estimaciÓn y expresiÓn de la incertidumbre en medidas...
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ESTIMACIÓN Y EXPRESIÓN DE LA INCERTIDUMBRE EN
MEDIDAS EXPERIMENTALES
JAIME ORLANDO BARINAS OLAYA
Universidad Nacional de Colombia
Facultad De Ciencias, Departamento De Química
Bogotá, Colombia
2016
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ESTIMACIÓN Y EXPRESIÓN DE LA INCERTIDUMBRE EN LAS
MEDIDAS EXPERIMENTALES
JAIME ORLANDO BARINAS OLAYA
TRABAJO FINAL DE MAESTRÍA
Director
Carlos Alexander Trujillo
Dr. Sc. Químico, Profesor del Departamento de Química,
Universidad Nacional de Colombia
Línea de Investigación:
METROLOGÍA
Universidad Nacional de Colombia
Facultad De Ciencias, Departamento De Química
Bogotá, Colombia
2016
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Contenido
Contenido .............................................................................................................................. 5
1. ¿Qué es medir? ............................................................................................................10
1.1 Factores involucrados en una medición ...............................................16
2 ¿Cómo se debe expresar un resultado de medición? ...........................................28
3 Significado de “error” en ciencias experimentales ...............................................35
3.1 Diferencia entre Exactitud y Precisión: .................................................37
3.2.2. Errores aleatorios o accidentales .....................................................39
3.2.3. Errores personales .............................................................................40
3.3.2. Error de exactitud: Δexac ......................................................................41
3.3.3. Error de interacción: Δint ....................................................................41
3.3.4. Falta de definición en el objeto sujeto a medición: Δdef .................41
3.4. Relación entre Exactitud, Precisión e Incertidumbre .........................42
4. Estimación de la Incertidumbre en Medidas Experimentales. .............................44
4.1. Modelo Físico ............................................................................................46
4.2. Modelo Matemático: .................................................................................47
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4.3. Fuentes de Incertidumbre: ......................................................................49
4.4. Cuantificación de la Incertidumbre – Tipo de Incertidumbre. .........50
4.4.1. Incertidumbre típica tipo A .............................................................50
4.4.2. Incertidumbre típica tipo B .............................................................55
4.4.3. Incertidumbre típica combinada .....................................................57
4.5. Estimación de las incertidumbres estándar .........................................60
4.5.1. Distribución normal: .........................................................................61
4.5.2. Distribución rectangular:..................................................................62
4.5.3. Distribución Triangular ....................................................................63
4.6. Estimación de la incertidumbre estándar combinada ........................64
4.7. Estimación de la Incertidumbre expandida .........................................65
4.7.1. Factor de cobertura y nivel de confianza ......................................65
4.7.2. Grados de libertad .............................................................................66
4.7.3. Incertidumbre expandida .................................................................68
5. Expresión de la incertidumbre .................................................................................69
6. Conclusiones ...............................................................................................................70
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Bibliografía ..........................................................................................................................72
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Resumen
Se plantea el siguiente documento como una versión dirigida a
personas que se inician en el campo de la investigación. Se describen los
factores involucrados en una medición y se presentan los criterios para
expresar los resultados. Se espera que el investigador pueda centrar su
atención en todas aquellas contribuciones mayores, evalúe y exprese la
incertidumbre de las medidas realizadas.
Palabras clave: Estimación, incertidumbre, medición, error, exactitud.
Abstract
The document is a person-version for beginners in the field of
research. The factors involved in a measurement are described and the
criteria for expressing the results are presented. The investigator. It is
waiting that the researcher can center its attention who after minimally
observing all possible sources of uncertainty, and with sufficient expertise,
he or she can center the attention on all major contributions, evaluates and
expresses the uncertainty in all.
Keywords: Estimate, uncertainty, measurement, error, precision
Agradecimientos
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Al profesor Carlos Alexander Trujillo, por su incondicional apoyo y
guía en la creación de éste documento.
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1. ¿Qué es medir?
Con la aparición del hombre en la Tierra surge la necesidad de
entender el entorno y su funcionamiento, así como también la necesidad de
interpretar los fenómenos y objetos. La observación e interpretación exigió
al cerebro humano la asociación a la realidad por medio de los sentidos y la
generación de un concepto (representación mental) según la percepción y el
razonamiento de los objetos y fenómenos que lo rodeaban. Está evolución
implicó procesar, transformar, codificar y comunicar la información de tal
forma que se pudiera calificar e interpretar por aquellos que estaban
inmersos en ella. Desde entonces y hasta ahora esto no ha cambiado, nuestra
curiosidad y necesidad de comprender lo que nos rodea continúa y ello ha
hecho que sigamos buscando formas para entender y darle significado y
valores cuantitativos a todo aquello que pertenece al medio en que nos
encontramos inmersos. La gran diferencia se halla en la forma como se hace,
en los procedimientos y métodos y las herramientas que existen actualmente
para lograr entender esa realidad que nos envuelve, y que son un reflejo de
la evolución en la concepción de la naturaleza, de los fenómenos y objetos
que nos rodean [1].
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Dependiendo de la profundidad con la que se estudie la naturaleza de
un fenómeno u objeto, se logrará alcanzar un conocimiento científico sobre
el mismo. Por medio de diferentes procedimientos se puede especificar el
estado de un fenómeno, objeto o sustancia, este estado se determina
definiendo, por lo menos, una propiedad medible asociada a la naturaleza
física, química o biológica de lo que se desea describir. Medir una propiedad
implica hacer la comparación con una referencia (patrón) a través de una
secuencia lógica de operaciones (procedimiento). Esto exige un sistema de
medida y condiciones específicas para obtener como resultado un conjunto
de valores experimentales atribuibles a esa propiedad (Figura 1).
Figura 1. Esquema General de Medición.
Se podría decir que la medición es una asignación de números a
objetos o eventos de acuerdo a reglas establecidas. La posibilidad de medir
permitió a otras ciencias o aplicaciones tecnológicas utilizar la matemática
como lenguaje universal. Este lenguaje brinda precisión, sistematización,
objetividad y una manera de comunicación de los resultados obtenidos en
forma concreta para ser analizados. El progreso y la maduración de una
ciencia son juzgados a menudo por la amplitud en la cual ha tenido éxito en
el uso de la matemática [2].
MEDIR COMPARACIÓN VALOR (Cantidad Específica)
- SISTEMA DE MEDIDA
- MÉTODO O PROCEDIMIENTO
- CONDICIONES DE MEDIDA
PROPIEDAD
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La medición puede ser definida como la asignación de un valor
numérico a una propiedad cuantificable -“mensurando”- de un objeto o
fenómeno en comparación con un patrón de medida, utilizando el método
apropiado y siguiendo unas reglas pre-establecidas para asociar ese valor
numérico. Tomando en consideración el Principio de Incertidumbre de
Heisenberg o también denominado Principio de Indeterminación, existe un
límite en la exactitud de las mediciones. Límite que es establecido por la
naturaleza misma de la materia o fenómeno; éste no puede ser superado con
la mejora de los instrumentos, ni de los métodos de medición [3]. En otras
palabras, la medición es un proceso relativo, en el que no se pueden
controlar todos los factores de influencia que son intrínsecos al proceso.
