REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAINSTITUTO POLITÉCNICO SANTIAGO MARINO

EXTENSIÓN MATURÍN

ALUMNO: GONZALEZ RYDER

teoría de colas o fenómenos de espera

Maturin, Febrero 2017

LÍNEAS DE ESPERADEFINICIONES, CARACTERÍSTICAS Y SUPOSICIONES.

Una Cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección de modelos matemáticos que describen sistemas de líneas de espera particulares o sistemas de colas. Los modelos sirven para encontrar el comportamiento de estado estable, como la longitud promedio de la línea y el tiempo de espera promedio para un sistema dado. Esta información, junto con los costos pertinentes, se usa, entonces, para determinar la capacidad de servicio apropiada.

TEORIA DE COLAS Una cola es una línea de espera La teoría de colas es un conjunto de modelos matemáticos que describen sistemas

de líneas de espera particulares El objetivo es encontrar el estado estable del sistema y determinar una capacidad de

servicio apropiada

Existen muchos sistemas de colas distintos Algunos modelos son muy especiales Otros se ajustan a modelos más generales Otros se pueden tratar a través de la simulación

ESTRUCTURA BÁSICA DE UN MODELO DE COLAS

Los clientes que requieren un servicio se generan a través de una fuente de entrada o población. Estos clientes entran al sistema de colas y se unen a la cola

En determinado momento se selecciona un miembro de la cola, para proporcionarle el servicio, mediante alguna regla conocida como disciplina de servicio (orden de llegada,

aleatorio, prioridades)

Después, se otorga el servicio requerido por el cliente mediante el mecanismo de servicio, caracterizado por el número de canales paraderos o servidores y por el tiempo de servicio,

tiempo que transcurre desde el inicio del servicio para un cliente hasta su término. El tiempo de servicio puede tener una distribución exponencial, degenerada o gamma

ESTRUCTURA BASICA DE UN MODELO DE COLAS

Fuente deEntrada Cola Mecanismo

de Servicio

Clientes servidosClientes

Sistema de Colas

ALGUNOS MODELOS DE COLAS

1) Modelo simple con un solo servidor

2) Sistema de colas en serie (trámites en serie)

3) Sistema de colas simple multiservidor

XXXX XXXX XXXXSEntrada Cola Servidor Salida

XXX XXX XXX XXX XXXS S

S

S

S

S

XXXXXX XXXXXX

XX

XX

XX

ELEMENTOS DEL MODELO DE COLAS

• Fuente de Entrada:

• Tiempo entre Llegadas:

• Tamaño de las Colas:• Tiempo de Servicio:

• Disciplina de Servicio• Servidor (es)• Clientes

Puede ser finita (máquinas en un servicio de reparación) o infinita (llamadas telefónicas)

Es el arribo de clientes, puede ser probabilístico o determinístico

Puede ser finito o infinito

Describe la prestación del servicio que el servidor le da

al cliente. Puede serdeterminístico o probabilístico

IMPORTANCIA DE LA TEORÍA DE COLAS EN LAS OPERACIONES

La teoría de colas determina las medidas del funcionamiento de una situación de colas, es una técnica útil para diseñar la capacidad del proceso de operaciones, puesto que provee de información muy útil para decidir el

nivel apropiado de prestación del servicio para las instalaciones

COMPORTAMIENTO DEL SISTEMA DE COLAS

Es diferente en cada una de las etapas del sistema. Matemáticamente es difícil plantear modelos en los inicios y términos de atención del sistema, es más simple plantearlos cuando el sistema alcanza un estado estable, el que se da si en todos los estados:

Estado Estable

Entradas al Sistema

Salidasal Sistema=

Si hay a lo menos un estado en el que, las entradas al sistema no son iguales a las salidas del sistema, entonces no se ha alcanzado el estado estable

Población Cola Mecanismode Servicio

Clientes servidosClientes

Sistema de Colas

ESTRUCTURA BÁSICA DE UN MODELO DE COLAS

Lq , Wq

L , Wl (clientes / tiempo)

1m

(tiempo / clientes)

Poisson Exp

PROCESO DE NACIMIENTO O MUERTE

La mayor parte de los modelos elementales de colas suponen que las entradas (llegada de clientes) y las salidas (clientes que se van) del sistema ocurren de acuerdo al proceso de nacimiento y muerte. Este importante proceso de teoría de probabilidad tiene aplicaciones en varias áreas. Sin embrago en el contexto de la teoría de colas, el término nacimiento se refiere a llegada de un nuevo cliente al sistema de colas y el término muerte se refiere a la salida del cliente servido. El estado del sistema en el tiempo t (t 0), denotado por N (t), es el número de clientes que hay en el sistema de colas en el tiempo t. El proceso de nacimiento y muerte describe en términos probabilísticos cómo cambia N (t) al aumentar t. En general, dice que los nacimientos y muertes individuales ocurren aleatoriamente, en donde sus tasas medias de ocurrencia dependen del estado actual del sistema.

