matdis-logika matematika

Ada dua bahasan utama dalam Logika Matematika, yaitu logika preposisi dan logika predikat. Pada keduanya, sebagai variable adalah pernyataan. Logika preposisi menekankan pada pembahasan dengan pernyataan sebagai satu kesatuan obyek yang dapat bernilai salah satu dari dua kemungkinan yang ada, yaitu benar atau salah. Sedangkan logika predikat yang berhadapan dengan pernyataan berkuantor, menekankan pada pembahasan unsur-unsur dalam pernyataan itu sendiri. Pada bagian ini pembahasanan mulai dari mengenal preposisi, macam-macam perangkai untuk membuat suatu ekspresi, membuat tabel kebenaran hingga dalil-dalil atau teorema-teorema yang ada.

2.1 Kalimat, Preposisi, Aljabar Logika dan EkspresiKalimat merupakan suatu susunan kata-kata dengan maksud tertentu.

Beberapa contohnya adalah :

a. Siapakah namamu?b. Tolong ambilkan buku?c. Bogor ada di Jawa tengah.d. 5n2+7n=10 dsb.

Sebagian kalimat adalah pernyataan atau statement. Seperti contoh (c) dan (d) di atas. Sedangkan (a) dan (b) adalah bukan pernyataan atau statement. Pernyataan atau statement yang sudah dapat ditentukan nilai kebenarannya disebut preposisi. Dalam contoh di atas (c) adalah preposisi, karena kita sudah dapat menentukan bahwa dia adalah salah. Sedangkan pada contoh (d) bukan preposisi, sebab kita belum tahu apakah benar atau salah. Suatu preposisi biasanya disimbolkan dengan huruf kecil.

Contoh :

p adalah 3 + 5 = 7q adalah Bogor ada di Jawa Baratdsb.

Suatu preposisi yang bernilai benar diberi nilai 1, sedangkan yang bernilai salah diberi nilai 0. Sehingga pada contoh di atas :

p bernilai salah, sehingga nilai p adalah 0q bernilai benar, sehingga nilai q adalah 1

Aljabar logika merupakan salah satu bagian matematika yang berhubungan dengan preposisi. Kalau dalam aljabar yang telah kita kenal sewaktu di SMU, variable-variabel yang dipakai, misalnya x, mempunyai domain atau rentang nilai tertentu. Misalnya x bernilai bulat, atau bernilai real, atau yang lainnya. Dalam aljabar

Topik 2 Logika Matematika

2-1

logika, variable-variabelnya adalah preposisi, sehingga nilai dari variable adalah 1 atau 0 saja, tidak dapat yang lainnya.

Ekspresi merupakan ungkapan yang tersusun dari beberapa preposisi. Ada kalanya kita ingin tahu nilai kebenaran dari suatu ekspresi. Salah satu caranya adalah dengan apa yang disebut sebagai Tabel Kebenaran. Tabel kebenaran merupakan tabel yang mendaftarkan nilai kebenaran suatu ekspresi untuk semua kemungkinan kombinasi dari preposisi-preposisi penyusunnya.

2.2 Perangkai Preposisi dalam aljabar logika dapat merupakan preposisi tunggal atau dapat juga preposisi majemuk. Preposisi tunggal adalah preposisi yang hanya terdiri dari satu preposisi, misalkan adalah :

a. Bogor ada di Jawa Baratb. 3 + 6 = 10dsb.

Sedangkan preposisi majemuk adalah preposisi tunggal yang telah mengalami operasi perangkai. Beberapa perangkai yang sering dipakai adalah :

a. Disjungsib. Konjungsic. Implikasid. Biimplikasie. Negasi

Disjungsi

Disjungsi antara dua preposisi p dengan q ditulis :

p q dibaca sebagai “p atau q”, yang berarti : p saja, q saja atau p dan q.

Oleh karena itu, tabel kebenaran dari disjungsi adalah :

p q p q

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

Konjungsi

Konjungsi antara dua preposisi p dengan q ditulis :

p q dibaca sebagai “p dan q”, yang berarti : p dan q, harus keduanya.

Oleh karena itu, tabel kebenaran dari konjungsi adalah :

p q p q

1 1 1

1 0 0

0 1 0


2-2

0 0 0

Implikasi

Implikasi dari penyataan p dengan q ditulis :

p q dibaca sebagai :

jika p maka qp hanya jika qp syarat mutlak bagi qq syarat perlu bagi p

yang berarti bahwa : kalau p benar maka q harus benar, tidak sebaliknya. Sedangkan kalau p salah, maka q boleh benar atau boleh juga salah.

Oleh karena itu, tabel kebenaran dari implikasi adalah :

p q p q

1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 0 1

Biimplikasi

Biimplikasi dari dua preposisi p dengan q ditulis :

P q dibaca sebagai :

Jika p maka q dan jika q maka p

p jika dan hanya jika q

q jika dan hanya jika p

p syarat perlu dan mutlak bagi q

q syarat mutlak dan perlu bagi p

Oleh karena itu, tabel kebenaran dari konjungsi adalah :

p q p q

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Negasi

Negasi dari suatu pernyataan adalah pernyataan baru dengan nilai kebenarannya lawan dari nilai kebenaran pernyataan yang dinegasikan. Istilah negasi sering dikenal dengan nama ingkaran atau penidakan.


