equações de conservação e equações...
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Equações de conservação e Equações constitutivas
Profa. Mônica F. [email protected]
Sala 153-L, R 1174http://naccache.usuarios.rdc.puc-rio.br/Cursos/FNNIP.html
Soluções de escoamentos
• Equações de conservação: massa, momentum, energia
• Equações constitutivas • Condições de contorno • Objetivo: descrição do movimento de
fluidos sob a ação de uma força; transferência de calor por convecção em escoamentos não isotérmicos
Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio
Hipótese de contínuo
• Fluido é modelado como sendo infinitamente divisível, sem mudança de suas características
• Todas as propriedades materiais (ρ, µ, κ, …) e variáveis (p, v, T, …) são definidas num ponto como o limite da média da grandeza nas flutuações moleculares
• Estudo do movimento a nível macroscópico (p. ex.: escoamento em tubos, em volta de corpos, etc …
Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio
Fundamentos
• Variáveis macroscópicas definidas como uma média da variável a nível molecular
• Média no volume:
• δ (micro-escala)<<V1/3<<L(macro-escala)
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€
u ≡ w ≡1V
wdVV∫
Consequências da hipótese de contínuo
• Mecanismos de transporte: w Transporte associado ao campo de velocidade
macroscópico u w Mecanismo de transporte “molecular”:
contribuição de superfície nas eqs. momentum e energia.
• Na formulação contínua, são necessários modelos para descrever o fluxo de momentum e calor a nível molecular (incertezas)
• Incerteza nas condições de contorno
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Ponto material • Vetor posição do ponto (partícula) material x0:
• Propriedade/variável associada a x0:
• Derivadas no tempo: w Euleriana (posição fixa) w Lagrangeana (ponto material fixo)
• Usando a regra da cadeia:
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€
x = x(x0,t) ≡ x0 + u(τ ,x0)dτ0
t∫
€
B(x0,t) = B x(x0,t),t[ ]
€
∂∂t≡
∂∂t$
% &
'
( ) x
DDt
≡∂∂t$
% &
'
( ) x0
€
DBDt
=∂B(x0,t)
∂t#
$ %
&
' ( x 0
=∂B(x(x0,t), t)
∂t#
$ %
&
' ( x 0
=∂B∂xi
∂xi∂t
#
$ %
&
' ( x 0
+∂B∂t
#
$ %
&
' ( x
= ui∂B∂xi
+∂B∂t
Derivada em relação ao tempo seguindo o material
Derivada material ou convectada
• Volume material Vm(t): volume arbitrário que contém um certo número de pontos materiais em t=0. Vm(t) se move e se deforma tal que o fluxo de massa através de todos os pontos na sua superfície é zero:
• Derivada material ou convectada:
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€
DBDt
=∂B∂t
+ u•∇B
€
DDt
ρdVVm ( t )∫[ ] = 0
Derivada no tempo da massa total associada a Vm
Sm(0), Us=u(x)
U(x) n
Vm(0)
Vm(t)
Sm(t)
n t
expressa a variação com o tempo seguindo uma partícula material
• Derivada parcial com relação ao tempo:
• Derivada total:
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€
∂B∂t
≡∂B∂t$
% &
'
( ) z
expressa a variação com o tempo, numa posição fixa
€
DBDt
=∂B∂t
+ v•∇B expressa a variação com o tempo em relação a um “material” arbitrário
Conservação de massa (1)
• Balanço de massa num volume de controle arbitrário:
• Usando o Teorema da divergência, chega-se a Equação da continuidade:
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€
∂ρ∂tV∫ dV
taxa de variação de massa em V
= − ρuA∫ •ndA
fluxo líquido de massa através da fronteira de V=- divu dV∫
€
∂ρ∂t
+∇ • ρu( ) = 0
V
A
u n
Teorema do Transporte de Reynolds
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• O teorema do transporte é uma generalização da Regra de Leibnitz para diferenciação de uma integral, 1-D, quando ambos integrando e limites de integração variam
€
DDt
B x( t), t( )dVVm ( t )∫[ ] ≡
δt→0lim 1
δtB t + δt( )dV - B t( )dV
Vm ( t )∫Vm ( t+δt )
∫[ ]& ' (
) * +
Teorema do Transporte de Reynolds (cont.)
