estadistica experimental

ESTADISTICA EXPERIMENTALAplicada a ciencia e ingeniería

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genieríageniería

Edición CONCYEdición CONCY--TECTEC

PALACIOS C. SEPALACIOS C. SE--VEROVERO

Palacios C. Severo

ESTADÍSTICAEXPERIMENTALAplicada a ciencia e ingeniería

© PALACIOS C. SeveroCEO Proceso [email protected]@hotmail.com(+511) 996696214, Lima – Perú(+5152) 952672846, Tacna – Perú(+505) 84566216 – Centro América

Primera edición:

ISBN: Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N°

© PALACIOS C. Severo – CONCYTEC en la presente ediciónTiraje: 1000 ejemplares

Subvención CONCYTEC N°

Consejo Nacional de Ciencia, Tecnología e Innovación Tecno-lógica-CONCYTEC

Presidente: Dr. Augusto Mellano MéndezAv. Del Aire 485, San Borja, Lima – PerúTelefax: (51) 01-2251150www.concytec.gob.pe

Impreso por:

Derechos Reservados. Prohibida la reproducción de esta pu-blicación por cualquier sistema conocido sin la autorización escrita del autor; y del editor en la presente edición.

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http://www.concytec.gob.pe/

mailto:[email protected]



La presente obra esta dedicada a la Memoria de:

Juan de la Cruz Palacios AvendañoAdelaida Calisaya Flores

Luz Lucila Zeballos ArgandoñaCamila Palacios Zeballos

Ceferina Chambilla ChambillaGustavo Vallenas Casaverde

“Con mucho amor a quienes amor nos dio, que Dios lo tenga en su gloria y nosotros en nuestro corazón”

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Palacios C. Severo

Un reconocimiento muy especial al Rector de la Universidad Nacional Micaela Bastidas de Abancay

Dr. Leoncio Carnero Carnero

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CONTENIDO

CONTENIDO Pági-na

§1I.II.III.IV.V.VI.VII.VIII.IX.

X.XI.XII.

XIII.XIV.XV.XVI.XVII.XVI-II.XIX.

§2I.II.III.IV.V.

PrólogoIntroducciónEstadística básicaIntroducciónRecopilación de datosCuestionario como fuente de datosPresentación de datosAnálisis de datosDistribución de frecuenciaCriterios de distribución de frecuenciaMedias de tendencia centralMedidas de disepersiónProblemasEstimación de parámetrosDiferencias significativasDispersión de los datos problemasProblemasDistribucionesIntervalos de confianzaMuestreoMétodos de muestreoToma de decisionesPrincipios para la toma de decisiónPlanificaciónProblemasAnálisis de regresiónIntroducciónMétodos de mínimos cuadradosModelos de regresiónModelo de regresión lineal con k variablesRegresión lineal simpleRegresión lineal múltiple

911131314151516171919262939394043505455555962626467676770707173

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VI.VII.VIII.IX.X.XI.

§3I.II.III.IV.V.VI.VII.VIII.IX.X.XI.XII.XIII.XIV.

§4I.II.III.IV.a)b)c)

V.

VI.

VII.

VIII.

IX.

Regresión polinomialRegresión polinomial cuadráticaRegresión no linealCoeficiente de correlación múltiple R²Prueba de significancíaProblemasPrincipios de diseño experimentalIntroducciónTipo de experimentosUnidades experimentales y muéstralesFuente de variaciónControl de la variación del no tratamientoPropiedades del diseño estadísticoReplicaciónAleatorizaciónControl localClasificación de los diseñosEstrategia del diseñoDiseño de tratamientosDiseño de muestreoEstudio experimentalProblemasDiseño experimental aplicado a cienciasIntroducciónLimitacionesPredicciónDiseño experimentalDiseño aleatorizadoDiseño unifactorial con n nivelesDiseño de parcelas divididasProblemasDiseño totalmente aleatorizadoProblemasDiseño de bloques aleatorizadosProblemasDiseño cuadrado latinoProblemasDiseño cuadrado greco – latinoProblemasPrueba de intervalos múltiples de DuncanDiseño doble reverso

74757677778183838486879092969799

101103104105106110111111111112113113114118121129131134141143147151153154154

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X.

XI.XII.§5I.II.III.IV.V.VI.

§6I.

II.III.IV.

V.VI.VII

VIII.

IX.

X.XI.XII.XIII.XIV.XV.

XVI.XVII.XVI-II.

XIX.

ProblemasEstimación de parámetros del modeloPolinomio ortogonalMétodos de análisisIntroducciónMétodos no paramétricosPrueba U de Mann – WhitneyPrueba H de Kruskal – WallisMétodos multivariablesCorrelación de SpearmanProblemasDiseños experimentales aplicado a ingenie-ríaIntroducciónProblemasDiseños bifactorialesComparación múltipleDiseño anidadoProblemasDiseños factorialesDiseño factorial 2n

Diseño factorial 2²ProblemasDiseño factorial 2³ProblemasDiseño factorial 2k replicadoProblemasDiseño 2k con pruebas centralesDiseño confundidoDiseño factorial 2k con dos bloquesDiseño factorial 2k con cuatro bloquesDiseño factorial 2k con bloques replicadosAlgoritmo de YatesProblemasDiseño factorial fraccionadoMedio fraccionado del diseño 2k

Cuarto fraccionado del diseño 2k

ProblemasDiseño Plackett – BurmanProblemasDiseños factoriales 3n

157158159161161162162165166168171173173176177180182184186188189195205221225228231233233235236237239244245247250258263266270

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XX.

XXI.XXII.A.B.C.

D.E.

F.G.

§7I.II.III.IV.V.VI:VII:VIII:IX.X.XI.XII.XIII.

ProblemasDiseños rotablesDiseños rotables con dos factoresDiseño trigonalDiseño pentagonalDiseño hexagonalProblemasDiseño octogonalDiseño compuesto centradoProblemasDiseño experimental comercial – EXCODiseño SeveroDiseño factorial centrado de dos factoresDiseño Factorial centrado de tres factoresDiseño rotable centrado de n factoresProblemasSuperficie respuestaIntroducciónSuperficie respuestaPolinomio de primer ordenPrueba de significanciaPrueba de falta de ajusteMáxima pendiente ascendentePolinomio de segundo ordenCaracterización de la superficie respuestaDiseño de superficie respuesta cuadráticoSuperficie de respuesta cuadráticaExploración de superficie respuestaPunto estacionarioCriterio de formas cuadráticasAnexoReferencias

275275275276276280281282291295298300305308311323323323324325326328331333340350354367368387393

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PRÓLOGO

El objetivo primordial del presente libro es presentar los conceptos para diferentes situaciones reales que se ven a dia-rio en el campo social, industrial y experimental. Se ha conce-bido primordialmente como un texto introductorio en planifi-cación y control de operaciones a nivel laboratorio, bach e in-dustrial. También se ha proyectado como un libro de referen-cia para agronomomos, alimentarios, pesqueros, biologos, medicos, civiles, geógrafos, ambientalistas, mecánicos, mine-ros, metalurgistas y químicos de Pre, Postgrado y Maestría, practicantes y científicos encargados de la planificación y operación de sistemas productivos tanto en la ciencia como en la ingeniería.

El libro es el resultado de conferencias ofrecidas en diferen-tes centros académicos latinoamericanos. Se ha intentado re-saltar los conceptos técnicos y afirmando sin duda y sin excu-sas que la presentación es exactamente fidedigna. Se presen-tan los conceptos que considero pueden contribuir más a la comprensión de los principios, con referencia a los que pue-den realizarse con los conocimientos básicos y las posibilida-des e instrumentos de la tecnología actual.

Se ha intentado presentar un marco conceptual que estimule la habilidad del lector de las diversas ramas del saber (Biolo-gía, Medicina, Ciencias Sociales, Economía, Administración, Ingenierías y áreas Técnicas) para entender la manera en que

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los factores (variables) interactúan en un sistema real de tra-bajo.

La orientación del libro, no esta matemáticamente sofisticado. Los conocimientos previos necesarios como el cálculo, proba-bilidades y estadística descriptiva. En algunas secciones se realiza el uso de operaciones elementales de matrices.

El libro está diseñado como un manual dividido en partes con capítulos para su mejor comprensión. Se propone servir como fuente de referencia para tratar casos específic0s de los lecto-res.

Los ejemplos resueltos (fueron desarrollados aplicando los programas estadísticos Statgraphics Centurion y ESPC elabo-rado para el presente libro), sirven para ilustrar y ampliar las teorías, sin lo cual el lector sentiría un vació. Las demostra-ciones de procesos industriales se incluyen en ello. Los pro-blemas suplementarios completan la revisión del material tra-tado en cada tema.

El material cubre un curso habitual con el fin de flexibilizar, ampliar y mejorar los sistemas curriculares, siendo este un li-bro de consulta para interés de otros temas.

No deseo finalizar sin agradecer a mi amigo Luis Solórzano Espinola por la revisión minuciosa y detallada de la presente edición del presente libro, su tiempo y esfuerzo es un aporte a la ciencia y tecnolgía como él siempre viene desarrollando en las aulas con los estudiantes de pre grado.

Finalmente deseo agradecer a CONCYTEC por tan importante aporte a la educación a nivel de nuestro país, así mismo estoy en deuda con muchas universidades latinoamericanas guber-namentales como privadas por la cooperación para la elabora-ción del presente, de igual manera con prestigiosos colegas por su colaboración para la culminación de tan importante te-ma.

Palacios C. SeveroCEO Proceso SEVERO

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Móvil: (+511) [email protected]

INTRODUCCIÓN

Si su trabajo tiene que ver con la investigación científica – tecnológica (ciencias e ingeniería). Probablemente se ha dado cuenta que la mayoría de los libros de estadística (básica y avanzada) son abstractos y no ayudan mucho en el tratamien-to de la base de datos, pero usted sabe que el proceso al cual estudia funciona (de manera eficiente y sin problemas), es por ello que se tuvo que realizar el esfuerzo a fin de brindar al amable lector un texto con características nuevas a fin de po-der llenar muchos vacíos, los cuales son parte de la experien-cia.

Lo que desea saber el investigador es como analizar e inter-pretar los datos de un proceso para tomar una decisión sobre los rangos óptimos, pero necesita saber cómo llevar a cabo una prueba experimental (laboratorio, bach e industrial); sabe que la estadística experimental le ayudara a seleccionar los rangos (niveles) y variables (factores) significativas del proce-sos innovativo, pero requiere ideas sobre como seleccionar

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estos. En la presente obra le explicaremos y despejaremos sus dudas.

La palabra estadística se origina, en las técnicas de recolec-ción, organización, conservación, y tratamiento de las diver-sas bases de datos propios, con que los antiguos gobernantes controlaban sus súbditos y dominios económicos. Estas técni-cas evolucionaron a la par con el desarrollo de las matemáti-cas utilizando sus herramientas en el proceso del análisis e in-terpretación de la información.

Estadística Experimental aplicada a ciencia e Ingeniería, el li-bro que en esta ocasión presento a los lectores de habla his-pana, es un importante aporte. Por lo útil y por la novedad de su enfoque, a la falta de bibliografía. Para comprender los be-neficios que pueden derivarse de la utilización de los concep-tos (fundamentos) presentados, conviene tener presente la complejidad creciente de nuestras industrias (automatiza-ción), impuesta por los diferentes factores que están incidien-do en el cambio vertiginoso que caracteriza a nuestra época (competitividad) y que, en mayor o menor grado, con mayor o menor velocidad, llega a todas las regiones y países del mun-do. Veamos algunos de los factores de complejidad en opera-ciones industriales. La planta recibe órdenes de producción que deban ser procesados y cumplidos en un lapso determina-do, utilizando recursos internos y externos casi siempre esca-sos.

La importancia de los resultados, anticipado en la toma de de-cisiones, empieza a buscar respuestas a otro tipo de pregun-tas ¿Qué es lo mejor? ¿Cómo optimizar un determinado con-junto de variables para alcanzar un fin específico? Que signifi-can nuestros datos y que grado de confianza podemos tener en ello visto una predicción.

El mundo actual requiere otras herramientas analíticas, aque-llas que nos permitan crear modelos (lenguaje de comunica-ción) y definir relaciones entre diversos factores (interaccio-nes). Esto requiere entre otras cosas que podamos guardar conjuntos particulares de datos aparte de las rutinas de análi-sis (numérico y sostenible) que se realicen en base a ella.

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El presente texto no pretende teorizar el saber estadístico, desde luego, no es un libro para estadísticos, ya que, adrede se obvia el rigor científico de lo expuesto en beneficio de la sencillez necesaria para el neófito; con un lenguaje coloquial se conduce al lector a través del contenido, a partir de dos o tres ejemplos que ilustran la aplicabilidad de los temas trata-dos.

El avance tecnológico en la informática ha contribuido enor-memente al desarrollo de la estadística, sobre todo en la ma-nipulación de la información, pues en el mercado existen pa-quetes estadísticos de excelente calidad, como el SAS, SPSS, SCA, Statgraphics, amén de otros, que corren en un ordena-dor sin mayores exigencias técnicas, permitiendo el manejo de grandes volúmenes de información y de variables.

§1ESTADÍSTICA BÁSICA

(...) Conseguimos obtener así la fórmula estadística para conocer aproximadamente la posición de un electrón en un instante determi-nado. Pero, personalmente, no creo que Dios juegue a los dados.

Albert Einstein

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I. INTRODUCCIÓN

En las últimas décadas la estadística ha alcanzado un alto grado de desarrollo, hasta el punto de incursionar en la totali-dad de las ciencias e ingeniería; inclusive, en la lingüística se aplican técnicas estadísticas para esclarecer la paternidad de un escrito o los caracteres más relevantes de un idioma.

La estadística es una ciencia auxiliar para todas las ramas del saber humano; su utilidad se entiende mejor si tenemos en cuenta que los quehaceres y decisiones diarias embargan cierto grado de incertidumbre y la estadística ayuda en la in-certidumbre, trabaja con ella y nos orienta para tomar las de-cisiones con un determinado grado de confianza.

Los críticos de la estadística afirman que a través de ella es posible probar cualquier cosa que sucede en la naturaleza, lo cual es un concepto profano que se deriva de la ignorancia en este campo y de lo polifacético de los métodos estadísticos. Sin embargo muchos investigadores tendenciosos han cometi-do abusos con la estadística, elaborando investigaciones de intención, teniendo previamente los resultados que les intere-san mostrar a personas ingenuas y desconocedoras de los he-chos. Otros, por ignorancia o negligencia, abusan de la esta-dística utilizando modelos inapropiados o razonamientos ilógi-cos y erróneos que conducen al rotundo fracaso de sus inves-tigaciones.

A veces nuestras vidas parecen estar controladas por estadís-ticas. De informes sobre el tiempo, lectura de las presiones sanguíneas, todos tenemos que ver rutinariamente con una amplia variedad de medidas estadísticas.El análisis estadístico es útil para la investigación (tecnológi-ca y científica), pues ayuda a resumir e interpretar el gran vo-lumen de cifras que resultan aún en la encuesta más peque-ña. Los principios estadísticos que se usan en la investigación provienen en gran escala de las ciencias sociales, economía e ingeniería.

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Como resultado hay gran cantidad de libros enteros sobre es-tadística, probablemente más que sobre cualquier otro aspec-to de la investigación.

El propósito de la presente obra es darle a usted una visión panorámica de los tipos de medidas estadísticas más impor-tantes que se usan. Si usted requiere información más deta-llada, consulte algunos de los muchos libros buenos en esta-dística que están disponibles1.

Aunque existen centenares de medidas y pruebas estadísticas que pueden utilizar los investigadores, nosotros estudiaremos los de amplia aplicación para desarrollar los trabajos prácti-cos.

II. RECOPILACIÓN DE DATOS

El primer paso para describir un fenómeno natural es reunir los datos estadísticos necesarios. La fuente de los datos pue-de clasificarse como internas o externas.

Los datos internos incluyen estadísticas sobre las operaciones de la empresa, tales como estadísticas de producción, comer-cialización, transformación, etc.

Los datos estadísticos no vinculados con el funcionamiento de la empresa propiamente dicha se llaman datos externos.

La gerencia de producción de una fábrica de fundición puede necesitar información sobre la cantidad de cierto metal en el mercado nacional, con el propósito de estimar las ventas a 10 años plazo.

Hay enormes cantidades de datos comerciales, empresariales, farmacéuticos, que pueden consultarse en las bibliotecas pú-blicas y en las universidades.

El gobierno es el mayor editor de estadísticas anuales, men-suales, semanales, diarias. Una publicación anual del Instituto Nacional de Estadística contiene más de mil páginas de datos sobre precios, educación, producción y otros puntos, que son 1 Ver referencias bibliográficas

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de utilidad para los que procesan datos: economistas, analis-tas y demás profesionales.

III. CUESTIONARIO COMO FUENTE DE DATOS

Los datos estadísticos relativos a la opinión corriente de los consumidores sobre determinados programas de televisión, nuevos productos, candidatos políticos y otros, no pueden ha-llarse en publicaciones. Por ello, este tipo de información de-be reunirse a través de la entrevista personal, por cuestiona-rios o algún otro medio. La ventaja de ello es el alto porcenta-je de respuestas posibles. Sin embargo, es por regla general más costosa que enviar cuestionarios por correo.

Las firmas de analistas y consultores saben que es inconve-niente el formulario postal como instrumento para recopilar datos por ser relativamente bajo el porcentaje de respuestas a ciertos cuestionarios.

La conveniencia principal del cuestionario como técnica de recopilación de datos es sus costos relativamente bajo.

IV. PRESENTACIÓN DE DATOS

Gráfica de líneas simples y de barras simples. Cualquiera de estos dos tipos de gráfico puede utilizarse ventajosamente para representar la tendencia general de la producción.

El cúmulo de datos estadísticos dentro de una empresa, de fuentes publicadas, o recopilados por entrevistas personales, no está usualmente apta para un análisis. Los datos deben or-ganizarse y presentarse en una tabla o gráfico, antes de efec-tuar ningún análisis ni interpretación. Si se necesitan cifras exactas de un informe convendría presentar los datos en una tabla. En caso contrario, es preferible un gráfico para atraer la atención del lector.

Gráfico de líneas múltiples y de barras múltiples. La ten-dencia o movimiento de las exportaciones de dos comerciali-zadoras se pueden representar gráficamente.

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Gráfico de barras de componentes. El gerente de ventas de una embotelladora desea graficar el total de ventas en tres años y también la variedad de los productos en relación con el total. Podría utilizar un gráfico de líneas o un gráfico de ba-rras.Gráfico de barras bi direccionales. Para indicar los cam-bios porcentuales puede utilizarse un gráfico bi direccional, que también es útil para ilustrar ganancias y pérdidas, pro-ducción o ventas cobre lo normal o bajo lo normal de un pe-ríodo a otro. Por ejemplo, se representan los cambios porcen-tuales de ventas correspondientes a cinco años de ventas:

Sucursales Ventas CambioPorcentual2005 2010

Mercado Central 10 8 -20Mercado Sur 5 7 +40Mercado Norte 2 4 +100Mercado Este 6 3 -50Mercado Oeste 10 11 +10

V. ANÁLISIS DE DATOS

Un análisis de datos suele seguir los siguientes pasos:

Análisis exploratorio de datos: Estadística descriptiva de cada variable por separado. Se obtienen medidas de tenden-cia central, variabilidad, representación gráfica, etc. Se pre-tende conocer cada variable así como detectar errores, valo-res extremos.

Estadística Bivariable: Estudia las relaciones entre pares de variables, utilizando estadísticos como el coeficiente de corre-lación Chi–cuadrado, t de Student, etc. y representaciones gráficas diversas.

Análisis Multivariante: Analiza simultáneamente dos o más variables. Los métodos pueden ser predictivos cuando existe una variable criterio o independiente que se explica o identifi-ca por un conjunto de variables independientes, predoctoras o explicativas (Regresión lineal, Regresión cuadrática, análi-sis discriminante, análisis de varianza) o reductivos cuando se estudian las relaciones entre un conjunto de variables o casos sin que exista una variable a identificar (componentes princi-

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pales, análisis factorial, correspondencia binaria, correspon-dencia múltiple).

Usos de variables en el análisis

Las variables pueden ser definidas para medir una determina-da salida o respuesta o bien para explicar por que se obtiene una determinada salida. Por ejemplo en el estudio de una en-fermedad, las variables edad, antecedentes, severidad del es-tado, tratamiento son variables explicativas o independientes. Las variables discretas sana/no sana es la variable dependien-te.

En ciertos análisis exploratorios todas las variables se usan como un único conjunto, sin distinción entre independientes y dependientes.

Análisis apropiado de datos

Son dos motivos por lo que resulta difícil la elección de la téc-nica estadística adecuada para un investigador con datos rea-les.

El primero es que los libros de estadística y los cursos curri-culares se presentan en un orden lógico desde el punto de vis-ta de la enseñanza de las materias, pero desde el punto de vista del proceso del análisis de datos.

La segunda es que los datos reales contienen mezcla de tipos de datos que hacen la elección del análisis arbitrario.

Una buena estrategia consiste en aplicar diferentes análisis al mismo conjunto de datos, lo que nos proporcionará informa-ción variada sobre el fenómeno en estudio.

Para decidir el análisis apropiado se clasifican las variables como:

Independiente frente a dependientes Nominal u ordinaria frente intervalos

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VI. DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA

Los problemas industriales abarcan una gran masa de datos cuantitativos a los que deben darse ciertas formas significati-vas antes de poder efectuar ningún análisis e interpretación. Una forma de uso corriente es la distribución de frecuencia. Existen dos tipos de variables, a saber: discretas y continuas. El análisis de la distribución de frecuencia se refiere a datos continuos.

Ordenamiento

Los datos que se haya sin agrupar son difíciles de analizar. Sea, por ejemplo, determinar los ingresos bajos y los elevados y un punto central de concentración, si lo hubiere.Por lo tanto es esencial, para analizar las entradas, organizar los datos que están sin agrupar en una forma agrupada llama-da distribución de frecuencia.

Según la naturaleza de la variable estudiada las distribucio-nes de frecuencias pueden ser:

Datos no agrupados: se presentan cuando el número de va-lores que puede presentar la variable no es muy elevado, y en ese caso podemos observar todos los valores de esa variable. Este caso se presenta cuando la variable es discreta y conti-nua no presenta excesivos valores.

Datos en intervalos: se presenta cuando la variable es conti-nua o cuando es discreta pero con elevado número de valores. En esta situación se agrupan dichos valores en intervalos o clases. Los intervalos se notan: es intervalo i-ésimo. Se llama amplitud del intervalo a la distancia que existe entre los extremos.

Se llama marca de clase al punto medio de un intervalo. Este punto es importante porque es el representante del intervalo.

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Se llama densidad de frecuencia de un intervalo a la frecuen-cia correspondiente a cada unidad de la variable en dicho in-tervalo.

Los intervalos se suelen tomar abiertos por la izquierda y ce-rrados por la derecha, salvo el primero que se toma cerrado por los dos lados. En este tipo de distribuciones se pierde parte de la informa-ción al agruparlas en intervalos, ya no se puede hablar de va-lores concretos sino de intervalos.

Cuanto mayor sea la amplitud de los intervalos menos inter-valos habrá, y por tanto menos precisión tendremos. En cam-bio, cuanto menor sea la amplitud de los intervalos menos in-tervalos habrá, y mayor será la precisión, sin embargo la dis-tribución será mas grande y más difícil de manejar.

Intervalo de clase

Con el propósito de preparar una distribución de frecuencia a partir del ordenamiento y el apuntado, los ingresos podrían agruparse arbitrariamente en clases con un intervalo digamos 250 dólares. Este valor se denomina amplitud de clase. El in-tervalo de clase es, sencillo, la amplitud de los ingresos men-suales para cada clase. Una manera conveniente de determi-narlo es encontrar la diferencia entre los límites inferiores de dos clases adyacentes o la diferencia entre las marcas de cla-se adyacente.

VII. CRITERIOS DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA

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En la práctica, la cantidad total de clases varía usualmente de un mínimo de 5 a un máximo de 20. El hecho de que sean muy pocas o muchas clases no nos aclara la característica es-encial de los datos. Por ejemplo, si organizamos los ingresos de los operadores de computadoras solamente en dos clases:

Ingreso Mensual (US$)

Cantidad de opera-rios

De 250 a 400De 400 a 600

2523

Un análisis de distribución de frecuencia no revelaría mucho acerca de la estructura de los ingresos de los operarios.

Siempre que sea posible, el intervalo entre todas las clases se la distribución de frecuencia deberá ser igual. Los intervalos desiguales originan problemas al graficar y al calcular prome-dios y otras medias estadística.

VIII. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Una medida de tendencia central es un número que represen-ta el valor central de un conjunto de valores. Habitualmente, estas medidas se llaman promedios. He aquí algunos ejem-plos: el ingreso promedio de una familia, es de US$ 1500 por año; para el peso promedio de 60 fardos de fibra de llama uti-lizados para el tejido de alfombras y un diámetro promedio de pistones maquinados durante un jornal.

En el presente se consideran las herramientas estadísticas que más comúnmente se usan:

Media aritmética

Generalmente se le llama media o promedio. La media es sim-plemente la suma de una serie de datos numéricos dividida por el número total de ellos.

Es apropiado usar la media cuando los resultados son simétri-cos y tienen una distribución normal. Pero existen casos que estudiaremos a continuación:

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Datos no agrupados: Si los datos no están agrupados la me-dia aritmética se calcula tomando todas las mediciones y divi-diendo la suma por el número de éstos.

Datos agrupados: La resistencia a la tracción de varios fila-mentos son 6, 6, 7, 7, 8, 8, y 9,4. Estos valores se agrupan en una distribución de frecuencia.

El punto medio de cada clase se usa para representar la cla-se. El punto medio de la clase se multiplica entonces por el número de frecuencia en esa clase. La suma de estos produc-tos se divide por la cantidad total de datos para obtener la media aritmética.

Ejemplo 1.1La tabla 1.1 muestra los puntajes de tres artículos en una prueba de degustación, usando preguntas cualitativas de es-calas, a fin de cuantificar los valores.

Todos los productos probados tienen la misma media. La me-dia de 20 es esta escala es bastante descriptiva de la distribu-ción normal del producto 1, pero sería engañoso si se usara para describir el producto 2 ó el producto 3. La mayoría de los resultados en una investigación tienen una distribución normal (es decir, en forma de campana alrededor de un punto medio) pero otras distribuciones son lo bastante comunes co-mo para que se deba verificar siempre, antes de usar la me-dia, si ésta es en realidad descriptiva.

La media tiene otra debilidad sobre la que se debe estar aler-ta: se ve afectada por las observaciones extremas.

Tabla 1.1 Puntaje de tres productos en preguntas de degustaciónNivel de

degustaciónProducto

1 2 354321

10570510

2020202020

0505000

Media 20 20 20

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Ejemplo 1.2Si los ingresos de dos profesionales se promedian con los in-gresos de diez peones, el ingreso para todos los doce será de más de US$ 250, que obviamente es una cifra engañosa, si se evita usar la media para datos que no tengan una distribución normal o para datos que incluyan observaciones extremas, és-ta es la medida estadística más útil para describir el prome-dio.

Tabla 1.2 Mano de obra por día para cada productoPersonal Jornal

(US$) Producto 1 Producto 2CalificadoSemi calificadoNo calificado

20105

853

852

Media aritmética ponderada

Permite calcular un promedio que toma en cuenta la impor-tancia o el factor que tiene cada valor sobre el total. Todas las medias aritméticas son ponderadas. Si no se dan factores es-pecíficos a todos y cada uno de los valores de la serie.

Ejemplo 1.3Una empresa desea contratar tres tipos de personal: califica-do, semi calificado y no calificado, para la producción de cier-tos artefactos. La gerencia desea conocer el costo promedio de mano de obra por día para cada producto.

El promedio aritmético simple es:

El costo de mano de obra promedio del producto 1 es,

Y para una unidad del producto 2 es,

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El análisis de esta manera es incorrecto, ya que no se toma en cuenta que se trabaja con diferente personal.

Ejemplo 1.4Se compra material de construcción a tres empresas comer-cializadoras siendo sus costos: 80 kilo a 0,5 dólares por kilo, 20 kilo a 0,7 dólares y 10 kilos a 0,9 dólares.

Determine el precio promedio por kilos de alambrón.

Tabla 1,3 Precio por kilo de alambrónPrecio por kilo

(Xi)Kilo comprado

(mi)0,50,70,9

802010

Total 110

Aplicando la fórmula

Comparando con el promedio simple

Media armónica

Es el inverso del valor medio, se la utiliza con frecuencia para la medición y análisis de flujos volumétricos.

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Ejemplo 1.5Calcular el flujo volumétrico medio (FVM) de dos bombas que entregan combustible 10000 litros a razón de 500 litros por minuto y 10000 litros a razón de 100 litros por minuto, n = 2

El resultado también puede obtenerse calculando el tiempo necesario para bombear 10000 litros con los dos flujos volu-métricos y dividiendo el resultado por el número total de li-tros bombeados, es decir:

r1 = 10000/500 = 20 minr2 = 10000/100 = 100 minFVM = (10000 + 10000)/120 = 166,7 l/min

Obsérvese que el valor medio es de 300 litros por minuto, casi el doble de la media armónica.

Media geométrica

La media geométrica Xg es la n-raíz de los productos de la n observaciones medidas, de amplia utilidad en economía.

En forma logarítmica

Una aplicación importante es determinar el incremento por-centual promedio en ventas, producción u otras variables co-rrespondientes a un lapso dado.Una modificación de la fórmula es:

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Palacios C. Severo

Ejemplo 1.6Supongamos que durante cinco años de una economía infla-cionaria, las entidades crediticias pagan tasas altas de interés de 10, 20, 25, 30 y 40 por ciento.

Hallar la tasa de interés promedio anual de un depósito de 1000 dólares.

Tabla 1.4 Economía inflacionariaAño

Tasa de inte-rés

Factor de creci-miento

Ahorro al final de año (US$)

12345

1020253040

23

3,545

1000*2 = 20002000*3 = 6000

6000*3,5 = 2100021000*4 = 84000

84000*5 = 420000

El factor de crecimiento anual, será:

Pero 3,5 = 1 + 25/10

Corresponde a una tasa de interés promedio de 20% anual.

Entonces, el depósito de 1000 dólares crecerá en cinco años:

Este es un valor excedente al real en más de US$ 10521 - 8,75 un error muy considerable.

Usando la media geométrica, el factor de crecimiento prome-dio Anual corresponde a una tasa de interés promedio de 235% anual o 3,35 = 1 + 235/100 entonces el depósito de 1000 dólares crecerá en cinco años a:

Siendo está la media más apropiada para el caso.

Media cuadrática26


De un conjunto de números Xn es denotado por la raíz cuadra-da de la media cuadrática y es definida como:

Ejemplo 1.7Evalué los datos que se muestran a continuación 1, 5, 7 y 9

Mediana

Se llama mediana de una variable estadística a aquel valor de la variable tal que el número de observaciones menores que él es igual que el número de observaciones mayores. Se nota Me y se puede considerar como el punto de abscisas cuya or-denada en la curva vale ½.

Datos no agrupados: La mediana es el valor correspondien-te a un punto de una escala con respecto al cual la mitad su-perior agrupa igual cantidad de valores que la mitad inferior. Para determinar la mediana de datos no agrupados se orde-nan, en primer lugar, de menor a mayor.

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Palacios C. Severo

Datos agrupados: Ordenar algunas observaciones no agru-padas de menor a mayor y elegir el valor central representa poco trabajo. Sin embargo, si son muchas las observaciones siempre es un problema ordenarla y encontrar el punto me-dio. En cambio, en datos cuantitativos es posible clasificarla directamente en clases y hallar una aproximación de la me-diana en función de la distribución de frecuencia resultante.

La mediana se puede clasificar con la fórmula siguiente:

Donde:

L Límite inferior de la clase en que se ubica la medianan Cantidad de datosF Frecuencia acumulativa para la clase inmediata inferiorf Frecuencia en la clase mediai Amplitud del intervalo de clase

Ejemplo 1.8Ordene los valores por su magnitud, obtenga la mediana. 92,3 92,6 92,5 92,8 92,4.

Resulta ser la mediana 92,5

Moda

La moda es la única medida que se puede definir para carac-teres cualitativos. Se define la moda de una distribución como aquel valor que se ha presentado más veces, es decir, es aquel que su frecuencia absoluta es máxima.

Si la distribución es agrupada en intervalos se habla de inter-valo modal.

Una moda en una distribución no tiene por qué ser única, puede haber más de una en una misma distribución, y enton-ces se habla de distribuciones bimodales, trimodales, o en ge-neral plurimodales.

28


Datos no agrupados: El modo se define como el valor de la observación que aparece con mayor frecuencia. Cuando exis-te solo un modo, la distribución se llama unimodal, si existen dos valores que aparecen con frecuencia, la distribución reci-be la denominación bimodal.

Datos agrupados: El modo observado para datos agrupados en una distribución de frecuencia es el punto medio de la cla-se en donde se encuentra el mayor número de frecuencia.

IX. MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Las medidas de dispersión nos van a informar sobre el grado de esparcimiento de la distribución, es decir, nos van a decir si los valores que aparecen están más o menos concentrados. Por tanto, nos van informar también sobre el grado de repre-sentatividad de la medida de posición, pues cuanto más con-centrados estén los valores que toma la variable mejor repre-sentará un solo valor a toda la distribución.

Varianza

La varianza es una medida de dispersión que mide el grado de esparcimiento de una distribución alrededor de la media aritmética. Cuanto más grande sea la varianza más esparci-dos estarán los valores de la variable. La varianza se suele no-tar σ2 y se calcula:

Al igual que en la media aritmética los Xi representan a los va-lores de la variable si es una distribución no agrupada y a las marcas de clase si es una distribución agrupada en intervalos.

La varianza es la suma de las desviaciones de los valores de la variable sobre la media aritmética ponderada por las frecuen-cias. Por lo tanto, cuanto menor sea la varianza más agrupada estará la distribución en torno a su media aritmética.

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Palacios C. Severo

La varianza viene expresada en las mismas unidades que la variable pero al cuadrado.

Desviación típica

La desviación típica se define para obtener una medida de dispersión que venga expresada en las mismas unidades que la variable. Se define como la raíz cuadrada de la varianza.

Coeficiente de variación

Tanto la varianza como la desviación típica son medidas de dispersión absoluta, es decir, nos hablan de la dispersión de la variable que estamos estudiando, pero no nos permiten comparar la dispersión de dos distribuciones distintas.

El coeficiente de variación es una medida de dispersión rela-tiva que nos va permitir comparar dos distribuciones distin-tas, se define como el cociente entre la desviación típica y la media aritmética.

El coeficiente de variación es un coeficiente adimensional y solo se puede definir cuando la media aritmética es distinta de cero. Para comparar la dispersión de dos distribuciones basta con comparar sus coeficientes de variación, aquella que su coefi-ciente de variación sea menor es la que esta más concentrada en torno a su media aritmética.

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Problemas

(1) Un operario que trabaja a jornal gana por mes US$ 150, otro mes US$ 120 y otro mes US$ 140.¿Cuánto gana en promedio mensualmente?

(2) Los ingresos sobre ventas en una tienda comercial se evalúan cada semestre. Los siguientes datos represen-tan, los ingresos (en dólares) por cada mes: 300, 280, 350, 320, 290 y 325Determine el ingreso medio de la muestra.

(3) Durante dos semanas se ha observado la temperatura en °C al medio día, siendo los resultados:

12 10 14 18 9 8 108 9 11 10 11 10 11

Determine la temperatura media de la muestra.(4) Calcular la media de los datos agrupados:

Y 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50n 3 4 6 2 2 3 1 1 2 2 4

(5) Un grupo de micro empresarios, trabajan con obreros eventuales. Ciertos días trabajan con seis, ocho y cuatro.En la mayoría de las veces trabajan con siete obreros, siendo en total ocho micro empresas.Cuál es el promedio de obreros por micro empresa

(6) Supongamos que se han registrado 50 observaciones referentes a los pesos de 50 garrafas de gas licuado, la muestra fue obtenida de la producción por hora y las unidades están dadas en kilogramo9.8 9.3 9,5 9,2 9,4 9,2 9,3 9,3 9,5 9,49,2 9,3 9,5 9,3 9,4 9,3 9,2 9,1 9,3 9,39,4 9,5 9,4 9,4 9,2 9,4 9,6, 9,6 9,3 9,19,4 9,2 9,5 9,3 9,2 9,3 9,2 9,3 9,4 9,6

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Palacios C. Severo

9,4 9,3 9,4 9,3 9,4 9,3 9,3 9,4 9,2 9,4Calcule el peso promedio de las garrafasSi el peso estándar es de 10 kilos cuanto de gas falta en promedio

(7) La temperatura registrada en un vivero, a cierta hora de un día cualquiera, en grados centígrados, fueron 30, 32, 39, 32, 33, 31, 38, 37, 32 y 31.Determine la media en grados Fahrenheit.

(8) Un proyecto económico muestra que el consumo de alimentos de un barrio marginal de 350 personas es en promedio de US$ 120 mensuales. Halle la media del gas-to diario en alimentación.

(9) El ingreso percapite mensual en un país es US$ 250. El sector del magisterio constituye el 60% de la pobla-ción que percibe el 2/5 del ingreso total. Calcule el in-greso medio por habitante del sector.

(10) Una empresa A tiene 80 empleados con un sueldo pro-medio mensual de 180 dólares por empleado. La empre-sa B tiene 120 empleados con un sueldo promedio men-sual por empleado de 200 dólares por empleado, calcu-lar:Cuál es el sueldo promedio mensual de las dos empresas en conjuntoSe agrega una tercera empresa con 40 empleados y un sueldo promedio mensual de 250 dólares por empleado.¿Cuál es el sueldo promedio de las tres empresas en conjunto?

(11) Se compran 100 kilos de carne de res a 2,3 dólares por kilo, 50 kilos de carne de cerdo a 2,8 dólares por kilo y 20 kilos de carne de cordero a 1,8 dólares por kilo. Un plato de Buffet tiene un costo de 8 dólares en donde se incluyen los tres tipos de carnes a razón de 1:0,5:0,2 respectivamente.¿Determine el promedio de platos Buffet que podrán prepararse y cuanto de carne sobra?

(12) Una empresa industrial fabrica azulejos a 60 dólares por metro cuadrado, jarrones a 20 dólares la unidad y floreros a 5 dólares por unidad. Un decorador desea ad-quirir dichos productos pero cuenta tan sólo con 500 dó-lares y tiene un ambiente de 20 metros cuadrados.

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¿Determine el promedio de cada producto para la deco-ración del ambiente?

(13) Un proyecto minero posee cuatro ingenios auríferos. El ingenio A tiene una ley de cabeza de 8 gramos por to-nelada y trabajan 20 mineros. El ingenio B tiene una ley de cabeza de 4 gramos por tonelada y trabajan 12 mine-ros. El ingenio C tiene una ley de cabeza de 12 gramos por tonelada y trabajan 25 mineros. El ingenio D tiene una ley 2 gramos por tonelada y trabajan 25 mineros.¿Determine la media aritmética y la media geométrica de la ley de cabeza?Si el costo real del oro es de 30,2 dólares por gramo.¿Evalué el costo de mano de obra, siend0 la relación de producción de A=2B, C=5D, A=3D en cada ingenio?¿En que ingenio se trabaja a perdida?

(14) Se tiene sospecha de que en las aguas subterráneas las concentraciones de nitritos superan las normas esta-blecidas para la crianza de peces, dicha concentración es de 0,03 mg NO2/l. Para tratar de verificar la sospe-cha, se midieron los niveles de nitritos en diez puntos aleatorios del acuífero y se obtuvieron los siguientes da-tos.0,02

0,05

0,03

0,05

0,04

0,06

0,07

0,03

0,04

0,03

Estime el nivel de confianza al 90% que las concentra-ciones de nitritos superan las normas establecidas para que sea factible la existencia de vida piscícola en la zo-na.

(15) Los datos obtenidos de una muestra aleatoria simple de tamaño 30 de la distribución X, porcentaje de incre-mento del contenido de alcohol en la sangre de una per-sona, después de ingerir cuatro cervezas es.

Calcular un intervalo de confianza del 90% para el por-centaje medio de alcohol en la sangre de una persona, después de tomar cuatro cervezas.Si se calcula un intervalo de confianza del 95%, cual se-rá el de mayor o menor amplitud.

(16) El 2000 se reforestaron más de 3 millones de acres con dos mil millones de plantas de viveros. Una grave sequía durante las siguientes estaciones mató a muchas

33

Palacios C. Severo

de estas plantas. Se obtuvo una muestra de 1000 plantas y se descubrió que 300 estaban muertas. Obtener un in-tervalo de confianza del 90% de la proporción de plantas del vivero muertas. Utilizar dicha información para esti-mar el número de plantas muertas en la población.

(17) La capacidad de los equipos de vidrio producido en una determinada empresa de vidrio tiene una distribu-ción normal. Una muestra aleatoria de 7 de ellas dio co-mo resultado un varianza de 62 mililitros. Dar una esti-mación, mediante un intervalo de confianza del 95% de la varianza de la capacidad del equipo de vidrio que fa-brica dicha empresa.

(18) Se quiere estudiar la eficacia de un tratamiento para eliminar una bacteria de un pino. En una muestra alea-toria de 150 pinos sometidos al tratamiento, 118 resulta-ron sanos. En otra muestra aleatoria de 130 pinos no tratados, los pinos sanos fueron 91.Construir un intervalo de confianza del 95% para la dife-rencia en la taza de pinos sanos entre los tratados y los no tratados.A que conclusión llega respecto a la efectividad del tra-tamiento.

(19) Para estudiar el rendimiento de dos tipos de cereales se hacen 20 determinaciones en parcelas donde se ha sembrado cereal del tipo A y 18 determinaciones en par-celas con cereales tipo B con los resultados siguientes.

Son igualmente efectivos para el cultivo los cereales A y B al nivel de confianza del 90%

(20) Se realizó un estudio para comparar en lácteos el con-tenido de sodio en el plasma y en leche. Se obtuvieron las siguientes observaciones sobre el contenido de sodio (mili moles por litro de leche), en 10 envases aleatoria-mente seleccionadas.

Enva-se

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

LechePlas-ma

93147

104

157

95142

81141

95142

95147

76148

80144

79144

87146

34


Hallar un intervalo de confianza del 95% de la diferencia media de los niveles de sodio en los fluidos del lácteo

(21) En el departamento de control de calidad de una em-presa, se quiere determinar si ha habido un descenso significativo de la calidad de su producto entre las pro-ducciones de dos semanas consecutivas a consecuencia de un incidente ocurrido durante el fin de semana. Deci-den tomar una muestra de la producción de cada sema-na, si la calidad de cada artículo se mide en una escala de 100, obtienen los resultados siguientes:

Semana I 93 86 90 90 94 91 92 96Semana II

93 87 97 90 88 87 84 93

Suponiendo que las varianzas de la puntuación en las dos producciones son iguales, construye un intervalo de confianza para la diferencia de medias al nivel de 95%. Interpreta los resultados obtenidos.

(22) Sospechamos que nuestro cromatógrafo está estropea-do, y queremos determinar si los resultados que nos pro-porciona son lo suficientemente precisos. Para ello, rea-lizamos una serie de 8 mediciones del contenido de una solución de referencia que, sabemos, contiene 90% de un determinado compuesto. Los resultados que obtene-mos son:

93,3 86,8 90,4 90,1 94,9 91,6 92,3 96,5Construir un intervalo de confianza al nivel de 95% para la varianza poblacional. ¿Qué conclusiones podemos rea-lizar?

(23) Se ha hecho un estudio sobre la proporción de enfer-mos de cáncer de pulmón detectados en hospital que fu-man, obteniéndose que de 123 enfermos 41 de ellos eran fumadores. Obtener un intervalo de confianza para dicha proporción. Estudiar si dicha proporción puede considerarse igual a la proporción de fumadores en la población si ésta es de un 29%.

(24) Para estudiar la efectividad de un medicamento contra la diabetes se mide la cantidad de glucemia en sangre antes y después de la administración de dicho medica-mento, obteniéndose los resultados siguientes:

Antes 7,2 7,3 6,5 4,2 3,1 5,3 5,6Des- 5,2 5,4 5,3 4,7 4,1 5,4 4,9

35

Palacios C. Severo

puésEstimar la reducción producida por el medicamento.

(25) Eres el encargado de un departamento de producción en una fábrica y recibes un lote de 2000 piezas necesa-rias para la fabricación de un artículo. Tienes la respon-sabilidad de aceptar o rechazar el lote, si estimas que la calidad de éste no es suficiente. El fabricante te asegura que, en este lote, no hay más de 100 piezas defectuosas, pero decides tomar una muestra para estimar la propor-ción de las mismas.a) ¿Cuántas piezas decides examinar para que, con un nivel de confianza del 95%, el error que cometas en la estimación de la proporción poblacional de defectuosas no sea mayor que 0.05?b) Si decides tomar una muestra de 100 artículos escogi-dos al azar en el lote y realizas el recuento de piezas de-fectuosas en esta muestra, encontrado 4 artículos defec-tuosos.Construye para la proporción de defectuosos en el lote, un intervalo de confianza al nivel de 95% de confianza. ¿Se debe rechazar el lote?

(26) Los tiempos de reacción, en mili segundos, de 17 suje-tos frente a una matriz de 15 estímulos fueron los siguien-tes:

448

460

514

488

592

490

507

513

492

534

523

452

464

562

584

507

461

Suponiendo que el tiempo de reacción se distribuye Nor-malmente, determine un intervalo de confianza para la media a un nivel de confianza del 95%.

(27) Se considera una población representada por una va-riante ε, de suerte que la media poblacional es igual a 25 y la varianza poblacional es igual a 240. Supuesto ex-traídas muestras de tamaño 100, muestreo aleatorio simple, determinar la probabilidad de que el estadístico media muestral, Ax, este comprendido entre los valores 23; 55 y 28,1.

(28) La duración aleatoria de las unidades producidas de un artículo, se distribuye según la ley normal, con des-viación típica igual a seis minutos. Elegidas al azar cien

36


unidades, resulto ser la duración media de 14,35 minu-tos. Elaborar el intervalo de confianza del 99% para la duración media de las unidades producidas.

(29) Se estudiaron 40 muestras de aceite crudo de determi-nado proveedor con el fin de detectar la presencia del níquel mediante una prueba que nunca da un resultado erróneo. Si en 5 de dichas muestras se observo la pre-sencia de níquel ¿podemos creer al proveedor cuando asegura que a lo sumo el 8% de las muestras contienen níquel?

(30) La resistividad eléctrica de ciertas barras de aleación de Cromo- molibdeno es una variable N(12,5; 4,1).Un in-vestigador acaba de calibrar un aparato que mide dicha resistividad y para comprobar que lo ha hecho bien utili-za el sistema consistente en medir cuatro barras y acep-tar que el calibrado es bueno si encuentra al menos un valor inferior y otro superior a 12,5.Determinar el nivel de significación del contraste que es-ta llevando a cabo. ¿Es sensible el contraste a una mayor o menor dispersión de la variable resistividad?

(31) En una muestra de 65 sujetos las puntuaciones en una escala de extroversión tienen una media de 32,7 puntos y una desviación típica de 12,64.a) Calcule a partir de estos datos el correspondiente in-tervalo de confianza, a un nivel del 90%, para la media de la población.b) Indique, con un nivel de confianza del 95%, cual sería el máximo error que podríamos cometer al tomar como media de la población el valor obtenido en la estimación puntual.

(32) En una muestra aleatoria de 90 pacientes se mide el nivel de glucosa en sangre en ayunas. Se obtiene

mg/dl y s2=109. Construir el intervalo de con-fianza al 95%.

(33) Para evaluar una vacuna para la gripe se selecciona un grupo de 200 individuos de riesgo. Se eligen 100 de ellos y se les suministra la vacuna; de ellos 10 pasan la gripe. Construir un intervalo de confianza al 95% para la probabilidad de pasar la gripe si se esta vacunado. En los otros 100 pacientes sin vacunar la pasan 20. ¿Es efi-caz la vacuna?

37

Palacios C. Severo

(34) Se analizan 9 zumos de fruta y se ha obtenido un con-tenido medio de fruta de 22 mg por 100 cc de zumo. La varianza poblacional es desconocida, por lo que se ha calculado la desviación típica de la muestra que ha re-sultado ser 6,3 mg de fruta por cada 100 cc de zumo. Suponiendo que el contenido de fruta del zumo es nor-mal, estimar el contenido medio de fruta de los zumos tanto puntualmente como por intervalos al 95% de con-fianza.

(35) Una firma comercial encuesta a 100 individuos para conocer sus opiniones sobre la elección de dos produc-tos alternativos A y B recientemente fabricados. El resul-tado de la encuesta arroja que el producto A lo han ele-gido 55 individuos y el producto B 45. Hallar un interva-lo de confianza al 95% para la proporción de individuos que eligen cada producto.

(36) En un proceso de fabricación de pilas alcalinas se sabe que su duración media es de 1100 horas y que dicha du-ración sigue una distribución normal. El nuevo proceso busca reducir la dispersión de la duración de las pilas por lo que se hace necesario construir intervalos de con-fianza para la citada dispersión con coeficientes de con-fianza 90% y 98%.Construir dichos intervalos a partir de una muestra de tamaño 20 cuya dispersión es horas.

(37) Se sabe que la longitud de los diámetros de los torni-llos fabricados por una máquina sigue una distribución normal y se busca un intervalo en el cual se encuentre la variabilidad de las longitudes de los tornillos fabricados por la máquina con una probabilidad del 80%.Construir dicho intervalo sabiendo que una muestra de 16 tornillos presenta una variabilidad cuantificada en 30.

(38) Un granjero dispone de dos criaderos diferentes A y B con varias granjas cada una para la cría de pollos. Con el objetivo de estudiar la mortalidad de los pollos en las dos criaderos observa el número de pollos muertos to-mando una muestra de 4 granjas en el criadero A y otras 4 granjas en el criadero B obteniendo los siguientes re-sultados:

38


Nº de pollos muertos en las granjas del criadero A: 16 14 13 17

Nº de pollos muertos en las granjas del criadero B: 18 21 18 19

Suponiendo normalidad en los criaderos, se trata de es-tudiar si la mortalidad de los pollos puede considerarse diferente en los dos criaderos con un nivel de confianza del 95%.Resolver el problema bajo la hipótesis adicional de va-rianzas iguales en los criaderos.

(39) Al analizar 40 muestras de una aleación de bajo punto de fusión de tipo “babit” se ha detectado ausencia de cadmio en 12 de ellas. Determinar un intervalo de con-fianza para la proporción de muestras de dicha aleación que no contienen cadmio.

(40) La cantidad de azufre encontrado en plantas secas de mostaza sigue una distribución normal X. se ha observa-do una muestra de extensión 9 con los siguientes resul-tados

0,7 0,8 0,6 0,95 0,65 1 0,9 0,2 0,55.Si aceptamos como valor de σ el valor calculado de la desviación típica muestral ,¿Cuál sería el tamaño mínimo de la muestra que habría de ser considerada para que el intervalo de confianza al 95% para el nivel medio de azufre tenga una longitud in-ferior a 0,1?

(41) La pérdida de peso de un determinado producto dieté-tico en 16 individuos después de un mes fue (en kg):

3,2 2 2,5 3,3 5 4,3 2,9 4,13,6 2,7 3,5 4,2 2,8 4,4 3,3 3,1

Determinar un intervalo de confianza para la varianza con nivel de confianza del 99%, si la pérdida de peso es aproximadamente normal.

(42) Se consideran lo siguientes tiempos de reacción de un producto químico, en segundos:

1,4 1,2 1,2 1,3 1,5 1,3 2,2 1,4 1,1Obtener un intervalo de confianza del 90% para el tiem-po de reacción. Suponer la variable normal con desvia-ción típica poblacional conocida σ = 0,4.

(43) El tiempo, en minutos, que esperan los clientes de un determinado banco hasta que son atendidos sigue distri-

39

Palacios C. Severo

bución normal de media desconocida y desviación típica igual a 3. Los tiempos que esperaron diez clientes elegi-dos al azar fueron los siguientes:

1,5 2 2,5 3 1 5 5,5 4,5 3 3Determinar un intervalo de confianza de coeficiente de confianza 0,95, para el tiempo medio de espera.

(44) La duración en minutos de un determinado viaje es una variable aleatoria con distribución normal de media desconocida y desviación típica igual a 3. En una mues-tra tomada al azar de diez realizaciones del viaje en cuestión se obtuvieron los siguientes tiempos:10,1 6,5 5,5 7,9 8,2 6,5 7,0 8,1 6,9 7,7

a) Realizar la estimación de máxima verosimilitud de la duración media del viaje.b) Calcular la probabilidad de que, en valor absoluto, la diferencia entre media estimada la real sea menor que 1 minuto.

(45) Las velocidades de difusión del bióxido de carbono a través de la porosidad del suelo son distintas.

Areno-so

20

27

22

23

23

28

23

26

22

26

20

19

22

Arcillo-so

19

30

32

28

15

26

35

18

25

35

Comprobar si se puede afirmar que las velocidades de difusión son distintas al nivel de confianza del 95%

(46) Una transformadora de productos lácteos recibe dia-riamente la leche de dos granjas. Se desea estudiar la calidad del producto acopiado, se extraen dos muestras al azar y se analiza el contenido en materia grasa, obte-niéndose los siguientes resultados.

Granja A

Granja B

Se pide construir un intervalo de confianza del 95% para la diferencia del contenido medio en grasa de leche de ambas granjas.

(47) En una determinada raza de ganado vacuno los terne-ros incrementan 12 kg. de peso cada semana, en los pri-meros meses de vida. Para comprobar se sometió al pe-sado de ocho terneras al cumplir las cuatro semanas y posteriormente dos semanas.Ternero 1 2 3 4 5 6 7 8

40


Peso 4 sema-nasPeso 6 sema-nas

130

138

125

140

128

139

127

141

129

137

123

137

131

142

130

142

Comprobar si la suposición es cierta calculando los in-tervalos de confianza al 95% para la diferencia media de peso.

(48) Se ha realizado un estudio sobre la tasa de superviven-cia de pájaros adultos en trópico y en zonas templadas. Inicialmente se marcaron 500 pájaros adultos en las pa-tas y se liberaron a una región tropical. Un año después, se volvió a capturar 445. Suponiendo que los no recupe-rados fueron victimas de un depredador, la tasa de su-pervivencia estimada de un año para los pájaros adultos en la región es 0,80. Un experimento similar en otra zo-na templada, dio como resultado de 252 de los 500 pája-ros con una tasa de supervivencia estimada de 0,504.Hallar un intervalo de confianza del 90% de la diferencia en las tasas de supervivencia de un año para las dos zo-nas.

(49) Una muestra de tamaño 10 de una población de muje-res presenta una altura media de 172 cm. y una muestra de 12 varones de otra población presenta una altura me-dia de 176,7 cm. Sabiendo que ambas poblaciones son normales con varianzas 225 y 256 respectivamente, se trata de analizar si con una probabilidad del 95% se pue-de asegurar que los varones son más altos en media que las mujeres o viceversa.

(50) Los responsables municipales de la salud miden la ra-diactividad en el agua de una fuente natural en una zona abundante en granito. Realizadas 12 mediciones en dife-rentes fechas del año se observó una media de 3,6 pico-curios con una desviación típica de 0,82.Determinar, al 95% y al 99%, intervalos de confianza pa-ra la radiación media y para la varianza.

(51) En una muestra de 65 sujetos las puntuaciones en una escala de extroversión tienen una media de 32,7 puntos y una desviación típica de 12,64.a) Calcule a partir de estos datos el correspondiente in-tervalo de confianza, a un nivel del 90%, para la media de la población.

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Palacios C. Severo

b) Indique, con un nivel de confianza del 95%, cual sería el máximo error que podríamos cometer al tomar como media de la población el valor obtenido en la estimación puntual.

(52) Los tiempos de reacción, en mili segundos, de 17 suje-tos frente a una matriz de 15 estímulos fueron los si-guientes:

448, 460, 514, 488, 592, 490, 507, 513, 492, 534, 523, 452, 464, 562, 584, 507, 461

Suponiendo que el tiempo de reacción se distribuye nor-malmente, determine un intervalo de confianza para la media a un nivel de confianza del 95%.

(53) De una población cuya distribución se desconoce se obtiene una muestra aleatoria de 2000 valores en que la media muestral resulta ser 225 y la desviación típica muestral 10.Suponiendo que la varianza muestral coincida con la de la población, estimar un intervalo para la media de la po-blación con un nivel de confianza del 95%

(54) En una muestra de 100 personas de un barrio de Lima se ha observado una proporción de 0,18 personas que leen el periódico diariamente. ¿Puede ser que la verda-dera proporción de personas que leen el periódico en ese barrio sea 0,20?

42


X. ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS

Otra cosa que los investigadores tratan de hacer con frecuen-cia es obtener inferencias sobre la población con base en los resultados de una experiencia a partir de una muestra. El he-cho de que 50 personas en una prueba prefieran el producto A al producto B por un margen de dos a tres, es importante solo en la medida en que le permita concluir en que la pobla-ción como un todo también prefiere el producto A. Esto es se llama inferencia estadística, tomar una decisión sobre la po-blación entera en base a las características de una muestra.

Para hacer una inferencia sobre la población, usted debe de aplicar un límite de confianza o un intervalo de confianza al resultado que encontró en el estudio.

Ejemplo 1.9En un estudio X se encontró que el 30% de los informantes tienen conocimiento del producto A, es poco factible que exactamente el 30% de la población entera tenga ese conoci-miento del producto A, pero la cifra de la población deberá estar cerca del 30%. Sí la muestra es lo suficientemente gran-de y estuvo bien tomada. A la diferencia entre los resultados de la muestra y la población se la llama error muestral.

El intervalo que se conexa al resultado de la encuesta para es-timar o inferir la cifra de la población se llama intervalo de confianza.

XI. DIFERENCIAS SIGNIFICATIVAS

43

Palacios C. Severo

A veces en un proyecto de investigación se propone comparar resultados entre dos muestras. Las comparaciones más comu-nes son:

Dos o más subgrupos dentro de una misma muestra

¿Tienen las personas con ingresos superiores de US$ 10000, opiniones diferentes de las que tienen las personas con ingre-sos por debajo de Sus 10000? ¿Son distintas las evaluaciones de productos confeccionados por los varones a las evaluacio-nes hechas por las mujeres?

Muestras tomadas en diferentes puntos en el tiempo

¿Aumentó el conocimiento del producto durante el año pasa-do? ¿Es la participación en las Universidades mayor de lo que era hace cinco años? Lo primero que usted hace, es observar los resultados en forma simple y directa.Si las respuestas de los hombres y mujeres son iguales, usted no necesita de una prueba estadística adicional. Si la partici-pación en las Universidades no ha cambiado desde hace cinco años usted ya tiene una respuesta.

Pero si los resultados son distintos entre cualquiera de sus sub-grupos entonces usted tiene que confrontar dos pregun-tas básicas ¿Es la diferencia de los resultados tan pequeña co-mo para sugerir que ésta probablemente ocurrió por azar? es-tá si usted repite la prueba. ¿Hay una buena probabilidad de que el resultado sea el contrario? ¿Es el resultado lo bastante grande como para que probablemente sea el resultado de una verdadera diferencia? sí usted repite la prueba varias veces, ¿Es muy factible que ésta resulte igual cada vez?

Antes de hacer una prueba estadística, usted debe tener una hipótesis es decir una relación que usted querrá probar como verdadera o falsa. En estadística, usualmente se supone que dos poblaciones son iguales hasta que se pruebe lo contrario. Esto se llama hipótesis nula.

Empezamos con la hipótesis nula, si la diferencia entre dos muestras es lo bastante pequeña como para que fácilmente pudiera haber ocurrido por azar, entonces la hipótesis nula no puede ser rechazada y usted debe concluir que la diferencia 44


entre las dos muestras no es estadísticamente significativa al nivel de significación del 95 por ciento (o cualquier nivel de, significación que usted elige). En cambio, si la diferencia en los resultados de la toma de datos es tan grande que no es factible que esto haya ocurrido por azar, usted rechaza la hi-pótesis nula y concluye que la diferencia entre las dos mues-tras es estadísticamente significativa al nivel de significación del 95 por ciento.

Además de estas medidas de la diferencia en dos muestras, hay otras pruebas estadísticas que son útiles para evaluar di-versas clases de resultados.

XII. DISPERSIÓN DE LOS DATOS PROBLEMAS

La varianza mide la dispersión de los datos con respecto a la media aritmética y la desviación estándar es simplemente la raíz cuadrada positiva de la varianza. Daremos las definicio-nes para su aplicación.

Datos no agrupdos: La varianza también se basa en desvia-ciones a partir de medias. Para hallar la varianza a de un pro-ducto, se eleva al cuadrado las desviaciones a partir de las medias , luego también se suman y se promedian dividiendo por el número total de productos, o sea n.

Como la media verdadera no se conoce prácticamente, la des-viación estándar verdadera es una magnitud teórica. Sin em-bargo a puede obtenerse aproximadamente a partir de la des-viación estándar estimada S(X).

En el análisis estadístico se utiliza una cantidad denominada grados de libertad que designaremos para el futuro como GL.

45

Palacios C. Severo

Esta cantidad permite tener en cuenta y corregir, desde el punto de vista matemático, las restricciones impuestas a los valores. En este caso al calcular la desviación estándar, el nú-mero n de observaciones ésta fijado y la desviación estándar estimada se puede calcular a partir de la media. De la n ob-servaciones sólo n-1 pueden variar, el último valor queda de-terminado por X y n. Por lo tanto al estimar la desviación es-tándar a partir de una muestra de la población de datos, solo hay n-1 grados de libertad. Elevando al cuadrado la desvia-ción estándar estimada se tiene la varianza estimada .

Ejemplo 1.10Se han realizado cinco análisis de un producto para determi-nar la concentración de un componente X. Los resultados fue-ron: 98 97,7 87 96 y 93

Datos agrupados: Para ilustrar el cálculo de la desviación estándar para datos agrupados veamos los siguientes jornales de obreros. En primer término se hallan los puntos medios

de cada clase de jornal. Luego se eleva al cuadrado las se multiplican por el número adecuado de frecuencia

de clase para dar .

Jornal (US$) Cantidad (f)3 a 55 a 77 a 9

253

468

163664

32180192

83024

Total 10 404 62

46


La desviación estándar puede emplearse como denominador común para colectar la dispersión de las dos distribuciones y la representatividad de las dos medias.

Otra aplicación es la desviación estándar como instrumento de análisis se da en su relación con la media de una distribu-ción normal. Una relación se halla en función del porcentaje de observaciones dentro de una desviación estándar debajo de la media y una desviación estándar incluye un 95% de las observaciones. La

incluye alre-

dedor de 99,7% de las observaciones.

Desviación media

Otra medida de la dispersión de los valores es la desviación media real, se trata simplemente de la media aritmética de las desviaciones de las medias sin tener en cuenta lo siguien-te:

iXXmd

47

Palacios C. Severo

Para una desviación normal, la desviación estándar verdadera es aproximadamente igual 1,25 veces la desviación media.

Ejemplo 1.11Calcular la desviación media del ejemplo 1.10.

md = 3,456

La dispersión de los resultados será ±3,456Problemas

(55) Calcule el valor medio, mediana y moda de la siguiente distribución de datos:

X Y110 -119100 – 109

90 – 9980 – 8970 – 7960 – 6950 – 5940 – 4930 – 3920 – 2910 - 19

1025

101394501

(56) Se recibe materia! de dos fuentes de abastecimiento. Los análisis de muestras provienen de las dos fuentes que se indican a continuación. Se desea saber si se justi-fica que existe diferencia entre las dos fuentes.

Fuente 1 85 74 76 88 73 84 77Fuente 2 79 71 75 77 79 77 78

(57) El análisis de gas natural indica el siguiente concen-trado de CO2 en volumen: 24,6 23,7 23,4 23,8 24,1 23,9 ¿Calcule el intervalo de confiabilidad de la media verda-dera?

(58) En una refinería de plata, se analiza el contenido de plata en los residuos para establecer su concentración en los lingotes. Las muestras obtenidas durante dos tur-nos dieron los resultados.Hora 1 2 3 4 5 6 7 8Turno 1 89 92 98 97 98 97 97 98Turno 2 87 87 97 97 97 98 97 97

48


Trate de saber si la diferencia entre los análisis de los dos turnos es significativa.

(59) La información obtenida de cuatro reactores químicos diferentes, acerca del efecto de la temperatura sobre cierta reacción es la siguiente:

Temperatura (°C)

Rendimiento del reactor1 2 3 4

800900980

10,410,912,1

12,910,811,6

11,710,612,8

13,513,510,2

Determinar mediante análisis de varianza de dos cami-nos, si la varianza entre los reactores y entre la tempe-ratura es altamente significativo.

(60) Un fabricante de hipoclorito sabe que la cantidad de cloro contenido en su producto decrece con el tiempo y eventualmente se estabiliza en torno al 0,3%. El fabri-cante desea estimar la cantidad de cloro en el hipoclori-to para un tiempo dado, con el fin de informar a los ven-dedores y retirar el producto caducado. Para ello se ana-lizan sobre los porcentajes de cloro disponible por uni-dad de producto restante de 8 a 42 semanas después de fabricado.

Semanas desde la fabricación Cantidad disponible de cloro (%)

81012141618202224262830323436384042

0,490,480,460,450,440,460,420,410,420,410,410,40,410,400,410,400,390,39

0,490,470,460,430,430,450,420,410,400,400,400,400,40

0,380,40

0,480,450,430,43

0,430,400,400,41

0,38

0,470,43

Realizar el análisis de regresión y anotar la ecuación del modelo lineal, el coeficiente de correlación.

49

Palacios C. Severo

(61) Se sabe por experiencia, que el incremento de peso de los embriones de pollo al transcurrir el tiempo sigue la ley de tipo exponencial.En un experimento se obtuvieron los pesos (gramos) de un embrión desde el sexto día de su nacimiento hasta e de-cimosexto que aparecen a continuación.

Día 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16Pe-so

0,02

0,05

0,07

0,13

0,18

0,26

0,43

0,74

1,13

1,88

2,81

Crear una tabla con la variable días y peso con datos an-teriores.Realizar un análisis de regresión para comprobar que valores siguen la ley exponencial.Gráfique los datos y la línea de regresión ajustada.Estime el peso de un pollo a los 7,5 a los 16 y a los 18 días de su nacimiento. Justificar si alguna de las estima-ciones obtenidas es poco fiable.

(62) En la siguiente tabla se refiere al número Y de bacte-rias por unidad de volumen presentes en un cultivo des-pués de X horas.

X 0 1 2 3 4 5 6Y 32 47 65 92 132 190 275

Ajustar los datos a una curva del tipo Y = aXb

Calcular los valores del coeficiente de correlaciónVisualizar la línea de regresión y los datos obtenidosEstimar el valor de Y para un valor de X = 3,5

(63) La tabla adjunta muestra cinco observaciones de un fe-nómeno cinético

U 103 102 10 1 0,1T 0 1 2 3 4

El investigador sugiere un modelo de ajuste del tipo U = ke-bT

Estimar los parámetros k y b.(64) La presión de un correspondiente a diferentes volúmenes

V se dan en la tabla.V (cm³) 50 60 70 90 100P (Kg/cm²) 60 54 46 24 10

Obtenga por regresión el coeficiente de correlación de los modelos lineales, exponenciales y cuadráticos.

(65) En una reunión medica se probo con una droga fue to-mada por 14 personas, de las cuales 6 lo hacen por pri-

50


mera vez y 8 ya son habituales de ella. La droga produjo en el primer grupo sueños de duración 11, 12, 13, 16, 17 y 15 horas, mientras que en el segundo grupo 8, 7, 9, 10, 6, 7, 9 y 8 horas.a) Media y desviación típica de cada grupob) Formar el estadístico que se distribuye según una t de Student de 12 grados de libertad, sabiendo que las po-blaciones tienen la misma media y desviación típica.

(66) Según una encuesta realizada sobre una muestra de 2500 personas elegidas al azar, el 80% está decidido a votar en las últimas elecciones.a) ¿Puede ser cierto que llegue a votar el 85% de la po-blación?b) Con un 99% de nivel de confianza ente qué valores es-tará el porcentaje de los votantes de la población

(67) Suponga que de una población consistente en los valo-res 0, 2, 4, 6 y 8, se toman muestras de tamaño 2 con reemplazo.

X Frecuencia Frecuencia relativa02468

11111

1/5 = 0,21/5 = 0,21/5 = 0,21/5 = 0,21/5 = 0,2

Demostrar que es razonable aproximar la distribución muestral de por una distribución normal, una vez que se conoce la media y la desviación estándar de la distribu-ción muestral.

(68) En un experimento de laboratorio se mide el tiempo de una reacción química. Se ha repetido el experimento 98 veces y se obtiene que la media de los 98 experimentos es de 5 segundos con una desviación de 0,05 segundos. ¿Cuál es la probabilidad de que la media poblacional m difiera de la media muestral en menos de 0,01 segun-dos?

(69) Se establece un control de calidad para un proceso de producción de balas. Se ha dispuesto que cuando el pro-ceso está bajo control, el diámetro de las balas es de 1 cm., con una desviación típica de 0,003 cm. Cada hora se toman muestras de nueve balas y se miden sus diáme-tros. Los diámetros de media de diez muestras sucesi-vas, en centímetros, son:

51

Palacios C. Severo

1,0006 0,9997 0,9992 1,0012 1,00081,0012 1,0018 1,0016 1,0020 1,0022

Establecer cuáles son los límites de control y explicar qué concluyes sobre el proceso de producción en estos instantes.

(70) Un investigador quiere estimar la media de una pobla-ción usando una muestra suficientemente grande para que la probabilidad de que la media muestral no difiera de la media poblacional en más del 25% de la desviación típica sea 0,95. Hallar el tamaño de muestra necesario.

(71) La efectividad en días de un determinado antibiótico, sigue una distribución normal de media 14 días y desvia-ción típica desconocida. Fue administrada a 16 enfer-mos, obteniéndose una desviación típica muestral de 1,4 días. Determinar la probabilidad de que la efectividad media en la muestra no supere los 3 días, que es el tiem-po mínimo de efectividad requerido.

(72) Se realiza un análisis de la duración de 40 pilas alcali-nas obteniéndose los siguientes resultados:

Duración Xi Frecuencia absoluta nj

1,55 – 1,951,95 – 2,452,45 – 2,952,95 – 3,453,45 – 3,953,95 – 4,454,45 – 4,95

214151053

Ajustar las duraciones de las pilas alcalinas a una distri-bución normal con media 3,5 y desviación típica 0,7.

(73) Un estudio de genética con reses consistió en varios machos apareados con grupos separados de hembras.Cuando nacían terneros, se usaban en un estudio de pe-sos hereditarios. En la siguiente tabla se presentan los pesos al nacer de ocho terneros de cada uno de los cinco grupos de apareamiento.

Ma-cho

Peso al nacer

177200201202203

6175585759

100

1026056

56956067120

113

103

5759

99985758115

103

1155912

759854101

10

6294100

101

52


46 115

196

5 75

Escriba el modelo lineal, explique cada término, calcule el análisis de varianza y muestre los cuadrados medios esperados.Pruebe la hipótesis nula Ho: σ2 = 0 para los machos.

(74) Los datos del ejercicio 3.5 corresponden a las concen-traciones de colesterol en análisis de laboratorio a 2 muestras de cada uno de 8 pacientes.Suponga un modelo aleatorio para el estudio. Escriba el modelo lineal, explique cada término, calcule el análisis de varianza y muestre los cuadrados medios esperados.Estime las componentes de la varianza para pacientes y muestras y determine intervalos de confianza medios al 90%.

(75) Un patólogo de plantas tomó cuatro muestras, de 3 li-bras cada una, de lotes de 50 toneladas de semilla de al-godón acumulada en varias cosechas durante la tempo-rada de limpia. Las muestras se analizaron en el labora-torio para buscar aflatoxin, que es una toxina producida por organismos asociados con las semillas.A continuación se proporcionan las concentraciones de aflatoxin en partes por billón para las muestras de ocho lotes.

Lote Afloxin (ppb)3469 – 723849 – 523721 – 243477 – 803669 – 723873 – 763777 – 803461 - 64

3956642938112310

571383556649011

632588215334523

6631715181102037

(76) Suponga que los lotes y sus muestras son efectos alea-torios. Escriba el modelo lineal para el estudio, explique los términos, calcule el análisis de varianza completo y muestre los cuadrados medios esperados.

(77) Piense en problemas de investigación en su área de in-terés que requieran muestras (u observaciones) de la unidad experimental debido a que no sea posible medir la unidad en su totalidad.Escriba un modelo lineal para su estudio; identifique los términos y bosqueje el análisis de varianza, muestre las

53

Palacios C. Severo

fuentes de variación, los grados de libertad y los cuadra-dos medios esperados.

(78) Se realizó en conjunto un estudio sobre cartuchos para filtrado de partículas de alta energía, usados en respira-dores comerciales para protección contra partículas de materia. Una prueba específica incluyó tres filtros elegi-dos al azar de cada uno de dos fabricantes, se hicieron tres réplicas de prueba independientes de cada filtro, las medidas fueron el porcentaje de penetración por medio de una prueba estándar de aerosol.

Fabricante I Fabricante IIFiltro 1 2 3 4 5 6

1,121,101,12

0,160,110,26

0,150,120,12

0,910,830,95

0,660,830,61

2,171,521,58

Escriba un modelo lineal para este estudio, explique los términos, calcule el análisis de varianza y muestre los cuadrados medios esperados.Pruebe la hipótesis de que no existen diferencias entre la penetración porcentual promedio de los filtros de los dos fabricantes.Calcule las medias, sus errores estándar y las estimacio-nes del intervalo de confianza de 95% para las medias de cada fabricante.

(79) Un científico de suelos estudió el crecimiento de plan-tas de cebada en tres niveles diferentes de salinidad en un medio controlado. Tenía dos contenedores réplica de cada tratamiento, en un diseño totalmente aleatorizado y midió tres plantas de cada réplica. Los pesos en seco de las plantas, en gramos, son los siguientes:

Salinidad Contene-dor

Peso (g)

Control

6 barras

12 barras

123456

11,29

7,375,644,204,833,28

11,08

6,555,983,344,772,16

11,108,50

5,69

4,21

5,66

2,69

54


Escriba un modelo lineal para un análisis de datos, expli-que los términos, calcule el análisis de varianza y mues-tre los cuadrados medios esperados.Pruebe la hipótesis de que no hay diferencia entre las medias de los niveles salinos.Calcule el error estándar de una media de nivel salino.Haga una partición de las sumas de cuadrados para la salinidad en dos sumas de cuadrados polinomiales orto-gonales (lineal y cuadrática), cada una con 1 grado de li-bertad y pruebe la hipótesis nula de que no hay regre-sión lineal o cuadrática.

