les fonctions de bessel

36
! "# $ % & $ ! $ " ! ’ $ % $ % ( ’% % % ) * ) + ) % % , - % . / , % , 0! 1 , " % . / 2 % 2 - % 2 ’ % ! 3 2 % % 4 5 % 6 . % . / ’ 7% 8($9$, # & ’ % % :% % % % &% # ; < = < = < > % < ?<

Upload: phungkhuong

Post on 12-Dec-2016

230 views

Category:

Documents


3 download

TRANSCRIPT

Page 1: Les fonctions de Bessel

���������

�������������������� ��

������� ���������������� ������������ ������������������� ������������������� ���� ������������������ ����������������� ����������������� ����������� ��������� ���������������������� ������ ����� ������� �������� ���������������������� ������ ����� ������� ������ ����������!���"������#���������� ��������

$������ �����������% ���&��$������� ���� �!� ���������$�����"������ ����� ������ ��� ��!��������'��� ��$��������% ������������� �$��������% ��������������� ���

(�'�% �����% � �����% ���������)�*����������� ���� ������������)�����+������������������)������� ���� ��������������% % ����������� �� ��

,�-�� ����% ������. � /���,������ ������������% ���������,�����0 ��!��������1� � ��,�����"������ ��� ������� ����% �������. � /�����������������

2��� ���� ������������������ ����% �������������2�����-�� ����% ������������������� ���� ������������2�����'������������% �!������3���� ����� �������������2������ ��������������������% ���% � �������

� ��� � � � �4 � ������� ������

5 �� �% �������� 6���� ��������� . ��% � �. � /���

'����7 ��% � �

�8($��9$,�

�� �������� ���� ����� ��� ��� ���� �� ����� ��� � #� ���& ���������� '����� ������� ���� ���� ������% � �� � ��������% :% ������ ���% % � ��������� �������% ������ ������������������ �����&��% ����������� ��� ����������������������� ��#���; ������<����= ��� �������� �����<����= ��� ��������������<���>���� �% ��<���?����������<�����

Page 2: Les fonctions de Bessel

@ �������������� �<�$AA)� $� +��% � �����% �� �% ��������

�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������

��

���

��

��

��

��

��

������������������������� �

������ ��� �

; ������ ��� �����#�� ����� ��<����������������������� !������ ����������������������� ����������������� �����B� �C � � ������ ���� ������ ��� ������� �������� ���� ��� ����D� 4 � ���� ��� ������ �� �� ���� ��� ������% �� � � �E($� ����� �� ��� ������� � ���� ����� ������ ��&� �� ���� �� ��� ������<� ����������� �� ���� �� ������% � �� ��������� ���������������������������������� �% ������% � ���������� ��������� ��8$)�

1������ ��� ��������� ������� !����� <� �% �!� ������ � ���!���<������ ��#�� ���&���% ������>������������� �����������% � ��F� ���������������% � ��!�������� ��� �G ���� ������% ����� ���� ���������% % � ��������H�7 ���������� ���������������������� ���������������� ���� ����� ������� ����&������������������� ����� ����������; ���������F; �H����&��������������F; �H����&�� ���I� ���<�������!���% � �� ρ ������ �������������

��

�� �

��

��

���

��

�+�� � �� ���&� ��� ����� ������ ����� �� ���� ��� ������ ��� ������ �� ���� �!��� ���� ��� ��!% � �� J���K� F�������� ����� !������ ���<�% ����L�� ��� � !����� �#����������H�����������M����� � ���I� ������������� ��� ������������� ��

� � ������ ��� �� #� ��<� � � �� �� �� ��� ����

� � � ��

θ θ ∂= ≈ =∂

� ���N� F O H O� �

� � � � �� �

∂ ∂� �− ∂ = −� �∂ ∂� �� ��� ���

Page 3: Les fonctions de Bessel

@ �������������� �<�$AA)� (� +��% � �����% �� �% ��������

�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������

������� ������������ �������������������

� �� �

∂∂ � �= ∂ ∂� ��+����������������� ��� �������% �� �������������% � ��#����

������������������!% � ��J���K������ ��ρ= ����N�$

$

� � �� � � � �

� � � �ρ ρ

� �∂ ∂ ∂∂ � �= = +� �� �∂ ∂ ∂ ∂� � � ��P�����������������������

��� ������ ���I� ��������������!% � ������$

$

�ρ ∂

∂����N���������� ����% ����% � ����

F���H�$ $

$ $

� � � ��

� �� �

∂ ∂ ∂= +∂∂ ∂

'����� ������� � �� ��� � �Q�� ���� ���� ��� ������� �� ���������<� ������ ��% ��� �� ������&� �� ���� ���� ����������

������� F < H F H � �� � � � � ωϕ= �P� �������� � �������� F H � ��� � �

�ωωϕ∂ =

∂����

$$

$F H � ��� �

ωω ϕ∂ = −∂

<����% :% �� � �� ��

� ��ωϕ∂ =

∂����

$ $

$ $� �� ��

� ��

ωϕ∂ =∂

����N���������% ���������� ���������� ���

F��$H�$ $ $ $

$ $

� � �A A

� � � � �� � � �

� �� � �� � � � ��� ��

ω ϕ ϕ ϕ ϕ ωϕ ϕ ′′ ′− = + ⇔ + + = ⇔ + + = �

7 ��������� ��� ������������������� � �% �������������R���� ���% �&�% ���� �S��AAA<���������� ������� �������A������������������������ω ���

A<$ω =

A

$AA

)AA

2AA

8AA

�AAA

�$AA

�A<$ �A<� A A<� A<$

A<,ω =

A

$AA

)AA

2AA

8AA

�AAA

�$AA

�A<$ �A<� A A<� A<$

Page 4: Les fonctions de Bessel

@ �������������� �<�$AA)� )� +��% � �����% �� �% ��������

�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������

A<Eω =

A

$AA

)AA

2AA

8AA

�AAA

�$AA

�A<$ �A<� A A<� A<$

��!�������������� � �% �������F?&���H�

+���� � ����� ������� ��� ��� �������� � � � ����� �� � �� �� ���� � ������� ��<� % ���� � � ����� ��% ������ �������������� ������ ���������������������� ��������������� ��������� �!� �����C �

; � ����� �������� � ������� �� ��� % �� ������� ��!����� � ���� ���� ������<� ��� ���� ��� ���������% � ���� ���� ���� ���� � �����% � ��<� ��� �� ���� � ��� ������� �������� A<� % ���� ����T�� ���� ��� ������ ��� �������� �� �� ��� ����������������������� �������� ��!� ���������#���������� ������������� ��� ������������������������������ ���������

���������������������� �

'�������������� ��

F���H� �$ $

$ $

�� A

� � ���

� ���� �

ν� �+ + − =

� ��P��

���� ��� � �� �� ���� �� �� ��� �% ����&� ������% ��� ��� � ������<� ������������% � �� ���&� ����� �� �� � ����% ������ ���� ��������� ������% ��� ��� % �% ��� ��<� ���������� �� ��������% �! �������� �� �� � �� ����������� �������F��% % ��� ���������������C H<��������% � ����������� ������������� �= ��� ������ �� �����<�����

7 ���� � ��� � �� �� �� ���� ������� �� F% �� ���� ����� ������������H� ��������% ����� ������� ��������� ��� ���% ��

A

� ��

� � � �∞

=

= ��� �

A

� ��

���� � �

��

∞−

=

= ����$

$$

A

F �H � ��

� �� � � � �

��

∞−

=

= − ����N�� ���% ���L� ���� ����������� ����� �

��� ����� ��������������� �������������� ����

( )

( )

$ $A

$ $�

$ $$

F H A

� A

A� �

� �

� �

� � � �

ν

ν

ν −

− =

� �+ − =� �

� �+ − + =� �

�P�

������% ������������ � ������ �� � ν= ± <�� ������� ��ν �������������������������������������������������������������

�% �!� �����P��A����������������� ����

��!����"�������� � ν= FUAH�� ����������

$� $ A ( � $F$ �H A< F) )H A<F2 9H A < F$ H A� �� � � � � � � � �� � � � −+ = + + = + + = + + = �

�� ��������������� ������������% ������� �� ������������������������ � ��� ��� ���� �����A���

$ A $

F �H

$ VF� HF$ HF H

� �� �

� �ν ν ν−=

+ + +�

; ����� ��������� ��� ���"����� �������� � #ν � ������!�$��� ���$"����������ν ����� ���� ��&���� A�

$ F� H�

ν=

à +<��������

���% ��� ��� �� ��� � �� ��������� ��% ������ ��� #ν � !�B��� #� ��� ���������� ��� ����� ��� ��� �� ���� � ��!!����

Page 5: Les fonctions de Bessel

@ �������������� �<�$AA)� ,� +��% � �����% �� �% ��������

�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������

F� H F� HF$ HF H F� H� �ν ν ν ν νΓ + + = + + + Γ + � F� � ��� ��������� ���� ��� �� ���� � ��!!�� ���� ��% % �� � ��

�����������C ����� ����33���% � ����% �� �������3�� ���� ����% ���&��W!�% % � �% H�7 ���������� ���� ��

F��$H�$

A

F �HF H

$ V F �H $

��

� �# �

� �

ν

ν ν

=

−� � � �= Γ + +� � � � �

������ν ������ � �% ����� ������<�$

A

F �HF H

$ VF HV $

� ��

� �# �

� � �

=

−� � � �= +� � � � �

%����$!�� "�������� � ν= − <� ������������� ����������� �� ��������� $ $ $$ F$ � $ H A� �� � � �ν −+ − + = ���� ������������� ���

�% �������������� $ � $ �$ F$ � $ H A� �� � � �ν + −+ − + = �P����ν � ������������������% ��$ �

<$

!!

