UNIDAD 2

ELEMENTOS DEPROBABILIDAD

COMPARACIN ENTRE PROBABILIDADY ESTADSTICA

La probabilidad y la estadstica son dos campos ajenos pero relacionados de las matemticas.- Se ha dicho que la probabilidad es el vehculo de la estadstica.- Es decir, que si no fuera por las leyes de la probabilidad, la teora de la estadstica inferencial no sera posible.-A continuacin se ilustrar la relacin y la diferencia entre esta rama de las matemticas (probabilidad) y estadstica, mediante la observacin de dos cajas.-

Probabilidad5A 5R 5BEstadstica????

Se sabe que la caja de Probabilidad, contiene fichas de pquer: cinco azules, cinco rojas y cinco blancas.- La probabilidad intenta responder preguntas como si se extrae una ficha de la caja, Cul es la probabilidad de que sea azul?.- En la caja de Estadstica se ignora cual es la combinacin de fichas.- Se extrae una muestra y con base en los resultados obtenidos en esta, se hacen conjeturas sobre lo que se cree que hay en la caja.- Observe la diferencia: la probabilidad, pregunta sobre la posibilidad de que ocurra algo especfico (seleccionar una ficha azul) cuando se conocen las posibilidades, es decir se conoce la poblacin.- Por otro lado, la estadstica pide extraer una muestra, describirla y luego hacer inferencia sobre la poblacin con base en la informacin que se obtuvo de la muestra.-

La probabilidad constituye la base para el estudio de los mtodos de la ESTADISTICA INFERENCIAL.-

PRIMEROS TERICOS SOBRE PROBABILIDAD.-Jacobo Bernoulli (1654-1705), Abrahan De Moivre (1667-1754), el reverendo Thomas Bayes (1702-1761), Joseph Lagrange (1736-1813), desarrollaron frmulas y tcnicas para el clculo de las probabilidades En el siglo XIX, Pierre Simn, marques de Laplace (1749- 1827) unific todas estas primeras ideas y compil la primera teora general de las probabilidades.-

Sin tener en cuenta la profesin que se haya elegido, algo si es seguro; en algn momento se han de tomar decisiones.- Con mucha frecuencia esto tendr que hacerse sin conocer todas las consecuencias de tales decisiones.- Por ejemplo, los inversionistas deben decidir sobre la conveniencia de invertir en una accin en particular, con base en sus expectativas sobre rendimientos futuros.- Los empresarios, al decidir comercializar un producto enfrentan la incertidumbre sobre la posibilidad de xito.- En cada caso, como sucede con la mayora de los asuntos comerciales, se han de tomar decisiones sin toda la informacin correspondiente.-

Todo esfuerzo por reducir el nivel de incertidumbre en el proceso de toma de decisiones incrementar enormemente la probabilidad de que se tome decisiones ms inteligentes y bien informadas.- Al mejorar la habilidad para juzgar la ocurrencia de eventos futuros, se puede minimizar el riego y la especulacin arriesgada relacionadas con el proceso de toma de decisiones.-

Las decisiones en los negocios, en la industria y empresas en general se basan en el anlisis de incertidumbres en muchas de las situaciones que se le presentan.-Por ejemplo:a)Cul es la probabilidad de que cambien las ventas si se incrementan los precios?.-b) Cul es la probabilidad de que un proyecto se termine a tiempo?.-c) Cul es la probabilidad de que una nueva inversin sea rentable?.-d) Cul es la probabilidad de que el nuevo mtodo de trabajo aumente la productividad?.-e) Etc.-

El estudio y clculo de las probabilidades se facilita mucho si conocemos algo antes de TEORA DE CONJUNTOS.-

VEAMOS ENTONCES LO ELEMENTAL DE ESTE TEMA.-

TEORIA DE LOSCONJUNTOS

Algunas consideraciones de teora de conjuntos.

Fue Georg Cantor (1845-1918) quin en la segunda mitad del siglo XIX empez a desarrollar la teora de conjunto y esta no solo es importante en el campo de las probabilidades y de la estadstica sino que es fundamental en el desarrollo de toda la matemtica moderna. Veremos de conjunto solo lo elemental que necesitamos para entender probabilidades ya que su teora es muy amplia.

CONJUNTO

Es una coleccin bien definida de objetos.

ELEMENTOS

Son los objetos o cosas de que esta formado el conjunto

Por ejemplo, el curso de Estadstica es un conjunto donde los elementos son las personas que lo componen; Mara, Sara, Lus, Vanesa, Roberto, etc................................Simbolizamos a los conjuntos con letras maysculas, A; B; C;...........y con letras minsculas a los elementos de esos conjuntos, a, b, c,........etc..

Un conjunto se puede describir de dos manera diferente, por:METODO DELISTAMETODO DELA REGLA

Supongamos que nos estamos refiriendo a los alumnos de este curso, que son Susana, Lus, Carla, Mara, Beatriz y Pedro.Por el mtodo de lista, a este conjunto que llam A podremos describirlo como;

A = Susana, Lus, Carla, Mara, Beatriz, Pedro

Por el mtodo de la regla ser;

A = x / x es un alumnos del curso de Estadstica Esto lo leemos como; A es el conjunto de todas las x tales que x es un alumno de este curso de Estadstica.- La lnea vertical / se lee tal que o tales que, segn corresponda.

Conjunto Universal: es el conjunto ms extenso por el cual hay inters en un anlisis dado. Se simboliza al conjunto universal con U. Observamos aqu que hay una total coincidencia entre lo que es una poblacin estadstica y el conjunto universal.Subconjunto: decimos que A es un subconjunto de B si cada elemento de A es tambin un elemento de B. Observamos aqu que muestra es un subconjunto del conjunto poblacin. Por ejemplo si retomamos el ejemplo anterior, si:

B = Susana, Lus

decimos que B es un subconjunto de A que esta formado por; A = Susana, Lus, Mara, Beatriz, Pedro

CONJUNTO IGUALES Y DISTINTOSDos conjuntos A y B son iguales si ambos contienen exactamente los mismos elementos. Por ejemplo: Si A = 1,2,3,4 B = 1,2,3,4

decimos que A = BSi tenemos: A = 1,2,3,4 B = 1,2,3,4,5,6

decimos que A B

Conjunto vaco: El conjunto que no contiene ningn elemento se llama conjunto vaco y se lo simboliza con .Por ejemplo el conjunto A esta formado por todos los argentinos que viajaron a la Luna, evidentemente el conjunto A ser: A =

Veremos como pueden formarse nuevos conjuntos realizando operaciones con ellos. Operaciones con conjuntos. Los resultados de estas operaciones los explicaremos por medio de los diagramas de Venn, nombre que proviene del lgico ingles John Venn (1834-1923), que fue quien creo esta forma de representar conjuntos.

