funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce ... · funkční hodnoty...
TRANSCRIPT
Funkce s absolutní hodnotou,funkce exponenciální a funkce
logaritmická
Autor: Mgr. Jaromír JUŘEKKopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz.
1
3.2.2012 13:36:40 Powered by EduBase 2
Variace
Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická 1
1. Lineární funkce s absolutní hodnotou
Lineární funkce s absolutní hodnotouJedná se o funkci lineární, tedy funkci danou rovnicí y = ax + b, která ale ve svém zápise obsahuje absolutní hodnotu.
Ukázkové příklady:
Příklad 1:
Narýsujte graf funkce y = |x - 1|
Řešení:
Podobně jako při řešení rovnic nebo nerovnic s absolutní hodnotou nejprve stanovíme nulové body, tj. bod, v nichž jednotlivé absolutní hodnoty nabývají nulových hodnot. V tomto případě je nulový bod pouze jeden, a jím je číslo 1.
Řešení máme tedy rozděleno na dvě části:
1. x < 1V tomto případě je vnitřek absolutní hodnoty záporný, proto absolutní hodnotu odstraníme tak, že ji změníme na závorku, ale před ní bude znaménko minus.Narýsujeme tedy graf funkce y = -(x - 1), neboli y = -x + 1, ale z tohoto grafu využijeme pouze část, kde x < 1
2. x 1V tomto případě je vnitřek absolutní hodnoty nezáporný, proto ji odstraníme tak, že ji změníme na závorku.Rýsujeme tedy graf funkce y = x - 1, ale z tohoto grafu využijeme pouze část, kde x 1
Závěr:
Příklad 2:
Narýsujte graf funkce y = |2x - 1|
Řešení:
Nulovým bodem je 0,5
1. x < 0,5Rýsujeme graf funkce y = -2x + 1 a využíváme část, kde x < 0,5
2. x 0,5Rýsujeme graf funkce y = 2x - 1 a využíváme část, kde x 0,5
Závěr:
Powered by EduBase 23.2.2012 13:36:40 2
Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická 1
2. Funkce s absolutní hodnotou - procvičovací příklady
OK1. Načrtněte graf funkce f: y = -|x - 2|
1423
OK2. Načrtněte graf funkce f: y = 2 . |x + 1| - 3 . |x - 1|
1420
OK3. Načrtněte graf funkce f: y = |x| - x
1422
Powered by EduBase 23.2.2012 13:36:40 3
Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická 1
OK4. Načrtněte graf funkce f: y = 2x - |x + 3| - 5 + |x - 1|
1428
OK5. Načrtněte graf funkce f: y = |2x - 1| + |x - 2| - x
1424
OK6. Načrtněte graf funkce f: y = 3 - |2 - x|
1419
OK7. Načrtněte graf funkce f: y = -|x| + 2
1426
Powered by EduBase 23.2.2012 13:36:40 4
Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická 1
OK8. Načrtněte graf funkce f: y = |x + 1| - |1 - x|
1425
OK
9. Načrtněte graf funkce f:y = |x - 3| - 2 . |x + 1| + 2 . |x| - (x - 1)
1421
OK10. Načrtněte graf funkce f: y = |x| - 3
1427
OK11. Načrtněte graf funkce f: y = 2 - |2 - x| - 2 . |x + 4| - 3x
1429
Powered by EduBase 23.2.2012 13:36:40 5
Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická 1
3. Exponenciální funkce
Exponenciální funkceDefinice:Exponenciální funkce je funkce, která je dána rovnicí y = ax, kde a > 0 a zároveň a 1
Grafem exponenciální funkce je křivka, kterou nazýváme exponenciála (exponenciální křivka). její průběh je velmi závislý na velikosti čísla a.Je-li a > 1, pak je průběh následující:
Je-li 0 < a < 1, pak je průběh následující:
Je-li základ exponenciální funkce číslo 10, pak ji nazýváme dekadickou exponenciální funkcí. Má rovnici y = 10x
Je-li základem exponenciální funkce číslo e (Eulerovo číslo), pak se funkce nazývá přirozená exponenciální funkce. Má rovnici y = ex.
Pozn.: Eulerovo číslo e = 2,718 28...