(80) El índice de porosidad es una medida usada por los científicos de suelos para ayudar en la predicción del movimiento, almacenamiento, disponibilidad del agua y las condiciones de oxigenación del subsuelo. Un científi-co de suelos usó un diseño de muestreo especial para to-mar muestras del suelo de una de las granjas experi-mentales de la universidad para medir el índice de poro-sidad del suelo. Se hizo una partición de la granja en campos de aproximadamente 4 hectáreas, cada una con 8 secciones. El plan de muestreo incluyó una selección aleatoria de los campos dentro de las secciones. A conti-nuación se presenta el índice de porosidad de cada sub muestra:Cam-

poSec-ción

Porosidad Cam-po

Sec-ción

Porosidad

1

2

3

4

5

6

7

8

123456789

10111213141516

3,846

5,629

5,087

4,621

4,411

3,357

3,991

5,766

5,677

3,33

3,712

2,021

6,292

4,810

9

10

11

12

13

14

15

1718192021222324252627282930

5,942

5,014

5,143

4,061

3,835

4,584

4,193

4,125

3,074

3,48

2,964

4,398

55

Palacios C. Severo

34,35

54,94

02,98

34,39

65,60

33,68

3

33,86

74,21

26,24

74,73

0

Suponga que todos los efectos son aleatorios. Escriba un modelo lineal para el estudio, explique cada término, calcule el análisis de varianza para los datos y muestre los cuadrados medios esperados.Estime las componentes de la varianza para campos, secciones y muestras.

XIII. DISTRIBUCIONES

Al tratar con grandes cantidades de datos, es conveniente or-denarlos de tal manera que la frecuencia de la aparición de rangos de valores dados, puedan ser tabuladas y graficadas.

Este ordenamiento se realiza estableciendo rangos llamados intervalos de clase la frecuencia relativa de los intervalos de clase se denomina distribución empírica y se utilizan para es-timar las distribuciones teóricas.56


Ensayos estadísticos

Existen varios tipos de ensayos estadísticos que se emplean para determinar si la diferencia entre dos conjuntos de valo-res es real y significativa o a errores azarísticos.

Ensayo t

La distribución t de Student aparece al comprobar la hipóte-sis de la media de una totalidad general de distribución nor-mal siendo incógnita la varianza.

Ejemplo 1.12Consideremos los datos del ejemplo 1.10, se trata de saber si la diferencia entre el valor medio y el supuesto valor medio 96 es significativa.

4:54,403,2

32,94

GLHipótesisXSXS

X

o

El valor tabulado de t para un nivel de significación del 99% y 4 GL, es igual 3,75, como el valor calculado de t es inferior al valor tabulado, la hipótesis no es rechazada.

Chi-cuadrado

57

Palacios C. Severo

Esta prueba puede utilizarse para comparar los resultados de una encuesta con frecuencia teórica o esperada.

Ejemplo 1.13La alimentación de flujo continuo que se realiza a cuatro reac-tores industriales que han sufrido un total de cuarenta fallas durante un año, la distribución de las fallas, por bombas fue:

Bomba 1: 16Bomba 2: 9Bomba 3: 6Bomba 4: 9

El capataz de mantenimiento sostiene que la bomba 1 ha su-frido un número excesivo de fallas, en comparación con los resultados posteriores se trata de saber si esta afirmación es justificada.

Como hay cuatro categorías posibles de números y como el número total está dado, el número de GL es tres. Esto corres-ponde a un número de probabilidades aproximadamente igual a 0,25 e indica que, si todas las bombas operan en las mismas condiciones, el valor del Chi-cuadrado sería de 5,4 es decir una vez cada cuatro, por la sola acción del azar. Por lo tanto la probabilidad que la hipótesis de mantenimiento esta equi-vocado es del 25 por ciento en la población, La prueba puede usarse siempre que los resultados, las respuestas o los en-cuestadores se pueden organizar en varias categorías.

Distribución F

El análisis de varianza que se realiza mediante el ensayo F permite la separación de la varianza total de un proceso, en sus componentes.

Con el ensayo F el número de GL correspondiente a las dos varianzas no necesita ser idénticas.

58


La mayoría de los textos de estadística tabulan valores de F para los niveles de probabilidad 0,05 y 0,01. El número de GL, con la varianza en el numerador, se indica normalmente en la parte superior de la tabla, mientras que el número de GL con la varianza en el denominador se encuentra en la co-lumna de la izquierda.

Ejemplo 1.14Para un ensayo de laboratorio de rutina, se ha propuesto un procedimiento analítico simplificado. Es necesario determinar si el procedimiento propuesto arroja los mismos resultados que el convencional, es decir, si los valores medios de un en-sayo por duplicado son iguales y si la precisión del ensayo propuesto es igual al antiguo.

Convencional Propuesto89,789,689,589,689,8

89,889,689,489,590,089,789,2

Los valores medios de las muestras con los dos métodos son similares pero la diferencia con la varianza es significativa al nivel del 0,05 de probabilidad. Consultado la tabla de valores F indica el valor de 6,2 para el nivel de probabilidad corres-pondiente y el número de GL existente.

Para determinar si los valores de varios conjuntos de medi-ción, es necesario el cálculo de varianza de los valores medios de los conjuntos. Si la varianza de los valores medios es sólo normal resulta.

Ejemplo 1.15

59

Palacios C. Severo

Tres reactores ubicados en diferentes lugares, que emplean sin embargo el mismo proceso. Se desea saber si los valores medios correspondientes a los tres reactores son similares.

Entre valores medios

Entre conjuntos

Reactor 1 2 310,410,011,811,2

11,612,412,911,9

9,8010,910,410,1

Suma de conjunto 43,4 48,8 41,2Media 10,85 12,2 10,3

La tabla F para los GL establecido indica los valores de 4,26 y 8,02 respectivamente. Como el valor calculado es mayor que el valor tabulado, se concluye que los valores medios de los tres reactores son significativamente diferentes.

Logaritmo normal

La distribución logarítmica normal es de amplio uso en la físi-ca estadística, geología estadística, estadística económica, biología.

Logística

La función de distribución se diferencia un poco de la función normal de distribución, se utiliza en las investigaciones médi-

60


co-biológicas para analizar la eficiencia de diferentes medica-mentos, nutrientes, venenos, etc.

Pareto

La distribución de Pareto encuentra amplia aplicación en los problemas de la estadística económica.

Weibull-Gnedenko

Se usa con frecuencia en la teoría de fiabilidad para describir el tiempo de funcionamiento sin fallo de los instrumentos.Pearson

Se usa ampliamente en la estadística matemática para suavi-zar las distribuciones de los datos empíricos.

XIV. INTERVALOS DE CONFIANZA

El desarrollo del análisis estadístico implica la determinación teórica de la distribución de ciertos valores, como el valor me-dio, la desviación estándar y la varianza, que se puede espe-rar si sólo actúa al azar. La teoría estadística constituye una herramienta poderosa, para determinar, en un grado razona-ble de certidumbre, si las diferencias observadas son debidas al azar. Por definición:

Reordenando Intervalo de con-fianza

Por lo tanto, para un cierto nivel de probabilidad que determi-na el valor de Z, puede afirmarse que el intervalo de confiabi-lidad de estará dado por,

Si no se conoce la desviación estándar verdadera, aún puede determinarse un intervalo de confiabilidad. Esta estimación

61

Palacios C. Severo

utiliza la distribución t en lugar de la distribución Z porque el concepto t incluye la variación adicional introducida por la es-timación de la desviación estándar, reordenando:

Ejemplo 1.16Establecer el intervalo de confiabilidad para la media verda-dera de los datos del ejemplo 1.10.

Nivel Intervalo

Se observa que para un nivel de confiabilidad del 95% será más correcto afirmar el resultado del análisis como ± 5,64 por ciento en lugar de 94,32%.

XV. MUESTREO

Nadie necesita beber todo un vaso de leche dañada para po-der decir que esta mala - una muestra es suficiente.

Realizar un muestreo es más barato y más rápido que hacer un censo de toda una población. Y en la mayoría de los casos, desde luego, tomar una muestra es la única alternativa facti-ble para la investigación simplemente no es práctico pensar siquiera en encuestas a toda la población. Pero si la muestra se desarrolla con propiedad, ésta puede proporcionar sufi-ciente precisión para propósitos de toma de decisiones.

El muestreo en la investigación requiere estas dos dimensio-nes:

62


a) Seleccionar las unidades de la población que se inclui-rá en el estudio.

b) Interpretar los resultados del estudio con el fin de esti-mar los parámetros de la población a partir de los datos de la muestra y probar hipótesis, usualmente sobre la di-ferencia entre dos muestras o entre una muestra y un resultado esperado.

XVI. MÉTODOS DE MUESTREO

Hay dos grandes métodos de muestreo: Probabilístico y no probabilístico.

a) Muestreo probabilístico

Este es el tipo de muestreo más objetivo y científico. Un re-quisito del muestreo probabilístico es que cada unidad en la población tenga una probabilidad igual y conocida a ser selec-cionada para la muestra. El criterio de investigador no debe influir en la selección de los informantes. Hay varias formas de muestreo:Muestreo simple al azar

Es el tipo más básico. Implica seleccionar informantes com-pletamente al azar; es tal como si los nombres se sacarán de un sombrero. Obviamente, esto requiere un marco de mues-treo perfecto; es decir, una lista completa de todas las unida-des en el universo.

Muestreo estratificado al azar

Implica primero agrupar la población en segmentos homogé-neos y luego hacer el muestreo de datos de cada segmento o estrato.

Muestreo de agregados

Implica tomar muestras de grupos de entrevistados como uni-dad y no como elemento individual. Con el fin de lograr efi-ciencia en entrevistas de muestreo a muestreo.

63

Palacios C. Severo

Muestreo sistemático

Se incluye cada n-ésimo elemento de la población en la mues-tra. Este es un procedimiento común que se puede combinar con un muestreo de agregados y muestreo estratificado.

La ventaja principal del muestreo probabilística es su preci-sión. Es el mejor camino para desarrollar una muestra que sea perfectamente representativa de la población. El mues-treo probabilística tiene varias desventajas importantes que resulta su utilización amplia:

a) Para seleccionar una muestra probabilística es necesa-rio tener una lista o un marco de muestreo, correspon-diente a toda la población.

b) A pesar de los mejores intentos de muestreo, los erro-res de no respuesta pueden afectar la precisión del re-sultado.

c) El muestreo probabilística es muy costoso de realizar, es especial para estudios de muestra a muestra.

Errores

Si bien es cierto que buenos métodos de muestreo pueden producir resultados muy costosos, ninguna muestra es absolu-tamente precisa.

Ejemplo 1.17Supongamos que una muestra probabilística local indica que el 40% de los hogares entrevistados se tiene un gato para erradicar las ratas transmisoras del virus Hanta. Es poco pro-bable que un censo de todos los hogares revele que exacta-mente en el 40% de ellos haya un gato. Si la muestra original fue bien tomada, bien ejecutada y fue suficientemente grande hay una buena probabilidad de que el número real de hogares con gatos, revelado al censo esté cerca del 40%; pero proba-blemente no será exacta mente esa cifra.

Estos errores o diferencias entre los resultados de la encuesta y las cifras comparables de la población, viene de dos fuentes: factor de muestreo y factor no muéstrales.

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Error de muestreo

En el ejemplo 1.17 sobre posesión de gatos es posible medir el error muestral del estudio y anexar un límite de confianza a la cifra de la encuesta, a fin de estimar los datos de la pobla-ción total.

Supongamos que el estudio sobre la posesión de gatos ha uti-lizado una muestra probabilística de 1000 hogares. En este caso la cifra de 40 por ciento de poseedores de gatos tendría un intervalo de más o menos 3 por ciento a un nivel de con-fianza del 95 por ciento. En otras palabras las probabilidades son 95 en 100 de que el intervalo de confianza incluya el ver-dadero porcentaje de hogares que poseen gatos, en la pobla-ción total.

Eso es el error de muestreo: el intervalo que debe anexarse a cualquier resultado de una encuesta, debido a que proviene de una muestra.

Las muestras grandes tienen menos errores de muestreo que las muestras pequeñas.

Error no muestral

La importancia y el impacto del error no muestral general-mente son sub-estimados por los investigadores, Entre los errores no muéstrales se pueden mencionar lo siguiente:

a) Incapacidad de localizar informantes correctos.b) Negativa de los informantes a empezar la investiga-

ción.c) Terminación de la encuesta por los informantes duran-

te la investigación porque consideran que es muy larga, muy tediosa.

d) Mentiras intencionales de los informantes. e) Mala memoria, suposiciones insesgadas.f) Mal entendimiento del procedimiento.g) Manipulación por parte del investigador.h) Sesgos introducidos por el investigador.i) Errores de anotación.j) Errores de codificación.

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Palacios C. Severo

Es decir, la precisión de los mejores métodos de muestreo probabilístico pueden anularse por algún problema de alguna de estás áreas. Sin embargo, el impacto de estos errores po-tenciales no muéstrales en mayor parte se pasa por alto en to-do muestreo. Para solucionar los errores muéstrales, consiste básicamente en una planeación cuidadosa y una atención es-trecha a los detalles de realización del proyecto.

Error en la predicción

En un diagrama de dispersión en el que no todos los puntos caen en la línea de regresión. Si todos los puntos hubiesen caído sobre la recta y si la cantidad de observaciones hubiera sido lo suficientemente grande, no se habría dado error en la predicción del proceso. La predicción perfecta es práctica-mente inexistente. Aún en los casos que nos ocupa, existen factores que no son de predicción perfecta, quizás se deba a causas de imperceptibilidad en la composición de los factores.

Lo que necesita, entonces, es una medida que pudiera indicar hasta qué punto es precisa la predicción de Y, basada en X, o viceversa, cuán imprecisa podría ser. Esta medida se llama error de estimación.

Syx representa la desviación estándar de las Y sobre la base de las X.

Esta medida de error es similar a la desviación estándar que mide la dispersión alrededor de un promedio; el error de la estimación mide la dispersión alrededor de una línea prome-dio, llamada línea de regresión.

b) Muestreo no probabilístico

Existen tres tipos de muestreo no probabilística:Muestreo por conveniencia

66


Deja la selección de los informantes primordialmente a los in-vestigadores.

Muestreo por criterio

Implica seleccionar únicamente cierto tipo de informantes pa-ra participar en el estudio.

Muestreo por cuotas

Se estructura la muestra de tal modo que incluya números es-pecíficos de informantes con características que se sabe o se cree que afecta al tema de la investigación.

XVII. TOMA DE DECISIONES

Los ejecutivos de muchas empresas están empezando a tomar en serio la importancia de las aproximaciones cuantitativas en la toma de decisiones.

Este es un cambio importante. Así probablemente no es por puro accidente que el tema esté ganando importancia en la gestión empresarial - investigación - consultoría.

El énfasis se debe a las herramientas estadísticas que redu-cen la incertidumbre de la toma de decisiones, con problemas que pueden ser parcialmente estructuradas.

Estas herramientas intentan ir más allá que simplemente pro-porcionen información del que tome la decisión. El fin es el de ayuda a que se pueda alcanzar una decisión reconociendo, por supuesto, el juicio profesional.

Los problemas que se ajustan bien a los sistemas de toma de decisiones son aquellas en las que existe suficiente estructu-ración de forma que las ayudas analíticas sean de gran utili-dad requiriendo siempre el juicio del profesional.

Un aspecto muy importante de toma de decisiones es que se da la efectividad más que la eficiencia. Entonces hay que au-

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Palacios C. Severo

mentar el número de posibles soluciones para que el ejecutivo pueda mejorar la efectividad de una decisión.

El informe sobre evaluación de los distintos resultados para la toma de decisiones como un punto clave para la implementa-ción de los grupos de trabajo que han de compartir la infor-mación. Distinguiendo especialmente las tareas administrati-vas - gestión de calendario - planificación - agenda.

Principios de decisión

Cuando existe una situación en el cual se pueden distinguir dos o más alternativos, una decisión consiste en seleccionar una de estas alternativas de acción excluyente el otro a los otros.

Con esta definición podemos proceder a examinar el proceso completo de toma de decisiones, el cual puede concebirse in-tegrando por las siguientes etapas:

a) Recolección de datos.b) Establecimiento de alternativas.c) Asignación de medidas de utilidad para cada alternati-

va en relación con algún criterio de efectividad.d) Decisión (selección de una alternativa).e) Aplicación de la alternativa.

Este proceso de complemento general, podría descomponerse en decisión de diseño y operativo y para dicho propósito, deci-siones personales.

Ejemplo 1.18Consideremos un proceso de una persona que está próximo a salir de su casa, para ir al trabajo un día cualquiera de agosto y desea determinar si ponerse abrigo y, en tal caso cual de ellos.

Recolección de datos

Nuestro individuo se asoma a la ventana y observa que el sol brilla pero a través de nubes espesas. A través del noticiero

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de su televisor se informa que la temperatura actual es de 8°C y que se predice alcanzará un máximo de 12°C. La oficina metereológica menciona un 40% de probabilidad de lluvia.Sabe que ira y volverá en movilidad al trabajo y que tendrá que caminar dos cuadras entre la ruta y su oficina. No tiene paraguas para protegerse.

Establecimiento de alternativa

La alternativa del individuo basado en su disponibilidad de vestuario:

a) Usar un sobre todo.b) Usar un impermeable, yc) No usar ningún abrigo.

Asignación de medidas con algún criterio de efectividad

El criterio de efectividad del individuo, será en este caso el de comodidad personal, que es una medida subjetiva. El determi-nará a continuación, de alguna manera intuitiva, la utilidad de su comodidad personal para cada alternativa.

Decisión (selección de la alternativa)

Supongamos que el individuo, en camino al trabajo, ha asig-nado medidas de utilidad para cada alternativa, de tal manera que una de ellas posee una utilidad mayor que cualquiera de las otras, la decisión o selección de una alternativa, se tomará en favor de aquella que tenga la mayor medida de utilidad.

Si dos alternativas tienen igual medida de utilidad y esta es mayor que la de la tercera, se deberá emplear entonces algún método aleatorio de selección. En este caso el lanzamiento de una moneda podría servir.

Ejecución de la alternativa escogida

En nuestro ejemplo la ejecución es sencilla. El hombre toma el abrigo escogido de su armario o simplemente se va al tra-bajo si ha decidido no llevar abrigo.

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Palacios C. Severo

Visto de esta manera el proceso de decisión entramos ahora a establecer algún principio general de utilidad en el diseño de la estructura de las decisiones en un sistema Montecarlo. Al-guno de estos principios puede aparecer obvios o triviales, y sin embargo no violados con frecuencia en el diseño.

XVIII. PRINCIPIOS PARA LA TOMA DE DECISIONES

1. Los datos son base necesaria para la decisión. Sin algún dato es imposible establecer alternativas o asignar medidas de utilidad a las mismas.

2. Los datos recolectados deben ser de dos clases: aquellos que sirven para establecer las alternativas y los que se pueden usara para fijar las medidas de utilidad.

3. Los datos recolectados deben se directamente aplicables o tales que, mediante una transformación, puedan hacerse aplicables para el criterio de efectividad que se usan.

4. Suponiendo que se ha establecido alternativas y asignado medidas de efectividad, los datos adicionales serán útiles que afectan las utilidades asignadas.

5. La recolección de datos deberá tomarse antes de establecer alternativas y averiguar utilidades. Aun-que este principio parece obvio, realce la exigencia fre-cuentemente escuchada acerca de la oportuna recolec-ción de datos.

6. La exactitud que se requiera en los datos en función de las técnicas utilizadas parece asignar medi-das de utilidad a las alternativas. Este principio refuerza el análisis de la sensibilidad de los modelos matemáti-cos. Sin un modelo dado es relativamente sensible a un parámetro dado, o si este parámetro es ponderado lige-ramente, se disminuye la exigencia de exactitud.

7. Asumiendo que, para una decisión determina-da, las cinco etapas del proceso de decisión están bien definidas y que esta decisión es de naturaleza repetitiva, la totalidad del proceso de decisión puede delegarse a un nivel más bajo de la organización. Nótese que en ca-da uno de estos casos debe tomarse una decisión de di-seño. Las alternativas son: Retorne al proceso de deci-sión o delegarlo a un sistema automático. AL tomar la

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decisión, el diseñador del sistema deberá asignar medi-das de utilidad a las alternativas.

XIX. PLANIFICACIÓN

La planificación de una operación propone asegurar que to-dos los recursos necesarios para producir, se encuentran y en las cantidades necesarias y, además, que el desperdicio de los recursos sea mínimo.

El plan de operaciones suministra solo el marco general den-tro del cual las actividades específicas habrán de desarrollar-se. En torno al plan de operaciones asigna recursos disponibles a los diferentes requerimientos de producciones.

Tipos de planificación

Existen diferentes categorías de planeamiento para diferentes períodos:

Planificación a largo plazo

Se relaciona con el mantenimiento de la línea apropiada por medio de la investigación y desarrollo, y en el suministro de las factibilidades para las actividades. El plan incluye planea-miento para al expansión, modernización.

Planificación intermedia

Se relaciona con la asignación de recursos a las necesidades del proyecto, tales como la adquisición de materiales, equipos y nuevos productos.

Planificación a largo plazo

Establece programas que asignan recursos, a los proyectos actuales. Este tipo de plan, que usualmente cubre seis meses a dos años, establece el nivel general de actividades.

71

Palacios C. Severo

Problemas

(81) Calcular los valores tα correspondientes a una distribu-ción t de Student en los siguientes casos:a) El área a la derecha de tα es 0,20 y n = 10b) El área a la izquierda de tα es 0,40 y n = 8c) El área a la derecha de tα es 0,05 y n = 50

(82) Calcular los valores de Fα correspondientes a una dis-tribución F de Snédecor en los casos siguientes:a) α = 0,01 y (2,8) grados de libertadb) α = 0,05 y (7,3) grados de libertad

(83) Elegidas 26 personas al azar de una población y some-tidas a un test de modernismo dan como media y

. Se quiere saber si la verdadera media de la pobla-ción puede ser tan alta como 44.

(84) El fabricante de una dieta de adelgazamiento dice que su producto permite una reducción media de peso de 3,5 kg. Con objetivo de investigar su eficacia, se selecciona-ron al azar 40 personas, observando en ellas el peso an-tes de aplicar la dieta, X y el peso después de acabar el tratamiento, Y, lo que proporcionó una varianza para la diferencia de

Si suponemos que tanto X como Y siguen distribuciones normales, determinar la probabilidad de que los indivi-

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duos de la muestra haya una reducción media de masa de 3 kg.

(85) La efectividad en días de un determinado antibiótico, sigue una distribución normal de media 14 días y desvia-ción típica desconocida. Fue administrada a 16 enfer-mos, obteniéndose una desviación típica muestral de 1,4 días. Determinar la probabilidad de que la efectividad media en la muestra no supere los 3 días, que es el tiem-po mínimo de efectividad requerido.Preocupados por una posible subestimación de la varian-za poblacional, que podría llevar a subestimar la proba-bilidad de que no se alcance la efectividad mínima, se desea determinar la probabilidad de que con una mues-tra de 16 enfermos se subestime la varianza en más de un 20%. Si la muestra es de 61 pacientes, esta probabili-dad ¿aumenta o disminuye?Determinar el tamaño de muestra necesario para que la probabilidad anterior sea 0,05.

(86) En una muestra de 19 individuos se observa que un de-terminado trastorno emocional se produce a partir de una edad media de 50 años y una desviación típica de 6 años. Se supone que estamos ante un fenómeno que si-gue la ley normal.Fijar los límites del intervalo de confianza para la varian-za con un nivel de confianza del 99%Realizar lo mismo que en el apartado anterior para n = 200

(87) En cierto barrio se quiere hacer un estudio para cono-cer mejor el tipo de actividades de ocio que gustan más a sus habitantes. Para ello van a ser encuestados 100 in-dividuos elegidos al azar. Explicar qué procedimiento de selección sería más ade-cuado utilizar: muestreo con o sin reposición. Como los gustos cambian con la edad y se sabe que en el barrio viven 2500 niños, 7000 adultos y 500 ancianos, posteriormente se decide elegir la muestra anterior utili-zando un muestreo estratificado. Determinar el tamaño muestral correspondiente a cada estrato.

(88) Sea la población de elementos 22 24 26Escriba todas las muestras posibles de tamaño dos, es-cogidas mediante muestreo aleatorio simple.

73

Palacios C. Severo

Calcule la varianza de la población. (89) La variable altura de las alumnas que estudian en una

escuela de idiomas sigue una distribución normal de me-dia 1,62 m y la desviación típica 0,12 m. Cuál es la pro-babilidad de que la media de una muestra aleatoria de 100 alumnas sea mayor que 1,60 m

(90) Se ha tomado una muestra de los precios de un mismo producto alimenticio en 16 comercios, elegidos al azar en un barrio de una ciudad, y se han encontrado los si-guientes precios:

95, 108, 97, 112, 99, 106, 105, 100, 99, 98, 104, 110, 107, 111, 103, 110.

Suponiendo que los precios de este producto se distribu-yen según una ley normal de varianza 25 y media desco-nocida:¿Cuál es la distribución de la media muestral?Determine el intervalo de confianza, al 95%, para la me-dia poblacional.

(91) La media de las estaturas de una muestra aleatoria de 400 personas de una ciudad es 1,75 m. Se sabe que la estatura de las personas de esa ciudad es una variable aleatoria que sigue una distribución normal con varianza σ2 = 0,16 m2. Construye un intervalo, de un 95% de confianza, para la media de las estaturas de la población. Cuál sería el mínimo tamaño muestral necesario para que pueda decirse que la verdadera media de las estatu-ras está a menos de 2 cm de la media muestral, con un nivel de confianza del 90%

(92) Las ventas mensuales de una tienda de electrodomésti-cos se distribuyen según una ley normal, con desviación típica US$ 900. En un estudio estadístico de las ventas realizadas en los últimos nueve meses, se ha encontrado un intervalo de confianza para la media mensual de las ventas, cuyos extremos son US$ 4663 y US$ 5839. ¿Cuál ha sido la media de las ventas en estos nueve me-ses? ¿Cuál es el nivel de confianza para este intervalo?

(93) Se desea estimar la proporción, p, de individuos daltó-nicos de una población a través del porcentaje observa-do en una muestra aleatoria de individuos, de tamaño n.

74


Si el porcentaje de individuos daltónicos en la muestra es igual al 30%, calcula el valor de n para que, con un nivel de confianza de 0,95, el error cometido en la esti-mación sea inferior al 3,1%. Si el tamaño de la muestra es de 64 individuos, y el por-centaje de individuos daltónicos en la muestra es del 35%, determina, usando un nivel de significación del 1%, el correspondiente intervalo de confianza para la proporción de daltónicos de la población.

(94) En una población una variable aleatoria sigue una ley normal de media desconocida y desviación típica 2. Observada una muestra de tamaño 400, tomada al azar, se ha obtenido una media muestra al igual a 50. Calcule un intervalo, con el 97 % de confianza, para la media de la población. Con el mismo nivel de confianza, ¿qué tamaño mínimo debe tener la muestra para qué la amplitud del intervalo que se obtenga sea, como máximo, 1?

(95) Una marca de nueces afirma que, como máximo, el 6% de las nueces están vacías. Se eligieron 300 nueces al azar y se detectaron 21 vacías.Con un nivel de significación del 1%, ¿se puede aceptar la afirmación de la marca? Si se mantiene el porcentaje muestral de nueces que es-tán vacías y 1-α = 0,95, ¿qué tamaño muestral se necesi-taría para estimar la proporción de nueces con un error menor del 1% por ciento?

(96) La duración de las bombillas de 100 W que fabrica una empresa sigue una distribución normal con una desvia-ción típica de 120 horas de duración. Su vida media está garantizada durante un mínimo de 800 horas. Se escoge al azar una muestra de 50 bombillas de un lote y, des-pués de comprobarlas, se obtiene una vida media de 750 horas. Con un nivel de significación de 0,01, ¿habría que rechazar el lote por no cumplir la garantía?

§275

Palacios C. Severo

ANÁLISIS DE REGRESIÓNLa falacia del cuadro estadístico estriba en que es unilateral, en la medida en que representa sólo el aspecto promedio de la realidad y excluye el cuadro total. La concepción estadística del mundo es una mera abstracción, y es incluso falaz, en particular cuando atañe a la psicología del hombre.

Carl Jung

I. INTRODUCCIÓN

Las técnicas estadísticas estudiadas hasta ahora tenían por objeto fundamental la comprobación de ciertas hipótesis.

Un campo más útil e importante del análisis estadístico en el diseño consiste en el desarrollo de modelos matemáticos que representen situaciones físicas. Este tipo de análisis se deno-mina análisis de regresión, se ocupa de desarrollar una cierta relación matemática que incluye el modelo matemático, su significación estadística y su confiabilidad.

Se puede demostrar que está íntimamente relacionada con el modelo del análisis de varianza.

II. MÉTODOS DE MÍNIMOS CUADRADOS

Se predice una variable dependiente en función de una varia-ble independiente simple; en muchos problemas de este tipo la variable independiente se observa sin error o con error que es despreciable se compara con el error de la variable inde-pendiente.

Ejemplo 2.19Al medir la cantidad de óxido formado en la superficie de un menaje de aluminio, las variables de anodinado electrolítico suelen ser cantidades, pero la medición del espesor del óxido anodizado esta sujeto a variables aleatorias consideradas.

Así, a pesar que la variable independiente puede ser estable en X, las mediciones repetidas de ella pueden atribuirse a di-

76


versas causas, principalmente a errores de medición y a la existencia de otras variables incontrolables capaces de influir en el valor de X cuando este fija. En esta forma la medición del espesor de la capa anodizada pueden variar en toda la su-perficie para el mismo período a la misma variable ejecutada.

Estudiemos el caso de regresión Y sobre X lineal, esto es, pa-ra cualquier X dada la media de la distribución de las Y esta dada por:

ε es el valor de una variable aleatorizada y podemos elegir a tal que la media de la distribución de esta variable aleatoria sea igual a cero.

Ejemplo 2.20Consideremos una regresión de Y sobre X sea lineal, supo-niendo un fenómeno físico de tensores, se flexiona variando la carga.

X 1 2 3 4 5 6Y 35 64 96 124 156 182

Consideremos n pares de observaciones (Xi,Yi), deseamos de-terminar la línea que de el mejor ajuste. Si predecimos y por medio de la ecuación:

77

Palacios C. Severo

Donde

Puesto que no podemos minimizar cada εi por separado, debe-mos tratar de hacer una sumatoria Σεi; tan cerca de cero co-mo sea posible, minimicemos la suma de cuadrados de las εi.

Nótese en la figura, que la minimización de la suma de cua-drados de las distintas verticales a partir de los puntos res-pecto a la línea. Una condición necesaria para que exista un mínimo relativo es la acumulación de las derivadas parciales con respecto a bo y b.

Siendo las ecuaciones normales,

Este conjunto de ecuaciones lineales con la incógnita bi deno-minados casos normales, da los valores para la línea con el mayor ajuste a un conjunto de datos.

Ejemplo 2.21Ajuste una línea recta a los datos por el método de mínimos cuadrados, utilice para estimar el coeficiente de evaporación de una gota de combustible, cuando la velocidad del aire pro-veniente de una turbina es de 190 cm/seg.

X 20 60 100 140 180 220 260 300 340 380Y 0,1

80,37

0,35

0,78

0,56

0,75

1,18

1,36

1,17

1,65

78


Resolviendo

bo = 0,069, b = 0,0038

III. MODELOS DE REGRESIÓN

En las aplicaciones de la estadística se exige estimar el carác-ter de la dependencia entre las variables estadísticas observa-das.

Ejemplo 2.22Entre los parámetros de los procesos tecnológicos, la produc-ción acabada, la luminosidad de las estrellas y sus dimensio-nes, la cantidad de precipitación fluvial en sectores, el rendi-miento de cosecha, el engorde de ganado, la recuperación de material valioso de un mineral, la transformación de un pro-ducto, etc.

79

Palacios C. Severo

En este caso, el problema fundamental consiste en el aisla-miento de los datos experimentales con ayuda de curvas espe-cialmente elegidas llamadas líneas o superficie de regresión que con mayor o menor seguridad caracteriza la dependencia de correlación entre las variables en observación.Las funciones más usadas en el análisis de regresión estadís-tica son:

IV. MODELO DE REGRESIÓN LINEAL CON K VARIA-BLES

Generalizando el modelo de regresión lineal de dos y tres va-riables, el modelo de regresión de K-variables que tiene la va-riable dependiente Y y K- 1 variables independientes X1, X2, …, Xk, puede escribirse de siguiente manera.

Donde:

bo es el interceptobi a bk-1 son las pendientes, yεi la perturbación

80


La regresión lineal se debe interpretar como ya se ha visto, nos proporciona la media o valor esperado de Y condicional a los valores fijos (en muestras repetidas) de X1, X2, ..., Xk-1 es decir E(Y/X1,X2, ..., Xk-1)

V. REGRESIÓN LINEAL SIMPLE

Determina la relación entre una sola variable de regresión X y la respuesta Y. Usualmente se supone que la variable X es continua y controlada por el investigador. Si el experimento esta diseñado se eligen los valores X y se observan los valores correspondientes a Y.

El valor esperado de Y para cada valor de X es:

En donde los parámetros de la recta bo son constantes desco-nocidas. Se supone que cada observación Y puede describirse mediante el modelo,

Donde ε es un error aleatorio con media cero y varianza δ2.

Los parámetros del modelo bo y b pueden estimarse mediante mínimos cuadrados si se tiene n pares de datos.Ejemplo 2.23El forjado de hierro a cierta temperatura afecta en la dureza del templado, para investigar esta relación se ha tomado las siguientes muestras:

X 6 9 11 13 22 26 28 33 35Y 68 67 65 53 44 40 37 34 32

81

Palacios C. Severo

Suma de cuadrados de los factores:

Suma de cuadrados de los productos cruzados

La pendiente es:

En el origen:

La prueba de significancía de regresión de los datos, es:

82


Tabla 2,5 Análisis de varianzaFuente SC GL CM Fo Ft(99

%)RegresiónError

205,539,58

17

205,531,3688

150,153

> 12,2

Total 215,11 8 R² = 95,54%

VI. REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE

Muchos problemas de regresión en la vida real son con más de dos variables.

El problema general se ajusta al modelo lineal,

Se conoce como regresión lineal múltiple.El método de mínimos cuadrados se usa para estimar los co-eficientes de regresión, las ecuaciones normales en el método son:

Ejemplo 2.24Determine la función múltiple de la relación entre dos facto-res X1 y Xz a partir de los siguientes datos:

47912

1258

7121720

164981144

14

2564

4144546

2884153240

72485

16032 16 56 290 94 159 505 276

Ecuación normal

83

Palacios C. Severo

Resolviendo la determinante obtenemos los coeficientes:bo = 0,6440b1 = 1,6610b2 = 0,0169

Resultando el modelo lineal múltiple

El procedimiento para el análisis de varianza es:

Tabla 2.6 Análisis de varianzaFuente SC GL CM Fo Ft(95

%)Regre-siónError

95,556

2,444

21

47,778

2,444

19,55

> 19

Total 98,000

3 R² = 97,51%

Se concluye que al menos una variable afecta significativa-mente a la regresión.


%)Regre-siónbo

b1

b2

Error

95,556784,00

011,0360,0012,444

21111

47,778784,00

011,0360,0012,444

19,55320,7

84,52<1

>><

19161161

Total 894,007

6

VII. REGRESIÓN POLlNOMIAL

84


La aplicación práctica de la regresión polinomial tiene un ob-jeto esencial el incremento de los grados de alisamiento que exige realizar de nuevo todos los cálculos.

En este caso es útil emplear los polinomios ortogonales en el modelo:

Aplicando el criterio de mínimos cuadrados, igualando a cero las derivadas parciales de Y con respecto a los coeficientes bo, b1,.. .,b12, reacomodando algunos términos, se tiene las k+1 ecuaciones normales.

Resolviendo el sistema, por cualquier método, se obtiene bo, b1, b2,..., b12 que son los estimadores mínimos cuadrados que nos permiten estimar Y a partir de la ecuación matriz.

YXXXXbXXbXXbXXbXXbbXX

YXXXbXbXXbXbXXbbX

YXXXbXXbXbXXbXbbX

YXXXbXbXXbXbXXbbX

YXXXbXXbXbXXbXbbX

YXXbXbXbXbXbNb

o

o

o

o

o

o

2122

2112

321222

3111

22122

21121

22

32112

4222

22

2111

322

2211

22

212

3112

22

2122

41112

212

311

21

222112

32222

2111

2222112

122

11222122

3111212

2111

21122222

21112211

Las pruebas estadísticas son las mismas que para los casos de regresión múltiple con sólo dos cambios en los grados de li-bertad, en lugar de un F con (r-2, n-r) grados de libertad ten-dremos una F con (r-k-1, n-r) grados de libertad, donde k es el grado del polinomio que se ajusta.

VIII. REGRESIÓN POLINOMIAL CUADRÁTICO

Un polinomio de grado k en una variables

que se aplica para estimar los efectos polinomiales de un fac-tor cuantitativo.

85

Palacios C. Severo

Ejemplo 2.25Ajustar los siguientes datos a un polinomio de segundo orden restando mil al factor X y 23,2 al factor Y, para facilitar los calculas:

X 850

860

870

890

890

900 910 920 930 940 950

Y 0 8,2 16,6

27 39,7

52,8

68,6

82,5

99,6

108,5

128,5

desarrollando un artificio matemático para X, siendo

X1 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5Y 0 8,2 16,

627 39,

752,8

68,6

82,5

99,6

108,5

128,5

929019580118,14290110

8,886110011

21

21

21

bbbbbbbbb

o

o

o

resultando los coeficientes

bo = 76,64b1 = 13b2 = 0,3974

el modelo polinomial de segundo orden es:

86


reemplazando con el valor original

IX. REGRESIÓN NO LINEAL

Es una práctica común de la ingeniería bosquejar parejas de datos sobre varias clases de hojas para graficar, con el fin de determinar si para una escala de transformación adecuada, los puntos caerán cerca de una línea recta. De ser así el tipo de transformación nos lleva a una forma funcional de la ecua-ción de regresión y las constantes necesarias pueden determi-narse aplicando el método de mínimos cuadrados a los datos transformados. Sí un conjunto de datos que consta de n pun-tos se linealiza cuando son graficados sobre el papel semi lo-garítmico indica que la curva de regresión es exponencial pa-ra cualquier X considerada, la medida de la distribución de las Y está dada por αβX, entonces la ecuación predictiva será:

Ejemplo 2.26Una fabrica de llantas decide analizar una variedad de sus productos para saber cuanto tiempo se puede usar después de un recorrido estándar.

Recorrido 1 2 5 10 20 30 40 50Porcentaje 98,2 91,

781,3 64 36,4 32,8 17,

711,3

ΣX = 158ΣX² = 5530ΣLog Y = 130312ΣXLog Y = 2121224

cuya solución es

87

Palacios C. Severo

en forma exponencial:

X. COEFICIENTE DE CORRELACIÓN MÚLTIPLE R2

En el caso de dos variables se define R2 como la bondad de ajuste de la ecuación de regresión; es decir, nos da la propor-ción o porcentaje de variación total en la variable dependien-te Y explicada por las variables independiente X.

Este sentido de R2 puede fácilmente extenderse a modelos de regresión de más de dos variables. Por consiguiente, en el modelo de tres variables estamos interesados en conocer la proposición de las variables en Y explicada conjuntamente con las variables X1 y X2. El valor que nos da esta información se conoce como el coeficiente de correlación múltiple y se de-nota por R2, conceptualmente es igual que R2.

La suma total de cuadrados es igual a la suma de cuadrados de las dependientes más la suma de cuadrados residuales. Por definición.

Dado que los valores de la ecuación son generalmente compu-tados en forma rutinaria, R2 puede calcularse fácilmente. No-te que R2 esta comprendido entre 0 y 1. Si es uno, significa que la línea de regresión ajustada explica el ciento por ciento de la variación de Y. De otro lado, si es cero, el modelo no ex-plica nada de la variación en Y. Típicamente, sin embargo, R2

esta entre estos valores extremos.

Se dice que el ajuste del modelo es mejor mientras más cerca de uno está R2.XI. PRUEBAS DE SIGNIFICANCIA

No podemos utilizar la prueba t para verificar la hipótesis conjunta según la cual las pendientes de las distintas varia-bles son simultáneamente cero. Sin embargo esta hipótesis

88


conjunta puede verificarse mediante la técnica de ANAVA y puede demostrarse del modo siguiente.

Recordemos la identidad (ver el libro Manual de la Teoría del Diseño Experimental publcado por el Autor).

SCtotal tiene como es costumbre N-1 grados de libertad.SCresidua tiene N-3 grados de libertad por motivos ya conocidos ySCerror tiene 2 grados de libertad en razón de que es función de b1

y b2.

Por lo tanto, siguiendo el procedimiento ANAVA, podemos elaborar las tablas.

Tabla 2.8 Cálculo de análisis de varianzaFuente SC GL CM Fo

Regre-siónError

GLSC /

Total

R² =

/

Puede demostrarse ahora que bajo el supuesto de que los εi

distribuidos normalmente y de que la hipótesis nula b1=b2=0, la variable.

La aplicación práctica de la regresión tiene por objeto esen-cial el incremento de los grados del modelo, el alizamiento exige realizar calculas precisos.

Para estimar los parámetros:

89

Palacios C. Severo

Para obtener los coeficientes aplicamos las matrices aquí de-talladas,

FUNCIÓN MATEMÁTICA: DISEÑO FACTORIAL 22

Y1

Y2

Y3

Y4

1111

-+-+

--++

1111

1111

+--+

-+-+

--++

4 4 4

Ejemplo 2.27Evalué los datos

4bo = 300 bo = 754b1 = 30 b1 = 7,74b2 = 10 b2 = 2,5

Y X1Y X2Y65807085

- 65+ 80- 70+85

- 65- 80+ 70+ 85

Σ 300 Σ 30 Σ 10

Resultando el modelo

FUNCIÓN MATEMÁTICA: DISEÑO FACTORIAL 23

Y1

Y2

Y3

Y4

Y5

Y6

Y7

Y8

11111111

-+-+-+-+

--++--++

----++++

11111111

11111111

11111111

-+-+-+-+

----++++

----++++

8 8 8 8

90


Ejemplo 2.28Evalué los datos

8bo = 548,74 bo = 68,598b1 = - 0,86 b1 = - 0,118b2 = 4,24 b2 = 0,538b3 = - 2,48 b3 = - 0,31

Y X1Y X2Y X3Y68,7269,0669,4467,7567,9368,7368,7268,39

Σ 548,74

- 0,86 4,24 - 2,48

el modelo es:

FUNCIÓN MATEMÁTICA: DISEÑO HEXAGONAL22

21 XX

Y1

Y2

Y3

Y4

Y5

Y6

Y7

Y8

Y9

1111111119 0 0 3 2,9 2,3 2,3 0,75 Σ Σ Σ Σ Σ

Para mayor detalle ver el tópico de Diseño Hexagonal.

FUNCIÓN MATEMÁTICA: DISEÑO COMPUESTO CEN-TRADO

DE DOS FACTORES

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Palacios C. Severo

Y1

Y2

Y3

Y4

Y5

Y6

Y7

Y8

Y9

Y10

Y11

Y12

Y13

1111111111111

13 0 0 8 8 Σ Σ Σ Σ Σ

Problemas

(97) Se dan los datos correspondientes al tiempo de secado de cierto barniz y a un aditivo que reduce el tiempo de secado, al aplicarlo sobre un producto que es novedoso.

Bar-niz

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Seca-do

12 10,5

10 8 7 8 7,5 8,5 9

(98) Se realiza un tratamiento a un cierto tipo de aleación, requiriendo cierta fuerza de ruptura, dicho producto es una pieza como parte de un componente de autopartes.

Fuerza 38 48 85 59 40 60 68 53Aleación 1 2 3 4 1 2 3 4Fuerza 31 35 42 59 18 34 29 42Aleación 1 2 3 4 1 2 3 4

(99) Los datos corresponden al tiempo que tardan diez téc-nicos en ensamblar computadoras por las mañanas, los cuales trabajan 8 horas como jornada laboral.

Tiempo 11,1

10,3

12,0

15,1

13,7

18,5

17,3

14,2

14,8

15,3

Maqui-na

10,9

14,2

13,8

21,5

13,2

21,1

16,4

19,3

17,9

19,0

(100) Al problema (98) adicione otra aleación siendo los da-tos:

Aleación 5 5 5 5 10 10 10 10Aleación 15 15 15 15 20 20 20 20

(101) Al problema (99) adicione los datos de trabajo en la tardeTarde 9,6 15,

112,6

24,5

12,8

22,1

15,6

21,6

16,9

20,6

92


(102) Un gerente de ventas tiene la responsabilidad de se-leccionar nuevos vendedores.Con el fin de lograr una mejor selección posible de un grupo de aspirantes, diseño un test. Su objeto era prede-cir el volumen de ventas de un individuo sobre la base del puntaje. Sin embargo para determinar si existía al-guna relación entre su test y las ventas pidió a varios vendedores antiguos que se sometieran al test. En la tabla se registran los puntajes de sus respectivos test y sus ventas semanales.

Vendedor Test Venta semanalNatanielAlbertoHugoEmilioCarlos

34234

57464

a) Cuál es la variable dependienteb) Represente gráficamente con las variables indepen-

dientes y dependientes.c) Determine la ecuación de la recta.d) Si Nataniel es un aspirante al puesto a vendedor.

Obtuvo 3 puntos en el test, sobre la base de la ecua-ción de regresión. ¿Cuál será la cifra de sus ventas semanales medias según pronóstico?

e) Obtenga el coeficiente de correlación e interprete.(103) Supongamos que una ecuación de regresión múltiple

es:

Qué significa el coeficiente 3,47Qué significa cada uno de los coeficientes de los factoresQué significa 16,18 en la ecuación de regresiónSi todos los factores se hacen cero cual es el valor inicial con que se empieza el desarrollo de la ecuación de re-gresión.

(104) Interprete un coeficiente de correlación igual a 0,99 0,98 0,88 0,79 0,67 0,56 0,45 -0,89 -0,78 -0,06

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Palacios C. Severo

§3PRINCIPIOS DE DISEÑO

EXPERIMENTAL(...) Demostrar que la realidad nos pasa delante de los ojos como un relato, en el que hay diálogos, enfermedades, amores, además de estadísticas y discursos.

Tom Wolfe

I. INTRODUCCIÓN

Diseñar estadísticamente un experimento, es realizar una prueba o una serie de pruebas, buscando caracterizar las va-94


riables o factores de mayor influencia en un ensayo de inte-rés, evaluado a través de varias variables respuesta tal que, si deliberada o sistemáticamente se introducen cambios contro-lados en algunas de las variables explicativas del proceso, siempre sea posible observar o cuantificar los cambios que éstos generan en las variables respuesta buscando adicional-mente, minimizar el efecto de las variables no controlables, procurando con ello estabilizar y minimizar la variabilidad de las respuestas.

Aunque la aplicación o uso del diseño experimental se da en cualquier área del conocimiento, este debe cumplir las si-guientes fases:

1. Caracterización de un proceso. En esta fase, se busca determinar los rangos de las variables o factores controlables de mayor influencia en las variables res-puesta que a la vez minimizan el efecto de las variables no controlables (factores o variables).

2. Depuración y optimización de un proceso ya carac-terizado. En esta fase se hallan los niveles de los facto-res estudiados que proporcionan la respuesta óptima a la solución del proceso caracterizado en la fase anterior.

En cualquier aplicación de la estadística en el diseño y análi-sis de un experimento, es necesario que quienes lo desarro-llen entiendan claramente el problema objeto de estudio, que posean un amplio conocimiento del material experimental a usar, que conozcan las posibilidades existentes para procesar los datos y además posean el conocimiento estadístico nece-sario para interpretar adecuadamente los resultados del expe-rimento.

II. TIPOS DE EXPERIMENTOS

Se clasificó los experimentos como pertenecientes a dos tipos.

a) El experimento absoluto en el cual el interés principal es la estimación y las propiedades físicas de la población a ser estudiada. Estas propiedades se esperan que sean constantes, de acá el término absoluto. En estos experi-mentos un factor singular es estudiado frecuentemente

95

Palacios C. Severo

para examinar un número reducido de niveles de un fac-tor. La selección de los tratamientos se hace general-mente mediante procesos aleatorios, por tanto, si el ex-perimento puede ser repetido, el mismo grupo de trata-mientos no necesariamente será utilizado.Por esta razón, el tratamiento es considerado una varia-ble aleatoria y el modelo señalado es un modelo de efec-tos aleatorios o Modelo II, bajo el cual se detectan y esti-man componentes de variación asociada a una pobla-ción compuesta.

b) El experimento comparativo. Frecuentemente cuando se estudia un grupo de tratamientos, los resultados ab-solutos varían erráticamente mientras que los resultados relativos permanecen razonablemente estables. En tales situaciones es posible establecer, que en circunstancias similares se espera que ciertos tratamientos sean sus-tancialmente mejores que otros. En tales campos de la experimentación, los experimentos tienden a ser compa-rativos y tienen un interés secundario dado por los resul-tados absolutos. La teoría estadística del diseño de expe-rimentos se relaciona inicialmente con este tipo de expe-rimentos.

Los experimentos comparativos son básicamente experimen-tos en los cuales los tratamientos se comparan por sus efectos medios sobre una variable respuesta con el objeto principal de determinar cuál de ellos es mejor en algún sentido. El pro-pósito de este tipo de experimento es proveer información ne-cesaria para tomar decisiones administrativas satisfactorias. La principal característica de este tipo de experimentación es que todos los tratamientos de interés están incluidos en el ex-perimento. Consecuentemente, la estructura matemática bá-sica es el modelo de efectos fijos ya que bajo experimentos re-petidos se seleccionarían los mismos tratamientos. En este caso, es de interés la detección y estimación de relaciones constantes entre las medias del universo de objetos conside-rados, Para estos modelos, el interés primordial es probar va-rias hipótesis relacionadas con las medias de los tratamien-tos.

96


El experimento comparativo comienza con un planteamiento exacto del problema a ser resuelto. Esto es, se debe hacer una especificación detallada de los objetivos del experimento con una formulación precisa de la hipótesis a probar.

Es insuficiente solamente establecer en forma simple compa-rar estos tratamientos. Esta especificación define la población a la cual las conclusiones serán aplicadas, determina los fac-tores, tratamientos y sus niveles, especifica las variables res-puesta a ser medidas y establece las diferencias críticas a ser detectadas. Sin estas especificaciones, ningún experimento podrá ser diseñado adecuadamente.

Como lo fundamental en la decisión sobre las hipótesis son los experimentos planeados, es necesario que se tenga en cuenta las siguientes características generales para estos en-sayos.

1. Simplicidad: Acá se debe tener en cuenta que tanto la selección de los tratamientos como la disposi-ción experimental deberá hacerse lo más simple posible.

2. Grado de precisión: El experimento deberá te-ner la capacidad de medir diferencias entre tratamientos con los grados de precisión que desee el investigador. Para cumplir con este propósito se deberá tener enton-ces un diseño apropiado y un número de repeticiones adecuado.

3. Ausencia de error sistemático: Se debe planear un experimento con el propósito de asegurar que las unidades experimentales que reciban un tratamiento no difieran sistemáticamente de aquellas que reciben otro, procurando de esta manera obtener una estimación in-sesgada del efecto de tratamientos.

4. Rango de validez de las conclusiones: Las con-clusiones deberán tener un rango de validez tan amplio como sea posible. Los experimentos que contribuyen a aumentar éste rango son los experimentos replicados y los experimentos con estructuras factoriales.

5. Cálculo del grado de incertidumbre: En todo ex-perimento existe algún grado de incertidumbre en cuan-to a la validación de las conclusiones. El experimento de-

97

Palacios C. Severo

berá ser concebido de modo que sea posible calcular la posibilidad de obtener los resultados observados debi-dos únicamente al azar.

III. UNIDADES EXPERIMENTALES Y MUÉSTRA-LES

El elemento básico en los experimentos comparativos es la unidad experimental. Este concepto se usará en la siguiente definición.

Los elementos sobre los cuales se hacen las mediciones y a los cuales un tratamiento puede ser asignado independiente-mente se denomina unidad experimental y al conjunto de uni-dades experimentales se les denomina material experimental. Cada unidad experimental contiene una o más unidades muéstrales en las cuales las condiciones experimentales pla-neadas previamente se realizan.

Ejemplo 3.29a) En un experimento agrícola para evaluar el rendimien-

to de algunas variedades de olivo, la unidad experimen-tal puede ser una porción de terreno de tamaño óptimo preestablecido, usualmente denominada parcela, o un número de plantas o un número de mazorcas.

b) En un estudio farmacéutico, un paciente sometido a un tratamiento de un fármaco puede ser considerado como una unidad experimental.

c) En un trabajo de plaguicida la unidad experimental puede ser un insecto, una colonia o toda una especie. En general la definición de la unidad experimental depende de los objetivos de la investigación.

Por definición, las unidades experimentales deben estar en capacidad de recibir diferentes tratamientos.

En la conducción del experimento existen dos grupos de va-riables.

1) Las variables respuestas que proporcionan las medi-ciones del experimento, las cuales varían debido a la di-versidad presente entre las unidades experimentales.

98


2) Las variables explicativas que influyen en las respues-tas y que se denominan factores. Entre estos existen los denominados factores de clasificación que según sus va-lores definen los niveles de clasificación sobre los cuales se hace la inferencia.

Por su naturaleza las unidades muéstrales de la misma unidad experimental deben recibir el mismo tratamiento, consecuen-temente la asignación del tratamiento a estas unidades mués-trales no es independiente.Esta distinción es importante dado que para hacer inferencia sobre los efectos del tratamiento, se requiere tener un conoci-miento de la estimación de la variabilidad inherente al mate-rial experimental, esta variabilidad es conocida como el error experimental. Esta estimación es dada por la variación entre unidades idénticamente tratadas las cuales inicialmente pu-dieron haber sido tratadas de manera distinta. Solo la unidad experimental considerada como un todo satisface este requisi-to. La variación entre las unidades experimentales provee una estimación del error experimental. En general, la variación entre unidades muéstrales dentro de las unidades experimen-tales es un valor muy pequeño al calcular los errores de esti-mación de los efectos del tratamiento.

IV. FUENTES DE VARIACIÓN

Los tratamientos se asignan a las unidades experimentales para determinar si tienen un efecto sobre la respuesta de in-terés. Cualquier efecto podrá resultar en diferencias sistemá-ticas de respuesta entre unidades experimentales. Será obvio que para detectar estas diferencias, las unidades experimen-tales deberán ser lo más homogéneas posibles; esto es, que la variación entre unidades experimentales uniformemente tra-tadas va a ser menor en relación con las diferencias de trata-miento. Si esto no ocurre, la variación de las unidades experi-mentales pueden resultar en un fracaso para encontrar dife-rencias de tratamientos; los cuales van a ser importantes para la investigación.

Desafortunadamente, las unidades experimentales general-mente no serán homogéneas porque, ellas poseen diferentes propiedades físicas inherentes para una o más características.

99

Palacios C. Severo

Frecuentemente detrás del control del experimentador, estos factores inherentes causan diferencias sistemáticas entre las unidades experimentales creando fuentes de variación no de-seadas. Estas fuentes son de escaso interés práctico y no es-tán relacionadas con el estudio. Por esta razón, se conocen como fuentes extrañas de variación. No es necesariamente cierta que todas estas fuentes de variación sean conocidas por el experimentador. Sabemos que estos factores pueden ser usados para clasificar las unidades experimentales en su-bgrupos más homogéneos, aunque también son conocidos co-mo factores de clasificación, hasta tanto ellos sean de interés para el experimentador.

Mientras el error experimental es una variación aleatoria, no toda variación aleatoria es error experimental.

La variación entre unidades muéstrales dentro de las unida-des experimentales es también una variación aleatoria, pero, no debe dársele mucho valor al juzgar los efectos de los trata-mientos. Los tratamientos son parte de la estructura de la unidad experimental y hay una diferencia básica entre la cla-sificación y los factores de tratamiento. Los factores de clasi-ficación son propiedades inherentes a la unidad experimental y solo raramente pueden ser cambiados por el experimenta-dor.

Cada combinación específica de niveles de factores se deno-mina tratamiento.

Ejemplo 3.30Se planea un experimento para evaluar el rendimiento de un tubérculo en función del tipo de variedad V1, V2 y V3 y los nu-trientes N y P a los niveles (10; 30) y (20; 40) respectivamen-te. Los posibles 12 tratamientos VNP son:

100


El concepto de tratamiento implica que:

1. Cualquier unidad experimental esta en capacidad de recibir cualquier tratamiento.

2. La asignación de tratamientos a la unidad experi-mental esta bajo el control del experimentador.

Bajo esta definición, en un experimento que compare medica-mentos por ejemplo, el género nunca podrá ser considerado como un factor (tratamiento). El género de un sujeto particu-lar es una propiedad intrínseca del sujeto que no podrá ser asignado al experimentador. Los medicamentos, sin embargo, constituyen un tratamiento dado que a cada sujeto incluido en el estudio (unidad experimental) se le puede asignar un medi-camento.

La distinción entre tratamiento y factores de clasificación no es absoluta. Estos tratamientos serán aplicados a muestras de madera con superficies ásperas o suaves. La superficie de ma-dera no representa un factor tratamiento a menos que el ex-perimentador pueda especificar los tipos de superficies de las piezas. Así, si el experimentador tiene una oferta de pedazos ásperos de madera y puede decidir cuales son suaves, enton-ces el tipo de superficie será un factor tratamiento. Si el tipo de superficie es una propiedad intrínseca de las especies ma-derables elegidas, entonces será un factor de clasificación.

Como afirman Cochran y Cox (1957), los tratamientos deben tener las siguientes particularidades:

1. Presentar la finalidad, es decir si pretende simple-mente mostrar al ganador entre los diferentes trata-mientos o si además se desean encontrar indicios acerca del comportamiento de los tratamientos. Un caso parti-cular, es el ensayo con un fertilizante compuesto de dos sustancias A y B principalmente. El resultado no mues-tra si la efectividad del fertilizante se debe a alguno de los dos componentes o a los dos conjuntamente. Será ne-cesario un experimento más extenso, con tratamientos adicionales que den luces sobre éste hecho. Si el propó-sito es encontrar el mejor de los tratamientos prácticos,

101

Palacios C. Severo

entonces ciertos tratamientos pueden omitirse por su no practicidad.

2. La respuesta en algunos casos, puede deberse a las condiciones bajo las cuales se aplica un tratamiento de-pendiendo del medio circundante a este, tal vez habrá un favorecimiento en su efecto sobre las unidades expe-rimentales. Esta situación es muy frecuente en trabajos con sustancias químicas aplicadas sobre suelos, en los que su efecto sobre las plantas se ve comprometido con los componentes del terreno, o de las plantas mismas. Luego debe decirse si habrá controles sobre el terreno, por ejemplo homogenizando el suelo mediante la aplica-ción de estos componentes en cantidades considerables (estas decisiones se toman previo un análisis de suelos). No se debe perder de vista la población sobre la cual se desea hacer inferencia, porque un procedimiento como el descrito, tal vez cambie la población objetivo.

3. Los tratamientos propuestos, generalmente no son los que en la práctica se prueban. Por desconocimiento, por descuido, por materiales, instrumentos, etc., se ob-tienen tratamientos diferentes a los de interés. Un caso muy común es cuando un tratamiento está definido para ser aplicado de una forma específica y resulta aplicándo-se de otra; por ejemplo una sustancia para controlar pla-gas, la cantidad aplicada puede ser alterada, o el mo-mento de su aplicación puede ser diferente. Aquí, de una parte se ha modificado la dosis, y de otra, el tiempo hace que los animales a controlar estén posiblemente en una etapa de su desarrollo diferente a la prevista. Siendo extremistas, se puede afirmar que la mayoría de los tratamientos en el acto no corresponden a la defini-ción original; por más cuidado que se tenga en mantener una cámara de muchas temperaturas, se procura natu-ralmente, que estas estén muy cerca de 20oC durante el ensayo, por ejemplo.

4. En muchos experimentos se presenta la necesidad de un tratamiento testigo o control. Este término se re-fiere a un tratamiento en el que no se tiene un interés particular, pero puede servir de comparación para reve-lar si los demás tratamientos son efectivos. Se recomien-da la inclusión de un testigo cuando las condiciones físi-

102


cas, químicas, ambientales, etc., donde se apliquen los tratamientos enmascaran la relevancia de éstos; por ejemplo, el caso donde la fertilidad de un terreno sea muy alta tenderá a esconder el efecto del nutriente adi-cional. Otras situaciones se presentan en animales, en los cuales sus rasgos genéticos, condiciones fisiológicas o morfológicas, no revelarán claramente la efectividad de las dietas en la ganancia de peso. Otra justificación para la consideración de un testigo suele ser cuando existe un desconocimiento muy alto acerca de la efectivi-dad de los tratamientos objetos de estudio.

V. CONTROL DE LA VARIACIÓN DEL NO TRA-TAMIENTO

Para hacer valida la comparación entre tratamientos, se de-ben separar los efectos de fuentes extrañas de variación de los efectos de tratamientos y de la estimación del error expe-rimental. Si esto no se puede hacer, se obtendrán estimacio-nes sesgadas tanto de las diferencias de tratamientos como del error experimental.

Lo que se necesita son métodos a través de los cuales la va-riación debida a fuentes distintas a los tratamientos sea con-trolada, de tal forma que los efectos de tratamiento puedan ser estimados en forma segura y adecuada. Los métodos que hacen esta distinción, están referenciados en forma conjunta como control del error.

El objetivo principal de estos métodos, es obtener un estima-dor insesgado del error experimental resultante de mejorar la precisión asociada con la estimación de diferencias de trata-miento. Estos métodos pueden ser técnicos (experimentales) o estadísticos.

Los métodos técnicos son aquellos impuestos por el experi-mentador.Selección de más unidades experimentales homogéneas. Esto incluye hacer condiciones ambientales más uniformes para mantener las variables potenciales constantes. El criterio pa-ra la selección del material deberá ser el de obtener el máxi-

103

Palacios C. Severo

mo beneficio con unos recursos dados (generalmente esca-sos). Sin embargo, el experimentador esta limitado a la dispo-nibilidad de material con el cual debe realizar el estudio, aun-que tenga pocas alternativas de elección en la unidad experi-mental a ser usada. Consecuentemente, el uso de más unida-des experimentales homogéneas no siempre es posible. Las unidades experimentales deben ser lo más representativas de la población para la cual el experimento va a sacar conclusio-nes.

Por esta razón, controlando experimentalmente algunos facto-res extraños y manteniéndolos constantes en algún valor es-pecífico puede seriamente limitar la aplicabilidad de los resul-tados experimentales.

La técnica experimental es responsabilidad del experimenta-dor y debe ser siempre examinada para asegurar que esta sea lo más precisa posible. En la mayoría de ocasiones, la variabi-lidad asociada con una técnica determinada es relativamente pequeña, y hasta ahora solo se ha podido obtener un muy li-mitado mejoramiento en la precisión del experimento. Hay ca-sos, donde los errores de técnica aumentan considerablemen-te la variabilidad. Tales errores deben prevenirse pero no so-bredimensionarse.

Las técnicas estadísticas son métodos que deben obtener ven-tajas de las características de las unidades experimentales (diseño experimental) y cuando hay información disponible adicional de tipo cuantitativo o cualitativo se tienen más ven-tajas. Una función básica de los diseños de experimentos es la de reducir la necesidad de control exacto del ambiente expe-rimental, dado que el control de dichos factores es costosa y tediosa. Es a través del diseño de experimentos que las fuen-tes conocidas de variabilidad se controlan. Esto se consigue arreglando las unidades experimentales en subgrupos más homogéneos conocidos como bloques los cuales están basa-dos en valores comunes de los factores de clasificación. Ha-ciendo esto, algunas de las variaciones naturales entre unida-des experimentales son asociadas con otro factor cuya contri-bución a la estimación del error experimental puede ser elimi-nada.

104


En muchos experimentos la precisión de la comparación de tratamientos puede ser aumentada usando variables concomi-tantes y/o auxiliares, este tipo de análisis, conocido como el análisis de varianza se recomienda usar cuando la variación entre unidades experimentales es, en parte, debida a la varia-ción en algún otro carácter medible no suficientemente con-trolable, para ser usada en la asignación de unidades experi-mentales a los bloques sobre las bases de resultados simila-res. Frecuentemente, la agrupación de estas variables cuanti-tativas en bloques, construidos a partir de rangos de valores no es efectiva ya que la variación dentro de bloques puede ser más grande. Más aún, se puede requerir mucho más grados de libertad para controlar este factor. Este aumento de los grados de libertad puede ser usado para estimar el error ex-perimental.

El control estadístico a través del uso del bloqueo y/o el análi-sis de la varianza elimina la variación debida a fuentes extra-ñas conocidas. Es a través de la aplicación de la aleatoriza-ción, como las fuentes de variación desconocidas para el ex-perimentador pueden ser controladas. El concepto de aleato-rización y su función se discuten mas adelante.

Como última consideración, el incremento en la repetición, no reduce el error de la varianza, pero mejora la precisión de las estimaciones dado que el error estándar se disminuye propor-cionalmente a la raíz cuadrada del tamaño de la muestra. Es-te incremento en la cantidad de reducción que debe realizar-se aumentando las replicaciones, solo deberá realizarse cuan-do todas las demás opciones han sido eliminadas y la preci-sión deseada no ha sido obtenida.

VI. PROPIEDADES DEL DISEÑO ESTADÍSTICO

Finney (1955) establece que por el diseño de experimentos se entiende:

a) Especificaciones de las unidades experimentales a las cuales los tratamientos han sido aplicadas.

b) Especificaciones de mediciones que pueden ser toma-das en cada unidad experimental.

105

Palacios C. Severo

Selección de un grupo de tratamientos para comparación. Mientras la responsabilidad principal es del experimentador, la estadística contribuye respecto a la elección óptima de las combinaciones de tratamientos a ser usadas, por ejemplo, en un experimento factorial fraccionado o en la exploración de superficies de respuesta. Esto se conoce como un diseño de tratamientos.

La asignación de los tratamientos a las unidades experimenta-les (aleatorización), esto es lo que caracteriza el diseño esta-dístico de experimentos.

El diseño estadístico de experimentos es esencialmente el plan para poner a funcionar el experimento, especificando el arreglo de las unidades experimentales en el tiempo y/o espa-cio y el patrón de observaciones que van a reportar informa-ción.

El diseño, por lo tanto, es una secuencia compleja de etapas tomadas para garantizar que los datos serán obtenidos de la forma que permitan un análisis objetivo, soportado en infe-rencias válidas respecto al planteamiento del problema, el cual debe ser lo más preciso posible y además viable económi-camente.

El diseño de un experimento es una función importante, dado que ninguna técnica estadística puede revelar información no implícita inicialmente en los datos.

Para cualquier grupo de datos, el análisis apropiado de los mismos es determinado por el diseño de experimentos. La ha-bilidad, por lo tanto, de obtener un análisis significativo se ba-sa inicialmente en la forma en que se han recolectado los da-tos. Un buen diseño experimental, es aquel que proporciona la información requerida con el mínimo esfuerzo experimen-tal. Muchos criterios han sido propuestos para contar con un experimento estadísticamente válido. En general, los requisi-tos estadísticos para el buen diseño de experimentos son:

Proveer estimaciones insesgadas para los efectos del tratamiento. Hasta donde es posible la comparación de tratamientos deben estar libres de sesgos sistemáticos.

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Es la comparación de tratamientos el interés principal, por lo tanto es de primordial importancia que estas com-paraciones reflejen diferencias debidas a los tratamien-tos, y no a las diferencias inherentes a las unidades ex-perimentales. Es importante que el experimento este di-señado para asegurar que las unidades experimentales que reciban un tratamiento especifico no difieran de otros tratamientos.

Requerir que la precisión asociada con la estimación de efectos este de terminada al mismo tiempo que las estimaciones mismas. En este sentido, el experimento esta auto contenido. Para esto, debe haber una medición del error experimental. Esta estimación es necesaria pa-ra asegurar la significancía estadística de las diferencias de tratamientos. Si esta estimación no es insesgada, se presentará una pérdida de eficiencia del experimento lo cual conllevara a un desperdicio de tiempo, materiales y dinero. Si el experimento no provee una estimación del error experimental, será necesario usar una estimación de un experimento previo. La validez del procedimiento se basa en el hecho que la magnitud del error experi-mental deberá permanecer invariante desde el último experimento (un supuesto que frecuentemente es insos-tenible).

Las comparaciones de tratamientos, deben de ser lo suficien-temente precisas para detectar las mínimas diferencias de im-portancia práctica para el investigador. Cuando se comparan tratamientos, si existen unas mínimas diferencias esto provee-rá una ganancia real. Así, si un tratamiento debe ser cambia-do por otro, este debe ser mejor, aunque sea por una mínima diferencia. Claramente el experimento deberá tener suficien-te precisión para detectar tales diferencias o de lo contrario no tiene sentido realizarlo. La precisión de un determinado experimento dependerá de:

1. La variabilidad intrínseca del material experi-mental y de la precisión del trabajo experimental.

2. La cantidad de replicaciones del tratamiento, y3. El diseño del experimento.

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Palacios C. Severo

Las conclusiones tienen un rango amplio de validez. Las condiciones encontradas en la práctica, nunca serán exactamente las obtenidas cuando se lleva a cabo el experimento. Deben procurarse que las con-clusiones sobre los resultados del experimento se ha-gan sobre condiciones similares del experimento. Si las conclusiones se aplican, deberá haber confiabili-dad de que las condiciones donde se apliquen sean similares. Cumpliendo esto el experimento debe te-ner un rango amplio de validez. Entre más amplio sea el rango de condiciones investigadas en el expe-rimento, mayor será la confiabilidad de estas conclu-siones cuando no cumplan las condiciones de homo-geneidad, en aquellos casos donde las condiciones sean algo distintas.

Se debe tener cuidado, para verificar que la organi-zación del experimento no se torne muy compleja y tener en cuenta además que si un grupo de trata-mientos no es investigado totalmente, no se podrán obtener conclusiones significativas.

El diseño debe ser lo más simple posible para alcanzar los ob-jetivos del experimento. La selección del diseño depende de la naturaleza de las fuentes de variación en el material experi-mental. Se debe elegir el diseño más simple posible que per-mita controlar adecuadamente la variabilidad conocida. A me-dida que el diseño experimental se torna más complejo, hay una menor flexibilidad haciendo difícil la organización lo cual puede llevar a cometer errores cuando se realiza el experi-mento. Entre más simple el diseño, más fácil será llevar a ca-bo ajustes por las equivocaciones que siempre suelen apare-cer.

Una consecuencia general de los experimentos comparativos es que puede conducir a decisiones administrativas, mientras es verdad que la hipótesis nula para igualdad de efectos de los tratamientos siempre será rechazada dados determinados recursos, se debe recordar que el manejo de la no significan-cía implica equivalencia. Algunas acciones deberán tomarse siempre sobre la base de los resultados obtenidos; bien sea, mantener todo tal cual o cambiar por un nuevo tratamiento.

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Las decisiones diarias son un proceso de dos etapas:

1. Examen (análisis) de las probabilidades aso-ciadas a los datos estimados con las conclusiones (ac-ción estadística).

2. Basados en estos resultados, se toma la de-cisión para implementar una acción (decisión de ges-tión).

El trabajo del estadístico es el de presentar las probabilidades de la primera etapa lo más acertadamente posible para lograr minimizar el número de decisiones incorrectas a tomar en la segunda etapa.

Un buen diseño de experimentos puede ser obtenido al apli-car los principios básicos establecidos por Fisher (1935). Ellos son:

1. Replicaciones de algunos o todos los tratamientos para estimar la magnitud del error experimental.

2. Aleatorización de los tratamientos a las unidades experimentales para tener así una estimación válida del error experimental así como estimaciones insesgadas de los efectos de los tratamientos.

3. El uso del control local de fuentes de variación ex-trañas conocidas a través del uso de sub-grupos homo-géneos de unidades experimentales.

En el diagrama de Fisher, según las condiciones del experi-mento, se escoge el diseño experimental, se formula un mode-lo lineal apropiado y se lleva a cabo el análisis estadístico ba-sado en la escogencia del diseño y del modelo.

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Palacios C. Severo

Diagrama de Fisher Principios de la experimentación

Para mayor claridad se lleva a cabo en las siguientes seccio-nes una explicación más amplia de estos principios.

VII. REPLICACIÓN

Es el proceso de repetir en condiciones similares el experi-mento para cada tratamiento se denomina replicación. Cuán-do el número de replicaciones es igual para todos los trata-mientos el diseño se denomina balanceado, en caso contrario se dice que es desbalanceado. Un número adecuado de repli-caciones permite al experimentador obtener una estimación del error experimental.

La replicación es la asignación del mismo tratamiento a más unidades experimentales, o sea que hace referencia al núme-ro de unidades experimentales de cada tratamiento, no al nú-mero de observaciones. El propósito de la replica es proveer una estimación del error experimental. Se obtiene de compa-rar unidades experimentales tratadas igual pero que antes del experimento tenían la oportunidad de ser tratadas de manera diferente. Las múltiples mediciones tomadas en una unidad experimental no satisfacen esta definición, dado que esto no es replicación; las repeticiones reducen la variación asociada con mediciones y/o errores muéstrales, pero no proveen nin-guna información relacionada con los errores experimentales.

Además de proveer una estimación de error experimental, las replicaciones aportan la precisión del experimento al reducir el error estándar asociado con la comparación de tratamien-tos. Esto se desprende del hecho que la varianza de la media disminuye inversamente proporcional a la raíz cuadrada del 110


número de replicas. Esto provee una forma para controlar el tamaño de la varianza del error.

A pesar de que el incremento en el número de replicaciones da precisión a las estimaciones, éstas no se pueden incremen-tar indefinidamente. Un punto para su disminución se alcanza cuando el incremento en los costos de la experimentación no es compensado con una reducción en la varianza. Cuando el número de replicas se torna demasiado grande, y las diferen-cias entre tratamientos detectadas son demasiado pequeñas, la importancia práctica que resulta es una pérdida de recur-sos valiosos.

Las replicaciones también proveen formas para incrementar el rango de las condiciones estudiadas en el experimento. No hay requisitos para que las replicaciones sean adyacentes en tiempo o espacio, dado que cuando se usan conjuntamente con el control local se puede investigar un mejor rango de condiciones experimentadas.

VIII. ALEATORIZACIÓN

La aleatorización es fundamental para que el diseño de un ex-perimento sea válido. Es el procedimiento que permite que cada unidad experimental tenga iguales condiciones para re-cibir cualquier tratamiento. Esto no significa que el experi-mentador podrá escribir como quiera la identificación de tra-tamientos (nombres o símbolos) en el orden que se le ocurra. La aleatorización es un proceso físico que asegura que cada tratamiento tenga igual probabilidad de ser asignado a cual-quier unidad experimental. Este es el punto en el cual, el pro-cedimiento experimental con las leyes de azar son explícita-mente introducidas. De acuerdo con Brownlee (1957) una de las principales contribuciones que el estadístico puede hacer es insistir en la aleatorización del experimento.

La aleatorización es necesaria ya que provee las bases para obtener un tests válido de significancía al destruir cualquier sistema de correlación que pueda existir entre las unidades experimentales. Un supuesto valido que resalta el análisis de varianza es que los errores experimentales son independien-

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Palacios C. Severo

tes. Es bien sabido que los errores asociados con las unidades experimentales adyacentes en tiempo y/o espacio están corre-lacionados. Una correlación positiva entre las unidades expe-rimentales va a tener una mayor varianza del tratamiento que si las observaciones fueran independientes. Consecuentemen-te la probabilidad del error tipo I será mayor que el valor preestablecido. Con una correlación negativa, los efectos son opuestos a aquellos con una correlación positiva. Con la asig-nación de tratamientos al azar con las unidades experimenta-les, posiblemente sujetas a las restricciones, el efecto de la correlación se disminuye entre las unidades experimentales. La aleatorización no hace que los errores sean independien-tes pero asegura que, en promedio, las correlaciones sean ce-ro. Como resultado, los datos pueden ser analizados si el su-puesto de independencia de los errores es verdadero.

