C ít l 2 C ít l 2 E táti d Fl idE táti d Fl idCapítulo 2 Capítulo 2 –– Estática dos FluidosEstática dos Fluidos

2 1 A experiência de Torricelli2 1 A experiência de Torricelli2.1 A experiência de Torricelli2.1 A experiência de Torricelli

► A descoberta do princípio do ► o o p p o obarômetro ("tubo de Torricelli", "vácuo de Torricelli") aconteceu

1643 em 1643.

► Evangelista Torricelli (1608 -1647) físico e matemático ita-liano (foi aluno de Galileu).

► Foi homenageado com a unidade de pressão torricelli (símbolo torr).

1

A experiênciaA experiência

2

P e ão t o fé i o lPressão atmosférica normal

► Consideramos a pressão atmosférica normal, quando elap , qé capaz de equilibrar uma coluna de mercúrio de 76cm dealtura. Representamos, simbolicamente,

1 atm = 76 cm Hg = 1,013 x 105 Pa, ou aproximadamente: 1atm 105 Pa 0,1 MPa.

► Propriedades da Atmosfera padrão Americana ao nível domar,

Temperatura, T 288,15 K (15 oC)

Pressão, p 101,33 kPa (abs)*

Massa específica, ρ 1,225 kg/m3

Peso específico, γ = ρ g 12,014 N/m3

3Viscosidade dinâmica, μ 1,789 x 10-5 Ns/m2

2 2 V i ão de P e ão Lí ido e e o o 2.2 Variação de Pressão num Líquido em repouso (versão simplificada)

hpp 01 )(►► Nos casos nos quais ahipótese do peso específicoconstante é considerada àrelativapressãoaéhonde

hpp

01

)(

)(

constante é considerada(líquidos) temos:

éIstoLíquidodohcolunadaatmosferalíquidointerface ,.,,

m

eA

gmh fluido ,)(

Logo

AhVmVm

,

h

eghh ,)(

4

ghpp 01

ExercícioExercício

1) Os batiscafos são utilizados para mergulhos profundos nooceano Qual a pressão no batiscafo se a profundidade deoceano. Qual a pressão no batiscafo se a profundidade demergulho é 6 km? Admita que o peso específico da água domar é constante e igual a 10,1 kN/m3.

5

Solução

ébatiscafoosobreáguadekmaosdevidopressãoA ,6

NmNhp á 1066010610110 333 m

mm

hp marágua 106,60106101,10 23

valevezsuaporabsolutapressãoA ,,,

mNkPappabsp atm 106,603,101)( 2

3

kPaabsp 3,60701)(

Ponderações

Variações de pressão de um fluido em repouso ou emVariações de pressão de um fluido em repouso ou emmovimento (versão moderada).

► Com o tratamento matemático adequado mostra se que:► Com o tratamento matemático adequado, mostra-se que:

1. Para um fluido em repouso, ou em movimento, no quala tensão de cisalhamento é nula, tem-se que a pressãoindepende da direção, já que ela é o resultado dobombardeamento das moléculas do fluido, como vimos no

í l ( i d l)capítulo 1 (Lei de Pascal).

7

2. A pressão ao longo de um plano paralelo à interfacelíquido-atmosfera é constante.

CBA ppp

► Os pontos A, B e C são ditos isóbaros.

8

p ,

► Vasos comunicantes.

► Constatação experimental.

9

3. O Gradiente de pressão é:3. O Gradiente de pressão é:

poukpjpipp k

Isto significa que em um fluido em repouso ou em

z

oukz

jy

ix

p k

Isto significa que em um fluido em repouso ou emmovimento, no qual a tensão de cisalhamento sejainexistente, a pressão aumenta no sentido oposto aodeterminado pelo eixo-z (Isto é, no mesmo sentido dadeterminado pelo eixo z (Isto é, no mesmo sentido dagravidade e devido ao peso da massa de fluido sobre oponto considerado).

Como vimos no slide 4,isto independe da áreada superfície ao redor doponto considerado.