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€
DDt
B x( t), t( )dVVm ( t )∫[ ] ≡
δt→0lim 1
δtB t + δt( )dV - B t( )dV
Vm ( t )∫Vm ( t+δt )
∫[ ]& ' (
) * +
Adicionando e subtraindo o termo:
€
B t + δt( )dVVm ( t )∫
€
DDt
B x( t), t( )dVVm ( t )∫# $ %
& ' ( ≡
δt→ 0lim 1
δtB t +δt( )dV - B t +δt( )dV
Vm ( t )∫Vm ( t+δt )
∫# $ % & ' (
= lim1δt
B t+δt( )dV Vm( t+δt )−Vm( t )∫[ ]#
$ % &
' (
+1δt
B t +δt( )dV − Vm ( t )∫ B t( )dV
Vm ( t )∫#
$ % & ' (
≡∂B∂tdV
Vm( t )∫
€
DDt
B x,t( )dVVm ( t )∫[ ] =
∂B∂t
+∇ • Bu( )%
& ' (
) * dV
Vm ( t )∫
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€
lim 1δt
B t + δt( )dV Vm ( t+δt )−Vm ( t )∫[ ]%
& ' (
) * = lim 1
δtB t + δt( )u•nδdA Am ( t )∫[ ]%
& ' (
) *
= B t( )u•nδdAAm ( t )∫
Usando o teorema da divergêngia ( ), chega-se a forma final para o Teorema de Transporte:
€
divTR∫ d∀ = T ⋅ ˆ n dA
S∫
Teorema do Transporte de Reynolds (cont.)
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Caso o volume esteja se movendo a uma velocidade u*, diferente da velocidade do fluido u:
€
D*
Dt*B x,t( )dV
V *m ( t )∫[ ] =∂B∂t
+∇ • Bu*( )%
& ' (
) * dV
V *m ( t )∫
D*
Dt*≡∂∂t
+ u* •∇
Teorema do Transporte de Reynolds (cont.)
Equação de Conservação de Massa (2)
• A equação de conservação de massa (continuidade) pode ser também derivada usando o conceito de volume material e o Teorema de Transporte:
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€
DDt
ρdVVm ( t )∫[ ] =
∂ρ∂t
+∇ • ρu( )&
' ( )
* + dV
Vm ( t )∫ = 0
€
∂ρ∂t
+∇ • ρu( ) = 0 ou DρDt
+ ρ∇ • u( ) = 0
Casos particulares
• Densidade constante (fluido real: ρ=ρ(p,T); fluido incompressível, boa hipótese quando M=|u|/usom<<1)
• Obs: a validade da equação acima não
implica na incompressibilidade do fluido • Regime permanente:
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€
∇ •u ≡ div u = 0
€
∇ • ρu ≡ div ρu = 0
Função corrente
• Escoamentos 2-D • A diferença entre o valor da fc entre 2 pontos
fornece o fluxo (volumétrico) através da linha que conecta os 2 pontos
• Ex: fluidos incompressíveis, coord. esféricas
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€
vr = vr r,θ( ) vθ = vθ r,θ( ) vϕ = 01r2
∂∂r
r2vr( ) +1
rsinθ∂∂θ
vθ sinθ( ) = 0
∂∂r
r2vr sinθ( ) = −1
rsinθ∂∂θ
vθ sinθ( )
vr ≡1
r2 sinθ∂ψ∂θ
vθ ≡ −1
rsinθ∂ψ∂r
⇒∂ 2ψ∂r∂θ
=∂ 2ψ∂θ∂r
Taxa de deformação
• A taxa de deformação no ponto de interseção de 2 curvas materiais é descrita pela taxa instântanea de variação do comprimento das curvas e pela taxa de variação do ângulo entre elas
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Tensor Taxa de Deformação e Tensor Vorticidade
€
Dij =taxas de alongamento na direção da coordenada quando i = jmetade da taxa de cisalhamento na direção das coordenadas quando i≠ j# $ %
D =12
∇v( ) + ∇v( )T[ ] parte simétrica de ∇v( )
∇v( ) =D+WW : tensor vorticidade (parte antissimétrica de ∇v( ))
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Wij … ½ da soma da taxa de rotação, de acordo com a regra da mão direita, em torno da direção k de elementos materiais instantâneamente alinhados com i e j
€
w ≡ tr ε •W( ) = εijkWkjei =
12εijk
∂vk∂z j
−εijk∂v j
∂zk
&
' ( (
)
* + + ei = εijk
∂vk∂z j
ei = rot v( )vetor vorticidade: representação polar de W
• A direção de w é a do eixo de rotação do fluido • Primeiro Teorema de Cauchy:”O componente do
