ejercicios de ajuste de curvas e interpolacion sistemas
TRANSCRIPT
AJUSTE DE CURVAS
1. Utilize la regresión por mínimos cuadrados para ajustar una línea recta a:
X 0 2 4 6 9 11 12 15 17 19 y 5 6 7 6 9 8 7 10 12 12
a) Haga una grafica de los datos y la línea de regresión.
b) Repita el problema pero ahora efectué la regresión de x vs y , es decir cambie las variables
e interprete los resultados. (utilize sus conocimientos de Estadistica para calcular un
coeficiente de correlacion).
2. Use la regresión por minimos cuadrados para ajustar una línea recta a :
X 6 7 11 15 17 21 23 29 29 37 39 y 29 21 29 14 21 15 7 7 13 0 3 a)Haga una grafica de los datos y la línea de regresión. b)¿Si otra persona hiciera una medición adicional de x=10 ,y=10 m , usted pensaría con base en una evaluación visual que la medición era válida o invalida ?
3. Ajuste los siguientes datos a: a) Un modelo lineal b) Un modelo de potencias y c ) una parábola.
En cada caso elabore una grafica. ¿Cuál es el mejor ajuste para este conjunto de datos?
X 0.75 2 3 4 6 8 8.5
y 1.2 1.95 2 2.4 2.4 2.7 2.6
4. Ajuste los datos siguientes con el modelo potencial by ax , use la ecuación de potencias
resultante para hacer el pronóstico de “y”, en x=9.
X 2.5 3.5 5 6 7.5 10 12.5 15 17.5 20
y 13 11 8.5 8.2 7 6.2 5.2 4.8 4.6 4.3
5. Ajuste a un modelo exponencial a:
X 0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.3
y 800 975 1500 1950 2900 3600 Grafique el modelo en escala logarítmica y semilogaritmica
6. En vez de usar el modelo exponencial de base “e” , una alternativa común consiste en usar un
modelo de base 10: 5510
xy
Cuando se usa para ajustar curvas, esta ecuación lleva a resultados idéntico que los de la
versión con base “e”, pero el valor del parámetro del exponente : 5 , difiere del estimado con
el modelo exponencial. Use la versión con base “10” para resolver el problema anterior,
además , desarrolle una formulación para relacionar el exponente del modelo exponencial y el
valor 5 del modelo con base 10.
7. Mediante transformaciones, linealizar: 44 . .
xy x e
y usarlo para estimar los parámetros
4 4, , con base en los datos siguientes. Elabore una grafica del ajuste junto con los datos:
X 0.1 0.2 0.4 0.6 0.9 1.3 1.5 1.7 1.8
y 0.75 1.25 1.45 1.25 0.85 0.55 0.35 0.28 0.18 8. Un investigador reporta los datos tabulados a continuación, de un experimento para
determinar la tasa de crecimiento de bacterias “k” (per d), como función de la concentración
de oxigeno c (mg/L). Se sabe que dichos datos pueden modelarse por medio de la ecuación
siguiente:
2max
2
.k ck
Cs c
, donde max,Cs k son parámetros. Use una transformación para linealizar esta
ecuación. Después utilize una regresión lineal para estimar sus parámetros y pronostique la
tasa de crecimiento para c=2mg/L.
c 0.5 0.8 1.5 2.5 4
k 1.1 2.4 5.3 7.6 8.9 9. Ajuste una ecuación cubica a los siguientes datos:
X 3 4 5 7 8 9 11 12 y 1.6 3.6 4.4 3.4 2.2 2.8 3.8 4.6
10. Una extensión útil de la regresión lineal es el caso en el que “y” es una función lineal de dos o
mas variables independientes. Por ejemplo : 20 1 2y a a x a x e (en este caso la línea de
regresión , se transforma en un plano), donde “e” es el error. a) Use el error cuadrático medio para hallar las ecuaciones normales. b)Para las siguientes tablas de datos, ajustarlos mediante una regresión lineal múltiple: b1)
b2)
11.
Se hace la prueba aun material para estudiar la falla por fatiga cíclica, en la que se aplica un
esfuerzo, en MPa, al material y se mide el número de ciclos que se necesita para hacer que
falle. Los resultados se presentan en la siguiente tabla. Al hacerse una grafica log-log, del
esfuerzo versus los ciclos, la tendencia de los datos presenta una relación lineal. Use una
regresión por minimos cuadrados para determinar la ecuación de mejor ajuste para dichos
datos.
X1 0 1 1 2 2 3 3 4 4
X2 0 1 2 1 2 1 2 1 2
y 15.1 17.9 12.7 25.6 20.5 35.1 29.7 45.4 40.2
X1 0 0 1 2 0 1 2 2 1
X2 0 2 2 4 4 6 6 2 1
y 14 21 11 12 23 23 14 6 11
N,ciclos 1 10 100 1000 10000 100000 1000000
Esfuerzo, MPa
1100 1000 925 800 625 550 420
12. Los datos siguientes muestran una relación entre la viscosidad del aceite SAE 70 y su
temperatura. Después de obtener el logaritmo de los datos, use regresión lineal para
encontrar la ecuación de la recta que se ajuste mejor a los datos.
13. Luego de una tormenta se vigila la concentración de la bacteria E. Coli en un área de natación.
El tiempo se mide en horas transcurridas después de finalizar la tormenta y la unidad CFU es
una unidad de formación de colonia. Use los datos para estimar la concentración al final de la
tormenta (t=0) y el tiempo en el que la concentración alcanzará 200 CFU/100mL. Observe que
la elección del modelo debe ser consistente con el hecho de que las concentraciones negativas
son imposibles y de que la concentración de bacterias siempre disminuye con el tiempo.
14. Un objeto se suspende en un túnel de viento y se mide la fuerza para varios niveles de
velocidad del viento. A continuación están tabulados los resultados. Use la regresión por
mínimos cuadrados para ajustar :
a) Una línea recta b) una ecuación de potencias basada en transformaciones logarítmicas
15. En los modelos de crecimiento poblacional es importante la hipótesis de que la razón de
cambio de la población (dp/dt) es proporcional a la población existente (p) en cualquier tiempo
(t), o en forma de ecuación: dp
kpdt
donde k=factor de proporcionalidad conocido como velocidad de crecimiento especifico y tiene
unidades de tiempo-1. Si “k” es una constante , entonces la solución de la ecuación diferencial
es: 0( ) ktp t p e , donde p0 es la población cuando t=0.
Sin embargo, p(t), se aproxima al infinito conforme “t” crece, lo cual es irreal. Por tanto, se
debe reconocer que la velocidad de crecimiento especifico “k” no puede ser constante (a
medida que “t” crece al infinito , existirán limitación de recursos y producción de deshechos
tóxicos). Expresando esto mediante un modelo de velocidad de crecimiento de saturación tal
que:
Temperatura, °C
26.67 93.33 148.89 315.56
Velocidad, 2. . /N s m
1.35 0.085 0.012 0.00075
t(horas) 4 8 12 16 20 24
c(CFU/100mL) 1590 1320 1000 900 650 560
V (m/s) 10 20 30 40 50 60 70 80
F(Newtons) 25 70 380 550 610 1220 830 1450
max .f
k kK f
donde Kmax, es la velocidad de crecimiento máximo obtenible para valores grandes de
alimento (f), y K=constante de saturación media. Se muestra que cuando f=K, k=kmax/2, por
tanto K es la cantidad de alimento disponible que permite una velocidad de crecimiento
poblacional igual a la mitad de la velocidad máxima. Las constantes K y Kmax son valores
empíricos obtenidos de mediciones experimentales de “k” para diferentes valores de “f”. Si se
quiere calcular Kmax y “K” , a partir de estos datos empíricos. Esto se logrará invirtiendo:
max max max
1 1 1.
K f K
K K f K f K
, con lo cual se linealiza “k” y puede ser posible determinar
“Kmax” y “K” , para luego poder ser reemplazado en la ecuación inicial : maxK fdpp
dt K f
.
Dadas los diferentes valores de f y k , haga un ajuste del modelo de velocidad de crecimiento
de saturación para una levadura empleada en la producción comercial de cerveza y elabore una
grafica.
16. Usted lleva a cabo experimentos y determina los valores siguientes de capacidad calorífica “c”
a distintas temperaturas T para un gas:
Use regresión para determinar un modelo para predecir “c” como función de T.
17. El esfuerzo a la tensión de plástico se incrementa como función del tiempo que recibe
tratamiento en base de calor. Se obtuvieron los datos siguientes:
a) Ajuste una línea recta a estos datos y utilice la ecuación para determinar el esfuerzo a la
tensión en un tiempo de 32 min.
b) Repita el análisis para una recta con intersección en el origen.
