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• 20% - Primer parcial (Temas 1 al 4).
• 20% - Segundo parcial (Temas 5 al 8).
• 20% - Tercer parcial (Temas 9 al 13).
Examen 28 de noviembre
• 20% - Trabajo final.
• 20% - Participaciones en clase, ejercicios,
exposiciones, tareas, trabajos de investigación,
etc.
• Puede ser un diseño presentado físicamente o en
archivo.
• Debe contener al menos 3 de los elementos vistos
durante el curso.
• Debe estar respaldado con una presentación en
diapositivas.
• Las dispositivas deben incluir: presentación de la
misma, nombre del diseño, bitácora de elaboración,
borrador en su caso, entre otros.
• La presentación debe estar diseñada para durar de 5 a
10 minutos.
• El trabajo puede tratar de algún diseño presentado en
otra materia.
• Este trabajo cuenta 20 puntos de su calificación.
1. Encuadre, introducción y conceptos básico.
2. División de superficies y figuras en
3. Relaciones entre figuras geométricas.
4. Funciones de las formas geométricas aplicadas al diseño gráfico.
5. Las constantes geométricas y su aplicación al diseño gráfico.
6. Funciones trigonométricas básicas.
7. Construcción y división gráfica de figuras geométricas (triángulo, pentágono, etc).
1 1 1 1, , , , .2 3 4 5
etc
8. Geometría fractal. Conceptos básicos.
14. La relación de los números con la geometría.
MC Beatriz Gpe. Zaragoza Palacios
Departamento de Matemáticas
Universidad de Sonora
El matemático italiano Leonardo de Pisa (1170-1250) ha
pasado a la historia con el apodo de Fibonacci, que significa
hijo de Bonacci. Gracias a que viajó con su padre por el
cercano oriente, tuvo contacto con la matemática árabe.
Probablemente la mayor contribución de Fibonacci, sea la
introducción del sistema de numeración árabe a Europa
pues el sistema posicional de los árabes, con 10 símbolos,
incluyendo un 0, es muy superior a el sistema romano.
Sin embargo, Fibonacci es más conocido por la llamada
secuencia de Fibonacci. La secuencia surge en diversos
fenómenos de la naturaleza. Uno de esos problemas es el
estudio de poblaciones de conejos derivada de la gran
fertilidad de estos animales. Veamos…
Una pareja madura de conejos procrea una nueva pareja cada
mes, en tanto que una pareja de conejos recién nacidos tarda
dos meses en procrear a su vez otra pareja. Si se tiene una
pareja de conejos tiernos en un sistema aislado. ¿Cuántas
parejas de conejos habrá al cabo de un año?
¿Cómo podemos saber cuántas parejas habrá en el mes
siguiente? Eso depende de cuántas hay en el presente mes y
de cuántas hubo en el pasado. Para empezar, el próximo mes
van a estar todas las que están ahora, pero también habrá
nuevas parejas. ¿Cuántas nuevas parejas habrá? No todas las
parejas del presente mes van a procrear para el siguiente,
algunas sí, pero las que acaban de nacer necesitan dos meses.
¿Cuáles sí van a procrear? todas las que estaban el mes
pasado. Esas ya tienen un mes como mínimo y para el próximo
darán origen a una nueva pareja. Es decir, para saber el
número del siguiente mes, hay que sumar el número actual
más el número del mes pasado.
Y la fórmula para esta secuencia es la siguiente:
Siendo
Lo que nos lleva a la sucesión de Fibonacci, que es una
sucesión infinita de números naturales:
0 , 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , 233 , 377 ,
610 , 987 , 1597 …
A los elementos de esta sucesión se les llama números de
Fibonacci.
1 2n n nF F F
0 0F
Esta sucesión aparece en
configuraciones biológicas,
como por ejemplo en las
ramas de los árboles, en la
disposición de las hojas en
el tallo, en las flores de
alcachofas y girasoles y en
la configuración de las
piñas de las coníferas. De
igual manera, se encuentra
en la estructura espiral del
caparazón de algunos moluscos, como el nautilus.
También tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la
computación, matemáticas, teoría de juegos y el arte.
En la arquitectura histórica como las Pirámides de Giiza y
el Partenón también contienen una secuencia Fibonacci si las
examinas con cercanía.
Como podemos ver, las matemáticas pueden aplicarse en
cualquier campo, incluso uno tan artístico como el diseño. En
la actualidad, muchos artistas solo confían en sus visiones en
lugar de usar medidas al momento de trabajar en sus
proyectos de diseño.
Dejemos de lado el mito de que los artistas son malos para
los números y empecemos a usarlos para mejorar nuestros
trabajos
1) Encuentra los número que faltan de la Secuencia de Fibonacci: 0 , 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , 233 , 377 , 610 , 987 ,
1597 …
1 2n n nF F F
MC Beatriz Gpe. Zaragoza Palacios
Departamento de Matemáticas
Universidad de Sonora
La sección Aurea es una relación matemática presente
en la naturaleza: en las nervaduras de las hojas, en el
grosor de las ramas, en el caparazón de moluscos, en las
semillas de los girasoles, en los cuernos de las cabras,
incluso en el cuerpo humano.
Esta proporción ha fascinado desde hace siglos al ser
humano, que lo ha considerado un indicador de la
perfección y la estética.
Esta relación tiene también que ver con la Serie de Fibonacci:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21... La relación entre estos números
respeta la proporción Áurea y su colocación concéntrica,
genera el espiral.
Al construir bloques cuya longitud de lado sean números de
Fibonacci se obtiene un dibujo que asemeja al rectángulo
áureo.
Un rectángulo se dice que es un rectángulo áureo si tiene sus
lados en la proporción áurea. Si cortamos adecuadamente un
rectángulo áureo en un cuadrado de lado el ancho del
rectángulo y en un rectángulo entonces el rectángulo pequeño
también es un rectángulo áureo. Y podemos seguir este
proceso indefinidamente.
La espiral áurea generada dibujando arcos circulares
conectando las esquinas opuestas de los cuadrados ajustados
a los valores de la sucesión; adosando sucesivamente
cuadrados de lado 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 y 34.
- Comienza por un cuadrado de lado AB y una línea recta.
- Se localiza el punto medio M.
- Se traza un círculo con centro en M y que pasa por el punto
D para encontrar el punto C.
- De aquí que el segmento AC está dividido por la proporción
Aurea en el punto B.
D
A B M C
A B C
X 1
2
2
1
1
1
1 0
1 51.618033989
2
1.618033989
x x
x
x x
x x
x
- Comienza por un segmento de recta AA´.
- Se localiza el punto medio M.
- Se marca un arco a partir de M con longitud AA´ sobre
una línea perpendicular. Y se calcula su punto medio M´.
- Se marca el punto C con la ayuda de la recta M´C=AA´.
A´
A
M
M´
B C
En el Renacimiento, muchísimos artistas y arquitectos
compusieron sus trabajos con la intención de aproximarse a la
proporción Áurea, convencidos de que esta relación atribuía a
las obras un carácter estético especial.
Por ejemplo, hay quienes afirman que las proporciones de la
Gioconda o del Parthenón, están basadas en la sección áurea.
El famoso Hombre de Vitrubio también contiene la sección
áurea, de hecho se consideraba que una persona era
matemáticamente perfecta si su altura y la distancia desde el
suelo al ombligo estaban en proporción áurea.
Prueba a medir desde tu hombro hasta la punta de
los dedos y divide entre la medida del codo hasta la
punta de los dedos.
También prueba a medir la distancia de tu cadera al
suelo y divídela entre la distancia de la rodilla al
suelo.
El ejemplo más cercano y curioso en el que encontraremos la
proporción áurea es en las tarjetas de crédito. Si dividimos el
ancho entre el alto de una tarjeta de crédito obtendremos el
número áureo: 1,618 .
Esta fascinación y mitificación de la proporción áurea
continúa viva en nuestros días, y es precisamente en el diseño
de logotipos donde encontramos grandes ejemplos de ello.
