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matemática electoral

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  • Rev.R.Acad.Cienc.Exact.Fs.Nat. (Esp)Vol. 101, N. 1, pp 21-33, 2007VII Programa de Promocin de la Cultura Cientfica y Tecnolgica

    LAS MATEMTICAS DE LOS SISTEMAS ELECTORALESFCO. JAVIER GIRN GONZLEZ-TORRE *; JOS MIGUEL BERNARDO HERRNZ **

    * Real Academia de Ciencias Exactas, Fsicas y Naturales. Departamento de Estadstica e Investigacin Operativa. Facultad de Ciencias Matemticas. Universidad de Malaga. 29071 Mlaga. fj_giron@uma.es.

    ** Real Academia de Ciencias Exactas, Fsicas y Naturales (A. Correspondiente). Departamento de Estadstica. Facultad de Matemticas. Universidad de Valencia. 46100 Burjassot (Valencia).

    1. INTRODUCCIN

    Detras del aparentemente simple hecho de buscaruna solucin al problema de la representatividad de lasdiversas opciones que los partidos polticos ofrecen ala ciudadania en aquellos pases en los que estasentada una democracia, se oculta un problema, enapariencia simple, pero complejo desde el punto devista matemtico, que es el de distribuir los escaos deun Parlamento de acuerdo con las preferencias que losciudadanos expresan en las consultas de carcterpoltico.

    Los sistemas de representacin democrtica exigenun metodo de seleccin justa de un pequeo nmero deindividuos que representen a una mayoria de los ciu-dadanos.

    Un sistema electoral es una herramienta constitu-cional utilizada para resolver el problema anterior quetransforma los votos de los ciudadanos en un ciertoreparto del nmero de escaos.

    Aunque detrs de todos los sistemas electoralesest la idea de que el reparto de escaos sea propor-cional al nmero de votos que obtiene cada grupopoltico, al ser el nmero de escaos muy inferior al devotos y al ser necesariamente este un numero entero,se produce un desajuste un problema de redondeoa la hora de asignar las partes no enteras sobrantes delos escaos a alguno de los partidos polticos en liza.

    A lo largo de la historia se ha propuesto una granvariedad de procedimientos o sistemas electorales(ms de 300). El adoptar uno de ellos ha dependido dela historia, de la herencia y de los debates politicos de

    cada pais sobre todo en los dos ultimos siglos y lareforma electoral es un tema que afecta por igual a lasnuevas democracias como a las ms antiguas.

    El diseo de sistemas electorales nuevos es algo tandifcil como elegir uno de entre los muchos que actual-mente existen. En su eleccin suele haber factores cul-turales e histricos, adems de intereses polticos, aveces espreos. De modo que la eleccin de un sistemaelectoral no puede considerarse como una decisinimparcial o insesgada. Las votaciones per se no songarantia de equilibrio ya que el procedimiento elegidopuede producir diferencias radicales en los resultadosde la votacin.

    La ingenieria electoral se ocupa del diseo. elanlisis y la seleccin de procedimientos que se suelenutilizar para transformar votos en escaos (frmulaselectorales), que constituyen el grueso de cada sistemaelectoral.

    Algo que no podemos olvidar es que no hay sis-temas electorales perfectos. No se puede disear nin-gn sistema electoral que satisfaga todas las propie-dades dictadas por el sentido comn. Esto sera unaversin electoral del famoso teorema de imposibilidadde Arrow (1951). As pues, la eleccin de un sistemaelectoral apropiado se reduce a elegir un cierto subcon-junto de aquellas propiedades que se consideren fun-damentales.

    En este artculo nos referiremos bsicamente almodelo espaol y al de las Comunidades Autnomas,sealando de paso brevemente algunos comentariossobre otros procedimientos que se aplican a otrospases. Siguiendo el mandato constitucional de atender

  • Rev.R.Acad.Cienc.Exact.Fs.Nat. (Esp), 2007; 101Francisco Javier Girn et al.22

    a criterios de representacin proporcional, analizare-mos estos criterios desde la perspectiva de los pro-blemas de optimizacin con nmeros enteros.

    De hecho, las llamadas frmulas electorales no sonfrmulas matemticas en el sentido tradicional, sinoque son algoritmos que con el input de la distribucinde votos generan un output que es el reparto de losescaos, utilizando para ello operaciones elementales.

    Desde el punto de vista matemtico, veremos queuna frmula electoral es simplemente un algoritmodiseado para minimizar una cierta funcin de costo.En particular, las frmulas de representacin propor-cional son algoritmos eficientes para resolver unproblema de optimizacin con una funcin objetivoespecfica. Estas funciones objetivo, distintas paracada frmula, representan de hecho diversos ndicesde proporcionalidad. A estos los podemos considerarcomo los criterios ocultos sobre los que se basa cadauna de las frmulas.

    Este modo de enfocar el problema nos proporcionaun susbstrato terico de las conocidas frmulas de re-presentacin proporcional y nos permite estudiar lospuntos dbiles de muchas de las metodologas usualesen el anlisis de los sistemas proporcionales.

