escoamento couette

8/20/2019 Escoamento Couette

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Departamento/Programa de Pós-Graduação em EngenhariaMetalúrgica e de Materiais – Escola Politécnica/COPPE

Universidade Federal do Rio de Janeiro

Fenômenos de TransferênciaCom Aplicações às Ciências Físicas e à Engenharia

Volume 1: Fundamentos

José da Rocha Miranda Pontes

Universidade Federal do Rio de Janeiro – UFRJ

Norberto Mangiavacchi

Universidade do Estado do Rio de Janeiro – UERJ

Março 2013


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Fenômenos de Transferência com Aplicações às Ciências Físicas e à EngenhariaJosé da Rocha Miranda PontesNorberto MangiavacchiMaio 2010

Cadastrado no Registro de Direitos Autorais da Fundação Biblioteca Nacionalsob o número 351717, livro 648, folha 377


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À memória deJúlia Adriana da Rocha Miranda

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Sumário

Prefácio ix

I Fundamentos 1

1 Introdução 3

1.1 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Princípios de Conservação e Equações Constitutivas . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Operador Derivada Substancial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Desenvolvimento da Mecânica dos Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Conservação da Massa 11

2.1 Equação da Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Conservação da Quantidade de Movimento 23

3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2 Equação de Conservação da Quantidade de Movimento . . . . . . . . . . . . 24

3.3 Equação de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.4 Simetria do Tensor de Tensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.5 Fluidos Newtonianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.6 O Caso de Sólidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.7 Equação de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.8 Os Números de Reynolds e de Froude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.9 Equação de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.10 Perdas de Carga em Tubulações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.11 Equação da Vorticidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

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3.12 Equação da Circulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.13 O Teorema de Crocco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.14 Hidrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.15 Efeitos da Não Linearidade das Leis de Evolução . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.16 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4 Conservação da Energia 73

4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.2 Equação da Energia Cinética (v2/2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.3 Equação da Energia Total (e + v2/2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.4 Equação da Energia Interna (e) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.5 Função Dissipação (Φ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.6 Equação da Entalpia de Estagnação (h0 = h + v2/2) . . . . . . . . . . . . . . 81

4.7 Equação da Entalpia (h) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.8 Nota Sobre a Forma Integral das Equações da Entalpia . . . . . . . . . . . . 83

4.9 Equação da Entropia (s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.10 Equação da Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.11 Equação de Condução de Calor em Sólidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.12 Os Números de Péclet e de Prandtl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.13 A Aproximação Boussinesq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.14 Transporte de um Escalar por um Fluido Incompressível . . . . . . . . . . . 90

4.15 Resumo das Equações de Energia – Notação Vetorial . . . . . . . . . . . . . 92

4.16 Resumo das Equações de Energia – Notação Tensorial Cartesiana . . . . . . 93

4.17 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5 Escoamentos Viscosos 97

5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.2 Escoamento de Stokes em Torno de uma Esfera sob Re < 1 . . . . . . . . . 99

5.3 Escoamento Sobre uma Placa Plana Inclinada . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.4 Escoamento de Couette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.5 Escoamento Entre Duas Placas Paralelas Imóveis . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.6 Escoamento Entre Duas Placas Paralelas sob Fluxo de Calor Constante . . . 115

5.7 Problema de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.8 Transferência de Calor por Convecção e Evaporação . . . . . . . . . . . . . . 125

5.9 Escoamento Sobre um Disco Rotatório . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

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5.10 Escoamento entre Dois Discos Rotatórios Concêntricos . . . . . . . . . . . . 133

5.11 Escoamento em Canais Convergentes e Divergentes . . . . . . . . . . . . . . 136

5.12 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

6 Escoamentos Compressíveis 169

6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

6.2 Escoamento Quase-unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

6.3 Ondas Fracas: Velocidade do Som . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

6.4 Ondas Fortes: Compressão por Choque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

6.5 Analogia com a Hidráulica de Canal Aberto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

6.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

7 Introdução à Teoria da Camada Limite 187

7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

7.2 As Equações de Prandtl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

7.3 A Equação de Blasius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

7.4 A Equação de Falkner-Skan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

7.5 Métodos Integrais na Teoria da Camada Limite Laminar . . . . . . . . . . . 195

7.6 Estabilidade de Camadas Limite – A Equação de Orr-Sommerfeld . . . . . . 2027.7 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

8 Escoamentos Potenciais 213

8.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

8.2 Escoamentos Potenciais Compressíveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

8.3 Uma Classificação das Equações a Derivadas Parciais . . . . . . . . . . . . . 217

8.4 Considerações sobre o Escoamento Não Viscoso em Torno de um Aerofólio . 220

8.5 Escoamentos Potenciais Incompressíveis Bi-dimensionais . . . . . . . . . . . 222

8.6 O Teorema de Kutta-Joukowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

8.7 Transformações Conformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

8.8 A Transformação de Kutta-Joukowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

8.9 A Hipótese de Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

8.10 Perfis de Kutta-Joukowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

8.11 Outras Transformações Conformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

8.12 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

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9 Introdução à Turbulência 249

9.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

9.2 Descrição da Turbulência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

9.3 As Equações de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

9.4 Modelos para o Tensor de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

10 Transferência de Calor 259

10.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

10.2 Mecanismos de Transferência de Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

10.3 Condução de Calor Unidimensional em Sólidos . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

10.4 O Método de Separação de Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

10.5 O Método de Diferenças Finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27710.6 Trocadores de Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

10.7 Radiação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

10.8 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

II Apêndices 297

A Elementos de Análise Dimensional 299

A.1 Séries Completas de Produtos Adimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

A.2 Outras Séries Completas de Produtos Adimensionais . . . . . . . . . . . . . 304

A.3 O Teorema Π de Buckingham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

A.4 Similaridade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

A.5 Principais Grupos Adimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

A.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

B Elementos de Cálculo Vetorial 319B.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

B.2 Principais Operadores Vetoriais e Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

B.3 Notação de Índices (Notação Tensorial Cartesiana) . . . . . . . . . . . . . . 326

B.4 O Teorema de Helmholtz (Teorema Fundamental do Cálculo Vetorial) . . . . 331

B.5 Aplicação ao Método de Elementos Finitos – O Método da Projeção . . . . . 334

B.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

C Elementos de Análise Complexa 341

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C.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

C.2 Números complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

C.3 Funções de Variáveis Complexas – Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

D Elementos de Termodinâmica Clássica 347

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Prefácio

Este livro destina-se a estudantes em nível de graduação e de pós-graduação em ciênciasfísicas, matemática, engenharia e ao público em geral, com interesse na área de Fenômenosde Transferência. O livro está dividido em dois volumes. O primeiro volume aborda osfundamentos da disciplina. O material nele incluído ultrapassa a quantidade normalmenteincluída em um primeiro curso introdutório de um semestre, o que permite a quem o utilize

como texto de referência, selecionar os tópicos segundo a própria conveniência.Esse volume se origina das notas de aulas ministradas pelos autores em cursos de

engenharia na Universidade Federal do Rio de Janeiro e na Universidade do Estado do Riode Janeiro sobre os fundamentos da disciplina. Além incluir a maior parte do materialcoberto normalmente em cursos introdutórios de Mecânica dos Fluidos, quer em nível degraduação, quer de pós-graduação, engloba também parte do que é normalmente ministradoa respeito de condução de calor em sólidos e de convecção, em um primeiro curso sobre oassunto. Há algum material sobre transferência de massa e evaporação. Trata-se portanto,em sua maior parte, de material clássico, apresentado segundo nosso ponto de vista sobrecomo abordar os princípios de Fenômenos de Transferência. Entendemos, em primeiro lugar,

que o tratamento deve enfatizar os fundamentos teóricos, sem os quais não se avança deforma segura nas aplicações. Dentro dessa linha, os exemplos apresentados, de aplicação emengenharia, servem para ilustrar o enfoque teórico que buscamos e para quebrar o ritmo deapresentação que imprimimos em sala de aula.

Estabelecido esse primeiro objetivo, entendemos que devemos iniciar expondo os fun-damentos da disciplina, que são as equações de evolução resultantes da aplicação aos meioscontínuos, dos princípios de conservação da massa, da quantidade de movimento e da energia.Assim, nossa exposição não se inicia por situações mais simples, como pelo equacionamentoe pela resolução de problemas da hidrostática, de problemas unidimensionais, permanentes,ou ainda, de problemas em que os efeitos viscosos são desprezados. Ao contrário, optamos

por apresentar, logo no início, as equações completas e, a partir deles, abordar as soluçõesclássicas e os exemplos.

Vemos vantagens em apresentar o princípio de conservação da energia logo após fazê-lo com os da massa e da quantidade de movimento: ganha-se tempo, pois o método deequacionamento é o mesmo utilizado com os dois outros princípios e está bem presente namente dos alunos. Além disso, dá-se aos alunos, cedo, uma visão razoavelmente completadas equações e o tempo necessário, até o fim de um semestre de curso, para que possamassimilá-las e para que ganhem a familiaridade necessária com o significado de seus termos.Esse conhecimento permite que a escolha dos problemas que serão abordados a partir deentão, se faça sem restrições.