Creyendo que la proporción áurea ayudará a crear diseños
estéticamente más agradables, muchos creativos han optado
por aplicar esta relación a la construcción de sus logotipos.
Ancho 5.35cm
Alto 8.65cm
Pero ¿Realmente influye esta proporción en el resultado
estético de la obra? Algunas personas opinan que existe una
excesiva mitificación de este número y que su presencia no
potencia la belleza ni el equilibrio de los objetos, tampoco
queda claro qué hay de veraz en las historias que se cuentan
sobre esta proporción.
De una forma u otra, esta ley matemática, así como su
historia y su relación con la creatividad humana resulta
fascinante y misteriosa, y su vínculo con el diseño actual de
logotipos es sin duda un tema curioso.
MC Beatriz Gpe. Zaragoza Palacios
Departamento de Matemáticas
Universidad de Sonora
Φ 1
2 1 0
Resulta que…
1 51.618033989...
2
1 20.618033989...
1 5
¡¡El número de oro, su cuadrado y su inverso tienen
las mismas, infinitas, cifras decimales!!!
Pero si elevamos al cuadrado, tendremos que:
2
2 1 5 1 2 5 5 6 2 5 3 5
2 4 4 2
2 1 51 1 2.618033989...
2
2
11 0.618033989...
1 2.618033989...
Utra propiedad importante de los rectángulos áureos
es que cuando se colocan dos iguales como indica la
figura, la diagonal AB pasa por el vértice C.
El número de oro está íntimamente ligado al pentágono
regular y a la estrella de 5 puntas pues el cociente 𝐴𝐷/𝐴𝐵 da
de nuevo como resultado el número de oro.
La Sagrada Familia
de Miguel Ángel
AD
AB
No por nada la estrella es la figura
que representa mejor a la
proporción áurea o dorada. En
diseño, los logotipos de cinco
estrellas o en espiral generalmente
representan la excelencia. Por lo
tanto un logo en forma de espiral es
ideal para las empresas que lideran
sus sectores, los proveedores de
servicios y para banderas. Un
diseño en espiral también tiende a
trascender en el tiempo y el
espacio.
Trazado del pentágono
En los violines, la ubicación de las efes (los “oídos”, u
orificios en la tapa) se relaciona con el número áureo.
En las estructuras formal es de las sonatas de Mozart,
en la Quinta Sinfonía de Beethoven, en obras de
Schubert y Debussý (estos compositores
probablemente compusieron estas relaciones de
manera inconsciente, basándose en equilibrios de
masas sonoras).
Es necesario aclarar que cuando se
menciona al número áureo en una
realización artística de cualquier
naturaleza se está haciendo
mención a una aproximación
racional adecuada a las
circunstancias o a un dibujo hecho
con regla no graduada de un solo
borde y longitud indefinida y un
compás de abertura fija o variable.
La teoría de la proporción nace de la creatividad
arquitectónica: la relación de la parte con el todo; las
relaciones del todo con todas sus partes,... Esta teoría, ya
aplicada en Egipto y descrita literariamente por primera
vez por el arquitecto romano Vitrubio, va unida a los
trazados geométricos con regla y compás, y en ella conviven
las proporciones estáticas inherentes a la modularidad (1,
1/4, 1/2, 3/4, 1/3, 2/3, 1/5,...) con las bellísimas proporciones
dinámicas ( 2, 3, 5, (1+ 5) / 2,... ).
La teoría de la proporción ha perdurado a lo largo de la
historia, buscando siempre armonía entre partes, belleza
derivada de las proporciones de los seres humanos; y ha sido
siempre un método compositivo.
MC Beatriz Gpe. Zaragoza Palacios
Departamento de Matemáticas
Universidad de Sonora
El origen de los sólidos platónicos como elemento
para ser estudiado por las matemáticas se halla en la
antigua Grecia. Sin embargo la primera noticia que se
conoce sobre estos poliedros, procede de un yacimiento
neolítico en Escocia, donde se encontraron figuras de
barro de aproximadamente 2000 a.C. Se cree que se
trataba de elementos decorativos o, tal vez, de algún
tipo de juego.
