arboles y ejes

Facultad de Ingeniería – UNMDP Materia: Cálculo de Elementos de Máquinas

Ing. Juan Carlos Mussano

1

ÁRBOLES Y EJES

Los árboles (o flechas) son elementos de máquinas destinados a transmitir potencia y los ejes sólo a soportar cargas, en la mayoría de los casos son de sección cilíndrica. 1

El diseño recién se puede hacer luego de un trabajo preliminar que involucra el cálculo de engranajes, acopla-mientos, correas, levas, ubicación tentativa de apoyos, distancias a cubrir, limitaciones de espacio, etc..

La configuración geométrica, en general, es la de una barra cilíndrica maciza con escalones, debido a que los elementos deben estar ubicados con precisión y si hubiese carga axial transmitirla al apoyo correspondiente.

No hay un riguroso método para llegar al mejor cálculo y diseño de un árbol o un eje, sin embargo se da a con-tinuación una secuencia de cálculo que a consideración del autor es la más racional.

1. Establecer la ubicación relativa de los distintos elementos 2. Definir el montaje a utilizar para el conjunto, considerando las piezas a colocar, la ubicación y tipo de apoyos no más de dos

por tramo. Es recomendable tener en cuenta la forma de armado, mantenimiento y desarmado 3. Establecer distancias tentativas entre elementos, utilizando un criterio racional 4. Hallar las reacciones en los apoyos 5. Realizar los diagramas de esfuerzos actuantes, en los planos correspondientes 6. Localizar las secciones más solicitadas 7. Adoptar el material, hacer un precalculo a esfuerzos combinados mediante la fórmula de ASME y un perfilado tentativo 8. Elegir y dimensionar los elementos de sujeción, chavetas, prisioneros, roscas, etc 9. Determinar los concentradores de tensiones existentes. 10. Verificar toda la pieza a esfuerzos combinados con cargas de fatiga por flexión alternativa según el método de SODERBERG 11. Adecuar la pieza a las medidas comerciales y efectuar el perfilado definitivo 12. Verificar que las deformaciones estén dentro de lo aconsejado de acuerdo al funcionamiento y a los elementos montados, de

no ser así redimensionar

Llegado el caso de que la temperatura de trabajo sea elevada o baja, es necesario efectuar un cálculo particular. Por un lado hay que tener en cuenta el aumento de tensiones y deformaciones (por dilatación o contracción) y

además como influye la temperatura en las propiedades del material (tensión de fluencia, resiliencia, tenacidad).

NO EXISTE NINGUNA FORMULA O NORMA PARA DETERMINAR LA MEJOR CONFIGURACIÓN DE UN ÁRBOL O EJE

UBICACIÓN DE LOS ELEMENTOS

Quedará determinado por las condiciones de diseño, tareas que se le impongan al mecanismo, dimensiones de la estructura, ubicación de los componentes para un fácil desarmado, si hay que proteger algún componente de golpes, de salpicaduras por agua, distancias a cubrir, necesidades de montaje, dimensiones a respetar, etc..

Son las primeras restricciones que se imponen y que de no resultar aceptables deberán ser mo dificadas si ello es posible.

MONTAJES DE ELEMENTOS SOBRE UN ÁRBOL

Los elementos a colocar sobre un árbol deben tener una posición determinada que debe garantizarse, por tal

motivo éstos deben inmovilizarse en sentido axial (para el correcto posicionado y para transmitir la carga axial si la hubie-re) y en sentido circular (para que se pueda transmitir la potencia).

En general la ubicación axial se logra con un resalte (salto en el diámetro) o se puede reemplazar por una aro con apriete (tubo sin costura), separadores, aros seguer; en todos los casos el elemento a montar se puede colocar con o sin ajuste, dependiendo de las condiciones de funcionamiento.

Salvo excepciones, es norma común colocar una chaveta (eligiendo el tipo más conveniente) para garantizar la

correcta transmisión del momento torsor.

2

Según la posición de las piezas a colocar es la posibilidad de utilizar uno u otro montaje, se mostrarán los más usados, pudiéndose hacer alguna combinación de ellos.

Ejemplos de montaje a utilizar en el extremo de un árbol

La fijación se consigue mediante el apriete (en frío o caliente) de la pieza sobre el árbol, dependiendo el mismo del momento torsor a tras-mitir. Se debe tener en cuen-ta el diseño del tope de ambos y la cara posterior de la pieza de manera de facili-tar un posterior desarme.

Si además del apriete se introducen pasadores cónicos clavados puede lograrse la transmisión sin huelgos del momento torsor y excluir la posibilidad de micro desplazamientos angulares de las superficies. El inconveniente es que para desarmar la pieza es necesario romper los pasa-dores. Se utiliza en piezas de gran inercia que actúan con choques intermitentes en condiciones muy severas de servicio y que ocasionalmente deben desarmarse (por ej. en volantes).

La fijación axial se consigue con un escalón, una arandela y un bulón; la radial mediante una chaveta. Si hay choques fuertes el asiento de ambas piezas se recomienda hacerlo en forma cónica.

Se ha utilizado un tapón roscado al centro del árbol con cabeza allen embutida. El tope se puede hacer con un escalón, un separador o un seguro seguer.

Al girar la tuerca la pieza se desplaza sobre el cono, se completa con una chaveta. Es un siste-ma de unión muy fuerte y que elimina los juegos que pudiesen aparecer. Aconsejable donde haya choques o vibraciones. El ajuste radial depende del torque de apriete.

En los 3 casos hay que tener previsto un lugar en el árbol para colocar la herramienta para evitar que gire en el armado, una opción es maquinar dos caras planas paralelas para colocar una llave de boca o realizar un agujero pasante para introducir un perno.

Ejemplos de montaje a utilizar en el extremo o en una posición intermedia de un árbol

El giro relativo se evita con la colocación de una chaveta, la ubicación axial se logra al hacer tope la pieza en un escalón del árbol (o seguro seguer o un sepa-rador que a su vez hace tope en otra pieza) y se completa con un prisionero para el caso de que no exista ajuste con interferencia. Si la posición requerida no es tan exacta puede reemplazarse todo lo anterior por sólo un prisionero (ó 2 colocados a 90º). Si el mo-mento torsor es bajo también serviría para transmitirlo, prescin

El posicionado axial se consigue haciendo tope la pieza con un escalón y se afirma con una tuerca. El giro se evita con una chaveta. También se utiliza donde no se pueda colocar una chaveta (sierra circular, pie-dra esmeril) haciendo la rosca inversa al sentido de giro para que se autoajuste en

diendo de la chaveta, a veces para mecanismos de poca importancia se suele hacer una cara plana sobre el árbol para que apoye mejor el prisionero y que no lo marque

funcionamiento. Hay que prever sobre el árbol una sección donde colocar una herramienta para sujetarlo al aflojar o ajustar la tuerca



3

En casos similares en donde una pieza haga tope en el árbol, se debe verificar que el radio de la pieza a encajar (R) sea mayor que el radio del acuerdo (r) en el escalón del árbol.

Ejemplos de montaje en alguna posición intermedia de un árbol 2

El posicionado axial se consigue con aros seguer y para trasmitir la torsión se eligió una chaveta

En la figura anterior se observa parte de una transmisión que consta de una polea de dos canaletas (A) por donde ingresa el movimiento y dentro de una caja (B) dos engranajes de dientes rectos (C y D), todos poseen chaveta que los vinculan al árbol (E) y se han posicionado en éste mediante la utilización de separadores (F) y un bulón (G) en un extremo. Un buen criterio de diseño sería mantener el diámetro constante del árbol (esto bajaría el costo y la sección necesaria por evitarse el efecto de concentración de tensiones) y de los separadores.

Se ha colocado un rodamiento (H) libre, blindado de un solo lado. Considerando que en el exterior hay agua, para mejorar la estanqueidad se ha adicionado un retén de un sólo labio (I) que trabaja sobre un separador.

Debe tenerse en cuenta que cuanto más pesadas sean las condiciones de trabajo menos juego debe tener la unión, siendo aconsejable utilizar ajustes con interferencia sobre todo si en la transmisión de la carga existen choques.

En estos casos se recomienda, si estos son de importancia, utilizar un asiento cónico ya que logra un muy buen ajuste y precarga el sistema minimizando las posibilidades de que tome juego con el tiempo. El montaje con poco ajuste o sin el, no son aceptables para uniones de fuerza o donde existan choques.

Considerando los esfuerzos en el árbol es aconsejable colocar los elementos de transmisión de potencia, siem-

pre que sea posible, cerca de los apoyos. Además algo que debe preverse es como se va a desarmar el conjunto, a los efectos de facilitar dicha tarea.

UBICACIÓN DE LOS APOYOS Este suele ser un interrogante difícil de responder, ya que no se debe sólo tener en cuenta las disponibilidades

de espacio, peso de los elementos, facilidad de armado, etc., es necesario efectuar un análisis con un acertado criterio de ingeniería. Se pueden presentar que las piezas estén entre apoyos o en voladizo.

Piezas entre apoyos

La norma de diseño será establecer que los rodamientos, cojinetes o bujes tengan igual vida, con el mismo o distinto tamaño. Para conseguir lo anterior se puede dar el caso de tener iguales cargas (en módulo) en los apoyos lo que implicará, por ejemplo, colocar rodamientos iguales, o que sean diferentes, en cuyo caso lo más racional será colocar rodamientos distintos.3

Piezas en voladizo

De optarse por el montaje en voladizo de una pieza, se debe tomar una decisión respecto a la distancia a adoptar entre apoyos. La carga sobre estos depende de la relación entre la distancia entre ellos y la longitud del voladizo.4

4

Como regla general la distancia entre los apoyos se recomienda que sea el triple que el voladizo, (mínimo el doble).

Hay que tener en cuenta que siempre que sea posible se debe evitar éste montaje 5, en caso contrario se debe hacer un cuidadoso diseño 6.

REACCIONES EN LOS APOYOS

Como se ha indicado, antes de efectuar el cálculo en sí es necesario haber diseñado la manera en que se armarán

los elementos sobre el árbol, así como haber definido la ubicación y tipo de apoyos necesarios ( se aconseja no más de dos por tramo, ya que de no ser así es muy difícil alinearlos).

Por ejemplo, si se tuviese que armar un piñón helicoidal y una corona de dientes rectos, una alternativa sería la

mostrada a continuación, colocar ambos engranajes entre apoyos donde la carga axial la absorbe un rodamiento especial colocado en el apoyo opuesto a donde se origina dicho esfuerzo, ya que constructivamente es lo más aconsejado y además, en general, aumenta la resistencia del árbol, ya que disminuye la tensión normal de tracción.

En consecuencia serán dato las cargas que actúan sobre el árbol, acciones y reacciones, distancias correspon-

dientes, de manera que se tiene sobre el árbol el siguiente esquema de solicitaciones.