En la mecánica clásica, la evolución de un sistema estaba totalmente
descrita si se conocía el estado del sistema en el momento inicial. Pero
teniendo en cuenta las bases de la mecánica estadística, las magnitudes o
propiedades macroscópicas de un sistema están constituidas por los valores
medios de las variables dinámicas del sistema. Un sistema macroscópico
posee un número muy elevado de grados de libertad, esto tiene
correspondencia con las predicciones de la teoría cuántica sobre el
comportamiento de un sistema físico cuando los números cuánticos toman
valores muy grandes. Las interpretaciones estadísticas surgieron en el
estudio de los fenómenos moleculares [3]. En la base de estas leyes
estadísticas se encuentran las leyes de la dinámica, que rigen el movimiento
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de las partículas que forman un sistema dado. Por consiguiente, a partir del
conocimiento de las condiciones iniciales de todas las partículas y de sus
interacciones entre sí, en principio, se podría obtener el comportamiento de
un sistema si se logran describir las coordenadas y la posición de dichas
partículas en cada momento de tiempo. En tal sentido, la posición y la
velocidad de las partículas individuales constituyen los parámetros ocultos
del sistema, es decir, aquellos que no se pueden medir, pero que determinan
las propiedades macroscópicas del mismo.
La interacción entre los objetos macroscópicos de medición, los
instrumentos, y las micropartículas en el tiempo de medición no puede ser
disminuida todo lo que se quiera. Si se mide, por ejemplo, la coordenada,
esto trae inevitablemente un cambio no controlable en el estado inicial de la
partícula, y como consecuencia una indeterminación en el valor del
momentum. Lo mismo ocurre con la coordenada, si se mide el momentum.
La introducción del instrumento de medición siempre trae consigo un
cambio en el estado cuántico del sistema. La perturbación no es totalmente
controlable: ¿Cuál será el estado después de la medición? La respuesta es:
no se puede conocer con exactitud; sólo se puede conocer la probabilidad
del nuevo estado. Debemos notar que en las mediciones clásicas también
existen esas interacciones, sólo que se hacen despreciables respecto a lo que
se mide. La perturbación impredecible e incontrolable que experimenta el
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sistema por parte del instrumento de medición siempre es finita y tal que,
satisface el principio de Incertidumbre de Heisenberg. [3]
La introducción del instrumento de medición rompe el enlace causal
entre el sistema antes de la medición y después de la medición. Esto explica
por qué sólo se puede predecir con determinada probabilidad en qué estado
se encontrará el sistema después de la medición. La mecánica cuántica no
está capacitada para predecir con exactitud el resultado de un experimento
único, y sólo se pueden hacer predicciones estadísticas cuando se trabaja un
ensamble cuántico [3].
El proceso de medición está fundamentado en la observación del
objeto o fenómeno a medir; es imposible medir alguna propiedad de éste sin
romper la coherencia del sistema. La única forma de poder establecer el valor
de una medición es utilizar las leyes de la probabilidad que describen un
acercamiento al comportamiento de la materia. Cuando se realiza una
medición, se sigue un proceso que es indeterminable, ya que existirán
distintas posibilidades de llegar a un valor de la medición. Esto indica que
se debe hacer uso de la estadística y más específicamente de la probabilidad,
para expresar el resultado de una medición de manera correcta. [4]
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Teniendo en cuenta lo anterior, según el teorema central del límite1 se
debe medir un número determinado de veces el objeto, realizar un análisis
estadístico de los datos obtenidos y estimar los parámetros estadísticos
(media, varianza, desviación estándar) que permitan expresar el resultado
de la medición bajo unos niveles de confianza.
Con el paso de los años, la comunidad científica ha tenido que definir
parámetros para la expresión de los resultados de las mediciones o de
investigaciones, como se establece en la Guía para la Expresión de la
Incertidumbre “GUM”. Esto con el fin de facilitar la comprensión y dar
confiabilidad a todos aquellos que se encuentran interesados en la
utilización de esos resultados, la reproducibilidad de los experimentos,
desarrollos científicos futuros, entre otras aplicaciones. Organizaciones
internacionales entre las que se encuentran: el Comité Internacional de Pesas
y Medidas (CIPM), la Comisión Electrotécnica Internacional (CEI),
International Organization for Standarization (ISO), International
Organization Of Legal Metrology (OIML), la Unión Internacional de Química
Pura y Aplicada (IUPAC), la Unión Internacional de Física Pura y Aplicada
(IUPAP), son las encargadas a nivel mundial de unificar los criterios para la
expresión de los valores de medición, junto con el nivel de confianza de
1 En condiciones muy generales, si Sn es la suma de n variables aleatorias independientes y de varianza no nula pero finita, entonces la función de distribución de Sn “se aproxima bien” a una distribución normal. Esto ocurre cuando la suma de las variables aleatorias e independientes es lo suficientemente grande. [13]
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estos, en correspondencia con los procedimientos y métodos utilizados para
obtener una medición. Los criterios no se centran exclusivamente en el
mensurando, incluyen las desviaciones del valor esperado (error de
medición) y la duda que hay sobre ese valor (incertidumbre) asociada a la
dispersión de los valores con relación al mensurando. [5]
1.1 Factores involucrados en una medición
Un proceso de medición involucra diferentes actividades que se
asocian a varios factores como lo son: técnicos, estadísticos, instrumentales
y de personal; cada uno define parámetros que deben controlarse para
asegurar la confiabilidad en los valores obtenidos durante el proceso.
En un proceso de medición ideal se obtendrían mediciones
“verdaderas”, esto implicaría tener propiedades estadísticas con varianza
cero, errores cero, y consecuentemente cero probabilidad de decisiones
erróneas. Este tipo de procesos de medición no existen. La situación real
exige desarrollar sistemas o procesos de medición que sean adecuados para
la exactitud requerida, los costos, la facilidad de uso, entre otras variables
[6].
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Un proceso de medición tiene una gran diversidad de puntos de
interpretación del mismo, la mejora y el entendimiento del proceso varía
según el área de aplicación en donde se desarrolla. En la actualidad la
comprensión y el alcance de los procesos de medición giran en torno a las
bases científicas que lo sustentan. Se considera que un fenómeno se ha
entendido cuando:
● Se ha construido un modelo matemático que lo explica
adecuadamente.
● Se han medido y demostrado experimentalmente todas sus
variables.
En la Figura 2, se analiza por etapas un proceso de medición; podemos
observar que en las etapas “A” y “C” no existen problemas de identificación
y definición de los términos involucrados, puesto que en estas etapas los
elementos bajo estudio están claramente identificados. Incluso las analogías
pueden generarse sin ningún problema; desafortunadamente en la etapa “B”
surge una problemática debido a causas como:
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● El nivel de exactitud que se requiere en C depende de la
complejidad del proceso en B.
● El conocimiento y la validación de la etapa B.
● La integración y la separación de los instrumentos críticos, las
magnitudes y los elementos de influencia.
● La variabilidad requerida o aceptada en el proceso.
Lo anterior nos muestra de manera puntual que la etapa B es un
espacio de transformación, que deberá ser analizado y estudiado con mayor
profundidad.
Figura 2. Analogía de un proceso de medición
Metrólogo
Magnitud de en un
modelo de medida
Ingeniero Industrial
Variables Críticas
Matemático
Variable
Independiente
A
Magnitud de Influencia
Modelo de Medición
Proceso de Medición
Variables de Control de
Monitoreo y Medición
Modelo Matemático
Variable de Influencia
Variable aleatoria
B
Magnitud de salida
en un modelo de
medida
Variable de Salida
Variable
Dependiente
C
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Durante el proceso de la medición, se deben definir de forma
apropiada los siguientes factores [7]:
1. Definición del Mensurando:
La definición del mensurando indica qué es lo que se va a medir.
Esta definición exige escoger de manera adecuada y objetiva la
propiedad o magnitud que va a ser objeto de medición. Esta
magnitud debe ser diferenciada y determinada cuantitativamente;
su valor generalmente es una expresión en la forma de una unidad
de medida multiplicada por un número; expresión que describe el
fenómeno u objeto bajo estudio y que permite cuantificar algunas
de sus características inherentes.