2-3

Negasi dari pernyataan p ditulis sebagai p atau p atau –p, yang dibaca sebagai

Tidak p

Negasi dari p

Yang berarti jika p benar maka p salah, sedangkan jika p salah maka p benar. Oleh karena itu, tabel kebenaran dari konjungsi adalah :

p p

1 0

0 1


2-4

Invers, Konvers dan Kontrapositif

Istilah-istilah ini berkaitan dengan kalimat implikasi.

a. Invers dari p q adalah -p -q

b. Konvers dari p q adalah q p

c. Kontapositif dari p q adalah -q -p

Tabel kebenaran dari ketiga pernyataan tersebut adalah :

p q -p -q -p -q q p -q -p p q

1 1 0 0 1 1 1 1

1 0 0 1 1 1 0 0

0 1 1 0 0 0 1 1

0 0 1 1 1 1 1 1

Terlihat bahwa nilai kebenaran suatu pernyataan implikasi adalah sama persis dengan kontrapositifnya. Dua kalimat yang mempunyai nilai kebenaran sama persis untuk setiap kombinasi nilai penyusunnya dikatakan bahwa dua kalimat tersebut setara atau equivalen. Periksa juga apakah p q setara dengan pq

Contoh

Buatlah tabel kebenaran dari :

a. (pq)p

b. p(pq)

c. [(pq)(qr)](pr)

Kalimat yang selalu salah untuk setiap kombinasi nilai kebenaran penyusunnya disebut kemustahilan. Sedangkan yang selalu benar disebut tautology atau benar logis. Dari contoh-sontoh di atas, mana yang kemustahilan dan mana yang tautology?

2.3 Dalil-Dalil dalam Logika Di dalam logika dikenal beberapa dalil. Dalil-dalil tersebut adalah :

1. Negasi Ganda

p p

2. Dalil De Morgan

(pq) pq

(pq) pq

3. Komutatif

pq qp

pq qp

4. Asosiatif

p(qr) (pq)r

p(qr) (pq)r


2-5

5. Distributif

p(qr) (pq)(pr)

p(qr) (pr)(pr)

6. Idempotent

pp p

pp p

7. Identitas

p0 p

p1 p

8. Invers

pp 1

pp 0

9. Dominasi

p1 1

p0 0

10. Penyerapan

p(pq) p

p(pq) p

Contoh :

1. Dengan menggunakan dalil-dalil di atas buktikan bahwa

a) (pq)(pq) p

bukti : (pq)(pq)

(pq)(pq)

p(qq)

p0

p

b) [[(pq)r]q] qr

c) p[p(pq)] p

2. Buktikan bahwa yang berikut adalah suatu tautology (dengan tabel kebenaran dan juga dengan dalil)

a. [(pq) q] p

b. {(pq) (qr)] (pr)


2-6

Latihan 2.1.

1. Buatlah table kebenaran untuk :

a) (pq)(-pr)

b) (pq) (q-p)

c) [p(pq)] q

2. Tulis dalam notasi logika :

a. Hari hujan adalah syarat perlu agar 2+3=5

b. Basah dan mudah menguap adalah syarat cukup bagi bogor kota hujan

c. Menyelesaikan tugas membuat program sebelum makan siang adalah syarat perlu bagi saya untuk mendengarkan musik

d. Kelembaban yang rendah dan banyak sinar adalah syarat cukup untuk bermain tennis siang hari ini.

3. Jika (pq) salah, tentukan nilai kebenaran dari :

a. -pq

b. -qp

c. (p-q)(-q-p)

4. Buktikan apakah kalimat berikut tautology : [p(qr)] [(pq)(pr)].

5. Tentukan invers, konvers dan kontrapositif dari pernyataan berikut.

a. pelajaran matematika sukar atau dapat nilai A

b. Olah renang menyehatkan badan, atau 2+3=5 adalah syarat cukup bagi hidup sehat.

6. Jika didefinisikan dua kalimat berikut :

i. p(x,y) : x2y , x dan real

ii. q(x,y) : x+2<y

tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut :

a. p(1,-/2)

b. p(1/2,1/3) q(-2,-3)

c. {[p(-3,8) q(1,2)] p(,1)} [p(9,9) q(-2,-3)]

7. Jika tiga pernyataan berikut bernilai salah :

a. (pq)r

b. qr

c. p(qr)

tentukan nilai kebenaran pernyataan berikut : p (q r)

