esercitazione 1 finale

Politecnico di Torino

Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica

- FONDAZIONI -

Ing. Marta CASTELLI

Tel. 011 090 4903

Email. [email protected]: su appuntamento

Politecnico di Torino

Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica

Esercitazione 1

Calcolo tensioni indotte dai carichi

Calcolo cedimenti

Verifica SLE fondazioni superficiali

2

3

Calcolo tensioni indotte da un carico


� Al fine di calcolare le tensioni indotte in un terreno da un carico applicato in superficie si ricorre alla Teoria dell’Elasticità

� Il terreno viene cioè assimilato ad un mezzo omogeneo ed isotropo a comportamento elastico lineare (legge costitutiva)

� Il problema viene risolto impostando un sistema di equazioni differenziali che, con le opportune condizioni iniziali ed al contorno, fornisce in ogni punto del mezzo: o 6 componenti del tensore degli sforzi (⇒ tensioni indotte)

o 6 componenti del tensore delle deformazioni

o 3 componenti del vettore spostamento (⇒ cedimenti)

� È possibile ottenere una soluzione in forma chiusa a partire dal Problema di Boussinesq (1885):

o calcolo dello stato di sforzo e deformazione prodotto da una forza concentrata applicata sulla frontiera di un semispazio elastico

4


� Problema di Boussinesq (1885):

soluzione in termini di stato di sforzo indotto

(in coordinate cilindriche a causa della simmetria assiale)

NB solo σz e τrz sono indipendenti dalle proprietà del mezzo 5


( ) ( )

+ν−

ν+=

2

2

R

z12

πRE2

1Pw

( ) ( )

+

ν−−

ν+=

zR

r21

R

rz

πRE2

1Pu

2

� Problema di Boussinesq (1885):

soluzione in termini di spostamenti indotti

(in coordinate cilindriche a causa della simmetria assiale)

6


Partendo dalla soluzione di Boussinesq, con il principio disovrapposizione degli effetti si ottengono di effetti prodotti da uncarico distribuito:

� Carico uniforme su area circolare

� Carico uniforme su area rettangolare/quadrata

� Carico uniforme nastriforme

� Carico triangolare nastriforme

� Combinazioni di carichi nastriformi triangolari ed uniformi

Aree di carico flessibili

7

Carico uniforme su area circolare

∆σz prodotta all’interno di un semispazio elastico da un carico uniforme applicato su un’area

circolare di raggio a

A B

Punto A (r = 0)

(asse baricentrico)

Punto B (r ≠ 0)

(generico)∆σz= q⋅fz(a, z, r)

(Simmetria assiale ⇒⇒⇒⇒ coordinate cilindriche)

8


9

Carico uniforme su area circolare0

1

2

3

4

0 1 2 3

xa

0.90

0.80

0.70

0.60

0.50

0.40

0.30

0.20

0.15

0.100.05

z

q

q

za

(Lambe & Withman, 1969)

Bulbo delle tensioni

� Luogo dei punti a ∆�� = cost

� Il bulbo ∆�� = 0,1

Solitamente identifica il volume di terreno influenzato dal carico, a cui riferire per esempio le indagini sperimentali ed il calcolo dei cedimenti

10


Esempio

q = 150 kPa

a = 2m

z(A,B) = 3m

r(A) = 0

r(B) = 3m

Calcolare lo sforzo ∆σz indotto nei punti A e B dal carico q, uniformemente distribuito sull’area circolare rappresentata in figura

z

r

a

A B

A B

z(A,B)

r(B)

q

Dati del

problema

11


Esempio

1) soluzione analitica (r = 0)

2) soluzione da abaco r/a = 0z/a = 3/2 = 1,5

Punto A (asse baricentrico)

∆σ q 1 � 1 �⁄ � � 1 � ��

∆σ 150 1 � �� ⁄ ��

= 150⋅0,42 = 63 kPa

12

z/a = 1,5

r/a = 0

∆σ∆σ∆σ∆σz/q = 0,45

Soluzione da abaco

Punto A

(asse baricentrico)

13

14


Esempio

1) soluzione analitica (r = 0)



Punto B (generico)

2) soluzione da abaco r/a = 3/2 = 1,5z/a = 3/2 = 1,5

1) No soluzione analitica

∆σ q 1 � 1 �⁄ � � 1 � ��

∆σ 150 1 � �� ⁄ ��

= 150⋅0,42 = 63 kPa

∆σ� ≅ 0,45∆σ ≅ 67,5 kPa

z/a = 1,5

r/a = 1,5∆σ∆σ∆σ∆σz/q ≅≅≅≅ 0,14

Soluzione da abaco

Punto B

(generico)

15


Esempio

1) soluzione analitica (r = 0) ∆σ q 1 � 1 �⁄ � � 1 � ��

∆σ 150 1 � �� ⁄ ��

= 150⋅0,42 = 63 kPa


∆σ� ≅ 0,45∆σ ≅ 67,5 kPa


Punto B (generico)

2) soluzione da abaco r/a = 3/2 = 1,5z/a = 3/2 = 1,5

∆!�� ≅0,14

∆σ ≅ 21kPa

1) No soluzione analitica

16

Carico uniforme su area rettangolare

Incremento di tensione verticale ∆σal di sotto di uno spigolo

z

r

A

Az(A)

q

mznz

I= ��'

�()∙ (��)��(��)��(�)� ∙ (��)��

(��)�� +,-� �()∙ (��)��(��)��-(�)�

Tramite la sovrapposizione degli effetti è possibile calcolare la tensione indotta lungo una qualsiasi altra verticale

∆./qqqq⋅⋅⋅⋅IIII((((m,nm,nm,nm,n))))

