UNIDAD 2.

TEORÍA ELEMENTAL DE PROBABILIDAD Duración: 14 Horas

Competencia: Determinar valores de probabilidad de eventos aleatorios propuestos por el profesor, utilizando los conceptos básicos y las reglas, necesarias para la cuantificación del riesgo en la toma de decisiones, con precisión y sentido crítico.

Reseña histórica de la probabilidad Jacob Bernoulli (1654 - 1705), Abraham de Moivre (1667 - 1754), el reverendo Thomas Bayes (1702 - 1761) y Joseph Lagrange (1736 - 1813) desarrollaron fórmulas y técnicas para el cálculo de la probabilidad. En el siglo XIX, Pierre Simon, marqués de Laplace (1749 - 1827), unificó todas estas primeras ideas y compiló la primera teoría general de la probabilidad. La teoría de la probabilidad fue aplicada con éxito en las mesas de juego y, lo que es más importante, en problemas sociales y económicos. La industria de seguros requería un conocimiento preciso acerca de los riesgos de pérdida. Muchos centros de aprendizaje estudiaron la probabilidad como una herramienta para el entendimiento de los fenómenos sociales. Nuestra necesidad de tratar con total incertidumbre nos lleva a estudiar y utilizar la teoría de la probabilidad. Al organizar la información y considerarla de manera sistemática, seremos capaces de reconocer nuestras suposiciones, comunicar nuestro razonamiento a otras personas y tomar una decisión más sólida.

2.1 Definiciones de básicas de probabilidad

2.1.1Experimento: Proceso que genera resultados bien definidos

La probabilidad mide la frecuencia con la que aparece un resultado determinado cuando se realiza un experimento.

Ejemplo: preguntamos a muchas personas, cuanto está dispuesto a pagar por que le laven su auto y queremos saber cual es la probabilidad de que diga $50, o que conteste entre $50 y $60, o que responda menos de $100. Contamos las veces que aparecen estos resultados y los dividimos entre el total de preguntas para cuantificar la probabilidad.

El experimento tiene que ser aleatorio, es decir, que pueden presentarse diversos resultados, dentro de un conjunto posible de soluciones, y esto aún realizando el experimento en las mismas condiciones. Por lo tanto, a priori no se conoce cual de los resultados se va a presentar:

Ejemplos: Preguntamos cuanto esta dispuesto a pagar por que le laven su auto y de antemano sabemos que será un numero del 0 al 100 pero no sabemos que numero va a salir.

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En el sorteo de la UABC para el premio principal puede salir cualquier número entre el 99000 y el 250000, pero no sabemos a priori cual va a ser (si lo supiéramos no estaríamos aquí escribiendo esta lección).

Hay experimentos que no son aleatorios y por lo tanto no se les puede aplicar las reglas de la probabilidad.

Ejemplo: en lugar de preguntar cuanto está dispuesto a pagar por que le laven su auto, directamente seleccionamos un precio de $70. Aquí no podemos hablar de probabilidades, sino que ha sido un resultado determinado por uno mismo.

Antes de calcular las probabilidades de un experimento aleatorio hay que definir una serie de conceptos:

2.1.2 Espacio muestral: Conjunto de todos los resultados experimentales

Al conjunto de todos los posibles sucesos elementales lo denominamos espacio muestral. Cada experimento aleatorio tiene definido su espacio muestral (es decir, un conjunto con todas las soluciones posibles).

Ejemplo: si preguntamos una persona cuanto esta dispuesto a pagar porque le laven su auto, el espacio muestral será del cero al 100.

Tipos de probabilidad Existen tres maneras básicas de clasificar la Probabilidad. Estas tres formas presentan planteamientos conceptuales bastante diferentes: 

Planteamiento clásico. Planteamiento de frecuencia relativa. Planteamiento subjetivo.

  Probabilidad clásica: Define la Probabilidad de que un evento ocurra como: Número de resultados en los que se presenta el evento entre número total de resultados posibles.

Pr obabilidad=

Nùmeroderesultadosenlosque

sepresenta

elevento

Númerototalderesultados

posibles

 Cada uno de los resultados posibles debe ser igualmente posible. La Probabilidad clásica, a menudo, se le conoce como Probabilidad a priori, debido a que si utilizamos ejemplos previsibles como monedas no alteradas, dados no cargados y mazos de barajas normales, entonces podemos establecer la respuesta de antemano, sin necesidad de lanzar una moneda, un dado o tomar una carta. No tenemos que efectuar experimentos para poder llegar a conclusiones. El planteamiento clásico supone un mundo que no existe, supone que no existen situaciones que son bastante improbables pero que podemos concebir como reales. La Probabilidad clásica supone también una especie de simetría en el mundo.

 Frecuencia relativa de presentación: En el siglo XIX, los estadísticos británicos, interesados en la fundamentación teórica del cálculo del riesgo de pérdidas en las pólizas de seguros de vida y comerciales, empezaron a recoger datos sobre nacimientos y defunciones. En la actualidad, a este planteamiento se le llama

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frecuencia relativa de presentación de un evento y define la Probabilidad como: La frecuencia relativa observada de un evento durante un gran número de intentos, o la fracción de veces que un evento se presenta a la larga, cuando las condiciones son estables.  Este método utiliza la frecuencia relativa de las presentaciones pasadas de un evento como una Probabilidad. Determinamos qué tan frecuente ha sucedido algo en el pasado y usamos esa cifra para predecir la Probabilidad de que suceda de nuevo en el futuro. Cuando utilizamos el planteamiento de frecuencia relativa para establecer probabilidades, el número que obtenemos como Probabilidad adquirirá mayor precisión a medida que aumentan las observaciones. Una dificultad presente con este planteamiento es que la gente lo utiliza a menudo sin evaluar el número suficiente de resultados.

  La Probabilidad subjetiva se puede definir como la Probabilidad asignada a un evento por parte de un individuo, basada en la evidencia que se tenga disponible. Esa evidencia puede presentarse en forma de frecuencia relativa de presentación de eventos pasados o puede tratarse simplemente de una creencia meditada. Las valoraciones subjetivas de la Probabilidad permiten una más amplia flexibilidad que los otros dos planteamientos. Los tomadores de decisiones pueden hacer uso de cualquier evidencia que tengan a mano y mezclarlas con los sentimientos personales sobre la situación. Las asignaciones de Probabilidad subjetiva se dan con más frecuencia cuando los eventos se presentan sólo una vez o un número muy reducido de veces.Como casi todas las decisiones sociales y administrativas de alto nivel se refieren a situaciones específicas y únicas, los responsables de tomar decisiones hacen un uso considerable de la Probabilidad subjetiva.

2.1.1 Técnicas de conteo

 CONCEPTO: Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar.

Ejemplos en los que definitivamente haremos uso de las técnicas de conteo serían:-¿Cuántas comisiones pro limpieza del instituto se pueden formar si hay 150 alumnos que desean ayudar en esta tarea y se desea formar comisiones de ocho alumnos?-¿Cuántas maneras tiene una persona de seleccionar una lavadora, una batidora y dos licuadoras, si encuentra en una tienda 8 modelos diferentes de lavadoras, 5 modelos diferentes de batidoras y 7 modelos diferentes de licuadoras? Se les denomina técnicas de conteo a: las combinaciones, permutaciones y diagrama de árbol, las que a continuación se explicarán y hay que destacar que éstas nos proporcionan la información de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinado.

 Las bases para entender el uso de las técnicas de conteo son el principio multiplicativo y el aditivo, los que a continuación se definen y se hace uso de ellos.

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PRINCIPIO MULTIPLICATIVO: Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de N1 maneras o formas, el segundo paso de N2 maneras o formas y el r-ésimo paso de Nr maneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de;

  

N1 x N2 x ..........x Nr maneras o formas El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro.

 Ejemplos:

1)      Una persona desea formar su empresa, para lo cual considera que puede usar su propio dinero o conseguir financiamiento, mientras que el dinero lo puede invertir en el negocio de alimentos, en el negocio de abarrotes o en el negocio farmacéutico, el local puede ser rentado o comprado y solo tiene una forma de conseguir un administrador. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de crear su empresa?

 Solución: Considerando que r = 4 pasos N1= maneras de usar el dinero = 2N2= maneras invertir en giros de negocios = 3N3= maneras de seleccionar el local = 2N4= maneras de seleccionar el administrador = 1 N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 maneras de crear la empresa 

El principio multiplicativo, el aditivo y las técnicas de conteo que posteriormente se tratarán nos proporcionan todas las maneras o formas posibles de como se puede llevar a cabo una actividad cualquiera.

 2)      ¿Cuántas placas para automóvil pueden ser diseñadas si deben constar de tres letras seguidas de cuatro números, si las letras deben ser tomadas del abecedario y los números de entre los dígitos del 0 al 9?, a. Si es posible repetir letras y números, b. No es posible repetir letras y números, c. Cuántas de las placas diseñadas en el inciso b empiezan por la letra D y empiezan por el cero, d. Cuantas de las placas diseñadas en el inciso b empiezan por la letra D seguida de la G.

 Solución: 

a.      Considerando 26 letras del abecedario y los dígitos del 0 al 9  26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 = 175, 760,000 placas para automóvil que es posible diseñar 

b.      26 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7 = 78, 624,000 placas para automóvil 

c.      1 x 25 x 24 x 1 x 9 x 8 x 7 = 302,400 placas para automóvil 

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d.      1 x 1 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7 = 120,960 placas para automóvil 

3)      ¿Cuántos números telefónicos es posible diseñar, los que deben constar de seis dígitos tomados del 0 al 9?, a. Considere que el cero no puede ir al inicio de los números y es posible repetir dígitos, b. El cero no debe ir en la primera posición y no es posible repetir dígitos, c. ¿Cuántos de los números telefónicos del inciso b empiezan por el número siete?, d. ¿Cuántos de los números telefónicos del inciso b forman un número impar?.

 

Solución:

 

a.      9 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 900,000 números telefónicos

b.      9 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 = 136,080 números telefónicos 

c.      1 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 = 15,120 números telefónicos 

d.      8 x 8 x 7 x 6 x 5 x 5 = 67,200 números telefónicos

  PRINCIPIO ADITIVO: Si se desea llevar a efecto una actividad, la cual tiene formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas..... y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de,

  M + N + .........+ W maneras o formas

 Ejemplos:

1)      Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cuál ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy y General Electric, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser automática o semiautomática, mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser automática o semiautomática y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay semiautomática. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora?

  Solución: M = Número de maneras de seleccionar una lavadora Whirpool N = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca EasyW = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General Electric  

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M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras  M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de seleccionar una lavadora 

 ¿Cómo podemos distinguir cuando hacer uso del principio multiplicativo y cuando del aditivo? Es muy simple, cuando se trata de una sola actividad, la cual requiere para ser llevada a efecto de una serie de pasos, entonces haremos uso del principio multiplicativo y si la actividad a desarrollar o a ser efectuada tiene alternativas para ser llevada a cabo, haremos uso del principio aditivo.

PERMUTACIONES: Para entender lo que son las permutaciones es necesario definir lo que es una combinación y lo que es una permutación para establecer su diferencia y de esta manera entender claramente cuando es posible utilizar una combinación y cuando utilizar una permutación al momento de querer cuantificar los elementos de algún evento.

   COMBINACIÓN: Es todo arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.

 PERMUTACIÓN: Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.

 Para ver de una manera objetiva la diferencia entre una combinación y una permutación, plantearemos cierta situación. Suponga que un salón de clase está constituido por 35 alumnos. a) El maestro desea que tres de los alumnos lo ayuden en actividades tales como mantener el aula limpia o entregar material a los alumnos cuando así sea necesario. b) El maestro desea que se nombre a los representantes del salón (Presidente, Secretario y Tesorero). Solución:

a)      Suponga que por unanimidad se ha elegido a Daniel, Arturo y a Rafael para limpiar el aula o entregar material, (aunque pudieron haberse seleccionado a Rafael, Daniel y a Enrique, o pudo haberse formado cualquier grupo de tres personas para realizar las actividades mencionadas anteriormente).

¿Es importante el orden como se selecciona a los elementos que forma el grupo de tres personas?

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Reflexionando al respecto nos damos cuenta de que el orden en este caso no tiene importancia, ya que lo único que nos interesaría es el contenido de cada grupo, dicho de otra forma, ¿quiénes están en el grupo? Por tanto, este ejemplo es una combinación, quiere decir esto que las combinaciones nos permiten formar grupos o muestras de elementos en donde lo único que nos interesa es el contenido de los mismos. 

b)      Suponga que se han nombrado como representantes del salón a Daniel como Presidente, a Arturo como secretario y a Rafael como tesorero, pero resulta que a alguien se le ocurre hacer algunos cambios, los que se muestran a continuación:

  

 

CAMBIOS

PRESIDENTE: Daniel Arturo Rafael DanielSECRETARIO: Arturo Daniel Daniel RafaelTESORERO: Rafael Rafael Arturo Arturo

 Ahora tenemos cuatro arreglos, ¿se trata de la misma representación? Creo que la respuesta sería no, ya que el cambio de función que se hace a los integrantes de la representación original hace que definitivamente cada una de las representaciones trabaje de manera diferente, ¿importa el orden de los elementos en los arreglos?. La respuesta definitivamente sería sí, luego entonces las representaciones antes definidas son diferentes ya que el orden o la forma en que se asignan las funciones sí importa, por lo tanto es este caso estamos tratando con permutaciones. 