Por ejemplo: U = 1,2,3,4,5 donde A = 1,2,3

en un diagrama de Venn, ser:U

1 2

A 354A

De un subconjunto A del conjunto universal U, al conjunto que consta de todos los elementos de U que no son elementos del conjunto A. Simbolizamos al complemento con una lnea sobre la notacin del conjunto, por ejemplo A o tambin con A.-Del ejemplo anterior: A = 4,5

Llamamos complemento

Interseccin de dos conjuntos U

A B A BLa interseccin de dos conjuntos A y B es el conjunto que contiene todos los elementos de A y de B, es decir que son los elementos comunes. Simbolizamos a la interseccin con .- Ejemplo:El conjunto A consta de todos los alumnos de 5 ao que toma Ingles y el conjunto B consta de todos los alumnos que toman geografa del 5 ao. El conjunto que consta de todos los alumnos que toman Ingles y Geografa es la interseccin de A y B.

Se dice que dos conjuntos A y B son mutuamente excluyentes cuando no tienen elementos en comn.U

A BPor ejemplo: A = 1,2,3 B = 4,5,6

A y B son mutuamente excluyentes puesto que no tienen elementos en comn.

A B =

La unin de dos conjuntos A y B es el conjunto que consta de todos los elementos que son elementos de A o de B o de ambos. Se simboliza la unin con Por ejemplo: A = {1,2,3,4 } B = {3,4,5,6 }A B = {1,2,3,4,5,6}U

A B UNION DE DOS CONJUNTOS

RELACIONES IMPORTANTES ENTRE LOS CONJUNTOS:PROPIEDAD DISTRIBUTIVA

A (B U C) = ( A B) U (A C)A U (B C) = (A U B) (A U C) LEYES DE MORGAN

A U B = A B A B = A U B

Dado el conjunto Universal U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

y damos A = {1,2,3,4} B = {3,4,5,6}

Calcular: a) hacer el diagrama de Venn. b) A B

c) A B

d) A

e) Complemento de A B.VEAMOS UN EJEMPLO COMPLETO:

U

A 1 2 B 5 6 71089

Solucin

b) A B = {1,2,3,4,5,6}

c) A B = {3,4}

d) A = {5,6,7,8,9,10}

e) A B = {1,2,5,6,7,8,9,10}

EJERCICIOS PARA HACER EN CLASE1.- Veinte motores se sacan de una lnea de ensamble y se examinan para ver si tienen defectos.- Once de los motores no tienen defectos, ocho tienen defectos en el acabo exterior y 3 tienen defectos en su armado y no funcionarn.- Sea A el conjunto de motores que tienen defectos de armado y F el conjunto que tiene defectos en su acabado exterior.- Con A y F, escribir una notacin simblica para:

Elaborar un diagrama de Venn para A y F.-El conjunto de motores que tienen los dos tipos de defecto.- El conjunto de motores que tiene por lo menos un tipo de defecto.- El conjunto de motores que no tiene defectos.- El conjunto de motores que tienen exactamente un tipo de defecto.-

Mencionar a continuacin el nmero de motores en cada conjunto.-

1.- Veinte facturas de ventas se sacan en una Auditoria de cierto comercio grande y se examinan para ver si tienen errores.- Once de las facturas no tienen errores, ocho tienen errores en su confeccin y 3 tienen errores en su monto.- Sea A el conjunto de facturas que tienen errores en su monto y B el conjunto que tiene errores en su confeccin.- Con A y B, escribir una notacin simblica para:

Elaborar un diagrama de Venn para A y B.-El conjunto de facturas que tienen los dos tipos de errores.- El conjunto de facturas que tiene por lo menos un tipo de error.- El conjunto de facturas que no tiene errores.- El conjunto de facturas que tienen exactamente un tipo de error.-

Mencionar a continuacin el nmero de facturas en cada conjunto.-

1.- De un lote de cermico para piso exterior se sacan al azar veinte de ellos para examinarlos si tienen fallas.- Once de los cermicos no tienen fallas, ocho tienen fallas en el brillo, y 3 tienen fallas en las terminacin.- Sea A el conjunto de cermicas que tienen fallas en el brillo y B el conjunto de cermicas que tienen fallas en la terminacin.- Con A y B, escribir una notacin simblica para:

Elaborar un diagrama de Venn para A y B.-El conjunto de cermicas que tienen los dos tipos de fallas.- El conjunto de cermicas que tiene por lo menos un tipo de falla.- El conjunto de cermica que no tiene fallas.- El conjunto de cermicas que tienen exactamente un tipo de falla.-

Mencionar a continuacin el nmero de cermicas en cada conjunto.-o

1.- En un barrio se seleccionan veinte viviendas al azar para estudiar la cantidad de hijos en edad escolar que hay.- Once de las viviendas no tienen hijos en edad escolar, ocho tienen hijos en edad escolar primaria y 3 tienen hijos en edad escolar secundaria.- Sea A el conjunto de viviendas con hijos en escolaridad primaria y B el conjunto de viviendas que tienen hijos en escolaridad secundaria.- Con A y B, escribir una notacin simblica para:

Elaborar un diagrama de Venn para A y B.-El conjunto de viviendas que tienen hijos en los dos tipos de escolaridad.- El conjunto de viviendas que tiene hijos por lo menos en un tipo de escolaridad.- El conjunto de viviendas que no tiene hijos en ninguna escolaridad.- El conjunto de viviendas que tienen hijos exactamente en un tipo de escolaridad.-Mencionar a continuacin el nmero de viviendas en cada conjunto.-

1.- De un contingente de turistas que vinieron este invierno a La Rioja se seleccionan veinte al azar para estudiar que recorrieron de la provincia.- Once de los turistas no fueron a ningn lado, ocho fueron a Talampaya y 3 fueron a Chilecito.- Sea A el conjunto de turistas que fueron a Talampaya y B el conjunto de turistas que fueron a Chilecito.- Con A y B, escribir una notacin simblica para:

Elaborar un diagrama de Venn para A y B.-El conjunto de turistas que fueron a los dos lados.- El conjunto de turistas que fueron por lo menos a uno de los dos lugares.- El conjunto de turistas que no fueron a ninguno de los dos lugares.- El conjunto de turistas que fueron exactamente a uno de los dos lugares.-

Mencionar a continuacin el nmero de turistas en cada conjunto.-

1.- En una crcel se decide seleccionar al azar veinte presos para estudiar si tienen enfermedades venreas de alto riesgo.- Se encontr que once de ellos no tienen ninguna de estas enfermedades.- Ocho de los presos tienen Sida y tres tienen sfilis.- Sea A el conjunto de presos que tienen sida y B el conjunto de presos que tienen sfilis.- Con A y B, escribir una notacin simblica para:

Elaborar un diagrama de Venn para A y B.-El conjunto de presos que tienen las dos enfermedades.- El conjunto de presos que tiene por lo menos una de las dos enfermedades.- El conjunto de presos que no tienen ninguna de las dos enfermedades.- El conjunto de presos que tienen exactamente una de las dos enfermedades.-

Mencionar a continuacin el nmero de presos en cada conjunto.-

2.- De 25 microcomputadoras disponibles en un almacn, 10 de ellas tienen tarjetas adaptadoras para una impresora, 5 tienen tarjetas adaptadoras para un mdem y 13 no tienen ninguna de stas.- Utilizar A para representar a aquellas que tengan tarjetas de impresoras, M para las que tienen tarjeta de mdem y, luego, representar simblicamente los siguientes conjuntos, as como mencionar el nmero de microcomputadoras que hay en cada uno.-

a) Las que tienen ambas tarjetas.-b) Las que no tengan tarjeta alguna.-c) Las que solo tengan tarjetas para impresora.-d) Las que tengan exactamente una de las tarjetas.-

Solucin

3.- Una empresa adquiere una nueva maquina que debe instalarse y probarse antes de que este lista para su uso.- La empresa esta segura de que no tardara mas de 7 das en instalarla y probarla.- Sea A el evento se necesitaran mas de 4 das para que la maquina este lista y B el evento se necesitaran menos de 6 das para que la maquina este lista.-

a) Describa el evento que es complementario del evento A.-b) Describa el evento que es la interseccin de los eventos A y B.-c) Describa el evento que es la unin de los eventos A y B.-d) son los eventos A y B mutuamente excluyentes?.-e) son los eventos A y B colectivamente exhaustivos?.-

f) Demuestre que (A B) U ( A B) = B

g) Demuestre que A U ( A B) = A U B

Solucin

VISTO LO BASICO DE TEORIA DE LOS CONJUNTOS PODEMOS AHORA INTRODUCIRNOS EN LO ELEMENTAL DEL MUNDO DE LAS PROBABILIDADES

Probabilidad, es la posibilidad o la oportunidad de que ocurra un evento o suceso especfico.-La probabilidad es una proporcin o fraccin cuyo valor se encuentra entre 0 y 1 inclusive.-Se la explica siempre en %.-La probabilidad es 0 cuando el evento nunca va a ocurrir.-La probabilidad es 1 cuando el evento ocurrir con seguridad.-El trmino Probabilidad se refiere al estudio de la aleatoriedad y la incertidumbre.-

En el estudio de las probabilidades definimos:Experimento: un proceso que genera resultados bien definidos.-Ejemplos:Tirar un dado al aire.-Los sueldos de los empleados de una empresa.-Las ventas de un comercio en cierto perodo.-Observar las piezas producidas por una mquina.-Tomar un test de CI a un grupo de alumnos.-El estudio de metros cuadrados construidos en la ciudad.-Etc.-

Es aquel que proporciona diferentes resultados an cuando se repita siempre de la misma manera.-Ejemplo: tirada al aire de un dado Experimento Aleatorio

Lo simbolizamos con SESPACIO MUESTRALEjemplos:Experimento aleatorio: tirar un dado al aire.S = {1,2,3,4,5,6}Experimento aleatorio: tirar una moneda al aireS= {cara, cruz}Es el conjunto de todos los resultados de un experimento aleatorio

EVENTO : SON CADA UNO DE LOS RESULTADOS DEL EXPERIMENTO ALEATORIO LOS QUE TIENEN UN VALOR DE PROBABILIDAD SON LOS EVENTOS:Pueden ser:Simples o CompuestosEjemploExperimento aleatorio: tirar un dado al aireS = {1,2,3,4,5,6}Pr (Salga un 4) es un evento simplePr (Salga un nmero par) es un evento compuesto

TECNICAS DE CONTEOUTILES EN PROBABILIDADES

En muchas de las decisiones empresariales, comerciales o de otra ndole, requieren que se cuente el nmero de subconjuntos que se pueden obtener de un conjunto.- Cuando calculamos probabilidades, nos encontramos que necesitamos poder calcular el nmero de resultados posibles y favorables a un evento, donde es imposible contarlos simplemente como en el caso de la tirada de un dado al aire.- Para estos casos debemos recurrir a las llamadas tcnicas de conteo.-Por ejemplo, una lnea de ventas que consta de 10 productos, Cuntos subconjuntos de 3 productos se pueden ofrecer a los clientes?.- As como este podramos dar muchos ejemplos.-Vamos analizar cuatro tcnicas de conteo que consideramos que son las que ms se suelen presentar, son: regla multiplicacin, permutaciones, permutaciones con repeticin y combinaciones.-

REGLA DE LA MULTIPLICACIN.-Si hay que hacer m operaciones y si las primeras se pueden hacer de n1 formas y sin importarme como se hicieron las primeras la segundas se pueden hacer de n2 formas y as sucesivamente para las m operaciones, entonces la cantidad de operaciones que podemos hacer ser: n1 * n2 * n3 * .. * nmVeamos un ejemplo:- Supongamos que estamos seleccionando en forma aleatoria a tres artculos de un proceso de produccin.- Se examina a cada uno de ellos y se le califica en defectuosos (D) y no defectuosos (N).- Entonces: 2 * 2 * 2 = 8 formas

Cuando son pocas las formas que pueden darse, se suele calcular los eventos del espacio muestral por medio de un DIAGRAMA DE ARBOL.-

1 ART. 2 ART 3 ART EVENTOS D DDD D N DDN D D DND N N DNN D NDD D N NDN N D NND N N NNN

NUMERO DE ORDENACIONES.-Supongamos que tenemos un nmero x de objetos que hay que ordenar.- Cada uno solo puede utilizarse una vez.- Cuntas series diferentes son posibles?.- Podemos imaginar que en este problema se nos pide que coloquemos cada uno de los objetos en cada una de las cajas colocadas en fila.-xX-1X-221.El nmero total de formas posibles de ordenar x objetos viene dado por:

x ( x-1) (x-2).(2) (1) = x !

Donde x ! Es = x factorial.-

PERMUTACIONES Y COMBINACIONES.Al seleccionar los elementos en los subconjuntos, la distincin entre permutaciones y combinaciones depende si el orden de las selecciones hace diferencia.- Si un orden es suficiente para constituir otro subconjunto entonces se trata de permutaciones.-Si dos subconjuntos se consideran iguales debido a que simplemente se han reordenado los mismos elementos, entonces se involucran combinaciones.-Dado un conjunto de n elementos, el nmero de permutaciones, cada uno de tamao r, se determina como, el nmero de permutaciones de n elementos tomados r a la vez: n ! nPr = ( n - r) !