17

Area rettangolarediagramma di Newmark

1 1.5 2 2.5 3 4 5 6 7 8 9 10

61.5 2.52 3 4 5 87 9 10

0.10

0.15

0.2

0.25

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0.60.1 0.15 0.250.2 0.3 0.4 0.5 0.80.7 0.9 1 1.5 2 2.5 3 4 5 106 7 8 9

m no

m no

n

m

o

1.5

1

2

2.5

3

4

6

5

7

10

8

9

n

m

o

0.200.190.18

0.170.16

0.150.14

0.130.12

0.110.10

0.090.08

0.070.06

0.050.04

0.030.0240.0200.0150.011

0.0100.012

0.0060.007

0.0080.009

0.24

9

0.2

470.2

45

0.2

40

0.2

350

.23

0.2

2

0.2

1

0.2

0

0.19

z

mz

nz

A

z = q f. (m n, )

coefficiente IIII

18


Esempio 1

z

r

L = 4m

C

A

CAz(A,C) = 2 m

q = 117 kPa

B = 3mCalcolare lo sforzo ∆σz indotto nei punti A e C dal carico q, uniformemente distribuito sull’area rettangolare di lati B ed L rappresentata in figura

q = 117 kPa

B = 3m

L = 4m

z(A,C) = 2m

Dati del

problemaPunto A: sotto lo spigolo

Punto C: sotto il baricentro

19

Definendo:m = B/zn = L/z If(m,n)

Punto A (spigolo)m = 3/2 = 1,5n = 4/2 = 2 I = f(m,n) = ?


Esempio 1

⇒⇒⇒⇒ diagramma di Newmark (∗∗∗∗)

z

r

L = 4m

A

Az(A,C) = 2 m

q = 117 kPa

B = 3m

20

(∗∗∗∗) area rettangolare diagramma di Newmark

1 1.5 2 2.5 3 4 5 6 7 8 9 10

61.5 2.52 3 4 5 87 9 10

0.10

0.15

0.2

0.25

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0.60.1 0.15 0.250.2 0.3 0.4 0.5 0.80.7 0.9 1 1.5 2 2.5 3 4 5 106 7 8 9

m no

m no

n

m

o

1.5

1

2

2.5

3

4

6

5

7

10

8

9

n

m

o

0.200.190.18

0.170.16

0.150.14

0.130.12

0.110.10

0.090.08

0.070.06

0.050.04

0.030.0240.0200.0150.011

0.0100.012

0.0060.007

0.0080.009

0.24

9

0.2

470.2

45

0.2

40

0.2

350

.23

0.2

2

0.2

1

0.2

0

0.19

z

mz

nz

A

z = q f. (m n, )

coefficiente IIII

m = 1,5

n = 2

IIII ≅≅≅≅ 0,223

punto A

21

22

Definendo:


Esempio 1

m = B/zn = L/z If(m,n)

Punto A (spigolo)m = 3/2 = 1,5n = 4/2 = 2 I = f(m,n) = 0,223

(da diagramma di Newmark)

z

r

L = 4m

A

Az(A,C) = 2 m

q = 117 kPa

B = 3m

∆σ = q⋅I = 117 ⋅0,223 ≅ 26 kPa


Esempio 1

m = B/z= 1,5/2 = 0,75n = L/z= 2/2 = 1 I = f(m,n) = ?

z

r

L = 2m

C

Cz(A,C) = 2 m

q = 117 kPa

B = 1,5m1

2

4

3

23

Punto C (baricentro)

1. Ricerca delle aree di carico di cui il punto C sia uno spigolo

2. Determinazione del coefficiente I per ciascuna

3. Calcolo ∆σ per ciascuna

4. Sovrapposizione degli effetti

⇒⇒⇒⇒ diagramma di Newmark (∗∗∗∗)

(∗∗∗∗) area rettangolare diagramma di Newmark

1 1.5 2 2.5 3 4 5 6 7 8 9 10

61.5 2.52 3 4 5 87 9 10

0.10

0.15

0.2

0.25

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0.60.1 0.15 0.250.2 0.3 0.4 0.5 0.80.7 0.9 1 1.5 2 2.5 3 4 5 106 7 8 9

m no

m no

n

m

o

1.5

1

2

2.5

3

4

6

5

7

10

8

9

n

m

o

0.200.190.18

0.170.16

0.150.14

0.130.12

0.110.10

0.090.08

0.070.06

0.050.04

0.030.0240.0200.0150.011

0.0100.012

0.0060.007

0.0080.009

0.24

9

0.2

470.2

45

0.2

40

0.2

350

.23

0.2

2

0.2

1

0.2

0

0.19

z

mz

nz

A

z = q f. (m n, )

n = 1

IIII ≅≅≅≅ 0,153

m = 0,75

punto C

24

25


Esempio 1

m = B/z= 1,5/2 = 0,75n = L/z= 2/2 = 1 I = f(m,n) = 0,153

(da diagramma di Newmark)

z

r

L = 2m

C

Cz(A,C) = 2 m

q = 117 kPa

B = 1,5m1

2

4

3(∗∗∗∗)

Punto C (baricentro)

1. Ricerca delle aree di carico di cui il punto C sia uno spigolo




∆σ(�) = q⋅I = 117 ⋅0,153

≅ 17,90 kPa

∆σ(454) = 4 ⋅ ∆σ(�) = 4 ⋅17,90

≅ 71,60 kPa


Esempio 2

Calcolare lo sforzo ∆σz indotto nel punto D dal carico q, uniformemente distribuito sull’area rettangolare di lati B ed L rappresentata in figura

q = 117 kPa

B = 3m

L = 4m

z(D) = 2m

x(D) = 3m

y(D) = 3m

Dati del

problema

Punto D: al di fuori dell’area di carico

z

x

L = 4m

D

Dz(D) = 2 m

q = 117 kPa

B = 3mx

y

xD= 3 m

yD= 3 m

26

4m

D

3mx

y

1,5m

1m

1

23

4

5

6

7

8

D

D

-D

-D

�D


Esempio

27

Punto D

(al di fuori dell’area di carico)

1. Ricerca delle aree di carico di cui il punto D sia uno spigolo




∆σ(454) ∆σ(78�9) = ∆σ :�� - ∆σ(:�8;) - ∆σ(:<9�) � ∆σ(:<7;)

m = B/zn = L/zI = f(m,n)

da diagramma di Newmark

∆σz = q⋅I4m

D

3mx

y

1,5m

1m

1

23

4

5

6

7

8

area B

(m)

L

(m)

m

(-)

n

(-)

IIII(-) (kPa)

D123 4,5 5 2,25 2,5 0,238 27,846

D164 1,5 5 0,75 2,5 0,180 21,06

D573 4,5 1 2,25 0,5 0,135 15,795

D584 1,5 1 0,75 0,5 0,105 12,285

∆σ ( ) = ∆σ (8627) = 27,846 - 21,06 - 15,795+12,285 = 3,276 kPa


Esempio 2

z = 2m

q = 117kPa

28

Carico uniforme nastriforme

Deformazione piana

⇒⇒⇒⇒ coordinate cartesiane

Stato di sforzo indotto in un punto

z

y

b (L → ∞)

σσσσy

q

σσσσz

ττττyz

ττττzy

ββββ’

αααα

σσσσ1

ββββ

ββββ = αααα/2 + ββββ’

Bisettrice angolo α

NB dopo l’applicazione del carico le tensioni principali saranno ruotate!

