ejes y arboles

O^HJ^M^ < d j - ' ^ i ^ ^ t A > L ^ ^

-Thí.'^ ^ ^ym^nM^of^ Ha,i (¿00 ' I^J-j iúv

a ) / Í } A J £ M A ) d^th- G j e n U C , ^ . ^ ' . , - , ^ r : .

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Problema 7-2 Secc ión d e u n e j e q u e c o n t i e n e u n a

r a n u r a d e a i í v io r e c t i f i c a d a . A m e n o s q u e s e e s p e c i f i q u e l o c o n t r a r i o , e l

d i á m e i r o e n l o ro íz d e i o r o n u r o 4 — c/ — 2 r y a u n q u e l a secc ión d e d iá

m e t r o ó esté r e c t i f i c a d o , b ra íz d e l a r a n u r a e s u n a s u p e r f i c i e m a q u i n a d o .

33 - T A ^ /

3 3 - 3

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Problema 7~i

E l m a t e r i a ! s e m u e v e d e b a j o -^^^i-d e l f o d a m i e n f o . ''

D i m e n s i o n e s e n p u l g a d a s .

E n g r a n e 4 3 d i á m .

o

^ 1 "^^-^

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0\ c A e \

Zi t 1 1

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H

390 PARTE TRES Diseño d e e l e m e n t o s mecónicos

7 - 6 E n l a f i g u r a s e m u e s t r a e l diseño p r o p u e s t o p a r a e l r o d i l l o i n d u s t r i a l d e l p r o b l e m a 7-4. S e p r o p o n e u s a r c o j i n e t e s d e lubricación d e película hidrodinámica. T o d a s l a s s u p e r f i c i e s están m a q u i n a d a s , e x c e p t o l o s muñones, q u e s o n e s m e r i l a d o s y p u l i d o s . E l m a t e r i a l e s a c e r o 1035 H R . R e a l i c e u n a evaluación d e l diseño. ¿Es s a t i s f a c t o r i o e l diseño?

Problema 7-6 R a d i o s d e l o s h o m b r o s

d e i o s c o j i n e t e s 0 . 0 3 0 p u l g , l o s o t r o s j¡ p u l g . E l c u n e r o t i p c

t r i n e o t i e n e u n a l o n g i t u d d e 3 ^ p u l g .

u ) - 1 -

( - . - , , „ i . . . A 1 1

j C u f i e r o

T

' i 10 -If

' i -* 4

t 7

7 - 8 E n l a figura s e m u e s t r a e l diseño p r o p u e s t o d e u n e j e q u e s e usará c o m o e j e d e e n t r a d a a e n e l p r o b l e m a 7-7. S e planeó u s a r u n c o j i n e t e d e b o l a s a l a i z q u i e r d a y u n c o j i n e t e d e r o d i l l o s c i l i n d r i c o s a l a d e r e c h a . a ) D e t e r m i n e e l f a c t o r d e s e g u r i d a d d e l a f a t i g a mínima m e d i a n t e l a evaluación d e a l g u n a s u b i c a c i o n e s

críticas. U s e u n c r i t e r i o d e f a l l a p o r f a t i g a q u e s e c o n s i d e r e típico d e l o s d a t o s d e f a l l a , e n l u g a r d e u n o q u e s e c o n s i d e r e c o n s e r v a d o r . También asegúrese d e q u e e l e j e n o alcanzará f l u e n c i a e n e l p r i m e r c i c l o d e c a r g a .

b) V e r i f i q u e e l diseño p a r a s u adecuación, r e s p e c t o d e l a deformación, d e a c u e r d o c o n l a s r e c o m e n d a c i o n e s d e l a t a b l a 7-2.

Problema 7-8 R a d i o s d e l o s filetes d e l o s h o m b r o s

e n a s i e n t o s d e c o j i n e t e s 0 . 0 3 0 p u l g , i o s o t r o s ^ p u l g , e x c e p t o t ransic ión

d e a s i e n t o d e co í ine le d e r e c h o , ¿ p u l g . E l m a t e r i a l e s a c e t o

1 0 3 0 H R . C u f i a s | p u l g d e a n c h o p o r f j r p u l g d e p r o f u n d i d a d .

D i m e n s i o n e s e n p u l g a d a s .

1.574 -iF=3

• 7 t •

0.354 1.875

_ L _

- 1 1 -

1.875 i

0.453

> - +

bzá

£2

j—r

7 - 9 E l e j e q u e s e m u e s t r a e n l a figura, i m p u l s a d o p o r u n e n g r a n e e n e l c u n e r o d e l a d e r e c h a , i m p u l s a a u n v e n t i l a d o r e n e l c u n e r o i z q u i e r d o , y está s o p o r t a d o p o r d o s c o j i n e t e s d e b o l a c o n r a n u r a p r o f i m d a . E l e j e está h e c h o d e a c e r o e s t i r a d o e n f h ' o A I S I 1020. A u n a v e l o c i d a d d e e s t a d o c o n s t a n t e , e l e n g r a n e t r a n s m i t e u n a c a r g a r a d i a l d e 230 I b f y u n a c a r g a t a n g e n c i a l d e 633 I b f c o n u n diámetro d e p a s o d e 8 p u l g . a) D e t e r m i n e l o s f a c t o r e s d e s e g u r i d a d a l a f a t i g a e n a l g u n a s u b i c a c i o n e s p o t e n c i a l m e n t e críticas. b) V e r i f i q u e q u e l a s d e f l e x i o n e s s a t i s f a g a n l o s mínimos s u g e r i d o s p a r a l o s c o j i n e t e s y e n g r a n e s .

Problema 7-9 D i m e n s i o n e s e n p u l g o d c s .