El nmero de combinaciones de n elementos tomados r a la vez es: n ! n C r = r ! (n - r) !

Ejemplos:1.- Supongamos que hay que seleccionar dos letras de A, B, C, D, E y colocarlas en orden:Cuntas permutaciones son posibles?.-

5P2 = = 20

5 !3 !

Los 20 casos son:AB A C A D AE BC BA CA DA EA EC

CB BD BE CD CE DE DB EB DC ED

Un jefe de personal tiene 8 candidatos para cubrir cuatro puestos parecidos.- Cinco son hombres y tres son mujeres.- Si todas las combinaciones de candidatos tienen las mismas posibilidades de ser elegidas.- Cul es el nmero de combinaciones posibles de 4 candidatos elegidos de 8?.- Ahora bien, para que no se contrate a ninguna mujer, los 4 candidatos seleccionados deben provenir de los hombres, entonces, Cul es el nmero de combinaciones para esta seleccin?.-

2.- Si recordamos el caso en donde tenamos 10 productos y deseamos empacar de a tres para ofertas al cliente.- Si se considera que el orden en el cual se ofrecen los 3 productos no influir en los clientes , es decir, que el orden no har diferencia alguna , se debe hallar el nmero de combinaciones de 10 elementos tomados de a 3.- 10 ! 10C3 = --------------------- = 120 formas 3 ! (10 3) !

Si la investigacin sugiri que el orden en el cual se empacaran los 3 productos afectaran las ventas, se debera determinar el nmero de permutaciones de los 10 productos tomados 3 a la vez, 10 ! 10P3 = --------------------- = 720 formas (10 - 3) !

3.-Se tienen cinco aspirantes Ingenieros recin recibidos, (Juan, Daro, Mara, Susana y Natalia) para dos trabajos idnticos.- Un supervisor selecciona dos aspirantes para ocupar esos puestos.- a) Hacer una lista de los modos posibles en que se pueden ocupar los puestos.- Es decir, hacer una lista de todas las selecciones posibles de dos de los cinco aspirantes.-b) Sea A el conjunto de selecciones que contienen por lo menos un hombre.- Cuntos elementos tiene A ?.-c) Sea B el conjunto de selecciones que contienen exactamente un hombre.- Cuntos elementos tiene B?.-d) Escribir el conjunto que contiene dos mujeres, en trminos de A y B.-e) Hacer una lista de los elementos en A, A B, A B, y A B

Probabilidad clsica o a priori o de Laplace

ProbabilidadsubjetivaProbabilidad emprica o probabilidad frecuencialSe estudian diferentes enfoques para determinar la probabilidad de ocurrencia de ciertos fenmenos aleatorios

Dado un evento A 0 P (A) 1Si S es el espacio muestral del experimento P (S) = 13) Si A y B son eventos mutuamente excluyentes P (A U B) = P (A) + P (B)

Estos axiomas se deben cumplir al asignar probabilidad a un evento por cualquier enfoqueEl matemtico ruso Kolgomoroff en 1933Estableci tres axiomas para tener en cuenta en la asignacin de probabilidad de un evento,Qu son:

Es apropiado para asignar probabilidad cuando los resultados del experimento son igualmente probables.- Surgi con los juegos de azar.- Por ejemplo, Si son posibles n resultados experimentales, una probabilidad de 1/n es la que corresponde a cada evento.-PROBABILIDAD CLASICA O A PRIORI O DE LAPLACE

N de formas en que puede ocurrir el evento AP (A) = ---------------------------------------------------------- Nmero total de posibles resultadosCalculo de una probabilidad ser:

EJEMPLO DE PROBABILIDAD CLSICA Se lanza un dado al aire.- Cul es la probabilidad de que se de un 5? 1P (5) = ---------- = 0,167 17 % 6Se tiene un mazo de 52 cartas.- Se decide sacar una carta al azar.-Cul es la probabilidad de que se de un as?.- 4P (as) = ------- = 0,077 8 % 52

PROBABILIDAD EMPRICA O FRECUENCIAL.-Es apropiado para asignar probabilidad cuando se cuenta con datos para estimar la proporcin del tiempo en que ocurrir el resultado experimental si el experimento se repite un nmero grande de veces.-Evidentemente podemos usar este enfoque siempre que tengamos frecuencias.-

Nmero de veces que ha ocurrido el evento A en el pasadoP (A) = ------------------------------------------------------------------------------ Nmero total de observaciones

Calculo de una probabilidad ser:

Nde hijos de obreros de la empresa xi Obreros 0 20 1 45 2 57 3 39 4 28 5 14 6 9 Se decide seleccionar una familia al azar.- Cul es la probabilidad de que esta tenga 3 hijos?.- 39P (3) = --------- = 0,1840 212 18 %EJEMPLO DE PROBABILIDAD FRECUENCIAL

PROBABILIDAD SUBJETIVAEs apropiado para asignar probabilidad cuando se da un experimento en donde no se puede aplicar ninguno de los dos enfoques vistos, y asignamos probabilidad en base al conocimiento del hecho que tenemos.-Por ejemplo: la probabilidad de que maana llueva es del 70%.-

ALGUNAS RELACIONES BASICAS DE PROBABILIDAD

COMPLEMENTO DE UN EVENTODado un evento A, el complemento de A que simbolizamos con A, es el que esta formado por todos los elementos que no estn en A.- En un diagrama de Venn, ser:EjemploUn gerente de ventas despus de revisar los datos dice que la probabilidad de hacer una venta es de 0,80.- La probabilidad de no hacer una venta ser:

P (A) = 1 - P (A) = 1 - 0,80 = 0,20 El evento A y A son mutuamente excluyentes, entonces: P (A) + P (A) = P (S) pero P (A) + P (A) = 1 despejando nos queda; P (A) = 1 - P (A)

LEY ADITIVA O TEOREMA DE LA SUMAEs til cuando se tiene dos eventos y se desea conocer la probabilidad de que ocurra al menos uno de ellos.-Dado los eventos A y B nos interesa conocer la probabilidad de que suceda A o el evento B o ambos.- Se expresa como, P (A U B)

Para poder aplicar la ley aditiva debemos conocer como son los eventos A y Ba) Si los eventos A y B son mutuamente excluyentes, es decir no tienen entre ellos elementos en comn.-EntoncesP (A U B) = P (A) + P (B)ABS

b) Si los eventos A y B no son mutuamente excluyentes, es entonces porque tienen elementos que son comunes a ambos.- En ese caso:ABPodemos decirSP (A U B) = P (A) + P (B) - P ( A B)