(Angolo α espresso in radianti)

29

∆σ= ∆σ>qπ α � sin α cos 2β

∆σF ∆σGqπ α � sin α cos 2β

∆τ=Fqπ sin α sin 2β


Tensioni principali indotte

z

y

b (L → ∞)

σσσσy

q

σσσσz

ττττyz

ττττzy

αααα

σσσσ1


Direzioni principali indotte

σσσσ3

σ1 ⇒ direzione della bisettrice dell’angolo α

σ3 ⇒ direzione ortogonale

ββββ

30

∆σ�qπ α � sin α

∆σ�qπ α � sin α


Lungo l’asse baricentrico

(β’ = α/2; β = 0)

z

y

b (L → ∞)

σσσσ3

q

σσσσ1

αααα/2 = ββββ’


Solo in questo caso le tensioni verticale σv ed orizzontale σh

restano tensioni principali dopo l’applicazione del carico

31

∆σ= ∆σ> ∆σ� qπ α � sin α

∆σF ∆σG ∆σ� qπ α � sin α

∆τ=F 0


z

y

b (L → ∞)

q

αααα

σσσσ1A

σσσσ3A

αααα

σσσσ1B

σσσσ3B

αααα

σσσσ3C

σσσσ1C

A

B

C

Nei punti che giacciono su una circonferenza che passa per i bordi dell’area di carico (α = cost), le tensioni principali indotte hanno la stessa entità e diversa direzione

32

∆σ�I ∆σ�J ∆σ�Kqπ α � sin α

∆σ�I ∆σ�J ∆σ�Kqπ α � sin α

Carico distribuito nastriforme

Esempio

1. Calcolare nei punti indicati:

� le tensioni geostatiche

� le tensioni indotte dall’area di carico nastriforme

2. Rappresentare gli stress-path relativi al seguente percorso di carico

z

y

B= 30m (L → ∞)

q = 180 kPa

A 5mB 10m

C 20m

D 30m

E 50m

F 75m

G 100m

γ = 20kN/m3

K0 = 0,40

No falda

1 t

q

0 2Breve

termineLungo

termine 33


Esempio� Tensioni geostatiche

σv0 = σ10 = γ⋅z

u0 = 0

σ’v0 = σ’10 = σv0

σ’h0 = σ’30 = K0⋅σ’v0

u0 = 0

σh0 = σ30 = σ’h0

t0= (σv0 - σh0)/2= t’0

s0= (σv0 + σh0)/2= s’0punto z (m)σσσσv0 = σσσσ10

(kPa)

σσσσh0 = σσσσ30

(kPa)

to

(kPa)

s’0

(kPa)

A 5 100 40 30 70

B 10 200 80 60 140

C 20 400 160 120 280

D 30 600 240 180 420

E 50 1000 400 300 700

F 75 1500 600 450 1050

G 100 2000 800 600 1400

verticali orizzontali

34


Esempio

0

100

200

300

400

500

600

700

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600

t (k

Pa

)

s, s’ (kPa)

I punti (t0, s’0) giacciono sulla retta K0

ββββ ≅≅≅≅ 23°

� Tensioni geostatiche

35

tanβ 1 � KO1 � KO

0,61,4 0,43


Esempio� Variazione dello stato tensionale per effetto del carico applicato

Sforzi indotti (asse baricentrico)

Stato tensionale finale

σv1 = σ’v1 = σv0 + ∆σv

σh1 = σ’h1 = σh0 + ∆σh

z

y

b (L → ∞)

σσσσh1

q

σσσσv1

αααα/2

t1= (σv1 - σh1)/2= t’1

s1= (σv1 + σh1)/2= s’1

1 t

q

0 2Breve

termineLungo

termine

1- Breve termine

2- Lungo termine

σv2 = σ’v2 = σv1

σh2 = σ’h2 = σh1

t2 = t’2 = t1

s2 = s’2 = s136

∆σ> ∆σ’v ∆σ�

qπ α � sin α

∆σG ∆σ’h ∆σ�

qπ α � sin α


Esempio� Variazione dello stato tensionale per effetto del carico applicato

punto

z

(m)

σσσσv0

(kPa)

σσσσh0

(kPa)

αααα(°)

αααα(rad)

∆σ∆σ∆σ∆σv

(kPa)

∆σ∆σ∆σ∆σh

(kPa)

σσσσv1

(kPa)

σσσσh1

(kPa)

t1 = t2

(kPa)

s’1 = s’2

(kPa)

A 5 100 40 143,13 2,4981 177,51 108,75 277,51 148,75 64,38 213,13

B 10 200 80 112,62 1,9656 165,51 59,73 365,51 139,73 112,89 252,62

C 20 400 160 73,74 1,2870 128,74 18,74 528,74 178,74 175,00 353,74

D 30 600 240 53,13 0,9273 98,97 7,29 698,97 247,29 225,84 473,13

E 50 1000 400 33,40 0,5829 64,94 1,86 1064,94 401,86 331,54 733,40

F 75 1500 600 22,62 0,3948 44,66 0,58 1544,66 600,58 472,04 1072,62

G 100 2000 800 17,06 0,2978 33,87 0,25 2033,87 800,25 616,81 1417,06

z

b/2

α/2

(a) (b)

(a)

