Instituto Politécnico Nacional

Escuela Superior de Ingeniería Química

e Industrias Extractivas

ESTIMACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE DEMEDIDA EN UN CALIBRADOR TIPO VERNIER

DE ACUERDO A LA "GUÍA PARA LAEXPRESIÓN DE INCERTIDUMBRE DE LA

MEDICIÓN"(GUM)

Tesis que presenta

Paulina Rendón Suárez

Para obtener el Grado de

Ingeniero Químico Industrial

Director de la Tesis: Dr. Jesús Carlos Sánchez Ochoa

CDMX Diciembre 2018

Índice general

1. Breve historia de la metrología 6

1.1. De�nición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2. La metrología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1. La metrología en México . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.2. El tratado del metro y el sistema métrico decimal en México . . . 9

1.3. Medición de longitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.1. Breve introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.2. El sistema métrico decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.3. El sistema inglés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4. Tipos de metrología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5. Importancia de la metrología en el aseguramiento de la calidad . . . . . . 16

1.6. Distintos institutos de metrología en el mundo . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.7. Áreas de la metrología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.7.1. Metrología en la industria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.8. Metrología y normalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2. Guía para la expresión de la incertidumbre de medida (GUM) 23

2.1. De�nición de términos especí�cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.1. Incertidumbre de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.2. Mensurando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.3. Identi�cación de las fuentes de incertidumbre . . . . . . . . . . . 25

2.1.4. Modelo de medición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

I

2.1.5. Ley de propagación de incertidumbres . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.1.6. Evaluación tipo A de la incertidumbre típica . . . . . . . . . . . . 26

2.1.7. Evaluación tipo B de la incertidumbre típica . . . . . . . . . . . . 27

2.1.8. Incertidumbre expandida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1.9. Factor de cobertura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.1.10. Nivel de con�anza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.1.11. Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.1.12. Variable Aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.1.13. Función de Distribución de Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1.14. Esperanza matemática o media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1.15. Varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1.16. Distribución normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1.17. Distribución rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.1.18. Coe�ciente de sensibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.1.19. Grados de Libertad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2. Procedimiento general para la evaluación de la incertidumbre . . . . . . . 33

3. Descripción y fuentes de incertidumbre de un calibrador tipo Vernier 35

3.1. ¿Qué es un Vernier? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2. Principales alcances en calibradores Vernier . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3. Partes de un Vernier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3.1. Modo de empleo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3.2. Lectura en un Vernier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3.3. Veri�cación física de un Vernier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.4. Incertidumbres en un Vernier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.4.1. Incertidumbre del bloque patrón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.4.2. Incertidumbre de la longitud del Vernier u(l0v) . . . . . . . . . . . 40

3.4.3. El error de Abbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.4.4. El efecto de paralaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.4.5. Falta de paralelismo entre mordazas . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.4.6. Resolución del Vernier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.4.7. Repetibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.4.8. Incertidumbre de coe�ciente de expansión térmica u(�bp) . . . . . 45

II

3.4.9. Incertidumbre de las diferencias de temperatura entre los bloques

patrón y el calibrador u(�t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.4.10. Incertidumbre de las diferencias de temperatura ambiente y el cal-

ibrador u( �tv) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.4.11. Incertidumbre de las diferencias de los coe�cientes de expansión

térmica del Vernier y del bloque patrón u(��) . . . . . . . . . . . 45

3.4.12. Diagrama de árbol de las incertidumbres en un Vernier . . . . . . 45

4. Cálculos de la incertidumbre en la calibración de un Vernier 47

4.1. De�nición del mensurando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.2. Coe�cientes de sensibilidad de cada variable de entrada . . . . . . . . . . 49

4.2.1. Coe�ciente de sensibilidad del bloque patrón . . . . . . . . . . . . 49

4.2.2. Coe�ciente de sensibilidad en la longitud del Vernier . . . . . . . 50

4.2.3. Coe�ciente de sensibilidad en la expansión térmica del bloque patrón 50

4.2.4. Coe�ciente de sensibilidad de la diferencia de temperatura entre el

bloque patrón y el Vernier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.2.5. Coe�ciente de sensibilidad de la diferencia de temperatura del

Vernier a 20�C y durante la calibración . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.2.6. Coe�ciente de sensibilidad de la diferencia en los coe�cientes de

expansión térmica del bloque patrón y el Vernier �� . . . . . . . . 52

4.3. Incertidumbres de cada variable de entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.3.1. Incertidumbre de la longitud del bloque patrón u(l0bp) . . . . . . . 52

4.3.2. Incertidumbre de la longitud del Vernier u(l0v) . . . . . . . . . . . 53

4.3.3. El error de Abbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.3.4. El efecto de paralaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.3.5. Falta de paralelismo entre mordazas . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.3.6. Resolución del Vernier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.3.7. Repetibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.3.8. Combinación de las contribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.3.9. Incertidumbre del coe�ciente de expansión térmica u(�bp) . . . . 57

4.3.10. Incertidumbre de las diferencias de temperatura entre el bloque

patrón y el Vernier u( �t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

III

4.3.11. Incertidumbre de las diferencias de temperatura ambiente y el

Vernier u(�tv) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.3.12. Incertidumbre de las diferencias de los coe�cientes de expansión

térmica del Vernier y del bloque patrón u( ��): . . . . . . . . . . . 58

4.4. Combinación de Incertidumbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.4.1. Grados de Libertad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.4.2. Incertidumbre expandida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.5. Análisis de la tabla de resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Conclusiones 65

Referencias 65

Anexos 67

Anexo A. Demostración de la media y varianza en una distribución normal 68

Anexo B. Demostración de la media y la varianza en una distribución

uniforme 71

Anexo C. Distribución t de Student 75

IV

Índice de �guras

2-1. Representación de una función de distribución Gaussiana . . . . . . . . . 31

2-2. Representación de una función de distribución rectangular . . . . . . . . 32

2-3. Diagrama de �ujo del procedimiento general para la estimación de incer-

tidumbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3-1. Componentes de un calibrador Vernier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3-2. Error de Abbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3-3. Sistema de Lectura analógica con escala Vernier, con división mínima de

0.05 mm dividiendo 39 mm en 20 intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3-4. Error de paralaje en calibrador Vernier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3-5. Diagrama de árbol de las incertidumbres en un Vernier . . . . . . . . . . 46

4-1. Tabla de resultados obtenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4-2. Representación de una distribución t de student . . . . . . . . . . . . . . 76

V

Índice de cuadros

1.1. Lecturas en el Sistema Inglés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.1. Tolerancias para lecturas en el Sistema Inglés . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.2. Tolerancias para lecturas en el sistema métrico . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.1. Resultado �nal de la calibración de un Vernier . . . . . . . . . . . . . . 63

VI

A mi madre María Nina:

Por darme la vida y cada día educarme con el mejor ejemplo de esfuerzo,

bondad, paciencia, valor y amor.

A mi hija Paulina:

Por ser mi motor de día a día, el pilar que me mantiene �rme y sin

perder el rumbo para alcanzar mis ideales.

VII

Agradecimientos

Agradezco a la vida, por proporcionarme las lecciones que me han brindado el coraje

y la fuerza necesaria para sobreponerme ante mis fracasos.

A mi hermanos Laura y Felipe por ser desde la adolescencia mi ejemplo y con el

mismo demostrarme que la vida jamás será difícil si día con día recordamos de dónde

venimos, nuestros errores y metas a cumplir, motivarme y apoyarme a llegar más lejos,

dar lo mejor de mí, aferrarme a lo que más quiera y alcanzarlo sin miedo y con coraje.

A mis hermanos Paulina, Giovanni y Víctor, porque siempre me demuestran su amor

y con el mismo amor me han apoyado en todo momento para alcanzar mis objetivos,

además de ser parte de mi pilar emocional.

A mis padres José Luis y Lourdes quienes me acogieron en una de las épocas más

difíciles y jamás permitieron que perdiera el camino, al que hoy es mi mayor orgullo, mi

carrera profesional.

A mis amigas Jael, Katy y Ayde, porque llegaron a revolucionar mi vida y me en-

señaron a darle ritmo igual que a mi carrera, animarme en los momentos más difíciles

de la misma; jamás me alcanzarán los buenos deseos o las palabras para agradecerles y

decirles lo que son para mí, gracias por las noches de desvelo por exámenes, trabajos

y emociones, gracias por brindarme su amistad sincera siempre que lo he necesitado y

por seguir en mi vida; tal vez tomamos caminos diferentes, pero en mi corazón siempre

estaremos juntas, las adoro.

A la familia Ortega Arandia por apoyarme siempre que lo necesité en este camino que

concluyo con tanta alegría, en especial a Tere por motivarme a regresar a mi preparación

académica y recordarme durante toda carrera lo aferrada que soy a mis metas, mis ca-

pacidades, actitudes y aptitudes.

VIII

A Carlos, porque desde el inicio de este camino tan largo jamás permitió que me

desprendiera de mi sueño, porque con su esfuerzo y acciones me hizo aferrarme más y

más, a lo que hoy se convierte en mi mayor orgullo, porque fue parte de mi alegría, de

mi estrés, de mis desvelos, de mis errores y de mis festejos en cada día de mi formación

profesional y que a la fecha, a pesar de tomar diferentes direcciones, sigue junto a mi e

intenta apoyarme en la medida que puede, porque todos los días me recuerda el amor

que siempre me ha tenido y porque siempre me motiva diciéndome que soy la mejor, que

soy la más inteligente y que yo lo puedo todo, que soy muy aferrada y por eso siempre

consigo lo que me propongo.

No importaba cuántas veces me equivocaba en puntos o en signos, siempre me hizo

sentir que yo era la mejor y me motivaba a esforzarme y concentrarme más para no fallar

y demostrar que yo era capaz de hacer todo.

Gracias por admirarme y por creer en mi, gracias por demostrarme el verdadero

signi�cado del amor incondicional, siempre voy a estar agradecida por haber recorrido

este camino conmigo, por haber tenido tanta paciencia y soportar conmigo tantos retos.

Este logro nos pertenece a ambos gushito, tú mejor que nadie sabe el esfuerzo que

hice y todo lo que pasé para lograrlo, esto es parte de nuestro�on top of the world�, ésta

parte de mi vida se llama felicidad, te prometo que vamos a volvernos eternos en Saturno

porque a pesar de todo, lo que se hace en vida resuena en la eternidad y siempre estaré

agradecida por apoyarme desde que entraste a mi vida, por darme lo más bonito de ella,

nuestra hija, por amarme, por ser mi compañero de vida y por seguir a mi lado.

El resultado de nuestro esfuerzo, hoy comienza a dar frutos gushito y voy a seguir

enfrentando lo que sea necesario para vernos triunfar, porque jamás dejaremos de ser un

equipo.

Te amo y sé que siempre estaremos el uno para el otro, porque nos amamos y porque

la fuerza más poderosa del mundo nos une, el amor a nuestra hija Paulina. Cada logro

y cada paso que avance de hoy en adelante va a tener una pizca de ti, porque sin ti no

hubiera podido terminar esto de lo que eres parte y que juntos comenzamos hace muchos

años.

IX

A Daniel y Abraham por su amistad y apoyo incondicional al resolver mis dudas,

animarme cada vez que tropezaba y hacerme reír cada vez que podían, no tienen com-

paración.

A mis maestros, por formarme día a día, compartiéndome sus conocimientos y es-

forzarse para que mi desarrollo escolar fuera el máximo.

A mi asesor Jesús que admiro muchísimo por su inteligencia y amplio conocimiento

matemático y cultural, por brindarme parte de ese conocimiento y enseñarme con bondad

lo necesario para hoy cumplir esta meta, pero sobre todo por la paciencia que tuvo para

llevarme paso a paso y recorrer conmigo este camino que sin él no lo hubiera logrado.

X

Resumen

En esta Tesis se desarrolló el análisis estadístico y los cálculos de la calibración de un

Vernier utilizando los conceptos estadísticos y los pasos a seguir que establece la GUM

para la calibración de cualquier instrumento de medición y posteriormente el uso de una

hoja de cálculo en Excel para la realización de los cálculos.

Este análisis y cálculo es necesario para encontrar la propagación de incertidumbre

de cualquier instrumento de medición y es un requisito indispensable para todos aquellos

laboratorios que desean acreditarse y brindar servicios de calibración. El procedimiento

que se sigue es un requisito internacional, de ahi la necesidad de aprender esta técnica.

1

Introducción

Al realizar cualquier tipo de medición siempre existirá una incertidumbre, la cuál será

la �duda� sobre la validez de un resultado de medición, de modo que basándonos en

las reglas generales que establece la GUM para evaluar y expresar la incertidumbre de

medida se buscará:

� Mantener el control y el aseguramiento de la calidad en la medición

� Cumplir con las leyes y reglamentos

� Desarrollar, mantener y comparar patrones de referencias físicas nacionales

� Calibrar patrones e instrumentos y hacer ensayos dentro de un sistema nacional

de medidas

El estudio de calibración de un Vernier es importante para tener un control de calidad

respecto a las mediciones que se lleven a cabo con el mismo, asegurando una medida

exacta y con�able.

Mediante esta tesis llevaremos a cabo la calibración de un Vernier utilizando todas los

conceptos estadísticos y pasos a seguir que establece la GUM y utilizando el documento:

"Incertidumbre en la calibración de calibradores tipo Vernier" escrito por Héctor González

y publicado en mayo de 2001 por el CENAM, cabe mencionar que no se llevó a cabo

ninguna medición sino que se utilizan los datos del documento mencionado para el análisis

estadístico y se presentan los resultados después del análisis en una hoja de trabajo de

Excel.