EJERCICIO PROPUESTO:1.- El gerente de compras desea hacer pedidos de PAPEL a tres proveedores posibles, a los que enumera 1, 2 y 3.- Todos los vendedores son iguales en lo que respecta a la calidad y precio, por lo tanto, el gerente escribe cada nmero en un trozo de papel; mezcla los papeles y a ciegas selecciona uno de ellos.- Se coloca el pedido con el vendedor cuyo nmero sali seleccionado.- Sea E, el evento en el que se ha seleccionado al proveedor i ( i = 1, 2, 3), B el evento en el que se selecciona al proveedor 1 o 3; y C el evento en el que el proveedor 1 no se selecciona.-

Calcular las probabilidades de los eventos E, B y C.-

PROBABILIDADES MARGINALES Y CONJUNTAS

Si tenemos informacin como para elaborar una tabla de contingencia, observamos como ya hemos visto, que tenemos frecuencias absolutas marginales y frecuencias absolutas conjuntas.- De aqu que podemos entonces calcular Probabilidades Marginales y Conjuntas aplicando el enfoque frecuencial.-

Supongamos que una gran Empresa tiene 1200 empleados de los cuales 960 son hombres y 240 mujeres.- En los ltimos dos aos fueron Jerarquizados solamente 324 empleados de los cuales 288 son hombres.- Con esta informacin elaboramos la siguiente tabla:VEAMOS UN EJEMPLO:

HOMBRES(H)MUJERES(M)TOTAL(A)JERARQUIZADOS28836324(B)NO JERARQUIZADOS672204876TOTAL9602401200

LAS PROBABILIDADES MARGINALES SE CALCULAN CON LOS VALORES QUE SE UBICAN EN LOS MARGENES; Y COMO LOS VALORES DEL CUERPO DE LA TABLA SON VALORES CONJUNTOS, PODEMOS CALCULAR CON ELLOS PROBABILIDADES CONJUNTAS, CADA VALOR ME INDICA UNA INTERSECCION DE AMBOS.-Veamos un ejemplo, con nuestra tabla.- Supongamos seleccionar un empleado al azar.- Cul es la probabilidad de que:Sea una Mujer.-Sea uno No Jerarquizado.-Sea un Hombre y Jerarquizado.-Sea una Mujer y No Jerarquizado.-

SOLUCIONP (M) = 240/1200 = 0,20 20%

b) P (B) = 876/1200 = 0,73 73%

P (A H) = 288 / 1200 = 0,24 24 %

d) P ( M B) = 204 / 1200 = 0,17 17 %

Si de la tabla queremos aplicar la regla adictiva ser:Se selecciona un empleado al azar;Cul es la probabilidad de que sea un Hombre o Un Jerarquizado?Cul es la probabilidad de que sea un Hombre o una Mujer? SolucinP (H U A) = P (H) + P (A) - P (H A) =

= 960/1200 + 324/1200 - 288/1200 =

= 996/1200 = 0,83 83 %

b) P (H U M) = 960/1200 + 240/1200 = 1200/1200 = 1,00

PROBABILIDAD CONDICIONAL

Con frecuencia, la probabilidad de un evento se ve influida por la ocurrencia de otro evento relacionado.- Suponga que tenemos un evento A con P (A).- Si obtenemos nueva informacin y vemos que ha ocurrido un evento relacionado, representado por B; quisiramos aprovechar esta informacin para calcular una nueva probabilidad del evento A.-Esta nueva probabilidad del evento A, se llama Probabilidad Condicional y se escribe P (A / B) y se lee Probabilidad de A dado B o tambin Probabilidad de que habindose dado B se de A

LA PROBABILIDAD CONDICIONAL P (A / B) SE PUEDE CALCULAR COMO

La relacin entre la probabilidad conjunta de A y B y la probabilidad marginal del evento que se dio, es decir

P (A B) P ( A / B) = P (B)

Siempre que P (B) > 0.-

LEY DE MULTIPLICACIONSe usa para determinar la probabilidad de una interseccin de dos eventos.-Esta ley se basa en la definicin de la probabilidad condicional.-De la frmula de probabilidad condicional podemosdespejar P (A B) y entonces tendremos: P (A B) = P (B) P ( A / B) o tambin

P (A B) = P (A) P ( B / A)

EVENTOS INDEPENDIENTESUn concepto bsico de la teora de la probabilidad de particular importancia por sus aplicaciones a la estadstica es el de INDEPENDENCIA.-Si tenemos dos eventos A y B, la idea de independencia estadstica es que la ocurrencia del evento A no cambia la probabilidad de que el evento B suceda, entonces, ser:

P (A B) = P (A) * P (B)

De no darse esto, A y B no son independientes y decimos que los eventos son dependientes.-

Dado dos eventos A y B independientes, recordemos que en el caso de probabilidades condicionadas P (A/B) = P (A) y tambin P (B/A) = P (B)

Porque: P (A B) P (A) * P (B) P ( A / B) = ---------------- = ------------------------- = P (A) P (B) P (B)

P (A B) P (A) * P (B) P ( B / A) = ---------------- = ------------------------- = P (B) P (A) P (A)

EJEMPLO PARA EVENTOS INDEPENDIENTESEl Gerente de una Estacin de Servicio, sabe por su experiencia que el 70% de los clientes usan Tarjeta de Crdito para cargar combustible.- Cul es la probabilidad de que los dos clientes siguientes que compren combustible usen tarjetas de crditos?.-SolucinSi llamamos con A que el Primer cliente use Tarjeta de Crdito.-Si llamamos con B que el Segundo cliente use Tarjeta de Crdito.-

P (A B) = P (A) * P (B) = 0,70 * 0,70 = 0,49 49 %.-

Veamos esto en nuestro ejemplo de los 1200 empleados: a) Por definicin, ser:

P (B H) 672 / 1200 672P (B / H) = ------------------ = ------------------ = -------- = 0,70 70 % P (H) 960 / 1200 960

De la tabla de contingencia tambin podemos calcular probabilidades condicionales

Tambin podemos calcular una Probabilidad Condicional en funcin del espacio muestral del evento que ya se dio de antemano.- Veamos esto en nuestro ejemplo de los 1200 empleados:Con espacio muestral reducido ser:

672 P (B / H) = = 0,70 70 % 960

NO SE DEBEN CONFUNDIR ENTRE SI EL CONCEPTO DE EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES CON EL DE EVENTOS INDEPENDIENTES.-

DOS EVENTOS CUYAS PROBABILIDADES SON DISTINTAS DE CERO NO PUEDEN SER DE MANERA SIMULTANEA MUTUAMENTE EXCLUYENTES E INDEPENDIENTES ENTRE SI.-