(b)37

tan Q2 R 2��

Q ° 2 ∙ tan-� R2�

Q T U 2V ∙ Q(°)360


Esempio� stress path (percorso 0-1-2)

0

100

200

300

400

500

600

700

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600

t (k

Pa

)

s, s’ (kPa)

stress-path

0 (geostatico)

1 (breve termine) = 2 (lungo termine)

38

�Osservazioni

o Un carico nastriforme non altera le direzioni principali sotto l’asse baricentrico (∆τhv = 0)

o Al di fuori dell’asse baricentrico ∆τhv≠ 0 per cui le direzioni principali non coincidono più con gli assi verticale ed orizzontale

o Un carico nastriforme altera le condizioni K0

o L’influenza del carico diminuisce con la profondità


Esempio

39


Limiti dell’approccio elastico� Le soluzioni derivate dal problema di Boussinesq comportano forti

semplificazioni, legate a:o assunzione di mezzo omogeneo ed isotropoo Assunzione di una legge costitutiva elastica lineareo Scelta dei parametri di deformabilità (E, υ)

� In realtà il comportamento del terreno è molto più complesso ed è affetto da anisotropie (stratificazioni), eterogeneità, non linearità

� Per questo motivo risulta affidabile solo la stima della componente

verticale dello sforzo indotto (∆��), indipendente dalle proprietà del mezzo

� Nel caso di terreno stratificato inoltre, la soluzione di Boussinesqsottostima la riduzione della tensione verticale con la profondità quando lo strato superiore è molto meno deformabile di quello inferiore (Estrato

superiore >> Estrato inferiore )

40

41

Fondazioni superficiali:

Calcolo cedimenti

Verifica SLE

Stima dei cedimenti di fondazioni superficiali

� I cedimenti delle fondazioni superficiali sono rappresentati dagli spostamenti verticali del piano di posa dovuti ai carichi trasmessi dalla fondazione

� Essi rappresentano l’integrale delle deformazioni verticali del terreno sottostante la fondazione, effetto di:o distorsione del terreno

o compressione del terreno (riduzione di e0)

o rottura e/o deformazioni dei grani

� La stima dei cedimenti attesi viene condotta per valutarne l’ammissibilità in condizioni di esercizio della struttura (Stato

limite di Esercizio, SLE), cioè per carichi inferiori a quelli che producono la rottura nel terreno (piccole deformazioni)

Teoria dell’elasticità42


� Per il calcolo del cedimento di progetto è necessario: o conoscere lo stato tensionale iniziale nel sottosuolo

o calcolare l’incremento delle tensioni prodotto dalla realizzazione dell’opera

o definire il legame fra incrementi di tensione e incrementi di deformazione (legge costitutiva)

o calcolare ed integrare e deformazioni per determinare le aliquote del cedimento

o definire il decorso nel tempo

� Il cedimento ammissibile è definito in funzione dei requisiti dell’opera

Valore di progetto dell’effetto dell’azione

(cedimento di progetto)

Valore limite dell’effetto dell’azione

(cedimento ammissibile)

Verifica SLE:

Ed ≤≤≤≤ Cd

43


� I già discussi limiti dell’approccio elastico rendono le soluzioni derivate dalla teoria dell’elasticità idonee unicamente alla previsione dell’incremento delle tensioni prodotto dalla realizzazione dell’opera

� La dipendenza delle componenti di spostamento elastico dai parametri di deformabilità fa si che sia necessario ricorrere a prove sperimentali per avere una stima dei cedimenti affidabile

� Si fa riferimento in particolare a:

o prove di laboratorio per terreni a grana fine

o prove in sito per terreni a grana grossa

44


terreni a grana fine

t

q

t

S

Si

Sc

Ss

t0 <t < tD Condizioni non drenate

t < t100 Consolidazione

t > t100 Condizioni drenate

Cedimento totale ⇒⇒⇒⇒ Stot=Si+Sc+Ss

Si = cedimento immediato

(distorsioni a volume costante)

Sc = cedimento di consolidazione

(dissipazione ∆u)

Ss = cedimento secondario

(deformazioni viscose)

t100tDt0

Per i carichi dell’ing. Civile i terreni a grana fine si trovano inizialmente in condizioni non drenate (volume costante)

45



L’importanza relativa delle tre componenti dipende da:

o Tipo di terreno

o Entità e velocità di applicazione dei carichi

o Geometria del problema

Dall’analisi di strutture in vera grandezza:

Argille tenere (NC)

Argille consistenti (SC)

Sc = Sed

Si= 0,1 ScStot = Sc + 0,1Sc = 1,1 Sc

Stot = Sed

Si= 1/3÷2/3 Stot

Sed = cedimento edometrico (consolidazione monodimensionale)

Prova edometrica 46


terreni a grana grossolana

Per i carichi dell’ing. Civile i terreni a grana grossolana si trovano sempre in condizioni drenate

Stot=Si+Ss

t

q

t

S

Si

Ss

tD=t100t0

tD = t100 ⇒⇒⇒⇒ Si = Sc

A causa dell’impossibilità di prelevare campioni indisturbati i metodi di

calcolo sono basati prevalentemente sull’interpretazione di prove in sito

47


Metodi di calcolo

Terreni a grana grossolana:

Terreni a grana fine:

Correlazioni con prove penetrometriche:

1. Metodo di Burland e Burbidge (1985) ⇒ prove SPT

2. Metodo di Schmertmann (1978) ⇒ prove CPT

Metodo di Terzaghi (1943) ⇒ prova edometrica(consolidazione monodimensionale)

48

Terreni a grana fine

Passi del calcolo dei cedimenti

a) Ricostruzione stratigrafica• Sondaggi con prelievo di carote

• Campioni di laboratorio per prove di classificazione

• Prove penetrometriche

b) Condizioni di falda• Piezometri

c) Ricostruzione della storia tensionale (σσσσ’p)• Prova edometrica

d) Definizione dei parametri meccanici (compressibilità)• Prova edometrica

e) Calcolo degli sforzi indotti dalla struttura (∆σ∆σ∆σ∆σv)• Teoria dell’elasticità (Boussinesq)

f) Calcolo dei cedimenti• Metodo edometrico (cedimento di consolidazione monodimensionale)