2. Alcance e Intervalo de Medición:
¿Para qué va a ser utilizado el objeto a medir? La respuesta a esta
pregunta determina el alcance que debe tener el sistema de
medición, esto es, el valor o el conjunto de valores del
mensurando que se obtendrán típicamente al aplicar el método de
medición. La aplicación del objeto a ser medido también define el
intervalo de medición, el cual describe el valor mínimo y máximo
del conjunto de valores que se deben obtener.
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3. Incertidumbre de Medición Esperada:
Toda medida es incierta, dependiendo la aplicación de la misma o
el uso que se le vaya a dar a los valores resultantes del proceso de
medición es aceptable o no la incertidumbre asociada al resultado
obtenido. La incertidumbre de medición esperada se refiere al
valor de la incertidumbre y la precisión en la medición del
mensurando que son requeridas, aceptables o indispensables para
asegurar la calidad de los resultados en conformidad con la
investigación del fenómeno u objeto estudiado. La incertidumbre
se expresa en las mismas unidades del valor de la medida.
Ejemplo:
En una práctica de laboratorio unos estudiantes deseaban
determinar el porcentaje de rendimiento de la reacción entre
carbonato de sodio (Na2CO3) y cloruro de calcio (CaCl2), para esto
midió, en una balanza analítica, 0,5000 g de cada una de las
muestras por separado, dicha masa se registró tres veces, luego
se mezclaron cada una de las muestras en 100,00 mL de agua
destilada hasta que se disolvió completamente cada una de las
muestras.
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Luego cada una de las disoluciones formadas se combinaron en
un vaso de precipitados, la mezcla formó un precipitado que por
medio de filtración se separó y se secó completamente y se midió
la masa del precipitado la cual se registró tres veces, obteniendo
los siguientes resultados:
𝑁𝑎2𝐶𝑂3(𝑎𝑐) + 𝐶𝑎𝐶𝑙2(𝑎𝑐) ⟶ 2𝑁𝑎𝐶𝑙(𝑎𝑐) + 𝐶𝑎𝐶𝑂3(𝑠) (Ecuación 1)
Tabla 1. Datos de la determinación del porcentaje de rendimiento de la reacción entre carbonato de sodio y cloruro de calcio
Medición
Masa del papel filtro
(g)
Masa del papel filtro
con el precipitado (g)
1 1,0024 1,4074
2 1,0020 1,4076
3 1,0022 1,4072
Promedio 1,0022 1,4074
Desviación estándar 0,0002 0,0002
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Para obtener el resultado de la masa de precipitado que se formó se tiene
que realizar la resta del promedio de la masa del papel filtro con el
precipitado con el promedio de la masa del papel filtro solo:
Con este resultado es posible determinar la precisión en la medición
del mensurando teniendo en cuenta el criterio del experimentador.
4. Método de Medición:
Según el Vocabulario Internacional de Metrología (VIM), el método
de medición se define como la secuencia lógica de operaciones
ejecutadas durante las mediciones. Los métodos de medición
pueden ser normalizados o no normalizados.
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Un método normalizado, es aquél publicado en una norma
nacional, regional o internacional, con un nivel de detalle
tal que puede ser entendido y aplicado sin ambigüedad.
Por otro lado, debe considerarse que estos métodos
pueden ser de diversa índole, como preparación,
limpieza, almacenamiento, transporte, y no se refieren
exclusivamente a métodos de medición. Los métodos
tienen un impacto en la trazabilidad o en la incertidumbre
de la medición y deben ser aplicados correctamente.
Un método no normalizado, es aquel que es desarrollado
por el investigador o laboratorio, o adaptado de la
bibliografía para hacer una medición.
Los métodos de medición son definidos según el mensurando y la
exactitud e incertidumbre que se desee alcanzar.
5. Procedimiento de Medición:
El procedimiento de medición define el conjunto de operaciones
específicas, para realizar mediciones particulares de acuerdo a un
método de medición dado. Cualquier procedimiento de medición
debe poseer las siguientes características:
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1. Describir paso a paso cómo se deben realizar las actividades
para medir los “parámetros” que afecten las características y las
especificaciones que se requiere cumplir.
2. Centrarse sólo en las especificaciones y valorar si estas son las
más importantes o de interés para obtener los resultados
adecuados. El procedimiento no debe permitir desviaciones por
la mala aplicación del mismo.
3. El procedimiento debe ser lo suficientemente claro y detallado
para permitir que el personal involucrado se prepare y entrene
para identificar los parámetros a controlar y entienda cómo cada
uno de estos afectan el proceso de medición.
6. Las Condiciones Ambientales:
El seguimiento y control de determinados factores del medio es
una de los requisitos esenciales en cualquier proceso de medición.
Dependiendo del tipo de proceso y de los resultados esperados
puede ser necesario controlar parámetros como la temperatura, la
humedad, la iluminación, u otros factores que puedan afectar el
proceso. Las condiciones ambientales que afecten los procesos de
medición deben ser controladas y monitoreadas constantemente.
Cualquier corrección basada en las condiciones ambientales debe
ser registrada y aplicada a los resultados de la medición.
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7. Sistema de Medida:
Según la definición del VIM un instrumento de medida es un
dispositivo utilizado para realizar mediciones, solo o asociado a
uno o varios dispositivos suplementarios. Una medida
materializada es una medida destinada a reproducir o
suministrar, de una manera permanente durante su uso, uno o
más valores conocidos de una magnitud dada. Una medida
materializada es en sí misma un instrumento de medida, ella
reproduce o proporciona de manera permanente una magnitud de
una o varias naturalezas, cada una de ellas con un valor asignado
(ejemplo una cinta métrica, pesa patrón, bloque patrón) [1]. Un
sistema de medida puede estar formado por un único instrumento
de medida o un conjunto de ellos. Los sistemas de medida pueden
incluir otros dispositivos, reactivos e insumos, ensamblados y/o
adaptados para proporcionar información útil para obtener
valores asociados con el mensurando dentro de intervalos
específicos relacionados con el alcance del proceso de medición.
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En resumen, un sistema de medición es la colección de
operaciones, procedimientos, instrumentos de medición y otros
equipos, software y personal definido para asignar un número a
la propiedad que está siendo medida.
Todos los sistemas de medición deben poseer las siguientes
propiedades estadísticas [6]:
• Un control estadístico (estabilidad estadística).
• Su variabilidad debe ser pequeña comparada con la variación del
proceso.
• Poco sesgo, es decir una mínima diferencia entre el valor medio
y el valor verdadero de la magnitud medida.
La evaluación de los sistemas de medición se efectúa a través de
estudios de repetibilidad, reproducibilidad, exactitud, estabilidad
y linealidad.
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8. Patrón de medición:
Un patrón es una representación física de una magnitud dada, con
un valor determinado y una incertidumbre de medida asociada.
Los patrones se utilizan frecuentemente como referencia para
obtener valores medidos e incertidumbres asociadas con otras
magnitudes de la misma naturaleza. La trazabilidad metrológica
se establece mediante calibración de otros patrones, instrumentos
o sistemas de medida. Un material de referencia certificado
también es un patrón de medición [1].
9. El operador que va a realizar la medición:
En toda medida interviene de una u otra manera el factor humano.
La persona que va a ejecutar el método de medición debe tener
claro el procedimiento a realizar para tratar de hacer una
medición lo más cercana posible a la realidad. El factor humano
genera una fuente de incertidumbre importante y debe tenerse en
cuenta al momento de estimar la incertidumbre para reportar
adecuadamente el resultado de una medición.
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2 ¿Cómo se debe expresar un resultado de medición?
El propósito de una medición es determinar el valor de una magnitud,
denominada mensurando. Cuando se expresa el resultado de una medición
asociada al mensurando, es obligatorio dar alguna indicación cuantitativa de
la calidad del resultado, de forma que quienes utilizan dicho resultado
puedan evaluar su idoneidad. Sin dicha indicación, las mediciones no pueden
compararse entre sí, ni con otros valores de referencia dados en
especificaciones o normas. Por ello es necesario establecer un procedimiento
fácilmente comprensible y aceptado universalmente para caracterizar la
calidad del resultado de una medición; esto es, para evaluar y expresar su
incertidumbre.