SI OCURRE UNO DE LOS EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES, EL OTRO NO SUCEDE, ASI QUE LA PROBABILIDAD DE QUE OCURRA EL OTRO EVENTO SE REDUCE A CERO.- EN CONSECUENCIA SON DEPENDIENTES.- PARA RECORDAR:

VEAMOS UN EJEMPLO COMPLETO DE APLICACIN.-

El Colegio de Ingenieros de cierta provincia chica tiene los siguientes datos sobre la edad y el estado civil de sus 140 socios.-

EDADESTADO CIVILTOTALS.- solteroC.- casadoA.- menos de 30 aos771491B.- 30 aoso ms282149TOTAL10535140

Se decide seleccionar un socio al azar:Aplique las probabilidades marginales para comentar sobre la edad de los socios del Colegio.-Aplique las probabilidades marginales para comentar sobre el estado civil de los socios del Colegio.-Cul es la probabilidad de que sea soltero y tenga menos de 30 aos?.-Si un socio tiene menos de 30 aos.- Cul es la probabilidad de que sea soltero?.-El estado civil de los socios, es independiente de su edad?.- Explique aplicando probabilidad.-Solucin

P (A) = 91/140 = 0,65 65 %

P (B) = 49/140 = 0,35 35 %Mayor probabilidad de que sea menor de 30 aos el elegido al azar por edad.-b) P (S) = 105/140 = 0,75 75%

P (C) = 35 / 140 = 0,25 25%Mayor probabilidad de que sea soltero el elegido al azar por estado civil.-

P (S A) = calculado por probabilidad conjunta ser:

P (S A) = 77 / 140 = 0,55 55 %.-

Calculado por regla de la multiplicacin ser:

P (S A) = P (A) P( S/A) = 91/140 * 77/91 =

= 77/140 = 0,55 55 %.-

o tambin

P (S A) = P (S) P (A/S) = 105/140 * 77/ 105 =

= 77/140 = 0,55 55 %

d) P (S / A) por definicin ser:

P (S A) 77/140 77 P (S/A) = --------------- = ----------- = --- = 0,8462 85 % P (A) 91/140 91

Por espacio muestral reducido, el calculo sera: 77 P (S/A) = --------- = 0,8462 85 %.- 91

e) Para demostrar que Estado Civil y Edad son eventos independientes se tiene que cumplir la igualdad, P ( S A) = P (S) * P (A) Luego: P (S A) = 77 / 140 = 0,55 55 %

P (S) * P (A) = 105/140 * 91/ 140 = 9555/19600 = = 0, 4875 49 %.-Luego P ( S A) P (A) * P (B) Entonces S y A no son independientes.-

VEAMOS UN EJEMPLO COMPLETO DE APLICACIN.-Cuando nos dan la tabla de probabilidad.-

TEOREMA DE PROBABILIDAD TOTAL

Muchas veces interesa la probabilidad de ocurrencia de un evento, pero solo se conoce la probabilidad de ocurrencia del mismo asociado a factores relacionados (o sea las probabilidades condicionadas a los distintos factores) y las probabilidades de ocurrencia de dichos factores.-Veamos el caso para dos eventos, pero se puede generalizar para n eventos.- Supongamos poder dividir el espacio muestral en dos eventos que llamamos E1 y E2Se da un cierto evento A y observamos que:A = (E1 A) U (E2 A)

SE1E2A

Como cada una de estas situaciones planteadas son mutuamente excluyentes, por el 3 axioma de probabilidad, ser: P (A) = P (E1 A) + P (E2 A)Pero por regla de la multiplicacin sabemos que lo expresado es P (A) = P (E1) P (A/E1) + P (E2) P (A/E2)Veamos un ejemplo.-En base a un estudio anterior, se sabe que las viviendas de cierto barrio adjudicado el 60% son gente de Bajos Recursos y el 40% de Clase Media.- Entre la gente de Bajos Recursos el 30% no las modificaron, entre los de Clase Media el 10% no las modificaron.- Cul es la probabilidad de que una vivienda elegida al azar de las del barrio no sea una modificada?.- Solucin

Veamos que datos disponemos segn el enunciado:A = Bajos Recursos P (A) = 0,60B = Clase Media P (B) = 0,40Llamo con C = no la modificaron P ( C/A) = 0,30 P (C/B) = 0,10P (C ) = P (A) P (C/A) + P (B) P (C/B)

= 0,60 * 0,30 + 0,40 * 0,10

= 0,18 + 0,04 = 0,22 22%

TEOREMA DE BAYES.-Del teorema de probabilidad total podemos hacer una ampliacin.- Supongamos que ahora se elige una vivienda al azar y se encuentra que no fue modificada.- Cul es la probabilidad de que se haya adjudicado a gente de Bajos Recursos?.-Observamos que esta pregunta no es ms que una probabilidad condicional, P (A C) P (A/C) = -------------------- P (C)Sabemos que el numerador no es ms que una interseccin que como conocemos de antemano ciertas probabilidades, aplicamos el Teorema de la multiplicacin y el denominador no es ms que la probabilidad total que calculamos antes.-Por lo tanto nos queda,

P (A C) P (A) P (C/A) 0,60 * 0,30P (A/C) = ----------------- = --------------------- = ----------------- = P (C) P( C) 0,22

0,18 = ------------ = 0,8182 82 % 0,22 Esto es lo que conocemos como TEOREMA DE BAYES.-

Este teorema se lo debemos al Clrigo Thomas Bayes (1702 1761), que estaba muy interesados en las matemticas.-

Haciendo una generalizacin sera : Si B1, B2..Bj, forman una particin de S y A es cualquier evento en S, entonces:

P (Bj) * P (A / Bj) P ( Bj / A) = P(Bj) P (A/Bj)

Donde j = 1,2,3..k.-

VEAMOS UN EJEMPLODE APLICACION:

Una Ca. Compra neumticos de dos proveedores I y II.- El proveedor I tiene un antecedente de suministrar con 10 % de defectos, en tanto que el proveedor II, tiene una tasa de solo el 5% de defectos.- Supngase que el 40% de las existencias actuales vinieron del proveedor I. Si se toma una llanta al azar de esa existencia: a) Cual es la probabilidad de que sea una defectuosa?.-b) Si se dio una defectuosa, calcular la probabilidad de que la haya suministrado el proveedor I?Solucin

a) P (A ) = P(B1) * P(A/B1) + P(B2) * P(A/B2) = 0,40 * 0,10 + 0,60 * 0,05 = = 0,04 + 0,03 = 0,07 7% Sea A = el evento de que el neumtico sea defectuoso.Sea Bi el evento en el que un neumtico lo haya vendido el proveedor i = I, II y ntese que B1 y B2 forman una particin del experimento que consiste en seleccionar un neumtico.- Entonces tenemos como dato:

P(B1) = 0.40 P(B2) = 0.60 P(A/B1) = 0.10 P(A/B2) = 0.05

b) P (B1) * P (A/B1)P( B1 / A) = = P (B1) * P (A/B1) + P (B2) * P (A/B2)

0,40 * 0,10 = = 0,5714 69 % 0,40 * 0,10 + 0,60 * 0,05

El Proveedor I tiene mayor probabilidad de haber surtido el neumtico defectuoso que el Proveedor II.