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Nossa experiência mostra a necessidade de iniciarmos o primeiro curso de Fenômenosde Transferência revendo os princípios do cálculo vetorial. Para a consecução desse objetivo,incluímos um apêndice sobre o assunto. Esse apêndice inclui algumas questões nem sempretratadas nas cadeiras introdutórias de cálculo vetorial e aborda, de forma aplicada, a notaçãotensorial cartesiana, ou indicial, que utilizamos e recomendamos, mesmo em nível de cursos

de graduação. Não vemos maiores dificuldades em levar os alunos a compreenderem emanipularem os índices da notação. As equações tornam-se concisas e as regras sobre comoescrever explicitamente todos os termos das mesmas estão na própria notação, o que nãoocorre quando escritas em forma vetorial. Não é necessário contornar questões como o fatodo gradiente de um vetor ser um tensor de segunda ordem. E, embora consiga-se equacionaros princípios de conservação da massa e da quantidade de movimento e expô-los utilizando-se a notação vetorial, entendemos que é muito difícil prosseguir e apresentar as equações deenergia usando essa notação. Ao contrário, ao usarmos a notação tensorial cartesiana, nãotemos dificuldades, por exemplo, com o problema da dupla contração que ocorre no termode dissipação viscosa dessas equações. O formalismo da notação é discutido no apêndice B.

O princípio de conservação da massa é introduzido no capítulo 2, com a notação vetorialmas as equações obtidas são apresentadas logo a seguir, na forma tensorial. Já a partirdo equacionamento do princípio de conservação da quantidade de movimento, adotamosa notação tensorial cartesiana desde o início. Assim, parte do apêndice B é pré-requisitopara o estudo do material apresentado a partir do capítulo 3, para leitores que não tenhamfamiliaridade com a notação e com o significado de alguns operadores que intervêm nasequações deduzidas desse ponto em diante.

Não obstante, a notação vetorial tem sua utilidade, permitindo por vezes, uma inter-pretação mais fácil dos termos das equações. E, em alguns casos, as deduções se tornammais intuitivas quando se usa a notação vetorial. Assim, damos preferência ao uso da no-tação tensorial a partir do capítulo que trata da conservação da quantidade de movimento,mas voltamos à vetorial sempre que seu uso simplifica a exposição e clareza das deduções.

Tomamos a liberdade de citar, dentre os partidários dessa abordagem, o nome do prof.Jacek Piotr Gorecki, um dos responsáveis pela implantação das cadeiras de aerodinâmica,ministradas no Instituto Tecnológico de Aeronáutica e de quem um dos autores (JP) teve oprivilégio de ter sido aluno.

Uma vez apresentadas as equações que resultam da aplicação dos princípios de conser-vação passamos às aplicações e nos defrontamos com a necessidade de escolher os problemasdos quais tratar. Optamos em abordar duas classes de problemas: de um lado, os escoamen-

tos viscosos, em que abordamos parte das soluções clássicas, que têm solução analítica. Háproblemas que são estudados em coordenadas cartesianas e outros, em coordenadas cilíndri-cas. No primeiro caso, resolvemos não apenas o campo hidrodinâmico, mas também o campode temperaturas, incluindo efeitos do aquecimento viscoso. Ganha-se tempo, resolvendo-seos problemas hidrodinâmico e térmico simultaneamente e o benefício de apontarmos as ana-logias, que facilitam a compreensão de ambos. Sempre que possível, procuramos mostraras similaridades e analogias entre os problemas relativos à mecânica dos fluidos e os detransferência de calor e de massa. Como exemplo de situação em que lançamos mão dessasanalogias citamos o uso dos resultados do problema do escoamento sobre uma placa planaalinhada ao fluxo, para justificar a forma das correlações empíricas largamente utilizadas

em engenharia, para a resolução de problemas de convecção e evaporação forçadas.

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Mas não apresentamos nenhuma dedução sobre transformação das equações, que sãosempre obtidas em coordenadas cartesianas, para coordenadas cilíndricas, esféricas, ou na-turais. Entendemos que, para fazê-lo deve-se usar a notação dos tensores não-cartesianos,que não abordamos nesse texto. Assim, apresentamos apenas parte das equações, reescritasem coordenadas cilíndricas e, em alguns casos, em esféricas.

A segunda classe de problemas abordados são os compreendidos no caso diametral-mente oposto ao dos escoamentos viscosos, que é o dos escoamentos compressíveis, fora decamadas limite e de esteiras. Nessas regiões, não é necessário que se leve em conta os efeitosviscosos. Procuramos ressaltar a analogia entre os fenômenos que ocorrem nos escoamentosde alta velocidade e os que se observam na hidráulica de canal aberto. Acreditamos que osparalelos que fazemos sirvam para ajudar na compreensão do que ocorre nos dois casos. Aabordagem não é completa no estágio em que se encontra atualmente o texto, como tambémnão o é, a dos problemas de condução de calor em sólidos.

O primeiro volume compreende ainda, capítulos introdutórios sobre as teorias da ca-

mada limite, turbulência e escoamentos potenciais, incluindo os compressíveis. Compreendeainda quatro apêndices que contém os princípios de análise dimensional, do cálculo vetorial,da análise complexa e da termodinâmica clássica.

O segundo volume aborda tópicos orientados a estudantes de graduação em nível maisavançado e a estudantes de cursos de pós-graduação. A maior parte do material é nova esintetiza resultados e aspectos ainda em desenvolvimento dentro de nossas linhas de pesquisa.Há algum material bem conhecido, mas que incluímos de modo a dar ao leitor uma visãoampla do problema

Temos a agradecer a várias pessoas, que permitiram que o texto chegasse até esseponto: Ao Departamento/Programa de Pós-graduação em Engenharia Metalúrgica e de

Materiais da Universidade Federal do Rio de Janeiro, onde a maior parte desse trabalhofoi escrito. Ao professor Luiz M. Portela, da Universidade de Delft, pela cessão de algunsproblemas propostos no Cap. 5. Ao prof. Su Jian, do Programa de Engenharia Nuclearda COPPE/UFRJ, pelo interesse com que acompanhou, por anos, o desenvolvimento dotrabalho. Aos profs. Ebert Einstein N. Macau (INPE), à prof.a Rosana Sueli da MottaJafelice, da Universidade Federal de Uberlândia e em especial ao prof. José Alberto Cumi-nato, do Instituto de Ciências Matemáticas e da Computação – ICMC/USP – S. Carlos,pela orientação na escolha da SBM – Sociedade Brasileira de Matemática, como a editoraà qual submetemos o trabalho para publicação. A nossos alunos, pela recepção do texto,pelas críticas, sugestões e por apontarem várias vezes, as incorreções do mesmo. Citamos em

particular os nomes de Wagner Ferreira Lima, pela revisão do texto, de Filipe Esteves Cor-tes Sálvio, pela participação na elaboração do manual do professor (ainda em andamento),do Dr. Gustavo Rabello dos Anjos, que nos cedeu o material referente aos princípios doMétodo da Projeção, incluído na Sec. B.5 e de Davi Vaz de Andrade Ferreira, pelo materialreferente ao campo hidrodinâmico que se desenvolve entre dois discos rotatórios coaxiais,exposto na Sec. 5.10.

Os autores agradecem apoio financeiro da agências de fomento CNPq, CAPES eFAPERJ.

JP agradece também ao Eng◦ Luiz Fernando Bonilauri pelo exame cuidadoso dessasnotas, por suas observações pertinentes e por seu exemplo como pessoa e como profissional.

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Agradece em especial ao Instituto Tecnológico de Aeronáutica, a quem deve a base de suaformação profissional.

E agradecemos a nossos familiares, pelo tempo de convívio que nos cederam, para quepudéssemos nos dedicar aos resultados aqui incluídos e à preparação do texto.

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Parte I

Fundamentos

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Capítulo 1

Introdução

1.1 Objetivos

Esse texto compreende o estudo de três tópicos interrelacionados, da mecânica dos meioscontínuos:

1. Mecânica dos Fluidos;

2. Transferência de Calor;

3. Transporte de Massa.

A hipótese de meio contínuo é necessária para que possamos fazer uso das noções do cálculodiferencial e integral e definir propriedades de um fluido, ou de um sólido, em um ponto.Cabe notar que os elementos do meio considerado devem ser suficientemente pequenos paraque suas propriedades se mantenham constantes dentro do mesmo e suficientemente grandespara que os efeitos de descontinuidade da matéria não apareçam.

Como muitos dos mecanismos de transporte de calor e de massa se processam na pre-sença de fluidos, como é o caso do resfriamento por convecção e dos processos de evaporação,começaremos o curso abordando a mecânica dos fluidos.

O objetivo da mecânica dos fluidos é determinar o estado de um meio, esteja ele emmovimento ou em repouso. Para fazê-lo devemos conhecer as variáveis que determinam este

estado, as quais dependem em geral da posição no espaço e do tempo. Consequentemente,para conhecermos o estado de um fluido devemos determinar o valor das variáveis que oidentificam, ao longo do tempo e em cada ponto do espaço ocupado pelo fluido.

As variáveis que identificam o estado de um fluido são:

1. A velocidade em cada ponto, v, que é uma grandeza vetorial. Usaremos normalmenteuma das notações abaixo, em um sistema de coordenadas cartesiano e ortogonal:

v = u i + v j + w k ou

v = vx i + vy j + vz k ou

v = v1 e1 + v2 e2 + v3 e3.

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Na equações acima i, j e k são vetores unitários (de comprimento igual a 1) nas direçõesx, y e z , respectivamente, enquanto e1, e2 e e3 são, analogamente, vetores unitáriosnas direções de cada um dos eixos de coordenadas. As variáveis u, v e w, assim comov1, v2 e v3 são as componentes da velocidade em cada uma das direções acima.

O vetor velocidade também pode ser expresso na seguinte forma:

v =3

i=1

vi ei.

Temos já três incógnitas, a saber as três componentes da velocidade e necessitamos detrês equações que nos permitam determiná-las.