Rr

Rt

Hr

Ht

Ha

BHa BRt

ARr

AHr

BHt

BRr

BHr

AHt

AH’a

ARt

AHa



5

A los efectos del cálculo es necesario llevar todas las cargas aplicadas al eje de simetría, por lo tanto se debe evaluar la implicancia del traslado de cada fuerza en el espacio, y en que plano genera momento flector.

Hasta ahora se tiene pre-perfilado el árbol en forma cualitativa, ya que se desconocen los diámetros mínimos en cada sección de acuerdo a la magnitud de los esfuerzos actuantes.

Se debe tener especial cuidado de identificar adecuadamente la posición en que actúan las fuerzas en función

de la ubicación de los otros componentes de la transmisión. En el ejemplo mostrado el piñón de dientes rectos por donde ingresa el movimiento y la corona de dientes helicoidales por donde egresa, están colocados en la parte superior.

Pero las REACCIONES en magnitud, dirección y sentido, sobre los apoyos serían muy diferentes, si uno de ellos reci-biese movimiento desde abajo, o si la corona engranase con un piñón colocado en la parte frontal. Es IMPORTANTÍSI-MO ubicar adecuadamente las fuerzas actuantes, ya que de no hacerlo así, se conduce hacia el fracaso del cálculo.

DIAGRAMAS CARACTERÍSTICOS

Paso siguiente es imprescindible conocer la variación de los esfuerzos a lo largo del árbol, dado que el diámetro

de las distintas secciones dependerá de las tensiones combinadas que surjan. Para esto es aconsejable, como un paso previo al dimensionado, construir los diagramas de esfuerzos de todas

las cargas actuantes, debiéndose incluir el peso propio y de los distintos elementos a intercalar si éstos se consideran de importancia en general cuando superen el 10% de la carga actuante.

Esto implica el análisis de los diagramas de momento torsor y momentos flectores en los planos que actúen.

SECCIONES MÁS SOLICITADAS

Es necesario determinar cual o cuales serán las secciones más solicitadas o sea donde la suma de esfuerzos haga presuponer que las tensiones actuantes serán mayores que en el resto de la pieza, para así poder calcular el diáme-tro mínimo de cada una de ellas.

Para su elección hay que localizar un valor importante de momento flector (o el máximo) y/o de momento torsor. Se deben individualizar las secciones donde se obtengan los mayores valores de tensiones (simple o comb ina-

da), lo cual es muy fácil de ver efectuando un gráfico o diagrama, aunque sea realizado en forma cualitativa.

En una sección crítica genérica, puede existir el siguiente cuadro de tensiones, debido a momento flector (en dos planos ortogonales) y momento torsor.

Las máximas σ y τ que corresponden a la fibra externa valen:

τ = Mt/Wp σ = Mf/Wf donde Wp =π d3/16 y Wf =π d3/32

Teniendo en cuenta que el esfuerzo de corte, si bien existe no se tiene en cuenta por actuar en el centro y si hubiese una carga axial que provocase una tensión normal de tracción ésta es de poca relevancia frente a la generada por flexión. Y si fuese de compresión disminuiría los esfuerzos actuantes por fatiga.

(Diseño en Ingeniería Mecánica, J. Shigley pág. 581 y otros)

Para poder vincular el efecto de las tensiones tangenciales y normales, es necesario utilizar una hipótesis de ro-tura. Las teorías del máximo esfuerzo de corte (Tresca) y de la energía de distorsión (Von Mises) resultan aceptables para el diseño y análisis de materiales que fallarán de manera dúctil, como el acero.

6

En el diseño la primera es más fácil y rápida de aplicar. Si se desea saber por que falló una pieza es más adecua-

do aplicar la segunda ya que se acerca más a la realidad.

La diferencia entre ambas es que la primera establece que la falla elástica de una pieza sometida a esfuerzos combinados se alcanza cuando la máxima tensión tangencial es igual a la tensión de corte por fluencia obtenida en un

ensayo de tracción simple o sea τ f = 0,50 σf

Según la misma debe verificarse: σ ad > σ τ2 24+

La segunda, es menos conservadora, para la misma situación establece que τ f = 0,577 σf

Las hipótesis de rotura se basan en solicitaciones debidas a cargas estáticas y, en consecuen-cia, no contemplan los fenómenos de fatiga, forma de aplicación de la carga y concentración de ten-siones.

MATERIALES

Antes de poder utilizar alguna fórmula de cálculo es indispensable hacer una primera selección del material que se utilizara para la fabricación de la pieza, si se hará un tratamiento superficial, o térmico. Lo más utilizado es el acero al carbono (SAE 1020 ó 1045) laminado en caliente, sin tratamiento térmico posterior.

Cuando se requiere alta resistencia y muy buena tenacidad se elige un acero aleado, dentro de los más utiliza-

dos se pueden mencionar: SAE 3335 (Cr Ni), 4140 (Cr Mo), 8640 (bajo Cr Ni Mo), asimismo para obtener ciertas propieda-des se los puede tratar térmica o mecánicamente.

Por otro lado, cuando la resistencia al desgaste es un factor muy importante se puede efectuar un tratamiento superficial y/o térmico, (cementado y rectificado, rectificado y nitrurado), puede usarse acero de cementación (SAE 1010, 3310, 8620), efectuando luego un tratamiento térmico adecuado, si es indispensable (por ejemplo si en esas zonas hay bujes, rodamientos de agujas, etc.).

Donde existan condiciones especiales, (corrosión, industria alimenticia o farmacéutica, etc.) puede que se deba adoptar otro material (acero inoxidable, plástico, latón).

MÉTODO DE CALCULO SEGÚN A. S. M. E

Es un método empírico para cálculo que normalizó la A. S. M. E. (Sociedad Americana de Ingenieros Mecáni-cos), partiendo del estado combinado de tensiones, en una situación estática y adoptando la teoría del máximo esfuerzo de corte, adoptando coeficientes correctivos por tratarse de esfuerzos dinámicos.

Si bien éste método de cálculo fue desechado en el año 1954, porque se observó que en muchas ocasiones la pieza luego de un tiempo de uso fallaba, es mu y útil para poder efectuar un primer dimensionado y brinda rápidamente una idea aproximada de la forma que debería adoptar la pieza para soportar las cargas actuantes.

Este cálculo adolece del defecto de no cuantificar el efecto de concentración de tensiones en su justa medida, ni la carga por fatiga y no pondera la resistencia a esta solicitación de la pieza a dimensionar, fue por este motivo que por estudios posteriores se determinó que no era aconsejable su uso.

La norma establece que para tener en cuenta las condiciones de fatiga e impacto se deben incrementar las soli-citaciones de flexión y torsión, calculada en forma estática, con los coeficientes Cf y Ct, respectivamente.

También tiene en cuenta el efecto de pandeo, si lo hubiera, multiplicando la carga axial, Fa, por un coeficiente (w), que depende de las características del árbol y de los soportes. 8

Asimismo impone que: Ø El σadm a utilizar en la fórmula será el menor de los siguientes valores:

0,35 σr (rotura por tracción) 0,60 σf (fluencia por tracción)

Ø Donde exista un concentrador de tensiones se debe reducir el σadm en un 25%. Ø Si la falla de la pieza produjera consecuencias serias, se debe reducir un 25% más.



7

Partiendo entonces de la hipótesis de rotura de la máxima tensión de corte y con las correcciones mencionadas se tiene que la fórmula general de A. S. M. E. es:

( )( ) ( )2

22

34 8

11

32tt

aff

adm

MCDFw

MCDe ⋅+

+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅

−⋅≥

λλσπ

Para su uso se desprecia en un primer paso la carga axial, se obtiene un primer diámetro que se ingresa a la fór-

mula y se itera.9 Siendo λ = d/D y adopta usualmente un valor de 0,5; el que no influye en el apriete de los rodamientos.

Se deben calcular las secciones críticas para así configurar el sólido de igual resistencia 7

ELEMENTOS DE UNIÓN

CHAVETAS (ó también llamadas CUÑAS)

Son piezas que se adicionan al conjunto para evi-tar el movimiento circular relativo entre un árbol y los elementos de máquinas que se colocan sobre él (poleas, engranajes, volantes, levas, embragues, frenos, etc.). Al-gunas también imp iden el movimiento axial, cuando existe una carga a transmitir a los apoyos.

En función de lo anterior están solicitadas por una fuerza tangencial que genera un esfuerzo de corte y además compresión sobre una de las caras que la puede deformar plásticamente (aplastamiento).

Hay muchas clases de chavetas para diferentes necesidades de diseño, algunas de ellas se han estandari-zado. El tipo particular de estas dependerá de la magnitud del par de torsión transmitido, del tipo de carga (estable, variable, oscilante), ajuste requerido, esfuerzo límite en el árbol, costo.

En forma empírica, la práctica usual consiste en que una vez elegido el tipo de chaveta se adopte como ancho máximo el 25% del diámetro de la sección donde irá colocada, luego se calcula su largo para que resista al corte y al aplastamiento, considerando que la fuerza se distribuye de modo uniforme en todo su largo.

La última suposición no es del todo cierta ya que la rigidez torsional del árbol es menor que la de la pieza a colo-car, por lo cual la distribución real del esfuerzo no es uniforme.

En consecuencia debe usarse un factor de servicio, fs, que vale: § 1,5 si el par de torsión es estable § 2,5 cuando existe choque suave § 3,5 ” ” ” mediano § 4,5 ” ” ” fuerte y cargas fluctuantes

Un valor usual en la industria es 3.

Para evitar desgarro de la maza o llanta sobre el árbol, cuando se utiliza chaveta recta y para asegurar un buen agarre, la longitud de la maza debe ser por lo menos un 25% mayor que el diámetro del árbol. En lo posible se aconseja elegir para la chaveta un material más blando que para el árbol, de modo que no se deforme el chavetero, ya que es cos-toso rehacerlo, salvo en las semirculares donde las posibilidades de deformación del chavetero son prácticamente nulas.

chaveta chavetero

pasador

8

Normalmente se fabrican de acero de bajo carbono (0,20 %) laminado en frío (trefilado), en algunas se utiliza ace-ro de medio carbono (0,45 %) y/o con elementos de aleación.

El detalle más importante en la colocación de una chaveta es el perfecto ajuste entre ésta y el chavetero, dado que toda falta de éste hace que aumente la solicitación, ya que aparecen esfuer-zos dinámicos, que se van incrementando con el uso.

Si existe juego entre los elementos de unión y la chaveta, la pieza motriz trabaja durante un pequeño ángulo en vacío y adquiere una aceleración, que multiplicada por su masa origina una fuerza adicional dinámica que va a golpear la chaveta y que no se ha tenido en cuenta, ésta la va deformado plásticamente haciendo que aumente el juego (aparecen oscilaciones en el sistema) y así se va deformando también el chavetero, hasta romperse la chaveta.

Las más comunes de usar son la de sección cuadrada, la inclinada (o cónica) y la Woodruff.