10

► Daí, integrando a última equação:

dppdzp

zp

dpdzdzdpqueLembrandodzdz

dzdp

)(2 2

constanteSupondoddpp z

)(1 1

constanteSupondodzdpp z

)()(:

12211212 zzhhppouzzppLogo

11

12211212

► Se p2 estiver na interface líquido-atmosfera, então, p2 =p0, e

01

ouhpp

)(01 gghpp

► A quantidade 21 pph

é chamada de carga e é interpretada como a altura docoluna de fluido de peso específico necessária paraprovocar uma diferença de pressão p1 – p2provocar uma diferença de pressão p1 p2.

► Existe uma prova matemática mais abrangente no livrot t (Y )

12

texto (Young).

Exercício

2. A Figura abaixo mostra o efeito da infiltração de água emum tanque subterrâneo de gasolina. Se a densidade dagasolina é 0,68; determine a pressão na interface gasolina-g , ; p gágua e no fundo do tanque.

13

Soluçãoç

éPpontooestáondeáguagasolinainterfacenapressãoA

ou

hpp gasolina0

ghpp gasolina0

mkgSGladooutroPor gasolina

Cágua

gasolina

o

680100068,0, 34

NkDaí ,

mNkPa

smm

mkgkPap 10354,333,10181,956803,101 2

323

14kPakPakPap 654,134354,333,101

Pressão no fundo do tanque

Ptãálii t fãÉ )(águademdecolunaadevidapressãoàsomada

PpontonopressãoaáguagasolinainterfacenapressãoaÉ.1

)(

ou

hpp águafundo

ghpp águafundo

msm

mkgkPap fundo 181,91000654,134 23

kPap fundo 464,144

15

Algumas aplicações do Princípio de Pascal

“Todo“Todo acréscimoacréscimo dede pressãopressão exercidoexercido numnum pontoponto dada massamassaTodoTodo acréscimoacréscimo dede pressãopressão exercidoexercido numnum pontoponto dada massamassalíquidalíquida sese transmitetransmite integralmenteintegralmente parapara todostodos osos pontospontos dodolíquidolíquido..””

p

ppA

ppB

16

► Aplicações► Aplicações

► Consideremos dois cilindros contendo um líquido e fechados contendo um líquido e fechados por êmbolos de áreas A1 e A2.

► Aplicando-se sobre o êmbolo► Aplicando se sobre o êmbolode área A1 uma força F1,

► Produz-se um acréscimo de ► Produz se um acréscimo de pressão

∆p = F1 / A1∆p F1 / A1

que se transmite integralmente para o outro êmbolo, o que acarretaacarreta

∆p = F2 / A2

17ou seja, as forças são proporcionais às áreas.

Exercício

Considere o esquema mostrado na figura em que a massa doautomóvel é de 1500 kg, A1 = 0,5 m2 e A2 =

2 i f d li d à á7 m2. Determine a força que deve ser aplicada à área A1 paramanter o sistema em equilíbrio.

18

Pressão no fundo do tanque

F

dánosPascaldeprincípiododiretaaplicaçãoA ,

AF

AF

Fp

AFp

2

2

1

1

2

1

1

Ap 21

2

2

NFAAFLogo 14,107)81,91500(

75,0, 2

2

11

kgdemassaumadepesoaoecorrespondNqueNotemos 14,1077,1051

19

2 4 Fluido compressíveis (gases) em repouso ou2.4 Fluido compressíveis (gases) em repouso oumovimento

► Admitindo que as tensões de cisalhamento sejam nulastambém nesse caso.

► Para os gases ideais: p = ρRT. Então,

pgp

quevemdpemdosubstituinLogo

RTpgg

RTp

,.