+ ∈� �������������������� ���

�% �������� �� �������������% :% ��% � ������ ������ ���

F��(H�$

A

F �HF H

$ V F �H $

��

� �# �

� �

ν

ν ν

∞−

−=

−� � � �= Γ − + +� � � � �

4 � ����������N�ν � ���������� ����<������� ���� �� #ν ���� # ν− ��� ���� �����% � ��� ���� �� ����������% � ��� ��

�������� �������������������� ����� ������<� ����� ���� � à � ����� ��������������� �� �������������������������

� ������<��������������� �������� �����������A<� #ν ��� �������A�F#�������������% ��$

�ν

� � � �

H���������������� ���� �

# ν− � �� ������� ��� �� �� F#���������� ���% ��$

�ν−

� � � �

H� ; ����� �� ������% ��!� ����������������� �<��!���% � ��

������������"������"� �����&������

F��)H� F H F H F H' � �# � �# �ν ν ν−= + �

4 � �� ��������N�ν ������ ������!���#���� ��� F �H F �H� � �νΓ − + + = Γ − + <���� F H�Γ = ∞ ����������� �� ����� �!����<�

�� ��������������% ������ �#− ��� �� ����M�����#�� ��� !�����N�������������� ����� ������������������X�( �YA�P�

��������� ����������������

F��,H�$ O $ $ OO O

O A O A

F �H F �HF H F �H F �H F H

$ OVF O HV $ $ OVF O HV $

� � � � �� � �� �

� �

� �

� � � �# � # �

� � � � � �

∞ ∞− ++

−= =

− −� � � � � � � �= = − = − + +� � � � � � � � �

��� ������&��� ���� �� ���� �������� ���� �� ����'�% % ����������� �����������������������$<��������������������� ���������!���% � �<���� ����������� ����������� �����&��% ��������� C �

Page 6: Les fonctions de Bessel

@ �������������� �<�$AA)� 2� +��% � �����% �� �% ��������

�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������

��!�$���������� ����� ���������� ���� �AF H# � ��

F� �% ���� ������� F H< ) ,# �ν ν− ≤ ≤ ������ ����33���% � ����% �� �������3������3������6 �% H�

Page 7: Les fonctions de Bessel

@ �������������� �<�$AA)� E� +��% � �����% �� �% ��������

�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������

"������������������� �������������������

7 �������� ��� ��� ���� ���� ���� � F H) �ν �������������

��� F H F HF H ��� F H �� F H F H

��

# � # �# � # � ) � ) � ν ν

ν ν ν νπνπν πν

πν−

−−

= − ⇔ = �P�

��������������������ν � ���������� ������ �����% �������� ��������� �����������������F���H�P������� �������� ������

�� ���� ν � ����� � � � ����� �<� ��� �� ���� �)� ��� ����� ��� ��% % �� � �� ���% �� � �����% � ��� F ��� F �H��π = − H�P�

�������� �������!������% ������������. �����������

F���H��( ) ( )�� F H ��� F HO F H O � �

F H ��% ��% F HO F �H ��% F H O���

��

� � �

# � # � # �) � # � # �ν ν ν

ν νν ν ν

π πν πνπ πν π π

−−→ → →

− + − � � � �= = − −� � � �� � � �

0�� ����������� ������������������������� #ν ���������� ��������������% � ��� ��������

$ $� F H$

A A

F �H F �HF H

$ V F �H $ V F �H $

�� �� �

� �

� � �# � �

� � � �

ν νν ν ν

∞ ∞

= =

− −� � � � � �= = Γ + + Γ + +� � � � � � ���

$ $� $

$A A

$

A

F H F �H F �H OF �H� $ V F �H $ $ $V F �H

F �H OF �H� F H $ V F �H F �H $

� � �� �

� �

��

�# � � � � � ��

� � � � �

� � �# �

� � �

ννν

ν

ν

νν ν ν

νν ν

∞ ∞

= =∞ +

=

− − − Γ + +� � � � � �= + Γ + + Γ + +� � � � � �

− Γ + + � �= − Γ + + Γ + + � �

����� �� �� ����ν �������<������������ ��!���� % �������� Γ ����� ��� ���"���������!!����OF �H

F �HF �H

��

ν ψ νν

Γ + + = + +Γ + +

���N��

F��$H� �$

A

F H F �H��% � F H F �H

$ VF HV $

� ��

��

�# � � �# � � �

� � � �ν

ννψ

ν

∞ +

→=

− � �= − + + + � � �P�

����� F H# �ν− � ����������� ��������% ����������% ���% � ������

( )F H F� H F H F� H

�� �� F H �� F H � �� �

� � � �� � �

π π π πν νπ π ν πν π πν

Γ Γ − = � Γ − Γ − + = = =− − −

<�

������ ������� �������% % ���� �#����������Z�<������ ����� ������% % ������% � ������������#�ν ���

� $ $

A

F H �� F �HF H

$ V $ $ V F �H $

� � ��

� � �

� � � � �# �

� � �

ν ν

νν πν

π ν

− ∞− −

−= =

Γ − −� � � � � � � �= + Γ − + +� � � � � � � � �P�

��� ����������#���������������������#�ν ����

� $ $

$A

F H � �� F �H OF �HF H��! OF H F H���

$ V $ $V F �H

� � ��

� � �

�# � � � � �# � � �

� � � �

ν νν

νπν νν ν πν

ν π ν

− ∞− + − +−

−= =

− Γ − + +� � � �� � � �= − + Γ − + Γ − + Γ − + +� � � �� � � � �

������� �������� ����ν �������<�� ����

� $ $

A

F H F H F �H��% F H��! F �H F �H

$ V $ V F �H $

� � � � ���

��

� � �

�# � � � � � �# � � �

� � � � �ν

νψ

ν

− ∞− + − +−

−→= =

Γ − −� � � � � �= − + − + − + + Γ − + +� � � � � � �P�

� ������������������� �������!�������� ������� ���% ���L� ���Z�������<���������� ��� �������� ��F��,H����

F��(H���� $ $

A A

F H F H F �H��% F �H F H��! F �H F �H F �H

$ V $ F HV V $

� � � � ��� � �

��

� �

�# � � � � � �# � �

� � � � �ν

νψ

ν

− ∞− + +−

→= =

Γ − −� � � � � �= − − + − + − + +� � � � � � �

; ���% ������F��$H����F��(H��� ��F���H���

Page 8: Les fonctions de Bessel

@ �������������� �<�$AA)� 8� +��% � �����% �� �% ��������

�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������

( ) [ ]� �$ $

A A

�$ � F �HV �F H F H��! F H F H

$ V $ VF HV $

� � �� � � �

� �

� �

� � � � �) � # � � � �

� � � �ψ ψ

π π π

− −− +

= =

−− − � � � �= − − + + +� � � � �

'����� ��� ������� ������ ���*����F� � ����������������������������% % ��+� ������� ���� ����+��!���H� +������S�A<�������&��% �����% �����������% �������� ���

��!�(���������� ����� ���������� ���� � AF H) � �F� �% ���� ������� F H< ) ,) �ν ν− ≤ ≤ ����

����� ����33���% � ����% �� �������3������3������[ �% H�

; ����� ����!���% � �������� ���� ������� ������

���� ���� �����������!�����,��������% ���������������

F��)H�$

A

�F H F H

$ V F �H $

� �- � � # ��

� �

νν

ν νν

∞−

=

� � � �= = Γ + +� � � � <�

���� ���� �����.���� �F�H����F$H������ ���� ���������������������$!����������

F��,H� F�H F H F HF H F H F H

�� F H

�# � � # �. � # � �) � �

πνν ν

ν ν ν πν

−−−

= + = ���� F$H F H F HF H F H F H

�� F H

�# � � # �. � # � �) � �

πνν ν

ν ν ν πν−−

= − = − <�

� ������ ��% ��������&������� �����#����)�� ��� ���� ������� ���� ��.�F� ��������% ��������������#�M��������T���������<�)������������ <�������.F�H����.F$H�M��� �������������&�� � �������C H����

F��2H�� F�H F$H�F H F H F H

$# � . � . �ν ν ν� �= +� �<�

F�H F$H�F H F H F H

$) � . � . �

�ν ν ν� �= −� ��

���� ���� �����������!�����,��������&��% ������������

F��EH� � F�H F H F H�F H F H

$ $ �� F H

- � - �/ � � . ��ν ν ν

ν νππ

νπ+ − −

= = �

������ �� ��������� ����������������������� ���

7 ��� �� F H F H F H' � �# � �) �ν ν ν= + ����������� �!� ������������������ �F���H�

� � �$ $

$ $

�� A

� � ���

� ���� �

ν� �+ + − =

� ���

Page 9: Les fonctions de Bessel

@ �������������� �<�$AA)� 9� +��% � �����% �� �% ��������

�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������

? ������ ������ � !�% � �������������� � ��= �� ������ ����� ��

�� � ��= ����

$ $

$ $ $

�� � � �

�� � ��= ����N��

F���H�$ $$ $

$$ $ $ $ $ $

� � � �� A A

� � �� � � ��� � �

�� � �� � ��� �� � � �� �

ν ν� � � �+ + − = ⇔ + + − =

� � � ���

+����������������� ����������� �!� ���������� F H F H F H' �� �# �� �) ��ν ν ν= + �

+�� � ��% �� �� � ����������� ��

F��$H�$

$A

� � �����

� ����+ + = ��

��� ����� �� ��� � � !�% � �� ��� �� ���� ��� �� � �= <� ���� ��� �� ������ �O O� �� �� � � �−= + � ���$ �OO F �H $ O OO� � �� � � � � �� � � �− −= − + + ����N�� ���% ���L� ����

( )$

� $ $$

$OO F$ H O F �H A OO O A� � � � � � � � � ��

� � � � � � � � � ��� �� � � � � �� �

− − − � �+ − ++ + + − + + = ⇔ + + + =

� ��

1��� �� �����������������

$ �$

�� � �

−+ = ⇔ = �� ���$

$

�OO O A

�� � � �

� �

� �+ + − =

� ��P�������������� ��������������� �

( ) ( )�

$

H H��� ' � � ' � �−= = ����N����������� ����F��$H��� ( )�

$�

$

H�

��� � � � ' � �

−= = �

����� ����������������!� ���������������������� �����������!� ���������

F��(H�$

$ $A�� � ��� "

