8 Escoamento em Bolha

O escoamento em bolha constitui um importante regime de escoamento na industria em geral

onde o deslocamento de uma bolha solitária, ou de um aglomerado de bolhas, tem merecido

continuado interesse de pesquisadores. Interações entre as forças devido à tensão superficial,

viscosidade, inércia e flutuação produzem uma variedade de efeitos sobre o formato e a trajetória

das bolhas. Freqüentemente as bolhas colidem umas com as outras – constituindo um fenômeno

denominado coalescência (ou fusão) – , podendo provocar a formação de bolhas maiores ou de

golfadas, mudando o regime do escoamento. Por outro lado, se as bolhas forem muito pequenas

estas podem permanecer razoavelmente bem distribuídas, mantendo a característica do regime

de escoamento.

8.1 Tipos de Escoamento

Experimentos mostram que pequenas bolhas solitárias deslocando-se em um líquido tendem a

manter a forma esférica enquanto a velocidade e o número de Reynolds permanecem pequenos.

Todavia, na maioria dos casos práticos, bolhas não possuem a forma esférica, e a interface gás-

líquido assume formas alongadas, achatadas ou elipsoidais. O formato depende do tamanho, da

velocidade de deslocamento, da tensão superficial, da viscosidade, do gás e do líquido.

O complexo processo de interação entre bolhas durante um escoamento no interior de

um duto sugere a formação de três tipos de escoamento em bolha: regime ideal, regime de

transição e regime turbulento-caótico. No regime ideal as bolhas têm diâmetros aproximada-

mente iguais e estão uniformemente distribuídas na seção transversal do duto. Elas sobem à

velocidades iguais, sem interferir umas com as outras. O líquido é pouco perturbado, exceto nas

vizinhanças das bolhas. A prática indica que esta configuração só é obtida sob condições muito

particulares, em geral em laboratório. Todavia, de um modo geral, as bolhas tendem a não ter

formas e diâmetros uniformes, formando esteiras vorticais e coalescência. No regime turbulento-

caótico as bolhas tendem a se concentrar na região central do duto. Líquido é transportado pelas

esteiras e, num processo similar àquele observado no escoamento de altas concentrações da fase

dispersa, o deslocamento ascendente de líquido é compensado pelo escoamento descendente

8.1

deste próximo à parede. Vórtices de tamanho considerável estão presentes e golfadas de gás

podem ser geradas. Por último, o regime de transição é simplesmente caracterizado por uma

elevada indefinição dos dois outros regimes, por isso denominado de transição.

8.2 Movimento de Bolha num Meio Infinito

A ascensão de bolha solitária num meio infinito tem sido objeto de estudo por muito tempo. A

Fig. 8.2.1 mostra os resultados obtidos por Morton1 para a velocidade de ascensão de bolha de

ar em água. No regime AC as bolhas são esféricas (diâmetros inferiores a 1mm) seguem

aproximadamente uma trajetória reta. No regime CD as bolhas têm formato achatado-elipsoidal,

deslocando-se em forma de zig-zag. Na região DE as bolhas estão bastante deformadas,

movimentando-se muito irregularmente. A mudança da forma esférica para elipsoidal aumenta

significativamente o arraste, fazendo com que a velocidade terminal tenda para um limite mais

ou menos fixo.

Figura 8.2.1 Velocidade terminal de bolha solitária de ar em água destilada em função do diâmetro

equivalente da bolha num meio infinito.

1 Haberman, W.I., Morton, R.K., An Experimental investigation of the drag and shape of airbubles rising in various liquids, David Taylor Model Basin Report 802, 1953. Referência em Levy, S.,Two-Phase Flow in Complex Systems, John Wiley & Sons, Cap.4, 1999.