A continuación obtendremos las fórmulas de permutaciones y de combinaciones, pero antes hay que definir lo que es n! (ene factorial), ya que está involucrado en las fórmulas que se obtendrán y usarán para la resolución de problemas.

 

n!= al producto desde la unidad hasta el valor que ostenta n.n!= 1 x 2 x 3 x 4 x...........x n Ejem.10!=1 x 2 x 3 x 4 x.........x 10=3,628,800 8!= 1 x 2 x 3 x 4 x.........x 8=40,320 6!=1 x 2 x 3 x 4 x..........x 6=720, etc., etc. Obtención de fórmula de permutaciones.Para hacer esto, partiremos de un ejemplo.

¿Cuántas maneras hay de asignar los cuatro primeros lugares de un concurso de creatividad que se verifica en las instalaciones de nuestro instituto, si hay 14 participantes?

 Solución:Haciendo uso del principio multiplicativo,  14x13x12x11 = 24,024 maneras de asignar los primeros tres lugares del concurso 

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Esta solución se debe, a que al momento de asignar el primer lugar tenemos a 14 posibles candidatos, una vez asignado ese lugar nos quedan 13 posibles candidatos para el segundo lugar, luego tendríamos 12 candidatos posibles para el tercer lugar y por último tendríamos 11 candidatos posibles para el cuarto lugar. Luego si n es el total de participantes en el concurso y r es el número de participantes que van a ser premiados, y partiendo de la expresión anterior, entonces.  14x13x12x11= n x (n - 1) x (n - 2) x .......... x (n – r + 1) si la expresión anterior es multiplicada por (n – r)! / (n – r)!, entonces = n x (n –1 ) x (n – 2) x ......... x (n – r + 1) (n – r)! / (n – r)! = n!/ (n – r)! Por tanto, la fórmula de permutaciones de r objetos tomados de entre n objetos es:  

 Esta fórmula nos permitirá obtener todos aquellos arreglos en donde el orden es importante y solo se usen parte (r) de los n objetos con que se cuenta, además hay que hacer notar que no se pueden repetir objetos dentro del arreglo, esto es, los n objetos son todos diferentes. Entonces, ¿ qué fórmula hay que usar para arreglos en donde se utilicen los n objetos con que se cuenta?Si en la fórmula anterior se sustituye n en lugar de r, entonces.   nPn= n!/ (n –n)! = n! / 0! = n! / 1 = n!

 

Como 0! = 1 de acuerdo a demostración matemática, entonces

  nPn= n! Ejemplos:

1)      ¿Cuantas representaciones diferentes serán posibles formar, si se desea que consten de Presidente, Secretario, Tesorero, Primer Vocal y Segundo Vocal?, sí esta representación puede ser formada de entre 25 miembros del sindicato de una pequeña empresa.

 Solución: Por principio multiplicativo:

 

)!rn(

!nPrn

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25 x 24 x 23 x 22 x 21 = 6,375,600 maneras de formar una representación de ese sindicato que conste de presidente, secretario, etc., etc.  Por Fórmula:

  n = 25, r = 5 25P5 = 25!/ (25 –5)! = 25! / 20! = (25 x 24 x 23 x 22 x 21 x....x 1) / (20 x 19 x 18 x ... x 1)= = 6,375,600 maneras de formar la representación  a. ¿Cuántas maneras diferentes hay de asignar las posiciones de salida de 8 autos que participan en una carrera de fórmula uno? (Considere que las posiciones de salida de los autos participantes en la carrera son dadas totalmente al azar) b. ¿Cuántas maneras diferentes hay de asignar los primeros tres premios de esta carrera de fórmula uno? Solución:  a. Por principio multiplicativo: 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1= 40,320 maneras de asignar las posiciones de salida de los autos participantes en la carrera Por Fórmula:

 n = 8, r = 8 8P8= 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x......x 1= 40,320 maneras de asignar las posiciones de salida ......etc., etc.  b. Por principio multiplicativo:

 8 x 7 x 6 = 336 maneras de asignar los tres primeros lugares de la carrera   Por fórmula:

 n =8, r = 3 8P3 = 8! / (8 – 3)! = 8! / 5! = (8 x 7 x 6 x 5 x ........x1)/ (5 x 4 x 3 x......x1) = 336 maneras de asignar los tres primeros lugares de la carrera  

3)      ¿Cuántos puntos de tres coordenadas ( x, y, z ), será posible generar con los dígitos 0, 1, 2, 4, 6 y 9?, Si, a. No es posible repetir dígitos, b. Es posible repetir dígitos.

 Solución:

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 a. Por fórmulan = 6, r = 3  6P3 = 6! / (6 – 3)! = 6! / 3! = 6 x 5 x 4 x 3! / 3! = 6 x 5 x 4 = 120 puntos posibles Nota: este inciso también puede ser resuelto por el principio multiplicativo b. Por el principio multiplicativo 6 x 6 x 6 = 216 puntos posibles  ¿Cuál es la razón por la cuál no se utiliza en este caso la fórmula?. No es utilizada

debido a que la fórmula de permutaciones sólo se usa cuando los objetos no se

repiten, esto quiere decir que en el inciso a. Los puntos generados siempre van a tener

coordenadas cuyos valores son diferentes ejem. (1, 2, 4), (2, 4, 6), (0, 4, 9), etc. etc.,

mientras que los puntos generados en el inciso b. Las coordenadas de los puntos

pueden tener valores diferentes o repeticiones de algunos valores o pueden tener

todas las coordenadas un mismo valor ejem. (1, 2, 4), (1, 2, 2), (1, 1, 1), etc., etc.

  

4)      a. ¿Cuántas maneras hay de asignar las 5 posiciones de juego de un equipo de básquetbol, si el equipo consta de 12 integrantes?, b. ¿Cuántas maneras hay de asignar las posiciones de juego si una de ellas solo puede ser ocupada por Uriel José Esparza?, c. ¿Cuántas maneras hay de que se ocupen las posiciones de juego si es necesario que en una de ellas este Uriel José Esparza y en otra Omar Luna?

  

Solución:

 a. Por fórmula:

 n = 12, r = 5   12P5 = 12! / (12 – 5 )! = 12 x 11 x 10 x 9 x 8 = 95,040 maneras de asignar las cinco posiciones de juego  a. Por principio multiplicativo:

 1 x 11 x 10 x 9 x 8 =7,920 maneras de asignar las posiciones de juego  

Por fórmula: 

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1 x 11P4 = 1 x 11! / (11 – 4)! = 11! / 7! = 11 x 10 x 9 x 8 = 7,920 maneras de asignar las posiciones de juego con Uriel José en una determinada posición  

a. Por principio multiplicativo 1 x 1 x 10 x 9 x 8 = 720 maneras de ocupar las diferentes posiciones de juego  

Por fórmula: 1 x 1 x 10P3 = 1 x 1 x 10! / (10 – 3)! = 10! / 7! = 10 x 9 x 8 = 720 maneras de ocupar las posiciones de juego con Uriel José y Omar Luna en posiciones previamente definidas 

5)      Cuántas claves de acceso a una computadora será posible diseñar, si debe constar de dos letras, seguidas de cinco dígitos, las letras serán tomadas del abecedario y los números de entre los dígitos del 0 al 9. a. Considere que se pueden repetir letras y números, b. Considere que no se pueden repetir letras y números, c. ¿Cuántas de las claves del inciso b empiezan por la letra A y terminan por el número 6?, d. ¿Cuántas de las claves del inciso b tienen la letra R seguida de la L y terminan por un número impar?

  

Solución:

 a. Por principio multiplicativo:

  26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 67, 600,000 claves de acceso 

Por fórmula:  26P2 x 10P5 = 26 x 25 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6=19, 656,000 claves de acceso  a.        Por fórmula:   1 x 25P1 x 9P4 x 1 = 1 x 25 x 9 x 8 x 7 x 6 x 1 = 75,600 claves de acceso que empiezan por la letra A y terminan por el número 6  b.       Por fórmula: 

 1 x 1 x 9P4 x 5 = 1 x 1 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 =15,120 claves de acceso que tienen la letra R seguida de la L y terminan por un número impar.

  PERMUTACIONES CON REPETICION:En los casos anteriores se han obtenido permutaciones en donde todos los elementos utilizados para hacer los arreglos son

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diferentes. A continuación se obtendrá una fórmula que nos permite obtener las permutaciones de n objetos, cuando entre esos objetos hay algunos que son iguales.

 

Ejemplo:

Obtenga todas las permutaciones posibles a obtener con las letras de la palabra OSO.

Solución:

 Para obtener la fórmula, es necesario primero suponer que todas las letras de la

palabra OSO son diferentes y para diferenciarlas pondremos subíndices a las letras

O, por lo que quedaría, O1SO2, y las permutaciones a obtener serían:

 

3P3 = 3! = 6

 

definiendo las permutaciones tenemos que estas serían,

 

O1SO2, O2SO1, SO1O2, SO2O1, O1O2S, O2O1S

 

¿Pero realmente podemos hacer diferentes a las letras O?, eso no es posible, luego

entonces ¿cuántos arreglos reales se tienen?

 

Como:

Arreglos reales

O1SO2 = O2SO1 ® OSO

SO1O2 = SO2O1 ® SOO

O1O2S= O2O1S ® OOS

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 Entonces se observa que en realidad sólo es posible obtener tres permutaciones con las letras de la palabra OSO debido a que las letras O son idénticas, ¿pero qué es lo que nos hizo pensar en seis arreglos en lugar de tres?, el cambio que hicimos entre las letras O cuando las consideramos diferentes, cuando en realidad son iguales.

 Para obtener los arreglos reales es necesario partir de la siguiente expresión:

  El número de arreglos reales = No. de permutaciones considerando a todos los objetos como diferentes

Los cambios entre objetos iguales

 

El número de arreglos reales = 3! / 2! = 3 x 2! / 2! = 3   Por tanto la fórmula a utilizar sería;

 Donde: nPx1,x2,......, xk = Número total de permutaciones que es posible obtener con n objetos, entre los que hay una cantidad x1 de objetos de cierto tipo, una cantidad x2 de objetos de un segundo tipo,...... y una cantidad xk de objetos del tipo k. n = x1 + x2 + ...... + xk

 Ejemplos:

 1) 1)      Obtenga todas las señales posibles que se pueden diseñar con seis

banderines, dos de los cuales son rojos, tres son verdes y uno morado. 

Solución:

 n = 6 banderinesx1 = 2 banderines rojosx2 = 3 banderines verdesx3 = 1 banderín morado  

6P2,3,1 = 6! / 2!3!1! = 60 señales diferentes  2)      a.¿Cuántas claves de acceso a una computadora será posible diseñar con

los números 1,1,1,2,3,3,3,3?, b.¿cuántas de las claves anteriores empiezan por

!x!.......x!x

!nx........,x,nPx

kk

2121

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un número uno seguido de un dos?, c. ¿cuántas de las claves del inciso a empiezan por el número dos y terminan por el número tres?

 Solución: a. n = 8 números x1 = 3 números uno x2 = 1 número dos x3 = 4 números cuatro 

8P3,1,4 = 8! / 3!1!4! = 280 claves de acceso  b. n = 6 (se excluye un número uno y un dos) x1 = 2 números uno x2 = 4 números tres

1 x 1 x 6P2,4 = 1 x 1 x 6! / 2!4! = 15 claves de acceso El primer número uno nos indica el número de maneras como es posible colocar en la primera posición de la clave de acceso un número uno, debido a que todos los números uno son iguales, entonces tenemos una sola manera de seleccionar un número uno para la primera posición, el siguiente número uno nos indica el número de maneras como se colocaría en la segunda posición el número dos y la expresión siguiente nos indica todos los arreglos posibles que es posible diseñar con los números restantes.

 c. n = 6 (se excluye un número dos y un tres) x1 = 3 números uno x2 = 3 números tres 

1 x 6P3,3 x1 = 1 x 6! / 3!3! = 20 claves de acceso El número uno inicial nos indica que existe una sola manera de seleccionar el número dos que va en la primera posición del arreglo, mientras que el número uno final nos indica que hay una sola manera de seleccionar el número tres que va al final del arreglo aún y cuando haya cuatro números tres, como estos son iguales al diseñar una permutación es indistinto cuál número tres se ponga, ya que siempre se tendrá el mismo arreglo y la expresión intermedia nos indica todos los arreglos posibles a realizar con los números restantes.  

