eŞanli denklemlİ modellerİn ÇÖzÜm yÖntemlerİ i: matrİssİz ÇÖzÜm:

EŞANLI DENKLEMLİ MODELLERİN ÇÖZÜM

YÖNTEMLERİ I:MATRİSSİZ ÇÖZÜM:

DOLAYLI EKKY2 AŞAMALI EKKY

SINIRLI BİLGİ İLE EÇBY

• Eşanlı denklemli modelin her hangi bir denklemi Basit EKKY ile çözüldüğünde sapmalı, tutarsız tahminler elde edilir.

• Geri Dönüşlü Modellerde ise Basit EKKY uygulanabilmektedir.

• Bu nedenle eşanlı denklemli modellerin çözümü için farklı yöntemler geliştirilmiştir:

1. Dolaylı EKKY

2. 2 Aşamalı EKKY

3. 3 Aşamalı EKKY gibi…

M denklemli M içsel değişkenli yapısal model :

Y1=a12Y2+a13Y3+…a1MYM+b11X1+b12X2+…+b1kXk+u1



YM=aM1Y1+aM2Y2+…aMMYM-1+bM1X1+bM2X2+…+bMkXk+uM

Denklemlerini tahmin edebilmek için iki yaklaşımdan biri kabul edilir:•Sınırlı bilgi yöntemleri•Tam bilgi yöntemleri

•Sınırlı bilgi yöntemleri(=Tek denklem yöntemleri)

Eşanlı denklem sistemlerinin her denklemi, diğer denklemlerden bağımsız şekilde, ferdi olarak tahmin edilir.

• Tam bilgi yöntemleri(=sistem yöntemleri)

Yapısal denklemlerin tamamı aynı anda çözülür.

Sınırlı bilgi yöntemleri• Dolaylı En Küçük Kareler Yöntemi

(=DEKKY)• İki Aşamalı En Küçük Kareler Yöntemi

(=2AEKKY)• Sınırlı Bilgiyle En Çok Benzerlik Yöntemi

(=SBEÇBY)

Tam bilgi yöntemleri• Üç Aşamalı En Küçük Kareler Yöntemi

(3AEKKY)• Tam Bilgiyle En Çok Benzerlik Yöntemi

(=TBEÇBY)

Tam bilgi yöntemlerinin dezavantajları:

• Hesaplamalar fazla ve karmaşıktır

• Parametrelere göre doğrusal olmayan çözümler vermektedir

• Spesifikasyon hatası

sınırlı bilgiye dayalı yöntemler daha kullanışlıdır

Dolaylı En Küçük Kareler Yöntemi(=DEKKY)

• Eşanlı modelin yapısal denklemlerini tek tek çözmeye imkan sağlayan tek denklem yöntemidir.

• Tam belirlenmiş yapısal denklemlerin tahmininde kullanılır.

• Daraltılmış biçim katsayılarının EKK tahminlerinden yapısal model katsayılarının tahminini elde etmeye dayanır.

Dolaylı EKKY’nin varsayımları

• Yapısal denklem tam belirlenmelidir.• Daraltılmış denklem hata terimi (v) için;1. Stokastiktir

2. E(vi)=03. Varyansı eşittir4. Otokorelasyonsuzdur5. Normal dağılır

6. E(viXj)=0• Dışsal değişkenler arasında çoklu doğrusal

bağlantı olmamalıdır

Dolaylı En Küçük Kareler Yöntemi

• Adım 1: Daraltılmış biçim denklemleri elde edilir. Daraltılmış katsayılarla () yapısal katsayılar (a,b,c…) arasındaki bağlantılar elde edilir.

• Adım 2: Daraltılmış biçim denklemleri ayrı ayrı Basit EKKY ile tahmin edilir.

• Adım 3: Daraltılmış katsayılar ile yapısal katsayılar arasındaki bağlantılardan yapısal katsayılar hesaplanır.