8.2

A Tabela 8.2.1 mostra coeficientes de arraste e velocidades terminais propostas por

Haberman & Morton para vários regimes onde d é o diâmetro da bolha, ñL e ñG as massas

específicas do líquido e do gás, ó a tensão superficial, g a gravidade, ìL a viscosidade do líquido

e de o diâmetro equivalente de uma bolha não esférica de volume Vb, i.e. de = (6Vb/ð)1/3. O

número de Reynolds é definido como (vt é a velocidade terminal num meio infinito)

Posteriormente Peeble & Garber2 e Harmathy3 sugeriram os parâmetros indicados nas

duas últimas linhas da Tabela 8.2.1 para a região CE e a condição: e

Ret > 500, típico de condição caótica-turbulenta (churn-turbulent), Wallis op. cit (Cap.9).

Tabela 8.2.1 Coeficientes de arraste e velocidades terminais de bolha num

meio infinito; regimes definidos na Fig. 8.2.1.

Regime CD vt 4

AB

BC

CD

DE

CEa

CEb

(a) Peebles & Garber 2, (b) Harmarthy 3.

(8.2.1)

2 Peebles,F.N., Garber, H.J., Studies of the motion of gas bubbles in liquids, Chem. Eng. Prog.,

49, 88-97, 1953. 3 Harmathy, T.Z., Velocity of large drops and bubbles in media of infinite and restricted extent,

A.I.Ch.E.J., 6, 281, 1969.

8.3

Observe-se que as expressões para a velocidade terminal para o regime CE sugeridos por Peblees

& Garber e Harmathy dependem exclusivamente das propriedades dos fluidos, sendo

independentes da dimensão da bolha. Citando o trabalho de Shulman e Molstad 4 Wallis destaca

que a expressão de Hamathy é superior para situações de escoamento gás-líquido, enquanto a de

Peebles & Garber seria mais indicada para sistemas líquido-líquido.

Velocidade de Ascensão num Meio Fluido Infinito

Quando uma bolha sobe num meio fluido infinito estagnado, sua velocidade de ascensão vt4 é

determinada pelo equilíbrio entre a flutuação e as forças devido à inércia do fluido, viscosidade

e tensão superficial. A razão entre a força de flutuação e essas três forças pode ser expressa pelos

seguintes grupos adimensionais

onde d= de é diâmetro da bolha e a força viscosa foi obtida a partir da lei de Stokes. O primeiro

grupo está presente quando os efeitos de inércia predominam, enquanto o segundo e o terceiro

se destacam quando a viscosidade e a tensão superficial são importantes. No problema mais geral

os três grupos estão presentes, embora esses possam ser também apresentados pela combinação

dos três. Uma possível recombinação pode produzir

Observe-se que as expressões mostradas na Tabela 8.2.1 empregam os grupos definidos nessas

equações.

Escoamento dominado por inércia. Quando a flutuação é dominada pela força de inércia, a

velocidade de ascensão da bolha é definida pelo primeiro grupo de (8.2.2)

(8.2.2)

(8.2.3)

(8.2.4)

4 Shulman,H.L. e Molstad, M.C., Ind. Eng. Chem. vol 42, p.1058, 1950.

8.4

onde C1 é determinado experimentalmente. O valor mais apropriado para esta situação, aplicado

a duto cilíndrico circular, é C1= 0,345, logo

Escoamento dominado pela viscosidade. No caso em que a flutuação é dominada pela força

devido à viscosidade a velocidade de ascensão é obtida diretamente do segundo grupo de (8.2.2),

ou seja

onde o valor de C2 sugerido por Wallis, op. cit. para duto cilíndrico é C2= 0,01, logo

Escoamento dominado pela tensão superficial. De acordo com estudos recentes, cf.

Tomiyama et al 5, a velocidade de ascensão de uma bolha isolada num meio infinito, dominada

pela tensão superficial, pode ser determinada pela expressão

onde C1 e C2 são constantes a serem determinadas para cada condição específica de escoamento

e d é o diâmetro da bolha (equivalente ao volume esférico para uma bolha irregular).

Caso a esfera não se move, a tensão superficial é dominante, impedindo o movimento.