Operazioni

preliminari

comuni a

tutti i

problemi di

geotecnica

Metodo di

Terzaghi

49

Calcolo del cedimento in terreni a grana fine

Esempio

Stimare il cedimento di consolidazione della torre di

Pisa considerando:

� Peso della Torre W = 141.75 MN

� Raggio R = 9.78 m

� Approfondimento medio del piano di posa rispetto al piano campagna D = 3 m

� γ = 18 kN/m3

50


Semplificazioni del problema

� Carico uniformemente distribuito

o fondazione flessibile

o no inclinazione della torre

� Cedimento uniforme

o calcolo sotto il centro della fondazione

51

-7.40

-37

Quota media del

piano di fondazione


Ricostruzione Stratigrafica

52

Calcolo del cedimento in


Prove CPT

Contribuiscono alla definizione della stratigrafia e consentono di

suddividere lo strato compressibile in porzioni omogenee ∆H (a

resistenza qc costante)

53

Calcolo del cedimento

in terreni a grana fine

Livelli piezometricix

y

z

x) u0 = 1,80⋅9,81 = 17,65 kPa

3.3 m

y) u0 = 9,2 ⋅9,81 =90,25 kPa

z) u0 = 35,5⋅9,81 = 348,25 kPa

Sono presenti due acquiferi indipendenti (complessi A e C)

Moto di filtrazione (verso il basso) nel complesso B argilloso

Pressioni interstiziali

Per la determinazione di u0 nel complesso B è possibile assumere una variazione lineare tra i punti b e c 54


Metodo di Terzaghi

1. Suddivisione del deposito in strati omogenei di spessore iniziale Hi

2. Nella mezzeria di ogni stratoa) Calcolo stato tensionale iniziale (σ’v0)

b) Definizione di σ’p e dei parametri di compressibilità (da prove edometriche)

c) Calcolo incremento di sforzo ∆σv indotto dall’applicazione del carico netto, considerato uniforme (fondazione flessibile):

qN = q - γD

d) Calcolo stato tensionale finale (σ’vf = σ’v0 + ∆σ’v)

3. Calcolo del cedimento di ogni strato Sed = ∆∆∆∆Hi

4. Calcolo del cedimento totale Stot = ∆∆∆∆Htot = ΣΣΣΣ(∆∆∆∆Hi)

55


Metodo di Terzaghi

strato z zmed H0

[m] [m] [m]

A1 0.00-5.40 2,70 5,40

A2 5.40-7.40 6,40 2,00

B1 7.40-10.90 9,15 3,50

B2 10.90-12.90 11,90 2,00

B3 12.90-17.80 15,35 4,90

B4 17.80-19.00 18,40 1,20

B5 19.00-22.00 20,50 3,00

B6 22.00-24.40 23,20 2,40

B7 24.40-29.00 26,70 4,60

B8 29.00-30.40 29,70 1,40

B9 30.40-34.40 32,40 4,00

B10 34.40-37.00 35,70 2,60

Complesso A

limi sabbiosi e argillosi

Complesso B

argille con livelli sabbiosi

Profondità

media

Spessore dello

strato1. Suddivisione in strati omogenei

56


Metodo di Terzaghi

-7.40

-37

No calcolo del cedimento edometrico

Quota media del piano di fondazione

57

1. Suddivisione in strati omogenei


Metodo di Terzaghi

strato zmed H0 u0 σσσσ'v0

[m] [m] [kPa] [kPa]

A1 2,70 5,40 44,14 59,8

A2 6,40 2,00 80,44 91,5

B1 9,15 3,50 105,50 114,2

B2 11,90 2,00 129,47 137,4

B3 15,35 4,90 159,55 165,3

B4 18,40 1,20 186,13 190,8

B5 20,50 3,00 204,44 213,5

B6 23,20 2,40 227,97 241,4

B7 26,70 4,60 258,48 274,5

B8 29,70 1,40 284,63 302,3

B9 32,40 4,00 308,16 329,4

B10 35,70 2,60 336,93 363,3

2.a stato tensionale iniziale (σσσσ’v0) nella mezzeria di ogni strato

Sulla base di:

� peso di volume del materiale (γ = 18kN/m3)

� ricostruzione dei livelli piezometrici (u0)

58


Metodo di Terzaghi

2.b Definizione di σσσσ’p al centro di ogni strato

σσσσ’p1. individuo il punto A di max

curvatura

2. traccio la tangente alla curva nel punto A (retta t)

3. traccio la retta orizzontale (retta o)

4. traccio la bisettrice dell’angolo individuato da t ed o (retta b)

5. prolungo il tratto di compressione fino ad intersecare la retta b

6. l’intersezione ottenuta individua il valore di σ’p

Prova Edometrica ⇒⇒⇒⇒ Costruzione di Casagrande

A

59


Metodo di Terzaghi

2.b Definizione dei parametri di

compressibilità al centro di ogni strato

Rapporto di Ricompressione

( )

vA

vB

AB

v

v

'

'log

100

'logRR

σ

σ

ε−ε=

σ∆

ε∆=

( )

vA

vB

AB

vr

'

'log

ee

'log

eC

σ

σ

−−=

σ∆

∆−=Indice di

Ricompressione

Rapporto di Compressione

( )

vC

vD

CD

v

v

'

'log

100

'logCR

σ

σ

ε−ε=

σ∆

ε∆=

( )

vC

vD

CD

vc

'

'log

ee

'log

eC

σ

σ

−−=

σ∆

∆−=Indice di

Compressione

piano εv – (log)σ’v

piano e – (log)σ’v

( )

AB

C

D

CR = Cc/(1+e0)

RR = Cr/(1+e0)

Prova Edometrica

60

Dalla teoria dell’elasticità (area di carico circolare)

qN = carico netto = q - γD

R = raggio della fondazione

zmed = profondità di calcolo (mezzeria della strato Hi)

Si suppone che il carico della torre sia uniformemente distribuito sulla sezione circolare

