kee/poe 8 . přednáška numerick ý výpočet derivace a integrálu
DESCRIPTION
KEE/POE 8 . přednáška Numerick ý výpočet derivace a integrálu. Ing. Milan Bělík, Ph.D. Numerická derivace Známe hodnoty y=f(x) - změřené, ale neznáme analytické vyjádření => „neumíme“ derivovat f(x) je složitá => pracná derivace - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
KEE/POEKEE/POE
88. přednáška. přednáška
NumerickNumerický výpočet ý výpočet derivace a integráluderivace a integrálu
Ing. Milan Bělík, Ph.D.Ing. Milan Bělík, Ph.D.
Numerická derivaceNumerická derivace
Známe hodnoty y=f(x) - změřené, ale Známe hodnoty y=f(x) - změřené, ale neznáme analytické vyjádření neznáme analytické vyjádření => => „neumíme“ derivovat„neumíme“ derivovat
f(x) je složitá f(x) je složitá => => pracná derivacepracná derivace
Známe hodnoty ý=f(x) jen v několika Známe hodnoty ý=f(x) jen v několika bodech – diskrétní případbodech – diskrétní případ
Metody založené na na derivování Metody založené na na derivování Lagrangeova interpolačního polynomu PLagrangeova interpolačního polynomu Pnn(x)(x)
Derivujeme na intervalu mezi uzly Derivujeme na intervalu mezi uzly <<a, ba, b>>
Chyba aproximace v uzlovém boděChyba aproximace v uzlovém bodě x xss::
Pravidla numerického derivováníPravidla numerického derivování
Uzly xUzly xii jsou ekvidistantn jsou ekvidistantní s krokem hí s krokem h
xxii=x=x00+ih, h=1,2,3,…+ih, h=1,2,3,…
uzly se nečíslují, ale vyjadřují pomocí uzly se nečíslují, ale vyjadřují pomocí kroku hkroku h
1. derivace polynomu Pn(x)1. derivace polynomu Pn(x)
2. Derivace polynomu Pn(x)2. Derivace polynomu Pn(x)
Parciální derivaceParciální derivace
• Principiálně stejné jako derivacePrincipiálně stejné jako derivace• Derivujeme podle zvolené proměnnéDerivujeme podle zvolené proměnné• Ostatní proměnné „ignorujeme“Ostatní proměnné „ignorujeme“
• dopředná diference:dopředná diference:
Zaokrouhlovací chybaZaokrouhlovací chyba
Teoretická formule:Teoretická formule:
Skutečnost:Skutečnost:
Výsledek:Výsledek:
Chování chybChování chyb
1. sčítanec = formule výpočtu1. sčítanec = formule výpočtu2. sčítanec = diskretizační chyba2. sčítanec = diskretizační chyba
Velký vliv zaokrouhlovacích chyb:Velký vliv zaokrouhlovacích chyb:• ve vstupních datechve vstupních datech• během výpočtuběhem výpočtuPro maPro malá h jde o špatně podmíněnou úlohulá h jde o špatně podmíněnou úlohu
Odhad chybyOdhad chybyCelková chyba: E = ECelková chyba: E = Edd + E + Err
Optimální délka kroku h – minimum funkce g(x):Optimální délka kroku h – minimum funkce g(x):
Při numerickém výpočtu derivace s optimálním krokem h dochází Při numerickém výpočtu derivace s optimálním krokem h dochází ke ztrátě přibližně poloviny platných číslicke ztrátě přibližně poloviny platných číslic
Zpřesnění výpočtuZpřesnění výpočtu
Richardsonova extrapolaceRichardsonova extrapolace
Příklad – výpočet derivace f(x) = cos(x), x = 1, h = 0,8, chyba = 10Příklad – výpočet derivace f(x) = cos(x), x = 1, h = 0,8, chyba = 10 -5-5
(přesná hodnota = -0,84147098)(přesná hodnota = -0,84147098)
Numerická integraceNumerická integrace
Známe hodnoty y=f(x) - změřené, ale Známe hodnoty y=f(x) - změřené, ale neznáme analytické vyjádření neznáme analytické vyjádření => => „neumíme“ integrovat„neumíme“ integrovat
f(x) je složitá f(x) je složitá => => pracná integracepracná integrace
Známe hodnoty ý=f(x) jen v několika Známe hodnoty ý=f(x) jen v několika bodech – diskrétní případbodech – diskrétní případ
Pravidla numerického integrováníPravidla numerického integrování