A interface gás-líquido assume uma configuração tal que a força de flutuação é equilibrada pela

(8.2.5)

(8.2.6)

(8.2.6b)

(8.2.7)

5 Tomiyama, A., Celata, G.P., Hosokawa, S., Yoshida, S., Terminal velocity of singlebubbles in surface tension force dominated regime, Int. J. of Multiphase Flow, vol. 28, No. 9.,pp-1497-1519, Sept. 2002

Tomiyama, A. Single Bubble in Stagnant Liquid and in Linear Shear Flows, Fev. 2015,em http://www.hzdr.de/FWS/FWSF/mtws_02/MTWS5_01_Tomiyama.pdf

8.5

tensão superficial. Para duto cilíndrico circular esta condição ocorre quando o número de Eötvös

(ou número de Bond), referido ao diâmetro do duto (não da bolha), é inferior a 3,37 (Eo < 3,37);

ou seja, quando (ver terceiro grupo na Eq. 8.2.2)

Destaque-se que, neste caso, o número de Eötvös foi definido com relação ao diâmetro do duto.

Numa situação mais geral, o número pode ser definido com base a qualquer comprimento

significativo do escoamento como, por exemplo, o diâmetro da bolha esférica, ou seu diâmetro

equivalente, para uma bolha não esférica. Nas Eqs. (8.2.4-7) os comprimentos de referência são

os respectivos diâmetros das bolhas.

8.3 Escoamento em Duto Vertical

Soluções analíticas para ascensão de bolhas solitárias num meio infinito podem ser obtidas

somente quando a geometria da bolha permanece inalterada. Para uma bolha esférica e número

de Reynolds baixo, a lei de Stokes pode ser utilizada. Neste caso, com o coeficiente de arraste

Cd= 24/Ret (Ret < 0,1) obtém-se para a velocidade terminal a mesma expressão de (1.2.42)

que corresponde a mesma velocidade indicada para o regime AB na Tabela 8.2.1. A equação é

válida para esfera sólida, sendo admitido que a velocidade do líquido na superfície da bolha

tende para zero. Se a superfície da esfera é fluida, não-rígida (i.e., não resistente à tensão

cisalhante), vimos em §1.2.5 que a equação para o coeficiente de arraste (1.2.31) é Cd= 16/Ret,

o que reduz a velocidade terminal para

Esta expressão é válida para líquidos absolutamente livres de impurezas. Na maioria dos casos

aplicados existe certa dose de contaminação, sendo observado que a velocidade de ascensão

ocorre entre os limites dados por essas duas equações, com tendência para a Eq. (8.3.1).

(8.2.8)

(8.3.1)

(8.3.2)

8.6

Velocidade de Retardo para um Aglomerado de Bolhas (Hindered Velocity)

Na medida em que a fração volumétrica de gás se aproxima de zero, a velocidade relativa do gás

com respeito ao líquido, , tende para a velocidade terminal vt4 de uma bolha solitária. No

extremo oposto, para fração volumétrica se aproximando de 1, a velocidade do gás tende para

a do líquido (gás tende a arrastar o líquido). Para uma situação mais geral, Wallis op. cit., sugeriu

que a velocidade de ascensão das bolhas quando uma grande quantidade dessas está presente no

escoamento, constituindo uma aglomerado, ou nuvem de bolhas, a velocidade de deslocamento

é reduzida pela interação entre as bolhas e a parede do duto. A velocidade resultante é então

denominada de velocidade de retardo, ou

Para chegar a esta expressão Wallis utilizou para vt4 as expressões de Peebles & Garber e

Harmathy, indicadas na Tabela 8.2.1, por não dependerem do diâmetro da bolha. Conforme

descrito a seguir, a expressão acima foi posteriormente aperfeiçoada em função de novas

pesquisas na área.

Mais tarde, Zuber & Hench6 consideraram o escoamento laminar em regime permanente

de bolhas desprezando os efeitos devidos à aceleração e ao atrito viscoso. A equação de

quantidade de movimento reduz-se então à forma

Por outro lado, a equação de movimento para uma bolha solitária é (para o escoamento de

Stokes)

Considerando somente o efeito do componente líquido na mistura para a viscosidade, e

correlações especiais para o coeficiente de arraste CD, os autores sugeriram a expressão

(8.3.3)

(8.3.4)

(8.3.5)

(8.3.6)

6 Zuber, N., Hench, J., Steady state and transient void fraction of bubbly systems and theiroperating limits, GE Report 62GL100, July 1962, in Levy, S., Two-Phase Flow in Complex Systems,Cap. 4, John Wiley & Sons, 1999.