Una segunda función de la aleatorización es la de proveer me-dios para evitar sesgos en la estimación del error experimen-tal y los efectos de tratamiento. La estimación del error expe-rimental se obtiene comparando las unidades experimentales tratadas de manera similar. Para que esta estimación sea váli-da, es necesario garantizar que las unidades experimentales tratadas de manera similar no sean diferenciables de manera relevante de las unidades experimentales tratadas de manera distinta. La forma de asegurar que la estimación del error sea válida se obtiene realizando una asignación aleatoria de los tratamientos.

La aleatorización también provee estimaciones insesgadas de los efectos de tratamiento al controlar los efectos de fuentes de variación desconocidas. Esto provee la seguridad de haber asignado adecuadamente estas fuentes de variación, las cua-les deben ceñirse a normas donde el experimentador no tiene ni el tiempo ni el conocimiento para investigar, pero que de otra forma, podrán conducir a conclusiones erradas. Esta es la única forma de asegurar que la comparación entre trata-mientos no sean sesgadas por un tratamiento que fue asigna-do de manera premeditada, para hacer mejores o peores algu-nas unidades experimentales. La aleatorización romperá cual-quier patrón asociado con factores desconocidos de tal forma que ningún tratamiento será favorecido frente a los demás. La

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aleatorización nunca elimina la variación causada por facto-res extraños desconocidos, pero distribuye sus efectos en pro-medio, equitativamente sobre todos esos factores extraños.

Finalmente, la aleatorización es necesaria para abolir los ses-gos personales, conscientes e inconscientes, de las personas que intervienen en el experimento, incluyendo al experimen-tador. La historia cuenta con un gran número de experimen-tos en Inglaterra sobre efectos de comida suplementaria para colegios de niños de distritos pobres que fueron inválidos por-que la selección de los niños fue dejada en manos de los pro-fesores. Parece ser que se les asignó el mejor suplemento a los niños más desnutridos.

Hay un problema que aparece al aplicar la aleatorización cuando el número de unidades experimentales es muy peque-ño. En estos casos es posible que los arreglos producidos por la aleatorización aparezcan al experimentador como bien, de-seables o inaceptables. Por ejemplo, la secuencia:

Es apenas una forma de las 1670 secuencias posibles de tres tratamientos con tres replicas en el tiempo. Este patrón sin embargo, probablemente no será aceptado por la mayoría de experimentos. Tal relación sugiere, una falta de conocimiento por parte del experimentador. Youden (1964) sugiere tres for-mas para manejar esta dificultad, todas ellas, colocando res-tricciones a la aleatorización:

1) Incorporar al diseño de experimentos la condición que hace el arreglo inaceptable, esta sería la mejor forma para manejar el problema. Tal vez no sea práctico o de-seable, sin embargo, para introducir estas futuras res-tricciones al diseño puede ocurrir que:

a) Pierde grados de libertad en la estimación del error experimental debido a la eliminación de la otra fuente de variación que puede no estar com-pletamente compensada.

b) El experimento se vuelve más complicado, o

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Palacios C. Severo

c) Que se hayan usado hasta ahora distintos siste-mas de agrupación.

2) Rechazar arreglos extremos cuando ellos ocurran y re-aleatorizar: el mayor problema aquí será el de determi-nar subjetivamente lo que es un arreglo extremo. Si esto se puede hacer, entonces esta será una solución más ra-zonable.

3) Seleccionar un diseño al azar de un grupo predetermi-nado de arreglos aceptables.

IX. CONTROL LOCAL

Al proceso de clasificación de las unidades experimentales en grupos homogéneos, se le denomina Control Local.

Ejemplo 3.31Un ejemplo de control local en el ejemplo 3.30 puede ser con-trolar el nivel de fertilidad del terreno. Para esto se determi-nan unidades homogéneas de terreno llamadas bloques según el grado de fertilidad, cada bloque se subdivide en parcelas de igual área preferiblemente y sobre estas se aleatorizan los tratamientos buscando que cada unidad experimental reciba un único tratamiento y que la totalidad de los tratamientos es-tén en el bloque (caso de bloques completos).

Una función primaria del diseño de experimentos es el de re-ducir el control exacto del ambiente experimental debido a que tal control es un hecho costoso y tedioso, y presume que todos los factores que influyen han sido identificados.

La función principal del control local es la de eliminar los efectos de fuentes conocidas de variación extrema.

El control se acompaña del bloqueo de las unidades experi-mentales. El bloqueo es un arreglo de unidades experimenta-les en grupos más homogéneos, basados en características comunes, de los factores de clasificación. Los tratamientos se asignan a las unidades experimentales, basadas en la estruc-tura de bloques, así el uso de control local coloca algunas res-tricciones en la aleatorización de tratamiento a las unidades experimentales. Para alcanzar la máxima eficiencia con el blo-queo, es necesario el conocimiento relacionado con varios fac-

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tores extraños que afectan las unidades experimentales, infor-mación que solo el experimentador puede proveer.

El bloqueo a las unidades experimentales se debe hacer de tal manera que se asocien a fuentes asociadas de variación extre-ma con diferencias entre bloques, en este caso se debe cum-plir que:

1) Una estimación más precisa del error experimental de-be ser obtenida, puesto que la contribución de estos fac-tores, extraños se eliminan, introduciendo además efi-ciencia al experimento debido a que se podrán detectar menores diferencias entre los tratamientos y

2) Las comparaciones de tratamiento no serán sesgadas por diferencias en las unidades experimentales debido a los factores externos.

La aplicación de control local (bloqueo) no remueve el requisi-to de aleatorización, solo impone restricciones al tope de alea-torización que se llevará a cabo.Para todos los diseños, la asignación aleatoria de tratamien-tos a las unidades experimentales dentro de los límites im-puestos por el control local es esencial para poder tener así una interpretación válida de los resultados.

La relación de los tres principios básicos de un buen diseño de experimentos es la clave de la estructura que provee una estimación del error experimental y a través de la aleatoriza-ción, se asegura la validez de las estimaciones y de las prue-bas de significancía. La replicación también trae consigo una reducción de los errores de la estimación directamente por medio de la relación e indirectamente a través de la de-terminación de un sistema de control local.

X. CLASIFICACIÓN DE LOS DISEÑOS

El diseño de un experimento depende solamente de los su-puestos relacionados con las propiedades de las unidades ex-perimentales; esencialmente tales características, determinan las restricciones que deben ser colocadas al aleatorizar los tratamientos a las unidades experimentales, las cuales a su

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Palacios C. Severo

vez determinan el tipo de diseño experimental, los cuales pue-den ser clasificados como: sistemáticos y al azar.

Los diseños sistemáticos poseen un patrón regular para la asignación de tratamientos a las unidades experimentales. Las razones dadas para usar un diseño sistemático frecuente-mente son:

1) Simplicidad, siendo extremadamente sencillo de apli-car.

2) Provee muestreo adecuado del material experimental.3) Lleva a colocaciones inteligentes u ordenamiento natu-

ral de los tratamientos.4) La aleatorización no es necesaria, dada que la hetero-

geneidad de las unidades experimentales por si solas aleatorizan los efectos de tratamientos.

Las desventajas de los diseños sistemáticos son:

1) El arreglo de los tratamientos, puede combinar-se con un patrón en variaciones no controladas que pro-ducen errores sistemáticos en la estimación de los efec-tos del tratamiento.

2) No hay una estimación válida de la varianza del error.

En los experimentos al azar, la aleatorización elimina esta desventaja, esta es la razón para que estos experimentos sean de tanta importancia. Estos experimentos pueden ser subdivi-didos, de acuerdo con las siguientes restricciones: ninguna (irrestricto), única y múltiple. De acuerdo con las restriccio-nes impuestas los diseños pueden ser clasificadas como com-pletos e incompletos, dependiendo si los tratamientos ocurren con la misma frecuencia o no, dentro de cada restricción que se le impone al experimento que se ha definido. Los diseños de bloques incompletos serán clasificados después como ba-lanceados o parcialmente balanceados, dependiendo de la va-rianza asociada con las comparaciones pareadas.

Al seleccionar un diseño, se deberá elegir el más simple posi-ble que satisfaga los requisitos del experimento elegido. Si ningún diseño conocido esta disponible para el análisis, este

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deberá ser construido. Un axioma básico es el de diseñar para el experimento y no experimentar para el diseño. Hay investi-gadores que piensan que la elección del diseño y/o tratamien-tos experimentales deberán ser limitados para aquellos que aparecen publicados en la literatura especializada, de esta forma se forzó innecesariamente al experimentador a modifi-car el experimento y ajustarlo al diseño conocido. Aún cuando un diseño estándar haya sido usado para determinar si los ob-jetivos del experimento han sido logrados, siempre se hace necesario la verificación y su análisis estadístico.

1. Sistemático. Los tratamientos son asignados a las uni-dades experimentales de acuerdo a algún patrón prede-terminado. Tales diseños no proveen estimaciones váli-das del error experimental.

2. Aleatorizados. La asignación de los tratamientos a las unidades experimentales depende de algún patrón de aleatorización. Solo para estos diseños, las técnicas de análisis de varianza son validas.a) Irrestrictos. La aleatorización no está restringi-

da a ningún arreglo de las unidades experimentales.b) Restricción Única. La aleatorización se restrin-

ge a un único requisito determinado en el arreglo de las unidades experimentales. Estos son los diseños de bloques.

c) Balanceado. Se obtiene la misma precisión para cada par de comparaciones entre tratamientos.

d) Parcialmente Balanceado. La precisión no es constante para cada par de comparaciones, pero de-pende de los tratamientos involucrados.

e) Restricciones múltiples. La aleatorización se restringe a dos o más requisitos localizados en los arreglos de las unidades experimentales. La misma subclase general existe para estos diseños como en el caso de los diseños de bloques.

XI. ESTRATEGIA DEL DISEÑO

En la selección de un diseño experimental se debe tener en cuenta las características propias de la disciplina en donde se realiza; a pesar que los principios estadísticos son los mismos, las estrategias frecuentemente son distintas.

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Palacios C. Severo

La estrategia experimental depende del tiempo para realizar el experimento, el costo de la experimentación y la cantidad de variación en el material experimental, como así mismo el factor climático a la cual se someten los experimentos.

El hecho de que no haya una única estrategia de experimenta-ción, puede ser ilustrada por la comparación entre los experi-mentos agrícolas y los industriales.

En general, los experimentos agrícolas:

1. Requieren un tiempo más largo, frecuentemente me-ses, y en algunos casos se extienden hasta años, cuando se relacionan con cultivos perennes

2. Por ejemplo. Usualmente presentan una mayor variabi-lidad entre las unidades experimentales. Es casi imposi-ble alterar o modificar estos experimentos una vez ha comenzado. Consecuentemente, el campo de la experi-mentación agrícola debe estar auto-contenido, y así fre-cuentemente involucran diseños más amplios, compren-sivos y complejos, de tal manera se puede obtener mu-cha información de cada experimento.

Por el otro lado, la mayoría de experimentos industriales sa-tisfacen que:

1. La capacidad para realizar experimentos pueden ser muy rápidos, el tiempo de intervalo puede ser solo uno o unos pocos días inclusive horas, y

2. La variación natural entre las unidades experimentales es generalmente muy pequeña.

Más aún la mayoría de la experimentación se hace secuencial-mente, dado que los resultados están disponibles para su aná-lisis antes de terminar el experimento. Como resultado, hay una gran flexibilidad. Como cada observación o grupo de ob-servaciones están disponibles, la situación puede ser revisada antes de comenzar un próximo grupo de ensayos. Con base en los resultados, una decisión como que hacer luego permite hacer ajustes respectivos en el diseño de experimentos.

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Consecuentemente, se puede usar secuencias de experimen-tos más pequeños, y simples, esta es una ventaja.

Box (1957) notó una paradoja interesante respecto al diseño de programas experimentales; el único tiempo en el cual el programa de experimentación puede ser diseñado adecuada-mente es después de haber sido culminado. Es común encon-trar en la culminación de un programa que:

1. Una o más variables probablemente hayan sido omiti-das del experimento.

2. Una o más variables originalmente incluidas en el ex-perimento aparezcan con un pequeño efecto, por lo tan-to no son tan importantes como se pensó al principio.

3. Un diseño experimental más complejo se necesita para solucionar adecuadamente los problemas.

4. Algunas transformaciones a las variables podrán ser apropiadas.

La experimentación deberá involucrar indeterminaciones co-mo el hecho que dos experimentadores, que estudian el mis-mo problema, tendrán la misma opinión relacionada con estos items. Si determinara una serie de normas sobre sistemas de experimentación rígidos que puedan abolir estas dificultades, tendrán como único resultado el sacrificio en el conocimiento del experimentador, su experiencia e imaginación.

XII. DISEÑO DE TRATAMIENTOS

Cada uno de los diseños que controlan el error mencionados en la tabla 3.9 se usa con el fin de comparar los tratamientos entre si. Sin embargo los tratamientos son seleccionados se-gún alguna estructura, en particular una estructura factorial, la cual se refiere al diseño de los tratamientos. Estos se selec-cionan de acuerdo a las metas ó intereses de la investigación, el material experimental y los factores disponibles. La esco-gencia de los tratamientos estará enmarcada dentro de un apropiado diseño que controle el error. Dentro de la estructu-ra factorial de tratamientos se conocen dos clases. Las estruc-turas factoriales simétricas y las estructuras factoriales asi-

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Palacios C. Severo

métricas. En la primera, se tienen k factores cada uno s nive-les, donde s es un entero, en este caso se tienen sk tratamien-tos. En la segunda estructura, se tienen k1 factores con s1 ni-veles, k2 factores con s2 niveles, … km factores con sm niveles, el cual tiene en total tratamientos.

Tabla 3.9 Efecto de diseño de control del errorFactores de control

del diseño aleatoriza-do

Tipo de diseño Caracterización

0 Diseño completa-mente aleatorizado

1 Diseño en bloque aleatorizado

1. Diseño Bloque Aleatorizado.

2. Diseño Bloque Aleatorizado generalizado

3. Diseño Bloque Incompleto

4. Diseño Bloque extendido5. Diseño Bloque por fran

jas.

2 Diseño cuadrado la-tino

1. Diseño cuadrado latino.

2. Diseño cuadrado latino incompleto

3. Diseño Cross - Over

3Diseño cuadrado la-tino replicado.Cuadrado grecola-tino

>3Cuadrado latino mu-tuamente ortogona-les

Cuando se desea reducir el tamaño del experimento conside-rado por motivos muchas veces de tiempo y costos, se trabaja con un diseño de tratamientos factorial fraccionado.

XIII. DISEÑO DE MUESTREO

Lo más importante de un diseño de control del error con sub muestreo es la separación del error experimental y el error observacional (o de muestreo), o más precisamente, la sepa-ración de la varianza del error experimental y el observacio-nal.

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La noción de sub muestreo puede obviamente ser extendida a más de un nivel, por ejemplo, para cada unidad experimental se puede tener algunas unidades muéstrales y luego para ca-da unidad muestral se pueden tener algunas unidades obser-vacionales.

XIV. ESTUDIO EXPERIMENTAL

Para que el experimento sea exitoso, se deben tener en cuen-ta lo siguiente:

1) Conocimiento claro del material experimental. Aunque parezca obvio en la práctica, no siempre el desarrollo de un problema requiere de experimentación ni es simple presentar un claro y apropiado estado del problema. Es necesario abordar todas las ideas sobre los objetivos del trabajo. Un claro estado del problema frecuentemente contribuye a un mejor entendimiento del fenómeno y a una solución del problema.

2) Escogencia de factores y niveles. El experimentador debe seleccionar las variables independientes o factores a ser estudiados, estos pueden ser cuantitativos o cuali-tativos. En el caso cualitativo hay que tener en cuenta como se controlarán estos valores en los valores de refe-rencia y como van a ser medidos. Es importante selec-cionar los rangos de variación de los factores y el núme-ro de niveles a considerar, los cuales pueden ser prede-terminados o escogidos aleatoriamente del conjunto de los posibles niveles.

3) Selección de las variables respuesta según los objeti-vos. En la escogencia de la variable respuesta o variable dependiente, el experimentador ha de estar seguro que la respuesta a medir realmente provee información so-bre el problema de interés. Es necesario suministrar la forma como se mide esta variable y de ser posible la pro-babilidad de ocurrencia de estas medidas.

4) Selección del diseño experimental. Este paso es de pri-mordial importancia en el proceso de investigación. Se debe indicar la diferencia a la respuesta verdadera (que tan lejos se admite la realidad de lo observado), que se desea detectar y la magnitud de los riesgos tolerados (grado de confiabilidad), en el orden a escoger un tama-

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Palacios C. Severo

ño de muestra apropiado (replicaciones); es procedente señalar también el orden de recolección de los datos y el método de aleatorización a emplearse. Siempre es nece-sario mantener un equilibrio entre la exactitud y los cos-tos. Se deben recomendar planes que sean eficientes es-tadísticamente y económicamente viables. En la conduc-ción de un estudio experimental es de esencial importan-cia la escogencia del diseño, esta escogencia depende de cuatro componentes:El diseño de tratamientos. En esta etapa se determinan los tratamientos a ser medidos en el estudio, es decir se establecen cuales y cuantos tratamientos se deben apli-car teniendo en cuenta la naturaleza del experimento. El interés del investigador en el sentido de decidir cuántos factores deben incluirse, cuántos niveles de factores se deben identificar en cada factor y cuál es el rango razo-nable de cada factor. Los aspectos del diseño de trata-mientos están estrechamente ligados con el diseño para controlar el error.Diseño de control del error. Por diseño de control del error se entiende la distribución aleatoria de los trata-mientos en un plan experimental usando la regla de asignación aleatoria de los tratamientos a las unidades experimentales. Como ejemplos de control de error se tienen los diseños completamente aleatorizados, bloques completos aleatorizados y cuadrados latinos. La esco-gencia del diseño depende de la variabilidad de las uni-dades experimentales, la estructura de estas unidades y la precisión de la estimación deseada por el investiga-dor.Estructura del control del error. Por esta se entiende la asignación aleatoria de los tratamientos a las unidades experimentales.Muestreo y diseño de observaciones. Hace referencia a determinar el número de observaciones tomadas por tra-tamiento y unidad experimental, lo cual caracterizará los planes experimentales, con sub muestreo.Una vez definidas los componentes anteriores, la res-puesta del vector R para el análisis seleccionado satisfa-ce la formulación del modelo estadístico apropiado está íntimamente relacionado con la estructura del diseño de

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tratamientos, el diseño del control del error y el mues-treo de las observaciones.El diseño seleccionado se asocia a un modelo lineal de la forma si el modelo es de efectos fijos, se des-compone la variabilidad de la respuesta (variabilidad to-tal) como una partición ortogonal de las diferentes fuen-tes de variabilidad, es decir,

Donde:

y siendo , i=1, …, q el proyector ortogonal

en el espacio columna de ; y para el bloque asociado con el i-ésimo factor de clasifica-ción

5) Conducción del experimento. Es el proceso de mues-treo de recolección de datos. Sé entenderá que en el proceso haya un ajuste al plan (control). En la mayoría de las veces, la realización de un experimento no es lo suficientemente fiel al proyecto de investigación, porque surgen situaciones no consideradas previamente, como en el caso de un cultivo atacado por plagas, el agota-miento producido sobre una unidad experimental que se esta evaluando, o la aparición de una característica no determinada. De todas formas, se debe tener en cuenta si estos imprevistos alteran los propósitos del ensayo; de otra forma hay que tenerlos en cuenta en el análisis de los resultados.

6) Análisis de datos. Las variables que intervienen, o me-jor, que se procura sean considerados en un ensayo, pueden relacionarse matemáticamente de alguna forma. El problema no está en la consecución de una expresión matemática sino en que tanto explica la realidad dicha expresión. Es preferible renunciar a un bello modelo que aceptar una realidad deformada por el. En esta etapa se

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Palacios C. Severo

busca una fórmula matemática que explique el compor-tamiento de una(s) variable(s) a través del comporta-miento de otras. Existen técnicas estadísticas, como el análisis de regresión que suministran estas relaciones. Se debe buscar que el modelo se analice junto con el es-pecialista que lo está investigando.Una vez se ha seleccionado el diseño experimental, se establece la matriz de diseño X, el vector de parámetros β y se asocia a un modelo el cual generalmen-te resulta ser de rango incompleto y estimado por el mé-todo denominado mínimos cuadrados a través de una matriz inversa generalizada de X. Para la estimación del modelo y análisis estadístico de los datos, se debe tener en cuenta:

1. Estimación del modelo. Estimar mediante los méto-dos de mínimos cuadrados o máxima verosimilitud los parámetros asociados al modelo, en este último método, se tiene en cuenta la distribución de la va-riable respuesta; por este motivo la mayoría de los desarrollos realizados en este texto se hacen asu-miendo que la variable respuesta sigue una distri-bución normal multivariada. Cuando el modelo es de rango incompleto, se realizan cálculos muy simi-lares al caso de rango completo, con lo cual simple-mente los estimadores son adaptados a este mode-lo.

2. La teoría de estimabilidad. Conocer los principales criterios para caracterizar las funciones estima-bles.

3. Pruebas de hipótesis. Conocer la estructura distri-bucional de los estadísticos de prueba para las hi-pótesis de interés.

Una parte del análisis es el chequeo adecuado del mode-lo propuesto, lo cual conlleva a un examen crítico de las bases del modelo estadístico y su relación con los su-puestos. En esta etapa recientemente el computador ha jugado un papel importante. Existen diferentes procedi-mientos y paquetes estadísticos que facilitan el análisis de los datos. Un paquete estadístico es un conjunto de programas elaborados para el procesamiento de infor-mación, los cuales se manipulan por medio de una serie

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de instrucciones y comandos dirigidos a resolver proble-mas de la estadística. Entre los paquetes estadísticos de más amplia difusión en el área experimental podemos mencionar: el SPSS (Statistical Package for Social Scien-ce), SAS (Statistical Analysis System), Statgraphics.

7) Conclusiones y recomendaciones. Hecho el análisis de los datos, el experimentador puede extraer conclusiones (inferencia) sobre los resultados.Las inferencias estadísticas deben ser físicamente inter-pretadas y su significancía práctica evaluada.Las recomendaciones deben de hacerse con base en los resultados. En la presentación de estos se deben evitar el empleo de terminología estadística seca y en lo posi-ble presentar los resultados de manera simple. La elabo-ración de gráficos y tablas evita la redacción de resulta-dos y recomendaciones extensas y confusas.

Problemas

(105) Desarrolle un bloque completo para el ejemplo 3.31 para el control del nivel de fertilidad del terreno.

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Palacios C. Severo

(106) Determine el bloque de fertilidad para cada bloque que se subdivide en parcelas.

(107) Que los tratamientos del problema 100 sean unidades experimentales y reciban un único tratamiento y que es-tén por bloques.

(108) Una empresa farmacéutica desea evaluar por bloques una nuevo producto para el control de la natalidad para ello recurre a un investigador conocedor del tratamiento de dichos productos. El análisis lo desarrolla en una co-munidad cercana a la población y obtiene datos que se tienen que corroborar a nivel macro. Se desea determi-nar el mejor bloque con el producto.

(109) Una capsula para el tratamiento del AH1N1 esta sien-do probada en una población para el cual se desarrolla un diseño por bloques, y cada bloque se subdivide en zo-nas de tratamiento. Se desea determinar el bloque en donde se desarrolla con efectividad el tratamiento de di-cha capsula.

(110) Un plaguicida para el control de la mosca blanca se viene aplicando en la zona agrícola de la población en donde se comprobó que dicha mosca viene desarrollan-do una plaga sin control. Se desea desarrollar un diseño por bloques a fin de contrarrestar dicha plaga.

(111) Un producto químico se desea probar para el control de la mosca de la fruta, el investigador desea desarrollar un diseño por bloques en diversas zonas agrícolas, para el cual trabaja en varios puntos con dicha plaga. Se de-sea evaluar dicho diseño con bloques a fin de eliminar dicha plaga.

(112) Un investigador se encuentra con un problema doble, ya que la siembra de un producto viene infectado por una plaga, como así mismo las semillas están contamina-das con un producto químico que no permite el desarro-llo sustancial de la planta. Para ello desarrolla un diseño por bloques a fin de descartar dichos males y obtener un buen producto al cosechar.

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§4DISEÑO EXPERIMENTALAPLICADO A CIENCIAS

No existe la suerte. Sólo hay preparación adecuada o inadecuada pa-ra hacer frente a una estadística.

Robert Heinlein

I. INTRODUCCIÓN

Fenómenos naturales. Al fin de esta definición y revisada co-rresponden a la meta de la mayoría de los proyectos de inves-tigación en las ciencias de la ingeniería.

Y como se logra todo esto. En la ciencia esto se hace a través de experimentos definidos. La definición de experimento cien-tífico es una prueba que se hace a fin de demostrar una ver-dad conocida o por conocer, examinar la validez de una hipó-tesis, o determinar la eficacia de algo previamente ensayado. Los físicos, químicos agrónomos, metalurgistas, mineros, geó-logos, y muchos científicos comparten el objetivo de entender y predecir causa y efecto.

II. LIMITACIONES

Los científicos en ciencias de la ingeniería tienen más facili-dad en construir y llevar a cabo sus experimentos que los in-vestigadores en las ciencias sociales. Las sustancias químicas y los tubos de ensayo son más fáciles de controlar que los consumidores y las campañas de publicidad. Algunas de las diferencias entre ambas ciencias que crea obstáculo para un experimento perfecto son:

127

Palacios C. Severo

Dispositivos imperfectos de medición: Los científicos pue-den medir y pesar sus resultados. En cambio las ciencias so-ciales a menudo tienen que obtener sus datos preguntando a sus sujetos (cualitativos).Influencia de la medición en los resultados: Cuando se pesa un tubo de ensayo esto no afecta ni altera el tubo de en-sayo. Pero cuando se pregunta a una persona si alguna vez ha oído a un artista popular esto si afecta a la persona, pues ha-biendo escuchado anteladamente no lo asociaría.

Limitaciones de corto tiempo: Los científicos a menudo se demoran años, generaciones y hasta siglos en hacer descubri-mientos concluyentes. En cambio casi todos los problemas de la sociedad requieren soluciones en días, semanas, a lo sumo en meses. Por esto, rara vez existe el tiempo o el dinero para realizar un experimento en forma tranquila y detallada.

Complejidad y control de las variables: El resultado espe-rado de todos los esfuerzos es el resultado de muchos facto-res diferentes que incluyen el producto, el precio y venta. Ca-da uno de estos factores a su vez, esta afectado por muchas otras. Comprenden o siquiera identificar, todas las posibles causas es virtualmente imposible, y más aún el poder contro-lar con precisión en un experimento continuo.

Por esto y otras razones la experimentación científica de las ciencias de la ingeniería proporciona un estándar para los ex-perimentos y siempre que sea posible se debe tratar de traer los atributos de esos experimentos para la aplicación

III. PREDICCIÓN

Los proyectos de investigación pueden considerarse en una jerarquía según el grado en que proporcionan hallazgos pre-dictivos, la jerarquía tiene tres etapas:

Investigación descriptiva: Simplemente plantea lo que exis-te o describe algo que ha ocurrido en el pasado. No intenta inferir causa y efecto.

128


Investigación evolutiva: Añade juicio de valor a los datos descriptivos a fin de crear una dimensión de comparado con. Determina si algo es mejor. Añade un elemento analítico im-plícito de causa y efecto.

Investigación predictiva: Da significado absoluto a los re-sultados de las investigaciones. Pone causa y efecto en el tiempo futuro. Si usted hace esto, entonces sucederá tal y tal caso.La investigación siempre aspira a alcanzar este nivel predicti-vo.

Los experimentos en la investigación constituyen un forma de mover los proyectos a lo largo de las jerarquías y hacerla eva-luativo y, a veces hasta predictivo.

IV. DISEÑOS EXPERIMENTALES

El uso del diseño experimental es esencial en el tratamiento de unidades experimentales (cuantitativo) en investigación científica.

Si deseamos comparar n poblaciones se efectúa los diseños experimentales. Dichos diseños son conjuntos de reglas (es-tructurado) que sirven para asociar unidades experimentales.

Las unidades experimentales son datos a los cuales se aplica una causa y efecto.

Para el análisis de las unidades experimentales procedemos a describir cada uno de los diseños.

a) DISEÑO ALEATORIZADO

Todo experimento se determina por cierto complejo de condi-ciones, los cuales bien se crean artificialmente o bien se reali-zan independientemente de la voluntad del experimentador, y por los resultados del experimento, es decir, por unos sucesos determinados que se observan como resultado de haberse eje-cutado dicho experimento de condiciones. Un experimento se considera dado, si están determinadas sus condiciones e indi-cado los sucesos.

129

Palacios C. Severo

Los experimentos se pueden dividir a grandes rasgos en dos clases.

En una de ellas las condiciones del experimentador determi-nan el modo unívoco la aparición o no de los sucesos que se emplean. Los resultados de tales experimentos pueden pro-nosticarse de antemano a base de las leyes de las ciencias na-turales. Los experimentos de esta índole se denominan deter-ministas.

En otra clase de experimentos, con iguales condiciones, es posible la aparición de los sucesos que entre si se excluyen. El estudio teórico de tales experimentos constituye precisa-mente el objeto de la teoría probabilística, esta última lleva el nombre de experimento aleatorio.Ventajas

b) Se pueden trabajar con un pequeño número de muestras de la población, sin que esto disminuya la exactitud de los datos.

c) Se elimina la influencia del factor tiempo (ciné-tica) sobre los resultados del experimento, las variantes cambian de lugar en los diferentes períodos.

d) Es económico, ya que se trabaja con pocas muestras de la población.

b) DISEÑO UNIFACTORIAL CON n NIVELES

En dichos diseños se analizan ciertos experimentos que se usan para comprobar dos condiciones. A menudo se denomi-nan experimentos de comprobación simple, los datos tienen pequeñas variaciones.

En la experimentación donde participan dos clases distintas de equipos, probeta, muestras, etc. con dos métodos distintos de niveles. Muchos experimentos de estos tipos implican más de dos niveles del factor. En el presente explicaremos con de-talle los diseños aleatorizados.

Ejemplo 4.32

130


Se desea maximizar la fibra de llama que se emplea en una manufactura de alfombras. Se sabe por experiencia que la re-sistencia es influida por el porcentaje de algodón presente, además se sospecha que elevar el contenido de algodón incre-mentará la resistencia, el contenido de algodón debe variar aproximadamente entre 10 y 40 por ciento para que la alfom-bra resultante tenga otras características de calidad que se desean.

Se desea probar muestras a cinco niveles de porcentaje de al-godón 15, 20, 25, 30, 35 por ciento. Así mismo, decide ensa-yar cinco muestras a cada nivel de contenido de algodón.

Este es un experimento unifactorial con a=5 niveles del factor y n=5 repeticiones. Las 25 corridas deben hacerse al azar.

Se elige un número aleatorio entre 1 y 25 ver tabla 4.10. Su-póngase que este número es 8. Entonces la observación nú-mero, 9 (20% de algodón) se corre primero. El proceso se re-pite hasta que se ha asignado una posición en la secuencia de prueba a cada una de las 25 observaciones.

Tabla 4.10 Influencia del % de algodón a la fibra de llama% algodón Corrida experimental Total Media

1520253035

16

111621

27

121722

38

131823

49

141924

510152025

La secuencia de pruebas aleatorizadas es necesaria para evi-tar que los resultados sean contaminados por los efectos de variables inconvenientes desconocidas, que puedan salir del control durante el experimento. Supongamos que se corren las 25 pruebas en el orden no aleatorizado original (esto es, las 5 muestras con 15 por ciento de algodón se prueban pri-mero, luego las 5 muestras con 20 por ciento de algodón y así sucesivamente).

Tabla 4.11 Maximizar la fibra de llama por la Influencia del % de algodón% algodón Corrida experimental Total Media

15202530

7121419

7181825

15121822

11181919

9181923

497788108

9,815,417,621,6

131

Palacios C. Severo

35 7 10 11 15 11 54 10,8Total 376 15,04

Si la maquina que dan los resultados presenta un efecto de calentamiento tal que ha mayor tiempo de funcionamiento menor lectura se tendrá (influencia perturbadora), entonces dicho efecto contaminará los datos de respuesta e invalidará el experimento. Si se efectúa en orden aleatorio.

Es bueno representar gráficamente los datos experimentales, en la figura se muestran los diagramas de dispersión a cada nivel de porcentaje de algodón.

Diagrama de dispersión

Interpretando la gráfica indica que la resistencia aumenta con el aumento del algodón, hasta un valor aproximado de es-te último de 30 por ciento. Más halla del 30 por ciento ocurre un notable decremento en la resistencia. No hay una fuerte evidencia que sugiera que la variabilidad en la resistencia al rededor del promedio dependa del porcentaje de algodón.

En base a este sencillo análisis gráfico, sospechamos que:

a) El porcentaje de algodón influye en la respuesta, yb) Un porcentaje aproximado de 30 por ciento de algodón

daría por resultado la máxima resistencia.

Análisis de varianza

Si se desea comparar a-tratamientos o niveles de un factor único. La respuesta que se observa en cada uno de los trata-mientos es una variable aleatoria. Los datos se muestran en la tabla 4.10

132


Es útil describir las observaciones mediante el modelo esta-dístico2

Donde:

Yij es el ij-ésima observación,µ es un parámetro común a todos los tratamientos denomi-

nados media global,Ti es un parámetro único para el i-ésimo, yεij es el componente aleatorio del error.

Nuestro objetivo será probar una hipótesis apropiada con res-pecto a los efectos del tratamiento, y hacer una estimación de ello. Para probar la hipótesis, se supone que los errores del modelo son variables aleatorias independientes con distribu-ción normal, con media cero y varianza δ2. Se supone que esta última es constante para todos los niveles del factor.

Este modelo se denomina, análisis de varianza de clasifica-ción en un sentido porque sólo se investiga un factor. Además se requiere que el experimento se realice en orden aleatorio, de manera que el medio en que se usan las unidades experi-mentales (tratamiento) sea lo más uniformemente posible. Por lo tanto, este diseño experimental es un diseño completamen-te aleatorizado.Para ilustrar este análisis de varianza, recordemos que desea-mos determinar si al variar el contenido de algodón es una fi-bra de llama influye en la resistencia.

La suma de cuadrados requeridos para el análisis de varianza se calcula como sigue:

2 Polinomino ortogonal

133

Palacios C. Severo

Donde

SCtotal suma de cuadrados del totalSCtratamien-

to

suma de cuadrados del tratamiento

SCerror suma de cuadrados del errorΣYij sumatoria de los componentes del tratamientoΣYi sumatoria total de los tratamientosn número de datos por columnaN número total de datos del tratamiento

En la tabla 4.12 se muestran los resultados del procedimien-to.

Tabla 4.12 Análisis de varianzaFuente SC G

LCM Fo Ft(99%)

% algodónError

475,76161,20

420

118,948,06

14,76

> 4,43

Total 636,96 24 R² = 74,6923%

Hay que notar que la media de cuadrados entre tratamientos (118,94) es mucho mayor que la media de cuadrados dentro del tratamiento (8,06). Esto indica que es probable que las medias de tratamiento sean iguales. Más formalmente, es po-sible calcularlas razón Fo=14,76 y comparando con Ft(99%)=4,43, debe rechazarse Ho y concluir que la media de tratamientos difieren; en otras palabras el porcentaje de algo-dón en la fibra de llama afecta significativamente su resisten-cia media.c) DISEÑO DE PARCELAS DIVIDIDAS

Los diseños en parcelas divididas y subdivididas se emplean frecuentemente en experimentos factoriales en las que las condiciones del material experimental, o las operaciones ex-

134


perimentales contempladas dificultan el manejo de toda la combinación de factores.

El diseño básico de una parcela dividida involucra la asigna-ción de tratamientos de un factor a parcelas principales o par-celas grandes, las cuales se disponen en diseños experimenta-les clásicos.

Los experimentos de parcelas divididas se utilizan cuando se quiere dar mayor precisión o importancia a un factor en com-paración con otro. Este diseñó se divide en parcelas denomi-nado grande y chicas correspondiendo a estas últimas la ma-yor precisión. En algunas ocasiones este es el diseño óptimo a elegir ya sea porque un factor requiere de áreas grandes para su evaluación o por razones económicas: láminas de riego y variedad de arroz, sistema de cultivo y fertilización.

Cabe mencionar que la diferencia entre un experimento facto-rial y uno de parcela dividida está en el proceso de aleatoriza-ción de los tratamientos. Así mientras que en un diseño facto-rial se hacen todas las combinaciones de tratamiento y se dis-tribuyen aleatoriamente a las unidades experimentales, en el experimento de parcelas divididas primero se distribuyen aleatoriamente los tratamientos de las parcelas grandes y lue-go los tratamientos de las parcelas chicas dentro de las parce-las grandes.

Ejemplo 4.33Se desea estudiar el efecto de la frecuencia de corte (parcela grande) y tres alturas de corte (parcela chica) en una produc-ción de materia seca del pasto.

El primer paso es localizar el área donde se realizará el expe-rimento. Si el terreno es homogéneo entonces es factible utili-zar un diseño completamente al azar, si el terreno muestra un gradiente de variación la solución pudiera ser un diseño de bloque al azar.

Tabla 4.13 Experimento de parcelas divididasFrecuenciaCorte (días)

AlturaCorte (cm)

ReplicasI II III IV

20 510

3,693,72

5,983,20

5,373,90

6,304,51

23,3415,33

135

Palacios C. Severo

155 3,66 2,85 2,60 3,83 12,94Total 13,07 12,03 11,87 14,64 51,61

40 51015

6,483,8611,15

7,924,543,54

4,744,423,91

6,305,063,66

25,4417,8822,26

Total 21,49 16,00 13,07 15,03 65,5860 5

1015

4,905,343,40

5,734,285,47

12,006,164,78

8,566,343,75

31,1922,1217,40

Total 13,64 15,48 22,94 18,65 70,71

Tabla de doble entrada para totales de tratamiento

Altura de corteFrecuencia cor-

te 5 10 15 Total204060

23,3425,4431,19

15,3317,8822,12

12,9422,2617,40

51,5665,6870,71

Total 52,60 55,33 79,97 187,90

Factor de corrección

Suma de cuadrados debido a las replicas

Suma de cuadrados debido a las parcelas grandes (frecuencia de corte)

136


Suma de cuadrados debida a las parcelas chicas (altura de corte)

Suma de cuadrados debida a las interacciones de los trata-mientos (frecuencia de corte y altura de corte)


LCM Fo

ReplicaFrecuencia cor-teError pgAltura corteInteracción (f x

1,7916,2929,4437,888,7154,90

3262418

0,608,154,90

18,942,193,05

1,65

6,210,72

137

Palacios C. Severo

a)Error pchTotal 149,01 35

Los efectos de bloque (replica) y frecuencia de corte se prue-ban utilizando la SCepg; mientras que los efectos de altura de corte (parcela chica) y de la interacción de frecuencia de cor-te de altura de corte se prueban utilizando la SCepch.

Problemas

(113) Un industrial textil utiliza un gran número de telares. Se desea que los telares sean homogéneos con el objeto de producir telas de resistencia uniforme. El industrial supone que, aparte de la variación usual en la resisten-cia de la tela en muestras del mismo telar, puede existir una variación significativa de la resistencia entre los dis-tintos telares. Para investigar esto, selecciona cuatro te-lares al azar y realiza cuatro determinaciones de la re-sistencia. Este experimento es realizado en orden aleato-rio.Realice un análisis de varianza y vea si existe diferencia significativa.

Telar Corrida experimental Total1234

98919695

97909596

99939799

96929598

390366383388

(114) Una fabrica de calzados cuenta con cinco tipos de cue-ro curtido. Cada cuero tiene una forma de proceso. Para investigar se escogen cinco cueros al azar, y se mide la cantidad de cuero producido en cinco tiempos diferen-tes. Obteniéndose los datos.

Cuero Corrida experimental Total

138


12345

14,013,914,013,613,8

14,013,814,213,813,6

14,213,914,114,013,9

14,014,014,013,913,8

14,114,013,913,714,0

70,369,670,269,069,1

Estime la varianza del error experimental(115) Se pide a cuatro químicos qué determinen el contenido

de nitrógeno de un fertilizante cada uno realiza tres de-terminaciones y los resultados son los siguientes:

Químico Corrida experimental Total1234

44,4945,1544,7244,20

44,0445,1344,4844,10

44,3844,8845,1644,55

133,41135,16134,36132,85

Difieren significativamente los resultadosQue análisis químico debe ser seleccionado.

(116) Un ingeniero de producción esta interesado en maxi-mizar una aleación. Sabe por experiencia que la aleación contiene 3 elementos metálicos. Desea determinar si va-riando el contenido de un elemento metálico se incre-menta la resistencia a la corrosión. Por bibliografía sabe que el contenido de dicho elemento metálico debe variar entre 10 a 30 por ciento para que la aleación tenga bue-nas características.

% metal Corrida experimental Total12345

923191811

1518191119

12714719

2211151218

10177

1825

6876746692

Existe diferencia significativa entre las medias(117) Una panadería desea averiguar la tendencia de sus

productos para el siguiente año, bajo las siguientes en-cuestas, para la diversidad de sus productos en cinco di-ferentes distritos.

Producto Corrida experimental Total1234

200700300400

150200150800

300180100600

100500200150

700300250350

0,890,790,960,85

Describa las observaciones con un modelo matemáticoExiste diferencia significativa entre las mediasSi existe diferencia aplicar las pruebas de Duncan

139

Palacios C. Severo

(118) Se desea evaluar el rendimiento de los estudiantes de cinco colegios en cuatro materias A: matemáticas, B: fí-sica, C: química y D: lenguaje

Materia Colegio NotaABCD

20181525

30252035

25182732

29352735

27333235

50403543

(119) Se realizó un estudio de ingeniería de tránsito sobre los retrasos en las intersecciones con semáforos en las calles de una ciudad. Se usaron tres tipos de semáforo: a) programado, b) semiautomático y c) automático.Se usaron cinco intersecciones para cada tipo de semá-foro. La medida de retraso utilizada fue el promedio de tiempo que cada vehículo permanece detenido en cada intersección (segundos/vehículo). Los datos son los si-guientes:

Programado Semiautomáti-co

Automático

3837313635

1821192623

1611191117

Escriba el modelo linealCalcule el análisis de varianza.Calcule las medias de mínimos cuadrados del retraso en el tránsito y sus errores estándar para cada tipo de se-máforo.Calcule el intervalo de confianza del 95% estimado para las medias de los tipos de semáforo.Pruebe la hipótesis de que no hay diferencia entre las medias de retraso para los tipos de semáforo; a un nivel de significación de 0.05, con la prueba F.Escriba las ecuaciones normales para los datos.

(120) Se llevó a cabo un experimento para probar los efectos de un fertilizante nitrogenado en la producción de lechu-ga. Se aplicaron cinco dosis diferentes de nitrato de amonio a cuatro parcelas (réplicas) en un diseño total-mente aleatorizado. Los datos son el número de lechu-gas cosechadas de la parcela.

Tratamien-to

Lechuga

140


050

100150200

104134146147131

114130142160148

90144152160154

140174156163168

Escriba el modelo lineal estadístico para este estudio y explique sus componentes.Calcule el análisis de varianza.Calcule el intervalo de confianza del 95% estimado para las medias de los niveles de nitrógeno.Pruebe la hipótesis de que no hay diferencia entre las medias de los niveles de nitrógeno con una prueba F a un nivel de significancía de 0.05.Escriba las ecuaciones normales para los datos.Este experimento se llevó a cabo con un diseño total-mente aleatorizado de las parcelas en un arreglo rectan-gular. Muestre una aleatorización de los cinco trata-mientos con nitrógeno de las 20 parcelas, usando una permutación aleatoria de 1 a 20.

(121) Un fisiólogo de animales estudió la función pituitaria de las gallinas, bajo el régimen estándar de muda de pluma forzada que usan los productores de huevo para mantenerlas en producción. Se usaron 25 gallinas en el estudio. Cinco se utilizaron para la medición, una previa al régimen de muda forzada y una al final de cada una de las cuatro etapas del régimen. Las cinco etapas del régimen fueron:

1. Premuda (control),2. Ayuno de 8 días,3. 60 gramos de salvado al día durante 10 días,4. 80 gramos de salvado al día por 10 días y5. Mezcla de malta durante 42 días.

El objetivo era dar seguimiento a las respuestas fisioló-gicas asociadas con la función pituitaria de las gallinas durante el régimen para explicar por qué vuelven a pro-ducir después de una muda forzada. Uno de los com-puestos medidos fue la concentración de suero T3. Los datos de la tabla son las medidas de suero T3 en las cinco gallinas sacrificadas al final de cada etapa del régimen.

Tratamiento Suero T3PremudaAyuno

94,198,8

90,5103,

99,4115,

73,6129,

74,4117,

141

Palacios C. Severo

60 g salvado80 g salvadoMezcal malta

197,2

102,9

83,1

6207,

3117,

589,6

3177,

5119,

987,8

1226,

1112,

196,4

6222,

8101,

182,2

Escriba el modelo lineal estadístico para este estudio y explique las componentes del modelo.Calcule el análisis de varianza.Calcule un intervalo de confianza de 95% estimado para las medias de los tratamientos.Pruebe la hipótesis de que no hay diferencia entre las medias de los cinco tratamientos con la prueba F a un nivel de significancía de 0,05.Escriba las ecuaciones normales de los datos.Este experimento se llevó a cabo en un diseño totalmen-te aleatorizado, con una gallina en cada una de las 25 jaulas. Proporcione una asignación aleatoria de los cinco tratamientos a las 25 jaulas, con una permutación alea-toria de los números 1 a 25.

(122) Se recolectaron datos de estudiantes de pedagogía en cuanto a su uso de ciertas estrategias de enseñanza es-tudiadas antes de sus prácticas. Había 28 estudiantes que habían aprendido las estrategias (9 en 2002, 9 en 2003 y 10 en 2004). El 2001 había 6 profesores que no habían aprendido el uso de estas estrategias y se usaron como grupo de control.El investigador registró el número promedio de estrate-gias por semana que cada estudiante usaba durante sus prácticas. El investigador quería saber si el número de estrategias usadas variaba con el tiempo.

Número promedio de estrategias usadasControl 2001 2002 2003 2004

6,95,615,99,87,85

7,310,68,68,78,87,1

11,27,3

10,5

10,97,56,87,67,85,78,95,97,3

7,514,96,15,25,714,29,35,67,310,8

142


Escriba el modelo lineal estadístico para este estudio y explique las componentes del modelo.Calcule el análisis de varianza.Calcule un intervalo de confianza del 95% estimado para las medias de los tratamientos.Pruebe la hipótesis de que no hay diferencia entre las medias de los cuatro tratamientos, con la prueba F a un nivel de significancía de 0.05.Escriba las ecuaciones normales de los datos.

(123) En cierto estudio de calibración de espectroscopia de absorción atómica, las medidas de respuesta fueron las unidades de absorción de un instrumento según la canti-dad de cobre diluido en una solución ácida. Se usaron cinco niveles de cobre con cuatro réplicas del nivel cero y dos réplicas de los otros cuatro niveles.En la siguiente tabla se dan los datos de espectroscopia para cada nivel de cobre como microgramos de Cu/mili-litro de solución.

Cobre mg/ml0,00 0,05 0,10 0,20 0,500,0450,0470,0510,054

0,0840,087

0,1150,116

0,1830,191

0,3950,399

Escriba el modelo lineal estadístico para este estudio y explique las componentes del modelo.Calcule el análisis de varianza.Calcule las medias de mínimos cuadrados y sus errores estándar para cada tratamiento.Calcule un intervalo de confianza del 95% estimado para las medias de los tratamientos.Pruebe la hipótesis de que no hay diferencia entre las medias de los cinco tratamientos, con la prueba F(95%).Escriba las ecuaciones normales de los datos.

(124) Considere el experimento del ejercicio 121. Suponga que se perdieron algunas gallinas durante el transcurso del mismo, lo que dio como resultado el siguiente con-junto de observaciones.

Tratamiento Suero T3PremudaAyuno60 g salvado80 g salvado

94,198,8197,

2

90,5103,

6207,

99,4115,

3177,

73,6129,

1117,

6

143

Palacios C. Severo

Mezcal malta 102,9

83,1

3117,

589,6

5119,

987,8

112,1

96,4

101,1

Escriba el modelo lineal estadístico para este estudio y explique las componentes del modelo.Calcule el análisis de varianza.Calcule las medias de mínimos cuadrados y sus errores estándar para cada tratamiento. ¿Cómo afectó la pérdi-da de gallinas a las estimaciones de las medias?Calcule un intervalo de confianza de 95% estimado para las medias de los tratamientos.Pruebe la hipótesis de que no hay diferencia entre las medias de los cinco tratamientos; con la prueba F a un nivel de significancía de 0,05.Escriba las ecuaciones normales de los dato

(125) Utilice los datos del ejercicio 51 para determinar cuán-tas gallinas necesitaría el biólogo en cada tratamiento para rechazar la hipótesis nula a un nivel de significan-cía de 0.05, si la diferencia entre el tratamiento de con-trol y cualquier tratamiento nuevo es de 30 unidades de T3.

(126) Use los datos del ejercicio 49 para determinar cuántas intersecciones necesita el ingeniero de tránsito con cada tipo de semáforo para rechazar la hipótesis nula a un ni-vel de significancía de 0.01, si los retrasos medios res-pectivos en los tres tipos de señal fueron 20, 18 y 16 se-gundos.

(127) Se quiere probar el efecto de cinco dietas en el aumen-to de peso en cerdos pero se tiene diferente peso inicial en las unidades experimentales. Aquí el factor peso ini-cial es medible y no puede utilizarse como un criterio de clase (nivel de un factor) por lo que es mejor utilizar un diseño completamente al azar con peso inicial de las uni-dades experimentales como covariables. De esta mane-ra se ajusta respecto a peso inicial, se tiene más grados de libertad para el cuadrado medio del error y se maneja un diseño más sencillo. Si además del peso inicial, la edad se los animales fuese otro factor de importancia podría incluirse teniendo así un diseño completamente al azar con dos covariables.

144


(128) Suponga que un investigador en fisiología esta intere-sado en planear un experimento para medir el efecto del área necrótica sobre la fotosíntesis de 8 variedades de café susceptibles a la roya. Planea usar parcelas experi-mentales de 4 plantas en un lote ubicado en una pen-diente del 70 %. Por experimentos anteriores se sabe que la roya es más agresiva en la zonas bajas que en es-te caso además son las más húmedas y por lo tanto más favorables para el desarrollo de la enfermedad. El inves-tigador cuenta con 320 plantas y solo puede sembrar grupos de 32 plantas para distribuirlas a lo largo de la pendiente. Por otra parte cuenta solo con 8 equipos para la medir la fotosíntesis y decide medir entre 10:00 y 10:15 a.m. Se sabe que tarda en medir la fotosíntesis de cada hoja afectada 3 minutos. ¿Qué diseño experimental le recomendaría al investigador? De acuerdo con lo re-comendado, indíquele como hacer el análisis de los da-tos y las comparaciones de tratamientos.

(129) Un investigador plantea la hipótesis de que el gusano blanco de la papa se puede controlar biológicamente usando tres especies de nematodos. Para su aplicación, quiere ensayar tres sistemas diferentes: en la superficie, en la parte media y en el fondo de cada matera forman-do un círculo. La efectividad del sistema puede variar de acuerdo con el nematodo. Para evitar complejidad, el in-vestigador esterilizara el suelo, aplicara soluciones nu-tritivas a todas las materas e infestara cada matera con igual número de larvas. La infestación con las larvas se hará 8 días después de la floración del cultivo de papa y la aplicación de los nematodos se hará 15 días antes de la infestación. Se consideró la matera con 2 kg de suelo y una planta, como unidad experimental. Por tratamien-to va a tener 10 unidades experimentales en un inverna-dero.Qué diseño experimental recomendaría.Como asignaría los tratamientos a las unidades experi-mentales Que variable(s) mediríaEscriba una tabla de análisis mostrando solamente las fuentes de variación y los grados de libertad.Son los factores cualitativos o cuantitativos

145

Palacios C. Severo

Considere los factores aleatorios y escriba como calcular las componentes de varianza y las pruebas de F

(130) Para determinar la permanencia del controlador bioló-gico beauveria bassiana sobre las hojas del cafeto des-pués de un aguacero, se piensa hacer un experimento en el cual se usará un solo simulador de lluvia para despa-char una misma cantidad de agua con diferentes tiem-pos de duración, para una intensidad dada. Los tiempos de duración son: 30, 60 y 90 minutos en horas de la tar-de. Se asperjarán 3 dosis del hongo (108, 1010 Y 1012 esporas por mililitro) debidamente calibradas, donde se espera tener una distribución uniforme del número de gotas por centímetro cuadrado en las hojas. La unidad experimental estará constituida por 10 plántulas de 6 meses de edad. Se quiere medir el número de esporas promedio en 5 campos de la hoja. El simulador de lluvia logra regar 30 plantas a la vez. El investigador cuenta con 450 plantas para su experimento. ¿Que diseño expe-rimental recomienda? ¿Qué le indicaría al investigador para hacer el análisis de los datos?

(131) Suponga que un ingeniero está interesado en la com-paración de tres procesos químicos para la manufactura de cierto compuesto. Se sospecha que la impureza de la materia prima usada en el proceso puede afectar el pro-ducto final, sin embargo se espera ajustar el proceso al final del análisis. Usando un diseño completamente alea-torizado con 15 unidades experimentales obtuvo la si-guiente información:

Tratamiento Impurezas Producción1

2

3

4,12,91,54,12,26,82,73,86,45,66,62,23,53,54,6

12,510,39,612,611,311,58,67,211,68,96,84,85,67,56,2

146


Estime la línea de regresión para cada tratamientoLleve a cabo la prueba de hipótesis de que las tres líneas de regresión tienen la misma pendienteObtenga la estimación combinada de la pendiente.Obtenga las medias sin ajustar y ajustadas de los trata-mientos y compárelos comentando los resultados respec-tivos.Obtenga la tabla de análisis de la varianza e interprete cada uno de los resultados de esta tabla.

(132) A continuación se analizan los datos de un experimen-to en caña de azúcar. En las parcelas grandes se ensaya-ron dos tratamientos.C: Con compuesto orgánicoS: Sin compuesto orgánicoEn las sub parcelas se ensayaron cuatro tratamientos.1 Testigo.2 Cal 1,5 Ton/ha.3 Cal 3,0 Ton/ha.4 Cal 4,5 Ton/ha.La respuesta de interés fue el rendimiento del campo en kilogramos por parcela chica de 100.8 m2, y se generó la variable R: para el rendimiento de caña en toneladas por hectárea.

V. DISEÑO TOTALMENTE ALEATORIZADO

Se usa cuando los datos tienen pequeña variación, y además cuando el número de tratamientos también es pequeño.

Si tenemos N-tratamientos, y queremos ubicar n-elementos para los N-tratamientos procedemos de la siguiente manera.

Se eligen aleatoriamente n-unidades experimentales para aplicarle un tratamiento digamos t, luego tenemos n-elemen-tos de las Nn-n restantes para aplicarles el tratamiento t2 y así sucesivamente hasta agotar las Nn unidades experimenta-les.

En muchos problemas es necesario diseñar experimentos en los que pueda controlarse sistemáticamente la variabilidad producida por diversas fuentes extrañas.

147

Palacios C. Severo

Ejemplo 4.34Se desea determinar la alimentación de terneras con produc-tos distintos para el engorde artificial. El experimentador ha decidido obtener cuatro observaciones para cada alimenta-ción.

Solo existe un factor - alimentación artificial, y el diseño de un factor completamente aleatorizado consiste en asignar aleatoriamente cada uno de los 4x4=16 ensayos a una unidad experimental, o sea la alimentación de terneras, el engorde artificial correspondiente.

Por lo tanto, se requerirán 16 formas de alimentación para realizar este experimento, una para cada ensayo.

En principio existe un problema serio en el diseño. Como las terneras son distintas, las unidades experimentales contribu-yen a la variabilidad observada en la lectura de alimentación.

Como resultado, el error experimental reflejará tanto el error aleatorio como la variabilidad entre los animales.

Tabla 4.15 Datos de alimentación de ternerasTernera Corrida experimental Total Media

1234

9,39,49,29,7

9,49,79,49,6

9,69,89,510

109,99,710,2

38,338,837,839,5

9,5759,7009,4509,875

Se desea que el error experimental sea lo más pequeño posi-ble; en otras palabras, se busca sustraer del error experimen-tal la variabilidad producida por las terneras. Un diseño que logre esto requiere que el experimentador pruebe cada ali-mentación, una vez, en cada uno de las cuatro terneras dife-rentes.

El diseño que aparece en la tabla 4.15, se conoce como diseño aleatorizado. La respuesta observada es el incremento de pe-so diario en gramos.

148


El análisis estadístico se lleva a cabo en función de la prueba F, el valor de Fo se compara con el valor de Ft en función de los grados de libertad de los tratamientos y del error experi-mental.

Debemos calcular la varianza total y descomponerla para el tratamiento y el error.


LCM Fo Ft(99%)

TernerasError

0,3950,785

312

0,1280,065

1,96 < 5,95

Total 1,18 15 R² = 66,5254%

El análisis de la prueba F indica que puede ser rechazado la hipótesis Ho por lo que puede afirmarse que existe diferencia entre las medias de los tratamientos comparados; sin embar-go el investigador puede concluir entre cuales tratamientos es que existe diferencia.

Problemas

(133) Un técnico textil desea probar el efecto que tiene cua-tro productos químicos sobre la resistencia de un tipo de tela. Como puede haber variabilidad entre un rollo de te-

149

Palacios C. Severo

la y otro, decide utilizar un diseño aleatorizado, seleccio-nando cinco rollos al azar y les aplica los cuatro produc-tos químicos en orden aleatorio. A continuación, se pro-porcionan los resultados de la resistencia.Analice estos datos y haga las conclusiones apropiadas.

Quími-co

Corrida experimental Total Media

1234

73737573

68676871

74757875

71727375

67706869

(134) Se emplean cuatro laboratorios para realizar un análi-sis químico como parte de un estudio, para determinar si los laboratorios dan en promedio los resultados míni-mos, se le envía a cada uno una muestra del mismo ma-terial. Los resultados analíticos son:

Análisis Corrida experimental Total Media1234

58,764,557,361,4

62,756,160,958,2

55,960,359,160,3

60,760,959,258,1

61,463,155,262,3

Existe diferencia significativa entre los laboratoriosRealice un análisis de varianza

(135) Tres diferentes soluciones para lavar están siendo comparadas con objeto de estudias su efectividad en el retraso de crecimiento de bacterias en envases de leche. El análisis se realiza en un laboratorio y sólo puede efec-tuarse tres pruebas en un sólo día, el experimentador re-cupera las observaciones durante cuatro días y los datos aparecen a continuación.

Químico Corrida experimental Total Media123

13165

18171

394422

22244

(136) Se desea estudiar la adición sistemática para la obten-ción de peltre (aleación de estaño, plomo, cobre antimo-nio) de muy buena calidad, se comparan cinco estánda-res con el suministro de estaño (Sn) y cobre (Cu): a) Sn=92, Cu=2; b) Sn=93, Cu=1; c) Sn =93, Cu=2; d) Sn=94, Cu=1, e) Sn=94, Cu=2

Aleación Corrida experimentalAB

1,181,45

1,201,23

1,031,76

0,921,62

1,271,34

1,241,60

150


CDE

1,361,451,96

1,231,782,12

1,411,561,78

1,251,741,83

1,511,672,07

1,441,461,76

(137) Se realizó una prueba de la vida útil, a temperatura acelerada, de un tipo de calentador tubular. Se probaron seis calentadores, cada uno a cuatro temperaturas dis-tintas: 1520°F, 1620°F, 1660°F y 1708°F. Se registró el número de horas transcurridas hasta que se presentó fa-lla en los 24 calentadores utilizados en el estudio.temperatu-

raHoras hasta la falla

1520162016601708

19531190651511

21351286837651

24711550848651

472721251038652

613425571361688

631428451543729

Investigue las suposiciones necesarias para un análisis de varianza de los datos.Realice un análisis de varianza de los datos transforma-dos, y haga una partición de la suma de los cuadrados de la temperatura en contrastes polinomiales ortogona-les, para determinar la mejor relación entre la tempera-tura y su variable de respuesta. Como las temperaturas de prueba tenían espaciamientos desiguales, use los si-guientes coeficientes de contraste:

Temperatu-ra

1520 1620 1660 1708

LinealCuadráticaCúbica

-0,7730,382-0,078

-0,051-0,6370,584

0,238-0,328-0,765

0,5850,5830,259

(138) Un entomólogo contó el número de huevos que pone cada una de las 15 hembras de polillas en días sucesi-vos, en tres variedades de gusano de tabaco (USDA, campo y resistente). Los siguientes datos son el número de huevos puestos en el tercer día después del aparea-miento de cada hembra en cada variedad.

Varie-dad

Número de huevos por polilla

USDACampoResis-tente

448211

0

906276

9

28415143

227787

1

6341826

48118127

3691

161

137151294

USDACampoResis-tente

2900

522253348

319610

2420

14

26127521

56600

734153218

151

Palacios C. Severo

El entomólogo desea realizar un análisis de varianza del número de huevos.

(139) Un criador de plantas evaluó la capacidad de enraizar de nueve clones de pasto en un experimento de laborato-rio. Cultivó dos réplicas de cada clon en una solución oxigenada en un diseño totalmente aleatorizado.

ClonReplica I Replica II

Enraiza-do

No enraiza-do

Enraiza-do

No enraiza-do

123456789

1513136

1614898

495151424850565540

111164

129

181016

535358605255465448

El cultivador quiere analizar la proporción de cultivos enraizados o la proporción de nodos enraizados.

(140) Dada la siguiente muestra aleatoria de N = 15 obser-vaciones, ordenadas de menor a mayor:

14,3 16 17,3 17,5 17,8 18,7 18,8 18,920 20,8 21,4 22,7 23,2 25,6 27,8

Determine los valores f y sus cuantiles normal estándar.Grafique las observaciones contra los cuantiles normal estándar.Interprete la gráfica respecto a la forma de la distribu-ción a partir de la cual se muestrearon las observacio-nes.

(141) Dada la siguiente muestra aleatoria de N = 16 obser-vaciones, ordenadas de menor a mayor:

2 3 4 5 10 28 34 3539 63 87 97 112 156 188 253

Determine los valores f y sus cuantiles normal estándar.Grafique las observaciones contra los cuantiles normal estándar.Interprete la gráfica respecto a la forma de la distribu-ción a partir de la cual se muestrearon las observacio-nes.

152


VI. DISEÑO DE BLOQUES ALETORIZADOS

El concepto de bloques fue introducido en agricultura; al ob-servarse que los campos experimentales en agricultura mar-caban una heterogeneidad de fertilidad, lo que complicaba la asignación de los tratamientos de un punto a otro, de aquí que el bloque permitía la partición de la variabilidad inheren-te en el campo experimental después de la asignación de los tratamientos en las siguientes componentes:

1. Diferencias entre tratamientos-Variación entre tratamientos.

2. Variación dentro de bloques.3. Variación entre bloques.

De esta forma nació el concepto de diseño en bloque comple-tos aleatorizados. El término bloque es usado más ampliamen-te para referirse a un grupo de unidad experimental que tie-nen un conjunto de características que provocan un problema efectivo de respuesta, una vez que han sido aplicados los tra-tamientos.

El diseño de bloques aleatorizados constituye una de las va-riantes para el agrupamiento de las unidades experimentales que se utilizan cuando en la conformación de los grupos en un experimento de comparación por grupos, se detecta que exis-

153

Palacios C. Severo

ten diferencias en cuanto a una característica determinada entre los objetos. A partir de ello se estructura la formación de los grupos, en función de establecer bloques de tratamien-to semejantes en cuanto a las características en cuestión para que compongan cada bloque en forma aleatoria en cada uno de los grupos experimentales posteriores.

Esta distribución permite llevar a cabo un control más preciso de los efectos de esta característica variable a través del agrupamiento en bloques elevando con ello la precisión del experimento.

Ejemplo 4.35Se realizo un experimento con el objeto de comparar el efecto del suministro de diferentes niveles de concentrado a las aves de corral para lo cual se aplicaron las siguientes variantes:

A; Sin concentrado (dieta normal)B: 250 gramos de concentrado por cada kilo de ave vivaC: 300 gramos de concentrado por cada kilo de ave vivaD: 500 gramos de concentrado por cada kilo de ave viva

El experimento se monto utilizando 80 aves de corral, los que fueron agrupados en 5 bloques de acuerdo al peso inicial, que vario entre 1 a 2 Kg. teniendo en cuenta este agrupamiento se formaron unidades experimentales de cuatro aves por co-rral.

Lográndose obtener los resultados en el aumento de peso dia-rio durante la prueba (alimento de concentrado), expresado en Kg/día de peso vivo.

Concentrado Bloque Total MediaI II III IV VABCD

0,81,01,21,4

1,01,11,31,4

0,91,01,11,8

0,81,11,31,6

1,01,31,11,8

4,55,568

0,91,11,21,6

Total 5,2 4,8 4,4 4,8 4,8 24

154


Tabla 4.17 Análisis de varianzaFuente SC GL CM Fo Ft(99%)

ConcentradoBloqueError

1,300,080,22

34

12

0,430,020,018

23,45

1,09

><

5,955,41

Total 1,6 19 R² = 81,25%

Al comparar los resultados de los valores de F encontramos que los efectos de los tratamientos resultan significativos lo que indica que existe una influencia diferente entre los efec-tos de las diferentes dietas comparadas en cuanto al incre-mento de peso diario de las aves de corral durante las prue-bas.

Referente al efecto del agrupamiento en bloque resulto no significativo por lo que las aves de corral se comportan en for-ma semejante independiente de su peso inicial del experimen-to.

A partir de los resultados podemos concluir desde un punto de vista biológico el efecto obtenido con la utilización de con-centrados en la dieta para aves de corral, sin embargo debe de estudiarse con detenimiento los factores que provocan los resultados obtenidos al comparar las dietas.

Ejemplo 4.36Un agrónomo desea determinar el efecto de diferentes fuen-tes de nitrógeno en la producción de una materia seca sobre

155

Palacios C. Severo

cebada forrajera. Hay cinco fuentes a ser comparadas: (NH4)2SO4, NH4NO3, CO(NH2)2, Ca(NO3)2 y NaNO3 y con un tratamiento control sin nitrógeno. Se deseo aplicar los resul-tados sobre un rango bastante amplio de condiciones, se hi-cieron ensayos sobre cuatro tipos de suelo.

Para el diseño experimental se eligió un diseño en bloques completamente aleatorizado con los tipos de suelo como fac-tor de bloqueo, se localizaron seis parcelas en cada uno de los cuatro tipos de suelo, y se asigno aleatoriamente los trata-mientos a las parcelas dentro de cada tipo de suelo. La varia-ble de interés es la producción de cebada bajo varias fuentes de nitrógeno.

Los datos obtenidos de realizar este experimento se presen-tan en la tabla 4.18.

Tabla 4.18 Producción (kg/parcela) de cebada bajo varias fuentes de nitró-geno

Tipo de sueloTratamiento I II III IV(NH4)2SO4NH4NO3

CO(NH2)2Ca(NO3)2

NaNO3Control

32,130,125,424,126,123,2

35,631,527,133,031,024,8

41,937,133,835,633,826,7

35,430,831,131,431,926,7

Las sumas de cuadrados se obtienen de la siguiente manera:

156



SueloTratamientoError

1927483

2561533

456166

35

15

642494

512306

30411

21,13

16,85

>>

5,424,56

Total 4945183

23 R² = 90,7755%

Ejemplo 4.37Un agricultor rocía hojas de manzana con diferentes concen-traciones de un compuesto de nitrógeno, luego determina la cantidad de nitrógeno que permanecía en las hojas inmediata-mente después de la aplicación y al final de ciertos tiempos preestablecidos.

La finalidad de este experimento fue determinar la rapidez a la que el nitrógeno es absorbido por las hojas, hubo dos re-producciones de cada tratamiento según se muestra en la ta-bla 4.20

Tabla 4.20 Cantidad de nitrógeno que permanece después de la aplicaciónConcentración de nitrógeno

Tiempo N1 N2 N3

t0 2,292,54

6,805,94

8,759,52

157

Palacios C. Severo

t1

t2

0,460,190,000,26

3,031,000,751,16

2,492,041,401,81

Asumiendo un bloqueo por tiempos, al llevar a cabo el análisis de varianza y probar la hipótesis de interés H0: µN1 = µN2 = µN3, los resultados del ANOVA se muestran en la tabla 4.21

Con base en éstos resultados, se obtiene la tabla 4.21 y a par-tir de la ésta, se concluye que la permanencia de nitrógeno en las hojas se ve afectada por la cantidad de nitrógeno aplicada, pues Fo = 4,09 < Ft(95%) = 6,9. Por otro lado, al parecer los tiempos (bloques) difieren de manera significativa, ya que el cuadrado medio es grande en relación con el error experi-mental.

Tabla 4.21 Análisis de varianzapermanencia de nitrógeno en las hojas

Fuente SC GL CM Fo Ft(95%)TiempoNitrógenoError expError

91757635113617157430975

2249

458788

175568

428933441

10,694,09

><

6,946,94

Total 1471262

17 R² = 88,3383%

158


Ejemplo 4.38Un ingeniero químico piensa que el tiempo de reacción de un proceso químico en donde los reactantes actúan espontánea-mente esta en función directa del tipo de catalizador emplea-do, se emplean cuatro tipos de catalizadores a fin de realizar el presente estudio.

Tabla 4.22 Tiempos de reacción del procesoLote de materia prima

Cataliza-dor

I II III IV Yoi

1234

73-

7375

747575-

-676872

7172-

75

218214216222

Yoj 221 224 207 218 Yoo=870

Se están investigando cuatro catalizadores, en cuatro lotes de materia prima y se observa el tiempo de reacción. Los datos obtenidos se presentan en la tabla 4.22

Para este conjunto de datos se tiene r = 3; k = 3 y el número de veces que cada par de tratamientos aparece en el mismo bloque es:

Este diseño en bloques incompletos balanceado tiene una efi-ciencia relativa con respecto al DBCA de:

Prefiriendo de esta forma bloques incompletos balanceados.

Para comprobar la hipótesis H0: τ1 = τ2 = τ3 = τ4, se constru-yen las diferentes sumas de cuadrados con base en la estruc-tura de las siguientes matrices:

159

Palacios C. Severo

Con base en estos resultados, se encuentra que:

En la tabla 4.23 se resumen los resultados anteriores a través del análisis de varianza. Puesto que Fo = 11,66 > Ft(95%) = 5,41, se concluye que el catalizador empleado tiene un efecto significativo sobre el tiempo de reacción.

Tabla 4.23 Análisis de varianza para los tiempos de reacción del procesoFuente SC GL CM Fo Ft(95%)

BloqueTratamiento(ajus)Error

55002275325

335

183375865

28,211,6

><

5,415,41

Total 8100 11 R² = 95,9876 %

160


Problemas

(142) Se describe un experimento en el cual se determinó el factor de forma para distintos embutidos a seis niveles de velocidad. El interés se concentro en las diferencias potenciales del equipo, y la velocidad se consideró una variable problemática.

Embuti-do

Velocidad

12345

0,780,830,830,830,75

0,750,860,890,880,76

0,770,810,890,860,76

0,800,850,920,790,86

0,810,920,950,980,78

0,780,850,931,140,97

(143) Un fabricante produce nutrientes en cuatro reactores se sabe que cada reactor tiene sus propias característi-cas de procesamiento de modo que cada reactor se con-sidera una variable problemática en cualquier corrida experimental en la fabricación que implica más de un reactor. El ingeniero de planta sospecha que la veloci-dad de agitación influye en la homogenización y dilución de los productos sólidos. Cada reactor puede operar a cuatro velocidades de agitación distinto.Se efectuó un diseño de bloques aleatorizados para una empresa exportadora, los datos son:

161

Palacios C. Severo

Agita-ción

Reactor

5101520

6926

5693

814147

4569

Existe alguna evidencia de que la velocidad de agitación influya en la disolución de los productos.Que recomienda usted al ingeniero de planta respecto a la elección de la velocidad de agitación y el reactor para este proceso.Existe alguna evidencia de que la velocidad de agitación influya en la disolución de los productos.Que recomendaría usted al ingeniero de planta respecto a la elección de la velocidad de agitación y el reactor del proceso.

(144) Se emplean cuatro laboratorios para efectuar un análi-sis químico. Como parte del estudio para determinar si los datos dan un promedio en los resultados, se le envía a cada uno una muestra del mismo material, los resulta-dos son:

Análisis Laboratorio12345

58,761,460,959,158,2

62,764,563,159,260,3

55,9

56,1

57,3

55,2

58,1

60,760,360,961,462,3

Existe alguna diferencia significativa entre los laborato-rios.

(145) Se estudia el rendimiento de cuatro detergentes dife-rentes. Se obtuvieron las siguientes lecturas de blan-queo para 12 cargas de lavado distribuidos en tres mode-los de lavado.

Deter-gente

Lavado

ABCD

45474842

43465037

31525549

162


(146) Considere un experimento de 10 tratamientos y 5 re-plicaciones en el diseño experimental de bloques com-pletos al azar. Muestre un plan de la aleatorización de los tratamientos en las réplicas (Bloques).

(147) Quince variedades de maíz fueron sembradas en una estación experimental, con el propósito de seleccionar los de mayor producción. El ensayo se realizó teniendo en cuenta una estructura de bloques. Se midió el rendi-miento de maíz tonelada/unidad de superficie y los resul-tados del ensayo se resumen en la siguiente tabla:

Fuente SC GL CM Fo

BloqueVariedadError

238033,14 7,38

Total 7082935

VII. DISEÑO CUADRADO LATINO

El diseño en bloques aleatorios es adecuado cuando una fuen-te de variabilidad extraña se elimina comparando un conjunto de medias muéstrales. Una Característica importante de este tipo de diseño es su balance, que se logra asignando el mismo

163

Palacios C. Severo

número de observaciones a cada tratamiento de cada bloque. La misma clase de balance puede lograrse en otros tipos de diseño más complicados, en los cuales es conveniente elimi-nar el efecto de varias fuentes extrañas de variabilidad.

El diseño cuadrado latino se usa para eliminar dos fuentes de variabilidad problemática, en otras palabras, permite analizar sistemáticamente por bloques en dos direcciones. En este di-seño los renglones y columnas representan, en realidad, dos restricciones a la aleatorización. En general, un cuadrado la-tino PxP, es un cuadrado que contiene P renglones y P colum-nas, dada una de la P2 celdas contiene una de las P letras que corresponde a un tratamiento, y cada letra aparece una sola vez en cada renglón y columna, ejemplo.

Su utilidad esta determinado por la búsqueda de ejercer un control efectivo de posibles fuentes de error en el experimen-to, derivadas éstas fundamentalmente de las características individuales del material experimental; se puede ampliar las posibilidades de control a dos posibles fuentes, con lo que re-sulta comparativamente con los diseños anteriores.

Esta posibilidad de control de dos fuentes de error determina-do por el agrupamiento de las unidades experimentales en un sistema de distribución bi direccional; de tal manera ejecuta-do, que permita una formación de los grupos que componen cada variante del experimento, con una distribución equitati-va, teniendo en cuenta dos posibles fuentes de error.

Ejemplo 4.39Se realizó un experimento para investigar la influencia entre los tiempos medios para ensamblar 4 tipos de equipos asper-sores distintos.