Integrujeme aproximaci Integrujeme aproximaci „integrované“ funkce„integrované“ funkceZa přibližnou hodnotu považujeme hodnotu Za přibližnou hodnotu považujeme hodnotu tohoto integrálutohoto integrálu
Q(f) se nazývá kvadraturní formuleQ(f) se nazývá kvadraturní formuleDiskretizační chyba Q(f):Diskretizační chyba Q(f):
Kvadraturní formule je řádu r, jestliže přesně Kvadraturní formule je řádu r, jestliže přesně integruje polynomy stupně r a nikoliv r+1integruje polynomy stupně r a nikoliv r+1
Základní formuleZákladní formuleobdélníkováobdélníková
lichoběžníkoválichoběžníková
SimpsonovaSimpsonova
BooleovaBooleova
Složené formuleSložené formule – dělení intervalu - ekvidistantní – dělení intervalu - ekvidistantní
Obdélníková formuleObdélníková formule
Vzorec formule:Vzorec formule:
Chyba metody:Chyba metody:
Lichoběžníková formuleLichoběžníková formule
Vzorec formule:Vzorec formule:
Chyba metody:Chyba metody:
Simpsonova formuleSimpsonova formule
Vzorec formule:Vzorec formule:
Chyba metody:Chyba metody:
Booleova formuleBooleova formule
Vzorec formule:Vzorec formule:
Chyba metody:Chyba metody:
Složené formuleSložené formule
Ekvidistantní dělení intervaluEkvidistantní dělení intervalu
Použití základních formulí (stejných)Použití základních formulí (stejných)ObdélníkováObdélníková
LichoběžníkováLichoběžníková
SimpsonovaSimpsonova
BooleovaBooleova
Délka dělení = krok dělení - hDélka dělení = krok dělení - h
Složená obdélníková formuleSložená obdélníková formule
Součet jednoduchých obdélníkových formulí Součet jednoduchých obdélníkových formulí na podintervalechna podintervalech
Vzorec formule:Vzorec formule:
Chyba metody:Chyba metody:
Složená lichoběžníková formuleSložená lichoběžníková formule
Součet jednoduchých lichoběžníkových Součet jednoduchých lichoběžníkových formulí na podintervalechformulí na podintervalech
Vzorec formule:Vzorec formule:
Chyba metody:Chyba metody:
Složená Simpsonova formuleSložená Simpsonova formule
Sudý počet subintervalůSudý počet subintervalů
Součet jednoduchých simpsonových formulí Součet jednoduchých simpsonových formulí na „dvojitých“ intervalech 2h: na „dvojitých“ intervalech 2h: <<xx00, x, x22>>, , <<xx22, x, x44>>
Vzorec formule:Vzorec formule:
Chyba metody:Chyba metody:
Přesnost výpočtuPřesnost výpočtuZadaná (zvolená) chyba Zadaná (zvolená) chyba εε
Odhad chyby složené obdélníkové formule:Odhad chyby složené obdélníkové formule:
Odhad chyby složené lichoběžníkové formule:Odhad chyby složené lichoběžníkové formule:
Odhad chyby složené Simpsonovy formule:Odhad chyby složené Simpsonovy formule:
Výpočet počtu subintervalů n = (b – a)/h:Výpočet počtu subintervalů n = (b – a)/h:
Takto zjištěný počet je zbytečně velkýTakto zjištěný počet je zbytečně velký
Metoda polovičního krokuMetoda polovičního kroku
Výpočet integrálu s krokem hVýpočet integrálu s krokem h
Výpočet integrálu s krokem h/2Výpočet integrálu s krokem h/2
Kombinací výsledků získáme odhad chybyKombinací výsledků získáme odhad chyby
Další metodyDalší metody
Rombergova metodaRombergova metodaExtrapolace složené lichoběžníkové formuleExtrapolace složené lichoběžníkové formule
Adaptivní integraceAdaptivní integraceNerovnoměrné dělení intervalu podle „hladkosti“ funkceNerovnoměrné dělení intervalu podle „hladkosti“ funkce
Numerická integrace je dobře podmíněná Numerická integrace je dobře podmíněná úlohaúloha
Příklad algoritmu – lichoběžníková f.Příklad algoritmu – lichoběžníková f.
Příklad algoritmu – Simpsonova f.Příklad algoritmu – Simpsonova f.