Para Platón cada uno de los sólidos correspondía cada
uno de los elementos: la tierra estaba asociada al cubo,
el fuego al tetraedro, el aire al octaedro, el agua al
icosaedro, y finalmente el Universo como un todo,
estaba asociado con el dodecaedro.
Los sólidos platónicos tienen ciertas características
comunes, por ejemplo: cada uno de los sólidos solo
tiene un tipo de polígono como cara y que todas
están dispuestas “uniformemente”... Así pues, se dice
por definición que un sólido platónico es un poliedro
regular, es decir, es todo aquel poliedro convexo cuyas
caras son polígonos regulares iguales entre sí y cuyos
vértices son iguales.
Es un poliedro de 6 caras, siendo estas cuadrados.
Contiene 12 aristas y 8 vértices.
Podemos calcular el área de la superficie, de la
siguiente manera:
Sea a el tamaño de la arista, tenemos que:
Y su volumen:
2
6( )
6
A ladoXlado
A a
3V a
Es un poliedro de 4 caras, siendo estas triángulos
equiláteros. Contiene 6 aristas y 4 vértices.
Podemos calcular el área de la superficie, de la
siguiente manera:
Sea a el tamaño de la arista, tenemos que:
Y su volumen
2
2
2 22 2
4 42 2 2
32 2 34 4
baseXaltura a aA a
a aA a a a a
32
12V a
Es un poliedro de 8 caras como su nombre lo indica,
siendo estas triángulos equiláteros.
Contiene 12 aristas a y 6 vértices.
El área de la superficie se calcula de la siguiente
manera:
Siendo su volumen:
2
3
2 3
2
3
A a
V a
Es un poliedro de 20 caras, siendo estas triángulos
equiláteros.
Contiene 30 aristas a y 12 vértices.
El área de la superficie se calcula de la siguiente
manera:
Siendo su volumen:
2
3
5 3
5 3 5
12
A a
V a
Es un poliedro de 12 caras, siendo estas pentágonos
regulares.
Contiene 30 aristas a y 20 vértices.
El área de la superficie se calcula de la siguiente
manera:
Siendo su volumen:
2
3
3 25 10 5
115 7 5
4
A a
V a
- Simetría puntual: Para cada uno de los 5 sólidos
existe un punto, que es siempre el punto central
del poliedro que es el centro de simetría en la simetría
puntual.
- Simetría axial: Todos los sólidos tienen además
varios ejes de simetría. Para cada poliedro la cantidad
varía; pero en todos el los el eje de simetría pasa por el
centro de simetría.
- Simetría de plano: Todos los sólidos platónicos
presentan simetrías respecto a planos, en las que
los planos de simetría contienen al centro de simetría,
y a combinaciones de los ejes de simetría.
La naturaleza parece tener una especial predilección
por adoptar formas que nos resultan bellas, y este es
el caso de los sólidos platónicos.
El cubo, el tetraedro y octaedro aparecen de forma
natural en las estructuras de los cristales, de
hecho todas las posibles configuraciones cristalinas
están formas exclusivamente a base de diferentes
combinaciones de estos tres poliedros.
También hay seres vivos con esta forma, por ejemplo
un tipo de protozoos llamados Radiolarios tienen forma
de cubo, octaedro, dodecaedro, icosaedro.
También muchos virus como el del herpes o el del
SIDA tienen forma de icosaedro. Estos virus están
compuestos por unidades básicas de proteínas, que se
unen en forma de icosaedro por ser muy eficiente.
MC Beatriz Gpe. Zaragoza Palacios
Departamento de Matemáticas
Universidad de Sonora
En los poliedros semirregulares las caras son
polígonos regulares de tipos distintos, pero en cada
vértice se juntan el mismo número de caras y de la
misma forma.
Son semirregulares ya que mantienen la forma
convexa, la regularidad de las caras y de los vértices,
aunque no la igualdad de las caras.