Uygulama 1:Gelir Belirleyici Keynezyen Model

Yıl Ct Yt=Ct+It It

1987 9 10 1

1988 10 12 2

1989 12 16 4

1990 14 17 3

1991 15 20 5

0 1 1Tüketimfonksiyonu: (0 1)

Gelir eşitliği:t t t

t t t

C b b Y u b

Y C I

• Tüketim fonksiyonu tam belirlendiğine göre Dolaylı EKKY ile tahmin ediniz.

1. Daraltılmış biçim denklemlerinin elde edilişi:

Gelir Belirleyici Keynezyen Model

1 2

3 4

0 11 2

1 1 1

03 4 2

1 1 1

1( )

1 1 1

1 1( )

1 1 1

t t t t t t t

t t t t t t

b bC f I I v C I u

b b b

bY f I I v Y I u

b b b

2. Daraltılmış biçim denklemlerinin Basit EKKY ile tahmini

2

1 2

3

1 22

4 3 42

4 2

( )

(

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

)

ˆ

t tt t

t

t t t t t

t t t t

t

t tt

t

t

t

t

t t

t t

c ıC I

ı

c C C ı I I

y ıY I

ı

C f I I v

Y f

Y

I I

y Y

v

Yıl Ct Yt=Ct+It It ct yt ıt ctıt ı2 ytıt

1987 9 10 1 -3 -5 -2 6 4 10

1988 10 12 2 -2 -3 -1 2 1 3

1989 12 16 4 0 1 1 0 1 1

1990 14 17 3 2 2 0 0 0 0

1991 15 20 5 3 5 2 6 4 10

60 75 15 0 0 0 14 10 24

2 1

4 3

14ˆ ˆ1.4 ; 12 (1.4)(3) 7.8

1024

ˆ ˆ2.4 ; 15 (2.4)(3) 7.810

3.Yapısal Model katsayılarının elde edilmesi:

01 3 2 1 1 4

1 1

1 22

0

14

0

1

4

1

ˆ 1ˆ ˆˆ ˆ 7.8 ˆ ˆˆ ˆ1 1ˆ 1.4

ˆ 1.4ˆ 2.41

ˆ1ˆ 2.4 7.8ˆ1 1 0.583

ˆ 0.5833

ˆ 3.253

b

b

bb b

b b

b

b

bb

Yapısal Modelin Tahmini (DEKKYModeli)

3.25 0.5833t t

t t t

C Y

Y C I

Marjinal Tüketim Eğilimi

7.8 1.4

7.8 2.4t t

t t

C I

Y I

Tüketim Modeli Daraltılmış BiçimTahmini

Kısa Dönem Yatırım Çarpanları

Uygulama 2:Bir Malın Arz-Talep Fonksiyonu

0 1 2 1

0 1 2 2

(Talep fonk.)

(Arz fonk.)

Q a a P a I u

Q b b P b T u

Q=Denge arz ve talep miktarı (içsel değişken)P=Malın fiyatı (içsel değişken)I=Tüketicilerin geliri (dışsal değişken)T=Teknoloji seviyesi (dışsal değişken)a1<0 a2>0 b1>0

Her iki denklemde tam belirlenmiştir.Talep ve arz denklemlerini Dolaylı EKKY ile tahminleyiniz.

1.Daraltılmış biçim denklemlerinin elde edilişi:

P=1+ 2I+ 3T+v1

Q= 4+ 5I+ 6 T+v2

11

12

11

2

11

2

11

00

ba

uuT

ba

bI

ba

a

ba

abP

11

1121

11

21

11

12

11

1001

ba

ubuaT

ba

baI

ba

ba

ba

babaQ

2.Daraltılmış biçim denklemlerinin Basit EKKY ile tahmini:

1 2 3

22 3

22 3

2 3 1

25 6

25 6

5 6 4

4 5 6

ˆ ˆ , ,

ˆ ˆ ,

ˆ ˆ ˆ0.14 0.28 19.6

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ1.87 1.71 21

19.6 0.14

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

0.28

215 1

5

.8

P I T

Q

P I T

pı ı ıt p P P ı I I

pt ıt t t T T

qı ı ıt

Q

q Q Q

qt ıt t

I T

7 1.71I TDaraltılmış BiçimTahmini

3.Daraltılmış biçim katsayılarından yapısal katsayıların tahmini:

525 1 2 1

1 1 2

626 1 1 3

1 1 3

23

2 2 22

1

1

2

21 1

0 0

( ) 1.87( )

0.14

( ) 1.71

0.28

0.28 0.28( 19.47)6.11 13.36

0

13.36

6.11

5.

.146.11 13.

45

2.36 19.47

19.66.11 1

7

3

3

ab b

a b

ba aa

b

a

b

a

b

b

a a a

a b

b a

0

0 00

.366.11 13.36

2156.11 13.36

95 477b

a ba

3.Daraltılmış biçim katsayılarından yapısal katsayıların tahmini:

ˆTalep Denklemi 95 6.11 2.73

ˆArz Denklemi Q=477+13.36P-5.45T

Q P I

Dolaylı EKK tahminleri:

ˆTalep Denklemi 57 0.86 1.03

ˆArz Denklemi Q=167+3.95P-1.42T

Q P I Basit EKK tahminleri:

Dolaylı EKKY Tahmincilerinin Özellikleri

• Tutarlı ve asimtotik etkindirler, fakat küçük örneklerde sapmalıdırlar.

0 1 2 1

0 1 2

(Talep fonk.)

(Arz fonk.)

Q a a P a I u

Q b b P u

Yapısal Model

Daraltılmış Denklemler

P=1+ 2I+v1

Q= 3+ 4I+v2

4 22 2

1

2 1 1

4 2 2

24 2

1

41

2

ˆ ˆ

ˆ (1)

Daraltılmış Kalıp Denklemlerini Ortalamadan Farklara göre yazarsak;

p= ( ) (2)

q= ( ) (3)

Böylece p ve q yerine konuld

ˆˆ

uğunda

(

ˆ

ˆ

qı pıve

ı ı

qıb

pı

ı v v

ı v

ı vb

b

v

2

22 1 1

24 2 2

1 22 1 1

41

2

lim( )

ˆli

)

( )

lim lim ( ) /ˆlim

lim lim

liml

( ) (4)lim li

iml

m

m

i

/

m

(

(

)

)

v ı

ı v v ı

p p v v ı ıp b

p p

p A B p A p B

A p

p

Ap

B p

ı ı

B

v v

b

AŞIRI BELİRLENMİŞ BİR DENKLEMİN TAHMİNİ:

• İKİ AŞAMALI EN KÜÇÜK KARELER YÖNTEMİ (=2 AEKKY)

İKİ AŞAMALI EN KÜÇÜK KARELER YÖNTEMİ (=2 AEKKY)

1. Tahmin edilecek yapısal denklemin sağında yer alan içsel değişkeni bağımlı değişken olarak alan daraltılmış denklem Basit EKKY ile tahminlenir ve bağımlı değişkenin tahmin değerleri hesaplanır.

2. Tahmin edilecek yapısal denklemin sağında yer alan içsel değişken Yi yerine, değişkeni ikame edilerek elde edilen dönüştürülmüş yapısal denkleme Basit EKKY uygulanır.

Y

İKİ AŞAMALI EN KÜÇÜK KARELER YÖNTEMİ

• Varsayımları:1. Tahmin edilecek yapısal denklemin hata terimi

u’nun bilinen varsayımları sağlaması gerekir.2. Daraltılmış biçim hata terimi v bilinen

varsayımları sağlamalıdır.3. Dışsal değişkenler arasında çoklu doğrusal

bağlantı olmamalıdır.4. Dışsal değişkenler bakımından model doğru

kurulmuş varsayılmaktadır.5. Örnek büyüklüğünün yapısal modeldeki dışsal

değişken sayısından büyük olması gerekir.