7 - 1 0 U n e j e d e a c e r o A I S I 1020 e s t i r a d o e n frío c o n l a geometría q u e s e m u e s t r a e n l a f i g u r a , s o p o r t a u n a c a r g a t r a n s v e r s a l d e 7 k N y t r a n s m i t e u n p a r d e torsión d e 107 N • m . E x a m i n e e l e j e p o r r e s i s t e n c i a y deflexión. S i l a m a y o r inclinación p e r m i s i b l e d e l o s c o j i n e t e s e s d e 0.001 r a d y e n e l a c o p l a m i e n t o d e l

Problema 7-10 D i m e n s i o n e s e n mil ímetros.

7 k N - 1 5 5 -

30 35 55

- 3 0 -- 5 5 -

4 0 i

_ 1

T

4 5 4 0 I X i" T

* 3 0 - 6 0 -

— 8 5 -- 1 5 0 -

-.375 -

T o d o s l o s ñletes 2 m m

PARTE TRES Diseño d e elennentos mecánicos

e n g r a n e 0.0005 r a d , ¿cuál e s e l f a c t o r d e s e g u r i d a d q u e p r o t e g e c o n t r a e l daño p o r distorsión? ¿Cuál e s e l f a c t o r d e s e g u r i d a d q u e p r o t e g e c o n t r a l a f a l l a p o r f a t i g a ? S i e l e j e r e s u l t a i n s a t i s f a c t o r i o , ¿qué r e c o mendaría p a r a c o r r e g i r e l p r o b l e m a ?

7-6 I f s t u d e n t s h a v e access t o finite e l e m e n t o r b e a m a n a l y s i s s o f t w a r e , h a v e t h e m m o d e l t h e s h a f t t o c h e c k d e f l e c t i o n s . I f n o t , s o l v e a s i m p l e r versión o f s h a f t . T h e 1 " d i a m e t e r s e c t i o n s w i l l n o t a f f e c t t h e r e s u l t s m u c h , s o m o d e l t h e 1 " d i a m e t e r as 1 .25 . A l s o , i g n o r e t h e s t ep i n A B .

F r o m P r o b . 1 8 - 1 0 , intégrate M ; i y a n d A f ^ ^

xy plañe, wiúi dy/dx = y'

Ely' = - ^ ^ ( x - ) + 5{x - 1 . 7 5 ) 3 5 ^ ^ . _ 9 7 5 ^ 3 + C i ( 1 )

Ely = - ^ ( x ' ) + ^{x - \J5f - ^{x - 9 . 7 5 ) " - - 1 1 . 5 ) ^ + C , x + C2 6 4 4 o

F r o m ( 1 )

y = O a t x = 0 =^ €2 = 0

j = O a t X = 1 1 . 5 = ^ C i = 1 9 0 8 . 4 I b f • i n ^

jc = 0 : = 1 9 0 8 . 4

j t = 1 1 . 5 : £ / / = - 2 1 5 3 . 1 xz plañe ( t r e a t i n g z f + )

EIz' = - ^ ( J c ^ ) - 2{x - 1 . 7 5 ) ^ + 2{x - 9 . 7 5 ) ' + ( 2 )

EIz =

F r o m ( 2 )

A t O :

A :

1 7 . 4 1 (x') - ^ { x - 1 . 7 5 ) " + ^{x- 9 . 7 5 ) " +

1

2 = O a t jc = O

. 2 0 6 . 6 , ^" • —{X - 1 1 . 5 ) ^ + C 3 A - + C 4

C 4 = 0 2 = 0 a t j c = 1 1 . 5 C 3 = 8 . 9 7 5 I b f - i n - ^

X = 0 : £:/z' = 8 . 9 7 5 x = 1 1 . 5 : £:/z' = - 6 8 3 . 5

EI0 = ^ 1 9 0 8 . 4 2 + 8 . 9 7 5 2 = 1 9 0 8 . 4 1 b f • i n ^

Eie = v ' ( - 2 1 5 3 . 1 ) 2 + ( - 6 8 3 . 5 ) 2 = 2 2 5 9 I b f • i n ^ ( d i c t a t e s s i z e )

2 2 5 9 3 0 ( 1 0 6 ) ( ; T / 6 4 ) ( 1 . 2 5 4 )

0 . 0 0 1

= 0 . 0 0 0 6 2 8 r a d

n = 0 . 0 0 0 6 2 8 = 1 .59

C h a p t e r 7 185

At gear mesh, B

xy plañe

I

I c \6 I b f

W i t h / = / i i n sección OCA,

y'^ = - 2 1 5 3 . 1 / E / ,

S i n c e y'gis a c a n t i l e v e r , from T a b l e A - 9 - 1 , w i t h / = i n s e c t i o n AB

y'sfA = ^ ^ J Í J P - = ^ ( 2 . 7 5 ) [ 2 . 7 5 - 2 ( 2 . 7 5 ) ] = - 1 7 6 . 2 / ^ / 2

2 1 5 3 . 1 ^ ' 1 7 6 . 2 y's = y'A + y's/A = - 3 0 ( 1 0 * 5 ) ( ; r / 6 4 ) ( 1 . 2 5 4 ) 3 0 ( 1 0 6 ) ( ; r / 6 4 ) ( 0 . 8 7 5 4 )

= - 0 . 0 0 0 8 0 3 r a d ( m a g n i t u d e g r e a t e r t h a n 0 . 0 0 0 5 r a d )

xz plañe , , 1 1 1 128 I b f

T «

, _ 6 8 3 . 5 , 1 2 8 ( 2 . 7 5 2 ) 4 8 4 "B/A-- 2 E l 2 ~ ~ E h '

¿ , = - ^ = - 0 . 0 0 0 7 5 1 r a d * 3 0 ( 1 0 6 ) ( 7 r / 6 4 ) ( 1 . 2 5 ^ ) 3 0 ( 1 0 6 ) ( ; r / 6 4 ) ( 0 . 8 7 5 " )

BB = V ( - 0 . 0 0 0 8 0 3 ) 2 + ( 0 . 0 0 0 7 5 1 ) 2 = Q . O O I 1 0 r a d

C r o w n e d t e e t h m u s t b e u s e d .