�� �� ���� �

� �+ + + = � �

�P�

� � ��% �� � �� ���� ���&� % �� ����� ������� ���<� #� ������� ������ &� ��= � ����� F H!� � � �= � � � �������� F������

��� � �% � ����������&C H�#����������� �!� �������

$�

$ $$

$

���

� � ' ��

ν

+− � � = +� �

������$F� H )

$

� "

�ν

− −=

+�

? � ������������ ��� � � ��� �� ��S�A<� "�S�A<� �� S�A<� � � �� ��������� �$

$A

� ���

��+ = � ���� �� ����� ������� �

( )�3$� � ' ��= <� ��� ���� % � ���� ���� ���� ��� ��� �� ��� �� �� �� M�% ���� ���� ���� �� ���� �� ��� �������

�����% ������F��� � �� ������������� ������S�Z�C H�

4 � ������������ �������� ���� ����������������% % � ������!������������ �����Z$�� ��������������������������

�������D��������� �F��(H�������% ������������ ����� $� ������ �����������% �� $ OO O A� � ��� ��+ + = �P�� �����������

� ����� �� �� �= ���������� ��$

$F �H A

� � ��� ��

����+ − + = <������� ��������� ��� ���������$ ��������#���������� ���

�� ��� ���

� ���������������������� ����������� ����I������������� ���% ������ � ����������������� ������� �����

\��$

$

�OO O $ O A

�� � � � � �

� � �

ν� �� �− + + + − = � � � ���������������� �!� ��������� $� �≠ � ( )$��� � ' � � �ν

−= − �P�

\���� $� �= �� ����������� Aν ≠ ������������ �����������% �� ( ) ��� �� �� �ν ν− −= + �P���� Aν = ������������ ���� ��

( )��!��� � � � �−= + �

Page 10: Les fonctions de Bessel

@ �������������� �<�$AA)� �A� +��% � �����% �� �% ��������

�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������

\�$

$$

� �OO $ F H O � F H OF H F H A� � � � � � � � � � �

� ��

ν� �� �+ − + − + − − =� �� �� � � ������% % ��������� �

F HF H

� � ��� � ' �ν= � �P�

���&�������������������� F H �� � � �= <�������� ��

F H���

� ' ��

ν= ���� F H ���� � � �= <�������� ��

F H��

� ' ��

ν= �

����������������������������������������� ��������

'�% % �� ��������� �������������% % � ��� ������������������� ���������������������� �����������#���������� ������ ������� ������� �������� ������������������� ���������F�������� ����0�"����� �H�

$ $

$ $ $

� �� � ��

�ρ

ρ ρ ρ ρ ϕ∂ ∂ ∂� �∂∆ = + + ∂ ∂ ∂ ∂� � �

���N���������� ������ ������ �����������������$

$ $

� ��

" �

∂∆ =

∂�P����������% :% �������� �������������� �����������

� ���<� -�� ����% ��� ��� �������<� ���� ������� �� �� �� ���M����� ����% ��������� ����� ��� ���% ��

F < < < H F < < H��"�� � � � � �ρ ϕ ρ ϕ= ������������� ������ �� $ $ A� � � � � �∆ = − ⇔ ∆ + = �

' ��� � ���������������������% ����� ������������������� F H F H F H� 1 ' �ρ ϕ= Φ ����

$

$

� 1 1 1 1ρ ρρ ρ ρ ρ ρ ρ

� �∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= � = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂� �<�

������

F���H�� $ $ $$

$ $ $ $

� � � � �A

� 1 1 '�

1 ' 1 1 ' �ρ ρ ρ ρ ϕ∆ ∂ ∂ ∂ Φ ∂= + + + + =Φ ∂ Φ∂ ∂ ∂

������&����% ��������% ����� ��� ���� �� �������<�� �������� ��������$

$$

� � '/ &

' ��= = ± ����N������������ ��

�����'��� ��� �� ' � &� � &�+ = + ���� ��� �� ' � &� � &�− = + �? ����������� ������ �������F���H���

F��$H�$ $

$ $$ $ $

� � � �F H A

�1 � 1 �� &

1 � 1 � �ρ ρ ρ ρ ϕΦ+ + + ± =

Φ�

��% :% ������� �% � �������������% % � �� �����% � ��#�������$

$$

� �

�ν

ϕΦ = ±

����N�� �� ������������� ����

������� �� O��� O�� � �νϕ νϕ+Φ = + � F��� ���� �� ��� �� �� ���� ���� ����% � �� �� �� ��� ����������� ��� ���� �

�������� ������ � ������������#��� ���� �������������������� �������:���H���� O��� O�� � �νϕ νϕ−Φ = + ����� ��

��������������������� ���� �����������������������������ν ������� ������

"��� � ��#� ������������ �F��$H���������� ��$ $

$ $$ $

� �A

�1 � 1� &

1 � 1 �

νρ ρ ρ ρ

±+ + + ± = <������� �� �

$ $$ $

$ $

�A

� 1 �11 � &

��

νρ ρρ ρ

� �±+ + + ± = � �

; ����� �����������% �� ���� ��������������� ��������������������

$

$ $A�� � ��� "

�� �� ���� �

� �+ + + = � �

����������� �����

$�

$ $$

$

���

� � ' ��

λ

+− � � = +� �

������$F� H )

$

� "

�λ

− −=

+�

Page 11: Les fonctions de Bessel

@ �������������� �<�$AA)� ��� +��% � �����% �� �% ��������

�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������

F��(H�$

$ $$

� &νρ

− + − ��� ��S��<� ��S�A<� $ $� � &= − <� $" ν= − � ���N�$

$

νλ ν= = � ��� ( )$ $1 /' � &ν ρ= − � F/�

�� ��� �����% ���&�H�P�

F��)H�$

$ $$

� &νρ

− + + �����S��<���S�A<� $ $� � &= + <� $" ν= − ����N�$

$

νλ ν= = ���� ( )$ $1 /' � &ν ρ= + �P�

F��,H�$

$ $$

� &νρ

+ + �����S��<���S�A<� $ $� � &= + <� $" ν= ����N�$

$

��

νλ ν= = ���� ( )$ $�1 /' � &ν ρ= + �P�

F��2H�$

$ $$

� &νρ

+ − �����S��<���S�A<� $ $� � &= − <� $" ν= ����N�$

$

��

νλ ν= = ���� ( )$ $�1 /' � &ν ρ= − ��

4 � �������L�������������% � �������������� �� � ����������������������� �� �!����������

����� F��(H� ��� $ $ A� &− > � ���� ����� �� ������ $ $ $� & �− = � ���N� ��� ������� � ( ) ( )1 �# � �) �ν νρ ρ= + �P�

������������� ������!���% � ����������������F��)H������ $ $ $� & �+ = �

�����F��(H���� $ $ A� &− < � ��������� �������� $ $ $� & �− = − ����N����������� � ( ) ( )1 �- � �/ �ν νρ ρ= + �P�

�����F��,H����F��2H������! �������� �� ���������� �ν � �������������������#������������� ������� ���

>���� �������������� ���� ���� �� F < < < H F H F H F H��"�� � � � 1 ' �ρ ϕ ρ ϕ= Φ <���������������% �� ���� ������������F� � ��

�� � ��������% ��������������� ���� ����! �������� �� �������������<������������� �����!� � �������� ����������N�� ���� ������������ ��������� !����������� �% ���������% �� ���� ��������� ���H��

����������&��F; �H������������������% �� �����&���� ����������� ���� �F��� ���������������������&�% ������ ������������ ����� ��������&H<� ���������� ������������������ ��������� Aρ = <�����������% � �� ����������� ��)����/�

F������ ��� � ����������������&�� ���!H�

0������� ������� �������% ��������������� ���� ��� ����������!���� ������� ����������������������<�� ���!������

% ���� F H �/�νϕϕΦ = ���� � $F < < < H F H F H��"� �� � � 21 � ' � � 2� �νϕρ ϕ ρ= = ��N� �� ���� $� ��� �����&���% ���&���0�������:����

������ ������������% � �� � ������� �� ��� ������� ���� ���� ������ �� ����� ��� ������% ���&��� ����� �&���% ��� ����������� �����% � ����������!� ������ F% ���������:��������������������������� �������� ��������� ����% �����������+������ �% ��� �������� �����H�

�������������������������������������������������

��������� ������������� ������ ���!���% � �����% �� ���������������� ����������� ��������� ����; ���������� ��T �������% % ���; ��������� ������ �������������� ���������F��������������� �������������� ������% ���������% :% ��% � ����H���

$ $ $$

$ $ $ $ $ $ $

$ � � ��� �A

�� ��

� � � � �� �

θρ ρ θ θρ ρ θ ρ ρ θ ϕ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + =∂ ∂∂ ∂ ∂

; � � ��� �� � �� ������� � ��� ��� ���% �� F < < H F H F H F H� 1ρ θ ϕ ρ θ ϕ= Θ Φ <� ��� ���� �� �� ������ ��% �����% � �<�

% ������������ ����� $ρ ����������� ����� 1ΘΦ ���

F���H�$ $ $

$ $ $$ $ $ $

� � ��� � �$ A

�� ��

� 1 �1 � � ��

1 � �� � �

θρ ρ ρρ θ θρ θ θ ϕ

� � � �Θ Θ Φ+ + + + + =� � � �Θ Φ� � � ��

������% ���� �1���� ρ ������ ���� ���� ���� ��� ����������� ��θ � ��ϕ � ����������� ������ �����

$$ $ $ $

$

�$

� 1 �1� �

1 ��ρ ρ ρ

ρρ� �

+ + = ±� �� �

<������ [ ]�F H F H F H1 �# � �) �ν νρ ρ ρ

ρ= + ������ $�

)ν ρ= ± �

Page 12: Les fonctions de Bessel

@ �������������� �<�$AA)� �$� +��% � �����% �� �% ��������

�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������

��� ������% % � ����� $�A

)ρ− < �� �����% ������������������ ��#�� �������% ���&��4 � ����������N���S�A<� ���

������� ����� ( )�F H1 � �ν νρ ρ ρ

ρ−= + ������������!� ��; ������� �������% �� �����1������������% � �������� ���� �

)��� ������� νρ − <��������� ������S�A�

"��� � ��#�F���H�������������% �� �� � ���

$ $ $$ $

$ $

�� ��� ��� A

��

� � ��

�� �

θ θ θθ θθ ϕ

� �Θ Θ Φ+ ± + =� �Θ Φ� ��P�

% :% �� ����� �% � �� ���� �� �������� ���N� ��� � �����$

$$

� �

�µ

ϕΦ = ±

Φ<� ����� F H ��� �� � �ϕ µϕ µϕ+Φ = + � ���

F H ��� �� � �ϕ µϕ µϕ−Φ = + � '�� ��� ���� ���� ����� � ����� ��� % :% �� ������% �� ���� � ���� �������<� ���

������� � ���� �� �� ����������� �� ������������������ F�� �� ��� �� �� �N� % :% �� ��� µ � ����� ���� � ����<� ���

������� �������������I��������� ��������� ������ µ �� ����H�7 ��� �������� !µ = ��� �����

�����% ������� ������� ��

$ $ $ $$ $ $ $

$ $ $

�� ��� ����� A A

�� �� ��

� � � � !� ! �

� �� �

θ θ θθθ θ θ θθ θ θ

� � � �Θ Θ Θ Θ+ ± ± = ⇔ + + ± ± Θ = � �Θ � � � ��

���������� ���� ����������� ����������&��� ���� ������!� ����F���������� ����M������ ���&������������C H�#�

�� ����� ����� $ F �H� � �= + ��N�������� ���������������� ����������������� �������#�����������

����33] ] ] � �I��% 3������������3% �� 3�����3������3 ���� �% ��

; � ����� % � ������� �� ��� ������� �����% ��� ��� ������ ���� ��% % �� ��� ���� ���� ����������<� ��������� �̂�� ������������ ����� !�<�������������!��� ������� ������������������ ����

������������� ������������ �

1�� � � ��% ����� ��������� � ���� ����

A�

� � �� �

′′ ′+ + = � ����� ��������� � F��(H<� � � ����� ������ ����� ��� ����

��S��<���S��<�"�S�A<���S�Z���

; ���������

�A $

A $� � ' ��� � = � �

<�����������$

��

ω= <� A A AF H $ $ $� � �

� ' �# �)� � �

ϕ ω ω ω� � � � � �

= = + � � � � � �

�F ���I�

��� ������� ���

�ω � ���� �� ����� ��� �� ����C H� +���� ��S�A� � � ����� ���������� ���������� ������� ϕ <� ��� ����

� ����������!������)A<������������% ���% � �� AF H $�

� �#�

ϕ ω� �

= � �

����N���% % ������������ �!� ������������������

���% �� F < H F H � �� � � � � ωϕ= <����������� ��

AF < H $� � �� � � �� #

�ω ω

� �=

� ���

+�������������������S� �� ��������������S�A<���� �% ���� $�

�α ω= ������� ��� �����I��������#A<� ������� ��

�������

$�

ω α= ������% % ������I������� ��� ���� ������ �� ������������������ ����������� � �% ����� �� �����

% ���������������� �

Page 13: Les fonctions de Bessel

@ �������������� �<�$AA)� �(� +��% � �����% �� �% ��������

�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������

������ �

��!�)���������� �������������� ������������ ���F� �% ���� ��� ����33���% � ����% �� �������3������3������W��� �% H�

Page 14: Les fonctions de Bessel

@ �������������� �<�$AA)� �)� +��% � �����% �� �% ��������

�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������

������������������! � �"��

3������������#���������

'� ������ ���������&��� ���� �� $

A

F H$ V

� ���

��

�� � � �

+∞

=

= = ����

$

A

F H �F H

$ V

� ��

� ��

�4 � �

� �

+∞−

=

−= = ��N�������� �����% �����

��% ���&�� �� ���� ���% ��� �� �������� ������ ���� 4� �� � �� �� !�������� ���� ������� � � A� ����� �� ��� ���������F�H�S��F�H4F�H������ \���������% ������� !���������������

$ $

A A A

F �H � F �H F �HF H

$ VF HV$ V $ F HV $ VF HV

� � ��! � ! � ! � ! � !! ! � ! �

� ! � ! � ! �! ! !

� � � �� � � � �

! � !! � ! � ! � !

− − − −− −

− −= = =

− − − −� �= = = −− − � � �

4 �� ��������T��� ��������� ��� ��� �������������% ������������������ ���� F H F H ��

� � 5 � �+∞

=−∞

= �� �������� �����

% �� ����������������; ���������

$�

�F H

$

��

�� �

��5 � �

� �γπ

� �− � �

+= � ��N� γ ���������������� ����?����� ���������������

����

$ $ $ $ $� � �

A A

� � F �H F �H �

V $ V $

� �� � �� ��� �� ��� �

� � � �� �

� �� � � � �

� � �� � �

� � ∞ ∞− − � �

+ + + += =

− −� � � �= = = � � � � �P� ������ ������ �� ���!��

��% ���% � ���� ������������� ��������� ���% ������ ����A������� �� �<�� ������� ��!�������% ��#����% ����

$

�A

F �H �F H

V $ $

����

� � ��

� �5 � ��

� � �γπ

+ +=

− � �= � � � �

��������������� ��!�������������� �������� ��������% �������'��� ���� F H�

V F HF H

$ F H

��

� � 5� � �5

� 5 �γπ +=−� <���������� ��

�����

F H$

$�

A

� � �

$ F HV F HV $

�� � ��� � �

� �

� ��� �

� � � � ��γπ

+ +

+ +

=

� � � � = = + + � �� �� �

; ����� ��$

A

F �HF H

VF HV $

� ��

�5 �

� � �

∞ +

=

− � �= + � � ��N� ������������ �� ����� ���� ����������������� �ν = �P�� ���������

$

A

F �HF H F H

VF HV $

� ��� �

� � �

�� � � # � �

� � �

+∞ ∞ +∞+

=−∞ = =−∞

� �− � � = = + � �� � <�

�������% � ������������������� ���� �!� ��������������� ���� ��������������� ������ �����

3���������������������������#�� �����$������

; � ����� ���� �� �� ��� ���� ��� �� ������ ��� ���� �<� ��� � � �� F H ��

� � � �+∞

=−∞

= � �� �� ��� ����� ��

{ }� A $3� � � � � �= < − < � � �������

A

F H�

$ F H� �

� �� ��

� � �γπ +=−� � �N� γ � ���� � � � �% � � ���% �� �� �� � �� �A� #�

��� �������������7 ����������� ���� ������������#�����

Page 15: Les fonctions de Bessel

@ �������������� �<�$AA)� �,� +��% � �����% �� �% ��������

�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������

F$��H��( )

$ $ $F �H �� $

�A A

� � �F H

$ $ $

�� � �� ��� � �

� �� �� �� � ���� �

�# � �� � � �� �� � � ��

� ��

π π

γπ π π

� �− −� � − − + −+= = =� � � �

F� � �� ����� ��% % �� � �% � � γ � ��� ������� � ���<� ���N� < A $��� � � π= ≤ < � ��� ������

��= �P� ������ ���% ���� ���� �����

�% ����� ��H�

; ��������� ������������� � �π π− ≤ < �������� ��� � !����� ������ �� �� �F H

$�� � ���

�# � � � ��π

ππ−

−= � ������ �

� � !�� ����� �Z���� �� �� �� � �F H F H

$ $�� � ��� �� � ���

� �# � � � �� � � �� # �π π

π ππ π− −

−− −

= = = −� � ����������� � !�% � �����

��������������� �Z��

-�������� ��� ���������������������% ���������������

( )

A�� �� �� �� ��

A A A

�� ��

A A

� � � � �F H

$ $ $ $ $

� ���� ��

$

�� � ��� �� � ��� �� � ��� �� � ��� �� � ����

�� � ��� �� � ���

# � � � �� � � �� � � �� � � �� � � ��

� � � � �� � � �� ��

π π π π

π ππ π

π π π π π

π π

− − − − −

− −

− −

= = + = +

= + = −

� � � � �

� ��

���% ������ ��% � ��������� ���� ��8$)�����5 �� ��% �������� �% ����������% ��������� ������������ �� �����

� �� ������ �� ������� ��� ��� �������� ��!����� ��������% ���������������� ������

F$�$H�� ( ) ��

A A

� �� F H ��� �� � � �# � � � � �� � ��

πν

ννπν

π π

+∞− −= − −� � ���������"�F H A� > �

4 ��&���������������������

F$�(H�� ��S�A���$ $

�� ���A

A A

� �F H

$ $�� � �� �# � � �� � ��

π π

π π= =� � �P�

F$�)H�� ��S�����$ $

�� ����

A A

� �F H

$ $�� � �� �� � ��# � � �� � ��

π π

π π− −= =� � �

+����������������� ���� �����

( )( )

�� �

A A �$ $

$� � ���F H$

F H �� F �� H F �H�

�$

� � � �

��) � � � � �� � � � �� ��

ν

πν ν ν

νν

νπ π π ν

∞ ∞− −

+

� �− � �= − − + − =� �Γ − −� �

� � � <�

��F H

$

� ��- � � � ��

�ν

νγπ

� �+ − −� �= � <��

��� ���

A A

� �� F HF H ���F H� � � � �- � � � �� � ��

πν

ννπν

π π

∞− −= −� � <���������� �� ���

A

�F H ���F H� ��- � � �� ��

π

π= � ���������ν �����

� �� �����

�A

$ $ $

�F$ H

���$F H

F H

��

/ � ��

� �

ν

νν

ν

π

+

� �Γ + � �=

+� ����������������% � �� A

$A A

���F HF H ���F �� H

��/ � � � �� ��

∞ ∞= =

+� � �

; ����!���% � ���

��$ $

F 3 $HF H F� H

$

����# � � � ��

ν νν

π ν

+ −

−= −

� �Γ + � �

� ����N���������"�F H A� > <�

�����������������������������������������������������������

��_����` �7 �5 ���� <���!������"������������ ����<���(2$�

Page 16: Les fonctions de Bessel

@ �������������� �<�$AA)� �2� +��% � �����% �� �% ��������

�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������

F$�,H��

�F H $ $

�F 3$H

$F H F �H < �< $

$

! ���

2!