Adım 1: Yapısal denklemin sağındaki içsel değişken(ler) ile tüm dışsal değişkenler arasındaki daraltılmış regresyon denklem(ler)i Basit EKKY ile tahmin edilir.

Yi: İçsel Değişken

X: Dışsal Değişken olmak üzere

Yi=ai1Y1+ai2Y2+…+aiMYM+bİ1X1+…+biKXK+ui

=Genel i.yapısal denklem (tahmin edilecek orijinal yapısal denklem)



1 11 1 12 2 1 1

2 21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ...

ˆ ˆ ˆ ˆ...

ˆ ˆ ˆ ˆ...

K K

K K

M M M MK K M

Y X X X v

Y X X X v

Y X X X v

Daraltılmış denklemleri Basit EKKY ile ayrı ayrı tahminlenir ve Yi nin tahmin değerleri hesaplanır:

1 11 1 12 2 1

2 21 1 22 2 2

1 1 2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ...

ˆ ˆ ˆ ˆ...

ˆ ˆ ˆ ˆ...

K K

K K

M M M MK K

Y X X X

Y X X X

Y X X X


1 1 1

2 2 2

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆM M M

Y Y v

Y Y v

Y Y v

Stokastik olmayan sabit X’lerin doğrusal bileşeni

Stokastik kısım


Adım 2: İlk adımda hesaplanan değişkenleri yapısal denklemdeki orijinal Y değişkenleri yerine ALET değişken olarak ikame edilir.

Y

1 1 1 2 2 2

1 1 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 2 2

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ( ) ( ) ... ( )

...

ˆ ˆ ˆ...

ˆ ˆ ˆ... ( ... )

i i i iM M M

i i iK K i

i i i iM M i i

iK K i i i iM M

Y a Y v a Y v a Y v

b X b X b X u

Y a Y a Y a Y b X b X

b X u a v a v a v


*1 1 2 2 1 1

ˆ ˆ ˆ... ...

Dönüşümlü yapısal denklemi i i iM M i iK K iY a Y a Y a Y b X b X u

Y

Bu dönüşümlü yapısal denkleme Basit EKKY uygulanarak yapısal parametreler a, b’lerin 2 AEKK tahminleri hesaplanmış olur. ve u* asimtotik olarak ilişkisizdir. Oysa orijinal yapısal denklemde Y’lerle ui’ler ilişkilidir.

Uygulama 1:Gelir Belirleyici Keynezyen Model

Yıl Ct Yt=Ct+It It

1987 9 10 1

1988 10 12 2

1989 12 16 4

1990 14 17 3

1991 15 20 5

0 1 1Tüketimfonksiyonu: (0 1)

Gelir eşitliği:t t t

t t t

C b b Y u b

Y C I

ADIM 1: Tahmin edilecek orijinal yapısal denklem: C=b0+b1Y+u

Denklemin sağında sadece bir tane Y içsel değişkeni vardır, Bu nedenle Basit EKKY ile tahmin edilecek olan daraltılmış denklem şöyledir:

1 2 1ˆ ˆt tY I v

1 2

1987

1988

1989

1990

1991

ˆ ˆ ˆ 7.8 2.4

ˆ 7.8 2.4(1) 10.2

ˆ 7.8 2.4(2) 102.6

ˆ 7.8 2.4(4) 17.4

ˆ 7.8 2.4(3) 15.0

ˆ 7.8 2

ˆ (alet) değişken

.4(5) 19.8

i değerleri

Y I I

Y

Y

Y

Y

Y

Y

ADIM 2 : İlk aşamada oluşturulan değişkeni orjinal yapısal denklemdeki Y yerine alet değişken olarak alınır.