Chaveta cuadrada Es la más utilizada, puede tener los extremos rectos (a 90º) o media circunferencia (redondeados), ajustan la mi-

tad en el árbol y el resto en la pieza. Por lo regular la chaveta se clava (ajuste con interferencia) primero en el árbol, luego se alinea la pieza con ésta y se desliza hasta quedar en su sitio.

Estos elementos deben poseer ajuste con interferencia suave en sus laterales, en cambio en la parte superior debe haber un huelgo (0,2 mm). De ser posible debe utilizarse el chavete-ro deslizable con extremos curvos (fresa disco), ya que tiene menor concentra-ción de tensiones que el perfilado (fresa cilíndrica). Con ajuste flojo se presentan problemas complicados de análisis de los esfuerzos dado que la chaveta traba-ja de modo anormal para la cual no fue diseñada

Lo anterior es de mucha relevancia si hay variaciones bruscas de la carga, choques o carga alternativa.

En la figura de la izquierda se muestra en forma exagerada de como trabajaría la chaveta dentro del alojamiento se existe juego. Si la carga es con choques o, peor aún alternativa, se produce un “martilleo” sobre la chaveta (las superficies se deforman plásticamente y aparecen brillosas) que va aumentando el juego del montaje, produciéndose el colapso de la unión. En su lugar se debe optar por un ajuste ligero de interferencia en sus caras laterales, siendo mayor a medida que aumentan los esfuerzos dinámicos, de ésta manera la carga se distribuye mejor en toda su longitud.

Las chavetas están solicitadas a tensiones tangenciales de corte debido al par transmitido y al aplastamiento de

la cara que interactúa.

∗ Cálculo al corte Considerando que el esfuerzo de corte actúa sobre el plano de la chaveta que es tangente al diámetro del árbol,

se tiene que la tensión admisible debe ser: τad = τfl /s = F / A tr siendo * F = 71620 N fs / n r y * A tr = a L

Adoptado el material y el ancho (a) de la chaveta, con un máximo de 0,25 del diámetro, la incógnita es su largo.

Reemplazando: L = 143240 N fs s / n D a τfl



9

∗ Cálculo al aplastamiento

Sobre la mitad de la cara lateral de la chaveta la fuerza actuante genera un esfuerzo de compresión, por lo tanto puede darse el caso que produzca deformaciones permanentes que hagan peligrar la vida del montaje.

La tensión de compresión admisible será σad = σfl / s = F / A lat donde * A lat = 0,5 a L

Reemplazando

L = 286480 N fs s / n D a σfl

Siendo: L = largo de la chaveta (cm) N = potencia (Hp) s = coeficiente de seguridad fs =factor de servicio n = r. p. m. D = diámetro del árbol (cm) a = lado de la chaveta (cm) τfl = tensión de fluencia por corte ( kg/cm2) σfl = tensión de fluencia por compresión ( kg/cm2)

Utilizando la teoría de falla de corte máximo, se comprueba que la chaveta de sección cua-

drada resiste lo mismo al corte que al aplastamiento, por tal motivo es la más utilizada.

CONSIDERACIONES: * Se debe verificar que el largo de la chaveta no supere el ancho de la maza. ** Hay que tener muy presente el material de la pieza a ensamblar, ya que si es más

blando (aluminio, bronce) que la chaveta se debe verificar al aplastamiento éste chavetero, ya que puede llegar a deformarse.

Una variante es la chaveta rectangular que tiene la ventaja respecto a la anterior que debilita menos el eje. Las extradelgadas se utilizan principalmente en los caso de árboles huecos.

Otras opciones son:

Chaveta inclinada (ó cónica) A diferencia de las anteriores, están diseñadas para insertarse luego de alinear la pieza con el árbol, posterior-

mente se coloca la chaveta engrasada y se la clava, siendo el sentido de armado opuesto a la dirección de la carga axial, si la hubiere. Tiene la particularidad de quedar fija en su lugar por el efecto de cuña entre la pieza y el árbol, permitiendo su regulación axial evitando de ésta manera hacer un salto de diámetro o colocar separadores, depende de la carga axial y de la precisión necesaria en el posicionado de la pieza a ensamblar.

Puede ser sin talón (ó cabeza), o con él como en el dibujo, que se utiliza para desarmar el conjunto es práctica que la mínima separación con la pieza sea igual al ancho de la chaveta, por razones de seguridad no deben sobresalir del extremo del árbol, normalmente se fabrican de acero SAE 1045 o aleado.

Se recomienda utilizar en aquellas piezas con cargas dinámicas, de gran peso o de difícil montaje, ya que en es-tos casos se facilita mucho el armado y, principalmente, el desarmado ya que es más fácil clavar y/o desclavar la chaveta que la pieza, y sólo para mazas de acero o fundición. Debe tenerse precaución según el tipo de soportes del árbol, roda-mientos, para que no se vean afectados por los golpes necesarios para el montaje de la chaveta.10

10

Adoptado un material y ancho, el largo debe ser: L = 409257 N fs s/ n D a σfl Chaveta de lengüeta Normalmente se utiliza cuando es necesario que la pieza deslice en forma axial sobre el árbol (chaveta deslizante)

tiene que ir con ajuste fuerte en el árbol o en caso alternativo fijarla mediante tornillos de cabeza plana embutida o allen, lo cual genera un concentrador de tensiones. También se puede dar el caso de que posea topes y se desplace junto con la pieza en forma axial. Dado que es necesario que posea cierto juego para que pueda deslizar, esto hace que sean in-apropiadas para transmitir cargas que experimenten choques.

Chaveta Woodruff (semicircular ó lenticular) Se utiliza mucho en la industria automotriz y en máquinas herramientas. Tiene las siguientes ventajas: reduce el efecto de concertación de tensiones para el caso de que exista la proxi-

midad de un escalón, debido a lo profundo del chavetero es prácticamente imposible que se deforme éste, se consigue la alineación por si sola en la pieza a ensamblar (debido a la facilidad de giro dentro del chavetero) y su uso puede adaptar-se para ajuste de árboles con asiento cónico.

Debe tenerse la precaución de que la parte saliente del eje no supere el espesor de la chaveta. Chaveta Nordberg Es una chaveta para servicio pesado que produce una unión semifija, que consiste en pernos cilíndricos o con

una inclinación del 6 % (éste último para cargas con fuertes choques), colocados en forma circunferencial y se utiliza cuando la pieza a acoplar está en uno de los extremos del árbol, para lo cual se perfora ambos en sentido longitudinal, se pasa un escariador y se coloca a presión, quedando la mitad del perno en el árbol y la otra mitad en la pieza. Para el de-sarme es necesario romper la chaveta.

PASADOR Consiste en un macizo (cilíndrico ó cónico) o un caño abierto, que se coloca a presión en forma perpendicular al

árbol, pasando de lado a lado de la llanta, en general, de forma diametral. En los macizos se debe mantener la relación D = d + 0,0208 L ó conicidad del 2 %, pueden tener además una cara

plana y/o rosca en el extremo más fino. De ser un caño abierto el diámetro interior debe ser menor 0,66 del exterior para evitar su ovalado y pandeo.

PRISIONERO Es un bulón alta resistencia y dureza que va roscado en la maza y presiona sobre el árbol (primer dibujo), se

aconseja que éste último posea una dureza de por lo menos 10 Rc menor que el prisionero. Depende del esfuerzo de compresión que genera sobre el árbol para desarrollar una fuerza de sujeción resistente

al movimiento relativo axial y/o rotatorio de la pieza y que se conoce como capacidad de fijación. Si es complementario de una chaveta siempre debe ir colocado sobre ésta.

A veces en el árbol se suele hacer una pequeña perforación en forma de cono para que penetre la punta del pri-

sionero, esto mejora el agarre, garantizando además el correcto posicionado longitudinal, pero es laboriosa la operación. También puede fabricarse una superficie plana que mejora sólo el agarre radial (tercer dibujo) y además no deforma al árbol.11



11

CONCENTRADORES DE TENSIONES

Al producirse discontinuidades en una pieza surgen tensiones localizadas que pueden hacer peligrar su dura-ción, dado que hay un cambio en la dirección de las líneas de fuerza. Los mayores esfuerzos se presentan en filetes, reba-jes e irregularidades geométricas similares que concentran (incrementan) el esfuerzo superficial.

Estas tensiones son mayores cuanto más brusco sea el cambio, originando que las tensiones reales, originadas en la discontinuidad, pueda llegar hasta 6 veces la tensión nominal. Por ejemplo al existir un salto de diámetro a 90º las tensiones tienden a infinito, para reducir éste efecto se efectúa un redondeo o acuerdo. Por tal motivo se deberán evitar los cambios bruscos de sección, ya que éstos son lugares propensos a que tengan lugar fallas por fatiga.

La mayoría de las concentraciones localizadas de esfuerzos o de tensiones quedan incluidas en: Ø cambios en la geometría de la pieza Ø discontinuidades de la superficie, marcas de maquinado, corrosión. Ø defectos inherentes en el material, como inclusiones no metálicas, microfis uras.

Estos efectos se ponderan con diversos coeficientes correctivos. Algunos incrementan el valor de la carga (en

consecuencia la tensión actuante) y otros disminuyen el valor de la resistencia a la fatiga, ya que las características de la pieza difieren de las de la probeta de ensayo.

Factor teórico (Kt) Hay varios casos típicos de discontinuidades geométricas que pueden darse en los árboles y ejes, existiendo

coeficientes teóricos (Kt) que las tienen en cuenta (así como el tipo de esfuerzo alternativo) y se utilizan para relacionar el esfuerzo máximo real en la discontinuidad con el esfuerzo nominal.

Para el caso de que exista más de un concentrador se debe multiplicar los K t debido a cada efecto.12

(Diseño de máquinas, A. Deutschman pág. 133 y 364)

Factor físico (Kf ) No todos los materiales poseen idéntica sensibilidad ante el mismo Kt, esto se tiene en cuenta por el factor de-

nominado físico (Kf) el cual incrementará la carga alternativa actuante en la sección analizada. Se puede obtener de gráfi-cos en función del radio de la ranura y la tensión de rotura, o mediante la ecuación Kf = 1 + q (Kt –1). Donde q es un coefi-ciente denominado sensibilidad a las ranuras ó a la entalla que varía entre 0 y 1 y que involucra al material.13

Factor por superficie (CS) o por acabado superficial Como la terminación superficial de la pieza no será como la de la probeta de la viga rotatoria (perfectamente puli-

da y pulido axial), este factor tiene en cuenta las irregularidades superficiales, ya que éstas son concentradoras de tensio-nes, disminuyendo la resistencia a la fatiga de la sección. 14

Factor por tamaño (CT) Dado que el diámetro de la probeta del ensayo de fatiga es de 7,6mm y el de la sección puede ser bastante dife-

rente, éste factor disminuye la resistencia a la fatiga de la sección, ya que tiene en cuenta el gradiente de tensiones dentro del material y la probabilidad de que una sección presente un defecto que pueda dar lugar a que se inicie una fractura por fatiga, dado que a medida que aumenta el diámetro es menos favorable la distribución de tensiones y la uniformidad de las propiedades del material, principalmente si existe tratamiento térmico. 15

Factor por confiabilidad (CC) La resistencia por durabilidad, resistencia a la fatiga o de vida infinita, obtenida de tablas (hallada por ensayos),

consiste en valores promedio que se obtienen con base a varias pruebas, lo cual implica, una confiabilidad del 50%. Si por algún motivo (condiciones de operación, uso de la máquina, riesgo para las personas) se considera nece-

saria una confiabilidad mayor debe ponderarse con este coeficiente, disminuyendo la resistencia a la fatiga de la pieza.16

12

MÉTODO DE CÁLCULO SEGÚN SODERBERG (Diseño en Ingeniería Mecánica, J. Shigley pág. 584)

Se utiliza para determinar las dimensiones de cualquier elemento de máquina sometido a fatiga que debe sopor-tar una tensión constante y una alternativa.