1. Resultado de Medición:
Conjunto de valores de una magnitud atribuidos a un mensurando
acompañados de cualquier otra información relevante disponible
[1].
- Una medición generalmente provee información sobre un
conjunto de valores de una propiedad, tal que algunos de esos
valores pueden representar mejor al mensurando que otros. Lo
anterior puede ser mostrado en forma de una función de densidad
de probabilidad (FDP).
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- Un resultado de medición se expresa generalmente como un
valor medido único y una incertidumbre de la medida. Si la
incertidumbre de la medida se considera despreciable para algún
propósito, el resultado de la medición puede expresarse como un
único valor medido de la magnitud. En muchos campos ésta es la
forma usual de expresar un resultado de medición.
Con base a la definición anterior se entiende que existen diferentes
tipos de resultados de mediciones a partir de los valores o valor de las
mediciones (muy comúnmente llamadas lecturas, registradas como datos
experimentales) que de forma directa obtenemos del instrumento, antes de
su tratamiento.
Una vez que los resultados de la medición han sido sometidos a un
tratamiento de corrección por errores y efectos sistemáticos y análisis
estadístico de datos, obtenemos el valor medido, que se define a
continuación.
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2. Valor Medido de una Magnitud [1]:
Es el valor de una magnitud que representa el resultado de una
medición.
- Para una medición que involucre indicaciones repetidas, cada
indicación puede usarse para producir un valor medido de la
magnitud correspondiente. Este conjunto de valores medidos
individuales puede usarse para calcular un valor medido
resultante, en el cual la incertidumbre de la medida asociada es
generalmente más pequeña que la de las mediciones individuales
realizadas.
- Cuando la amplitud del intervalo de los valores verdaderos de la
magnitud que se cree representan al mensurando es pequeño
comparado con la incertidumbre de la medida, un valor medido
puede considerarse como el mejor estimado de un valor
verdadero, por esencia único y con frecuencia bajo la forma de un
promedio o de una mediana de los valores medidos individuales
obtenidos mediante mediciones repetidas.
- Cuando la amplitud del intervalo de los valores verdaderos de la
magnitud que se cree representan al mensurando no es pequeño
en comparación con la incertidumbre de la medida, un valor
medido es frecuentemente un estimado de un promedio o de una
mediana del conjunto de valores verdaderos de la magnitud.
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- En la GUM [7], los términos “resultado de medición” y “estimado
del valor del mensurando” o simplemente “estimado del
mensurando” se usan como “valor medido de la magnitud”. Se
supone que el “resultado de una medición” ha sido corregido para
todos los efectos sistemáticos significativos reconocidos y que
todo esfuerzo ha sido hecho para identificar estos efectos.
Los dígitos o cifras significativas de un número, son todos aquellos
que se obtienen directamente del proceso de medición después de eliminar
todos los ceros que se ponen con el único propósito de colocar el signo o la
coma decimal, es importante no confundir los dígitos significativos con el
número de lugares decimales, para lo cual se presentan las siguientes
definiciones, ejemplos y criterios de expresión de los resultados de
mediciones (
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Tabla 22.)
Tabla 2. Ejemplos de dígitos significativos y lugares decimales
Datos Dígitos
Significativos
Lugares
Decimales
5 1 0
5,0 2 1
5,00 3 2
0,225 3 3
7,449 4 3
2,449 x 10-3 4 3
520 2 ó 3 0
5,20 x 102 3 2
5,2 x 102 2 1
3. Dígito:
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Término utilizado como sinónimo de la palabra “cifra” y que
puede interpretarse como el símbolo que representa al cero y a
los nueve primeros números.
4. Número de cifras (dígitos) significativos:
Para un determinado valor, es el número de (cifras) dígitos que se
obtienen contando de izquierda a derecha del valor, a partir del
primer dígito que no sea cero. El cero es considerado como un
dígito, excepto cuando se utiliza para localizar el signo o la coma
decimal como en 0,08 (un dígito significativo).
5. Número de lugares decimales:
Para un determinado valor, es el número de lugares contados a
partir del signo o la coma decimal y hacia la derecha, hasta el
último dígito proporcionado, como en 0,08 (dos lugares
decimales).
Al momento de expresar el resultado de una medición, se deberá tener
especial cuidado de hacerlo con los dígitos significativos adecuados. Es
necesario considerar en todo momento el buen criterio al expresarse un
resultado, respecto a la exactitud, objetividad, claridad e in-ambigüedad de
los resultados, con el objeto de que el(los) resultado(s) muestren una fiel
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imagen de la propiedad medida, del mensurando y pueda ser usado de forma
apropiada.
Por ejemplo, una tabla con 10 diferentes valores del mensurando a lo
largo del intervalo de medición de un instrumento, podrá expresarse con
una cantidad de dígitos decimales homogéneos, considerando que la
mayoría de los datos se expresan correctamente con dos dígitos
significativos y solamente una minoría se expresan con más o menos dígitos
significativos de los estrictamente necesarios.
En muchos casos el resultado en una medición ha sido estimado desde
una serie de observaciones en condiciones de repetibilidad2 y la variación de
estas mediciones se asume que pueden ser por magnitudes de influencia3
En la Figura 3 se muestra un ejemplo de cómo puede expresarse un
resultado de medición. Además, este resultado debe contener un número
correcto de cifras significativas, de acuerdo a la resolución del instrumento
de medición y la incertidumbre asociada a ese resultado.
2 El centro español de metrología las define como el grado de concordancia entre resultados
de sucesivas mediciones del mismo mensurando, mediciones efectuadas con aplicación de la totalidad de las mismas condiciones de medida. [17]
3 El vocabulario internacional de metrología (VIM) la define como la magnitud que, en una medición directa, no afecta a la magnitud que realmente se está midiendo, pero sí afecta a la relación entre la indicación y el resultado de medida [18]
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Figura 3. Forma de expresar un resultado de medición.
3 Significado de “error” en ciencias experimentales
El valor de una propiedad o mensurando se obtiene
experimentalmente efectuando mediciones; éstas pueden ser directas o
indirectas, es decir, obtenida por medio de los valores medidos de otras
magnitudes ligadas con ella mediante una fórmula física. Entonces, resulta
imposible llegar a conocer el valor exacto de ninguna propiedad o
mensurando, ya que los medios experimentales de comparación con el
patrón correspondiente en las mediciones directas vienen siempre afectados
de imprecisiones inevitables. El problema es establecer los límites dentro de
los cuales se encuentra dicho valor.
Para establecer el valor de un mesurando tenemos que usar
instrumentos de medición y un método de medición. Asimismo es necesario
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definir unidades de medición. Por ejemplo, si deseamos medir el largo de una
varilla, el instrumento de medición será una regla. Si usamos el Sistema
Internacional de Unidades (SI), la unidad será el metro y la regla a usar
deberá estar calibrada en esa unidad o en submúltiplos de ella. El método de
medición consistirá en determinar cuántas veces la unidad y fracciones de
ella están contenidos en el mesurando.
El concepto de error en ciencias es diferente a la significación que
comúnmente se le da; casi siempre la palabra error se le atribuye a una falla
o equivocación de un procedimiento. El VIM define el término error de
medida como la diferencia entre un valor medido de una magnitud y un valor
de referencia (valor convencional o valor verdadero) [1].
Las mediciones realizadas están afectadas por errores de medición,
que provienen de las limitaciones impuestas por [8]:
La precisión y exactitud.
La interacción del método de medición con el mesurando.
La definición del objeto a medir.
La influencia del observador u observadores que realizan la
medición.