2.c Calcolo del carico indotto al centro di ogni strato Hi

∆WX �Y ∙ 1 � 11 � Z

�([\

�

� ��

� ]V ∙ Z�

141,75 ∙ 10�V ∙ 9,78� 472`a

�Y 472 � 18 ∙ 3 418`a


Metodo di Terzaghi

61

Hi = altezza dello strato

σ

σ⋅+

σ

σ⋅⋅=∆=

ip

vfii

i0v

ip

iiiied '

'logCR

'

'logRRHHS

σ’vf = σ’v0+∆σv

RR, CR (Cr, Cc) = parametri di compressibilità

3. Calcolo del cedimento edometrico di ogni strato Hi

σ

σ⋅+

σ

σ⋅⋅

+=∆=

pi

vfici

i0v

piri

i0ied '

'logC

'

'logC

e1

HHS ii

e0i = indice dei vuoti iniziale

oppure

a)

b)


Metodo di Terzaghi

62

σ−σ+

σ−σ⋅=

2

pvf

1

0vpiied M

''

M

''HSc)

σ−σ+=

2

''MMM

pvf12

M1

σσσσ’p

M

σσσσ’v

1

M

σσσσ’v0 σσσσ’vf

M2

// //M = modulo edometrico = ∆σ’v/∆εv



Metodo di Terzaghi

63

2. Correlazione M/qc – OCR

(Jamiolkowski et al., 1988)

1. Stima densità relativa

(Lancellotta, 1983)

−

⋅= 1

pσ'

qlog68D

av0

cR

OCR = 1

In presenza di livelli sabbiosi

σ−σ⋅=

M

''HS i0vivf

ied



Metodo di Terzaghi

64

strato z zmed H0 u0 σσσσ'v0 σσσσ'p ∆σ∆σ∆σ∆σ'v σσσσ'vf e0 cr cc M Sed

[m] [m] [m] [kPa] [kPa] [kPa] [kPa] [kPa] - - - [kPa] [cm]

A1 0.00-5.40 2,70 5,40 44,14 59,8 195 409,9 469,7 0,84 0,032 0,320 40,67

A2 5.40-7.40 6,40 2,00 80,44 91,5 187 349,1 440,6 16000 3,17

B1 7.40-10.90 9,15 3,50 105,50 114,2 195 284,5 398,7 1,68 0,156 0,790 36,78

B2 10.90-12.90 11,90 2,00 129,47 137,4 200 225,1 362,5 1,51 0,043 0,610 13,14

B3 12.90-17.80 15,35 4,90 159,55 165,3 205 167,2 332,4 1,42 0,160 0,720 33,64

B4 17.80-19.00 18,40 1,20 186,13 190,8 358 130,1 320,9 0,60 0,062 0,200 0,56

B5 19.00-22.00 20,50 3,00 204,44 213,5 686 110,6 324,1 0,80 0,041 0,360 1,24

B6 22.00-24.40 23,20 2,40 227,97 241,4 250 90,9 332,3 60000 0,33

B7 24.40-29.00 26,70 4,60 258,48 274,5 350 71,9 346,4 1,24 0,070 0,600 1,45

B8 29.00-30.40 29,70 1,40 284,63 302,3 315 59,8 362,1 0,90 0,080 0,450 2,11

B9 30.40-34.40 32,40 4,00 308,16 329,4 440 51,2 380,6 0,78 0,070 0,290 0,99

B10 34.40-37.00 35,70 2,60 336,93 363,3 378 43,0 406,3 0,80 0,080 0,350 1,78

Stot = ΣΣΣΣSed =135,86 cm


Metodo di Terzaghi4. Calcolo del cedimento totale

65

Decorso dei cedimenti nel tempo


� Il processo di consolidazione può essere molto lento in relazione alla conducibilità idraulica del terreno a grana fine considerato

� Grazie alla formulazione matematica del processo (teoria della

consolidazione) è possibile calcolare:

o la distribuzione nello spazio e nel tempo della sovrapressione interstiziale

o la durata totale del processo (t100)

o il valore del cedimento raggiunto in un determinato istante

cedimenti differiti nel tempo

Equazione di consolidazione

monodimensionale

Cv = coefficiente di consolidazione = fz Risposta globale del mezzo poroso

conducibilità idraulica del mezzo compressibilità della fase solida peso di volume del fluido

66

bc

b+ dXb�cb��

Decorso dei cedimenti nel tempo


Esempio

Le soluzioni dell’equazione di consolidazione si ottengono definendo:

o Condizioni al contorno (vincoli per il flusso: frontiere permeabili/impermeabili)

o Condizioni iniziali (distribuzione iniziale delle sovrapressioni interstiziali: isocrona iniziale)

25 m

Sabbia fine

Argilla limosa

Ghiaia e sabbia

q

Frontiere permeabili

(∆∆∆∆u=0)

isocrona iniziale:

∆∆∆∆u0 = costante

t95 (≅ t100) = 5,21⋅108 (s) = 16,5 anni ⇒ 95% Stot (95 cm)

t50 = 10,21 ⋅107 (s) = 3,24 anni ⇒ 50% Stot (50 cm)

t30 = 3,68 ⋅107 (s) = 1,17 anni ⇒ 30% Stot (30 cm)

Stot= 1 m

Cedimento totale di consolidazione 67

Cedimento secondario


� Il cedimento secondario è dovuto ad un comportamento deformativo di natura viscosa (creep) che si manifesta sotto tensioni efficaci costanti (dopo la fase di consolidazione)

� Il fenomeno è anche definito in Meccanica delle Terre come consolidazione (o compressione) secondaria

� Può assumere particolare rilevanza nei terreni organici

� Può essere calcolato con riferimento ad un istante di tempo t>t100 usando l’espressione:

H0 = altezza iniziale dello strato compressibile

Cα = coefficiente di consolidazione secondaria

t100 = tempo di fine consolidazione primaria

68

ef gO ∙ hi∙ jk, 44lmm

Cedimento secondario


� Il coefficiente Cα si ricava come pendenza della curva di consolidazione ottenuta dalla prova edometrica, nel tratto t > t100 (B-D)

Consolidazione primaria Consolidazione secondaria

� In mancanza di misure dirette è possibile ricorrere ad una stima empirica in funzione dell’indice di compressione primaria Cc