18. El volumen específico de un vapor sobrecalentado se presenta en la tabla de vapor para
distintas temperaturas. Por ejemplo, a una presión absoluta de 3000 lb/pulg2.
f 7 9 15 25 40 75 100 150
k 0.29 0.37 0.48 0.65 0.8 0.97 0.99 1.07
T -50 -30 0 60 90 100
c 1270 1280 1350 1480 1580 1700
Tiempo 10 15 20 25 40 50 55 60 75
Esfuerzo a la tension
5 20 18 40 33 54 70 60 78
T, °F 700 720 740 760 780
V,pies3/lb 0.0977 0.12184 0.14060 0.15509 0.16643
Determine v, con T=750°F.
19. En la enfermedad de Alzheimer , el numero de neuronas en la corteza disminuye conforme la
enfermedad avanza. Los datos siguientes se tomaron para determinar el número de receptores
neurotransmisores que quedan en un cerebro enfermo. Se incubaron neurotransmisores libres
( [F]) con tejido, y se midió, la concentración que limita específicamente a un receptor( [B]).
Cuando la cubierta es especifica de un receptor, la concentración límite se relaciona con la
concentración libre por medio de la relación siguiente: max [ ][ ]
[ ]
B FB
K F
.
Con el uso de los datos siguientes, determine los parámetros que minimizan la suma de los
cuadrados de los residuos.
20. Se tomaron los datos siguientes del tanque de un reactor de agitación para la reacción:
A B . Use los datos para hacer las estimaciones mejores posibles para 01 1,k E , para el
modelo cinético siguiente: 1
01
EA
RTdA
k edt
, donde R: es la constante de los gases y es igual
a 0.00198 Kcal/mol/K.
21. Emplee el conjunto siguiente de datos de presión –volumen para encontrar las mejores
constantes viriales posibles (A1y A2) para la ecuación de estado que se muestra a continuación.
R=82.05ml atm/gmol K y T=303 K.
1 2
21
A APV
RT V V
22. A continuación se presenta datos de la vasija de un reactor de crecimiento bacterial (una vez
que termino la fase de retraso ). Se permite que las bacterias crezcan tan rápido como sea
posible durante las primeras 2.5 horas, y después se les induce a producir una proteína
recombinante, la cual disminuye el crecimiento bacterial en forma significativa. El crecimiento
teórico de las bacterias se escribe por medio de: dX
Xdt
donde X, es el numero de bacterias, y , es la tasa de crecimiento especifico de las bacterias
durante el crecimiento exponencial. Con base en los datos, estime la tasa de crecimiento
específico de las bacterias durante las primeras 2 horas de crecimiento, asi como durante las
siguientes 4 horas de crecimiento.
[F],nM 0.1 0.5 1 5 10 20 50
[B],nM 10.57 36.61 52.93 82.65 89.46 94.35 101.00
-dA/dt (moles/L/s)
400 960 2485 1600 1245
A(moles/L) 200 150 50 20 10
T(K) 280 320 450 500 550
P (atm) 0.985 1.108 1.363 1.631
V (ml) 25000 22200 18000 15000
23. El peso molecular de un polímero se determina a partir de su viscosidad por medio de la
relación siguiente: [ ] avKM
donde [ ] es la viscosidad intrínseca del polímero, vM , es la viscosidad promediada del peso
molecular, y K y “a” son constantes especificas del polímero. La viscosidad intrínseca se
determina en forma experimental por medio de determinar el tiempo de flujo, o el tiempo que
toma a la solución polimérica fluir entre dos líneas grabadas en un viscosímetro capilar, a
distintas concentraciones de polímero diluido, y se extrapola para una dilución infinita. La
grafica de: 0
1t
tversus c
c
debe generar una línea recta , con intersección en el eje e igual a [ ] . La concentración de la
solución polimérica es “c” , t es el tiempo de flujo de la solución polimérica y 0t es el tiempo de
flujo del solvente sin polímero. Con el uso de los siguientes datos de tiempo de flujo para
disoluciones diluidas de poliestireno en metil etil acetona a 25°C y las constantes K=3.9x10-4 y
a=0.58 , encuentre el peso molecular de la muestra de poliestireno.
Concentracion del polímero , g/dL
Tiempo de flujo, s
0 (solvente puro) 83
0.04 89
0.06 95
0.08 104
0.10 114
0.12 126
0.14 139
0.16 155
0.20 191
24. En promedio el área superficial A de los seres humanos se relaciona con el peso W y la
estatura H. En la tabla siguiente se presentan los valores de A que se obtuvo con mediciones
de cierto número de individuos:
H(cm) 182 180 179 187 189 194 195 193 200
W (kg) 74 88 94 78 84 98 76 86 96
A(m2) 1.92 2.11 2.15 2.02 2.09 2.31 2.02 2.16 2.31
Desarrolle una ecuación para pronosticar el área como función de la estatura y el peso. Úsela para
estimar el área superficial de una persona de 187 cm y 78 kg.
Tiempo (h) 0 1 2 3 4 5 6
Celulas, g/L 0.100 0.332 1.102 1.644 2.453 3.660 5.460
25. Determine una ecuación para predecir la tasa del metabolismo como función de la masa con
base en los datos siguientes:
Animal Masa , Kg Metabolismo, watts
Vaca 400 270
Humano 70 82
Oveja 45 50
Gallina 2 4.8
Rata 0.3 1.45
Paloma 0.16 0.97
26. El tejido suave sigue un comportamiento exponencial ante la deformación por tensión uniaxial,
mientras este en el rango fisiológico o normal de elongación. Esto se expresa como:
0 1aEe
a
, donde 0: , : , ,esfuerzo tension E a son constantes del material que se
determinan en forma experimental. Para evaluar las dos constantes del material, la ecuación
anterior se diferencia con respecto a “ ” . El uso de la ecuación establece la relación
fundamental para el tejido suave: 0
dE a
d
.
Para evaluar E0 y a, se grafican los datos de esfuerzo-tensión como /d d versus , y la
intersección y la pendiente de esta grafica son las dos constantes del material,
respectivamente.
En la tabla siguiente se muestran datos de esfuerzo-tensión para los tendones cordados del
corazón (tendones pequeños que se usan para mantener cerradas las válvulas del corazón
durante la contracción del musculo cardiaco, estos datos son para tejido que se carga, mientras
que la descarga produce curvas diferentes).
3,10
N/m2
87.8 96.6 176 263 351 571 834 1229 1624 2107 2678 3380 4258
3,10 /m m
153 204 255 306 357 408 459 510 561 612 663 714 765
Calcule la derivada /d d con el uso de diferencias finitas. Grafique los datos y elimine los
puntos de los datos cerca de los ceros que parezcan no seguir la relación de línea recta. El error
en dichos datos proviene de la incapacidad de los instrumentos para leer los valores pequeños
en esta región. Ejecute un análisis de regresión de los datos restantes a fin de determinar los
valores de E0 y a.
Grafique los puntos del esfuerzo versus los de tensión junto con la curva analítica expresada
por la primera ecuación . Esto indicará que tan bien la curva analítica concuerda con los datos.
Muchas veces esto no funciona bien debido a que el valor de E0 es difícil de evaluar con esta
técnica. Para resolver este problema, no se utiliza E0 . Se selecciona un punto de los datos
, a la mitad del rango de análisis de regresión. Dichos valores se sustituyen en la primera
ecuación y se determina un valor de E0/a , el cual se sustituye en la primera ecuación , que se
convierte en:
11
a
ae
e
Con este enfoque, los datos experimentales que están bien definidos producirán una buena
coincidencia de los puntos de los datos con la curva analítica. Use esta nueva relación y
grafique otra vez los datos del esfuerzo versus los de tensión, y esta curva analítica nueva.
27.El espesor de la retina cambia durante ciertas enfermedades oculares. Una forma de medir
dicho espesor es proyectar un laser de energía muy baja hacia la retina y grabar las reflexiones
en una película. Debido a alas propiedades ópticas del ojo, las reflexiones de la superficie
frontal y traser de la retina aparecerán en la película como dos líneas separadas por cierta
distancia.