Ejemplo 2 de Bayes.- El Departamento de Personal de una empresa muy grande ha descubierto que solo el 60 % de los candidatos entrevistados estn realmente calificados (Q) para asumir un cargo en la compaa.- Una revisin de los registros de la firma muestra que quienes estaban calificados, el 67% tuvo un entrenamiento previo en estadstica (T), mientras que el 20% de quienes no estaban calificados haban recibido instruccin estadstica mucho antes.- Es decir:

P (Q) = 0,60 P ( T/Q) = 0,67 P (T/Q) = 0,20

El director de personal puede ver claramente que dado que usted esta calificado, es ms probable que usted tenga algo de capacitacin en estadstica que si no est calificado 0,67 > 0,20.-Se perdi mucho tiempo entrevistando a los candidatos que resultaron no calificados; sin embargo, el director est considerando conceder entrevistas solo a aquellos candidatos que tengan capacitacin en estadstica.-

El espera incrementar la probabilidad de encontrar candidatos calificados para ocupar el cargo.- La pregunta sera entonces, es ms probable que usted est calificado dado que ha tenido capacitacin, P (Q/T)?.-Si es as, el departamento de in podra evitar demoras y costo innecesario restringiendo las entrevistas solo a aquellos candidatos que tengan capacitacin en anlisis estadstico.-SOLUCIONUtilizando la regla de probabilidad condicional,

P (Q T) P (Q) * P ( T/Q) 0,60 * 0,67 P (Q/T) = = = P (T) P (T) P (T)

Debido a que los registros de la empresa no proporcionan P (T), se debe utilizar el teorema de Bayes para hallar el denominador.- Existen dos formas en las que un candidato puede tener entrenamiento previo: 1) el candidato puede estar calificado y tener capacitacin P (Q T) y 2) el candidato puede no estar calificado y tener entrenamiento P (Q T).- Por tanto, P (T) = P (Q T) + P (Q T) = 0,60 * 0,67 + 0,40 * 0,20 = = 0,482Entonces: 0,60 * 0,67 P (Q/T) = = 0,834 0,482

Conclusin: Para aumentar la probabilidad de entrevistar solo candidatos calificados, el departamento de personal debera entrevistar solamente a los candidatos que tienen capacitacin en anlisis estadstico.-

EJERCICIOS PROPUESTOS1.- En cierta planta de montaje, tres mquinas B1. B2, B3, montan 30,0%, 45,0% y 25% de los productos respectivamente.- Se sabe por experiencia pasada que 2%, 3% y 2% de los productos ensamblados por cada mquina, respectivamente tienen defectos.-Ahora suponga que se selecciona de forma aleatoria un producto terminado:

a) Cul es la probabilidad de que ste defectuoso?.-

b) Cul es la probabilidad de que si es defectuoso, este ensamblado por la mquina B3?.- SolucinRespuestas: a) 0,0245 b) 0,2041

2.- Una planta de ensamble recibe sus reguladores de voltaje de tres proveedores diferentes, 60% del proveedor B1, 30% del proveedor B2 y 10% del proveedor B3.-Si el 95% de los reguladores de voltaje que provienen de B1, 80% de los reguladores del proveedor B2 y el 65% de los reguladores del proveedor B3, tienen un rendimiento de acuerdo a las especificaciones, nos gustara saber la probabilidad de:Que cualquier regulador de voltaje recibido por la planta d un rendimiento segn las especificaciones.- Llame A evento de que un regulador recibido por la planta tiene rendimiento conforme a las especificaciones.-Que un regulador de voltaje especfico, cuyo rendimiento corresponde a las especificaciones, provenga del proveedor B3.-

3.- A medida que ciertos artculos llegan al final de una lnea de produccin, un inspector elige aquellos que sern sometidos a una inspeccin completa.- Diez por ciento de todos los artculos producidos son defectuosos.- Sesenta por ciento de todos los artculos defectuosos y veinte por ciento de todos los artculos buenos son sometidos a una inspeccin completa.- Dado que un artculo es sometido a una completa, a) Cual es la probabilidad de que sea defectuoso?.-

4.- Los clientes se encargan de evaluar los diseos preliminares de varios productos.- En el pasado, el 95% de los productos que con mayor xito en el mercado recibieron buena evaluacin, el 60% de los productos con xito moderado recibieron buenas evaluaciones, y el 10% de productos de escaso xito recibieron buenas evaluaciones.- Adems, el 40% de los productos ha tenido mucho xito, el 35% un xito moderado, y el 25% una baja aceptacin.- a) Cul es la probabilidad de que un producto obtenga una buena evaluacin?.-Si un nuevo diseo obtiene una buena evaluacin, b) cual es la probabilidad de que se convierta en un producto de gran xito?.-

5.- Los motores elctricos que salen de dos lneas de ensamble se almacenan en una bodega comn, dicha bodega contiene un nmero igual de motores de cada lnea.-Los motores se muestran peridicamente en esa bodega y se prueban.- Se sabe que el 10% de los motores de la lnea 1 son defectuosos y el 15% de la lnea 2 son defectuosos.- Si se selecciona un motor al azar en la bodega y se encuentra que tiene defectos.- Calcular la probabilidad de que provenga de la lnea 1.-

6.- Si se dispone de dos mtodos, el A y el B para ensear determinada destreza en manufactura.- El ndice de reprobados es de 20% para el mtodo A y 10% para el mtodo B.- Sin embargo, el mtodo B es ms caro y por lo tanto, solo se usa el 30% del tiempo y el mtodo A el otro 70%.-A un trabajador se lo adiestra con uno de los dos mtodos, pero no puede aprender en forma correcta.- Cul es la probabilidad de que se haya adiestrado con el mtodo A?.-

7.- Un armador de ventiladores elctricos usa motores de dos proveedores A y B.- La Compaa A suministra el 90% y la Compaa B el otro 10% de los motores.- Supngase que se sabe que el 5% de los motores que suministra A son defectuosos y que el 3% de los que suministra B son defectuosos.- Se encuentra que un ventilador ya armado tiene un motor defectuoso.- Cules la probabilidad de que ese motor haya sido suministrado por la Compaa B?.-