2

Organización del documento

La siguiente tesis se encuentra organizada en cuatro capítulos, los cuales están estruc-

turados de la siguiente manera:

� El capítulo 1 desarrolla muy brevemente la historia de la metrología, desde susépocas prehispánicas a la actualidad

� El capítulo 2 presenta un marco estadístico con los conceptos necesarios para com-prender el tratamiento de la propagación de incertidumbre y los cálculos que se presen-

tarán en el capítulo 4

� El capítulo 3 tiene como objetivo describir el instrumento llamado calibrador Verniery sus fuentes de incertidumbre

� El capítulo 4 desarrolla paso a paso los cálculos de cada una de las fuentes deincertidumbre utilizando el marco estadístico presentado en el capítulo 2. Los cálculos se

realizaron en una hoja de trabajo de excel y serán presentados al �nal de este capítulo

� Se presenta un análisis de cada una de las fuentes que in�uyen en la propagaciónde incertidumbre en la calibración de un Vernier

3

Objetivos

Objetivo general

� Comprender el vocabulario técnico y la metodología estadística que usa la Guía

para la Expresión de la Incertidumbre en la Medición, de aquí en adelante citada úni-

camente por sus siglas "GUM", y que sirve como norma internacional para evaluar y

cuanti�car la dispersión de los valores que se obtienen en una medición, además de su

aplicación concreta en la calibración que se puede aplicar a cualquier instrumento de

medición.

Objetivos especí�cos

� En contrar el valor de la incertidumbre expandida de un Vernier a 95.45% de

probabilidad mendiante el método que establece la GUM.

� Usar el manejo de la media y distribución estándar de las funciones de distribu-

ción: normal, rectangular y t de student.

� En un calibrador tipo Vernier se identi�can y evalúan los diferentes tipos de

incertidumbre de acuerdo a la GUM.

� Utilizar los datos de un documento del CENAM y llevar a cabo los cálculos en

una hoja de trabajo de Excel.

4

Capítulo 1

Breve historia de la metrología

Las mediciones son una parte fundamental en nuestra vida diaria. Con ayuda de

diferentes aparatos e instrumentos de medición realizamos pruebas que nos permiten

determinar, veri�car y asegurar la calidad de los productos y servicios que se nos ofrece

como consumidores. Es por medio de la metrología que todas estas mediciones pueden

llevarse a cabo. A continuación se explicará brevemente el signi�cado e historia de la

metrología.

1.1. De�nición

La metrología es la ciencia que estudia las mediciones de las magnitudes, abarca de-

terminaciones teóricas y experimentales a cualquier nivel de incertidumbre y en cualquier

campo de ciencia y tecnología, además de encargarse de las unidades de medida y de los

equipos utilizados para efectuar las mediciones, así como de su veri�cación y calibración

periódica [1,2].

1.2. La metrología

La historia de la metrología se remonta desde el siglo XVIII cuando se desarrolló

un sistema uni�cado de mediciones. Los primeros sistemas de pesas y medidas estaban

basados en la morfología humana. Era común que los nombres de las unidades se referían

a las partes del cuerpo: la pulgada, la mano, el pie y la yarda, correspondiendo a las

dimensiones del cuerpo humano.

6

Por esa razón las unidades de medición no eran �jas, variaban de una ciudad a otra, de

una ocupación a otra y respecto al tipo de objeto a ser medido. Con la falta de un sistema

de mediciones estandarizado se crearon una fuente de errores y fraudes en comercios que

ya no se podían controlar [3].

El proceso de diferenciación, que había comenzado durante el imperio carolingio, se

aceleró con la dispersión del poder en manos de los señores feudales. La diversidad alcanzó

incluso al mundo del intercambio y de los comerciantes, que podrían haberse considerado

al margen de la parcelación porque su actividad económica e intelectual se fundaba en

el cálculo y el intercambio. Cada mercancía poseía su propio envase: tonel, tinaja, caja,

saco o fardo, además de que cada uno solía tener su propia libra para la pesa. Así, el

intercambio mercantil introdujo diferencias técnicas entre las pesas. La libra era la unidad

ponderal (de peso) más utilizada.

Los metales preciosos se pesaban con unidades más �nas como el quilate y la onza.

Cuanto menos costaba un producto, más rápida y toscamente se pesaba, por lo que

resultaba más conveniente una libra grande [4].

Con el crecimiento y expansión de la industria y el comercio, se desarrolló una necesi-

dad entre los países de estandarizar una medida (distancia o peso). Una de estas medidas

fué el metro, la cual se de�nió en un decreto de la Asamblea Nacional Francesa el 7 de

abril de 1795 como:

�la diezmillonésima parte de un cuarto del meridiano terrestre�.

Así se creó el primer sistema métrico decimal, que se denominó genéricamente Sistema

Métrico; basado en dos unidades fundamentales: el metro y el kilogramo. En el año 1799

se depositó en los archivos de Francia el primer prototipo del metro, formado por una

regla de platino sin inscripciones ni marcas.

En 1875 se creó la O�cina Internacional de Pesas y Medidas (BIPM), cuya misión era

la de conservar los patrones primarios de las unidades y después de 169 años (en 1960)

en la conferencia de pesas y medidas, se adoptó la primera de�nición del metro en la que

lo establece como:

�un determinado número de longitudes de onda en el vacío de la radiación

correspondiente a la transición entre los niveles 2p10 y 5d5 del átomo de Criptón 86�.

7

Fue hasta el año de 1983 que se dio la de�nición actual del metro:

�la longitud de la trayectoria recorrida por la luz en el vacío durante un intervalo de

tiempo de 1/299 792 458 de segundo�[3].

En la metrología se entrelazan la tradición y el cambio; los sistemas de medición

re�ejan las tradiciones de los pueblos pero al mismo tiempo buscamos nuevos patrones y

formas de medir como parte de nuestro progreso y evolución [3].

Es por medio de diferentes aparatos e instrumentos de medición que se realizan prue-

bas y ensayos que permiten determinar la conformidad con las normas existentes de un

producto o servicio; en cierta medida, esto permite asegurar la calidad de los productos

y servicios que se ofrecen a los consumidores [4].

1.2.1. La metrología en México

Sabemos poco sobre las medidas que se usaban en las sociedades indígenas cuando

llegaron los europeos a Mesoamérica en el siglo XVI. Los registros y objetos que han

quedado son escasos y las investigaciones al respecto también. Sin embargo, sabemos

que el cuerpo era la base de sus patrones de medida, es decir, que usaban medidas

antropométricas, y que las pesas e instrumentos para pesar eran escasamente utilizados.

Aunque no se ha precisado qué tan sistemáticas y exactas eran las medidas prehis-

pánicas en el siglo XVI, la complejidad de muchas de las actividades de la sociedad nahua

como el pago de tributos, la construcción de grandes templos, los sistemas calendáricos,

la planeación urbana y la medicina hacen razonable la suposición de que sus conocimien-

tos metrológicos eran avanzados [5]. En cada país la metrología ha estado presente y ha

tenido un amplio crecimiento con el paso de los años.

En el pasado quien realizaba en México la acreditación de los Organismos de Eval-

uación de la Conformidad era el gobierno federal a través de la Dirección General de

Normas de la Secretaría de Comercio y Fomento Industrial lo que hoy es la Secretaría de

Economía [6].

8

De cara a los cambios en el mercado exterior, a la competencia que implicaba abrir

las fronteras en el comercio globalizado, y apoyar a la planta productiva nacional se

reformó la Ley Federal sobre Metrología y Normalización, estos cambios ocurrieron en

1992 y 1997. Las transformaciones en el orden legal abrieron la posibilidad de que una

entidad de gestión privada, de tercera parte, imparcial, incluyente y profesional realice

esta importante labor para el sector productivo mexicano. Y a partir de la publicación,

el 15 de enero de 1999, en el Diario O�cial de la Federación de la autorización de la

Secretaría de Comercio y Fomento Industrial, la EMA comienza a operar como el primer

órgano acreditador en México [7].

En México, la metrología tuvo su mayor auge en el año de 1994 cuando se fundó el

Centro Nacional de Metrología (CENAM) el cuál es el laboratorio nacional de referencia

en materia de mediciones en México, es el encargado de desarrollar y resguardar todos

los patrones nacionales de medición y este representa al país a nivel mundial en la toma

de decisiones para trabajar y aportar avances con las respectivas instituciones en el

mundo. Además del CENAM, México cuenta con la Entidad Mexicana de Acreditación

(EMA) siendo la primera entidad de gestión privada en nuestro país, estas instituciones

involucran directamente a la metrología en México [5,8].

1.2.2. El tratado del metro y el sistema métrico decimal en México

El 30 de diciembre de 1890, una comunicación salía del Ministerio de Negocios Ex-

tranjeros, de Francia hacia el presidente del Comité Internacional de Pesas y Medidas

dándole a conocer la adhesión de México al Tratado del Metro de 1875. A su vez, el

Presidente del Comité Internacional de Pesas y Medidas lo daba a conocer a las Altas

Partes Contratantes el 22 de enero de 1891. Habiéndose adherido México al tratado del

Metro, solicitó que se asignaran los prototipos del metro y el kilogramo. Esta asignación

se realizó por sorteo, aunque pasaron varios años para que llegaran los prototipos en

el año de 1895. Ambos prototipos se encuentran actualmente en el Centro Nacional de

Metrología.

El del kilogramo sigue representando su papel de patrón nacional de masa; el del

metro ha sido sustituido a partir de 1960, como patrón nacional de longitud [9].

9

1.3. Medición de longitudes

1.3.1. Breve introducción

En algún momento todos han medido cosas: un pedazo de tela, la distancia entre dos

ciudades, el perímetro de un terreno, hasta la estatura de un niño. Para hacerlo se utiliza

el metro, el kilómetro, el centímetro, etc.

Aunque se han utilizado medidas no convencionales, pero usuales, por ejemplo:

� Una cuarta (distancia de la punta del pulgar a la punta del meñique, con la

mano extendida)

� Un jeme (distancia de la punta del pulgar a la punta del dedo índice, con la

mano extendida)

� Una vara (distancia del hombro a la punta de la otra mano, con el brazo

extendido)

� Una brazada (distancia entre las dos puntas de las manos, con ambos brazos

extendidos)

� Una pulgada (largo de la última falange del pulgar)

En cuestión de conceptos medir no es solo tomar referencias, medir una longitud

signi�ca ver cuántas veces y fracciones de veces cabe en ella una unidad determinada.

En 1583, cuando Galileo Galilei (1564-1642) tenía 19 años asistía a los o�cios religiosos

que se celebraban en el baptisterio de la catedral de Pisa, se distrajo mirando el balanceo

de la lámpara. Cual fuese la amplitud de la oscilación de la lámpara, Galileo se dio

cuenta de que parecía que el periodo que tardaba en ir de un extremo del arco al otro

era siempre el mismo. Galileo no contaba obviamente con un reloj, pero comprobaba los

intervalos de las oscilaciones mediante su propio pulso.

Debido a esta duda, Galileo decidió abandonar sus estudios de medicina para estudiar

matemáticas y física, había descubierto en el baptisterio lo que los físicos llamarían luego

isocronismo, o igualdad de la oscilación del péndulo, es decir, que el periodo de oscilación

de un péndulo no varía según la amplitud de la oscilación, sino en razón de la longitud

del péndulo [3].

10

Así fue como el descubrimiento de Galileo dio pauta a que otros físicos se interesaran

en el estudio de la unidad de tiempo para irla desarrollando, de esta manera, tres décadas

después de la muerte de Galileo el margen de error de los mejores aparatos para medir

el tiempo se redujo de 15 minutos a 10 segundos por día.

Los ciudadanos empezaron a ocupar el margen del tiempo y el reloj para sincronizarse,

�jaban el horario de las plegarias o de las reuniones en el ayuntamiento, median las horas

de trabajo de los artesanos además de medir la hora local.

De la misma manera que la hora única había uniformado las unidades del día y la

noche, invierno y verano, ahora el reloj de posición uniformaba las unidades de tiempo

de todo el planeta. Esta breve historia de como se desarrollaron los instrumentos para

medir el tiempo, nos da una idea de las di�cultades con las que nos podemos enfrentar

si deseamos medir otras magnitudes, sobre todo si se necesitan realizar mediciones más

exactas.

Aún cuando la estandarización de pesas y medidas ha sido una meta del avance social

y económico la falta de un sistema de mediciones originó problemas de transaccion social

y comercios, surgiendo así la necesidad de estandarizar una medida. Como se menciona

en el apartado 1.2, una de tales medidas fué el metro.

Una vez que se de�nió la unidad de longitud, fue posible establecer las unidades

resultantes de medición: el metro cuadrado para área y el metro cúbico para volumen.

El kilogramo se de�nió originalmente como el peso de un cierto volumen de agua, un

líquido fácil de obtener y de puri�car. Así se creó el primer sistema métrico decimal, que

se denominó genéricamente Sistema Métrico; basado en dos unidades fundamentales: el

metro y el kilogramo [3].

1.3.2. El sistema métrico decimal

El sistema métrico decimal se introdujo en Francia el 7 de abril de 1795 por "La ley

sobre pesas y medidas", esta ley produjo tal cambio que facilitó los cálculos de áreas y

volúmenes, con la �nalidad de uniformar y estandarizar el uso de diferentes medidas. Con

el tiempo, fue adoptado por la gran mayoría de los países del mundo occidental, por su

gran conveniencia.

11

El sistema métrico decimal es un sistema de unidades de medida que se usa actualmen-

te en la mayor parte del mundo. �Métrico�signi�ca � de medidas�y �decimal�porque

las relaciones se basan en factores de 10. La conversión de un submúltiplo a un múltiplo

de la unidad de longitud consiste en mover la coma decimal dos o tres lugares para área

o volúmen dependiendo el caso. En Francia, el sistema métrico decimal se adoptó como

exclusivo con la ley del 4 de julio de 1837 y en los países de latinoamérica adoptaron el

metro hasta el año de 1860 y a partir de entonces se incrementó la adopción del sistema

métrico por otras naciones durante la segunda mitad del siglo XIX , por ejemplo en

Estados Unidos de América en 1866, en Canadá y Alemania en 1871 [3].