De manera más precisa, las suposiciones del proceso de nacimiento y muerte son las siguientes:

SUPOSICIÓN 1. Dado N (t) = n, la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para el próximo nacimiento (llegada) es exponencial con parámetro (n=0,1,2,….).

SUPOSICIÓN 2. Dado N (t) = n, la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para la próxima muerte (terminación de servicio) es exponencial con parámetro (n=1,2,….).

SUPOSICIÓN 3. La variable aleatoria de la suposición 1 (el tiempo que falta hasta el próximo nacimiento) y la variable aleatoria de la suposición 2 (el tiempo que falta hasta la siguiente muerte) son mutuamente independientes.

2.4 MODELOS DE POISSON

Es una distribución discreta empleada con mucha frecuencia para describir el patrón de las llegadas a un sistema de colas

Para tasas medias de llegadas pequeñas es asimétrica y se hace más simétrica y se aproxima a la binomial para tasas de llegadas altas.

• Su forma algebraica es:

• Donde:–P(k) : probabilidad de k llegadas por unidad de tiempo–l : tasa media de llegadas–e = 2,7182818…

!)(

kekPk ll

GRAFICA: DISTRIBUCION DE POISSON

Llegadas por unidad de tiempo

0

P

2.4.1 UN SERVIDOR

Ejemplo : (Un supermercado )Supóngase un supermercado grande con muchas cajas de salida, en donde los clientes llegan para que les marquen su cuenta con una tasa de 90 por hora y que hay 10 cajas en operación. Si hay poco intercambio entre las líneas, puede tratarse este problema como 10 sistemas separados de una sola línea, cada uno con una llegada de 9 clientes por hora. Para una tasa de servicio de 12 por hora y considerando M/M/1, evalúe el sistema. 

Solución: Interpretación de resultados: El cliente promedio espera 15 minutos antes de ser servido. En promedio, hay un poco más de dos clientes en la línea o tres en el sistema. El proceso completo lleva un promedio de 20 minutos. La caja está ocupada el 75 % del tiempo. Y finalmente, el 32 % del tiempo habrá cuatro personas o más en el sistema ( o tres o más esperando en la cola).

Llegadas

Sistema de colas

Cola Servidor

Salidas

2.4.2 MULTIPLES SERVIDORES

Ejemplo:Considérese la biblioteca de una universidad cuyo personal está tratando de decidir cuántas copiadoras o fotocopiadoras debe de instalar para uso de los estudiantes. Se ha escogido un equipo particular que puede hacer hasta 10 copias por minuto. No se sabe cuál es el costo de espera para un estudiante, pero se piensa que no deben tener que esperar más de dos minutos en promedio. Si el número promedio de copias que se hacen por usuario es cinco, ¿cuántas copiadoras se deben instalar?.

Solución: ¿Cuál es la tasa de servicio? Si el número promedio de copias es cinco y la copiadora puede hacer hasta 10 copias por minuto, entonces pueden servirse en promedio hasta dos estudiantes por minuto. Pero, en esto no se toma en cuenta el tiempo para pagar, cambiar originales, para que un estudiante desocupe y otro comience a copiar. Supóngase que se permite un 70 % del tiempo para estas actividades. Entonces la tasa de servicio neta baja a 0.6 estudiantes por minuto. Además se supone que los periodos pico de copiado tienen una tasa de llegada de 60 estudiantes por hora, o 1 por minuto.

Llegadas

Sistema de colas

Cola

Servidor

Salidas

Servidor

Servidor

Salidas

Salidas

2.5 ANALISIS DE COSTOS El análisis de costo es simplemente, el proceso de identificación de los recursos necesarios para llevar a cabo la labor o proyecto del voluntario. El análisis de costo determina la calidad y cantidad de recursos necesarios. Entre otros factores, analiza el costo del proyecto en términos de dinero. Con frecuencia, los voluntarios suponen que cuentan con los recursos necesarios y que el costo es tan bajo que no es necesario realizar el análisis. Sin embargo puede ocurrir que, una vez que el proyecto esté marchando los voluntarios se den cuenta de que los utensilios, el equipo, los materiales y la mano de obra especializada que se requiere para completarlo no están disponibles.

El análisis de costo no sólo ayuda a determinar el costo del proyecto y su mantenimiento sino que también sirve para determinar si vale o no la pena llevarlo a cabo.

COSTOS DE UN SISTEMAS DE COLAS1. Costo de espera: Es el costo para el

cliente al esperar Representa el costo de oportunidad del

tiempo perdido Un sistema con un bajo costo de espera es

una fuente importante de competitividad2. Costo de servicio: Es el costo de operación

del servicio brindado Es más fácil de estimar El objetivo de un sistema de colas es

encontrar el sistema del costo total mínimo