8. Andaikan didefinisikan symbol baru, yaitu “” yang berarti “bukan …. dan ….”, sebagai contoh : pq artinya adalah (pq), maka :

a. Buat tabel kebenaran untuk :

i. pq


2-7

ii. (p-q) p

b. Buat kalimat berikut dengan memakai perangkai “”

i. pii. pq

iii. pqiv. pqv. pq

2.4 Pernyataan Berkuantor Pernyataan berkuantor berkaitan dengan banyaknya unsure dalam suatu himpunan yang memenuhi suatu konsep tertentu. Kalau pada bagian sebelumnya, yang kita sebut sebagai logika preposisi, maka sebagai unit terkecil adalah satu preposisi tunggal (sebuah kalimat). Sedangkan dalam pernyataan berkuantor ini, sering dikenal juga dengan logika predikat, maka yang kita menelaah unsur-unsur dalam satu kalimat. Satu kalimat akan terdiri dari tiga komponen, yaitu :

1. Suku pengkuantifikasi, disimbolkan dengan atau dapat juga

2. Predikat atau sifat, disimbolkan dengan huruf besar

3. Himpunan Obyek. Himpunan disimbokan dengan huruf besar, sedangkan obyeknya dengan huruf kecil

Sebagai contoh adalah kalimat berikut :

“Semua manusia suka kebahagiaan”

Maka dalam hal ini “

Semua : suku pengkuantifikasi (termasuk kuantifikasi umum, symbol )

Suka kebahagiaan : sifat yang dimiliki, misal disimbolkan B

Manusia : himpunan obyek, misal disimbolkan M, sedangkan obyeknya disimbolkan o

Oleh karena itu kalimat di atad dapat ditulis sebagai :

o (Mo Bo)

yang dapat dibaca :

semua manusia suka kebahagiaan

semua obyek, jika obyek tersebut adalah manusia maka obyek tersebut suka kebahagiaan

Secara umum ada dua jenis pernyataan berkuantor, yaitu :

1. Kuantifikasi Universal

2. Kuantifikasi eksistensial

Kuantifikasi Universal

Istilah kuantifikasi universal sering dikenal juga dengan kuantifikasi umum. Seperti telah dijelaskan di atas, bahwa suatu kalimat berkuantor terdiri dari tiga komponen. Oleh karena itu ketiga komponen tersebut harus muncul dalam penyimbolan.


2-8

Simbol untuk kuantifikasi universal ini adalah “”, yang dibaca “semua”. Misalkan x, maka dibaca “semua x”. Sedangkan “” dibaca sebagai “tidak semua”.

Kalau himpunan yang beranggotakan obyek-obyek yang dibahas adalah M, dan x adalah anggota dari M, maka disimbolkan dengan Mx atau M(x). Sedangkan jika x bukan anggota M, maka ditulis sebagai Mx atau M(x).

Kalau kata sifat atau kata kerja dalam pernyataan berkuantor adalah P, dan x adalah obyek yang memenuhi sifat P, maka disimbolkan dengan Px atau P(x). Sedangkan jika x tidak bersifat P, maka ditulis sebagai Px atau P(x).

Contoh :

a. Tidak semua burung dapat terbang

Symbol : x(Bx Tx)

b. Tidak semua laki-laki tidak setia

Symbol : x(Lx Sx)

c. Semua dosen tidak suka marah

Symbol : x(Dx Mx)

Kuantifikasi Eksistensial

Istilah kuantifikasi eksistensial sering dikenal juga dengan kuantifikasi khusus. Simbol untuk kuantifikasi universal ini adalah “”, yang dibaca “ada” atau “beberapa”. Misalkan x, maka dibaca “ada x” atau “beberapa x”. Sedangkan “” dibaca sebagai “tidak ada”.

Contoh :

a. Tidak ada burung dapat terbang

Symbol : x(Bx Tx)

b. Beberapa laki-laki tidak setia

Symbol : x(Lx Sx)

c. Ada dosen yang tidak suka marah

Symbol : x(Dx Mx)

Catatan :

Suatu kalimat dalam kuantifikasi umum dapat diubah menjadi kuantifikasi khusus dan begitu juga sebaliknya.

Contoh :

a. Tidak semua laki-laki tidak setia,

Artinya sama dengan : Ada laki-laki yang setia

b. Beberapa burung dapat terbang

Artinya sama dengan : Tidak semua burung tidak dapat terbang

Berikut adalah kesetaraan antar kalimat :

1. x(Bx Tx) x (Bx Tx)

x (BxTx)


2-9

x (Bx Tx)

2. x (Bx Tx) x (Bx Tx)

x (BxTx)

x (Bx Tx)

Latihan 2.2.

1. Tulis kalimat berikut dalam catatan symbol :

a. Paling sedikit ada satu bilangan bulat yang ganjil

b. Ada bilangan bulat yang ganjil

c. Setiap bilangan bulat yang merupakan kuadrat bilangan genap adalah genap

d. Beberapa bilangan bulat adalah genap

2. Ucapkan dalam kalimat

a. x (Bx Tx)

b. x(Bx Tx)

c. x (Bx Tx)

3. Perhatikan kalimat berikut : p(x,y) : y-x=y+x2

Dalam hal ini x maupun y adalah bilangan bulat. Tentukan nilai kebenaran dari kalimat berikut :

a. y p(0,y)

b. y p(1,y)

c. x,y p(x,y)

d. x y p(x,y)

e. y x p(x,y)

f. y x p(x,y)


2-10

matdis-logika matematika

Documents