F i n i t e e l e m e n t r e s u l t s : E r r o r i n s i m p U f i e d m o d e l 0 0 = 5 . 4 7 ( 1 0 " " ) r a d 3 . 0 % 6>A = 7 . 0 9 ( 1 0 ~ " ) r a d 1 1 . 4 % OB = 1 . 1 0 ( 1 0 " ^ ) r a d 0 . 0 %

T h e s i m p l i f i e d m o d e l y i e l d e d r e a s o n a b l e r e s u l t s .

Strength S„ í=72kps i , S y = 3 9 . 5 k p s i

A t t h e s h o u l d e r a t / 4 , x = 1 0 . 7 5 i n . F r o m P r o b . 7 - 4 , i ? < ! f >

M^y = - 2 0 9 . 3 I b f • i n , M,^, = - 2 9 3 . 0 I b f • i n , T= 1 9 2 I b f • i n

M = ^ ( - 2 0 9 . 3 ) 2 + ( - 2 9 3 ) 2 = 3 6 0 . 0 I b f • i n

= 0 . 5 ( 7 2 ) = 3 6 k p s i

= ?, 70(7?)~°-^^!-=iI869

186 S o l u t i o n s M a n u a l • I n s t r u c t o r ' s S o l u t i o n M a n u a l t o A c c o m p a n y M e c h a n i c a l E n g i n e e r i n g D e s i g n

í 1 = 0 . 8 7 9

, 0 . 3 ^ kc = kd = kg = kf = 1

Se = 0 . 8 6 9 ( 0 . 8 7 9 ) ( 3 6 ) = 2 7 . 5 k p s i

F r o m F i g . A - 1 5 - 8 w i t h D/d = 1 .25 a n d r/d = 0 . 0 3 , Kts = 1.8.

F r o m F i g . A - 1 5 - 9 w i t h D/d = 1 .25 a n d r/d = 0 . 0 3 , Kt = 2 . 3

F r o m F i g . 6 - 2 0 w i t h r = 0 . 0 3 i n , q = 0 . 6 5 .

F r o m F i g . 6 - 2 1 w i t h r = 0 . 0 3 i n , = 0 . 8 3 E q . ( 6 - 3 1 ) : Kf = 1 + 0 . 6 5 ( 2 . 3 - 1 ) = 1.85

Kfs = 1 + 0 . 8 3 ( 1 . 8 - 1 ) = 1 .66

U s i n g D E - e l l i p t i c , E q . ( 7 - 1 1 ) w i t h M „ , = T a = O , * .

1 6

n = 3 . 8 9

1 . 8 5 ( 3 6 0 ) 2 7 5 0 0

n 2

+ 3 1 . 6 6 ( 1 9 2 )

3 9 5 0 0

T 2 1/2

P e r f o r m a s i m i l a r a n a l y s i s a t t h e p r o f i l e k e y w a y u n d e r t h e gea r .

T h e m a i n p r o b l e m w i t h t h e d e s i g n i s t h e u n d e r s i z e d s h a f t o v e r h a n g w i t h e x c e s s i v e s l o p e at t h e gear . T h e u s e o f c r o w n e d - t e e t h i n t h e g e a r s w i l l elimínate t h i s p r o b l e m .

7-7 (a) O n e p o s s i b l e s h a f t l a y o u t i s s h o w n . B o t h b e a r i n g s a n d t h e g e a r w i l l b e l o c a t e d a g a i n s l s h o u l d e r s . T h e g e a r a n d t h e m o t o r w i l l t r a n s m i t t h e t o r q u e t h r o u g h k e y s . T h e b e a r i n g s c a n b e l i g h t l y p r e s s e d o n t o t h e s h a f t . T h e l e f t b e a r i n g w i l l lócate t h e s h a f t i n t h e h o u s i n g w h i l e t h e r i g h t b e a r i n g w i l l float i n t h e h o u s i n g .

(b) F r o m s u m m i n g m o m e n t s a r o u n d t h e s h a f t a x i s , t h e t a n g e n t i a l t r a n s m i t t e d l o a d t h r o u g h t h e g e a r w i l l b e

= r / ( ¿ / 2 ) = 2 5 0 0 / ( 4 / 2 ) = 1 2 5 0 I b f

T h e r a d i a l c o m p o n e n t o f g e a r forcé i s r e l a t e d b y t h e p r e s s t i r e a n g l e .

W , = Wí t a n 0 = 1 2 5 0 t a n 20° = 4 5 5 I b f

W = [W^ + Wff/^ = ( 4 5 5 ^ + 1 2 5 0 ^ ) ^ ^ ^ = 1 3 3 0 I b f

R e a c t i o n s RA a n d RB , a n d t h e l o a d W a r e a l l i n t h e s a m e plañe. F r o m forcé a n d m o m e n t b a l a n c e ,

i ? A = 1 3 3 0 ( 2 / 1 1 ) = 2 4 2 I b f i ? B = 1 3 3 0 ( 9 / 1 1 ) = 1 0 8 8 I b f

í M„,ax = / ? A ( 9 ) = ( 2 4 2 ) ( 9 ) = 2 1 7 8 I b f - i n

C h a p t e r 7 187

S h e a r forcé, b e n d i n g m o m e n t , a n d t o r q u e d i a g r a m s c a n n o w b e o b t a i n e d .

w • 9 i n » | 2 i u - 6 i n -

m ó-

242 I b f

- 1 0 8 8 i b f

2500 I b f - i n

Ans.