La observación de los poliedros regulares nos puede
dar una idea de algunos poliedros semirregulares que
se pueden obtener a partir de ellos.
A los poliedros semirregulares se les llaman poliedros
arquimedianos o sólidos arquimedianos, en honor a
Arquímedes, quien los encontró, estudió y clasificó.
Existen exactamente trece, once de ellos se obtienen
truncando sólidos platónicos, son el tetraedro
truncado, el cuboctaedro, el cubo truncado, el
octaedro truncado, el rombicuboctaedro, el
cuboctaedro truncado, el icosidodecaedro, el
dodecaedro truncado, el icosaedro truncado (balón
de futbol), el Rombicosidodecaedro y el
icosidodecaedro truncado.
Los nombres que reciben están compuestos por el
poliedro que es truncado y por el poliedro que lo
trunca. Una propiedad muy importante de estos
sólidos es que conservan el grupo de simetría del
poliedro del que proceden.
Un poliedro o sólido arquimediano tiene las siguientes
características:
- El segmento determinado por dos vértices
cualesquiera es siempre interior al cuerpo (es un
poliedro convexo).
- Todos sus vértices son puntos de una esfera.
- Sus caras son polígonos regulares de, al menos, dos
tipos diferentes.
- Todas sus aristas tienen la misma longitud.
- Los ángulos poliedros determinados por las aristas
que convergen en cada vértice son convexos (es un
polígono convexo). Es decir, la suma de los ángulos
internos de todas las caras con un vértice común es
menor que 360°.
- Sus caras pertenecen a dos o a lo sumo a tres de las
siguientes categorías de polígonos regulares: triángulos
equiláteros, cuadrados, pentágonos, hexágonos,
octógonos y decágonos.
- Los ángulos poliedros determinados por las aristas
que convergen en cada vértice son congruentes, es decir,
pueden superponerse exactamente por traslaciones,
rotaciones o/y reflexiones.
Aparecen constantemente en la naturaleza, figuras
decorativas como faroles y lámparas. Los balones de
futbol en especial, han estado hechos siempre con 12
pentágonos y 20 hexágonos (icosaedro truncado)
aunque hoy en día se han cambiado por una forma
poliédrica más redondeada.
En el campo de la ciencia, los podemos encontrar en
algunos virus, células o moléculas.
Encontrar el número que falta en la sucesión de Fibonacci:
a) 21 , ____ , 55
de la ecuación de Fibonacci identificamos:
𝐹𝑛 = 55 y 𝐹𝑛−2 = 21 por lo que debemos encontrar 𝐹𝑛−1
b) 144 , 233, _____
c) _____, 987 , 1597
identificamos 𝐹𝑛 = 1597 y 𝐹𝑛−1 = 987 por lo que:
1 2 55 22 34n n nF F F
1 2 233 144 377n n nF F F
2 1 1597 987 610n n nF F F
Si una de las caras de un tetaedro tiene un área de12𝑚2 ¿Cuánto mide el área de toda la superficie?
Los tetaedros tienen 4 caras, si cada cara tiene un área de12𝑚2, entonces el área de toda la superficie será:
2 24 12 48A m m
Un cubo tiene un volumen de 354𝑚3 ¿Cuánto mide de cada arista?
El volumen de un cubo se calcula con la siguiente fórmula: si sacamos raíz cúbica de cada lado de la ecuación, encontraremos:
3V a
3 33 354 7.074a V m m
¿Cuál será el volumen de un tetaedro si cada arista tiene una longitud de de 7𝑚?
Las caras del tetraedro tienen forma triangular
33 32 2
6.06 40.4212 12
V a m m
Ahora podemos obtener el volumen del tetraedro con la siguiente fórmula:
La altura de cada triángulo se obtiene con el Teorema de Pitágoras, tomando la mitad del triángulo para que sea triángulo rectángulo:
2 2 2
2 2 2
2 2 49 12.25 6.06
c a b
a c b
a c b m m m
donde 𝑐 = 7𝑚, 𝑏 = 3.5𝑚
7𝑚
𝑎