,,

Integrandopgdp

quevemdz

emdosubstituinLogo

2 22 2 )()(

,.

p zp zzTTse

Tdz

Rgdpoudz

RTgdp

IntegrandoRTdz

20

11 )(p zp z zTRpRTp

► Admitindo que a temperatura não varie em função de z.Isto equivale a considerar que a pressão varia em funçãode z em uma camada isotérmica do gás perfeito. Temos,

dzRTg

pdpp

p

z

z

2 2

zzRTgp

RTpp z

)(ln 122

1 1

LogoRTp

,

)( 121

RTzzgpp )(exp 12

12

► Para distribuições de pressões em camadas nãoisotérmicas, o procedimento é o mesmo.

21

2 5 Medições de pressão2.5 Medições de pressão

► Manometria: Corresponde às técnicas de construção deinstrumentos para medir a pressão bem como as técnicasinstrumentos para medir a pressão, bem como as técnicasaplicadas às medidas.

ã é i ÉÉ difdif ãã► Pressão Manométrica: ÉÉ aa diferençadiferença entreentre aa pressãopressão ememumum locallocal ee aa pressãopressão atmosféricaatmosférica..

Exemplo• AbrindoAbrindo oo registro,registro, oo COCO22 escapaescapa dodo inteinte--riorrior dodo cilindrocilindro enquantoenquanto aa suasua pressãopressãoriorrior dodo cilindrocilindro enquantoenquanto aa suasua pressãopressãoforfor maiormaior queque aa pressãopressão atmosféricaatmosférica..• Quando as pressões se igualam, o fluxo CO2

5 atmcessa.• AA pressãopressão utilizadautilizada dodo COCO22 éé aa suasuapressãopressão manométrica,manométrica, ppmm == pp –– ppatmatm

5 atm

pp ,, ppmm pp ppatmatm

►Manômetros: São dispositivos utilizados para medira pressão manométrica.a pressão manométrica.

23

► Barômetro de Mercúrio

php vaporHgatm php

24

► Tubo Piezométrico

1ppA

relativaPressão

11hpA

hppabsolutaPressão 11hpp atmA

25

ExercícioExercício

O tubo em U mostrado na figura abaixo contém três líquidosdistintos Óleo água e um fluido desconhecido Determine adistintos. Óleo, água e um fluido desconhecido. Determine adensidade do fluido desconhecido considerando as condiçõesoperacionais indicadas na figura.

26

Solução

1

11

710305305710:

mmhquemostraladoaofiguraAhpTemos óleo

1

1

71,0 mhouqf g

2

3221

405305710

,

mmhquemostraladoaofiguraA

hhppladooutroPor água

32 305,0305405,0

D í

mmmhemhou

321

,

entãogComo

hhhquevemDaí

águaóleo

321321

,,hhhghghgh

entãogComo

águaóleoáguaóleo

27

Solução

, 321 porhhhequaçãoadividirvamosAgora águaáguaóleo

321 hhháguaágua

óleo

DaíSGdefiniçãoporMas

águaágua

,.,, DaíSGdefiniçãoporMaságua

4050710900

321

hhSG

SGhhhSGóleo

77,0305,0

405,071,090,0,3

21

SGh

hhSGSGfimPor óleo

28

77,0SG

► Manômetro com Tubo em U► Manômetro com Tubo em U

A ppTemos 1:

A hppemrelativaPressão

112

)2(A

héemrelativapressãoaeppMas

pp

32

112

)3(,

Daí

hp 223

,

AA

éAb lãA

hhpouhhp 11222211

,

► S f á i i t h 0

atmA phhpéAemabsolutapressãoA

1122

,

29

► Se for um gás no recipiente: γ1h1 = 0.

ExercícioExercício

O tanque fechado mostrado na Figura abaixo contém arcomprimido e um óleo que apresenta densidade 0 9 O fluidocomprimido e um óleo que apresenta densidade 0,9. O fluidomanométrico utilizado no manômetro em U, conectado aotanque, é mercúrio (densidade igual a 13,6). Se h1 = 914 mm,h = 152 mm e h = 229 mm determine a leitura noh2 = 152 mm e h3 = 229, mm determine a leitura nomanômetro localizado no topo do tanque.

