ecucación de bessel
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ECUACIÓN DIFERENCIAL DE BESSELIntegrantes: Allaico, Arévalo, Asmal, Cabrera, Delgado, Gallegos, Jerves, Machado, Ordoñez, Sanchez, Solano, Zea.
Ecuaciones Diferenciales,
Grupo #2
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INTRODUCCIÓN
Las funciones de Bessel fueron definida en primer lugar por el matemático Daniel Bernoulli y después generalizadas por el matemático Friedrich Bessel, son soluciones para la ecuación diferencial de Bessel.
La ecuación de Bessel tiene gran importancia al momento de determinar la distribución y el flujo del calor o la electricidad a través de un cilindro circular, y para la solución de problemas relacionados con el movimiento ondulatorio, la elasticidad y la hidrodinámica.
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BIOGRAFÍA
Daniel Bernoulli ( 8 de febrero de 1700 -17 de marzo de 1782) fue un matemático, estadístico, físico y médico holandés –suizo, que hizo importantes contribuciones en hidrodinámica y elasticidad.
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Friedrich Bessel (22 de julio, 1784 - 17 de marzo, 1846) fue un matemático alemán, astrónomo y sistematizador de las funciones de Bessel. Se hizo famoso por elaborar el método estelar PARALLAX, el primero método exacto para medir distancias estelares. También determinó el diámetro, el peso y la elipticidad de la Tierra.
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PRERREQUISITOS
Método de Frobenius
En donde:
x = a es un punto singular regular
r es una raíz de la ecuación indicial
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PRERREQUISITOS
Función Gamma
La función para n>0, se define como:
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DEFINICIÓN
Una ecuación de Bessel tiene la forma:
Donde v≥0 es un parámetro real y x=0 es un punto singular regular
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DESARROLLO POR MÉTODO DE FROBENIUS
Al derivar
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DESARROLLO POR MÉTODO DE FROBENIUS
Sustituyendo queda SimplificandoPara n=0 (Frobenius)
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DESARROLLO POR MÉTODO DE FROBENIUS
no puede ser cero, por tanto
Entonces, las raíces son:
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Cuando la ecuación anteriormente mencionada se transforma en cuando :Para que el exponente de x empiece elevada a la misma potencia en ambas sumatorias se saca el primer contador de la primera sumatoria.Entonces:Para Se hace que entonces reemplazamos en la sumatoria.Para se hace reemplazamos.
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=
Por lo tanto se debe cumplir que =0 y=0 para k=0,1,2,3,…Cuando =0 trae como consecuencia que =Así que cuando k=0,2,4,6,… , n=1,2,3,…
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Entonces: ...
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Se acostumbra a elegir un valor patrón especifico para que es: Sabemos que
Ejemplos:
Por lo que podemos expresar a en
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Funcion de Bessel
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LOS VALORES ENTEROS DE V SE DENOTAN POR N. ESTA ES LA NORMA. PARA V = N LA RELACIÓN ANTERIOR QUEDA COMO:
DONDE SIGUE SIENDO ARBITRARIA. ES NECESARIO HACER UNA ELECCIÓN , PERO MAS PRACTICO ES:
PORQUE ENTONCES , DE DONDE:
CON ESTOS COEFICIENTES Y SE OBTIENE UNA SOLUCIÓN PARTICULAR, DENOTADA POR , LLAMADA LA FUNCIÓN DE BESSEL DE PRIMERA CLASE DE ORDEN N:
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Esta serie converge para toda x, con mucha rapidez debido a los factoriales del denominador.
EJEMPLO: Funciones de Bessel
Para n = 0 se obtiene la función de Bessel de orden 0
Que es similar al coseno. Para n = 1 se obtiene la función de Bessel de orden 1
Que es similar al seno.
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𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠𝑑𝑒𝐵𝑒𝑠𝑠𝑒𝑙𝑝𝑎𝑎
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Observando la función de Bessel con v = n entero se observa
El problema al plantear para cualquier es que no hay factorial de números racionales por esto recurrimos a la función
DEFINICION DE LA FUNCION GAMMA
PROPIEDADES DE LA FUNCION GAMMA
Propiedad 1
Propiedad 2 La segunda propiedad de Gamma generaliza la función factorial para cualquier
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Se conoce que para entonces con tenemos
Reemplazando n por v se tiene
Luego
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En el denominador se tiene que:
para m=1
,etc. Para m=2
De modo que para cualquier m
Entonces la expresión para se reduce a:
Finalmente con obtenemos
Denominada Función de Bessel de primera clase de orden v
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SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE BESSEL(TEOREMA 1)
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(Ecuación diferencial de Bessel)
(funciones de Bessel)
Solución de la ecuación de diferencial de Bessel
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(Ecuación diferencial de Bessel)
(funciones de Bessel)
Solución de la ecuación de diferencial de Bessel
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Ejemplo:
Donde,
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DEPENDENCIA LINEAL DE LA FUNCIÓN DE BESSEL(TEOREMA 2)
Con v = n (entero):
Por definición:
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DEPENDENCIA LINEAL DE LA FUNCIÓN DE BESSEL
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DEPENDENCIA LINEAL DE LA FUNCIÓN DE BESSEL
por lo tanto son linealmente dependientes, y no es una solución a la ecuación diferencial
Pudo ser comprobada directamente con las propiedades, pero aquí se demostró dicha propiedad
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PROPIEDADES ADICIONALES
DE
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Las funciones de Bessel satisfacen un número alto de relaciones, estas son posibles descubrir por propiedades de las funciones especiales a partir de sus series.
A continuación se discuten cuatro de las más elementales:
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Ejemplos
Ejemplo 1 Calcule J3(x):
Usando
Reemplazando 1 en 2:
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Ejemplo 2 Evalúe:
Usando
Sabiendo lo que definimos anteriormente podemos obtener mediante tablas que:
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Para explicar esto definiremos primero:
Sabemos que:
Luego definimos que:
Con estas dos definiciones llegamos a determinar que:
Esta serie que obtenemos se denomina como serie de Maclaurin de sen(x):
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Teorema
Las funciones de Bessel Jv de órdenes v = son elementales; pueden expresarse por un número finito de cosenos y senos y potencias de x.
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Ejemplos
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Reducir la ecuación diferencial a la ecuación de Bessel
Cambio de variable
=
=
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Expresar la siguiente integral en términos de funciones de Bessel
Integrando por partes
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Integrando por partes nuevamente
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FÓRMULAS DE RECURRENCIA
• (1)• (2)
Al derivar el lado izquierdo de (1) como un producto, se tiene
De donde al multiplicar por , resulta• (3)
Las fórmulas (1) y (2) también resultan útiles escritas en la forma • (4)• (5)
Primera Relación de Recurrencia: • (6)
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Ejemplo 1. Hallar ] en términos de funciones de Bessel.Solución.] = 2x+
Nota: Al derivar la función de Bessel se multiplica por la derivada del argumento.
Al utilizar (3) con v=3 y 2x en lugar de x, tenemos como sigue
-
Al sustituir , se obtiene] =+ 2[- ]= 2-
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Ejemplo 2. Hallar I = en términos de y Solución.
Integrando por partes:u = ; du = 2x.dxdv = v = = I = - 2
Al utilizar (4) nuevamente, se obtiene como sigueI = - + C
Al sustituir los resultados conocidos y en la ecuación anterior = ^ = = (-
Y aplicando (6), resulta finalmenteI = =
Nota: Se puede obtener y aplicando con v = 1 y v = 2 en la Primera Relación de Recurrencia (6).