Esta distancia es proporcional al espesor de la retina. Los datos siguientes se tomaron de una
película grabada. Ajuste a los datos dos curvas con forma gaussiana de altura y ubicación
arbitrarias y determine la distancia entre los centros de los dos picos. Una curva gaussiana
tiene la forma:
2 2( )
( )k x ake
f x
Posición Intensidad De luz
Posición Intensidad De Luz
Posición Intensidad De Luz
Posición Intensidad de luz
0.17 5.10 0.24 31.63 0.31 25.31 0.38 5.15
0.18 5.10 0.25 26.51 0.32 23.79 0.39 5.10
0.19 5.20 0.26 16.68 0.33 18.44 0.40 5.10
0.20 5.87 0.27 10.80 0.34 12.45 0.41 5.09
0.21 8.72 0.28 11.26 0.35 8.22 0.42 5.09
0.22 16.04 0.29 16.05 0.36 6.12 0.43 5.09
0.23 26.35 0.3 21.96 0.37 5.35 0.44 5.09
28. Se realizo un estudio de ingeniería de transporte para determinar el diseño apropiado de
pistas para bicicletas. Se recabaron datos del ancho de las pistas y la distancia promedio entre
las bicicletas y los autos en circulación. Los datos de 9 calles son:
Distancia,m 2.4 1.5 2.4 1.8 1.8 2.9 1.2 3 1.2
Ancho de pista,m
2.9 2.1 2.3 2.1 1.8 2.7 1.5 2.9 1.5
a) Grafique los datos
b) Ajuste una línea recta a los datos con regresión lineal. Agregue esta línea a la grafica
anterior.
c) Si se considera que la distancia promedio mínima de seguridad entre las bicicletas y los
autos en circulación es de 2m, determine el ancho de pista mínimo correspondiente.
29. En ingeniería de recursos hidráulicos, el tamaño de los almacenamientos depende de
estimaciones exactas del flujo de agua en el rio que se a va captar. Para ciertos ríos es difícil
obtener registros históricos extensos de dichos datos de flujo. Por el contrario, es frecuente
que se disponga de datos meteorológicos sobre la precipitación que se extienden mucho hacia
el pasado. Por tanto, con frecuencia resulta útil determinar una relación entre el flujo y la
precipitación. Entonces, esta relación se usa pare estimar los flujos durante los años en que
solo se dispone de medidas pluviales. Se dispone de los datos siguientes para un rio que a
represarse:
Precipitación, cm
88.9 108.5 104.1 139.7 127 94 116.8 99.1
Flujo, m3/s 14.6 16.7 15.3 23.2 19.5 16.1 18.1 16.6
a) Grafique los datos
b) Ajuste una línea recta a los datos por medio de regresión lineal. Sobreponga esta línea a su
grafica.
c) Use la línea de mejor ajuste para predecir el flujo anual de agua si la precipitación es de
120cm.
d) Si el área de drenaje es de 1100km2, estime la fracción de la precipitación que se pierde a
través de procesos como la evaporación , infiltración y uso consuntivo.
30. La concentración del fosforo total (“p” en mg/m3) y clorofila “a” (“c” en mg/m3) para cada una
serie de lagos en el año 1970, fue:
Lago P (fosforo) C (clorofila)
A 4.5 0.8
B 8.0 2.0
C 5.5 1.2
D 39.0 11.0
E 19.5 4.4
F 17.5 3.8
G 21.0 5.5
La concentración de clorofila “a” indica cuanta vida vegetal se encuentra en suspensión en el
agua. Al ser así, indica la claridad y visibilidad del agua. Use los datos anteriores para
determinar la relación de “c” como función de “p”. Emplee la ecuación para predecir el nivel
de clorofila que puede esperarse si se usa el tratamiento del agua para abatir a 10 mg/m3la
concentracion de fosforo del lago D.
31. El mástil de un velero tiene un area de sección transversal de 10.65 cm2y esta construido de
una aleación experimental de aluminio. Se llevaron a cabo pruebas para definir la relación
entre el esfuerzo y la tensión. Los resultados de las pruebas fueron los que siguen:
Tension, cm/cm
0.0032 0.0045 0.0055 0.0016 0.0085 0.0005
Esfuerzo, N/cm2
4970 5170 5500 3590 6900 1240
Los esfuerzos ocasionados por el viento se calculan como F/Ac donde F=fuerza en el mástil, Ac
=área de la sección transversal del mástil . Después, este valor se sustituye en la ley de Hooke
para determinarla deflexión del mástil, L : tensionxL, donde L= longitud del mástil. Si la
fuerza del viento es de 25000 N, use los datos para estimar la deflexión de un mástil de 9m.
32. Las reacciones enzimáticas se usan mucho para caracterizar reacciones mediadas
biológicamente. A continuación se dan expresiones de tasas propuestas para una reacción
enzimática, donde [S] es la concentracion del sustrato y v0 es la tasa inicial de la reacción. ¿Qué
formula se ajusta mejor a los datos experimentales?
2 3
0 0 0 02 3
[ ] [ ] [ ][ ] , , ,
[ ] [ ] [ ]
k S k S k Sv k S v v v
K S K S K S
[s],M Tasa inicial, 10-6 M/s
0.01 6.3636x10-5
0.05 7.9520x10-3
0.1 6.3472x10-2
0.5 6.0049
1 17.690
5 24.425
10 24.491
50 24.500
100 24.500
33. Se mide la mide la caída de voltaje V a través de un resistor para cierto número de valores
distintos de corriente “i” . Los resultados son:
i 0.25 0.75 1.25 1.5 2.0
V -0.45 -0.6 0.70 1.88 6.0
Utilize interpolación de polinomios de primero a cuarto orden para estimar la caída de voltaje
para i=1.15. Interprete los resultados.
34. Se mide con gran precisión la corriente en un conductor como función del tiempo:
t 0 0.1250 0.2500 0.3750 0.500
I 0 6.24 7.75 4.85 0.000
Determine el valor de “i” en t=0.23.
35. Se sabe que la caída de voltaje a través de un inductor sigue la ley de Faraday: L
div L
dt ,
donde Lv , es la caída de voltaje (en volts), L es la inductancia (en henrios), i es la corriente (en
amperes). Emplee los datos siguientes para estimar L:
di/dt (A/s) 1 2 4 6 8 10
Vt (V) 5.5 12.5 17.5 32 38 49
¿Cuál es el significado, si hubiera alguno, de la intersección de la ecuación de regresión que se
obtiene con estos datos?
36. La ley de Ohm establece que la caída de voltaje V a través de un resistor ideal es linealmente
proporcional a la corriente “i” que fluye a través de un resistor , como en V=iR, donde R es la
resistencia. Sin embargo, los resistores reales no siempre obedecen a la ley de Ohm. Suponga
usted que lleva a cabo algunos experimentos muy precisos para medir la caída de voltaje y la
corriente correspondiente para un resistor. Los resultados se enlistan en la tabla siguiente y
sugieren una relación curvilínea más que la línea recta que representa la ley de Ohm. A fin de
cuantificar dicha relación debe ajustarse una curva a los datos. Debido al error en la medición,
es común que la regresión sea el método preferido de ajuste de curvas para analizar dichos
datos experimentales. Sin embargo, la suavidad de la relación, asa como la precisión de los
métodos experimentales, sugieren que quizá sería apropiada la interpolación. Use la
interpolación de polinomios de Newton para ajustar loas datos y calcular V para i=0.1 ¿Cuál es
el orden del polinomio que se uso para generar los datos?
i -2 -1 -0.5 0.5 1 2
V -637 -96.5 -20.5 20.5 96.5 637
37. Es frecuente que en los análisis avanzados de ingeniería surjan funciones de Bessel, como en
el estudio de campos eléctricos. Dichas funciones por lo general no son susceptibles de
evaluarse en forma directa y por ello, no es raro que estén compiladas en tablas matemáticas
estándar. Por ejemplo:
X 1.8 2 2.2 2.4 2.6
J1(x) 0.5815 0.5767 0.556 0.5202 0.4708
Estimar J1(2.1) a) Con polinomios de interpolación b) Con splines cúbicos
38. La población (p) de una comunidad pequeña en los suburbios de una ciudad crece con rapidez
durante un periodo de 20 años:
t 0 5 10 15 20
p 100 200 450 950 2000
Como ingeniero , se le pide pronosticar la población que habrá dentro de 2 años a fin de
anticipar la demanda de energía . Emplee un modelo exponencial y regresión lineal para
efectuar dicha predicción.
39. La Ley de Hooke , que se cumple cuando un resorte no se estira mas allá de cierto limite,
significa que la extensión de este resorte y la fuerza que se le aplica están relacionadas
linealmente. La proporcionalidad esta parametrizada por la constante K del resorte. Un valor
para dicho parámetro se establece en forma experimental con la colocación de pesos
conocidos en el resorte y la medición de la compresión que resulta. Tales datos aparecen en
la tabla inferior y están graficados. Observe que por arriba de un peso de 40x104N, la relación
lineal entre la fuerza y el desplazamiento desaparece. Esta clase de comportamiento es
común de lo que se denomina “resorte en deformación”. Emplee regresión lineal para
determinar un valor de “k” para la parte lineal de este sistema. Además, ajuste una relación
no lineal a la parte no lineal.
