universidade federal do abc aula 1 conceituação das...
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EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Universidade Federal do ABC
Aula 1 Conceituação das equações
diferenciais parciais
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Porquê?
vvvvv
vvv
v
gpqTkEt
E
gpt
t
:
0
Equações de Navier-Stokes para um fluido compressível e viscoso
Conservação da massa
Conservação do momento linear (2ª Lei de Newton)
Conservação da energia (1ª Lei da Termodinâmica)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Navier & Stokes
Claude-Louis Navier
• Engenheiro e Matemático. • Membro da Academia de
Ciências da França. • Criador da teoria da
elasticidade. • Um dos principais teóricos da
mecânica dos fluidos. • Seu nome está gravado na
galeria de heróis da Torre Eiffel.
Sir George Stokes
• Físico e Matemático.
• Professor de matemática em Cambridge.
• Um dos principais teóricos da mecânica dos fluidos.
• Também publicou trabalhos sobre a luz, polarização e fenômenos químicos.
• Há uma cratera na Lua com seu nome.
(1785-1836) (1819-1903)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Classificação de EDPs
Linear • A variável dependente e suas derivadas mantém relações
lineares. Não há produtos entre a variável dependente e suas derivadas.
• Soluções independentes podem ser somadas para gerar uma outra solução.
Exemplo:
Onda unidimensional
x
ua
t
u
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Classificação de EDPs
Não-linear • Há produtos entre a variável dependente e suas
derivadas.
• Soluções independentes não podem ser somadas para gerar uma outra solução.
Exemplo:
Equação de Burgers para fluidos invíscidos
x
uu
t
u
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
EDPs de segunda ordem
Dada uma função f(x,y), a forma mais completa de uma EDP de segunda ordem é
02
22
2
2
GF
yE
xD
yC
yxB
xA f
fffff
Isolando os termos de segunda ordem, temos
GF
yE
xD
yC
yxB
xA f
fffff2
22
2
2
Hy
Cyx
Bx
A
2
22
2
2 fff
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
EDPs de segunda ordem
Assim, abstraimos os termos de ordem 1, e podemos buscar relações entre A, B, C e as derivadas segundas.
Primeiramente, definimos
dyy
dxyx
d
dyyx
dxx
d
y
x
2
22
2
2
2
fff
fff
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
EDPs de segunda ordem
A busca de uma solução para cada um dos termos nos leva a:
(regra de Cramer)
dydx
dydx
CBA
dyd
ddx
CHA
yx
y
x
0
0
0
0
2 f
f
f
dydx
dydx
CBA
ddx
ddydx
HBA
y
y
x
0
0
0
2
2 f
f
f
dydx
dydx
CBA
dydxd
dyd
CBH
x
y
x
0
0
0
2
2 f
f
f
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
EDPs de segunda ordem
Para garantir que
devemos resolver
0
0
0
dydx
dydx
CBA
022 CdxBdxdyAdy
Dividindo por dx2 0
2
C
dx
dyB
dx
dyA
As soluções desta equação são as “curvas características” do espaço físico (a,b):
A
ACBB
dx
dy
2
42
,
ba
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
EDPs de segunda ordem
O sistema de EDPs é, portanto, classificado segundo o valor de (B2 - 4AC):
(B2 - 4AC) < 0 elíptico
(B2 - 4AC) = 0 parabólico
(B2 - 4AC) > 0 hiperbólico
02
22
2
2
GF
yE
xD
yC
yxB
xA f
fffff
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Equações elípticas
• (B2 - 4AC) < 0 em todos os pontos do espaço.
• Uma EDP elíptica não tem curvas características reais.
• Uma perturbação se propaga instantaneamente em todas as direções.
Exemplos:
• Equação de Laplace
• Equação de Poisson
02
2
2
2
yx
ff
),(2
2
2
2
yxfyx
ff
Espaço de
soluções
Condições de
contorno
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Equações parabólicas
• (B2 - 4AC) = 0 em todos os pontos do espaço.
• O domínio de soluções é um espaço aberto.
• Apenas uma solução (uma curva característica).