    No tratamos aqu los sistemas mayoritariosdonde el candidato ms votado es elegido en su dis-trito como los usados sobre todo en los paisesanglosajones como Gran Bretaa, Estados Unidos,Nueva Zelanda y tambin en Italia. En Francia, sinembargo, se usa el sistema de doble votacin.

    2. EL MANDATO CONSTITUCIONAL

    Reproducimos aqu el artculo de la Constitucinespaola referido al modo de elegir los representantesde la Cmara Baja. Como puede comprobarse, elartculo 68 no es muy explcto a la hora de fijar elmtodo de reparto de los Diputados, salvo la referen-cia a que sea proporcional. La descripcin por-menorizada del procedimiento electoral vigente ennuestro pas se desarrolla en los artculos de la Leyelectoral, que reproducimos en el Apndice A de esteartculo.

    TTULO IIIDe las Cortes GeneralesCAPTULO PRIMERO

    De las CmarasArtculo 68.

    1. El Congreso se compone de un mnimo de 300y un mximo de 400 Diputados, elegidos porsufragio universal, libre, igual, directo y secre-to, en los trminos que establece la ley.

    2. La circunscripcin electoral es la provincia. Laspoblaciones de Ceuta y Melilla estarn repre-sentadas cada una de ellas por un Diputado. Laley distribuir el nmero total de Diputados,asignando una representacin mnima inicial acada circunscripcin y distribuyendo los demsen proporcin a la poblacin.

    3. La eleccin se verificar en cada circunscrip-cin atendiendo a criterios de representacinproporcional.

    3. MTODOS PROPORCIONALES

    La eleccin de los representantes del Congreso delos Diputados en Espaa, o dentro de cada ComunidadAutnoma del correspondiente Parlamento, comportados problemas de asignacin proporcional, a saber: elreparto del total de los escaos del Parlamento porprovincias y, dentro de cada provincia, el posteriorreparto de los correspondientes escaos entre los par-tidos polticos concurrentes. Cada uno de ellos seresuelve por mtodos diferentes tal como se estableceen la ley electoral.

    3.1 El Mtodo de los Restos mayores

    Se utiliza para obtener la distribucin de losescaos entre las provincias, aunque previamente se leaplican ciertas restricciones, a saber: a las ciudadesautmas de Ceuta y Melilla se les asigna un escao acada una, y el resto de las provincias recibe automti-camente dos escaos cada una. La asignacin del restode los escaos se hace mediante el mtodo de losRestos Mayores.

  • 3.1 El Mtodo de los Restos mayores

    Uno de estos mtodos, conocido como ley o mto-do de dHondt, se aplica a la asignacin de escaos alos partidos dentro de cada provincia, con la restric-cin de que se excluyen aquellos partidos que noobtengan un mnimo del 3 % en cada distrito electoral.

    Estos dos mtodos son casos particulares de lo quese conoce como problemas de asignacin proporcionalentera, que se describen en la seccin siguiente.

    4. EL PROBLEMA DE LA ASIGNACINPROPORCIONAL ENTERA

    Entre estos problemas, adems de los dos especifi-cados de la distribucin de escaos entre provincias yla asignacin de escaos a los partidos polticos, seincluiran otros muchos como, p. ej., la asignacin decentros escolares en proporcin a la poblacin, omuchos de los problemas de asignacin de recursos enEconoma.

    La descripcin matemtica de todos estos pro-blemas es la misma y se conoce con el nombre demodelo de urnas (o cajas) y bolas.

    Adaptado a nuestro contexto, supongamos que hayque repartir una cantidad de escaos S entre n forma-ciones polticas a partir del nmero de votos v1,, vnque recibe cada partido. Si s1,, sn representa elnmero de escaos asignados a los partidos 1,, n, unmtodo de asignacin proporcional determina losnmeros enteros s1,, sn de modo que los cocientes

    ,, sean lo ms parecidos entre si.

    Si definimos las cuotas q1,, qn asociadas alnmero de votos v1,, vn como la parte del nmero deescaos proporcional al nmero de votos

    y si estas cuotas fuesen nmeros enteros, que necesari-amente suman S, tendramos resuelto el problema puesentonces la solucin sera si qi ya que los cocientes

    , donde sera el total devotos.

    En general, las cuotas no son nmeros enteros porlo que una solucin al problema de asignacin propor-cional entera consistir en encontrar unos nmerosenteros s1,, sn prximos a las cuotas y que sumen S.

    Pero, de manera natural, surge la pregunta decmo se pueden construir mtodos de asignacin pro-porcional entera?

    Histricamente se han utilizado esencialmente dosmtodos, a saber: el de los restos mayores y losmtodos basados en divisores.

    Estos mtododos parten de una idea simple y, comoveremos, terminan siendo la solucin de un problemade optimizacin en nmeros enteros.

    Todos los mtodos propuestos tienen ciertas ven-tajas e inconvenientes. De hecho, no existe ningnmtodo comunmente aceptado por todos ni puedeexistir un mtodo de asignacin proporcional que sa-tisfaga una lista de propiedades razonables, comodemuestra el teorema de imposibilidad de Balinski yYoung (1982).

    Como cabe esperar, la relacin existente entre losmtodos de asignacin proporcional y lo