164


Hay dos fuentes de variación moderada que afectan la res-puesta, la variación entre los operarios y el efecto de la fatiga.

Si una persona ensambla una serie de dispositivos durante un cierto tiempo, se desea evaluar dichas influencias.

Por consiguiente cuatro operarios fueron seleccionados y ca-da uno ensambla los cuatro dispositivos de acuerdo al si-guiente diseño.

Filas Ensamblado TotalI II III IV1234

C=44B=41A=59D=58

A=41C=42D=41B=37

B=30D=49C=59A=53

D=40A=49B=34C=59

153181193207

Total 202 161 191 192 763

Tratamien-to

A B C D

Total 202 142 204 188Media 50,5 35,5 51 47

Partiendo de la base de datos obtenemos:

165

Palacios C. Severo

Como se aprecia en la tabla 4.24 del análisis de varianza la columna de fuente no resulto controlada significativamente ya que el valor de F es menor que el Ft(99).


LCM Fo Ft(99%)

TratamientoFilaColumnaError

626365

226,5112,5

3336

208,66121,66

75,518,75

11,12

6,484,02

><<

9,789,789,78

Total 1330 15 R² = 76,5037%

Ejemplo 4.40Se presenta un experimento, en donde se probaron cuatro métodos distintos, A, B, C y D, para preparar mezclas de con-creto. Consistieron los métodos de dos relaciones de cemento y agua, y dos duraciones de mezclado. Los cuatro métodos fueron controlados por cuatro lotes y cuatro días. El concreto se coló en cilindros y se midió la resistencia a la compresión en kg=cm2, a los 7 días de almacenamiento en cámaras espe-ciales con 20°C de temperatura y 50% de humedad relativa. Los resultados del diseño que se uso se presentan en la tabla 4.25

Tabla 4.25 Resistencia del concreto a la compresión en kg=cm2

Días Ensamblado TotalI II III IV1234

A=303B=280C=275D=304

B=299A=321D=315C=293

C=290D=313A=319B=295

D=290C=282B=300A=305

1182119612091197

Total 1162 1228 1217 1177 4784

166


Con base en los anteriores resultados, se llega a la tabla 4.26 y a partir de la misma, con un nivel de significancía del 5% el valor F es Ft(95%) > 4,75 y puesto que Fo = 13,1,

Se concluye que el método afecta la resistencia a la compre-sión. Además, al parecer los días no difieren significativamen-te en dicha resistencia (cuadrado medio es pequeño en rela-ción al del error), mientras los lotes si, ya que el cuadrado medio es grande en relación con el error.

Tabla 4.26 Análisis de varianza para la resistencia a la compresión en kg=cm2

Fuente SC GL

CM Fo Ft(95%)

DíaLoteMétodoError

9157455

175002670

3336

30524855833445

0,685.5813,1

<>>

4,754,754,75

Total 28540 15 R² = 90,6447%

167

Palacios C. Severo

Problemas

(148) Se encuentra en estudio el efecto que tienen 5 produc-tos distintos A, B, C, D y E sobre el tiempo de reacción de un proceso. Cada lote de material nuevo es lo sufi-cientemente grande para permitir que sólo se realicen cinco pruebas. Más aún cada prueba tarda hora y media; por lo que solo se pueden realizar cinco ensayos al día.El investigador decide efectuar el experimento usando un diseño cuadrado latino con el fin de controlar siste-máticamente las variables: lote de material y día. Obte-niéndose los siguientes datos.

Filas EnsambladoI II III IV V

12345

A=8C=1

B=4D=6E=4

B=3E=8A=5

C=10D=8

D=7A=3C=1E=6B=8

C=1D=7E=10B=6A=3

E=7B=2D=9A=8C=2

168


(149) Un ingeniero agrónomo está investigando el efecto que tienen cuatro métodos de fumigado (A, B, C y D) sobre el tiempo de curado de una plaga. Se selecciono cuatro operarios para realizar este estudio.Por otra parte, el ingeniero sabe que cada método pro-duce cierto tipo de intoxicación, por lo que, el tiempo que se tarde en el último fumigado debe ser menor que el primero, independiente del método.En otras palabras, se produce un patrón en el tiempo de fumigado. Para controlar esta posible fuente de variabili-dad el ingeniero utiliza el diseño cuadrado latino:

Fumigado OperarioI II III IV

1α1β1µ1ε

C=2B=8A=9

D=14

D=7C=1B=11A=12

A=14D=18C=10B=10

B=10A=7D=5C=10

(150) Se va efectuar un estudio de los movimiento para de-terminar el mejor diseño de trabajo para montar compu-tadoras, cinco diseño se hallan en estudio. Se seleccio-nan cuatro estudiantes en ensamblaje aleatoriamente entre un grupo de sesenta, se le enseña minuciosamente a trabajar con los cinco diseños.

Estudian-te

Diseño de trabajoI II III IV V

1234

A=1

B=5C=6D=4

B=3C=10D=12E=8

C=9D=5E=5A=4

D=14E=10A=10B=11

E=11A=6B=6C=5

Cada estudiante sigue cada diseño durante dos días y se registra el número de computadoras montadas:

(151) Se efectúa un experimento de soldadura, empleando el siguiente arreglo:

Estudian-te

Diseño de trabajoI II III

123

A=14B=9,5C=11

B=16,5

C=17A=12

C=11A=15B=13

(152) Se fabrica una cubierta de caucho para una avioneta y se experimenta un cuadrado latino, el experimento es des-crito:

Prueba Maquina

169

Palacios C. Severo

I II III IV2314

A=251D=234C=236B=195

B=241C=273D=236A=270

D=227A=274B=218C=230

C=229B=226A=268D=225

(153) Una investigación describe los métodos de prepara-ción de cierto insecticida. Se usa un diseño cuadrado la-tino para analizar.

Mezcla IngredientesI II III IV V VI VII

1234567

A=98B=69C=37D=65E=56F=11

G=64

B=17E=67F=83G=6

D=4

C=1

A=62

C=8

A=70G=8

E=9

B=7

D=6

F=65

D=6

G=7

B=74F=56C=6

A=51E=86

E=63F=11

D=7

C=6

A=88G=8

B=45

F=13

D=60A=75B=59G=11

E=57C=10

G=244

C=218

E=169

A=150

F=220B=23

3D=18

7(154) Una agencia de control supone que existe diferencia

en el contenido de nitrato en lotes de fertilizante que son suministrados por un proveedor. Existe en estos mo-mentos gran cantidad de lotes en el almacén. Se han ele-gido aleatoriamente cinco de estos. Mediante un análisis químico sobre cada lote se obtienen:

Análisis LoteI II III IV V

12345

A=24,3

B=24,4

C=24,6

D=24,9

E=24,0

B=24,7

C=24,3

D=24,5

E=24,4

A=24,2

C=24,3

D=24,9

E=24,7

A=24,5

B=24,8

D=24,4

E=24,4

A=24,5

B=24,4

C=24,6

E=24,3A=24,4B=24,6C=24,4D=24,9

(155) En un fuelle de herrero se forjan 4 clases de aceros. A una misma temperatura, aunque se sospecha que cada uno de los tipos de acero tiene un punto de caldeo, se trabaja con cada uno de ellos al temple, lográndose los siguientes resultados

170


Acero CaldeoI II III IV

1234

A=48C=41B=49D=46

B=43D=48A=45C=41

D=47A=43C=41B=46

C=41B=47D=49A=46

(156) Se evalúan tres muestras de tierra fertilizada con abono: químico, natural y compost. Siendo los resultados siguientes.

Abono FertilizanteI II III IV

QuímicoNaturalCompost

A=4,9B=5,1C=4,7

C=4,0A=5,3D=4,8

B=4,3D=4,8A=5,1

D=4,2C=4,1B=4,5

Analice y obtenga sus conclusiones.(157) Se realiza un experimento para determinar si la tem-

peratura (°C), de horneado afecta en el vidriado de cier-to tipo de azulejo. El experimento proporciono los si-guientes datos:

Temperatura VidriadoI II III IV

1300140015001800

C=23A=24D=25B=28

A=21B=22C=25D=23

B=24D=27A=29C=29

D=26C=25B=28A=27

(158) Se han preparado tres diferentes tipos de soluciones para eliminar el óxido de joyas (oro y plata). El análisis de realiza en un laboratorio, usando un diseño aleatori-zado por bloques.Los datos se recopilaron durante tres días.

Solución DíasI II III

123

A=13C=22B=9,5

B=44A=12C=22

C=16B=13A=39

(159) Se utilizan cinco reactores distintos sobre una solución galvánica de dorado electrolítico. Para evaluar se utili-zan varios lotes que sólo permiten realizar cinco ensayos por día. La investigación se realiza mediante un diseño cuadrado latino, con el fin de controlar sistemáticamen-te las variables de material y día.

Reactor DíasI II III IV V

A A=8 B=10 D=5 C=8 E=3

171

Palacios C. Severo

BCDE

C=6B=1

D=2E=8

E=1A=7C=7D=4

A=3C=1E=8B=6

D=7E=6B=2A=4

B=8D=10A=9

C=11

(160) Se encuentra bajo estudio el efecto que tienen 5 reac-tivos distintos (A, B, C, D y E) sobre el tiempo de reac-ción de un proceso químico. Cada lote de material nuevo es lo suficientemente grande para permitir que sólo se realicen 5 ensayos. Más aún, cada ensayo tarda, aproxi-madamente, 1 hora y media, por lo que sólo pueden rea-lizarse 5 ensayos por día. La investigadora decide efec-tuar el experimento usando un diseño de cuadrado la-tino, con el fin de controlar las variables lote de material y día. Ella recolecta los siguientes datos:

DíaLote 1 2 3 4 5

12345

A=8C=11B=4D=6E=4

B=7E=2A=9C=8D=2

D=1A=7

C=10E=6B=3

C=7D=3E=1B=6A=8

E=3B=8D=5A=10C=8

Analice la tabla de ANOVADiga que otro diseño experimental pudiera utilizarse.Diga que recomendaría respecto a la elección del reacti-vo químico, del día y lote para realizar el proceso quími-co en el menor tiempo posible.Realice un análisis de los residuos.

(161) Complete la siguiente tabla de análisis de varianza, concluya e interprete. Se midió el rendimiento de trigo de 4 variedades (tratamientos) en kg/parcela.

Fuente SC GL

CM Fo

FilasColumnasTratamientoError 2,72

1,445,0458,4

7Total 90,40

172


VIII. DISEÑO CUADRADO GRECO-LATINO

Consideremos un cuadrado latino NxN al que se le sobrepone un segundo cuadrado latino cuyos tratamientos se designan con letras griegas. Se dice que los cuadrados son ortogonales si al sobreponerse poseen la propiedad de que cada letra apa-rezca solamente una vez en cada letra latina. Este diseño se denomina cuadrado greca-latino.

Cuadro ColumnaI II III IV

1234

AαBβCτDσ

BβCτDσAα

CτDσAαBβ

DσAαBβCτ

El análisis de varianza es muy similar al de un cuadrado la-tino.

El factor representado por la letra griega es ortogonal a los renglones, las columnas y los tratamientos de las letras lati-nas porque cada letra griega ocurre una sola vez en cada ren-glón, en cada columna y para cada letra latina. Por lo tanto, la suma de cuadrados debido al factor letra griega puede calcu-larse usando los totales de la letra griega. El error experimen-tal se reduce en esta cantidad.

173

Palacios C. Severo

Ejemplo 4.41Un ingeniero sospecha que en el lugar de trabajo usado por cuatro operarios puede representar una fuerte adición de va-riabilidad. Es posible introducir al lugar de trabajo α, β, τ, σ a como un cuarto factor. Se produce el cuadrado greca latino que se muestra a continuación.

Montaje Operario YiI II III IV1234

Cβ=11

Bα=8Aσ=9Dτ=9

Bτ=10

Cσ=12

Dα=11

Aβ=8

Dσ=4Aτ=1

0Bβ=7Cα=1

8

Aα=8Dβ=1

2Cτ=1

5Bσ=6

33424241

Total 37 41 39 41 158

Tratamiento A B C DTotal 35 31 56 36Media 8,75 7,75 14 9

los totales de las líneas de montaje son:

Letra Griega Total de montajeαβτσ

Y1 = 45Y2 = 38Y3 = 44Y4 = 31

174



TratamientoFilaColumnaMontajeError

94,2514,252,7531,2531,25

33333

31,414,750,91

10,4110,41

3,017

0,456

0,0871

<<<<

29,529,529,529,5

Total 173,75

15 R² = 82,0143%

En el análisis de varianza ninguna de las fuentes de variación controladas resultaron significativas al análisis ya que los va-lores calculados de F siempre son menores que los valores de Ft.

Problemas

(162) Se desea saber si hay diferencia entre cuatro combus-tibles usados en cuatro sembradoras. Diseñar un experi-mento grecolatino.

Montaje OperarioI II III IV

1234

Aα=1

Bβ=1

Cτ=1

Dσ=1

Bβ=1

Cτ=1

Dσ=1

Aα=1

Cτ=2

Dσ=1

Aα=1

Bβ=1

Dσ=14

Aα=23

Bβ=16

Cτ=1

175

Palacios C. Severo

5 1 5 5(163) Con el fin de mejorar la calidad de las gallinas, se han

añadido dos productos químicos en su alimentación. Las distintas cantidades del primero se indican con A, B, C y D.Las del segundo por α, β, τ y σ. Se alimenta a las galli-nas ordenados en grupos de acuerdo con sus pesos ini-ciales 1 1,5 1,8 y 2 kilogramos y cuatro especies diferen-tes. El incremento de peso por unidad de tiempo viene dado en el cuadro. Realice un análisis de varianza del experimento, sacar conclusiones de acuerdo a su crite-rio.

Especies PesoI II III IV

1234

Aα=3Bβ=4Cτ=8Dσ=6

Bβ=6Cτ=6Dσ=1

Aα=3

Cτ=1

Dσ=5Aα=5Bβ=7

Dσ=6Aα=6Bβ=8Cτ=3

IX. PRUEBA DE INTERVALOS MÚLTIPLES DE DUN-CAN

Procedimiento de uso amplio para comprobar las parejas de medias. Para aplicar dicha prueba en muestras del mismo ta-

176


maño, se disponen en orden ascendente los a - promedios del tratamiento y se determina el error estándar para cada pro-medio.

Ejemplo 4.42Consideremos los datos de la tabla 4.28, siendo el CMerror = 8,06 para N=25 y n=5, el error tiene 20 GL, organizando los promedios Y de tratamientos en orden ascendente se tiene

Y1 = 9,8Y5 = 10,8Y2 = 15,4Y3 = 17,6Y4 = 21,6

Error estándar de cada promedio:

Tabla 4.28 Datos para tratamientoTratamiento Y1 Y5 Y2 Y3

Y 9,8 10,8 15,4 17,6Y4 21,6 11,8 10,8 6,2 4Y3 17,6 7,8 6,8 2,2Y2 15,4 5,6 4,6Y5 10,8 1

Y3 y Y2 no existe diferencia significativaY5 y Y1 no existe diferencia significativa

X. DISEÑO DOBLE REVERSO

En los experimentos de nuestro campo, sin duda, el estudio de la influencia de diferentes factores sobre la producción de

177

Palacios C. Severo

ciertos procesos; ocupa uno de los principales lugares por su importancia económica y social.

El costo alto de estos experimentos y su duración cuando se utiliza los métodos por grupos, ha exigido estudiar y ampliar nuevas técnicas que permitan reducir los mismos.

Tales circunstancias han llevado a investigar un método expe-rimental en grupo-tratamiento, con el objeto de abaratar los costos y reducir el tiempo de ejecución de los mismos.

Estudios sobre la producción de leche, huevo, derivados de le-che, empollado de huevos, mejoramiento genético, etc. Han permitido establecer una serie de particularidades propias de los mismos, las que unidas a las técnicas experimentales, han dado origen a diseños que logran una medida importante al resolver los problemas planteados.

El diseño doble reverso cumple los principios fundamentales del método de comparación por. grupo-tratamiento, aprove-chando las características y la influencia de los diferentes fac-tores sobre si misma.

Ejemplo 4.43Un total de 24 gallinas fueron seleccionadas para un experi-mento con el objeto de estudiar la influencia entre ponedoras y ordinarias. Con este fin se utilizo el diseño doble reverso que tuvo sub tratamientos experimentales de 30 días con du-ración semanal. Los tratamientos se identifican como: (a) po-nedoras y (b) ordinarias.

Tabla 4.29

Gallinas Sub experimentos d = I – 2II + IIII II II d1 d2 d2

12345678910

b=6b=6a=9b=4a=10a=7a=12a=9b=4b=3

a=7a=9b=3a=8

b=12b=7b=4b=6a=15a=18

b=3b=2a=9b=2a=7

a=10a=15a=11b=4b=8

12

-73

198

-3-10

-10

-22-25

9100144100499

36164484625

178


1112

b=6a=8

a=9b=4

b=7a=12 12

-5 25144

Total 47 -75 2114

Pasemos a continuación al análisis de los resultados de este experimento en relación a la producción de huevos por sema-nas.

Los datos en el caso se organizan de acuerdo al esquema que se siguió en el experimento.

Tratamiento Total MediaAB

18593

10,2823,25


TratamientoError

1240,33824,67

110

1240,3382,467

15,04 > 10,0

Total 2065,00 11 R² = 60,0644 %

En función de los resultados existe diferencia significativa en cuanto a la producción de huevos de las gallinas sometidas a tratamiento y esta en función de los datos obtenidos respecti-vamente.

Como puede apreciarse este diseño tiende a dar solución a las limitaciones en los métodos precedentes. Este método fue de-sarrollado ampliamente para la aplicación en estudios con más de 3 tratamientos y resulta de amplia utilidad en la prác-tica actual de trabajo.

179

Palacios C. Severo

Problemas

(164) Elabore el diseño doble reverso para 14, 15, 20 y 24 pruebas

(165) Simule el proceso con tres fertilizantes (Compost, Tur-ba y Químicos) en la siembra de hortalizas.

(166) Establezca la diferencia entre el diseño doble reverso y los diseños aleatorizados.

(167) Elabore el modelo del ejemplo 4.43(168) Aporte un criterio de evaluación útil del diseño doble

reverso.(169) A los problemas de (156, 157, 158 y 159) elabore sus

análisis de varianza.

180


XI. ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS DEL MODELO

Las herramientas principales para el diagnóstico de modelos unifactoriales esta basado en los residuos.

Los residuos del i-ésimo tratamiento se determinan restando el promedio del tratamiento a cada observación dentro del tratamiento.

Usualmente la comprobación de linealidad del promedio con-siste en graficar los residuos, tal como se muestra. Se reco-mienda que tal comprobación de diagnostico sea un paso de rutina en cada proyecto de diseño experimental.

Ejemplo 4.44Analizar los datos de la tabla 4.10

Tabla 4.31 Valores originales y residuos% 1 2 3 4 5 Yi

15 7 -2,5 7 -2,8 15 5,2 11 1,2 9 0,8 9,520 12 -3,4 17 1,6 12 -3,4 18 2,6 8 2,6 15,

425 14 -3,6 18 0,4 18 0,4 19 1,4 19 1,4 17,

630 19 -2,6 25 3,4 22 0,4 19 1,4 23 1,4 21,

635 7 -3,8 10 -0,8 11 0,2 15 0,2 11 0,2 10,

8

181

Palacios C. Severo

Orden K εij PK=(K-1/2)/2512345678910111213141516171819202122232425

-3,8-3,6-3,4-3,4-2,8-2,8-2,8-2,6-0,8-0,8+0,2+0,2+0,4+0,4+0,4+1,2+1,4+1,4+1,4+1,6+2,6+2,6+3,4+4,2+5,2

0,020,060,100,140,180,220,260,300,340,380,420,460,500,540,580,620,660,700,740,780,820,860,900,940,98

Los residuos se organizan en forma ascendente y se calculan sus puntos de probabilidad acumulada Pk.

La gráfica de probabilidad normal se deja al lector para que lo desarrolle, con los residuos graficados contra Pkx100 en la escala vertical derecha.

En la parte inferior los puntos del residuo.

XII. POLINOMIO ORTOGONAL

Cuando los niveles de los factores son equidistantes, puede simplificarse mucho el ajuste del modelo polinomial por el método de mínimos cuadrados. El procedimiento utiliza los coeficientes de los contrastes ortogonales. Además del ajuste de mínimos cuadrados del polinomio se obtiene el efecto li-neal, cuadrático, cúbico, cuártico y así sucesivamente, así co-

182


mo la suma de cuadrados del factor. Esto permite probar la contribución de cada término al polinomio.

Ejemplo 4.45Los datos de la tabla 4.32 en este problema el factor indepen-diente, porcentaje de algodón, tienen cinco niveles equidis-tantes. La suma de cuadrados de los efectos lineales, cuadrá-ticos; cúbicos y cuárticos descompone la suma de cuadrados de tratamiento y pueden ser incorporados al análisis de va-rianza como se muestra. Cada efecto tiene un grado de liber-tad y puede ser probado comparando su suma de cuadrados en la media de cuadrados del error.

% algodón Total detratamiento

Coeficiente de loscontrastes ortogonales Ci

Lineal Cuadrático Cúbico Cuártico1520253035

49778810854

-2-1012

2-1012

-120-2-1

1-46-41

τ 1 1 5/6 35/241 -155 -57 -100

33,62 343,21 64,98 33,95

El modelo polinomial cúbico ajustado a los datos es:

Como se tiene a=5 niveles de X e Y entre los niveles, d=5 el modelo del polinomio ortogonal es:

183

Palacios C. Severo

resultando el modelo


% AlgodónLinealCuadráticoCúbicoCuárticoError

475,95(33,62)(343,4)(64,98)(33,95)161,20

4111120

118,9433,62

343,4064,9833,958,06

14,764,17

42,588,064,21

><>><

2,874,354,354,354,35

Total 637,15 28 R² = 74,6998%

Los efectos cuadrático y cúbico del porcentaje de algodón son significativos.

§5MÉTODOS DE ANÁLISIS

Las cosas complejas y estadísticamente improbables, son por natu-raleza más difíciles de explicar que las cosas simples y estadística-mente probables.

Richard Dawkins

I. INTRODUCCIÓN

184


No imite al ebrio que utiliza un poste de luz como apoyo, en vez de usarlo como iluminación. No deje que el ANAVA (análi-sis de varianza) se convierta en muleta de un trabajo de cam-po mal hecho o como sustituto de pensar. Recuerde estas pautas:

Adapte la técnica al problema, no el problema a la téc-nica: evite enamorarse de un método y tratar de acomo-darse siempre a cualquier estudio. No se convierta en tecnócrata.

Los resultados son solo tan buenos como los datos: Las técnicas estadísticas no arreglan los malos datos. Por eso sea siempre cuidadoso en la elaboración del diseño y en la toma del vector respuesta.

Piense ante, no después de haber hecho el experimen-to: no amontone todo lo que se le ocurra en el computa-dor con la esperanza de que éste lo clasifique y lo haga intangible para usted. Primero desarrolle hipótesis; lue-go ensaye sus preguntas. Puede estar casi seguro de que siempre habrá algo que conseguir en un trabajo de in-vestigación.

Considere la investigación: usted siempre aprende conforme avanza - sobre cosas que usted hubiera queri-do añadir y sobre otras que hubiera querido dejar por fuera. Una o dos etapas piloto mejorarán la calidad de un gran estudio final. El análisis estadístico es costoso; por eso, proceda en forma planificada.

Encuentre la forma de comunicar los resultados con claridad: La mayoría de los investigadores no están fami-liarizados con estas técnicas y por eso hay peligro de confundirlo con datos y con jergas. Busque maneras de comunicar las técnicas y sus resultados en una forma fá-cil de entender.

Mantenga el análisis estadístico como un medio, no co-mo un fin: "Correr un análisis conglomerado" no ayuda mucho si no contribuye al objetivo general del estudio. Empiece con el problema, no con la técnica.

Las técnicas estadísticas de análisis prueban ser herramienta muy valiosa. Su papel más útil generalmente es complemen-tar análisis y juicios directos reuniendo variables complejas

185

Palacios C. Severo

en un solo análisis. Es arriesgado hacer depender todo el es-tudio, de una sola técnica. Un procedimiento mejor es experi-mentar con estas técnicas como parte del estudio hecho con otros fines; luego, proseguir con un estudio más grande des-pués de que el valor y la aplicabilidad de la técnica se hayan aprobado.

II. MÉTODOS NO PARÁMETRICOS

En la práctica aparecen situaciones en las que los requisitos no están justificados, como es el caso de una población fuerte-mente asimétrica. A causa de ello, se han creado métodos que son independientes de las distribuciones de la población y de los parámetros asociados.

Las pruebas no paramétricas se pueden usar como observa-ciones de contraste más complicada. Son especialmente útiles cuando se trata con datos no numéricos, por ejemplo, cuando los consumidores colocan productos por orden de preferen-cia.

III. PRUEBA U DE MANN-WHITNEY

Consideremos dos productos distintos de los cuales obtene-mos dos muestras, queremos decidir si hay o no diferencia en-tre las muestras, o sea, si proceden o no de una misma mues-tra poblacional. Es conveniente una prueba no paramétrica consistente en los siguientes pasos:

1. Combinar todos los valores muéstrales en una ordena-ción ascendente y asignar rangos a todos los valores. Si dos o más muestras son idénticas, se le asigna a cada uno un rango que es la media de los rangos que los ubi-ca con tal coincidencia.

2. Hallar la suma de los rangos para cada muestra, deno-minándolo Rn y los tamaños muéstrales Nn. Por conve-niencia elegimos N1 al menor. Una diferencia significati-va entre la suma del rango R1 y Rz, implica una diferen-cia entre las muestras.

3. Para encontrar la diferencia entre las sumas de ran-gos, usamos:

186


La distribución muestral U es simétrica y tiene una media

y una varianza

Si Ni y Nj son ambas al menos iguales a 8, resulta que la dis-tribución de U es aproximadamente normal

Esta normalmente distribuido con media cero y varianza 1. Un valor correspondiente a otra muestra viene dada por.

Además

Donde:

N = Ni + Nj

Ejemplo 5.46Se desea determinar si hay diferencia entre los telares I y II, al nivel de significancía del 0,05.

Tabla 5.33 Datos de telares I y II

187

Palacios C. Severo

12345

11,711,812,612,914,1

6789

10

14,715,215,916,116,9

1112131415

17,818,318,919,620,5

161718

22,724,225,3

Combinando los 18 valores de la muestra en ordenación as-cendente, tal como se indica en la tabla 5.33, en la segunda fi-la se asignan los rangos.

Donde

Además

la distribución es

Textil I Textil IIResistencia Rango Resistencia Rango

18,316,422,717,818,925,316,124,2

121016111318917

12,614,120,510,715,919,612,915,211,814,7

351518144726

Suma 106

Suma 65

como la hipótesis Ho que estamos estudiando es que no hay diferencia entre los telares, entonces188


Rechazamos y concluimos que hay diferencia entre los telares al nivel del 0,05.IV. PRUEBA H DE KRUSKAL-WALLIS

Con esta prueba podemos decidir si dos muestras provienen o no de la misma población. Una generalización para k mues-tras de Kruskal-Wallis con sus pruebas.

La prueba puede describirse como: sean k muestras de tama-ño Nk, con suma total N, supongamos que los datos de todas las muestras se ordenan y que las sumas de rangos para las k muestras son Rk respectivamente. Definido:

Ejemplo 5.47Una fabrica de tejidos desea comprar una de cinco maquinas diferentes. En un experimento diseñado para saber si hay di-ferencia en la eficacia de tales maquinas, cinco operarios ex-pertos trabajan en cada maquina un tiempo determinado.

Los resultados se escogen y ordenan en forma ascendente pe-ro colocada por orden de presentación.

12,52,54

42485050

6,56,56,56,5

53535353

9101112

57606163

14141416

64646465

17,517,51921

68687072

2121232425

722

757782

ABCDE

6872604864

7253826165

7763645770

42535348757264506853

RangoAB

17,521

216,5

2412

16,5

6,52,5

7048,5

189

Palacios C. Severo

CDE

102,514

251116

14919

2314

17,5

214

6,5

9340,573

Para K-1=4 grados de libertad al nivel de significación 0,05 . Puesto que 6,44 < 9,49 no podemos rechazar la hipóte-

sis de igualdad entre las maquinas. Podemos aceptar la hipó-tesis de que no hay diferencia entre las maquinas.

V. MÉTODOS MULTIVARIABLES

Cuando varias variables se analizan juntas, el procedimiento se llama análisis multivariable.

El primer paso analítico en la mayoría de los proyectos de in-vestigación es una tabulación cruzada directa de los resulta-dos.

Las técnicas multivariables más utilizada en el análisis son:

Análisis de regresión múltiple Interacción automática Análisis discriminante Análisis de factores Análisis de conglomerados Escalas multidimensionales Análisis conjunta.

Las tres primeras técnicas miden la dependencia entre varia-bles. Estos métodos tienen que ver con dos tipos de variables, y es importante entender la distribución entre ellos.

Variables dependientesEstas son las variables que usted esta tratando de predecir o explicar. Un ejemplo típico es el volumen de utilización de un producto o de utilización de un cierto tipo de equipo.

Variable independienteEstas son las variables que explican o predicen diferencias en las variables dependientes.

190


Las otras cuatro técnicas, están diseñados para medir la in-terdependencia entre las variables. En este método no hay va-riable dependiente o independiente.

Análisis de regresión múltiple

Este tipo de análisis enfoca una ecuación de predicción que relaciona una variable dependiente y un conjunto de variables independiente. Esta es una de las técnica multivariable más básicas. Es muy útil para predecir el intervalo de una variable dependiente.El procedimiento proporciona la ecuación correspondiente a la línea recta que mejor se ajusta a los datos. La ecuación de esta línea recta se puede usar como ecuación de predicción.

La ecuación se desarrolla mediante un procedimiento conoci-do como mínimos cuadrados y corresponde a una línea recta, no es apropiado para situaciones donde la relación entre las variables dependiente e independiente no es lineal.

Interacción automática

Al igual que la regresión múltiple, la interacción automática es un método para analizar la relación entre una variable de-pendiente y varias variables independientes. Pero mientras el análisis de regresión múltiple produce una ecuación predicti-va que describe la relación, la interacción automática genera una serie de ecuaciones de dos vías, seleccionado en cada di-visión la variable independiente que explica la mayor varia-ción en la variable dependiente.

Análisis discriminante

El procedimiento determina las variables predictivas más es-trechas que identifican a un subgrupo en la muestra, es decir, identifica las variables que son las discriminadoras entre los miembros de los subgrupos cuyo comportamiento se quiere predecir. La técnica puede usarse con variables de dos gru-pos.

Análisis de factores191

Palacios C. Severo

Sirve para analizar las interrelaciones entre variables e inten-ta reducirlas a un conjunto más pequeño. En procesos socia-les es común medir un gran número de datos, por esta razón se cree que en la mayoría de los casos todas estas variables son facetas de un número menor de variables subyacentes. El propósito del análisis de factores es establecer la cantidad de variables que sustenten el fenómeno.

Análisis de conglomerados

Define los grupos naturales de objetos que son similares den-tro de una población muestra. El análisis de conglomerado crea sub muestras cuyos miembros son similares entre ellos con los demás. Es decir identifica conglomerados de unidades homogéneas.Escalas multidimensionales

Es un análisis matemático de percepciones y preferencias que los miembros tienen en el espacio muestra.

Análisis conjunta

Es una técnica que separa de sus componentes los juicios glo-bales de los informantes sobre alternativas complejas, tales como característica de un producto.

VI. CORRELACIÓN DE SPEARMAN

Se utiliza este método para medir la correlación de dos varia-bles X e Y. En lugar de usar valores precisos de las variables, o cuando tal precisión no es alcanzable, a los datos se les pue-de asignar un rango de 1 a N ordenándolo por su tamaño, im-portancia, preferencia, etc. Dicha asignación viene dada por:

Ejemplo 5.48

192


Se analiza agua contaminada de 10 estanques, además para ver la confiabilidad de dicho análisis se procede a realizar los cálculos analíticos para ver su dispersión.

Laboratorio 8 3 9 2 7 10 4 6 1 5Teórico 9 5 10 1 8 7 3 4 2 6

Diferencia de rangos:

D -1 -2 -1 1 -1 3 1 2 -1 -1D2 1 4 1 1 1 9 1 4 1 1

Indica que hay marcada relación entre los análisis de labora-torio y teórico.

Análisis de varianza

El análisis de varianza es una técnica que resulta útil para mejorar la precisión de un experimento. Supongamos que en un experimento la variable respuesta Y está relacionada li-nealmente con la variable independiente X. Además, el expe-rimentador no puede controlar la variable X pero puede me-dirla al mismo tiempo que a Y. Con el análisis de varianza se busca adaptar el valor observado de la respuesta para tomar en cuenta el efecto de la variable concominante. Si no se lleva a cabo dicho ajuste, la variable concominante puede aumen-tar la media del cuadrado del error, con lo que hay mayor difi-cultad en la detección de diferencias reales en la respuesta debidos a los tratamientos. Por lo tanto, el análisis de cova-rianza es un método para tomar en cuenta el efecto de algu-nas variables que no pueden ser controladas.

Ejemplo 5.49Se usan tres maquinas distintas para producir fibras para una empresa textil. El ingeniero de proceso esta interesado en de-terminar si existe diferencia en los resultados de la fibra pro-ducida por las tres maquinas. Sin embargo, la resistencia de la fibra depende del grosor de la misma, siendo más resisten-te las fibras de mayor grosor. Se selecciona una muestra alea-

193

Palacios C. Severo

toria de cinco fragmentos para cada maquina siendo. Y: resis-tencia de cada fibra y X: grosor.

Maquina I Maquina II Maquina IIIY X Y X Y X3641394249

2025242532

4048394544

2228223028

3537423432

2123262115

207 126 216 130 180 106

194


Tabla 5.34 Análisis de varianzaFuente GL SC Y GL CMX XY YMaqui-naErrorTotal

21214

66,13195,6

0261,7

3

96,0186,

6282,

6

140,4

206,0

346,4

27,99

41,27

1113

2,54

Maqui-na ajus-

tada

13,28

2 6,64

Problemas

(170) Se dan los rangos de 10 estudiantes en mitad de se-mestre y a fin de semestre obtenido en los exámenes de estadística.

195

Palacios C. Severo

Compute el coeficiente de correlación de Spearman e in-terprételo.

Estudiantes1 2 3 4 5 6 7 8 9 1

0Mitad de se-mestre

5 4 8 2 6 1 3 7 10

9

Fin de semestre 4 1 10

5 6 9 7 8 2 3

(171) Una Empresa textilera desea comprar una de cinco maquinas diferentes. En un experimento diseñado para saber si hay diferencia en la eficacia de tales maquinas, cinco operarios trabajan en cada maquina un tiempo de-terminado.Los resultados se escogen y ordenan en forma ascenden-te pero colocada por orden de presentación122,

4

24283739

66,

77,

43455253

9101112

58626364

13141516

65666768

1717,

1921

69717375

2324262832

7778798082

(172) Se analiza Aire contaminado de 10 Ingenios mineros, además para ver la confiabilidad de dicho análisis se procede a realizar los cálculos analíticos para ver su dis-persión.

Laborato-rio

1 8 9 7 9 1 6 9 3 5

Teórico 1 6 1 4 1 1 4 6 4 6

(173) Se analiza Aire contaminado con ácido cianhídrico de una empresa minera aurífera, además para ver la confia-bilidad del análisis químico se procede a realizar los cál-culos analíticos para ver su dispersión.

Laborato-rio

0,01 0,0 0,09 0,0 0,09 0,01 0,0

Teórico 0,01 0,0 0,01 0,0 0,01 0,01 0,0

(174) Se usan tres maquinas distintas para producir Queso cremo para una empresa Lechera. La ingeniera a cargo de la investigación esta interesada en determinar si exis-te diferencia en los resultados del Queso cremoso produ-cido por las doss maquinas. Se selecciona una muestra

196


aleatoria de cinco fragmentos para cada maquina siendo. Y: sabor y X: dureza.

Maquina I Maquina IIY X Y X

0,310,400,320,490,48

0,290,270,220,200,39

0,490,450,300,420,41

0,200,290,270,350,29

2,00 1,37 2,07 1,40(175) Se usan tres maquinas distintas para producir Yogur

para una empresa Heladera. La ingeniera de proceso es-ta interesada en determinar si existe diferencia en los resultados del Yogur producida por las tres maquinas. Se selecciona una muestra aleatoria de cinco fragmen-tos para cada maquina siendo. Y: consistencia y X: sabor.

Maquina I Maquina II Maquina IIIY X Y X Y X3140324948

2927222039

4945304241

2029273529

3935494347

2826292419

200 137 207 140 213 126(176) Se dan los rangos de 10 estudiantes en mitad de se-

mestre y a fin de semestre obtenido en los exámenes de diseño experimental de una Universidad Estatal del Sur del Perú.Compute el coeficiente de correlación de Spearman e in-terprételo.

Estudiantes1 2 3 4 5 6 7 8 9 1

0Mitad de se-mestre

15

14

18

12

06

11

13

17

10

09

Fin de semestre 14

11

10

15

06

09

07

08

12

13

197

Palacios C. Severo

§6DISEÑOS EXPERIMENTA-

LESAPLICADO A INGENIERÍA

La estadística ha demostrado que la mortalidad de los militares au-menta perceptiblemente durante tiempos de guerra.

Alphonse Allais

I. INTRODUCCIÓN

En muchos procesos experimentales de carácter explorato-rio, el investigador se enfrenta con el problema de determinar el efecto de un gran número de variables. En estas condicio-nes, es necesario establecer un procedimiento aceptable para elegir las condiciones de cada uno de los ensayos experimen-tales.

198


La estrategia estadística en el diseño de experimentos consis-te en el procedimiento sistemático y controlado para desarro-llar las combinaciones correctas de condiciones variables pa-ra que el análisis resulte confiable. En la industria se utilizan tres tipos de diseños fundamentales de experimentación esta-dísticamente diseñados, que son:

a) Diseños Factorialesb) Diseños Rotablesc) Operaciones Evolutivas

Se ha desarrollado un nuevo diseño de mucha utilidad para los procesos industriales al cual he denominado Diseño Seve-ro.

Antes de estudiar con amplitud estos métodos conviene fami-liarizarse con la nomenclatura utilizada en este campo del análisis estadístico.

A las variables experimentales las llamamos factores, el valor numérico del factor se denomina nivel. La combinación de factores que se utilizan en ciertos ensayos experimentales se llama tratamiento. El resultado del ensayo se llama efecto.Si la cantidad de material que se procesa es limitada, de ma-nera que resulta necesario utilizar varios lotes de material, cuyas características son similares pero no idénticas, cada lo-te se llama bloque. Si el mismo experimento se repite en las mismas condiciones se llama replica.

La aplicación de estas técnicas a una estrategia experimental puede ilustrarse considerando la optimización de las conside-raciones operativa de un proceso.

Ejemplo 6.50Todo proceso científico, tecnológico y social esta vinculado bajo el siguiente esquema:

a) El insumo varia por su calidad, cantidad y la variedad.b) El proceso varia si es continuo (dinámico) o Bach (estaciona-

rio).c) El control si es de calidad, de rendimiento o eficiencia (cuali-

tativo o cuantitativo).

199

Palacios C. Severo

Donde al variar el insumo en el proceso el control es muy dis-tinto para cada caso.

Ejemplo 6.51Se lixivia un desecho minero conocido como cola (relave, de-secho, desmonte) con alto contenido de plata, estaño, plomo y cobre. En medio ácido bajo dos procesos distintos:

a) Clorurado en donde los componentes lixiviados fueron complejos de plata.

b) Nitratado en donde se forma compuestos de nitrato de plata.

Siendo el insumo el desecho de mineral a diferentes dosifica-ciones de cloruros y nitratos.

El procedo viene a ser la disolución al dosificarse el cloruro o nitrato en medio ácido, a fin de disolver la plata en forma de complejo clorurado de plata o nitrato de plata.

El vector de control viene a ser la recuperación del metal va-lioso (plata) de la cola (relave, desecho, desmonte).

La recuperación de la plata de los dos medios acuosos (insu-mo en donde esta la plata en forma ionica) se efectúa por me-dio de la precipitación (cementanción) con chatarra de hierro obteniéndose los siguientes productos respectivamente.

200


Dos productos distintos en donde el insumo es el mismo, pro-duciendo un control distinto en la recuperación del metal va-lioso, en cada tipo de medio acuoso.

Problema

(177) En un centro educativo se ve el rendimiento académi-co de los estudiantes alimentados y desnutridos, Obte-niéndose el gráfico asintótico ascendente y descendente respectivamente.¿Evalué el insumo en el proceso de aprendizaje?

(178) Se procesa un mineral aurífero con dos reactivos con el fin de evaluar el rendimiento de recuperación de oro de dicho material.¿Plante un diseño factorial para el presente proceso?

(179) Se realiza la comparación de dos procesos para la re-cuperación de oro, siendo el proceso convencional la cia-nuración y el proceso innovativo el Proceso SEVERO.

201

Palacios C. Severo

Plantee un diseño experimental para los procesos men-cionados.

(180) Se tiene una solución ácida de cloruro de plata y desea precipitarse electrolíticamente dicho metal, se pide al lector que factores influyen en dicho proceso y a que ni-veles trabajaría.

(181) Al problema 169 en vez del proceso electrolítico se de-sarrolla el proceso de cementación con chatarra de hie-rro, que factores y niveles utilizaría para desarrollar el proceso.

(182) Se tiene una solución ácida de cobre, del cual se quie-re recuperar el cobre por vía electrolítica, se pide que se evalué dos factores: densidad de corriente y concentra-ción de cobre.¿Proponga un tipo de diseño?

(183) Se quiere recuperar cobre de una solución ácida, para el cual se adiciona chatarra de hierro, el cobre producto de dicha precipitación es de calidad comercial, a partir de dicho cobre se desea producir sulfato de cobre de ca-lidad comercial.¿Elabore un diseño que produzca una sola variación con los dos productos obtenidos?

II. DISEÑOS BIFACTORIALES

Por diseño Bifactorial se entiende aquel en el que se investi-gan todas las posibles combinaciones de los niveles de los fac-tores, en cada ensayo completo o réplica del experimento.

202


Por ejemplo, si existen a-niveles del factor A y b-niveles del factor B, entonces cada réplica del experimento contiene to-das las ab combinaciones de los tratamientos. A menudo, se dice que los factores están cruzados cuando éstos se arreglan en un diseño factorial.

El efecto de un factor se define como el cambio en la respues-ta producida por un cambio en el nivel del factor. Este se co-noce como efecto principal.

Ejemplo 6.52Consideremos los datos de la tabla 6.34. El efecto del factor A es la diferencia entre las respuestas promedio en el primero y segundo nivel de ese factor.

Tabla 6.34 Experimento factorial

a) Interactivo

b) Sin interacción

Numéricamente

203

Palacios C. Severo

Interpretando este resultado nos indica que incrementando el factor A del nivel 1 al 2 produce un cambio en la respuesta promedio de 6,5 unidades.

Para el efecto B:

Interpretando este resultado indica un decremento del factor B del nivel 1 al 2 produciendo un cambio en la respuesta pro-medio de -0,5 unidades.

Como en este caso la diferencia en la respuesta entre los ni-veles de un factor no es la misma en todos los niveles de otros factores. Cuando esto ocurre existe una interacción entre los factores.

Gráficamente podemos visualizar este fenómeno,

Ejemplo 6.53Un investigador diseña un calefactor eléctrico para mantener constante la temperatura de una Piscigranja debiendo este ser sometido a ciertas variaciones de temperatura. El único parámetro de diseño que él puede seleccionar en este punto es el material de la cubierta de calefacción, y tiene tres alter-nativas. Cuando el calefactor se manufactura y se envía a la Piscigranja, el investigador no tiene control sobre los extre-mos de temperatura a que será expuesto, sabe por experien-cia que es probable que la temperatura influya en la duración efectiva del calefactor.

204


El investigador decide probar los tres materiales de la cubier-ta a tres niveles de temperatura ( 2°C, 8°C y 12°C). Se prue-ban tres calefactores a cada combinación de material de la cubierta y temperatura y las 36 pruebas se ejecutan al azar.

En la tabla 6.35 se presenta el experimento y los datos resul-tantes de duración observada de los calefactores.

Tabla 6.35 Datos para el experimento del calefactor eléctricoMate-rial

Temperatura Yi2 8 121 20

827058 230 150

126188126 623 138

168110160 576 1429

2 136106

122115 479 25

587045 198 130

74155180 539 1216

3 3480

4075 229 150

139174120 583 96

8210460 342 1154

Total 938 1404 1457 3799

En la tabla 6.36 se muestran los resultados del procedimien-to.

Tabla 6.36 Análisis de varianzaFuente SC GL CM Fo Ft(99) Ft(95)Material 10683,7

22 5341,86 7,91 5,53 3,37

Temperatu-ra

39118,72

2 19558,36

28,97 5,53 3,37

Interacción 9613,78 4 2403,94 3,56 4,14 2,74Error 18230,7

527 675,21

205

Palacios C. Severo

Total 77646,97

35

Se concluye que no existe interacción para un Ft(99)=4,14 en-tre el tipo de material y la temperatura. Además son significa-tivas los efectos principales del tipo de material y la tempera-tura para Ft(99)=5,53. En cambio para Ft(95) existe interac-ción así como influencia de los efectos principales.

Gráfica de tipo de material contra temperatura.

Como una interpretación auxiliar de los resultados en este ex-perimento resulta útil la construcción de una gráfica de las respuestas promedio en cada combinación del tratamiento.

El hecho de que las rectas no son paralelas indica una inte-racción significativa tan solo para Ft(95). En general a menos temperatura, mayor duración, independiente del tipo del ma-terial.

Al variar la temperatura de baja a intermedia la duración au-menta con el material tipo 2 mientras que disminuye con el material tipo 1 y 3. Cuando la temperatura varia de interme-dio a alta, la duración disminuye con los materiales tipo 3 y 2, mientras que con el tipo 1 permanece sin cambio, al parecer, el material tipo 2 da los mejores resultados.

III. COMPARACIÓN MÚLTIPLE

Si el análisis de varianza indica que hay diferencia en el nivel medio de los renglones y columnas, es de interés llevar a cabo comparación entre las medias individuales de renglón y co-lumna para describir las diferencias significativas.

206


Y22 = 9,8 Y32 = 10,8 Y12 = 15,4

Error estándar de cada promedio

Del apéndice obtenemos los valores críticos para 27 GL y 95% de significación

Tabla 6.37Tratamiento Y22 Y32

Yij 9,8 10,8Y12 21,6 11,8 10,8Y32 17,6 7,8

Y1 y Y3 no existe diferencia significativa

El modelo estimado para el presente caso es:

Material Y1

Coeficientes de los contrastes ortogona-les

Lineal Cuadrático123

142912161154

-101

1-21

r 1 3Efecto ΣCiY 275 151

SC[(ΣCiY)2/n ΣCi2] 12604,16 1266,72

El modelo del polinomio ortogonal es:

Tabla6.38 Análisis de varianza

207

Palacios C. Severo

Fuente SC GL CM Fo Ft(65)

Material 10683,72

4 5341,86 7,91 > 3,36

Lineal 12604,16

1 12604,16

18,66

> 4,22

Cuadráti-co

1266,72 1 1266,72 1,83 4,22

Error 18230,75

27 675,21

Total 31

El efecto lineal es significativo.

IV. DISEÑO ANIDADO

En ciertos experimentos multifactoriales, los niveles de un factor son similares pero no idénticos pero diferentes del otro factor. Tal arreglo se conoce como diseño anidado con los ni-veles del factor.

Ejemplo 6.54Un industrial compra materia prima por lotes a tres proveedo-res. La pureza de la materia prima varia considerablemente, lo cual causa problemas en el control del producto terminado. Se desea determinar si la variabilidad en la pureza puede atri-buirse a diferencias entre los proveedores. Cuatro lotes de materia prima de cada proveedor se seleccionan al azar y se hacen tres determinaciones de la pureza sobre cada lote. Esto por supuesto, corresponde a un diseño anidado. Los datos después de codificarse aparecen en la tabla.

Tabla 6.39Lote Proveedor I Proveedor II Proveedor III

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4949293

919089

919394

949793

949190

939795

929391

939695

959793

919395

949295

969594

Tlote 279

270

278

284

275

285

276

284

285

279

281

285

208


Tprovee-

dor

1111 1120 1130


LCM Fo Ft(99)

Provee-dor

15,06 2 7,53 0,97

< 2,26

Lote 69,92 9 7,77 2,94

> 2,26

Error 63,33 24 2,64Total 148,31 35

209

Palacios C. Severo

Problemas

(184) Un ingeniero de procesos sospecha que el acabado de una pieza no metálica (polietileno) depende de la ali-mentación y la temperatura. Selecciona tres niveles de alimentación y eligió aleatoriamente cuatro niveles de temperatura a continuación se realiza un experimento Bifactorial.

Alimenta-ción m/min

Temperatura (°)160 180 200 240

0,508608076

746460

9910496

9810899

0,635 99110

11988

10499

9286

210


111 92 95 88

0,76299110107

9810488

114108110

10488102

Analice los datos.Elabore una gráfica de los residuos.Estime los componentes de varianza con la temperatura.

(185) Se estudian factores que influyen en la resistencia de ruptura de una fibra. Se eligen al azar tres maquinas y dos operarios y se realiza un experimento Bifactorial usando la fibra de un mismo lote de producción.

Operario Maquina1 2 3

1 110111

111109

114112

2 112115

114119

120117

(186) Un ingeniero electromecánico estudia la fuerza produ-cida por un torno. Sospecha que los factores más impor-tantes son las revoluciones del motor y la alimentación. Se selecciona aleatoriamente cuatro niveles de alimenta-ción y se usan los niveles de velocidad de rotación baja y alta para representar las condiciones de operación ex-trema. Analice los datos.

VelocidadTorno

Rapidez alimentación0,15 0,30 0,45 0,60

980 2,852,80

2,862,87

2,942,88

2,832,86

1200 2,452,44

2,702,78

2,752,86

2,602,72

(187) Se realizó un experimento para determinar si la tem-peratura influye en la cocción de un azulejo ordinario producto de arcillas contaminadas.

Azule-jo

Temperatura °C800 850 900

198810261004

526538532

528547521

2106310801043

565510590

570565583

(188) Un fabricante esta estudiando la tasa de combustible para tres tipos de estufas. Se seleccionan aleatoriamen-te tres lotes de combustible y se recopilan cuatro obser-

211

Palacios C. Severo

vaciones de la razón de calefacción en cada lote. Analice los datos y obtenga conclusiones.

LoteProceso I Proceso II Proceso III

1 2 3 1 2 3 1 2 315252026

16192820

13151714

35191714

27252421

25182117

25141520

27352129

33385450

(189) Un Ingeniero está estudiando el calibrado y afino de un embolo producido por tres fresadoras. Cada fresado-ra tiene 2 ejes. Se seleccionan aleatoriamente cuatro componentes de cada eje. Analice los datos.

LoteProceso I Proceso II Proceso III1 2 1 2 1 2910816

15131914

10111312

10121114

1515148

9111212

V. DISEÑOS FACTORIALES

El término experimento factorial o arreglo factorial hace refe-rencia a la constitución de los tratamientos o combinaciones de tratamientos que se desean comparar. Este término no afecta lo que se conoce como diseño de tratamientos, pues es-te se refiere a la selección de factores que se desean estudiar los niveles de los factores a ensayar y combinación de éstos.

212


De esta forma se debe dejar en claro que el diseño de trata-mientos es independiente del diseño experimental, el cual ha-ce referencia a la manera en que los tratamientos se aleatori-zan a las diferentes unidades experimentales y la forma como se controla la variabilidad natural de las mismas. Así el diseño experimental puede ser completamente aleatorizado, bloques completamente aleatorizados, cuadrados latinos, etc., y para cada uno de éstos diseños se puede tener un arreglo factorial.

En muchos experimentos el éxito o fracaso del ensayo depen-de más de la selección de los tratamientos que se desea com-parar que de la elección del diseño. Sin embargo, la selección de ambos (del diseño y de los tratamientos) es importante por tanto ninguno de los dos debe descuidarse en la planeación del experimento. En un experimento factorial se investigan si-multáneamente los efectos de cierto número de diferentes factores. La necesidad de estudiar conjuntamente varios fac-tores obedece principalmente a dos razones:

a. Encontrar un modelo que describa el comportamiento general del fenómeno en es-tudio. Esto se restringe al rango de variación de los nive-les de los factores.

b. Optimizar la respuesta o variable independiente, es decir, encontrar la combina-ción de niveles de los factores que optimizan esa res-puesta.

Los tratamientos en el análisis factorial consisten en todas las combinaciones se forman de los distintos niveles de los facto-res. Por ello, la característica esencial que hace necesario el estudio conjunto de factores es la posibilidad de que el efecto de un factor cambie en presencia de los niveles de otro factor, es decir, que los factores interactúen, lo cual conlleva al con-cepto de interacción entre ellos.

Si se estudia un factor en forma separada el resultado puede ser diferente al que daría con un estudio conjunto, y es mas difícil describir el comportamiento general o encontrar el óp-timo.Ejemplo 6.55

213

Palacios C. Severo

Se presenta un experimento de factores por separado que consiste en determinar las condiciones óptimas de almacenaje de los pescados en barcos pesqueros. Los factores estudiados fueron: temperatura, duración y método de empaque (propor-ción de hielo y pescado). La respuesta de interés es una medi-da de la calidad del pescado al descargue.

Al investigar únicamente la temperatura se debe tener varios niveles de temperatura y mantener constante la duración y el empaque a niveles arbitrarios. Una vez obtenida una tempera-tura óptima (manteniendo los niveles constantes de duración y empaque) se investiga otro factor, por ejemplo el empaque con la temperatura óptima y un nivel arbitrario de duración. Si el empaque óptimo encontrado no es el que se seleccionó en la primera etapa se deberá estudiar de nuevo la tempera-tura haciéndose necesario ajustes sucesivos.

Si el tiempo de obtención de la variable respuesta es corto y barato se puede seguir este procedimiento secuencial, en ca-so contrario es más conveniente el uso de experimentos facto-riales.

Los diseños experimentales factoriales son ampliamente utili-zados por agrónomos, químicos, metalúrgicos, físicos, econo-mistas, sociólogos, industriales, ingenieros y científicos. Ya sea en el laboratorio, planta piloto o nivel industrial.

Prue-ba

Combina-ción

Notación 2A B C

12345678

1ababcacbcabc

-+-+-+-+

--++--++

----++++

Los diseños factoriales son particularmente útiles en la prime-ra fase del trabajo experimental, cuando es comprobado que hay muchos factores por investigar. Conlleva el menor núme-ro de corridas con las cuales pueden estudiarse n-factores en un diseño factorial completo. Debido a que sólo hay dos nive-

214


les para cada factor, debe suponerse que la respuesta (rendi-miento, calidad, recuperación) es aproximadamente lineal en el intervalo de los niveles escogidos de los factores.Si cada variable es continua, existen dos niveles el superior e inferior.

Las notaciones arriba mencionadas son obtenidas para asig-nar los niveles superior e inferior de los factores. La combina-ción 1 indica que todas las variables están en su nivel inferior. Las variables que no aparecen en el resto de combinaciones están en su nivel inferior. La combinación a indica los valores superior e inferior por + y - respectivamente. Un diseño expe-rimental 2n puede combinarse geométricamente y cada com-binación experimental corresponde a un punto en el espacio cartesiano cuyas coordenadas son ±1.

VI. DISEÑO FACTORIAL 2n

Los diseños factoriales se usan ampliamente en experimentos que incluyen varios factores cuando es necesario estudiar el efecto conjunto de los factores sobre la respuesta. Hay varios casos especiales del diseño factorial que son importantes de-bido a su uso generalizado en el trabajo de investigación y porque constituyen las bases de otros diseños de gran valor práctico.

El más importante de estos casos especiales es el de n facto-res, cada uno con sólo dos niveles. Si todos los factores se es-tudian con dos niveles, se dice que es un experimento facto-rial 2n. Los niveles de estos factores pueden ser cuantitativos o bien cualitativos.

La selección de únicamente dos niveles puede conducir a infe-rencias erróneas.

Así cuando la respuesta se afecta en forma cuadrática, los ni-veles estudiados pueden indicar que no efecto el factor. Este es un riesgo que se corre al usar dos niveles por factor.

215

Palacios C. Severo

Diseño factorial 2n simpleEn el caso de n = 2, se tiene el factorial más sencillo 22.

VII. DISEÑO FACTORIAL 22

A este diseño se le llama diseño factorial 22. Los niveles de los factores pueden denominarse arbitrariamente mínimo y máxi-mo.

Se tienen cuatro tratamientos que se denotan por cualquiera de los siguientes símbolos.

El primer diseño de esta serie, es aquel que tiene Sólo dos factores, A y B, Cada uno con dos niveles, con cuatro combi-naciones en el plano.

Ejemplo 6.56Un investigador desea estudiar la influencia de la temperatu-ra y el tiempo de acondicionamiento en un experimento. Su vector respuesta Y¡ es la recuperación del proceso.

Factores NivelesA = Temperatura (°C)B = tiempo (min)

201

803

El número de experiencias de 22 = 4 y el diseño será:

Tabla 6.41 Notación de un diseño 22

PruebaCombina-

ciónDiseño Niveles

YiX1 X2 A B1234

1abab

-+-+

--++

20802080

1133

65807085

216


El análisis del diseño 22 nos permite obtener información so-bre los efectos e interacciones de las variables.

Efecto A = [-1+a-b+ab]/2 = [-65+80-70+85]/2 = 15Efecto B = [-1-a+b+ab]/2 = [-65-80+70+85]/2 = 5Interacción AB = [+1-a-b+ab]/2 = [65-80-70+85]/2 = 0

El efecto principal se calcula simplemente de las diferencias de los promedios de las respuestas cuando el efecto A esta en su nivel superior, menos el promedio de las respuestas cuan-do A está en su nivel inferior.

No existe interacción con los factores en estudio.Ejemplo 6.57Se desea evaluar un proceso donde se estudian dos factores a tres niveles. Para evaluar el error se corren pruebas centra-les.

A: 8 9 10B: 90 115 140

Tabla 6.42 Notación de un diseño 22 con pruebas centrales

PruebaCombina-

ciónDiseño Niveles

YiX1 X2 A B1234567

1abab000

-+-+000

--++000

810810999

9090140140115115115

80828695899091

Para determinar la varianza media del error, evaluamos los puntos 5, 6 y 7 bajo la siguiente expresión:

Efecto A = (-80+82-86+95)/2 = 5,5

217

Palacios C. Severo

Efecto B = (-80-82+86+95)/2 = 9,5Interacción AB = (+80-82-86+95) = 3,5

Ejemplo 6.58En una investigación se desea evaluar el efecto del SO2, sobre una población cercana a una empresa minera que monitorea dicho contaminante para lo cual estudia a la salida de la chi-menea, la altura de la chimenea, la velocidad del viento y la distancia promedio a la población respecto de la chimenea y la dirección del viento. Los niveles elegidos para evaluar cada uno de los factores son los siguientes.

FactoresNiveles

- 0 +Q: Tasa de emisividad (g/s)H: Altura de chimenea (m)V: Velocidad del viento (m/seg)X: Distancia (m)

80305

500

120457.5650

606010800

La concentración de SO2 viene expresada por la relación:

Donde:

k1 = 36; k2 = 18,5: son constantes de proporcionalidad.

Ejemplo 6.59

Un estudioso desea conocer la influencia de la temperatura y el tiempo de acondicionamiento en un experimento. Particu-larmente está interesado en entender como al elevar la tem-peratura del acondicionador cambia las características del medio produciendo un conjunto de condiciones no favorables para el proceso.

FactoresNiveles

- +A: Tiempo (min)B: Temperatura (°C)

3010

6030

218


Se evalúan dos factores fijados a dos niveles, es decir se deci-de utilizar un diseño factorial completo, en donde N = 2n = 22

= 4 experimentos. Los valores de las variables a experimentar se codifican con valores +1 y –1. Con los recursos que se dis-pone se decide realizar el experimento por triplicado. Los re-sultados se visualizan en la siguiente tabla.

Tabla 6.43 Notación de un diseño 22 replicadoPrue-

baA B Recuperación

1234

-+-+

30603060

--++

10103030

0,170,220,300,37

0,160,200,290,36

0,150,210,310,38

Tabla 6.44 Efecto e interaccionesEfectos Interacciones

A = 0,06B = 0,15

AB = 0,01Bloque = -0,015Bloque = 0,005

Basado en 1 grado de libertad


LCM Fo Ft(99)

ABABBloqueError

0,01080,06750,00030,0003

50,0004

5

11126

0,01080,06750,0003

0,000175

0,000075

144,00

900,00

4,002,33

>><<

13,7413,7413,7413,74

Total 0,0794 11 R2 = 99,4332%Ejemplo 6.60Se estudia un proceso electrolítico en donde interactúan dos factores: densidad de corriente y temperatura, en la tabla 6.46 se dan las respuestas y los niveles de trabajo.

Tabla 6.46 Notación de un diseño 22 con pruebas centralesPrue-

baExperimento

YX1 X2

1234

0,50,70,50,7

646466

68,7267,8569,6069,44

219

Palacios C. Severo

567

0,60,60,6

353535

68,7368,7268,74

Varianza del error

el modelo lineal viene representado bajo un estudio de Yates.

Ejemplo 6.61La remoción del cobre y la recuperación de cianuro de los efluentes de cianuración son, sin duda de gran interés desde el punto de vista ambiental y económico.

En este ejemplo se estudian dos objetivos, el primero es la evaluación preliminar de utilizar aminas para eliminar el co-bre de las soluciones de cianuración por medio de la forma-ción de un sólido que pueda separarse fácilmente por filtra-ción. El segundo es hacer una evaluación con diferentes ami-nas seleccionando la mejor y realizar un diseño experimental 22 utilizando como variables el pH y la cantidad de reactivo adicionado para el compuesto que de mejores resultados en la evaluación preliminar.

Los experimentos preliminares consistieron en adicionar 0,025 g de cada uno de los compuestos a 100 ml de solución a pH 12 y 8. Después de filtrar las soluciones con papel de fil-trado lento (tamaño de poro de 1,5 micrones) se analizó el co-bre remanente por absorción atómica. Una vez seleccionado el mejor compuesto, se realizó un diseño de experimentos fac-torial 22 utilizando como variables el pH (9 y 12) y la concen-tración del compuesto (0,25 y 5 g/L). Todas las pruebas de es-te diseño experimental se realizaron por triplicado.

Amina FórmulaQuartamin 2050Quartamin 60Dodecilamina

R-N(CH3)3ClR-N(CH3)3ClCH3(CH2)11N

H2

220


Quartamin D86P

2R-N(CH3)3Cl

NivelesFactores - +

X1: pH solu-ciónX2: Amina (g/L)

90,25

125

PruebaExperimento

Remoción cobre (%)X1 X2

1234

912912

0,250,25

55

9,510,05

60,2555,54

9,000,09

61,6355,12

9,970,05

61,2756,87

Efectos estimados para YEfectos Interacciones

X1: pH = -53,683X2: Amina = -7,318

AB = -2,1116Bloque = -0,305Bloque = 0,855

Errores estándar con 6 GL

El primer paso para interpretar los efectos principales es comprobar que la variación observada en la respuesta es de-bida a un efecto real de cada factor y no al error experimen-tal. Para no entrar en detalles, se considera que los dos efec-tos no son significativos y que no parecen fruto de la impreci-sión de la experimentación. No existe interacción entre los factores.

Análisis de varianzaFuente SC G

LCM Fo Ft(99)

X1: pHX2: AminaX1X2

BloqueError

8640,87

160,674

13,3774

1,12655

2,03945

11126

8640,87

160,674

13,3774

0,56327

0,3399

25421,18

472,7039,361,66

>>><

13,7413,7413,7413,74

Total 8818,0 11 R2 = 99,9769%

221

Palacios C. Severo

9

Valor óptimo = 61,05Fac-tor

Bajo Alto Ópti-mo

pHAmi-na

9,00,25

12,05,0

9,00,25

De aquí puede verse que la amina y no así el pH afectan la efi-ciencia de eliminación de cobre. Un aumento en la cantidad de amina incrementará la remoción de cobre, de la misma manera que lo hará una disminución del pH.

El efecto más importante es el de la cantidad de amina, por lo que valdría la pena explorar cantidades mayores a las estu-diadas en este trabajo.

9Amina

5

Gráfica de Efectos Principales para Y

0

10

20

30

40

50

60

Y

pH12 0.25

9

Amina=0.25Amina=5

Gráfica de Interacción para Y

0

20

40

60

80

Y

pH12

Amina=0.25Amina=5

Grafico de efectos principales Interacción de efectos principales

En el gráfico de efectos principales vemos que el pH no tiene efecto significativo, la Amina tiene efecto significativo.

No existe interacción en el rango (niveles) trabajado, pero existe interacción a niveles inferiores de ambos factores.

222


Contornos de la Superficie de Respuesta Estimada

9 9.5 10 10.5 11 11.5 12pH

0

1

2

3

4

5

Am

ina

Y0.0-8.08.0-16.016.0-24.024.0-32.032.0-40.040.0-48.048.0-56.056.0-64.064.0-72.072.0-80.080.0-88.0

Superficie de Respuesta Estimada

9 9.5 10 10.5 11 11.5 12pH

0 1 2 3 4 5

Amina0

20

40

60

80

Y

Y0.0-8.08.0-16.016.0-24.024.0-32.032.0-40.040.0-48.048.0-56.056.0-64.064.0-72.072.0-80.080.0-88.0

Gráfico lineal con punto óptimo Gráfico espacial con punto óptimo

En el gráfico lineal y espacial se puede visualizar la región óp-tima del proceso.

Problemas

(190) Se presume que el efecto del pH y la temperatura en el rendimiento de cierta reacción química no son indepen-dientes. Para determinar el grado de relación entre los factores estudiados (pH, T), se realizó un diseño experi-mental 22 donde se evalúan dos niveles de cada uno de estos factores y se mide el % de rendimiento de la reac-ción. Acá se muestran las condiciones del diseño, la ma-triz del mismo y los resultados experimentales de 2 de-terminaciones paralelas:

Rendimiento (%)pH T (°C) Replica I Replica

II--++

-+-+

45732330

47712633

Haciendo uso del análisis de varianza, confirme el resul-tado.Escriba la ecuación de regresión teniendo en cuenta so-lamente los términos significativos.Analice los efectos principales de los factores estudiados y de la interacción entre estos sobre el rendimiento me-diante los gráficos correspondientes.Determine las condiciones experimentales óptimas de T y pH que permiten obtener el mayor rendimiento.

223

Palacios C. Severo

(191) Se llevó a cabo una investigación para estudiar el efec-to que tienen la concentración de un reactivo cR y la pre-sencia de un catalizador K sobre el rendimiento de un proceso químico. El estudio se realizó mediante un dise-ño factorial 22 en las siguientes condiciones experimen-tales:

Rendimiento (%)cR mK Replica I Replica II Replica III-+-+

--++

28361831

25321930

27322329

Analice de manera cualitativa la significación de los fac-tores de interés (cR, mK) y la interacción cRmK sobre el rendimiento de la reacción estudiada y compruebe esta-dísticamente el resultado de su análisis.Escriba la ecuación de regresión obtenida. ¿Qué infor-mación le brindan los signos de los coeficientes de la ecuación? ¿De que tipo es la interacción cRmK?.Analice los gráficos de efectos principales de los facto-res estudiados y de la interacción entre estos sobre el rendimiento. Determine las condiciones experimentales óptimas de cR y mK para obtener el mayor rendimiento. Reporte el valor del rendimiento y su intervalo de con-fianza en estas condiciones.

(192) En la determinación potenciométrica simultánea de NH3 y CO2 con HCl se desea estudiar la influencia de Co(II) y Ni(II) presente en la muestra sobre los resulta-dos obtenidos. Con este objetivo se realizan dos diseños experimentales 22 para estudiar el efecto de Co(II) y Ni(II) sobre la determinación del NH3 y sobre la determi-nación de CO2. Las condiciones del diseño son las si-guientes:

NH3 CO2

Ni(II)

Co(II)

NH3 Ni(II) Co(II)

CO2

-+-+

--++

75,9

36,7

66,8

36,2

76,1

36,5

66,5

36,3

-+-+

--++

56,9

56,7

56,5

56,8

57,2

56,4

56,7

56,7

224


Analice de manera cualitativa la significación de los fac-tores de interés (concentración de Ni y de Co) y la inte-racción entre estos sobre el resultado de la determina-ción de cada uno de los compuestos químicos analiza-dos. Compruebe estadísticamente el resultado cualitati-vo obtenido.Escriba la ecuación de regresión obtenida. ¿Qué indican los signos de los coeficientes de la ecuación? ¿Cómo es la interacción Ni(II) Co(II)?.Analice los gráficos de efectos principales de los facto-res estudiados y de la interacción entre estos. Determine cuales son las condiciones experimentales óptimas tal que no se afecte la determinación de NH3 y de CO2.

(193) Se desea estudiar el efecto sobre el rendimiento (ex-presado en %) de un proceso químico para obtener un compuesto inorgánico de tres factores de manera simul-tánea: concentración de un reactivo, pH de la mezcla reaccionante y temperatura de reacción. Con este objeti-vo se diseña un experimento factorial 23 bajo las siguien-tes condiciones experimentales:

C (mol/L) pH T (°C) Rendimiento (%)-+-+-+-+

--++--++

----++++

56,052,537,854,269,072,049,170,6

58,054,239,453,066,070,848,271,9

59,655,540,155,667,574,547,073,2

Afectan de manera significativa los factores estudiados el rendimiento del proceso bajo investigaciónActúan de manera independiente estos tres factores so-bre el rendimiento de la reacciónCuáles son las condiciones experimentales óptimas

(194) Un método nuevo de determinación de manganeso (Mn) fue desarrollado para conocer el contenido de este elemento en un mineral. Para validar el método se toma-ron 8 muestras homogéneas del mineral y se determinó el porcentaje en masa de Mn por dos laboratorios dife-rentes. Los resultados obtenidos son:

A B Mn (%)-+-

--+

1,701,751,68

1,72

1,7

225

Palacios C. Severo

+ + 1,72 71,67

1,73

Suponiendo que el contenido real de Mn en la muestra es de 1.71 %, compare el mismo con cada una de las 2 medias experimentales (en caso de existir diferencias significativas entre estas).

(195) En muestras de licores amoniacales de níquel, obteni-dos en la industria niquelífera mediante la digestión de los minerales, se determinó el contenido de este elemen-to por tres métodos analíticos diferentes: gravimetría, colorimetría y complejometría. Los resultados en % de níquel se encuentran abajo:

A B C Mn (%)Gravime-

tríaColorime-

tríaComplejome-

tría-+-+-+-+

--++--++

----++++

1,761,801,481,271,601,741,272,18

4,444,065,794,344,645,125,574,39

1,781,852,121,401,721,601,581,23

Cuáles de los métodos pueden emplearse para la deter-minación de Ni

(196) Consideremos un experimento donde el objetivo es es-tudiar la relación entre la frecuencia de oscilación de un reloj de cuarzo patrón y las condiciones de humedad y temperatura. En este caso el instrumento ya cuenta con un dispositivo para minimizar los cambios de temperatu-ra, dado que los fabricantes conocen su impacto en la frecuencia de oscilación. Los factores seleccionados son temperatura (T) y humedad (H) y sus niveles de prueba se eligen de acuerdo a las condiciones del laboratorio; en este caso los niveles de temperatura son (22oC, 24oC) y para la humedad (20%, 50%). La variable de respuesta es la frecuencia de oscilación (Y). El diseño experimental seleccionado es un factorial completo 22 con punto central que se muestran a continua-ción.

Prue- Temperatu- Humedad Frecuen-

226


bara

(°C) (%)cia

(Hz)123456

222422242323

202050503535

9,97069,9706997049,97029,97049,9692

En particular en el estudio presentado se muestra cómo evaluar experimentalmente la incertidumbre dada por el fabricante de un equipo para verificar su magnitud en las condiciones del propio laboratorio. Este tipo de estu-dios podrían llevar a mejoras tanto de los equipos como de las instalaciones del laboratorio, buscando tener un menor impacto de las fuentes de incertidumbre detecta-das como las más importantes.

(197) En la definición de las variables de estudio de electro-deposición de oro se tuvo en cuenta las condiciones im-puestas por el proceso previo de desorción de oro, sobre todo en aquellas que tienen que ver con el electrolito, como la concentración de oro, la concentración de cia-nuro de sodio e hidróxido de sodio, la conductividad, el pH y la temperatura. Con estas queda definida la refe-rencia base para la selección y rango de las variables de estudio.Entre las variables mencionadas se seleccionaron el po-tencial aplicado, la concentración de hidróxido de sodio y la Densidad de corriente catódica como las de mayor interés para este estudio, y como variables de respuesta se consideraron la eficiencia de corriente, el consumo de potencia, la cinética de la deposición del oro y su recupera-ción.

FactoresNiveles

- +Potencial (Vols)NaOH (g/L)DC (A/cm³)

2,510

0,025

3,520

0,075

Prue-ba

Poten-cial

(Vols)

NaOH

(g/L)DC

(A/cm³)

Consu-mo

energía(Watt-h)

Tiem-po

(min)2,53,5

1010

0,0250,025

3,439,38

115,078,7

227

Palacios C. Severo

2,53,52,53,52,53,53,03,03,03,03,0

2020101020201515151515

0,0250,0250,0750,0750,0750,0750,0500,0500,0500,0500,050

4,3313,943,299,385,73

15,667,797,646,877,756,70

108,576,078,978,7

173,9113,288,987,480,393,880,0

Se pretende minimizar el tiempo del proceso, de consu-mo de energía (mayor eficiencia de corriente) y menor cantidad de hidróxido de sodio a fin de optimizar las condiciones por medio de las ecuaciones logradas. Esto redunda en un beneficio económico y practico para la re-cuperación electroquímica de oro.

(198) El reciclado electroquímico de los compuestos de par-tida en disolución ácido se ha monitorizado por análisis de la DQO (demanda química de oxígeno), cromatografía de placa fina, análisis de CG-MS y por espectroscopia de UV-VIS.El tiempo de cada electrólisis se ha calculado para circu-lar la cantidad teórica de electricidad necesaria para oxidar completamente el sustrato, a partir de las leyes de Faraday, y una concentración de sustrato a tratar de 0,015 M en un volumen de 150 cm3. El tiempo de reac-ción se ha prolongado para aquellos casos en que se ob-servó un mejor comportamiento de la disminución de la DQO al aumentar la carga eléctrica.El plan experimental escogido para estudiar la influen-cia de las principales variables de reacción es un diseño factorial completo 23 con ocho barridos experimentales, donde las variables escogidas y sus niveles fueron la temperatura (25 y 40ºC), la concentración de electrolito (50 y 96%) y la densidad de corriente (500 y 1000 A/m2).