( c ) P o t e n t i a l c r i t i c a l l o c a t i o n s o c c u r a t e a c h s t r e s s c o n c e n t r a t i o n ( s h o u l d e r s a n d k e y w a y s ) . T o b e t h o r o u g h , t h e s t r e s s a t e a c h p o t e n t i a l l y c r i t i c a l l o c a t i o n s h o u l d b e e v a l u a t e d . F o r n o w , w e w i l l c h o o s e t h e m o s t l i k e l y c r i t i c a l l o c a t i o n , b y o b s e r v a t i o n o f t h e l o a d i n g s i t u a t i o n , t o b e i n t h e k e y w a y f o r t h e gear . A t t h i s p o i n t t h e r e i s a l a r g e s t r e s s c o n c e n t r a t i o n , a l a r g e b e n d i n g m o m e n t , a n d t h e t o r q u e i s p r e s e n t . T h e o t h e r l o c a t i o n s e i t h e r h a v e s m a l l b e n d i n g m o m e n t s , o r n o t o r q u e . T h e s t r e s s c o n c e n t r a t i o n f o r t h e k e y w a y i s h i g h e s t a t t h e e n d s . F o r s i m p l i c i t y , a n d t o b e c o n s e r v a t i v e , w e w i l l u s e t h e máximum b e n d i n g m o m e n t , e v e n t h o u g h i t w i l l h a v e d r o p p e d o f f a l i t t l e a t t h e e n d o f t h e k e y w a y .

( d ) A t t h e g e a r k e y w a y , a p p r o x i m a t e l y 9 i n f r o m t h e l e f t e n d o f t h e s h a f t , d i e b e n d i n g i s c o m -p l e t e l y r e v e r s e d a n d t h e t o r q u e i s s t e a d y .

Ma = 2 1 7 8 I b f - i n T„, = 2 5 0 0 I b f i n M ^ = Ta=0

F r o m T a b l e 7 - 1 , estímate s t r e s s c o n c e n t r a t i o n s f o r t h e e n d - m i l l e d k e y s e a t t o b e Kt = 2 . 2 a n d Kjs = 3 . 0 . F o r t h e r e l a t i v e l y l o w s t r e n g t h s t e e l s p e c i f i e d ( A I S I 1 0 2 0 C D ) , estímate n o t c h s e n s i t i v i t i e s o f ^ = 0 . 7 5 a n d ^ j = 0 . 9 , o b t a i n e d b y o b s e r v a t i o n oí F i g s . 6 - 2 0 a n d 6 - 2 1 . A s s u m i n g a t y p i c a l r a d i u s a t t h e b o t t o m o f t h e k e y s e a t o f r / d = 0 . 0 2 ( p . 3 6 1 ) , t h e s e e s t i m a t e s f o r n o t c h s e n s i t i v i t y a r e g o o d f o r u p t o a b o u t 3 i n s h a f t d i a m e t e r .

E q . ( 6 - 3 2 ) : = 1 + 0 . 7 5 ( 2 . 2 - 1 ) = 1.9 Í : / , = 1 + 0 . 9 ( 3 . 0 - 1 ) = 2 . 8

E q . ( 6 - 1 9 ) : i t ^ = 2.70(68)~°-^" = 0 . 8 8 3 C F o r e s t i m a t i n g k b , g u e s s <¿ = 2 i n . ; kb = (2/0.3)-^-^°^ = 0 . 8 1 6 Se = ( 0 . 8 8 3 ) ( 0 . 8 1 6 ) ( 0 . 5 ) ( 6 8 ) = 2 4 . 5 k p s i

3)0

188 S o l u t i o n s M a n u a l • I n s t r u c t o r a s S o l u t i o n M a n u a l t o A c c o m p a n y M e c h a n i c a l E n g i n e e r i n g D e s i g n

S e l e c t i n g t h e D E - G o o d m a n c r i t e i i a f o r a c o n s e r v a t i v e first d e s i g n ,

16n E q . ( 7 - 8 ) : d =

d = 16n 71

->ut

4 ( 1 . 9 • 2 1 7 8 ) ^ i / 2

2 4 5 0 0 + 3 ( 2 . 8 • 2 5 0 0 ) 2 2 1 1 / 2

6 8 0 0 0

- , 1 / 3

J = 1 .58 i n Ans.

b W i t h t h i s d i a m e t e r , t h e e s t i m a t e s f o r n o t c h s e n s i t i v i t y a n d s i z e f a c t o r w e r e c o n s e r v a t i v e ! b u t cióse e n o u g h f o r a first i t e r a t i o n u n t i l d e f l e c t i o n s a r e c h e c k e d .

C h e c k f o r s t a t i c f a i l u r e .

E q . ( 7 - 1 5 ) : a^^ = J 3

+ 3 V Ttd'^

' ' m a x / 3 2 ( 1 . 9 ) ( 2 1 7 8 ) y / 1 6 ( 2 . 8 ) ( 2 5 0 0 ) ^ V 7 r ( 1 . 5 8 ) 3 ; + V ^ ( 1 - 5 8 ) 3 )

- l 1 / 2

1 9 . 0 k p s i

ny = Sy/a;^^ = 5 7 / 1 9 . 0 = 3 . 0 Ans.

( e ) N o w estímate o t h e r d i a m e t e r s t o p r o v i d e t y p i c a l s h o u l d e r s u p p o r t s f o r t h e g e a r a n d b e a r i n g s ( p . 3 6 0 ) . A l s o , estímate t h e g e a r a n d b e a r i n g w i d t h s .