*0 1

1 2

0 1

ˆ Dönüşümlü yapısal denklem

ˆ 33.6ˆ ˆ ˆˆb 0.5833 ; ,ˆ 57.6

ˆ ˆ ˆb 12 (0.58

3.25 0.5833

2 AEKK TAHMİNİ MOD

33)(15) 3.2

E İ

5

L

t t

t t t

C Y

C b b Y u

cyc C C y Y Y

Y

y

b

C

C Y

I

Y

2.AEKK TAHMİNCİLERİNİN STANDART HATALARININ TAHMİNİ2.AEKKY’nin ikinci aşamasında dönüşümlü yapısal model:

*

*

*0 1

*1 1

2 21

* 2 20 12

0 1

20 12

ˆ

ˆ ˆˆ ˆvar( ) /

ˆ ˆ ˆˆ( ) ( )

2 2ˆ ˆˆ

ˆ ˆ( )

2

u

u

u

C b bY u

u u b v

b y y Y Y

u C b bY

n n

u C b bY

C b bY

n

*

* 2 20 12

ˆ ˆ ˆˆ( ) ( )

2 2u

u C b bY

n n

2

0 12ˆ ˆ( )

2u

C b bY

n

Y YAradaki fark:

Alet Değişken Yöntemi

• Tek denklem yöntemidir.• Aşırı belirlenmiş denklemlerin çözümünde daha

uygundur.• Tahmin edilecek denklemin sağındaki içsel

değişken yerine uygun bir dışsal değişken ikame edilir.

• Böylece denklemdeki u hata terimi ile ilişkili içsel değişken ortadan kalkar ve yerine u ile ilişkisi olmayan bir dışsal değişken alet değişken olarak alınır.

ADIM 1.

• Yapısal denklemin sağında yer alan değişken(ler)in yerine geçecek uygun alet değişken(ler) bulunur.

• Seçilen alet değişken, yapısal denklemde yerine geçeceği içsel değişkenle kuvvetli ilişkili olmalıdır.

• Alet değişkenin yapısal denklemdeki dışsal değişkenlerle arasında zayıf ilişki olmalıdır.

• Yapısal denklemde birden fazla alet değişken varsa, bunlar arasında zayıf ilişki olmalıdır.

ADY

• Yapısal denklemi ortalamadan sapmalara göre yazarak sabit terimini ortadan kaldırırız.

• Her iki tarafı alet değişkeninin ortalamasından farkı ile (ve varsa dışsal değişkenlerin ortalamalarından farkı ile) çarpıp, n gözlem için toplarız.

• Yapısal denklemin bilinmeyen sayısı kadar denklem Basit EKKY ile tahminlenir.

ADIM 2.ADY

ÖRNEK 10 1 1

0 1 2 1 2

0 1 2 2 3

C b bY u

I c c Y c Z u Yapısal Model

Y d d K d Z u

ADIM 1. Tüketim fonksiyonunda Y içsel değişkendir, dışsal değişken yoktur. Y ile u arasında ilişki olduğundan Basit EKKY varsayımları sağlanmamaktadır. Y yerine geçecek bir alet değişken modelin dışsal değişkenleri arasından seçilir.

C, I, Y = içsel değişkenler

Z1,Z2,K = dışsal değişkenler olduğundan Y yerine Z1 değişkenini alet değişken olarak alabiliriz.

ADY

• Tüketim fonksiyonunu ortalamadan sapmalara göre tekrar yazalım:

c=b1y+u1

• Denklemin her iki tarafını z1 ile çarpıp n gözlem için toplayalım:

1 1 1 1 1

11

1

0 1

( ) ( )

ADY tahmincileri

z c b yz z u

czb

yz

b C bY

ADIM 2. ADY

ÖRNEK 20 1 1

0 1 2 1 2

0 1 2 2 3

C b bY u

I c c Y c Z u Yapısal Model

Y d d K d Z u

ADIM 1. İki bağımsız değişkenli ikinci modeli ele alıp ADY ile çözelim. Y içsel değişkendir, Z1dışsal değişkendir.Y ile u2 arasında ilişki olduğundan Basit EKKY varsayımları sağlanmamaktadır. Y yerine geçecek bir alet değişken modelin dışsal değişkenleri arasından seçilir.Y=f(Z1,Z2,K )Daraltılmış kalıptan tahmin edilen değişkenini alet değişken olarak alabiliriz.