3)  ¿De cuántas maneras es posible plantar en una línea divisoria de un terreno dos nogales, cuatro manzanos y tres ciruelos?

Solución:

 

n = 9 árboles

x1 = 2 nogales

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x2 = 4 manzanos

x3 = 3 ciruelos

 

9P2,4,3 = 9! / 2!4!3! = 1260 maneras de plantar los árboles

 

4) Si un equipo de fútbol soccer femenil participa en 12 juegos en una temporada, ¿cuántas maneras hay de que entre esos doce juegos en que participa, obtenga 7 victorias, 3 empates y 2 juegos perdidos?

 

Solución:

 

n = 12 juegos

x1 = 7 victorias

x2 = 3 empates

x3 = 2 juegos perdidos

 

12P7,3,2 = 12! / 7!3!2! = 7,920 maneras de que en la temporada este

equipo logre siete victorias, tres empates y dos juegos perdidos.

PRUEBAS ORDENADAS:Se le llama prueba ordenada al hecho de seleccionar r objetos de entre n objetos contenidos en una urna uno tras otro. Una prueba ordenada puede ser llevada a efecto de dos maneras:

 

1)      Con sustitución (con reemplazo).- En este caso se procede a seleccionar el primer objeto de entre los n que hay, se observa de qué tipo es y se procede a regresarlo a la urna, luego se selecciona el siguiente objeto, lo anterior se

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repite hasta que se han extraído los r objetos de la prueba, por tanto el número de pruebas ordenadas de con sustitución se obtiene:

  Número total de pruebas ordenadas con sustitución = n x n x n x .........x n = nr

 Hay n maneras de seleccionar el primer objeto, luego al seleccionar el segundo objeto, dado que se ha regresado a la urna el primer objeto, también se tendrán n objetos y así sucesivamente.

2)      Sin sustitución (sin reemplazo).- En este caso se procede a seleccionar el primer objeto, el cual no es regresado a la urna, luego se selecciona el segundo objeto, lo anterior se repite hasta completar los r objetos de la prueba, por lo que el número total de pruebas ordenadas sin sustitución se obtiene:

 

  Número total de pruebas ordenadas sin sustitución = n(n-1)(n-2).........(n-r +1) =

nPr

 

Hay n maneras de seleccionar el primer objeto, luego al seleccionar el segundo objeto, hay n –1 maneras, dado que el primer objeto no se regresa a la urna, luego cuando se extrae el r-ésimo objeto, hay (n –r +1) de que sea seleccionado.

 

Ejemplos:

 1)      ¿Cuántas maneras hay de que se asignen tres premios de un sorteo en donde el primer premio es una departamento, el segundo premio es un auto y el tercer premio es un centro de cómputo, si los participantes en este sorteo son 120 personas, a.sí la asignación se puede hacer con sustitución, b.sí la asignación se puede hacer sin sustitución.

 Solución:

 a. Por principio multiplicativo:

120 x 120 x 120 = 1,728,000 maneras de asignar los premios

Por fórmula: n =120, r = 120

nr = 1203 = 1,728,000 maneras de asignar los tres premios

 

Hay que considerar que en este caso, al regresar cada boleto que es extraído de la urna, las personas que participan en el sorteo tienen la posibilidad de no ganar uno

90

solo de los premios, de ganar un premio, dos de los premios o los tres premios. Cosa que generalmente no ocurre.

 

b. Por principio multiplicativo:

  120 x 119 x 118 = 1,685,040 maneras de asignar los premios

 Por fórmula:

 n = 120, r = 3

 120P3 = 120! / (120 – 3)! = 120! / 117! = 120 x 119 x 118 = 1,685,040 maneras de

asignar los premios

 

Hay que hacer notar que en este caso, como los boletos que son seleccionados ya no regresan a la urna de donde fueron extraídos, los participantes solo pueden recibir un premio en caso de que fueran de los afortunados. Esta es la forma en que generalmente se efectúa un sorteo.

 

 

2)      ¿Cuántas formas hay de asignar las primeras cinco posiciones de una carrera de autos de fórmula K, si participan 26 autos en esta carrera?. Considere que la asignación es totalmente al azar.

 

Solución:

 Esta asignación debe ser sin sustitución, esto es, se trata de una prueba ordenada sin sustitución, por lo que la solución es la que se muestra.

 n = 26, r = 5

  26P5 = 26! / (26 – 5)! = 26! / 21! = 26 x 25 x 24 x 23 x 22 = 7,893,600 maneras

de asignar las cinco primeras posiciones de salida

3)      ¿Cuántas formas hay de asignar el orden de participación de las primeras 5 concursantes de 11 finalistas de un concurso de Miss Mundo?

 Solución:

91

 Esta asignación debe realizarse sin sustitución, por lo que se trata de una prueba

ordenada sin sustitución.

n = 11, r = 5

  11P5 = 11! / (11 – 5)! = 11! / 6! = 11 x 10 x 9 x 8 x 7 = 55,440 maneras de

asignar la participación

  COMBINACIONES: Como ya se mencionó anteriormente, una combinación, es un arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupan los mismos dentro del arreglo. En una combinación nos interesa formar grupos y el contenido de los mismos.

 La fórmula para determinar el número de combinaciones es:

 

 

nCr = Combinaciones de r objetos tomados de entre n objetos

 Donde se observa que,

 La expresión anterior nos explica como las combinaciones de r objetos tomados de entre n objetos pueden ser obtenidas a partir de las permutaciones de r objetos tomados de entre n objetos, esto se debe a que como en las combinaciones no nos importa el orden de los objetos, entonces si tenemos las permutaciones de esos objetos al dividirlas entre r!, les estamos quitando el orden y por tanto transformándolas en combinaciones, de otra forma, también si deseamos calcular permutaciones y tenemos las combinaciones, simplemente con multiplicar estas por el r! obtendremos las permutaciones requeridas.

  nPr = nCr r!

 

Y si deseamos r = n entonces;

  nCn = n! / (n –n)!n! = n! / 0!n! = 1

!r)!rn(

!nC rn

!r

pC rnrn

92

 

¿Qué nos indica lo anterior?

Que cuando se desea formar grupos con la misma cantidad de elementos con que se cuenta solo es posible formar un grupo.

 

Ejemplos:

1)      a. Si se cuenta con 14 alumnos que desean colaborar en una campaña pro limpieza del Tec, cuantos grupos de limpieza podrán formarse si se desea que consten de 5 alumnos cada uno de ellos, b.si entre los 14 alumnos hay 8 mujeres, ¿cuantos de los grupos de limpieza tendrán a 3 mujeres?, c.¿cuántos de los grupos de limpieza contarán con 4 hombres por lo menos?

 

Solución:

a. n = 14, r = 5

 

14C5 = 14! / (14 – 5 )!5! = 14! / 9!5!

= 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9!/ 9!5!

= 2002 grupos

 

Entre los 2002 grupos de limpieza hay grupos que contienen solo hombres, grupos

que contienen solo mujeres y grupos mixtos, con hombres y mujeres.

 

b. n = 14 (8 mujeres y 6 hombres), r = 5

 

En este caso nos interesan aquellos grupos que contengan 3 mujeres y 2 hombres

 

8C3*6C2 = (8! / (8 –3)!3!)*(6! / (6 – 2)!2!)

93

= (8! / 5!3!)*(6! / 4!2!)

= 8 x7 x 6 x 5 /2!

= 840 grupos con 3 mujeres y 2 hombres, puesto que

cada grupo debe constar de 5 personas

 c. En este caso nos interesan grupos en donde haya 4 hombres o más

 Los grupos de interés son = grupos con 4 hombres + grupos con 5 hombres

= 6C4*8C1 + 6C5*8C0 = 15 x 8 + 6 x 1 = 120 + 6 = 126

 

2)      Para contestar un examen un alumno debe contestar 9 de 12 preguntas, a.¿Cuántas maneras tiene el alumno de seleccionar las 9 preguntas?, b.¿Cuántas maneras tiene si forzosamente debe contestar las 2 primeras preguntas?, c.¿Cuántas maneras tiene si debe contestar una de las 3 primeras preguntas?, d.¿Cuántas maneras tiene si debe contestar como máximo una de las 3 primeras preguntas?

 

Solución:

 a. n = 12, r = 9

  12C9 = 12! / (12 – 9)!9!

= 12! / 3!9! = 12 x 11 x 10 / 3!

= 220 maneras de seleccionar las nueve preguntas o dicho de

otra manera, el alumno puede seleccionar cualquiera de 220 grupos de 9

preguntas para contestar el examen

 

b. 2C2*10C7 = 1 x 120 = 120 maneras de seleccionar las 9 preguntas entre las que están las dos primeras preguntas

 

c. 3C1*9C8 = 3 x 9 = 27 maneras de seleccionar la 9 preguntas entre las que está una de las tres primeras preguntas

 

94

d. En este caso debe seleccionar 0 o 1 de las tres primeras preguntas 

3C0*9C9 + 3C1*9C8 = (1 x 1) + (3 x 9) = 1 + 27 = 28 maneras de seleccionar las

preguntas a contestar

 

1) 3)      Una señora desea invitar a cenar a 5 de 11 amigos que tiene, a. ¿Cuántas maneras tiene de invitarlos?, b. ¿cuántas maneras tiene si entre ellos está una pareja de recién casados y no asisten el uno sin el otro, c. ¿Cuántas maneras tiene de invitarlos si Rafael y Arturo no se llevan bien y no van juntos?

 

Solución:

a. n = 11, r = 5

 

11C5 = 11! / (11 – 5 )!5! = 11! / 6!5!

= 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6! / 6!5!

= 462 maneras de invitarlos

 

Es decir que se pueden formar 462 grupos de cinco personas para ser invitadas a

cenar.

 

 

b. Esta señora tiene dos alternativas para hacer la invitación, la primera es no

invitar a la pareja y la segunda es invitar a la pareja.

 

2C0*9C5 + 2C2*9C3 = (1 x 126) + (1 x 84) = 210 maneras de invitarlos

 

95

En este caso separamos a la pareja de los demás invitados para que

efectivamente se cumpla el que no asistan o que asistan a la cena.

 

c.La señora tiene dos alternativas para hacer la invitación, una de ellas es que no

invitar a Rafael y a Arturo o que asista solo uno de ellos.

 

2C0*9C5 + 2C1*9C4 = (1 x 126) + (2 x 126) = 126 + 252 = 378 maneras de

hacer la invitación

2) En un plano hay 10 puntos denominados A, B, C, ....,etc. etc., en una misma línea no hay más de dos puntos, a. ¿Cuántas líneas pueden ser trazadas a partir de los puntos?, b. ¿Cuántas de las líneas no pasan por los puntos A o B?, c. ¿Cuántos triángulos pueden ser trazados a partir de los puntos?, d. ¿Cuántos de los triángulos contienen el punto A?, e. ¿Cuántos de los triángulos tienen el lado AB?.

 

Solución:

 

a. En la redacción del problema se aclara que en una misma línea no hay más de dos puntos debido a que si lo anterior ocurriera no se podría dar contestación a las preguntas que se hacen.

Una línea puede ser trazada a partir de cómo mínimo dos puntos por lo tanto,

 

10C2 = 10! / (10 – 2)!2! = 10! / 8!2! = 45 líneas que se pueden trazar

 

b. En este caso excluiremos los puntos A y B y a partir de los ocho puntos restantes se obtendrán las líneas.

 

2C0*8C2 = 1 x 28 = 28 líneas que no pasan por los puntos A o B

 

c. Un triángulo puede ser trazado a partir de tres puntos, luego; 

10C3 = 10! / (10 – 3)!3! = 10! / 7!3! = 120 triángulos posibles de trazar

96

 

d. En este caso se separa el punto A de los demás, se selecciona y posteriormente también se seleccionan dos puntos más.

 

1C1*9C2 = 1 x 36 = 36 triángulos que contienen el punto A

 

e. Los puntos A y B forman parte de los triángulos a trazar por lo que; 

2C2*8C1 = 1 X 8 = 8 triángulos que contienen el lado AB

 PARTICIONES ORDENADAS: Se le llama partición ordenada al hecho de repartir n objetos en células de una cantidad de x1 objetos, x2 objetos,......y xk objetos.

 Para deducir la fórmula de particiones ordenadas partiremos de un ejemplo.

¿Cuántas maneras hay de repartir 10 libros diferentes entre tres alumnos, si al primero le daremos 2, al segundo 3 y el resto al tercer alumno?