México se adhirió al tratado del metro el 30 de diciembre de 1890. Aunque esos países

dependían de sus propios estándares nacionales que eran copias del prototipo interna-

cional original. Debido a la di�cultad de uniformidad para hacer copias se fundó el Bureau

International des poids et mesures (BIPM) con los términos del tratado diplomático cono-

cido como la convención del metro el 20 de mayo de 1875 y por celebrar la �rma de la

convención del metro, se estipuló la fecha del 20 de mayo como el Día Mundial de la

Metrología.

Las unidades de medida están basadas en el metro, que es la unidad básica. En el

sistema métrico decimal, �mili�(m) se re�ere a la milésima parte, �centi�a la centésima

parte y �deci�(d) a la décima parte. Además, �deca�(Da) se re�ere a diez veces, �hecto�

(H) a cien veces y �kilo�(K) a mil veces [3,9].

1.3.3. El sistema inglés

Este sistema se deriva de la evolución de las unidades locales a través de los siglos y

de los intentos de estandarización en Inglaterra.

Las unidades mismas tienen sus orígenes en la antigua Roma. Hoy en día, estas

unidades van siendo lentamente reemplazadas por el Sistema Internacional de Unidades,

aunque en Estados Unidos la inercia del antiguo sistema y el alto costo de migración ha

impedido en gran medida el cambio.

12

Cuadro 1.1: Lecturas en el Sistema InglésNombre Nombre en inglés Abreviatura Equivalencias internas Equivalencias con el SMDPulgada Inch in, o " 1 in = 2.54 cmPie Foot ft, o � 1 ft = 12 in 1 ft = 30.48 cmYarda Yard yd 1 yd = 3 ft 1 yd = 0.9144 mMilla Mile mi 1 mi = 1760 yd 1 mi = 1.609 km

En el Reino Unido, a la vez que las naciones continentales adoptaban el sistema

métrico, se hizo un esfuerzo de uni�cación de las unidades de medida hasta entonces,

como en el resto del mundo, distintas de región a región, para imponer el llamado sistema

Imperial. El sistema para medir longitudes en los Estados Unidos se basa en la pulgada,

el pie, la yarda y la milla, como lo muestra el Cuadro 1.1.

Los Estados Unidos de América no se han sumado a la corriente de uso del Sistema

Métrico Decimal y utilizan todavía el tradicional sistema inglés (en Inglaterra y otros

países del Reino Unido esto está cambiando ya) [3].

1.4. Tipos de metrología

Las actividades relacionadas con la Metrología dentro de un país son responsabilidad

de una o varias instituciones autónomas o gubernamentales y según sus funciones se

puede decir que se hace a menudo una distinción entre los diversos campos de aplicación

de la metrología:

� Metrología Cientí�ca: Está encargada de la investigación que conduce a la elabo-

ración de patrones sobre bases cientí�cas y promueve su reconocimiento y la equivalencia

de éstos a nivel internacional, es decir, se ocupa de la organización y el desarrollo de los

patrones de medición para las unidades de base y derivadas del Sistema Internacional de

Unidades, SI [10].

� Metrología Industrial (técnica): Aplicación en producción y control de procesos,

desarrollo de métodos y soluciones, es decir, asegura el adecuado funcionamiento de

los instrumentos de medida empleados en la industria, en los procesos de producción y

veri�cación para asegurar la calidad [9]. La función de la metrología industrial reside

en la calibración, control y mantenimiento adecuados de todos los equipos de medición

empleados en producción, inspección y pruebas.

13

Esto con la �nalidad de que pueda garantizarse que los productos están de conformi-

dad con normas. El equipo se controla con frecuencias establecidas y de forma que se

conozca la incertidumbre de las mediciones. La calibración debe hacerse contra equipos

certi�cados, con relación válida conocida a patrones, por ejemplo los patrones nacionales

de referencia [10].

� Metrología Legal: Normalización, cumplimento de leyes y regulaciones, es decir,

contempla las actividades por las que se establecen las exigencias legales sobre las medi-

das, unidades de medida, instrumentos de medida y métodos de medida, cuyos resultados

puedan tener in�uencia sobre la transparencia de transacciones comerciales, la salud o la

seguridad de consumidores y usuarios, así como sobre el medio ambiente.

Según la Organización Internacional de Metrología Legal (OIML) es la totalidad de los

procedimientos legislativos, administrativos y técnicos establecidos por, o por referencia

a, autoridades públicas y puestas en vigor por su cuenta con la �nalidad de especi�car y

asegurar, de forma regulatoria o contractual, la calidad y credibilidad apropiadas de las

mediciones relacionadas con los controles o�ciales, el comercio, la salud, la seguridad y

el ambiente. La metrología legal, cientí�ca o industrial es una herramienta básica de la

calidad, en tanto que asegura la exactitud de las mediciones y así, es una de las bases

sobre las que reposa el desarrollo industrial y la certeza de las transacciones comerciales.

La importancia de la Metrología radica en que sin el marco de referencia que este

campo de conocimiento proporciona, ninguna iniciativa en materia de normalización sería

factible. La metrología tiene dos características muy importantes:

� El resultado de la medición siempre debe de estar acompañado de alguna in-

dicación cuantitativa de la calidad del resultado, de tal manera que quienes utilizan el

resultado para que se pueda avaluar su idoneidad, al carecer de dicha indicación, las

mediciones no pueden compararse entre sí, ni con otros valores dados en especi�caciones

o normas [10].

� La �Incertidumbre de Medida� es el parámetro asociado al resultado de una

medición, que caracteriza la dispersión de los valores que podrían ser razonablemente

atribuidos al mensurando, es decir, es la duda sobre la validez del resultado de una

medición [2].

14

Todo equipo usado para ensayos y/o calibraciones, incluyendo equipo para mediciones

auxiliares (ejemplo condiciones ambientales), que tenga un efecto signi�cativo sobre la

exactitud o validez del resultado del ensayo, calibración o muestreo, deben ser calibrados

antes de ser puestos en servicio.

El laboratorio en donde se realicen dichas calibraciones, debe tener establecido un

procedimiento y un programa de calibración de su equipo; tal programa debe incluir

un sistema para selección, uso, calibración, veri�cación, control y mantenimiento de los

patrones de medición, materiales de referencia usados como patrones de medición, así

como equipo de medición usado para efectuar los ensayos y calibraciones [9].

No siempre se tiene un panorama claro o amplio de que magnitudes se requieren

para el desarrollo de nuestra aplicación como metrólogos en los diferentes sectores de la

industria y la tecnología.

Así como alrededor del mundo se tuvo siempre presente la metrología, también se

encuentra en la actualidad y cada vez con mayor fuerza ya que se presenta en todo tipo

de campos y la vida cotidiana; por ejemplo:

La Metrología dimensional que incluye la medición de todas aquellas propiedades que

se determinen mediante la unidad de longitud, como por ejemplo distancia, posición,

diámetro, redondez, planitud, rugosidad, etc. La longitud es una de las siete magnitudes

base del Sistema Internacional de Unidades (SI) [5].

Entre los elementos principales que intervienen en la medición de cualquier magnitud

física se pueden encontrar los siguientes:

1. Magnitud a medir o �mensurando�

2. Instrumento de medida

3. Proceso de medición

La calidad de una medida está relacionada con el concepto de �Incertidumbre�y de

las magnitudes signi�cativas de los productos con las �tolerancias de fabricación�[3].

15

1.5. Importancia de la metrología en el aseguramiento de la

calidad

Las mediciones correctas tienen una importancia fundamental para los gobiernos,

para las empresas y para la población en general, ayudando a ordenar y facilitar las

transacciones comerciales. A menudo las cantidades y las características de un producto

son resultado de un contrato entre el cliente (consumidor) y el proveedor (fabricante); las

mediciones facilitan este proceso y por ende inciden en la calidad de vida de la población,

protegiendo al consumidor, ayudando a preservar el medio ambiente y contribuyendo a

usar racionalmente los recursos naturales [10].

En nuestro país, de acuerdo con el desarrollo histórico que ha tenido la normalización

las únicas normas a nivel nacional que existen, son las Normas O�ciales Mexicanas (NOM)

y Normas Mexicanas (NMX), cuya coordinación ha estado encomendada y lo esta ac-

tualmente a la Dirección General de Normas. Primero dependiente de la Secretaria de

Economía, después de la Industria y el Comercio, luego de la del Patrimonio y Fomento

Industrial, y actualmente de la Secretaria de Economía [6].

Las normas en el ámbito Nacional (NOM y NMX) dentro del concepto técnico de la

normalización integral, son básicamente normas de recepción de productos terminados y

sus complementarias por lo tanto, son normas conciliatorias entre los sectores interesados

y no normas de un solo sector, o para un solo sector, ya sea productor o consumidor,

público o privado.

La NOM y las NMX se encuentran en el centro de percusión de la normalización

en nuestro país, debido a que en sus conceptos y valores se basan la opinión del país

para fomentar sus puntos de vista y propuestas en el ámbito internacional, por ser las

que miden la realidad Mexicana actual. Por otro lado, son las normas de producto en el

ámbito nacional las que señalan las metas a los productores y sirven de marco para que

a su vez se establezcan las normas a nivel de empresa, elijan la adecuada materia prima,

seleccionen el mejor procedimiento de fabricación y diseñen el apropiado sistema control

de calidad, tanto en el proceso como en la recepción de producto terminado.

Por otra parte, la NOM y las NMX son invariablemente un instrumento de progreso

ya que surgen y después se introducen a la dinámica del desarrollo industrial.

16

La Dirección General de Normas esta dedicada a realizar y coordinar las actividades

relacionadas con normalización, certi�cación, metrología y acreditamiento; coordina el

procedimiento de elaboración de NOM y NMX emitidas por la desaparecida SECOFI,

hoy (SE) Secretaria de Economía así como las actividades de la Comisión Nacional de

Normalización.

La Ley Federal sobre Metrología y Normalización y su reglamento establecen la re-

sponsabilidad de la Secretaría de Economía y otros organismos, como la Comisión Na-

cional de Normalización y la Procuraduría Federal del Consumidor, para aplicar las

disposiciones establecidas por la ley [6].

La Metrología ha adquirido mayor importancia y se hace más énfasis en la relación que

existe entre ella y la calidad, entre las mediciones y el control de calidad, la calibración,

la acreditación de laboratorios, la trazabilidad y la certi�cación. El aseguramiento de la

calidad implica la plani�cación y la vigilancia de la calidad en una empresa u organización

y el objetivo principal es generar con�anza dentro y fuera de la empresa, así como con

los clientes de la misma.

Para asegurar la calidad, los instrumentos de medición deben ser calibrados y contro-

lados. Un instrumento calibrado es aquel que nos asegura que lo que estamos midiendo

es lo más aproximado a la medida deseada, que tiene exactitud, precisión, con una in-

certidumbre controlada y además es trazable o comprobable al estándar nacional. Por lo

tanto:

� no hay calidad sin control y no hay control sin mediciones�

La exactitud de los resultados obtenidos en la medición, depende de la calidad de

las mediciones, es decir, de la exactitud de los instrumentos y de los procedimientos de

medición utilizados y el esmero con que se realicen las mediciones. En cualquier proceso

de medición intervienen una serie de elementos que determinan el resultado, como el

medio ambiente, la temperatura, las vibraciones, etc.

El proceso de medición es toda la información, equipamiento y operaciones pertinentes

a una medición dada y abarca todos los aspectos relacionados con la ejecución y la calidad

de la medición, incluyendo: los principios, métodos, procedimientos o los valores de las

magnitudes in�uyentes y los patrones de medición [11].

17

La exactitud, repetitividad y reproducibilidad de cualquier sistema de medición se

debe cuanti�car y evaluar mediante la comparación con normas de referencia o por medio

del análisis estadístico realizando un estudio de repetitividad y reproducibilidad (R&R).

Otro factor importante a considerar es la determinación acertada de los intervalos de

recalibración, existen un gran número de factores que in�uyen en la frecuencia de recali-

bración y que tienen que ser tomados en cuenta; algunos de ellos son el tipo de equipo,

las recomendaciones del fabricante, la tendencia de los datos obtenidos en calibraciones

anteriores, los registros históricos de mantenimientos y servicios, el alcance y la severidad

del uso, la tendencia al deterioro y a la deriva, la exactitud de la medición requerida, las

condiciones ambientales en que se usa el instrumento entre otros factores [12].

1.6. Distintos institutos de metrología en el mundo

Alrededor del mundo existen centros especializados encargados de desarrollar y aplicar

la metrología, entre los más importantes se encuentran:

� El National Physical Laboratory (NPL) (Laboratorio Nacional de Física) es el

instituto nacional de metrología del Reino Unido el cual se dedica a desarrollar y aplicar

estándares de la ciencia y de la tecnología.

� El CEM (Centro Español de Metrología)

� El CIM (Centro de Investigaciones de Metrología)

� El NIST (National Institute of Standards and Technology de los Estados Unidos

de América), describe las actuales necesidades de diferentes sectores industriales especí-

�cos y como se han desarrollado diferentes programas de investigación y desarrollo para

cubrir y solventar estas modernas y especí�cas necesidades.

� El CENAM (Centro Nacional de Metrología) es el laboratorio nacional de ref-

erencia en materia de mediciones y es responsable de establecer y mantener los patrones

nacionales, ofrecer servicios metrológicos como calibración de instrumentos y patrones,

certi�cación y desarrollo, siendo el laboratorio primario de México no lleva a cabo activi-

dades regulatorias [8].