Tipo di

materialeCαααα/Cc

Argilla tenera

organica0,05 ± 0,01

Argilla tenera

inorganica0,04 ± 0,01

sabbia 0,015 0,03

Cαααα

1

Mesri & Choi, 1985

69


Metodi di calcolo

Terreni a grana grossolana:

Terreni a grana fine:

Correlazioni con prove penetrometriche:

1. Metodo di Burland e Burbidge (1985) ⇒ prove SPT

2. Metodo di Schmertmann (1978) ⇒ prove CPT

Metodo di Terzaghi (1943) ⇒ prova edometrica(consolidazione monodimensionale)

70

Calcolo del cedimento in terreni a grana grossolana

Metodo di Burland e Barbidge (1985)

S [mm]q’, σσσσ’v0 [kPa]B [m]

fs = fattore di forma

fH= fattore di spessore del deposito

ft = fattore tempo (viscosità)

q’ = carico applicato (uniformemente distribuito)

zi = profondità di influenza

Ic = Indice di compressibilità = fz[NSPT-medio (NAV)]

σσσσ’v0Carico uniformemente distribuito

Fondazione approfonditaSabbia NC

71

e nf ∙ no ∙ n4 ∙ �p � 23W′XO ∙ �r ∙ st

Profondità zi (al di sotto del piano di posa) dove si ha un cedimento pari al 25% di quello superficiale (Sz ≅ 25% Ssup).

Sulla base della Teoria dell’Elasticità e sotto l’ipotesi che il terreno abbia una rigidezza crescente con la profondità si assume:

zi = B0,7

1

10

100

1 10 100

z i(m

)

B (m)

B

zi = B0,7



Profondità di influenza

72

Sulla base dello studio statistico di casi reali:

Valore medio per sabbia NC :

Per sabbia SC si assume compressibilità:

Ic = fz[NSPT-medio (NAV)]



Indice di compressibilità Ic

73

Iu 1,7

NIw�,;

st3

z = zi = B0.7

se NSPT cresce o è costante con la profondità

z = 2B se NSPT decresce con la profondità

B0.7

2B

Nav è la media aritmetica del numero di colpi NSPT misurato nell’ambito di una

profondità z:

B

NAV NAV



Calcolo di NAV

74

NSPT è generalmente il valore che si ottiene dalla prova SPT (non normalizzato rispetto allo stato tensionale)

E’ possibile adottare le seguenti correzioni:

NB

NSPTc = 15 + 0,5(NSPT – 15) In sabbie fini o limose sotto falda con NSPT > 15(Terzaghi e Peck, 1948)

NSPTc = 1,25⋅NSPTIn ghiaie



Calcolo di NAV

75

Per una fondazione rettangolare ( B ≤ L)

B e L sono le dimensioni reali della fondazione (no riduzione della base per carichi eccentrici)

NB

Per una fondazione nastriforme (B << L)

(valore limite)



Fattore di forma

76

fx 1,25 ∙ L

BLB � 0,25

�

{ 1

nf 1,56

Nel caso in cui lo strato compressibile abbia spessore H < Zi

H

zi

NAV



Fattore di spessore del deposito

77

f| Hz~ 2 � H

z~ � 1

Anche le sabbie presentano deformazioni viscose e quindi cedimenti differiti nel tempo. Per tenerne conto si considera un fattore correttivo per t > 3 anni

dalla fine della costruzioneR3 = aliquota di cedimento nei

primi 3 anni

t [anni]

ft = 1,5 (carichi statici, strutture ordinarie)

ft = 2,5 (carichi ciclici, strutture speciali)

Carichi statici Carichi ciclici

R3 0.3 0.7

R 0.2 0.8

Per t = 30 anni

In funzione delle condizioni di carico



Fattore tempo

78

f� 1 � R� � R ∙ log t3 � 1

� Sabbia omogenea: γ = 19 kN/m3

� Dimensioni 22 x 40 m2

� Piano di posa a 5 m dal P.C.

� Cedimento ammissibile: Sd = 50 mm

� Azioni di calcolo (statiche):

L = 40 m

D = 5 m

B = 22 m

y

x

Nd

Mx,d



Esempio: platea di fondazione rettangolare

Nd = 154 MN

Mx,d = 170 MN⋅m

My,d = 58 MN ⋅m

79

1.Calcolare il cedimento:

2. Eseguire la verifica SLE della fondazione

a) immediatob) dopo 50 anni

Prova SPT:

NSPT crescente con la profondità

Profondità di influenza

Valore medio NSPT

D = 5 m

zi = 9 m

zm = 9.5 m

NAV = 27


Metodo di Burland e Barbidge (1985)Esempio: platea di fondazione rettangolare

Zi = B0,7 =220,7 ≅ 9 m

NAV = 27 colpi/piede

80



Carico trasmesso dalla fondazione

non si tiene conto dell’eccentricità

Tensione verticale sul piano di posa

Coefficiente di compressibilità (sabbia NC)

81

qp ��J∙�

�<;.OOO ��∙;O 175 �� kPa

σ′>O γ ∙ z 19 ∙ 5 95kPa

Iu 1,7

NIw�,; 1,727�,; 0,01695

Fattore di forma (rettangolare)

Fattore di spessore del deposito

H > ZI ⇒ fH =1

Fattore tempo (evoluzione temporale del cedimento)

⇒ Calcolo a tempo t = 0 (fine costruzione)⇒ Calcolo a tempo t = 50 anni (lungo termine)



82

fx 1,25 ∙ L

BLB � 0,25

�

1,25 ∙ 40

224022 � 0,25

�

1,21 { 1

1.a Cedimento a fine costruzione (t = 0)

(ft = fH = 1)



83

er nf ∙ �p � 23W′XO ∙ �r ∙ st

er 1,21 ∙ 175 � 23 ∙ 95 ∙ 22O,9 ∙ 0,01695 19,93��

Calcolo del cedimento in terreni a grana

grossolana Metodo di Burland e Barbidge (1985)Esempio: platea di fondazione rettangolare

1.b Cedimento a lungo termine (t = 50 anni)