Ejemplos de esta partición serían las siguientes si se numeran los libros del 1 al 10;

  

 

 

 

 

 Solución:

Lo primero que debemos hacer es seleccionar 2 libros de los 10 que se tienen para el primer alumno, esto es;

 

10C2 = 10! / (10 – 2)!2! = 10! / 8!2! = 45 maneras de seleccionar los libros

 

Luego se seleccionan 3 libros de los 8 que quedan para el segundo alumno;

¹1

2

3

4

5

7

8

9 10

2

4

5

8

1

36

7 910

97

 

8C3 = 8! / (8 – 3)!3! = 8! / 5!3! = 56 maneras

 

Y por último se procederá a seleccionar cinco libros de los cinco que quedan para el tercer alumno, lo que se muestra a continuación;

 

5C5 = 5! / (5 –5)!5! = 5! / 0!5! = 1 manera

 

Por tanto el número total de particiones ordenadas en células de 2, 3 y 5 elementos se determina:

 

10C2*8C3*5C5 = (10! / (10 – 2)!2!)*(8! / (8 – 3)!3!)*(5! / (5 – 5)!5!) = 10! /2!3!5!

 

La expresión anterior nos recuerda a la fórmula utilizada para encontrar las

permutaciones de n objetos, entre los cuales hay algunos objetos que son iguales, por

lo que usaremos la misma fórmula para encontrar las particiones ordenadas.

 

Por tanto la fórmula para las particiones ordenadas sería:

 

Esta fórmula sólo puede ser utilizada cuando se reparten todos los objetos, no parte

de ellos, en ese caso se usarán combinaciones.

 

Donde:

 

nPx1,x2,.....,xk = Total de particiones ordenadas o reparticiones que es posible hacer cuando los n objetos son repartidos en grupos de x1 objetos, x2 objetos ...... y xk

objetos.

 

!x!.......x!x

!nx,..........x,nPx

kk

2121

98

n = x1 + x2 + ......+ xk

 

Ejemplos:

 1)      ¿Cuántas maneras hay de repartir 9 juguetes entre tres niños, si se desea que

al primer niño le toquen 4 juguetes, al segundo 2 y al tercero 3 juguetes?

Solución:

 Por combinaciones,

 9C4*5C2*3C3 = 126*10*1= 1260 maneras de repartir los juguetes

 

Por fórmula,

n = 9

x1 = 4

x2 = 2

x3 =3

 

9P4,2,3 = 9! / 4!2!3! = 1,260 maneras de repartir los juguetes

 

1) 2)      ¿Cuántas maneras hay de repartir los mismos 9 juguetes entre tres niños, si se desea darle 3 al primer niño, 2 al segundo niño y 2 al tercer niño?

 

Solución:

 

99

En este caso únicamente se puede dar solución por combinaciones, ya que

no es posible usar la fórmula debido a que se reparten solo parte de los

juguetes.

 

 

9C3*6C2*4C2 = 84*15*6 = 7,560 maneras de repartir los juguetes (solo se

reparten 7 y quedan dos juguetes)

 

2) a. ¿Cuántas maneras hay de que se repartan 14 libros diferentes entre 3 alumnos, si se pretende que al primer alumno y al segundo les toquen 5 libros a cada uno y al tercero le toque el resto?, b. ¿Cuántas maneras hay de que se repartan los libros si se desea dar 5 libros al primer alumno, 3 al segundo y 2 libros al tercer alumno?

 

Solución:

 

a. Por fórmula: 

n = 14

x1 = 5

x2 = 5

x3 = 4

 

14P5,5,4 = 14! / 5!5!4! = 21,021 maneras de repartir los libros en grupos

de 5, 5 y 4 libros

 

b. Por combinaciones:

100

 

14C5*9C3*6C2 = 2,002*84*15 = 2,522,520 maneras de repartir 10 de los 14

libros en grupos de 5, 3 y 2 libros

 

3) a.¿Cuántas maneras hay de repartir a 12 alumnos en 4 equipos de 3 personas cada uno de ellos para que realicen prácticas de laboratorio diferentes?, b. ¿Cuantas maneras hay de que se repartan los 12 alumnos en 4 equipos de 3 personas si se va a realizar una misma práctica?

 

Solución:

 

a. En este caso al ser prácticas de laboratorio diferentes, es posible resolver el problema por combinaciones o por la fórmula, dado que se reparten todos los alumnos

 

Por fórmula:

 

n = 12

x1 = 3 práctica 1

x2 = 3 práctica 2

x3 = 3 práctica 3

x4 = 3 práctica 4

 

12P3,3,3,3 = 12! / 3!3!3!3! = 369,600 maneras de repartir a los estudiantes en

cuatro equipos de 3 personas para realizar prácticas diferentes

 

101

b. En este caso lo más probable es que se crea que la solución es igual que la que se ha dado al inciso a, pero esto no puede ser debido a que si se desea repartir a los alumnos para realizar una misma práctica, el orden en el que se hace la repartición no tiene importancia, ya que al equipo de tres personas les da lo mismo quedar en el primer equipo a quedar en el segundo o tercero, ya que la práctica a realizar es la misma, entonces la solución es;

 

12P3,3,3,3 * 1 /4! = 12! / 3!3!3!3! * 1 / 4! = 369,600 / 4! = 15,400 maneras de

repartir a los alumnos en equipos de 3 personas para realizar una misma

práctica

 

Al multiplicar la solución que se da al inciso a, por 1/4! se está quitando el

orden de los grupos, que en este caso no nos interesa.

  DIAGRAMA DE ARBOL: Un diagrama de árbol es una representación gráfica de un experimento que consta de r pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo.

 

 

 

 

1) Un hombre tiene tiempo de jugar ruleta cinco veces como máximo, él empieza a jugar con un dólar, apuesta cada vez un dólar y puede ganar o perder en cada juego un dólar, él se va a retirar de jugar si pierde todo su dinero, si gana tres dólares (esto es si completa un total de cuatro dólares) o si completa los cinco juegos, mediante un diagrama de árbol, diga cuántas maneras hay de que se efectué el juego de este hombre.

 

 

 

102

Solución:

 

 

Si contamos las ramas terminales nos daremos cuenta que hay 11 maneras de que

este hombre lleve a cabo sus apuestas, en este diagrama se han representado los

cinco juegos o apuestas que este hombre tiene tiempo de jugar.

103

Una empresa vendedora de papel de aluminio de varios tamaños, debe entregar rollos de papel de aluminio de 50 centímetros, 40 centímetros y 30centímetros de ancho. La hoja estándar se fabrica en un ancho de 100 centímetros y los tamaños mas pequeños se cortan del rollo estándar. Encuentre mediante un diagrama de árbol la cantidad de cortes diferentes con su respectivo desperdicio.

Solución

Los cortes diferentes son solo 7, debido a que el corte 50-40 es igual al corte 40-50 y los cortes 40-30-30, 30-40-30 y 30-30-40 son similares.

J) PROBLEMAS PROPUESTOS

 

104

1. Si una prueba se compone de 12 preguntas de verdadero-falso, a. ¿de cuantas

maneras diferentes un estudiante puede dar una respuesta para cada pregunta?, b. Sí

de antemano el maestro le dice que la primera pregunta es verdadera, ¿cuántas

maneras tiene de contestar esta prueba?. a. r=4,096 maneras b. r=2,048

maneras

 

2. Un fabricante tiene dificultades para obtener registros consistentes de resistencias a

la tensión entre tres máquinas localizadas en la planta de producción, el laboratorio de

investigación y el laboratorio de control de calidad , respectivamente, al mismo tiempo

hay cuatro posibles técnicos –Tomás, Enrique, Rafael y Javier- quienes operan al

menos una de las máquinas a prueba regularmente, a. ¿cuántos pares operador-

máquina deben incluirse en un experimento planeado en el que cada operador maneje

todas las máquinas?, b. Si se requiere que cada par operador-máquina pruebe ocho

especimenes, ¿cuántos especimenes de prueba se necesitan para el procedimiento

íntegro? Nota: un espécimen se destruye cuando se mide su resistencia a la tensión.

a. r=12 pares b. r=96 especimenes

 

3. Un inspector de construcciones tiene que revisar el cableado de un nuevo de

departamentos, ya sea el lunes, el martes, miércoles o jueves, a las 8 A. M., a las 10

A. M. o a las 2 P. M. , a. ¿cuántas maneras tiene este inspector de hacer las

revisiones del cableado?, b. Obtenga las maneras en que el inspector puede realizar

las revisiones del cableado, haciendo uso ahora de un diagrama de árbol. a y b. r=12

maneras

 

4. Si los cinco finalistas de un torneo internacional de golf son España, Estados

Unidos, Portugal, Uruguay y Japón, a. Diga de cuantas maneras es posible que se

105

otorgue un primero, segundo lugar y tercer lugar, b. Considerando que el primer lugar

lo gana Portugal y el segundo lo gana Estados Unidos, ¿cuantas maneras hay de que

se otorguen los lugares antes mencionados?. a. r=60 maneras, b. r=3 maneras

 

5. Una computadora de propósito especial contiene tres conmutadores, cada uno de

los cuáles puede instalarse de tres maneras diferentes. ¿De cuantas maneras

diferentes puede instalarse el banco de conmutadores de la computadora? r= 27

maneras

 

6. ¿De cuantas maneras ordenadas puede programar un director de televisión seis

comerciales en los seis intermedios para comerciales durante la transmisión televisiva

del primer tiempo de un partido de hockey?, si, a. los comerciales son todos diferentes,

b. dos de los comerciales son iguales, c. Si hay cuatro comerciales diferentes, uno de

los cuales debe aparecer tres veces, mientras que cada uno de los otros debe

aparecer una sola vez. a. r=720 maneras b. r=360 maneras c. r=120

maneras

 

7. Determine el número de maneras en las que un fabricante puede seleccionar dos

de las quince ubicaciones para un almacén. r=105

maneras

 

8. Una caja de 12 baterías recargables, contiene una defectuosa, ¿de cuantas

maneras un inspector puede seleccionar tres de las baterías y, a. obtener la

defectuosa, b. no obtener la defectuosa. a. r=55 maneras,

b. r=165 maneras

106

9. El departamento de suministros tiene ocho diferentes motores eléctricos y cinco

diferentes interruptores de arranque. ¿De cuantas maneras pueden seleccionarse dos

motores y dos conmutadores para un experimento de una antena de rastreo?, r=280

maneras

 

10. A los participantes de una convención se les ofrecen 6 recorridos por día para

visitar lugares de interés durante los tres días de duración del evento. ¿ En cuantas

formas puede una persona acomodarse para hacer alguno de ellos? r=18 formas

 

11. Un determinado zapato se fabrica en 5 estilos diferentes y en 4 colores distintos

para cada uno. Si la zapatería desea mostrar a su clientela pares de zapatos en todos

los estilos y colores, ¿cuántos pares distintos deberán colocar en el aparador? r=20

 

12. Un estudiante de primer año debe tomar un de ciencia, uno de humanidades y otro

de matemáticas. Si puede escoger entre cualquiera de 6 cursos de ciencias, 4 de

humanidades y 4 de matemáticas, ¿cuántas maneras tiene de seleccionar las

materias?

r=96 maneras

13. Un urbanista de una nueva subdivisión ofrece a los clientes prospectos para la

compra de una casa, la posibilidad de seleccionar cualquiera de 4 diseños diferentes,

tres sistemas de calefacción, cochera con puertas o sin ellas, y patio o pórtico,

¿cuántos planes distintos están disponibles para el comprador? r= 48

planes

 

14. Si una prueba de selección múltiple consta de 5 preguntas, cada una con 4

posibles respuestas, de las cuales solo una es correcta, a. ¿en cuantas formas

107

diferentes puede un estudiante escoger una respuesta para cada pregunta?, b. ¿en

cuantas formas puede un estudiante escoger una alternativa para cada pregunta y

tener todas las respuestas incorrectas? a. r= 1024 b. r=243

 

15. Un testigo de un accidente de tránsito en el que el causante huyó, le indica al

policía que el número de matrícula del automóvil tenía las letras DUH seguidas por

tres dígitos, el primero de los cuales era un cinco. Sí el testigo no puede recordar los

otros dos dígitos, pero está seguro de que los tres eran diferentes, encuentre el

número máximo de registros de automóvil que debe verificar la policía. r=72

registros

 

16. a) ¿De cuantas maneras pueden formarse 6 personas para subir a un autobús?,

b.si tres de ellas insisten en seguirse una a la otra, ¿en cuantas formas es esto

posible?,c.Si dos personas se rehúsan a seguirse una a la otra?

a. r=720 b. r=144 c. r=480 maneras

 

17. a) ¿cuántos números de tres dígitos pueden formarse con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4,

5, y 6, si cada uno solo puede usarse solo una vez?, b) ¿cuántos de estos números

son nones?, c) ¿cuántos son mayores que 330? a. r=180 b. r=75 c. r=105

números

 

18. ¿En cuantas formas pueden sentarse en una línea 4 niños y 5 niñas, si deben

colocarse alternadamente? r=2880 formas

 

108

19. Cuatro matrimonios compraron 8 lugares para un concierto. ¿En cuantas formas

diferentes pueden sentarse a. sin restricciones?, b. si se sientan por parejas?, c. si

todos los hombres se sientan juntos a la izquierda de todas las mujeres?