18

1.7. Áreas de la metrología

Algunas de las diferentes áreas y magnitudes de la metrología se relacionan con dife-

rentes sectores industriales y tecnológicos, especí�cos, por ejemplo:

� Aeroespacial

�Magnitudes dimensionales (longitud, geometrías, grandes

dimensiones > 1 m)

�Magnitudes mecánicas (Masa, fuerza, presión acústica,

aceleración, impacto, potencia ultrasónica)

�Materiales de referencia (cerámicos, polímeros, metálicos)

�Frecuencia (GPS)

�Radiofrecuencia (antenas)

�Presión y vacío (altímetros)

�Fotometría (luces anticolisión)

� Automotriz

�Dureza

�Esfuerzos residuales

�Magnitudes dimensionales (longitud, geometrías, grandes

dimensiones > 1 m)

�Magnitudes mecánicas (Masa, fuerza, presión acústica,

aceleración, impacto, potencia ultrasónica)

�Electrónica (sensores y control automático)

�Mediciones ambientales (emisiones, MRC de gas)

� Procesamientos Químicos (química, petroquímica, farmacéutica, alimentos)

�Biotecnología (materiales de referencia)

�Mediciones clínicas (radiación, rayos X, materiales de referencia)

�Mediciones ambientales (materiales de referencia: orgánicos, radioactivos,

metales, gas)

�Alimentos (materiales de referencia: trazas, nutrientes)

�Propiedades físico-químicas (gases, líquidos y sólidos)

�Magnitudes termodinámicas: (temperatura de contacto, temperatura de

radiación, �ujo de �uidos, velocidad del aire, presión, vacío absoluto)

�Radioactividad

19

Por mencionar algunas, de acuerdo a las diferentes clasi�caciones y aplicaciones de

la metrología, los institutos nacionales de metrología y los laboratorios de referencia han

generado sus estrategias de desarrollo de acuerdo a los sectores industriales y tecnológicos

especí�cos requeridos para cubrir y apoyar el desarrollo de sus propios países [13].

1.7.1. Metrología en la industria

La Metrología es de gran importancia en la industria en general, sobre todo en la

manufactura pues las dimensiones y la geometría de los componentes de un producto

son características esenciales del mismo, ya que, entre otras razones, la producción de los

diversos componentes debe ser dimensionalmente homogénea.

La Metrología permite el ordenamiento de estas funciones y las ordena para mejorar

y garantizar la calidad de productos y servicios, además del bene�cio al mundo industrial

en diferentes aspectos, por ejemplo:

� Promueve el desarrollo de un sistema de medidas, análisis, ensayos exactos,

necesarios para que la industria sea competitiva.

� Facilita a la industria las herramientas de medida necesarias para la investigación

y desarrollo de determinados campos y para de�nir y controlar mejor la calidad de los

productos.

� Perfecciona los métodos y medios de medición.

� Facilita el intercambio de información cientí�ca y técnica.

La importancia de realizar buenas medidas es indispensable, ya que de esta forma

se minimizan los errores de procesamiento en producción y se minimizan los tiempos de

pérdida en el proceso, que se transforma en altos costos operativos y por ende productos

más costosos. Se puede decir que la Metrología está totalmente ligada con los costos,

inversiones y control de procesos a nivel de Ingeniería [13].

20

1.8. Metrología y normalización

La normalización es el proceso de la elaboración y aplicación de normas, las cuales,

son herramientas de organización y dirección [3].

Las Normas O�ciales Mexicanas (NOM), se encuentran en el centro de percusión de

la normalización en nuestro país, debido a que en sus conceptos y valores se basan en la

opinión del país para fomentar sus puntos de vista y propuesta en el ámbito internacional,

por ser las que miden la realidad actual mexicana .

Los organismos internacionales de normalización son:

Organización Internacional de Normalización (ISO).

Comisión Electrotécnica Internacional (IEC).

Comisión del Codex Alimentarius (CAC).

Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM).

Organización Internacional de Metrología Legal (OIML).

La ISO es un organismo que agrupa a la mayoría de los organismos nacionales de

normalización y es considerada actualmente como la máxima autoridad en materia de

normalización.

El objetivo de la ISO es fomentar la elaboración de normas en todo el mundo, con el

propósito de facilitar el intercambio internacional de bienes y servicios, y para desarrollar

un entendimiento mutuo en las esferas intelectual, cientí�ca, técnica y económica.

La organización nacional de normalización en México, que pertenece a la ISO, es

la Dirección General de Normas (DGN), dependencia de la Secretaria de Comercio y

Fomento Industrial (SECOFI) hoy Secretaria de Economía [6].

La normalización integral que comprende la metrología, la formulación de normas,

el control de calidad y la certi�cación de la calidad, tienen como objeto la de obtener

resultados óptimos de las materias primas, recursos humanos y materiales, tendiente

a proteger a los consumidores que adquieren productos para su uso, re�ejándose esta

actividad en la economía del país.

21

La calidad juega un papel determinante dentro de los objetivos del desarrollo indus-

trial. A partir de su concepto moderno, se considera la Normalización Integral como el

conjunto de los cuatro siguientes elementos [12]:

a) La elaboración de normas

b) El control de calidad dentro de la producción

c) La certi�cación de la calidad del producto terminado

d) La metrología

22

Capítulo 2

Guía para la expresión de la

incertidumbre de medida (GUM)

La parte fundamental de la elaboración de los cálculos de propagación de incertidum-

bre viene de la GUM. Con su primera edición impresa en 1995 la GUM es un documento

no pedagógico el cual establece las reglas para la evaluación y expresión de la incer-

tidumbre de medida teniendo como objetivo proporcionar una base estadística para la

comparación internacional de los resultados de las mediciones, dando una base estadística

que nos ayude a la comparación internacional de los resultados.

La GUM fue preparada por expertos designados por el BIPM, la comisión electrotéc-

nica Internacional (IEC), la Organización Internacional de Normalizacion (ISO) y la

Organización Internacional de Metrología Legal (OIML).

Consta de ocho capítulos y anexos, en los cuales se determina el alcance, de�niciones,

conceptos básicos, evaluación de incertidumbre típica, determinación de la incertidumbre

típica combinada, expandida, expresión de la incertidumbre y un resumen del proced-

imiento de evaluación de incertidumbre. En esta Tesis se utilizaron las de�niciones y

procedimientos recomendados por la GUM para el ejercicio de calibración y en particu-

lar se complementó el estudio apoyándonos en el ejemplo que se encuentra en el anexo

referido en la GUM como H1 " Calibración de bloques patrón longitudinales ".

Para realizar los cálculos de propagación de incertidumbre es necesario comprender

los términos a trabajar. A continuación se presentan las de�niciones que se usarán a lo

largo de esta Tesis [2,6].

23

2.1. De�nición de términos especí�cos

2.1.1. Incertidumbre de medida

De acuerdo a la GUM y al Vocabulario Internacional de Metrología de la Incertidum-

bre, la incertidumbre de medida se de�ne como " el parámetro asociado al resultado de

una medición, que caracteriza la dispersión de los valores que podrían ser razonablemente

atribuídos al mensurando " [6].

Vale la pena mencionar las notas que da la GUM donde se amplía cómo se puede

interpretar la incertidumbre en diferentes situaciones.

Nota 1. El parámetro puede ser, por ejemplo, una desviación típica (o un múltiplo de

ella), o la semi amplitud de un intervalo con un nivel de con�anza determinado.

Nota 2. La incertidumbre de medida comprende, en general, varias componentes.

Algunas pueden ser evaluadas a partir de la distribución estadística de los resultados de

series de mediciones, y pueden caracterizarse por sus desviaciones típicas experimentales.

Las otras componentes, que también pueden ser caracterizadas por desviaciones típicas,

se evalúan asumiendo distribuciones de probabilidad, basadas en la experiencia adquirida

o en otras informaciones.

Nota 3. Se entiende que el resultado de la medición es la mejor estimación del valor

del mensurando, y que todas las componentes de la incertidumbre, comprendidos los que

provienen de efectos sistemáticos, tales como las componentes asociadas a las correcciones

y a los patrones de referencia, contribuyen a la dispersión.

2.1.2. Mensurando

Cuando se realiza una medición tenemos que de�nir el mensurando que es la magnitud

objeto de una medición, la cuál se verá afectada por distintos factores como son el medio

ambiente, el instrumento de medición y el observador. Por lo tanto, el atributo sujeto

a medición de un fenómeno, cuerpo o sustancia que puede ser distinguido cualitativa y

cuantitativamente es lo que se llama mensurando [2].

24

2.1.3. Identi�cación de las fuentes de incertidumbre

Una vez determinados el mensurando, el principio, el método y el procedimiento de

medición, se identi�can las posibles fuentes de incertidumbre. Estas provienen de los

diversos factores involucrados en la medición, por ejemplo [5]:

� los resultados de la calibración del instrumento

� la incertidumbre del patrón o del material de referencia

� la repetibilidad de las lecturas

� la reproducibilidad de las mediciones por cambio de observadores, instrumentos

u otros elementos

� características del propio instrumento, como resolución, histéresis, etc

� variaciones de las condiciones ambientales

� la de�nición del propio mensurando

� el modelo particular de la medición

� variaciones e las magnitudes de in�uencia

2.1.4. Modelo de medición

En la mayoría de los casos, un mensurando Y no se mide directamente, sino que se

determina a partir de otras N magnitudes X1, X2, ...,XN , por medio de una relación de

funcional f :

Y = f(X1; X2; :::; XN) (2.1)

El conjunto de magnitudes de entrada X1, X2, ...,XN puede clasi�carse en magnitudes

cuyos valores e incertidumbres se determinan directamente en el curso de la medición.

Estos valores e incertidumbres pueden obtenerse, por ejemplo, a partir de una única

observación, o a partir de observaciones repetidas, o por una decisión basada en la expe-

riencia.

Pueden implicar la determinación de correcciones para las lecturas de los instrumen-

tos y correcciones debidas a las magnitudes de in�uencia, tales como la temperatura

ambiente, la presión atmosférica o la humedad [2].

25

2.1.5. Ley de propagación de incertidumbres

La ley de la propagación de incertidumbres es la ecuación que utiliza la GUM para

encontrar la incertidumbre típica combinada uc(y). Esta ecuación esta basada en un

desarrollo de series de Taylor a primer orden del modelo Y=f(X1, X2, ...,XN) y está dada

por la siguiente ecuación [2]:

u2c(y) =nXi=1

(@f

@xi)2u2(xi) (2.2)

Donde f es la función dada en la ecuación 2.1. La ecuación anterior es válida cuando

las magnitudes de entrada no están correlacionadas. Cada una de las incertidumbres

u(x i) se puede describrir como una incertidumbre tipo A o una incertidumbre de tipo B,

a continuación se describen estas incertidumbres.

2.1.6. Evaluación tipo A de la incertidumbre típica

De acuerdo a la GUM, la evaluación de la incertidumbre tipo A se realiza mediante

el análisis estadístico de series de observaciones. Es decir, la incertidumbre de una mag-

nitud de entrada Xi obtenida a partir de observaciones repetidas bajo condiciones de

repetibilidad, se estima con base en la dispersión de los resultados individuales. Para una

magnitud de entradaXi estimada a partir de N observaciones repetidas e independientes

X ik, la media aritmética_

Xi se obtiene mediante la ecuación siguiente:

_

Xi =1

n

nXk=1

Xi;k (2.3)

En esta Tesis se va a utilizar la desviación típica experimental de la media que rep-

resenta los resultados experimentales con una mejor estimación. Su expresión está dada

por [2]:

u2(x) =

i=nPi=i

(xi ��x)2

n(n� 1) (2.4)

26

2.1.7. Evaluación tipo B de la incertidumbre típica

Las fuentes de incertidumbre tipo B son cuanti�cadas usando información externa u

obtenida por experiencia. Estas fuentes de información pueden ser:

� Certi�cados de calibración

� Manuales del instrumento de medición, especi�caciones del instrumento

� Normas o literatura

� Valores de mediciones anteriores

� Conocimientos sobre características o el comportamiento del sistema de

medición [5].

El propósito de la clasi�cación en Tipo A y Tipo B es indicar las dos formas dife-

rentes de evaluar las componentes de incertidumbre, a efectos únicamente de análisis,

la clasi�cación no trata de indicar que exista alguna diferencia de naturaleza entre las

componentes resultantes de ambos tipos de evaluación.

Los dos tipos de evaluación se basan en Distribuciones de Probabilidad, y los compo-

nentes resultantes tanto de uno como del otro tipo de evaluación se cuanti�can mediante

varianzas o desviaciones típicas [2].

2.1.8. Incertidumbre expandida

Esta magnitud se de�ne como un intervalo entorno al resultado de una medición en el

que se espera encontrar una fracción importante de la distribución de valores que podría

ser atribuidos razonablemente al mensurando.

La incertidumbre expandida se calcula de acuerdo a la siguiente ecuación:

U= uc(y) � tp(veff ) (2.5)

donde tp(veff ) es el factor derivado de la distribución t de Student a un nivel de

con�anza p y veff grados de libertad obtenidos de una tabla que agrega la GUM, ver

Anexo C.

27

2.1.9. Factor de cobertura

El factor de cobertura simbolizado con la letra k, es un valor numérico que puede

variar entre 1 y 3 y es utilizado para multiplicar la incertidumbre típica combinada y

obtener de esta forma una incertidumbre expandida que en esta Tesis es de 95.45% .

La incertidumbre estándar combinada uc representa un intervalo centrado en el mejor

estimado del mensurando que contiene el valor verdadero con una probabilidad p del

68% aproximadamente, bajo la suposición de que los posibles valores del mensurando

siguen una distribución normal.

2.1.10. Nivel de con�anza

La incertidumbre expandida U indica entonces un intervalo que representa una frac-

ción p de los valores que puede probablemente tomar el mensurando. El valor de p es

llamado el nivel de con�anza y puede ser elegido a conveniencia.

En el medio industrial, a menudo se elige un nivel de con�anza de manera tal que

corresponda a un factor de cobertura como un número entero de desviaciones estándar

en una distribución normal.

Por ejemplo, en una distribución normal, k=1 corresponde a p=68,27%, k=2 a

p=95,45%. En una distribución rectangular p=57,7% si k=1. Ver Anexo C.