Sobre un árbol actúan un momento torsor y un mo-mento flector, en general constantes, girando a una velocidad ω (rad/seg). Por lo tanto, el esfuerzo nor-mal es sucesivo e inverso conforme gira el árbol y la tensión de corte por torsión es constante.17

La tensión actuante valdrá:

τπ

απ

αα =⋅⋅

⋅ −⋅

⋅⋅

162

1623 3

Md

M

dwtt f

cos sen cos

La ecuación anterior dá el valor del esfuerzo cortante sobre un plano cualquiera que forma un ángulo α con la

horizontal, donde el primer término es un valor medio (componente constante) y el segundo una amplitud (componente alternativa). Como era de esperar la tensión en un punto está dada por un valor variable (τv ) y otro medio (τm), debido a que ambos contribuirán a la rotura.

τπ

π

ττ

τττ

Graficando los esfuerzos cortantes alternos (τv) sobre las

ordenadas y los esfuerzos medios de corte (τm) sobre las abscisas, se obtiene el DIAGRAMA DE SODER-BERG. Donde la línea de SODERBERG es una recta que une el

límite de fatiga al corte corregido τwc (habiendo considerado los coeficientes debido a: acabado superficial, tamaño, con-fiabilidad) y la resistencia de fluencia al corte τ f, corrigién-dola con los coeficientes, sólo si el material es frágil, por encima está la zona de falla.

La línea de esfuerzo seguro, delimita la zona admis ible de trabajo o de diseño y surge de unir las tensiones τwc y τf, afectadas del factor de seguridad (s). Se sitúa un punto en el diagrama para cada valor angular, teniendo en cuenta el incremento de la tensión debido al Kf, sus coordenadas serán (τv,τm), donde el lugar geométrico de

estas es un cuarto de elipse similar a la graficada, que como máximo debe ser tangente a la línea de esfuerzo seguro, el punto de tangencia determina el punto de aprovechamiento óptimo del material. O sea que el cuarto de elipse mostrado es el lugar geométrico de las combinaciones de tensiones que producirán la falla en la sección analizada.

Una regla importante del diseño de piezas cargadas cíclicamente, consiste en eliminar los cambios de sección que surgen en los puntos de aplicación de cargas concentradas.

Para dimensionar una sección se debe establecer a que tensión (combinada) está siendo solicitada la misma

Para deducir la fórmula del diámetro se considerará el efecto de cada esfuerzo actuante y luego se vincularán

ambos.18

En una sección genérica con un concentrador de tensión la tensión máxima por flexión vale σmáx = Kf Mf / W f

y por torsión à τmáx = Mt / Wp



13

Reemplazando en la fórmula de Tresca y ordenando, se llega a:

σad = (Kf Mf 32 σf / π d3 σwc )² + 4 (Mt 16 / π d3)² = 32/ π d3 (Kf Mf σf / σwc)²+ Mt²

Normalmente en el diseño lo que se desea encontrar es el diámetro de la sección, adoptado un material y bajo determinadas cargas, en consecuencia despejando se obtiene:

3

d = 32 s/π (Mt / σf )² + (Kf Mf / σwc )²

La fórmula anterior permite calcular, o verificar, según SODERBERG un árbol sometido a un momento flector y un momento torsor constantes.19

Donde:

d = diámetro mínimo necesario de la sección analizada (cm) s = coeficiente de seguridad adoptado Mt = momento torsor actuante en la sección analizada (kgcm)

σf = tensión de fluencia del acero adoptado (kg/cm2) Kf = concentrador de tensiones, que tiene en cuenta la discontinuidad, el material y el tipo de esfuerzo Mf = momento flector resultante en la sección analizada (kgcm)

σwc =σw Cs CT CC límite de fatiga corregido (kg/cm2)

siendo σw tensión de rotura por fatiga ó tensión de Wöhler, que vale con suficiente aproximación

σw = 0,5 σROT para aceros de σROT < 14.000 kg/cm2 y 7.000 kg/cm2

si el σROT > o = 14.000 kg/cm2

(Diseño en Ingeniería Mecánica, J. Shigley pág. 223; Diseño de elementos de máquinas R. Mott )

Coeficiente de seguridad En ausencia de otras especificaciones, se recomiendan los siguientes factores de seguridad a afectar a la ten-

sión de fatiga y/o de fluencia. v S = 2 Si la aplicación de la carga es en extremo suave. v S = 3 Condiciones de incertidumbre moderada en relación a las propiedades del material y natu-

raleza de la carga, con choques suaves. Situación típica en la industria y para elementos de máquinas.

v S = 4 Cuando existen choques o cargas de impacto moderados (por ejemplo: trituradores). v S > 4 Piezas solicitadas a cargas con choque o impacto importante (por ejemplo: balancines, prensas a

excéntrica). (Diseño de elementos de máquinas R. Mott pág. 154)

MEDIDAS COMERCIALES

Obtenidos los diámetros mínimos para las distintas secciones críticas, se debe proceder al perfilado completo

del árbol, o sea la forma constructiva con que se fabricará finalmente. Dado que los valores hallados son los mínimos necesarios, se deben acomodar a las dimensiones comerciales en que se puede adquirir el material seleccionado.

Se puede dar el caso de que se adopte un diámetro bastante superior, ya que esto puede ser menos costoso, que arrancar viruta, si no es indispensable.

O por otro lado, puede ocurrir que el diámetro comercial más cercano esté por debajo del mínimo calculado. En éste caso habrá que efectuar un análisis detallado. Si el diámetro comercial es muy conveniente, será necesario ver de reubicar las cargas, bajar el efecto concentrador de tensiones (ya sea modificándolo o corriéndolo a una sección donde los esfuerzos sean menores) o alguna estrategia similar para disminuir el diámetro necesario en esa sección.

14

DEFORMACIONES

Antes de dar por terminado el cálculo siempre es conveniente verificar que la deformación que sufre el elemento en una sección determinada no supere el valor aconsejado según su utilización. Las deformaciones a acotar pueden ser angulares (β??) producidas por la aplicación del momento torsor o lineales (f) como consecuencia de un momento flector.

RIGIDEZ A LA TORSIÓN

Considérese el caso de tener un árbol de diámetro constante, solicitado a un Momento torsor constante.

Para pequeñas deformaciones se verifica que el arco ab se puede calcular como L ϕ ó r β Según la Ley de Hooke la deformación angular que sufre una

pieza solicitada a un momento torsor es ϕ = τ /G además la

tensión actuante en esa sección será τ = Mt r / Jp

Reemplazando se llega a que la deformación angular entre dos secciones cualquiera separadas una distancia L es:

β = 180 M t L / π G Jp [grados]

Donde: M t = momento torsor (kgcm) L = separación entre secciones (cm) G = módulo de elasticidad transversal (kg/cm2) Jp = momento de inercia polar (cm4)

En el caso más general se puede tener un árbol de sección variable sometido a un momento también variable a lo

largo de su longitud, corresponde calcular los ángulos de torsión por secciones en donde el momento torsor y el diáme-tro son constantes y luego sumarlos algebraicamente.

β máx recomendados < 20 '/m transmisiones comunes y servicio ordinario < 15 '/m cargas variables o árboles de más de 5 metros < 10 '/m cargas bruscamente aplicadas o invertidas.

RIGIDEZ A LA FLEXIÓN

Para los árboles y ejes, a fin de evitar problemas en su funcionamiento se fijan flechas máximas (fm), las que de-

penderán del uso a que se destinará la pieza y de los elementos montados.

fmáx recomendadas < 0,8 mm/m árboles comunes < donde va colocado un engranaje, se debe sumar la flecha de cada árbol:

montaje muy preciso < 0,01 del módulo montaje corriente < 0,1 del módulo

< 0,0015 L para árboles con cojinetes o buje, L distancia de la flecha máxima al cojinete. La expresión de la flecha, en la dirección normal al eje de la pieza, para valores pequeños (usuales), se obtiene a

partir de la ecuación diferencial de la elástica de deformación:

d²y/dx² = y" = - Mf / EI

Además el ángulo de inclinación de la línea elástica es y'= tg α. Cuando la pieza es de sección constante la ecuación diferencial es integrable, en forma analítica y puede obte-

nerse el valor de y = f(x). La mayoría de los árboles son escalonados y en consecuencia el método de integración es difícil (o imposible)

de manejar porque deben satisfacerse condiciones de frontera en cada cambio de diámetro.



15

En estos casos, los métodos utilizados son: la integración gráfica (método de área-momento o el de las pendien-tes), la numérica (mediante un programa adecuado u una tabla), elementos finitos.20

Recordando:

Ecuación de la carga d4 y / d x4 = q / EI Ecuación del corte d3 y / d x3 = Q / EI Ecuación del momento d2 y / d x2 = M / EI = d θ / dx por lo tanto d θ = (M / EI) dx

Ecuación de la pendiente d y / dx = θ o sea dy = θ dx En forma inversa se deduce que: • el momento flector es la integral del esfuerzo de corte • la pendiente es la integral del momento flector • el valor de “y“ (flecha) es la integral de la pendiente

yM

E Id x= ⋅ −

⋅∫ θ

En forma general se puede establecer que las bases de la Integración numérica son las integrales enunciadas.

Lo anterior es posible porque al considerar distancias finitas a lo largo de la pieza, (de modo que ∆x no tienda a 0), las ecuaciones diferenciales pueden integrarse por sumas numéricas.

De ésta manera en lugar de integrar, se efec-túa la aproximación con una sumatoria

yM

E Ix= −⋅

⋅Σ ∆θ

Se conseguirá mayor precisión, acercándose por lo tanto a la integración, a medida que el intervalo tomado ∆x,

sea menor. Surge de ésta manera que en donde, por el motivo que fuera, se requiere precisión es conveniente plantear intervalos pequeños del segmento de viga que se desea analizar.21

CONCLUSIONES

1. Se aprecia que independientemente de donde se considere el origen de la viga se verifica la magnitud y la ubicación de la flecha máxima, obteniendo mayor precisión a medida que se divide en mayor cantidad de secciones el entorno del punto de máxima deformación, y de toda la pieza ya que se van arrastrando errores desde su comienzo.