a. r=40,320 b. r=384 c. r=576

20. ¿Cuántos menús que consisten de sopa, emparedado, postre y un refresco se

puede ofrecer si se puede seleccionar entre 4 sopas diferentes, 3 clases de

emparedados, 5 postres y 4 refrescos?

r=240 menús

 

21. ¿En cuantas formas pueden llenarse las 5 posiciones iniciales de un equipo de

baloncesto con 8 jugadores que pueden ocupar cualquiera de ellas? r=6720 formas

59280

22. Se sacan tres boletos de la lotería, de un grupo de 40, para el primero, segundo y

tercer premios. Encuentre el número de puntos muestrales en d para otorgarlos si

cada concursante conserva solo un boleto. r=59,280 puntos

 

23. ¿En cuantas formas pueden plantarse, a lo largo de la línea divisoria de una

propiedad, 3 robles, 4 pinos y 2 arces, si no se distingue entre los árboles de la misma

clase? r=1,260 formas

24. Nueve personas salen de viaje para esquiar en tres vehículos cuyas capacidades

son de 2, 4 y 5 pasajeros, respectivamente. ¿En cuántas formas es posible transportar

a las 9 personas hasta el albergue con todos los vehículos? r=4,410 formas

 

109

25. ¿Cuántas formas hay de seleccionar a 3 candidatos de un total de 8 recién

graduados y con las mismas capacidades para ocupar vacantes en una firma

contable? R=56,,21,,10 formas

 

26. En un estudio que realizaron en california, el decano Lester Breslow y el doctor

James Enstrom de la School of Public Health de la University of California en los

Angeles, se concluyó que al seguir 7 sencillas reglas de salud, la vida de un hombre

puede alargarse, en promedio 11 años, y la de las mujeres siete. Estas 7 reglas son:

no fumar, hacer ejercicio regularmente, tomar alcohol solo en forma moderada, dormir

siete u ocho horas, conservar un peso apropiado, desayunar y no comer entre

alimentos. ¿En cuantas formas puede una persona adoptar cinco de estas reglas, a. si

actualmente las viola todas?, b. si nunca toma bebidas alcohólicas y siempre

desayuna? a. r=21 formas b.r=10 formas

 

27. Un dispositivo Biomecánico para emergencias médicas puede operar 0, 1 o 2

veces por noche. Trace un diagrama de árbol para demostrar que existen 10 maneras

diferentes en las que puede operar para un total de 6 veces en cuatro noches.

 

2.2 Eventos

Evento: uno o más de los resultados posibles de hacer algo, o uno de los resultados

posibles de realizar un experimento

SUCESO: Conjunto de puntos muestrales y puede ser elemental o compuesto.

110

Suceso elemental: hace referencia a cada una de las posibles soluciones que se pueden presentar.

Ejemplo: al preguntar a una persona cuanto está dispuesta a pagar porque le laven su auto, los sucesos elementales son 0, 1, 2, 3… 100 suponiendo solo valores enteros.

Suceso compuesto: es un subconjunto de sucesos elementales.

Ejemplo: preguntamos a una persona y queremos que salga un precio entre $60 y $80. El suceso "numero entre 60 y 80" es un suceso compuesto, integrado por 60,61, 63,… 80 sucesos elementales.

Al conjunto de todos los posibles sucesos elementales lo denominamos espacio muestral. Cada experimento aleatorio tiene definido su espacio muestral (es decir, un conjunto con todas las soluciones posibles).

Probabilidad: Relación entre sucesos

Entre los sucesos compuestos se pueden establecer distintas relaciones:

a) Un suceso puede estar contenido en otro: las posibles soluciones del primer suceso también lo son del segundo, pero este segundo suceso tiene además otras soluciones suyas propias.

Ejemplo: preguntamos un precio y analizamos dos sucesos: a) que salga el precio $50, y b) que salga un número entre $40 y $80. Vemos que el suceso a) está contenido en el suceso b).

Siempre que se da el suceso a) se da el suceso b), pero no al contrario. Por ejemplo, si el resultado fuera el 60, se cumpliría el suceso b), pero no el a).

b) Dos sucesos pueden ser iguales: esto ocurre cuando siempre que se cumple uno de ellos se cumple obligatoriamente el otro y viceversa.

Ejemplo: preguntamos un precio y analizamos dos sucesos: a) que salga el número 50, y b) que salga el promedio. Vemos que las soluciones coinciden en ambos casos.

c) Unión de dos o más sucesos: la unión será otro suceso formado por todos los elementos de los sucesos que se unen.

Ejemplo: Preguntamos un precio y analizamos dos sucesos: a) que salga el número 50 y b) que el resultado esté entre 52 y 55. El suceso unión estaría formado por los siguientes resultados: el 50, el 52, el 53, el 54 y el 55.

d) Intersección de sucesos: es aquel suceso compuesto por los elementos comunes de dos o más sucesos que se intersectan.

Ejemplo: preguntamos un precio, y analizamos dos sucesos: a) que salga número 50, y b) que sea mayor que 40. La intersección de estos dos sucesos tiene un sólo

111

elemento, el número 50 (es el único resultado común a ambos sucesos: es mayor que 40 y es el número 50).

e) Sucesos incompatibles: son aquellos que no se pueden dar al mismo tiempo ya que no tienen elementos comunes (su intersección es el conjunto vacío).

Ejemplo: preguntamos un precio y analizamos dos sucesos: a) que salga un número menor que 30, y b) que salga el número 50. Es evidente que ambos no se pueden dar al mismo tiempo.

f) Sucesos complementarios: son aquellos que si no se da uno, obligatoriamente se tiene que dar el otro.

Ejemplo: preguntamos un precio y analizamos dos sucesos: a) que salga un número par, y b) que salga un número impar. Vemos que si no se da el primero se tiene que dar el segundo (y viceversa).

2.2.1 Dependiente e independientes

Dependencia estadística: condición en la que la Probabilidad de presentación de un evento depende de la presentación de algún otro evento, o se ve afectada por ésta.

Independencia estadística: condición en la que la presentación de algún evento no

tiene efecto sobre la Probabilidad de presentación de otro evento

2.2.2 Excluyentes y no excluyentes

Se dice que dos eventos son mutuamente excluyentes si uno y sólo uno de ellos puede tener lugar a un tiempo. Si estos se presentan al mismo tiempo se dice que son no excluyentes.

2.2.3 Reglas de probabilidad

La mayoría de los administradores que utilizan la Probabilidad se preocupan por dos condiciones: 

El caso en que un evento u otro se presente. La situación en que dos o más eventos se presenten al mismo tiempo.

 La Probabilidad de un evento A se expresa como: P (A) Una Probabilidad sencilla quiere decir que sólo un evento puede llevarse a cabo. Se le conoce como Probabilidad marginal o incondicional. Usamos una representación gráfica, conocida como diagrama de Venn. El espacio muestral completo se representa mediante un rectángulo y los eventos se representan como partes de ese rectángulo. Si dos eventos son mutuamente excluyentes, las partes correspondientes de éstos en el rectángulo, no se traslaparán. Si dos eventos

112

no son mutuamente excluyentes, sus partes correspondientes en el rectángulo sí se traslapan. Debido a que las probabilidades se comportan en mucho como si fueran áreas, tomaremos el área del rectángulo como la unidad. Entonces la Probabilidad de que suceda un evento es su área que le corresponde dentro del rectángulo. Regla de la adición para eventos mutuamente excluyentes. A menudo, estamos interesados en la Probabilidad de que una cosa u otra sucedan. Si estos dos eventos son mutuamente excluyentes, podemos expresar esta Probabilidad haciendo uso de la regla de adición para eventos mutuamente excluyentes:

P( AoB)=P (A )+P(B)  Existe un caso especial, para cualquier evento A, tenemos que éste sucede o no sucede. de modo que los eventos A y no A son mutuamente excluyentes y exhaustivos:

P( A )+P(noA )=1P( A )=1−P (noA )

   Regla de adición para eventos que no son mutuamente excluyentes. Si dos eventos no son mutuamente excluyentes, es posible que ambos se presenten al mismo tiempo. En tales casos, debemos modificar la regla de la adición para evitar el conteo doble:

P( AoB)=P (A )+P(B)−P (AyB ) 

  Probabilidades bajo condiciones de independencia estadística. Cuando se presentan dos eventos, el resultado del primero puede tener un efecto en el resultado del segundo, o puede no tenerlo. Esto es, los eventos pueden ser dependientes o independientes. Existen tres tipos de probabilidades que se presentan bajo independencia estadística: 

Marginal. Conjunta. Condicional.

   Una Probabilidad marginal o incondicional es la Probabilidad simple de presentación de un evento.  La Probabilidad conjunta bajo condiciones de independencia estadística es la Probabilidad de dos o más eventos independientes que se presentan juntos o en sucesión es el producto de sus probabilidades marginales:

P( AyB)=P (A )P(B)

 Un árbol de Probabilidad muestra los resultados posibles y su respectiva Probabilidad.   

113

Probabilidades condicionales bajo independencia estadística. Simbólicamente, la Probabilidad condicional se escribe:

P (B /A )

 Y se lee "la Probabilidad de que se presente el evento B, dado que el evento A se ha presentado". La Probabilidad condicional es la Probabilidad de que un segundo evento (B) se presente, si un primer evento (A) ya ha sucedido. Para eventos estadísticamente independientes, la Probabilidad condicional de que suceda el evento B dado que el evento A se ha presentado, es simplemente la Probabilidad del evento B:

P (B /A )=P(B) 

SUGERENCIA: Una buena verificación de los cálculos para obtener la Probabilidad conjunta consiste en recordar que para cada intento, el total de probabilidades resultantes debe sumar 1.  Probabilidades bajo condiciones de dependencia estadística. La dependencia estadística existe cuando la Probabilidad de que se presente algún suceso depende o se ve afectada por la presentación de algún otro evento. Los tipos de Probabilidad bajo condiciones de dependencia estadística son: 

Condicional. Conjunta. Marginal.

 Probabilidad condicional bajo dependencia estadística.

P (B /A )= P(ByA )P (A )

    Probabilidades conjuntas bajo condiciones de dependencia estadística.

P(ByA )=P (B /A )P( A ) o P(ByA )=P (A /B )P(B )

   Probabilidades marginales bajo condiciones de dependencia estadística.: Las probabilidades marginales bajo dependencia estadística se calculan mediante la suma de las probabilidades de todos los eventos conjuntos en los que se presenta el evento sencillo.  SUGERENCIA: Hacer la diferencia necesaria entre Probabilidad condicional y Probabilidad conjunta mediante el uso correcto de los términos "dado que..." y "tanto... como": P(A/B) es la " Probabilidad de que se presente el evento A dado que ya se ha presentado B" y P(AB) es la Probabilidad de que tanto A como B se presenten". Y la Probabilidad marginal P(A) es la " Probabilidad de que se presenta A, haya sucedido o no el evento B".

114

2.3 PROBABILIDAD CONDICIONALProbabilidades condicionales bajo independencia estadística. Simbólicamente, la Probabilidad condicional se escribe:

P (B /A )

 Y se lee "la Probabilidad de que se presente el evento B, dado que el evento A se ha presentado". La Probabilidad condicional es la Probabilidad de que un segundo evento (B) se presente, si un primer evento (A) ya ha sucedido. Para eventos estadísticamente independientes, la Probabilidad condicional de que suceda el evento B dado que el evento A se ha presentado, es simplemente la Probabilidad del evento B:

P (B /A )=P(B)

Probabilidad condicional bajo dependencia estadística.

P (B /A )= P(ByA )P (A )

2.4 TEOREMA DE BAYESEl teorema de de Bayes Bayes, en la teoría de la probabilidad, es el resultado que da la distribución de probabilidad condicional de una variable aleatoria A dada B en términos de la distribución de probabilidad condicional de la variable B dada A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A.Sea A1, A2, ...,An un sistema completo de sucesos, tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquier del que se conocen las probabilidades condicionales P(B/Ai), entonces la probabilidad P(Ai/B) viene dada por la expresión:

P (A1 /B )=P (B /A1)P (A1 )

P (B )=

P (B /A1)P (A1 )

∑i=1

n

P (B /A i )P (A i )

El teorema de Bayes es válido en todas las aplicaciones de la teoría de la probabilidad. Sin embargo, hay una controversia sobre el tipo de variables que emplea. En esencia, los seguidores de la estadística tradicional argumentan que Bayes hace uso de la incertidumbre como punto de partida en sus cálculos para llegar a conclusiones. La estadística tradicional, por el contrario, sólo se basa en la frecuencia de los datos observados para emitir juicios. de todas formas, la estadística bayesiana está demostrando su utilidad en ciertas disciplinas científicas como la medicina, la física, la astronomía y la computación. El hecho de que permita hacer estimaciones basadas en el conocimiento a priori (incertidumbre) y permitir revisar esas estimaciones en función de la evidencia es lo que está abriendo nuevas formas de hacer conocimiento.