2.1.11. Probabilidad

Es el número real, entre 0 y 1, que se asocia a un suceso aleatorio. De acuerdo a

la GUM la probabilidad puede referirse a la frecuencia relativa de un suceso o el gra-

do de credibilidad de que un suceso ocurra. Dependiendo el grado de credibilidad, la

probabilidad será próxima a 1.

2.1.12. Variable Aleatoria

Variable a la que se le asocia una distribución de probabilidad, esta variable puede

tomar cualquiera de los valores de un conjunto de valores. Si la variable aleatoria toma

únicamente valores aislados se le denomina discreta y si toma cualquiera de los valores

de un intervalo �nito o in�nito se le denomina contínua [2].

28

2.1.13. Función de Distribución de Probabilidad

Una función de distribución de probabilidad es la función que da la probabilidad de

que una variable aleatoria tome un valor dado o que pertenezca a un conjunto dado de

valores. La cuanti�cación de una fuente de incertidumbre incluye la asignación de un

valor y la determinación de la distribución a la cual se re�ere este valor [2,5].

2.1.14. Esperanza matemática o media

De acuerdo a la GUM, para una variable aleatoria discreta X que toma los valores xi

con probabilidades pi; la esperanza será:

� = E(X) =

Zxf(x)dx (2.6)

donde la integral se extiende a todo el campo de variación de X. Ver Anexo A

2.1.15. Varianza

De acuerdo a la GUM, la varianza de una variable aleatoria o de una distribución de

probabilidad es la esperanza matemática del cuadrado de la variable aleatoria centrada:

�2 = V (X) = E�[X � E(X)]2

(2.7)

En nuestro caso utilizaremos la siguiente fórmula que simpli�ca la de�nición anterior:

�2 =

Z 1

�1x2f(x)dx� �2(x) (2.8)

La raíz cuadrada de la varianza se conoce como la desviación estándar de una función

de distribución.

2.1.16. Distribución normal

Las distribuciones de probabilidad reales a menudo se pueden aproximar por una

distribución de probabilidad teórica. Aunque es posible idear muchas distribuciones de

probabilidad teóricas, es la llamada distribución de probabilidad normal (también cono-

cida como la distribución gaussiana) que es la más ampliamente usada.

29

Esto se debe a que los histogramas de datos obtenidos en muchos experimentos tienen

formas que son muy similares a las de la distribución normal.

Una atracción de la distribución normal y otras distribuciones es que proporcionan

una forma de describir datos de una manera cuantitativa que complementa y extiende

las representaciones visuales de datos como el histograma. Usando las propiedades de la

distribución normal por lo general, podemos resumir un conjunto de datos completo, que

puede consistir en muchos valores, por uno o dos números cuidadosamente seleccionados.

Excel tiene varias funciones integradas que alivian la complejidad de usar tales tablas.

Estas funciones y su aplicación serán discutidos después de que se hayan considerado los

principios básicos [14].

La distribución normal o distribución gaussiana, es la distribución continua más uti-

lizada en estadística y resulta una forma de campana como lo muestra la Figura 2-1. En

la distribución normal, se puede calcular la probabilidad de que varios valores ocurran

dentro de ciertos rangos o intervalos. Sin embargo, la probabilidad exacta de un valor

particular dentro de una distribución continua, como la distribución normal, es cero [15].

La función de densidad de probabilidad, función de densidad o simplemente, densidad

de una variable aleatoria continua describe la probabilidad relativa según la cual dicha

variable aleatoria tomará determinado valor. La probabilidad de que la variable aleatoria

caiga en una región especí�ca del espacio de posibilidades estará dada por la integral de

la densidad de esta variable entre uno y otro límite de dicha región.

La función de densidad de probabilidad (FDP o PDF en inglés) es no-negativa a lo

largo de todo su dominio y su integral sobre todo el espacio es de valor unitario. La

distribución normal tiene importantes propiedades teóricas:

� Tiene una apariencia de forma de campana (y, por ende, es simétrica).

� Sus medidas de tendencia central (media, mediana y moda) son todas idénticas.

� Su �50% central�es igual a 1.33 desviaciones estándar. Esto signi�ca que el

rango está contenido dentro de un intervalo de dos tercios de una desviación

estándar por debajo de la media y de dos tercios de una desviación estándar por

encima de la media [2].

� Su variable aleatoria asociada tiene un rango in�nito.

30

En la práctica, muchas variables tienen distribuciones que se asemejan a la distribución

Gaussiana con x2 [�1;1] [3,15]

Figura 2-1: Representación de una función de distribución Gaussiana

En el anexo A se calcula la media y la desviación estándar de la función de distribución

normal utilizando las de�niciones 2.1.14 y 2.1.15 respectivamente, que se usarán en el

capítulo 4.

2.1.17. Distribución rectangular

La distribución Rectangular es la distribución más simple. Corresponde al caso de una

variable aleatoria que sólo puede tomar valores comprendidos entre dos extremos a y b, de

manera que todos los intervalos de una misma longitud (dentro de (a, b)) tienen la misma

probabilidad. También puede expresarse como el modelo probabilístico correspondiente

a tomar un número al azar dentro de un intervalo (a, b), como lo muestra la Figura 2-2.

En una distribución rectangular cada valor en un intervalo dado tiene la misma prob-

abilidad, o sea la función de densidad de probabilidad es constante en este intervalo. En

general, cuando exclusivamente hay conocimiento de los límites superior e inferior del

intervalo de variabilidad de la magnitud de entrada, lo más conservador es suponer una

distribución rectangular [2,3].

31

Figura 2-2: Representación de una función de distribución rectangular

En el Anexo B se calcula la media y desviación estándar de la función de distribución

rectangular utilizando las de�niciones 2.1.14 y 2.1.15 respectivamente, que se usarán en

el capítulo 4.

2.1.18. Coe�ciente de sensibilidad

El coe�ciente de sensibilidad describe que tan sensible es el mensurando con respecto

a las variaciones de la magnitud de entrada correspondiente.

Determinación a partir de una relación funcional

El modelo matemático para el mensurando está dado por: Y= f(X1;X2; :::XN) que

describe la in�uencia de la magnitud de entrada X i mediante una relación funcional. El

coe�ciente de sensibilidad ci se calcula por la derivada parcial de f con respecto a X i

dejando el resto de las variables de entrada constantes [2]:

ci =@f(Xi::::::XN)

@Xi

(2.9)

32

2.1.19. Grados de Libertad

El número efectivo de grados de libertad veff del mensurando se considera el número

de grados de libertad v i de cada fuente de incertidumbre [5].

De acuerdo a la GUM determinaremos el número de grados de libertad a partir de la

fórmula de Welch-Satterthwaite [2], ver Anexo C :

veff =u4c(y)NPi=1

u4i (y)

vi

(2.10)

Donde uc está dada por la Ecuación 2.2, ui es la incertidumbre de cada una de las

variables de entrada y v i corresponde a los grados de libertad de cada una de las variables

de entrada. Por lo que los grados efectivos de libertad que aparecen en la fórmula 2.5 de

la incertidumbre expandida se calculan con la Ecuación 2.10.

2.2. Procedimiento general para la evaluación de la incertidum-

bre

Cuando se habla de evaluar incertidumbres se debe de tomar en cuenta que para

cualquier tipo de instrumento existe un procedimiento general para evaluar incertidum-

bres, como lo muestra la Figura 2-3.

De acuerdo a la guía para la expresión de la incertidumbre de medida, el procedimiento

se llevaría acabo de la siguiente manera:

a) De�nir el mensurando Y

b) Establecer el modelo matemático del mensurando identi�cando las magnitudes de

entrada X i; véase Ecuación 2.1

c) Identi�car las fuentes de incertidumbre tipo A (las que se obtienen a partir de

desviaciones típicas de una serie de observaciones) y las tipo B, que se obtiene a partir

de las distribuciones, ya sean normales o rectangulares, véase Apartado 2.6 y 2.7

d) Evaluar, cuanti�car y asignar una distribución a cada fuente de incertidumbre

(en esta tesis se trabajó únicamente con distribuciones normales y rectangulares), véase

Anexo A y B

e) Calcular los coe�cientes de sensibilidad de cada variable, véase Ecuación 2.9

33

f) Aplicando la ley de la propagación de incertidumbre, combinar las incertidumbres

para obtener la incertidumbre combinada de la medición, véase Ecuación 2.2

g) Determinar mediante la ecuación de Welch-Satterthwaite los grados efectivos de

libertad y asignar el factor t, véase Ecuación 2.10

h) Determinar el factor de cobertura k, véase Apartado 2.1.9

i) Calcular la incertidumbre expandida y el intervalo de con�anza, véase Ecuación 2.5

j) Reportar los resultados obtenidos

Figura 2-3: Diagrama de �ujo del procedimiento general para la estimación de incertidumbre

34

Capítulo 3

Descripción y fuentes de

incertidumbre de un calibrador tipo

Vernier

3.1. ¿Qué es un Vernier?

El calibrador tipo Vernier, que a partir de este momento por simpleza se nombrará

solamente como "Vernier", es un instrumento de medición de diámetros exteriores, inte-

riores y profundidades, utilizado en el ámbito industrial. También se ha llamado pie de

rey al Vernier, porque hay quien atribuye su invento al geómetra Pierre Vernier (1580-

1637), aunque lo que verdaderamente inventó fue la regla de cálculo Vernier, que ha sido

confundida con el nonio (o escala Vernier) inventado por Pedro Nunes.

El Vernier es una escala auxiliar que se desliza a lo largo de una escala principal para

permitir en ella lecturas fraccionales exactas de la mínima división.

Para lograr lo anterior, una escala vernier está graduada en un número de divisiones

iguales en la misma longitud que n-1 divisiones de la escala principal; ambas escalas están

marcadas en la misma dirección.

Es un instrumento sumamente delicado y debe manipularse con habilidad, cuidado,

delicadeza, con precaución de no rayarlo ni doblarlo (en especial, la barilla de profundi-

dad). Deben evitarse especialmente las limaduras, que pueden alojarse entre sus piezas

y provocar daños [3]. Además el Vernier cuenta con diferentes tolerancias de acuerdo a

su alcance de medición. Como lo muestran los cuadros 3.1 y 3.2

35

Cuadro 3.1: Tolerancias para lecturas en el Sistema InglésAlcance de medición Tolerancia

Hasta 12" 0,001"de 12-24" 0,015"

de 24- en adelante 0,002"

Cuadro 3.2: Tolerancias para lecturas en el sistema métrico

Alcance de medición ToleranciaHasta 300 mm 0,02 mmde 300 �600 mm 0,04 mmde 600 �1000 mm 0,05 mm

3.2. Principales alcances en calibradores Vernier

El error máximo permisible en su lectura, varía según la longitud a veri�car de acuerdo

con sus respectivas tolerancias representadas en los Cuadros 3.1 y 3.2.

Los Vernier se fabrican con acero al carbón o acero inoxidable con un coe�ciente de

expansión térmica de 11.5x10�6 K�1, para un intervalo de temperatura de 283 a 303 K

(aproximádamente de 10 a 30 oC), de acuerdo a la norma NMX-CH-2-1993) [16].

3.3. Partes de un Vernier

El Vernier consta de una estructura soporte en forma de L, que en su lado mayor cuen-

ta con super�cies guía donde desliza un cursor, este cuenta con puntas para mediciones

externas e internas, y en el está, además, el sistema de lectura, éste puede ser una escala

Vernier, un indicador de carátula o una pantalla digital.

Posee dos escalas: la inferior milimétrica y la superior en pulgadas. Permite apre-

ciar longitudes de 1/10, 1/20 y 1/50 de milímetro utilizando el nonio. Mediante piezas

especiales en la parte superior y en su extremo, permite medir dimensiones internas y

profundidades. A continuación se especi�can las partes del calibrador Vernier de acuerdo

a la Figura 3.1:

36

Figura 3-1: Componentes de un calibrador Vernier

1. Puntas o mordazas para medidas externas.

2. Puntas o mordazas para medidas internas.

3. Barra de profundidades.

4. Escala principal o con divisiones en centímetros y milímetros (escala primaria).

5. Super�cie guía o escala con divisiones en pulgadas y fracciones de pulgada

(escala primaria).

6. Escala Vernier o escala movible para la lectura de las fracciones de milímetros

en que esté dividido (escala secundaria)

7. Cursor o escala movible para la lectura de las fracciones de pulgada en que esté

dividido (escala secundaria).

8. Botón de deslizamiento y freno.

Existen gran número de variaciones a este diseño, ofrecidas por los distintos fabricantes

de instrumentos.[16,17]

3.3.1. Modo de empleo

Todo instrumento tiene su modo de empleo, en el caso del calibrador Vernier es el

siguiente:

� Limpiar el instrumento y pieza a veri�car

� Veri�car que el vernier se encuentre calibrado

� Seleccionar el sistema de unidades a emplear (SI o Sistema Inglés)

� Tomar en cuenta la resolución del instrumento

37

� Seleccionar las puntas a utilizar, tomando en cuenta el tamaño de la pieza a

medir

� Las puntas deben hacer contacto con la parte de la pieza a medir

� Tomar la medida de la lectura inmediata

� Tomar la lectura de la medida fraccional

� Determinar la lectura total sumando a la lectura inmediata la lectura fraccional

� Antes de retirar las puntas de la parte de la pieza a medir, se deben abrir éstas

para evitar que se rayen las super�cies de la pieza medida

� Evitar que las super�cies de medición de las puntas se rayen o golpeen, previnien-

do con esto que se descalibre el Vernier

� Después de utilizar el instrumento se tiene que limpiar, aceitar y guardar en su

estuche, evitando con esto que se oxide [16,17].

3.3.2. Lectura en un Vernier

La lectura resulta de la suma del valor leído en la escala principal, añadiéndole el

valor leído en la escala secundaria.

Se tienen dos casos en la toma de lecturas:

1. Cuando el cero de la escala secundaria coincide exactamente con una de las

divisiones de la escala principal.

2. Cuando el cero de la escala secundaria no coincide exactamente con una de las

divisiones de la escala principal.