2. De lo anterior se puede deducir como criterio razonable a adoptar, el construir una primera tabla, cuyo principal objetivo es obtener en forma aproximada la ubicación de la máxima deformación, para lo cual basta con con-siderar las posiciones en donde exista una carga aplicada o un cambio de diámetro.

3. Una vez halladas las secciones entre las cuales se encuentra el máximo valor, se aconseja construir otra tabla subdividiendo toda la pieza en mayor cantidad de secciones y más aún el intervalo determinado que con-tiene la deformación obtenida, para conseguir mayor precisión tanto en su valor como en su ubicación.

4. En los ejemplos analizados se buscó la máxima deformación y su ubicación, si lo que se quiere es en-

contrar el valor de la flecha en un determinado punto del eje hay que seguir un criterio similar.

VELOCIDAD CRÍTICA

En el diseño de todo sistema rotatorio se debe prever que el centro de masa del mismo coincida con el centro re-al de rotación, pero debido a imperfecciones en la construcción, falta de homogeneidad en los materiales, formas no simé-tricas (prisioneros, chavetas) hay siempre entre ellos una diferencia que por pequeña que sea puede convertir al conjun-to en “Dinámicamente inestable”, por tal motivo siempre es conveniente efectuar un balanceo.

Pero independientemente de lo anterior debido al peso propio y la carga que actúa sobre el árbol o eje, ésta di-ferencia se puede ver grandemente aumentada, dado que a una velocidad denominada “crítica” se produce una flecha que va creciendo con el tiempo. 22

16

Unificación de los elementos constructivos

Cuando se diseña algún mecanismo, éste debe ser realizado con un adecuado criterio ingenieril, de la manera más racional, al costo más bajo, que brinde una seguridad adecuada, minimizando las posibilidades de errores y lo más sencillo posible. Es racional reducir la nomenclatura de las marcas de materiales, unificar los grados de terminación superficial, los tipos de maquinado y de formas de las uniones de las costuras soldadas, módulos de engranajes, tipos de correas, retenes, etc.

Se debe reflexionar en los diámetros de las distintas secciones, tratando de que exista la mayor uni-

formidad, a veces conviene sobredimensionar y no quitar viruta, esto reduce el costo final y el tiempo de eje-cución; buscar materiales fáciles de conseguir en plaza, con dimensiones estándar y que permiten el quitado de la menor cantidad posible de viruta; evitar los maquinados complejos y/o tratamientos superficiales y/o térmicos, que pueden solucionarse cambiando de material o mejorando el diseño.

Debe analizarse con un criterio técnico económico la ubicación de los apoyos y tipo de rodamientos,

preverse los mecanismos y espacios necesarios para el correcto montaje y desmontaje, prever la forma de la s piezas y/o dispositivos apropiados para efectuar principalmente el desarme. Evitar las regulaciones sobre la máquina, recordar que los tornillos no son centradores, no utilizar piezas que sean muy similares o que puedan llegar a generar confusión en el armado.

Lo importante a tener en cuenta es que se debe tratar de estandarizar lo más posible:

uniones con interferencia (dimensiones nominales, tipo de montaje, clase de precisión), terminación superficial, tipo y paso de roscas, bulones, ancho de chavetas, módulos de en-granajes, quitar la menor cantidad de viruta, partir de barras de fabricación estándar, evitar los maquinados y tratamientos térmicos complicados, etc.

Como Ingeniero se debe tener presente que el mecanismo más ela-borado no es el más complicado sino, por el contrario, el más sencillo

BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA Mecanismos (Falco y Lauria) Ingeniería de diseño (P. Orlov) Diseño de Máquinas (A. Deutschman) Elementos de Máquinas (Héctor Cosme) Diseño en Ingeniería Mecánica (J. Shigley) Manual del Constructor de Máquinas (Dubbel) Diseño de Elementos de Máquinas (Robert L. Mott)



17

ANEXO REFERENCIAS

1 Árboles: transmiten movimiento desde un punto a otro (con poleas, engranajes, volantes, embragues, etc.). En el caso más general, estarán sometidos a esfuerzos de torsión, tracción o compresión - pandeo, flexión y corte. Ejes: desempeñan un papel estructural, sólo soportan cargas sin transmitir potencia y pueden o no estar en rotación (ejes de: acopla-dos, engranajes intermediarios, rodillos o poleas tensoras, etc.). En ambos, casi siempre, se distinguen 3 zonas: gorrones: posición donde van los rodamientos, bujes o cojinetes, con buena terminación superficial o muy buena, respectivamente. cabezas: lugar donde van montados los elementos de transmisión (engranajes, poleas, etc.). Si están en un extremo son de menor diá-metro que el resto para poder colocar los demás elementos; de estar en una posición intermedia su diámetro es mayor para poder armar el conjunto, además de aumentar la resistencia de esa sección. cuellos o brazos: son las zonas intermedias que vinculan las anteriores con tolerancias menos precisas, pudiendo incluir, por ejemplo, una rosca para sujetar algún elemento.

2 Unión por manguito partido

Para vincular piezas prismáticas sobre árboles se suele utilizar un manguito partido, en éste tipo de uniones es necesario asegurar el apriete uniforme por todo el circulo del mismo.

En el primer caso, el momento torsor es transmitido con la utilización de dos chavetas, es una construcción errónea. Al tensar el manguito las caras superiores de las chavetas se apoyan en las paredes de las ranuras, el sector AA queda sin tensión .En la construcción siguiente además de colocar una sola chaveta, se lo ha hecho en el eje de simetría del manguito, es un montaje correcto. En el último caso la posición del tor-

nillo es más baja siendo necesario maquinar en el árbol una ranura para que pueda pasar éste, esto garantiza que la pieza a montar no tenga desplazamiento axial. Por lo anterior este sistema no es recomendable para uniones estriadas. 3 Para poder visualizar lo mencionado considérese dos engranajes con dientes rectos, donde la relación de diámetros es de D = 3 d, distribuidos en la forma indicada. Por lo tanto las cargas variarán en forma inversa, o sea que F = 3P.

Considerando que la carga sobre el apoyo izquierdo es mayor que en el derecho, se tienen dos rodamientos iguales con distinto grado de carga, no se ha hecho un análisis adecuado. Este diseño no es racional.

Para mantener la misma ubicación deberán calcularse los rodamientos de acuerdo a la carga sobre c/u. La dis-minución del diámetro en el árbol no afecta su resistencia ya que en esa zona ya no existe torsión.

Si se elige que los rodamientos sean de igual tamaño, habrá que redistri-buir los comp onentes de manera que las cargas sobre éstos sean iguales. O colocar rodamientos distintos con igual diámetro exterior e interior.

18

4 En función de lo anterior se tratará de presentar un análisis para la posterior toma de decisiones. Para hallar las reacciones en los apoyos se plantea que para que exista equilibrio la suma de momentos de las fuerzas que actúan debe ser igual a cero, considerando la carga exterior F.

En el apoyo A, se tiene Σ M = 0 = F (b + a) - Rb a = 0 en consecuencia Rb = F (b + a ) / a = F ( 1 + b / a )

De igual modo en el B, se tiene Σ M = 0 = F b - Ra a = 0 en consecuencia Ra = F b / a Como lo que se intenta determinar es la relación de la separación entre apoyos ( a ) respecto al voladizo ( b ), a continua-ción se ha representado la relación Rb /F , Ra /F y Rb /Ra en función de a / b.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 1 2 3 4 5 6a/bRa/F Rb/F Rb/Ra

Se puede observar que las cargas sobre los apoyos crecen bruscamente a medida que disminuye la distancia entre ellos (a/b < 2) . Por otro lado para a / b > 4 no hay gran ventaja en separar demasiado los apoyos. Veamos que ocurre si se analiza la separación entre apoyos (a) respecto al voladizo (b) a medida que a / b tiende a oo, o sea que a es mucho mayor que b: Rb /F = [ F (1+ b/a) ] / F = 1 + (b/a) = 1 + 1 / (a/b) ….. tiende a 1 entonces Rb tiende a valer F Ra /F = [ F (b/a) ] / F = b/a = 1 / (a/b) ……………... tiende a 0 entonces Ra tiende a valer 0

De este modo la gama racional de a/b es a partir de 2 y hasta 4. Cabe hacer mención que las altas relaciones de a/b, tienen la ventaja de que la fijación del árbol es más precisa. En el mismo gráfico se ha representado la relación entre la carga sobre el apoyo anterior y el posterior (recta), por lo que uno puede utilizar la misma para elegir el tipo de rodamiento. Así por ejemplo para un valor de a/b de 3, Rb = 4 Ra

5 Sistema de voladizo contra dos apoyos En lo posible se deben evitar los montajes en voladizo. Para efectuar la comparación con las opciones posibles se han representado los casos fundamentales de flexión: voladizo, libremente apoyada y con los extremos empotrados. Comparando las magnitudes de los momentos flectores y flechas máximas se ve la gran ventaja de las vigas apoyadas en dos extremos ante el voladizo. En los tres casos el diámetro del eje es función del momento flector máximo y el tamaño de los rodamientos de la carga que actúa en cada uno de ellos, la distancia entre rodamientos se ha adoptado el doble del voladizo. En la realidad, la diferencia entre las piezas con doble apoyo y en voladizo no es tan brusca como en la comparación realizada.



19

M flector máx = F L/2 flecha máx = PL3 / 24EJ

M flector máx = F L/4 flecha máx = PL3 / 48EJ

M flector máx = F L/8 flecha máx = PL3/192 EJ

Las alternativas mostradas pueden definir un dis positivo u otro, siempre que sea viable, hay que tener en cuenta que disminuye el diámetro del eje y el tamaño de los rodamientos (como consecuencia retenes, alojamientos, tornillos, etc.) y que estos sean iguales.

Con el montaje según el segundo esquema, el momento flector es la mitad, al igual que la flecha. Además, manteniendo los apoyos constantes, en el punto de la máxima solicitación se puede aumentar el diámetro, siendo ésta diferencia ma-yor. También es cierto que la sección donde se coloca la pieza se rigidiza por el montaje de ésta, por lo tanto también bajan las tensiones y deformaciones.

En el último dibujo se han considerado dos empotramientos, físicamente esto se conseguiría por ejemplo, con rodamien-tos de rodillos cilíndricos o cónicos y reforzando las paredes del cuerpo. De acuerdo a lo indicado, para éste caso el máximo momento es 4 veces menor que para el voladizo y la mitad que el simplemente apoyado. La flecha máxima es 8 veces menor y 2 respectivamente. La conclusión es que modificando el montaje pueden solucionarse problemas de tensiones y/o deformaciones elevadas, sin necesariamente aumentar el diámetro, cambiar el material, efectuar tratamientos térmicos, etc. y complementariamente racionalizar los apoyos. 6 Aumento de la rigidez y resistencia de las construcciones en voladizo

Cuando indefectiblemente hay que armar una pieza en voladizo, es necesario disminuir por todos los medios posibles el mismo, aumentar su rigidez y resistencia mecánica.