8.7

(8.3.9)

Onde, para as diversas regiões definidas na Fig. 8.2.1, o expoente m assume o valor 1 (m= 1) para

a região AB, 1/4 (m= 1/4) na região BC e ½ (m= ½) na região CE.

Cálculo da Fração de Vazio

Da Eq. (8.3.6) pode-se escrever

onde e são as velocidades superficiais de gás e de líquido, e é o fluxo volumétrico total,

ou velocidade superficial média ( ). Vimos que a equação descreve o escoamento em

bolha sem atrito e sem aceleração. Explicitando valores apropriados para os fluxos volumétricos

de gás, de líquido e total QG, QL e QT obtém-se o valor de em (8.3.7) (equações quadráticas

em ). Para os seguintes processos em particular obtém-se

Batch (tanque estagnado)

Ascendente concorrente

Contracorrente

(líquido descendente)

Como visto acima, a diferença de velocidades entre as fases é escrita como

todavia, o deslizamento entre as fases não é simplesmente a diferença entre as velocidades da

fase gás e fase líquido, conforme indicado em (8.3.8). Na realidade, no escoamento no interior

do duto a velocidade do gás refere-se ao centro da mistura em deslocamento. A partir do conceito

do fluxo de deslizamento (drift flux), cf. (5.2.14), tem-se

(8.3.7)

(8.3.8)

8.8

(8.3.10)

(8.3.11)

(8.3.12)

(8.3.13)

(8.3.14)

onde, de (5.2.9), , Co é o parâmetro de distribuição de Zuber e Findlay,

definido em §5.2 para a fase dispersa (bolhas no caso) e é velocidade de deslizamento

real (referida à velocidade superficial média ). Utilizou-se aqui a notação do capítulo 5, ou

seja, valores médios representados por dois colchetas. Para uma função genérica ö temos então

. Logo, retornando à notação deste capítulo, a velocidade de deslizamento deve ser

expressa por

Para um meio infinito estagnado a velocidade de ascensão da bolha vt4 é calculada pela expressão

de Harmathy

Por outro lado, sob a condição de regime de escoamento em bolha, as bolhas deslocam-se em

aglomerado, ou em nuvem. Zuber & Hench, op. cit, sugeriram que, para este regime de fluxo,

a equação de Harmarthy deveria ser corrigida em função da concentração das bolhas (fração de

vazio), conforme sugerido por (8.3.8), e assim chegar a

onde o ângulo è com respeito à horizontal foi aqui introduzido para generalizar a equação para

ângulos no intervalo 0 < è < ð/2. Levando esta expressão em (8.3.9)

ou, após multiplicação por áG e passando todos os termos para o mesmo lado da equação,

Desta forma, fornecendo a vazão de gás e as propriedades do fluido, assim como os valores

numéricos de Co, m e de è, esta equação permite calcular o valor médio da fração de vazio do gás

8.9

. Para escoamento vertical (è=ð/2) Co= 1,2 e m= 1/4 (válido para a região CE na Fig. 8.2.1,

tipicamente para escoamento turbulento caótico, com bolhas com mais de 1 mm de diâmetro).

Para outras regiões pode-se escolher m = ½ ou m= 1, conforme sugerido em (8.3.6). Sendo a

equação transcendental, um procedimento iterativo é necessário para calcular a raiz. Uma boa

opção é o método de Ridder de escalonamento (bracketing), seguido do método das secantes 7.

Outros métodos podem ser igualmente eficientes.

Note-se ainda que, conforme mostrado logo a seguir, o escoamento em bolha só ocorre

para frações de vazio inferiores a 0,25 a 0,30. Acima disso o escoamento é em golfada ou

caótico, ou mesmo anular. Ou seja, a solução para em (8.3.14) deve ser inferior a 0,25.