vetor vorticidade em qualquer direção é a soma das taxas de rotação (no sentido da regra da mão direita) sobre a direção dos elementos em quaisquer direções perpendiculares a ela e a cada uma outra”
• Se podemos escrever
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€
w = 0 esc. irrotacionalw ≠ 0 esc. rotacional
€
v = −∇P⇒ w = 0 pois rot ∇α( ) = 0 sempre
Tensor Taxa de Deformação e Tensor Vorticidade
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Tensor Taxa de Deformação !γ = ∇v( )+ ∇v( )T
D = 12!γ
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Tensor Vorticidade
Equação de conservação de quantidade de movimento
• Da Segunda Lei de Newton:
• Aplicando num volume material de fluido:
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€
taxa variação quantidademovimento linear num corpoem relação a um ref inercial
"
#
$ $ $
%
&
' ' '
=
soma das forçasagindo sobre ocorpo
"
#
$ $ $
%
&
' ' '
€
DDt
ρudVVm ( t )∫[ ] =
soma das forçasagindo em Vm (t)$
% &
'
( )
Tipos de força
• Forças de corpo: associadas a presença de campos externos (Ex.: força gravitacional). Neste curso só iremos considerar o efeito da força gravitacional.
• Forças de contato ou de superfície: forças do material fora de Vm(t) sobre Vm(t)
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Segunda Lei de Newton para Vm
• Vetor tensão t: força local de superfície
por unidade de área • Usando o Teorema do Transporte
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€
DDt
ρudVVm ( t )∫$ % &
' ( )
taxa variação QML em Vm
= ρgdV
Vm ( t )∫força gravitacional
+ tdAAm ( t )∫
força agindo sobre a superfície de Vm
€
∂ ρu( )∂t
+∇ • ρuu( ) − ρg&
' (
)
* + dVVm ( t )
∫ = tAm ( t )∫ dA
Tensor das tensões
• Seja l a dimensão característica de Vm. Quando l →0, a integral de volume vai a zero mais rapidamente do que a integral de área do vetor tensão. Assim:
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€
liml→0
tAm ( t )∫ dA→ 0 Princípio de equilíbrio
da tensão
Para a condição acima ser satisfeita, o vetor tensão em x tem que depender também da orientação da superfície que ele age. Usando esta equação e o tetraedro:
€
t(n) ΔAn − t(e1) ΔA1 − t(e2) ΔA2 − t(e3) ΔA3 = 0
Mas Então:
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€
ΔAi = ΔAn n•ei( ) i =1,2,3
€
t(n) − t(e1) n•e1( ) − t(e2) n•e2( ) − t(e3) n•e3( )[ ]ΔAn = 0
No limite l →0:
€
t(n) = n• e1t(e1)( ) + e2t(e2)( ) + e3t(e3)( )[ ]Tensor das tensões T
t(x p ,n) = n•T(x p )
€
tAm ( t )∫ dA = n•T
Am ( t )∫ dA = ∇ •T( )
Vm ( t )∫ dV
Então:
Tensor das tensões
Equação de conservação de quantidade de movimento
• A equação de momentum fica então:
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€
∂ ρu( )∂t
+∇ • ρuu( ) − ρg −∇ •T&
' (
)
* + dVVm ( t )
∫ = 0
Como Vm é arbitrário, o integrando tem que ser nulo:
€
∂ ρu( )∂t
+∇ • ρuu( ) = ρg +∇ •T
Combinando a eq. acima com a eq. continuidade:
€
ρ∂ u( )∂t
+ u•∇ u( )%
& '
(
) * = ρg +∇ •T Equação de
Cauchy
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Equações de conservação de quantidade de movimento
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Equações de conservação de quantidade de movimento
Equação de conservação de energia
• u2: velocidade local do meio contínuo • ρe: energia interna (representa en.
