eu-8-59 – derivace funkce xv (konvexnost a konkávnost funkce, inflexní body)
DESCRIPTION
EU-8-59 – DERIVACE FUNKCE XV (konvexnost a konkávnost funkce, inflexní body). INFLEXNÍ BOD – animace 1. znaménko 2. derivace. +. –. FUNKCE V BODĚ T MĚNÍ PODSTATNĚ SVŮJ PRŮBĚH. vlevo od bodu x 0 graf funkce leží „nad tečnou“ funkce je ryze konvexní f // (x) > 0. vpravo od bodu x 0 - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Škola: Gymnázium Václava Hlavatého, Louny, Poděbradova 661, příspěvková organizaceČíslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0616
Název projektu: Inovace výukyČíslo a název šablony klíčové
aktivity:EU-8 - Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol
Tematická oblast: Volitelný předmět matematika (matematický seminář)
EU-8-59 – DERIVACE FUNKCE XV(konvexnost a konkávnost funkce, inflexní body)
AnotaceAnimace a obrázky názorně ukazují problematiku inflexních bodů funkce a souvislost s konvexitou a konkavitou funkce v okolí bodu „podezřelého z inflexe“. Zjišťování inflexních bodů funkce pomocí změny znaménka druhé derivace funkce v okolí bodu „podezřelého z inflexe“.
Autor PaedDr. Milan Rieger
Jazyk Čeština
Očekávaný výstupŽák chápe význam inflexních bodů funkce a tečny v inflexním bodě funkce jako důležitou a zpřesňující informaci a chování funkce v okolí inflexního bodu. Uvedené výpočty budou součástí vyšetřování průběhu funkce.
Klíčová slova Druhá derivace funkce, konvexnost (konkávnost) funkce v okolí bodu, inflexní bod.
Druh učebního materiálu Pracovní list / Animace / Obrázky / Testy
Druh interaktivity Aktivita / Výklad / Test / Kombinace
Cílová skupina Žák
Stupeň a typ vzdělávání Střední vzdělávání
Typická věková skupina 17 – 19 let
Datum vytvoření 21. 12. 2013
INFLEXNÍ BOD – animace 1 znaménko 2. derivace
+ –
FUNKCE V BODĚ T MĚNÍ PODSTATNĚ SVŮJ PRŮBĚHvlevo od bodu x0
graf funkce leží „nad tečnou“funkce je ryze konvexníf //(x) > 0
vpravo od bodu x0graf funkce leží „pod tečnou“funkce je ryze konkávníf //(x) < 0
INFLEXNÍ BOD – animace 2 znaménko 2. derivace
FUNKCE V BODĚ T MĚNÍ PODSTATNĚ SVŮJ PRŮBĚHvlevo od bodu x0
graf funkce leží „pod tečnou“funkce je ryze konkávníf //(x) < 0
vpravo od bodu x0graf funkce leží „nad tečnou“funkce je ryze konvexníf //(x) > 0
– +
INFLEXNÍ BOD
INFLEXNÍ BOD
Ve kterých bodech může mít funkce inflexní bod?
Funkce může mít inflexní bod v bodě x0 v případě, že je druhá derivace funkce v bodě x0 rovna nule.
Body, ve kterých je druhá derivace funkce rovna nule jsou body „podezřelé z inflexe“.
p1)
p3)
p5)
p2)
p4)
f: y = x4 – 6 x2 + 3 x – 4
f: y = – x4 + 4 x3 + 5 x – 11
f: y = x3 – 3 x2 – 9 f: y = – x3 + 12 x2 + 9
f: y = x4 – 12 x2 – 5 x + 1
ÚLOHY K PROCVIČENÍUrčete body podezřelé z inflexe.
p6)
f: y = x5 – 10 x4 + 11 x + 12p7)
f: y = 2 x5 – 5 x4 – 7 x – 8
p8)
f: y = x6 – 10 x4 + 7 x – 2
f: y = x3 f: y = x4
p9) p10)
f: y = x8 – 2 x4 f: y = x8 – 4 x6p11) p12)
VĚTA (nutná, nikoliv však postačující podmínka existence inflexního bodu): Má-li funkce f v bodě x0 inflexní bod a existuje-li v tomto bodě druhá derivace f // (x0), potom platí f // (x0) = 0.
Vzpomeňte si na mocninnou funkci se sudým přirozeným mocnitelem (např. f(x) = x6) a hned se můžete k platnosti či neplatnosti této věty kvalifikovaně vyjádřit.
f(x) = x6 f/(x) = 6x5 f//(x) = 30x4 funkce f má druhou derivaci rovnou nule v bodě x0 = 0 (to je bod „podezřelý z inflexe“), funkce f však v bodě x0 = 0 inflexní bod nemá, protože je funkce f vlevo i vpravo od tohoto bodu ryze konvexní (nemění se znaménko druhé derivace vlevo ani vpravo od bodu x0).
PROBLÉM K ŘEŠENÍ – formulujte větu obrácenou a rozhodněte, zda tato věta platí.
Obrácená VĚTA: Je-li f // (x0) = 0, potom má funkce f v bodě x0 inflexní bod.
VĚTA: Má-li funkce f druhou derivaci v každém bodě –okolí bodu x0 a má-li druhá derivace funkce f// (x) v intervalech (x0 – ; x0) a (x0; x0 + ) různá znaménka, potom je bod x0 inflexním bodem funkce.
ILUSTRATIVNÍ ÚLOHA 1
Určete inflexní bod dané funkce f. Potom najděte rovnici tečny k funkci f v bodě inflexe a načrtněte tečnu, bod inflexe a graf funkce v okolí inflexního bodu.
2223
:23
xxxyf
210120
122
//
//2/
xxy
xyxxy
funkce f má v bodě x0 = - 0,5 inflexní bod, protože vlevo od bodu x0 je znaménko druhé derivace záporné a vpravo od bodu x0 je druhá derivace kladná
0492454:21
49
1211:
49;
1211;
21;
1211
21
21/
yxtxyt
ykTf t
Určete inflexní body dané funkce f. Potom najděte rovnici tečen k funkci f v bodech inflexe a načrtněte tečny, body inflexe a graf funkce v okolí inflexních bodů. 21
4:xxyf
3030380
1
38
1
248
1
44
2//
32
2
32
3//
22
2/
xxxxxy
x
xx
x
xxyx
xy
ILUSTRATIVNÍ ÚLOHA 2
0332:3213:
21;3;3;33
33
3/
3 3
yxtxyt
ykTf t
0332:3213:
21;3;3;33
11
3/
1 1
yxtxyt
ykTf t
xyt
ykTf t
4:
4;0;0;00
2
0/
2 2
214:xxyf
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Milan Rieger.