Desplazamiento,m 0.10 0.17 0.27 0.35 0.39 0.42 0.43 0.44 Fuerza, 104N 10 20 30 40 50 60 70 80
Ley de Hooke Comportamiento no
ideal: el resorte esta
“”endurecido”
Desplazamiento, m
Fuerza,
104 N
40. Repita el problema anterior, pero ajuste una curva de potencias a todos los datos de la
tabla. Comente sus resultados.
41. La distancia que se requiere para detener un auto consiste en componentes tanto de
pensamiento como de frenado, cada una de los cuales es función de velocidad. Se
recabaron los siguientes datos experimentales para cuantificar dicho relación. Desarrolle la
ecuación de mejor ajuste para ambos componentes, pensamiento y frenado. Utilize estas
ecuaciones para estimar la distancia total en que se detiene un auto que viaja a 110km/h.
Velocidad, km/h
30 45 60 75 90 120
Pensamiento,m 5.6 8.5 11.1 14.5 16.7 22.4
Frenado,m 5.0 12.3 21.0 32.9 47.6 84.7
42. Se realiza un experimento para definir la relación entre el esfuerzo aplicado y el tiempo
para que se fracture cierto tipo de acero inoxidable . Se aplican ocho valores distintos de
esfuerzo, y los datos resultantes son:
Esfuerzo, x, (k/mm2)
5 10 15 20 25 30 35 40
Tiempo para la fractura, y (h)
40 30 25 40 18 20 22 15
Grafique los datos y después desarrolle la ecuación de mejor ajuste para predecir el
tiempo de fractura para un esfuerzo aplicado de 20kg/mm2.
43. La aceleración de la gravedad a una altitud y por enciam de la superficie de la Tierra esta
dada por:
y,m 0 30000 60000 90000 120000
g, m/s2 9.81 9.7487 9.6879 9.6278 9.5682
Calcule “g” para y=55000m.
44. De un procedimiento de pruebas se obtuvieron la tasa de arrastre *
que es tasa de tiempo
a que aumenta la tensión, y de esfuerzos, los cuales se presentan a continuación. Con el uso
de una ley de curva de potencias para ajustar : *
mB
Encuentre el valor de B y m. Grafique sus resultados con el empleo de una escala log-log.
Tasa de arrastre, min-1
0.0004 0.0011 0.0021 0.0031
Esfuerzo, MPa 5.775 8.577 10.874 12.555
45. Al examinar el comportamiento viscoso de un fluido es práctica común graficar la tasa de
corte (gradiente de velocidad).
*d
dy
, en las abscisas versus el esfuerzo cortante , ,en las ordenadas.
Cuando un fluido muestra un comportamiento en línea recta entre esas dos variables, se
denomina fluido newtoniano, y la resultante es: *
.
Donde es la viscosidad del fluido. Muchos fluidos comunes siguen este comportamiento
como el agua, leche y aceite. Los fluidos que no se comportan de este manera se llaman
no newtonianos. Si se tienen tres tipos de fluidos no newtonianos:
-Para plásticos Bingham, hay un esfuerzo inducido y que debe superarse para que el
flujo comience: *
y (un ejemplo es la pasta dental).
- Para seudoplasticos, el esfuerzo cortante se eleva a la potencia: n (ejemplo de
estos son el yogurt y el champu).
Los datos siguientes muestran la relación entre el esfuerzo cortante y la tasa de tensión
cortante: *
y para un fluido plástico Bingham. El esfuerzo inducido y es la cantidad de esfuerzo
que debe superarse antes de que comience el flujo. Encuentre la viscosidad (pendiente), y ,
por medio de regresión.
Esfuerzo , 3.58 3.91 4.98 5.65 6.15
Tasa de tensión cortante, *
1 2 3 4 5
46. La relación entre esfuerzo y la tasa de tensión cortante *
para un fluido seudoplastico, puede
expresarse mediante: n . Los datos siguientes provienen de hidroxietilcelulosa en una
solución de agua. Con el empleo de un ajuste por ley de potencias, encuentre los valores de
y n.
Tasa de tensión cortante, *
50 70 90 110 130
Esfuerzo , 6.01 7.48 8.59 9.19 10.21
46. Se mide la velocidad “u” del aire que fluye a varias distancias “y” de una superficie plana .
Ajuste una curva a esos datos si se supone que la velocidad en la superficie es igual a cero
(y=0). Utilice su resultado para derterminar el esfuerzo cortante ( /du dy ) en la superficie
( 51.8 10x )
y, m 0.002 0.006 0.012 0.018 0.024
U, m/s 0.287 0.899 1.915 3.048 4.299
47. La ecuación de Andrade ha sido propuesta como modelo del efecto de la temperatura sobre la
viscosidad: /. B TaD e , donde =viscosidad dinámica del agua (10-3N.s/m2), Ta=temperatura
absoluta (k)y D ,B son parámetros . Ajuste este modelo a los datos del agua:
T 0 5 10 20 30 40 1.787 1.519 1.307 1.002 0.7975 0.6529
48. Para el conjunto de datos que se muestra , determine la curva de cada familia que mejor se le
ajuste en el sentido de los mínimos cuadrados:
a) ( ) Axf x C e b) ( ) Af x Cx c) Use E2(f) para determinar cuál de las curvas es la que mejor se
ajusta.
xk 1 2 3 4 5
yk 0.6 1.9 4.3 7.6 12.6
49. Para el conjunto de datos que se muestra, determine la curva de cada familia que mejor se le
ajuste en el sentido de los mínimos cuadrados:
a) ( ) Axf x C e b) ( ) 1 / ( )f x Ax B c) Use E2(f) para determinar cuál de las curvas es la que
mejor se ajusta.
xk -1 0 1 2 3
yk 6.62 3.94 2.17 1.35 0.89
50. Para el conjunto de datos que se muestra, determine la curva de cada familia que mejor se le
ajuste en el sentido de los mínimos cuadrados:
a) ( ) Axf x C e b) 2( ) ( )f x Ax B c) Use E2(f) para determinar cuál de las curvas es la que
mejor se ajusta.
51. Cuando una población P(t) no puede crecer mas alla de un cierto valor limite L. La grafica de la
función P(t) es una curva, llamada curva logística, de ecuación / (1 )Axy L Ce .Calcule A y C
para los siguientes datos , siendo L un valor conocido.(0,200), (1,400),(2,650), (3,850),(4,950),
L=1000.
52. Use los siguientes datos sobre la población de una país X, para hallar la curva logística P(t),
correspondiente y estime la población en el año 2000.
a) Suponga L=8x108
Año tk Pk
1800 -10 5.3
1850 -5 23.2
1900 0 76.1
1950 5 152.3
b) L=8x108
Año tk Pk
1900 0 76.1
1920 2 106.5
1940 4 132.6
1960 6 180.7
1980 8 226.5
53. Realice el cambio de variable indicado para linealizar las siguientes funciones:
a) A
y Bx
b) 1
yAx B
c) ln( )y A x B d) 2( )y Ax B e) D
yx C
f) Dxy Cxe
54.a) Deducir ecuaciones normales que permiten hallar la curva de la forma cos( ) sin( )y A x B x , que mejor se ajusta a un conjunto de datos en el sentido de mínimos
cuadrados. (use el error E2(f) y derivadas parciales . Investigue el método de Newton para sistemas no lineales)
b)Use los resultados del apartado (a) para hallar la curva de ecuación cos( ) sin( )y A x B x ,
que mejor se ajusta a los datos:
xk -3 -1.5 0.0 1.5 3.0
yk -0.1385 -2.1587 0.8330 2.2774 -0.5110
55. Deduzca las ecuaciones normales en el sentido de mínimos cuadrados de z Ax By C ,
que mejor se ajuste a un conjunto de N puntos (x1,y1,z1), (x2,y2,z2),…..,(xn,yn,zn) (usando el error
cuadrático medio y derivadas parciales igualadas a cero).
56. Determine los planos que mejor se ajusten a los siguientes conjuntos de datos en el sentido de
mínimos cuadrados:
a)(1,1,7),(1,2,9),(2,1,10),(2,2,11),(2,3,12) b)(1,2,6),(2,3,7),(1,1,8),(2,2,8),(2,1,9)
57. La relación, hora a hora, de temperaturas en Puerto Real (Cádiz) durante un día de noviembre
se da en la tabla que figura más abajo. Calcule la función de la forma cos( ) sin( )y A Bx C Dx
, que mejor se ajusta a los datos de la tabla siguiente en el sentido de mínimos cuadrados.
Dibuje los datos y la curva obtenida en una misma grafica y calcule E2(f).