30

Solução

211

21

)(:

hhppppTemos

óleoAR mkgSG

e

HgHg /1360010006,136,13

:3

32

211 )(hp

pp

Hg

óleoAR

mkggHgHg /133416 3

,Logo

p

Logo

AR )152,0914,0(8829229,0133416

,

213

321

)(

)(

hhhp

hhhp

óleoHgAR

HgóleoAR

kPap

p

AR

AR

6,21140

),,(,

1000900900:

SGComo

3/900

100090,090,0

mkg

SG

óleo

óleoóleo

31

► Manômetro diferencial em U

111112

1

hphpppp

A

A

33223

32

phhppp

B

5

,,,

Logoppaindae B

332211

,Portantophhhp BA

113322 hhhpp BA

32

ExercícioExercício

A Figura abaixo mostra o esboço de um dispositivo utilizado paramedir a vazão em volume em tubos, Q, que será apresentado no cap.medir a vazão em volume em tubos, Q, que será apresentado no cap.3. O bocal convergente cria uma queda de pressão pA – pB noescoamento que está relacionada com a vazão em volume através daequação Q = K(pA – pB)1/2 (onde K é uma constante que é função dasdi õ d b l d t b ) A d d ã l t édimensões do bocal e do tubo). A queda de pressão, normalmente, émedida com um manômetro diferencial em U, do tipo ilustrado nafigura.(a) Determine a equação p – p(a) Determine a equação pA pB

em função do peso específico dofluido que escoa, 1, do peso es-pecífico do fluido manométricopecífico do fluido manométrico,2, e das várias alturas indicadasna figura.(b) Determine a queda de pres(b) Determine a queda de pres-são se 1 = 9,80 kN/m3, 2 = 15,6kN/m3, h1 = 1,0 m e h2 = 0,5 m.

33

Solução

,ddfl ddd

porçãoatubodolargamaispartenaescoamentohaverdeApesar

).

,.

acahidrostáridaconceitososusarpodemos

Portantorepousoemestãomanômetrododentrofluidosdoisdos

321

111

,:

)

pppvezsuaPorhppAemPressão

a

A

54

2243

ppehppjá

2115 )(, hhppladooutroPor B

2114 ),(:,

hhpptemosacimaigualdadesascontaemLevando

B

342234 hpp

, teremosSeguindo

),( 211223 hhhppB

,,111123 quevemhppepppcomo A

)( 2112211

hhhh

hhhhpp AB

)( 122

21112211

hpp

hhhhpp

BA

AB

)( 122 hpp BA

ppb BA33 )108,9106,15(5,0)

35Papp BA3109,2

► Manômetro com tubo inclinado (usado para medir pequenas► Manômetro com tubo inclinado (usado para medir pequenasvariações de pressão)

111:)1( hppemPressão A

32

21 sendehcolunaàdevidapressãoàeespecíficopesodefluidodo

lalturadecolunaàdevidapressãoàecorrespondtambémp

33221

3

sen,.,

D íphlp

sejaOuBempressãoamaisespecíficopesodefluido

B

332211 sen,

ephlhp

Daí

BA

36113322 sen,

hhlppe

BA

► Se os fluidos de pesos específicos 1 e 3 forem gases,então as pressões devidas às colunas h1 e h3 podem serdesprezadas. Nesse caso,

011h

desprezadas. Nesse caso,

033

11

Logoh

sen,

22BA lppLogo

,

BA ppl

e sen2

2BA ppl

37

Exercício

O manômetro inclinado da figura abaixo indica que a pressãoO manômetro inclinado da figura abaixo indica que a pressãono tubo em A é 0,8 psi. O fluido que escoa nos tubos A e B éágua e o fluido manométrico apresenta densidade 2,6. Qual éa pressão no tubo B que corresponde à condição mostrada.p q p ç