2. Outra variável de um fluido é a pressão em cada ponto, que pode ser tratada comouma grandeza escalar . Representaremos a pressão pela letra p.

3. Se o fluido for compressível sua densidade ρ será também uma variável a determinar.A densidade é definida por:

ρ = lim∆V →∞

∆m

∆V .

4. Finalmente, se a temperatura T do fluido variar, será também uma das variáveis quedefinem o estado do fluido.

Em resumo, a Mecânica dos Fluidos procura determinar as funções:

u = u(t,x,y,z )

v = v(t,x,y,z )

w = w(t,x,y,z )

p = p(t,x,y,z )

ρ = ρ(t,x,y,z )

T = T (t,x,y,z )

Em problemas envolvendo reação e transporte de espécies químicas procuramos deter-

minar também a concentração de cada espécie no tempo e no espaço.

1.2 Princípios de Conservação e Equações Constitutivas

Para resolvermos um problema de mecânica dos fluidos no qual a temperatura varia necessi-tamos de seis equações de evolução. Essas equações são obtidas pela aplicação dos seguintesprincípios:

1. Conservação da Massa . A aplicação deste princípio conduz à Equação da Continui-dade ;

4


19/373

2. Conservação da Quantidade de Movimento em cada uma das três direções. Obtém-setrês equações. Um caso de particular importância ocorre quando se aplica o princípiode conservação da quantidade de movimento a um tipo particular de fluido denominado

fluido newtoniano, definido na Sec. (3.5);

3. Conservação da Energia ;4. Equação de estado.

F= ! x

x

Figura 1.1: Força agindo sobre uma mola.

Ao aplicarmos os três princípios de conserva-ção acima, nos deparamos com o problemade expressarmos as forças agindo sobre umapartícula de fluido em função do campo de ve-locidades, assim como de expressar o fluxo decalor em função do campo de temperaturas.Trata-se de um problema semelhante ao deespecificarmos a força agindo sobre uma molacomprimida, em função do nível de compres-são ou de tração a que a mesma é submetida.No caso de uma mola a força é expressa atra-vés da lei de Hook (ver Fig. 1.1). A lei deHook é um exemplo de relação constitutiva ,que consiste de uma hipótese adicional e não, de um resultado obtido da aplicação de umdos princípios de conservação anteriormente mencionados.

y

x

V=v x(y)i

" xy

Figura 1.2: Campo de velocidades de umfluido nas proximidades de uma placa planae tensões de cisalhamento agindo sobre umelemento do mesmo.

No caso da mecânica dos fluidos não há,

como ocorre no caso de uma mola, uma forçarestituidora, que tende a trazê-la de volta àposição de equilíbrio. No entanto, o escorre-gamento de uma camada de fluido sobre a ou-tra produz uma tensão de cisalhamento entreas camadas, conforme mostrado na Fig. (1.2).

Consideremos o caso do escoamento deum fluido sobre uma placa plana infinita.

τ xy −→ Tensão de cisalhamento nadireção x, atuando na facey, isto é, na face perpendi-cular à direção y.

Unidades da tensão de cisalhamento τ :

[τ xy] = [Força]

Área

Da mesma forma como ocorre no caso da lei de Hook, há uma relação constitutiva para τ xy:

τ xy = µ∂ v

x∂ y (1.1)

5


20/373

onde µ é a viscosidade dinâmica do fluido e ∂ vx/∂ y, um dos componentes do gradiente develocidade.

Fluidos cuja tensão de cisalhamento é descrita pela eq. (1.1) denominam-se newtoni-anos . São os mais comumente encontrados nos problemas de engenharia, embora existam

outros tipos de fluidos cuja tensão de cisalhamento se exprime de outras formas em funcãodo campo de velocidades 1. A relação constitutiva acima será generalizada no capítulo 3.

z

y x

q y

q x

q z

Figura 1.3: Fluxo de calor em um elementode fluido

No caso do fluxo de calor que atravessaum elemento de fluido conforme Fig. (1.3)têm-se também uma relação constitutiva. Ofluxo de calor é definido como a quantidadede calor que flui por unidade de tempo e deárea, em uma dada direção. É portanto umagrandeza vetorial , que pode ser representada,

em um sistema de coordenadas cartesianasortogonal, por:

q = q x i + q y j + q z k (1.2)

onde q x, q y e q z são os fluxos de calor em cadauma das três direções.

Unidades do fluxo de calor q:

[q] = [Calor/tempo]

ÁreaA relação constitutiva que relaciona o fluxo de calor com o campo de temperaturas é daforma:

q i = −κ ∂ T ∂ xi

,

(Lei de Fourier) onde κ é a Condutividade Térmica do material, q i e ∂ T /∂ xi são, respecti-vamente, o fluxo de calor e a componente do gradiente de temperaturas na direção xi. Astrês componentes do fluxo de calor são :

q x =

−κ

∂ T

∂ xq y = −κ ∂ T

∂ y

q z = −κ ∂ T ∂ z

Tratamos de casos em que a condutividade térmica é a mesma nas três direções, isso é, demeios isotrópico. Substituindo-se as expressões acima na Eq. (1.2) obtemos:

q = q x i + q y j + q z k = −κ

∂ T

∂ xi +

∂ T

∂ y j +

∂ T

∂ z k

1Exemplos: fluido viscoelástico, plástico Bingham etc.

6


21/373

ou:

q = −κ3

i=1

∂ T

∂ xiei,

ou ainda:

q = −κ grad T. (1.3)A Eq. (1.3) denomina-se lei de Fourier .

Resumindo o que foi dito até aqui, as equações que descrevem a evolução do estado deum fluido são obtidas pela aplicação dos princípios de conservação da massa, da quantidadede movimento e da energia, suplementadas por relações constitutivas como a que permitemexpressar, as forças de superfície que agem sobre um elemento de fluido em função docampo de velocidades, o fluxo de calor em função do campo de temperaturas. A equaçãode estado de um gás perfeito é outro exemplo de equação constitutiva, necessário no estudo

do escoamento de gases.

1.3 Operador Derivada Substancial

Outra noção utilizada no desenvolvimento da mecânica dos fluidos é a do operador Derivada Substancial . Esse operador, quando aplicado a uma propriedade de uma partícula de fluidoem movimento, com velocidade v, fornece como resultado a derivada total em relação aotempo da propriedade daquela partícula em movimento. Consideremos a componente vx davelocidade da partícula de fluido. Temos que vx = vx (t, x(t), y(t), z (t)). A derivada total de

vx em relação ao tempo é dada por:D vxDt

= ∂ vx

∂ t +

∂ vx∂ x

dx

dt +

∂ vx∂ y

dy

dt +

∂ vx∂ z

dz

dt.

Observando que dx/dt, dy/dt e dz/dt são , respectivamente, as componentes de velocidadevx, vy e vz, re-escrevemos a derivada D vx/Dt na forma:

D vxDt

= ∂ vx

∂ t + vx

∂ vx∂ x

+ vy∂ vx∂ y

+ vz∂ vx∂ z

= ∂ vx

∂ t + v · grad vx

ou ainda:

D

Dt vx = ∂

∂ t + v · grad

vx

Utilizando a notação de índices, ou tensorial cartesiana (ver apêndice B):

D vxDt

= ∂ vx

∂ t + v1

∂ vx∂ x1

+ v2∂ vx∂ x2

+ v3∂ vx∂ x3

= ∂ vx

∂ t +3

j=1

v j∂

∂ x jvx

A informação de que a soma deve se fazer sobre todos os valores que o índice j toma jáexiste no fato de o mesmo aparecer duas vezes no termo e, com isso, o sinal de somatório éredundante e pode ser dispensado. Obtemos:

D vxDt =

∂ vx∂ t + v

j∂

∂ x j vx =

∂ ∂ t + v

j∂

∂ x j

vx

7


22/373

Definimos portanto o operador Derivada Substancial como:

D

Dt =

∂

∂ t + v · grad

Em notação tensorial cartesiana:

D

Dt =

∂

∂ t + v j

∂

∂ x j

1.4 Desenvolvimento da Mecânica dos Fluidos

O desenvolvimento da mecânica dos fluidos pode ser dividido em três fases:

1. Até o fim do século XVII: os trabalhos até essa fase foram essencialmente de naturezaexperimental;

2. A partir do século XVIII, foram desenvolvidos trabalhos analíticos por nomes comoEuler, D’Alembert e Laplace, que não descreviam no entanto muitos dos fenômenos ob-servados experimentalmente. Essa fase coincide com o do apogeu do desenvolvimentoda mecânica;

3. No início do século XX ocorreu notável avanço no desenvolvimento da mecânica dosfluidos, com a descoberta e a formulação das seguintes teorias:

• Camada limite (Prandtl);

• Sustentação aerodinâmica (Lanchester-Prandtl);

• Limite de estabilidade dos escoamentos (Reynolds).

A resolução das equações da mecânica dos fluidos exige, frequentemente, enorme esforçoanalítico. Em muitos casos não se consegue uma solução analítica, sendo necessário recorrerao cálculo numérico. Ainda assim, faz-se necessário simplificar as equações. Em algunscasos restringe-se o número de variáveis espaciais do problema, elimina-se a dependência dotempo e obtém-se equações que se aplicam a importantes classes de problemas de interessetecnológico, como o do aproveitamento de recursos hídricos para a geração de energia elé-trica, o dimensionamento de tubulações e a especificação dos parâmetros de equipamentosde processo, como bombas e compressores.