Exemplos:
• Condução de calor em uma dimensão
• Difusão viscosa
2
2
x
T
t
T
a
2
2
y
u
t
u
Espaço de
soluções
Condições de
contorno
Condições de
contorno
Condições Iniciais
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Equações hiperbólicas
• (B2 - 4AC) > 0 em todos os pontos do espaço.
• Uma EDP hiperbólica tem duas curvas características reais.
• Tradicionalmente resolvida pelo método das características.
Exemplo:
• Equação de onda de segunda ordem
2
22
2
2
xa
t
ff
Espaço de
soluções
Espaço de
soluções
Condições de
contorno
Condições de
contorno
Condições Iniciais
Condições Iniciais
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Exemplo 1
Classificar a EDP
0)1(2
2
2
22
yxM
ff
Potencial de velocidade em
duas dimensões
Solução:
10)1( 2 CBMA
02
22
2
2
GF
yE
xD
yC
yxB
xA f
fffff
)1(44 22 MACB
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Interpretação física
Um corpo se movendo em um fluido.
M < 1 M = 1 M > 1
elíptica parabólica hiperbólica
)1(44 22 MACB
subsônico transsônico supersônico
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
EDPs típicas em CFD
Equação de Laplace
Equação de Poisson
Condução de calor
Difusão viscosa
Equação de onda
Equação de Burgers
02
2
2
2
yx
ff
),(2
2
2
2
yxfyx
ff
2
2
2
2
y
T
x
T
t
Ta
2
2
y
u
t
u
2
22
2
2
x
ua
t
u
x
uu
t
u
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
SISTEMA DE EDPS DE PRIMEIRA ORDEM
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Classificação de um sistema de EDPs de primeira ordem
Considere o sistema
0
0
24321
14321
y
vb
y
ub
x
vb
x
ub
t
v
y
va
y
ua
x
va
x
ua
t
u
Chamando
2
1
43
43
21
21][][
bb
aaB
bb
aaA
v
u
Teremos
0][][
yB
xA
t
É bem mais simples, mas as
variáveis são matrizes e vetores
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Interpretando
• Se [A] tiver autovalores reais e distintos, o sistema é hiperbólico em t e x.
• Se [A] tiver autovalores complexos, o sistema é elíptico em t e x.
• Se [B] tiver autovalores reais e distintos, o sistema é hiperbólico em t e y.
• Se [B] tiver autovalores complexos, o sistema é elíptico em t e y.
0][][
yB
xA
t
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Sistema em regime
Chamando
O sinal de H=R2-4PQ determinará a natureza do sistema:
0][][
yB
xA
t
23
23
41
41
bb
aa
bb
aaRBQAP
H<0 elíptico H=0 parabólico H>0 hiperbólico
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Exemplo 2
Classifique o sistema de EDPs
0
0
y
u
x
v
y
v
x
u
Solução:
Reescrevemos o sistema na forma onde
0
yB
xA
01
10
10
01BA
v
uq
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Exemplo 2
Reconhecendo que o sistema está e regime (d/dt=0)
Calcula-se
H=R2-4PQ H=-4
011
10
00
1111
RQP
O sistema é elíptico.
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Exemplo 2b
Mesmo problema, com outra solução...
0
0
y
u
x
v
y
v
x
u
Solução:
Definimos yx nBnAT ][][][
yx nnT
01
10
10
01][
xy
yx
y
y
x
x
nn
nn
n
n
n
nT
0
0
0
0][
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Exemplo 2b
O determinante de [T] vale
Desejamos que [T]=0, então
22
yx nnT
xy
yx
nn
nnT ][
022 yx nn 01
2
x
y
n
n
O que significa que é imaginário.
x
y
n
n
O sistema é elíptico.
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Exemplo 3
Classifique o sistema de EDPs
0
0
0
y
p
y
vv
x
vu
x
p
y
uv
x
uu
y
v
x
u
Solução:
Reescrevemos o sistema na forma onde
0
yB
xA
10
00
010
00
10
001
v
vB
u
uA
p
v
u
q
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Calculamos
Exemplo 3
yx nBnAT ][][][
yy
y
y
x
xx
x
nvn
vn
n
un
nun
n
T
0
00
00
00
0
00
][
vvnun
nvnun
nn
T
yx
xyx
yx
0
0
0
][
Assim, 22
yxyx
yxyyyxxx
nnvnunT
vnunnnvnunnnT
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Exemplo 3
Queremos que 022 yxyx nnvnunT
Dividindo por 3
xn
012
2
u
n
nv
n
n
x
y
x
y
De onde obtemos duas condições:
v
u
n
n
x
y 1
x
y
n
n
O sistema é elíptico. O sistema é hiperbólico.