38

Solução

1

101505101)30(203

076,076

h

mmmho

3

2

076,0761015,05,101)30(203

mmmhmmmh o

sen

222 /5516/68958,0/8,08,0 mNmNpollbpsipA

11

,hpp

esquemaoAnalisando

águaA

3223221 phlphhpe

BáguaBágua

g

sen

,hhl

Logo

391322 hhlpp águaáguaBA sen

hhlppocontinuand

águaáguaBA

,

1322 sen

lpphhComo

BA

águaáguaBA

)1(,

22

31

1322

sen

calcularPrecisamos 2

mkgSGCágua o

/26006,2 32

4

2

mNgAssim

Cágua

/25506, 322

4

kPakPakPakPappkPappemvaloresostodosdosubstituinFinalmente

ABBA 93,259,2516,559,259,2),1(,

2.5 Força Hidrostática em superfícies planas

► 1o caso, superfície paralela à interface líquido-ar (fundo de, p p q (um tanque aberto, por exemplo)

definiçãoPor ,

dAhdF

dAhdFA

F

o

R

kF AhouAhF RR

41

► 2o caso, superfície plana de forma arbitrária e inclinada emrelação à interface líquido-ar (Diques, represas, ...)

dAhdF

sen

eyh

senCC yhe

42

Logo

dAyF

dAydFdAydFA

sen

sensen

y sen = h

primeirademomentooéAydAyintegralA

dAyF

CA

AR

sen yC sen = hC

PortantoáreadaordemA

,.

43AhFouyAF CRCR sen

► A intuição sugere que a direção de ação da força resultantedeveria passar pelo centróide da superfície. Mas isso nãoacontece.

► A ordenada do ponto de ação da força resultante, yR, podeser determinada pela soma dos momentos em torno do eixo-x.pIsto é, o momento da força resultante precisa ser igual aosmomentos das forças devidas a pressão. Isto é,

dAydAyydFyyFAAA

RRtotal

2

2)( sensen

dAyyFA

RR 2 sen

dAydAA

entãoyAFcomo

A

CR

22

,,

sen

44Ay

ydAyyyAC

AR

ARC

2 sensen

► A integral do numerador da última equação é o momento deinércia em relação ao eixo-x, IX (eixo formado pelaintersecção do plano que contém a superfície arbitrária e asuperfície livre). Assim,

Iy x

► I pode ser obtido pelo teorema dos eixos paralelos

Ayy

CR

► Ix pode ser obtido pelo teorema dos eixos paralelos,

tA lCxcx

LogoAyII

,

2

quesemostrateAnalogamen

,

CC

xcR y

AyIy C

C

xycR x

AyI

x

45

Cy Cy

► Mostra-se que a força resultante não passa através docentróide, mas sempre atua abaixo dele, porquep p q(Ixc / yc A > 0).

► Momentos de inércia de algumas superfícies► Momentos de inércia de algumas superfícies

46

► Momentos de inércia de algumas superfícies (continuação)

47

ExercícioExercício

A figura abaixo mostra o esboço de uma comporta circularinclinada que está localizada num grande reservatório de águaq g g(=9,80 kN/m3). A comporta está montada num eixo que correao longo do diâmetro horizontal da comporta. Se o eixo estálocalizado a 10 m da su-localizado a 10 m da superfície livre, determine:

a) o módulo e o ponto dea) o módulo e o ponto deaplicação da força resul-tante na comporta.

b) o momento que deveser aplicado no eixo paraabrir a comporta.

48

Solução) forçadaaplicaçãodepontoeMóduloa

3

CR AhF

1023,1

4)2(

10/810.9)(

6

22

3

RC NF

A

mhmNáguadaespecíficopeso

)(

4)2( 22

yxaplicaçãodePonto

rA

),(

CC

xycR

RR

xAy

Ix

yxaplicaçãodePonto

;00

)(0

R

xyc

C

C

xI

figuraxAy

49

xyc

yAy

Iy C

xcR

myfi

yhAy

R

CC

C

64,1155,1145511

4)(551110

sen

rII

figuramy RoC 455,11

4

)(55,11)60sen(4

myexNFEntão

II ycxyc

6411010231

44

6

myexNFEntão RRR 64,110,1023,1,

édlãdcomportadaeixooentredistânciaaslidedofiguraacomacordoDe

Momentob

)(),48(

)