As equações (8.3.3), (8.3.4), (8.3.5) e (8.3.6) têm sido comparadas com dados

experimentais. A Eq. (8.3.6) é particularmente bem sucedida nas aplicações envolvendo

sedimentação e fluidização em sistemas sólido-líquido com m= 3,5, enquanto a Eq. (8.3.3)

produz bons resultados para escoamentos gás-líquido, apesar do fator (1- ) sugerir condições

de escoamento de Stokes. De forma análoga, a Eq. (8.3.8) com m=1/2 ou m=1/4, e o coeficiente

de arraste de Harmathy, produz bons resultados quando comparado com dados experimentais,

embora utilize uma expressão para condição de fluxo turbulento para a velocidade terminal da

bolha (Hamarthy ou Peebles-Garber). As diferenças entre as diversas propostas de cálculo para

a fração volumétrica de gás acabam não sendo muito importantes devido ao espalhamento dos

dados.

Cálculo do Gradiente de Pressão

O gradiente de pressão para o escoamento no duto é dado pela equação

onde os subscritos m referem-se às variáveis calculadas pelos valores médios dos respectivos

parâmetros, ou seja,

o fator de atrito de Darcy, fm, é calculado por uma das expressões clássicas da literatura, como

Colebrook White ou Churchil, por exemplo, com base no número de Reynolds e na rugosidade

relativa, fm = f(Rem, å/D), com

(8.3.15)

(8.3.16)

7 Press, W.H., Teukolsky, S.A., Vetterling, W.T., Flannery, B.P, Numerical Recepies inFortran, 2nd. ed. Cambridge University Press, Cap. 9, 1992.

8.10

onde D é o diâmetro interno do duto e ìm a viscosidade média da mistura, conforme sugerido por

uma das expressões no §4.3.2. Observe-se que, para o cálculo dos valores médios da massa

específica ñm e viscosidade ìm é necessário conhecer o valor médio da fração de vazio ,

calculado previamente a partir da equação de fluxo de deslizamento (8.3.14).

Valor Máximo da Fração de Vazio de Gás

Consideremos as equações de quantidade de movimento para regime permanente para as duas

fases (ignorando os termos de inércia)

onde p representa a pressão, Pi o perímetro interfacial e ôi a tensão cisalhante interfacial.

Eliminando dp/dz dessas equações

Por outro lado, escrevendo a tensão cisalhante na interface na forma clássica

onde fi é fator de atrito e a velocidade relativa entre as duas fases. Para valores

locais (in situ), cf. Eq. (5.2.6),

logo a velocidade relativa média é

(8.3.17)

(8.3.18)

(8.3.19)

(8.3.20)

(8.3.21)

(8.3.22)

8.11

levando (8.3.20) e (8.3.22) em (8.3.19)

Se o modelo de fluxo de deslizamento de Zuber-Findlay for utilizado, é igual à velocidade

terminal especificada por Harmathy para uma bolha solitária, o que implica que o grupo

em (8.3.23) é uma função exclusiva de e das propriedades dos fluidos. É interessante observar

que este grupo é máximo para , um valor freqüentemente utilizado como limite da

transição entre os escoamentos em bolha e golfada.

Finalmente, destaque-se que o valor médio da diferença das velocidades não é igual à

diferença das velocidades médias, cf. Eq (8.3.10),

As expressões para as velocidades relativas são diferentes; serão iguais se Co=1, ou seja, quando

o fluxo for homogêneo, com velocidades das fases iguais.

LiteraturaAdicional no Tópico

Os seguintes artigos complementam a literatura deste capítulo sobre escoamento em bolhas no

interior de dutos, ambos na bibliografia do site: Shemer, Gulitski e Barnea 8 e Azevedo, Santos,

Faccini e Suc 9.

(8.3.23)

(8.3.24)

8 Shemer L.,A., Gulitski, A., Barnea, D., Movement of Two Consecutive Taylor Bubbles inVertical Pipes, Multiphadse Science and Technology, Vol. 19, No.2, 2007.

9 Azevedo, M.B., Santos, D., Faccini J.,L.H, Suc J., Experimental Study of the Falling Liquidaround a Taylor Bubble, Int. J. of Multiphase Flow, No. 88, pp. 133-141, 2017.

8.12

8.13