,35 1-56 2.ÜÜ 1.58 • Ü.45

r 1.31 - 1 . 2 5

3 . a i 1

( f ) E n t e r i n g t h i s s h a f t g e o m e t r y i n t o b e a m a n a l y s i s s o f t w a r e ( o r F i n i t e E l e m e n t s o f t w a r e ) t h e f o U o w i n g d e f l e c t i o n s a r e d e t e r m i n e d :

0 . 0 0 0 5 3 2 r a d

- 0 . 0 0 0 8 5 0 r a d

- 0 . 0 0 0 5 4 5 r a d

- 0 . 0 0 0 8 5 0 r a d

- 0 . 0 0 1 4 5 i n

0 . 0 0 5 1 0 i n

L e f t b e a r i n g s l o p e :

R i g h t b e a i i n g s l o p e :

G e a r s l o p e :

R i g h t e n d o f s h a f t s l o p e :

G e a r d e f l e c t i o n :

R i g h t e n d o f s h a f t d e f l e c t i o n :

C o m p a r i n g t h e s e d e f l e c t i o n s t o t h e r e c o m m e n d a t i o n s i n T a b l e 7 - 2 , e v e r y t h i n g i s w i t h i n t y p i c a l r a n g e e x c e p t t h e g e a r s l o p e i s a l i t t l e h i g h f o r a n u n c r o w n e d gear .

C h a p t e r 7 189

( g ) T o u s e a n o n - c r o w n e d gear , t h e g e a r s l o p e i s r e c o r m n e n d e d t o b e l e s s t h a n 0 . 0 0 0 5 r a d . S i n c e a l l o t h e r d e f l e c t i o n s a r e a c c e p t a b l e , w e w i l l t a r g e t a n i n c r e a s e i n d i a m e t e r o n l y f o r t h e l o n g s e c t i o n b e t w e e n t h e l e f t b e a r i n g a n d t h e gea r . I n c r e a s i n g t h i s d i a m e t e r f r o m t h e p r o p o s e d 1 .56 i n t o 1 .75 i n , p r o d u c e s a g e a r s l o p e o f - 0 . 0 0 0 4 0 1 r a d . A l l o t h e r d e f l e c t i o n s a r e i m p r o v e d as w e l l . .

7-8 (a) U s e t h e d i s t o r t i o n - e n e r g y e l l i p t i c f a i l u r e l o c u s . T h e t o r q u e a n d m o m e n t l o a d i n g s o n t h e s h a f t a r e s h o w n i n t h e s o l u t i o n t o P r o b . 7 - 7 .

C a n d i d a t e c r i t i c a l l o c a t i o n s f o r s t r e n g t h :

• P i n i o n s ea t k e y w a y • R i g h t b e a r i n g s h o u l d e r • C o u p l i n g k e y w a y

T a b l e A - 2 0 f o r 1 0 3 0 H R : S^t = 6 8 k p s i , Sy = 3 7 . 5 k p s i , HB = 1 3 7 E q . ( 6 - 8 ) : = 0 . 5 ( 6 8 ) = 3 4 . 0 k p s i E q . ( 6 - 1 9 ) : ka = 2J0(68r°-^^^ = 0 . 8 8 3

— — ~~ 1 Pinion seat keyway S e e T a b l e 7 - 1 f o r k e y w a y s t r e s s c o n c e n t r a t i o n f a c t o r s

K, = 2.2 ' Ku = 3 . 0

F o r a n e n d - m i l l p r o f i l e k e y w a y c u t t e r o f 0 . 0 1 0 i n r a d i u s .

P r o f i l e k e y w a y

F r o m F i g . 6 - 2 0 :

F r o m F i g . 6 - 2 1 :

E q . ( 6 - 3 2 ) :

E q . ( 6 - 2 0 ) :

E q . ( 6 - 1 8 ) : E q . ( 7 - 1 1 ) :

q = 0 . 5 0

^í = 0 . 6 5

K f , = ^ l + qAKts-l)

= 1 + 0 . 6 5 ( 3 . 0 - 1 ) = 2 . 3 Kf = 1 + 0 . 5 0 ( 2 . 2 - 1 ) = 1.6

- 0 . 1 0 7 kb = I I = 0 . 8 2 2

0 . 3 0 Se = 0 . 8 8 3 ( 0 . 8 2 2 ) ( 3 4 . 0 ) = 2 4 . 7 k p s i

1 6 1 n n(Í.S15^)

1 . 6 ( 2 1 7 8 ) 2 4 7 0 0

+ 3 2 . 3 ( 2 5 0 0 )

3 7 5 0 0

1 / 2

= 0 . 3 5 3 , f r o m w h i c h n = 2 . 8 3


Right-hand bearing shoulder

T h e t e x t d o e s n o t g i v e m i n i m u m a n d máximum s h o u l d e r d i a m e t e r s f o r 0 3 - s e r i e s b e a r i n g s ( r o U e r ) . U s e D = 1.75 i n .

r d

0 . 0 3 0 D 1 .75 1 3 7 4 = 7 = 1574 = ' "

F r o m F i g . A - 1 5 - 9 ,

F r o m F i g . A - 1 5 - 8 ,

F r o m F i g . 6 - 2 0 , F r o m F i g . 6 - 2 1 ,

K, = 2 . 4

Kts = 1.6

^ = 0 . 6 5 q, = 0 . 8 3

= 1 + 0 . 6 5 ( 2 . 4 - 1 ) = 1.9Í Kf, = 1 + 0 . 8 3 ( 1 . 6 - 1 ) = 1 . 5 0

' . 4 5 3 ^ M = 2 1 7 8 Í — = 4 9 3 I b f - i n

E q . ( 7 - 1 1 ) :

n 1 6 ^ , 1 . 9 1 ( 4 9 3 ) y , ^

^ ' ^ 4 7 0 0 - j / 1 . 5 0 ( 2 5 0 0 ) y " ^ 3 7 5 0 0 }

o

; r ( 1 . 5 7 4 3 )

= 0 . 2 4 7 , f r o m w h i c h n = 4 . 0 5

Overhanging coupling keyway

T h e r e i s n o b e n d i n g m o m e n t , t h u s E q . ( 7 - 1 1 ) r e d u c e s t o :