FactoresNiveles

- +X1: Temperatura (°C)X2: Concentración (%)X3: DC (A/m²)

2550500

4096

1000

Prue-ba

Temperatu-ra

(°C)

Concentra-ción(%)

DC(A/m²) DQO

228


12345678

2540254025402540

5050969650509696

5005005005001000100010001000

32487

72530752852277565258674425

La tecnología propuesta se presenta como una técnica universal para degradar compuestos nitratados aromáti-cos en contra de la biodegradación, en la que las espe-cies microbianas encargadas de degradar son específi-cas para cada contaminante concreto y mucho más versátil y cómoda de escalar y diseñar a nivel industrial que tecnologías basadas en sistemas fotocalíticos.Del estudio experimental de la degradación de los sus-tratos de partida se realizó en base al diseño de experi-mentos detallados en la tabla adjunta. La influencia de las variables tenidas en cuenta, temperatura, densidad de corriente y concentración de electrolito, así como las interacciones entre ellas, se han estudiado estadística y comparativamente.Se pide demostrar la influencia de dichos factores

(199) El propósito de este estudio fue evaluar la remoción de sólidos totales, presentes en la vinaza (destilado del al-cohol), mediante procesos de electrocoagulación-electro-flotación utilizando electrodos de aluminio y como varia-bles de operación pH inicial, concentración de electroli-to y densidad de corriente.Las variables evaluadas fueron densidad de corriente (DC), pH inicial y concentración de NaCl como soporte electrolítico, todas las variables en dos niveles.Los niveles usados para cada variable fueron: DC 20, 40 y 60 mA/cm2; pH 4, 7 y 9; [NaCl] 0, 2000 y 4000 ppm.

FactoresNiveles

- 0 +X1: DC (mA/cm²)X2: pHX3: [NaOH] (ppm)

2040

407

2000

609

4000

Prue-ba

DC(mA/cm²) pH

[NaOH](ppm)

Al(g)

% Sólidos totalesClarificado Espuma

1 20 4 0 0,0663 19,81 22,73

229

Palacios C. Severo

234567891011

60206020602060404040

4994499777

000

4000400040004000200020002000

0,06590,02450,13010,21390,06480,06580,06470,21090,20910,2173

20,9522,5922,0921,7315,0514,5615,2322,0016,8820,16

23,4924,0023,7722,7717,2517,9218,6923,1216,8019,15

Que factor influye en el mayor desprendimiento de alu-minio al desarrollar la electrocoagulación-electroflota-ción.En que región del pH ocurre mejor el proceso.

(200) La investigación se desarrolló con las aguas residuales de una industria láctea de la región. Se tomaron mues-tras tanto del tanque de descargas, como del tanque de homogeneización; este último toma las aguas del tanque de descarga de las aguas residuales de la empresa y las mezcla. A éstas se le analizaron: pH, DQO, conductivi-dad eléctrica, grasas y aceites. Los análisis se realizaron el mismo día del muestreo; de acuerdo con los resulta-dos, se decidió que las muestras de agua para la investi-gación serían recolectadas sólo del tanque de homogeni-zación, por ser éste el más representativo en las caracte-rísticas fisicoquímicas del agua residual láctea. La experimentación se llevó a cabo en un sistema para electrólisis. Este sistema opera como reactor disconti-nuo a escala prototipo, con capacidad para tratar dos li-tros de aguas residuales. Consta de una celda electrolíti-ca de dos litros en la que están sumergidos los electro-dos; estos electrodos son placas rectangulares metálicas de hierro y aluminio, dispuestas en paralelo y conecta-das a una fuente de voltaje de corriente continua que proporciona la corriente eléctrica requerida para la elec-trocoagulación.

FactoresNiveles

- 0 +X1: pHX2: DC (A/m²)X3: tiempo (min)

532,43

5

737,83

10

843,23

15

Prueba pHDC

(A/m²)tiempo(min)

DQO(%)

230


1234567891011

58585858777

32,4332,4343,2343,2332,4332,4343,2343,2337,8337,8337,83

5555

15151515101010

75,7362,3646,5593,9970,8351,4477,2993,9943,8845,7942,15

La electrocoagulación se vislumbra como un tratamiento eficiente para la remoción de contaminantes en las aguas residuales industriales, específicamente en el ca-so de la industria láctea como se muestra en esta inves-tigación. Los tres factores bajo estudio (pH, densidad de corriente y tiempo) tienen efecto significativo sobre la remoción de DQO. El diseño de tres factores es bastante ajustado a los datos. En particular, si se tienen niveles óptimos del estudio para pH, tiempo y densidad de corriente.

(201) La planificación de los experimentos se realizó aplicando el diseño experimental factorial 2n; se analizó la influencia de la temperatura, la relación líquido/sólido y tiempo en la depuración de especies metálicas de efluentes, manteniendo fija la velocidad de agitación. Las variables de respuesta consideradas fueron: porcentaje de extracción de especies metálicas (E) y selectividad (S). Esta última, se determinó como la relación entre la recuperación de un componente dado y el grado de dilución del mineral. La extracción de Ni, Co, Fe y Mn como residuo de la de-puración de efluentes. Las condiciones experimentales y niveles de las variables se muestran en la tabla.

FactoresNiveles

- 0 +X1: Temperatura (°)X2: tiempo (h)X3: Líquido/Sólido (L:S)

3018

452

10

603

12

Condiciones fijas del experimento: Velocidad de agitación 600 rpm; pH 4,06.Los modelos que regulan el proceso son:

231

Palacios C. Severo

Elabore un diseño experimental que satisfaga la depuración del efluente

(202) Los residuos sólidos de la lixiviación o colas constitu-yen un gran problema para el ecosistema de la región in-dustrial; su tratamiento, disposición y manejo son objeto de estudios con el fin de encontrar alternativas para mi-nimizar los impactos negativos al medio ambiente. Una cuestión de interés lo constituye la recuperación de pla-ta y el cobre contenidos en las colas residuales, las cua-les son consideradas un mineral de baja ley. Con el objetivo de recuperar especies metálicas de las colas de los procesos de lixiviación, ya sean las resultan-tes del proceso ácido o del proceso amoniacal, se han realizado estudios de biolixiviación y lixiviación química con ácidos orgánicos producidos por los microorganis-mos en sus procesos metabólicos.En la tabla aparece la matriz experimental correspon-diente al plan 23, y un experimento en el nivel central. Con este diseño de experimento se obtuvo el comporta-miento de las variables de respuesta Selectividad y Ex-tracción de Ag y Cu. La selectividad se consideró como la relación entre la recuperación de un componente da-do y el grado de disolución total del mineral. En todos los experimentos se mantuvieron fijos los parámetros si-guientes: relación líquido:sólido: L/S=12/1 cm3 de solu-ción/g de cola; velocidad de agitación: 630 rpm; tamaño de partículas (-0,149+0,074) mm. Se realizó el estudio del comportamiento cinético de la disolución del Ag y Cu. Las muestras de licor de lixiviación se colectaron a determinados intervalos de tiempo, se filtraron y anali-zaron por espectroscopia de absorción atómica.

FactoresNiveles


3011

4535

6059

Prueba T t L/S % Extracción

232


(°) (h) (cm³/g) Ag Cu123456789

306030603060306045

115511553

111199995

62,9671,6069,0782,4064,2470,4563,7287,1278,63

77,3880,5377,9387,3977,5880,0977,3990,9180,10

(203) Se controlaron 3 variables que permitieron conocer las condiciones óptimas del reactor para obtener altos por-centajes de descontaminación y realizar el escalamiento del reactor a nivel industrial. Las variables escogidas pa-ra el estudio fueron:

FactoresNiveles

- 0 +X1: [H2O2] (ml/L)X2: Volumen a tratar (L)X3: [TiO2] (mg/L)

040

18

100

212

200

Prueba[H2O2](ml/L)

Volu-men(L)

[TiO2](mg/L) Radiación

(W/m²)pH

Degrada-ción(%)

123456789

1011

02020202111

44

121244

1212888

0000

200200200200100100100

36,544,518,0

44,8326,0361,8352,8335,4140,1750,8334,17

3,853,915,775,413,725,738,435,124,244,24,12

23,5246,197,3933,0343,3431,8714,86,6216,819,814,84

Para el estudio de estas variables se realizaron una serie de experimentos donde la variable de respuesta fue el porcentaje de degradación medido como el porcentaje de reducción en la DQO.Del análisis de los datos obtenga el ANAVA, estime la respuesta óptima, además de la superficie de respuesta, que permiten obtener un modelo estadístico que descri-be el comportamiento del sistema de fotodegradación respecto a las variables experimentales estudiadas y que permitan establecer el grado de confiabilidad de los da-tos obtenidos.

233

Palacios C. Severo

(204) Se seleccionaron modelos lineales del tipo 2n, en los que n representa el número de variables a estudiar. Para un diseño experimental con 3 variables (pH, dosis de coagulante y floculante), el número de experimentos a realizar es igual a 8.En la tabla se especifica los niveles de cada experimento para una pareja coagulante-floculante determinada. Co-mo se observa en esta tabla los valores probados para el pH son 6 y 9, las dosis de coagulante fueron 20 y 100 mg/L y las del floculante de 0,1 y 1,0 mg/L.

Prueba

Floculan-te

(mg/L)

Coagulan-te

(mg/L)pH

Concentración residual

Color DQO12345678

0,11

0,11

0,11

0,11

2020

1001002020

100100

66669999

47,04513

22,5188,5180,540,540,5

84,575,060,555,5

105,5138,582,542,5

Debido a la buena calidad del efluente obtenido bajo las condi-ciones óptimas determine el modelo de remoción de los pará-metros y, con el fin de disminuir el volumen de lodos y los cos-tos del proceso, utilice dicho modelos para realizar un análisis de sensibilidad de respuesta con respecto a la variación de do-sis para poder reducir la cantidad de coagulante a aplicar, de tal manera de conservar niveles de remoción aceptables para los derivados.

VIII. DISEÑO FACTORIAL 23

Cuando se tienen tres factores, A, B y C, con dos niveles cada uno, entonces hay un total de 8 tratamientos en investigación. Al diseño se le llama diseño factorial 23, y en este caso la re-

234


presentación geométrica de las ocho combinaciones de trata-mientos puede hacerse con un cubo como se muestra

Diseño factorial 23 simple

Al igual que en el diseño factorial 22, existen tres notaciones diferentes para los ocho tratamientos que son de uso general. La primera es la notación + y -, llamada con frecuencia nota-ción geométrica. La segunda es el uso de las letras minúscu-las para identificar las combinaciones de los tratamientos. La tercera notación utiliza 1 y 0 para denotar los niveles alto y bajo, respectivamente, de los factores, en lugar de + y -

En este diseño se estudian tres factores A, B y C cada uno a dos niveles con ocho combinaciones de tratamiento que se re-presentan gráficamente en un cubo.

En este tipo de diseño se asume el error al valor de la mayor combinación, abad.

Ejemplo 6.62En un autoclave se desarrolla un experimento a nivel planta piloto con la finalidad de evaluar la influencia sobre la taza de filtración de un producto, se estudian tres variables.

A: Concentración, B: Temperatura y C: Presión.

Tabla 6.47 Datos para un diseño 23

Prue-ba

A B C Combina-ción

Y

12

-+

--

--

1a

7165

235

Palacios C. Severo

345678

-+-+-+

++--++

--++++

babcacbcabc

606590958696

Tabla 6.48 Efecto e interaccionesEfectos InteraccionesA = 3,5B = -3,5

C = 26,5

AB = 4,0AC = 4,0BC = 2,0

Error estándar 1 GL


LCM Fo Ft(99)

ABCABACBCError

24,524,5

1404,532,032,08,04,5

1111111

24,524,5

1404,5

32,032,08,04,5

5,445,44312,11

7,117,111,78

<<><<<

12,2512,2512,2512,2512,2512,25

Total 1530,0 7 R2 = 99,7059%

Ejemplo 6.63Al ejemplo 6.62 se le adiciona un factor de mezcla en un expe-rimento a nivel planta piloto para estudiar los efectos que in-fluyen sobre la taza de filtración de un producto.

Tabla 6.50 Datos para un diseño 24

Prue-ba

A B C D Combina-ción

Y

1234567891011121314

-+-+-+-+-+-+-+

--++--++--++--

----++++----++

--------++++++

1ababcacbcabcdadbdabdcdacd

7165606590958696858868808385

236


1516

-+

++

++

++

bcdabcd

7570


A = 3,25B = -7,75C = 12,25D = 0,75

AB = 2,25AC = -0,25BC = 1,25AD = -0,25BD = -4,25

CD = -14,25ABC = -2,75ABD = -1,75ACD = -4,25BCD = -0,75

ABCD = -1,25

Tabla 6.52 Matriz de variables independientesAB AC AD BC BD CD AB

CABD

BCD

ACD

AB-CD

+--++--++--++--+

+-+--+-++-+--+-+

+-+-+-+--+-+-+-+

++----++++----++

++--++----++--++

++++----++++----

-++-+--+-++-+--+

-++--++-+--++--+

--++++--++----++

-+-++-+-+-+--+-+

+--+-++--++-+--+

Los efectos importantes son B, C y CD.


LCM Fo Ft(99)

B 240,25 1 240,25

10,79

> 9,33

C 600,25 1 600,25

26,98

> 9,33

CD 812,25 1 812,25

36,51

> 9,33

Error 267,00 12Total 1919,7

5R2 = 86,09%

237

Palacios C. Severo

Ejemplo 6.64Se lixivia un mineral argentífero en una salmuera clorurada, de desea evaluar tres factores con el fin de establecer el efec-to significativo de cada uno de dichos factores y el rango de cada uno de ellos,

A: NaCl (gr) 100 150B: H2SO4 (ml) 50 120C: FeCl3 (gr) 15 35

A B C Y100150100150100150100150125125125

50501201205050120120858585

1515151535353535252525

68,7167,3964,9362,1661,0565,8269,2170,3564,1364,8864,27

Tabla 6.55 Efecto e interacciones Efectos interaccio-

nesA = 0,45B = 0,92C = 0,81

AB =-1,27AC = 2,50BC = 5,42



LCM Fo Ft(99)

ABCABACBCError

0,4141,6921,3123,22512,5

58,5617,792

1111114

0,4141,6921,3123,22512,5

58,561

1,948

0,210,870,671,666,4230,2

1

<<<<<

21,2021,2021,2021,2021,2021,20

Total 85,798 10 R2 = 90,9175%

Valor óptimo = 70,1382

238


Factor Bajo Alto ÓptimoABC

1005015

15012035

15012035

100B

120 35


65.2

65.4

65.6

65.8

66

66.2

Y

A150 50

C15 100

-

+

100 150

-

-+

-

+


62

64

66

68

70

Y

AB150

-+

AC

+

BC50 120

-

+

Efectos e interacciones significativas de factores principales

Contornos de la Superficie de Respuesta Estimada C=25.0

100 110 120 130 140 150A

50

70

90

110

130

B

Y64.0-64.364.3-64.664.6-64.964.9-65.265.2-65.565.5-65.865.8-66.166.1-66.466.4-66.766.7-67.067.0-67.3

Contornos de la Superficie de Respuesta Estimada B=85.0

100 110 120 130 140 150A

15

19

23

27

31

35

C

Y64.0-64.364.3-64.664.6-64.964.9-65.265.2-65.565.5-65.865.8-66.166.1-66.466.4-66.766.7-67.067.0-67.3

Contornos de la Superficie de Respuesta Estimada A=125.0

50 70 90 110 130B

15

19

23

27

31

35

C

Y64.0-64.364.3-64.664.6-64.964.9-65.265.2-65.565.5-65.865.8-66.166.1-66.466.4-66.766.7-67.067.0-67.3

Superficie respuesta estimada en el plano con punto óptimo de factores prin-cipales

Superficie de Respuesta EstimadaC=25.0

100 110 120 130 140 150A50 70 90 110 130

B

6464.5

6565.5

6666.5

67

Y

Y64.0-64.364.3-64.664.6-64.964.9-65.265.2-65.565.5-65.865.8-66.166.1-66.466.4-66.766.7-67.067.0-67.3

Superficie de Respuesta EstimadaB=85.0

100 110 120 130 140 150A15 19 23 27 31 35

C

64

65

66

67

68

Y

Y64.0-64.364.3-64.664.6-64.964.9-65.265.2-65.565.5-65.865.8-66.166.1-66.466.4-66.766.7-67.067.0-67.3

239

Palacios C. Severo

Superficie de Respuesta EstimadaA=125.0

50 70 90 110 130B15 19 23 27 31 35

C

626466687072

Y

Y64.0-64.364.3-64.664.6-64.964.9-65.265.2-65.565.5-65.865.8-66.166.1-66.466.4-66.766.7-67.067.0-67.3

Superficie respuesta estimada en el espacio de factores principales

Aplicación nanotecnologica

Actualmente el desarrollo de la nanotecnología está asociado a la disponibilidad de nanoestructuras, o también, al dominio de las técnicas de fabricación de las mismas.

En este entorno han aparecido diferentes modos de abordar la fabricación de nanoestructuras. Se puede trabajar en senti-do descendente (de arriba abajo), desprendiendo o añadiendo material a una superficie para darle forma. O por el contrario, se puede partir desde el nivel más elemental (sentido ascen-dente, de abajo arriba), desde átomos o moléculas que se or-denan espontáneamente cuando las condiciones son apropia-das, hasta estructuras más complejas. Así, entre los nuevos materiales que se pueden obtener con esta tecnología, tienen especial importancia, los films cerámicos obtenidos por proce-sos de electrodeposición, bien sea electroforética o deposi-ción electrolítica. En este último método se utilizan disolucio-nes de alta conductividad, la velocidad de deposición es del orden de 1 a 1000 nm/min y el espesor del depósito varía de 1 a 104 nm, que puede controlarse variando el tiempo de depo-sición, el voltaje o la densidad de corriente, en cuanto a la uniformidad del depósito ésta se controla por el campo eléc-trico. Además, en la deposición electrolítica catódica, los io-nes metálicos o complejos se hidrolizan por los OH– genera-dos para formar óxido, hidróxido o peróxido, finalmente los depósitos de hidróxidos y peróxidos se pueden convertir en los óxidos correspondientes por tratamiento térmico.

Dentro de estos materiales se ha observado que las películas muy finas de óxido de cinc, ZnO, un semiconductor de gap elevado, presentan propiedades ópticas muy interesantes, lo que les hace especialmente útiles para determinadas aplica-

240


ciones ópticas y opto electrónicas como emisor de luz y dio-dos láser abarcando un amplio rango desde el rojo al ultravio-leta debido a sus interesantes propiedades, particularmente su amplio band-gap de 3,37 eV a 300 ºK.

En el presente ejemplo se ha aplicado una técnica de electro-deposición sobre un sustrato de vidrio conductor para obte-ner columnas de ZnO.

Ejemplo 6.65Con el fin de poder investigar, de forma rápida, la influencia que las variables del proceso (densidad de corriente, tiempo de exposición al electrolito y temperatura de desarrollo del proceso) tienen en la formación y crecimiento de las colum-nas obtenidas, se diseño un modelo experimental de tres va-riables a dos niveles (diseño factorial a dos niveles), de esta manera se ha conseguido optimizar el proceso. Es decir, este método permite con muy pocas experiencias de laboratorio obtener la información suficiente para poder abordar, con ga-rantías de éxito, la fabricación de estas estructuras.

Las muestras se obtuvieron por electrodeposición, sobre un sustrato de vidrio de entre 0,5 y 1 cm2, recubierto de una ca-pa conductora de óxido de estaño y flúor.

Con el fin de poder controlar la densidad de corriente aplica-da, el tiempo de exposición y la temperatura se utilizó un po-tenciostato-galvanostato modelo 263 A y su correspondiente celdilla, introducida en una manta calefactora con termostato.

El electrodo de referencia utilizado fue el de Ag/AgCl en una solución saturada de KCl/AgCl y contraelectrodo de Pt.

Como electrolito se empleó una solución de concentración 510-3 M de ZnCl2 y 0,1 M de KCl en agua desmineralizada. Durante todo el proceso de electrodeposición se mantuvo la solución saturada de oxigeno. Los pH iniciales y final de la so-lución fueron 6,5 y 6,3 respectivamente. En la tabla se indi-can las variables a controlar.

FactoresNiveles

- 0 +

241

Palacios C. Severo

X1: DC (mA/cm²)X2: Tiempo (seg)X3: Temperatura (°C)

160065

1,75120

075

2,5180

085

Prueba X1 X2 X3Altura(nm)

12345678

-+-+-+-+

--++--++

----++++

439281611902304256109687

Los valores de la variable respuesta, altura de las columnas expresada en nanómetros (nm), se analizaron mediante el programa para computadoras STATGRAPHICS Centurion.

Efectos estimados para AlturaEfectos Interacciones

A: X1 = 165,75B: X2 = 257,25C: X3 = -219,25

AB = 268,75AC = 79,25BC = -139,25



LCM Fo Ft(99%)

A: X1

B: X2 C: X3 ABACBCError

54946,1

13235,5

96141,1

14445,3

19701,1

38781,1

3916,13

1111111

54946,1

13235,5

96141,1

14445,3

19701,1

38781,1

3916,13

14,0333,8024,5536,895,039,90

<<<<<<

161,4161,4161,4161,4161,4161,4

Total 490294

7 R² = 99,2013%

Valor óptimo = 924,125Factor Bajo Alto Ópti-

mo

242


A: X1

B: X2 C: X3

160065

2,51800

85

2,5180065

1X2

1800 85

Gráfica de Efectos Principales para Altura

320

370

420

470

520

570

620

Altu

ra

X12.5 600

X365

1

-+

1 2.5

--

+

-

+

Gráfica de Interacción para Altura

200

300

400

500

600

700

800

Altu

ra

AB2.5

-

+

AC

+

BC600 1800

-

+


Contornos de la Superficie de Respuesta Estimada X3=75.0

1 1.3 1.6 1.9 2.2 2.5X1

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

X2

Altura260.0-320.0320.0-380.0380.0-440.0440.0-500.0500.0-560.0560.0-620.0620.0-680.0680.0-740.0740.0-800.0800.0-860.0860.0-920.0


1 1.3 1.6 1.9 2.2 2.5X1

65

69

73

77

81

85

X3

Altura260.0-320.0320.0-380.0380.0-440.0440.0-500.0500.0-560.0560.0-620.0620.0-680.0680.0-740.0740.0-800.0800.0-860.0860.0-920.0


600 800 1000 1200 1400 1600 1800X2

65

69

73

77

81

85

X3

Altura260.0-320.0320.0-380.0380.0-440.0440.0-500.0500.0-560.0560.0-620.0620.0-680.0680.0-740.0740.0-800.0800.0-860.0860.0-920.0

Superficie respuesta estimada en el plano con punto óptimo de factores principales

La formación y crecimiento de columnas de ZnO sobre un sus-trato de FTO se favorece con tiempos largos de exposición (≈ 30 minutos) de éste al electrolito.

La densidad de corriente alta (≈ 2,5 mA/cm2) también favore-ce la formación y el crecimiento de las columnas. No obstante este factor tiene menor influencia que el tiempo de exposi-ción.

243

Palacios C. Severo

Superficie de Respuesta EstimadaX3=75.0

1 1.3 1.6 1.9 2.2 2.5X1

60080010001200140016001800

X2260

360

460

560

660

760

860

Altu

ra

Altura260.0-320.0320.0-380.0380.0-440.0440.0-500.0500.0-560.0560.0-620.0620.0-680.0680.0-740.0740.0-800.0800.0-860.0860.0-920.0


1 1.3 1.6 1.9 2.2 2.5X1

6569

7377

8185

X3200

300

400

500

600

Altu

ra

Altura260.0-320.0320.0-380.0380.0-440.0440.0-500.0500.0-560.0560.0-620.0620.0-680.0680.0-740.0740.0-800.0800.0-860.0860.0-920.0


600 800 1000 1200 1400 1600 1800X2

6569

7377

8185

X3280

380

480

580

680

780

Altu

ra

Altura260.0-320.0320.0-380.0380.0-440.0440.0-500.0500.0-560.0560.0-620.0620.0-680.0680.0-740.0740.0-800.0800.0-860.0860.0-920.0

Superficie respuesta estimada en el espacio de factores principales

La temperatura alta (≈ 80 - 90 ºC) influye negativamente en la formación y crecimiento de las columnas. Siendo su efecto, en valor absoluto, superior al de la densidad de corriente alta y menor al del tiempo de exposición al electrolito.

El tiempo de exposición y la densidad de corriente, considera-dos en conjunto, favorecen mucho la formación de columnas. Su efecto, en conjunto, es del orden del de el tiempo conside-rado sólo y mucho mayor que el de la densidad de corriente, también, considerada sola.

Ejemplo 6.66Los recubrimientos compuestos de Ni-D fueron electrodeposi-tados desde una suspensión de nanopartículas de diamante (tamaño promedio 4 nm-sintetizado por PlasmaChem) en una solución típica Watts. Las nanopartículas se dispersaron en la solución mediante agitación magnética durante 24 horas y 5 minutos en el ultrasonido antes de la electrodeposición. Los recubrimientos de Ni y Ni-D fueron aplicados sobre un sustra-to de acero AISI 1016 el cual se limpió y decapó según las normas ASTM B183 e ISO 9226. La electrodeposición se reali-zó empleando un electrodo de disco rotatorio acoplado a un potenciostato-galvanostato y la temperatura de la solución se

244


controló empleando un baño termostatizado con recircula-ción. Una malla de platino con suficiente área efectiva se em-pleo como ánodo inerte y un electrodo de calomel saturado fue usado como electrodo de referencia. Siguiendo un diseño experimental factorial 2n completamente aleatorizado con replica, se depositaron los recubrimientos compuestos de Ni-D variando la densidad de corriente, la agi-tación del baño y la concentración de nanopartículas de Dia-mante en los niveles que se presentan en la tabla.

FactoresNiveles

- 0 +X1: DC (A/cm²)X2: Agitación (rpm)X3: Concentración (g/L)

240010

3,565015

590020

Prueba X1 X2 X3

Espesor pelícu-la

(µm)12345678

25252525

400400900900400400900900

1010101020202020

14401540143915

39,5

Los recubrimientos compuestos de Ni-D presentan mejor re-sistencia a la corrosión que los recubrimientos de Níquel pu-ro, cuando son obtenidos a altas velocidades de rotación del electrodo y alta concentración de partículas en el baño.

Efectos estimados para PelículaEfectos Interaccio-

nesA: X1 = 25,125B: X2 = 0,625C: X3 = -0,375

AB = -0,375AC = -0,375BC = 0,125


Tabla 4.12 Análisis de varianzaFuente SC G CM Fo Ft(99%)

245

Palacios C. Severo

LA: X1

B: X2 C: X3 ABACBCError

1262,53

0,78125

0,28125

0,28125

0,28125

0,03125

0,03125

1111111

1262,53

0,78125

0,28125

0,28125

0,25125

0,03125

0,03125

40401,0

25,09,09,09,01,0

>><<<<

12,2512,2512,2512,2512,2512,25

Total 1264,22

7 R² = 99,9975%

Valor óptimo = 40.0625Factor Bajo Alto Óptimo

X1

X2 X3

2,0400,010,0

5,0900,020,0

5,0900,010,0

2X2

900 20

Gráfica de Efectos Principales para Pelicula

14

19

24

29

34

39

44

Pelic

ula

X15 400

X310 2

-+

2 5-

-

+

-+

Gráfica de Interacción para Pelicula

14

19

24

29

34

39

44

Pelic

ula

AB5

-+

AC

+

BC400 900

-+



2 2.5 3 3.5 4 4.5 5X1

400

500

600

700

800

900

X2

Pelicula14.0-17.017.0-20.020.0-23.023.0-26.026.0-29.029.0-32.032.0-35.035.0-38.038.0-41.041.0-44.044.0-47.0


2 2.5 3 3.5 4 4.5 5X1

400500

600700

800900

X214

19

24

29

34

39

44

Pelic

ula

Pelicula14.0-17.017.0-20.020.0-23.023.0-26.026.0-29.029.0-32.032.0-35.035.0-38.038.0-41.041.0-44.044.0-47.0

Superficie respuesta estimada en el plano y espacio de factores principales

246


La presencia de las nanopartículas en los recubrimientos de Níquel, mejora su microdureza hasta en un 243,3%.

La incorporación de nanopartículas de Diamante en la matriz de Níquel, tiene un efecto positivo sobre el proceso de elec-trodeposición, haciéndolo más eficiente.

El transporte de masa influye durante el proceso de electro-deposición de los recubrimientos compuestos Ni-D.

Las nanopartículas de Diamante cambian la morfología de los recubrimientos de Níquel, haciéndolos más compactos.

Ejemplo 6.67El licor residual de la tecnología ácida de níquel y cobalto ocupa un lugar cimero entre los efluentes líquidos que poseen un mayor potencial de impacto ambiental en éste proceso de-bido a su alta acidez y a la presencia de varios metales disuel-tos (Cr, Mn, Al, Zn, Fe, Ni, Co).

En el ámbito mundial uno de los aspectos principales a tener en cuenta al diseñar los procesos de recuperación de níquel y cobalto usando la lixiviación ácida a presión de minerales oxi-dados de níquel está relacionado precisamente con el trata-miento a realizar al licor residual que se genera.

Para realizar el estudio se utilizó una muestra compósito re-presentativa del licor residual de la tecnología ácida de níquel y cobalto, con un contenido promedio de 8,2 g/L de H2SO4, 4,3 g/L de aluminio y 0,62 g/L de cromo.

Como reactivo neutralizante se usó una muestra compósito representativa de los sólidos residuales industriales del pro-ceso carbonato amoniacal, o sea, una muestra de la suspen-sión saliente de los alambiques de destilación de amoniaco que se envía al depósito de colas. En la tabla1 se muestra la composición química de dicha muestra. En ella se observa que el contenido de magnesio en dicha muestra fue 4,11%, siendo éste el elemento neutralizante principal.

247

Palacios C. Severo

En el estudio experimental se analizó la influencia de varias variables en el proceso: la temperatura; la relación Mg/ácido, expresada en gramos de magnesio contenidos en los sólidos residuales industriales con respecto a los gramos de ácido li-bre en el licor residual; la inyección de un agente oxidante, oxígeno del aire y la agitación.

Las principales respuestas que se analizan en el diseño son la neutralización del ácido libre (H2SO4) y la precipitación del aluminio y el cromo del licor residual.

En el diseño de la matriz experimental se usó el método facto-rial completo (2n). En la tabla se muestran las variables y los niveles usados.

FactoresNiveles

- 0 +X1: Temperatura (°C)X2: Relación Mg/ácido (g/g)X3: Agitación (Re)X4: Inyección aire (L/min)

701

80005

751,5

10000

7,5

802

12000

10

La selección de la temperatura en el nivel medio de 75 °C es-tuvo basada en pruebas preliminares realizadas. La relación magnesio/ácido fue establecida en el nivel básico en 1,5 gra-mos de magnesio contenidos en los sólidos residuales por gra-mos de ácido libre contenidos en el licor residual. Dicho valor se determinó sobre la base de cálculos estequiométricos con relación al ácido libre contenido en el licor residual y del áci-do que se genera durante la hidrólisis del aluminio y el cro-mo. El nivel mínimo de este parámetro se fijó en 1 g/g y el ni-vel máximo en2 g/g, para un intervalo de precisión de 33,33%.

La intensidad de agitación fue determinada mediante el nú-mero de Reynolds, tomándose como nivel básico un valor de 10000 entre los regímenes transitorio y turbulento, con un grado de precisión de 20%, lo que corresponde a un Re de 8000 en el nivel mínimo y de 12000 en el nivel máximo. La in-yección de aire se realizó para valorar su influencia en la dis-minución del contenido de hierro en el licor neutralizado.

248


Se utilizó un reactor de 2 litros de capacidad de dimensiones estándar con un coeficiente de llenado del 85%, para un volu-men útil de trabajo de 1,7 litros. En la tabla se muestra la ma-triz experimental descodificada.

Prue-ba

Temp(°)

Relación(Mg/áci-

do)

Agita-ción(Re)

Aire(L/

min)Al

(g/L)Cr

(g/L) pH

123456789

10111213141516

70807080708070807080708070807080

1122112211221122

800080008000800012000120001200012000800080008000800012000120001200012000

55555555

1010101010101010

3,664,302,590,782,570,230,202,642,270,850,201,042,640,972,092,14

0,120,620,310,140,320,060,060,320,320,140,061,040,310,150,310,33

3,661,203,353,603,333,773,853,333,383,603,803,573,233,593,383,52

Para realizar los experimentos se midió el volumen de licor residual y se adicionó al reactor, secalentó la solución hasta alcanzar la temperatura de trabajo, se puso en funcionamien-to el agitador y el compresor de aire, se adicionó la suspen-sión de sólidos residuales y se puso en marcha el cronómetro inmediatamente. Finalmente se tomaron las muestras para los análisis químicos.Se observa el incremento que tiene lugar en el pH del licor residual y la disminución que se produce en el contenido de aluminio y cromo en el licor. El pH aumenta de 1,2 a 3,47 y la concentración de aluminio y cromo disminuyen de 4,3 y 0,62 g/L a 1,5 y 0,21 g/L respectivamente como promedio general de todo el diseño.

La concentración promedio de Ni y Co en el licor obtenido en el diseño es de 0,2 y 0,078 g/L respectivamente, produciéndo-se un incremento notable en el contenido de estos elementos en el licor tratado, de modo que el licor que se obtiene consti-

249

Palacios C. Severo

tuye una fuente potencial para recuperar éstos metales de al-to valor en el mercado.

En la tabla se muestra el porcentaje de disminución del ácido libre del licor residual y de precipitación del aluminio y el cro-mo. También se muestra la disolución que tiene lugar de me-tales de los sólidos residuales durante la neutralización.

Prue-ba

Ácido li-bre (%)

Precipitación Al y Cr (%)

Disolución de metales(%)

H2SO4 Al Cr Ni Co Fe Mg Mn12345678910111213141516

99,499,799,599,199,099,799,498,799,199,499,599,099,099,599,698,8

37,592,969,933,622,893,165,922,938,863,378,825,024,272,492,136,9

35,385,566,636,736,785,864,738,539,762,171,136,939,767,885,141,8

43,025,218,127,422,421,316,522,628,016,219,420,720,417,620,526,2

43,640,434,145,840,134,932,840,846,533,638,339,440,133,635,844,3

4,32,61,73,72,42,81,52,33,81,52,22,22,21,72,63,3

27,124,621,031,532,222,521,527,633,320,422,830,428,920,722,033,9

49,534,223,849,433,724,320,729,447,124,629,530,931,822,825,641,9

En la tabla se muestran los valores obtenidos de R2, el error estándar y las pruebas estadísticas Durvin Watson.

Estadigráfo Ni Co Fe Mg Al Cr H2-SO4

R²Error estándarDarwin-Watson

98,772,791,65

99,860,641,48

99,510,232,20

99,631,141,83

99,962,072,10

99,664,431,60

97,960,281,76

Los valores de R2, indicativos de la proporción de la varianza de las variables de salida (Y) con respecto a las variables de entrada (X), son altos en todos los casos, lo que denota un buen porcentaje de adaptación de los datos experimentales a los modelos lineales.Los resultados de la prueba estadística Durvin – Watson indi-can que no existe correlación significativa entre los diferentes efectos escogidos como independientes, ya que los valores ob-

250


tenidos en este estadígrafo son mayores que el valor mínimo de 1,4 que se utiliza como patrón comparativo.

A continuación se presentan los modelos estadísticos de las variables de salida. Los mismos presentan un nivel de confia-bilidad o significación estadística del 95% y se excluyen las variables e interacciones que no tienen una influencia estadís-ticamente significativa.

Modelos estadísticos de la precipitación del aluminio y el cro-mo del licor residual

y de la neutralización del ácido libre:

Modelos estadísticos de la disolución de magnesio, níquel, co-balto, hierro y manganeso del licor residual:

Donde:Temp = TemperaturaRel = RelaciónRe = Reynolds

En las ecuaciones anteriores se observa que la relación mag-nesio/ácido y la temperatura son las variables que ejercen una mayor influencia en el proceso. El aumento de la relación

251

Palacios C. Severo

magnesio/ácido favorece la neutralización del ácido libre y la precipitación del aluminio y el cromo que están disueltos en el licor residual e influye de forma negativa en la disolución de Mg, Ni, Co, Fe y Mn de los sólidos residuales industriales.

El aumento de la temperatura favorece la precipitación del aluminio y el cromo del licor residual así como la disolución del Mg, Ni, Co, Fe y Mn de los sólidos residuales industriales.

Existe una alta correlación entre las variables de entrada (temperatura, relación magnesio/ácido, agitación y aire) y las respuestas de salida, siendo el valor de R2 superior al 98%.

Las variables que ejercen una mayor influencia sobre las res-puestas analizadas son la relación magnesio/ácido y la tempe-ratura. No obstante la inyección de oxígeno del aire y el Rey-nolds ejercen también una influencia significativa sobre algu-nas variables.

El orden de influencia de las variables analizadas es en orden decreciente la relación magnesio/ácido, la temperatura, la in-yección de aire y la agitación.

A los 15 minutos de reacción, a la temperatura de 80 °C, rela-ción magnesio/ácido de 2 g/g, agitación, Re: 12000 y un flujo de aire de 10 L/min., se neutraliza el 99,6% del ácido y preci-pita el 92,94% del aluminio y el 85,54% del cromo.

Se recomienda completar la neutralización del licor residual con carbonato e hidróxido de calcio y recuperar el níquel y el cobalto a partir del licor neutralizado con los sólidos residua-les.

252


Problemas

(205) En un estudio del rendimiento para el desarrollo de un proceso se consideraron cuatro factores, cada uno a dos niveles: tiempo (A): 2,5 a 3, concentración (B): 14 a 18, presión (C): 60 a 80, y temperatura (D): 225 a 250. Se corrieron dos replicas de un diseño 24, y los datos resul-tantes se muestran en la siguiente tabla:

A B C D Replica I Replica II-+-+-+-+-+-+-+-+

--++--++--++--++

----++++----++++

--------++++++++

12181313171520151025132419211723

14161517181419171322162521232226

Que factores y que interacciones influyen en el rendi-miento.Elabore gráficas e interprete los efectos de los factores principales y las interacciones

(206) Un equipo realizó un estudio del rendimiento de un proceso para establecer los parámetros óptimos de ope-ración. El equipo decidió considerar tres factores, cada uno a dos niveles. Se corrieron dos réplicas y decidieron utilizar un diseño 23.A = Tiempo (2 h, 4 h)B = Concentración (10%, 20%).C = Presión (55 psi, 85 psi)

RendimientoA B C I II-+-

--+

---

121813

141615

253

Palacios C. Severo

+-+-+

+--++

-++++

1617152015

1718141917

Que factores y que interacciones influyen en el rendi-miento.Elabore gráficas e interprete los efectos de los factores principales y las interacciones

(207) Un investigador químico desea determinar las condi-ciones experimentales óptimas para la determinación co-lorimétrica de Mn en un mineral. Tres de los factores más importantes que pueden afectar esta determinación son: la cantidad de oxidante añadido, la temperatura de calentamiento y la longitud de onda seleccionada para medir la absorbancia de la muestra. Realiza un experi-mento factorial 23 con diferentes niveles de los factores de interés, obteniendo 8 determinaciones replicadas pa-ra todas las posibles combinaciones estudiadas. A conti-nuación se muestran las condiciones del diseño y los re-sultados obtenidos:

Vox λ T Mn (%)-+-+-+-+

--++--++

----++++

0,45

0,87

0,66

0,88

0,24

0,63

0,55

0,73

0,46

0,89

0,66

0,90

0,22

0,65

0,55

0,73

0,44

0,89

0,68

0,91

0,25

0,61

0,51

0,71

Qué factores influyen significativamente de manera in-dependiente en el rendimiento de la reacciónQué interacciones entre factores son estadísticamente importantes y cómo son estasCuáles son las condiciones experimentales óptimas

(208) Se realiza un experimento factorial 24 en una planta pi-loto para estudiar los efectos que se supone influyen so-

254


bre la rapidez de filtración de un producto. Se estudia el efecto de 4 factores, temperatura, presión, concentra-ción de reactivo y rapidez de mezclado. Los resultados del diseño se muestran a continuación:

Factores Filtra-ciónA B C D

-+-+-+-+-+-+-+-+

--++--++--++--++

----++++----++++

--------++++++++

4571486568608065431004510475867096

Plantee la ecuación de regresión teniendo en cuenta los resultados de la tabla de ANOVA y el error de cada co-eficiente.Actúan de manera independiente los factores estudia-dos. Interprete el gráfico de efectos principales y el de las interacciones.Halle el valor óptimo de rapidez de filtración junto a su intervalo de confianza.Se puede simplificar este diseño 24 a un diseño experi-mental 23

Si su respuesta es positiva, realice partiendo de éste un diseño de experimentos 23.

(209) Se aplicó un diseño factorial 24 para estudiar un proce-so de corrosión selectiva con nitruro en un plasma corro-sivo. En el proceso se utilizó C2F6 como gas reactivo y se tomaron como factores de interés el espacio entre ánodo y cátodo (A), la presión en la cámara del reactor (B), gasto de C2F6 (C) e intensidad de la corriente aplicada al cátodo (D). La variable de respuesta de interés es la ra-pidez de corrosión del nitruro de silicio. Los resultados obtenidos son los siguientes:

Factores Rapidez de

255

Palacios C. Severo

A B C D Corro-sión

-+-+-+-+-+-+-+-+

--++--++--++--++

----++++----++++

--------++++++++

550669604650633642601635

1037749

1052868

1075860

1063729

Estime los efectos de los diferentes factores sobre la ra-pidez de corrosión.Realice el ANAVA y determine los factores importantes para el rendimientoEscriba la ecuación de la regresión, teniendo en cuenta los intervalos de confianza correspondientes.Determine las condiciones experimentales óptimas que permiten obtener la mayor rapidez de corrosión.Si no todos los factores son importantes, realice un nue-vo diseño 2k con k<4 y realice el análisis de varianza. Rescriba la ecuación de regresión.

(210) Se determinó el contenido de níquel en un mineral me-diante la técnica de valoración complejométrica por dos vías diferentes: directa y retroceso. Los resultados obte-nidos en % en masa son:

A B Ni (%)-+-+-+-+

--++--++

1,011

0,986

0,992

0,982

0,990

0,988

0,997

0,995

0,998

0,989

0,995

0,996

0,999

0,998

256


0,994

0,996

(211) Un fabricante de aleaciones de aluminio produce refi-nadores de textura en forma de lingotes. La compañía manufactura el producto en 4 hornos. Se sabe que cada horno tiene sus propias características de operación, de modo que los hornos se considerarán una variable pro-blemática en cualquier corrida experimental en la fundi-ción que implique más de un horno. Los ingenieros del proceso sospechan que la velocidad de agitación influye en el tamaño del grano del producto. Cada horno puede operarse a 4 velocidades de agitación distintas. Se reali-za un diseño de bloques aleatorizados para un refinado en particular bloqueando la variable horno; los datos del tamaño de grano resultantes son los siguientes:

Velocidad de HornoAgitación

(rpm)1 2 3 4

5101520

8141417

4569

5693

6926

Analice la tabla de ANOVADiga si las sospechas del ingeniero son ciertas. Explique.Explique si fue conveniente bloquear el efecto de los di-ferentes hornos.Realice un análisis de los residuos

IX. DISEÑO FACTORIAL 2k REPLICADO

En una variedad del diseño factorial en donde el vector res-puesta se repite o replica dos, tres, cuatro, veces.

257

Palacios C. Severo

El efecto se calcula multiplicando por el número de replicas. La suma de cuadrados se procede similarmente a los efectos.

Ejemplo 6.68Se lleva a cabo una investigación para estudiar los efectos que tienen la concentración y un catalizador sobre la reacción de un proceso.

Factores NivelesA = Concentra-ciónB = Catalizador

151

202

Tabla 6.57 Datos para el diseño 22 replicadoPrueba A B Y1 Y2 Y3 Yt

1234

15201520

1122

31302918

19233632

32282527

82819077

El efecto A (concentración) es negativo, sugiere que al elevar la cantidad de A, el proceso reducirá su rendimiento. El efec-to B (catalizador) es positivo, sugiere que al elevar B del nivel inferior al nivel superior, incrementará el rendimiento. El efecto de la interacción es negativo.

Vamos a emplear el análisis de varianza para confirmar esta interpretación. Para el presente diseño existe un método es-pecial para realizar los cálculos del ANAVA.

258


La suma total de cuadrados se determina de la misma manera que los diseños aleatorizados.

La suma de cuadrados del error, se calcula similarmente a los diseños aleatorizados.

El análisis de varianza se presenta en la tabla 6.58


LCM Fo Ft(99)

A 16,33 1 16,33

0,485

< 11,3

B 1,33 1 1,33 0,039

< 11,3

AB 12,00 1 12,00

0,356

< 11,3

Error 293,34 8 33,67

Total 323,00 11 R2 = 9,18%

Ambos efectos principales como la interacción no es significa-tiva para un 99% de significancía, que nivel de significancía debe tener efectos e interacciones.

Sí notamos que los factores principales afectan el proceso, pero en el análisis no influye el efecto A. Para solucionar di-cho fenómeno tan solo cambiamos los niveles de los factores que influyen, de la siguiente manera.

Factores NivelesA = ConcentraciónB = Catalizador

201

152

Tabla 6.59 Datos para el diseño 22 replicado259

Palacios C. Severo

Prueba A B Y1 Y2 Y3 Yt

1234

20152015

1122

30311829

23193236

28322725

81827790

Ejemplo 6. 69Se lleva a cabo una investigación para estudiar los efectos que tienen la dosificación de reactivos químicos en un proce-so

FactoresNiveles

- +A = Concentración XB = Concentración YC = Concentración Z

15118

20225

Tabla 6.60 Datos para el diseño 22 replicadoPrue-

baDiseño Y1 Y2 Y3 YtA B C

12345678

1520152015201520

11221122

1818181825252525

3130291819233630

1923363232252527

3228252731272918

8281907782759075


A = -3,0B =+ 1,0C = -0,66

AB =-1,667AC =-0,66BC = 0,33Bloque = 0,416

Error estándar 1 GL

260



LCM Fo Ft(95)

ABCABACBCBloqueError

54,006,0002,66616,662,6660,6660,583

546,083

1111112

15

54,006,0002,66616,662,6660,6660,29236,40

6

1,480,190,070,460,070,020,01

<<<<<<<

4,544,544,544,544,544,543,68

Total 629,33 23 R2 = 13,22%

Todos los efectos principales como la interacción no es signifi-cativa para un 95% de significancía, así mismo el bloque de las replicas no tiene significancía.

Problemas

(212) En un experimento dirigido a estudiar un sistema par-ticular de filtración para carbón mineral, se agregó un coagulante a una solución en un tanque que contenía carbón y lodo, lo cual fue entonces colocado en un siste-ma de recirculación con objeto de lavar el carbón. Se va-riaron tres factores en el proceso experimentalA: Porcentaje de sólidos que circula inicialmente B: Ritmo de flujo del polímero C: pH del tanqueLa cantidad de sólidos en el flujo de entrada del sistema de purificación determina cuan limpio queda el carbón. Se utilizaron dos niveles de cada factor y se corrieron dos pruebas experimentales para cada una de las 8 com-binaciones (n=2). Los porcentajes de sólidos en peso ob-tenidas son

Vector respuestaA B C Replica I Replica II-+-+-+-

--++--+

----+++

4,6521,4212,6618,279,7313,186,51

5,8121,3512,5616,627,88

12,876,26

261

Palacios C. Severo

+ + + 18,23 17,83Suponga que todas las interacciones son potencialmente importantes y realice un análisis completo de los datos. Utilice un nivel de significación de 0.01

(213) Los siguientes datos se obtuvieron de un experimento 23 con tres réplicas (n=3)

Vector respuestaA B C Replica I Replica II Replica III-+-+-+-+

--++--++

----++++

1215242317162428

1920161725192325

1016172721192920

Evalué todos los efectos factoriales. Utilice un nivel de significación de 0.05

(214) Se llevó a cabo un experimento para determinar si existe o no una diferencia significativa en la cantidad de aluminio alcanzada en el análisis entre cierto niveles de las siguiente variables de proceso.Tiempo de mezcla (T): 2 y 4 horasVelocidad de mezcla (V): 36 y 78 rpmCondición del Nitrógeno (C): seco y humedad relativa (72%) Estado físico del propulsor (E): no vulcanizado y vulcani-zado

Esta-do

físico

Tiem-po

mezcla

Veloci-dad

mezcla

Condición del

nitrógeno

Canti-dad

alumi-nio

--------+++++++

-+-+-+-+-+-+-+-

++----++++----+

++-++---++-++--

16,316,016,216,116,016,015,515,916,7.16,116,315,815,915,915,6

262


+ + + - 15,8Suponga que todas las interacciones de tres y cuatro factores son despreciables y analice los datos. Utilice un nivel de significación de 0.05

(215) Se lleva a cabo un experimento para determinar el cre-cimiento de plantas de poroto de acuerdo a tres facto-res: la profundidad de plantado de la semilla: 0,5 cm. y 1,5 cm., la frecuencia de riego: una y dos veces diarias y el tipo de poroto sembrado: pequeño y grande.Se hacen tres réplicas del experimento y se obtienen los siguientes datos.

Profundidad Replica I Replica II Replica III0,5 6 7 61,5 4 5 50,5 10 9 81,5 7 7 60,5 4 5 41,5 3 3 10,5 8 7 71,5 5 5 4

Calcule los efectos correspondientes a los factores y a las interacciones. Interprete los resultados obtenidos y sugiera condiciones ideales para sembrar.

(216) Un ingeniero esta interesado en el efecto de la veloci-dad de corte (A), la dureza del metal (B) y el ángulo de corte (C) sobre la duración de una herramienta de corte. Para ello se eligen dos niveles para cada factor y se co-rren dos réplicas del diseño factorial 23. La tabla siguien-te presenta los datos de tiempo de duración (en horas) de la herramienta.

Combinación de tratamientos

RéplicaI II

(1) 221 311a 325 435b 354 348ab 552 472c 440 453ac 406 377bc 605 500abc 392 419

Calcule los efectos correspondientes a cada uno de los factores.Determine cuáles de estos efectos son importantes usan-do la tabla de análisis de varianza.

263

Palacios C. Severo

X. DISEÑO 2k CON PRUEBAS CENTRALES

En un estudio factorial simple 2n estudiamos tan solo las com-binaciones en el plano cartesiano y no vemos la influencia de los factores en la linealidad supuesta de dicho factor. Por lo que adicionamos pruebas centrales a dicho diseño para eva-luar el error aleatorio a dicha muestra así mismo evaluar la curvatura de la función matemática.

Tal como se ve en la figura, el plano factorial 1-2 y 3-4 está cruzado por una línea de curvatura (Gauss).

264


Diseño Factorial 2n con pruebas centrales

El punto central 5, el cual sirve para evaluar el error aleato-rio, también nos sirve para analizar la linealidad del modelo matemático. Por ejemplo, en el punto 5 de intersección si no existe curvatura, el modelo es lineal, pero si el análisis nos in-dica que existe curvatura en el modelo por lo que desechamos el análisis lineal y continuamos con un tratamiento cuadrático aumentando pruebas experimentales al diseño inicial (rotacio-nal).

Existe un método para replicar ciertos puntos en un diseño factorial 2n lo cual protegerá contra la curvatura además de permitir obtener estimaciones de errores independientes. Di-cho método consiste en agregar pruebas centrales al diseño 2n, para lo cual se hacen n réplicas en el eje central. Un méto-do importante para agregar las corridas de réplicas en el cen-tro del diseño es que los puntos centrales no influyan en las estimaciones usuales de los efectos en un diseño 2n. Con una observación en cada uno de los puntos factoriales.

Sea YF el promedio de las cuatro corridas en los puntos facto-riales y Sea YC el promedio de las corridas del punto central.

Si la diferencia es pequeña, entonces los puntos cen-trales se encuentran en el plano, y no hay curvatura. Si

es grande entonces existe curvatura. Una suma de cuadrados para la curvatura con un GL esta dado por:

Donde nF y nc es el número de puntos de la factorial y el cen-tral respectivamente (esta cantidad puede comprobarse con el cuadrado medio del error para probar la curvatura).

265

Palacios C. Severo

Donde:

Ajj son efectos cuadráticos.

Sí los puntos factoriales del diseño no son replicados, es posi-ble emplear los nc puntos centrales para construir una estima-ción del error con nc - 1 grados de libertad.

Ejemplo 6.70Se esta evaluando el rendimiento de un proceso. Existen dos variables de interés, concentración de sulfato de cobre y tem-peratura en el proceso de cabreado ácido. Se tiene duda acer-ca de la linealidad en la región que se explora, se decide reali-zar un diseño factorial 22 con una sola replica en cada punto factorial, incrementándose cinco puntos centrales.

70 8572,372,572,772,272,6

65 80

El cuadrático medio del error se calcula a partir de los puntos centrales:

El promedio de los puntos comprendidos en los puntos facto-riales es:

266


La diferencia entre el promedio del factorial y el promedio del central es 2,54 resulta dicho valor muy grande, lo cual nos in-dica que existe curvatura.

La suma de la curvatura de los cuadrados se calcula de la ecuación general.

Tabla 6.63 Análisis de varianza del diseño con punto centralFuente SC G

LCM Fo Ft(99)

ABABCurvaturaError

225,0025,000,0050,80,17

11114

225,00

25,0050,80,000,04

5325,56

581,391270,0

00,00

>>><

21,221,221,221,2

Total 300,97 7

El análisis de varianza indica que ambos factores presentan efectos significativos y que no hay interacción AB = 0, existe evidencia de curvatura en la respuesta de la región explora-da.

XI. DISEÑO CONFUNDIDO

Un diseño confundido es una técnica mediante el cual se con-funden, deliberadamente, ciertos efectos sin importancia, con el propósito de fijar los efectos más importantes con mayor precisión. En el hecho, al calcular el valor de un efecto o inte-racción confundido estamos calculando la suma de los dos.

Las situaciones que requieren el uso del presente diseño:

a) Aquellos en los cuales no hay suficiente materia prima para efectuar una experimentación completa. En el dise-ño experimental se denomina bloque a una agrupación homogénea de experimentos.

b) Aquellas en los cuales la experimentación se realiza usando dos o más tipos de maquinas.

267

Palacios C. Severo

XII. DISEÑO FACTORIAL 2K CON DOS BLOQUES

Si deseamos correr una sola replica del diseño 2n. Requerimos una cantidad de materia prima y cada lote de materia prima deberá cubrir una prueba de las combinaciones de tratamien-to.

Tabla 6.64 Diseño 24 con dos bloques, asignando las corridasBloque I Bloque II

(1)abacbcadbdcdab-cd

========

7165958688688370

abcd

abcbcdacdabd

========

6560908596758560

Σ 626 Σ 636Σ 1262

Por lo tanto se requieren n lotes de materia prima. Si estos lo-tes se tratan como bloques, entonces debemos asignar la mi-tad de la n combinaciones de tratamiento a cada bloque no replicado. Los efectos e interacciones se calculan idéntica-mente a un diseño factorial simple no replicada.

Ejemplo 6.71Del ejemplo 6.67, el experimento factorial 24 deseamos tratar-lo en bloques. Supongamos que no se pueden efectuar las 24

combinaciones en un mismo día. Decidiendo el experimenta-dor realizar diariamente ocho combinaciones por bloque, por ser apropiado. Es lógico confundir la interacción de mayor or-den ABCD con los bloques.

Tabla 6.65 Análisis de Varianza del BloqueFuente SC GL CM Fo Ft(99)

Bloque (ABCD)ABCDABACADBCBD

6,2542,25240,2

5600,2

52,2520,250,250,25

1111111111

6,2542,25240,2

5600,2

52,25

20,250,250,25

0,211,148,21

20,520,080,690,010,01

0,0212,74

<<>><<<<<<

7,717,717,717,717,717,717,717,717,717,71

268


CDError

6,2572,25812,2

5117,0

0

14

6,2572,25812,2

5

27,77 > 7,71

Total 1919,75

15

La suma de cuadrados del bloque

Las sumas de cuadrados de los efectos e interacciones se pro-ceden a analizar por diferentes técnicas (ver algoritmo de Ya-tes). Se ha decidido que las interacciones de tres factores son despreciables, por lo que la suma del error es:

Como podemos visualizar el bloque ABCD no influye en el análisis de las combinaciones de los tratamientos, siendo B, C y CD los efectos e interacciones que presentan significación, tal como concluimos en el mismo ejemplo del diseño 24.

XIII. DISEÑO FACTORIAL 2k CON 4 BLOQUES

Este tipo de diseño es de mucha utilidad cuando se desarrolla experimentos a nivel laboratorio y bach, el número de facto-res es relativamente grande con k>4.

Ejemplo 6.72Consideremos un diseño factorial 25, a cada bloque debemos asignar ocho combinaciones de tratamiento correspondientes, requiriendo un total de cuatro bloques para las 32 pruebas a desarrollar para efectuar el experimento.

269

Palacios C. Severo

Tabla 6.66 Diseño 25 con 4 bloques, asignando las corridasBloque I Bloque II Bloque III Bloque IV

1adbcabeacecdebdeab-cd

========

2,152

2,004

2,301

1,991

1,978

1,944

2,215

2,161

adbece

abcbcdab-de

acde

========

2,025

2,170

2,037

2,210

2,220

2,332

1,857

1,919

bcaede

abdacdab-ce

bcde

========

2,111

2,267

2,033

2,072

2,146

2,114

2,025

1,898

eacbdcdabadebceab-cde

========

2,057

2,013

2,164

2,301

2,041

2,057

2,236

1,944

Σ 16,746 Σ 16,770 Σ 16,666 Σ 16,813Σ 66,995

Tabla 6.67 Análisis de Varianza del bloqueFuente SC GL CM Fo Ft(99)

Bloque (ABCD)ABCDEABACADAEBCBDBECDCEDEError

0,0119

0,1173

0,0041

0,0167

0,0050

0,1311

0,0005

0,0026

0,0007

0,0014

0,0045

0,0003

0,007

1111111111111111

15

0,0119

0,1173

0,0041

0,0167

0,0050

0,1311

0,0005

0,0026

0,0007

0,0014

0,0045

0,0003

0,007

1,7955

17,595

0,0615

2,5050,75019,66

50,0750,3900,101

50,2100,6750,0451,1553,5855,2503,990

<><<<><<<<<<<<><

4,544,544,544,544,544,544,544,544,544,544,544,544,544,544,544,54

270


70,023

90,035

20,026

60,009

9

70,023

90,035

20,026

60,006

7Total 0,498

931

XIV. DISEÑO FACTORIAL 2k CON BLOQUES REPLI-CADOS

Es una variedad del diseño confundido en donde el vector res-puesta se repite o replica dos, tres, …… veces.

Para entender mejor este tipo de diseño aplicaremos un ejem-plo.

Ejemplo 6.73Se realiza un estudio para determinar los efectos que tienen tres variables A, B y C. Se efectúan sólo cuatro combinaciones de tratamiento. Por lo tanto, cada réplica del diseño 23 debe recopilarse en dos bloques. Se realiza las reproducciones con-fundidas ABC en la replica I y AB en la replica II.

Tabla 6.68 Diseño 23 con bloques replicadosReplica I Replica II

1abacbc

====

68,72

69,44

67,93

68,73

abc

abc

====

67,85

69,60

67,75

68,72

1c

ababc

====

68,66

68,17

69,02

68,66

abacbc

====

68,22

69,10

68,26

68,66

Σ 548,74 Σ 548,75

271

Palacios C. Severo

Tabla 6.69 ANAVA diseño 2k con bloques replicadosFuente SC GL CM Fo Ft(99)

ReplicaBloque (repli-ca)ABCAB (replica)ACBCABC (replica)Error

0,00001

0,05316

0,10402,536

0,86950,02690,20470,06500,01250,5027

1211111115

0,00001

0,02758

0,10402,5360,86950,02690,20470,06500,01250,1005

9,94E<4

0,27431,034425,223

88,64830,13812,03600,64650,1243

<<<>><<<<

7,716,947,717,717,717,717,717,717,71

Total 4,3665 15

Los efectos principales B y C son significativos, vemos que la replica y los bloques no afectan el proceso.

XV. ALGORITMO DE YATES

Un método rápido para calcular los efectos e interacciones y que proporciona seguridad en el análisis de varianza poste-rior, de un diseño factorial.

Construcción de Yates: La primera mitad de la columna se forma sumando el vector respuestas por pares. La segunda mitad de la columna se forma restando el vector respuestas por pares (el segundo menos el primero) y así sucesivamente.

Las demás columnas se generan de la misma manera usando los datos de la columna anterior.

Los efectos se calculan dividiendo la última columna por 2n-1, donde n es el número de factores.

272


La suma de cuadrados se calcula, elevando al cuadrado los miembros de la última columna y dividiendo por 2n.

Si en caso se realizan replicas en el proceso, entonces el cal-culo de los efectos deberá dividirse por k*2n-1, donde k es el número de replicas. De igual manera para el calculo de la su-ma de cuadrados multiplicar por k*2n.

Ejemplo 6.74Los datos de la tabla 6.70, analizarlo aplicando la técnica de Yates.

Comprobacióna. La suma total de la vector respuesta deberá ser igual

al primer valor de la última columna, caso contrario se ha ejecutado un mal cálculo.

b. La suma total de la suma de cuadrados debe ser igual a la suma de cuadrados del total, de la siguiente manera.

Tabla 6.70 Algoritmo de YatesY I II III Efec-

tosSC

1ababcacbcabc

68,7267,8569,6069,4467,7567,9368,7368,72

136,57

139,04

135,68

137,45

-0,87-0,160,18-0,01

275,61

273,13

-1,030,172,471,770,71-0,19

548,74

-0,864,240,52-2,481,20-0,70-0,90

--0,2151,0600,130-0,6200,300-0,175-0,225

-0,092

42,247

20,033

80,768

80,180

00,061

20,101

2548,7

43,484

7

Tabla 6.71 Yates modificadosY A B AB C AC BC ABC

273

Palacios C. Severo

68,7267,8569,6069,4467,7567,9368,7368,72

-+-+-+-+

--++--++

+--++--+

----++++

+-+--+-+

++----++

-++-+--+

Σ + 273,9

276,5

274,6

273,1

274,9

274,0

273,4

Σ - 274,9

272,2

274,1

275,6

273,8

274,7

274,8

Diferen-cia

-0,86

4,24 0,53 -2,48

1,2 -0,7 -0,9

Efectos -0,22

1,06 0,13 -0,62

0,3 -0,18

-0,23

Problemas

(217) Se estudia la recuperación del cromo, níquel e hierro de los desechos de acero inoxidable. La disolución de di-cho acero se realiza electrolíticamente, siendo las varia-bles pH y temperatura, de acuerdo a los estudios termo-dinámicos el potencial de la aleaciones Ea = 2,897. Ela-bore el ANAVA y analice los efectos e interacciones del proceso.pH: 8,88 8,43 7,01 6,92T: 23,9 28,3 24,3 27,5Ed: 2,16 2,08 2,22 2,19

(218) Un relave con alto contenido de plata 300 g/ton, es tra-tado por flotación y cianuración siendo ambos procesos antieconómicos.

274


Se procede a realizar un estudio de lixiviación en medio clorurante oxidante, siendo sus variables A: cloruro de sodio 50 - 150 g/l, B: Tiempo 5 - 10 h, C: Ácido sulfúrico 5 – 0 g/l.Y: 89 87 84 79 86 88 83 82Elabore el diseño y analice.

(219) En un laboratorio de investigación se produce un deri-vado químico, el investigador tiene interés en los efectos de los factores A: H2SO4 87 - 93 %, B: Tiempo 15 - 30 min, C: catalizador 35 - 45 min, D: Temperatura 60 - 80 °C.

(220) Un investigador en Bacteriología esta interesado en el efecto que tienen dos diferentes medios de cultivo y dos lapsos sobre el crecimiento de un virus en particular. Realiza un diseño factorial 22 en orden aleatorio. Analice los datos que se muestran. A: 21 - 37, B: 26 - 34.

(221) Se manufacturan circuitos integrados. El proceso bási-co de procedimiento consiste en depositar una capa epi-taxial en el tablero de silicio pulido. Los tableros se colocan dentro de una campana en el cual se introduce vapores químicos. El receptor se hace girar y se aplica calor hasta que la capa epitaxial sea la adecuada. Se realizó un experimento empleando dos fac-tores, A: Gasto de arsénico 55 - 59, B: Tiempo de depósi-to 1 - 2. Se corrieron cuatro replicas, y se midió el gro-sor de la capa epitaxialReplica 1: 14,1 13,8 14,8 14,2Replica 2: 16,1 13,8 14,7 14,9Replica 3: 13,9 14,0 14,8 14,4Replica 4: 13,9 13,2 14,8 14,9

(222) Se utiliza una aleación ligera de aluminio-titanio para la fabricación de componentes aeroespaciales. Se realizo un estudio sobre agrietamiento a fin de determinar el efecto de cuatro factores sobre las grietas. Los factores son A: Temperatura, B: Contenido de titanio, C: Trata-miento térmico, D: Contenido de aluminio. Se hicieron dos replicas de un diseño 24, se mide la longitud de grie-ta en mm.

Replica I Replica II1,71,4

1,91,4

275

Palacios C. Severo

1,31,61,21,21,41,22,01,81,71,41,81,31,41,3

1,51,51,31,21,41,22,11,81,91,51,91,21,21,3

Estime los efectos de los factores. Realice un ANAVA.Existe algún indicio de que algún factor influya en la va-riabilidad de agrietamiento.

(223) Se realizó un experimento en una prensa de dispositi-vos para microcomputadoras. Se estudian 5 factores, ca-da Uno a dos niveles los factores son A: Tiempo, B: Re-velado C: Dimensión D: Corrosión, E: Material.

1ababcacbcabc

========

810325018214461

dadbdabdcdacdbcdab-cd

========

610305315224565

eaebeabeceacebceab-ce

========

812355215204563

deadebdeabdecdeacdebcdeabcde

========

79345516204060

Realice un ANAVAInterprete las interacciones significativasDesarrolle un diseño 25 y un diseño con bloques.

(224) En un estudio del rendimiento de un proceso se consi-deran 4 factores, cada uno a dos niveles, A: Tiempo 2,5 - 3, B: Concentración 16 - 18, C: Presión 70 - 90, D: Tem-peratura 250 - 200.Se corre una sola replica de un diseño 24.Y: 12, 18, 13, 16, 17, 15, 20, 15, 10, 25, 13, 24, 19, 21, 17, 23Realice un ANAVAPruebe realizar un diseño por bloques e interprete.

(225) Se elabora galletas, y se desea saber si las variables tienen influencia en el proceso siendo A: Material vidrio-aluminio, B: Homogenizado pala-batidor, C: Harina po-

276


pular-extra. El vector respuesta es lo crocante. Analice los datos de las replicas.

Replica 1 11

15

19

16

10

12

10

15

Replica 2 9 10

12

17

11

13

12

12

Replica 3 10

16

11

15

15

14

13

12

Replica 4 10

19

11

12

18

13

10

13

(226) Se desea realizar una investigación con el fin de estu-diar la influencia de tres factores en la vida media de un pesticida químico aplicado en el suelo. La unidad experi-mental lo constituirán recipientes que contienen el suelo sobre el cual se aplica el pesticida. Los niveles de los factores a estudiar son los siguientes:

Factores Niveles- +

A: Temperatura (°C)B: Humedad (%)C: Suelo (%)

25151

35353

Se desarrollan replicas con la finalidad de evaluar la vi-da media del proceso, siendo los resultados experimen-tales:

Y1: 886, 188, 230, 130, 168, 65, 156, 32Y2: 850, 190, 235, 127, 170, 60, 160, 30

¿Cual de las variables independientes influyen en el pro-ceso?¿Cuantas pruebas realizará para desarrollar el proceso?¿Que temperatura, humedad y tipo de suelo el pesticida no es nocivo?

(227) Se desea controlar la emisión gaseosa de SO2 de una planta por medio de inyección de sosa calcinada en la parte superior del emisor. Dicho método funciona en el laboratorio, pero cuando se implemento a nivel indus-trial, se formo ocasionalmente NO2, provocando un gas tóxico. Con el fin de investigar las condiciones bajo las cuales se produce, se diseño un experimento factorial considerando los siguientes factores a tres niveles:

Factores Niveles- +

A: Concentración de SO2 (ppm)B: Temperatura (°C)

0150

0

3000350

6

277

Palacios C. Severo

C: Concentración de O2 (%)D: Humedad (%)

0 20

Se realiza el experimento con la finalidad de controlar la emisión de NO2, siendo los resultados experimentales:

130 150 210 200 110 180 110 150 130 150 250 140 140 220 150 170

Además se desarrollaron pruebas centrales, siendo es-tos:

470 740 830 730¿Se desea eliminar la presencia de NO2, por lo que se quiere saber que factores deben controlarse?

(228) Se desea investigar la influencia de cuatro factores en la vida media del problema 226. Se desea efectuar dos bloques con la finalidad de mezclar los efectos.Se desea verificar los factores de mayor influencia en la vida media del proceso.A que temperatura, humedad y que tipo de suelo el pes-ticida no es nocivo.

(229) En un laboratorio de corrosión se desea evaluar la efi-ciencia de un inhibidor para disminuir la corrosión de una tubería de hierro, utilizada para el transporte de agua en la industria petrolera. Una de las variables de mayor importancia fue la temperatura promedio del agua que se usa como refrigerante y la otra la concen-tración del inhibidor. Los niveles de ambos factores son:

Factores Niveles- +

A: TemperaturaB: Inhibidor

6010

9015

Las respuestas obtenidas en diversas probetas de hierro fue la disminución del espesor a cierto tiempo de inmer-sión durante un tiempo constante para todas las probe-tas.

40,2 54,7 29,6 28,8Desarrollando pruebas centrales con la finalidad de eva-luar la varianza del error: 38,6 37,8 37,1 39,0¿Mediante un diseño factorial aplique el mínimo ascenso para averiguar en que zona debemos realizar pruebas adicionales para minimizar la corrosión de la tubería de hierro?

(230) Se desea minimizar la vida media del problema 226, por el cual se corrieron pruebas adicionales con la finali-

278


dad de optimizar dicho proceso, siendo su vector res-puesta:462 298 424 343 247 479 219 313 256 402 491 292

250 484Así mismo se corrieron pruebas centrales siendo estas:

348 340 337¿Se desea conocer el modelo y su forma geométrica?¿Cuales son los niveles óptimos de las variables que eli-minan la permanencia del pesticida?

(231) Se desea maximizar la resistencia de un acero que depen-de de dos aleantes Mo y W.

Factores Niveles- +

A: Mo (%)B: W (%)

0.21.5

0.83.5

Un investigador decide experimentar pruebas secuencia-les, para lo cual desarrolla las siguientes aleaciones:Suponiendo que la resistencia del acero es una función establecida por:

Se desea saber:Cual es la combinación óptima del aleante para alcanzar la máxima resistenciaEn cuantas pruebas se puede llegar al máximo

(232) La eficiencia de un fertilizante depende de sus compo-nentes minerales del suelo que se va a utilizar. Un estu-dioso decide preparar diversos tipos de suelos y aplicar el fertilizante a una variedad vegetal y la respuesta esta medida en función del rendimiento del fertilizante. El contenido de los minerales varia en los siguientes rangos:

Factores Niveles- +

A: Fósforo (%)B: Fertilizante (%)C: Nitrógeno (%)D: Carbono (%)

0.21.50.30.0

0.63.00.90.6

Suponiendo que la eficiencia del fertilizante se puede es-timar mediante la siguiente relación.

279

Palacios C. Severo

¿Diga cual es la combinación óptima del suelo al alcan-zar su máximo?¿En cuantas pruebas se alcanza al objetivo?

(233) Se desea estimar el efecto del SO2 sobre la población cercana a una fabrica monitoreando la concentración de este contaminante y considerando los siguientes factores: la tasa de emisividad Q del contaminante a la salida de la chimenea y la altura del la chimenea. Los niveles elegidos de cada uno de los factores son los siguientes:

Factores Niveles- +

A: Tasa de emisividad (g/s)B: Altura (m)

530

1060

Siendo el vector respuesta:140 180 200 310 130 320 170 300 280 270 265 275

266

XVI. DISEÑO FACTORIAL FRACCIONADO

Los diseños factoriales simples requieren cantidades excesi-vas de tiempo, material, conviene encontrar otros diseños que requieran menores pruebas de diseño, pero que no desdeñar una gran cantidad de información sobre la naturaleza del vec-tor respuesta que se expresa con los experimentos.

Los diseños factoriales fraccionados permiten lograr este ob-jetivo. Si se está dispuesto a conformarse con una investiga-ción algo menos completa, incluyendo los efectos principales y las interacciones de dos factores y excluyendo los efectos de tres factores o interacciones de alto orden.

Los diseños factoriales fraccionadas se usan principalmente para la depuración o selección, es decir, para identificar la va-riable más importante que influye en la respuesta.

280


En cualquier diseño que utilice menos pruebas de los que re-quiera uno de tipo factorial completo, se tendrán los mismos efectos de confusión. Por ejemplo, un efecto principal se pue-de confundir con uno o más efectos de interacción de alto or-den, esto es, la estadística que mide un ejemplo principal pue-de ser igual a la estadística que determina algunos de los efectos de las interacciones. Por lo tanto, la estadística en cuestión puede indicar que existe algún efecto, pero no seña-lará si está presente el efecto principal, el de interacción o al-guna combinación aditiva de efectos.

Todos los diseños, proporcionan estimaciones confusas. Por ejemplo, si los efectos cuadráticos y cúbicos, se confunden las estimaciones de la media y los efectos principales, respectiva-mente, siempre que no emplee un diseño factorial de dos ni-veles, las tendencias y otros efectos confunden las estimacio-nes.

Cualquier fenómeno emitido en un modelo ajustado confunde ciertos parámetros estimados en el modelo, sea cual fuere el tipo de diseño empleado. Los buenos diseños factoriales frac-cionados se arreglan cuidadosamente de tal manera que la es-timación de los efectos que se piensa son importantes, se con-funden por acción de los efectos que se consideran no impor-tantes.

Puesto que en la investigación es de interés los efectos princi-pales, es fundamental que éstos no se confundan con otros efectos principales. En casi todos los diseños factoriales frac-cionados comúnmente usados, los efectos principales se con-funden con interacciones de alto orden. Por lo tanto si un ex-perimentador utiliza uno de estos diseños para medir los efec-tos principales, deberá estar dispuesto a suponer, cuando me-nos en forma tentativa, que las interacciones con las que se confunden los efectos principales son cero o muy pequeñas.

Pocos experimentadores evitan usar los diseños factoriales fraccionados debido a la necesidad de hacer tales supocisio-nes respecto a los efectos de alto orden.

XVII. MEDIO FRACCIONADO DEL DISEÑO 2k

281

Palacios C. Severo

Se estudian a partir de k=3 factores en dos niveles cada uno, para lo cual utilizamos un diseño factorial fraccionado del tipo (1/2)n2k donde n es la cantidad que debe disminuirse la frac-ción.

Ejemplo 6.75Si tenemos un diseño 23=8 pero queremos una media fracción por lo tanto tendremos (1/2)*23=4 combinaciones de trata-miento.

Tabla 6.72 Primer media fracción del diseño 23

A B C Combina-ción

-+-+

--++

+--+

cab

abc

Nótese que el diseño 23-1 se forma al seleccionar sólo las com-binaciones de tratamiento que producen la multiplicación de signos, donde C=AB.

Es posible construir la combinación de tratamientos del dise-ño 2k-1 completo igualando el factor C por la interacción -AB, de amplia aplicación cuando los efectos principales son nega-tivos, pero tienen una gran influencia en el proceso.

Tabla 6.73 Segunda media fracción del diseño 23A B C=-

ABCombina-

ción-+-+

--++

-++-

1acbcab

El uso del diseño factorial fraccionado a menudo conduce a una gran economía y eficiencia en la experimentación, espe-cialmente si los ensayos pueden hacerse en sucesión. Por ejemplo, supongamos que se están investigando k=5 factores (25 ensayos). Es preferible realizar un diseño fraccionado 25-1

(16 ensayos) analizar los resultados y decidir el mejor conjun-to de ensayos que deben recopilarse después.