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La medida ideal es aquella que tiene un 100% de exactitud y un 100%
de precisión, pero esa situación no existe.
3.1 Diferencia entre Exactitud y Precisión:
Aunque en el lenguaje coloquial, los términos exactitud y precisión
son sinónimos. Metrológicamente, ambos términos, están relacionados entre
sí, pero no deben confundirse, ya que la diferencia entre ambos es
significativa. El VIM define el término exactitud como el grado de
concordancia entre el resultado de una medición y un valor verdadero del
mensurando, haciendo énfasis en que a) el término exactitud es cualitativo
y b) que no se utilice el término exactitud en lugar de precisión. Sin embargo,
este último término no aparece definido en el VIM, por lo que tomamos su
definición y relación con el término exactitud de la norma UNE 82009-1,
equivalente a la ISO 5725-1. En esta norma, el término exactitud engloba a la
veracidad y a la precisión, puede escribirse como:
𝐸𝑥𝑎𝑐𝑡𝑖𝑡𝑢𝑑 = 𝑉𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 + 𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑠𝑖ó𝑛 (Ecuación 2)
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La veracidad, definida como el grado de coincidencia entre el valor
medio obtenido de una gran serie de resultados y un valor aceptado como
referencia, viene expresada usualmente en términos de sesgo, definiéndose
este como la diferencia entre el valor medio obtenido y un valor aceptado
como referencia (por ejemplo, un valor convencionalmente verdadero del
mensurando). El sesgo es pues el error sistemático total, por oposición al
error aleatorio, pudiendo existir uno o más errores sistemáticos
contribuyendo al sesgo. A mayor error sistemático respecto al valor
aceptado como referencia, mayor sesgo, y viceversa.
Por su parte, la precisión se define como el grado de coincidencia
existente entre los resultados independientes de una medición, obtenidos en
condiciones estipuladas, ya sea de repetibilidad, de reproducibilidad o
intermedias. Por lo tanto, la precisión depende únicamente de la distribución
de los resultados, no estando relacionada con el valor verdadero o
especificado. La precisión se expresa generalmente a partir de la desviación
típica de los resultados. A mayor desviación típica menor precisión. [8]
3.2. Componentes de los Errores de Medición:
El error de medida tiene tres componentes los cuales son:
3.2.1. Errores Sistemáticos
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Los errores sistemáticos son aquellos que permanecen constantes a lo
largo de todo el proceso de medición y, por tanto, afectan a todas las
mediciones de un modo definido y es el mismo para todas ellas; se pueden
subclasificar en errores instrumentales o por la elección del método. Los
errores instrumentales son los debidos al aparato de medida; por ejemplo,
un error de calibrado generaría este tipo de imprecisión. Finalmente, el error
en la elección del método se presenta cuando se lleva a cabo la
determinación de una medida mediante un método que no es idóneo para
tal fin [9], por ejemplo, Se observó que uno de los estudiantes medía el
volumen de la solución desde la parte superior del menisco en lugar de desde
el fondo.
Entonces, los errores sistemáticos están asociados a la desviación constante
de todas las medidas ya sea siempre hacia arriba o siempre hacia abajo del
valor real y son producidos, por ejemplo, por la falta de calibración del
instrumento de medición o la mala elección de un método.
3.2.2. Errores aleatorios o accidentales
Los errores aleatorios son aquellos que se producen en las variaciones
que pueden darse entre observaciones sucesivas realizadas por un mismo
operador. Estas variaciones no son reproducibles de una medición a otra y
su valor es diferente para cada medida. Las causas de estos errores son
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incontrolables para el observador. Los errores aleatorios son en su mayoría
de magnitud muy pequeña y para un gran número de mediciones se obtienen
tantas desviaciones positivas como negativas. Aunque con los errores
aleatorios no se pueden hacer correcciones para obtener valores más
concordantes con el real, sí se emplean métodos estadísticos se puede llegar
a algunas conclusiones relativas al valor más probable en un conjunto de
mediciones [9].
3.2.3. Errores personales
Los errores personales se deben a las limitaciones propias del
experimentador; así, una persona con algún problema visual puede cometer
errores sistemáticos en la toma de ciertos datos.
3.3. Fuentes de Error:
3.3.1. Errores introducidos por el instrumento
Error de apreciación: Δap
Si el instrumento está correctamente calibrado la incertidumbre
que tendremos al realizar una medición estará asociada a la
mínima división de su escala que podemos resolver con algún
método de medición. Nótese que no decimos que el error de
apreciación es la mínima división del instrumento, sino la
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mínima división que es discernible. El error de apreciación
puede ser mayor o menor que la apreciación nominal (mínima
variación que se puede detectar), dependiendo de la habilidad
(o falta de ella) del observador. Así, es posible que un
observador entrenado pueda apreciar con una regla común
fracciones del milímetro mientras que otro observador, con la
misma regla pero con dificultades de visión, sólo pueda apreciar
2 mm.
3.3.2. Error de exactitud: Δexac
Representa el error del instrumento obtenido por un proceso de
calibración frente a patrones confiables.
3.3.3. Error de interacción: Δint
Proviene de la interacción del método de medición con el objeto a
medir. Su determinación depende de la medición que se realiza y su valor se
estima de un análisis cuidadoso del método usado.
3.3.4. Falta de definición en el objeto sujeto a medición: Δdef
Proviene del hecho de que las magnitudes a medir no están definidas
con infinita precisión. Con Δdef designamos la incertidumbre asociada con
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la falta de definición del objeto a medir y representa su incertidumbre
intrínseca.
En general, en un experimento dado, todas estas fuentes de error
estarán presentes, de modo que resulta útil definir la incertidumbre o error
nominal de una medición Δnom, como:
∆𝑛𝑜𝑚= ∆𝑎𝑝 + ∆𝑒𝑥𝑎𝑐 + ∆𝑖𝑛𝑡 + ∆𝑑𝑒𝑓 (Ecuación 3)
3.4. Relación entre Exactitud, Precisión e Incertidumbre
Cuando se expresa el resultado de una medición en la forma debida;
es decir, añadiendo al resultado la incertidumbre asociada al mismo, por
ejemplo, 5,47 mm ± 0,02 mm, lo que estamos indicando es el nivel de
confianza existente, normalmente un 95%, de que el verdadero valor del
mensurando se encuentre dentro del intervalo ± 0,02 mm . Es la diferencia
entre el resultado y el valor convencionalmente verdadero o de referencia, la
que nos informa del sesgo o error total existente. Si dicho error es corregible,
entonces cuanto más precisa haya sido la medición (menor dispersión se
habrá observado en los resultados), menor incertidumbre asociada
obtendremos, aunque también existirán contribuciones a la incertidumbre
procedentes de las propias correcciones efectuadas. No hay que olvidar que
para la estimación de la incertidumbre, se parte de la hipótesis de que todos
los errores sistemáticos conocidos han sido corregidos previamente.
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Si el error sistemático no es corregible, entonces la incertidumbre
aumentará, ya que habrá que combinar la desviación típica que caracteriza
la precisión, con el propio error sistemático, a fin de obtener una
incertidumbre que englobe todas las contribuciones. En resumen, siempre
ocurre que a mayor precisión, menor incertidumbre, pero si la medición no
es exacta y hay errores sistemáticos sin cancelar, a igual precisión, la
incertidumbre será tanto mayor cuanto mayor sean dichos errores, siempre
que actuemos como indica la Guía para la expresión de la incertidumbre y
los tengamos en cuenta en la estimación de la incertidumbre (U).
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4. Estimación de la Incertidumbre en Medidas
Experimentales.
