ARBOLES Y ARBORESCENCIASMatrices asociadas a una grfica.-

Sea G=(x, A) una grafica de vrtices x1, x2, x3,.xn; desgnese con bij al nmero de arcos de G que va de xi a xj.Se llama matriz asociada a la grafica G, a una matriz cuadrada B cuyos elementos son las bij

Si se invierten las orientaciones de la grfica de la fig. 1 la matriz asociada es la transpuesta de la matriz B.TEOREMA 1. Sea una grafica G= (x, A) y B=(bij) su matriz asociada entonces:a) La matriz B es simetrica (bij = bji) si y solo si la grafica G es simetrica.

b) B es antisimetrica (bij + bji 1) si y solo si la grfica G es antisimetrica.

c) B es completa (bij + bji =1) si y solo si G es completa.

TEOREMA 2. Sean las graficas G1=(x, A) y G2=(x, A) que tienen el mismo conjunto de vrtices y sean A=(aij) y B=(bij) sus matrices asociadas respectivas; se tiene:a) A+B es la matriz asociada a una grafica G=(x, A) tal que A=A1UA2.

b) AB corresponde a una grafica G1 definida como sigue: X es el conjunto de vrtices de G; el numero de arcos que van de xi a xj es igual al numero de caminos distintos que van de xi a xj y que consiste de un arco A1 seguido por un arco de A2.

As, en el ejemplo de la fig.1 su matriz de incidencia a los arcos est dada por:

RBOLES.-Dada una grfica H que tiene por lo menos dos vrtices, se dice que H es un rbol si verifica una de las propiedades siguientes: H es conexa y sin ciclos. H no tiene ciclos y admite (n-1) aristas; n es el nmero de vrtices de H. H es conexa y tiene (n-1) aristas. H no tiene ciclos y agregando una arista que una a dos Vrtices no adyacentes de H, se origina un ciclo y solo uno. H es conexa y suprimiendo una arista cualquiera deja de serlo. Toda pareja de vrtices de H estn ligados por una cadena y una sola.

RBOL PARCIAL DE UNA GRFICA.-

Una grfica G=(X,A) admite una grfica que es un rbol si y slo si G es conexa. A dicha grfica parcial se le llama rbol parcial de G.Para obtener un rbol parcial de una grfica conexa, se busca una arista cuya supresin no desconecte a la grfica, si no existe una arista de tal naturaleza la grfica es un rbol; si existe se suprime y se busca otra arista por suprimir y as sucesivamente.

Por ejemplo en la grfica siguiente se suprimen sucesivamente las aristas 1, 2 y 3; las aristas restantes forman un rbol parcial de G.

El nmero de arboles parciales distintos de una grfica G=(X,A) sin anillos, es igual a la determinante de una matriz cuadrada B=(bij) tal que:

Por ejemplo la grfica anterior tiene 16 rboles parciales que es el valor del menor 1 del elemento b11:

RBOL PARCIAL DE VALOR MNIMO (SOLLIN).-El algoritmo consta de tres pasos: Se une un vrtice xi cualquiera a su vecino xj ms prximo ( (xi xj) es la arista que tiene asociado el menor valor entre todas las aristas que tiene un extremo en xi). De esta manera se forman subrboles (rboles de subgrficas de la grficadada) que no tienen vrtices comunes. Los subrboles obtenidos en (a) se consideran como nuevos vrtices y se repite el proceso descrito en el paso anterior. Se repiten (a) y (b) hasta obtener un subrbol que sea parcial de la grfica dada.Como ejemplo se utilizar este algoritmo a la grfica G de la figura:

Se elige arbitrariamente el vrtice x2, su vrtice ms prximo es x3 o x4, tmese x3 para formar el subrbol parcial x2 x3. Elijase otro vrtice distinto de x2 y x3, sea x5 cuyo vrtice ms prximo es x7. Tmese otro vrtice distinto de x2, x3, x5 y x7 sea x1: su vrtice ms prximo es x4. Se han formado los subrboles H1, H2 y H3 que se muestran a continuacinBsquese ahora la arista ms corta que une a H1 con H2, un examen rpido muestra que dicha arista es la que vale 9. Se hace lo mismo con H1 y H3: se encuentra que la arista ms corta que une H1 Y H3 es que vale 4. Consecuentemente H3 es el subrbol ms prximo a H1 por lo que se forma el subrbol H4 que se muestra en la siguiente figura:

Finalmente se busca la arista de menor valor que une a H2 con H4, esta arista es que vale 5; se forma as el rbol H5 en la siguiente grfica que es un rbol parcial de valor mnimo de la grfica.ARBORESCENCIAS, TEOREMA DE BOTT Y MAYBERRY.-Definicin.- Una grfica finita G= (X,V) es una arborescencia de raz x1 X si se verifica que: Todo vrtice xi = x1 es el extremo final de un solo arco. x1 no es extremo final de ningn arco. G no contiene ningn circuito.Ejemplo :

De acuerdo a la definicin:a) Toda arborescencia es un rbol.b) existe un camino que va de Teorema de Bott y Mayberry.- Este teorema es particularmente til para calcular los determinantes que se encuentran en las matrices econmicas intersectoriales (matrices de Leontief).Considrese una matriz cuadrada A de orden (n-1) y designese con a los elementos de esta matriz. Supngase que A sea tal que:

Se puede considerar a los elementos de la matriz B como las capacidades de los arcos de una red de transporte R=(X,A) de fuente x1 .Los vrtices de R estn numerados como los renglones y las columnas de B.Sean Hk las arborescencias de G que tienen raz en x1 y hgase:

En otras palabras , el valor del determinante de la matriz A puede obtenerse:1) Definir todas las arborescencias de raz x1 de la red R. 2) Para cada arborescencia calcular el producto de todas las capacidades asociadas a sus arcos.3) Sumar todos los productos obtenidos segn el inciso anterior.

Y consecuentemente:

REDES DE COMUNICACIN.-

MODELO DE INTERDEPENDENCIA INDUSTRIAL (LEONTIEF).-Este modelo tiene por objeto determinar las relaciones de produccin de las industrias de un sistema econmico dado a fin de tener cantidades prefijadas de mercancas en los sectores finales de consumo. Este modelo esta basado en las siguientes hiptesis: 1) La produccin neta total de cada industria es igual al total de sus productos consumidos por otras industrias ms la cantidad requerida por los sectores finales de consumo.2) Bajo condiciones de equilibrio esttico, el valor de los productos de cada industria debe ser igual a la suma de los valores de los productos y de los servicios absorbidos.3) Las cantidades de los factores de produccin requeridos son directamente proporcionales a las cantidades producidas.

Considrense todas la arborescencias con raz en el vrtice de consumo y asciese cada arco con la intensidad de flujo de moneda correspondiente. Se llamar valor de una arborescencia al producto de los flujos relativos a sus arcos.Se sabe que la suma de los valores de todas las arborescencias antes mencionadas es igual al determinante asociado a la matriz A de Leontief. Como el valor de cada arborescencia es positivo, se puede afirmar que det(A) es positivo en el caso de que al menos exista una arborescencia.Adems es posible demostrar que si existe una arborescencia derivable de una grafica correspondiente a N industrias, tambin existen arborescencias relativas subgrficas de la grafica original; esto significa que si el determinante de una matriz de Leontief es positivo tambin son positivos todos sus menores principales.Se ha establecido la condicin necesaria y suficiente, dada por Georgescu- Roegen, para la existencia de equilibrio esttico y que puede enunciarse como sigue: EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

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EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED AutoCAD.Drawing.16

EMBED AutoCAD.Drawing.16

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EMBED Equation.3

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