Ejemplo 6.76

282


Consideremos el experimento de la autoclave, el diseño mos-trado en la tabla 6.74, consta de una réplica del diseño 24. En este estudio, los efectos principales B, C y la interacción CD resultaron diferentes de cero.

Utilizaremos el diseño 24-1con D=ABC. Para construir el dise-ño primero se escribe el diseño base de 23 que se mueve en las primeras tres columnas tal como se indican en la tabla.

Tabla 6.74 Diseño 24-1con D=ABCA B C D=AB

CCombina-

ciónY

-+-+-+-+

--++--++

----++++

-++-+--+

1adbdabcdacbc

abcd

7188686583958670

Los efectos e interacciones se calculan idem a las factoriales normadas.

Podemos concluir que los efectos principales B y C son gran-des y que la interacción AB también es significativa.

Para ver la efectividad de este diseño investigaremos un dise-ño 25-1con cinco factores.

283

Palacios C. Severo

Tabla 6.75 Diseño 25-1con E=ABCDA B C D E=AB-

CDCombina-

ciónY

-+-+-+-+-+-+-+-+

--++--++--++--++

----++++----++++

--------++++++++

+--+-++--++-+--+

eab

abec

acebceabcd

adebdeabecdeacdbcd

abcde

12181316171520151025132411211723

Calculo de efectos e interacciones:

Tabla 6.76 Análisis de varianza del diseño 25-1Fuente SC GL CM Fo Ft(99)

ADABACADError

121,00

20,2512,2542,24100,0

0256,0

0

1111110

121,00

20,2512,2542,24100,0

025,60

4,730,790,481,653,91

><<<>

3,293,293,293,293,29

Total 550,75

15

La suma de cuadrados del modelo es:

284


XVIII.CUARTO FRACCIONADO DEL DISEÑO 2k

Cuando hay un número grande de factores. Hay que conside-rar una fracción de un cuarto del diseño 2k este diseño contie-ne 2k-2 ensayos.

Este diseño se puede construir escribiendo primero las combi-naciones de tratamiento asociado con el factorial completo con k-2 factores. Después se asocian las dos columnas adicio-nales con las interacciones elegidas apropiadamente, que in-cluyen los primeros k-2 factores.

Los alias estructurados para un diseño 26-2 son:

Ejemplo 6.77Se ha aplicado la técnica experimental para la optimización de un proceso en donde se consideran seis variables a dos ni-veles

A: 1 3 D: 8 10B: 5 15 E: 14 18C: 5 15 F: 22 38

Elegimos un diseño factorial fraccionado del tipo (1/2)226= 24

en que confundimos los siguientes factores e interacciones E=-ABC, F=BCD.

Tabla 6.77 Diseño 26-2con E=ABC y F=BCDA B C D E=AB

CF=BC

DCombina-

ciónY

-+-+-+-+

--++--++

----++++

--------

-++-+--+

--++----

1aefbefabfcdfacfbcbce

92,090,091,091,290,392,090,289,5

285

Palacios C. Severo

-+-+-+-+

--++--++

----++++

++++++++

-++-+--+

++----++

dfabefbdeabdcdeacdbcdf

Abcdef

92,392,890,790,491,692,691,692,0

Los efectos e interacciones son:

Obtenemos información clara sobre los efectos principales si se consideran que las interacciones de tercer orden y supe-rior son insignificativas. Respecto a las interacciones de se-gundo orden observamos que están confundidas entre si y con interacciones de cuarto orden; su análisis permitirá compro-bar el comportamiento lineal de nuestros vectores respuestas en la región experimental estudiada.

El análisis de varianza se muestra en la tabla 6.78. Para deci-dir si una variable es o no significativa en el rango experimen-tal estudiado, en el nivel de significancía del 99%, el cual nos proporciona esta seguridad en el análisis de varianza para el vector respuesta indican que A, C y E no son significativas en los niveles elegidos y podemos suponer que estamos en el rango elegido para estas variables.

Tabla 6.78 Análisis de varianza para el diseño 26-2

Fuente SC GL CM Fo Ft(99)BDFAF+DEError

3.064.202,181,764,27

111111

3.064.202,181,760,39

7,8910,835,604,53

>>><

4,854,854,854,85

Total 15,47 15

286


Problemas

(234) Deseamos mejorar el rendimiento de un proceso, en un diseño 25-2 se investigan 5 factores, confundiendo E= ABCD siendo su vector respuesta.

Y: 98, 99, 94, 82, 86, 92, 85, 90, 86, 90, 80, 90, 85, 81, 84, 93

(235) Se trabaja a nivel Bach un proceso catalítico, se asume que la respuesta de interés es la reacción de variables. Cuatro factores han sido propuestos como variables, a dos niveles. Aplique un diseño 26-3 siendo su nivel respuesta.

Y: 53, 83, 62, 77, 75, 84, 75, 86(236) Deseamos mejorar el rendimiento de un proceso, en un

diseño 27-4 se investigan 7 factores, confundir D=AB, E=AC, F=BC, G=ABC.

Y: 70, 65, 80, 95, 88, 91, 85, 87(237) Se utiliza un diseño 25-2 para investigar el efecto sobre

el rendimiento del proceso de A = temperatura de con-densación, B = cantidad de material 1, C = volumen del solvente, D = tiempo de condensación y E = cantidad del material 2. Los resultados fueron los siguientes:

287

Palacios C. Severo

e = 23.2 ad = 16.9 cd = 23.8 bde = 16.8ab = 15.5 bc = 16.2 ace =

23.4abcde = 18.1

Determine la relación generadora de este diseño.Escriba las relaciones de alias de este diseño.Calcule los efectos. Determine cuáles de ellos son impor-tantes.Cómo llevaría a cabo el análisis para este experimento.

(238) Es posible diseñar un experimento 25-2 en el cual no se realice ninguna medición en la cual los factores A y C se encuentren ambos en alto al mismo tiempo?

(239) Usted acaba de ser contratado como jefe de planta en una fábrica de cerveza. Una de las primeras noticias que recibe es que el proceso tiene algunos problemas con el grado alcohólico de la cerveza, el cual es muy alto. La persona que ocupaba su puesto anteriormente había planteado la posibilidad de realizar un experimento fac-torial fraccionado de la forma 24-1 para estudiar la situa-ción. La estructura de dicho experimento es la siguiente

A = tiempo de fermentación.B = % de cebada presente.C = % de arroz presente.D = % de maíz presente.

(1), ab, c, abc, d, abd, cd, abcdEscriba la matriz de diseño del experimento anterior y diga cuales efectos se encuentran confundidos.¿Es este un diseño ortogonal? ¿Cuál es la resolución del diseño?¿Qué críticas le merece esta estructura de experimenta-ción?Si alguien le propusiera utilizar un experimento de la forma 24–2 para investigar esta situación, ¿qué le res-pondería usted?Un par de semanas después, ya un poco más calmado y con un mayor conocimiento del proceso, usted decide que existe un quinto factor influyente:E = tiempo de maduración.Escriba la matriz de diseño un nuevo experimento, esta vez de la forma 25-2, que permita tomar en cuenta este factor adicional y que evite los problemas presentados en el diseño anterior.

288


Encuentre los efectos confundidos en este nuevo diseño. ¿Cuál es la resolución del mismo?¿Qué puntos se encuentran dentro de esta fracción?

(240) Usted está recién graduado y acaba de entrar a traba-jar en la empresa Soda, la cual elabora galletas. La compañía ha presentado algunos problemas económicos en los últimos tiempos, así que su misión es tratar de in-crementar la calidad y la productividad. Se le pide estu-diar la influencia de tres variables sobre la textura de la galleta:A = tiempo en el horno.B = % de leche.C = tipo de harina (nacional o importada)Escriba la matriz de diseño para un experimento 23

(completo).A partir de esa matriz de diseño tome las siguientes me-didas:

Nivel Textura(1) 10.0a 13.0b 8.0ab 15.1c 11.0ac 12.9bc 8.1abc 15.0

Determine cuáles de los factores son influyentes sobre la textura de la galleta.En los datos anteriores el factor C no es significativo. ¿Cómo podría interpretarse el diseño anterior en función de un diseño 22, donde sólo estuviesen involucrados los factores A y B?

(241) Usted es gerente de una planta de producción de de-tergentes. Se detectó que un problema de llenado se de-bía a la variabilidad en la densidad del detergente, por lo que se decidió realizar un experimento para determi-nar cuáles factores del proceso de producción afectan la densidad. Los factores (a 2 niveles) a considerar son los siguientes:

A = tiempo en la torre de secado.B = homogeneidad de la mezcla antes de entrar en la torre.

289

Palacios C. Severo

C = tiempo de reposo del detergente antes de ser en-viado a la línea de empaque.

D = contenido de carbonatos.E = velocidad del agitador de la mezcla.F = temperatura en la torre de secado.G = orden (normal o inverso) de adición de ciertos in-

gredientes.(242) Debido a que cada corrida corresponde a un día de

producción, se decidió reducir el tamaño del experimen-to, de 27 = 128 corridas, a una fracción de 27-3.Los resultados del experimento son los siguientes:

Nivel Densidad (g/ml)

(1) 338.0adg 388.5bdf 332.0abfg 239.0cdfg 309.5acf 206.0bcg 343.5acbd 333.5efg 342.0adef 213.0bdeg 295.0abe 405.0cde 393.0aceg 432.0bcef 325.0

abcde-fg

193.5

Diga cuál es la estructura de confusiones del experimen-to.Determine cuáles factores influyen significativamente en la densidad del detergente, así como cuáles interaccio-nes (de segundo orden) son significativas.

(243) Una empresa de consultoría debe llevar a cabo para un cliente un estudio experimental para determinar los efectos de seis variables sobre las propiedades físicas de cierto tipo de asfalto.Llamemos A, B, C, D, E y F a esas variables.Si se lleva a cabo un diseño factorial completo a dos ni-veles ¿cuántas corridas deben hacerse?Escriba una cuarta fracción del diseño que requiera sólo 16 corridas. Escriba una relación generadora para este diseño.

290


En el diseño que usted realizó, qué efectos están confun-didos con A y con BD.

(244) Considere un diseño factorial fraccional 25-2. Estudie la estructura de confusiones y la resolución de las frac-ciones que se obtienen de las siguientes formas:Partiendo de un 25 completo, se toman aquellos puntos donde las interacciones ABCDE y ABCD estén ambas a nivel alto.Partiendo de un 25 completo, se toman aquellos puntos donde dos interacciones de cuarto orden ABCD y BCDE estén en nivel alto.Partiendo de un 25 completo, tomando los puntos donde dos interacciones de tercer orden estén a nivel alto.Partiendo de un 23, asignando factores adicionales a dos interacciones de segundo orden, por ejemplo AB y AC.

(245) Suponga que se le presentan las siguientes alternati-vas:Correr un diseño 26 completo.Correr un diseño 26-2 replicado cuatro veces. Comente en que condiciones es preferible utilizar uno u otro

(246) Se describe un experimento en el cual se utilizó un di-seño 25-1 con I = ABCDE para investigar los efectos de cinco factores sobre el color de un producto químico. Los factores son A: solvente/reactivo, B: catalizador/reactivo, C: temperatura, D: pureza del reactivo y E: pH del reactivo. Los resultados fueron como sigue:

Pun-to

Color Punto Co-lor

e -0.63 d 6.79a 2.51 ade 5.47b -2.68 bde 3.45

abe 1.66 abd 5.68c 2.06 cde 5.22

ace 1.22 acd 4.38bce -2.09 bcd 4.30abc 1.93 abcde 4.05

Que efectos parecen ser significativosCalcule los residuos.Si uno o más de los factores son despreciables, contrai-ga el diseño 25-1 a un factorial completo con los factores significativos.

291

Palacios C. Severo

Suponga que debe correr un experimento 25, pero que por restricciones en la elaboración de la materia prima debe hacerlo en 4 bloques. Indique los puntos del diseño que deben desarrollarse en cada bloque y cuales efectos están confundidos con los bloques.

(247) Se estudia la influencia de 7 factores sobre la viscosi-dad de un aceite producido en una nueva planta experi-mental. Para ello se utilizó un diseño 27-3 donde I=-AB-CE=BCDF=ACDG son los generadores utilizados. Los resultados obtenidos son:Analice los resultados obtenidos y determine los factores significativos sobre la viscosidad.

Nivel Viscosidade 33,74ag 35,90bf 32,53

abefg 35,38cfg 24,46acef 30,24bce 23,82abc 30,27defg 23,30adf 23,38bdg 20,67abde 23,17

cd 26,07acdeg 32,09bcdef 26,29

abcdfg 32,03En caso de poder correr una nueva secuencia de puntos, ¿cuáles escogería?

(248) Se describe un factorial fraccionado replicado para in-vestigar el efecto de cinco factores sobre la altura libre de muelles de hojas utilizados en aplicación automotriz. Los factores son A: temperatura del horno, B: tiempo de calentamiento, C: tiempo de transferencia, D: tiempo de inmersión y E: temperatura del aceite de templar. Los datos se presentan enseguida:

A B C D E I II II-+-+-+

--++--

----++

-++-+-

------

7,78

8,15

7,50

7,78

8,18

7,56

7,81

7,88

7,50

292


-+-+-+-+-+

++--++--++

++----++++

-+-++-+--+

--++++++++

7,59

7,54

7,69

7,56

7,56

7,50

7,88

7,50

7,63

7,32

7,56

7,18

7,81

7,56

8,00

8,09

7,52

7,81

7,25

7,88

7,56

7,75

7,44

7,69

7,18

7,50

7,75

7,88

8,06

7,44

7,69

7,12

7,44

7,50

7,56

7,44

7,62

7,25

7,59

Determine la estructura de confusiones para este dise-ño.Cuáles son los puntos incluidos en este diseñoQué factores influyen en la altura libre mediaExiste evidencia de que alguno de los factores influya en la variabilidad de la altura libreAnalice los residuos de este experimento en cada caso y comente los resultados.

(249) Se realiza un experimento para determinar la influen-cia de la presión (A), temperatura (B) y concentración (C) sobre la viscosidad de un detergente líquido. Para ello se ha decido utilizar un diseño 23 con una sola répli-ca, el cual debe desarrollarse en dos bloques. ¿Cuál de las siguientes dos opciones preferiría y por qué?Opción 1:

Bloque I Bloque II Bloque III

Bloque IV

aabc

(1)bc

bc

acab

Opción 2:Bloque I Bloque II Bloque Bloque

293

Palacios C. Severo

III IV(1)abc

bac

abc

abc

(250) Si alguien le propone correr un experimento 26 en ocho bloques, ¿qué le diría?

(251) En un esfuerzo por incrementar la producción se reali-zó un experimento en una planta de manufactura de dis-positivos de semiconductor. Se estudiaron cinco facto-res, cada uno a dos niveles. Los factores y niveles son. A: apertura del diafragma (pequeña, grande), B: tiempo de exposición (20% abajo y arriba del valor nominal), C: tiempo de revelado (30 y 45 seg), D: dimensión de la pan-talla (pequeña, grande) y E: tiempo de corrosión selectiva (14.5 y 15.5 minutos). El experimento se corrió en dos blo-ques:

Bloque I Bloque IIPunto Producción Punto Producción

a 9 (1) 7b 34 ab 555c 16 ac 20

abc 60 bc 40d 8 ad 10

abd 50 bd 32acd 21 cd 18bcd 44 abad 61e 8 ae 12

abe 52 be 35ace 22 ce 15bce 45 abce 65ade 10 de 6bde 30 abde 53cde 15 acde 20

abcde 63 bcde 41Indique que efectos están confundidos con el bloque.Identifique los efectos significativos y realice recomen-daciones sobre las condiciones de operación del proce-so.Puede proyectarse este diseño en un 2k más pequeño.

(252) Se desea realizar un experimento 25-1, pero los lotes de materia prima permiten correr un máximo de 10 puntos en cada uno. Indique como debería realizarse este expe-rimento.

(253) Una planta química produce oxígeno licuando aire y separándolo en los diferentes gases que lo componen

294


por medio de destilación fraccionada. La pureza del oxí-geno obtenido es una función de la temperatura del con-densador principal y del cociente de presiones entre la columna superior y la inferior. Las condiciones actuales de operación son temperatura (1) = -220ºC y cociente de presión (2) = 1.2. Usando los datos que se dan a continuación, ajuste un modelo de primer orden, pruebe las hipótesis necesarias para comprobar su ajuste y determine el camino de ascenso máximo.

Temperatu-ra (1)

Cociente de presiones (2) Pureza (%)

-225 1,1 82,8-225 1,3 83,5-215 1,1 84,7-215 1,3 85,0-220 1,2 84,1-220 1,2 84,5-220 1,2 83,9-220 1,2 84,3

(254) El diseño experimental para la lixiviación de minerales auríferos mediante un Factorial Fraccionado 28-4, toma las siguientes variables y rangos.

FactoresNiveles

- 0 +X1: Aglutinante (kg/t)X2: Sal oxidante (kg/t)X3: Tipo mineralX4: Humedad (%)X5: Aglomerante (kg/t)X6: Agente lixiviante ppmX7: Radio riego (l/h.m²)X8: tiempo curado (h)

50,11/210

0,02270516

100,81/114

0,068507,556

151,52/118

0,11341001096

Prueba

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 Y

12345678910111213

-+-+-+-+-+-+-

--++--++--++-

----++++----+

--------+++++

-++-+--+-++-+

-++--+--+--++

-+-+--+-+-+--

--++++--++---

76,380,886,284,379,185,782,281,981,887,571,979,381,6

295

Palacios C. Severo

14151617181920

+-+0000

-++0000

+++0000

+++0000

--+0000

--+0000

+-+0000

-++0000

87,485,084,285,985,683,085,7

Analice los datos de % de recuperación de oro de todas las pruebas estadísticamente para determinar el grado de in-fluencia de cada variable independientemente y sus interac-ciones.

XIX. DISEÑO DE PLACKETT – BURMAN

296


Es posible construir diseños para investigar hasta K=N-1 fac-tores con sólo N ensayos, en donde N es un múltiplo de 4.

Frecuentemente estos diseños son útiles en la experimenta-ción industrial. De particular importancia son las que requie-ren ocho ensayos para hasta siete factores y dieciséis ensayos para hasta quince factores. Se dice que este es una Variedad del diseño factorial fraccionado.

Estas variedades son muy útiles para estudiar factores que no han sido estudiados. El primer diseño es una fracción de un diseño 27. Esta puede construirse escribiendo primero los ni-veles positivo y negativo de un diseño 23 completo con los fac-tores ABC y después conocido los niveles de los otros cuatro factores con las interacciones de los tres factores originales como aparece: D=AB, E=AC, F=BC, G=ABC.

El diseño constituye una fracción de dieciseisavo y, además, es una fracción principal los signos generadores son positi-vos.

Es posible utilizar los siete grados de libertad de este diseño.

Para estimar los siete efectos principales. Cada uno de estos factores tiene quince alias. Sin embargo, la estructura de los alias se simplifica considerablemente, si se supone que las in-teracciones de tres o más factores son despreciables. Hacien-do esta suposición, cada combinación lineal asociada a los sie-te efectos principales de diseño realmente estima el efecto principal y tres interacciones bifactoriales.

A+BD+CE+FG B+AD+CF+EG C+AE+BF+DG D+AB+CG+EFE+AC+BG+DF F+BD+AG+DE G+CD+BE+AF

El diseños Plackett-Burman es útiles cuando N = 8, 12, 16, 20, 24, y 36.

A continuación se presentan los renglones de signos positivos y negativos usados para construir los diseños de Plackett-Bur-man.

K=7 N=8 - - - - + + +K=11 N=12 + + - + + + - - - + -K=15 N=16 - - - - - - - - + + + + + + +

297

Palacios C. Severo

K=19 N=20 + + - - + + + + - + - + - - - - + + -k=23 N=24 + + + + + - + - + + - - + + - - + - + - - - -K=35 N=36 - + - + + + - - - + + + + + - + + + - - + - - - - + - + -

+ + - - + -

El diseño de 12 corridas se proyectará en tres réplicas de un diseño 22 completo en cualquiera de los 11 factores origina-les.

Tabla 6.79 Diseño PLACKETT-BURMAN para N=8 y k=7Prueba A B C D E F G

12345678

-+-+-+-+

--++--++

----++++

-++-+--+

++----++

+-+--+-+

+--++--+

Sin embargo, en tres factores el diseño proyectado es un fac-torial 23 completo más un factorial fraccionado 23-1.

Los diseños Plackett-Burman se obtienen escribiendo el ren-glón apropiado N y k en forma de columna o renglón. Una se-gunda columna o renglón se genera a partir de la primera mo-viendo los elementos de la columna o renglón un lugar hacia abajo y colocando el último elemento en la primera posición. Simultáneamente, se genera una tercera columna o renglón a partir de la segunda. Este procedimiento se continúa hasta que se genera la columna o renglón k. A continuación se agre-ga un renglón de signos negativos para cada factor. Por ejem-plo

Los diseños de Plackett-Burman tienen estructura de alias muy intrincada. En un diseño de doce pruebas, cada efecto principal tiene todo los alias parcial y toda interacción de dos factores en la que no participe el mismo, la interacción AB tie-ne como alias los nueve efectos principales C, D, ...

298


Las propiedades de proyección de los diseños Plackett-Bur-man no son extraordinariamente atractivas. Consideremos el diseño de 12 pruebas. Este diseño se proyecta en tres replicas de un diseño 22 completo en cualquiera de los once factores originales. Sin embargo en tres factores el diseño proyectado es un factor 23 completo más un factorial fraccionado.

Ejemplo 6.78Se estudia la flotación de un mineral sulfurado de cobre. Los factores que inicialmente se consideran importantes son: Co-lector (A), espumante (B), tiempo de acondicionamiento (C), agitación (D), temperatura (E), porcentaje de sólidos (F) y pH (G). Se consideran dos niveles de cada factor. Se sospecha que sólo unos cuantos de estos siete son despreciables. Se de-cide llevar a cabo el experimento con el propósito de identifi-car los factores más importantes para concentrar los estudios futuros sobre estos factores.

Tabla 6.80Diseño PLACKETT-BURMAN para N=8 y k=7Prueba A B C D E F G Y Y2

12345678

-+-+-+-+

--++--++

----++++

-++-+--+

++----++

+-+--+-+

+--++--+

929091

91,291,692

91,692

31,8

35,8

29,1

36,2

44,5

36,1

38,1

31,6

Donde:

Y porcentaje de recuperación.Y2 porcentaje de eficiencia de la recuperación, parámetro

definido

Como

299

Palacios C. Severo

C = Ley de concentrado obtenidoCm= Ley de cabezah = Ley máxima de concentración obtenida

Con los datos es posible estimar los siete efectos principales y sus alias:

Los tres efectos más grandes son C, D, E. La interpretación más simple de datos es que los efectos principales de C, D y E son significativos. Sin embargo, esta interpretación no es úni-ca, ya que se pude concluir lógicamente que C, D y la interac-ción CD o quizás D, E y la interacción DE, o quizás C, E y la interacción CE son los efectos verdaderos.

Tabla 6.81 Diseño PLACKETT-BURMAN para N=8 y k=7Prueba A B C D E F G Y Y2

12345678

-+-+-+-+

--++--++

----++++

-++-+--+

++----++

+-+--+-+

+--++--+

949194,6

92,2

92,5

93,2

92,6

92,6

3,211,7

55,3

48,4

48,4

48,6

35,8

45,0

Obsérvese que CDE en una palabra es la relación definitiva para este diseño. Por lo tanto, este diseño no se proyecta en una factorial 23 completo en CDE; más bien, se proyecta en dos réplicas de un diseño factorial fraccionado 23-1, de modo 300


que las interacciones no puedan separarse de los efectos prin-cipales. Al parecer el experimentador no tuvo éxito al escoger los factores. Si hubiese asignado el nivel A en vez de D y B en vez de E, el diseño se habría proyectado en un diseño 23 com-pleto.

Para separar los efectos principales y las interacciones bifac-toriales, se corre una replica fraccionada con todos los signos invertidos.

Los efectos estimados para está fracción será:

Al combinar esta fracción con la original se obtiene las si-guientes estimaciones de los efectos:

Tabla 6.82i ½(Li+L´i) ½( Li+L´i)ABCDEFG

A = 1,6B = -0,3C = 2,2D = 0,9E = -2,0F = 1,3G = -0,7

BD+CE+FG = -2,6

AD+CF+EG = 0,5AE+BF+DG = 0,8AB+CG+EF = 1,3AC+BG+DF = 4,6BC+AG+DE = -

1,5CD+BE+AF = -

1,5

Ejemplo 6.79El ejemplo 6.78 se desea estudiar mediante el diseño Placke-tt-Burman con bloques.

Tabla 6.83 Diseño PLACKETT-BURMAN con bloquePrue-

baA B C D E F G Y

1234

-+-+

--++

----

+--+

+-+-

++--

-++-

92909191,

301

Palacios C. Severo

5678

-+-+

--++

++++

+--+

-+-+

--++

+--+

291,69291,692

Bloque I Bloque IIdefabdacebcf

====

92,091,292,091,6

afgbegadgabcde-fg

====

90,0

91,0

91,6

92,0

Σ 366,8 Σ 364,6Σ 731,4

Efectos:

Tabla 6.84 Análisis de varianzaFuente SC GL CM Fo Ft(99)

BloqueACDEError

0,6050,1251,1250,6050,8450,010

111112

0,6050,1251,1250,6050,8450,005

12125225121169

><>>>

98,598,598,598,598,5

Total 3,315 7 R2 = 99,69%

302


Para el cálculo de los efectos e interacciones y suma de cua-drados, se procedió por la técnica de Yates. Se ha decidido que las interacciones de valores mínimos son despreciables, por lo que la suma del error se tomo como la suma de cuadra-dos de B y F. Para el bloque se tomo la suma de cuadrados de G.Problemas

(255) Al problema 193 del diseño factorial fraccionado. Eva-lué por el método de Plackett-Burman y concluya las di-ferencias.

(256) Se estudia un proceso nuevo con siete factores aplique el método, siendo D=-AB, E=-AC, G=-ABC

Y: 94, 91, 94, 92, 93, 91, 94, 95(257) Se recupera oro por un método innovativo, se tienen

siete factores, aplique Plackett-Burman, tome G=-ABC. Se obtiene dos vectores respuesta.

Y1: 90,9 90,2 92,8 93,6 92,2 93,5 93,3 94,0Y2: 92,0 90,0 91,0 91,2 90,3 92,0 90,2 89,5

(258) Se lixivio una cola sulfurada con contenido de plata, plomo y cobre, en medio clorurante-oxidante, con el fin de aumentar la solubilidad de la plata en forma compleja AgCI-. Efectuando el estudio de los diagramas de Pour-baix y estabilidad de los complejos. Estudiamos siete va-riables A: cloruro férrico, B: Cloruro de sodio, C: Tempe-ratura, D: gas cloro, E: Tiempo, F: tamaño de grano, G: porcentaje de sólidos. Se decide efectuar el experimento con el propósito de identificar los factores importantes.

Y: 85 89 92 95 83 86 92 98(259) Se lixivio colas refractarias sulfuradas de oro con sales

oxidantes en medio ácido (Patente del Autor) siendo las variables A: cloruro de sodio B: ácido sulfúrico, C: agen-te oxidante D: tiempo, E: tamaño de grano, F: porcentaje de sólidos, G: temperatura. El experimento se efectuó en un tanque de agitación, Obteniéndose el vector respues-ta.

Y: 94 90 92 96 93 98 95 97(260) Se lixivio mineral refractario con contenido metálico

valioso de oro, rutilo, germanio, indio adicionando sales oxidantes (Patente del Autor) siendo sus variables A: porcentaje de sólidos, B: ácido sulfúrico, C: ácido clorhí-

303

Palacios C. Severo

drico, O: cloruro de sodio, E: Agente oxidante, F: tiempo de acondicionamiento, G: Temperatura. Se efectuó el ex-perimento con el propósito de identificar los factores im-portantes. Por ser un estudio innovativo se efectuó dos bloques, siendo:

Bloque I, Y: 89 98 86 95Bloque II, Y: 90 85 88 92

(261) Desarrolle un método para un diseño Plackett-Burman con bloque replicado.

(262) Es factible adicionar variables ficticias a un diseño de Plackett-Burman.

(263) Elabore un modelo matemático para los problemas 170, 171 y 172.

(264) En una planta de tratamiento de agua, se estudia un nuevo filtro que presenta problemas en su implementa-ción, de tal manera que retarda el sistema de filtración. Después de realizar múltiples análisis se ha establecido que la causa se debe a

Factores Niveles- +

A: Tipo de aguaB: Temperatura de filtra-ciónC: RecicladoD: Flujo de adición de baseE: Material del filtroF: Tiempo de almacena-miento

PozoMedia

SíMediaNuevoMedio

CanalAltaNoAlta

UsadoAlto

Se desea realizar la experiencia con el menor número de pruebas posibles y el menor tiempo posible, como míni-mo 8 pruebas.¿Establezca la estructura Alias, y verifique que efectos están mezclados entre sí y que efectos pueden estimarse como constantes?Suponiendo que las respuestas son las siguientes:Y1: 68, 78, 66, 81, 78, 41, 69, 39Y2: 70, 80, 63, 85, 80, 45, 71, 41¿A que factores se debe el retardo de la filtración?

(265) Una empresa tiene problemas en controlar el tamaño de cierto producto. Sus funcionarios han detectado que las variables están provocadas por la distribución irregu-lar de la temperatura del horno de secado. Sin embargo en vez de resolver el problema directamente sugiere re-

304


ducir la influencia de las variables sobre la temperatura, considerando los siguientes factores

Factores Niveles- +

A: Tipo de materia primaB: Granulometría del mate-rialC: AglutinanteD: Material usadoE: Cantidad de cargaF: ColoranteG: Aditivo

OriginalFina

10

120430

UsadaGruesa

82

150634

Después de realizar múltiples ensayos se midió el núme-ro de productos rechazados por cada 100.10, 21, 17, 15, 30, 5, 12, 25, 36, 45, 28, 16¿Como se reduciría el número de productos rechazados producto de la mala distribución de la temperatura en el horno de secado?

(266) El diseño experimental para la lixiviación de minerales auríferos mediante el Plackett-Burman, toma las siguien-tes variables y rangos.

FactoresNiveles

- 0 +X1: Aglutinante (kg/t)X2: Sal oxidante (kg/t)X3: X4: Humedad (%)X4: Aglomerante (kg/t)X5: Agente lixiviante ppmX6: Radio riego (l/h.m²)X7: tiempo curado (h)

50,110

0,02270516

100,814

0,068507,556

151,518

0,11341001096

Se desarrolla el proceso con pruebas centrales.

Analice los datos de % de recuperación de oro de todas las pruebas estadísticamente para determinar el grado de influencia de cada variable independientemente y sus interacciones.

305

Palacios C. Severo

XX. DISEÑOS FACTORIALES 3n

La inclusión de más factores al diseño de tratamientos au-menta la complejidad de los patrones de interacción entre los factores de tratamiento. El número de combinaciones de tra-tamientos aumenta tanto como se agregan factores al diseño, es decir, un diseño de tres factores con a niveles de A, b nive-les de B y c niveles de C, tiene abc combinaciones. Un cuarto factor, D, con d niveles aumenta el número de tratamientos en un múltiplo de d.

El diseño con dos factores permite la investigación de la inte-racción de primer orden o doble, AB. En el diseño con tres factores las dos interacciones de primer orden adicionales, AC y BC, amplían las inferencias del estudio y debe conside-rarse además una interacción de segundo orden o de tres fac-tores (o triple), ABC. Las interacciones de tercer orden o de

306


cuatro factores como ABCD, introducen mayor complejidad en la estructura de la inferencia de la interacción.

Tabla 6.85 Cálculos de las particiones de sumas de cuadrados lineales y cuadráticas

Varios Días

Me-dias

Sl Sq Dl Dq SlDl SlDq SqDl SqDq

0

6

12

142128142128142128

2,755,35

12,804,106,55

10,203,105,207,95

-1-1-1000111

111-2-2-2111

-101-101-101

1-211-211-21

10-1000-101

-12-10001-21

-10120-2-101

1-21-24-21-21

SCEfectos

-4,76,07,2-

0,78

-4,618,02,3-

0,25

21,06,0

147,0

3,50

6,718,05,0

0,37

-5,24,013,5

-1,30

-4,212,02,9-

0,35

2,712,01,20,23

3,136,00,5

0,09

Cálculo de los coeficientes para contraste polinomial ortogonal de las interac-ciones

Sl

Dl

-1-1

-10

-11

0-1

00

01

1-1

10

11

Sl

Dl

1 0 -1 0 0 0 -1 0 1

Ejemplo 6.80El camarón desova en el mar y los huevos se transforman en lama mientras son transportados a la costa, pasada la etapa larvaria entran en los estuarios, donde crecen con rapidez y se convierten en pre-adultos que emigran de nuevo al mar pa-ra alcanzar ahí su madurez sexual.

Como resultado de sus migraciones, el camarón encuentra una amplia variación de la temperatura y salinidad durante su ciclo de vida, por lo que es de gran importancia conocer cómo afectan su crecimiento para entender su vida y ecología.

307

Palacios C. Severo

Cuando se realizó este experimento había un gran interés en el cultivo comercial del camarón y, desde el punto de vista de la acuacultura, otro factor importante era la densidad de al-macenamiento en los tanques de cultivo, ya que esta afecta la competencia entre los ejemplares adultos y jovenes.

Tabla 6.86 Aumento del peso de los camarones cultivados en acuariosT D S Aumento peso

(mg)25

30

80

160

80

160

102540102540102540102540

8654439053393249439249247324352188

5237129073398265436245277305267223

7348239786208243349330205364316281

Tabla 6.87 Análisis de varianza para el aumento de peso en los camarones cultivados

Fuente SC GL CM Fo Ft(99)TemperaturaSalinidadDensidadTSTDSDTDSError

15376,00

96762,50

21218,78

300855,17

8711,11674,39

24038,39

69690,67

1212122

24

15376,00

48381,25

21218,78

150427,58

8711,11337,19

12019,19

2903,78

5,3016,667,31

51,803,000,124,14

<>>><<<

7,245,617,245,617,245,615,61

Total 537327,01

35

Tabla 6.88 Aumento de peso en cuatro semanas de camaronesDensidad

Temperatura (80°C)

Temperatura (160°C)

308


Salinidad (%)

25 35 25 35

102540

70466359

408275243

71333252

331312231

220346271

Media TxD 298 309 219 291Las interpretaciones deben estar condicionadas a alguna me-dida de significancía estadística junto con la significancía bio-lógica de las respuestas. Se requieren los errores estándar de las medias de celdas y marginales para cualquier prueba esta-dística subsecuente de comparaciones específicas; el error es-tándar para cualquier media es , donde n es el número de observaciones en la media y el error estándar de la diferencia entre cualquier par de medias es

. Los errores estándar estimados para el experimento de cultivo de camarón se muestran en la tabla 6.89

Media TxD Media DxSD S

T 10 25 40 D 10 25 40

2535

71370

399

293

306

237

259

300

80160

239

201

370

322

301

242

303

255

Interpretaciones de los efectos de los factores

La significancía de la interacción de estos factores indica que temperatura, salinidad y densidad se interrelacionan en cuan-to a su efecto sobre el crecimiento del camarón.

La interacción significativa de los tres factores implica que la interacción entre dos de ellos no es constante para los niveles del tercer factor. Considere la interacción entre la densidad y la salinidad por separado, a temperaturas de 25 y 35°C, como se muestra en las gráficas de medias de celdas de aumento en el peso de los camarones cultivados.

Para interpretar los resultados se puede usar una compara-ción de los efectos simples de la salinidad sobre cada nivel de densidad y temperatura, los efectos simples de la salinidad se estiman mejor como contrastes polinomiales ortogonales li-

309

Palacios C. Severo

neales y cuadráticas para cada combinación de temperatura y densidad.

Tabla 6.89 Errores estándar para las medias de celdas y marginalesTemperatura: a=2 niveles; Densidad: b= 2 niveles; Salinidad: c= 3

nivelesMedias de los factores principales

Temperatura Salinidad Densidad

Medias marginales de dos factoresDensidad por temperatura Densidad por salinidad

Salinidad por temperatura Medias de celdas

Aumento en el peso de los camarones cultivados en un arreglo factorial de2x2x3 de temperatura, densidad y salinidad

Los coeficientes cuadráticos de salinidad se calcularon como contrastes polinomiales ortogonales para las cuatro combina-ciones de temperatura y densidad, a partir de las medias de celdas de la tabla 6.86, con un patrón similar al que propor-ciona la tabla 6.88. Por ejemplo, el coeficiente cuadrático de salinidad a 25°C y densidad de 80 es:

310


con error estándar . Las estimaciones de un ICS del 95% se calcularon para los cuatro coeficientes se-gún la de Bonferroni.

Las estimaciones de un ICS del 95% para los coeficientes cua-dráticos de una salinidad a 25°C son (-118,1; -49,5) para una densidad de 80 y (-91; -22,9) para una densidad de 160, mien-tras que las estimaciones respectivas para esas densidades a 35°C son (-17,5; 51,1) y (44,6; 24,0). Es claro que la cuadratu-ra a 25°C es significativa, ya que el ICS del 95% no incluye al 0; y no significativa a 35°C, pues esos intervalos sí lo inclu-yen.

Problemas

(267) Los datos representan el porcentaje de hombres entre 55 y 64 años con niveles auditivos de 16 decibeles por encima del cero métrico de sonido. Las categorías por renglón son los niveles de sonido en ciclos por segundo (hertz) y las columnas describen siete categorías ocupa-cionales.

BA 1 2 3 4 5 6 7

1234567

2,11,714,457,466,275,24,1

6,88,114,862,481,794,010,2

8,48,427,037,453,374,310,7

1,41,430,963,380,787,95,5

14,612,036,565,579,793,318,1

7,93,736,465,680,887,811,4

4,84,531,459,882,480,56,1

6,65,727,358,875,084,79,4

-31,6

-32,5

-10,920,636,846,5

-28,8

31,6 39,7 31,4 38,7 45,7 41,9 38,5

311

Palacios C. Severo

-6,6 1,5 -6,8 0,5 7,5 3,7 0,3

6719

7730

5046

7776

6850

7313

7192

(268) Un proceso de producción química consiste en la pri-mera reacción de un alcohol y una segunda reacción con una base. Se realizó un experimento factorial de 3x2, con tres alcoholes y dos bases, con cuatro reacciones réplica en un diseño totalmente aleatorizado. Los datos se reunieron como porcentaje de la reacción.

AlcoholBase 1 2 3

1 91,390,7

89,991,4

89,390,4

88,191,4

89,588,3

87,690,3

2 87,391,5

89,488,3

92,390,6

91,594,7

93,191,5

90,789,8

Escriba un modelo lineal para este experimento, expli-que los términos y calcule el análisis de varianza.Construya una tabla de medias de celdas y marginales.

(269) Una compañía probó dos métodos químicos para deter-minar la glucosa en el suero. Se usaron tres recipientes con suero para el experimento, cada uno contenía distin-tos niveles de glucosa mediante la adición de glucosa al nivel base. Se prepararon tres muestras de suero de ca-da recipiente independientes del nivel de glucosa, con cada uno de los dos métodos químicos. Se midió la con-centración de glucosa (mg/dl) de todas las muestras en una corrida del espectrómetro.

Método I Método IIGluco-

sa1 2 3 1 2 3

42,543,342,9

138,4

144,4

142,7

180,9

180,5

183,0

39,840,341,2

132,4

132,4

130,3

176,8

173,6

174,9

Escriba un modelo lineal para este experimento, expli-que los términos, realice un análisis de varianza para los datos y calcule los residuales. ¿Es necesaria una trans-formación de los datos? Explique.Si es necesaria, calcule la transformación de los datos y el análisis de varianza respectivo.

312


(270) Se llevó a cabo un estudio del efecto de la temperatura sobre el porcentaje de encogimiento de telas teñidas, con dos réplicas para cada uno de cuatro tipos de tela en un diseño totalmente aleatorizado. Los datos son el por-centaje de encogimiento de dos réplicas de tela secadas a cuatro temperaturas.

Temperatura (°C)Tela 210 215 220 225

1234

1,82,22,83,2

2,12,43,23,6

2,04,24,43,3

2,14,04,83,5

4,65,48,75,7

5,05,68,45,8

7,59,813,2

10,9

7,99,213,0

11,1

Escriba un modelo lineal para el experimento y calcule el análisis de varianza.Divida la suma de cuadrados del efecto principal de la temperatura en particiones con 1 grado de libertad para las sumas de cuadrados de regresión lineal y cuadrática.Haga una partición de sumas de cuadrados de la interac-ción temperatura x tela en sumas de cuadrados de inte-racción temperatura lineal x tela y temperatura cuadrá-tica x tela y pruebe la hipótesis nula de que no hay inte-racción para las respectivas particiones.

(271) Se realizó un experimento de microbiología de suelos para determinar el efecto de la fertilidad del nitrógeno en la fijación de nitrógeno por bacterias Rizhobium. El experimento se ejecutó con tres cosechas; alfalfa, soya y habas. Se inocularon dos plantas con el Rhisobium y se cultivaron en un frasco de Leonard con una de las tres siguientes tasas de nitrógeno en el medio: 0,50 y 100 ppm N. Se usaron cuatro réplicas de frascos de Leonard para cada una de las 12 combinaciones de tratamiento, los tratamientos se arreglaron en un diseño totalmente aleatorizado en una cámara de cultivo y se midió la re-ducción de acetileno para cada tratamiento en la etapa de florecimiento de las plantas. La reducción de aceti-leno refleja la cantidad de nitrógeno que fija la bacteria en la relación simbiótica con la planta

CultivoNitrógeno Alfalfa Soya Habas

0 2,60,9

1,11,2

6,53,9

2,64,3

0,82,2

0,91,2

313

Palacios C. Severo

50

100

0,00,00,00,0

0,00,00,00,0

0,60,30,00,1

0,60,80,10,0

0,70,30,30,0

0,40,80,10,1

Escriba un modelo lineal para este experimento, expli-que los términos y calcule el análisis de varianza.Realice un análisis residual y determine si es necesaria una transformación de los datos. Si lo es, transforme los datos y calcule el análisis de varianza para los datos transformados.Pruebe la hipótesis nula de que no hay efectos de inte-racción de cultivo, nitrógeno o cultivo x nitrógeno.Divida la suma de cuadrados del efecto principal del ni-trógeno y de la interacción nitrógeno x cultivo en parti-ciones con 1 grado de libertad para regresión lineal y cuadrática.

(272) Un agrónomo realizó un experimento para determinar los efectos combinados de un herbicida y un insecticida en el crecimiento y desarrollo de plantas de algodón (delta de hoja suave). El insecticida y el herbicida se in-corporaron al suelo usado en los contenedores de culti-vo; se usaron cuatro contenedores cada uno con cinco plantas de algodón, para cada combinación de trata-miento. Los contenedores se arreglaron dentro del inver-nadero en un diseño totalmente aleatorizado. Se usaron cin-co niveles tanto de insecticida como de herbicida para obte-ner 25 combinaciones. Los datos que siguen son las medias de celdas para el peso de las raíces secas cuando las plantas tenían tres semanas.

HerbicidaInsectici-

da0 0,5 1,0 1,5 2,0

020406080

122,0

82,75

65,75

68,00

57,50

72,50

84,75

68,75

70,00

60,75

52,00

71,50

79,50

68,75

63,00

36,25

80,50

65,75

77,25

69,25

29,25

72,00

82,50

68,25

73,25

Cuadrado medio del error experimental = 174 con 75 GL

314


Calcule las particiones de sumas de cuadrados de regre-sión con 1 grado de libertad para las sumas de cuadra-dos de herbicida, insecticida e interacción. Calcule un polinomio de grado no mayor a la regresión cúbica para el herbicida o el insecticida.

(273) Se realizó un experimento sobre la duración de tela re-cubierta sujeta a pruebas con abrasivos normales. El di-seño factorial de 2x2x3 incluyó dos sustancias distintas (F1, F2) en tres proporciones diferentes (25%, 50%, 75%) con y sin tratamiento de superficie (S1, S2); se probaron dos especimenes réplica de cada una de las 12 combina-ciones en un diseño totalmente aleatorizado. Los datos corresponden a la pérdida de peso (mg) de los especime-nes de tela por la prueba de abrasión.

Tratamiento de superficie y sus-tancia

S1 S2

Proporción sustancia

(%)F1 F2 F1 F2

25

50

75

194208233241265269

239187224243243226

155173198177235229

13716012998155132

Escriba un modelo lineal para el experimento, explique los términos y calcule el análisis de varianza.Prepare una tabla de medias de celdas y marginales con sus respectivos errores estándar.

(274) Un científico de suelos realizó un experimento para evaluar una red de resistencias de cuatro electrodos y calcular la electrocondutividad (EC) del suelo en celdas conductivas de acrílico especiales. El objetivo del estu-dio era evaluar la relación entre la EC medida y la salini-dad del agua en el suelo con diferentes cantidades de agua. Se incluyeron tres texturas básicas de suelo, ya que la EC es específica de la textura; se usaron dos cel-das para cada combinación de tratamiento y los tres ti-pos de suelo fueron arena arcillosa, arcilla y barro. El agua salina, en tres niveles, se basó en la EC del agua a 2,8, y 16 dS/m (decisiemens/metro) y se establecieron tres niveles de contenido de agua en el suelo, 0%, 5% y

315

Palacios C. Severo

15%. El experimento resultante fue un arreglo factorial de 3x3x3 con dos réplicas en un diseño totalmente alea-torizado; los siguientes son los valores de EC del suelo determinados con base en las lecturas de la red de cua-tro electrodos.

Salini-daddel

agua

2 8 160 5 15 0 5 15 0 5 15

Arena

Arcilla

Barro

0,60

0,48

0,98

0,93

1,37

1,50

1,69

2,01

2,21

2,48

3,31

2,48

3,47

3,30

5,68

5,11

5,47

5,38

0,05

0,12

0,15

0,26

0,72

0,51

0,11

0,09

0,23

0,35

0,78

1,11

0,06

0,19

0,40

0,75

2,10

1,18

0,07

0,06

0,07

0,21

0,40

0,57

0,08

0,14

0,23

0,35

0,72

0,88

0,22

0,17

0,43

0,35

1,95

2,87

Escriba un modelo lineal para este experimento, expli-que los términos y calcule el análisis de varianza.Prepare una tabla de medias de celdas y marginales con sus respectivos errores estándar.

(275) Se colocaron cinco varillas de níquel de 1 mm de diá-metro en un sujetador metálico en una suspensión de óxido de aluminio y se aplicó una tensión de 100 volts entre las varillas de níquel y el contenedor con la sus-pensión de óxido de aluminio. Se registró el grueso de la capa de óxido de aluminio depositada en las varillas a tres posiciones de altura de las varillas; los datos que si-guen son el grueso del depósito en micrones.

Posición sujetador varilla de níquelAltu-

ra1 2 3 4 5

123

125126130

130150155

128127168

134124159

143

118

138

Escriba un modelo lineal para este experimento, expli-que los términos y establezca las suposiciones del mode-lo.

316


Serán válidas las suposiciones del modelo para este ex-perimentoAdmitiendo esas suposiciones como razonablemente vá-lidas. Calcule el análisis de varianza para los datos.

(276) Un entomólogo realizó un experimento sobre la ener-gía consumida por las abejas de miel al beber, para de-terminar el efecto de la temperatura del ambiente y la viscosidad del líquido en el consumo de energía.Los niveles de temperatura fueron 20, 30 y 40°C, la vis-cosidad del líquido se controló por las concentraciones de sacarosa, que eran de 20, 40 y 60% del total de sóli-dos disueltos en el líquido que bebían las abejas de miel. El entomólogo registró la energía gastada por las abejas en joules/segundo. Los datos que siguen corresponden a tres réplicas de cada uno de los nueve tratamientos en un diseño totalmente aleatorizado.

Temperatu-ra (°C)

Sacarosa (%)20 40 60

203040

3,16,07,7

3,76,98,3

4,77,59,5

5,511,5

15,7

6,712,9

14,3

7,313,4

15,9

7,917,5

19,1

9,215,8

18,0

9,314,7

19,9

Calcule las particiones de regresión de sumas de cua-drados con 1 grado de libertad, las sumas de cuadrados para el % de sacarosa y la interacción.

XXI. DISEÑOS ROTABLES

317

Palacios C. Severo

Para la forma de análisis de datos del modelo que sirve como ejemplo consiste sólo en adecuar una regresión de primer or-den a los datos que genera el experimento de simulación, un diseño factorial completo de dos niveles o un fraccionado, Pla-ckett-Burman proporcionarán la precisión suficiente para lo-grar una estimación de los coeficientes de la ecuación de re-gresión. No obstante si se adapta un polinomio de segundo orden o de un orden más alto a los datos de salida, un diseño factorial fraccionado puede producir estimaciones de paráme-tros de los coeficientes de los términos elevados al cuadrado con una precisión relativamente baja.

Un diseño rotacional para ajustar un modelo de segundo or-den debe tener por lo menos tres niveles de cada factor. Exis-ten muchos diseños que podrían emplearse para ajustar un modelo de segundo orden.

Uno de los niveles, el central en el cual se repiten las pruebas experimentales, sirven para evaluar la varianza del error ex-perimental desarrollado durante las pruebas y así mismo la variación de los diversos tipos de materiales empleados en las pruebas experimentales.

En este tipo de diseños existen, los que sirven exclusivamente para evaluar tan solo dos factores y otros para tres ó más fac-tores. Se diferencias unos de los otros porque son exclusivos para sus tratamientos y sirven solo para tratar fenómenos cuadráticos, no sirven para tratar fenómenos lineales.

Los diseños para tres o más factores se pueden acondicionar para modelar por bloque, o acoplar cualquier diseño que se desarrolle en el proceso de evaluación sistemática.

XXII. DISEÑOS ROTABLES DE DOS FACTORES

Es un diseño Ortogonal de primer orden, esta configurada en una figura regular equilatera con k+1 vértices en k dimensio-nes, estás figuras se dan en el plano cartesiano.

A. DISEÑO TRIGONAL

318


Este es el diseño más simple que existe en los proceso de eva-luación de factores de primer orden. Si k=3 es un triángulo equilátero regular.

X1 X2

1-0,50,5000

0-0,86-0,86

000

B. DISEÑO PENTAGONAL

Es uno de los más simples de segundo orden, los puntos expe-rimentales corresponden a un pentágono.

Es un diseño con el cual se puede elaborar un nuevo tipo de análisis, se deja al estudioso a fin de poder evaluar e interpre-tar un nuevo diseño para el futuro, dicho diseño se puede aplicar desde dos factores a n factores como una alternativa de diseño experimental.

Representación esquemática del Diseño Pentagonal

X1 X2

10,31-0,81-0,810,31

00

00,950,58

-0,58

-0,95

319

Palacios C. Severo

0 000

C. DISEÑO HEXAGONAL

Es un diseño utilizado en investigación, cuando en el proceso se estudian solo dos factores, debiendo ser este siempre cua-drático, si el proceso es lineal dicha técnica no es aplicable. Si el proceso en estudio tuviera tres o más factores, no se puede desglosar y estudiar de par en par, es necesario para este caso desarrollar la técnica del Diseño Compuesto Central o Estrella.

El diseño hexagonal consiste en desarrollar seis pruebas ex-perimentales correspondientes a los vértices de un hexágono regular, siendo necesario replicar pruebas centrales para es-timar el error experimental.

Representación esquemática del Diseño Hexagonal

Este diseño es de amplia utilidad a nivel experimental, como su nombre lo indica, los puntos corresponden a un hexágono, considerando de tres a cinco puntos centrales.

X1 X2

10,5-0,5-1

-0,50,50

00,8660,866

0-0,866-0,866

0

320


00

00

Ejemplo 6.81Se estudia dos factores con valores reales, los cuales son co-dificados por las ecuaciones de recta que se representan me-diante las ecuaciones lineales que corresponden dos factores reales mediante las siguientes funciones.

A = 0,375X1 + 1,125B = 1X2 + 2

X1 X2 A B Y Ycal Y - Ycal (Y-Ycal)2

10,5-0,5-1

-0,10,5000

00,860,86

0-0,86-0,86

000

1,51,31

0,94

0,75

0,94

1,31

1,25

1,25

1,25

22,87

2,872

1,13

1,13222

93,989,688,883,381,989,390,890,289,3

94,51

90,28

88,40

84,70

81,82

89,93

90,17

90,17

90,17

-0,63-0,030,87

0,3970,0010,757

0,21 1,155

Tabla 6.90 Análisis de varianza de regresiónFuente SC GL CM Fo Ft(99

)RegresiónError

109,34

1,14

62

18,220,57

31,96 > 19,3

Total 110,48

8 R2 = 98,96%

Tabla 6.91 Análisis de varianza de ajuste

321

Palacios C. Severo


AjusteError

3,221,14

12

3,220,57

5,649 < 18,5

Total 4,36 3 R2 = 73,85%

Ejemplo 6.82Se procesa un mineral aurífero con sales oxidantes en medio ácido, se desea evaluar que factores son significativos (cloru-ro y nitrato de sodio), con el fin de llegar a establecer el ópti-mo de recuperación.

A: NaCl 25 50B: NaNO3 5 15

Efectos e interaccio-nes

Cuadráticos

A: NaCl = -6263,28B: NaNO3 = -2431,04AB = -508,721

AA = -895,833BB = -229,854


Tabla 6.92 Análisis de varianza de regresiónFuente SC GL CM Fo Ft(99)

A: NaClB: NaNO3

AAABBBError

13,0137

26,3312

9,86133

12,2524,661

30,7133

3

111113

13,0137

26,3312

9,86133

12,2524,661

30,2377

78

54,73110,7

441,4751,52103,7

2

>>>>>

34,1234,1234,1234,1234,12

Total 128,76 8 R2 = 99,446%

La recuperación de oro depende de los dos factores para lle-gar al óptimo, esto en forma lineal, pero los factores cuadráti-cos y la interacción tienen efecto negativo para la extracción de dicho metal precioso.

Valor óptimo = 92,0389Factor Bajo Alto Ópti-

322


moNaCl

NaNO3

-1,0-0,28

1,00,86

1,0-0,28

25NaNO3

15

Gráfica de Efectos Principales para Au

-9300

-7300

-5300

-3300

-1300

Au

NaCl50 5

25

NaNO3=5

NaNO3=15

Gráfica de Interacción para Au

-11

-9

-7

-5

-3

-1(X 1000.0)

Au

NaCl50

NaNO3=5

NaNO3=15

Efectos significativos de factores principales

No existe interacción entre ambos factores principales

En el gráfico de interacciones podemos establecer que ambos factores están en su máximo, y se mantienen como constantes ya que al incremental del nivel mínimo al máximo la extrac-ción de oro decrese y eso no es recomendable.

No existe interacción entre ambos factores, por lo que se pue-de manipular independientemente cada uno de ellos.


25 30 35 40 45 50NaCl

5

7

9

11

13

15

NaN

O3

Au-11000.0--10000.0-10000.0--9000.0-9000.0--8000.0-8000.0--7000.0-7000.0--6000.0-6000.0--5000.0-5000.0--4000.0-4000.0--3000.0-3000.0--2000.0-2000.0--1000.0-1000.0-0.0


25 30 35 40 45 50NaCl

5 7 9 111315

NaNO3-11

-9

-7

-5

-3

-1(X 1000.0)

Au

Au-11000.0--10000.0-10000.0--9000.0-9000.0--8000.0-8000.0--7000.0-7000.0--6000.0-6000.0--5000.0-5000.0--4000.0-4000.0--3000.0-3000.0--2000.0-2000.0--1000.0-1000.0-0.0

Superficie respuesta estimada en el plano con punto óptimo

Superficie respuesta estimada en el es-pacio

El óptimo de recuperación de oro es 92,0389, cuando se tra-baja con un máximo de NaCl y un mínimo de NaNO3.

Problemas

(277) El estudio experimental que se presenta, estuvo orien-tado a determinar las granulometrías óptimas tanto en la etapa de Rougher como de Scanvenger. Se desea opti-

323

Palacios C. Severo

mizar la recuperación y el grado de concentración en función de la molienda.

Para optimizar estas dos variables, se obtuvo los mode-los matemáticos:

Desarrolle el ANAVA y la superficie respuestaObtenga el óptimo cuando se alcanza un 66%

(278) Se estudia un experimento de flotación a nivel labora-torio siendo sus factores A: tiempo, B: espumante.

Obtenga el modelo del procesoAnalice aplicando el ANAVA

(279) Se efectuó un proceso electrolítico de fabricación de ocre, cuyo rendimiento esta en función de dos variables A: cloruro de sodio, B: intensidad de corriente.

Obtenga el modelo del procesoAnalice aplicando él ANAVACree usted la temperatura influye en el procesoElabore el diagrama Eh-pHDe que color es el ocre producidoSin en vez de cloruro de sodio utiliza un electrolito de ni-trato de sodio, cual es el producto final.

D. DISEÑO OCTOGONAL

324


Es un diseño utilizado en investigación, cuando en el proceso se estudian tan solo dos factores, debiendo ser estos siempre cuadráticos (dinámicos), si el proceso es lineal dicho diseño no es aplicable.

Si el proceso en estudio tuviera más de tres factores, no se puede desglosar y estudiar de par en par, es necesario para este caso desarrollar otra técnica de análisis de Diseño.

Es un diseño de segundo orden, corresponde a un octágono regular en el plano.

Representación esquemática del Diseño Octogonal

Diseño de amplia utilidad a nivel experimental, como su nom-bre lo indica, los puntos corresponden a un octágono conside-rando de tres a cinco puntos centrales, para evaluar el error experimental.

X1 X2

-0,710,71-0,710,71

1-100000

-0,71-0,710,710,71

001-1000

325

Palacios C. Severo

Ejemplo 6.83Se estudian dos factores dinámicos de un proceso en donde se desarrolla un novedoso trabajo, los cuales vienen estableci-dos mediante las funciones que a continuación se detallan.

A = 0,005X1 + 0,025B = 2X2 + 27,5

X1 X2 Y Ycal Y - Ycal (Y-Ycal)2

-1100-

0,71-

0,710,710,71

0000

00-11

-0,710,71-0,710,71

0000

90,90

92,20

92,80

93,60

92,20

93,50

93,30

94,00

94,10

94,30

93,90

94,00

91,38

92,59

93,08

94,19

91,81

92,93

93,10

93,49

94,02

94,20

94,02

94,02

-0,08-0,280,120,02

0,0060,080,010,02

-0,22 0,0964


)RegresiónError

11,40237

0,0843

83

1,4250,023

1

50,7 > 27,5

326


Total 11,48667

11 R2 = 0,99266%

Tabla 6.94 Análisis de varianza de ajusteFuente SC GL CM Fo Ft(99

)AjusteError

1,5257

0,0843

13

1,5257

0,0231

54,24 > 34,1

Total 1,61 4 R2 = 0,9476%

E. DISEÑO COMPUESTO CENTRADO

Si se desea cuantificar el efecto de una variable y sus interre-laciones para un producto dado, se puede hacer la suposición de que la respuesta que se quiere evaluar es una función de las variables más importantes que afectan el proceso y con base a ella se plantea un modelo matemático.

Representación esquemática del Diseño Compuesto Centrado

El modelo matemático que relaciona la respuesta buscada y las variables estudiadas es del tipo.

Donde:

Y Estimación del vector respuesta buscadaAo, Ai, Aii, Aij, Ajjj, Aijk Son los coeficientes del modelo

327

Palacios C. Severo

Xi, Xij Valores de las variables codificadas

Para estimar los coeficientes del modelo se utiliza el diseño compuesto centrado rotacional que se construye a partir de tres componentes.

a-1) Un bloque factorial de 2k puntos, donde cada variable to-ma los valores codificados -1 y +1, hasta cinco variables como máximo.

a-2) Un bloque factoriaI fraccionado 2k-1 puntos, donde cada variable toma los valores codificados -1 y +1, cuando hay más de cinco variables.

b) Un conjunto de puntos adicionales cuyo número es 2k

donde cada variable toma los valores codificados -2k/4 y +2k/4. La figura formada por estos puntos se llama estre-lla.

c) Un punto central cuyos valores codificados es cero, este punto se repite las veces que sea necesario para la esti-mación del error experimental.

Para explicar el concepto de rotabilidad, supóngase que el punto (0, 0,..., 0) representa el centro de la región en la cual la relación entre la respuesta buscada Ycal Y las variables inde-pendientes Xi que están siendo investigadas, está dada por la ecuación general que representa una superficie de alto orden.

De los resultados de cualquier experimento se puede calcular S(Y) del error estándar de Ycal en cualquier punto de la super-ficie ajustada. Este error estándar será una función de las co-ordenadas del punto Xi, En un diseño rotacional, este error estándar es el número para todos los puntos que están a la misma distancia L del centro de la región; esto para todos los puntos tales que:

Así para un diseño de tres variables se tiene que cada varia-ble asume los siguientes valores codificados:

-1, +1, 0, -2k/4 y +2k/4

328


La ecuación del tipo:

La codificación de las variables se obtiene de:

Donde:

Vi Nivel de la variable real escogidaa Valor de la variable en el punto centralb Amplitud del valor real

Podemos indicar que los valores -1 y +1 corresponden a los niveles inferior y superior de un rango de experimentación encontrada bien sea por investigación de referencias especia-lizadas en el proceso estudiado o por experiencia propia.

Los puntos estrella -2k/4 y +2 k/4 son puntos por fuera del rango y se incluyen con propósitos exploratorios.

El punto central con valor cero representa un nivel en el pro-ceso con el que se supone se obtiene buenos resultados.Supongamos que un proceso depende de tres variables, una de las cuales es la temperatura con un rango de nivel de 30 a 50, se tiene que:

a - 1 = 30a + 1 = 50

El valor medio se obtiene por;

[30+50]/2 = 40 = a

Luego

329

Palacios C. Severo

Así tenemos los cinco valores de la temperatura, que se usa-rán en el bloque de experimentación; de igual manera se pro-cede para las otras variables.

Ejemplo 6.84Se estudia la lixiviación (lavado) de un suelo salino para utili-zar dicho suelo en la siembra de hortalizas. Aplicaremos dos variables A: lavado alcalino y B: flujo de lavado.

X1 X2 A B Y-+-+

-1,41+1,41

0000000

--++00

-1,41+1,41

00000

23372337204030303030303030

1,31,32,72,7221322222

50,0085,6197,6285,7673,3976,9252,9282,5378,0284,6179,1264,8488,46


)Regre-siónError

1759,2

478,8

57

351,868,4

5,14 > 3,97

Total 2238 12 R2 = 0,786%Ejemplo 6.85El efecto de las interacciones comparadas con los efectos del primer y segundo orden estimado. Los efectos de alto orden no se pueden ignorar. Por lo que efectuamos puntos extras para obtener un diseño de segundo orden.

A: 137 147 157B: 32,5 37,5 42,5C: 5,5 8,5 11,5330


X1 X2 X3 Y02-20000

0002-200

000002-2

66,965,456,967,565,068,960,3

Para estimar los coeficientes bo, b11, b22, b33 obtenemos la ecuación correspondiente.

Obteniéndose

Ejemplo 6.86Un investigador analiza un proceso en donde influyen dos fac-tores: tiempo y temperatura.

Desea evaluar el efecto significativo de ambos factores.

A: tiempo (min.) 80 90B: Temperatura (°F) 170 180

A: tiem-po

B: Temperatura Y

80908090

77,928992,0711

858585

170170180180175175

167,929182,071

175

78,5

77,0

78,0

79,5

75,

331

Palacios C. Severo

85858585

175175175175

678,4

77,0

78,5

79,9

80,3

80,0

79,7

79,8

Efectos estimados para YEfectos e interacciones CuadráticosA: tiempo = 0,989949B: Temperatura = 1,03033AB: = 1,5

AA = 2,50248BB = -1,78252


Ambos factores tienen efecto sobre el proceso, pero el que tiene mayor efecto significativo es la temperatura, seguido del tiempo.

Existe interacción entre ambos factores, por lo que si se ma-nipula un factor el otro también es modificado.


)A: tiempoB: Temperatu-raAAABBBError

1,96001

2,1216

10,8913

2,255,341

293,705

1

111117

1,96001

2,1216

10,8913

2,255,341

290,529

3

3,704,0120,584,2510,09

<<><>

5,595,595,595,595,59

Total 24,52 12 R2 = 84,8942%

332


77

En la tabla del análisis de varianza podemos establecer que para un 95% de la estadística de F, se puede notar que los dos factores principales no tienen influencia en dicho rango. Pero los efectos cuadráticos si tienen influencia en dicho ran-go para un coeficiente de correlación del 84,8942 por ciento.

En el modelo matemático se puede notar que la constante es-ta en su máximo, el cual deberá de minimizarse hasta el valor medio de los niveles. Se ve que ambos factores tienen influen-cia para incrementar la constante hasta un valor positivo, la interacción también tiene efecto significativo sobre el proce-so.

Camino de Máximo Ascenso para Ytiempo Temperatura Y

85,086,087,088,0

175,000176,206177,825177,024

79,940080,098480,118680,0336

Al incrementar el tiempo en una unidad y la temperatura de igual manera, se nota que a un tiempo de 88 minutos y una temperatura de 177,024 °F se obtiene una respuesta de 80,0336, cercano al valor óptimo de la maximización.

Valor óptimo = 80,133Factor Bajo Alto Óptimo

tiempoTemperatu-ra

77,9289167,929

92,0711182,071

86,6416177,174

Al maximizar el proceso, se nota que para llegar al óptimo se requiere un tiempo de 89,9415 minutos y una temperatura de 177,174 °F, para obtener un valor óptimo de 80,133.

333

Palacios C. Severo

80Temperatura

180


78

78.4

78.8

79.2

79.6

80

80.4

Y

tiempo90 170 80

Temperatura=170

Temperatura=180


77

77.5

78

78.5

79

79.5

80

Y

tiempo90

Temperatura=170

Temperatura=180

Efectos significativos con tendencia cuadrática

Existencia de Interacción en proceso cuadrático

En la figura se puede notar que ambos efectos no tienden al máximo, ya que tienden al nivel promedio en ambos casos, al incrementar sobre el máximo la respuesta tiende a minimizar-se, por lo que es necesario realizar el estudio hasta el valor medio.

En la figura de interacción esta entre el valor mínimo y el va-lor promedio en ambos factores, por lo cual se confirma que deberá trabajarse entre el valor medio y el promedio de am-bos factores.En la figura del plano el óptimo esta a un tiempo de 87 minu-tos y una temperatura de 177 °F para obtener una respuesta sobre 80.


80 82 84 86 88 90tiempo

170

172

174

176

178

180

Tem

pera

tura

Y77.0-77.477.4-77.877.8-78.278.2-78.678.6-79.079.0-79.479.4-79.879.8-80.280.2-80.680.6-81.081.0-81.4


8082

8486

8890tiempo 170 172 174 176 178 180

Temperatura

77

78

79

80

81

Y

Y77.0-77.477.4-77.877.8-78.278.2-78.678.6-79.079.0-79.479.4-79.879.8-80.280.2-80.680.6-81.081.0-81.4

Superficie respuesta estimada en el plano

Superficie respuesta estimada en el espacio

En la figura del espacio se puede establecer que para llegar al óptimo, ambos factores tienden al valor promedio de los ni-veles para llegar al óptimo.

Ejemplo 6.87

334


Se investiga un proceso con el fin de optimizar los factores X1

y X2 si son significativos y los rangos en donde están dichos valores óptimos.Se dan los niveles de dichos factores y el vector respuesta.

X1: 1,5 8,5X2: 0,1 0,3

X1 X3 Y1,58,51,58,5

0,05029,9497

5,05,05,05,0

0,10,10,30,30,20,2

0,05850,3415

0,20,2

1,231,8911,0851,0950,8481,1322,1691,2281,4131,139

Efectos estimados para YEfectos e interaccio-

nesCuadráticos

A = 0,2682B = -0,5680AB = -0,3257

AA = -0,2954BB = 0,4130



)ABAAABBBError

0,14390,64540,09970,1061

10,1949

90,0662

9

111114

0,14390,64540,09970,1061

10,1949

90,0165

7

8,6938,946,026,4011,7

>><<>

7,717,717,717,717,71

Total 1,46927

9 R2 = 95,4879%

El vector respuesta depende del factor X1 para llegar al ópti-mo, esto en forma lineal, pero el factores cuadráticos X1 y la interacción tienen efecto negativo sobre dicho vector.

335

Palacios C. Severo

Camino de Máximo Ascenso para YX1 X2 Y5,06,07,08,09,0

10,0

0,20,115

220,002

5-

0,1193

-0,244-0,372

1,2761,730

92,8534,7417,41610,88

4


X1

X2

0,050250,05857

9,94970,34142

9,31950,0585

1.5X2

0.3


0.99

1.19

1.39

1.59

1.79

Y

X18.5 0.1 1.5

X2=0.1

X2=0.3


1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Y

X18.5

X2=0.1

X2=0.3


Interacción en proceso cuadrático


0 2 4 6 8 10X1

0.1

0.14

0.18

0.22

0.26

0.3

X2

Y0.7-0.850.85-1.01.0-1.151.15-1.31.3-1.451.45-1.61.6-1.751.75-1.91.9-2.052.05-2.22.2-2.35


0 2 4 6 8 10X10.1 0.14 0.18 0.22 0.26 0.3

X2

0.7

1

1.3

1.6

1.9

2.2

Y

Y0.7-0.850.85-1.01.0-1.151.15-1.31.3-1.451.45-1.61.6-1.751.75-1.91.9-2.052.05-2.22.2-2.35



Problemas

(280) Se estudian tres variables A: 6 - 10, B: 70 - 90 y C: 780 - 1080 rangos establecidos en base a experiencia.

336


a) Analizar el bloque factorial: si existe curvatura, utilice el método de pendiente ascendente e incremente el blo-que estrella.b) Analice el punto estacionario y el análisis canónico.

c) Obtenga el modelo correspondiente.d) Desarrolle el análisis de varianza.e) Analice, interprete y opine.

(281) Se estudian cuatro variables A: 1,5 - 3, B: 15 - 25, C: 0, 5 - 1, D: 800 - 1000.Evalué tal como el problema 256.

(282) Se quiere evaluar un proceso en donde se nota la in-fluencia de dos factores A: 400 - 600 y B: 3,5 - 5.

Obtenga el modelo

Analice mediante los métodos de punto estacionario y canónico.

(283) Un proceso electrolítico, cuyo rendimiento esta en fun-ción de las variables A: 20 - 40 Y B: 1 - 3. Obtenga el mo-delo y analice.

(284) Con el estudio experimental se desea determinar las condiciones óptimas siendo sus factores

El modelo es:

(285) Se estudia un experimento a nivel laboratorio siendo sus factores.

Siendo el modelo

337

Palacios C. Severo

(286) Se estudia la lixiviación con ácido sulfúrico, de una cal-cina, obtenida y de la tostación en presencia de aire, con adición de óxido de calcio, en horno monosolera Bach, de un concentrado de calcopirita rico en pirita. La calci-na es de la siguiente composición: 15,91 % de cobre, 38,06% de hierro, 11,45% de azufre y 3,55% de insolu-bles.

(287) Se estudia las variables A: concentración de ácido; B: temperatura, C: velocidad de agitación. Siendo su vector respuesta.

Obtenga el modeloAnalice el ANAVAAplique el método para evaluar la curvatura

(288) Dado el alto contenido de hierro de los licores de lixi-viación, que se obtienen, se procede a la purificación del cobre con Lix 64N, a partir de licores con 3,59 g/l de co-bre y 1,14 g/l de hierro, en lo que se relaciona con el efecto de alguna variables como el pH, concentración de extracción, relación de fases, agitación y concentración de ácido. Obteniéndose los modelos.

Analice mediante el ANAVAEstablezca los rangos de las variables

(289) Se quiere evaluar un proceso de tostación de un con-centrado sulfuroso de zinc, se requiere evaluar la tempe-ratura y la adición de aire, para la experimentación se evaluaron los factoresA: temperatura, B: aire. Siendo su vector respuesta.

Obtenga el modeloAnalice mediante el ANAVAEstablezca los rangos de las variables

(290) Considere el modelo de primer orden

Donde . Determine la dirección de máximo as-censo y planifique un conjunto de experimentos siguien-

338


do dicha dirección(291) Los siguientes datos fueron recogidos por un ingeniero

de planta. La respuesta Y es el tiempo de filtrado, X1 es la temperatura y X2 es la presión.

X1 X2 Y-1 -1 54-1 1 451 -1 321 1 47

-1,414 0 50-1,414 0 53

0 -1,414 470 1,414 510 0 410 0 390 0 440 0 420 0 40

Qué tipo de diseño usó el ingeniero, cuáles son sus ven-tajas.Ajuste un modelo de segundo orden, verifique su validez y analice la superficie ajustada.Cuáles serían sus recomendaciones si se desea minimi-zar el tiempo de filtrado.

(292) Se desea minimizar el valor de la ceniza en la pulpa de papel (una medida de las impurezas inorgánicas). Se es-tudian dos variables: temperatura en ºC y tiempo en ho-ras. Estas variables se codifican como se indica a conti-nuación:Estas variables se codifican como se indica a continua-ción:

,

Se lleva a cabo un experimento cuyos resultados se mues-tran a continuación:

X1 X2 Y-1 -1 2111 -1 92-1 1 2161 1 99

-1,5 0 2221,5 0 480 -1,5 1680 1,5 1790 0 122

339

Palacios C. Severo

0 0 1750 0 1570 0 146

Qué tipo de diseño experimental se ha usado. Es rotable.El modelo cuadrático ajustado es


ModeloError

30688,7

1478,22

56

6137,74

246,37

24,91 > 8,75

Total 32166,92

11 R2 = 95,40

¿Es bueno el ajuste de este modelo?Calcule el punto estacionario. ¿Qué tipo de punto es?(puede usar que los autovalores de la matriz son -6,8982802 y 0,6201222)

(293) Un ingeniero está investigando la influencia de la tem-peratura, la presión y la concentración del catalizador en tiempo que tarda una reacción en llevarse a cabo. Tras varios experimentos, el investigador ajustó la fun-ción

Usando un diseño central compuesto con cinco puntos centrales. Las variables codificadas son las siguientes:

Hágale al ingeniero las sugerencias que considere ade-cuadas.

340


F. DISEÑO EXPERIMENTAL COMERCIAL – EXCO

En muchos países latinoamericanos, existe una discontinui-dad en el proceso de transferencia de tecnología en el sector agropecuario. En la mayoría de los casos los resultados de las investigaciones efectuadas a nivel de centros de investiga-ción, estaciones experimentales, etc., no son sometidos a los diferentes pasos del proceso, los cuales conllevan a la adop-ción o revisión de la tecnología. Esta situación obedece a fac-tores que casi siempre escapan al alcance de los investigado-res. De allí se desprende la iniciativa de implementar procedi-mientos para la validación de resultados experimentales, que representen un avance en el proceso de investigación. En este contexto se enmarca la metodología del Diseño Experimental Comercial (EXCO).

341

Palacios C. Severo

El objetivo de el presente estudio es el de aplicar el Diseño EXCO en la validación de los resultados de un experimento en el que se investiga el efecto de la fertilización nitrogenada y la densidad de siembra en el cultivo de maíz.

