kinematika a dynamika tekutin · kinematika a dynamika tekutin technická mechanika (btmb)...

Kinematika a dynamika tekutin

Technická mechanika (BTMB)

Přednášející:

doc. Ing. Ilona Lázničková, Ph.D.

Ústav elektroenergetiky FEKT VUT v Brně, Technická 12, 616 00 Brno

e-Power - Inovace výuky elektroenergetiky a silnoproudé elektrotechniky formou e-Learningu a rozšíření prakticky orientované výuky,

číslo: CZ.1.07/2.2.00/15.0158.

_______________________________ Kinematika tekutin

Základní pojmy:

dráha (trajektorie) částice,

proudnice (proudová čára),

proudová trubice, proudové vlákno,

rychlostní pole,

proudění stacionární (ustálené),

proudění nestacionární (neustálené).

- pohyb tekutin a poloha částic tekutiny v prostoru v závislosti na čase.


Proudění tekutiny podle kinematických hledisek


Proudění podle fyzikálních vlastností tekutiny


Rotace rotací rychlosti je možno charakterizovat vírový pohyb tekutiny

Divergence vyjadřuje to, zda dané vektorové pole (např. pole rychlosti proudící

tekutiny) obsahuje v daném místě zdroje či úbytky toku dané veličiny

umožňuje určit tok daného vektorového pole v daném objemu, např.

hmotnostní průtok tekutiny

z

c

y

c

x

cc

cc

y

c

x

ck

x

c

z

cj

z

c

y

ci

ccc

zyx

kji

c

zyx

xyzxyz

zyx

div

0rot2

1,0rot

rot


Rovnice kontinuity vyjadřuje zákon zachování hmotnosti,

vyjadřuje úbytek hmotnosti, ke kterému dojde v objemu

ΔV za časovou jednotku, a je roven toku hmotnosti přes

povrch ΔA tohoto objemu ΔV.

Obecná rovnice kontinuity pro nestacionární prostorové proudění stlačitelné tekutiny

t

c

ct

div

0div

stacionární prostorové proudění stlačitelné tekutiny

(ne)stacionární prostorové proudění nestlačitelné tekutiny


Rovnice kontinuity jednorozměrné nestacionární proudění tekutiny v proudové trubici

s proměnným průřezem

2211

222111

konst.

konst.

cAcA

AcQ

cAcA

AcQ

V

m

jednorozměrné ustálené proudění (ne)stlačitelné tekutiny v proudové trubici

)(),(0)( tAAsAAt

AAcs


Rovnice kontinuity jednorozměrné proudění v proudové trubici


Kontrolní otázky

Z jakého principu vychází odvození rovnice kontinuity?

Co vyjadřuje rovnice kontinuity?

Co je divergence vektoru?

Vyjádřete matematickým zápisem div c?

Jaký je rozdíl mezi rovnicí kontinuity pro nestacionární a stacionární proudění?

Jaký je rozdíl mezi rovnicí kontinuity pro stlačitelnou a nestlačitelnou tekutinu?

Definujte hmotnostní průtok a jaká je jeho jednotka?

Definujte objemový průtok a jaká je jeho jednotka?

_______________________________ Dynamika tekutin

Eulerovy rovnice dynamiky tekutin

- vyjadřují rovnováhu sil hmotnostních, které působí na tekutinu

zvnějšku, tlakových, působících v tekutině, a setrvačných od

vlastního pohybu částic ideální tekutiny

- navíc se zabývá se silami, které pohyb tekutin způsobují, a také silami, jimiž

tekutina působí, např. na obtékaná tělesa

t

c

z

cc

y

cc

x

cc

x

pK

t

cccpK

xxz

xy

xxx

1

tj.

divgrad1

Gradient vyjadřuje vektor směru maximální prostorové změny skalární veličiny

(např. tlak, teplota), tj. směr, kterým v daném místě prostoru daná skalární veličina

nejvíce narůstá.

Obdobně pro zbývající 2 rovnice.

_______________________________ Dynamika tekutin

Navierovy-Stokesovy rovnice

při řešení trojrozměrného proudění vazkých tekutin

t

c

z

c

y

c

x

c

xz

c

y

c

x

c

x

pK

t

cccccpK

xzyxxxxx

d

d

3

1

divdivgrad3

grad1

2

2

2

2

2

2

_______________________________ Jednorozměrné proudění v proudové trubici

Model jednorozměrného proudění

)(

1

A

AcA

c d

)(

1

A

ApA

p d

)(

1

A

AA

d


Bernoulliho rovnice vyjadřuje zákon zachování mechanické energie

Mechanická energie:

Potenciální energie:

Kinetická energie:

kpk

krkpkrkpk

pppgpppgp

kpm

EE

JEmcEEEE

pVEmghEEEE

EEE

22

2

1,

2

1,

,,

Mechanická energie = součet potenciální tíhové a potenciální tlakové energie a

kinetické energie


Mechanická energie vstupující tekutiny

1

2

111111

2mgh

cm

pmEEEE pgkppm

Mechanická energie vystupující tekutiny

2

2

222222

2mgh

cm

pmEEEE pgkppm

Zákon zachování energie:

21 mm EE


Bernoulliho rovnice stacionárního proudění nestlačitelné nevazké tekutiny

• ve tvaru energií

• ve tvaru měrných energií

• ve tvaru tlaků

• ve tvaru výšek

2

2

221

2

11

22mgh

cm

pmmgh

cm

pm

2

2

221

2

11

22h

g

cph

g

c

g

p

2

2

221

2

11

22gh

cpgh

cp

2

2

221

2

112

1

2

1ghcpghcp


Bernoulliho rovnice nestlačitelné nevazké tekutiny

Bernoulliho rovnice nestlačitelné vazké tekutiny s uvažováním ztrát

Ztrátová výška hz

- pro izotermické proudění nestlačitelné tekutiny trubicí neproměnného

kruhového průřezu se určí ze ztrát třením

2

2

221

2

11

22h

g

c

g

ph

g

c

g

p

zhhg

c

g

ph

g

c

g

p 2

2

221

2

11

22


Praktická aplikace Bernoulliho rovnice

pokud tekutina proudí trubicí s různými průměry, mění se rychlost

jejího proudění, tím se mění její kinetická energie a mění se její tlaková

energie (platí Bernoulliho rovnice)

Otázky:

Proč je kapalina ve 2. sloupci v menší výšce?