Vlastnosti exponenciální funkce: D(f) = (-; +); H(f) = (0; +) Není sudá, ani lichá. ax > 0, proto je funkce omezená zdola, shora omezená není. Je klesající pro 0 a < 1 a rostoucí pro a 1 Nemá maximum ani minimum. Je inverzní k logaritmické funkci. Je v R spojitá.
4. Exponenciální funkce - procvičovací příklady
OK
1. Načrtněte v téže kartézské soustavě souřadnic grafy těchto funkcí:f(x) = 4x
g(x) = 4x + 2h(x) = 4x - 1
1380
Powered by EduBase 23.2.2012 13:36:40 6
Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická 1
OK
2. Načrtněte graf funkce y = 2x + 11364
OK
3. Načrtněte graf funkce f(x) = -(2-2x)1382
OK
4. Je dána funkce f: y = 0,5x - 3.Načrtněte graf funkce |f(|x|)|.
1378
OK
5. Je dána funkce f: y = 0,5x - 3.Načrtněte graf funkce f(|x|).
1377
Powered by EduBase 23.2.2012 13:36:40 7
Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická 1
OK
6. Je dána funkce f: y = 0,5x - 3
Načrtněte graf funkce |f(x)|.
1376
OK
7. Načrtněte graf funkce y = 32x - 2 - 11381
OK
8. Načrtněte graf funkce y = 0,5x - 31374
OK
9. Načrtněte graf funkce y = 2x - 11365
Powered by EduBase 23.2.2012 13:36:40 8
Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická 1
OK
10. Načrtněte graf funkce y = 2x - 2-x1368
a > 1OK
11. Pro která čísla a je funkce klesající?1370
OK
12. Je dána funkce f: y = 2x + 1. Načrtněte graf funkce |f(|x|)|1373
OK
13. Načrtněte a porovnejte grafy funkcí y = 2x a y = 2-x1366
a > 2OK
14. Pro která čísla a je funkce rostoucí?1369
Powered by EduBase 23.2.2012 13:36:40 9
Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická 1
OK
15. Načrtněte graf funkce y = 2x + 2-x1367
OK
16. Načrtněte graf funkce1383
OK
17. Načrtněte v téže kartézské soustavě souřadnic grafy těchto funkcí:f(x) = 0,4x
g(x) = 0,4-x
h(x) = f(|x|)
1379
OK
18. Je dána funkce f: y = 2x + 1. Načrtněte graf funkce |f(x)|.1371
Powered by EduBase 23.2.2012 13:36:40 10
Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická 1
OK
19. Je dána funkce f: y = 2x + 1. Načrtněte graf funkce f(|x|).1372
OK
20. Načrtněte graf funkce y = 0,5x + 31375
5. Logaritmická funkce
Logaritmická funkce
Definice:Logaritmická funkce je funkce, která je dána rovnicí y = logax.
Jedná se o funkci inverzní k exponenciální funkci o stejném základu.
Pozn.: Inverzní funkci získáme záměnou x a y v předpisu funkce. Grafy funkce a funkce k této funkci inverzní jsou souměrné podle osy I. a III. kvadrantu.
Pozn.: Zápis y = loga x vyjadřuje totéž jako zápis x = ay
Graf logaritmické funkce se nazývá logaritmická křivka (logaritma).
Průběh grafu logaritmické funkce v závislosti na velikosti a:
Powered by EduBase 23.2.2012 13:36:40 11
Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická 1
Funkční hodnoty logaritmické funkce se nazývají logaritmy.
Vlastnosti logaritmické funkce: Definiční obor D(f) =(0; +) Obor hodnot H(f) = R Není sudá, ani lichá Není zdola ani shora omezená. Pro 0 < a < 1 je klesající Pro a > 1 je rostoucí. Funkce nemá maximum ani minimum. Pro x (0; +) je spojitá.
Při konstrukci grafu logaritmické funkce postupujeme zpravidla tak, že k zadané rovnici logaritmické funkce vytvoříme rovnici funkce k ní exponenciální. Graf vzniklé exponenciální funkce snadno narýsujeme a pak sestrojíme graf souměrný podle osy I. a III. kvadrantu.