Con el objetivo de determinar los mejores niveles de fertiliza-ción nitrogenada y densidad de siembra en el cultivo de maíz), se llevó a cabo un ensayo bajo el diseño experimental de bloques al azar con dos repeticiones, y unidades experi-mentales de 30 m2 con 10 m2 de área efectiva. En cada bloque fueron distribuidos al azar 24 tratamientos, los cuales fueron el resultado de la superposición de los diseños Factorial 32, Compuesto Central Rotable (k=2, no=5) y Compuesto Central Rotable Doble Estrella con un nuevo núcleo estrella añadido (k=2, c=2, no=4).

Tratamientodiseño

Nivel real

Tratamientodiseño

Nivel real

ensa-yo

32 DCR

DCRE

D N ensa-yo

32 DCR

DCRE

D N

123456789*

10*11*12*

------465555

123456789101112

1234

131415169

101112

6666949460100

808080808080

4020040200

120

1200

240

120

120

120

120

13*14*15161718192021222324

55123789----

13-----------

--------5678

808066666694949470908080

120

1200

120

2400

120

240

120

120

60180

D: Densidad de siembra (Plantas/ha)x 103 ; N: Nitrógeno (kg/ha); * Trata-mientos centrales

La situación antes descrita se aprecia fácilmente al observar la tabla anterior, en el que se ilustran las 24 combinaciones

342


de los niveles reales de los factores, comunes y no comunes para los arreglos de tratamiento señalados.

De forma simultánea al establecimiento del experimento, se sembró una parcela comercial de 7000 m2 aproximadamente. A dicha parcela se le aplicó la combinación de niveles de los factores correspondientes al tratamiento central del ensayo.

Si la producción de la parcela arroja un valor comprendido en el intervalo de confianza generado a partir de las repeticiones del tratamiento central del experimento, se consideran valida-dos los resultados. Este intervalo de confianza está dado por la siguiente expresión:

Donde:

STC Desviación típica de la variable para las no

réplicas del tratamiento central.no Número de réplicas del tratamiento central.

Valor tabulado de "t Student", a la derecha del cual hay un área de a/2.

1 – a Coeficiente de confianza.µ Parámetro a estimar.

Se realizó la validación general del experimento y para cada uno de los arreglos de tratamiento involucrados.

El la tabla 6.98 contiene la información del rendimiento obte-nido para las réplicas del tratamiento central del ensayo, el cual, como se expresó en la metodología, es el mismo trata-miento aplicado a la parcela comercial.

343

Palacios C. Severo

Tabla 6.98. Rendimiento (kg/ha de maíz al 12 % de humedad) para las

replicaciones del tratamiento central del ensayo

experimentaltratamien-

toBloque Rendi-

mientotratamien-

toBloque Rendi-

miento91011121314

111111

388633202929375041463263

91011121314

222222

488359725281466342564517

4239 Kg/ha µ = 0,05

STC 886,6 kg/ha no = 12

Con estos datos se calcularon los promedios y desviaciones tí-picas necesarias para obtener los intervalos de confianza.

Intervalo de Confianza General

IC(95%): 3675,68 kg/ha 4082,32 kg/ha

Intervalo de Confianza para el Factorial 32

IC(95%): 2057,16 kg/ha 5586,70 kg/ha

Intervalo de Confianza para el Diseño Central Rotable

IC(95%): 3691,10 kg/ha 4799,51 kg/ha

Intervalo de Confianza para el Diseño Central Rotable Estre-lla

IC(95%): 3508,64 kg/ha 4912,36 kg/ha

El rendimiento de la parcela comercial fue de 3714 kg/ha, va-lor que está comprendido en todos los intervalos de confianza

344


generados a partir de los datos experimentales, por lo tanto se consideran validados los resultados.

Ello implica que la respuesta obtenida a nivel experimental puede ser reproducida en una escala mayor, bajo las mismas condiciones de manejo del cultivo. Trabajando en el campo hortícola han llegado a conclusiones similares y satisfactorias al aplicar la metodología.

Estos resultados son muy favorables ya que permiten hacer inferencia sobre la posibilidad de aplicación de tecnologías en medio real, circunstancias en las que la inferencia a partir de los resultados experimentales solamente, se ve ciertamente li-mitada. El diseño EXCO es aplicable en ensayos con el cultivo de maíz, permitiendo la formulación de recomendaciones más cercanas a la realidad y facilitando el ajuste de los tratamien-tos con la finalidad de realizar una mejor caracterización de la región de exploración en experiencias futuras.G. DISEÑO SEVERO

Propuesto por el Autor, como un diseño de n-niveles para ajustar superficies respuestas lineales y polinomiales de una misma estructura de diseño.

Este diseño esta formado por los puntos medios de un cubo, dicha figura geométrica es establecida para el presente estu-dio.

La figura geométrica de un diseño convencional es un cubo de 1 unidad por 1 unidad, en el caso del diseño SEVERO al cubo normal de 1 por 1, se le achura los vértices, a partir del centro de los lados del cubo, tal como se visualiza en la figu-ra.

Al cubo de 1 por 1 se le achura las aristas al medio del cubo, es decir a la mitad (0,5) obteniéndose de esa manera la si-guiente figura geométrica.

345

Palacios C. Severo

Estructura del Diseño SEVERO

El presente diseño no solo trabaja con los máximos y mínimos tal como los diseños convencionales (+1, -1), aquí se trabaja con el rango de +0,5 y -0,5 logrando con dicho rango dismi-nuir en el consumo de reactivos, materiales, insumo, tiempo, etc.

Beneficiando de dicha manera cualquier proceso que se desa-rrolle en el ámbito experimental tanto a nivel de laboratorio como industrial.Es importante mencionar que el presente diseño nace como una herramienta para poder cuantificar los procesos producti-vos, ya que en estos momentos padecemos de insumos y so-bre todo del tiempo necesario para desarrollar experimentos amplios.

Siendo los puntos extremos del nuevo vértice (puntos oscu-ros) los puntos factoriales y rotacionales y los puntos sobre-salientes (puntos claros) los puntos estrellas para una rotacio-nal n factorial.

Observemos que el Diseño SEVERO no tiene puntos en los vértices de la figura creada por los niveles inferior y superior para cada variable.

346


Esto es ventajoso cuando los puntos en los vértices represen-tan combinaciones de factor-nivel por ser antieconómico e im-posible de probar debido a restricciones del proceso.

Geometría del Diseño SEVERO

Los efectos de las interacciones de tercer orden no existen en el presente caso, por estar confundidos.

Los diseños descritos son de mucha utilidad en procesos en donde el insumo, personal y material son restringidos, ya que los niveles del proceso se acortan hasta en un cincuenta por ciento, siendo esto muy loable y económico para analizar cualquier investigación.

Se estudia en primer lugar el diseño factorial centrado con dos factores, en la tabla se muestran los valores codificados del diseño factorial centrado con dos factores, principio fun-damental del denominado diseño Severo, además se ilustra gráficamente las coordenadas por donde se desarrolla el pre-sente trabajo.

DISEÑO FACTORIAL CENTRADO DE DOS FACTORES

347

Palacios C. Severo

X1 X2

-0,5+0,5-0,5+0,5

000

-0,5-0,5+0,5

+0,5000

El diseño factorial centrado de dos factores, se crean las si-guientes condiciones, al establecer los puntos de los vértices (puntos oscuros) y como punto central el vértice (punto cla-ro), como podrá notar que los punto oscuros están configura-dos en los puntos extremos del nuevo vértice del cubo, por lo cual viene a ser el punto central del cubo principal (±0,5) (si-milar al diseño factorial) y el punto central (0, 0) el cual forma la campana de Gauss.

De acuerdo a ello podemos visualizar que el punto central no recae directamente en el plano sino que esta formando una campana de Gauss, con lo cual se establece que dicho punto no esta en el plano sino en el espacio, lo cual favorece nota-blemente en el análisis no es como en los diseños convencio-nales.

Esa pequeña diferencia entre el diseño convencional y el dise-ño presente es una nueva alternativa para demostrar que el punto central nos configura un diseño rotable directamente.

Ejemplo 6.88En un proceso de electrodeposición de cobre, se procedió a evaluar los factores a tres niveles:

FactoresNiveles

- 0 +A: Voltaje (Voltios)B: Densidad corriente (A/m²)

130

235

340

Prueba X1 X2 A B Y1 -0,5 -0,5 1,5 32,5 85

348


234567

+0,5-0,5+0,5

000

-0,5+0,5+0,5

000

2,51,52,5222

32,537,537,5353535

869897898988

Los valores reales para desarrollar las pruebas experimenta-les, las obtenemos utilizando la siguiente expresión:

El análisis para el desarrollo del presente diseño fue se efec-túo mediante el programa ESPC plus statistics experimental for PC

Efecto EstimadoX1:A 0,0X2: B 12,0AB -0,5


Interpretación de los efectos3

Si visualizamos los signos de los efectos A y B, notamos que ambos son positivos, por lo tanto están en su nivel mínimo, por lo cual deberán ser maximizado, es decir que ambos fac-tores son variables, y deberán ser optimizados y establecidos sus rangos de trabajo óptimo.

En este caso solamente estamos evaluando y no así optimi-zando, para desarrollar la optimización deberá seguirse otro camino, el cual será desarrollado en el próximo acápite.

El factor B es el que tiene mayor significancía por tener un mayor valor numérico.

a) Caso Maximización

(+) Indica que la variable se encuentra al nivel mínimo y debe ser maximizado hasta el óptimo y establecer su rango de

3 Análisis de signos de los coeficientes de los efectos, según el caso.

349

Palacios C. Severo

trabajo.

(-)Indica que el factor ya no es una variable, por lo tanto viene a ser una constante en el proceso, por lo que se encuentra en el nivel máximo y debe mantenerse como tal.

b) Caso Minimización

(+)Indica que el factor ya no es una variable, por lo tanto viene a ser una constante en el proceso, por lo que se encuentra en el nivel máximo y debe de mantenerse como tal.

(-) Indica que la variable se encuentra al nivel mínimo y debe ser maximizado hasta el óptimo y establecer su rango de trabajo.

A fin de ver la influencia de los factores, se analiza la interac-ción4 de los factores, esto quiere decir si, existe cruce de in-formación entre los factores y a la vez estos puedan controlar-se de una manera independiente a fin de manipular el proce-so.

Interpretación de la interacción5

Notamos que el signo de la interacción AB es negativo, esto nos indica que no existe interacción, lo cual lo hemos deduci-do al visualizar que no existe intersección entre los valores numéricos, por lo tanto no existe cruce de información entre los factores en estudio.


(+) Indica que sí existe interacción entre las variables, uno de-pende del otro.

(-) Indica que no existe interacción entre las variables.


(+) Indica que no existe interacción entre las variables.(-) Indica que sí existe interacción entre las variables, uno de-

pende del otro.

Para corroborar los análisis desarrollados es que aplicamos el Análisis de Varianza del proceso.

4 Es importante que no exista interacción, y de esa manera podamos trabajar con los factores principales.5 Análisis de signos de los coeficientes de las interacciones, según el caso.

350


Tabla 6.99 Análisis de varianzaFuente SC Gl CM Fo Ft(99%)

X1: A 0,0 1 0,0 0,0 < 98,49X2: B 144,0 1 144,0 436,37 > 98,49AB 0,25 1 0,25 0,75 < 98,49Curvatura 13,76 1 13,76 41,69 < 98,49Error total 0,66 2 0,33Total (corregido) 158,67 6 R2 = 90,2857%

El que tiene mayor significancía es B = X2, seguido de A = X1

para un coeficiente de correlación del 90,2857%, el factor A tiene valor cero, por lo cual se le considera una constante en el rango de trabajo.

La varianza del error viene a ser el cuadrado medio del error, siendo este igual a 0,333 dicho valor es menor que la unidad por lo cual la variabilidad de los datos es bastante adecuada para el trabajo realizado.

Él cálculo de la Suma de Cuadrados del Total se desarrolla mediante la siguiente relación:

La suma de cuadrados del total nos sirve para comprobar que los valores: suma de cuadrados de los factores e interaccio-nes, más el error deben ser igual a dicho valor numérico.

El valor de F de tabla para un 99% de significancía es 98,49 vemos que el F experimental del factor principal B es mayor por lo tanto dicho factor es significativo, por lo que se corro-bora que dicho efecto principal está en su mínimo debiendo ser maximizados y a la vez ambos son variables en el proceso.

Siendo el modelo matemático6 lineal para el presente análisis.

6 Análisis de signos de la constante del modelo matemático, según el caso.

351

Palacios C. Severo

La constante del modelo matemático, viene a ser el promedio de los valores del vector respuesta, así mismo es el valor ini-cial del proceso en estudio, el signo negativo de la constante nos indica que esta en el máximo y debe ser minimizado.


(+) Indica que dicho valor es el inicio del proceso y se encuen-tra en su mínimo y debe ser maximizado hasta el óptimo.

(-)Indica que es el máximo valor del vector respuesta, no se puede subir sobre dicho valor, más al contrario se puede bajar.


(+)Indica que es el máximo valor de la vector respuesta, no se puede subir sobre dicho valor, más al contrario se puede bajar.

(-)Indica que dicho valor es el inicio del proceso y se encuentra en su mínimo y debe ser maximizado has-ta el óptimo.

En el modelo matemático también podemos visualizar que la interacción es negativa, o sea que no tiene influencia en el proceso. Además podemos visualizar que los factores princi-pales son positivos tal como se visualizo en el análisis de los factores principales.

Coeficiente de regresión para Y

Interpretación del modelo matemático

Si A y B son iguales a cero, entonces el modelo será igual a la constante, si visualizamos el signo de dicha constante nota-mos que es positivo, lo cual nos indica que esta en su mínimo y debe maximizarse.

Optimizar Respuesta


352


A -0,5 0,5 -0,5B -0,5 0,5 0,5


84

87

90

93

96

99

Y

A-0.5 0.5

B-0.5 0.5


83

86

89

92

95

98

Y

A-0.5 0.5

B=-0.5B=-0.5

B=0.5B=0.5


Interacción de factores principales

En la superficie respuesta visualizando el gráfico (isolíneas), podemos interpretar lo siguiente: el valor óptimo está a me-nor A y mayor B.


-0.5 -0.3 -0.1 0.1 0.3 0.5A

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

B

Y83.0-84.584.5-86.086.0-87.587.5-89.089.0-90.590.5-92.092.0-93.593.5-95.095.0-96.596.5-98.098.0-99.5


-0.5 -0.3 -0.1 0.1 0.3 0.5A

-0.5-0.3-0.10.10.30.5

B

83

86

89

92

95

98

Y

Y83.0-84.584.5-86.086.0-87.587.5-89.089.0-90.590.5-92.092.0-93.593.5-95.095.0-96.596.5-98.098.0-99.5

Superficie respuesta estimada en el pla-no con punto óptimo


La superficie respuesta a nivel espacial nos muestra la forma en que están ubicados los puntos experimentales, así mismo la dirección en la cual se orienta el proceso.

Notamos que la zona de mayor recuperación se ubica a menor A y mayor B.

DISEÑO FACTORIAL CENTRADO DE TRES FACTORESX1 X2 X3

-0,5+0,5-0,5+0,5

-0,5-0,5+0,5+0,5

0000

353

Palacios C. Severo

-0,5+0,5-0,5+0,50000000

0000

-0,5-0,5+0,5+0,5

000

-0,5-0,5+0,5

+0,5

-0,5+0,5

-0,5+0,5000

Este es una nueva estrategia estadística elaborada para los procesos donde se tiene tres factores, en este diseño se aho-rra mucho tiempo, personal e insumo porque el factor de ma-yor orden no existe.

El presente es un aporte para que la industria logre mejorar su productividad y sea de gran provecho para los estudiosos.

Ejemplo 6.89Se evalúa el experimento del ejemplo anterior con tres factores a dos niveles.

FactoresNiveles

- 0 +A: Voltaje (Voltios)B: Densidad corriente (A/m²)C: Agitación (RPM)

130

700

235

1100

340

1500

Prueba X1 X2 X3 A B C Y1234567891011121314

-0,5+0,5-0,5+0,5-0,5+0,5-0,5+0,5

000000

-0,5-0,5+0,5+0,5

0000

-0,5-0,5+0,5+0,5

00

0000

-0,5-0,5+0,5+0,5-0,5+0,5-0,5+0,5

00

1,52,51,52,51,52,51,52,5222222

32,532,537,537,535353535

32,532,537,537,53535

1100110011001100900900130013009001300900130011001100

8586989786889896888990928989

354


15 0 0 0 2 35 1100 88

Interpretación de los efectos

Si visualizamos los signos de los efectos A, B y C, notamos que son positivos, por lo tanto están en su nivel mínimo, por lo cual deberán ser maximizado, es decir que dichos factores son variables, y deberán ser optimizados y establecidos sus rangos de trabajo óptimo.

Efecto Estima-do

X1:A 0,0X2:B 7,25X3:C 27,75AB -0,25AC -0,5BC 0,125


En este tipo de diseño el efecto de tercer orden no existe. Por lo tanto la suma de cuadrados para dichos efectos tampoco existe.

El que tiene mayor significancía es B, seguido de C para un coeficiente de correlación del 98,47%.


%)A: X1B: X2C: X3ABACBCCurvatu-raError

0105,1251540,12

50,1250,5

0,0312513,140,66

11111112

0105,12

51540,1

250,125

0,50,0312

513,140,33

0318,564667,0

50,381,51

0,09539.82

<>><<<<

98,4998,4998,4998,4998,4998,4998,49

Total 1659,71 9 R² = 90,6%

Siendo el modelo matemático para el presente caso:

355

Palacios C. Severo

Interpretación del modelo matemático

Si A, B y C son iguales a cero, entonces el modelo será igual a la constante, si visualizamos el signo de dicha constante nota-mos que es negativo, lo cual nos indica que esta en su máxi-mo y debe minimizarse.


ABC

1,030,0700,0

3,040,0

1500,0

1,20440,0

1500,0

El punto óptimo del presente proceso viene establecido por la tendencia de la hipótesis planteada en un principio, siendo es-to que A está en el máximo debe de minimizarse, B y C deben de maximizarse y establecer el óptimo.

En la superficie respuesta visualizando el gráfico (isolíneas), podemos interpretar lo siguiente: el valor óptimo está a ma-yor B y C. Dejando constante al factor A.



En el grafico espacial podemos visualizar el comportamiento de las isolíneas de igual manera, debe de incrementarse B y C, manteniendo constante el factor A.

DISEÑO ROTABLE CENTRADO DE n FACTORES

356


X1 X2 X3

-0,50,5-0,50,5-0,50,5-0,50,5

-0,750,75

0000000

-0,5-0,50,50,5-0,5-0,50,50,500

-0,750,75

00000

-0,5-0,5-0,5-0,50,50,50,50,50000

-0,750,75

000

El presente diseño rotable para ajustar un modelo de segundo orden debe tener por lo menos tres niveles en cada factor. El presente diseño es una alternativa frente a los diversos dise-ños existentes.

El presente diseño es simple en el proceso de evaluación de factores desde K>2, el diseño rotable esta extraído de la figu-ra geométrica.

Ejemplo 6.90En un proceso electrolítico para la fabricación de sales de alu-minio se procedió a evaluar dos factores a tres niveles.

A: 0,75 1,25 1,5B: 1 2 3

Prue-ba

X1 X2 A B Y

123456789

1011

-0,50,5-0,50,5

-0,750,75

00000

-0,5-0,50,50,500

-0,750,75

000

1,001,501,001,500,881,631,251,251,251,251,25

1,501,502,502,502,002,001,252,752,002,002,00

95,293,497,295,792,598,193,595,789,589,689,4

357

Palacios C. Severo

Si visualizamos los signos de los efectos A=X1, y B=X2, nota-mos que X2 tiene signo positivos, por lo tanto están en su ni-vel mínimo, por lo cual deberán ser maximizado, es decir que dicho factor es variable, y deberán ser optimizados y estable-cidos sus rangos de trabajo óptimo, y el factor X1 es una cons-tante.

Efecto e interaccio-

nes

Efectos cuadráti-

cosA: X1 = -6,767B: X2 = 3,426AB = 0,45

AA = 12,572BB = 19,732


El que modelo matemático así como la falta de ajuste son sig-nificativos y por lo tanto se ajustan al proceso con un coefi-ciente de correlación del 82,611%.

Tabla 6.101 Análisis de varianzaFuente SC Gl CM Fo Ft(95%)A: X1B: X2AAABBBError

18,48024,073352,20020,022540,666816,745

111115

18,4802

4,073352,200

20,022540,666

83,3489

9

5,521,2215,590,0112,14

<<><>

6,616,616,616,616,61

Total 96,2964 10 R² = 82,611%

Tabla 6.102 Análisis de varianza de falta de ajusteFuente SC Gl CM Fo Ft(9

5%)Falta ajus-teError

16,7250,02

32

5,5750,01

557,5 > 19,16

Total 16,745 5 R² = 82,611%

Siendo el modelo matemático para el presente caso:

358


Si X1, y X2 son iguales a cero, entonces el modelo será igual a la constante, si visualizamos el signo de dicha constante nota-mos que es positivo, lo cual nos indica que esta en su mínimo y debe maximizarse.

Valor óptimo = 103,886Factor Bajo Alto ÓptimoX1 0,88 1,63 1,63X2 1,25 2,75 2,75

El punto óptimo del presente proceso viene establecido por la tendencia de la hipótesis planteada en un principio, siendo que X1 esta en su máximo y debe mantenerse constante y X2

tambien esta en su máximo y deben de minimizarse y estable-cer el óptimo.

Ambos factores tienen efecto significativo significativo en el proceso.

0.75B

3


89

92

95

98

101

104

Y

A1.5 1

0.75

B=1

B=3


97

100

103

106

109

112

Y

A1.5

B=1

B=3


Interacción en proceso cuadrático

No existe interacción entre ambos factores, por lo que cada factor es independiente en el proceso, si se modifica el factor X1, se mantiene el factor X2, y así sucesivamente.

En la superficie respuesta visualizando el gráfico (isolíneas), podemos interpretar lo siguiente: el valor óptimo está a un va-lor máximo de X1 y un valor promedio de X2.

359

Palacios C. Severo


0.75 0.95 1.15 1.35 1.55A

1

1.4

1.8

2.2

2.6

3

B

Y89.0-91.491.4-93.893.8-96.296.2-98.698.6-101.0101.0-103.4103.4-105.8105.8-108.2108.2-110.6110.6-113.0113.0-115.4


0.75 0.95 1.15 1.35 1.55A

11.4

1.82.2

2.63

B89

93

97

101

105

109

113

Y

Y89.0-91.491.4-93.893.8-96.296.2-98.698.6-101.0101.0-103.4103.4-105.8105.8-108.2108.2-110.6110.6-113.0113.0-115.4



En el grafico espacial podemos visualizar el comportamiento de las isolíneas de igual manera, debe de incrementarse X1 y manteniendo constante el factor X2.

Problemas

(294) El estudio experimental que se presenta, estuvo orien-tado a determinar las granulometrías óptimas tanto en la etapa de Rougher como de Scanvenger. Se desea opti-mizar la recuperación y el grado de concentración en función de la molienda.

X1 X2 Y-0,5+0,5-0,5+0,5

000

-0,5-0,5+0,5+0,5

000

72706664686868

Para optimizar estas dos variables, se obtuvo los mode-los matemáticos:

Desarrolle el ANAVA y la superficie respuestaObtenga el óptimo cuando se alcanza un 68,4%

(295) Se estudia un experimento de flotación a nivel labora-torio siendo sus factores A: tiempo, B: espumante.

360


Obtenga el modelo del procesoAnalice aplicando el ANAVA

(296) Se efectuó un proceso electrolítico de fabricación de ocre, cuyo rendimiento esta en función de dos variables A: cloruro de sodio, B: intensidad de corriente.

Obtenga el modelo del procesoAnalice aplicando él ANAVACree usted la temperatura influye en el procesoElabore el diagrama Eh-pHDe que color es el ocre producidoSin en vez de cloruro de sodio utiliza un electrolito de ni-trato de sodio, cual es el producto final.

(297) Se quiere evaluar un proceso en donde se nota la in-fluencia de dos factores A: 400 - 600 y B: 3,5 - 5.

Obtenga el modelo

Analice mediante los métodos de punto estacionario y canónico.

(298) Un proceso electrolítico, cuyo rendimiento esta en fun-ción de las variables A: 20 - 40 y B: 1 - 3.Obtenga el modelo y analice.

(299) Con el estudio experimental se desea determinar las condiciones óptimas siendo sus factores

El modelo que gobierna el estudio experimental es:

(300) Se estudia un experimento a nivel laboratorio siendo sus factores.

361

Palacios C. Severo

Siendo el modelo

(301) Se estudia la lixiviación con ácido sulfúrico, de una cal-cina, obtenida y de la tostación en presencia de aire, con adición de óxido de calcio, en horno monosolera Bach, de un concentrado de calcopirita rico en pirita. La calci-na es de la siguiente composición: 15,91 % de cobre, 38,06% de hierro, 11,45% de azufre y 3,55% de insolu-bles.

(302) Se estudia las variables A: concentración de ácido; B: temperatura, C: velocidad de agitación. Siendo su vector respuesta.

Obtenga el modeloAnalice el ANAVAAplique el método para evaluar la curvatura

(303) Dado el alto contenido de hierro de los licores de lixi-viación, que se obtienen, se procede a la purificación del cobre con Lix 64N, a partir de licores con 3,59 g/l de co-bre y 1,14 g/l de hierro, en lo que se relaciona con el efecto de alguna variables como el pH, concentración de extracción, relación de fases, agitación y concentración de ácido. Obteniéndose los modelos.

Analice mediante el ANAVAEstablezca los rangos de las variables

(304) Se quiere evaluar un proceso de tostación de un con-centrado sulfuroso de zinc, se requiere evaluar la tempe-ratura y la adición de aire, para la experimentación se evaluaron los factoresA: temperatura, B: aire. Siendo su vector respuesta.

Obtenga el modeloAnalice mediante el ANAVA

362


Establezca los rangos de las variables(305) Considere el modelo de primer orden

Donde .Determine la dirección de máximo ascenso y planifique el experimento siguiendo dicha dirección

(306) Los siguientes datos fueron recogidos por un ingeniero de planta. La respuesta y es el tiempo de filtrado, X1 es la temperatura y X2 es la presión.

X1 X2 Y-0,50,5-0,50,5

-0,750,75

00000

-0,5-0,50,50,500

-0,750,75

000

5445324750534751413940

Ajuste un modelo de segundo orden, verifique su validez y analice la superficie ajustada.Cuáles serían sus recomendaciones si se desea minimi-zar el tiempo de filtrado.

(307) Se desea minimizar el valor de la ceniza en la pulpa de papel (una medida de las impurezas inorgánicas). Se es-tudian dos variables: temperatura en ºC y tiempo en ho-ras. Estas variables se codifican como se indica a conti-nuación:Estas variables se codifican como se indica a continua-ción:

,

Se lleva a cabo un experimento cuyos resultados se mues-tran a continuación:

X1 X2 Y-0,50,5-0,50,5

-0,750,75

-0,5-0,50,50,500

2119221699222148

363

Palacios C. Severo

0000000

-0,750,75

00000

168179122175157146130

Qué tipo de diseño experimental se ha usado. Es rotable.El modelo cuadrático ajustado es


ModeloError

30688,7

1478,22

56

6137,74

246,37

24,91 > 8,75

Total 32166,92

11 R2 = 95,04

¿Es bueno el ajuste de este modelo?Calcule el punto estacionario. ¿Qué tipo de punto es?(Puede usar que los autovalores de la matriz son -6,89 y 0,62)

(308) Un ingeniero está investigando la influencia de la tem-peratura, la presión y la concentración del catalizador en tiempo que tar7

(309) da una reacción en llevarse a cabo. Tras varios experi-mentos, el investigador ajustó la función

Usando un diseño central compuesto con cinco puntos centrales. Las variables codificadas son las siguientes:

Hágale al investigador las sugerencias que considere. (310) Consideremos un experimento donde el objetivo es es-

tudiar la relación entre la frecuencia de oscilación de un reloj de cuarzo patrón y las condiciones de humedad y temperatura. En este caso el instrumento ya cuenta con un dispositivo para minimizar los cambios de temperatu-

364


ra, dado que los fabricantes conocen su impacto en la frecuencia de oscilación. Los factores seleccionados son temperatura (T) y humedad (H) y sus niveles de prueba se eligen de acuerdo a las condiciones del laboratorio; en este caso los niveles de temperatura son (22oC, 24oC) y para la humedad (20%, 50%). La variable de respuesta es la frecuencia de oscilación (Y). El diseño experimental seleccionado es un factorial completo 22 con punto central que se muestran a continua-ción.

Prueba

Temperatu-ra

(°C)Humedad

(%)

Frecuen-cia

(Hz)123456789

1011

-0,50,5-0,50,5

-0,750,75

00000

-0,5-0,50,50,500

-0,750,75

000

99,70699,70699,70499,70299,70499,69299,71599,65799,68799,68999,688

En particular en el estudio presentado se muestra cómo evaluar experimentalmente la incertidumbre dada por el fabricante de un equipo para verificar su magnitud en las condiciones del propio laboratorio. Este tipo de estu-dios podrían llevar a mejoras tanto de los equipos como de las instalaciones del laboratorio, buscando tener un menor impacto de las fuentes de incertidumbre detecta-das como las más importantes.

(311) En la definición de las variables de estudio de electro-deposición de oro se tuvo en cuenta las condiciones im-puestas por el proceso previo de desorción de oro, sobre todo en aquellas que tienen que ver con el electrolito, como la concentración de oro, la concentración de cia-nuro de sodio e hidróxido de sodio, la conductividad, el pH y la temperatura. Con estas queda definida la refe-rencia base para la selección y rango de las variables de estudio.Entre las variables mencionadas se seleccionaron el po-tencial aplicado, la concentración de hidróxido de sodio y la Densidad de corriente catódica como las de mayor

365

Palacios C. Severo

interés para este estudio, y como variables de respuesta se consideraron la eficiencia de corriente, el consumo de potencia, la cinética de la deposición del oro y su recupera-ción.

Factores Niveles- +

Potencial (Vols)NaOH (g/L)DC (A/cm³)

2,510

0,025

3,520

0,075

Prue-ba

Poten-cial

(Vols)NaOH(g/L)

DC(A/cm³)

Consumo ener-gía

(Watt-h)

Tiem-po

(min)1234567891011121314151617

-0,50,5-0,50,5-0,50,5-0,50,5

-0,750,75

0000000

-0,5-0,50,50,5-0,5-0,50,50,500

-0,750,75

00000

-0,5-0,5-0,5-0,50,50,50,50,50000

-0,750,75

000

3,439,384,3313,943,299,385,7315,667,797,646,877,756,705,96,86,96,7

115,078,7108,576,078,978,7173,9113,288,987,480,393,880,082,179,479,879,6

Se pretende minimizar el tiempo del proceso, de consu-mo de energía (mayor eficiencia de corriente) y menor cantidad de hidróxido de sodio a fin de optimizar las condiciones por medio de las ecuaciones logradas. Esto redunda en un beneficio económico y practico para la re-cuperación electroquímica de oro.

(312) El reciclado electroquímico de los compuestos de par-tida en disolución ácido se ha monitorizado por análisis de la DQO (demanda química de oxígeno), cromatografía de placa fina, análisis de CG-MS y por espectroscopia de UV-VIS.El tiempo de cada electrólisis se ha calculado para circu-lar la cantidad teórica de electricidad necesaria para oxidar completamente el sustrato, a partir de las leyes de Faraday, y una concentración de sustrato a tratar de

366


0,015 M en un volumen de 150 cm3. El tiempo de reac-ción se ha prolongado para aquellos casos en que se ob-servó un mejor comportamiento de la disminución de la DQO (demanda química de oxígeno) al aumentar la car-ga eléctrica.El plan experimental escogido para estudiar la influen-cia de las principales variables de reacción es un diseño factorial completo 23 con ocho barridos experimentales, donde las variables escogidas y sus niveles fueron la temperatura (25 y 40ºC), la concentración de electrolito (50 y 96%) y la densidad de corriente (500 y 1000 A/m2).

FactoresNiveles

- +X1: Temperatura (°C)X2: Concentración (%)X3: DC (A/m²)

2550500

4096

1000

Prueba

Temperatu-ra

(°C)

Concentra-ción(%)

DC(A/m²) DQO

123456789

101112

-0,50,5-0,50,5

-0,750,75

000000

-0,5-0,50,50,500

-0,750,75

0000

0000

-0,5-0,5+0,5+0,5-0,5+0,5-0,5+0,5

3248772530752852277565258674425632089745606871

La tecnología propuesta se presenta como una técnica universal para degradar compuestos nitratados aromáti-cos en contra de la biodegradación, en la que las espe-cies microbianas encargadas de degradar son específi-cas para cada contaminante concreto y mucho más versátil y cómoda de escalar y diseñar a nivel industrial que tecnologías basadas en sistemas fotocalíticos.Del estudio experimental de la degradación de los sus-tratos de partida se realizó en base al diseño de experi-mentos detallados en la tabla adjunta. La influencia de las variables tenidas en cuenta, temperatura, densidad de corriente y concentración de electrolito, así como las

367

Palacios C. Severo

interacciones entre ellas, se han estudiado estadística y comparativamente.Se pide demostrar la influencia de dichos factores

(313) El propósito de este estudio fue evaluar la remoción de sólidos totales, presentes en la vinaza (destilado del al-cohol), mediante procesos de electrocoagulación-electro-flotación utilizando electrodos de aluminio y como varia-bles de operación pH inicial, concentración de electroli-to y densidad de corriente.Las variables evaluadas fueron densidad de corriente (DC), pH inicial y concentración de NaCl como soporte electrolítico, todas las variables en dos niveles.Los niveles usados para cada variable fueron: DC 20, 40 y 60 mA/cm2; pH 4, 7 y 9; [NaCl] 0, 2000 y 4000 ppm.

FactoresNiveles

- 0 +X1: DC (mA/cm²)X2: pHX3: [NaOH] (ppm)

2040

407

2000

609

4000

PruebaDC

(mA/cm²) pH[NaOH](ppm)

Al(g)

% Sólidos totalesClarifica-

doEspu-

ma123456789

10111213141516171819202122232425

-0,50,5-0,50,5-0,50,5-0,50,5-0,50,5-0,50,5-0,50,5-0,50,5

-0,750,75

0000000

-0,5-0,50,50,5-0,5-0,50,50,5-0,5-0,50,50,5-0,5-0,50,50,500

-0,750,75

00000

-0,5-0,5-0,5-0,50,50,50,50,5-0,5-0,5-0,5-0,50,50,50,50,50000

-0,750,75

000

-0,5-0,5-0,5-0,5-0,5-0,5-0,5-0,50,50,50,50,50,50,50,50,5000000

-0,750,75

0

19,8120,9522,5922,0921,7315,0514,5615,2322,0016,8820,1621,0122,1523,4218,9617,8712,0119,0113,515,712,614,815,617,215,7

22,7323,4924,0023,7722,7717,2517,9218,6923,1216,8019,1518,1518,7519,2117,6515,2312,5417,2513,5714,2314,7816,7514,8919,2414,7

368


26 0 0 0 0 15,8 14,9Que factor influye en el mayor desprendimiento de alu-minio al desarrollar la electrocoagulación-electroflota-ción.En que región del pH ocurre mejor el proceso.

(314) La investigación se desarrolló con las aguas residuales de una industria láctea de la región. Se tomaron mues-tras tanto del tanque de descargas, como del tanque de homogeneización; este último toma las aguas del tanque de descarga de las aguas residuales de la empresa y las mezcla. A éstas se le analizaron: pH, DQO, conductivi-dad eléctrica, grasas y aceites. Los análisis se realizaron el mismo día del muestreo; de acuerdo con los resulta-dos, se decidió que las muestras de agua para la investi-gación serían recolectadas sólo del tanque de homogeni-zación, por ser éste el más representativo en las caracte-rísticas fisicoquímicas del agua residual láctea. La experimentación se llevó a cabo en un sistema para electrólisis. Este sistema opera como reactor disconti-nuo a escala prototipo, con capacidad para tratar dos li-tros de aguas residuales. Consta de una celda electrolíti-ca de dos litros en la que están sumergidos los electro-dos; estos electrodos son placas rectangulares metálicas de hierro y aluminio, dispuestas en paralelo y conecta-das a una fuente de voltaje de corriente continua que proporciona la corriente eléctrica requerida para la elec-trocoagulación.

FactoresNiveles

- 0 +X1: pHX2: DC (A/m²)X3: tiempo (min)

532,43

5

737,83

10

843,23

15

Prueba pHDC

(A/m²)tiempo(min)

DQO(%)

12345678910

-0,50,5-0,50,5-0,50,5-0,50,5

-0,750,75

-0,5-0,50,50,5-0,5-0,50,50,500

-0,5-0,5-0,5-0,50,50,50,50,500

75,7362,3646,5593,9970,8351,4477,2993,9943,8845,79

369

Palacios C. Severo

11121314151617

0000000

-0,750,75

00000

00

-0,750,75

000

42,1544,2647,2548,2647,6248,0148,06

La electrocoagulación se vislumbra como un tratamiento eficiente para la remoción de contaminantes en las aguas residuales industriales, específicamente en el ca-so de la industria láctea como se muestra en esta inves-tigación. Los tres factores bajo estudio (pH, densidad de corriente y tiempo) tienen efecto significativo sobre la remoción de DQO. El diseño de tres factores es bastante ajustado a los datos. En particular, si se tienen niveles óptimos del estudio para pH, tiempo y densidad de corriente.

(315) La planificación de los experimentos se realizó aplicando el diseño experimental factorial 2n; se analizó la influencia de la temperatura, la relación líquido/sólido y tiempo en la depuración de especies metálicas de efluentes, manteniendo fija la velocidad de agitación. Las variables de respuesta consideradas fueron: porcentaje de extracción de especies metálicas (E) y selectividad (S). Esta última, se determinó como la relación entre la recuperación de un componente dado y el grado de dilución del mineral. La extracción de Ni, Co, Fe y Mn como residuo de la de-puración de efluentes. Las condiciones experimentales y niveles de las variables se muestran en la tabla.

FactoresNiveles


3018

452

10

60312

Condiciones fijas del experimento: Velocidad de agitación 600 rpm; pH 4,06.Los modelos que regulan el proceso son:

370


Elabore un diseño experimental que satisfaga la depuración del efluente

(316) Los residuos sólidos de la lixiviación o colas constitu-yen un gran problema para el ecosistema de la región in-dustrial; su tratamiento, disposición y manejo son objeto de estudios con el fin de encontrar alternativas para mi-nimizar los impactos negativos al medio ambiente. Una cuestión de interés lo constituye la recuperación de pla-ta y el cobre contenidos en las colas residuales, las cua-les son consideradas un mineral de baja ley. Con el objetivo de recuperar especies metálicas de las colas de los procesos de lixiviación, ya sean las resultan-tes del proceso ácido o del proceso amoniacal, se han realizado estudios de biolixiviación y lixiviación química con ácidos orgánicos producidos por los microorganis-mos en sus procesos metabólicos.

(317) En la tabla aparece la matriz experimental correspon-diente al plan 23, y un experimento en el nivel central. Con este diseño de experimento se obtuvo el comporta-miento de las variables de respuesta Selectividad y Ex-tracción de Ag y Cu. La selectividad se consideró como la relación entre la recuperación de un componente da-do y el grado de disolución total del mineral. En todos los experimentos se mantuvieron fijos los parámetros si-guientes: relación líquido: sólido: L/S=12/1 cm3 de solu-ción/g de cola; velocidad de agitación: 630 rpm; tamaño de partículas (-0,149+0,074) mm. Se realizó el estudio del comportamiento cinético de la disolución del Ag y Cu. Las muestras de licor de lixiviación se colectaron a determinados intervalos de tiempo, se filtraron y anali-zaron por espectroscopia de absorción atómica.

FactoresNiveles


3011

4535

6059

PruebaT(°)

t(h)

L/S(cm³/g)

% ExtracciónAg Cu

371

Palacios C. Severo

123456789

1011121314151617

-0,50,5-0,50,5-0,50,5-0,50,5

-0,750,75

0000000

-0,5-0,50,50,5-0,5-0,50,50,500

-0,750,75

00000

-0,5-0,5-0,5-0,50,50,50,50,50000

-0,750,75

000

62,9671,6069,0782,4064,2470,4563,7287,1278,6376,3577,2579,5677,9578,4579,3679,4679,58

77,3880,5377,9387,3977,5880,0977,3990,9180,1085,2689,0189,9087,5488,6589,7489,8789,95

(318) Se controlaron 3 variables que permitieron conocer las condiciones óptimas del reactor para obtener altos por-centajes de descontaminación y realizar el escalamiento del reactor a nivel industrial. Las variables escogidas pa-ra el estudio fueron:

FactoresNiveles

- 0 +X1: [H2O2] (ml/L)X2: Volumen a tratar (L)X3: [TiO2] (mg/L)

040

18

100

212200

Prueba[H2O2](ml/L)

Volu-men(L)

[TiO2](mg/L) Radiación

(W/m²)pH

Degrada-ción(%)

123456789

1011121314151617

-0,50,5-0,50,5-0,50,5-0,50,5

-0,750,75

0000000

-0,5-0,50,50,5-0,5-0,50,50,500

-0,750,75

00000

-0,5-0,5-0,5-0,50,50,50,50,50000

-0,750,75

000

36,544,518,0

44,8326,0361,8352,8335,4140,1750,8334,1756,2557,256,355,755,955,2

3,853,915,775,413,725,738,435,124,244,24,124,254,723,984,254,264,28

23,5246,197,3933,0343,3431,8714,86,6216,819,814,8418,3622,1521,8518,2518,9218,75

372


Para el estudio de estas variables se realizaron una serie de experimentos donde la variable de respuesta fue el porcentaje de degradación medido como el porcentaje de reducción en la DQO.Del análisis de los datos obtenga el ANAVA, estime la respuesta óptima, además de la superficie de respuesta, que permiten obtener un modelo estadístico que descri-be el comportamiento del sistema de fotodegradación respecto a las variables experimentales estudiadas y que permitan establecer el grado de confiabilidad de los da-tos obtenidos.

(319) Se seleccionaron modelos lineales del tipo 2n, en los que n representa el número de variables a estudiar. Para un diseño experimental con 3 variables (pH, dosis de coagulante y floculante), el número de experimentos a realizar es igual a 8.En la tabla se especifica los niveles de cada experimento para una pareja coagulante-floculante determinada. Co-mo se observa en esta tabla los valores probados para el pH son 6 y 9, las dosis de coagulante fueron 20 y 100 mg/L y las del floculante de 0,1 y 1,0 mg/L.

Prueba

Floculan-te

(mg/L)

Coagulan-te

(mg/L)pH

Concentración residual

Color DQO1234567891011121314151617

-0,50,5-0,50,5-0,50,5-0,50,5

-0,750,75

0000000

-0,5-0,50,50,5-0,5-0,50,50,500

-0,750,75

00000

-0,5-0,5-0,5-0,50,50,50,50,50000

-0,750,75

000

47,04513

22,5188,5180,540,540,5

35,4633,2536,8739,4842,645,442,143,642,9

84,575,060,555,5

105,5138,582,542,5

36,8942,1545,2446,7844,746,847,847,948,0

Debido a la buena calidad del efluente obtenido bajo las condi-ciones óptimas determine el modelo de remoción de los pará-metros y, con el fin de disminuir el volumen de lodos y los cos-tos del proceso, utilice dicho modelos para realizar un análisis

373

Palacios C. Severo

de sensibilidad de respuesta con respecto a la variación de do-sis para poder reducir la cantidad de coagulante a aplicar, de tal manera de conservar niveles de remoción aceptables para los derivados.

§7SUPERFICIE DE RESPUES-

TAEn estadística, lo que desaparece detrás de los números es la muer-te.

Günter Grass

I. INTRODUCCIÓN

La metodología de superficie de respuesta es un conjunto de técnicas matemáticas y estadísticas utilizadas para modelar y analizar problemas en los que una variable de interés es in-fluenciada por otras. El objetivo es optimizar las variables de interés. Esto se logra al determinar las condiciones óptimas de opera-ción del sistema.

II. SUPERFICIE DE RESPUESTA

374


La relación Y=f(X1, X2,…, Xk), entre Y y los niveles de los k fac-tores representa una superficie. Con k factores la superficie está en k+1 dimensiones. Por ejemplo cuando se tiene Y=f(X1) la superficie esta en dos dimensiones como se muestra en la superficie de respuesta lineal, mientras que si tenemos Y=f(X1, X2) la superficie está en tres dimensiones, esto se ob-serva en la superficie de respuesta.


0 2 4 6 8 10X10.1 0.14 0.18 0.22 0.26 0.3

X2

0.7

1

1.3

1.6

1.9

2.2

Y

Y0.7-0.850.85-1.01.0-1.151.15-1.31.3-1.451.45-1.61.6-1.751.75-1.91.9-2.052.05-2.22.2-2.35

Superficie respuesta lineal Superficie respuesta espacialGráfica de contorno

La grafica de contornos facilita la visualización de la forma de una superficie de respuesta de tres dimensiones. En esta las curvas de los valores iguales de respuesta se grafican en un plano donde los ejes coordenados representan los niveles de los factores. Cada curva representa un valor específico de la altura de la superficie es decir un valor especifico de Y. Esto se muestra en el grafico de contornos. Esta grafica nos ayuda a enfocar nuestra atención en los niveles de los factores a los cuales ocurre un cambio en la altura de la superficie.

Región experimental

La región experimental especifica la región de los valores pa-ra los niveles de los factores. Esto se puede hacer empleando los niveles actuales de operación para cada factor, si se desea explorar el vecindario se incrementa y decrece el valor del ni-vel en una cantidad determinada.

III. POLINOMIO DE PRIMER ORDEN

375

Palacios C. Severo

Generalmente se desconoce la relación entre la respuesta y las variables independientes, por ello requieren un modelo que aproxime la relación funcional entre Y y las variables in-dependientes. Este modelo provee las bases para un nuevo experimento que nos lleva hacia un nuevo modelo y el ciclo se repite. Si la respuesta se describe adecuadamente por una función lineal de las variables independientes se utiliza el mo-delo de primer orden.


0 2 4 6 8 10X1

0.1

0.14

0.18

0.22

0.26

0.3

X2

Y0.7-0.850.85-1.01.0-1.151.15-1.31.3-1.451.45-1.61.6-1.751.75-1.91.9-2.052.05-2.22.2-2.35

Grafico contornosLos parámetros del modelo se estiman mediante el método de mínimos cuadrados. Una vez que se tiene los estimadores se sustituyen en la ecuación y obtenemos el modelo ajustado.

Este modelo se utiliza cuando queremos estudiar el comporta-miento de las variables de respuesta únicamente en la región y cuando no conocemos la forma de la superficie.

IV. PRUEBA DE SIGNIFICANCÍA

Para estimar los coeficientes se requieren N>k+1 valores de respuesta Y. El análisis de los datos de las corridas se presen-ta en una tabla de análisis de varianza. La tabla presenta las diferentes fuentes de variación que contribuyen a la variación total de los datos.

376


La variación total recibe el nombre de la Suma de Cuadrados Total SC, se calcula de la siguiente manera:

Donde

Yij es el valor observado de la ij-ésima corrida.

La suma de cuadrados se compone por la suma de cuadrados debido a la regresión y la suma de cuadrados no toma en cuenta el modelo ajustado. La formula de la suma de cuadra-dos debido a la regresión es.

La suma de cuadrado error, que corresponde a la no tomada en cuenta, se calcula de la siguiente manera.

En la tabla se observa un análisis de varianza, en ella p repre-senta el número de términos del modelo ajustado

Tabla 6.103 Análisis de varianzaFuente SC Gl CM

RegresiónError

SCregresión

SCerror

p-1N-p

SCR/p-1SCE/N-p

Total SCtotal N-1

La prueba de significancía de la ecuación de regresión ajusta-da tiene la siguiente hipótesis nula Ho: Todas las As (excluyen-do Ao) son cero contra la alternativa HA: al menos una de las As (excluyendo Ao) es diferente de cero.

La prueba supone que el error se comporta normalmente, en ésta se utiliza la prueba estadística F, el cual se calcula.

377

Palacios C. Severo

Se compara con una F de tabla (95 ó 99%), si F calculada ex-cede este valor la hipótesis nula se rechaza con un nivel de confianza de γ. Esto significa que la variación explicada por el modelo es significativamente mayor que la variación inexpli-cable.

Además de esta prueba se puede hacer un análisis de ajuste del modelo con la R² que es la proporción total de la variación de las Ys con respecto a la media que se puede explicar con la ecuación de regresión ajustada. Esta se calcula de la siguien-te manera.

V. PRUEBA DE FALTA DE AJUSTE

La falta de ajuste se presenta por la no linealidad o la curva-tura de la superficie de respuesta, ésta no se detecta debido a la exclusión de los términos cuadráticos como o de los términos de productos cruzados que se refieren al efecto de la interacción entre los factores.

La prueba de falta de ajuste requiere que el diseño del experi-mento satisfaga:

1. El número de los distintos puntos del diseño n, de-be exceder el número de términos en el modelo ajustado, es decir n>k+1, y

2. Al menos e réplicas deben recolectar en uno o más puntos del diseño para estimar la varianza del error.

378


Además, los valores del error aleatorio deben asumir una dis-tribución normal e independiente con una varianza común σ².

Al cumplirse las condiciones anteriores la suma de cuadrados del error se compone de dos fuentes de variación. La primera es la falta de ajuste del modelo ajustado (por la exclusión del término de mayor orden) y la segunda es la variación del error puro.

Para calcularlas necesitamos la suma de cuadrados calculada de las replicas que recibe el nombre de error puro de la suma de cuadrados y sustraer de la suma de cuadrados del error éste para obtener la suma de cuadrados de la falta de ajuste.

Donde

Yij es la i-ésima observación del j-ésimo punto del diseño

La prueba adecuada del modelo ajustado es:

La hipótesis de suficiencia de ajuste con un nivel γ de signifi-cancía se rechaza cuando el valor calculado del estadístico es mayor a Ftabla.

Cuando F calculada no es mayor al cuadrado medio residual es utilizado para estimar σ² y también se usa para probar la significancía del modelo ajustado.Cuando la hipótesis de suficiencia de ajuste se rechaza, se de-be de elevar el grado del modelo aumentando términos de

379

Palacios C. Severo

productos cruzados y/o términos de mayor grado en X1, X2, … , Xk. Si se quieren puntos adicionales para estimar todos los coeficientes éstos se añaden. Se colocan los datos y se vuelve a hacer el análisis.

Si no se rechaza la hipótesis podemos inferir que la superficie es lineal. Una vez que se tiene la ecuación y se ha comproba-do el ajuste se buscan niveles que mejoren los valores de res-puesta.

VI. MÁXIMA PENDIENTE ASCENDENTE

Frecuentemente la estimación inicial de las condiciones de operación óptima está alejada del óptimo real, en este caso se desea moverse rápidamente a la vecindad del óptimo. El mé-todo de máxima pendiente ascendente es un procedimiento para recorrer secuencialmente la trayectoria de la máxima pendiente, que nos lleva en dirección del máximo aumento de la respuesta. Cuando se desea la minimización se habla de la mínima pendiente de descenso.

La dirección de ascenso máximo es en la que Y aumenta más rápido, ésta es paralela a la normal de la superficie respuesta ajustada. Los incrementos a lo largo de la trayectoria son pro-porcionales a los coeficientes de regresión A1, A2, A3.

Los experimentos se llevan a cabo hasta que deje de obser-varse un incremento en la respuesta, entonces se ajusta un nuevo modelo de primer orden con el que se determina una nueva trayectoria y se continúa con el procedimiento. Final-mente, se consigue llegar a la cercanía del óptimo, esto ocu-rre cuando existe falta de ajuste del modelo de primer orden.

Determinar trayectoria de máxima pendiente ascenden-te

Supongamos que el punto X1=X2=…= Xk=0

1. Se elige un tamaño de incremento en una de las va-riables del proceso, digamos ∆Xj, usualmente se elige la variable de la que más se sabe, o la que tiene el mayor coeficiente de regresión.

2. El tamaño de incremento en las otras variables es

380


3. Se convierte ∆Xi de variable codificada a variable natural

Ejemplo 7.91Un investigador desea determinar las condiciones de opera-ción que maximicen el rendimiento de una reacción. Dos va-riables controlables influyen en éste: tiempo y temperatura de reacción. Actualmente el proceso opera con un tiempo de reacción de 35 minutos y una temperatura de 155 °F, lo que produce un rendimiento del 40%. El investigador decide que la región de exploración sea de 30 a 40 minutos y 150 a 160 °F.

En la tabla se muestran los datos, se utiliza un diseño facto-rial 2² aumentado en cinco puntos centrales. Las observacio-nes centrales sirven para estimar el error experimental y per-miten probar la adecuación del modelo de primer orden.

Variables codifica-das

Variables naturales

X1 X2 t T Y-+-+00000

--++00000

304030403535353535

150150160160155155155155155

39,340,040,941,540,340,540,740,240,6

Por método de mínimos cuadrados se obtiene:

En la tabla se muestra el análisis de varianza, donde se obser-va que F de regresión es significativa al 99%

Tabla 7.104 Análisis de varianza para el modelo de primer ordenFuente SC Gl CM Fo Ft(95%)

381

Palacios C. Severo

RegresiónResidual

Falta ajusteError puro

2,8250,1772

(0,0052)

(0,1720)

2624

1,4125

0,00260,0430

32,84

0,06

>

<

18,00

18,00

Total 3,0022 8 R² = 94,0976%

El modelo indica que hay que trasladarse 0,775 unidades en dirección de X1 por cada 0,325 unidades en dirección de X2. Sabemos que la trayectoria pasa por el punto (X1=0, X2=0) y tiene pendiente 0,325/0,775. En el ejemplo se decide usar 5 minutos como incremento en el tiempo de reacción lo que equivale a la variable codificada ∆X1=1.Los incrementos a lo largo de la trayectoria son:

El investigador calcula puntos a lo largo de esta trayectoria y observa el rendimiento en cada punto hasta notar un decre-mento en la respuesta. Los resultados aparecen la siguiente tabla. Los incrementos de muestran tanto para las variables codificadas como para las naturales, esto es porque las codifi-cadas son más fáciles de manejar matemáticamente y las na-turales son las que utilizamos para llevar a cabo el proceso.

Tabla 7.105 Pendiente ascendenteVariable codifica-

daVariable natural

incremento X1 X2 t T YOrigen

∆Origen + ∆

Origen + 2∆Origen + 3∆Origen + 4∆Origen + 5∆Origen + 6∆Origen + 7∆Origen + 8∆Origen + 9∆

Origen +1o∆

Origen + 11∆

01,001,002,003,004,005,006,007,008,009,00

10,0011,0012,00

00,420,420,841,261,682,102,522,943,363,784,234,625,04

355404550556065707580859095

1552

157159161163165167169171173175177179

41,0042,9047,1049,7053,8059,9065,0070,4077,6080,3076,2075,10

382


Origen + 12∆

Se observa un incremento en la respuesta hasta el décimo in-cremento, a partir del decimoprimero se produce un decai-miento en el rendimiento. Por lo tanto se debe ajustar otro modelo de primer orden en la cercanía del punto (t=85, T=175)

Se ajusta un nuevo modelo de primer orden alrededor del punto (t=85, T=175). La región de exploración para t es 80 a 90 y para T es 170 a 180. Por lo tanto las variables codifica-das son:

Nuevamente se utiliza un diseño 2² con cinco pruebas centra-les, los datos se adjuntan en la siguiente tabla.

Variables codifica-das

Variables natura-les

X1 X2 t T Y-+-+00000

--++00000

809080908585858585

170170180180175175175175175

76,577,078,079,579,980,380,879,979,8

El modelo de primer orden ajustado es:

En la tabla se muestra el análisis de varianza.

Tabla 7.106 Análisis de varianza para el modelo de primer ordenFuente SC Gl CM Fo Ft(95%)RegresiónResidual

Falta ajuste

5,0011,12

(10,908)

262

2,50

5,454

47,16

102,91

>

>

18,00

18,00

383

Palacios C. Severo

Error puro (0,212) 4 0,053Total 16,1200 8 R² = 31,01%

El resultado de la prueba de falta de ajuste implica que el mo-delo de primer orden no es una aproximación adecuada, por lo que se trata de una superficie con curvatura y logramos llegar a la cercanía del óptimo.

VII. POLINOMIO DE SEGUNDO ORDEN

El modelo de segundo orden es:

En éste caso los Ai son los coeficientes de regresión para el término de primer orden, los Aii son los coeficiente para los términos cuadráticos, los Aij son los coeficientes para los tér-minos con interacciones y ε es el término del error aleatorio.

Los términos cuadráticos y las interacciones son de segundo orden. El número de términos en la ecuación esta dado por p=(k+1)(k+2)/2

Los parámetros del modelo se estiman mediante el modelo de mínimos cuadrados. Una vez que se tienen los estimadores se sustituyen en la ecuación y obtenemos el modelo ajustado con valore óptimos de respuesta.

La significancía de los coeficientes estimados y el ajuste del modelo se prueban con la estadística F.

Una vez verificado que el modelo tiene suficiente ajuste y que los coeficientes son significativos, se procede a localizar las coordenadas del punto estacionario y se lleva a cabo un análi-sis más detallado del sistema de respuestas.

Punto estacionario

Suponiendo que se desea maximizar la respuesta, el máximo, si es que existe, será el conjunto X1, X2, …, Xk tal que las deri-vadas parciales384


Dichos puntos X1,o, X2,0, …, Xk,0 se denominan puntos estacio-narios. El punto estacionario puede ser:

a) Un punto de máxima respuestab) Un punto de mínima respuestac) Un punto silla

a) Pendiente descendente

5 6 7 8 9 10X1

30

35

40

45

50

55

60

X2

Y44.0-47.047.0-50.050.0-53.053.0-56.056.0-59.059.0-62.062.0-65.065.0-68.068.0-71.071.0-74.074.0-77.0

b) Pendiente ascendente

5 6 7 8 9 10X1

30

35

40

45

50

55

60

X2

Y130.0-154.0154.0-178.0178.0-202.0202.0-226.0226.0-250.0250.0-274.0274.0-298.0298.0-322.0322.0-346.0346.0-370.0370.0-394.0

d) Silla de montar

4 6 8 10 12 14X1

8

9

10

11

12

X2

Y86.0-87.087.0-88.088.0-89.089.0-90.090.0-91.091.0-92.092.0-93.093.0-94.094.0-95.095.0-96.096.0-97.0

Grafica de punto estacionario de superficie respuesta de segundo orden ajustado

a) Máxima b) Mínima c) Silla de montarPodemos obtener el punto estacionario usando la notación matricial para el modelo de segundo orden.

En otras palabras, a es el vector (kx1) de coeficientes de re-gresión de primer orden, y A es una matriz simétrica (kxk) cu-ya diagonal principal está formada por los coeficientes de los términos cuadráticos puros (Aii), mientras que los elementos fuera de ésta corresponden a un medio del valor de los coefi-cientes cuadráticos mixtos (Aij, i≠j).

385

Palacios C. Severo

La derivada de Y con respecto al vector X igualando a cero es:

El punto estacionario es la solución de la ecuación, es decir:

Sustituyendo ésta en la ecuación matricial para el modelo de segundo orden tenemos:

VIII. CARACTERIZACIÓN DE SUPERFICIE DE RES-PUESTA

Habiendo encontrado el punto estacionario es necesario ca-racterizar la superficie de respuesta es decir determinar si se trata de un punto de respuesta máximo, mínimo o silla. La for-ma directa de hacer esto es mediante la gráfica de contornos del modelo ajustados, sin embargo es útil un análisis más for-mal.

Como una alternativa se puede expresar la forma de la super-ficie respuesta usando un nuevo conjunto de variables Z1, Z2, …, Zk cuyos ejes representan los ejes principales de la superfi-cie de respuesta, los cuales se interceptan en el punto esta-cionario como se observa. Esto da por resultado el modelo ajustado.

Donde:

Zi Son las variables independientes transformadas, yλi Son constantes

386


Dicha ecuación se llama forma canónica.

Las λi son los valores propios y se obtienen de la matriz A.

Superficie de respuesta en forma canónica

La naturaleza de la superficie de respuesta puede determinar-se a partir del punto estacionario y del signo y magnitud de las λi. Si todas las λi son positivas, entonces es un punto de respuesta mínima, si todas las λi son negativas, entonces es un punto de respuesta máxima y si las λi tienen signos distin-tos entonces es un punto de respuesta silla.

Ajuste de superficie de respuesta

El ajuste y análisis de una superficie de respuesta se facilita con la elección apropiada de un diseño experimental.

Un diseño es el conjunto específico de combinaciones de los niveles de las k variables que se utilizan al llevar a cabo el ex-perimento.

Ajuste del modelo de primer orden

Una clase única de diseño que minimiza la varianza de los co-eficientes de regresión son los diseños ortogonales de primer orden. Por ortogonal se entiende que los elementos fuera de la diagonal de la matriz son iguales a cero, lo cual implica que los productos cruzados de la columna de la matriz x son igual a cero.

Ajuste del modelo de segundo orden

387

Palacios C. Severo

Un diseño experimental para ajustar un modelo de segundo orden debe tener al menos tres niveles de cada factor (-1, 0 +1). Así como el diseño de primer orden se desea la ortogona-lidad, en éste se desea que sea un diseño rotable. Se dice que un diseño es rotable cuando la varianza de la respuesta en al-gún punto es función solo de la distancia del punto al centro y no es una función de la dirección.

La rotabilidad es una propiedad importante, dado que la fina-lidad de la superficie de respuesta es optimizar y desconoce-mos la localización del óptimo, tiene sentido utilizar un diseño que proporcione estimaciones precisas en todas las direccio-nes.

Ejemplo 7.92La conversión de un proceso factorial con superficies de res-puesta lineal se ilustran con dos factores, presión y tempera-tura.

El diseño de tratamientos fue un factorial 22 con rango de temperatura de 130 y 160°C y presión de 325 y 475 psi como factores principales, además se realizaron cuatro pruebas centrales a temperatura de 145°C y presión de 400 psi para proporcionar una estimación de la varianza del error experi-mental y evaluar si el modelo de respuesta lineal es adecua-do. Las combinaciones de tratamientos y el porcentaje de con-versión se muestran en la tabla 7.107.

Tabla 7.107 Conversión de un proceso con temperatura y presiónX1 X2

Temperatu-ra (°C)

Presión(Psi)

% conver-sión

-+-+0000

--++0000

130160130160145145145145

325325475475400400400400

824163221232024

Niveles de factores codificados

Los niveles de factores codificados proporcionan un marco de trabajo uniforme para investigar los efectos de los factores en

388


cualquier contexto experimental, ya que los valores reales de los niveles dependen de los factores específicos en el estudio. Los niveles codificados de los factores de un diseño factorial 2n son:

Donde:

Vi Viene a ser el valor real del factor principala Viene a ser el valor promedio del factor principalb Viene a ser el salto o rango entre el mínimo nivel y el promedio

Los niveles codificados de temperatura (T) y presión (P) en la tabla 7.107.

Estimaciones de las respuestas lineales

Las estimaciones de los coeficientes para el modelo de primer orden son:

Las estimaciones de los coeficientes lineales, A1 y A2, es la media de las estimaciones del efecto factorial para una facto-rial 2n.

389

Palacios C. Severo

La varianza del error de las cuatro observaciones centrales del diseño y una estimación del error estándar para las esti-maciones de los coeficientes es

Es importante el hecho de que la varianza del error tenga una estimación adecuada, con réplicas centrales del factorial. Si la varianza de la respuesta depende en alguna forma del nivel de factor, entonces se recomienda la réplica del diseño con las combinaciones a niveles alto y bajo del factor para detec-tar cualquier variabilidad heterogénea entre las combinacio-nes del mismo.

Las estimaciones de los coeficientes de regresión indican que el incremento de la temperatura o la presión, aumentará el porcentaje de conversión. La ecuación estimada del modelo de primer orden es:

La interacción entre temperatura y presión TxP mide la falta de ajuste con el modelo lineal y se representa mediante el tér-mino A12X1X2 en el modelo cuadrático. La estimación del coefi-ciente A12 es un medio de la interacción TxP, es decir:

390


El error estándar de A12 es 0,91, el mismo que para los coefi-cientes lineales. La componente de interacción estimada de 0 indica que temperatura y presión son independientes sobre el porcentaje de conversión.

Puntos centrales del diseño para curvatura de la super-ficie

Las pruebas centrales del diseño no sólo proporcionan una es-timación del error experimental, también proporcionan un mecanismo para medir el grado de curvatura en la región ex-perimental. Sea el promedio de las combinaciones del tra-tamiento del factorial 22 y el promedio de los puntos cen-trales; existe evidencia de curvatura en la superficie de res-puesta si la respuesta promedio en las coordenadas del centro del diseño, es mayor o menor que la respuesta promedio en los niveles extremos de los factores, . La diferencia del valor absoluto es una estimación de β11+β22, donde β11 y β22 son los coeficientes de regresión cuadrática.

Las medias observadas son y , con una diferen-cia de . El error estándar de la diferencia se esti-ma como ; la respuesta lineal parece describir de manera adecuada la superficie de la zona.

En la gráfica de las curvas de nivel para la ecuación de res-puesta lineal estimada. Los valores de los contornos ascien-den conforme aumentan los niveles de temperatura y presión, las curvas de nivel crecientes indican que puede existir una combinación de temperatura y presión para maximizar la con-versión en una dirección perpendicular a las curvas.

Pendiente ascendente hacia una respuesta óptima

Por último, el investigador querrá determinar la zona de res-puesta óptima; para hacerlo, se requiere localizar la región de niveles de los factores que producen las condiciones óptimas. El método de pendiente ascendente es un procedimiento de-

391

Palacios C. Severo

sarrollado para llevar la región experimental de la respuesta variable en una dirección de cambio máximo hacia el óptimo.

Con base en la ecuación lineal estimada , la trayectoria de mayor pendiente, perpendicular a las curvas de igual respuesta, traslada 4 unidades en la dirección de X2 por cada 8 unidades en la dirección de X1. De manera equivalen-te, la trayectoria tiene un movimiento de 4/8 = 0,5 unidades en X2 por cada unidad de movimiento en X1.

La trayectoria de mayor pendiente inicia en el centro del dise-ño con (X1, X2) = (0, 0). En la grafica de curvas de nivel, el centro del diseño para los valores de temperatura y presión es (T, P) = (145, 400). Un cambio de ΔX1 = 1 unidad en la di-rección X1 es un cambio de 15°C en la temperatura y ΔX2= 0,5 unidades en la dirección X2 es un cambio de 37,5 psi en la presión.

El objetivo es moverse a lo largo de la trayectoria de mayor pendiente hasta que se observe una respuesta máxima. El in-vestigador realizará experimentos con las combinaciones de temperatura y presión a lo largo de la trayectoria de mayor pendiente.

Gráfica de curvas de nivel para la respuesta lineal del % de conversión para temperatura (T) y presión (P)

392


En la tabla 7.108 se muestran, los niveles de temperatura y presión, a partir de (T, P) = (145, 400), puntos centrales del diseño, con cambios de 1 unidad en X1, y de media en X2, en el supuesto de que el investigador desea realizar los cambios re-lacionados con la modificación de una unidad en X1.

Tabla 7.108 Pendiente ascendente de región de respuesta máxima en % de conversión

Paso X1 X2 T P01234

.

.

.

01234

.

.

.

00,51,01,52,0

.

.

.

145160175190205

.

.

.

400,0437,5475,0512,5550,0

.

.

.

Conforme el investigador avanza por la trayectoria de la pen-diente ascendente, el aumento en la respuesta es menor hasta que observa una disminución real en ella, lo que indicará que la región de respuesta máxima está en la proximidad de esas condiciones de temperatura y presión. En este punto del pro-ceso, se puede diseñar un experimento para estimar una ecuación polinomial cuadrática que aproxime la superficie de respuesta.IX. DISEÑOS DE SUPERFICIE RESPUESTA CUA-

DRÁTICO

Una vez que se identifica la región de respuesta óptima, debe diseñarse un nuevo experimento para caracterizar la superfi-cie de respuesta. En general, la superficie se aproxima por medio de una ecuación cuadrática para determinar la curva-tura de la superficie.

Los factoriales 2n o sus fracciones son diseños útiles para identificar los efectos significativos y las regiones de respues-ta óptima. Sin embargo, en la región de respuesta óptima, es-tos diseños no proporcionan información suficiente para esti-mar las ecuaciones de respuesta cuadrática, pues se requie-ren al menos tres niveles para cada factor y el diseño debe te-ner puntos distintos para estimar los pará-

393

Palacios C. Severo

metros con un modelo de regresión cuadrática para aproxi-mar la curvatura.

Las propiedades de los diseños experimentales convenientes para la estimación de superficies de respuesta incluyen la ca-pacidad para estimar el error experimental y tener en cuenta una prueba de la falta de ajuste del modelo. Los diseños tam-bién deben proporcionar estimaciones eficientes de los coefi-cientes del modelo y predecir las respuestas.

En esta sección se estudian varias clases de diseños desarro-llados con las propiedades convenientes para la aproximación de la superficie de respuesta de segundo orden.

Factoriales 3n para estimar superficies cuadráticas

Los factoriales 3n se pueden usar para estimar las ecuaciones polinomiales cuadráticas, pero el número de combinaciones de tratamientos que requieren produce un experimento poco práctico de gran tamaño; pues mientras los diseños 3n con dos factores requieren sólo 9 combinaciones de tratamientos, un diseño con tres factores requiere 27, y uno con cuatro fac-tores requiere 81.

Diseños centrales compuestos a los factoriales 3n

Box y Wilson (1951) propusieron diseños centrales compues-tos, que requieren menos combinaciones de tratamientos que los factoriales 3n, para estimar las ecuaciones de la superficie de respuesta cuadrática. Los diseños centrales compuestos son diseños de tratamientos factoriales 2n con 2n combinacio-nes adicionales, llamadas puntos estrella, a lo largo de los ejes coordinados de los niveles de factor codificados. Las co-ordenadas de los puntos estrella de los ejes del factor codifi-cado son (±α, 0, 0, …, 0), (0, ±α, 0, …, 0), . . ., (0, 0, 0, …, ±α). En general, se agregan m réplicas al centro del diseño en las coordenadas (0, 0, …, 0).

Los diseños centrales compuestos se usan para aprovechar la experimentación secuencial, el primer paso de la secuencia consiste de una serie de pruebas realizadas a lo largo de la

394


trayectoria de mayor pendiente, como la mostrada en la tabla 7.108 En algún momento, las pruebas conducen hacia un con-junto de niveles de factores que proporciona un máximo apa-rente en la trayectoria. Por ejemplo, suponiendo que las res-puestas en la trayectoria de mayor pendiente son las que se muestran en la grafica de mayor pendiente, con una respues-ta máxima de 36 observada en T = 190°C y P = 512,5 psi.

Trayectoria de mayor pendiente y un diseño central compuesto

Como segundo paso en la secuencia, el investigador realiza un nuevo experimento factorial 22, con varias réplicas al cen-tro del diseño (T, P) = (190; 512,5).

Si la diferencia calculada en el nuevo experimento indica un alto grado de curvatura en la superficie, el tercer paso en el experimento secuencial consiste en pruebas adicio-nales del experimento en lo puntos estrella (±α, 0) y (0, ±α), mostradas con cuadros en la grafica de mayor pendiente. Este último conjunto de combinaciones de tratamientos en los ejes, junto con el factorial 22 y los puntos centrales, constituye el diseño central compuesto como resultado de la experimenta-ción secuencial.

395

Palacios C. Severo

Una réplica de un diseño central compuesto consiste de combinaciones de tratamientos del factorial 2n, combinaciones de tratamientos en los puntos estrella

del diseño y m réplicas en el centro para obtener un total de observaciones.

Las coordenadas en los ejes codificados X1 y X2, para el diseño central compuesto con dos factores se muestra en la tabla 7.108, y la gráfica donde se describe la localización de las co-ordenadas para los niveles de factores codificados del diseño central compuesto de dos y tres factores. Debido a que cada factor tiene cinco niveles, se puede estimar una ecuación cua-drática a partir de este diseño.

Codificado DiseñoX1 X2

-+-+

--++

Factorial

00

00

Estrella

0 0 Central

Además, como se vera en la siguiente sección, se puede eva-luar cualquier desviación significativa de la aproximación cua-drática.

Las unidades experimentales necesarias para el diseño central compuesto con n factores son menos que las requeridas por los factoriales 3n con tres factores o más. Así, los diseños centrales compuestos son más económicos en cuanto al uso de materiales y proporcionan la capacidad de estimar las ecuaciones de respuesta. Se pueden usar fraccio-nes de los diseños 2n con interacciones de orden mayor con alias como base del diseño 2n cuando hay más factores en el estudio.

396


Diseños rotatorios exploratorio de superficie de res-puesta

Una propiedad deseable al establecer cualquier diseño es la misma precisión para todas las estimaciones de las medias. Sin embargo, la precisión de los valores estimados sobre la superficie de respuesta basada en la ecuación de regresión estimada no será constante en toda la región experimental. Una propiedad rotatoria desarrollada para los diseños centra-les compuestos requiere que la varianza de los valores esti-mados sea constante en puntos equidistantes del centro del diseño con coordenadas codificadas (0,0, ..., 0).

Diseños centrales compuestos a) dos factores y b) tres factores

La rotación de un diseño es importante en la exploración de una superficie respuesta porque la precisión de la superficie estimada no depende de la orientación del diseño con respec-to a la superficie respuesta real o a la dirección de la búsque-da de las condiciones óptimas. Los factoriales 2n usados como diseño exploratorios para aplicar el método de búsqueda de la mayor pendiente en zonas de respuestas óptimas son diseños rotatorios. Así, la orientación del diseño no dificulta el método de búsqueda de la pendiente ascendente porque algunas res-puestas se estiman con menor precisión que otras.

397

Palacios C. Severo

El diseño central compuesto es rotatorio estableciendo los va-lores de los puntos estrella como , El valor de α para un diseño de dos factores es , y para un diseño de tres factores . Si hay rF répli-cas del factorial 2n y rα, réplicas de las combinaciones estre-lla, una forma más general para α es , si se usa un factorial fraccionario 2n-p como base para el diseño central compuesto, entonces .

Ejemplo 7.93Establecida la trayectoria de mayor pendiente para el estudio de % de conversión en la tabla 7.109 se proporcionó una res-puesta máxima en T = 190°C y P = 512,5 psi y debe cons-truirse un diseño central compuesto con centro en (T, P) = (190; 512,5); y que la relación entre las coordenadas del dise-ño (X1, X2) y los niveles de temperatura y presión (T, P) se conservan como antes, donde un cambio de una unidad en X1, es 15°C y un cambio de una unidad en X2 es 75 psi. Con

, las coordenadas del diseño y la temperatura y presión requeridas serán:

Codifica-do

OriginalDiseño

X1 X2 T P-+-+

--++

175205175205

437,5

437,5

587,5

587,5

Facto-rial

00

00

168211190190

512,5

512,5

406,4

618,6

Estrella

0 0 190 512,5 Central

398


Punto estacionario en el centro del diseño

Como se estableció antes, la varianza de la superficie estima-da no es constante para toda la superficie. Box y Hunter (1957) mostraron que el número de puntos centrales en los diseños centrales compuestos rotatorios puede elegirse de manera que proporcione un diseño con precisión uniforme pa-ra la superficie estimada de una unidad alrededor de las coor-denadas del centro del diseño en la escala codificada.