A dificuldade em tratar os fenômenos que ocorrem nos fluidos decorre de que a evoluçãodo estado do mesmo é regida por leis que se exprimem através de equações a derivadasparciais não-lineares . As equações a derivadas parciais refletem a dependência do estado dofluido em relação à posição: o estado em um ponto não determina o que ocorre em outro, oque equivale a dizer que há muitos graus de liberdade.

A não-linearidade das equações de evolução, a variedade das condições iniciais e decontorno de cada problema são responsáveis pela formidável riqueza dos fenômenos obser-vados nos fluidos, dos quais os fenômenos meteorológicos são exemplo eloquente.

Na segunda metade do século XX descobriu-se, a partir dos trabalhos de Poincaré(1900), que mesmo sistemas com pequeno número de graus de liberdade e cuja evolução

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23/373

é descrita por equações não-lineares determinísticas, podem evoluir de forma imprevisível.Trata-se do fenômeno hoje conhecido como caos determinístico, que discutimos brevementena Sec. (3.15).

Nesse texto, procuraremos apresentar as equações gerais que regem os fenômenos de

transferência, simplificá-las de modo a obter equações de caráter ainda bastante geral eidentificar alguns resultados qualitativos. Não deixamos, no entanto, de abordar algunsproblemas de interesse tecnológico.

1.5 Problemas

1. Mostrar que:

(a) D

Dt(f + g) =

Df

Dt +

Dg

Dt

(b) D

Dt(αf ) = α

Df

Dt

(c) D

Dt(f α) = αf α−1

Df

Dt

onde f = f (t,x,y,z ), g = g(t , x , y, , z ) e α é um número.

2. Mostrar que:

v · Dv

Dt = DDt v

2

2

onde v = v(t,x,y,z ) e v2 = v · v

3. A temperatura dentro de um túnel varia na forma:

T = T 0 − αe−x/L sen 2πtτ

onde T 0, α, L e τ são constantes e x é medido a partir da entrada do túnel. Umapartícula move-se com velocidade v

x = U 0 cos(2πt/τ ) dentro do túnel. Determinar a

taxa de variação de temperatura da partícula.

4. A temperatura T do ar em uma região da atmosfera é dada por:

T = θ0

2x

d +

3y

d +

t2

t20

A velocidade do vento é dada por vx = U (1 + x/d), vy = U (1 − y/d) e vz = 0. Osparâmetros θ0, U , d e t0 são constantes. Determine a taxa de variação da temperaturade uma partícula de fluido localizada em x = 2d, y = 3d, quando t = 2 t0.

9


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10


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Capítulo 2

Conservação da Massa

2.1 Equação da Continuidade

Consideremos um volume de controle V , fixo no espaço, simplesmente conexo, através doqual um fluido com densidade ρ escoa, sendo v o campo de velocidades do escoamento. SejamS a superfície externa que delimita o volume e n o vetor unitário (de comprimento iguala 1), perpendicular à superfície em cada ponto da mesma e orientado para fora, conformemostrado na Fig. (2.1). O princípio de conservação da massa estabelece que:

Taxa de acumulação de massa dentrodo volume, isto é, a quantidade demassa acumulada dentro do volume por

unidade de tempo

= −

Fluxo líquido de massa para forado volume

(2.1)

v

n

S

dA

Figura 2.1: Volume de controle ao qual se aplica oprincípio de conservação da massa. n é o vetor decomprimento unitário perpendicular à superfície ev, a velocidade no elemento de superfície conside-rado.

Expressemos de forma matemá-tica a igualdade acima. A taxa de acu-mulação de massa dentro do volumeV pode ser expressa como a integralsobre todo o volume, da variação daquantidade de massa em cada ponto domesmo:

V

∂

∂ t dm

Por outro lado, a quantidade infinite-simal de massa dm pode ser expressacomo dm = ρ dV . Substituindo essa úl-tima expressão na integral acima e ob-servando que os volumes dV não variamcom o tempo temos:

V

∂

∂ t dm = V

∂

∂ t (ρ dV ) = V

∂ρ

∂ t dV + V

ρ∂ dV

∂ t = V

∂ρ

∂ t dV (2.2)

11


26/373

Para darmos forma matemática ao fluxo líquido de massa para fora do volume V con-sideramos inicialmente uma pequena parte da superfície S conforme mostrado na Fig (2.2).Seja ∆V um elemento de volume do fluido que cruza a superfície em um intervalo de tempo∆t. Sejam n o vetor unitário perpendicular à superfície e v, a velocidade do elementode fluido considerado. Esta velocidade pode ser decomposta em duas componentes, uma

delas paralela a n, que denominamos vn e outra perpendicular a n, que denominamos v p.

A

# x

v p

vn

v

#

n

S

Figura 2.2: Volume de fluido cruzando um ele-mento da superfície de controle S. vn e v p são, res-pectivamente, as componentes de velocidade per-pendicular e paralela à superfície S.

A contribuição do elemento defluido para o fluxo de massa que cruzaa superfície é dada por:

ρ∆V

∆t

O elemento de volume ∆V podeser escrito como o produto de seu com-primento ∆x por sua área transversal∆A, que consideramos paralela à super-fície S . Assim, ∆V = ∆x∆A e pode-mos re-escrever o fluxo de massa quecruza a superfície como:

ρ∆V

∆t = ρ

∆x

∆t ∆A

O termo ∆x/∆t é precisamente a com-ponente da velocidade do elemento de fluido paralelo a n. Apenas essa componente contri-

bui para o fluxo de massa que cruza a superfície. Esta componente pode ser escrita comovn = v ·n. Dessa forma, a contribuição do elemento dV para o fluxo de massa toma a forma:

ρ∆V

∆t = ρ v · n∆A.

Se a componente vn tiver o mesmo sentido da normal n, isso é, se o elemento de volumedV estiver cruzando a superfície para fora da mesma, o produto v · n será positivo e se acomponente vn tiver sentido oposto a n o produto escalar será negativo. Ao integrarmosa expressão acima ao longo de toda a superfície S fazemos automaticamente o balanço dofluxo de massa que sai menos o que entra no volume V . Assim, o fluxo líquido para fora dovolume é:

S

ρ v · n dA. (2.3)

Substituindo as expressões (2.2) e (2.3) no balanço de massa (2.1) obtemos a forma integralda equação de conservação da massa[40, 35, 5, 3, 53, 17, 60, 13]:

V

∂ρ

∂ t dV = −

S

ρ v · n dA. (2.4)

Essa equação relaciona a taxa de acumulação de massa em um volume finito com obalanço dos fluxos de massa que cruzam a superfície. Trata-se de uma equação integral . Pro-curamos agora uma expressão local, isto é, uma equação diferencial que traduza o princípio

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de conservação da massa. Lembrando que, de acordo com o teorema de Gauss: V

div q dV =

S

q · n dA

ou V

div ρv dV =

S

ρv · n dA

utilizamos esse teorema para reescrever a Eq. (2.4): V

∂ρ

∂ t dV = −

V

div ρv dV.

ou:

V ∂ρ

∂ t + div ρv dV = 0

Como essa equação deve ser válida para quaisquer volumes de controle, devemos ter, paraum volume infinitesimal:

∂ρ

∂ t + div ρv = 0 (2.5)

que é a equação da continuidade[40, 35, 5, 3, 53, 17, 60]:

Em coordenadas cartesianas:

∂ρ

∂ t +

∂

∂ x (ρvx) +

∂

∂ y (ρvy) +

∂

∂ z (ρvz) = 0 (2.6)

Em coordenadas cilíndricas:

∂ρ

∂ t +

1

r

∂

∂ r(ρrvr) +

1

r

∂

∂θ(ρvθ) +

∂

∂ z (ρvz) = 0 (2.7)

Em coordenadas esféricas:

∂ρ

∂ t +

1

r2∂

∂ r(ρr2vr) +

1

r sen θ

∂

∂θ(ρvθ sen θ) +

1

r sen θ

∂

∂φ(ρvφ). = 0 (2.8)

Podemos reescrever a equação da continuidade (coordenadas cartesianas) como segue:

∂ρ

∂ t +

∂

∂ x(ρvx) +

∂

∂ y(ρvy) +

∂

∂ z (ρvz) =

∂ρ

∂ t + vx

∂ρ

∂ x + vy

∂ρ

∂ y + vz

∂ρ

∂ z + ρ

∂ vx∂ x

+ ∂ vy

∂ y +

∂ vz∂ z

= 0

ou:

∂ρ

∂ t + v · grad ρ + ρ div v = 0.

Essa equação pode também ser escrita como:

13


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$

y

x

r

z

$

y

x

z

%

(a) (b)

Figura 2.3: Sistemas de coordenadas cilíndricas (a) e esféricas (b). A definição das coorde-nadas curvilíneas acima mostrada é usada em todo esse trabalho.

∂ ∂ t

+ v · grad

ρ + ρ div v = 0.

ou:

Dρ

Dt + ρ div v = 0.