El propósito de una medición es determinar el valor del mensurando,
que como ya se lo ha definido es la propiedad atribuida al sujeto a medición
de un fenómeno u objeto determinada cuantitativamente, y su definición es
vital para obtener buenos resultados de la medición. Por ejemplo, para la
calibración de un calibrador tipo pie de rey, analizando la forma de este, se
propone como mensurando la corrección de la lectura del calibrador
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(ε),definida como la diferencia entre la longitud del bloque patrón4 (Ibp ) y la
lectura del calibrador (Iv )
휀 = 𝐼𝑏𝑝 − 𝐼𝑣 (Ecuación 4)
Ninguna medición por su naturaleza y entorno es perfecta, esto hace
imposible conocer con certeza absoluta el valor verdadero de una magnitud:
toda medición lleva implícita una incertidumbre, que es un parámetro que
caracteriza la dispersión de los valores que pueden ser atribuidos
razonablemente al mensurando.
El resultado de una medición debe incluir la mejor estimación del valor
del mensurando y una estimación de la incertidumbre sobre ese valor. La
incertidumbre se compone de contribuciones de diversas fuentes, algunas
de ellas descritas por las magnitudes de entrada respectivas. Algunas
contribuciones son inevitables por la definición del propio mensurando,
mientras otras pueden depender del principio de medición, del método y del
procedimiento seleccionados para la medición.
4 Los bloques patrón son la medida materializada más exacta industrial para calibración de instrumentos de
longitud, así como mediciones y trazos diversos. Están disponibles en forma rectangular o cuadrada, hechos de acero, cerámica o carburo [22]
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La definición del mensurando usualmente alude, casi siempre de
manera implícita, a una estimación de la incertidumbre que se requiere. Es
notable el alto riesgo que se corre cuando la definición del mensurando no
es acorde con la estimación de la incertidumbre requerida.
4.1. Modelo Físico
Un modelo físico de la medición consiste en el conjunto de
suposiciones sobre el propio mensurando y las variables físicas o químicas
involucradas en la medición, y que son de mayor influencia sobre estas. Las
suposiciones establecidas incluyen:
a. Relaciones fenomenológicas entre variables;
b. Consideraciones sobre el fenómeno como conservación
de cantidades, comportamiento temporal,
comportamiento espacial, simetrías, etc.;
c. Consideraciones sobre propiedades de la sustancia como
homogeneidad e isotropía. Una medición física, por
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simple que sea, tiene asociado un modelo que sólo
aproxima el proceso al fenómeno real.
4.2. Modelo Matemático:
El modelo físico se representa por un modelo descrito con lenguaje
matemático. El modelo matemático supone aproximaciones originadas por
la representación imperfecta o limitada de las relaciones entre las variables
involucradas.
La relación entre las magnitudes de entrada y el mensurando como
la magnitud de salida se representan como una función:
𝑌 = 𝑓({𝑋𝑖}) = 𝑓(𝑋1, 𝑋2, 𝑋3, … 𝑋𝑁) (Ecuación 5)
Donde el índice 𝑖 toma valores entre 1 y el número de magnitudes de entrada
𝑁 . Los valores de las magnitudes de entrada pueden ser resultados de
mediciones recientes realizadas por el usuario o tomados de fuentes como
certificados, literatura, manuales, etc.
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El mejor estimado 𝑦 del valor del mensurando es el resultado de
calcular el valor de la función 𝑓 evaluada en el mejor estimado de cada
magnitud de entrada 𝑥𝑖.
𝑦 = 𝑓(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑁) (Ecuación 6)
En algunas ocasiones se toma el mejor estimado de 𝑌 como el
promedio de varios valores 𝑦𝑗 del mensurando obtenidos a partir de diversos
conjuntos de valores {(𝑋𝑖)} de las magnitudes de entrada
Regresando al caso del calibrador, el modelo matemático y físico
puede ser definido por la 휀 = 𝐼𝑏𝑝 − 𝐼𝑣
(Ecuación
4
Añadiendo las correcciones a esta ecuación por los efectos de
temperatura (∆𝑡 ), efecto de abbe (𝑎𝑏𝑏𝑒 ) y resolución del calibrador (𝑑 ), se
tiene:
𝑒𝑒 = 𝑙�̅� − 𝑙𝑏𝑝 + 𝛿𝑙𝐴𝑏𝑏𝑒 + 𝛿𝑙𝑑 + 𝐿�̅�∆𝑡 (Ecuación 7)
𝑒𝑒 = 𝑓(𝑏𝑝, 𝐴𝑏𝑏𝑒, 𝑑, ∆𝑡) (Ecuación 8)
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4.3. Fuentes de Incertidumbre:
Una vez determinados el mensurando, el principio, el método y el
procedimiento de medición, se identifican las posibles fuentes de
incertidumbre. Éstas provienen de los diversos factores involucrados en la
medición, por ejemplo:
• Los resultados de la calibración del instrumento
• La incertidumbre del patrón o del material de referencia
• La repetibilidad de las lecturas
• La reproducibilidad de las mediciones por cambio de
observadores, instrumentos u otros elementos
• Las características del propio instrumento, como
resolución, histéresis, deriva, etc.
• Variaciones de las condiciones ambientales
• La definición del propio mensurando
• El modelo particular de la medición
• Variaciones en las magnitudes de influencia.
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No es recomendable desechar alguna de las fuentes de incertidumbre
por la suposición de que es poco significativa sin una cuantificación previa
de su contribución, comparada con las demás, apoyadas en mediciones. Es
preferible la inclusión de un exceso de fuentes que ignorar algunas entre las
cuales pudiera descartarse alguna importante. No obstante, siempre estarán
presentes efectos que la experiencia, conocimientos y actitud crítica del
personal que está haciendo las mediciones permitirán calificar como
irrelevantes después de las debidas consideraciones.
4.4. Cuantificación de la Incertidumbre – Tipo de Incertidumbre.
Se distinguen dos métodos principales para cuantificar las fuentes de
incertidumbre: El Método de Evaluación Tipo A está basado en un análisis
estadístico de una serie de mediciones, mientras el Método de Evaluación
Tipo B comprende todas las demás maneras de estimar la incertidumbre.
4.4.1. Incertidumbre típica tipo A
La incertidumbre de una magnitud de entrada obtenida a partir de
observaciones repetidas bajo condiciones de repetibilidad, se estima con
base en la dispersión de los resultados individuales.
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Ejemplo:
En una práctica de laboratorio se pretendía determinar la Masa Molar,
la fórmula Molecular y la densidad del hidrocarburo contenido en un
encendedor, inicialmente se necesitó estimar la masa inicial del encendedor,
utilizando una balanza analítica se realizó la medición de la masa diez (10)
veces, los resultados fueron los siguientes:
Tabla 3. Masa del encendedor
Masa del encendedor (g)
15,3301
15,3292
15,3283
15,3302
15,3301
15,3301
15,3292
15,3283
15,3302
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15,3301
Con estos datos se puede determinar la incertidumbre tipo A de este
procedimiento, realizando un análisis estadístico de los datos obtenidos,
para ello es necesario calcular:
Promedio x̅ =1
n∑ xn
x=1 (Ecuación 9)
varianza, s2 =∑ (xi−x̅)2n
i=1
n−1 (Ecuación 10)
, desviación estándar s = √∑ (xi−x̅)2n
i=1
n−1 (Ecuación 11)
𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑛𝑐𝑒𝑛𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟, �̅� = 15,3296 𝑔
Al realizar la estimación de la masa promedio del encendedor es
necesario expresar el resultado con las cifras significativas5 adecuadas y
estas aparecen en el momento de la medida y las da el experimentador de
acuerdo con el instrumento, sus capacidades y las características del objeto
y método de medición. Una medida producto del promedio de una serie de
5 Es aquella cifra que proporciona información no ambigua ni superflua acerca de una medida
experimental, son cifras significativas aquellas que ocupan una posición igual o superior al orden o posición del error
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medidas tiene las cifras significativas que van hasta donde comienza la
incertidumbre.
varianza, s2 =∑ (xi−x̅)2n
i=1
n−1 (Ecuación 12)
𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑛𝑐𝑒𝑛𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟 = 6,01778 ∗ 10−7𝑔2
𝑠 = √∑ (𝑥𝑖−�̅�)2𝑛
𝑖=1
𝑛−1 (Ecuación 13)
𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟 = 0,0008 𝑔
(Ecuación 14)
Para expresar el resultado de la masa del encendedor y tener en
cuenta la incertidumbre tipo A se dice6:
6 Es importante tener en cuenta que hay muchos factores que se involucran en una medición,
en la práctica experimental el proceso de medición no es algo unidireccional
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No se puede dar una recomendación general para el número ideal de
las repeticiones , ya que éste depende de las condiciones y exigencias (meta
para la incertidumbre) de cada medición específica. Hay que considerar que:
• Aumentar el número de repeticiones resulta en una reducción de
la incertidumbre por repetibilidad, la cual es proporcional a 1√𝑛
⁄ .