1 _ leVSKfsTm _ 1 6 ^ / 3 ( 1 . 5 0 ) ( 2 5 0 0 ) n ~ nd^Sy ~ 7 r ( 1 . 5 3 ) ( 3 7 5 0 0 )

= 0 . 2 6 1 f r o m w h i c h n - 3 . 8 3

(b) O n e c o u l d t a k e p a i n s t o m o d e l t h i s s h a f t e x a c t l y , u s i n g s a y finite e l e m e n t s o f t w a r e H o w e v e r , f o r t h e b e a r i n g s a n d t h e gear , t h e s h a f t i s b a s i c a l l y o f u n i f o r m d i a m e t e r , 1 . 8 7 5 i n T h e r e d u c t i o n s i n d i a m e t e r a t t h e b e a i i n g s w i l l c h a n g e t h e r e s u l t s i n s i g n i f i c a n t l y . U s e E = 3 0 ( 1 0 ^ ) p s i .

T o t h e l e f t o f t h e l o a d :

9AB = -^Á'ix^ + b'- /-)

A t j c = 0 : A t jc = 9 i n :

6EII - 1 4 4 9 ( 2 ) ( 3 x 2 + 2 2 - 1 1 ^ ) ~ 6 ( 3 0 ) ( 1 0 6 ) ( ; r / 6 4 ) ( 1 . 8 2 5 ^ ) ( l l ) = 2 . 4 1 2 4 ( 1 0 ~ ^ ) ( 3 x ^ - 1 1 7 )

e = - 2 . 8 2 3 ( 1 0 - " ) r a d g = 3 . 0 4 0 ( 1 0 - " ) r a d

C h a p t e r 7 191

6 ( 3 0 ) ( 1 0 6 ) ( ; r / 6 4 ) ( 1 . 8 7 5 ' ^ ) ( l l ) = 4 . 3 4 2 ( 1 0 - " ) r a d .

O b t a i n a l l o w a b l e s l o p e s f r o m T a b l e 7 - 2 .

Left bearing: A l l o w a b l e s l o p e

A c t u a l s l o p e 0 . 0 0 1

0 . 0 0 0 2 8 2 3 = 3 . 5 4

Right bearing:

m 0 . 0 0 0 8 , , nfs = = 1 . 8 4

" ^ 0 . 0 0 0 4 3 4 2 -Gear mesh slope:

T a b l e 7 - 2 r e c o m m e n d s a m i n i m u m r e l a t i v e s l o p e o f 0 . 0 0 0 5 r a d . W h i l e w e d o n ' t k n o w t h e s l o p e o n t h e n e x t s h a f t , w e k n o w t h a t i t w i l l n e e d t o h a v e a l a r g e r d i a m e t e r a n d b e s t i f f e r . A t t h e m o m e n t w e c a n s a y 'f^

^ 0 . 0 0 0 3 0 4

7-9 T h e s o l u t i o n t o P r o b l e m 7 - 8 m a y b e u s e d as a n e x a m p l e o f t h e a n a l y s i s p r o c e s s f o r a s i m i l a r s i t u a t i o n .

7-10 I f y o u h a v e a finite e l e m e n t p r o g r a m a v a i l a b l e , i t i s h i g h l y r e c o m m e n d e d . B e a m d e f l e c t i o n p r o g r a m s c a n b e i m p l e m e n t e d b u t t h i s i s t i m e c o n s u m i n g a n d t h e p r o g r a m s h a v e n a r r o w ap-p l i c a t i o n s . H e r e w e w i l l demónstrate h o w t h e p r o b l e m c a n b e s i m p l i f i e d a n d s o l v e d u s i n g s i n g u l a r i t y f u n c t i o n s .

Deflection: F i r s t w e w i l l i g n o r e t h e s t eps n e a r t h e b e a r i n g s w h e r e t h e b e n d i n g m o m e n t s a r e l o w . T h u s l e t t h e 3 0 m m d i a . b e 3 5 m m . S e c o n d l y , t h e 5 5 m m d i a . i s v e r y t h i n , 1 0 m m . T h e f u l l b e n d i n g s t r e s ses w i l l n o t d e v e l o p a t t h e o u t e r fibers s o f u l l s t i f f ' ness w i l l n o t d e v e l o p e i t h e r . T h u s , i g n o r e t h i s s t ep a n d l e t t h e d i a m e t e r b e 4 5 m m .

Statics: L e f t s u p p o r t : Ri = 7 ( 3 1 5 - 1 4 0 ) / 3 1 5 = 3 . 8 8 9 k N f ^ t'' R i g h t s u p p o r t : i ? 2 = 7 ( 1 4 0 ) / 3 1 5 = 3 . 1 1 1 k N ^ -

D e t e r m i n e t h e b e n d i n g m o m e n t a t e a c h s t e p .

j c ( m m ) , r O 4 0 1 0 0 1 4 0 2 1 0 2 7 5 3 1 5 M ( N - m ) O 1 5 5 . 5 6 3 8 8 . 8 9 5 4 4 . 4 4 3 2 6 . 6 7 1 2 4 . 4 4

7 3 5 = ( : r / 6 4 ) ( 0 . 0 3 5 " ) = 7 . 3 6 6 ( 1 0 " * ) m " , 7 4 0 = 1 . 2 5 7 ( 1 0 " ' ) m " , 7 4 5 = 2 . 0 1 3 ( 1 0 " ' ) m "


P l o t M/I as a f u n c t i o n o f x.