Hora Grados Hora Grados
1 8 13 16
2 8 14 16
3 8 15 15
4 8 16 14
5 7 17 13
6 7 18 13
7 7 19 12
8 8 20 11
9 10 21 10
10 14 22 10
11 14 23 9
12 15 24 8
INTERPOLACION 59. Suponga que una relación funcional y=f(x) esta dada en forma tabular como:
X 0 0.25 0.50 0.75 1.00
Y 0.9162 0.8109 0.6931 0.5596 0.4055
Donde y(x) es una función monotonicamente decreciente de x. Encuentre los valores de
“x” que satisfacen y=0.9, 0.7, 0.6 ,0.5
60. A continuación damos la densidad del sodio a tres temperaturas.
i 1 2 3
Temperatura : Ti (ºC) 94 205 371
Densidad :di (kg/m3) 929 902 860
a)Escriba la interpolación de Lagrange que se ajusta a los tres puntos de datos
b) Obtenga la densidad para T=2510 mediante Lagrange.
61. Determine el polinomio en forma de serie de potencias que pasa por cada uno de los
siguientes conjuntos de datos:
a) (-1,1),(1,4)
b) (-2,2),(0,-1),(2,1)
c) (-1,-1),(0,2.5),(1,1),(2,-1)
d) (-1,-1),(0,0),(1,2),(2,5)
Usando : polinomio de Lagrange, Newton, métodos matriciales.
62. Es criba una formula de interpolación lineal que aproxime sen(x) en el intervalo
0 / 4x , usando los valores de x=0 y / 4x .
63. Sabiendo que max '' 0.3827f en 0 / 4x , prediga el error máximo posible de la
interpolación lineal determinada en el problema anterior
64. a)Escriba el polinomio y(x) en forma de serie de potencias ajustado a los siguientes puntos
de datos:
I 1 2 3 4
X 0 0.5 2.0 2.5
Y 1.21 1.32 1.05 0.97
b) Evalué la derivada en x=1.75
65. a)Escriba la interpolación de Lagrange que pasa a través de los siguientes puntos de
datos:
X 0 0.4 0.8 1.2
Y 1.0 1.491 2.225 3.320
b) Conociendo ''''(0.6) 1.822f estime el error en x=0.2, 0.6, 1.0
c) Dado el hecho de que la tabla de datos se obtuvo de ( ) xf x e , evalue el error de la
formula de interpolación en x=0.2,0.6,1.0 mediante: ( ) ( ) ( ) e ( )xe x f x g x g x
66. Ajuste . ( )x sen x en 0 / 2x , con el polinomio de interpolación de Lagrange de
orden 4, utilizando puntos equiespaciados. Calcule el error de cada formula de
interpolación en cada incremento de /16
67. Escriba la formula de interpolación de Lagrange ajustada a:
X 0.5 1.0 1.5 2.0
Y Y1 Y2 Y3 Y4
Donde yk son valores desconocidos. Escríbalo en serie de potencias y deduzca la primera
derivada del polinomio.
68. Aproxime: 2
1
1 2 3
xy
x x
en 0 5x mediante la interpolación de Lagrange de orden 4
y evalue según el error : ( ) ( )e x y g x . Proceda siguiendo los siguientes pasos: a)
Determine los puntos b) Escriba la interpolación de Lagrange c) Calcule el error por cada
incremento de 0.2 en “x”.
69. ¿Para que tipos de nodos el polinomio de interpolación de Lagrange reduce su error?
70. En una planta química se sintetiza un producto que es utilizado posteriormente como conservante de productos enlatados. El rendimiento del proceso depende de la temperatura. Se dispone de los siguientes datos:
71. Se considera un rendimiento óptimo el que va de 38.5 a 45, por lo que la planta
trabaja a 175◦C. Si la temperatura de trabajo cae a 162◦C por una avería, ¿será el proceso satisfactorio hasta que sea reparada?
72. El pentóxido de dinitrógeno gaseoso puro reacciona en un reactor intermitente según una reacción quimica. Se calcula la concentración de Pentoxido de dinitrogeno en
ciertos instantes, obteniendo los siguientes datos: Si lo
tenemos en el reactor un tiempo máximo de 35 minutos (2100 segundos), ¿cuál es la concentración de pentóxido de dinitrógeno que queda sin reaccionar?
73. Estime el logaritmo natural de 10 por medio de la interpolación lineal. Interpole entre log8= 0.9030900 y log12=1.0791812 Interpole ente log9=0.9542425 y log 11=1.0413927 Para cada una de las interpolaciones calcule el error relativo porcentual con base en el
valor de calculadora. 74. Ajuste un polinomio de interpolación de Newton de segundo orden para estimar el log10,
con los datos del problema anterior en x=8 , 9 y 11. Calcule el error relativo porcentual verdadero.
75. Ajuste un polinomio de interpolación de Newton de tercer orden para estimar log10 con los datos del problema 13.
T (º C) 150 160 170 180 190 200 210
R (%) 35.5 37.8 43.6 45.7 47.3 50.1 51.2
T (s) 0 200 400 650 1100 1900 2300
C 5.5 5.04 4.36 3.45 2.37 1.32 0.71
76. Estime el logaritmo 5 usando interpolación lineal a) interpole ente log 4=0.60206 y log 6=0.7781513 b) interpole entre log 4.5=0.6532125 y log 5.5 0.7403627 c) en cada una de las interpolaciones, calcule el error relativo porcentual con base en el
valor verdadero. Use interpolación de Lagrange 77. Ajuste un polinomio de interpolación de Newton de segundo grado para estimar log 5
usando los datos del problema 16. 78. Con los datos
x 1 2 2.5 3 4 5
F(x) 1 5 7 8 2 1
Calcule f(3.4) usando interpolación de Newton de grado 1 a 3 79. Desarrolle splines cuadráticas para los primeros 5 datos del problema 3 y prediga f(3.4 y f(2.2) 80. Desarrolle splines cúbicas para los siguientes datos: y
calcule f(4) y f(2.5) 81. Obtener el polinomio de lagrange de los siguientes datos:
X 1 2 3 4 5
F(X) 2.16794 1.81638 2.08982 2.32419 2.24607
F(X) 2.44137 1.48436 2.03122 1.93357 1.85545
F(X) 2.79293 2.85153 2.92965 2.87106 2.85153
F(X) 2.53903 2.7734 2.69528 2.75387 2.7734
82. Los termostatos se usan para medir la temperatura de los cuerpos. El principio de su funcionamiento se basa en el cambio de la Resistencia con la temperatura. Para medir su temperatura, los fabricantes proveen al instrumento de una curva de calibración de temperatura vs resistencia. Si se mide resistencia, puedes hallar la temperatura. Un fabricante de termostatos hace varias observaciones las que se resumen en la tabla:
R (ohm) 1101.0 911.3 636.0 451.1
T(°C) 25.113 30.131 40.120 50.128
Determinar la temperatura correspondiente a 754.8 ohms usando un polinomio de Lagrange de primer orden.
Evalué ahora lo mismo usando polinomios de interpolación de segundo y tercer orden. 83. La característica principal de una termoclina es el cambio repentino de la temperatura .
Damos a continuación la tabla para las termoclinas sobre un lago:
T (°C) 19.1 19.1 19 18.8 18.7 18.3 18.2 17.6 11.7 9.9 9.1
Z(m) 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10
donde Z, es la profundidad en metros a) Usando los datos dados, se nota que el cambio más notable en la temperatura es entre
z=-8 y z=-7. Determine el valor de la temperatura en z=-7.5 usando un polinomio de newton de primer orden
b) De Segundo orden c) De tercer orden , además si se sabe que la posición donde la termoclina existe esta dada
por : 02
2
dz
Td. Usando la expresión anterior, evalué el valor de la profundidad para la
cual la termoclina existe.
x 1 2 3 5 6
F(x) 4.75 4 5.25 19.75 36
84. Ayudado por la interpolación de Newton, halle el valor de “x” que corresponde a f(x)=0.85 para los datos tabulados:
X 0 1 2 3 4 5
f(x) 0 0.5 0.8 0.9 0.941176 0.961538
Observe que los valores de la tabla se generaron con la función 2 2( ) / (1 )f x x x
Calcule el valor verdadero y el error relativo porcentual. 85. Desarrolle splines cuadráticos y cúbicos para los datos:
X 1.6 2 2.5 3.2 4 4.5
f(x) 2 8 14 15 8 2
y pronostique f(3.4) y f(2.2) 86. Calcule la parábola que pasa por los tres últimos puntos de la tabla del ejercicio anterior a) Matricialmente b) Usando Lagrange, 87. Emplee la porción de la tabla de vapor que se da para el agua supercalentada a 200 MPa,
para: a) Encontrar la entropía correspondiente “s” para un volumen especifico “v” de 0.108 m3/kg con interpolación lineal b) Encontrar la misma entropía correspondiente al uso de interpolación cuadrática, c) Hallar el volumen correspondiente a una entropía de 6.6 con empleo de interpolación inversa.