115

En los problemas relacionados con la probabilidad, y en particular con la probabilidad condicionada, así como con la probabilidad total y el teorema de bayes, es aconsejable que, con la información del problema, construyas una tabla de contingencia o un diagrama de árbol.

Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3%, 4% y 5%.

a. Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea defectuosa.

b. Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de haber sido producida por la máquina B.

c. ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza defectuosa?

Solución:

Sea D= "la pieza es defectuosa" y N= "la pieza no es defectuosa". La información del problema puede expresarse en el diagrama de árbol adjunto.

a. Para calcular la probabilidad de que la pieza elegida sea defectuosa, P(D), por la propiedad de la probabilidad total, P(D) = P(A) · P(D/A) + P(B) · P(D/B) + P(C) · P(D/C) =

= 0.45 · 0.03 + 0.30 · 0.04 + 0.25 · 0.05 = 0.038 b. Debemos calcular P(B/D). Por el teorema de Bayes,

P (B /D )= P (D /B )P (B )P (D /A )P (A )+P (D /B )P (B )+P (D /C ) P (C )

=

P (B /D )= 0 . 04∗0 .300. 03∗0 .45+0 . 04∗0 . 30+0 .05∗0 . 25

=

c. Calculamos P(A/D) y P(C/D), comparándolas con el valor de P(B/D) ya calculado. Aplicando el teorema de Bayes, obtenemos:

116

P (A /D )= 0.03∗0 . 450 . 03∗0. 45+0 .04∗0. 30+0 . 05∗0 .25

=0. 355

P (C /D )= 0 .05∗0. 250 . 03∗0 . 45+0 .04∗0 .30+0 .05∗0 . 25

=0 .329

La máquina con mayor probabilidad de haber producido la pieza defectuosa es A

Tenemos tres urnas: A con 3 bolas rojas y 5 negras, B con 2 bolas rojas y 1 negra y C con 2 bolas rojas y 3 negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna A?Solución:

Llamamos R= "sacar bola roja" y N= "sacar bola negra". En el diagrama de árbol adjunto pueden verse las distintas probabilidades de ocurrencia de los sucesos R o N para cada una de las tres urnas.La probabilidad pedida es P(A/R). Utilizando el teorema de Bayes, tenemos:

P (A /R )= P (R /A )P ( A )P (R/ A ) P (A )+P (R /B )P (B )+P (R /C )P (C )

=

P (A /R )=(3/8 )(1/3 )

(3 /8 ) (1/3 )+ (2 /3 ) (1/3 )+(2 /5 ) (1/3 )==0 . 260

2.3. Distribuciones de probabilidad

Toda distribución de probabilidad es generada por una variable aleatoria x, la que puede ser de dos tipos:

117

Las distribuciones de probabilidad se clasifican como continuas y discretas. En la distribución de probabilidad discreta está permitido tomar sólo un número limitado de valores. En una distribución de probabilidad continua, la variable que se está considerando puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo dado. Las distribuciones continuas son una forma conveniente de presentar distribuciones discretas que tienen muchos resultados posibles, todos muy cercanos entre sí.

Ejemplos de distribuciones de probabilidad más comunes

{Beta ¿ {Binomial ¿ {Cons tan te ¿ {Erlang ¿ {Exponenencial ¿ {Gamma ¿ {Geometríca ¿ {Hiper exp onencial ¿ {Lognormal ¿ {Normal ¿ {PearsonTipo V ¿ {Pearson TipoV I¿ {Poisson ¿ {Tabla Empírica ¿ {Triangular ¿ {Uniforme _Real ¿ {Uniformeentera ¿¿¿¿¿

¿2.5.2 Variables aleatorias

Una variable es aleatoria si toma diferentes valores como resultado de un experimento aleatorio. Se puede pensar en una variable aleatoria como un valor o una magnitud que cambia de una presentación a otra, sin seguir una secuencia predecible. Los valores de una variable aleatoria son los valores numéricos correspondientes a cada posible resultado de un experimento aleatorio.La distribución de probabilidad de una variable aleatoria proporciona una probabilidad para cada valor posible, y estas probabilidades deben sumar 12.5.3 Clasificación de las variables aleatorias

Puede ser discreta o continua. Si puede tomar sólo un número limitado de valores, entonces es una variable aleatoria discreta. En el otro extremo, si puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo dado, entonces se trata de una variable aleatoria continua.

118

Ejemplos de variables aleatoria discretas:

X Es la variable que nos define el número de personas que hacen cola en un banco. X = 0, 1, 2, 3,…15, Persona en la fila. X= Variable que nos define el número de productos defectuosos en un lote de 25 productos. X= Variable que nos define el número de alumnos aprobados en la materia de probabilidad en un grupo de 40 alumnos. 0, 1, 2, 3, 4, 5,....,40 alumnos aprobados en probabilidad

Con los ejemplos anteriores nos damos cuenta claramente que los valores de la variable x siempre serán enteros, nunca fraccionarios.

Ejemplos de variables aleatorias continúas:

X es la variable que nos define el tiempo para ser atendidos en un banco. X = 5.0 minutos, 6, 7, 8, 9, 10…30Minutos o 0.5 horas. X Es la variable que nos define la longitud de los tornillos que produce una máquina automática. X = 14.8mm, 15.0mm, 16.2,… 20.1mm

Como se observa en los ejemplos anteriores, una variable continua puede tomar cualquier valor, entero o fraccionario, una forma de distinguir cuando se trata de una variable continua es que esta variable nos permite medirla o evaluarla, mientras que una variable discreta no es medible, es una variable de tipo atributo, cuando se inspecciona un producto este puede ser defectuoso o no, blanco o negro, cumple con las especificaciones o no cumple.

2.5.4 Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS: 

Sean x1 , x2 , x3 , . .. xn los distintos valores que puede tomar la variable aleatoria y

P( x1 ), P( x2 ), P( x3 ), . .. P( xn ) su probabilidad.

 Los pares de valores ( x j , P( x j)) constituyen la distribución de probabilidades de la variable aleatoria.

 P( x j ) Se denomina función de probabilidad, y debe cumplir con las siguientes propiedades:

0≤P( x j )≤1  , P( x j ) Es una probabilidad, y por lo tanto debe tomar valores entre 0 y 1.

∑ P (x j )=1 La suma de probabilidades repartidas entre todos los valores de la variable debe ser igual a 1.

119

 De la misma manera que calculamos frecuencias acumuladas, podemos acumular probabilidades, obteniendo la función de distribución de probabilidades:

 F ( x )=∑ P( x j)

 Esta función representa la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que un determinado valor:

F ( x j )=P(X≤x j )   Gráficamente, la función aumenta saltando, ya que entre dos valores consecutivos de una variable discreta, no puede tomar valores intermedios.  VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS: En este caso, en lugar de trabajar con la probabilidad de valores particulares de la variable, resulta más apropiado calcular probabilidades asociadas a intervalos. Para distribuir propiedades se usa una función que mide "concentración" de probabilidades alrededor de un punto, que se denomina función de densidad de probabilidad (fdp) y se denota como f(x). Una función de densidad de probabilidad debe cumplir con las siguientes propiedades: f ( x )≥0 La función es no negativa para cualquier valor de x, f ( x ) no es una probabilidad, y puede valer más de 1.

∫ f ( x )dx=1 la acumulada para todos los valores de la variable suma 1, el área bajo la curva de la función vale 1.

 La función de distribución para una variable aleatoria continua se calcula:

 F (a )=P(X≤a )=∫ f (x )dx

 La probabilidad de que la variable esté dentro de un intervalo [a - b] se calcula:P(a≤x≤b )=F (b )−F (a ) 

 La probabilidad de que la variable tome un valor particular se puede expresar como: F(c) - F(c) = 0

 Esto explica la idea de que para el caso de una variable aleatoria continua no tiene sentido trabajar con la probabilidad de un valor particular.Un estudio más profundo del tema de variable aleatoria continua requiere de conocimientos previos de del cálculo diferencial e integral.

2.4. Esperanza matemática y desviación típica de variables

aleatorias.

El valor esperado es un operador matemático, cuya fórmula de cálculo depende del tipo de variable aleatoria:  

120

Variable aleatoria discreta:E( x )=∑ x j P( x j)

El valor esperado se utiliza para encontrar el valor promedio de varias situaciones que se presentan de manera aleatoria.

Por ejemplo suponga que el consumo de electricidad en una región fronteriza se presenta de la siguiente forma.

Situación aleatoria Frecuencia meses Gasto promedio mensual100% Nacional 15 8 millones95% Nacional 9 12 millones90% Nacional 6 14 millones

Calcule el valor esperado para el gasto mensual de electricidad:

La frecuencia absoluta la convertimos en frecuencia relativa y por lo tanto en probabilidad.

Situación aleatoria

Frecuencia meses

Frecuencia relativa Gasto promedio mensual

100% Nacional 15 =15/30=0.5 8 millones95% Nacional 9 =9/30=0.3 12 millones90% Nacional 6 =6/30=0.2 14 millones

E( gm)=∑ gm jP (gm j)=8(0 . 5)+12(0 .3)+14 (0 .2 )=4+3 .6+2 .8=10 .4 . ..Millones

Variable aleatoria continua:E( x )=∫ xf ( x )dx

Para caracterizar correctamente a la distribución, además de determinar su posición es necesario calcular alguna medida que cuantifique su variabilidad. Una cantidad muy útil para evaluar la dispersión de la variable aleatoria es el operador varianza, que se calcula:  

Variable aleatoria discreta:Var ( x )=∑ (x j−E( x ))2 p( x j )

Variable aleatoria continua: Var ( x )=∫ (x−E( x ))2 f ( x )dx

Trabajo

1. ¿Qué es la dependencia estadística?

2. Defina el espacio muestral

3. ¿Qué son los eventos mutuamente excluyentes

4. Defina que es un experimento aleatorio

121

5. ¿Qué es la probabilidad como frecuencia relativa?

6. Defina independencia estadística

7. ¿Qué es probabilidad condicional?

8. ¿Que es probabilidad subjetiva?

9. La cantidad de clientes que llegan a comprar a un supermercado por hora esta dado por.

U=¿ {265,267,271,275,276,279,280,288,290,291,292,294,295,296,297,298,300,301,302 ¿ }¿{}A={279,280,288,290,291,292,294,295,296,297,298,300,301,302,303 }

B= {292,294,295,296,297,298,300,301,302,303,304,305,306,308,309 }

Encuentre:

A) P(A)B) P(B)C) P(A Ó B)D) P(A Y B)E) P(A / B)

10. La cantidad de dinero que gastan los clientes en el supermercado en una visita de compras está dada por:

U=¿ {300,361,375,402,406,407,415,425,446,447,452,455,458,459,460,467,477, ¿ }¿{}Si: A es el evento compuesto de que los clientes compren entre $350 y $500

A={350≤X≤55 0 }

y B Es el evento compuesto de que los clientes compren entre $450 y $650

B= {450≤X≤650 } Encuentre:

A) P(A)B ) P(B)C) P(A Ó B)D) P(A Y B)E) P(A / B)

11. ¿Cómo clasifican Las distribuciones de probabilidad?

1 2. ¿Cual es la distribución de probabilidad continua?

122

13. ¿Qué es una variable aleatoria?

14. ¿Qué es la esperanza matemática?

15. Mencione dos tipos de muestreo aleatorio

16.- El tiempo utilizado por los clientes de un banco en un cajero automático fue el siguiente, medido en segundos:

49 150 130 80 300 251 160 51 170 12535 90 350 50 75 249 85 92 115 24549 142 189 97 179 126 345 99 183 138

133 226 323 77 130 147 85 97 270 24685 164 181 145 76 290 215 156 192 42

Elabore una distribución de probabilidad empírica continua

17.- El consumo de latas de refresco en un evento fue de:

161 262 242 192 412 363 272 163 282 237147 202 462 162 187 351 197 204 227 357161 254 301 209 191 238 457 211 295 250283 131 423 108 282 116 356 243 394 144245 338 435 189 242 258 197 209 382 358197 276 293 257 188 402 327 268 304 154

Elabore una distribución de probabilidad empírica discreta

18. Elabore un diagrama de árbol que muestre todos los caminos diferentes para que un tesorero pueda endeudarse en 6 meses consecutivos, con tres fuentes de financiamiento, para cubrir dos obligaciones en cada mes y pagar en los mismos seis meses.

19. Elabore un diagrama de árbol que muestre todos los caminos diferentes para que un tesorero pueda endeudarse en 6 meses consecutivos, con 4 fuentes de financiamiento en el primer mes y tres en los 5 meses restantes, para cubrir dos obligaciones en los primeros 5 meses , tres obligaciones en el mes restante y pagar en los mismo seis meses.