Na notação dos tensores cartesianos, a equação da continuidade toma a forma:

∂ρ

∂ t +

∂

∂ x j(ρv j) = 0. (2.9)

Em resumo, a equação da continuidade pode ser escrita em qualquer das formas abaixo,em coordenadas cartesianas:

Tabela 2.1: Formas da equação da continuidade

Forma vetorial Forma tensorial

∂ρ

∂ t + div ρv = 0

∂ρ

∂ t +

∂

∂ x j(ρv j) = 0

∂ρ∂ t

+ v · grad ρ + ρ div v = 0 ∂ρ∂ t

+ v j∂ρ

∂ x j+ ρ ∂ v

j

∂ x j= 0

Dρ

Dt + ρ div v = 0

Dρ

Dt + ρ

∂ v j∂ x j

= 0

1

ρ

Dρ

Dt + div v = 0

1

ρ

Dρ

Dt +

∂ v j∂ x j

= 0

As fórmulas de transformação das componentes da velocidade, do sistema de coorde-nadas cartesiano para o cilíndrico e vice-versa, bem como entre os sistemas de coordenadascartesiano e esférico são dadas abaixo (Bird et al., 1960 [5]):

14


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Tabela 2.2: Relações entre as componentes da velocidade em diversos sistemas de coorde-nadas

Do sistema cartesiano para o cilíndrico Do sistema cilíndrico para o cartesiano

vr = vx cos θ + vy sen θ + 0 vz vx = vr cos θ − vθ sen θ + 0 vzvy = vr sen θ + vθ cos θ + 0 vz vθ = −vx sen θ + vy cos θ + 0 vzvz = 0 vx + 0 vy + vz vz = 0 vx + 0 vy + vz

Do sistema cartesiano para o esférico

vr = vx sen θ cos φ + vy sen θ sen φ + cos θ vzvθ = vx cos θ cos φ + vy cos θ sen φ − vz sen θvφ = −vx sen φ + vy cos θ + 0 vz

Do sistema esférico para o cartesiano

vx = vr sen θ cos φ + vθ cos θ cos φ − vφ sen φvy = vr sen θ sen φ + vθ cos θ sen φ + vφ cos φvz = vr cos θ − vθ sen θ + 0 vφ

A não-linearidade inerente aos fenômenos que ocorrem em fluidos já se manifesta naequação da continuidade, onde o termo div ρv é não-linear pois contém o produto de duasincógnitas: a massa específica e a própria velocidade. Em alguns casos no entanto, a equaçãoda continuidade torna-se linear:

1. ∂ρ/∂ t = 0 e grad ρ = 0, que é o caso de fluidos incompressíveis. Nesse caso a equaçãoda continuidade reduz-se a:

div v = 0 ou ∂ v j

∂ x j= 0

2. Escoamento estratificado, isto é, em camadas de fluidos imiscíveis. Neste caso ∂ρ/∂ t =0 e grad ρ ⊥ v. A equação da continuidade toma a forma:

Dρ

Dt = 0

3. Acústica: Trata-se do caso em que a densidade do fluido está sujeita a variaçõespequenas em torno de um valor médio, ρ0. Escrevemos ρ = ρ0 + ρ, onde ρ0 nãodepende nem do tempo nem da posição no espaço. A equação da continuidade tomaa forma:

∂

∂ t(ρ0 + ρ

) + v · grad (ρ0 + ρ) + (ρ0 + ρ

)div v = 0.

Essa equação se simplifica se considerarmos que ρ0 não depende nem do tempo nem daposição, que (ρ0 + ρ) ≈ ρ0 e que v ∂ρ/∂ t. A equação da continuidade se reduz a:

∂ρ

∂ t + ρ0 div v = 0,

que é uma equação linear.

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Linhas de Corrente são linhas tangentes em todos os pontos, ao vetor velocidade. As linhasde corrente coincidem com as trajetórias quando o escoamento se dá em regime permanente.Um tubo de Corrente é formado pelas linhas de corrente que se apoiam em uma curvafechada, conforme mostrado na Fig. (2.4).

Figura 2.4: Tubo de corrente.

A equação da continuidade aplicada atubos de corrente, em regime permanente, re-sulta em:

V

∂ρ

∂ t dV = −

S

ρ v ·n dA = 0 −→ S

ρ v ·n dA = 0

C 1

ρ v · n dA + .

C 2

ρ v · n dA = 0.

Se a velocidade for constante ao longo de cadaentrada ou saída do tubo de corrente:

−(ρvA)entrada + (ρvA)saída = 0.Havendo mais de uma entrada e uma saída do tubo de corrente:

−

(ρvA)entradas +

(ρvA)saídas = 0 −→

(ρvA)s =

(ρvA)e

No sistema de unidades SI:

[ρvA] = kg

m3m

s m2 =

kg

s

Se a densidade for constante:

−

(vA)e +

(vA)s = 0 −→

(vA)s =

(vA)e

Unidades:

[vA] = m

s m2 =

m3

s

x

y

B

A

Figura 2.5: Vazão através de uma curva li-gando duas linhas de corrente.

O princípio de conservação da massapermite definir, para o caso de escoamentosbi-dimensionais, uma função corrente, a par-

tir da qual pode-se determinar o campo develocidades. O emprego da função correntereduz o número de incógnitas e, consequente-mente, o numero de equações do problema.

Consideremos um escoamento perma-nente e bi-dimensional (∂ /∂ z = 0) entre duaslinhas de corrente, conforme mostrado naFig. 2.5. O fluxo de massa por unidade de

altura na direção z , ao longo do arco AB é dado por:

ṁ

L = BA

ρ v · n dl.

16


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As componentes do vetor n são definidas a partir do vetor tangente à curva, de compri-mento dl = (dx; dy). O vetor perpendicular à tangente e orientado para fora da curvatem componentes (dy; −dx). Para obtermos o vetor n, de comprimento unitário, dividimosas componentes do vetor normal por seu comprimento, [(dy)2 + (−dx)2]1/2 = dl. O vetornormal à direção da curva e de comprimento unitário é definido portanto como:

n = dy

dli − dx

dl j.

Obtemos a seguinte expressão para a vazão por unidade de altura do canal:

ṁ

L =

BA

ρ(vx; vy) ·

dy

dl; −dx

dl

dl =

BA

ρ(vx dy − vy dx).

Cada linha de corrente pode ser caracterizada pela vazão entre a mesma e a origem. Estefluxo é a base da descrição de campos bi-dimensionais pelo método das linhas de corrente.Definimos a Função Corrente como sendo:

Ψ =

P O

ρ v · n dl =

P O

ρ(vx dy − vy dx).

Outra definição da função corrente, aplicável a escoamentos com densidade constante é:

ψ =

P O

(vx dy − vy dx).

Unidades:

[Ψ] = kg

m3m

s m =

kg

m s [ψ] =

m

s m =

m2

s

A vazão entre duas linhas de corrente será:

∆ψ = ψB − ψANo limite de A −→ B:

dψ = vx dy − vy dxComo as variações de ψ só dependem dos pontos inicial e final, dψ pode ser consideradacomo uma diferencial total:

dψ =

∂ψ

∂ x dx +

∂ψ

∂ y dy

Comparando as duas últimas equações vemos que:

vx = ∂ψ

∂ y vy = −∂ψ

∂ x

Substituindo a função corrente na equação da continuidade para o caso de escoamentosincompressíveis obtemos:

∂ vx∂ x

+ ∂ vy

∂ y +

∂ vz∂ z

= ∂

∂ x

∂ψ

∂ y − ∂

∂ y

∂ψ

∂ x +

∂ vz∂ z

= ∂ vz

∂ z = 0

o que mostra que a função corrente só existe em escoamentos tri-dimensionais se ∂ vz/∂ z = 0.

17


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$ x

y

B

A

Figura 2.6: Cálculo da vazão através de umacurva ligando duas linhas de corrente, utili-zando coordenadas cilíndricas.

Consideremos o caso de coordenadas pola-res, conforme Fig. (2.6): a contribuição devr para a vazão total através do arco AB édada por vrr dθ, ao passo que a contribuiçãode vθ é

−vθ dr.

Vazão total:

dψ = vrr dθ − vθ drdψ =

∂ψ

∂ r dr +

∂ψ

∂θ dθ

Portanto:

vrr = ∂ψ

∂θ −→ vr = 1

r

∂ψ

∂θ

−vθ = ∂ψ

∂ r −→ vθ = −∂ψ

∂ r

Exemplo: A componente de velocidade vx de um escoamento bi-dimensional incompressívelé vx = Ax3+ By2. Determinar a expressão de vy. O escoamento é irrotacional? Determinara forma da função corrente.

Continuidade: ∂ vx

∂ x +

∂ vy∂ y

= 0

∂ vy∂ y

= −∂ vx∂ x

= −3Ax2 −→ vy =

−3Ax2 dy = −3Ax2y

rot v =

i j k∂

∂ x

∂

∂ y

∂

∂ z Ax3 + By2 −3Ax2y 0

=

∂

∂ x(−3Ax2y) − ∂

∂ y(Ax3 + By2)

k = −(6Axy + 2By)k

Função corrente:

ψ = P 0

(vx dy − vy dx) = y0

(Ax3 + By2)dy + x0

3Ax2y dx = 2Ax3y + B3 y3

Exemplo: Um escoamento incompressível tem as seguintes componentes de velocidade:

vr = A

r vθ =

A

r vz = 0

Mostrar que o escoamento satisfaz à equação da continuidade e deduzir a equação das linhasde corrente.