x{xn) M / / ( 1 0 ^ N / m 3 ) S t e p S l o p e A S l o p e

0 0 5 2 . 8 0 . 0 4 2 . 1 1 2 0 . 0 4 1 . 2 3 7 5 - 0 . 8 7 4 5 3 0 . 9 4 2 - 2 1 . 8 6 0 . 1 3 . 0 9 4 0 . 1 1 . 9 3 2 - 1 . 1 6 2 1 9 . 3 2 5 - 1 1 . 6 1 7 0 . 1 4 2 . 7 0 5 0 . 1 4 2 . 7 0 5 0 - 1 5 . 4 5 7 - 3 4 . 7 8 0 . 2 1 1 .623 0 . 2 1 2 , 6 0 . 9 7 7 - 2 4 . 7 6 9 - 9 . 3 1 2 0 . 2 7 5 0 . 9 9 0 . 2 7 5 1 . 6 8 9 4 0 . 6 9 9 4 - 4 2 . 2 3 5 - 1 7 . 4 7 0 . 3 1 5 0

0.15 0.2 a : ( j n n i )

T h e s t eps a n d t h e c h a n g e o f s l o p e s a r e e v a l u a t e d i n t h e t a b l e . F r o m t h e s e , t h e f u n c t i o n M / / c a n b e g e n e r a t e d : aS-.. tt*

Mil = [ 5 2 . 8 A - - 0 . 8 7 4 5 { x - 0.04)° - 2 1 . 8 6 { A - 0 . 0 4 ) ^ - 1 . 1 6 2 ( x - 0 . 1 ) " - 1 1 . 6 1 7 ( j c - 0 . 1 ) ^ - 3 4 . 7 8 ( j c - 0 . 1 4 ) ^ + 0 . 9 7 7 ( x - 0 . 2 1 ) ^ - 9 . 3 1 2 ( . x - 0 . 2 1 ) ' + 0 . 6 9 9 4 { x - 0.275)° - 1 7 . 4 7 ( x - 0 . 2 7 5 ) ' ] lO '^

Intégrate t w i c e :

E— = [ 2 6 . 4 x 2 - 0 . 8 7 4 5 ( x - 0 . 0 4 ) ' - 1 0 . 9 3 ( x - 0 . 0 4 ) ^ - 1 . 1 6 2 ( x - 0 . 1 ) ' dx . - 1

- 5 . 8 1 ( x - 0 . 1 ) 2 - 1 7 . 3 9 ( x - 0 . 1 4 ) 2 + 0 , 9 7 7 ( x - 0 . 2 1 ) ' - 4 . 6 5 5 ( x - 0 . 2 1 ) 2 ^ o . 6 9 9 4 ( x - 0 . 2 7 5 ) ' - 8 . 7 3 5 { x - 0 . 2 7 5 ) 2 ^ ^ Q 9

Ey = [ 8 . 8 x ^ - 0 . 4 3 7 3 ( x - 0 . 0 4 ) 2 _ 3 6 4 3 ^ - ^ _ 0 . 0 4 ) ^ - 0 . 5 8 1 ( x - 0 . 1 ) 2

- 1 . 9 3 7 ( x - 0 . 1 ) 3 _ 5 7 9 7 ( j ^ _ o . i 4 ) 3 + 0 . 4 8 8 5 ( x - 0 . 2 1 ) 2

- 1 . 5 5 2 ( x - 0 . 2 1 ) 3 ^ o 3497(_^. _ o . 2 7 5 ) 2 - 2 . 9 1 2 ( x - 0 . 2 7 5 ) 3 + dx + C2] 1 0 ^

Boundary conditions: 3; = O a t x = O y i e l d s C 2 = 0 ; y = O a t x = 0 . 3 1 5 m y i e l d s C j = - 0 . 2 9 5 2 5 N W .

E q u a t i o n ( 1 ) w i t h C\ - 0 . 2 9 5 2 5 p r o v i d e s t h e s l o p e s a t t h e b e a r i n g s a n d gear . T h e f o l -l o w i n g t a b l e g i v e s t h e r e s u l t s i n t h e s e c o n d c o l u m n . T h e t h i r d c o l u m n g i v e s t h e r e s u l t s f r o m a s i m i l a r finite e l e m e n t m o d e l . T h e f o u r t h c o l u m n g i v e s t h e r e s u l t o f a f u l l m o d e l w h i c h m o d e l s t h e 3 5 a n d 5 5 m m d i a m e t e r s t eps . , j , , ^ , , ,

C h a p t e r 7 193

x ( m m ) Oimd) R E . M o d e l F u l l F . E . M o d e l

O - 0 . 0 0 1 4 2 6 0 - 0 . 0 0 1 4 2 7 0 - 0 . 0 0 1 4 1 6 0 1 4 0 - 0 . 0 0 0 1 4 6 6 - 0 . 0 0 0 1 4 6 7 - 0 . 0 0 0 1 6 4 6 3 1 5 0 . 0 0 1 3 1 2 0 0 . 0 0 1 3 2 8 0 0 . 0 0 1 3 1 5 0

T h e m a i n d i s c r e p a n c y b e t w e e n t h e r e s u l t s i s a t t h e g e a r l o c a t i o n (x — 1 4 0 m m ) . T h e l a r g e i valué i n t h e f u l l m o d e l i s c a u s e d b y t h e s t i f f e r 5 5 m m d i a m e t e r s t ep . A s w a s s t a t e d e a r l i e r , t h i s s t ep i s n o t as s t i f f as m o d e l i n g i m p l i c a t e s , s o t h e e x a c t a n s w e r i s s o m e w h e r e b e t w e e n t h e f u l l m o d e l a n d t h e s i m p l i f i e d m o d e l w h i c h i n a n y e v e n t i s a s m a l l valué. A s e x p e c t e d , m o d e l i n g t h e 3 0 m m d i a . as 3 5 m m d o e s n o t a f f e c t t h e r e s u l t s m u c h .