20. Conteste las siguientes preguntas apoyándose en la base de datos que aparece al final.

a) Elabore una distribución de frecuencia relativa por girob) Cantidad de personas que están dispuestas a pagar más de 10 % de

sus ganancias (CDC100) y calcule la probabilidad como frecuencia relativa.

123

c) Cantidad de personas que no están dispuesta a ingresar al comercio formal (EDICF) y que estarían dispuestas a pagar más del 5% de sus ganancias (CDC100) y calcule la probabilidad como frecuencia relativa.

d) Cantidad de hombres que manejan el giro de alimentos cocinados y ganan más de 500 pesos por día (CGPD) y calcule la probabilidad como frecuencia relativa.

e) La probabilidad de que gane más de 500 pesos por día (CGPD) dado que pertenece al giro de alimentos cocinados.

Sex Ed Esc Cptcu Giro Cvpd CGPD EDICF CDC100M 38 7 1 Helados y paletas 394 323 No 1H 33 6 5 Bienes Manufacturados 964 602 No 4H 41 5 2 Alimentos cocinados 891 455 Si 29H 46 6 1 Bienes Manufacturados 546 324 Si 44H 45 6 0 Alimentos cocinados 336 208 No 4M 48 8 3 Cigarros y cerillos 526 323 No 4H 29 4 1 Bienes Manufacturados 665 354 Si 0M 38 7 4 Periodicos y revistas 490 460 Si 19H 45 5 4 Helados y paletas 669 494 Si 42H 34 4 0 Bienes Manufacturados 1415 752 Si 6H 36 5 2 Cigarros y cerillos 455 368 Si 12H 31 4 2 Dulces y golosinas 790 772 No 2M 30 5 3 Alimentos cocinados 694 381 No 1M 35 2 1 Alimentos cocinados 396 233 Si 8H 36 8 2 Alimentos cocinados 1010 616 Si 10H 29 6 2 Comida 171 142 Si 0H 37 5 1 Cigarros y cerillos 258 198 No 13H 37 4 1 Bienes Manufacturados 856 520 Si 16H 40 4 1 Comida 649 365 Si 27M 38 5 4 Comida 870 481 No 1H 38 5 2 Alimentos cocinados 1178 670 Si 18H 38 8 3 Cigarros y cerillos 672 564 Si 17H 46 7 0 Comida 923 506 Si 44H 39 3 0 Bienes de segunda mano 662 457 Si 22M 39 3 0 Alimentos cocinados 304 171 Si 20H 37 7 1 Periodicos y revistas 429 291 Si 14H 49 7 2 Cigarros y cerillos 803 658 Si 47H 44 5 1 Cigarros y cerillos 500 422 Si 39H 51 7 1 Alimentos cocinados 529 309 No 4M 36 10 3 Alimentos cocinados 811 470 Si 12H 48 9 3 Alimentos cocinados 512 387 Si 46H 31 5 1 Dulces y golosinas 1249 666 Si 2M 42 4 1 Helados y paletas; 1050 544 Si 34M 44 7 1 Alimentos cocinados 575 391 Si 40H 49 5 2 Cigarros y cerillos 680 489 Si 47M 39 3 2 Alimentos cocinados 409 279 Si 22M 37 7 2 Dulces y golosinas 733 558 Si 14M 43 7 6 Comida 600 446 No 3H 38 6 0 Dulces y golosinas 1041 599 Si 17H 43 1 0 Comida 846 455 No 3M 32 4 2 Periodicos y revistas 297 294 Si 3H 35 7 2 Comida 196 129 Si 9

124

H 32 5 1 Alimentos cocinados 1447 742 No 3M 38 7 2 Bienes Manufacturados 413 347 Si 17H 39 10 2 Alimentos cocinados 1036 522 Si 23H 40 9 4 Alimentos cocinados 930 588 Si 25H 38 2 1 Bienes de segunda mano 334 246 Si 18M 50 5 1 Helados y paletas 722 450 Si 48H 31 6 1 Bienes Manufacturados 1102 613 Si 1M 36 7 1 Helados y paletas; 614 528 Si 11H 27 8 1 Alimentos cocinados 982 514 Si 0M 47 7 2 Dulces y golosinas 770 459 No 4M 33 4 1 Bienes de segunda mano 624 324 No 4M 36 3 2 Comida 559 470 Si 12H 43 6 1 Cigarros y cerillos 597 507 Si 38H 42 3 1 Comida 1299 683 Si 33H 44 5 0 Bienes Manufacturados 847 485 No 3M 42 7 3 Alimentos cocinados 449 293 Si 35H 33 6 0 Alimentos cocinados 597 393 Si 4H 34 3 3 Dulces y golosinas 334 236 Si 6H 43 6 1 Cigarros y cerillos 818 465 Si 37H 41 5 2 Helados y paletas 746 590 Si 30M 35 7 2 Periodicos y revistas 745 381 Si 8H 38 8 0 Comida 618 489 Si 19H 40 10 3 Bienes Manufacturados 575 508 Si 27H 42 3 3 Bienes Manufacturados 475 365 Si 34H 40 6 1 Cigarros y cerillos 738 407 Si 27M 35 9 0 Dulces y golosinas 1079 578 Si 8H 49 1 4 Comida 339 285 Si 47H 42 9 1 Dulces y golosinas 658 552 Si 33H 40 8 1 Cigarros y cerillos 556 448 Si 25M 44 4 1 Dulces y golosinas 861 752 Si 39M 44 7 3 Comida 951 554 Si 39M 36 7 1 Dulces y golosinas 792 654 Si 12H 35 8 4 Helados y paletas 492 395 Si 8H 45 12 2 Alimentos cocinados 920 584 Si 42H 33 7 0 Cigarros y cerillos 664 561 No 5H 32 5 0 Cigarros y cerillos 411 361 No 2H 43 8 1 Dulces y golosinas 425 231 Si 37H 43 3 2 Bienes Manufacturados 418 348 No 3H 51 4 1 Bienes Manufacturados 626 357 Si 48H 47 2 3 Helados y paletas 616 400 Si 45M 46 4 4 Bienes Manufacturados 1094 627 Si 44H 40 5 3 Cigarros y cerillos 721 458 Si 26M 40 5 4 Dulces y golosinas 1182 676 Si 24M 42 3 0 Bienes Manufacturados 979 501 Si 33H 39 9 1 Alimentos cocinados 821 414 No 2M 34 3 3 Helados y paletas 344 335 Si 7H 31 4 0 Dulces y golosinas 732 378 Si 1H 44 7 0 Alimentos cocinados 643 445 Si 39H 42 2 1 Alimentos cocinados 1112 561 Si 32H 43 9 4 Cigarros y cerillos 870 579 Si 35M 41 7 3 Comida 730 462 Si 28M 34 4 1 Dulces y golosinas 527 381 Si 7H 46 0 0 Alimentos cocinados 719 714 No 4H 38 3 4 Comida 383 356 Si 18

125

M 35 6 4 Cigarros y cerillos 1140 611 Si 9M 35 4 1 Cigarros y cerillos 724 388 No 10H 37 3 1 Cigarros y cerillos 355 315 Si 16H 37 7 1 Comida 417 401 Si 15H 37 5 1 Cigarros y cerillos 264 191 Si 14H 44 3 4 Dulces y golosinas 875 513 Si 39H 42 9 2 Dulces y golosinas 600 366 Si 34H 36 3 1 Bienes Manufacturados 1055 592 Si 13H 46 5 1 Alimentos cocinados 1072 561 Si 44H 31 3 0 Cigarros y cerillos 625 469 Si 1M 42 4 5 Alimentos cocinados 388 310 Si 34M 39 3 1 Alimentos cocinados 631 328 Si 22H 40 9 2 Helados y paletas 191 165 Si 25H 36 5 4 Alimentos cocinados 476 276 No 12H 37 4 2 Alimentos cocinados 582 344 Si 14M 44 5 1 Dulces y golosinas 290 168 No 3M 44 8 1 Helados y paletas 292 250 Si 38H 42 3 1 Comida 554 439 Si 33M 43 7 0 Dulces y golosinas 717 435 Si 37H 48 9 0 Bienes Manufacturados 685 547 Si 46H 41 4 1 Dulces y golosinas 376 221 Si 30H 42 7 0 Dulces y golosinas 583 421 No 3H 49 5 4 Bienes Manufacturados 404 225 Si 47H 38 6 3 Cigarros y cerillos 698 412 Si 18H 45 4 1 Dulces y golosinas 106 94 Si 41M 40 5 2 Bienes Manufacturados 364 243 Si 27M 45 4 1 Comida 1318 840 Si 42M 39 7 0 Cigarros y cerillos 934 497 No 2H 36 6 1 Helados y paletas 315 304 Si 10M 45 6 1 Bienes Manufacturados 82 63 Si 42M 37 6 3 Cigarros y cerillos 483 410 Si 13M 42 3 1 Bienes Manufacturados 373 324 Si 34H 42 5 0 Cigarros y cerillos 783 726 No 3M 38 5 1 Comida 322 169 Si 18M 37 8 3 Dulces y golosinas 481 441 No 1M 33 4 1 Cigarros y cerillos 495 438 Si 4H 49 2 4 Dulces y golosinas 681 514 Si 47H 37 6 0 Bienes Manufacturados 870 545 Si 13H 40 6 2 Dulces y golosinas 216 187 Si 26M 38 6 1 Alimentos cocinados 589 410 No 1H 54 5 0 Bienes Manufacturados 580 349 Si 48H 46 7 1 Alimentos cocinados 1209 779 Si 43H 44 6 2 Bienes Manufacturados 615 392 Si 39H 46 5 2 Bienes Manufacturados 672 462 Si 44M 40 6 2 Alimentos cocinados 659 402 No 2H 42 8 2 Alimentos cocinados 795 583 Si 34M 38 5 5 Comida 450 295 Si 19H 33 4 1 Dulces y golosinas 1030 656 Si 5H 46 6 1 Bienes Manufacturados 998 672 Si 43H 38 3 1 Cigarros y cerillos 507 387 Si 18H 33 4 2 Bienes Manufacturados 482 385 Si 4H 43 6 2 Helados y paletas 368 249 Si 38H 43 9 2 Cigarros y cerillos 520 459 Si 38H 42 8 0 Comida 625 572 Si 32

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H 42 3 1 Bienes de segunda mano 618 479 Si 32M 36 6 3 Periodicos y revistas 1014 615 Si 12H 43 5 2 Alimentos cocinados 1165 616 Si 37H 42 2 2 Dulces y golosinas 478 413 No 3H 45 5 0 Dulces y golosinas 621 401 Si 42M 26 9 2 Bienes Manufacturados 686 539 Si 0M 42 6 1 Cigarros y cerillos 581 340 Si 33H 47 4 4 Helados y paletas 833 577 Si 45H 31 6 0 Bienes Manufacturados 747 522 No 2H 40 7 4 Cigarros y cerillos 703 367 Si 25M 46 7 2 Helados y paletas 848 556 Si 44M 48 7 2 Helados y paletas 1130 574 Si 46H 41 4 0 Comida 292 244 Si 29H 40 4 3 Helados y paletas 328 327 Si 27H 49 7 4 Cigarros y cerillos 1104 573 Si 47H 39 6 1 Comida 1031 585 Si 23M 36 9 2 Alimentos cocinados 876 596 No 12H 44 5 3 Helados y paletas 340 224 Si 40H 39 3 4 Helados y paletas 671 415 Si 24H 45 9 1 Bienes de segunda mano 770 493 No 4H 42 4 1 Bienes Manufacturados 619 483 No 3M 47 4 5 Alimentos cocinados 677 453 Si 45M 39 6 2 Alimentos cocinados 558 319 Si 22H 35 7 2 Bienes Manufacturados 695 360 Si 8H 32 6 2 Alimentos cocinados 609 330 No 3H 27 6 0 Alimentos cocinados 816 473 Si 0H 40 2 5 Cigarros y cerillos 762 526 Si 26H 41 6 5 Cigarros y cerillos 675 671 No 3M 39 5 5 Bienes Manufacturados 589 507 Si 24H 41 4 1 Helados y paletas 403 225 No 2H 41 6 1 Comida 579 374 Si 29H 47 9 3 Comida 927 598 Si 45M 40 5 1 Helados y paletas 1191 600 Si 26H 34 8 2 Alimentos cocinados 806 476 Si 6H 33 2 3 Cigarros y cerillos 1253 750 Si 4H 40 7 1 Dulces y golosinas 787 470 Si 28M 44 4 3 Dulces y golosinas 1068 557 No 4M 32 2 1 Bienes Manufacturados 697 458 Si 3H 36 6 2 Cigarros y cerillos 621 532 No 13H 42 7 0 Dulces y golosinas 848 485 Si 34H 38 4 6 Alimentos cocinados 530 433 No 2H 38 4 2 Bienes Manufacturados 1127 868 Si 17H 39 7 3 Helados y paletas 831 598 Si 21M 37 3 2 Bienes Manufacturados 627 543 No 1M 35 5 2 Cigarros y cerillos 669 588 Si 10H 43 6 1 Alimentos cocinados 582 302 Si 36H 40 7 4 Helados y paletas 449 299 Si 25H 46 3 1 Comida 989 511 Si 43M 41 4 0 Bienes Manufacturados 863 550 Si 29H 40 6 0 Dulces y golosinas 1000 601 Si 25M 41 4 2 Cigarros y cerillos 745 476 Si 28H 41 4 2 Cigarros y cerillos 498 446 Si 28H 39 8 2 Dulces y golosinas 1022 654 Si 24H 33 7 1 Dulces y golosinas 1081 616 Si 5