El procedimiento para el primer caso es:

Se toma el valor de la división de la escala principal que coincide con el cero de la

escala secundaria, y esa es la lectura total.

38

El procedimiento para el segundo caso es:

� Se toma el valor de la división de la escala principal que se encuentra inmedi-

atamente antes del cero "Medida Inmediata".

� Se cuentan las divisiones de la escala secundaria que se encuentra inmedi-

atamente después del cero, para posteriormente observar, cual de estas coincide con

cualquiera de las divisiones de la escala principal.

� El número que guarda la división coincidente de la escala secundaria con la

principal se multiplica por la resolución del instrumento, dando como resultado la lectura

conocida como "Medida Fraccional".

� Finalmente para obtener la lectura total se suma la lectura inmediata con la

medida fraccionaria [16,17].

3.3.3. Veri�cación física de un Vernier

1. El Vernier no debe de tener golpes o defectos de fabricación.

2. Los trazos y números de la escala Vernier y principal deben ser visibles.

3. El cero de las escalas Vernier y principal deben coincidir [16,17].

3.4. Incertidumbres en un Vernier

En cualquier instrumento siempre existirá una incertidumbre, por lo cual es impor-

tante identi�car y de�nir cada incertidumbre para después realizar su calibración.

Para realizar la calibración del Vernier, primero se identi�carán todas las posibles

incertidumbres y fuentes externas que se vean involucradas en la calibración. En los

siguientes subtemas se presentarán esas incertidumbres así como su descripción.

39

3.4.1. Incertidumbre del bloque patrón

Los bloques patrón tienen diferentes grados de exactitud, siendo el grado 1 el de mayor

exactitud. En esta Tesis donde se utiliza el documento del CENAM [17], se empleó

únicamente un bloque patrón grado 1, con una longitud de 150 mm y una incertidumbre

de � 0.8 �m, al cual se le asignó un tipo de distribución de probabilidad rectangular (verApartado 2.1.17).

3.4.2. Incertidumbre de la longitud del Vernier u(l0v)

Esta incertidumbre está compuesta del resultado de cinco contribuciones: error de

Abbe, el efecto de paralaje, la falta de paralelismo entre mordazas, la resolución del

Vernier y la repetibilidad. Esta combinación será la mayor fuente de incertidumbre ya

que sus contribuyentes mayores son la resolución, el error de Abbe y el paralelismo.

3.4.3. El error de Abbe

El principio de Abbe establece que la máxima exactitud de medición se logrará obtener

solo si el eje de medición y el eje del instrumento son paralelos. Cuando no se cumple

con este principio se presenta el error que surge de la distorsión debida a la fuerza de

medición aplicada y de que la posibilidad de que los topes se muevan paralelos entre si.

Se considera que entre el cursor y las super�cies guías existe un huelgo que permite

deslizamiento y además un error, se supone un ajuste con un juego máximo de 36.3 mm,

tal que conociendo la dimensión del cursor que apoya en la super�cie guía (W) se puede

estimar el error (E) sobre la línea de medición [17], como se ejempli�ca a continuación

en la Figura 3.2.

Figura 3-2: Error de Abbe

40

Este error se calcula con la siguiente fórmula:

E = A � HUELGOW

(3.1)

Donde:

E= Error de Abbe

A= Altura de las mordazas para medidas externas

Huelgo= Valor que depende del uso del Vernier, en este caso asignado por el CENAM

W= Longitud comprendida desde la punta para medición interna hasta la parte �nal

del cursor.

u(Abbe) =Ep12

(3.2)

A este error se le asigna una distribución rectangular, véase Anexo B, Ecuación B18

3.4.4. El efecto de paralaje

La escala con Vernier, está graduada con un número de divisiones iguales en:

n-1 ó n+1 divisiones de la escala principal. Las diferentes formas de dividir la escala

vernier hacen diferentes divisiones mínimas, como lo muestra la Figura 3-3.

Figura 3-3: Sistema de Lectura analógica con escala Vernier, con división mínima de 0.05 mmdividiendo 39 mm en 20 intervalos

El error de paralaje es un error que puede presentarse en la lectura de la escala

Vernier, debido a que la escala vernier normalmente está separada de la escala princi-

pal, ello ocasiona al operador la posibilidad de tomar una lectura errónea, por no estar

apropiadamente ubicado respecto a la super�cie de la escala principal.

41

El error de paralaje está compuesto por el error de la lectura de la escala Vernier,

esto quiere decir que primero es necesario evaluar el posible error en la lectura de la

escala vernier por falta de perpendicularidad, este error tendrá efecto sobre la escala

Vernier, la cual, hay que recordar, es un instrumento que permite ampli�car los pequeños

desplazamientos de las mordazas, y por tanto el error encontrado habrá que transformarlo,

de acuerdo a la resolución y separación de las líneas del Vernier, en un error en la distancia

entre las mordazas.

El error de perpendicularidad en la lectura (P) en el caso del calibrador tipo vernier

se debe a que la forma de construcción del calibrador separa la escala vernier del plano

de la escala principal una distancia (a), el operador posee una desviación óptica (DO),

determinada por diversas causas, entre ellas la falta de perpendicularidad al plano xz

sobre el plano xy, como se muestra en la Figura 3.4.

Figura 3-4: Error de paralaje en calibrador Vernier

42

Este error P(Vernier) es en la lectura de la escala Vernier y para considerar su efecto

en la medición habrá que transformarlo, de acuerdo a la resolución y separación de las

líneas del vernier, en un error en la distancia entre las mordazas [17]. Por lo tanto:

PV ernier =DO � aDF

(3.3)

Donde:

PV ernier = Lectura de la escala Vernier

DO= Desviación óptica

a= comparacion de la escala vernier del plano de la escala principal a una distacia

DF= Distancia �nal

De acuerdo a la resolución y separación de las líneas del Vernier, al error P (vernier) se

le realiza una equivalencia respecto al desplazamiento del cursor, debido al error en la

distancia entre mordazas:

x =P �DMev

(3.4)

Donde:

x= Error de la medición debido al error de paralaje

P= error de perpendicularidad

DM= La división mínima de la escala Vernier

ev= El espacio entre las marcas de la escala Vernier sobre el cursor

Una vez obtenido el error de paralaje se calcula la incertidumbre estándar de este

error

uparalaje =xp3

(3.5)

43

3.4.5. Falta de paralelismo entre mordazas

Se toma el valor que establece la norma ISO 6906 como máximo admisible: �10mm,el cual se considera con una distribución de probabilidad rectangular [17].

uparalelismo =m�aximo admisiblep

12(3.6)

3.4.6. Resolución del Vernier

La resolución es la mínima división de la escala secundaria y es el valor mínimo que

se puede medir con un calibrador con vernier y se tomará como distribución rectangular.

Procedimiento para determinar la resolución

1. Conocer el valor mínimo de la escala principal

2. Conocer el número de divisiones de la escala secundaria

3. Dividir el valor mínimo de la escala principal entre el número de divisiones de la

escala secundaria

Las resoluciones más comúnes en un Vernier son [17]:

� Sistema internacional

1/10 mm = 0.1 mm

1/20 mm = 0.05 mm

1/50 mm = 0.02 mm

� Sistema Inglés

1/64"

1/128"

Esta incertidumbre se tomará como una distribución rectangular. La resolución de

nuestro Vernier es de 0.05 mm, véase Anexo B, Ecuación B18.

3.4.7. Repetibilidad

Se considera la desviación estándar de la media de una serie de n mediciones repetidas

sobre un bloque patrón de 150 mm de longitud nominal, véase Ecuación 2.4.

44

3.4.8. Incertidumbre de coe�ciente de expansión térmica u(�bp)

El material de los bloques es acero, se supone un 20% de variación de ese coe�ciente,

con una distribución de probabilidad rectangular, véase Anexo B, Ecuación B18.

3.4.9. Incertidumbre de las diferencias de temperatura entre los bloques

patrón y el calibrador u(�t)

Se supone una supervisión y control de las condiciones ambientales de temperatura

de 20oC �1oC, es decir que hay una variación de temperatura de 19�C a 21�C, asignandoun tipo de distribución de probabilidad rectangular a este intervalo, véase Anexo B,

Ecuación B18.

3.4.10. Incertidumbre de las diferencias de temperatura ambiente y el cali-

brador u( �tv)

Se supone una supervisión y control de las condiciones ambientales de temperatura de

20oC �1oC, es decir, con una variación de 19�C a 21�C, asignando un tipo de distribuciónde probabilidad rectangular a este intervalo, véase Anexo B, Ecuación B18.

3.4.11. Incertidumbre de las diferencias de los coe�cientes de expansión tér-

mica del Vernier y del bloque patrón u(��)

Esta incertidumbre será igual a u(��), es decir el coe�ciente de expansión térmica del

Vernier que es del mismo material que el bloque patrón.

3.4.12. Diagrama de árbol de las incertidumbres en un Vernier

Siguiendo el método propuesto por la GUM �Guide to the Expression of Uncertainty

in Measurement� se presentará el cálculo en la estimación de incertidumbre para la

calibración de un Vernier evaluando las diferentes fuentes de incertidumbre de acuerdo a

la Figura 3-5, las cuales fueron explicadas a partir del punto 4.4 [17].

45

Figura 3-5: Diagrama de árbol de las incertidumbres en un Vernier

46

Capítulo 4

Cálculos de la incertidumbre en la

calibración de un Vernier

En este capítulo se van a realizar los cálculos de las incertidumbres de un Vernier

utilizando todos los elementos del capítulo 2 y las descripciones de las fuentes de incer-

tidumbre del capítulo 3. A continuación se desarrollará el cálculo de cada incertidumbre

expresada en el diagrama de la Figura 3-5.

4.1. De�nición del mensurando

La calibración se realizará de un Vernier con alcance de 0 a 150 mm, con división

mínima de 0.05 mm, el cuál fue calibrado a condiciones ambientales de 20�C � 1�C.

Para de�nir el mensurando se debe analizar la forma de calibración del instrumento,

en este caso el Vernier, se propone como mensurando la corrección de la lectura del

calibrador ("), el cuál es de�nido como la diferencia entre la longitud del bloque patrón

(`t1bp) y la lectura del calibrador (`t2v ), donde los superíndices t1 y t2 denotan diferentes

temperaturas [17].

" = `t1bp � `t2v (4.1)

47

Tomando en cuenta los efectos de temperatura y usando los coe�cientes de expansión

térmica del bloque patrón y el Vernier tenemos la siguiente ecuación:

" = `0bp(1 + �bp�tbp)� `0v(1 + �v�tv) (4.2)

Donde:

`0bp = Longitud del bloque patrón a 20�C

`0v = La longitud del Vernier a 20�C

�bp = Coe�ciente de expansión térmica del bloque patrón

�tbp = Diferencia de temperatura del bloque patrón a 20�C y durante la calibración

�v = Coe�ciente de expansión térmica del Vernier

�tv = Diferencia de temperatura del Vernier a 20�C y durante la calibración

Desarrollando la Ecuación 4.2:

" = `0bp + `0bp�bp�tbp � `0v � `0v�v�tv (4.3)

Por lo tanto la medición del mensurando se verá afectada por las diferencias de tem-

peratura y las diferencias del coe�ciente de expansión térmica entre el Vernier y el men-

surando.

Se de�nen las siguientes dos expresiones para simpli�car el manejo de la Ecuación 4.3:

�� = �v � �bp (4.4)

�t = �tv ��tbp (4.5)

Donde:

�� = Diferencia de los coe�cientes de expansión termica del Vernier y el bloque patrón

�t = Diferencia de temperatura del Vernier y el bloque patrón

Además se supone una aproximación entre las longitudes del bloque patrón y el Vernier

a 20�C, es decir :

`0bp t `0v (4.6)

48

Esta es una aproximación que simpli�ca los cálculos sin embargo la medición real del

Vernier es de 150.01 mm, la cuál es la que se ocupa en el reporte �nal de la medición y

aparece en las conclusiones y tabla de resultados presentadas al �nal de esta Tesis.

Usando las Ecuaciónes 4.3-4.6 y desarrollando algebráicamente su sustitución, se tiene

�nalmente la de�nición del modelo del mensurando " y las variables de entrada que se

usarán en esta Tesis:

" = `0bp � `0v � `0bp�bp�t� `0v�tv�� (4.7)

4.2. Coe�cientes de sensibilidad de cada variable de entrada

Siguiendo el procedimiento de la GUM para el cálculo de incertidumbres, véase Figura

2-3, se procede a calcular los coe�cientes de sensibilidad de cada una de las variables de

entrada. De acuerdo a la de�nición del Apartado 2.1.18 y utilizando la ecuación 2.9 en

la Ecuación 4.7 que representa el modelo del mensurando, se deriva parcialmente cada

variable de entrada.

4.2.1. Coe�ciente de sensibilidad del bloque patrón

@"

@`0bp= 1� �bp�t (4.8)

Donde:

�bp= 11.5x10�6 , coe�ciente de expansión lineal del acero

�T = 1 , en este caso será 1 ya que la calibración del bloque patrón se realiza en

condiciones ambientales de temperatura de �1�CSustituyendo los valores anteriores en la Ecuación 4.8, obtenemos:

@"

@`0bp= 1� (11;5x10�6 � 1) (4.9)

Así :

@"

@`0bp= 0;9999 t 1 (4.10)

49

4.2.2. Coe�ciente de sensibilidad en la longitud del Vernier

@"

@`0v= �1��tv�� (4.11)

Donde:

�tv= 1 por las condiciones ambientales de �1�C

�� = 1.15x10�6; en este caso se supone un 10% de variación del valor original, �bp

Sustituyendo:@"

@`0v= �1� (1 � 1;15x10�6) (4.12)

Simpli�cando:@"

@`0v= �1;00 (4.13)

4.2.3. Coe�ciente de sensibilidad en la expansión térmica del bloque patrón

@"

@�bp= �`0bp�t (4.14)

Donde:

`0bp= 150 mm

�t = 2�C , el modelo se probó para una longitud de 150 mm y una variación de

teperatura no mayor a 2�C.