• Un número grande de repeticiones aumenta el tiempo de
medición, que puede ser contraproducente, si las condiciones
ambientales u otras magnitudes de entrada no se mantienen
constantes en este tiempo.
• En pocos casos se recomienda o se requiere n mayor de 10. Por
ejemplo cuando se caracterizan instrumentos o patrones, o se
hacen mediciones o calibraciones de alta exactitud.
• Para determinar el impacto que tiene n en la incertidumbre
expandida7 , que generalmente es presentada en términos de un
valor Up , la cual corresponde a un nivel de confianza p.
(probabilidad de que el intervalo de ±Up alrededor del mejor
estimado para el mensurando contenga al valor verdadero del
mensurando). En el campo de la metrología, a menudo se usa un
7 Es el resultado de la estimación de la incertidumbre de una medición
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nivel de confianza p 95%. En el caso frecuente de que la
dispersión de los valores del mensurando corresponda a una
distribución normal (distribución gaussiana), Up se obtiene
expandiendo la incertidumbre estándar u por un factor k=2,
siendo preciso ±2Up equivale a un 95,45% de confianza. [10]
4.4.2. Incertidumbre típica tipo B
En una evaluación tipo B de la incertidumbre de una magnitud de
entrada se usa información externa u obtenida por experiencia. Las fuentes
de información pueden ser:
Certificados de calibración.
Manuales del instrumento de medición, especificaciones del
instrumento.
Normas o literatura.
Valores de mediciones anteriores.
Conocimiento sobre las características o el comportamiento del
sistema de medición.
4.4.2.1. Tipos de Distribuciones de Probabilidad:
La cuantificación de una fuente de incertidumbre incluye la asignación
de un valor y la determinación de la distribución a la cual se refiere este
valor. Las distribuciones que aparecen más frecuentemente son:
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4.4.2.1.1. Distribución normal
Los resultados de una medición repetida afectada por magnitudes de
influencia que varían aleatoriamente, generalmente siguen en buena
aproximación una distribución normal. En particular, la distribución de la
media de una serie de mediciones repetidas se aproxima a una normal
independientemente de la distribución de las lecturas individuales. También
la incertidumbre indicada en certificados de calibración se refiere
generalmente a una distribución normal.
4.4.2.1.2. Distribución rectangular
En una distribución rectangular cada valor en un intervalo dado tiene
la misma probabilidad, o sea la función de densidad de probabilidad es
constante en este intervalo. Ejemplos típicos son la resolución de un
instrumento digital o la información técnica sobre las tolerancias de un
instrumento. En general, cuando exclusivamente hay conocimiento de los
límites superior e inferior del intervalo de variabilidad de la magnitud de
entrada, lo más conservador es suponer una distribución rectangular.
4.4.2.1.3. Distribución triangular:
Si además del conocimiento de los límites superiores e inferiores, hay
evidencia de que la probabilidad es más alta para valores en el centro del
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intervalo y se reduce hacía los límites, puede ser más adecuado basar la
estimación de la incertidumbre en una distribución triangular.
4.4.2.1.4. Otras distribuciones
Pueden encontrarse también distribuciones como la U, en la cual los
extremos del intervalo presentan los valores con probabilidad máxima,
típicamente cuando hay comportamientos oscilatorios subyacentes.
4.4.3. Incertidumbre típica combinada
Luego de estimar los componentes de incertidumbres asociados a la
medición se hace necesario combinar las incertidumbres estándar con
procedimientos que se explican a continuación:
1. Para modelos matemáticos que involucran solo una suma o
diferencia de cantidades:
(Ecuación 15)
Donde k es una constante la incertidumbre combinada está
dada por:
(Ecuación 16)
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2. Para modelos matemáticos que involucran solo un producto o
un cociente
(Ecuación 17)
Donde k es una constante la incertidumbre combinada está
dada por:
(Ecuación 18)
Ejemplo:
Se desea conocer el volumen de un recipiente para esto es
necesario la medición de la masa del recipiente vacío, que es de
(87,664±0,002) g y cuando se llena con agua es de
(109,646±0,001) g. considerando que la densidad del agua es de
(0,9983±0,0002) g/mL a 20°C; primero se debe calcular la masa
de agua agregada al recipiente:
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Entonces el resultado de la masa se debe expresar como:
Luego de tener el resultado de la masa de agua agregada, se
utiliza el valor de la densidad del agua para calcular el volumen
del recipiente:
(Ecuación 19)
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Entonces el resultado del volumen se debe expresar como:
4.5. Estimación de las incertidumbres estándar
Con el fin de combinar contribuciones de la incertidumbre que tienen
distribuciones diferentes, es necesario representar los valores de las
incertidumbres originales como incertidumbres estándar8. Para ello se
determina la desviación estándar de la distribución asignada a cada fuente.
8 Es la incertidumbre del resultado de una medición expresado como una desviación estándar [24]
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A continuación se muestran algunas de las distribuciones más comunes
asociadas a la medición:
4.5.1. Distribución normal:
La desviación estándar experimental de la media calculada a partir de
los resultados de una medición repetida, ya representa la incertidumbre
estándar.
Figura 4. Histograma de una distribución normal hipotética
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4.5.2. Distribución rectangular:
Si la magnitud de entrada xi tiene una distribución rectangular con el
límite superior a+ y el límite inferior a_, el mejor estimado para el valor de xi
está dado por:
(Ecuación 20)
Figura 5. Representación Gráfica de una distribución rectangular.
La incertidumbre estándar asociada a este tipo de distribución se
calcula por:
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(Ecuación 21)
4.5.3. Distribución Triangular
Como en una distribución rectangular, para una magnitud de entrada
Xi que tiene una distribución triangular con los límites a+ y a_, el mejor
estimado para el valor de Xi está dado por:
(Ecuación 22)
Figura 6. Representación Gráfica de una distribución triangular.
La incertidumbre estándar se calcula en este caso por:
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(Ecuación 23)
4.6. Estimación de la incertidumbre estándar combinada
El resultado de la combinación de las contribuciones de todas las
fuentes es la incertidumbre estándar combinada 𝑢𝑐(𝑦).
La contribución 𝑢𝑖(𝑦) de cada fuente a la incertidumbre combinada
depende de la incertidumbre estándar 𝑢(𝑥𝑖) de la propia fuente y del impacto
de la fuente sobre el mensurando. Es posible encontrar que una pequeña
variación de alguna de las magnitudes de influencia tenga un impacto
importante en el mensurando, y viceversa.