cinética adicional a nível molecular) • Primeira Lei da Termodinâmica
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€
DDt
ρu2
2
+ ρe#
$ %
&
' ( dV
Vm ( t )∫
taxa de variação de energia em Vm
=
Taxa de trabalhofeito sobre Vm pelas forças externas
*
+ ,
- ,
.
/ ,
0 ,
+
Fluxo de energia interna através dasfronteiras de Vm
*
+ ,
- ,
.
/ ,
0 ,
Equação de conservação de energia na forma diferencial
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q: vetor fluxo de calor (cruza a superfície de Vm). Positivo quando calor é transferido a Vm
Usando o Teo Transporte e o Teo Divergência: €
DDt
ρv2
2
+ ρu#
$ %
&
' ( dV
Vm ( t )∫ = t(n) • v[ ]dAAm ( t )∫ + (ρg) • v[ ]dV − q•n[ ]dA + ˙ q dV
Vm ( t )∫Am ( t )∫Vm ( t )∫
€
∂ ρe( )∂t
taxa var. en.
+ div ρe v( )fluxo en. por convecção
= ˙ q em. gerada
− divqfluxo calor cond. + ρ v⋅ g
trab. forçagravitacional
+ div Tv( )trab. forçasviscosas e de pressão
€
e = u + v 2 /2div Tv( ) = vdivT+ tr Tgradv( )
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• Balanço de Energia Mecânica: u•(eq.Cauchy)
• Balanço de Energia Térmico: substituindo a eq. acima na Eq. conservação energia€
ρ2Dv 2
Dt= ρg( ) • v+ v• divT( )
€
ρDuDt
variação en.interna por un. vol.
= ˙ q
geraçãoen. por un.vol.
−divqganho en.por condução
−p div vaumento rev. deen. int. por compressão
+ tr τ∇ v( )aumento irrev. en. int. pordissipação viscosa
€
T = −pΙ + τ
D ≡ 12∇ v+∇ vT( )
∇ v ≡ 12∇ v+∇ vT( )parte simétrica
+12∇ v+∇ vT( )
parte anti-simétrica
=D+W
D:Tensor taxa de deformação
W: Tensor vorticidade 32 Profa. Mônica Naccache PUC-Rio
Equação de energia em termos da temperatura
• A equação de balanço de energia térmico fica (sem o termo de geração):
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€
ρCpDθDt
= T D+ p∇ •udissipação viscosa − ∇ •q( ) − θ
ρ∂ρ∂θ
'
( )
*
+ , p
DpDt
trabalho de compressão ≈ 0
Fechamento
• A solução de problemas de mecânica dos fluidos é obtida com a solução das equações de conservação de massa, momento linear e energia
• A equação de momento angular e a Segunda Lei aparecem apenas indiretamente, como restrições às equações constitutivas para T e q
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• Incógnitas: u (3), T (9), q (3), θ e p (total:17) • Equações: Conservação de massa (1), momento
linear (3), energia (1) e momento angular (reduz as 9 incógnitas Tij para 6).