V (m3/kg) 1.6 2 2.5
S (kl/kg.K) 6.4147 6.5453 6.7664
88. La velocidad de un tren viajando entre dos estaciones es medida a diferentes distancias desde la estacion inicial. Si la distancia “x” se mide en km, desde la estación inicial, la velocidad v(x), en km/h, para diferentes distancias “x” esta dada por la siguiente tabla:
x 0 50 100 150 200 250
v(x) 0 60 80 110 90 0
Encuentre la velocidad del tren en el punto medio entre las dos estaciones.
89. La tabla de valores dada a continuación, corresponde al valor de : 2
0
( )2
x
S x sen t dt
,
para diferentes valores de “x”:
x 0 0.04 0.08 0.12 0.16 0.20
v(x) 0 0.00003 0.00026 0.0009 0.00214 0.00419
Obtener un polinomio interpolante de Newton de grado 5 para S(x) , luego calcular S(2) y estimar su error.
90. Se dan a continuación los datos de temperatura (°C) entre las 8:00am y las 8:00pm del 23 de octubre del 2012 en una ciudad. Estimar la temperatura a las 5pm
Hora 8:00a.m 12:00m 4pm 8pm
Temperatura 30 37 43 38
91. El pago mensual por una hipoteca a 30 años de $100,000. para dos tasas de interés diferentes esta dado en la tabla siguiente. Use una interpolación lineal para estimar el pago mensual correspondiente a una tasa de interés 8.25% al año.
Tasa de interés anual ik 7% 10%
Pago mensual Ak=f(ik) $665.30 $877.57
92. Suponga que se dispone de dos datos adicionales sobre la tasa de interés y el pago mensual en el problema anterior. La nueva data , se resume en la tabla siguiente. Estimar el pago mensual para 8.25% anual usando una interpolación de segundo orden (use uno de los dos puntos adicionales para esto).
Tasa de interés anual ik
7% 10% 8% 9%
Pago mensual Ak=f(ik)
$665.30 $877.57 $733.76 $804.62
93. Los datos torque-velocidad para un motor eléctrico esta dado en las dos primeras columnas
de la tabla dada. Hallar el polinomio interpolante de Newton que pasa por los datos dados y estimar el torque a 1800 rpm
Velocidad ( ) rpm x 1000
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
Torque , Ti (Pies/lb)
31 28 24 14 2
94. La solución de la ecuación diferencial '( ) ( ) 1y t y t , (0) 0y , ( ) 1 ; 0ty t e t , sea T, el
tiempo requerido para alcanzar el valor A, donde 0 1A , ( )y T A , varios puntos de la
forma ( )y T A , se muestran en la tabla de la parte inferior. Generalmente se usan
polinomios de orden bajo para hallar un T para un valor dado de A:
T 0 0.1054 0.2231 0.3567 0.5108 0.6931 0.9163 1.2040 1.6094
A 0.00 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
Usando un polinomio de tercer orden adecuado evaluar f(0.45) (Considere la interpolación de newton donde A es variable independiente y T es variable dependiente)
95.Un servicio de tutorías lleva un registro de rendimiento de una prueba estandarizada y del número de días que los estudiantes asistir a sus clases de repaso. La mejora del desempeño “ Y” representa la mejora porcentual en los calificaciones de los estudiantes en las pruebas tomadas por segunda vez. X es el número de días de asistencia a la clase de repaso.
X :Dias de atención
X0 =1 X1 =2.5 X2=5 X3=6.5 X4=9
Y:% Mejora Y0=2 Y1=5 Y2=11 Y3=14 Y4=17
a) Graficar los puntos. b) Construir una tabla de diferencias divididas. c) Estimar f(4), el % de mejora en alguno de los puntajes luego de 4 días de asistencia a las clases de repaso, asumir que y = f(x) es una función que relaciona X y Y . Tome como base las diferencias divididas de tercer orden y el polinomio de Newton correspondiente f3(x). d) Graficar f3(x) sobre el grafico de la data. e) Estimar el erro en el valor interpolado de f(4). Use el punto extra, es decir, el no usado en la parte c) para obtener la respuesta. f) Repetir la parte e) con x = 0, y = 0 como punto adicional. Compare sus resultados de e) y f)
96.a) Referido a la interpolación con splines, considere el polinomio 2 3
0 1 2 3y a a x a x a x , pruebe que las condiciones S(1)=1 , S’(1)=0, S(2)=2, S’(2)=0 ,
producen el sistema de ecuaciones:
0 1 2 3
1 2 3
0 1 2 3
1 2 3
1
2 3 0
2 4 8 2
4 12 0
a a a a
a a a
a a a a
a a a
a) Resuelva el sistema del apartado (a) y dibuje el spline
97. Considere el polinomio 2 30 1 2 3y a a x a x a x , pruebe que las condiciones S(1)=3 ,
S’(1)=-4, S(2)=1, S’(2)=2 , producen el sistema de ecuaciones:
0 1 2 3
1 2 3
0 1 2 3
1 2 3
3
2 3 4
2 4 8 1
4 12 12
a a a a
a a a
a a a a
a a a
Resuelva el sistema y grafique la curva.
98. Determine el spline cubico sujeta a los puntos (3,-2), (-2,0),(1,3), (4,1) y verifica las
condiciones sobre la derivada primera en los extremos dadas por S’(-3)= -1, S’(4)=1.
99. Halle el spline cubico natural que pasa por los puntos (-3,2), (-2,0),(1,3) y (4,1) y
verifica las condiciones de frontera libre S’’(-3)=0 y S’’(4)=0.
101. Determine el spline cubico con terminación parabólica que pasa por los puntos (-3,2),
(-2,0), (1,3) ,(4,1).
16. Determine el spline cubico con curvatura dada en los extremos que pasa por los puntos
(-3,2), (-2,0), (1,3), (4,1) y verifica las condiciones sobre la derivada segunda en los
extremos dadas por S’’(-3)=-1 , y S’’(4)=2.
102. Halle el spline cubico sujeta a los puntos 3
0, ( )k k k
x f x
que están en la grafica de
2( ) ,f x x
x usando los nodos 0 1 / 2x , 1 1x , 2 3 / 2x , 3 2x . Utilice las condiciones de
frontera libre S’’(x0)=0 , S’’(x3)=0. Dibuje “f” y el spline cubico natural en un mismo
grafico.
103. a) Halle el spline cubico que pasa por los puntos que están en la grafica de 2( ) cos( )f x x , usando los nodos 0 1 2 30, / 2 , 3 / 2 , 5 / 2x x x x . Utilice las
condiciones sobre la derivada en los extremos dadas por S’(x0)=f ’(x0) , S’(x3)=f ’(x3).
Dibuje f y el spline cubica interpoladora en un mismo grafico.
b) Halle el spline cubico que pasa por los puntos que están en la grafica de 2( ) cos( )f x x ,
usando los nodos 0 1 2 30, / 2 , 3 / 2 , 5 / 2x x x x . Utilice las condiciones de
frontera libre S’’(x0)=0 , S’’(x3)=0. Dibuje f y el spline cubico en un mismo grafico.
104. Las distancias recorridas dk por un coche en los instantes tk se dan en la siguiente tabla.
Use las condiciones sobre la primera derivada dadas por S’(0)=0 y S’(8)=98 para
determinar el spline cubico que interpola estos puntos:
Tiempo, tk 0 2 4 6 8
Distancia, dk 0 40 160 300 480
105. La siguiente tabla contiene las coordenadas (x, y) de varios puntos a lo largo de la
catenaria mostrada en la figura siguiente. La variable “s” es la longitud del cable desde el
punto más bajo x = 0, y = 328 hasta el punto (x, y).
i Xi Yi Si
0 0 328.0 0
1 50 331.8 50.2
2 100 343.4 101.6
3 150 362.9 155.3
4 200 390.9 212.6
5 250 428.0 274.9
a) Graficar los puntos (xi, si), i = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
b) Halle el polinomio de interpolación de Newton de primer orden f1(x) usando solo los
puntos (x0, s0) y (x5, s5). Graficar la función lineal en el mismo grafico que la data.
c) Usar la función de interpolación f1(x) para estimar la longitud del cable requerida para
trazar una distancia horizontal de 150 pies desde el punto más bajo del cable (0,328).
d) Suponer que la función de relación entre s y x es s = f(x). Estimar el error verdadero
R1(150) = f(150) - f1(150) mediante el uso del punto adicional (200, 212.6).
e) Encontrar el polinomio interpolante de Newton de Segundo orden f2(x) usando los
puntos (x0, s0) y (x5, s5) y el punto adicional (x4, s4). Graficarlo sobre el grafico de f1(x) y la
data.