En vez de 2 L se puede bajar a 1,32 L haciendo el dispositivo más compacto, manteniendo la misma relación.

20

El voladizo de la rueda cónica mostrada, puede disminuirse mediante el cambio de la posición del engranaje al árbol, o fabricándolo en una sola pieza con el. De modo que efectuando un correcto análisis de la pieza se pueden obtener ventajas importantes. 7 El esfuerzo de corte, puede despreciarse porque las tensiones tangenciales máximas (τmáx) además de ser bajas se ubican en su centro, mientras que las debidas al momento torsor se encuentran en la fibra exterior, por otro lado si exis-tiese un tensión de tracción generada por una carga axial no tiene influencia frente a la tensión normal por flexión. Debe tenerse en cuenta que de ser posible, los elementos de transmisión de potencia (engranajes, poleas, etc.) deben montarse cerca de los soportes, esto reduce el momento flector, en consecuencia la tensión actuante y la flecha. 8 Para tener en cuenta las condiciones de fatiga e impacto, se debe incrementar las solicitaciones de flexión y torsión, con los coeficientes Cf y Ct, respectivamente, que valen:

Carga constante o gradualmente aplicada súbita con choques ligeros súbita con choques importantes Cf 1,2 a 1,5 1,5 a 2 2 a 3 Ct 1 a 1,2 1,2 a 1,5 1,5 a 3

Valor del coeficiente (w): ⇒ w = 1 / (1 - 0,0044 δ ) si δ < 100 columna corta siendo δ = Lp / i ⇒ w = σc δ2 / (π² n E) si δ > 100 columna larga para un redondo i = 0,25 D Donde:

σc tensión de fluencia a compresión E módulo de elasticidad i radio de giro de la sección considerada δ esbeltez del tramo analizado Lp longitud de pandeo, se considera desde el punto donde se aplica la fuerza hasta el apoyo n coeficiente que depende de las condiciones de los apoyos

n tipo de apoyo

0,25 un extremo empotrado y el otro libre 1 los dos extremos con apoyos simples (articulados) 2 un extremo empotrado y el otro simple (articulado) 4 los dos ext remos empotrados

Si los soportes son a rótula (u oscilantes) se los considera como apoyos articulados, pues existe en cierta manera, posibi-lidad de que experimenten rotaciones; si son a fricción o con rodamientos de rodillos cilíndricos no pueden experimentar rotaciones en el apoyo, el que se considera entonces como apoyo de emp otramiento.



21

9 EJEMPLO

Sea el caso de tener un eje macizo con un engranaje colocado en la mitad de su longitud y soportado en sus extre-mos. En éste caso el eje está sometido a un esfuerzo de flexión, que vale para cual-quier sección entre la reacción y la carga Mf = x P/2, donde x es la distan-cia desde el apoyo a la sección analiza-da. Como ya se explicó se despreciará el esfuerzo de corte. Al no haber transmisión de potencia no hay momento torsor, además como la carga es vertical no genera esfuerzo axial, en consecuencia Fa = 0 y al ser macizo el coeficiente λ vale 0.

Con las apreciaciones efectuadas y aplicando la fórmula de A. S. M. E. se obtiene el valor del diámetro a lo largo del eje:

( )23 .32

fmadm

MCd ⋅⋅

≥σπ

Agrupando los valores que son constantes y reemplazando el valor del mo-mento flector en función de la distancia, queda :

d constanteP

x≥ . . ..2

3

En consecuencia se debe cumplir para todas las secciones que: d cte x≥. .3

Graficando la ecuación anterior surge que si el eje ha de ser construido como un sólido de igual resistencia, su forma teórica será la de un paraboloide (partiendo de una parábola cúbica), según la parte inferior de la figura mostrada.

Para realizar el perfilado del eje se deberá tener en cuenta que una vez definidas las dimensiones de los gorrones y la cabeza del eje, siendo el paraboloide una figura complicada para su ejecución práctica, los cuellos se hacen por medio de rectas en forma de tronco de cono (mitad izquierda) o con saltos del diámetro (parte derecha), con adecuadas curvas de enlace, de modo que el PERFIL DEFINITIVO NO PENETRE NUNCA EN LA PARÁBOLA.

10 La superficie superior tiene pendiente estándar de 1%, para acoplarse con la inclinación de la pieza, la inferior es plana y está en contacto con el árbol, siendo F la fuerza necesaria aplicar para el clavado de la chaveta.

µ

µ

α

α

α

µ

Como se mencionó, el par transmitido entre el árbol y la pieza depende de la fuerza de fricción entre ellos, lo cual surge analizando las fuerzas intervinientes en el árbol, según el diagrama del cuerpo libre mostrado en la figura b. La fuerza de fricción entre árbol - chaveta es µ2 N y entre árbol - pieza es µ1 N. El momento torsor que se puede transmitir depende del contacto friccional entre la pieza, la chaveta y el árbol, siendo su valor M tr = µ1 N 0,5 D + µ2 N 0,5 D

22

Sobre las caras en contacto se genera un esfuerzo de compresión, en consecuencia el máximo valor que puede tomar la fuerza normal es N = a L σad

Reemplazando: M tr = 0,5 a L σad D ( µ1 + µ2 )

Donde: µ1 coeficiente de fricción entre el árbol y la pieza, un valor razonable a adoptar es 0,25 µ2 coeficiente de fricción entre chaveta y árbol, la chaveta normalmente está engrasada, toma un valor de 0, 10

σa = tensión admisible a la compresión ( σf / s)

Con lo anterior: Mtr = 0,175 a L (σf / s) D y por otro lado la cupla actuante es: Mta = 71620 N fs / n

Igualando las anteriores, adoptado un material y ancho, el largo debe ser: L = 409257 N fs s/ n D a σfl 11 Se debe tener en cuenta el factor de servicio a utilizar:

fs Tipo de carga 1,5 – 2 choques suaves 2 – 4 choques moderados 4 – 8 choques fuertes

Según las normas A. S. M. E. se indica la capacidad de fijación (Fi ) y el torque de apriete (Ta) a aplicar para distintos diámetros del prisionero (D).

D (pulgadas) Ta (kgm) Fi (kg) 1/4 1 450 5/16 1,9 680 3/8 3,34 900 7/16 5 1125 1/2 7,14 1350

El momento torsor a trasmitir, según el diámetro (D) del prisionero, es Mt = Fi 0,5 D / fs 12 Concentración de tensiones

Ø Chaveteros ( o cuñeros) Flexión alternativa Flexión y torsión alternativas

K t = 1,8 (con topes, c/ fresa cilíndrica) K t = 1,4 (corredera deslizable, c/ fresa disco)

K t = 3

Ø Ranuras para seguer Estos poseen un chaflán pequeño en la base de la ranura, para flexión un valor aceptado es K t = 3, que considera el con-centrador y la reducción de diámetro. Si hay torsión, para tener en cuenta la disminución del módulo resistente, se debe aumentar el diámetro de cálculo en un 6%. Ø Roscas

Se considera como aceptable para roscas cortadas K t = 4 Ø Escalones (salto de diámetro)

Como se mencionó en un principio, los ángulos entrantes agudos en el sector de transición (a y b) provocan una brusca

concentración de tensiones. En cambio el perfil cónico eleva la resis-tencia mecánica de dicha sección, pero reduce la longitud de la super-ficie cilíndrica del diámetro menor y se puede aplicar sólo donde la pieza constructivamente no está vincula-da con las contiguas (c).

En la práctica se le da una forma adecuada a la unión de los escalones para disminuir este efecto, para esto, en los secto-res de transición se efectúan redondeos de unión ó de rebaje (d y e), la efectividad de la acción del redondeo depende de



23

la magnitud del radio del mismo (r). La concentración de tensiones se reduce con la disminución del salto de los diáme-

tros y con el aumento de la relación ρ = r / d. Los valores de ρ oscilan entre 0,1 para saltos normales y 0.03 para saltos pequeños. El máximo valor recomendable de la relación D/d se aconseja es 1,20, cuyo máximo ρ es 0,1.

De tablas o gráficos (como el que se muestra a continuación) se puede hallar el factor teórico de concentración de tensio-nes en función de r/d y D/d.

En general donde va colocado un rodamiento se puede considerar como buena aproximación y con criterio conservador, un valor para efectuar el cálculo sin saber todavía el rodamiento a colocar de Kt = 2,3 (para r/d = 0,03 y D/d = 1,2). El ver-dadero valor surgirá una vez calculado el rodamiento a colocar, debiendo tenerse en cuenta que el radio del acuerdo debe ser menor que el del rodamiento.

13 El coeficiente q para acero, con suficiente aproximación, adopta los siguientes valores:

SAE σ ROT (kg/mm2)

q 1020 (laminado en caliente) 45 0,50 1045 (laminado en caliente) 65 0,65 4140 (laminado en caliente) 105 0,80 4140 (templado y revenido) 140 0,95

14 Para el acero, depende de la dureza o resistencia a la rotura por tracción.

24

Se puede hallar mediante fórmulas según la terminación superficial obtenida, donde σrot se debe expresar en kpsi,:

Maquinado o estirado en frío: CS = 2,70 σrot–0,265 Rectificado: CS = 1,34 σrot

–0,085 Shigley (R) pág. 318

O también mediante la utilización de gráficos, por ejemplo en la Figura a:

Figura a Norton pág. 378

Figura b Mott pág. 297

15 Si el diámetro es menor o igual a 7,6mm vale 1, caso contrario los valores que toma son:

7,6mm < d < 50mm ………. CT = 0,85 d > ó = 50mm …………. CT = 0,75

Otra bibliografía sugiere las siguientes fórmulas, cuya grafica se muestra en la figura b:

d < ó =50mm ........................CT = (d/7,6) -0,068 50mm < d < 250mm … CT =1,85 d -0,19

16 Dado que se ha comprobado que la información real de las fallas sigue una distribución normal se puede elegir, de-pendiendo del mecanismo de que se trate, lugar de instalación y otras condiciones particulares, otro factor de ajuste para una mayor confiabilidad, según lo indicado en la tabla dada a continuación.