Y

ADY

0 1 2 1 2I c c Y c Z u

1 2 1 2

1 1 1

2

, ,

( ) 0

ı c y c z u

ı I I y Y Y z Z Z

E Yu

Yukarıdaki yapısal denklemi ortalamadan farklara göre yazalım:

EKK varsayımı sağlanmamaktadır ve sapma söz konusudur.

Bundan kurtulmak için Y yerine dışsal değişkenini alet değişken olarak alıyoruz.

Y

ADIM 2. ADY

1 2 1

1 2 1

21 1 1

1

2

2

2

1

1

2

ˆ ˆˆ ile her iki tarafı çarparsak

iki bilinmeyenli olduğundan bir

denkleme daha ihtiyaç vardır,

her iki tarafı z ile çarparak:

ˆ( ) 0

ˆ ˆ ˆı

z

)

ı

( 0

y c yy c z y

c z

ı c y c z u

y Y Y

E Yu E Z u

y c z

Buradan alet değişken tahmincileri elde edilir.

• ADIM 1. Y=f(Z1,Z2,K) daraltılmış modeli tahmin edilir. Buradan dışsal değişkenlerin değerleri yerine konularak ler hesaplanır.

• ADIM 2. değişkeni (alet değişkeni)

Regresyon denkleminde Y yerine ikame edilir.

0 1 2 1 2I c c Y c Z u

Y

*0 1 2 1 2

I c c Y c Z u

Y

2AEKKY ve Alet Değişken Yöntemi(Karşılaştırma)

2AEKKY

•Dönüşümlü yapısal denklem :

Basit EKKY uygulanarak hesaplanan tahminler

2 AEKKY tahminleri olur.

Ortalamadan sapmalara göre :

* *0 1 2 1 2 2 2 1 2

ˆ , [ ( )]I c c Y c Z u u u c v

1 2 1

1 2 2 1

21 1 1 2 1

1 2

ˆ

ˆ ˆ ˆ

ˆ

2 AEKKY tahminleri c ?, ?

ı c y c z

ıy c y c z y

ız c z y c z

c

1 2 1ˆˆ ˆı yyy c c z y 2

1 1 2 11ız z yc c z 21 2 1

21 1 21 1

ˆ ˆˆ

ˆ

ıy c c z y

ı

y

z c z y c z

ADY tahminleri ile 2AEKKY tahminlerini karşılaştıralım.

ADY 2AEKKY

1 2 1ı c y c z

Alet değişken y

1 2 1ˆı c y c z

ADY de normal denklemlerin oluşturulmasında fark vardır.

İki Aşamalı EKKY Tahminlerinin Özellikleri

• 2 AEKKY büyük örnekler için daha uygundur, küçük örneklerde sapmalı tahminler verir.

• 2 AEKKY tahminleri tutarlıdır.• 2 AEKKY tahminleri asimtotik etkindirler.• Tam belirlenmiş denklemlerde DEKK ile aynı sonuçları

verir.• Aşırı belirlenmiş denklemler için idealdir.• Hesaplanması kolay ve iyi sonuçlar verir.• Dışsal değişkenin çok olduğu durumlarda örnek hacminin

fazla olması gereklidir.• Spesifikasyon hatalarına karşı hassastır.• Daraltılmış kalıp denklemlerinin belirlikik katsayıları

yüksekse Basit EKK ve 2AEKK tahminleri birbirine yakın çıkmaktadır.

Eşanlılık Testi

Eşanlılık testi, bir açıklayıcı değişkenin (içsel) hata terimi ile ilişkili olup olamadığının testidir.

İlişkili ise eşanlılık sorunu vardır.