O sistema é misto hiperbólico/elíptico.
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
SISTEMA DE EDPS DE SEGUNDA ORDEM
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Sistemas de segunda ordem
Em muitas ocasiões as equações de Navier-Stokes podem resultar em EDPs de segunda ordem:
• Termos viscosos da equação do momento
• Termo de condução de calor da equação de energia
O método mais fácil de classificação consiste em reduzir a ordem das equações e trabalhar como se fossem EDPs de primeira ordem.
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Classificação de um sistema de EDPs de segunda ordem
Um fluido incompressível bidimensional em regime:
2
2
2
2
2
2
2
2
Re
1
Re
1
0
y
v
x
v
y
p
y
vv
x
vu
y
u
x
u
x
p
y
uv
x
uu
y
v
x
u
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Classificação de um sistema de EDPs de segunda ordem
Chamando
Temos que
Temos ainda que
y
uc
y
vb
x
va
by
v
x
u
y
a
yx
v
x
v
y
x
b
yx
v
y
v
x
2
2
0
y
a
x
b
0
y
b
x
c
Da mesma maneira:
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Classificação de um sistema de EDPs de segunda ordem
O novo sistema de EDPs fica:
vbuay
p
y
b
x
a
vcubx
p
y
c
x
b
y
a
x
c
y
a
x
b
y
v
x
u
cy
u
Re
1
Re
1
0
0
0
Tem mais equações, mas é de
primeira ordem
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Classificação de um sistema de EDPs de segunda ordem
Este sistema pode ser escrito na forma vetorial como
onde
Cy
QB
x
QA
vbua
vcub
c
CB0
0
0
1
0
0
0
0
0
0Re
1
0
0
0
0
Re1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0Re
1
0
1
0
0
Re1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
A
p
c
b
a
v
u
Q
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Classificação de um sistema de EDPs de segunda ordem
Com este sistema, teremos
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Classificação de um sistema de EDPs de segunda ordem
Agora podemos calcular | T |:
0Re
1 2222 yxy nnnT
022 yx nn
01
2
x
y
n
n
1x
y
n
n
O sistema é elíptico.
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Exemplo 4
As equações que governam o movimento de um escoamento inviscido e unidimensional são conhecidas como equações de Euler. Assumindo-se que o fluido é um gas perfeito, o sistema de EDPs é
Classifique este sistema de EDPs.
0
01
0
2
x
ua
x
pu
t
p
x
p
x
uu
t
u
x
u
xu
t
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Exemplo 4
O sistema pode ser reescrito como
onde
ua
u
u
A
p
uQ
20
10
0
0
x
QA
t
Q
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Exemplo 4
Os autovalores deste sistema são obtidos de (veja a aula 1b)
0
0
10
0
2
ua
u
u
0
0)(1
22
2
auu
auuu
13
2
1
u
au
u
O sistema é hiperbólico.
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
CONDIÇÕES INICIAIS E DE CONTORNO
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Condições iniciais e de contorno
As condições inidiais e/ou de contorno permitem que as soluções de EDPs se transformem em soluções únicas, contrapondo-se a funções genéricas.
Uma condição inicial é aquela na qual a variável dependente tem um determinado valor em algum estado inicial.
Uma condição de contorno é aquela na qual a variável dependente ou sua derivada devem satisfazer em algum ponto do domínio da EDP.
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Seja X(x) uma função no intervalo a x b.
As quatro condições de contorno possíveis são:
Condições de contorno Em inglês: boundary
conditions
Dirichlet
Neumann
Mista
Robin (periódica)
0)(
0)(
bX
aX
0/)(
0/)(
xbX
xaX
0)(
0/)(
bX
xaX
0/)(
0)(
xbX
aX
xbXxaX
bXaX
/)(/)(
)()(
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Exercícios
• Problemas 1.13 do Hoffmann “Computational Fluid Dynamics Vol.I”