Proč ve 3. sloupci, který je nad místem se stejným průřezem jako 1. sloupec,

nevystoupila kapalina do stejné výšky?

Jaké jsou rychlosti ve 2. sloupci vzhledem k 1. nebo 3. sloupci?



- výtok kapaliny z nádob, přepady

Torricelliho vzorec pro výtokovou rychlost

platí, pokud A1>>Av, h = konst., p1 = p2 = pa

Skutečná výtoková rychlost

Skutečný objemový průtok

02

02

g

c

g

ph

g

p vaa

ghcv 2

Pozn.: Jak se změní výtoková rychlost pokud a) tlaky nejsou stejné, b) výška h

se mění, c) pokud neplatí A1>>Av, d) výtokový otvor je velký ve srovnání s jeho

hloubkou pod hladinou.

vskvskv cchgc ,, ,2

hgAQ vskV 2,



měření průtoku – Venturiho trubice

Rovnice kontinuity, Bernoulliho rovnice

Tlakový rozdíl

Průtoková rychlost

Objemový průtok

g

p

g

c

g

p

g

ccAcA

2

2

21

2

12211

22

hgppp 21

2

1

2

2

2

1

2

A

A

hgc

22 AcQV

c2

h

p1

p2

A1A2

c1c2


Bernoulliho rovnice pro stacionární proudění v relativním prostoru

pro nestlačitelnou vazkou tekutinu

zhhg

u

g

w

g

ph

g

u

g

w

g

p 2

2

2

2

221

2

1

2

11

2222

ru

c – absolutní rychlost

w – relativní rychlost

u – obvodová (unášivá) rychlost

ω – úhlová rychlost

uwc

Při výpočtu relativního proudění dosazujeme do rovnice kontinuity relativní

rychlost w.

_______________________________ Stacionární proudění v proudové trubici

Ztrátová výška hz

zz ghp

Ztráty podle příčin vzniku:

• ztráty způsobené třením tekutiny o stěny potrubí

• ztráty místními vlivy, způsobené převážně vířením tekutiny při průtoku

Tlaková ztráta třením:

Pro izotermické proudění nestlačitelné tekutiny trubicí neproměnného kruhového průřezu

Tlaková ztráta místními vlivy:

2

2c

d

lpzt

2

2cpzm

410Re,2320Re,Re

)(Re,,Re

64

cd

kr

Podle typu proudění:

______________________________ Dynamické účinky proudící tekutiny

Při řešení dynamických účinků proudící tekutiny na těleso (stěnu) vycházíme z věty

o změně hybnostního toku (průtokové hybnosti).

Integrální věta o změně hybnostního toku Výslednice všech sil působících na tekutinu uzavřenou ve vhodně zvolené kontrolní

ploše je při stacionárním proudění dána vektorovým rozdílem hybnostního toku na

výstupu z kontrolní plochy a na vstupu do ní.

12 HHF

Hybnostní tok

wQH V

Při výpočtu relativního proudění dosazujeme relativní rychlost w.

Síla vyvolaná proudící kapalinou musí být stejně velká, ale opačně orientovaná

21kap HHFF

_______________________________ Dynamické účinky proudící tekutiny

Hmotnostní průtok

Objemový průtok

Velikost silového účinku

Výkon paprsku kapaliny uFPP

ucQFcQF

ucAQcAQ

ucAQcAQ

VV

VV

mm

0

)(

)(

)(

11

11

11

Aplikace věty o změně hybnosti výpočet silových účinků paprsků kapaliny na kolmou stojící/unášenou desku

_______________________________ Dynamika obtékání těles

Odpor obtékaného tělesa se vyjadřuje empirickým vztahem

pxx Ac

cF2

2

Obtékání tělesa ideální tekutinou

Obtékání tělesa skutečnou tekutinou

______________________________ Mechanika tekutin - shrnutí

Základní pojmy/vztahy

Základní úlohy statiky tekutin

Eulerova rovnice statiky tekutin

Rovnice hladiny v homogenním tíhovém poli

Tlak v tekutině (absolutní, atmosférický, hydrostatický, statický, přetlak, podtlak)

Pascalův zákon

Tlaková síla (na rovinnou, křivou plochu) a její působiště, vztlaková síla

Hydrostatický paradox

Rovnice hladiny v prostoru pohybujícím se přímočaře, v rotujícím prostoru

Trajektorie, proudnice, proudová trubice, proudové vlákno

Rotace rychlosti, divergence rychlosti, gradient tlaku

Přírůstek tlaku vlivem vnějších sil

Rovnice kontinuity (hmotnostní a objemový průtok)

Bernoulliho rovnice jednorozměrného stacionárního proudění

Torricelliho vzorec

Proudění v relativním prostoru (Bernoulliho rovnice)

Rychlosti (absolutní, relativní, unášivá, úhlová)

Věta o změně hybnostního toku (kolmá stěna pevná/pohyblivá)

Obtékání těles

kinematika a dynamika tekutin · kinematika a dynamika tekutin technická mechanika (btmb)...

Documents