Sustituyendo en 4.14:

@"

@�bp= �(150mm)(2�C) (4.15)

Así :

@"

@�bp= �300mm�C (4.16)

50

4.2.4. Coe�ciente de sensibilidad de la diferencia de temperatura entre el

bloque patrón y el Vernier

@"

@�t= �`0bp�bp (4.17)

Donde:

`0bp= 150 mm , longitud del bloque patrón a 20�C

�bp = 11.5x10�6, coe�ciente de expansión del acero

Sustituyendo los valores:

@"

@�t= �(150mm)(11;5x10�6) (4.18)

Obteniendo :@"

@�t= �0;001725mm�C�1 (4.19)

4.2.5. Coe�ciente de sensibilidad de la diferencia de temperatura del Vernier

a 20�C y durante la calibración

@"

@�tv= �`0v�� (4.20)

Donde :

`0v=150 mm, longitud del Vernier

�� = 1.15x10�6; en este caso se supone un 10% de variación del valor original, �bp

Sustituyendo:

@"

@�tv= �(150mm)(1;15x10�6) (4.21)

Así :

@"

@�tv= �0;0001725mm�C�1 (4.22)

51

4.2.6. Coe�ciente de sensibilidad de la diferencia en los coe�cientes de ex-

pansión térmica del bloque patrón y el Vernier ��

@"

@��= �`0v�tv (4.23)

Donde:

`0v= 150 mm , longitud del Vernier

�tv = 1�C por las condiciones ambientales de �1�CSustituyendo:

@"

@��= �(150mm)(1�C) (4.24)

Obteniendo:@"

@��= �150mm�C (4.25)

La ley de propagación de incertidumbre, véase Ecuación 2.2, es la suma de las derivadas

parciales elevadas al cuadrado y multiplicadas por su incertidumbre, esto está dado por

la siguiente ecuación:

u2(") = (1� �bp�t)2 � u2(`bp) + (�1��tv��)2 � u2(`0v) + (�`0bp�t)2 � u2(�bp)

+(�`0bp�bp)2 � u2(�t) + (�`0v��)2 � u2(�tv) + (�`0v�tv)2 � u2(��) (4.26)

Nótese que los valores obtenidos en las Ecuaciones 4.10, 4.13, 4.16, 4.19, 4.22 y 4.25

son los valores a sustituir en la Ecuación 4.26.

Ahora se procede al cálculo de las incertidumbres de cada una de las variables de

entrada que se necesitan para evaluar �nalmente la Ecuacion 4.26.

4.3. Incertidumbres de cada variable de entrada

4.3.1. Incertidumbre de la longitud del bloque patrón u(l0bp)

La incertidumbre del bloque patrón grado 1 es de �0:8�m; es decir, con una variaciónde 1.6 �m y

p12 por considerarse una distribución rectangular. Sustituyendo los valores:

u(l0bp) =1;6p12= 0;0461�m (4.27)

52

4.3.2. Incertidumbre de la longitud del Vernier u(l0v)

De acuerdo a lo discutido en el Apartado 3.4.2, la incertidumbre de la longitud del

Vernier u(l0v) esta compuesta de las incertidumbres del error de Abbe, efecto de paralaje,

falta de pralelismo entre las mordazas, la resolución del Vernier y la repetibilidad, es

decir:

u2(l0v) = u2Abbe+u2Paralaje+u2Paralelismo+u2resoluci�on+u2repetibilidad (4.28)

A continuación se obtiene cada una de ellas.

4.3.3. El error de Abbe

E = A � HUELGOW

((Ec.3.1))

Donde:

E= Error de Abbe

A= 40 mm, altura de las mordazas para medidas externas

Huelgo= 36.3 �m, valor que depende del uso del Vernier, en este caso asignado por

el CENAM

W= 53 mm , longitud comprendida desde la punta para medición interna hasta la

parte �nal del cursor

Sustituyendo:

E = 40mm � 36;6x10�3mm

53mm(4.29)

Así :

E = 0;0273mm t 27;40�m (4.30)

Asignando una distribución rectangular, se procede al cálculo de la incertidumbre por

error de Abbe:

uAbbe =E(�m)p12

(4.31)

53

Sustituyendo:

uAbbe =27;40�mp

12(4.32)

Finalmente:

uAbbe = 7;9086�m (4.33)

4.3.4. El efecto de paralaje

De acuerdo al Apartado 3.4.4 se procede a los respectivos cálculos para la incertidum-

bre de esta variable de entrada:

PV ernier =DO � aDF

((Ec.3.3))

Donde:

PV ernier = Lectura de la escala Vernier

DO= Desviación óptica

a= comparacion de la escala vernier del plano de la escala principal a una distacia

DF= Distancia �nal

Sustituyendo:

PV ernier =32;5mm � 0;3mm

300mm(4.34)

Por lo tanto:

PV ernier = 0;0325mm (4.35)

A continuación se realiza una equivalencia con el desplazamiento del cursor:

x =P �DMev

((Ec.3.4))

Donde:

x= Error de la medición debido al error de paralaje

P= error de perpendicularidad

DM= La división mínima de la escala Vernier

ev= El espacio entre las marcas de la escala Vernier sobre el cursor

54

Sustituyendo:

x =0;033mm � 0;05mm

1;95mm(4.36)

Por lo tanto:

x = 0;0008461mm t 0;8461�m (4.37)

Se procede al cálculo de la incertidumbre estándar debida a este error, que no será cor-

regida; se estimará a partir del máximo posible, se considera una distribución rectangular,

obteniendo así:

uparalaje =xp3

(4.38)

Sustituyendo:

uparalaje =0;8461�mp

3(4.39)

Así:

uparalaje = 0;4885�m (4.40)

4.3.5. Falta de paralelismo entre mordazas

Se tomará el valor que establece la norma ISO 6906 como máximo admisible de 20

�m, y considerando una distribución de probabilidad rectangular:

uparalelismo =m�aximo admisiblep

12(4.41)

Sustituyendo:

uparalelismo =20�mp12

(4.42)

Obteniendo:

uparalelismo = 5;7735�m (4.43)

55

4.3.6. Resolución del Vernier

La resolución se toma como distribución rectangular:

uresoluci�on =di:m�{np12

(4.44)

Donde:

La división mínima será de 0.05 mm de acuerdo al alcance del Vernier de 0 a 150 mm.

Sustituyendo:

uresoluci�on =0;05mmp

12(4.45)

Así:

uresoluci�on = 0;0144mm t 14;4337�m (4.46)

4.3.7. Repetibilidad

Se considera la desviación estándar de la media de una serie de 8 mediciones del

Vernier de 150 mm de longitud nominal, véase Ecuación 2.4:

urepetibilidad =

vuuut i=nPi=i

(xi ��x)2

n(n� 1) (4.47)

urepetibilidad = 3;51�m (4.48)

Cabe mencionar que el documento del CENAM [17] no incluye las 8 mediciones, sino

que solamente menciona el valor �nal de la incertidumbre.

4.3.8. Combinación de las contribuciones

Sustituyendo los respectivos valores de las incertidumbres de las Ecuaciones 4.33, 4.40,

4.43, 4.46 y 4.48 en la Ecuación 4.28:

u2(l0v) = 7;90862�m+ 0;48852�m+ 5;77352�m+ 14;43372�m+ 3;512�m (4.49)

56

obtenemos el valor cuadrático de la incertidumbre de la longitud del Vernier de 150

mm a 20�C :

u2(l0v) = 316;7715�m (4.50)

Finalmente se obtiene:

u(l0v) = 17;7980�m (4.51)

4.3.9. Incertidumbre del coe�ciente de expansión térmica u(�bp)

De acuerdo al Apartado 3.4.8, con una distribución de probabilidad rectangular se

tiene:

u(�bp) =20% � 11;5x10�6 1

�Cp12

(4.52)

De donde obtenemos la incertidumbre del coe�ciente de expansión térmica:

u(�bp) = 6;6395x10�7�C�1 (4.53)

4.3.10. Incertidumbre de las diferencias de temperatura entre el bloque pa-

trón y el Vernier u( �t)

De acuerdo al Apartado 3.4.9, asignando una distribución rectangular a este intervalo

se tiene:

u(�t) =2�Cp12

(4.54)

De donde obtenemos la incertidumbre de las diferencias de temperatura entre el bloque

patrón y el Vernier.

u(�t) = 0;5773�C (4.55)

4.3.11. Incertidumbre de las diferencias de temperatura ambiente y el

Vernier u(�tv)

De acuerdo al apartado 3.4.10, con una variación de 2�C y asignando una función de

distribución rectangular a este intervalo se tiene:

u(�tv) =2�Cp12

(4.56)

57

De donde obtenemos la incertidumbre de las diferencias de temperatura ambiente y

el Vernier.

u(�tv) = 0;5773�C (4.57)

4.3.12. Incertidumbre de las diferencias de los coe�cientes de expansión tér-

mica del Vernier y del bloque patrón u( ��):

De acuerdo al Apartado 3.4.11 esta incertidumbre es:

u(��) = 0;66 � 10�6 1�C (4.58)

4.4. Combinación de Incertidumbres

En la sección 4.2 y 4.3 se calcularon los coe�cientes de sensibilidad y las incertidumbres

de las 6 variables de entrada. La Ecuación 4.26 muestra el desarrollo de la propagación de

incertidumbre del mensurando con los coe�cientes de sensibilidad y las incertidumbres de

las 6 variables. De acuerdo a la ley de la propagación de incertidumbre, véase apartado

2.1.5, la incertidumbre combinada del mensurando está dada por la Ecuación 4.26.

u2c(") = (1� �bp�t)2 � u2(`bp) + (�1��tv��)2 � u2(`0v) (4.26)

+(�`0bp�t)2 � u2(�bp) + (�`0bp�bp)2 � u2(�t)

+(�`0v��)2 � u2(�tv) + (�`0v�tv)2 � u2(��)

Con los valores de los coe�cientes de sensibilidad dados por las Ecuaciones 4.1.0, 4.13,

4.16, 4.19, 4.22 y 4.25, y por otro lado los valores de las incertdiumbres de las variables

de entrada dads en las Ecuaciones 4.27, 4.51, 4.53, 4.55, 4.57 y 4.58, sustituimos en la

Ecuación 4.26:

u2c(") = (1)2(0;4618)2 + (�1)2(17;7980)2 + (�300)2(6;6x10�7)2

+(�0;001725)2(0;5773)2 + (�0;0001725)2(0;5773)2 + (�150)2(6;6x10�7)2

58

Finalmente:

u2c(") = 316;7752�m2 (4.59)

Sacando la raíz cuadrada a la Ecuación 4.59, tenemos la incertidumbre típica combi-

nada del mensurando:

uc(") = 17;7981�m (4.60)

Para k=1 aproximadamente de 68%

4.4.1. Grados de Libertad

En general en los reportes de calibración se utiliza una probabilidad de 95.45%. Esto

hace necesario que se calculen los grados efectivos de libertad, véase Apartado 2.1.19.

Para encontrar esta variable se utiliza la ecuación de Welch-Satterthwaite, Ecuación

2.10 :

veff =u4c(y)PNi=1

u4i (y)

vi

(4.61)

Por lo que para nuestras seis variables de entrada tenemos la siguiente Ecuación:

veff =u4c

u4lbpvlbp

+u4lvvlv+

u4�bpv�bp

+u4�tv�t+

u4�tvv�tv

+u4��v��

(4.62)

Donde los valores de v tomados directamente del reporte del CENAM, están dados

en la Figura 4-1, tabla de resultados obtenidos.

Para los grados de libertad e incertidumbres de la longitud del calibrador (l0v) se

debe considerar que la misma se conforma por el error de Abbe, paralaje, paralelismo,

resolución y repetibilidad, es decir:

u4lvvlv

=u4AbbevAbbe

+u4paralajevparalaje

+u4paralelismovparalelismo

+u4resoluci�onvresoluci�on

+u4repetibilidadvrepetibilidad

(4.63)

59

Sustituyendo los valores de las incertidumbres obtenidos en las Ecuaciones 4.33, 4.40,

4.43, 4.46 y 4.48 y los grados de libertad de la Figura 4-1, tabla de resultados obtenidos,

tenemos:

u4lvvlv

=7;90864

12+0;48854

12+5;77354

50+14;43374

100+3;514

7(4.64)

Resolviendo:

u4lvvlv

= 803;9395 (4.65)

Por lo que u4lvvlvestá dado por el valor de la Ecuación 4.65.

Sustituyendo el resto de las variables en la Ecuación 4.62:

u4lvvlv

=17;79814

(0;4618)4

200+ 803;9395 + (6;6x10�7)4

50+ (0;5773)4

12+ (0;5773)4

12(6;6x10�7)4

50

(4.62)

Finalmente se obtienen los grados efectivos de libertad para el mensurando ":

veff = 124;81 t 124 (4.66)

El número efectivo de grados de libertad es de 124, de acuerdo a la tabla C 1, con

124 grados efectivos de libertad el valor de k es de aproximadamente 2.01 por lo que se

asume un valor de k=2 que de�ne un intervalo de con�anza al expresar la incertidumbre

en torno a un 95.45% de acuerdo a la GUM [2].

4.4.2. Incertidumbre expandida

La incertidumbre expandida se discutió en el Apartado 2.1.8.

U= uc(y) � tp(veff ) (Ec.2.5)

Donde el valor de uc(y) está dada por la Ecuación 4.60 y el valor de tp(veff ) donde

p=95.45 y el valor de veff está dado por la Ecuación 4.66.

60

Sustituyendo:

U(") = 17;7981 � 2 (4.67)

U(") = 35;5963�m t 36�m (4.68)

Así por lo que el valor de la incertidumbre expandida del mensurando es de 36�m o

0.36 mm.