Se determina 𝑢𝑖(𝑦) por el producto de 𝑢(𝑥𝑖) y su coeficiente de
sensibilidad ci (o factor de sensibilidad):
𝑢𝑖(𝑦) = 𝑐𝑖 ∙ 𝑢(𝑥𝑖) (Ecuación 24)
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4.7. Estimación de la Incertidumbre expandida
La forma de expresar la incertidumbre como parte de los resultados
de la medición depende de la conveniencia del usuario. A veces se comunica
simplemente como la incertidumbre estándar combinada, otras ocasiones
como un cierto número de veces tal incertidumbre, algunos casos requieren
se exprese en términos de un nivel de confianza dado, etc. En cualquier caso,
es indispensable comunicar sin ambigüedades la manera en que la
incertidumbre está expresada.
4.7.1. Factor de cobertura y nivel de confianza
La incertidumbre estándar 𝑢𝑐 tiene un valor igual a la desviación
estándar de la función de distribución del mensurando. El intervalo centrado
en el mejor estimado del mensurando contiene el valor verdadero con una
probabilidad p de 68% aproximadamente, bajo la suposición de que los
posibles valores del mensurando siguen una distribución normal.
Generalmente se desea una probabilidad mayor de 68%, lo que se
obtiene expandiendo este intervalo por un factor k, llamado factor de
cobertura. El resultado se llama incertidumbre expandida U:
𝑈 = 𝑘 ∙ 𝑢𝑐 (Ecuación 25)
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La incertidumbre expandida U indica entonces un intervalo, llamado
intervalo de confianza, que representa una fracción p de los valores que
puede probablemente tomar el mensurando. El valor de p es llamado el nivel
de confianza y puede ser elegido a conveniencia.
4.7.2. Grados de libertad
El número u de grados de libertad asociado a una distribución de una
magnitud (𝑋𝑖 o 𝑌 ) puede considerarse una medida de incertidumbre de la
incertidumbre de esa magnitud. Entre mayor sea u la estimación de la
incertidumbre será más confiable. El número efectivo de grados de libertad
ʋ𝑒𝑓𝑓 del mensurando considera el número de grados de libertad ʋ𝑖 de cada
fuente de incertidumbre.
En la estimación de incertidumbres por el método tipo A, ʋ𝑖 depende
directamente del número de datos considerados y disminuye conforme el
número de parámetros estimados a partir de los mismos datos. La
repetibilidad de una medición, estimada por la desviación estándar
experimental de 𝑛 lecturas tiene n-1 grados de libertad. Una regresión lineal
de M puntos mediante una ecuación de M parámetros tiene M - n grados
de libertad.
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Si la incertidumbre se estima por un método tipo B, la determinación
del número de grados de libertad implica el criterio del personal quien
realiza las mediciones y hace la estimación de la incertidumbre soportado
por su experiencia, aun cuando ésta sea subjetiva. Para determinar la
incertidumbre relativa de la propia incertidumbre, y calcular el número de
grados de libertad para esa fuente específica 𝑖 se utiliza la ecuación:
¡Error! No se encuentra el origen de la referencia.
(Ecuación 26)
La cantidad ∆𝑢(𝑥𝑖) es una estimación de la incertidumbre 𝑢(𝑥𝑖) de la
fuente 𝑖 cuantificada por el personal que realiza la medición. Es
recomendable aproximar el resultado del cálculo con la ecuación anterior al
entero cercano más bajo.
La ecuación ʋi =1
2∙ [
∆u(xi)
u(xi)]
−2=
1
2∙ [
u(xi)
∆u(xi)]
2puede escribirse en términos de
la relación entre la contribución de la fuente y la incertidumbre combinada
como:
1
ʋ𝑒𝑓𝑓= ∑
(𝑢𝑖(𝑦)
𝑢𝑐(𝑦))
4
ʋ𝑖
𝑁𝑖=1 (Ecuación 27)
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Si el valor de ʋ𝑒𝑓𝑓 resultante no es entero, generalmente se considera
ʋ𝑒𝑓𝑓 como el entero menor más próximo. Un análisis de la ecuación anterior
muestra el dominio de las fuentes con pocos grados de libertad en el cálculo
de ʋ𝑒𝑓𝑓 , sobre todo de aquellas cuyas contribuciones son grandes a la
incertidumbre combinada. De hecho una fuente cuya contribución es alta y
con pocos grados de libertad, es determinante del valor de ʋ𝑒𝑓𝑓.
4.7.3. Incertidumbre expandida
En general al momento de expresar una medida es necesario dar una
incertidumbre que defina un intervalo alrededor de una medición que
abarque una fracción grande de la distribución de valores que puedan
atribuirse al mensurando [11]. Que se obtiene empleando un factor de
cobertura k, el cual es utilizado como un multiplicador de la incertidumbre
estándar combinada para obtener así la incertidumbre expandida, este factor
de cobertura toma valores entre 2 y 3, corresponde un intervalo de
confianza, de aproximadamente 95 %, se puede utilizar la tabla t student
para determinados grados de libertad al que se haya realizado una medición
y así obtener:
𝑈 = 𝑘 ∙ 𝑢𝑐 (Ecuación 28)
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5. Expresión de la incertidumbre
A medida que se hace una medición más rigurosa, se requieren más
detalles sobre cómo han sido obtenidos el resultado de medida y su
incertidumbre, sin embargo en todas las jerarquías toda la información
necesaria sobre el resultado de una medición debe estar disponible para la
persona que la necesite y de esta manera pueda evaluarse la confiabilidad
de un proceso de medición [7] Para una medición la expresión de la
incertidumbre expandida U incluye su indicación como un intervalo
centrado en el mejor estimado y del mensurando, la afirmación de que p es
del 95% (o el valor elegido) aproximadamente y el número efectivo de grados
de libertad, cuando sea requerido.
Una manera de expresar el resultado de la medición es
𝑌 = 𝑦 ± 𝑈 (Ecuación 29)
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6. Conclusiones
El documento planteado permite a personas que inician su investigación en
cualquier campo de las ciencias experimentales un acercamiento a los conceptos
relacionados al proceso de medición.
En cuanto al acceso al conocimiento, tanto el lenguaje científico utilizado para la
presentación de los conceptos así como la organización de los mismos son de fácil
entendimiento para quienes inician en investigación.
Los ejemplos planteados en el documento se encuentran contextualizados en el
campo de las ciencias naturales, permitiendo un enfoque más específico que otras
guías similares.
La medición es un proceso que implica asignar un valor numérico a una
propiedad cuantificable (mensurando); comparar una propiedad con un
patrón de referencia a través de una secuencia lógica (procedimiento) y así
evaluar su conformidad para finalmente, tomar algún tipo de decisión
importante. El producto de una medición puede usarse por ejemplo para
calcular rendimientos, comparar algunos materiales de laboratorio con
algunas especificaciones o límites reglamentarios, o simplemente para
estimar un valor monetario del costo de un proceso o alguna compra de
material o reactivo. Por estas razones, es necesario evaluar la calidad de
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dicha medida, esto a través de la consideración de la incertidumbre
asociada.
La “Guía para la Expresión de la Incertidumbre en Medición” [14]
considera y establece una serie de reglas necesarias para que el
investigador, luego de observar minuciosamente todas las posibles fuentes
de incertidumbre, y con la suficiente pericia centre su atención en todos
aquellas contribuciones mayores, evalúe y exprese la incertidumbre en la
medición. En consecuencia, el resultado de toda medición, deberá ser
expresado junto con su incertidumbre típica combinada uc (y) o su
incertidumbre expandida U, sin dejar de lado el factor de cobertura o el
nivel de confianza asociado al intervalo .
𝑌 = 𝑦 ± 𝑈
Página | 72
Bibliografía
[1] O. m. d. J. C. f. G. i. M. (JCGM), Vocabulario Internacional de
Metrología (VIM), Madrid: Centro Español de Metrología (CEM), 2012.
[2] E. Galina, «Medir: origen de muchos conceptos matemáticos,»
Revista de Educación Matemática, vol. 24, nº 2, pp. 3-14, 2009.
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