100 pies
f) La función verdadera f(x) es : sinhx
s cc
, graficar sobre el mismo grafico f1(x), f2(x)
y la data.
g) Calcular el error R1(150 ).
106. Referida a la misma tabla de datos usados en el problema anterior.
a) Graficar los puntos (yi, si), i = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
b) Hallar f1(y), el polinomio interpolante de Newton de primer orden usando los puntos
(y0, s0) y (y5, s5). Plotear la función lineal en el mismo grafico de la data.
c) Usar la función interpolante f1(y) para estimar la longitud del cable , con una longitud de
34.9 pies desde el punto más bajo del cable (0,328) .
d) Suponer que la función verdadera que relaciona s y y es: s = f(y). Estimar el error
verdadero R1(362.9 ) = f(362.9) - f1(362.9) usando el punto adicional (390.9, 212.6).
e) Hallar el polinomio interpolante de Segundo orden f2(x) usando los puntos (y0, s0), (y5,
s5) y el punto adicional (y4, s4). Graficarlo sobre la grafica de f1(y) y la data.
f) La función verdadera f(y) es 2 2328s y . Plotearla sobre el grafico de f1(y),
f2(y) y la data.
g) Calcular el error R1(362.9).
107.La región desde el nivel del mar hasta aproximadamente 36,000 pies se llama
“troposfera” donde la temperatura de la atmosfera standard varia linealmente con la altitud
a) Describa la verdadera variación T = T(h) si la temperatura en el nivel del mar (h= 0 pies)
es 518.69 R y 447.43 R a una altitud de 20,000 pies.
b) La presión del aire y la velocidad del sonido varían con la altitud en la troposfera. La
siguiente tabla contiene varios datos que reflejan la variación de estas cantidades con la
altitud.
Altitud : h (pies) Presion: p (psi) Velocidad sonido , v (pies/s)
0 14.7 1116.4
5000 12.2 1097.1
10000 10.1 1077.4
20000 6.76 1036.9
30000 4.37 994.85
36000 3.31 968.75
Se requiere un polinomio interpolante para estimar p para diferentes valores de la altitud.
Reordenar los puntos de la data si es necesario, y calcular el conjunto completo de
diferencias divididas.
Determinar el menor polinomio de interpolación de Newton de diferencias divididas fn(h)
adecuado para interpolar “p” . No escoger el polinomio completo de 5° orden, i.e. n < 5.
c) Graficar la data (hi, pi), i = 0,1,2,3,4,5 junto con el polinomio interpolante
p = fn(h) , donde 1 4n en el mismo grafico. d) Use fn(25,000) para estimar la presión atmosférica en la troposfera a una altitud de
25,000 pies , i.e. f(25,000) donde p = f(h) es la relación entre ambas.
e) Seleccionar algunos de los puntos de la tabla de datos, que no hayan sido usados para
hallar fn(h) y aplicarlo para estimar el error en fn(25,000).
f)La función verdadera que relaciona p (en psi) y h (en pies) es ( )
( ) (0)(0)
g
aRT hp f h p
T
donde g=constante gravitacional a nivel del mar (32.17 pies/s2)
R= constant de gas para el aire (1718 pies-lb/slug R)
a = Gradiente para la temperature atmosferica en la troposfera, i.e. pendiente de la
función lineal T = T(h)
p(0) = presion atmosferica a nivel del mar, psi
T(0) = Temperatura atmosferica a nivel del mar, R
Plotear la funcion p = f(h) para 0 36000h en el mismo grafico de los datos (hi, pi),
i = 0,1,2,3,4,5 y el polinomio interpolante p = fn(h), 1 4n
g) Calcular el error verdadero f(25,000) - fn(25,000).
108. Referido a la tabla de datos del problema anterior .
a) Se require un polinomio interpolante para estimar v sobre el rango complete de altitudes .
Reordenar el conjunto de datos si es necesario, calcular el conjunto complete de diferencias
divididas .
Determinar el polinomio de interpolacion de Newton de menor orden fn(h) mas adecuado
para interpolar v. No considere el polinomio completo de quinto orden, i.e. n < 5.
b) Plotear el conjunto de datos (hi, vi), i = 0,1,2,3,4,5 junto con los polinomios interpolantes
v = fn(h) donde 1 4n en el mismo grafico.
c) Estimar la velocidad del sonido en la troposfera a una altitud de 15000 pies, es decir
f(15,000) donde v = f(h) es la relacion entre las variables.
d) Seleccionar uno de los puntos de la tabla , no usado para determinar fn(h) para estimar
el error en fn(15,000).
e) La velocidad real del sonido a 15,000 pies de altitud es 1057.4 pies/s. Calcular el error
verdadero f(15000) - fn15000)
.
109. Un tanque esta lleno de agua hasta cierto nivel H0. Se abre una válvula y el tiempo T
requerido para vaciar completamente el tanque se anota. Los siguientes datos fueron
obtenidos
Altura Inicial Ho (Pies) Tiempo de vaciado T
(min)
50 58.9
37 50.7
28 44.1
10 26.4
5 18.7
a) Plotear la data con T como variable dependiente.
b) Hallar el polinomio interpolante de Newton f3(H0) mas adecuado para estimar el tiempo
de vaciado cuando el tanque esta inicialmente lleno con entre 20 y 30 pies de agua. Plotear
f3(H0) en el mismo grafico.
c) Estimar el tiempo que toma vaciar al tanque cuando contiene inicialmente 25 pies de
agua .
d) Estimar el error en la respuesta c) usando el punto restante.
e) Estimar el error en la respuesta c) usando el punto adicional (0 ft, 0 min). Compare las
respuestas en las partes d) y e) y comentar resultados.
f) La función real para calcular la altura de un fluido en el tanque para cualquier tiempo es: 2
1/2 1/22( ) 0
2o o
ct AH t H t H
A c
Donde : H0 : es la altura inicial del agua en el tanque (pies)
A: es el área de la sección transversal del tanque, pies2
c: es la constante especifica del tanque, pies3/min/pies1/2
Plotear el grafico de T = f(H0) para un tanque con A = 100 pies2 and c = 12 pies3/min/pies1/2.
h) Calcular el error verdadero R3(25)
110. La dinámica de un sistema físico es a menudo modelado por una ecuacion diferencial
de Segundo orden de la forma:
2 2
2( ) 2 ( ) ( ) ( )n n n
d dy t y t y t K u t
dtdt
donde u(t) es la entrada y (t) es la respuesta. Cuando la entrada u(t)=1 , para 0t , la salida y(t) se llama respuesta de escalón unitario y esta dado por:
2
2
1( ) 1 sin 1
1
tnny t K e t
donde : 1cos , 0 1
Los parámetros del sistema , ,n K se llaman: frecuencia natural, razón de freno y ganancia
del estado estable respectivamente. Una respuesta típica se obtiene cuando 1n , rad/seg, K=1
, , 0 1 . El porcentaje de sobrecarga (P.O), se refiere al valor para el cual el valor pico Mp de
la respuesta en el tiempo, sobrepasa el valor final de K. La tabla siguiente recoge los diferentes P.O obtenidos para diferentes valores de .
a) Graficar la respuesta y(t) contra , usando algunos de los valores de la tabla y verifcar que
el porcentaje de sobrecarga de la respuesta este en conformidad con los valores tabulados de
P.O ( 1n rad/seg , K = 1)
b) Plotear los datos , . , 0,1...,9i iP O i
c) Hallar el polinomio interpolante de Newton de segundo orden f2( ), mediante los puntos
correspondientes a = 0, 0.3 y 0.9. Plotear el polinomio en el mismo grafico de los datos
y discutir que tan bien aproxima este polinomio a la función verdadera P.O. = f( ).
d) Use f2( ) para estimar f(0.2) y f(0.8).
e) Estimar los errores verdaderos : R2(0.2) = f(0.2) - f2(0.2) , R2(0.8) = f(0.8) - f2(0.8)
usando los puntos adicionales ( = 0.6, P.O. = 9.48).
f) Calcular los errores verdaderos R2(0.2) y R2(0.8).
g) Usar el punto adicional empleado en e) para hallar un polinomio interpolante de tercer
orden f3( ). Plotearlo en el mismo grafico de toda la data y f2( ).
h) La función verdadera P.O. = f( ) esta dada por : 21
. ( ) 100P O f e
plotear f ( ) en el mismo grafico de los datos y los dos polinomios interpolantes.