Hausman Model Kurma TestiTalep Fonk. :Qt=a0+a1Pt+a2It+a3Rt+u1t (1)

Arz Fonk. :Qt=b0+b1Pt+u2t (2)

I:GelirR:Servet

Eğer eşanlılık sorunu yoksa (Yani P ile Q karşılıklı bağımsızsa), Pt ile u2t ilişkisiz olur. Eğer eşanlılık varsa Pt ile u2t ilişkilidir.

Daraltılmış biçim denklemleri:

Pt=π0+π1It+π2Rt+v1 (3)

Qt=π3+π4It+π5Rt+v2 (4)

t2t10t RˆIˆˆP

1.Adım: Pt nin Rt ile It ye göre regresyonu hesaplanıp ler bulunur.

ttt vPP

EKKY tahmini

(5)

Eşanlılık Testi

v

Talep Fonk. :Qt=a0+a1Pt+a2It+a3Rt+u1t (1)

Arz Fonk. :Qt=b0+b1Pt+u2t (2)

0 21 1t tt tQ P v u

Eşanlılık Sınaması

2.Adım: Qt nin Pt ile ne göre regresyonu hesaplanır:

[(5), (2) de yerine konulur]

3.Adım: v-tah’nin katsayısına t testi uygulanır. Sonuç anlamlı çıkarsa eşanlılık olmadığı hipotezi reddedilir.

Ho:Eşanlılık yoktur.

H1:Eşanlılık vardır.

v

H0:Eşanlılık yok H1:Eşanlılık var

Örnek :Kamu Harcamaları Modeli

1 2 3 4

1 2 3

i

i

EXP AID INC POP u

AID EXP PS v

EXP : Merkezi ve yerel yönetimlerin kamu harcamasıAID : Federal yardım düzeyiINC : Eyalet geliriPOP : Eyalet nüfusuPS : İlk ve ortaöğretimdeki çocuk sayısıINC , POP , PS : Dışsal değişkenlerdir.

! EXP ve AID arasında eşanlılık çıkma olasılığı vardır…

1. AID’nin INC , POP , PS’ye göre daraltılmış kalıp regresyonu hesaplanır.

AID=f(INC,POP,PS)2. Daraltılmış biçim regresyonundan hata terimlerinin

tahminleri hesaplanır.3. EXP’nin AID , INC , POP’ye göre regresyonu

hesaplanır:

4. %5 anlamlılık düzeyinde katsayısı istatistiksel bakımdan anlamlı değildir, dolayısıyla bu düzeyde, eşanlılık sorunu yoktur.

ˆ iw

2

ˆ89,41 4,50 0,000131 0,518 1,39

( 1,04) (5,89) (3,06) ( 4,63) ( 1,73)

0,99

iEXP AID INC POP w

t

R

ˆ iw

1 2 3 4

1 2 3

i

i

EXP AID INC POP u

AID EXP PS v

Dışsallık Testi

Y1,Y2,Y3 gibi üç değişkenli, üç denklemli bir model ve X1, X2, X3 gibi dışsal değişkenler bulunsun.

Y1i=b0+b2Y2i+b3Y3i+a1X1i+u1i

1.Adım: Y2 ve Y3 için daraltılmış kalıp denklemlerinden Y2i-tah ve Y3i -tah elde edilir.

2. Adım: Aşağıdaki denklem tahmin edilir.

3.Adım: 2=3=0 hipotezi test edilir. Eğer bu hipotez reddedilirse Y2 ve Y3 içsel sayılır.

uYYXaYbYbbY 1332211332201

H0: 2=3=0 değişkenler dışsaldır

H1: Katsayılardan en az bir tanesi sıfırdan farklıdır. Değişkenler içseldir.

Birden fazla katsayının testini Wald F testiyle, tek bir katsayının t testi ile araştırılması gerekmektedir.

eŞanli denklemlİ modellerİn ÇÖzÜm yÖntemlerİ i: matrİssİz ÇÖzÜm:

Documents