Continuidade: ∂ρ

∂ t

+ div ρv = 0

Incompressível: div v = 0

18


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Equação da continuidade em coordenadas polares:

ρ1

r

∂

∂ r(rvr) + ρ

1

r

∂ vθ∂θ

+ ρ∂ vz∂ z

= 0

1

r

∂

∂ r (rvr) + 1

r

∂ vθ∂θ = 0

∂

∂ r(rvr) +

∂ vθ∂θ

= vr + r∂ vr∂ r

+ ∂ vθ

∂θ = 0

A

r + r

∂

∂ r

A

r

+

∂

∂θ

A

r

=

A

r

− r

A

r2

= 0

Função corrente:

vr = A

r

= 1

r

∂ψ

∂θ −→ ∂ψ

∂θ

= A

vθ = −∂ψ∂ r

−→ ∂ψ∂ r

= −Ar

ψ =

P 0

∂ψ

∂θ dθ +

∂ψ

∂ r dr =

P 0

A dθ − A drr

−→ ψ = A(θ − ln r)

2.2 Problemas

1. Água entra em um canal bi-dimensional de

largura constante h = 100 mm, com veloci-dade uniforme U . O canal faz uma curva de90◦, que distorce o escoamento, de tal modoque o perfil de velocidades na saída tem aforma linear mostrada na figura ao lado, comvmax = 2, 5 vmin. Determinar vmax, sabendoque U = 5 m/s.

max

U

v

v

min

2. Uma curva redutora de um conduto com se-

ção transversal retangular opera conforme oesquema ao lado. O perfil de velocidades va-ria ao longo da entrada (seção 1) de formalinear e é uniforme nas seções 2 e 3. Deter-minar a magnitude e sentido da velocidadena seção 3.

1maxv =1,0 m/s

0 1 m

2v =1,0 m/s

0,15 m

1

3

0,2 m2

3. Água escoa em regime permanente através de um tubo de seção transversal circular eraio R = 3 m. Calcular a velocidade uniforme U na entrada do tubo, sabendo que adistribuição de velocidades na saída é dada por:

19


34/373

vx = V max

1 − r2

R2

V max = 3 m/s

x

r

4. Uma aproximação para a componente vx da velocidade em uma camada-limite bi-di-mensional, permanente e incompressível que se forma sobre uma placa plana é dadapela forma:

vxU

= 2y

δ −

yδ

2 &U x

com vx = 0 na superfície da placa (y = 0) e vx = U em y = δ , onde δ = cx1/2 ec é uma constante. Obter uma expressão para vy.

5. O campo de velocidades de um fluido é apresentado por v = (Ax + B) i + Cy j + Dt k,onde A = 2 s−1, B = 4 ms−1e D= 5 ms−2 e as coordenadas são medidas em metros.Pede-se:

• Sendo o escoamento incompressível, determinar o valor de C ;

• Calcular a aceleração de uma partícula que passe pelo ponto (x, y) = (3, 2).

6. Verificar se os campos de velocidade abaixo correspondem a fluidos compressíveis ounão:

• v = (y ln x + 3xy2

−xz 2) i

−(y2/(2x) + y3) j + z 3/3 k

• v = x sen y i + y cosx j

7. Água (ρ = 995 kg/m3) escoa em um tubo verti-cal de raio R1 = 25 mm, com velocidade de 6 m/s.O tubo é conectado ao espaço compreendido en-tre duas placas paralelas, espaçadas de 5 mm en-tre si. Nesta região, a água escoa radialmente.Calcular a velocidade do escoamento em um raioR2 = 60 mm.

8. Água (ρ = 995 kg/m3) escoa em um tubo de diâ-metro d = 80 mm, com perfil de velocidades con-forme mostrado na figura ao lado. Calcular a vazãoem massa e o fluxo de quantidade de movimentoatravés de uma seção transversal do tubo.

2 cm

2 cm2 m/s

9. A componente tangencial de um escoamento incompressível com simetria axial é dadapor:

vθ =

10 + 40

r3

sen θ

20


35/373

Determinar vr(r, θ) e rotv sabendo que vr(2, θ) = 0. O operador rotacional é dadopela expressão abaixo, em coordenadas cilíndricas:

rotv = ∇×v = 1

r

∂ vz∂θ

− ∂ vθ∂ z er

+

∂ vr∂ z

− ∂ vz∂ r eθ

+

1

r

∂ rvθ∂ r

− 1r

∂ vr∂θ ez

10. Um fluido incompressível com densidade ρ escoa em regime permanente, em um tubode raio R. O perfil de velocidades é dado por:

vz(r) = −dp/dz

4µ

R2 − r2

onde p = p(z ) é a pressão na seção transversal de coordenada z , dp/dz , uma constantee µ, a viscosidade do fluido. Calcular os fluxos de massa, quantidade de movimento eenergia cinética através da seção transversal do tubo.

11. Qual é a forma mais geral de um campo de velocidades com simetria esférica e pura-mente radial, isso é, quando vr = 0 e vθ = vφ = 0?

21


36/373

22


37/373

Capítulo 3

Conservação da Quantidade de

Movimento

3.1 Introdução

Este capítulo aborda as equações que resultam da aplicação do princípio de conservação daquantidade de movimento. As equações são obtidas em um referencial inercial, seguindoo mesmo procedimento adotado na obtenção das de conservação da massa: consideramosum volume de controle fixo no campo de velocidades de um fluido e estabelecemos umaequação integral aplicável a esse volume. A seguir obtemos a equação de conservação daquantidade de movimento na forma diferencial, utilizando o teorema de Gauss. A maior

parte das deduções é feita usando a notação tensorial cartesiana, já utilizada no capítulo 2.Para expressarmos as tensões que atuam na superfície de uma partícula de fluido

necessitamos de uma relação constitutiva . Exemplo de relação constitutiva é a lei de Hook,que relaciona o estado de tensões em um sólido com o campo de deformações a que omesmo está submetido. No caso de um fluido, o único tipo de tensões que o mesmo suportaem estado de repouso é o de compressível causado por efeito da pressão termodinâmica,perpendicular à superfície. No entanto, por efeito da viscosidade, os fluidos em movimentosuportam tensões de cisalhamento, paralelas à superfície, bem como de tração. O fluidofica sob um estado de tensões, em consequência do movimento relativo entre as camadas defluido. Esse estado depende da taxa de deformação de uma partícula de fluido. Estudamosalgumas propriedades do tensor de tensões e o caso de fluidos newtonianos , que abrange amaior parte dos fluidos de interesse na engenharia. No caso de fluidos newtonianos obtém-se a equação de Navier-Stokes . Caso particular das equações obtidas ocorre quando aviscosidade do fluido pode ser desprezada. Para esse caso, obtemos as equações de Euler ede Bernoulli.

O equacionamento do princípio de conservação da quantidade de movimento, tal comoaqui apresentado, aplica-se à determinação do estado de tensões em sólidos. Sólidos efluidos diferenciam-se apenas pela equação constitutiva, que exprime as tensões em função degradientes de deformação, no primeiro caso e do gradiente de velocidades no segundo. Dadaa proximidade entre os dois problemas, apresentamos brevemente as equações fundamentaisque regem a distribuição de tensões em sólidos, tratamos do caso de pequenas deformações

23


38/373

e da equação constitutiva de sólidos elásticos, isotrópicos ou não. Finalmente, abordamos ocaso de fluidos em repouso, isso é a hidrostática.

Consideremos inicialmente a variação da quantidade de movimento de um corpo rígidoapoiado sobre uma superfície horizontal. A taxa de variação de uma componente genérica

da quantidade de movimento é dada por:m

dvidt

=

F i

Na direção vertical:

F z = −mg + F v = 0Distinguimos dois tipos de forças na expressão acima: o peso, que é uma força de volume ,aplicada à distância, sem contato direto do corpo que a aplica e a reação da superfíciehorizontal, que é uma força de superfície , aplicada por contato.

Na direção horizontal, temos:

F x = F − µmg (F > µmg)d

dt(mvx) = F − µmg

onde µ é o coeficiente de atrito entre o corpo e a superfície e F , a resultante das forças nadireção, excetuando-se a de atrito. O exemplo acima ilustra o caso de um corpo sólido, emque a taxa de variação da quantidade de movimento é igual à resultante das forças aplicadas.

3.2 Equação de Conservação da Quantidade de Movi-mento

Consideremos agora um volume fixo no campo de velocidades de um fluido. A taxa devariação da quantidade de movimento deste volume deve incluir, alem da resultante dasforças aplicadas, o balanço do fluxo de quantidade de movimento através das paredes dovolume [40, 35, 5, 3, 53, 17, 60]. Esquematicamente (ver Fig. 3.1):

Taxa de acumulação de quantidade demovimento dentro do volume de con-

trole, isto é, variação da quantidade demovimento dentro do volume por uni-dade tempo

= −

Fluxo líquido de quantidade de

movimento para fora do volume

+

Resultante das forças aplicadas àsuperfície de controle

+ (Resultante das forças de volume ) (3.1)

Expressemos cada uma das parcelas acima em forma matemática. A taxa de acumu-lação da componente na direção genérica na direção do vetor unitário ei, da quantidade demovimento dentro do volume de controle é dada por:

V

∂

∂ t

(ρvi) dV

24


39/373

v

dFn

S dA

Figura 3.1: Volume de controle ao qual seaplica o princípio de conservação da quan-tidade de movimento. n é o vetor de com-primento unitário perpendicular à superfícieno elemento de área considerado, v, a veloci-

dade do fluido nesse ponto e d F, a força desuperfície agindo no mesmo.