4.5. Análisis de la tabla de resultados

La Tabla de la Figura 4-1 sintetiza los resultados obtenidos del capítulo 4 que a

continuación se describe:

� La columna 1 numera las variables de entrada del modelo del mensurando, nótese quepara la longitud del Vernier existen cinco variables que contribuyen a su incertidumbre

como se discutió en los capítulos 3 y 4

� La columna 2 muestra el nombre de cada una de las variables de entrada y el símbolocon el que cada variable es representada, véase Apartados 3.4 y 4.3

� La columna 3 muestra la longitud del bloque patrón, la longitud del Vernier y en laparte inferior el error de lectura con respecto al bloque patrón

�La columna 4 muestra la incertidumbre original con la que se hicieron los cálculospara obtener la incertidumbre estándar, véase Apartado 4.3

� La columna 5 muestra el tipo de función de distribución asignada a cada variablede entrada, véase apartado 2.1.13 y Anexos A y B

� La columna 6 muestra resultado del cálculo de los coe�cientes de sensibilidad de

cada variable de entrada, véase Apartado 4.2

� La columna 7 muestra la incertidumbre calculada de cada variable de entrada, véaseApartado 4.3

61

� La columna 8 muestra el resultado de la multiplicación de los coe�cientes de sen-sibilidad de cada variable y su respectiva incertidumbre, es decir las contribuciones de

cada variable de entrada

� La columna 9 muestra el valor numérico de los grados de libertad, nótese que se

tomaron estos valores tal y como lo propuso el documento del CENAM y en la parte

inferior el resultado del cálculo de los grados efectivos de libertad, véase Apartado 4.4.1

� Es importante notar que analizando los valores de la columna 8, que dan la contribu-ción de cada una de las variables de entrada, las contribuciones que más contribuyen a la

incertidumbre de la medición son la resolución con 14�m, Abbe con 8�m y paralelismo

con 6�m: Esta es una conclusión importante ya que sin un análisis de incertidumbre estas

contribuciones no se hubieran notado

� Para un Vernier de este tipo en estas condiciones de medición, la resolución delinstrumento es un límite por ser de 0.05 mm y por lo tanto si se quiere disminuir la

incertidumbre en la medición se tendrá que cambiar de instrumento de medición por uno

que tenga una resolución menor, como es el caso del micrómetro

� En la parte inferior de la Tabla de la Figura 4-1 en amarillo, se muestran losresultados obtenidos de la incertidumbre combinada de la calibración del Vernier, véase

Ecuación 4.60, los grados efectivos de libertad, véase Ecuación 4.66 y la incertidumbre

expandida, véase Ecuación 4.68

� Al comprar la Tabla de la Figura 4.1 con los resultados del CENAM, obtenemosque si usando las mismas cifras signi�cativas coincidimos con los resultados del CENAM,

aunque existen errores de omisión de signos en la columna donde citan los coe�cientes

de sensibilidad como positivos cuando son negativos

� Por otro lado, por lo que se re�ere a los objetivos especí�cos, estos se fueron lograndoa lo largo del capítulo 2 y 3, realizando el análisis estadístico, identi�cación y análisis de

incertidumbre de acuerdo a la GUM, presentándolos en una hoja de cálculo de Excel

� El resultado �nal de la calibración de un Vernier de 150 mm de longitud nominal

a 20� C es el siguiente, véase Cuadro 4.1:

62

Longitud del Verniera 20�C

Incertidumbre Expandidaa 95.45% Grados de Libertad

150.01 mm 0.036 mm 124

Cuadro 4.1: Resultado �nal de la calibración de un Vernier

Es decir, la longitud del Vernier comparada con el bloque patrón es 0.01 mm mayor

que del bloque patrón con una incertidumbre redondeada de 0.04 mm a 95.45% de

probabilidad con 124 grados efectivos de libertad

� Finalmente el objetivo general de analizar la GUM y su utilización se cumplió a lo

largo de la Tesis

� Por otro lado, por lo que se re�ere a los objetivos especí�cos, estos se fueron lograndoa lo largo del capítulo 2 y 3, realizando el análisis estadístico, identi�cación y análisis de

incertidumbre de acuerdo a la GUM, presentándolos en una hoja de cálculo de Excel

63

Figura 4-1: Tabla de resultados obtenidos

64

Conclusiones

� El resultado �nal de la calibración de un Vernier con una longitud nominal de

150.01 mm a 20�C con una incertidumbre expandida a 95.45% y un número efectivo de

grados de libertad de 124 es de 0.036 mm.

� Comparando la Tabla de resultados que aparece como la Figura 4-1 con los resulta-dos del CENAM se obtuvo que si se usan las mismas cifras signi�cativas estas coinciden

con los resultados del CENAM.

� Se encontró que en el documento del CENAM existen errores de omisión de signos

en la columna donde citan los coe�cientes de sensibilidad como positivos cuando son

negativos.

65

Bibliografía

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[2] BIPM, IEC, IFCC, ILAC, ISO, IUPAC, IUPAP, OIML. (2008). Guía para la ex-

presión de la incertidumbre de medida (GUM) en español, Centro Español de

Metrología.

[3] "Metrología y sus aplicaciones" Adolfo Escamilla Esquivel, grupo editorial patria,

2015

[4] " A peso el kilo, historia del sistema métrico decimal en México"Héctor Vera, Libros

del escarabajo, 2007

[5] "Guía para estimar la incertidumbre de una medición" Wolfgang A. Schmid y Ruben

J. Lazos Martínez, el marqués, Qro, México, Mayo 2000, CENAM

[6] Secretaria de Economía. Fecha de consulta. 25 de marzo de 2017

[7] CEM (2005). "La metrología Abreviada"Centro Español de Metrología

[8] Entidad Mexicana de Actreditación, EMA

[9] CENAM "El sistema Internacional de unidades"2003 El marqués, Querétaro, Méx-

ico. Centro Nacional de Metrología

[10] "Metrología para no-metrólogos" Rocío M. Marbán, Julio A. Pellecer C., Or-

ganización de los estados unidos americanos (OEA), Sistema Interamericano de

Metrología (SIM), 2002

[11] Vocabulario internacional de metrología, conceptos fundamentales y generales y tér-

minos asociados; BIPM, IEC, IFCC, ILAC, IUPAC, IUPAP, OIML, CEM, 2008

[12] Metrología SENA, Medina, J.G. 2012

66

[13] Metrólogos Asociados "La guía MetAS"M. Asociados, Cd.Guzmán, Jalisco, México,

2006

[14] Data Analysis for physical scientists featuring Excel, Les Kirkup , University of

Technology , Sydney, 2012

[15] "Teoría de la probabilidad", Iván Obregón Sanin, 1975, Editorial LIMUSA

[16] "Metrología Dimensional "M. en I. Felipe Díaz del Castillo Rodríguez, Facultad de

Estudios Superiores Cuautitlán, 2010

[17] "Incertidumbre en la calibración de calibradores tipo Vernier ", Héctor González

Muñoz, mayo 2001, CENAM.

67

Anexos

68

Anexo A. Demostración de la media

y varianza en una distribución

normal

La de�nición de la ecuación de una distribución Gaussiana está dada por:

f (x)=1p2��2

e�(x�a)2

(2�2) (A1)

Donde vamos a demostrar que �(x) será igual a "a ". Tenemos la de�nición general

de la media (�), véase Ec.2.5 :

�(x) =

1Z�1

xf(x)dx ((Ec.2.5))

Sustituyendo la ecuación A1 en la ecuación 2.5 tenemos:

�(x) =

1Z�1

x1p2��2

e�(x�a)2

(2�2) dx (A2)

Llevando a cabo un cambio de variable :

u=x� a�

(A3)

69

Donde:

x = �u+ a; dx = �du (A4)

Los límites de integración son iguales a los originales por lo tanto:

�(x) =�

�p2�

Z 1

�1(�u+ a)e�(

u2

2)du (A5)

Separando la ecuación en sus sumandos:

=1p2�

Z 1

�1ue�

u2

� du+ap2�

1Z�1

e�u2� du (A6)

De acuerdo a la ecuación A5, el primer sumando será igual a cero, ya que los límites

de integración son simétricos respecto al origen de coordenadas es decir, que al sumar el

área positiva se cancela con el área negativa. En el segundo de los sumandos, el valor de

la integral está dado por:

Z 1

�1e�

u2

2 du =p2� (A7)

De donde se obtiene que la media de la distribución normal es igual al parámetro "a

":

�(x) = a (A8)

Partiendo de la de�nición de la varianza, V(x) :

V (x) =

Z 1

�1(x� �2)f(x)dx (A9)

Sustituyendo en la ecuación A8 la de�nición de la función de distribución normal (A1)

se obtiene:

V (x) =1

�p2�

1Z�1

(x� �)2e�(x��)2

2�2 dx (A10)

70

Llevando a cabo el mismo cambio de variable, véase A3 y A4

V (x) =�2p2�

1Z�1

u � ue�u2

2 du (A11)

Integrando por partes, y asignando r=u, dv=ue�u2

2 du hallamos que:

V (x) = �2 (A12)

pV (x) = � (A13)

o bien:

�(x) = � (A14)

Es decir la desviación estándar de la distribución normal, es igual al parámetro �:

71

Anexo B. Demostración de la media

y varianza en una distribución

uniforme

La de�nición de la función de distribución rectangular es la siguiente:

f(x) =1

(b� a) (B1)

Por otro lado, la ecuación general de la media (�); véase ec.2.5 :

�(x) =

1Z�1

xf(x)dx (ec. 2.5)

Sustituyendo la ecuación B1 en la ecuación 2.5, se obtiene:

�(x) =

bZa

x

�1

b� a

�dx (B2)

�(x) =

�1

b� a

� bZa

xdx (B3)

72

Evaluando la ecuación B3 :

�(x) =

�1

b� a

��x2

2

�jba (B4)

�(x) =

�1

b� a

��b2

2� a

2

2

�(B5)

�(x) =

�1

b� a

��(b+ a)(b� a)

2

�(B6)

Finalmente se obtiene la media �(x); de la distribución rectangular:

�(x) =b+ a

2(B7)

Para obtener la varianza de la función de distribución rectangular se usa la ecuación

general de la varianza, véase la ec.2.7

�2 =

Z 1

�1x2f(x)dx� �2(x) (Ec.2.7)

Sustituyendo la ecuación B1 en la ecuación 2.7, obtenemos:

�2(x) =

1Z�1

x2(1

(b� a))dx� �2(x) (B8)

73

�2(x) =

24( 1

b� a)bZa

x2dx

35� �2(x) (B9)

Evaluando la última ecuación:

�2(x) =1

(b� a)

�1

3x3�jba ��2(x) (B10)

�2(x) =1

(b� a)

�b3 � a33

�� �2(x) (B11)

�2(x) =1

(b� a)

�b3 � a33

�� �2(x) (B12)

�2(x) =b3 � a33(b� a) � �

2(x) (B13)

�2(x) =(b� a)(b2 + ab+ a2)

3(b� a) � �2(x) (B14)

�2(x) =b2 + ab+ a2

3� �2(x) (B15)

Y sustituyendo el valor de �(x) obtenido en la ecuación B7 en la ecuación B15 :

�2(x) =b2 + ab+ a2

3��b+ a

2

�2(B16)

74

Finalmente obtenemos la varianza para la función de distribución rectangular:

�2(x) =(b� a)12

2

(B17)

De acuerdo a la de�nición presentada en el punto 2.1.14, de la ecuación B17 se obtiene

la desviación estándar:

� =b� ap12

(B18)

75

Anexo C. Distribución t de Student

Se le denomina distribución t de Student (en reconocimiento del autor del primer

papel para describir la distribución aunque el nombre real del autor fue W. S. Gosset)

a la distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua t cuya función de

densidad de probabilidad es:

p(t,v)=1

2p�v

��v+12

��(v

2)(1 +

t2

v)�(v+1)=2 (C1)

para -1<t<+1

donde � es la función gamma y v>0. Conforme v !1; la función de distribución seaproxima a la distribución normal. De acuerdo a lo anterior :

Figura 4-2: Representación de una distribución t de student

76

Tabla C 1. Valor de tp(v) de la distribución t, para vgrados de libertad, quede�ne un intervalo de -tp(v) a +tp(v), que comprende la fracción p de la

distribución[2].

Grados de Libertad Fracción p(%)v 68,27a) 90 95 95,45a) 99 99,73a)

12345678910111213141516171819202530354045501001

1; 841; 321; 201; 141; 111; 091; 081; 071; 061; 051; 051; 041; 041; 041; 031; 031; 031; 031; 031; 031; 021; 021; 011; 011; 011; 011; 0051; 000

6; 312; 922; 352; 132; 021; 941; 891; 861; 831; 811; 801; 781; 771; 761; 751; 751; 741; 731; 731; 721; 711; 701; 701; 681; 681; 681; 6601; 645

12; 714; 303; 182; 782; 572; 452; 362; 312; 262; 232; 202; 182; 162; 142; 132; 122; 112; 102; 092; 092; 062; 042; 032; 022; 012; 011; 9841; 960

13; 974; 533; 312; 872; 652; 522; 432; 372; 322; 282; 252; 232; 212; 202; 182; 172; 162; 152; 142; 132; 112; 092; 072; 062; 062; 052; 0252; 000

63; 669; 925; 844; 604; 033; 713; 503; 363; 253; 173; 113; 053; 012; 982; 952; 922; 902; 882; 862; 852; 792; 752; 722; 702; 692; 682; 6262; 576

235; 8019; 219; 226; 625; 514; 904; 534; 284; 093; 963; 853; 763; 693; 643; 593; 543; 513; 483; 453; 423; 333; 273; 233; 203; 183; 163; 0773; 000

a) Para una magnitud z descrita por una distribución normal de esperanzamatemática �z y desviación típica �, el intervalo �z � k� comprende las fracciones

p=68,27%; 95,45% y 99,73% de la distribución para los valores k=1,2 y 3

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