2. Verifica SLE della fondazione: soddisfatta!

84

f� 1 � R� � R ∙ log t3 1 � 0,3 � 0,2 ∙ log 503 1,54 � 1

e<O n4 ∙ nf ∙ �p � 23W′XO ∙ �r ∙ st

e<O n4 ∙ er 1,54 ∙ 19,93 30,70��

E� S<O ≅ 31mm � C\ S� 50mmCedimento di progetto Cedimento ammissibile

∆q’ = q’- σ’v0(fond) (carico netto sul piano di fondazione)

Iz = coefficiente di influenza (Teoria dell’Elasticità)

E’ = modulo di deformabilità:

E’ = 2,5⋅⋅⋅⋅qc area quadrata o circolare (condizioni assialsimmetriche)

E’ = 3,5⋅⋅⋅⋅qc area nastriforme (condizioni di def. piana)

∆zi = spessore dello strato i-esimo

Coefficienti correttivi:

⇒⇒⇒⇒ Profondità del piano di posa

⇒⇒⇒⇒ Deformazioni differite nel tempo (per tenere conto della componente viscosa)

S C� ∙ C� ∙ ∆q′ ∙�I=E′ ∙ ∆z~

�

�

C� 1 � 0,5 ∙ σ′>O∆q′

C� 1 � 0,2 ∙ log t0,1


Metodo di Schmertmann (1978)

85

Determinazione del Coefficiente di Influenza Iz

Iz varia con la profondità in fz di:

o geometria della fondazione o pressione applicata q’

Profondità significativa per il cedimento:

H =4B fondazione nastriforme (L/B≥10)

H =2B fondazione quadrata o circolare (L/B = 1)

z = B/2

(L/B=1)

z = B

(L/B ≥10)



I=-�� 0,5 � 0,1 ∙ ∆q′σ′>~

O,<

86

Procedura di calcolo

� Suddivisione della profondità significativa H in una serie di strati ∆z nell’ambito dei quali si possano ritenere costanti Iz ed E’

� Calcolo per ogni strato di ∆∆∆∆zi, Izi, E’i (dalla prova CPT)

� Calcolo della sommatoria

� Calcolo dei coefficienti correttivi:

o C1: approfondimento del piano di posa o C2: tempo (componente viscosa)

� Calcolo di Stot:

o t = 0 ⇒ cedimento immediatoo t > 0 ⇒ cedimento immediato + secondario (t in anni)



� I=E′ ∙ ∆z~

�

�

87

Esempio: piastra in cls con 4 pilastri metallici



5 m

5 m

4 m

4 m

Combinazione N1 (kN) N2 (kN) N3 (kN) N4 (kN)

1 1200 1250 850 850

2 1050 900 1000 950

3 1100 1420 1300 780

1 2

34 5 m

4 m

N1, N4 N2, N3

2 m

Carichi sui pilastri

Utilizzando il metodo di Schmertmann, calcolare il cedimento:1) immediato2) dopo 50 anni

γt = 19 kN/m3

88



Prova penetrometrica statica

(CPT)


Piano campagna

Piano di fondazione

89

� Combinazione che fornisce il carico maggiore: COMBINAZIONE 3Ntot = N1 + N2 + N3 + N4 = 1100 + 1420 + 1300 + 780 = 4600 kN

� Carico distribuito sull’area di fondazione

�p Y�� ;8OO

�< 184 kPa

� Spessore dello strato compressibile H = 2B = 10 m

� Alla quota di fondazione: σ’vo = γ⋅D = 19⋅2 = 38 kPa

� Pressione netta: ∆q’ = q’- σ’vo = 184 – 38 = 146 kPa

� A profondità zmax = D +B/2 = 2 +2,5 = 4,5 m: σ’vi = γ⋅(D+B/2) = 19⋅4,5 = 85,5 kPa




I=-�� 0,5 � 0,1 ∙ ∆q′σ′>~

O,<

I=-�� 0,5 � 0,1 ∙ 14685,5

O,<

0,631

90

2 m

Piano campagna

Piano di fondazione0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

Iz

4,5 mzmax

12 m

H = 10 m

0,631

Profondità significativa

Z = D+H

Variazione di Iz

con la

profondità

91

2 m

Piano campagna

Piano di fondazione0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

Iz

12 m

0,631

Profondità significativa

Suddivisione dello

strato

compressibile in

porzioni a diversa

resistenza

e

determinazione di Iz

8 9,2 11 14 16 18

3,5

4

4,8

6,8

9,8

12

0,1 0,262 0,312 0,472 0,519 0,61

2,75

3,75

4,4

5,8

8,3

10,9

a

b

c

d

e

f

92

strato Intervallo

(m)

∆∆∆∆z

(m)

Zmed

(m)

Iz

(-)

qc

(MPa)

E’

(MPa)

Iz·∆∆∆∆z/E’

a 2 – 3,5 1,5 2,75 0,262 8 20 0,020

b 3,5 – 4 0,5 3,75 0,472 9,2 23 0,010

c 4 – 4,8 0,8 4,4 0,61 11 27,5 0,018

d 4,8 – 6,8 2 5,8 0,51 14 35 0,029

e 6,8 – 9,8 3 8,3 0,312 16 40 0,023

f 9,8 – 12 2,2 10,9 0,1 18 45 0,005

Σ= 0,105

E = 2,5⋅⋅⋅⋅qc area quadrata o circolare (condizioni assialsimmetriche)

S C� ∙ C� ∙ ∆q′ ∙�I=Ep ∙ ∆z~

�

�C� ∙ C� ∙ 146 ∙ 0,105




93

Si = 0,87⋅⋅⋅⋅146 ⋅⋅⋅⋅ 0,105 = 13,34 mm

Cedimento immediato

S50 = 13,34 x 1,540 = 20,54 mm

Cedimento immediato + secondario

Coefficienti correttivi

t = 0 ⇒ C2 =1

t = 50 anni ⇒




C� 1 � 0,5 ∙ !��m∆�� 1 � 0,5 ∙ �7

�;8 0,870

C� 1 � 0,2 ∙ log t0,1

C� 1 � 0,2 ∙ log 500,1 1,540

94

esercitazione 1 finale

Documents