Confiabilidad deseada C C 0,50 1 0,90 0,90 0,99 0,81 0,999 0,75 0,999 999 999 0,52

17 Considerando una sección cualquiera, bajo un determinado estado de cargas en un elemento de la superficie, la tensión normal máxima (σ) y la tangencial (τ) actuantes valdrán:

α

αασ

σ

τ

τα

α

σ

τ

ωπ

ω

π

τ

στ α

σ α

τ

τ α

ασ α

τ αα

αατ

α

Valor usual



25

Este método analiza todos los valores del ángulo α posibles para determinar cual corresponderá al plano en que ocurrirá la falla dado un estado de cargas externo, en realidad no se busca el valor de dicho ángulo sino la tensión actuante en él para poder diseñar. Para ello se considera el plano PQ, al cual se le signa un largo unitario, que forma un ángulo α (gené-rico) respecto a la horizontal y pasa por la esquina inferior izquierda del elemento. Como hay esfuerzos de flexo -torsión Soderberg adopta la Teoría de corte máximo para hallar cuanto vale la máxima ten-sión de corte en dicho plano inclinado, por ser más conservadora y fácil de usar. Ahora haciendo la sumatoria de fuerzas en el plano PQ (dirección de τα) igual a cero, estado de equilibrio, se obtiene: Σ FPQ = τα (1) + σx senα cosα + τxy senα senα - (τxy cosα) cosα = 0 o sea τα = τxy (cos²α - sen²α) - σx senα cosα Recordando que cos² α - sen² α = cos 2α y que senα cosα = sen 2α /2 se tiene que el esfuerzo cortante valdrá:

τπ

απ

αα =⋅⋅

⋅ −⋅

⋅⋅

162

1623 3

Md

M

dwtt f

cos sen cos

La ecuación anterior da el valor del esfuerzo cortante sobre un plano cualquiera que forma un ángulo α con la horizontal 18 Es necesario analizar por un lado el esfuerzo debido al momento flector y por otro el de torsión, para luego vincular ambos mediante una hipótesis de rotura.

v Teniendo en cuenta únicamente el esfuerzo por FLEXIÓN ALTERNATIVA, se tiene que analizando el diagrama de Soderberg y considerando, por ejemplo, que el punto C sea el que corresponde al máximo aprovechamiento del material, o sea donde la tensión que solicita a la pieza es igual a la tensión admisible del material.

Como los triángulos AOB y CDB son semejantes, se puede establecer la siguiente relación:

vf

mf

wc

f

K

s

s

s

σ

σσ

σ

σ

.

)/(

/

/ −= o sea

vf

mf

wc

f

Ks

σσσ

σσ −

=)/(

de donde mvfwc

ff Ks

σσσ

σσ+⋅⋅= .

σ

σ

σ

σ

σ σ

PERO σf / s = σad y como se impuso como condición el máximo aprovechamiento del material en esa sección la tensión

admisible del material σad será igual a la de trabajo (o equivalente) σ t. En consecuencia en el punto C de la línea de esfuerzo seguro, la tensión actuante en la sección analizada debido a flexión

alternativa es σ t = Kf σv (σf / σwc) + σm) (1)

Recordando que las tensiones en fatiga valen: σm = 0,5 (σmáx + σmín ) y Kf σv = Kf 0,5 (σmáx - σmín )

Ø Para el caso específico de árboles, como σmáx = - σmín las tensiones valdrán σm = 0 y σv = σmáx por lo

tanto ààreemplazando en (1) se tiene que àà σt = Kf σmáx (σf / σwc ) v Considerando ahora el esfuerzo por TORSIÓN. En los árboles la cupla es constante, ?en consecuencia la tensión de

trabajo por corte también será constante y vale:àà τt = τmáx .

Para vincular ambas tensiones, según se dijo, se utilizará la teoría de la máxima tensión de corte según la cual debe cum-

plirse que σad > 22 4 tt τσ +

26

Remplazando queda que se debe verificar σad > ( ) máxwcffK 22max. .4../ τσσσ +⋅

19 En el caso más general, en que los esfuerzos por flexión y por torsión contienen una componente constante y una variable, la ecuación de diseño para hallar el diámetro mínimo en la sección analizada es: 3

d = 32 s/π (Mtv / σwc + Mtm / σf)² + (Kf Mfv / σwc + Mfm?/ σf)²

Torsión variable se encuentra por ej. en motores de combustión interna, volantes, levas, embragues. Hay que mencionar que para los casos de fatiga por flexión con torsión se ha encontrado que con la teoría de la energía de distorsión se pueden predecir con precisión valores promedio de falla, mientras que con la teoría de corte máximo las predicciones de falla se aproximan a los valores límites inferiores, o sea que es más conservadora por dar un valor de diámetro mayor.

Para el caso de utilizar la teoría de la energía de distorsión se tiene: σf /s = 32/ π d 3 (Kf Mf σf /σwc)²+0,75 Mt²

En el caso de los árboles debido a que las mayores tensiones se encuentran en la periferia, la capa superficial tiene determinante signifi-cación, ya que ésta puede decirse que es el concentrador de tensiones inherente de cada pieza. Por lo tanto surge el problema de que para elevar la resistencia a la fatiga se debe endurecer la capa superficial, esto se consigue con el tratamiento térmico, con la aleación por difusión superficial, la compactación superficial, etc. En el trabajado mecánico se forman importantes tensiones residuales, que hay que tener en cuenta principalmente si posteriormente se efectuará algún tratamiento térmico. Al desplazamiento plástico y la destrucción del metal al arrancar viruta van acompañados de la aparición, en las capas vecinas, de tensiones residuales, por lo tanto cuanto mayor sea el grosor de la capa que se quita (por lo tanto el esfuerzo de corte) mayor será la tensión residual, principalmente en desbaste grueso. Además se le suman las tensiones térmicas en la zona de corte y las tensiones que surgen como resultado de transformaciones estructurales y físicas en los puntos de elevado despren-dimiento de calor. También surgen altas tensiones locales durante la soldadura, como resultado del calentamiento local del metal hasta la temperatura de fusión y del enfriamiento posterior que va acompañado de la tracción del material de la costura soldada. 20 Repasando conceptos, es sabido que: • El esfuerzo de corte en una sección determinada, es la proyección sobre el plano de la sección de la resultante de las fuerzas si-tuadas a la izquierda y lleva el signo de dicha resultante. • El momento flector en una determinada sección, es igual al momento con respecto al centro de gravedad de la sección de la resul-tante izquierda (o sea del esfuerzo de corte).

∆

En un elemento de una viga que esté en equilibrio, se debe verificar: Σ M cg = M 1 - M 2 = Q ∆x o sea ∆M = Q ∆x

Efectuando un pasaje de términos QMX

=∆∆

Si ∆X tiende a 0 la fórmula se convierte en

una derivada. 21 La explicación anterior es la base conceptual del método que se aplicará a continuación, el que fue extraído del libro DISEÑO DE MAQUINAS (Deutschman, Michels, Wilson), pág. 366, donde la tabla ahí mostrada se confeccionó mediante la utilización del pro-grama EXCEL Este es de aplicación para vigas con o sin cargas en voladizo, en uno o en ambos extremos.

Construcción de la tabla El procedimiento se aplicó a un problema resuelto en forma gráfica en el “Manual del constructor de máquinas” Dubbel T. I (pág. 481 3ra ed.), donde se puede apreciar que la flecha máxima hallada es de 0,64mm y consiste en una transmisión por correas (en voladizo) a dos engranajes que están entre los dos apoyos, se lo llamó Flecha 1. 1) El primer paso es dividir la viga en secciones, como mínimo en donde exista una carga aplicada o donde se produzca

un cambio en el momento de inercia (diámetro). En este caso se comenzó desde el voladizo.



27

Donde se suponga puede estar la flecha máxima o se quiera saber el valor en ese punto, se de-berán tomar 3 o 4 intervalos (iguales o distintos) a cada lado de la sección para tener un valor más exacto. Se puede comenzar por cualquiera de los extremos, pero conviene hacerlo donde no exista voladizo.

2) Colocar en la hoja de cálculo, renglón de por medio, en la columna 1 el número de cada una de las divisiones efectua-das en la pieza.

3) En la columna 2 anotar el valor de las cargas en la sección correspondiente, asignando el sentido positivo a aquellas que son ascendentes.

4) Calcular el esfuerzo de corte, (Q = Σ P), para cada punto insertándolo en la columna 3 en la posición que le sigue a la que fue calculado.

Se debe verificar que el último valor de la columna 3 sea igual y de signo contrario al último valor de la columna 2, dado que el diagrama de corte debe cerrar.

5) En la columna 4 se coloca la separación, (∆x), sobre el mismo renglón, desde esa posición a la que le antecede. El primer valor siempre va a ser 0 .

6) En la columna 5, se va sumando el largo del eje desde la posición 1 hasta la analizada. Debiendo verificarse que el último valor sea el largo total entre las secciones extremas.

7) Se calcula el momento flector en cada posición, multiplicando el esfuerzo de corte correspondiente según la columna 3 por la separación a la posición anterior dado en la columna 4, colocándolo en el mismo renglón en la columna 6.

Lo que se hizo es M fi = Σ Q ∆x como aproximación de Mfi = f Q dx

8) Sumar sección a sección el momento flector total y colocarlo en la columna 7 (M fa = Σ Mfi). Ese será el Momento flector acumulado para la posición analizada. El primer valor de ésta columna será 0, a menos que exista un Momento flector externo.

Momento Flector Acumulado

-1000000

-500000

0

500000

1000000

1500000

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000

2100 2200

2300

Largo (mm)

Mf. (Kg. mm)

9) Anotar en la columna 8, el valor del diámetro entre las secciones analizadas en el renglón que no ha sido utilizado, o sea el dejado en blanco entre dos posiciones consecutivas.

10) En la columna 9 anotar el producto del módulo de Elasticidad longitudinal, E, del material en cuestión y del momento de inercia, en el mismo renglón del diámetro (EI). Tener en cuenta homogeneizar las unidades.

11) En la columna 10 se calcula el momento reducido como el cociente entre el Momento Flector de la columna 7 y los valores EI (columna 9) correspondiente a las secciones que le anteceden y le siguen, (M fa / EIi ; Mfa / EIi+1) El primer valor anotarlo en el renglón que está arriba del valor EI y el segundo en el mismo.

28

12) Anotar en la columna 11 el promedio de los dos valores calculados en el punto anterior, en el renglón correspondien-te entre 2 posiciones, (M fa / EI)1/2

13) Calcular la pendiente (radianes) como el momento reducido (columna 11) por la separación (columna 4), colocándola sobre la línea inferior siguiente a la del valor M/EI promedio y sumándola en forma acumulativa en la columna 12, so-bre la misma línea de los números de posición. El primer valor siempre va a ser 0. Los valores de la columna 12 son

respecto a la posición número 1. Lo que se hace es θ = Σ Mf 1/2 ∆x como aproximación a θ = f Mf dx

14) Anotar en la columna 13, el promedio aritmético entre los valores de la columna 12 para dos posiciones consecutivas, [(θi + θi+1) / 2].

15) Obtener el aumento de deformación, respecto al punto anterior, mu ltiplicando el valor de la pendiente promedio (co-lumna 13) por la separación anotado en el renglón siguiente (columna 4), y se lo coloca en la misma línea que la pen-

diente promedio (columna 14). Se hizo ∆y = θ1/2 ∆x como aproximación a dy = f θ dx

16) Sumar los valores correspondientes de la columna 14, entre los apoyos, cambiarle el signo y dividirla por la distancia entre ellos, el resultado es la constante de integración.

17) En la columna 15, sobre la misma línea se anota el producto de la constante de integración y la distancia entre posi-ciones, esto constituye la constante de integración para cada intervalo.