yyd

écomportadalongoaopressãodecentrooe

090

,)(

comportaaquandoladoaolivrecorpodediagramaodoConsideran

yyd CR

),(

09,0

temosrepousoemestápqpg

,),(

MMM batenteResultanteForçaC ,0

NmmNdFM RResultanteForça56 1007,1)09,0()1023,1(

51

ExercícioExercício

A barragem mostrada na figura abaixo é construída emt ( 23 6 kN/ 3) tá i l t i dconcreto ( = 23,6 kN/m3) e está simplesmente apoiada numa

fundação rígida. Determine o coeficiente de atrito estáticoentre a barragem e a fundação, para que a barragem nãoescorregue Admita que a água não provoca qualquer efeito naescorregue. Admita que a água não provoca qualquer efeito nasuperfície inferior da barragem (infiltrações, por exemplo).

52

Solução

/9810)( 3mNágua

AhF CR

34,5145tan

/9810)(

1

mNágua

o

24

2

4totaldeprofundida

44

56,2)66,38cos(

2)90cos(

2

barragemdalarguraA

mh oC

)(4,100454456,2810.9,.44

temoshorizontaldireçãoNaNFLogo

barragemdalarguraA

R

)(5,78441)66,38cos(

,

NFF

temoshorizontaldireçãoNao

RHR

53)(62690)66,38sen(, NFFverticaldireçãoNa o

RVR

,..,

elacasoNestelacalculáPrecisamosnormalforçaaéNNFFmovimentesenãobarragemaquePara AtritoHR

.barragemdapesoforçadamóduloaoecorrespond

. barragemdamassaaémgmN barragembarragem

106,23,3

ggondeVm barragem

barragembarragembarragembarragem

, pordadobarragemdavolumeoéVbarragem

)(205)26( 3mVbarragem

54

)(02

mVbarragem

1069,5341069,6220106,23

,

333

gFgmN

Assim

VRbarragem ,,

tFFi ld dàV lt d

gg

g VRbarragem

1069534578441

:,

3

temosFFigualdadeàVoltando AtritoHR

578411

1069,5345,78441 3

147,01069,5345,784113

55

2.6 Prismas de pressão2.6 Prismas de pressão

► Considere a distribuição de pressão ao longo da paredevertical de um tanque de largura b e que contém um líquido devertical de um tanque de largura b e que contém um líquido depeso específico .

► A pressão varia linearmente com a profundidade p = γh. Énula na superfície do líquido e igual a γh no fundo doreservatório.

56

reservatório.

► Cálculo do centro de pressão (xR, yR).

II y

AyIyex

AyI

x CC

xcRC

C

xycR

2

,,,0 bxxsimetriaporeI CRxyc

1,

2

3hb

E

32,

2,

32

22

12 hbyxhh

hbh

hby RRR

► Isto significa que o centro de pressão está a uma altura deó

2

57h/3 do fundo do reservatório (ou do leito da represa).

► A figura a seguir mostra o chamado de prisma de pressão.

► A força resultante que atua na superfície vertical é,mumericamente, igual ao volume desse prisma,

árearetangularáreaasobremédiapressãoFR )(

h

AhF

N

R

12

58AhhbhVolumeF

N

R

2

))((21

ExercícioExercício

A figura abaixo mostra o esboço de um tanque pressurizadoté ól (SG 0 9) A l d i ã i t l dque contém óleo (SG = 0,9). A placa de inspeção instalada no

tanque é quadrada e apresenta largura igual a 0,6 m. Qual omódulo, e a localização da linha de ação, da força resultanteque atua na placa quando a pressão relativa no topo doque atua na placa quando a pressão relativa no topo dotanque é igual a 50 kPa. Admita que o tanque está exposta àatmosfera.