• Temos então no total: w 14 incógnitas w 5 equações
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⇒Equações constitutivas para T e q
Fechamento
Equações constitutivas
• Fluidos (ou outros materiais) tem uma estrutura molecular definida, e não são indivisíveis e homogêneos como quando assumidos como meio contínuo
• Equações constitutivas são relações entre T e q (representam processos de transporte molecular) e os campos (macroscópicos) de velocidade e temperatura. Em outras palavras, elas vão fornecer a relação entre a resposta de um material a uma dada solicitação (campo de escoamento/temperatura)
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Princípios que devem ser satisfeitos
• Determinismo: A tensão em um corpo é determinada pela história do movimento que o corpo descreveu
• Ação local: O movimento do material for a de uma vizinhança arbitrariamente pequena em torno de uma partícula não influencia a tensão nesta partícula
• Indiferença ao referencial: As descrições do comportamento do material (relações constitutivas) têm que ser indiferentes ao referencial
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Lei de Fourier de condução de calor
• Para um fluido isotrópico, i.e., fluxo de calor depende da magnitude do gradiente de temperatura e não da sua orientação (K=kI):
• A Segunda Lei impõe que k>0
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€
q = −k∇θ Lei de Fourier
D: parte simétrica de
Equação constitutiva para o Tensor das Tensões: Fluido Newtoniano
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€
T+ pI = τ ∇u, termos de maior ordem de derivadas em u( )τ: tensão desviadora, tensor extra-tensão Considerando que τ satisfaz ao princípio de objetividade, é simétrico e depende apenas da história do movimento:
€
τ = τ D,...( )
€
∇u : 12∇u−∇uT( )W: parte anti-simétrica de
€
∇u : 12∇u+∇uT( )
Equação constitutiva para Fluidos Newtonianos
• A forma mais geral para T, consistente com as hipóteses anteriores é:
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€
T = −p + λtrD( )I+ 2µD
Equação Constitutiva para Fluidos Newtonianos
D: Tensor taxa de deformação
• Se o fluido for também incompressível:
• A equação constitutiva é satisfeita pela maioria dos gases e líquidos com baixos e moderados pesos moleculares
• Observa-se que a restrição imposta pelo balanço de momento angular é satisfeita por T e q
• A Segunda Lei é satisfeita se:
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€
trD =∇ •u = 0T = −pI+ 2µD
€
λ +23
µ#
$ %
&
' (
viscosidade de bulk
≥ 0 , µ ≥ 0 , k ≥ 0
Equação constitutiva para Fluidos Newtonianos
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Equações de quantidade de movimento: Fluido Newtoniano com densidade e viscosidade ctes
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Equações de quantidade de movimento: Fluido Newtoniano com densidade e viscosidade ctes
Equações constitutivas para fluidos não Newtonianos
• Equações dependem do tipo de comportamento (fluido viscoso, tixotrópico, viscoelástico)
• Algumas equações podem descrever bem o comportamento do fluido em alguns escoamentos mas não em outros
• Tipos de equações: algébricas, diferenciais, integrais
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Equações constitutivas para fluidos não Newtonianos
• Alguns exemplosw Fluido não Newtoniano Generalizado:
w Modelo de Maxwell
w Expansão de movimento retardado
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τ = 2η !γ( )Dτ +λ
∂τ∂t= 2η0 D
τ =η0λ 2e−(t−t ')/λ
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭−∞
t∫ γ t, t '( )dt '
τ = b1γ (1) + b2γ (2) + b1 γ (1) •1 γ (1){ }+ b3γ (3) +...γ (1) = !γ = 2D
γ (n+1) =DDtγ (n) − ∇v( )T •γ (n) +γ (n) • ∇v( ){ }
Passo a passo na análise de problemas envolvendo fluidos complexos
• Caracterização dos materiais a partir de medidas de propriedades (funções materiais), obtidas em escoamentos aimples (cisalhamento/extensão; regime permanente/transiente)
• Com os dados experimentais, determina-se os parâmetros (constantes ou não) que aparecem nas eqs. Constitutivas
• Solução do escoamento usando as eqs. de conservação e eqs. constitutivas
• Validação da solução obtida
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