18) Calcular en la columna 16 la flecha para cada posición analizada, sumando los valores de las columnas 14, 15 y la flecha de la posición anterior. Dado que se considera (y así lo establece el método), con suficiente aproximación que la viga no se deforma en los apoyos, SE DEBE COLOCAR 0 como valor de la flecha en el primero de ellos.

Flecha 2

-0,600

-0,500

-0,400

-0,300

-0,200

-0,100

0,000

0,100

0,200

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

1100 1200

1300

1400

1500 1600

1700 1800

1900

2000

2100

2200

2300

Largo (mm)

Flecha (mm)

La flecha máxima que arroja como resultado es de 0,532 mm ubicada en la sección No 8, a una distancia del extremo dere-cho de 620 mm. En realidad lo que está indicando el resultado obtenido es que la flecha máxima está entre las secciones 7 y 9. Como se dijo está primer tabla da una aproximación, respecto a su ubicación y magnitud.

Comenzando por un extremo que fuese un voladizo, (como el ejemplo mostrado) se debe cambiar el signo a los au-mentos de deflexión, columna 14, y de las constantes de integración, columna 15, para aquellas secciones a la iz-quierda del soporte izquierdo. El cambio es necesario, ya que el origen de coordenadas estará colocado a la izquierda del soporte cambiándose la dirección de la integración para las posiciones situadas a la izquierda de éste.

Si hay flexión en dos planos se efectúa el procedimiento anterior para ambos y luego se obtiene la flecha resultante. Se debe tener en cuenta que el método no tiene en cuenta los elementos montados (polea, engranaje, rodamientos) sobre la pieza, en consecuencia al estar ubicados en los puntos de aplicación de las cargas, hacen al conjunto más rígido y por lo tanto la flecha en general va a ser menor. Ahora se ha vuelto ha calcular la máxima flecha del ejemplo dado anteriormente, FLECHA 1, pero se ha comenzado por el apoyo del extremo, se ha dividido el eje en mayor cantidad de secciones y el sector donde ya se sabe que va estar la flecha máxima se lo dividió en intervalos de distinto valor, llamándolo FLECHA 2. Ahora la flecha máxima que arroja como resultado es de 0,618 mm y está ubicada a los 860 mm del extremo con el roda-miento, entre las secciones 12 y 14. La diferencia de valores se debe precisamente el haber tomado mayor cantidad de separaciones entre las distintas secciones o sea los ∆x.



29

Los gráficos que siguen se corresponden con el orden de las secciones de derecha a izquierda del eje.

Momento flector

-1000000

-800000

-600000-400000

-200000

0

200000

400000

600000800000

1000000

1200000

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200 2300

Largo (mm)

Mf. ( Kg mm)

Flecha a lo largo de la pieza

-0,70

-0,60

-0,50

-0,40

-0,30

-0,20

-0,10

0,00

0,10

0,20

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200 2300

Largo (mm)

Flecha (mm)

22 Considerando el caso de oscilaciones libres, no amortiguadas, como es el caso del elemento tratado, se tiene que la

velocidad critica es ω c = (C/m) ½ En consecuencia el número de revoluciones crítico del árbol res-pecto a las vibraciones de flexión vale f

Kncr1.300=

Donde: f es la máxima flecha en cm K es un coeficiente que tiene en cuenta el tipo de vínculo y vale: 1 libremente apoyado

1,3 ambos extremos empotrados 0,9 en voladizo

Se considera aceptable que el ncr se halle al menos un 20% por encima del número de revoluciones de la pieza. Cuando la pieza no está en forma horizontal se determina ncr como si estuviese en ésta posición.

(Manual del constructor de máquinas, DUBBEL, t I y II)

30

Tabla Flecha 1



31

Tabla flecha 2

32

CONSIDERACIONES DE DISEÑO

Igualdad de resistencia En el diseño se debe buscar que el elemento de máquina tenga igual resistencia en todas sus secciones. La figura muestra un árbol que posee un engranaje de dientes rectos, que ha sido colocado desde el extremo derecho con interferencia suave haciendo tope en un seguro seguer, para evitar el giro relativo se ha optado por una chaveta.

Al cargar el árbol el sólido de igual resistencia a la flexión (mismas tensiones máximas en todas las secciones) tiene el perfil de una parábola cúbica (línea de trazos). La construcción en éste caso NO es de igual resistencia , siendo muy probable que se produzca la rotura de la pieza. La parábola de igual resistencia (en el sector cónico del árbol y en la base del cilin-dro) sale fuera de los límites del contorno de la pieza. Estas secciones son más débi-les comparándolas con las demás. En la construcción racional, la parábola debe ser interior al perfil de la pieza.

En éste otro caso se tiene un árbol que transmite movimiento entre dos engranajes, esto indica que la zona del árbol entre ambos está sometida a flexo -torsión y la derecha sólo a flexión. El engranaje derecho se ha montado con ajuste deslizan-te, utilizando una chaveta para evitar el giro relativo y está posicionado en el árbol mediante dos seguros seguer, el iz-quierdo con ajuste con apriete suave y chaveta.

En éste diseño la sección del árbol se ha elegido de acuerdo a la máxima tensión combinada, sin contar con que ésta disminuye hacia el apoyo derecho, ya que no existe torsión.

Ahora se ha tenido en cuenta que a la derecha los esfuerzos por flexión van disminuyendo. Está construcción permite colocar un rodamiento de menor tamaño.

Libertad de las deformaciones térmicas / errores de ejecución

Si un dispositivo por razones de funcionamiento puede levantar temperatura, en el conjunto surgirá holgura o apriete que pueden producir el empotramiento de los rodamientos, con la consecuente falla prematura.

Se han colocado fijos los dos rodamientos, la pista ext e-rior entre un tope en el cuerpo y un seguro seguer, la pista interior se ha colocado sobre un respaldo en el árbol y se ha ajustado mediante una tuerca. No es un diseño aconsejado.

En este diseño el montaje izquierdo no se ha modificado, en el derecho se ha profundizado el tope en el cuerpo y se ha elimina-do el seguro seguer, permitiendo el desplazamiento del conjunto.

Los errores inevitables de la ejecución de las dimensiones axiales de la unión, a su vez pueden provocar también la aparición de estos efectos. Para tales situaciones se tiene un diseño equivocado si se fija axialmente en forma simultánea un árbol en ambos rodamientos.



33

Análisis del diseño

Cuando se efectúa el diseño de algún mecanismo hay que hacerlo con un adecuado criterio de ingeniería, al costo más bajo, que brinde una seguridad adecuada, lo más sencillo posible, o sea de la manera más racional. Es importante analizar adecuadamente la forma de la pieza y el montaje, ya que a veces efectuando alguna modificación, siempre que sea posible, se puede disminuir la solicitación sobre una pieza y en consecuencia bajar sus dimensiones y/o su costo.

Considérense los siguientes ejemplos

Las figuras muestran un engranaje intermediario, que sólo está ejercien-do una carga en sentido perpendicular al eje. En el diseño de la izquierda el eje gira sobre bujes montados en la estruc-tura, en consecuencia está sometido a un esfuerzo de flexión alternativa que origina un esfuerzo de fatiga. En cambio si al engranaje se lo coloca sobre bujes y se lo hace girar sobre el eje, sólo se generará flexión de igual sentido, en consecuencia desparece el esfuerzo de fatiga, con las ventajas que ello implica.

El siguiente caso esquematiza una sección de un árbol hueco. A la izquierda el diseño no fue muy bien analizado, ya que existen dos concentradores (escalón exterior y rebaje interior) dispuestos en la misma sección, en consecuencia los cam-pos de tensiones creados por cada uno se suman.

Además la disminución de la sección aumenta la tensión nominal. En la modificación realizada los concentradores se han dispuesto en distintas secciones, esto aumenta la resistencia a la fatiga y disminu-ye la tensión nominal (ya que aumenta la sección resistente)

Comparación entre un elemento macizo y uno hueco

Puede darse la situación de tener que decidir entre utilizar un perfil redondo macizo o hueco, donde la relación de diáme-tros d/D es λ, sometido a flexión simple. Una idea a tener en cuenta es la variación que existe en función de la relación λ de la resistencia mecánica y del peso de la pieza, dado que sirve para determinar cual es la relación óptima a utilizar. El módulo resistente a la flexión vale para el hueco W = (D4 - d4) π / 32 D, como d = λ D se llega a que • hueco W = 0,1 D3 ( 1 - λ4 ) • macizo Wo = 0,1 D3

En consecuencia:

la resistencia relativa entre ambos perfiles será

W/Wo = ( 1 - λ4 )

y el peso relativo G/Go = ( 1 - λ2 )

En la figura adjunta se han grafica-do estas dos relaciones.

VARIACION DEL MODULO DE RESISTENCIA A LA FLEXION YDEL PESO EN CILINDROS EN FUNCION DE LA RELACION λ

00,10,20,30,40,50,60,70,80,9

1

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

λ = d/D

W/W

o G

/Go

W/Wo G/Go

Se observa que: Los agujeros pequeños d < 0,2 D, prácticamente no ejercen influencia ni en la resistencia ni en el peso. Para d = 0,5D el peso disminuye un 25% y la resistencia sólo un 6,25%

Por éste motivo se adopta para piezas cilíndricas huecas la relación λ = 0,5, obteniendo grandes ventajas en el ahorro de material y peso sin que disminuya sustancialmente su resistencia.

34

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Nº Carga Corte Sep. Largo Mf Mf. Acum. Diám E x I Mf / E I Mf 1/2 Pendiente

Pen. media

Aum. def.

Cte x sep.

Fle-cha

1 0

2

3

4

5

6 Suma

entre

apoyos

Constante de integración = - (Suma aumento de deformación entre apoyos / distancia entre apoyos )

indica las celdas donde se deben ingresar datos

PASOS A SEGUIR

1) Dividir todo el eje en secciones (mínimo donde cambie el diámetro y/o haya una carga)

2) en la columna 1 numerar todas las secciones renglón por medio

3) en la columna 2 anotar las fuerzas en la sección correspondiente, considerándolas positivas si el sentido es hacia arriba

4) en la columna 4 anotar la separación entre una sección y la que la antecede

5) en la columna 8 colocar el valor del diámetro en la separación establecida, o sea entre dos secciones consecutivas

6) Calcular la constante de cómo la suma de los valores de la columna 14 entre apoyos, cambiarle el signo y dividirla por la distancia entre ellos.

7) columna 15 en el mismo renglón del diámetro de la sección analizada se coloca el producto de la cte. de integración y la distancia entre secciones

8) en la columna 16 colocar la suma de la columna 14 + columna 15 + flecha anterior. En apoyos poner deformación 0.

Comenzando por voladizo cambiar signo de columna 14 y columna 15 para las secciones a la izquierda del soporte izquierdo.

Porque el origen de coordenadas estará a la izquierda del soporte izquierdo, cambiándose la dirección de la integración para estas secciones.

arboles y ejes

Documents