0
P
111. Dos puntos sobre un círculo de 1 milla de radio se muestran en el diagrama siguiente.
El punto inicial O esta fijo y el segundo punto P tiene coordenadas (x,y). La distancia del
punto O al punto P a lo largo del círculo es D1 y la distancia a lo largo de una línea recta es D2. La diferencia 1 2D D es de interés. Los valores D1 y D2 se midieron para
diferentes valores a lo largo del círculo. Los resultados se resumen en la tabla:
Mp
. 100%Mp K
P O xK
1D
2D
( , )P x y
1
i xi,millas yi, millas D1i, millas D2i, millas imillas
0.00
Plotear los datos (xi, i ), i = 0, 1, …, 8.
b) Halle el polinomio de interpolación de Newton de menor orden que se ajusta a los datos
razonablemente bien. Plotearlo sobre el mismo grafico que la data.
c) Plotear el polinomio de octavo orden de Newton sobre el mismo grafico (use toda la
data)
d) Plotear los puntos de la forma (yi, i ), i = 0, 1, …, 4 sobre un nuevo grafico.
e) ¿Sera posible construir un polinomio de interpolación de Newton con los puntos de la
forma (yi, i ), i = 0, 1, …, 4, para aproximar en forma adecuada la función ( )Yf y ?.
Explique porque los datos usados para hallar el polinomio de interpolación está restringido
a un subconjunto de la tabla, ie, solo yi correspondientes a 0 1ix ?. Si puedes hallar un
polinomio interpolante adecuado grafícalo junto al grafico obtenido en c) y la data, caso
contrario explica porque.
f) Muestra que la función real ( )Xf x esta dada por 1/21cos 1 2x x
g) Plotear la función verdadera ( )Xf x sobre los gráficos sobre los gráficos obtenidos en
la partes a), b) y c).
h) Halle la ecuación de la función verdadera ( )Yf y . Usarlo para generar muchos más
puntos (yi, i ).
i) Repetir las partes d) y e) usando el conjunto de datos aumentados en c).
j) Discutir los pasos necesarios para hallar un polinomio interpolante que aproxime
( )Yf y para 0 1 , 1 2y x .
112. Un filtro digital es usado para extraer información de una señal analógica
distorsionada con ruido. La señal analógica es muestreada para generar datos discretizados
el cual es numéricamente procesado por un microprocesador convencional o Procesador de
señales digital especializado (DSP) optimizado para efectuar los calculos requeridos. La
razón de muestreo está determinada por las frecuencias del ruido y los componentes de la
señal de la forma de onda sin filtrar. Un tipo común de filtros digital se llama “filtro de
impulso de respuesta infinita” (IIR) . El orden de un filtro IIR está relacionado con la
capacidad de rechazo del ruido. La cantidad cálculos numéricos incrementa con el orden de
los filtros. Un chip DSP con conversión I/O, A/D y memoria adicional se probó para
determinar la máxima razón de muestreo alcanzable para implementar filtros IIR de
diferentes órdenes. Los resultados se resumen en la tabla.
i Orden del filtro
IIR (ni)
Maxima razón de muestreo
(fmax)i (KHz)
0 1 1700
1 12 550
2 24 270
3 36 200
4 48 150
5 60 130
b) Plotear los datos [ni, (fmax)i], i = 0,1,…5.
b) Hallar el polinomio interpolante de quinto orden de Newton f5(n) usando toda la data.
c) ¿Sera posible usar un filtro IIR de 15° orden , para una señal donde la frecuencia
característica del ruido muestreado es de 400kHz, usando un hardware de prueba DSP ?
Base su respuesta en el polinomio de interpolación hallado en la parte b).
d) Use f5(n) para estimar la máxima razón de muestreo para un filtro digital IIR de 30°
orden.
e) Halle el polinomio interpolante de Newton de 2° orden f2(n) calculado usando los puntos
correspondientes a los filtros de ordenes 12, 24 y 36. Repetir la parte d) usando f2(n).
Compare f2(30) y f5(30) y discuta cual es mas próximo al valor verdadero.
f) Si se tienen dos puntos adicionales disponibles (20, 320) y (50,140). Cual escogería
para estimar el error verdadero R5(30) = f(30) - f5(30), donde fmax= f(n) es la función
verdadera relacionada al filtro de orden n y la máxima razón de muestreo fmax. Explique
g) Escoger el dato apropiado (de los adicionales) y calcular estimando R5(30).
113. Una intersección señalizada es objeto de un estudio de demora en el tráfico. Las
grabaciones hechas sobre los mismos periodos de tiempo a lo largo de varias semanas
indican que el mayor flujo promedio es de 1200 vehículos /hora en ambas direcciones. y
que el menor flujo promedio es de 600 vehículos / hora entrando en la intersección en
ambas direcciones. La demora en el tiempo de parada D se refiere al tiempo que el vehículo
esta detenido sobre la vía a través de la intersección. Las mediciones del tiempo de demora
en las paradas fueron hechas en cada vehículo a través de la intersección durante el periodo
de interés. Los vehículos que entraban en la intersección cuando la señal era verde se les
asigno un cero en el tiempo de demora, puesto que no se detuvieron. El promedio de
demora por vehículo Dave fue calculado entonces fácilmente.
El ciclo de tiempo C de la señal fue fijado en 90 segundos. La porción del ciclo del
tiempo cuando el mayor flujo recibe una luz verde se designo G/C. El ingeniero en trafico
está intentando determinar el valor optimo de G/C durante el periodo de tiempo de interés.
Los siguientes datos se obtuvieron de ese estudio:
i (G/C)i (Dave)i ,
segundo/vehiculo 0 0.55 32.6
1 0.60 32.2
2 0.50 34.6
3 0.65 33.0
4 0.45 40.8
5 0.70 35.5
a) Plotear los datos [(G/C)i, (Dave)i] , i = 0,1,…,5.
b) Calcular el polinomio de interpolación de Newton completo usando todos los puntos .
Comentar que tan adecuado es usar un polinomio de interpolación de Newton fn(G/C),
n = 2, 3, 4, 5 para aproximar la función (Dave) = f(G/C).
c) Plotear los polinomios de Newton fn(G/C) para n = 2, 3, 4 y 5.
d) Estimar el ciclo óptimo de la razón G/C y el correspondiente decaimiento mínimo
promedio en la demora para cada polinomio de la parte c).
N° APELLIDOS Y NOMBRES EJERCICIO ASIGNADO
1 AREVALO CARHUAYANO, FABIAN HOMERO 1 32 63 94
2 CONDOR FERNANDEZ, MAX DICSON 2 33 64 95
3 ESPINOZA GARAY, DAVIS 3 34 65 96
4 GARRIDO MALLQUI, ROBERT ALEX 4 35 66 97
5 INOCENTE EUGENIO, ORLANDO 5 36 67 98
6 JUSTINIANO TUCTO, HENRY ELEODORO 6 37 68 99
7 LABAN GUPIOC, ORLANDO 7 38 69 100
8 LOYOLA TANTA, SILVER PAUL 8 39 70 101
9 MALPARTIDA AREVALO, NIGEL ROMARIO 9 40 71 102
10 MARTIN PARDO, JOHN DEIVIS 10 41 72 103
11 MELENDEZ TEJADA, ALBERTH JHEMMER 11 42 73 104
12 MELGAREJO RENGIFO, GIANELLA 12 43 74 105
13 MITAC PAUCAR, JHON 13 44 75 106
14 ORTIZ MORALES, ELKIN FAUSTO 14 45 76 107
15 ORTIZ SUAREZ, JHON FITZGERALD 15 46 77 108
16 PAREDES FLORES, YUDNER TAYSON 16 47 78 109
17 PENADILLO BETETA, JUAN 17 48 79 110
18 RAMIREZ DIAZ, EFLL YOVANKA 18 49 80 111
19 RAMIREZ PORTOCARRERO, PAUL KEVIN 19 50 81 112
20 RAMOS CRUZADO, JUAN RICARDO 20 51 82 113
21 RIOS IBAÑEZ, LUIS GUSTAVO 21 52 83 1
22 RIVERA VEGA, ISAIAS 22 53 84 2
23 RIVERA VEGA, JAMES JONATAN 23 54 85 3
24 RUBIO GARCIA, GERSON 24 55 86 4
25 SALAZAR VELEZ, ODALIS LUCERITO 25 56 87 5
26 SALDAÑA PANDURO, CESAR ARTURO 26 57 88 6
27 SILUPU MAZA, JUAN JOSE 27 58 89 7
28 SOTO PEÑAHERRERA, KENIN AKIRE 28 59 90 8
29 VASQUEZ CISNEROS, CARLOS CLEMENTE 29 60 91 9
30 VASQUEZ RUBIO, ALDAIR ALBENIS 30 61 92 10
31 VENTURA PIÑAN, ISAI OBED 31 62 93 11
FECHA DE PRESENTACION 28 DE JUNIO 7:00 PM