. � � � �� !

νν

ν

ν

π

−� �Γ − � �= − =� �Γ � �

� �<��

����������� F�3$ H F�3$ H 3���ν ν π νπΓ − Γ + = �

F$�2H��

�F H $ $F 3 $HF H F �H < �< $

� ����

$ $

! ���

2!

�. � � � �� !

ν νν

ν νπ

−= − =

� � � �Γ Γ + � � � �

� �

�N��������M����'�����'$��� ��������� �����������������

4 ��% :% ��� ������ ���

F$�EH��

( )

�� ��$ ��� $$

�A �

$

F H� � �

�� $$ $ $

��� ��

# �

� � �

πρ θ

ρθ θ

ρ

−−−

� � � �= Γ Γ − � � � �� �

F$�8H�� �A

A �

�F H F H �

$A �

� �

# �� # � �� �

ν

ν ν

+

� < <��= =��

>��

� �

3"�������! � ����������

+��� ����S�0�a�5��� ��

$F H F H

��

���

� � � # � �

� � +∞− � �

=−∞

= = <� �������� � ���

� �

$ $F H F H F H F H F H

0 5� �

� &� �� �� � & � &

� � & � � & �

# 0 5 � � � # 0 � # 5 � # 0 # 5 �

� � � �+∞ +∞ +∞ +∞− − � � � �

=−∞ =−∞ =−∞ =−∞ + =

� � + = = = � �

<�

�����

F H F H F H� � � �

# 0 5 # 0 # 5+∞

−=−∞

+ = �

? �������� �� F H F �H F H�� �# � # �− = − �� ������ ���������������� ���������������+����&�% �����������S�A����

A A A

F H F H F H F �H F H F H F H F H $ F �H F H F H� �� � � � � �

� � �

# 0 5 # 0 # 5 # 0 # 5 # 0 # 5 # 0 # 5+∞ +∞ +∞

−=−∞ =−∞ =

+ = = − = + − �P�

�������S������

Z�� a��

'��'$�

��� ���

Page 17: Les fonctions de Bessel

@ �������������� �<�$AA)� �E� +��% � �����% �� �% ��������

�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������

��

� � � A � �

�� A � �

� �

� �

F H F H F H F �H F H F H F H F H F �H F H F H

F �H F H F H F H F H F �H F H F H

F �H F H F H F H F H

� �� � � � � �

� � �

� �� � � �

� �

�� � � �

# 0 5 # 0 # 5 # 0 # 5 # 0 # 5 # 0 # 5

# 0 # 5 # 0 # 5 # 0 # 5

# 0 # 5 # 0 # 5

+∞ − +∞− −

− − − −=−∞ =−∞ =

+∞ +∞−

+ −= =

+∞

+ +=

+ = = − + + − +

= − + + −

� �= − +� �

����

�����% ����!� ����������������

A �

F H F H F H F �H F H F H F H F H�

�� � � � � � � � � �

� �

# 0 5 # 0 # 5 # 0 # 5 # 0 # 5+∞

− + += =

� �+ = + − +� � �

3��������! � �����������������

"���� � �� � �� �������� ����� ����� �� ���� � !� �����������

$F < H F H

��

���

� � � � # � �

� � +∞− � �

=−∞

= = ��� ������ �� ����

��������#������

( )

$$$ $

� � �� � � �

� �F < H � � F H F H F H

$ $ $ $

F H F H F H F H <$ $

��

� � ��� � �

� � �

� � �� � � �

� � �

� � � � �� � � � # � � # � � # � �

�� � �

� �# � � # � � # � # � �

� � +∞ +∞ +∞− −� �

=−∞ =−∞ =−∞+∞ +∞ +∞

− − −− + − +

=−∞ =−∞ =−∞

� � � �= + = + = + � � � �

� �= + = +� �

� �� �

�������������� ����

�F < H F H ��

�� � � �# � �

��

+∞−

=−∞

= ����N�������� ��������� �������������� ������

( )� � � �

$ F HF H F H F H F H F H

$�

� � � � �

�# ���# � # � # � # � # �

�− + − += + ⇔ = + �

; �����% % � ���% ����� ������� ��������������#����������������

( )

$

� �� �

� � � �F < H F H

$ $

� � �F H F H F H F H <

$ $ $

��

���

� � �� � � �

� � �

�� � � � � � # � �

�� � �

# � � # � � # � # � �

� � +∞− � �

=−∞+∞ +∞ +∞

+ −− +

=−∞ =−∞ =−∞

� � � �= − = − � � � �

= − = −

��� �F < H OF H ��

�� � � # � �

��

+∞−

=−∞

= ���N��� ���% � ���

( )� ��

OF H F H F H$

� � �# � # � # �− += − �

? ��M���� ������ ���������� ���������&�������� ������ ���<�� ����

( ) ( )

( ) ( ) ( )

� � �

� � $

�F H F H OF H F H F H O F H

F H F H OF H O F H F H OF H OF H OOF H

� � � � � �

� � � � � � � �

� �# � # � # � # � # � # �

� �� � �

# � # � # � # � # � # � # � # �� ��

− + +

+ +

+� = + ⇔ = +���� = − � = − − + −��

Page 18: Les fonctions de Bessel

@ �������������� �<�$AA)� �8� +��% � �����% �� �% ��������

�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������

���N� ������ ��������� % � �������� ����$

$

�OOF H OF H � F H A� � �

�# � # � # �

� �

� �+ + − =

� �<� ��� ���� �������� �� �� ��� �����

������� ���������C �

; �������!���% � ������ ��� � � � �

$ F H $F H F H F H F H F H�

� � � � �

�# � �# � # � # � # � # �

� �− + − += + ⇔ = − ����N��

F$��H� � � � �� $

OF H F H F H F H F H F H OF H F H F H$

� � � � � � � � �� � �

# � # � # � # � # � # � # � # � # �� � �

+ + + −� �= − − = − ⇔ = − + � �

4 � ����������������������N���S�A�� ������ �� A �OF H F H# � # �= − �

'� ������ ��% �� �� � ���������&�������� ��F��(H��������� �� ��#���������% ����������������

( )

( )

$$ $ $ $

$

$$ $ $ $

$

A

A

� � ��� � � � � �

����

� � ��� � � � � �

����

�+ + − =�

��� + + − =��

�P�

% �������� ��������% ����������

�����������&��% ������

���������������� ���������&����

( )

( )( )

$$ $ $

$ $$$ $

$ $$$ $ $

$

A

A

� � �� ���� � � � �

� � ��� � ���� ��� � � � � � ��� � ��� ���� ����� � ��

�� � � � ��� ���

�+ + − =� � �� � �

� − + − = − � � �� �� + + − =��

? ������������% �������% �����������������������������#���������������� ��

� � ��� ��

� �− � �

<� �������� ���� ��� ��!����

������������� �� ���% ���L� ������������������� ���� ������������������� �<�#�������� F H�# �� ���� F H�# �� ���

[ ]$ $

A

F H F HF H F H F H F H F H OF H F H OF H F H

�� �

� � � � � � � �

�# �� �# ��� � �# �� # �� �� � # �� # �� � �# �� # �� �# �� # ��

�� ��

� �− = − = −� �� �� �

� ������ ���������% ��������� �����������% % � �����

OF H F H F H

OF H F H F H

� � �

� � �

�# �� # �� # ��

���

# �� # �� # ����

+

+

� = −���� = −��

<�������� ������ ��

F$�$H� [ ]� �$ $A

F H F H F H F H F H F H�

� � � � � ��

�# �� # �� �� �# �� # �� �# �� # ��� �

+ += −−� <�

���� ������ �������� ����������������� ������#����

F$�(H� [ ]� �$ $A

F H F H F H F H F H F H�

� � � � � ��

�# �� # �� �� �# �� # �� �# �� # ��� �

− −= −−� �

4 � �� ���� ���&� ���� ���� ���&� ���% ����� �� �� � ���������� ��� ��S��� ; � �������� �� �� �������% � �� ����� � �� � !�% � ������������������ ��� ��!����� ���������������

$$ $ $ $

$ $A A A

� �F H F H F H F H OF H

$

� �� ��

� � � � ��

�# �� �� �# � �� # �� � # � # � ��� �

= = −� � � �P�

��� F H�# � �������������������� �F��(H��������S������N� $ $ $OOF H OF H F H F H A� � �� # � �# � � � # �+ + − = <������� �% �������� ��

���� OF H�# � ����� ������ ��������� ����� ���������� [ ]$$ $ $OF H OOF H OF H OF H F H OF H F H� � � � � � �� # � # � � # � � # � # � � # � # �+ − = − �P�

��% ���L� ���� ����� ��!���������� �������

[ ]$$ $ $

A AF H OF H OF H OOF H OF H OF H F H

�� ��

� � � � � � �� # � # � �� � # � # � �� � # � � # � # � ��− = + −� � �

Page 19: Les fonctions de Bessel

@ �������������� �<�$AA)� �9� +��% � �����% �� �% ��������

�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������

>� ����� ������������ �� [ ]$$ OF H�� # � ���[ ]( )

[ ]$$

$ $OF H

$ OF H $ OF H OOF H�

� � �

� � # �� # � � # � # �

��= + <� ��� ���� ������ ��

� �����% �������������&����% ��������% �������� �������% ����������� �<���� ������������ ��

[ ] [ ]$

$ $$ $$ $

A

� �F H OF H OF H F H

$

��

� � � ��

� # � # � �� � # �� # ��� �

� �− = −

� �� �

�� ���% � ��� ����

[ ] [ ] [ ] [ ]$ $ $

$ $ $ $$ $ $ $$ $ $

A

� �F H F H OF H F H OF H � F H

$ $ $

� � � � � �� � �

�# �� �� # �� � # �� # �� � # �� # ��� � �

� �� � � �= + − = + −

� � � �� �� �

'������������� ��!�������� ������������ ��!���������6�!!� �

Page 20: Les fonctions de Bessel

@ �������������� �<�$AA)� $A� +��% � �����% �� �% ��������

�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������

%��$�! ����! ������! ������

+���� �����F$�2H��N� �������� �� �� �5= + <������&�% ������ �� F�H.ν ����

�F H $ $F 3 $HF H F �H < �< $

� ����

$ $

! ���

2!