Tabla 7.109 Diseños centrales compuestos rotatorios con precisión uniformeFactores 2 3 4 5 5 6 6Factor 2n 1 1 1 1 ½ 1 ½

1,41445

1,682866

2,00

1687

2,378

321010

2,0016106

2,828

641215

2,37832129

13 20 31 52 32 91 53

Su razonamiento fue que el investigador está más interesado en la superficie de respuesta cerca del centro del diseño cuando un punto estacionario de la superficie se localiza cer-ca del centro; el punto estacionario es un punto de respuesta máxima, mínima o con forma de silla. En la tabla 7.109 se muestran algunos diseños centrales rotatorios compuestos con precisión uniforme.Los diseños centrales compuestos requieren cinco niveles de cada factor, codificados como - a, - 1, 0, 1, +a. En algunos ca-sos, preparar cinco niveles para algunos factores puede ser difícil, costoso y mucho tiempo. El diseño de cubo con cara centrada es una variación del diseño central compuesto con a = 1 que requiere sólo tres niveles de cada factor. Si se susti-tuye a = 1 en la tabla 7.109, el diseño de dos factores se con-vierte en un factorial 32, diseño más atractivo cuando la re-gión de interés tiene forma de cubo producida por este diseño en lugar de la región esférica producida por el diseño central compuesto.

399

Palacios C. Severo

El diseño no es rotatorio, pero la ausencia de esta propiedad se compensa por el deseo de poder hacer inferencias cuboida-les y por el ahorro en recursos experimentales.

El cubo con cara centrada requiere menos corridas en el pun-to central que el diseño central compuesto para lograr una varianza estable de los valores estimados en la región del di-seño, pero debe recordarse que se necesitan corridas réplica en algún punto o puntos del diseño para estimar la varianza del error experimental.

Un diseño de cubo con cara centrada para tres factores o más requiere menos combinaciones de tratamientos que los facto-riales 3n; entonces, ésta es otra alternativa para los diseños 3n

que requiere menos unidades experimentales.

Diseños Box-Behnken, alternativa para los factoriales 3n

Box y Behnken (1960) propusieron una clase de diseños de tres niveles para estimar las superficies de respuesta de se-gundo orden. Los diseños son rotatorios, o casi rotatorios, con menor número de unidades experimentales en comparación con los diseños 3n. Se forman con la combinación de diseños 2n y diseños de bloques incompletos; los detalles de la cons-trucción se encuentran en Box y Draper (1987) y los niveles de factores codificados para las combinaciones de tratamien-tos necesarios en un diseño para tres factores, donde se pre-senta un conjunto completo de las combinaciones de trata-mientos para un factorial 2n para cada par de factores acom-pañados por el nivel 0 de los factores restantes. Se incluyen varias réplicas del centro del diseño (0, 0, ..., 0).

Estos diseños son esféricos más que cuboidales puesto que los puntos del diseño se encuentran en las orillas de un cubo en lugar de las esquinas como los del diseño de cubo con cara centrada. El diseño de Box-Behnken sólo debe usarse si no se tiene interés en predecir las respuestas en las esquinas de la región cuboidal.

Factor A B CNivel codificado X1 X2 X3

Factorial 22 - - 0

400


para A y B+-+

-++

000

Factorial 22

para A y C

-+-+

0000

--++

Factorial 22

para B y C

0000

-+-+

--++

Central000

000

000

Diseños de bloques incompletos

Los diseños de bloques incompletos son útiles para reducir la varianza del error experimental cuando el número de trata-mientos es grande o cuando las condiciones experimentales impiden la ejecución de réplicas completas bajo circunstan-cias constantes.

Box y Hunter (1957) presentaron las condiciones de bloques de los diseños de superficie de respuesta de segundo orden, de manera que los efectos de los bloques no afectan las esti-maciones de los parámetros para la ecuación de la superficie de respuesta. Mostraron que deben satisfacerse dos condicio-nes para que los bloques sean ortogonales a las estimaciones de los parámetros de la ecuación de la superficie de respues-ta. Sea nb, el número de tratamientos en el b-ésimo bloque; las dos condiciones necesarias son:

1. Cada bloque debe ser un diseño ortogonal de primer orden. Para cada bloque debe cumplirse la siguiente re-lación para cada par de variables de diseño x, y x,:

2. La fracción de la suma de cuadrados total para cada variable de diseño que aporta cada bloque debe ser igual a la fracción de las observaciones totales colocadas en el bloque. Entonces, debe cumplirse la siguiente rela-

401

Palacios C. Severo

ción entre las variables de diseño y el número de obser-vaciones para cada bloque:

Una estrategia sugerida para los bloques de diseños centrales compuestos coloca los tratamientos NF para el diseño 2n y mF

puntos centrales en un bloque, y los N, tratamientos axiales con m, puntos centrales en un segundo bloque. Este arreglo de bloques satisface la primera condición.

El diseño rotatorio central compuesto para dos factores dis-puestos en dos bloques se muestra en el siguiente cuadro. El primer bloque se compone de NF = 4 combinaciones de trata-mientos del factorial de 2n más mF = 2 puntos centrales, y el segundo bloque consiste en Nα = 4 combinaciones de trata-mientos estrella más mα = 2 puntos centrales. Los cálculos necesarios para evaluar la primera condición de un diseño de bloques ortogonal son las sumas de los productos cruzados entre X1, y X2 en cada bloque. Es sencillo verificar que ΣX1X2

= 0 en ambos bloques.

Factor A BNivel codificado X1 X2

Bloque I-+-+

--++

Bloque II+1,414-1,414

00

00

+1,414-1,414

Central000

000

Para el diseño completo:

402


y tanto para el bloque 1 como el bloque 2:

El número de observaciones del tratamiento en los bloques 1 y 2 es n1 = n2 = 6 y el número total de observaciones es N = 12, con una razón n1/N = 6/12 = 1/2. La segunda condición, requiere de la razón de las sumas de cuadrados de X1 y X2 en cada bloque para que todo el experimento sea igual a ni/N. Para ambos bloques la razón de la suma de cuadrados es 4/8 = 1/2, que es equivalente a la razón para ni/N, por tanto, el di-seño es ortogonal.

Para que se satisfaga la segunda condición, debe cumplirse la siguiente relación:

Donde:

pα = ma/Nα y pF = mF/NF.

Para que el diseño satisfaga las dos condiciones y sea rotato-rio . No siempre es posible encontrar un diseño

que cumpla con exactitud con , pero en

la práctica, los valores del número de observaciones del dise-ño se pueden determinar de forma que se obtengan diseños con bloqueos casi ortogonales y rotatorios. Box y Draper (1987) ofrecen las proporciones relativas de rF y rα necesa-rias para los diseños rotatorios y bloques ortogonales cuando pα=pF.

403

Palacios C. Severo

Para el diseño rotatorio central compuesto, la fracción de ob-servaciones centrales en cada bloque es pα=pF=1/2 y .

Al evaluar la condición de rotabilidad y ortogonalidad se tie-ne:

Y como lo requiere la rotabilidad.

Los diseños centrales compuestos rotatorios enumerados en la tabla 7.110 se pueden colocar en diseños de bloques incom-pletos útiles para obtener diseños centrales compuestos casi ortogonales y rotatorios. El factorial 2n o el factorial fraccio-nario 2n-p se coloca en uno o más bloques incompletos y las combinaciones de tratamiento axiales se colocan en un bloque separado. En la tabla 7.108 se muestran el número de blo-ques y el número de puntos centrales sugeridos en cada blo-que para el factorial 2n o el factorial fraccionario.

Tabla 7.110 Diseño de bloques incompletos para diseños centrales compues-tos

Número facto-res

2 3 4 5 5 6 6

Fraccionado 2n 1 1 1 1 ½ 1 ½ NF

mF

42

82

162

324

162

642

322

Número blo-ques

1 2 2 4 1 8 2

aNα

mα

1,41442

1,68262

2,0081

2,378

101

2,00104

2,828

121

2,378

124

Reducción del número de puntos de diseño

El costo, la dificultad y el tiempo con cierto tipo de experi-mentos pueden obligar a reducir el tamaño del experimento, pero tal reducción está limitada por el modelo estadístico que estima la superficie de respuesta. La ecuación de la superficie de respuesta de segundo orden para n factores tiene un tér-mino constante, n términos lineales, n términos cuadráticos y

404


n(n-1)/2 términos de interacción, con un total de (n+1)(n+2)/2 términos. Así, el número mínimo de puntos de un diseño para estimar la superficie de respuesta de segundo orden es (n+1)(n+2)/2.

La mayoría de los diseños se basan en factoriales fracciona-rios 2n-p incrementados con puntos de diseño para estimar los modelos de superficie de respuesta de segundo orden. En mu-chos casos los diseños se saturan con puntos de diseño con pocas o ninguna réplica y se requiere una estimación inde-pendiente del error experimental para probar la eficacia del modelo de la superficie de respuesta, a menos que el diseño tenga réplicas. Además, los diseños saturados no permiten probar la falta de ajuste del modelo hipotético de la superficie de respuesta de segundo orden.

Evaluación de los diseños de superficie de respuesta

Myers et al. (1992) usaron la predicción de la varianza de la ecuación de la superficie de respuesta de segundo orden para evaluar muchos de los diseños conocidos de esta superficie, considerando que un diseño era superior si la varianza de los valores pronosticados era menor que la de los otros diseños.

Los diseños centrales compuestos fueron superiores en gene-ral para superficies esféricas cubiertas por puntos de diseño. Cuando los diseños se restringieron a las regiones cuboidales (a=1), el diseño de cubo con cara centrada formado por el di-seño central compuesto, en general, era superior que el dise-ño de Box-Behnken en la región cuboidal.

X. SUPERFICIE DE RESPUESTA CUADRÁTICA

Cuando se ha identificado la región de respuesta óptima me-diante el método de la pendiente ascendente o algún otro mé-todo de experimentación, suele ser necesario determinar la superficie de respuesta en esa región de los factores. Con los diseños descritos en la sección anterior, se pueden realizar experimentos y obtener datos para estimar una aproximación cuadrática de la superficie de respuesta.

405

Palacios C. Severo

La ecuación de respuesta estimada permitirá al investigador localizar un punto de respuesta estacionario que quizá sea un máximo, un mínimo o un punto de deflexión en la superficie. Un examen de las curvas de nivel indicará qué tan sensible es la variable de respuesta a cada factor y el grado en que los factores afectan a las variables de respuesta.

Ejemplo 7.94Una compañía usaría una nueva herramienta de corte que ofrece un proveedor, éste asegura que la nueva herramienta reducirá los costos de producción porque durará más que el modelo anterior y el costo de reemplazo de la herramienta se reducirá. La vida de una herramienta de corte de metales de-pende de varias condiciones de operación como la velocidad del torno y la profundidad de corte.

Tabla 7.111 Duración de una herramienta, en función de la velocidad del torno y la profundidad de corte como factores de tratamiento, en un diseño

central compuestoCodificados Originales Vida de he-

rramientaX1 X2 Veloci-dad

Profundi-dad

++--

00000000

+-+-00

000000

600600200200683117400400400400400400400400

0,1000,0500,1000,0500,0750,0750,1100,0400,0750,0750,0750,0750,0750,075

1541321668315614416691167175170176156170

El ingeniero de planta había determinado mediante estudios anteriores que la vida máxima de la herramienta se lograba, para la herramienta actual, con una velocidad de 400 y una profundidad de corte de 0,075. El ingeniero, que deseaba de-terminar la situación óptima para la nueva herramienta, usó un diseño central compuesto en un experimento para deter-minar la vida de la nueva herramienta al variar las velocida-

406


des del tomo y las profundidades de corte dentro de la región de condiciones de operación óptimas urgentes para la vida máxima de la herramienta. Los datos del experimento se muestran en la tabla 7.111.

Ecuación de superficie de respuesta estimada

El modelo de la superficie de respuesta de segundo orden se ajusta a los datos mediante los procedimientos de regresión de mínimos cuadrados.

La ecuación se puede estimar con un programa de computa-dora para análisis de regresión. La ecuación de la superficie de respuesta de segundo orden estimado para los datos de la vida de la herramienta de la tabla 7.111 es:

Sumas de cuadrados para el análisis de regresión

La suma de cuadrados en el análisis de varianza para el mo-delo de regresión se muestra en la tabla 7.112. Las sumas de cuadrados para el modelo de segundo orden completo son:

Se hace una partición de la suma de cuadrados de regresión en reducciones para el modelo lineal y las componentes cua-dráticas del modelo, con el principio de particiones de sumas de cuadrados del modelo reducido y el modelo completo.

La partición para las componentes lineales del modelo, X1 y X2, o:

Tabla 7.112 ANAVA para modelo se superficie respuesta cuadráticoFuente SC Gl CM Fo(99

%)Regresión 10946 5 2189,2 > 47,18

407

Palacios C. Severo

Lineal CuadráticoError Falta de ajuste Error puro

5933

5013

371 111 26

0

2 3

8 3 5

2966,51671,0

46,437,052,0

>>

63,9336,01

Total 11317 13 R² = 96,7217%

Es la suma de cuadrados de la regresión para el modelo redu-cido de primer orden . La partición para las componentes cuadráticas es la diferencia entre la su-ma de cuadrados de regresión para el modelo completo y el modelo reducido, es decir:

Se hace una partición de la suma de cuadrados para el error, SCE = 371 en dos partes. La suma de cuadrados para el error puro, SCE(error puro) = 260, con 5 grados de libertad se calcula a partir de las seis réplicas observadas en el centro del diseño con coordenadas de factor (V, D)=( 400; 0,075). Las suma de cuadrados para el error con los 3 grados de libertad restan-tes, SCE(falta de ajuste) = 111, se pueden atribuir al error en la es-pecificación del modelo de superficie de respuesta. Como los seis puntos centrales del diseño proporcionan una estimación del error experimental puro, la suma de cuadrados designada como falta de ajuste se puede usar para probar la significan-cía de la falta de ajuste en el modelo cuadrático.

Pruebas de hipótesis para el modelo de segundo orden

Las hipótesis de interés en el análisis son:

Significancía del modelo completo de segundo orden:

Ho se rechaza, ya que Fo > F(95%) = 5,05408


Significancía de las componentes lineales para el mo-delo:


Significancía de las desviaciones cuadráticas del mo-delo lineal:


Significancía de la falta de ajuste al modelo cuadráti-co:


El modelo de regresión cuadrática completo es significativo y la falta de ajuste al modelo cuadrático no lo es; entonces se puede concluir que el modelo de segundo orden es una apro-ximación adecuada a la superficie de respuesta real. Una grá-fica de curvas de nivel del modelo de superficie de respuesta cuadrático descrito en la grafica de curvas de nivel muestra una superficie máxima con la máxima duración de la herra-mienta en el centro de las curvas.

409

Palacios C. Severo

Las coordenadas de la gráfica de las curvas de nivel se des-pliegan para los valores codificados de los dos factores. La orientación de los contornos indica cierta interacción entre la velocidad del torno X1 y la profundidad de corte X2; por ejem-plo, la vida de una herramienta de corte de 150 se puede mantener para velocidades mayores, si se incrementa X1 y se disminuye la profundidad de corte, X2.

Gráfica de curvas de nivel de la superficie de respuesta para la ecuación de respuesta en el experimento de la vida de la herramienta.

Las curvas también indican la sensibilidad relativa de la vida de la herramienta a los niveles de los factores codificados X1 y X2. Las curvas de la vida de la herramienta aumentan con ma-yor rapidez cerca del máximo sobre el eje de profundidades codificadas X2 que sobre el eje de las velocidades codificadas X1.

XI. EXPLORACIÓN DE SUPERFICIES DE RESPUES-TA

La ecuación cuadrática significativa y la gráfica de curvas de nivel de la ecuación proporcionan un panorama general de la relación entre la vida de la herramienta y los dos factores del diseño, velocidad del torno y profundidad de corte.

Las estimaciones de las coordenadas del punto estacionario en la superficie y una estimación de la respuesta en ese punto proporcionan una definición más específica de la superficie de respuesta. En ocasiones, es útil conocer la dirección y

410


cantidad de cambio hecho en uno o varios niveles de los facto-res para lograr el cambio máximo en la respuesta.

Es posible determinar de manera más específica la sensibili-dad de la respuesta a los factores del diseño con la forma ca-nónica de la ecuación de respuesta. Localizar las coordenadas del punto estacionario y derivar la forma canónica de la ecua-ción de respuesta requieren cierto conocimiento de cálculo y álgebra matricial.Sin embargo, los resultados de los cálculos se entienden cuando se presentan con la forma gráfica de curvas de nivel.

Punto estacionario de la superficie de respuesta

Las coordenadas X1 y X2 del punto estacionario se obtienen de las derivadas parciales de la función de respuesta estimada respecto a X1 y X2. La respuesta estimada para la duración de la herramienta es:

Las derivadas parciales se igualan a 0:

para producir las ecuaciones:

Las soluciones de las ecuaciones para X1 y X2 son X1S=-0,156 y X2S=-0,665. Estos valores son las coordenadas de la respuesta máxima sobre la superficie en el punto estacionario indicado en la Gráfica de curvas de nivel.

411

Palacios C. Severo

La respuesta estimada en el punto estacionario se encuentra al sustituir X1S=-0,156 y X2S=0,665 en el modelo; la respuesta estimada en el punto estacionario es.

Dado:

Los valores de la velocidad del torno (V) y la profundidad de corte (D) en el punto estacionario son:

Análisis canónico para simplificar la ecuación cuadráti-ca

La forma canónica de una ecuación cuadrática es eficaz para visualizar la superficie y determinar la sensibilidad relativa de las variables de respuesta a cada factor.

Es difícil visualizar la superficie mediante el examen de los coeficientes estimados para la forma normal de la ecuación de respuesta cuadrática. De la misma manera, es difícil deter-minar los cambios necesarios en los niveles de los factores para producir un cambio específico en la respuesta.

El análisis canónico gira los ejes de las variables Xi a un nue-vo sistema de coordenadas y el centro de este nuevo sistema se coloca en el punto de respuesta estacionario de la superfi-cie. La forma canónica de la ecuación con dos variables es:

412


Donde:

Z1 y Z2 son las variables de los ejes rotados.

Observe que sólo se incluyen los términos cuadráticos de las variables canónicas Z1 y Z2 en la forma canónica de la ecua-ción de respuesta.

La forma canónica para la ecuación de respuesta de la vida de la herramienta es:

Donde el centro del nuevo sistema de coordenadas se localiza en X1=-0,156 y X2=0,665 en el sistema de coordenadas origi-nal mostrado en la gráfica de curvas de nivel. Se determinó que la relación entre los dos sistemas de coordenadas es:

Observe que los ejes canónicos Z1 y Z2 están orientados junto con las curvas de nivel de la superficie. Los tamaños y signos de las λ, indican el tipo de superficie de respuesta cuadrática que se estimó.

Los coeficientes λ, para la superficie de la vida de la herra-mienta son λ1 =-25,58 y λ2 = -6,92, un examen de la superfi-cie en la Gráfica de curvas de nivel revela que cualquier movi-miento que se aleja del centro del sistema de coordenadas Z1, Z2 tiene como resultado una disminución en la respuesta. Así, cuando todos los coeficientes λ, son negativos la superficie es máxima, como en el caso de la superficie de la vida de la he-rramienta.

Si los coeficientes λ, son positivos, entonces el resultado de cualquier movimiento que se aleja del centro del sistema de coordenadas Z1, Z2 es un incremento en la respuesta y la su-perficie es mínima como se muestra en la figura 7.2a. Si un coeficiente es positivo y los demás negativos, digamos λ1 > 0

413

Palacios C. Severo

y λ2 < 0, entonces cualquier movimiento que se aleja de (0, 0) a lo largo del eje Z, aumenta la respuesta y si se aleja por el eje Z, la disminuye. Así, la superficie es minimax o con forma de silla en el punto estacionario. Si una de las λ1 = 0, la su-perficie es una cresta estacionara porque la respuesta no cambia en los ejes Z1.

Las longitudes de los ejes principales de las elipses formadas por las curvas de nivel son proporcionales a . Para la superficie de la vida de la herramienta y

, y la superficie ajustada se atenúa a lo lar-go del eje Z, como se ve en la gráfica de curvas de nivel.

Para explicarlo, supongamos que la velocidad del torno y la profundidad de corte para una vida máxima en las coordena-das y no eran prácticas. El menor cambio en la duración de la herramienta cuando cambian la velocidad del torno y la profundidad de corte se exhibe en la superficie en la dirección del eje Z2 cuando Z1 = 0. Las coor-denadas X1 y X2 en el eje Z2 cuando Z1 = 0 se pueden obtener de la primera ecuaciones canónica. La pérdida mínima en la vida de la herramienta se encuentra en los valores de X1 y X2

que satisfacen 0,4603X1 + 0,887X2 - 0,5185 = 0.Los coeficientes de X1 proporcionan información acerca de las relaciones de velocidad del torno y la profundidad de corte con la vida de la herramienta.

Considerando que los coeficientes para la ecuación que rela-cionan Z2 con X1 y X2, Z2 = 0,887X1 – 0,4603X2 + 0,4446. El par de coeficientes (0,8877; -0,4603) indican una compen-sación entre la velocidad del torno y la profundidad de corte en la vida útil, porque en cierto grado, un incremento en la velocidad del torno se puede compensar con una disminución en la profundidad de corte sobre el eje Z2.

La ecuación de respuesta estimada en forma original o en for-ma canónica sólo es válida para la zona de los niveles de los factores incluida en el experimento.

414


Cualquier intento para estimar la vida de la herramienta fue-ra de los límites acotados por las velocidades de 117 a 683 y las profundidades de 0,04 a 0,1 1 será engañoso, por lo que es necesario un modelo de respuesta por completo diferente para determinar la duración de la herramienta fuera de la re-gión de este estudio.

Ejemplo 7.95Se estudian dos factores a tres niveles, con la finalidad de ma-ximizar la recuperación de iones metálicos contaminantes que se encuentran presentes en un efluente natural a través de la resina AO, así mismo se requiere minimizar dicha contamina-ción natural.

El tercer nivel (central) sirve para evaluar la varianza del error de las pruebas desarrolladas experimentalmente. De esa manera también evaluamos el error que cometemos cada uno de nosotros.

FactoresNiveles

- 0 +Resina Orgánica AOpH

0.42.5

0.63

0.83.5

En este caso se quiere optimizar el proceso por lo que deberá desarrollarse los siguientes pasos:

Primero: visualizamos los factores y vemos el comportamiento individual de cada uno de ellos, en función del tiempo, con la finalidad de poder establecer la influencia que tienen las va-riables sobre el proceso y de esa manera desarrollar el análi-sis que nos reafirmara lo acontecido.

415

Palacios C. Severo

La Resina Orgánica AO en función del tiempo varía en forma polinomial, por lo tanto es un factor cuadrático.

El pH de cualquier proceso en función del tiempo es siempre lineal.

Por lo tanto como una función cuadrática tiene mayor influen-cia sobre una función lineal entonces el proceso es cuadráti-co.

Segundo: verificamos sí existe o no interacción en el proceso. Sí no existe interacción entonces dicha prueba será acumula-da en el análisis en el error.

Tercero: analizamos la varianza del error mediante las prue-bas repetidas los cuales deberán ser mayores de 3 y menores de 6 experimentos para cualquier caso. La evaluación de la varianza del error se desarrolla aplicando la siguiente rela-ción:

Cuarto: visualizamos los valores del vector respuesta, tan solo los valores del factorial, los puntos (1,3) y (2,4), intercalado, si los valores son ascendentes el proceso es lineal, pero si los valores son descendentes el proceso el cuadrático. Lo cual confirmará o rechazará nuestra hipótesis planteada en primer término.

416


Prueba AO pH Y1234

5A5B5C

0.40.80.40.80.60.60.6

2.52.53.53.5333

75.9394.5830.3362.3470.8271.2869.71

Nota: al analizar el vector respuesta, solo los valores del fac-torial, tendremos en cuenta las siguientes características con el fin de poder establecer la linealidad o cuadratura del pro-ceso en estudio.

1...

100

100...1

ComportamientoAscendente

Lineal

Descendente

Cuadrático

Como notamos los valores del vector respuesta nos da una idea que el proceso es cuadrático, debiendo de confirmar di-cho análisis numéricamente, ver Análisis de Linealidad de los Factores.

Calculo de varianza

Para el cálculo de varianza deberá procesar los valores repeti-dos del vector respuesta:

Interpretación: notamos que el valor de la varianza del error es pequeño 0,64745, (tal como se visualiza en la campana de Gauss el error debe fluctuar entre 0 a 1 para desarrollar un

417

Palacios C. Severo

trabajo óptimo) por lo tanto las pruebas del error demuestran que el proceso esta siendo desarrollado de una manera ade-cuada.

La campana Gauss, nos indica que el valor de la varianza del error se encuentra dentro del área de aceptación, si se ubica fuera de esta entonces el error que se comete no es aceptable para poder comparar valores con los factores.

Al realizar pruebas experimentales factoriales y centrales (error), se establece la existencia de curvatura o linealidad, debiendo desarrollar la siguiente ecuación en valor absoluto a fin de comprobar lo establecido.

Existen dos casos:

> 1, cuando es mayor de uno es cuadrático< 1, cuando es menor de uno es lineal

Representa el promedio de los valores del vector res-puesta del factorial.Representa el promedio de los valores del vector res-puesta de las pruebas centrales.

Como primera fase a fin de determinar cual de las variables son más significativas a cierto nivel, desarrollamos primera-mente un diseño factorial simple.

418


Con el fin de evaluar la variabilidad de los datos se corren pruebas centrales con la finalidad de evaluar el error cometi-do y establecer si existe curvatura o linealidad, y posterior-mente debe desarrollarse una nueva técnica denominado Di-seño Central Compuesto a fin de desarrollar el análisis esta-dístico.

Calculo de efectos e interacciones:

Efectos InteraccionesA = +25,33B = -38,92

AB = +6,68

Error estándar con 3 GL

Interpretación de los efectos

Como se quiere maximizar la extracción de los iones metáli-cos a través de la resina AO, desarrollamos el siguiente análi-sis: visualizamos los signos de los efectos de AO y pH.

El factor AO es positivo, por lo tanto está en su nivel mínimo, por lo cual deberá ser maximizado, es decir que este factor es una variable, y deberán ser optimizado y establecido su rango de trabajo óptimo.



El factor pH es negativo, por lo tanto está en su máximo, ósea esta en su punto óptimo, dicho factor viene a ser una constan-te con el valor máximo de su nivel, si incrementamos dicho factor en el proceso el vector respuesta decae.

419

Palacios C. Severo

Entonces debemos evaluar con mayor amplitud el factor AO para establecer el rango óptimo donde debe trabajar con ma-yor eficiencia.

Interpretación de la interacción

Notamos que el signo de la interacción AB es positivo, esto nos indica que no existe interacción en el rango estudiado, por estar minimizando la contaminación en el efluente natu-ral.Análisis de linealidad de los factores

Seguidamente evaluamos la curvatura del proceso lo cual quedo establecido a simple vista, cuando analizamos de una manera objetiva los valores del vector respuesta, por lo que debemos reafirmarlo desarrollando los cálculos necesarios, aplicando la siguiente relación, sí:

Es pequeño no existe curvaturaEs grande existe curvatura

La diferencia es 4,8083 siendo este valor grande, por lo tanto existe curvatura

Análisis: los puntos factoriales de las pruebas los visualizamos de frente (1-2, 3-4), el punto central, de las pruebas repetidas, lo vemos de canto (5) con la finalidad de observar que no siempre se encuentra en el plano sino que este varía de

420


acuerdo al trabajo desarrollado (observamos que la curva de Gauss varia de 0 a 1), por lo que el valor de la diferencia en-tre los promedios de los puntos factoriales y centrales deben estar dentro de dicho rango. Visualizando nuestro experimen-to verificamos que no se encuentra dentro del rango 0-1 por lo tanto es un proceso cuadrático.Por consiguiente

Los puntos centrales nos sirven para verificar la Linealidad supuesta de los factores en el experimento. Así mismo nos sir-ve para analizar la varianza del error experimental desarrolla-do durante el experimento, de tal manera de poder conocer cuanto error cometemos al desarrollar los trabajos experi-mentales.Como existe curvatura en nuestro proceso experimental, en-tonces debemos adicionar pruebas con la finalidad de desa-rrollar un análisis espacial. Dicho incremento de pruebas se denomina puntos estrella, la adición de dichas pruebas al di-seño factorial con pruebas centrales se le denomina Diseño Compuesto Central.

Ejemplo 7.96De acuerdo al ejemplo 7.94, complementamos los puntos es-trella o axiales, los cuales están representados en el cuadro siguiente, seguidamente analizamos el diseño

Pruebas AO pH Y789

10

0,3170,883

0,60,6

33

2,2933.707

50,6087,3489,9934,75

El hecho de haber adicionado pruebas estrella al diseño facto-rial con pruebas centrales, el nuevo diseño se denomina com-puesto central, un diseño rotable que nos proporciona mucho más información que un diseño factorial simple.

El presente caso es con la finalidad de incrementar el rango de los niveles a ambos lados sin tener que mover los datos originales y a la vez establecer las condiciones necesarias del proceso a fin de visualizar los efectos, interacciones y cuadra-turas en el amplio rango en estudio.

421

Palacios C. Severo

El rango de 0,317157 a 0,882843 de estudio para la resina (AO), nos amplia el ámbito al cual es importante desarrollar el proceso, así mismo el rango del pH de 2,29289 a 3,70711, co-mo se podrá visualizar en el grafico, se puede establecer que el rango real en el cual estamos estudiando, ya que en el aná-lisis inicial del diseño factorial el rango era muy pequeño y con este nuevo diseño tenemos el rango real de trabajo.

Del valor total de pruebas del Diseño Compuesto Central va-mos a analizar los efectos principales, interacciones y cuadra-turas los cuales se muestran a continuación en el cuadro ad-junto:

Efectos e interaccio-

nes

Efectos cuadráticos

A =25,6545

B =-38,990AB = +6,68

AA = -1,5708BB = -8,1707

Errores estándar con 5 GLInterpretación de los efectos:

Visualizamos los signos de los efectos de AO y pH:

Notamos que el factor AO es positivo, por lo tanto está en su nivel mínimo, el cual deberá ser maximizado, es decir que es-te factor es una variable, y deberán ser optimizado y estable-cido su rango de trabajo óptimo.

El factor pH es negativo, por lo tanto está en su máximo, ósea esta en su punto óptimo, dicho factor viene a ser una constan-te con el valor máximo de su nivel.

422


Efectos de factores principales Interacción de factores principales

Interpretación de la interacción:

Notamos que el signo de la interacción AB es positivo, esto nos indica que dicha interacción esta en su mínimo, por lo tanto hay que maximizarlo, entonces no existe intersección entre los valores numéricos.

Análisis de las cuadraturas:

Notamos que el signo de la cuadratura AO y pH son negati-vos, esto nos indica que ambas cuadraturas están en su máxi-mo, entonces están en el rango óptimo, con el valor máximo, por lo que viene a ser una constante en el proceso, además esto nos indica que existe curvatura, lo cual lo hemos deduci-do al desarrollar la diferencia entre los valores promedios del factorial y la prueba central.

El análisis de varianza nos confirma lo desarrollado, así mis-mo el coeficiente de correlación establece que el modelo ma-temático se ajusta al proceso, la varianza del error (cuadrado medio del error CM) esta dentro de la curva de Gauss, pode-mos decir el trabajo esta bien desarrollado y se puede recon-firmar dicho proceso cuantas veces sea.

Tabla 7.113 Análisis de varianzaFuente SC Gl CM Fo Ft(99%)ABAAABBBError

1316,313040,493,483644,622494,2531,5546

111115

1316,31

3040,49

3,483644,622

494,2530,3109

4233,59

9778,97

11,20143,52303,14

>><>>

16,2616,2616,2616,2616,26

Total 4498,3 10 R² = 99,9654%

El hecho de haber adicionado pruebas estrella al diseño facto-rial con pruebas centrales, el nuevo diseño se denomina Com-puesto Central, un diseño rotable que nos proporciona mucho más información que un diseño factorial simple.

423

Palacios C. Severo

El presente caso es con la finalidad de incrementar el rango de los niveles a ambos lados sin tener que mover los datos originales y a la vez establecer las condiciones necesarias del proceso a fin de visualizar los efectos, interacciones y cuadra-turas en el amplio rango en estudio.

El rango de 0,317157 a 0,882843 de estudio para la resina, nos amplia el ámbito al cual es importante desarrollar el pro-ceso, así mismo el rango del pH de 2,29289 a 3,70711, como se podrá visualizar en el grafico, se puede establecer que el rango real es el cual estamos estudiando, ya que en el análisis inicial del diseño factorial el rango era muy pequeño y con es-te nuevo diseño tenemos el rango real de trabajo.

Modelo matemático

El primer paso consiste en desarrollar un modelo matemático, el cual debemos analizarlo. Debido a la curvatura de la super-ficie respuesta, el experimento requiere un modelo cuyo gra-do sea mayor e igual a 2, para aproximar la respuesta cuando se encuentre relativamente cercana al óptimo.

Determinación de condiciones óptimas

Se define las condiciones de operación óptima, maximizando o minimizando los resultados del mismo. Una condición inicial es remover los niveles de operación y determinar los resulta-dos óptimos mediante la aplicación de técnicas para determi-nar los nuevos niveles operacionales (pendiente ascendente o descendente).


Bajo Alto Óptimo

AOpH

0,317157

2,29289

0,882843

3,70711

0,317157

3,70711

El problema consiste en eliminar el contaminante del efluen-te, por lo que se tiene que minimizar el contenido metálico de dicho efluente y maximizar la extracción con la resina, por lo 424


que optimizando el proceso se puede dejar hasta un 8,47071% del contenido metálico y además maximizando la capacidad de adsorción de la resina se llega hasta un 99,8925% de eficiencia, lo cual es loable para la eliminación de contaminante metálico del efluente que se quiere reutili-zar.

Si en la optimización intervienen dos o más variables indepen-dientes, frecuentemente puede prepararse superficies que muestren la relación existente entre las variables.

Uno de los métodos de amplia aplicación es la máxima pen-diente ascendente o descendente.

XII. PUNTO ESTACIONARIO

Si se desea maximizar las respuestas del modelo ajustado, si existe, serán el conjunto de las Xi tal que las derivadas parcia-les sean iguales a cero. Dicho punto, es decir X1S, X2S, X3S ... XiS se denomina punto estacionario

Desarrollando las derivadas parciales obtenemos la siguiente relación:

Desarrollando matricialmente, obtenemos el punto estaciona-rio:

X1 = 5,327X2 = 6,6377R(P) = 151,27

425

Palacios C. Severo

Una vez obtenido el punto estacionario (ósea la intersección del nuevo eje de planos Zi) debemos hallar el ángulo de giro de las nuevas coordenadas, aplicando la siguiente relación:

Reemplazando valores obtenemos:

Donde

R(P) viene a ser el punto estacionario, así mismo viene a ser el punto de intersección del nuevo eje real en el cual es-tá inscrito el modelo matemático.

XIII. CRITERIO DE FORMAS CUADRÁTICAS

Se requiere como condición necesaria y suficiente para que la forma cuadrática sea definida positiva es que se cumpla:

Para desarrollar la matriz derivamos por segunda vez la ecua-ción diferencia parcial, obteniéndose:

426


Entonces:

Análisis del coeficiente de regresión:

La relación AO está en su mínimo por lo tanto tiende a ascen-der, el pH del medio esta en su máximo por lo tanto tiende a bajar, dicho análisis lo desarrollamos con la finalidad de po-der establecer los niveles de ascendencia o descendencia has-ta llegar al valor óptimo. Al visualizar los signos de las cua-draturas notamos que ambos tienen el signo negativo por lo tanto deducimos que es una elipse o cáscara de huevo, y un elipsoide en el espacio.

Si la relación AO y el pH del medio fuesen cero, la recupera-ción del proceso está en su mínimo (R = 55,0693), por lo tan-to hay que desarrollar la pendiente ascendente hasta llegar al óptimo (para el caso de maximizar la capacidad de adsorción de la resina, y si fuere el caso de minimizar la contaminación se tendrá que desarrollar la pendiente descendente).

Camino de Máximo Ascenso para yAO pH Y0,6

0,6350,670,7050,740,775

3,02,872,742,632,532,44

70,60377,46283,19987,90491,68594,659

Visualizamos el gráfico espacial que representa a un sector de la elipse estando la región óptima de recuperación en una relación AO a 0,8 y un pH de 2,5 lo cual confirma el análisis establecido, cuando es el caso de maximizar la capacidad de adsorción de la resina, si fuere el caso de eliminar el contami-nante metálico se tendrá que trabajar con el valor mínimo de

427

Palacios C. Severo

AO y el valor máximo de pH. Se debe de analizar de acuerdo si se quiere maximizar o minimizar el proceso.



Tal como establecimos que la relación AO tiene que subir y el pH del medio tiende a bajar con la finalidad de llegar a una alta capacidad de adsorción de la resina. En este caso se ha establecido que en un cuarto paso se llega a una recuperación de 99,743 variando la relación AO en forma ascendente con 0,87 y un pH descendente en 2,25 de esa manera se obtiene dicha máxima capacidad de la resina.

En el presente grafico en el plano, se puede establecer clara-mente que la máxima capacidad de adsorción de la resina se ubica cuando se mantiene constate en el mínimo nivel el pH y en el máximo nivel el AO, pero si se quiere la eliminación del contaminante metálico se tiene que trabajar con el máximo nivel del pH y con el mínimo nivel del AO, con el fin de desa-rrollar un trabajo acorde al proceso a desarrollar.

El modelo matemático nos demuestra que inicialmente la con-taminación se encuentra sobre 55,0693%, así que el factor de mayor significancía para eliminar dicho contenido metálico es la resina con una pendiente negativa de -19,6356, lo cual ha-ce disminuir dicha contaminación hasta un porcentaje ade-cuado para rehusar dicho producto acuífero.

Ejemplo 7.97Se desarrolla una investigación sobre la flotabilidad de un mi-neral sulfurado, se desea conoce los niveles óptimos de dos

428


factores tiempo de acondicionamiento y pH con la finalidad de optimizar la recuperación del mineral

NivelesFactores - 0 +

A: Tiempo (min)B: pH

5,08,5

6,59,5

8,010,5

Para n = 2 factores, se ha de utilizar un diseño central com-puesto equivalente a 2²+2*2+5 = 13 pruebas experimentales, con cinco pruebas centrales a fin de evaluar el error experi-mental y el error cometido por el investigador.

Prueba A B Y12345678910111213

5.08.05.08.0

4.378688.62132

6.56.56.56.56.56.56.5

8.58.510.510.59.59.5

8.0857910.9142

9.59.59.59.59.5

75,97278

79,578,475,672

79,979,585,185

79,179,8

Efectos e in-teracciones

Efectos cua-dráticos

A = -1,59B = 5,193AB = 2,70

AA = -4,762BB = -5,812



5,05553,93539,445

7,2958,75638,304

111117

5,05553,93539,445

7,2958,7565,472

0,929,867,211,3310,74

<><<>

5,595,595,595,595,59

Total 191,304 12 R² = 80,0199%

Camino de Máximo Ascenso para yA B Y

6,5 9,5 81,7

429

Palacios C. Severo

6,466,426,406,396,436,386,236,25

9,599,689,779,869,95

10,0410,1310,22

81,9282,0982,2082,2682,2882,2482,1481,97

Y

5

B=8.5

B=10.5

Gráfica de Interacción para y

71

73

75

77

79

81

83

A8

B=8.5

B=10.5

Y

5

B=8.5

B=10.5

Gráfica de Interacción para y

71

73

75

77

79

81

83

A8

B=8.5

B=10.5

Efectos significativos de factores prin-cipales


A

B


5 5.5 6 6.5 7 7.5 88.5

8.9

9.3

9.7

10.1

10.5 y71.0-72.272.2-73.473.4-74.674.6-75.875.8-77.077.0-78.278.2-79.479.4-80.680.6-81.881.8-83.083.0-84.2

AB

Y


5 5.5 6 6.5 7 7.5 88.5

8.99.3

9.710.1

10.5

71

73

75

77

79

81

83

y71.0-72.272.2-73.473.4-74.674.6-75.875.8-77.077.0-78.278.2-79.479.4-80.680.6-81.881.8-83.083.0-84.2




Bajo Alto Ópti-mo

AB

4,3788,085

8,62110,91

4

6,4359,936

Ejemplo 7.98

430


Se desea evaluar un lecho de filtración, para lo cual se estu-dian dos factores, altura de lecho y velocidad de flujo

FactoresNiveles

- +A: Altura de lechoB: Velocidad de flujo

20140

30220

A B Y20302030252525

140140220220180180180

6,225,579,518,156,156,186,12

Efectos Interaccio-nes

A = -1,005B = 2,935

AB = -0,355


Tabla 7.115 Análisis de varianzaFuente SC Gl CM Fo Ft(95%)ABABError

1.010028,61423

0,1260252,52207

1113

1.010028,614230,12602

50,84068

1,2010,250,15

<><

10,1310,1310,13

Total 12,2723 6 R² = 79,4492%

Camino de Máximo Ascenso para yA B Y25

25,526

26,527

27,528

28,529

180167,73153,93137,72116,8272,2966,68230,66223,15

6,846,345,805,194,432,872,688,197,87

Valor óptimo = 82,2841

431

Palacios C. Severo

Fac-tor

Bajo Alto Ópti-mo

AB

20140

30220

20220

20B

220


5.3

6.3

7.3

8.3

9.3

Y

A30 140 20

B=140

B=220


5

6

7

8

9

Y

A30

B=140

B=220



20 22 24 26 28 30A

140

160

180

200

220

B

Y5.0-5.45.4-5.85.8-6.26.2-6.66.6-7.07.0-7.47.4-7.87.8-8.28.2-8.68.6-9.09.0-9.4


20 22 24 26 28 30A

140160

180200

220

B5

6

7

8

9

Y

Y5.0-5.45.4-5.85.8-6.26.2-6.66.6-7.07.0-7.47.4-7.87.8-8.28.2-8.68.6-9.09.0-9.4



Ejemplo 7.99Se desea estimar el efecto del SO2 sobre la población cercana a una fábrica de tostación de concentrados sulfurosos, con el fin de monitorear dicho contaminante se han considerando los siguientes factores: Tasa de emisividad Q del contaminante a la salida de la chimenea y la altura de la chimenea.

FactoresNiveles

- +A: Tasa de emisividad (g/s)B: Altura (m)

530

1060

A B Y

432


5105

103,9611,037,57,57,57,57,57,57,5

303060604545

2,3766,21

4545454545

140180200310130320170300280270265275266

Efectos e interaccio-

nes

Efectos Cua-dráticos

A = 104,675B = 93,4619AB = 35,000

AA = -57,4506BB = -47,4500



21913,617470,35740,031225,03915,652937,24

111117

21913,617470,35740,031225,03915,65419,605

52,2241,6313,682,929,33

>>><>

5,595,595,595,595,59

Total 52110,9 12 R² (%) = 94,3635

Camino de Máximo Ascenso para YA B Y

7,58,59,510,511,512,5

45,0050,6556,9964,1372,2381,78

271,2304,43328,08340,43338,87318,71


Bajo Alto Ópti-mo

433

Palacios C. Severo

AB

3,96423,78

6

11,035

33,213

10,854

66,213

5B

60


190

210

230

250

270

290

310

Y

A10 30

5

B=30

B=60


130

170

210

250

290

330

370

Y

A10

B=30

B=60



5 6 7 8 9 10A

30

35

40

45

50

55

60

B

Y130.0-154.0154.0-178.0178.0-202.0202.0-226.0226.0-250.0250.0-274.0274.0-298.0298.0-322.0322.0-346.0346.0-370.0370.0-394.0


5 6 7 8 9 10A

30354045505560

B130170210250290330370

Y

Y130.0-154.0154.0-178.0178.0-202.0202.0-226.0226.0-250.0250.0-274.0274.0-298.0298.0-322.0322.0-346.0346.0-370.0370.0-394.0



Ejemplo 7.100Los experimentos de lixiviación con sales oxidantes en medio acido a minerales auríferos procedentes de la Concesión Mi-nera Huaracane – Moquegua - Perú, fueron realizados para establecer el efecto de los factores de los agentes lixiviantes y el ácido sobre la disolución del oro metálico.

Todas las pruebas se desarrollaron a temperatura ambiente y con agitación constante, y a un tiempo establecido.

El mineral previamente fue molido con la finalidad de liberar el oro que se encuentra incrustado, ya que dicho material se encuentra en forma microscópica encapsulado en cuarzo, con una ley promedio de 15 g/t, las sales oxidantes en medio áci-do sirven para desarrollar el proceso y son de calidad comer-cial (fertilizantes).

434


En todas las pruebas se llegan a desarrollar reacción exotér-mica (espontánea) con el fin de acelerar el proceso de disolu-ción del oro (cinética).

El contenido de oro en la solución lixiviada se analizo por electrogravimétria. Para determinar el efecto de los factores se estudio a dos niveles la concentración de las variables con el fin de no interferir en el análisis del oro.

FactoresNiveles

- +A: H2SO4

B: NaNO3

C: NaCl

1002070

1203090

Resultados y discusión

Al concluir con las pruebas experimentales, se procedió anali-zar la extracción de oro de l material aurífero, para lo cual se utilizó el programa estadístico Statgraphics Plus, de cuyo tra-tamiento de datos se obtuvo la estimación de los efectos de cada uno de los factores siendo este el resultado de dicho análisis:

Acido sulfúrico

El efecto de la concentración de ácido sulfúrico se estudia en el rango de 110 a 120, manteniendo constante la temperatu-ra, el tiempo de lixiviación así como la agitación del proceso.El efecto de la concentración de ácido sulfúrico es positivo con una pendiente pequeña, evaluando dicho factor podemos llegar a la siguiente conclusión, que dicho factor está en su mínimo nivel, debiendo ser maximizado hasta llegar al ópti-mo, pero no deberá de exceder de un rango ya que el exceso de dicho producto también es perjudicial y antieconómico, con el fin de poder obtener una máxima extracción de oro del material aurífero.

Efectos einteracciones

EfectosCuadráticos

A: H2SO4 0.885365B: NaNO3 1.48441

AA -7.32279

435

Palacios C. Severo

C: NaCl -12.7076AB 0.25AC 4.75BC 11.25

BB -8.73692CC -18.6366

Nitrato de sodio

Los resultados obtenidos al desarrollar el experimento facto-rial con el fin de establecer el efecto de dicho factor, se llegan a la siguiente conclusión, si se incrementa fuera del rango establecido se genera gases tóxicos de dióxido de nitrógeno, altamente contaminante para el medio ambiente.

El objeto de adicionar nitrato de sodio es la generación de ácido nítrico, el cual al interactuar con el ácido clorhídrico ge-nera agua regia in situ, compuesto altamente corrosivo, de-biendo de controlarse la dosificación de dicha sal a fin de evi-tar la formación de gases tóxicos.

El efecto de la concentración del nitrato de sodio esta en su nivel mínimo, debiendo maximizarse hasta llegar al óptimo y obtener buenas extracciones del material valioso.

Cloruro de sodio

La dosificación del cloruro de sodio es con la finalidad de pro-ducir cloruro de nitrosilo y cloro naciente in situ, los experi-mentos se llevaron a cabo manteniendo constante la tempera-tura, el tiempo de lixiviación así como la agitación.

La disolución del oro se incrementa al incrementarse la dosifi-cación de dicha sal, la concentración tiene efecto significativo sobre la solubilidad del oro, debido a que el ión cloro tiene ha-bilidades de formar especies complejas con el oro.El efecto de dicha sal nos indica que esta en su nivel máximo, indicándonos que al incrementarse sobre el máximo se dismi-nuye la recuperación de oro.

436


Efectos medios de los factores en re-cuperación de oro, Proceso SEVERO

Interacciones de factores principa-les, Proceso SEVERO

Tal como visualizamos el análisis gráfico del efecto medio po-demos establecer que la mayor recuperación para el ácido sulfúrico y nitrato de sodio este cercano al promedio, en cam-bio el cloruro de sodio esta en su máxima concentración de-biendo de ser disminuido hasta llegar al óptimo.

Tabla 7.117 Análisis de varianzaFuente SC Gl CM Fo Ft(95%)

A; H2SO4

B: NaNO3

C: NaClAAABACBBBCCCError

2,67637,5231551,334182,993

0,12545,125260,497253,1251185,25604,753

1111111119

2,67637,5231551,334182,993

0,12545,125260,497253,1251185,2567,1948

0,040,118,212,720,003,883,7717,64

<<><<<<>

5,125,125,125,125,125,125,125,12

Total 2827,15 18 R² = 78,6091%

Entre los factores en estudio existe interacción, por lo que no es posible manipular cada factor independientemente, ya que todos los factores están entrelazados para poder desarrollar el Proceso SEVERO.

El análisis de varianza (ANAVA) confirma la importancia que tienen los factores, así mismo las interacciones y cuadraturas del proceso.

El modelo matemático, con un coeficiente de correlación aceptable, si igualamos a cero los tres factores, nos indica

437

Palacios C. Severo

que la extracción de oro está en su máximo, debiendo ser re-gulado este por las dosificaciones del ácido sulfúrico y las sa-les oxidantes.

En el análisis gráfico se visualiza que la máxima recuperación de oro en encuentra señalada por el signo más que esta den-tro de la zona azul (98 a 99% Au). Debiendo de dosificarse adecuadamente con el fin de llegar a dicha recuperación.

Respuesta en el Plano de extrac-ción de oro con punto óptimo

Respuesta espacial de extracción de oro con punto óptimo

Ejemplo 7.101Se desea evaluar un proceso de lixiviación por agitación de un mineral refractario de oro, para lo cual se estudian tres facto-res que son los que influyen en el proceso de disolución del oro, siendo estos: temperatura, concentración del agente lixi-viante y tiempo de agitación. Desarrollándose replicas en la respuesta de recuperación, a fin de contrastar el grado de so-lubilidad del material valioso.

FactoresNiveles

- +A: Temperatura (°C)B: Concentración (%)C: Tiempo Agitación (Hr)

200,5

0,25

6011

438


En la tabla se muestra las dosificaciones con sus respectivos resultados de recuperación del material valioso tanto para la prueba original como para la replica, todos bajo las condicio-nes establecidas de variables (factores) y constantes.

Temperatu-ra (oC)

Concentra-ción (%)

Tiempo agita-ción (Hr) Y

2060206020602060

0,50,511

0,50,511

0,250,250,250,25

1111

42,8356,9378,9281,0064,1772,1387,1788,25

2060206020602060

0,50,511

0,50,511

0,250,250,250,25

1111

41,6756,1478,3380,0063,3370,3786,6787,72

Los tres factores tienen efectos sobre el proceso, pero el de mayor efecto significativo es la concentración seguido del tiempo de agitación y finalmente la temperatura. Por lo que tengo que tener mucho cuidado con los dos primeros factores.

-Efectos InteraccionesA = 6,18B = 25,06C = 12,99

AB = -4,711AC = -1,898BC = -5,108Bloque = -0,896


El block de pruebas desarrollado no tiene efecto significativo sobre el proceso, el hecho de haber corrido pruebas replica-das no tiene efecto sobre el proceso.

Tabla 7.118 Análisis de varianzaFuente SC Gl CM Fo Ft(99%)ABCAB

152,832515,27675,8788,78

1111

152,832512,27675,8788,78

128,192107,1

5566,88

>>>>

11,2611,2611,2611,26

439

Palacios C. Severo

ACBCBloqueError

14,42104,39

3,219,53

1118

14,42104,39

3,211,19

74,4712,1087,562,69

>><

11,2611,2611,26

Total 3561,32 15 R² = 99,7322%

El análisis de varianza nos confirma la interpretación obteni-da del los efectos principales sobre el proceso, si nos fijamos en F-Ratio, las fuentes de los tres factores principales nota-mos que la concentración es el que tiene mayor efecto signifi-cativo seguido del tiempo de agitación y finalmente la tempe-ratura.

Notamos así mismo que el R2 es 99,7322 %, un coeficiente de correlación optimo para el proceso.

En referencia al valor del Error 1,19226, nos confirma que en el experimento se han debido de realizar pruebas centrales a fin de establecer un error experimental de mayor utilidad en el experimento, en vez de las replicas realizadas.

En el modelo matemático nos fijamos en las constantes de los factores principales, si A = B= C = 0, entonces Y = -13,6988. Nos indica que el valor que ha de hacer crecer este valor has-ta un valor positivo y se incremente hasta un máximo esta en función directa de la concentración, seguido del tiempo de agitación y por último de la temperatura.

Camino de Máximo Ascenso para y

A B C Y40

41,6642,6442,8842,3441,0340,10

0,750,850,951,051,151,251,3

0,6250,6890,7310,8130,8520,8770,885

70,9777,2282,7387,2792,3496,8599,14

Partiendo del punto central de cada factor, se pude llegar al óptimo variando la concentración de 0,05 en 0,05 y se llega a un optimo del 99,1413.

440



Bajo Alto Ópti-mo

ABC

200,5

0,25

6011

2011

Como hemos establecido en las opiniones desde un comienzo, se llega a la conclusión que el óptimo del proceso para llegar en el presente caso hasta un 87,6669 se tiene que trabajar con el valor mínimo de la temperatura, con una máxima concen-tración y un tiempo de agitación máximo.


Tal como hemos establecido en el análisis numérico, podemos visualizar gráficamente lo que hemos establecido en la parte analógica, se puede observar que la mayor pendiente para po-der obtener una máxima reucperación lo tiene la concentra-ción seguido del tiempo de agitación y finalmente la tempera-tura, por lo cual el que tiene mayor efecto significativo es la concentración, al cual hay que controlarlo en todo el proceso, esto no quiere decir que los otros factores no influyan en el proceso, por lo que se tiene que controlar hasta llegar al ópti-mo de la recuperación.

441

Palacios C. Severo

Superficie respuesta estimada en el plano, manteniendo constante una va-riable

Para un tiempo de agitación constante en el promedio, se puede llegar a un máximo de extracción manteniendo en su mínimo a la temperatura y en su máximo a la concentración.

Superficie respuesta estimada en el espacio manteniendo constante una varia-ble

Para una concentración constante en el promedio, se puede llegar al máximo de extracción manteniendo en su mínimo a la temperatura y en su máximo al tiempo de agitación.

442


Para una temperatura constante en el promedio, se puede lle-gar al máximo de extracción manteniendo en su máximo al tiempo de agitación y en su máximo a la concentración.

El pro-ceso es cua- dráti-co, por lo tanto se tie-nen que realizar comple-men- taria-mente tres pruebas centrales para eva-luar el error y seis pruebas estrella a fin de completar el mo-delo cuadrático.

Ejemplo 7.102Diseño compuesto centrado para ejemplo 7.101

Efectos e in-teracciones

Efectos cua-dráticos

A = 9,631B = 21,465C = 20,886AB = -4,725AC = -1,785BC = -5,26

AA = -9,226BB = -2,703CC = -14,647


Tabla 7.119 Análisis de varianza443

Temperatu-ra (oC)

Concentra-ción (%)

Tiempo agitación (Hr) Y

2060206020602060

0,50,511

0,50,511

0,250,250,250,25

1111

42,8356,9378,9281,0064,1772,1387,1788,25

2060206020602060

0,50.511

0,50,511

0,250,250,250,25

1111

41,6756,1478,3380,0063,3370,3786,6787,72

6,3673,64

40404040

0,750,750,331,170,750,75

0, 6250,6250,6250,625

-0,00571,26

61,2585,3668,4796,5938,7192,57

404040

0,750,750,75

0,6250,6250,625

85,3685,0285,47

Palacios C. Severo

Fuente SC Gl CM Fo Ft(99%)ABCAAABACBBBCCCError

316,7231573,081489,42239,94644,65136,372420,60655,3352604,631420,001

1111111117

316,7231573,081489,42239,94644,65136,372420,60655,3352604,63160,0002

5,2826,2224,824,000,740,110,340,9210,08

>>><<<<<<

12,2512,2512,2512,2512,2512,2512,2512,2512,25

Total 4608,82 13 R² = 90,887%

Camino de Máximo Ascenso para yA B C Y

40,041,042,043,044,045,0

0,750,7790,8130,8550,9190,583

0,6250,6650,7050,7440,7840,772

85,39387,85890,14892,35394,80282,541


Bajo Alto Ópti-mo

ABC

6,3640,329-0,005

73,635

1,1701,255

41,079

1,1700,776


67

72

77

82

87

92

97

Y

A20 60

B0.5 1

C0.25 1


52

62

72

82

92

102

Y

AB20 60

-

-

++

AC20 60

-

-

+

+

BC0.5 1-

-+

+

Efectoo de factores principales Interacción de factores principales

444


Superficie de Respuesta EstimadaC=0.625

20 30 40 50 60A

0.50.6

0.70.8

0.91

B61

71

81

91

101

Y

Y61.0-66.066.0-71.071.0-76.076.0-81.081.0-86.086.0-91.091.0-96.096.0-101.0101.0-106.0106.0-111.0111.0-116.0

Superficie de Respuesta EstimadaB=0.75

20 30 40 50 60A

0.250.45

0.650.85

1.05

C57

67

77

87

97

Y

Y61.0-66.066.0-71.071.0-76.076.0-81.081.0-86.086.0-91.091.0-96.096.0-101.0101.0-106.0106.0-111.0111.0-116.0

Superficie de Respuesta EstimadaA=40.0

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1B

0.250.45

0.650.85

1.05

C52

62

72

82

92

102

Y

Y61.0-66.066.0-71.071.0-76.076.0-81.081.0-86.086.0-91.091.0-96.096.0-101.0101.0-106.0106.0-111.0111.0-116.0

Superficie respuesta estimada en el espacio manteniendo constante una varia-ble

Contornos de la Superficie de Respuesta Estimada C=0.625

20 30 40 50 60A

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

B

Y61.0-65.065.0-69.069.0-73.073.0-77.077.0-81.081.0-85.085.0-89.089.0-93.093.0-97.097.0-101.0101.0-105.0

Contornos de la Superficie de Respuesta Estimada B=0.75

20 30 40 50 60A

0.25

0.45

0.65

0.85

1.05

C

Y61.0-65.065.0-69.069.0-73.073.0-77.077.0-81.081.0-85.085.0-89.089.0-93.093.0-97.097.0-101.0101.0-105.0

Contornos de la Superficie de Respuesta Estimada A=40.0

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1B

0.25

0.45

0.65

0.85

1.05

C

Y61.0-65.065.0-69.069.0-73.073.0-77.077.0-81.081.0-85.085.0-89.089.0-93.093.0-97.097.0-101.0101.0-105.0

Superficie respuesta estimada en el plano manteniendo constante una variable

445

Palacios C. Severo

446


ANEXO

p = 0.1 (99%)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 4052.18 4999.34 5403.53 5624.26 5763.96 5858.95 5928.33 5980.95 6022.40 6055.932 98.50 99.00 99.16 99.25 99.30 99.33 99.36 99.38 99.39 99.403 34.12 30.82 29.46 28.71 28.24 27.91 27.67 27.49 27.34 27.234 21.20 18.00 16.69 15.98 15.52 15.21 14.98 14.80 14.66 14.555 16.26 13.27 12.06 11.39 10.97 10.67 10.46 10.29 10.16 10.056 13.75 10.92 9.78 9.15 8.75 8.47 8.26 8.10 7.98 7.877 12.25 9.55 8.45 7.85 7.46 7.19 6.99 6.84 6.72 6.628 11.26 8.65 7.59 7.01 6.63 6.37 6.18 6.03 5.91 5.819 10.56 8.02 6.99 6.42 6.06 5.80 5.61 5.47 5.35 5.26

10 10.04 7.56 6.55 5.99 5.64 5.39 5.20 5.06 4.94 4.8511 9.65 7.21 6.22 5.67 5.32 5.07 4.89 4.74 4.63 4.5412 9.33 6.93 5.95 5.41 5.06 4.82 4.64 4.50 4.39 4.3013 9.07 6.70 5.74 5.21 4.86 4.62 4.44 4.30 4.19 4.1014 8.86 6.51 5.56 5.04 4.69 4.46 4.28 4.14 4.03 3.9415 8.68 6.36 5.42 4.89 4.56 4.32 4.14 4.00 3.89 3.8016 8.53 6.23 5.29 4.77 4.44 4.20 4.03 3.89 3.78 3.6917 8.40 6.11 5.19 4.67 4.34 4.10 3.93 3.79 3.68 3.5918 8.29 6.01 5.09 4.58 4.25 4.01 3.84 3.71 3.60 3.5119 8.18 5.93 5.01 4.50 4.17 3.94 3.77 3.63 3.52 3.4320 8.10 5.85 4.94 4.43 4.10 3.87 3.70 3.56 3.46 3.37

447

Palacios C. Severo

21 8.02 5.78 4.87 4.37 4.04 3.81 3.64 3.51 3.40 3.3122 7.95 5.72 4.82 4.31 3.99 3.76 3.59 3.45 3.35 3.2623 7.88 5.66 4.76 4.26 3.94 3.71 3.54 3.41 3.30 3.2124 7.82 5.61 4.72 4.22 3.90 3.67 3.50 3.36 3.26 3.1725 7.77 5.57 4.68 4.18 3.85 3.63 3.46 3.32 3.22 3.1326 7.72 5.53 4.64 4.14 3.82 3.59 3.42 3.29 3.18 3.0927 7.68 5.49 4.60 4.11 3.78 3.56 3.39 3.26 3.15 3.0628 7.64 5.45 4.57 4.07 3.75 3.53 3.36 3.23 3.12 3.0329 7.60 5.42 4.54 4.04 3.73 3.50 3.33 3.20 3.09 3.0030 7.56 5.39 4.51 4.02 3.70 3.47 3.30 3.17 3.07 2.9831 7.53 5.36 4.48 3.99 3.67 3.45 3.28 3.15 3.04 2.9632 7.50 5.34 4.46 3.97 3.65 3.43 3.26 3.13 3.02 2.9333 7.47 5.31 4.44 3.95 3.63 3.41 3.24 3.11 3.00 2.9134 7.44 5.29 4.42 3.93 3.61 3.39 3.22 3.09 2.98 2.8935 7.42 5.27 4.40 3.91 3.59 3.37 3.20 3.07 2.96 2.8836 7.40 5.25 4.38 3.89 3.57 3.35 3.18 3.05 2.95 2.8637 7.37 5.23 4.36 3.87 3.56 3.33 3.17 3.04 2.93 2.8438 7.35 5.21 4.34 3.86 3.54 3.32 3.15 3.02 2.92 2.8339 7.33 5.19 4.33 3.84 3.53 3.30 3.14 3.01 2.90 2.8140 7.31 5.18 4.31 3.83 3.51 3.29 3.12 2.99 2.89 2.8060 7.08 4.98 4.13 3.65 3.34 3.12 2.95 2.82 2.72 2.63

100 6.90 4.82 3.98 3.51 3.21 2.99 2.82 2.69 2.59 2.50120 6.85 4.79 3.95 3.48 3.17 2.96 2.79 2.66 2.56 2.47∞ 6.64 4.61 3.78 3.32 3.02 2.80 2.64 2.51 2.41 2.32

p = 0,25 (97,5%)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 647.79 799.48 864.15 899.60 921.83 937.11 948.20 956.64 963.28 968.632 38.51 39.00 39.17 39.25 39.30 39.33 39.36 39.37 39.39 39.403 17.44 16.04 15.44 15.10 14.88 14.73 14.62 14.54 14.47 14.424 12.22 10.65 9.98 9.60 9.36 9.20 9.07 8.98 8.90 8.845 10.01 8.43 7.76 7.39 7.15 6.98 6.85 6.76 6.68 6.626 8.81 7.26 6.60 6.23 5.99 5.82 5.70 5.60 5.52 5.467 8.07 6.54 5.89 5.52 5.29 5.12 4.99 4.90 4.82 4.768 7.57 6.06 5.42 5.05 4.82 4.65 4.53 4.43 4.36 4.309 7.21 5.71 5.08 4.72 4.48 4.32 4.20 4.10 4.03 3.96

10 6.94 5.46 4.83 4.47 4.24 4.07 3.95 3.85 3.78 3.7211 6.72 5.26 4.63 4.28 4.04 3.88 3.76 3.66 3.59 3.5312 6.55 5.10 4.47 4.12 3.89 3.73 3.61 3.51 3.44 3.3713 6.41 4.97 4.35 4.00 3.77 3.60 3.48 3.39 3.31 3.2514 6.30 4.86 4.24 3.89 3.66 3.50 3.38 3.29 3.21 3.1515 6.20 4.77 4.15 3.80 3.58 3.41 3.29 3.20 3.12 3.0616 6.12 4.69 4.08 3.73 3.50 3.34 3.22 3.12 3.05 2.9917 6.04 4.62 4.01 3.66 3.44 3.28 3.16 3.06 2.98 2.9218 5.98 4.56 3.95 3.61 3.38 3.22 3.10 3.01 2.93 2.8719 5.92 4.51 3.90 3.56 3.33 3.17 3.05 2.96 2.88 2.8220 5.87 4.46 3.86 3.51 3.29 3.13 3.01 2.91 2.84 2.7721 5.83 4.42 3.82 3.48 3.25 3.09 2.97 2.87 2.80 2.7322 5.79 4.38 3.78 3.44 3.22 3.05 2.93 2.84 2.76 2.7023 5.75 4.35 3.75 3.41 3.18 3.02 2.90 2.81 2.73 2.6724 5.72 4.32 3.72 3.38 3.15 2.99 2.87 2.78 2.70 2.6425 5.69 4.29 3.69 3.35 3.13 2.97 2.85 2.75 2.68 2.6126 5.66 4.27 3.67 3.33 3.10 2.94 2.82 2.73 2.65 2.5927 5.63 4.24 3.65 3.31 3.08 2.92 2.80 2.71 2.63 2.5728 5.61 4.22 3.63 3.29 3.06 2.90 2.78 2.69 2.61 2.5529 5.59 4.20 3.61 3.27 3.04 2.88 2.76 2.67 2.59 2.53

448


30 5.57 4.18 3.59 3.25 3.03 2.87 2.75 2.65 2.57 2.5131 5.55 4.16 3.57 3.23 3.01 2.85 2.73 2.64 2.56 2.5032 5.53 4.15 3.56 3.22 3.00 2.84 2.71 2.62 2.54 2.4833 5.51 4.13 3.54 3.20 2.98 2.82 2.70 2.61 2.53 2.4734 5.50 4.12 3.53 3.19 2.97 2.81 2.69 2.59 2.52 2.4535 5.48 4.11 3.52 3.18 2.96 2.80 2.68 2.58 2.50 2.4436 5.47 4.09 3.50 3.17 2.94 2.78 2.66 2.57 2.49 2.4337 5.46 4.08 3.49 3.16 2.93 2.77 2.65 2.56 2.48 2.4238 5.45 4.07 3.48 3.15 2.92 2.76 2.64 2.55 2.47 2.4139 5.43 4.06 3.47 3.14 2.91 2.75 2.63 2.54 2.46 2.4040 5.42 4.05 3.46 3.13 2.90 2.74 2.62 2.53 2.45 2.3960 5.29 3.93 3.34 3.01 2.79 2.63 2.51 2.41 2.33 2.27

100 5.18 3.83 3.25 2.92 2.70 2.54 2.42 2.32 2.24 2.18120 5.15 3.80 3.23 2.89 2.67 2.52 2.39 2.30 2.22 2.16∞ 5.03 3.69 3.12 2.79 2.57 2.41 2.29 2.19 2.11 2.05

p = 0.05 (95%)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 161.45 199.50 215.71 224.58 230.16 233.99 236.77 238.88 240.54 241.882 18.51 19.00 19.16 19.25 19.30 19.33 19.35 19.37 19.38 19.403 10.13 9.55 9.28 9.12 9.01 8.94 8.89 8.85 8.81 8.794 7.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.04 6.00 5.965 6.61 5.79 5.41 5.19 5.05 4.95 4.88 4.82 4.77 4.746 5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.15 4.10 4.067 5.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.73 3.68 3.648 5.32 4.46 4.07 3.84 3.69 3.58 3.50 3.44 3.39 3.359 5.12 4.26 3.86 3.63 3.48 3.37 3.29 3.23 3.18 3.14

10 4.96 4.10 3.71 3.48 3.33 3.22 3.14 3.07 3.02 2.9811 4.84 3.98 3.59 3.36 3.20 3.09 3.01 2.95 2.90 2.8512 4.75 3.89 3.49 3.26 3.11 3.00 2.91 2.85 2.80 2.7513 4.67 3.81 3.41 3.18 3.03 2.92 2.83 2.77 2.71 2.6714 4.60 3.74 3.34 3.11 2.96 2.85 2.76 2.70 2.65 2.6015 4.54 3.68 3.29 3.06 2.90 2.79 2.71 2.64 2.59 2.5416 4.49 3.63 3.24 3.01 2.85 2.74 2.66 2.59 2.54 2.4917 4.45 3.59 3.20 2.96 2.81 2.70 2.61 2.55 2.49 2.4518 4.41 3.55 3.16 2.93 2.77 2.66 2.58 2.51 2.46 2.4119 4.38 3.52 3.13 2.90 2.74 2.63 2.54 2.48 2.42 2.3820 4.35 3.49 3.10 2.87 2.71 2.60 2.51 2.45 2.39 2.3521 4.32 3.47 3.07 2.84 2.68 2.57 2.49 2.42 2.37 2.3222 4.30 3.44 3.05 2.82 2.66 2.55 2.46 2.40 2.34 2.3023 4.28 3.42 3.03 2.80 2.64 2.53 2.44 2.37 2.32 2.2724 4.26 3.40 3.01 2.78 2.62 2.51 2.42 2.36 2.30 2.2525 4.24 3.39 2.99 2.76 2.60 2.49 2.40 2.34 2.28 2.2426 4.23 3.37 2.98 2.74 2.59 2.47 2.39 2.32 2.27 2.2227 4.21 3.35 2.96 2.73 2.57 2.46 2.37 2.31 2.25 2.2028 4.20 3.34 2.95 2.71 2.56 2.45 2.36 2.29 2.24 2.1929 4.18 3.33 2.93 2.70 2.55 2.43 2.35 2.28 2.22 2.1830 4.17 3.32 2.92 2.69 2.53 2.42 2.33 2.27 2.21 2.1631 4.16 3.30 2.91 2.68 2.52 2.41 2.32 2.25 2.20 2.1532 4.15 3.29 2.90 2.67 2.51 2.40 2.31 2.24 2.19 2.1433 4.14 3.28 2.89 2.66 2.50 2.39 2.30 2.23 2.18 2.1334 4.13 3.28 2.88 2.65 2.49 2.38 2.29 2.23 2.17 2.1235 4.12 3.27 2.87 2.64 2.49 2.37 2.29 2.22 2.16 2.11

449

Palacios C. Severo

36 4.11 3.26 2.87 2.63 2.48 2.36 2.28 2.21 2.15 2.1137 4.11 3.25 2.86 2.63 2.47 2.36 2.27 2.20 2.14 2.1038 4.10 3.24 2.85 2.62 2.46 2.35 2.26 2.19 2.14 2.0939 4.09 3.24 2.85 2.61 2.46 2.34 2.26 2.19 2.13 2.0840 4.08 3.23 2.84 2.61 2.45 2.34 2.25 2.18 2.12 2.0860 4.00 3.15 2.76 2.53 2.37 2.25 2.17 2.10 2.04 1.99

100 3.94 3.09 2.70 2.46 2.31 2.19 2.10 2.03 1.97 1.93120 3.92 3.07 2.68 2.45 2.29 2.18 2.09 2.02 1.96 1.91∞ 3.84 3.00 2.61 2.37 2.21 2.10 2.01 1.94 1.88 1.83

Distribución Chi - Cuadradoalfa = área a la derecha de x2 (GL, alfa)

X~X2 (GL) P(X > X2(GL, alfa))

GL alfa0.100 0.050 0.025 0.010 0.005

1 2.7055 3.8415 5.0239 6.6349 7.8794

2 4.6052 5.9915 7.3778 9.210410.596

5

3 6.2514 7.8147 9.348411.344

912.838

1

4 7.7794 9.487711.143

313.276

714.860

2

5 9.236311.070

512.832

515.086

316.749

6

610.644

612.591

614.449

416.811

918.547

5

712.017

014.067

116.012

818.475

320.277

7

813.361

615.507

317.534

520.090

221.954

9

914.683

716.919

019.022

821.666

023.589

3

1015.987

218.307

020.483

223.209

325.188

1

1117.275

019.675

221.920

024.725

026.756

9

1218.549

321.026

123.336

726.217

028.299

7

1319.811

922.362

024.735

627.688

229.819

3

1421.064

123.684

826.118

929.141

231.319

4

1522.307

124.995

827.488

430.578

032.801

5

1623.541

826.296

228.845

331.999

934.267

1

1724.769

027.587

130.191

033.408

735.718

4

1825.989

428.869

331.526

434.805

237.156

419 27.203 30.143 32.852 36.190 38.582

450


6 5 3 8 1

2028.412

031.410

434.169

637.566

339.996

9

2129.615

132.670

635.478

938.932

241.400

9

2230.813

333.924

536.780

740.289

442.795

7

2332.006

935.172

538.075

641.638

344.181

4

2433.196

236.415

039.364

142.979

845.558

4

2534.381

637.652

540.646

544.314

046.928

0

2635.563

238.885

141.923

145.641

648.289

8

2736.741

240.113

343.194

546.962

849.645

028 37.91

T~t(GL) P(T > t(GL, alfa))

GL alfa0.1000 0.0500 0.0250 0.0100 0.0050 0.0010 0.0005

1 3.078 6.314 12.706 31.821 63.656 318.289 636.5782 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 22.328 31.6003 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 10.214 12.9244 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 7.173 8.6105 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 5.894 6.8696 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 5.208 5.9597 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 4.785 5.4088 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355 4.501 5.0419 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250 4.297 4.78110 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169 4.144 4.58711 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 4.025 4.43712 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055 3.930 4.31813 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012 3.852 4.22114 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977 3.787 4.14015 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 3.733 4.07316 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921 3.686 4.01517 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898 3.646 3.96518 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878 3.610 3.92219 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861 3.579 3.88320 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845 3.552 3.85021 1.323 1.721 2.080 2.518 2.831 3.527 3.81922 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819 3.505 3.792

451

Palacios C. Severo

23 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807 3.485 3.76824 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797 3.467 3.74525 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787 3.450 3.72526 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779 3.435 3.70727 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771 3.421 3.68928 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763 3.408 3.67429 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756 3.396 3.66030 1.310 1.697 2.042 2.457 2.750 3.385 3.64631 1.309 1.696 2.040 2.453 2.744 3.375 3.63332 1.309 1.694 2.037 2.449 2.738 3.365 3.62233 1.308 1.692 2.035 2.445 2.733 3.356 3.61134 1.307 1.691 2.032 2.441 2.728 3.348 3.60135 1.306 1.690 2.030 2.438 2.724 3.340 3.59136 1.306 1.688 2.028 2.434 2.719 3.333 3.58237 1.305 1.687 2.026 2.431 2.715 3.326 3.57438 1.304 1.686 2.024 2.429 2.712 3.319 3.56639 1.304 1.685 2.023 2.426 2.708 3.313 3.55840 1.303 1.684 2.021 2.423 2.704 3.307 3.55160 1.296 1.671 2.000 2.390 2.660 3.232 3.460

120 1.289 1.658 1.980 2.358 2.617 3.160 3.373∞ 1.282 1.645 1.960 2.327 2.576 3.091 3.291

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