6. Logaritmická funkce - procvičovací příklady
D(f) = <10; +)OK
1. Určete definiční obor funkce f: 1460
D(f) = (0; +)OK
2. Určete definiční obor funkce a načrtněte její graf.f: y = |log4 x|
1451
D(f) = (-; -1) ( 2; +)OK
3. Určete definiční obor funkce f:1462
Powered by EduBase 23.2.2012 13:36:40 12
Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická 1
D(f) = (0; +)OK
4. Určete definiční obor funkce a načrtněte její graf.f: y = log4 x
1448
D(f) = (4; +); a > 0, a 1 OK
5. Urči definiční obor funkce:1432
D(f) = R \ {0}OK
6. Určete definiční obor funkce a načrtněte její graf.f: y = log4 |x|
1452
D(f) = (0; +)OK
7. Načrtněte graf funkce f: y = 2 . log x a určete definiční obor funkce.1456
OK
8. Načrtni graf funkce f: y = log2 (x + 2)1436
Powered by EduBase 23.2.2012 13:36:40 13
Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická 1
D(f) = (2; 9)OK
9. Urči definiční obor funkce:1439
OK
10. Načrtni graf funkce f: y = log2 x1435
OK
11. Je dána funkce f: y = log1/3 (x + 2). Načrtni graf funkce |f(x)|.1445
D(f) = R \ {0}OK
12. Načrtněte graf funkce f: y = log x2.1455
OK
13. Načrtni graf funkce:1444
Powered by EduBase 23.2.2012 13:36:40 14
Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická 1
D(f) = { }OK
14. Určete definiční obor funkce f: y = log (-x2 + 6x - 9)1461
D(f) = (-; -3) ( 5; +); a > 0, a 1 OK
15. Urči definiční obor funkce1431
D(f) = (-2; +)OK
16. Načrtněte graf funkce f: y = log (x + 2) - 3 a určete definiční obor funkce.1457
D(f) = (-1,5; +); a > 0, a 1 OK
17. Urči definiční obor funkce y = loga (2x +3)1430
D(f) = R \ {0}OK
18. Určete definiční obor funkce a načrtněte její graf.f: y = |log4 |x||
1453
D(f) = (0; +)OK
19. Určete definiční obor funkce a načrtněte její graf.f: y = -log4 x
1449
Powered by EduBase 23.2.2012 13:36:40 15
Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická 1
D(f) = (-1; 1); a > 0, a 1 OK
20. Urči definiční obor funkce1433
OK
21. Je dána funkce f: y = log2 (x - 4).Načrtněte graf funkce |f(x)|.
1441
OK
22. Načrtněte graf funkce f: y = log2 (x - 4)1440
D(f) = (-; -3) 1; +OK
23. Urči definiční obor funkce f: y = log (2x2 + 4x - 6)1438
OK
24. Načrtni graf funkce f: y = log2 (x + 2) - 31437
D(f) = (0; 3); a > 0, a 1 OK
25. Urči definiční obor funkce:1434
Powered by EduBase 23.2.2012 13:36:40 16
Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická 1
OK
26. Načrtněte graf funkce f: y = |ln (x - 1) + 1|1458
OK
27. Načrtněte graf funkce f: y = 1 - log x1454
D(f) = <1; +)OK
28. Určete definiční obor funkce:1459
OK
29. Je dána funkce f: y = log2 (x - 4).Načrtněte graf funkce |f(|x|)|.
1443
OK
30. Je dána funkce f: y = log2 (x - 4).Načrtněte graf funkce f(|x|).
1442
Powered by EduBase 23.2.2012 13:36:40 17
Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická 1
OK
31. Je dána funkce f: y = log1/3 (x + 2). Načrtni graf funkce |f(|x|)|.1447
D(f) = (-; 0)OK
32. Určete definiční obor funkce a načrtněte její graf.f: y = log4 (-x)
1450
OK
33. Je dána funkce f: y = log1/3 (x + 2). Načrtni graf funkce f(|x|).1446
Powered by EduBase 23.2.2012 13:36:40 18
Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická 1
Obsah21. Lineární funkce s absolutní hodnotou32. Funkce s absolutní hodnotou - procvičovací příklady63. Exponenciální funkce64. Exponenciální funkce - procvičovací příklady115. Logaritmická funkce126. Logaritmická funkce - procvičovací příklady
Powered by EduBase 23.2.2012 13:36:40 19