�. � � � �� !

ν νν

ν νπ

−= − =

� � � �Γ Γ + � � � �

� �

����� ��

F(��H�� ( )�$ )

F�H $ $F 3 $H

F H $� �

���$ $

� �

�5

2

� �. � � 5 �5 �5

π πνν ν

νν νπ

� �+ −� �� � −−= +� � � �Γ Γ + � � � �

� �

�N�'�������������% ���� ������ �����'�������F �H5 ��

= − <����������� �����'������������

���� ���� �#�� ��!��������� ������&���� ��������� � �% � �<�� �5�S�A���� $$

�5 �= − = �+���� "�F H A�5 > ����

"�F H �3$ν > − � ��� ��!������� ��F(��H������� ���!� ������ ��������� ���������% ������� ���������������������

������M���F +∞ <�ε H<���������������F�H������ ����; �������� �ε ��������������M���Fε <� +∞ H�

������� ε ��� �������A<���� ��!���������F�H��� �������% % � �������A���������������&���% ��������������� ��!�������� ����� ���������F&H���! �F�H������; ����������

F(�$H�� ( )�$ )

F�H $ $

A

$F 3$HF H $

� �

$ $

� �

�5� �. � � 5 �5 �5

π πνν ν

νν

� �− −� � +∞� � −−= +� � � �Γ Γ + � � � �

� �

�� ��!����� ���� ��� ��� ����% ��� ��� ������� ��� ( )�

$ $F H $� 5 5 �5ν −

= + � ��� !�B������ ��% % ����� 5 ���� ���� ���

� ���������������� ���� �`�% % �� ��������� ������ ���������������% � �����% ������������.��

4 �������� ���� ��� �������������% ���

( ) ( ) ( )�

� � �$$ $ $ $

A

F H $ $ � $ $$ $

�5 �5� 5 5 �5 5 5

νν ν ν ν∞−− − −

=

� �−� � � � = + = + = � � � � � � � �

���� ��!�� �����% ��#����% �����

( )�

$A A

A

� ��$ $$

�A

A A $

F H $$$

� �� �

$ $$ $$

�5� 5�

� ��� 5� �

�� �

�5� � 5 �5 � 5 �5

� � 5 �5 � �

� � �

ν

ν νν

ν

ν

ν νν

∞∞ ∞ −− −

=

∞ ∞− − − −∞ − +−

+ += =

� �− � � = � � � �

� � � �− − � � = = Γ − + � � � � � �

� �

�������������% ���������� ��������������

'�

��� �5�

Page 21: Les fonctions de Bessel

@ �������������� �<�$AA)� $�� +��% � �����% �� �% ��������

�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������

F(�(H�� F�H $ )

A

$ $F H

� $V

$

�� �

��

. � �� �

� �

π πνν

ν

π ν

� � ∞− −� �� �

=

� �à + + � �� �

� �� �Γ − + � �

� �

�� �� ����� � �% ������ "�F H A�5 > � ��� ��� ����� ������ �� ���� � � ��� �� ��� ��� � �% � �� � � $�� �����

( )�

$ $F H $� 5 5 �5ν −

= + � �% � �� #� � ��!���� �����% � �� ���� � � ���� ��� ������� ����� �� ��� ��% ���&�� �% �!� �����

�������<������� ��������������� !���������&��P�� ��������� ���������&�% ����(

��!$ $

5π π− < < ���� "�F H A�5 > <�

��� ���� ���� �������� �� #� ( )��� ��! ��! A ��! ��!$ $

� 5 � 5π π+ > ⇔ − < + < � '������� ������� ��� �� ��� � ��� �

�� �������&�������� ����!F�H������!F5H���

�� I� �� �� ����� �������� �� #� ��� �!������ ������� ��� ��� � � ����� ���� ��� � ����� ��� ����������� ���

��!F H $�π π− < < ���% :% ������� �% � �������������#� F$H.ν �� ���% ���L� ��������Z�<���������� ���

F$H $ )

A

$ $F H

� $V

$

�� �

��

. � �� �

� �

π πνν

ν

π ν

� � ∞− − −� �� �

=

� �Γ + + −� �� �

� �� �Γ − + � �

� ������ $ ��!F H�π π− < < �

'�% % �� ( )F�H F$H�F H F H F H

$# � . � . �ν ν ν= + <�� �����������������% � �������� ��b����% � �������c���

$

π−$

π$ππ−

(

$

π−

$

π

��!F�H�

��!F5H�

Page 22: Les fonctions de Bessel

@ �������������� �<�$AA)� $$� +��% � �����% �� �% ��������

�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������

F(�)H���

$

A

$ �

A

�F �H $

$ �$F H ���

�$ ) $F$ HV $

$

(F �H $

$ �$��

�$ ) $F$ �HV $

$

��

��

# � �� �

� �

�� �

� �

ν

νπ πν

π ν

νπ πν

π ν

=

∞ +

=

� �− Γ + + � � � �� �− −

� �� � � �Γ − + � �

� �− Γ + + � � � �� �− − −

� �� � � �+ Γ − − � �

� �

����� ��!F H�π π− < < �+�����������% � ������ � ��!����������������% ��������% �����

F(�,H�� $$ � $ �F H ��� ��

$ ) $ $ ) )# � � �

� � �ν

π π π πν ν νπ π

� � � �� �− − − − − − � � � �� �

� �

���� �

��!�,���"������ ����� ��������������� ���� ����#A<�#��������������������% � �����% ���������F��S�AH�

�� �������� ������� ��% ������� ���� ���� I����� ��� #� �� �� �����% � �� ���� ������� �� ��������� �� ��� ������� � �α= <�������� �������������������% % � ��� �+ �������

+�������� ������% :% �����������������������������% �� ���������� ��<������������������������ �������� $ !π <�!�

� ����<������������������������� � $ $ $ $F H F H F H F H� ! � ! � ! � !# � � � # � # � � # � �π π π πν ν ν ν

−= ⇔ = �����% �����% � �����������

$� !� �π � �� � � !�� ��� � ����� �����$

�π� ���� ����� ��

$

$ $ $F �H� ! !

� !�

� �� �

ππ π ππ

−= = − � ��� �����

��!F H�π π− < < ���������� �� $ ��!F H F � $ H ��!F H F� $ H! � ! � !π π π π π− < + < ⇔ − − < < − �

�� � � !�% � �� ��� ��! �� #� � ����� ����� ���� �� ����� � � ����� � �������� � �� ������ ��� ����� �� ������ �� �� �������������% � ������% �������������������4,��!$������7������P�������������� �����5 ���� ����

b��4�� ��"�� �4��� �4��"��������� ��0� 0��� ��� �4�����!�����"���������������4����� ���"� ���"����� F H# �ν ��������"����������

5������"�0��������7���������8���"4�9:�;<=>������4�����"�0����5����������� ����������4����54�"4�����!��������4������" �"������4��!�������c�

��� ���������� �� � �� F H?.ν � ���% ���� �� ������ ��� ���� ���������% � ��� ���� ������� �� ���� ���� ���� �&�% ����

( )F�H F$H� $F H F H F H ��

$ $ )) � . � . � �

� �ν ν ν

π πνπ

� �= − − − � �

� �

Page 23: Les fonctions de Bessel

@ �������������� �<�$AA)� $(� +��% � �����% �� �% ��������

�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������

&��'������������������������� �

@�����(�����������)����

� ������� � �% �������� ����% ������������������ ����������� ��������� ��������������&��% �����������% ���� ������������������������� �������������� �F��(H� ���������������������I�������% �����F������������S�A<�ν U�H�+���������������&�������� �� �� �����% � �� � ���� �� ���� ������� �����������I�������% % � ���������I������� ��� ���������'��������� ��������������� ��!������ ������������������� C �

-��������������������������������������ν ������������� �ν > − �P�� �������������&�������� �I����F�AH�����������% �!� ���������������� �����������

( )$$ $A A A A

A

A A

$A A

A

F �HF �HF H

$ V F �H $ $ V F �H $

�P

$ V F �H $

�� ���

� �

��� �� �� �# �� �

� � � �

�� �

� �

ν νν

ν

ν

ν ν

ν

∞ ∞

= =∞

=

−−� � � � � � � �= = Γ + + Γ + +� � � � � � � �

� � � �= Γ + +� � � �

�������&������� ������ ����% % ��������% �������������������� ����� ������ ������

_������ �� ������� � I���� ����� ��% ���&��P� ������� �� ���� �A� � � ����� � � FI���� ��% ���&�H� ��� ����� � �� ���

���% ����F$�$H��N� ������� � �� A� �= ���� A� �= ������ M�!�������A����

A A A � A A A � A A$ $AA A

F H F H F H F H F H F H� ��# � � # � � �� � # � � # � � � # � � # � �

� �ν ν ν ν ν ν+ +� �= −� �−� �

�����������������<� F H# �ν ��������!���% � ���� ����� AF H A# �ν = ������� AF H A# �ν = �

+�����������% � �� � � ���

A AA

F H F H A�# � � # � � ��ν ν =� <� % ���� A A A A A AF H F H F H F H F H F H A� � � � � �# � � # � � # � � # � � # � � # � �= = > <�

�������� ���% ���������

4 ��&��% �� ��� ���� ���� ������ ��� ���� ���� ��% % �� � � ����� ��� ��������� ��� ��!� )�P� ��% � ��� ������������������������������% �������

F)��H� ( ) �F H F H�

� # � � # ���

ν νν ν −= ���� ( ) �F H F H

�� # � � # �

��ν ν

ν ν− −

+= − �

�����% ������������ ��#�����������F$��H�������� �OF H F H F H�# � # � �# �ν ν νν −= − + �� ���� �% �������� ������ ��ν − ��

��OF H F H F H� # � � # � � # �ν ν ν

ν ν νν −−= − + �P�

������ ����

( ) ( )��F H OF H F H F H F H

� �� # � � # � � # � � # � � # �

�� ��ν ν ν ν ν

ν ν ν ν νν −−= + � = �P�

� ����!���% � ��� �� ��!�� �����

F)�$H� A�

A

F H F H� �

��� # � �� � # �ν ν

ν ν− =� �

? � ����� ���� �������� ���� ������� �������&�I������� ������������ � #νν � ��� �� �� ��� % �� ��� �I������� �� #ν

ν − �

���������������������� �������% �� ��� �������

+����������&��% ���������������� �������� �������������% �����F$��H��� �OF H F H F H�# � # � �# �ν ν νν += − �P�� �� ��������

���� �������&�I������� ������������ �� #νν

−− �����������% �� ��� �I������� � #ν

ν− �P�� �� �� ���% ���� �����������

����I������� ����% �����F��� AF H A# �ν = ������� AOF H A# �ν ≠ H<���� ������������������I������% % � �#� #ν ���� �#ν + �

+���������� �����������������������������I��������������������� ���� �������������� ��� ���������

��������% ��% �� �� � ������������ ������������������ ������������ ���������C �1��� ���������= ������ ���� ���� ���� � U� ���������������� *�� ���� �� �� ��� ������� ��� I���� �% ���� �� ����� �ν = � 0�� ���� �����������

Page 24: Les fonctions de Bessel

@ �������������� �<�$AA)� $)� +��% � �����% �� �% ��������

�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������

� ������� �� ��� ��!������ � �� ������� ����� � ���� ���� I����� ����� � � ������ � �% ���� ��� �������� ��� �� F���������% � ��� ����H�

���� �

��!�2���,A����% �����I����������� ���� ������������F���% �����������H����������������� ���<�A ,< � ,A� �≤ ≤ ≤ ≤ �

; ������������% � ������% ���#������������������% ������������������������ ������������� �������

+��% ����� ����% ��������������������������������� �����F��(H������������ν �������������� $ �

)ν > �P����� �� �α ����

��α + ����&�I������� ������������ ��������� �������� F H' � ����F��(H<��������

�$ $

$ $�

�3) �3 )� �

� �

� �

π πα αν ν

α α

+

+

< − <− −− −

; ���������������!����������� ����������������� �������π <�����������M���������������� �#������������������ �!������

�� �����% �������N����� �α ��� �� ���������� �� ��

+��� ���

' *�

= <�������

$

$

)OO � A* *�

ν� �− + − = � �

�P������A�� ��������� ����

$

$

)OO � A�

A Aν

α

� �− + − = � �

�P���% % ��

�α � ���� �� ��� �� � �� ������� � ��� ������ ������� � ����� ��������� F H A�A α = � ���� ���� �&�% ���� ��� ��� ���% ��

( )�� A � � �ω= + � �����$

$

�3)�

νωα−= − �P� ����� F H A�A α = � � � �� �� F H A� �� �ωα ωα+ = � = − �P� � � �����

��� ������S��<� ����� ��� ������� � ( )�� �A �ω α= − � >����� �� ��β + � ��� I�������A� ��������� �α � �� �� ��������

������� �<� � � �� ������ � �� � � �πωβ ωα π β αω+ += + � = + � 1�� ���� ������ �� #� % � ����� ���� � �� �α β+ +< � ����

���� ������������������������� �!������

1������ ���� ������� ��������� � �� �α β+ +≥ �������� OF H A�* α > �F���������������� ��������������� �% � ������������

% :% �H���*������������������������ �K P J� �α α + �P�% �� �� � ��������� ����% % �����$������ �% �������������A����

������������ <�

$

$

)OO � AA* A*�

ν� �− + − = � �

��������*�������&��% �<�

$

$

)OO � A�

*A *Aν

α

� �− + − = � �

<�� �������������

Page 25: Les fonctions de Bessel

@ �������������� �<�$AA)� $,� +��% � �����% �� �% ��������

�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������

$$ $

� � �OO OO A

) �

A* A * A*�

να

� �� �− + − − = � �� ������ �� ��!���� ���� �α ���� ��β + ����

( )�$ �

� �$ $

� � �O O F H OF H

)

� �� �

�� �

A*�� A* *A * A�

β βαα

ν β βα

+ ++ +

� �� �− − = − − = � � � �� �

; ��� �������� � �� �α β+ +≥ ��� ��������% ����% �% ����������������F����A�U�A�� ���� �α ���� ��β + <� �OF H A�A β + < ��������

A�Y�A<� �OF H A�A β + < ��� ������� ��������� �% �C H� 0�� �����% �����������������������! ���������� ��<��� ������ �

� �� �α β+ +< �����% ��� �������&����% � �����% :% �����������������!��� �������� �!������� ���� � �� ��α + �#����

��������� �α �

@��������������������� ���! ! ������������

0�� ���� ��������� ���&���% ��� F H# �ν � ��% % �� �������� ] ������������ � ��� ����� ���� ��������� ����������� �����

�������% % � ��; ���������� �� % �� ���� ��������������!� ������N�����I���������� ��:������% ���&��<������

��������ν �������% ���&��; � ���� �? �����I���������������������������������� F H F HB � � # �νν

−= ��� !��������������

�������������� ���F���b������������c����b������!�� ��cH�'�% % �� F H� # �νν

− ����������<���������!���% � ������I�����

�?− �

+�� � ��� ����!������� !���%��� ��������% % ������ ����&���� ��� � ��± ± ��N����b������!�� ��c�I�������� !?− �#�

!��� ����� !? �#��������

'� ������ ��% �� �� � ����� ��!����������������� !����� �F H

F H F H%

# 5��5

5 5 � # 5ν

ν

+

−� ��N������� ��% �������������� ��

� �������� ��� ����� !��� F����� ���� I����H� ��� ν � � � � ����� �!����� ��� ������ �T���� #� ��� �������� ���%� �� ��

�< � < < !? ?± ± �P������������������ ��I����� �F H

F H

# �

# �ν

ν

+ <���������������&���� ��� � < < !? ?± ± ��� ��� �

� �� ? ?±

����������

�F H F H# � # �ν ν +′ = − ��������� �� ?= ± ���������F$��H�; ����� ���

� �

� �

F H F H� � � � �

F H $ F H F H

! !

%� � � �� �

# � # 5��5

# � � ? ? � ? ? � 5 5 � # 5ν ν

ν νπ+ +

= =

� � � �+ + + − = − + −� � � � � �

1��� ���� ��������������% � �����% ������������ F H# �ν <�� �% � �������� �F H

F H

# 5

# 5ν

ν

+ �������� ������������������ ��

������% � ��� �����%<������������� ��!����������������� �������A������������������ �� ���������� �� ��; ����� ���

� �

F H � � � �

F H

! !

� � � �� �

# �

# � � ? ? � ? ?ν

ν

+

= =

� � � �− = + + − − +� � � �

0 ��!�� ����

�������������� ����

[ ]�A

A A

F H OF H F H� F H �

F H F H FAH

� ��# � B � B �

�� �� B �# � B � Bν

ν

+− = = =� � �

+������������ FAHB <�� ���������$ $

F H F H FAHF �H F �H

� # � B � Bν ν

νν ν ν

− −− = = + � =

à + à +������ ���% � ��

( ) ( ) ( ) ( )�

A� �

$

$� � �

F H� � � �

F H

� � � � � � P

! !�

� � � �� �� �

� �! !? ?� �

� � �� � �

# � � ��� � ? ? � ? ?

# � ? ?

� � �� �

? ? ?

ν

ν

+

= =

∞−

= = =

� � � �− = − − − + + + − −

� � � �

� � � � � �� �� � � � = − + + = � − � � �� � � � � �� �� � � �

Page 26: Les fonctions de Bessel

@ �������������� �<�$AA)� $2� +��% � �����% �� �% ��������

�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������

$ $

$ $� �

F H �� F H �

F �H $$

F �H� �� �

� # � � � �# �

? ?