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M 41 7 3 Bienes Manufacturados 419 249 Si 29M 40 5 6 Dulces y golosinas 839 484 No 2M 43 5 2 Alimentos cocinados 430 415 Si 37H 36 7 2 Cigarros y cerillos 498 271 No 11H 43 3 4 Comida 982 650 Si 35M 41 3 4 Alimentos cocinados 916 582 Si 28H 40 4 4 Bienes Manufacturados 372 364 No 2M 44 3 3 Helados y paletas 604 361 Si 39M 49 6 2 Alimentos cocinados 855 651 No 4H 33 5 4 Dulces y golosinas 456 305 No 4H 33 6 4 Comida 608 309 Si 5H 42 6 4 Dulces y golosinas 1013 671 No 3H 45 8 2 Comida 723 539 Si 43M 35 8 3 Bienes Manufacturados 545 337 Si 9M 29 3 2 Bienes de segunda mano 976 564 Si 0M 35 6 6 Cigarros y cerillos 676 546 Si 9M 41 7 0 Comida 978 558 Si 28H 42 7 1 Bienes Manufacturados 589 557 Si 32H 35 5 2 Dulces y golosinas 417 403 Si 7H 35 5 4 Bienes de segunda mano 557 416 Si 9M 42 7 4 Bienes Manufacturados 871 578 Si 33M 40 4 2 Bienes Manufacturados 1104 622 Si 26M 37 4 0 Bienes de segunda mano 1082 629 Si 14M 40 8 2 Helados y paletas; 1217 716 Si 26M 35 5 1 Alimentos cocinados 595 418 Si 8H 35 6 3 Helados y paletas 962 549 Si 9M 45 6 3 Periodicos y revistas 791 570 Si 41M 48 10 1 Dulces y golosinas 388 236 Si 46M 36 2 1 Dulces y golosinas 817 698 Si 12H 39 6 2 Bienes Manufacturados 331 302 Si 21M 40 4 2 Dulces y golosinas 574 463 Si 26M 49 4 3 Dulces y golosinas 796 447 Si 47H 42 8 4 Comida 1288 732 Si 35M 48 2 1 Cigarros y cerillos 229 136 Si 46M 40 5 0 Bienes Manufacturados 377 305 Si 27H 47 6 2 Comida 329 184 Si 46H 36 8 2 Alimentos cocinados 1039 694 Si 12H 35 8 2 Bienes de segunda mano 874 712 Si 8H 45 9 3 Cigarros y cerillos 365 297 Si 43H 44 3 2 Bienes Manufacturados 1071 566 Si 40M 31 6 2 Comida 472 397 No 2H 46 4 1 Dulces y golosinas 937 549 Si 44M 39 6 1 Bienes Manufacturados 718 429 Si 20H 34 5 0 Dulces y golosinas 631 548 Si 6H 30 3 5 Alimentos cocinados 324 282 Si 1H 35 7 2 Dulces y golosinas 434 288 Si 10M 42 2 2 Bienes Manufacturados 930 560 No 3M 44 4 4 Alimentos cocinados 656 451 Si 40M 39 9 4 Dulces y golosinas 1220 640 Si 23H 39 3 0 Alimentos cocinados 276 235 Si 23H 41 4 3 Comida 323 321 Si 28H 38 5 4 Cigarros y cerillos 1003 538 No 1H 44 6 2 Cigarros y cerillos 263 218 Si 40H 37 4 1 Dulces y golosinas 1420 793 Si 15

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H 51 3 4 Cigarros y cerillos 625 556 Si 48H 43 4 2 Alimentos cocinados 664 359 No 3H 43 6 2 Dulces y golosinas 808 426 Si 35M 35 8 3 Comida 124 116 No 8H 44 7 7 Cigarros y cerillos 708 537 Si 39H 47 6 3 Cigarros y cerillos 585 497 Si 45H 36 3 3 Dulces y golosinas 338 195 Si 11H 38 3 1 Dulces y golosinas 609 556 No 1M 33 3 2 Cigarros y cerillos 915 513 No 4H 46 5 1 Helados y paletas 157 153 Si 44H 45 5 1 Dulces y golosinas 475 313 Si 41M 40 8 3 Bienes Manufacturados 597 501 Si 28M 29 7 1 Cigarros y cerillos 1181 633 Si 0H 42 3 5 Dulces y golosinas 367 272 Si 33H 42 5 2 Dulces y golosinas 745 482 No 3M 46 4 0 Helados y paletas 604 343 Si 43H 35 7 5 Dulces y golosinas 606 543 Si 8H 46 6 1 Cigarros y cerillos 792 583 Si 43H 37 6 1 Alimentos cocinados 676 347 Si 14H 36 4 1 Comida 362 321 No 11H 31 4 4 Cigarros y cerillos 972 575 Si 2H 46 6 2 Dulces y golosinas 879 501 Si 44M 35 5 3 Cigarros y cerillos 533 406 Si 8H 47 3 3 Alimentos cocinados 352 251 Si 46H 34 8 3 Alimentos cocinados 996 602 Si 5H 37 5 4 Alimentos cocinados 1180 728 No 1M 33 4 4 Dulces y golosinas 852 555 Si 4H 47 10 4 Helados y paletas 1176 594 Si 46M 40 7 1 Alimentos cocinados 832 466 Si 25M 41 5 2 Periodicos y revistas 443 304 No 3H 44 5 3 Cigarros y cerillos 475 468 Si 40M 49 6 1 Alimentos cocinados 610 499 Si 47H 39 3 4 Alimentos cocinados 1017 611 Si 23H 34 5 2 Dulces y golosinas 536 386 Si 7H 37 6 7 Cigarros y cerillos 769 578 Si 13M 44 0 0 Cigarros y cerillos 157 137 Si 39M 44 4 1 Cigarros y cerillos 1100 592 Si 39M 42 5 9 Cigarros y cerillos 1281 705 Si 34H 32 6 3 Comida 779 436 Si 3H 33 3 2 Dulces y golosinas 766 618 Si 3H 39 6 1 Helados y paletas 225 142 Si 21H 36 4 1 Cigarros y cerillos 976 748 No 12M 36 5 1 Cigarros y cerillos 813 437 Si 12M 44 6 1 Bienes Manufacturados 957 567 Si 39H 35 7 1 Comida 693 609 Si 9H 39 6 5 Dulces y golosinas 1188 596 No 2M 38 7 0 Alimentos cocinados 1061 686 Si 20H 47 6 0 Dulces y golosinas 534 475 Si 45M 33 4 1 Bienes de segunda mano 434 390 Si 4H 35 5 1 Dulces y golosinas 650 549 Si 8M 39 3 2 Comida 457 354 Si 21H 34 5 4 Dulces y golosinas 22 17 Si 7H 32 5 1 Bienes Manufacturados 695 533 Si 3H 29 6 1 Alimentos cocinados 335 332 Si 0

129

H 42 5 0 Cigarros y cerillos 561 375 Si 35H 38 3 2 Cigarros y cerillos 475 428 No 1H 42 7 3 Alimentos cocinados 1254 635 Si 32M 29 4 1 Helados y paletas 429 356 No 0H 45 9 3 Alimentos cocinados 614 419 Si 43M 30 2 1 Alimentos cocinados 727 558 Si 1M 37 4 1 Comida 714 566 Si 14H 35 6 0 Periodicos y revistas 130 70 Si 8M 39 6 3 Helados y paletas 473 357 Si 22M 40 4 4 Dulces y golosinas 653 376 Si 27H 48 4 1 Dulces y golosinas 772 430 Si 46H 37 5 3 Dulces y golosinas 663 507 No 15M 36 5 4 Dulces y golosinas 550 342 Si 10H 36 3 5 Bienes Manufacturados 349 345 Si 11M 42 9 1 Helados y paletas 1626 820 Si 35H 46 4 2 Dulces y golosinas 488 347 Si 44H 32 8 0 Comida 454 410 Si 3H 44 4 5 Dulces y golosinas 576 570 Si 40H 47 9 1 Comida 654 380 Si 46M 36 5 4 Dulces y golosinas 193 190 Si 12H 40 7 1 Helados y paletas 494 323 Si 26H 35 2 4 Alimentos cocinados 1095 683 Si 9H 43 3 1 Alimentos cocinados 902 453 Si 37H 41 2 2 Periodicos y revistas 1126 607 Si 29M 40 4 2 Alimentos cocinados 520 334 No 2M 34 3 3 Helados y paletas 1050 566 Si 7H 38 7 1 Alimentos cocinados 660 383 Si 18M 43 10 6 Dulces y golosinas 771 534 No 3M 39 4 3 Alimentos cocinados 398 387 Si 24H 45 8 1 Comida 814 498 Si 41H 34 5 1 Alimentos cocinados 673 402 Si 7H 43 4 1 Cigarros y cerillos 816 436 Si 38M 46 9 4 Helados y paletas 226 215 Si 43M 34 9 5 Cigarros y cerillos 560 530 Si 5M 41 2 2 Bienes de segunda mano 610 350 Si 32M 31 8 4 Dulces y golosinas 741 439 Si 1H 40 4 2 Alimentos cocinados 1012 572 Si 26H 45 7 3 Dulces y golosinas 789 424 Si 41M 45 3 0 Dulces y golosinas 640 328 No 4H 40 9 1 Dulces y golosinas 757 465 Si 26H 36 5 0 Comida 736 381 Si 10M 42 3 1 Cigarros y cerillos 718 486 No 3H 42 6 1 Dulces y golosinas 926 565 Si 33M 43 3 2 Dulces y golosinas 1101 746 Si 37H 35 8 2 Bienes de segunda mano 1014 749 Si 8H 42 10 4 Comida 598 306 Si 35M 48 8 1 Dulces y golosinas 297 245 Si 46M 41 6 2 Bienes Manufacturados 626 524 Si 29H 38 8 2 Bienes Manufacturados 422 286 Si 17H 41 6 3 Helados y paletas 369 303 Si 29M 49 5 1 Dulces y golosinas 946 787 No 4H 27 4 2 Cigarros y cerillos 216 211 No 0M 40 3 3 Dulces y golosinas 601 394 Si 24H 39 5 2 Bienes Manufacturados 471 255 No 2

130

M 44 7 3 Cigarros y cerillos 705 547 No 4H 46 7 4 Cigarros y cerillos 130 101 Si 43M 48 1 0 Helados y paletas 475 394 No 4M 30 7 1 Alimentos cocinados 678 499 Si 1H 44 4 1 Helados y paletas; 997 502 Si 38M 41 5 2 Periodicos y revistas 834 502 Si 31M 43 4 2 Dulces y golosinas 853 531 No 3H 42 0 1 Cigarros y cerillos 559 322 Si 33H 39 6 4 Alimentos cocinados 676 585 Si 21H 48 7 2 Dulces y golosinas 805 591 No 4H 42 6 2 Bienes Manufacturados 438 427 Si 33H 39 5 1 Dulces y golosinas 642 421 No 2H 39 2 3 Bienes Manufacturados 1200 714 Si 24H 39 6 2 Dulces y golosinas 716 435 Si 23H 31 4 2 Cigarros y cerillos 949 791 Si 2H 42 6 2 Bienes de segunda mano 758 404 Si 32M 40 0 2 Cigarros y cerillos 839 446 No 2H 43 7 4 Dulces y golosinas 1122 571 Si 36H 39 4 2 Comida 859 636 No 2H 44 5 4 Periodicos y revistas 713 370 Si 38H 46 6 3 Comida 1053 632 Si 44H 49 6 1 Alimentos cocinados 847 505 Si 47H 33 7 2 Bienes Manufacturados 471 424 Si 4H 43 5 1 Bienes Manufacturados 763 388 Si 35H 38 4 2 Cigarros y cerillos 448 384 Si 20H 36 3 5 Periodicos y revistas 1154 682 Si 11M 43 6 2 Dulces y golosinas 751 735 Si 37H 51 5 1 Helados y paletas 506 345 No 4H 46 6 2 Helados y paletas 942 481 No 4M 40 6 2 Alimentos cocinados 263 169 Si 27H 37 6 4 Comida 390 247 Si 15M 38 2 2 Bienes Manufacturados 303 260 No 1H 34 5 6 Comida 515 343 Si 6H 40 11 5 Bienes Manufacturados 1056 575 No 2

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