Vimos no capítulo 2, que o fluxo demassa através de um elemento de área dA dasuperfície de controle é dado por ρ v jn j dA.Esse termo expressa a quantidade de massaque cruza o elemento de área por unidade

de tempo. Se o multiplicarmos pela com-ponente na direção genérica i da quantidadede movimento por unidade de massa, isso épelo vetor velocidade nessa direção, teremosuma expressão para o fluxo daquela compo-nente da quantidade de movimento que cruzao elemento de área: ρviv jn jdA. Integrandoesse termo ao longo de toda a superfície decontrole teremos o fluxo líquido dessa com-ponente da quantidade de movimento para

fora da superfície de controle S

ρviv jn jdA

Mostramos, no apêndice B, que as tensões que atuam sobre a superfície de um elementode fluido formam um tensor de segunda ordem e que o divergente desse tensor é igual àresultante das forças de superfície por unidade volume, que age sobre o elemento. Adaptamosesse resultado para determinar a força que atua sobre um elemento da superfície de controleque consideramos: sendo a área um objeto vetorial, os elementos de área da superfície decontrole podem ser projetados nas direções dos eixos de coordenadas. Assim, a força queage na direção x de um elemento de área se expressa como:

dF x = (σxx nx + σxy ny + σxz nz)dA (3.2)

onde nxdA, nydA, nzdA são as projeções da área elementar na direção de cada um dos eixos.Na direção genérica, do eixo xi:

dF i = σij n jdA (3.3)

As Eqs. (3.2) e (3.3) estão baseadas na hipótese de que a força agindo sobre o elemento deárea se expressam como uma combinação linear das projeções do vetor unitário n. E, sendoesse vetor multiplicado por uma matriz, o vetor força resultante não tem necessariamente adireção normal à superfície, o que ocorre em presença de tensões de cisalhamento.

A resultante das forças que atuam sobre a superfície de controle é obtida pela integra-ção da Eq. (3.2) ao longo daquela:

F i =

S

σij n jdA

Por fim, a resultante das forças de volume é dada por:

V

ρgidV

25


40/373

Reagrupando os quatro termos obtemos a forma integral da equação de conservação daquantidade de movimento:

V ∂

∂ t (ρvi) dV = − S

ρviv jn jdA + S σij n jdA + V

ρgidV (3.4)

Em notação vetorial: V

∂

∂ t(ρv) dV = −

S

ρv(v · n) dA +

S

σn dA +

V

ρg dV (3.5)

O passo seguinte consiste em transformar as integrais de superfície em integrais devolume por intermédio do teorema de Gauss, de forma a que possamos obter a equação deconservação da quantidade de movimento na forma diferencial. Observamos que o termoρviv j representa o elemento geral de um tensor de segunda ordem. O divergente dessetensor é obtido da mesma forma que o do tensor de tensões (ver apêndice B). Reescrevendo

a Eq. (3.4) com todos os termos na forma de integrais de volume, temos para a taxa devariação da quantidade de movimento na direção xi dentro do volume de controle:

V

∂

∂ t(ρvi) dV = −

V

∂

∂ x j(ρviv j) dV +

V

∂σij

∂ x jdV +

V

ρgi dV

Essa equação deve ser válida para volumes de controle de qualquer dimensão, inclusivepara volumes infinitesimais. Considerando um volume infinitesimal e dividindo a equaçãoresultante por dV encontramos:

∂

∂ t(ρvi) =

− ∂

∂ x j(ρviv j) +

∂σij

∂ x j+ ρgi

Reagrupando os termos:

∂

∂ t(ρvi) +

∂

∂ x j(ρviv j) =

∂σij

∂ x j+ ρgi. (3.6)

Na forma vetorial:

∂

∂ t(ρv) + div (ρvv) = div σ + ρg

O membro esquerdo da Eq. (3.6) simplifica-se conforme abaixo:

∂

∂ t(ρvi) +

∂

∂ x j(ρviv j) = ρ

∂ vi∂ t

+ vi∂ρ

∂ t + ρv j

∂ vi∂ x j

+ vi∂ρv j∂ x j

=

ρ

∂

∂ t + v j

∂

∂ x j

vi + vi

∂ρ

∂ t +

∂ρv j∂ x j

= ρ

DviDt

+ vi

∂ρ

∂ t +

∂ρv j∂ x j

A expressão que se encontra dentro do último par de parênteses acima é igual a zero pelaequação da continuidade (Eq. 2.9). A Eq. (3.6) toma portanto, a forma:

DviDt =

1

ρ

∂σij

∂ x j + gi (3.7)

26


41/373

Na forma vetorial:

Dv

Dt =

1

ρdiv σ + g

É conveniente decompormos o tensor de tensões σ

na soma de um tensor devido àpressão p mais outro, τ devido à viscosidade:

σij = − pδ ij + τ ij (3.8)onde:

δ ij =

1 se i = j0 se i = j

δ ij é o elemento geral do tensor identidade, em que os elementos ao longo da diagonalprincipal são iguais a 1 e os demais, iguais a zero. Em notação vetorial:

σ = − p 1 + τ onde 1 é a matriz identidade A equação da quantidade de movimento toma a forma:

DviDt

= −1ρ

∂

∂ x j( pδ ij) +

1

ρ

∂τ ij

∂ x j+ gi. (3.9)

Em notação vetorial:

Dv

Dt = −1

ρdiv( p 1) +

1

ρdiv τ + g. (3.10)

Desenvolvemos a seguir o termo

∂

∂ x j ( pδ ij):∂

∂ x j( pδ ij) =

∂

∂ x1( pδ i1) +

∂

∂ x2( pδ i2) +

∂

∂ x3( pδ i3)

Como δ ij = 0 se i = j apenas o termo em que j toma o valor particular atribuído a i édiferente de zero, o que faz com que a soma acima se reduza a:

∂

∂ x j( pδ ij) =

∂ p

∂ xi(3.11)

Mas ∂ p/∂ xi é uma das componentes de grad p, o que nos permite escrever, em notação

vetorial:−div( p 1) = −grad p.

Levando o resultados obtido com a Eq. (3.11) à Eq. (3.9) obtemos:

DviDt

= −1ρ

∂ p

∂ xi+

1

ρ

∂τ ij

∂ x j+ gi. (3.12)

Em notação vetorial:

Dv

Dt = −1

ρgrad p +

1

ρdiv τ + g. (3.13)

27


42/373

Tabela 3.1: Formas da equação conservação da quantidade de movimento (coordenadascartesianas).

Forma vetorial Forma tensorial∂ v

∂ t + v · grad v = −1

ρgrad p +

1

ρdiv τ + g

∂ vi∂ t

+ v j∂ vi∂ x j

= −1ρ

∂ p

∂ xi+

1

ρ

∂τ ij

∂ x j+ gi

Dv

Dt = −1

ρgrad p +

1

ρdiv τ + g

DviDt

= −1ρ

∂ p

∂ xi+

1

ρ

∂τ ij

∂ x j+ gi

Em coordenadas cilíndricas [3, 5]:

∂ vr∂ t

+ vr∂ vr∂ r

+ vθ

r∂ vr∂θ

− v2θr

+ vz∂ vr∂ z

= −1ρ

∂ p∂ r

+

1

ρ

1

r

∂

∂ r (rτ rr) +

1

r

∂τ rθ

∂θ − τ θθ

r +

∂τ rz

∂ z

+ gr (3.14)

∂ vθ∂ t

+ vr∂ vθ∂ r

+ vθ

r

∂ vθ∂θ

+ vrvθ

r + vz

∂ vθ∂ z

= − 1ρr

∂ p

∂θ +

1

ρ

1

r2∂

∂ r

r2τ rθ

+

1

r

∂τ θθ

∂θ +

∂τ θz

∂ z

+ gθ (3.15)

∂ vz

∂ t

+ vr∂ vz

∂ r

+ vθ

r

∂ vz

∂θ

+ vz∂ vz

∂ z

=

−1

ρ

∂ p

∂ z

+

1

ρ

1

r

∂

∂ r (rτ rz) +

1

r

∂τ θz

∂θ +

∂τ zz

∂ z

+ gz (3.16)

Em coordenadas esféricas1 [3, 5]:

∂ vr∂ t

+ vr∂ vr∂ r

+ vθ

r

∂ vr∂θ

+ vφr sen θ

∂ vr∂φ

− v2θ + v2φ

r = −1

ρ

∂ p

∂ r +

1

ρ 1

r2

∂

∂ rr2τ rr + 1

r sen θ

∂

∂θ

(τ rθ sen θ) + 1

r sen θ

∂τ rφ

∂φ − τ θθ + τ φφ

∂ r + gr (3.17)

∂ vθ∂ t

+ vr∂ vθ∂ r

+ vθ

r

∂ vθ∂θ

+ vφr sen θ

∂ vθ∂φ

+ vrvθ

r − v2φ cot θ

r = − 1

ρr

∂ p

∂θ +

1

ρ

1

r2∂

∂ r

r2τ rθ

+

1

r sen θ

∂

∂θ (τ θθ sen θ) +

1

r sen θ

∂τ θφ

∂φ +

τ rθ

r − cot θ

r τ φφ

+ gθ (3.18)

∂ vφ∂ t

+ vr∂ vφ∂ r

+ vθ

r

∂ vφ∂θ

+ vφr sen θ

∂ vφ∂φ

+ vφvr

r +

vθvφr

cot θ = − 1ρr sen θ

∂ p

∂φ +

1

ρ

1

r2∂

∂ r

r2τ rφ

+

1

r

∂τ θφ

∂θ +

1

r sen θ

∂τ φφ

∂φ +

τ rφ

r +

2cot θ

r τ θφ

+ gφ (3.19)

1Ver a definição do referencial em coordenadas esféricas na Fig. 2.3 (Pág.14).

28


43/373

3.3 Equação de Euler

No caso de fluido sem viscosidade, a Eq. (3.13) reduz-se a:

∂ v

∂ t + v · grad v = −1

ρ grad p + g (3.20)ou:

∂ vi∂ t

+ v j∂ vi∂ x j

= −1ρ

∂ p

∂ xi+ gi (3.21)

que é a Equação de Euler (1775).