8.- Un depsito tiene lmparas de tres tipos, el 45% son de tipo A, el 35% son de tipo B y el 20% son de tipo C.- Se sabe adems que los porcentajes de defectuosas son en cada tipo, 2%, 3% y 5%, respectivamente.- Se toma del depsito una lmpara al azar;Cual es la probabilidad de que sea defectuosa (D)?.-

VARIADOS

2.- Una compaa tiene dos expendios al menudeo.- Se sabe que el 30% de los clientes potenciales compran productos solo en la tienda I, el 50% compra en la tienda II, el 10% compra en la tienda I y II, y el 10% de los consumidores no compra en ninguna de las dos tiendas.-Sea A el evento en el que un cliente potencial, seleccionado al azar, compra en la tienda I, y B el evento en el que compra en la tienda II.-Calcular las siguientes probabilidades:a) P (A) b) P (A U B) c) P (B)

d) P( A B) e) P (A U B)

f) P( A B) g) P (A U B)

Solucin

3.- Para encontrar defectos se inspeccionan las partes hidrulicas del tren de aterrizaje que provienen de una instalacin de reparacin de aviones.- Los antecedentes muestran que 8% tienen defectos solo en los ejes, 6% tienen defectos solo en los bujes y que el 2% tienen defectos tanto en los ejes como en los bujes.-Si se seleccionan al azar las partes hidrulicas que se usarn en una aeronave, determinar la probabilidad de que se tengan:

a) Un defecto en los bujes.- b) Un defecto en un eje o en un buje.- c) Solo uno de los tipos de defectos.- d) Ningn defecto en los ejes o en los bujes.-

Solucin

4.- La probabilidad de que una Industria americana se localice en La Rioja es de 0,70, de que se localice en San Juan es de 0,40 y de que se localice en La Rioja o en San Juan o en ambas es de 0,80.-Cual es la probabilidad de que la industria se localice en:Ambas ciudades.- En ninguna de ellas.- Solucin

EJERCICIOS PROPUESTOS:1.- De 100 estudiantes que terminaron un postgrado de Estadstica, 20 eran ejecutivos.- Diez obtuvieron A en el curso y tres de estos eran ejecutivos.- Supongamos que B representa a los ejecutivos.-Suponga que el estudiante seleccionado al azar es ejecutivo.- a) Muestre estos hechos en un diagrama de Venn.- b) Se desea conocer la probabilidad de que el estudiante obtuviera una A.-Solucin

2.- Suponga que un supervisor debe seleccionar un trabajador para un puesto especial.- Lleva a cabo la seleccin mezclando los cuatro nombres y tomando uno al azar.- Sea A el evento de que se selecciona el trabajador 1 o 2.- B el evento de que se selecciona el trabajador 1 o 3.- C el evento de que se selecciona el trabajador 1.- Son independientes A y B?.- Son independientes A y C?.- Solucin

3.- Los registros indican que las partes que salen de un taller de reparacin de componentes hidrulicos en una instalacin de reparacin de aviones, el 20% tendr un defecto en el eje, el 10% tendr defectos en un buje y el 75% no tendr defectos.-Para un articulo seleccionado al azar de esta produccin, calcular las probabilidades de que:A: el articulo tenga por lo menos un tipo de defecto.-B: el articulo solo tenga defectos en el eje.-Solucin

4.- Una seccin de un circuito elctrico tiene dos relevadores en paralelo como mostramos en la siguiente figura.-

Los relevadores trabajan en forma independientes, y cuando se conecta un interruptor, ambos cierran en forma correcta con una probabilidad de tan solo 0,80.- Si ambos relevadores estn abiertos, calcular la probabilidad de que la corriente pase de S a T cuando se conecta un interruptor.- Sea O un relevador abierto y C un relevador cerrado.- Adems A representa el evento de que la corriente pasa de S a T.-ST21

5.- Suponga que un Arquitecto en el trayecto, de su casa al estudio hay tres semforos.- Cuando el Arquitecto llega a un semforo, puede este estar en rojo (R) o en verde (V).-Enumere el espacio muestral, indicando todas las secuencias posibles de luces rojas y verdes que pueden ocurrir en un viaje desde su casa al estudio.--- En el supuesto que cada elemento del espacio muestral tiene la misma probabilidad de ocurrir: b) Cual es la probabilidad de que en el siguiente recorrido al estudio, usted deba detenerse durante una sola luz roja?.- c) Cul es la probabilidad de que la persona deba detenerse durante por lo menos una luz roja?.-

Solucin

6.- Un estudio de Arquitectura compra papelera a uno de los tres vendedores que llamo V1 , V2 , V3 .- Se ordena un pedido por da, tal que (V2 V3) significa que el vendedor V2 recibe el pedido el primer da y el vendedor V3 lo recibe el segundo da.- Determine el espacio muestral de este experimento de solicitar papelera en dos das sucesivos.- Suponga que se seleccionaron los vendedores al azar cada da y asigne probabilidad a cada evento del espacio muestra.-c) Sea A el evento de que el mismo vendedor recibe los dos pedidos.-Sea B el evento de que V2 consigue por lo menos un pedido.-Calcule las siguientes probabilidades: P (A) P (B) P (A U B) P ( A B)

7.- Un estudio de mejoramiento de la produccin de un fabricante de semiconductores proporciono datos de defectos para una muestra de 450 placas de silicio.- Los siguientes datos presenta un resumen de las respuestas a dos preguntas, se encontraron partculas en el troquel que produjo la placa de silicio? Y las placas eran buenas o malas?.-

Calidad de la placaCondicin del troquel TotalSin partculasPartculasBuenas32014334Malas8036116Total40050450

Suponga que se sabe que una placa de silicio es mala, Cul es la probabilidad de que fuera producida con un troquel que tena partculas?.- Suponga que se sabe que una placa de silicio es buena, Cul es la probabilidad de que fuera producida con un troquel que tena partculas?.- son estos dos eventos, una placa buena y un troquel sin partculas estadsticamente independientes?.- Explique su respuesta.-

8.- La probabilidad de que un hombre casado vea un cierto programa de TV de Arquitectura es de 0,40 y la de que una mujer casada lo haga es de 0,50.- La probabilidad de que un hombre vea el programa dado que su esposa lo hace es de 0,70.- Encuentre las probabilidades de que:a) Una pareja de casados vea el programa.-b) Una esposa vea el programa dado que su esposo lo hace.-c) Al menos una persona de un matrimonio vea el programa.-

9.- Se sabe que el 42% de los Arquitectos son mujeres.- Se sabe adems que el 24% de las mujeres y el 16% de los hombres Arquitectos son desocupados.-Hallar la probabilidad de que un Arquitecto elegido al azar este desocupado.- Cual es la probabilidad de que tenga trabajo?.- Cul es la probabilidad de que si se dio un Arquitecto desocupado , este sea un hombre?.-