59

Solução

àeóleodosuperfícienacomprimidoardopressãodasomapeladadaéplacadasuperfícienapressãoaquemostraladoaofiguraA

seráentãoplacaasobreresultanteforçaAóleopróprioaodevidapressão

àeóleodosuperfícienacomprimidoardopressãodasomapela

:,,.

AhhAhpFFF superfície12

1121 )(

nteSeparadame

psuperfície 1121 2)(

placaasobreóleodeporçãoaedoarcomprimidopressãoàdevidoForça

nteSeparadame)1

,

NAhpF

p

superfície333

111 104,2436,081,9109,01050)(

60

p f

)2 placaacomcontatoemóleodopressãoàdevidoForça

1095,0)6,0()3,0()81,9109,0(2

323122 NAhhF

3,020,26,2

212 mhh

104,251095,0104,24, 33321

Ai lil ãE

NNNFFFAssim R

)2,0()3,0(

,,

21 FFyF

temosApontoaoeverticaleixoaorelaçãoEm

OR

)(296,010425

)2,0(1095,0)3,0(104,24, 3

33inferiorbordadaacimamyLogo O

61

104,25 3

2.7 Forças hidrostáticas em superfícies curvas

► Consideremos a seção curva BC do tanque aberto.► Consideremos a seção curva BC do tanque aberto.

62

► F1 = Força feita pelo líquido sobre a superfície imaginária();

► F2 = Força feita pelo líquido sobre a superfície imaginária(β);

► W = Peso da massa do fluidoconsiderado (age no CG);

► FH é a componente horizontalda força feita pelo tanque sobreo líquido É colinear a F ;o líquido. É colinear a F2;

► FV é a componente vertical daf f it l t bforça feita pelo tanque sobre olíquido. É paralela a W e F1;

63

► As linhas de ação FV, FH e F2 passam pelo ponto O.

► Condição de equilíbrio:

2 2CH

WFF

AhAhFF

22

1V

FFF

eWFF

64

22HVR FFF

ExercícioExercício

A Figura abaixo mostra o esboço de um conduto utilizado naádrenagem de um tanque que está parcialmente cheio de

água. Sabendo que a distância entre os pontos A e B é igualao raio do conduto, determine o módulo, a direção e o

tid d f t b BC d id àsentido da força que atua sobre a curva BC, devida àpresença da água. Admita que a seção tenha comprimentode 1m.

65

Solução

)aconsiderad

águadeporçãodalivrecorpododiagramaomostraladoaofiguraAa

:

.

1 WFeFFequilíbriodeCondição

aconsiderad

VH

:1FdeCálculo

3973)9,01(29,09810

21 NAhAhF C

6241]1)90([19810

:

22

2

NVVgmgF

FdeCálculo

][41

41

6241]1)9,0([4

9810

2

2

rcilindrodovolumeV

NVVgmgF

66

44

VH NWFeNFFequilíbriodecondiçãoaAplicando

62413973:

1

VHR NFFFLogo 3,7398)6241()3973(: 2222

daforçadadireçãoadaânguloOladoaofiguraaosConsideremforçadasentidooedireçãoafaltaagoramagnitudeasEncontramob .,)

VHR figuraDasomapelaodeterminadoésentidoocurvasuperfícieasobreágua

daforçadadireçãoadaânguloOladoaofiguraaosConsiderem

,.:,

.

FFF

oH

VHR

F

f g

532tan

,

1

VF

5,32tan

67

2 8 Empuxo Flutuação e Estabilidade2.8 Empuxo, Flutuação e Estabilidade

► Empuxo“Todo corpo mergulhado num fluido em repouso sofre, porparte do fluido, uma força vertical para cima, cujaintensidade é igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo.”(P i í i d A i d )(Princípio de Arquimedes)

VggmFB

kF VVVgFB

kF VB

► Está força é chamada deEMPUXO e é o resultado doGradiente de pressão, que

68

Gradiente de pressão, queaumenta com a profundidade.