A equação de Euler pode ser reescrita sem a pressão, utilizando-se a seguinte identidadevetorial:

v · grad v = grad v2

2 − v × rotv (3.22)onde v2/2 = v · v/2 Combinando a Eqs. (3.13) e (3.22) obtemos:

∂ v

∂ t + grad

v2

2 − v × rotv = − grad p + g

Tomamos agora o rotacional da equação acima. Os termos que contém o operador gradientese anulam pois rot ( grad f ) = 0 (ver Apêndice B). O termo g também se anula aocalcularmos o rotacional pois as derivadas de uma constante são iguais a zero. Temos então:

∂

∂ t ( rotv) = rot (v × rotv) (3.23)

3.4 Simetria do Tensor de Tensões

p

x j

xi

ji " pp

p

ij "

g dV'

Figura 3.2: Forças e tensões agindo sobre umelemento de fluido. Apenas as tensões de ci-

salhamento dão origem a momento.

O tensor de tensões τ é simétrico, isso éτ ij = τ ji. Consideramos um elemento defluido, conforme a Fig. (3.2) e calculamos omomento aplicado ao mesmo. As forças depressão e o peso não produzem momento por-

que estão alinhadas com o centro de massa doelemento. Portanto, apenas as forças devidasà tensões de cisalhamento podem dar origema momento. Do princípio de conservação daquantidade de movimento angular temos queo momento resultante obedece à equação:

M = I ω̇

onde I é o momento de inércia do elemento defluido e ω̇, sua aceleração angular. A massado elemento de fluido é proporcional a ∆x3,

29


44/373

enquanto que seu momento de inércia é proporcional a ∆x5, onde ∆x é a dimensão carac-terística do elemento. O momento de inércia é portanto, duas ordens de grandeza inferior àmassa do elemento. Em consequência, o momento aplicado ao mesmo deve ser duas ordensde grandeza menor do que as forças que atuam sobre o elemento e, para fins práticos, nulo.Para que o momento aplicado seja nulo é necessário que τ ij = τ ji, o que implica na simetria

do tensor de tensões, τ . Cabe observar que os argumentos acima expostos, que mostrama simetria do tensor não fazem nenhuma hipótese sobre como se desenvolvem as tensõesque agem sobre o elemento do contínuo. As tensões podem se originar do deslizamento decamadas adjacentes de fluidos ou de sólidos. O tensor de tensões que agem em sólidos ésimétrico.

3.5 Fluidos Newtonianos

Vimos no capítulo 1, que a tensão de cisalhamento agindo entre camadas de fluido quedeslizam uma sobre as outras podem ser escritas na forma τ xy = µ ∂ vx/∂ y. onde µ é aviscosidade dinâmica do fluido. O termo ∂ vx/∂ y representa a taxa de deformação angularde um elemento de fluido transportado pelo fluido. Assim, podemos afirmar que a tensãode cisalhamento τ xy é proporcional à taxa de deformação angular de um elemento de fluido.Essa observação permite generalizar a expressão acima para o caso em que o fluido tem asduas componentes de velocidade, vx e vy. Neste caso, devemos levar em conta também acomponente ∂ vy/∂ x, no cálculo da taxa de deformação angular de um elemento de fluido.Considerando a soma das duas contribuições, obtemos:

τ xy = µ ∂ vx∂ y

+ ∂ vy

∂ x (3.24)De forma geral:

τ ij = µ

∂ vi∂ x j

+ ∂ v j∂ xi

(3.25)

Vy

Vx+ +

=

Figura 3.3: Deformação de um elemento defluido em presença de um gradiente de velo-cidade.

Essa é a forma da tensão de cisalha-mento de um fluido incompressível. Trata-sede uma relação constitutiva . Fluidos para osquais a tensão de cisalhamento pode ser des-crita na forma acima denominam-se newtoni-

anos . Líquidos cuja estrutura molecular é re-lativamente simples obedecem em geral a essarelação. As tensões de cilhamento agindo emlíquidos com estrutura molecular mais com-plexa, em particular os que de cadeia mole-cular muito longa, em certas emulsões e emmisturas, assim como em líquidos com com-portamento elástico, não são descritas pelarelação acima. Tais fluidos são encontradoscom certa freqüência em problemas de enge-nharia química e de solidificação de materiais

fundidos. Trataremos aqui somente de fluidos newtonianos.

30


45/373

Cabe ressaltar que ao escrevermos a expressão para a tensão de cisalhamento agindona face x, na direção y obteremos:

τ xy = µ

∂ vx∂ y

+ ∂ vy

∂ x

que é idêntica à Eq. (3.24). O tensor de tensões τ obedece ao requisito de simetria, discutidona Sec. (3.4).

A equação (3.25) pode ser generalizada para o caso de fluidos compressıveis. Conside-ramos uma esfera de um fluido compressível dilatando-se e se comprimindo sem alteraçãode forma. Neste caso não há deslizamento entre camadas. adjacentes e portanto não hátensões de cisalhamento paralelas à superfície de cada camada. O único tipo possível detensão é o perpendicular à superfície do elemento de fluido.

Entretanto espera-se que o movimento pulsante se atenue, terminando por cessar intei-ramente e que a atenuação seja tanto mais rápida quanto mais rapidamente a esfera pulsar.

Este movimento implica em variação da densidade da partícula, que pode ser expressa por1/ρ Dρ/Dt = −div v, de acordo com a equação da continuidade. A tensão normal resul-tante é proporcional a div v. Como foi visto no caso da pressão termodinâmica, para quea tensão seja perpendicular à superfície os elementos da diagonal principal do tensor detensões devem ser iguais e os de fora da diagonal devem se anular. Assim, esse tipo detensão normal deve ser da forma:

λ δ ij∂ vm∂ xm

ou: λ I div v

Levando a expressão do temo viscoso devido à variação volumétrica à Eq.(3.25) obtemosa equação constitutiva do tensor de tensões de um fluido newtoniano compressível em sua

forma mais geral[40, 53]:

τ ij = λ δ ij∂ vm∂ xm

+ µ

∂ vi∂ x j

+ ∂ v j∂ xi

. (3.26)

O coeficiente λ denomina-se segunda viscosidade . Observamos que a primeira derivadadentro dos parênteses da equação acima é o termo geral do tensor de segunda ordem grad v.O termo da forma aij. A segunda derivada é da forma a ji , isso é, trata-se do tensor transpostodo gradiente da velocidade. A Eq. (3.26), escrita em notação vetorial é portanto:

τ = λ I div v + ∇v + ∇T v .

3.6 O Caso de Sólidos

A Eq. 3.7 mostra que a aceleração a qual uma partícula do meio contínuo está submetida éproporcional ao divergente do tensor de tensões, acrescida da aceleração da gravidade. Nocaso de sólidos as acelerações são freqüentemente iguais a zero. A Eq. 3.7 simplifica-se etoma a forma:

1

ρ

∂σij

∂ x j + gi = 0 (3.27)

31


46/373

Tabela 3.2: O tensor de tensões de fluidos newtonianos – coordenadas cilíndricas e esféri-cas [3, 5].

Coordenadas cilíndricas Coordenadas esféricas2

τ rr = µ

2∂ vr

∂ r − 2

3∇ · v

τ rr = µ

2∂ vr

∂ r − 2

3∇ · v

τ θθ = µ

2

1

r

∂ vθ

∂θ +

vr

r

− 2

3∇ · v

τ θθ = µ

2

1

r

∂ vθ

∂θ +

vr

r

− 2

3∇ · v

τ zz = µ

2∂ vz

∂ z− 2

3∇ · v

τ φφ = µ

2

1

r sen θ

∂ vθ

∂θ +

vr

r +

vθ cot θ

r

− 2

3∇ · v

τ rθ = τ θr = µr ∂ ∂ r

vθr

+ 1r ∂ vr

∂θ

τ rθ = τ θr = µr ∂ ∂ r

vθr

+ 1r ∂ vr

∂θ

τ θz = τ zθ = µ

∂ vθ

∂ z +

1

r

∂ vz

∂θ

τ θφ = τ φθ = µ

sen θ

r

∂

∂θ

vφsen θ

+

1

r sen θ

∂ vθ

∂φ

τ zr = τ rz = µ

∂ vz

∂ r +

∂ vr

∂ z

τ φr = τ rφ = µ

1

r sen θ

∂ vr

∂φ + r

∂

∂ r

vφ

r

∇ · v = 1r

∂

∂ r(rvr) +

1

r

∂ vθ

∂θ +

∂ vz

∂ z∇ · v = 1

r2∂

∂ rr2vr +

1

r sen θ

∂

∂θ (vθ sen θ)

+ 1

r sen θ

∂ vφ

∂φ

Assim como no caso de fluidos, a matriz σ, de elemento geral σij, é simétrica para que aresultante de momentos aplicados ao elemento de volume seja nula. Introduzimos a definição:

ti = σijn j ou: t = σ · n

onde t é a tensão, ou força por unidade de área, atuando em uma seção do sólido e ti, suacomponente geral.

3.6.1 O tensor de tensões

Com frequência, é necessário representar as componentes do tensor de tensões, em um novoreferencial. A relação entre as componentes do tensor em dois referenciais é dada por [22]:

σkl = aki alj σij

onde akl representa o cosseno do ângulo entre os eixos xk e xk: akl = e

k · ek. Um sistemade coordenadas de especial interesse é o definido pelos eixos principais . Esse referencial

2Ver a definição do referencial em coordenadas esféricas na Fig. 2.3 (Pág.14).

32


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caracteriza-se pela inexistência de tensões de cisalhamento nas faces perpendiculares às trêsdireções principais. A tensão ti, atuando em direção principal é perpendicular à face doelemento e dada por:

ti = σijn j = σδ ijn j

onde σ é o valor numérico da resultante das tensões atuando na

escoamento couette

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