu kuličky

mezi dvěma ryskami a z rovnice se pro známou hustotu kuličky a měřené kapaliny

vypočítá velikost dynamické viskozity. Celé zařízení je možné vhodně temperovat a

potom se dá měřit dynamická viskozita i jako funkce teploty. U tohoto viskozimetru

je třeba dodržet podmínku, že průměr kulička je výrazně menší, než je průměr

válce.

59

Budeme-li měřit pádovou rychlost kuličky jako proběhnutou dráhu za čas

potom lze předcházející rovnice pro dynamickou

viskozitu upravit na tvar

Z této rovnice můžeme vypočítat velikost dynamické

viskozity tekutiny, za předpokladu, že změříme čas

potřebný pro proběhnutí kuličky na dráze L. Pro danou

vzdálenost L a průměr kuličky „d“ se předcházející

rovnice zjednoduší

kde k je konstanta viskozimetru

60

Měření viskozity se provádí dvojím způsobem:

relativní měření– v tomto případě se viskozity měřené kapaliny stanoví relativně

s viskozitou známé kapaliny.

• Do stojánku podle obr. C se vloží několik trubiček se známou viskozitou a

současně se vloží trubička s měřenou kapalinou,

• stojánek se otočí o 180o , vzduchové bubliny se přesunou nahoru,

• pak se stojánek s trubičkami otočí zpět o 180o a sleduje se pohyb bublin v

trubičkách,

• měřená kapalina má pak viskozitu stejnou jako má kapalina v trubičce, ve které

bubliny proběhla dráhu 100 m za stejný čas jako u měřené kapaliny.

Viskozimetr obsahuje cca 20 trubiček s kapalinou známé, ale rozdílné viskozity, dá

se tedy relativně stanovit viskozita měřené kapaliny.

Když se vzduchová bublina pohybuje rychleji než bublina ve vzorku, potom má

měřená kapalina viskozitu menší a naopak.

absolutní měření– v tomto případě se měří doba, za kterou vzduchová bublina

projde mezi dvěma ryskami 27 a 100 mm, tj., za jaký čas urazí dráhu 73 mm.

Viskozita se stanoví tak, že 1 sekunda odpovídá viskozitě 1Stokes.

U viskozimetru se dá očekávat následující relativní nejistota – chyba:

Vliv teploty – změna o 1oC ………….. relativní chyba 10%¨

Vliv sklonu trubky o 5o …………..relativní chyba 10%

Vliv výšky hladin 0,1 mm …………..relativní chyba 2%

61

Höpplerův viskozimetr - pád kuličky ve skleněné trubici skloněné od vertikály o 10o

Výměna kuličky je velmi snadná, viskozimetr se vyznačuje jednoduchou konstrukcí,

snadnou obsluhou při měření, relativně vysokou přesností a opakovatelností měření.

Skládá z kalibrované skleněné trubice, ve které padá kulička v měřené kapalině,

trubice je opatřena dvěma ryskami, mezi kterými se měří doba průchodu kuličky

známého průměru. Kuličky jsou skleněné nebo kovové, různého průměru, tím je

umožněno měření v širokém intervalu viskozity.

62

Pro rovnováhu sil pří pohybu kuličky v šikmé trubce podle obr. B po dosazení za

jednotlivé síly a úpravách provedených v části o Stokesově viskozimetru je

dynamická viskozita dána vztahem

po dosazení za jednotlivé síly a úpravách provedených v části o Stokesově

viskozimetru je dynamická viskozita dána vztahem

Protože průměr kuličky a měřící trubice se od sebe příliš neliší, výpočet podle této

rovnice je zatížen velkou chybou, dynamická viskozita se proto vypočítá z rovnice

kde - dynamická viskozita

k - konstanta viskozimetru, je stanovena pro každou kuličku výrobcem, nebo

je stanovena cejchováním v kapalině známé viskozity

v, k - hustota kulička a měřené kapaliny

Pro snadnější manipulaci - hlavice viskozimetru je otočná okolo vodorovné osy, tím

je umožněno po měření přesunout kuličku do horní polohy a měření opakovat, aniž

je nutné kuličku z měřící trubice vyndávat.

Podtlak

• Při značném zúžení trubice může

poklesnout tlak kapaliny tak, že je menší

než atmosférický. Ve zúženém místě

vzniká podtlak a do manometrické trubice

se nasává vzduch

63

Vytékání kapaliny otvorem v nádobě

• Tlaková energie objemové jednotky se mění v

energii kinetickou

ghv

ghv

..2

....2

1 2

64

Obtékání těles tekutinou

1. Tekutina proudí, těleso je v klidu

2. Tekutina je v klidu, těleso se pohybuje

Vznikají odporové síly, působící proti pohybu

tělesa

Hydrodynamická odporová síla – v kapalině

Aerodynamická odporová síla – v plynu

65

Odporové síly – odpor prostředí

O jejich velikosti rozhodují:

• rozměry a tvar tělesa

• hustota tekutiny

• vzájemná rychlost tělesa a tekutiny

66