► A linha de ação da força empuxo, FB, passa pelo centróidedo volume deslocado e o ponto de aplicação dessa força échamado de centro de empuxo.p

► O centro de empuxo corresponde ao centro de gravidade

69do massa de fluido deslocado.

Exercício

A figura a seguir mostra o esboço de uma bóia comg g çdiâmetro e peso iguais a 1,5 m e 8,5 kN, respectivamente, eque está presa ao fundo do mar por um cabo. Normalmente,a bóia flutua na superfície do mar, mas em certas ocasiões,o nível do mar sobe e a bóia fica completamente submersa.Determine a força que tensiona o cabo na condiçãomostrada na figura.(γágua do mar = 10,1 kN/m3)

70

Solução

éequilíbriodecondiçãoaqueseverifaladoaolivrecorpododiagramadopartirA

:

TFTTWF BB

empuxodomagnitudeaéFOnde

B ,:

cabonotensãoaéTboiadapesodomagnitudeaéW

pgB

.,

,

boiapeladeslocadoáguademassadevolumedopesoFB

4,

33

enunciadonodadoNW

NVF águaB

).(105,8

2,17848)75,0(34101,10

3

33

71NTPortanto 2,934885002,17848,

► Estabilidade

• Existem duas condições de equilíbrio:• Existem duas condições de equilíbrio:→ estável;→ instável.

• As situações de estabilidade e instabilidadedependem:

→ Localização do corpo no fluido: submersoou flutuando.

→ Posição relativa entre os centro de gravi-ç gdade, CG, e do centro de empuxo, c.

► Lembrando que o centro de empuxo corresponde ao► Lembrando que o centro de empuxo corresponde aocentro de gravidade do massa de fluido deslocado.

72

► Corpo submerso com Centro de gravidade, CG, abaixo docentro de empuxo, c.

► Note: feita uma rotação a partir da posição de equilíbrio,o binário F e W criará um momento de restauraçãoo binário FB e W criará um momento de restauração.

► Esta é uma situação de equilíbrio estável, pois a posiçãoí é

73de equilíbrio original é restaurada.

► Corpo submerso com Centro de gravidade, CG, acima docentro de empuxo, c.

► Note: feita uma rotação a partir da posição de equilíbrio,o binário F e W criará um momento de emborcamentoo binário FB e W criará um momento de emborcamento.

► Esta é uma situação de equilíbrio instável, pois o corpo seá í

74moverá para outra posição de equilíbrio.

► Corpo flutuando com Centro de gravidade, CG, acima docentro de empuxo, c, mas dentro do volume deslocado

► Note: feita uma rotação a partir da posição de equilíbrio,o binário FB e W criará um momento restaurador.

► Esta é uma situação de equilíbrio estável, pois a posiçãode equilíbrio original é restaurada.

75

► Corpo flutuando com Centro de gravidade, CG, acima docentro de empuxo, c, e acima do volume deslocado.

► Note: feita uma rotação a partir da posição de equilíbrio,o binário F e W criará um momento de emborcamentoo binário FB e W criará um momento de emborcamento.

► Esta é uma situação de equilíbrio instável, pois o corpo seá í

76moverá para outra posição de equilíbrio.

2.8 Variação da pressão num fluido em movimento

► Estamos considerando fluidos em repouso ou empmovimento nos quais as tensões de cisalhamento sejamnulas.

► Para um fluido em repouso ou MRU,

0 kk poup

► Para um fluido em movimento, todas as moléculas se

0 kk poup

movimentam com a mesma velocidade, mesmo que estavarie com o tempo, isto é, com a mesma aceleração, casoexista. Este é um comportamento similar a de um corpoírígido. Logo,

ak p77

► De modo análogo, se um fluido estiver contido em umtanque que rotaciona em torno de um eixo fixo, então, estefluido rotacionará junto com o tanque como se fosse umfluido rotacionará junto com o tanque como se fosse umcorpo rígido – desde que não haja tensões de cisalhamento.

78