. I t c a n b e s e e n t h a t t h e a l l o w a b l e s l o p e s a t t h e b e a r i n g s a r e e x c e e d e d . T h u s , e i t h e r t h e l o a d h a s t o b e r e d u c e d o r t h e s h a f t " b e e f e d " u p . I f t h e a l l o w a b l e s l o p e i s 0 . 0 0 1 r a d , t h e n t h e máxi m u m l o a d s h o u l d b e F ^ a x = ( 0 . 0 0 1 / 0 . 0 0 1 4 6 ) 7 = 4 . 7 9 k N . W i t h a d e s i g n f a c t o r t h i s w o u l d b e r e d u c e d f u r t h e r .

T o i n c r e a s e t h e s t i f f n e s s o f t h e s h a f t , i n c r e a s e t h e d i a m e t e r s b y ( 0 . 0 0 1 4 6 / 0 . 0 0 1 ) ' ^ " = 1 . 0 9 7 , f r o m E q . ( 7 - 1 8 ) . F o r m a t a b l e : j »

0 1 d d , m m 2 0 . 0 0 3 0 . 0 0 3 5 . 0 0 4 0 . 0 0 4 5 . 0 0 5 5 . 0 0 N e w i d e a l íf, m m 2 1 . 9 5 3 2 . 9 2 3 8 . 4 1 4 3 . 8 9 4 9 . 3 8 6 0 . 3 5 R o u n d e d u p J , m m 2 2 . 0 0 3 4 . 0 0 4 0 . 0 0 4 4 . 0 0 5 0 . 0 0 6 2 . 0 0

R e p e a t i n g t h e f u l l finite e l e m e n t m o d e l r e s u l t s i n *

j i - = 0 : 0 = - 9 . 3 0 X 1 0 " " r a d , ' jc = 1 4 0 m m : 0 = - 1 . 0 9 x 1 0 ~ " r a d

X - 3 1 5 m m : 0 = 8 . 6 5 x 1 0 " " r a d

W e U w i t h i n o u r g o a l . H a v e t h e s t u d e n t s t r y a g o a l o f 0 . 0 0 0 5 r a d a t t h e b e a r i n g s .

Strength: D u e t o s t r e s s c o n c e n t r a t i o n s a n d r e d u c e d s h a f t d i a m e t e r s , t h e r e a r e a n u m b e r o f l o c a t i o n s t o l o o k a t . A t a b l e o f n o m i n a l s t r e s ses i s g i v e n b e l o w . N o t e t h a t torsión i s o n l y t o t h e r i g h t o f t h e 7 k N l o a d . U s i n g a = 32M/{nd^) a n d r = l6T/{7zd^),

X ( m m ) 0 1 5 4 0 1 0 0 1 1 0 1 4 0 2 1 0 2 7 5 3 0 0 3 3 0 < T ( M P a ) 0 2 2 . 0 3 7 . 0 6 1 . 9 4 7 . 8 6 0 . 9 5 2 . 0 3 9 . 6 1 7 . 6 0 T ( M P a ) 0 0 0 0 0 6 8 .5 1 2 . 7 2 0 . 2 6 8 . 1 < T ' ( M F a ) 0 2 2 . 0 3 7 . 0 6 1 . 9 4 7 . 8 6 1 . 8 5 3 . 1 4 5 . 3 3 9 . 2 1 1 8 . 0

T a b l e A - 2 0 f o r A I S I 1 0 2 0 C D s t e e l : S^t = 4 7 0 M P a , Sy = 3 9 0 M P a

A t x = 2 1 0 m m :

k a = 4 . 5 1 ( 4 7 0 ) " ° - 2 ^ ^ = 0 . 8 8 3 , kb = ( 4 0 / 7 . 6 2 ) -- ° - ' 0 ' = 0 . 8 3 7

Se = 0 . 8 8 3 ( 0 . 8 3 7 ) ( 0 . 5 ) ( 4 7 0 ) = 1 7 4 M P a | ; D / d = 4 5 / 4 0 = 1 . 1 2 5 , r/d = 2 / 4 0 = 0 . 0 5 . |

F r o m F i g s . A - 1 5 - 8 a n d A - 1 5 - 9 , Kt = 1.9 a n d i i : , , = 1 . 3 2 .

y . - ' ''i a> Vi m i I


F r o m F i g s . 6 - 2 0 a n d 6 - 2 1 , q = 0 . 7 5 a n d q^ = 0 . 9 2 , Kf = 1 + 0 . 7 5 ( 1 . 9 - 1 ) = 1 . 6 8 , andKf, = 1 + 0 . 9 2 ( 1 . 3 2 - 1 ) = 1 . 2 9 .

F r o m E q . ( 7 - 1 1 ) , w i t h Mm = Ta = 0,

1 1 6 n ; T ( 0 . 0 4 ) 3

n = 1 .98

1 . 6 8 ( 3 2 6 . 6 7 ) l 2

+ 3 1 7 4 ( 1 0 6 ) J L 3 9 0 ( 1 0 6 ) _

1 . 2 9 ( 1 0 7 ) - r 2 1 / 2

A t J C = 3 3 0 m m : T h e v o n M i s e s s t r e s s i s t h e h i g h e s t b u t i t c o m e s f r o m t h e s t e a d y t o r q u e o n l y .

D/d = 3 0 / 2 0 = 1.5, r/d = 2 / 2 0 = 0 . 1 K t , = 1 .42 ,

S ^ qs = 0 . 9 2 = ^ Kfs = 1 .39 1 1 6 1 . 3 9 ( 1 0 7 ) n 7 r ( 0 . 0 2 ) 3 ^ ^ L 3 9 0 ( 1 0 6 ) _

« = 2 . 3 8 C h e c k t h e o t h e r l o c a t i o n s .

I f w o r s e - c a s e i s a t x = 2 1 0 m m , t h e c h a n g e s d i s c u s s e d f o r t h e s l o p e c r i t e r i o n w i l l i m -p r o v e t h e s t r e n g t h i s s u e .

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