ννν

νν νν

∞ ∞−

−= =

� � � �� �= − ⇔ = − Γ + � �� � � �Γ +

∏ ∏ �

Page 27: Les fonctions de Bessel

@ �������������� �<�$AA)� $E� +��% � �����% �� �% ��������

�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������

+��,�������! ������- ��*� �

<������ ������ ����! �����) ��

>�� % :% �� ������ ���� ��� ��� ����% ������ �������<� � � ���� ��� � �� ��� ����% ���#� �������� �� ���� ����� ����������% ���� �� ��� ������ � ��� �� �� ���� � '���� ��� ��� � ��� ��� � ��� � �� ��� �� �� �� ��� ��� � � ���� ������ ���� ����� ���� ���� T% ������ �!� ���<� ��&�% :% ���������� ������� ������������������� �!� ������ ? �% �% �������� ��������% ������������������������� ���������������������!,�����.���� ��

; �����������% % ����� �������������������������F$�$H���

[ ]� �$ $A

F H F H F H F H F H F H�

� � � � � ��

�# �� # �� �� �# �� # �� �# �� # ��� �

+ += −−� �

+��� ��A

F < H F H F H F H� �

�. � � �� # �� �� �� # �� � � ��ν ν ν= � � ��� ������� ���������

A AF H F H F H F < H F < H F < H F < AH

�� # �� �� �� # �� � � �� . � . � � . � � . �ν ν ν ν ν νδ δ δ δ∞

= ∞ + + + + − + −� � �P�

��!���� �������% �����% � �����.ν ���� ������ ���������� �� ����

A A A AF < AH F H F H F H F H F H F H

� � � �

. � �� # �� �� �� # �� � � �� � �� � �� �# �� # �� ��δ δ

ν ν ν ν νδ− −

− = =� � � � �

����� ������ ��!�����������������������F$�$H���

� �$ $

A

F H F H F H F HF < AH F H

� �# �� # �� �# �� # ��. � � � �� � ��

� �

δν ν ν ν

ν δ−

+ +−− =

−� �

; �� �������� �����������������������������������#��<���� �� �

F H A� � � �

# �� � �

ν− � �= +

� �����N������������� ��

�������� �� �� ( ) ( ) �$ $ $ $

A A

F H F HF < AH A F H A F H

� �# �� �# ��. � � �� � �� � �� � ��

� � � �

δ δν ν

ν δ− −

+− = −− −� � �

�����% ������ ��!������������% ������ ����&������� F��� �� � � � �

−� �� �������������A� ���������� �� �������

��� �� �H���

�3

$ $ $ $ $ $A �3 A

F H F H F HF H F H F H

� � �

# �� # �� # ���� � �� �� � �� �� � ��

� � � � � �

δ δν ν ν

− −= +

− − −� � � <�

��������� ���

��3 �3 �3$

$ $A A A

�3

�3$A

F HF H A F H F H A F H

�A F H A

� � �

# ���� � �� � � � �� �� � � � � ��

� �

�� � ��

��

νν νν

ν

ν

+

+

� �� �� �= =� �− � �� � � �

� � � �= =� � � �� �

� � �

��

���A

F H� � ��∞

� ������� ���!� ���

+���� �������� ���� ��� �� ( )$ $ $ $

�3 �3

F HF H � �F H ���F H �� F H A

� �

� �

�� �# ���� � �� � �� � �� ��

� �� � � �

δ δν

− − � �= + = − − � �� � � ; �

������� ������� ��������

F < AH A A�

. ��

ν δ →∞� �− = → � �

�; ������ �����% :% ������ F < H A�

. �ν δ →∞∞ + → �

�� ������������P������������ ��#���!�����������% �����% � ����� F < H. � �ν δ+ ���� F < H. � �ν δ− ���

1������ ������� �������F P H� �δ δ− + <� �������� ��% � ����������

Page 28: Les fonctions de Bessel

@ �������������� �<�$AA)� $8� +��% � �����% �� �% ��������

�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������

A<

�F < H F AH

$�. � � � �ν δδ → →∞+ → + ��������

A<

�F < H F AH

$�. � � � �ν δδ → →∞− → − �

'�% % �� �� ���� ��� ��<� ��� � � ���� ��� % :% �� ����

F H� �� �ν � ���� K P K� � δ+ <� �����

� $� �

F H F AH F H F H� � � � � � � �� � � �ν ν= + + − � �N� ��� ��� �$� �� �� ���&� �� ���� �� ������� ���� ��� �<� ���������� ���

� ����������#�� ��������������ε ����� �� �����δ �; ���% �������� ��.ν ����

�3$ �

A

� �� $

A A

F < H F AH F H F H

F H F H F H F H F H F H

� �

� � � �

� �

. � � � � � # �� �� # �� � ��

� �# �� �� # �� � � � �� � �# �� �� # �� � � � ��

δν ν

ν ν ν

δ δν ν

ν ν ν ν

δ+

− − +

+ ++ +

+ = +

+ −

� �

� � � ��

"�������� ��� �� �������������F$�$H��� ��������% �������% ����

� �� �

A

� �� �

A A

F AH F H F HF H F H

F AH F H F H F H F H F H

� �

� � � # �� # �� � � # �� � ��

� � � � # �� # �� � �� � # �� # �� ��

ν ν νν ν ν

ν ν νν ν ν ν

δ δ

δ δ

− + ++ +

− + ++ +

� �= + + + −� �

� �= + + + −� �� �

� ��

= ���� �������� ������ �A

A �

�F H F H �

$A �

� �

# �� # � �� �

ν

ν ν

+

� < <��= =��

>��

� � ��� ������ ���� �������� �� �� ������� ��� �� ����� δ �

�����A<��

� �� �

A A

�F H F H F H F H F H F H

� �� # �� # �� � �� � # � # � �� � �

� � �

νν ν ν ν

ν ν ν νδ δ δ δδ δ δ

∞ ∞+ +

+ +� � � �+ + = + = + → + + +� � � �� � �

�����

� �� �

A A

� �F H F H F H F H

$

� # �� # �� �� � # � # � �� ��

ν ν νν ν ν ν

∞+ +

+ +→ =� � �

; ����� ���% � ��#������% �����

�3$ �

A

� �F AH F H F H F AHF H F AH

$ $

� �

�� � � # �� �� # �� � �� � � � � � � �

δν ν ν ν ν

ν ν

+− − + −+ → + − = +� � �

+�����������&��������� ��!�����<����������� ��% � ���������������� �������� ����� �������

� �� �

A AF H F H F H F H F H F H

� � � �

�� �# �� �� # �� � � � �� �� � � �� �# �� # �� ��

δ δν ν

ν ν ν νλ

δ+ +

+ += +� � � � � ����� � �λ δ< < + <� �����

��

A F H F H F H

� �

�� � �# �� �� # �� � ��δ

νν ν

λδ

++= + � � �P� ��� ������ ����� ��!�B���#� F)�$H� ������&��% ��� ��!����<�

( ) �� �� �

�F H F H F H

�# �� � �� � # �� � # �

δ νν νν ν νδ δ λ λ

+ ++ ++ +� �= + + −

� �� �������������� ���% ���L� ����

( ) � �� � � �

A A F H F H F H F H F H F H

� �

�� � � # �� # �� � �� �� � # �� # � ��ν ν

ν ν ν νδ δ δ δ λ λ+ ++ += + + + − +� � ��

; �����A

A

A

$

� �

� �

ν

�� ≥ >�

≥��� ≥ −�

�� ���A

F H F H AF�H�

�# �� # �� ��ν ν + =� �����������������������<����&������� �������� ��������� ��

�������������� �F H� � δ+ <������ε ������ �������A���������δ ��� �������A�

Page 29: Les fonctions de Bessel

@ �������������� �<�$AA)� $9� +��% � �����% �� �% ��������

�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������

������� �% � �������&����% � �����% :% ������� F < H. � �ν δ− ���� �������� � ���� ��

[ ]A

A A

�F H F H F H F < H F < H F AH F AH

$

�� # �� �� �� # �� � � �� . � � . � � � � � �ν ν ν ν δδ δ∞

→→∞

= + + − → + + −� � ��

������� ���������� �������������% � �������

[ ]A A

�F H F H F H F AH F AH

$�� # �� �� �� # �� � � �� � � � �ν ν

∞ ∞= + + −� � �

1�� ���������� ���

AF H F H F H� � �� � # �� ��ν

∞= � �

� ���% ���L� �� F H�� � �������F�H<� �������� � ��F�� ������������ ���� ���� ��� �� ���� ��H��

AF H F H F H�� � # �� �� � �ν

∞=� �

��������������!� ������0���������������� ����% ������. � /��$�

0�= ���"������������ ��� ��9(��� ����% � ������� � �������� ���������� ������������ ���� ��� ���������������������������I��� ��0�7 �1 ���� <�����������������!�<���,��

; ������ �� % �� ���� ��������� ������������������� �����������������

1����������������������ν ����������������#�X��������� ��� F H F H F H&

�� � � � # �� ��νϕ= � ������ A � &≤ < ≤ ∞ ��������

A

F HF H F H

A A ��

� � � &�� � # �� ��

� � & �νϕ∞ < <�

= � < < < < ∞�� �

'�� ��������� ���� � � ����% �� ������� ���� ��� ������� �� ������� ����� ���� �� ����� ���% ��� �<� % ���� ����� ��� � ���� ��!����������� ������� ����

$ $A

�F H F H F H

2

��� � # �� �� �

� �

ν

νξϕ ξ ξ

π ξ ξ

∞ � �= −� �� � <�

����������% ������������������������� ��!����������� !�!�� �������� �������� ��!����� ���������I���% ������������������ ��������������

<�����.��#�� �����/�����

'�% % �� �&�% ���� F�% ����� �H� ������������ � ���� �� ������ �� ��� ��!������

A

F H F H� !! �

# �� # ���

− −� � ��� ��� � ��

�$ �$

F H F� HF H

� !� ! �� � �

! �ϕ

+ −− −= −

Γ −�P�� �� ��������S�A����&�S������N������ ���� ����� �������������

� � $� �� $ � � $ �

$A A

A

$ $ F �H F HF H F� H F H F� H

F H F H $ V F �H

� ! � ! � � �� ! � � ! �

� � ��

��� � � � # �� �� � � ��

! � ! � � � �

∞+ − + − ++ − − + − −

+=

−= − = −Γ − Γ − Γ + + � � <�

�N� ������� ����% ������ F H�# �� ������� ����������% � ��� �������

�����������������������������������������������������������

$�+����������������� ����� �� ���� ����� ��������� ����% ��������������������� �� ���������������� ����% �������. � /��������� ��������

�� &� ξ

2�

Page 30: Les fonctions de Bessel

@ �������������� �<�$AA)� (A� +��% � �����% �� �% ��������

�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������

+��� �������� $0 �= <� �������� ���

$ $��

$ $A

A A

� F �H � F �HF H F� H F H

F H V F �H F �H V$ $

� � � � ! � � !� � ! � � !

!! � ! �� �

� � �� � 0 0 �0 � # �

! � � � � ! � �

∞ ∞+ + −+ − − −

+ += =

− −= − = =Γ − Γ + + Γ + + � �

F���������������������M�������������������������� ���% ���������������� ������������������������� ���� �`�% % �H�

0��������#�������������� ����% ����� ����

AF H F H F H� !

! �� # � � � # �� ��ϕ− = � <�������

$ �

��

A A

F� H��A �F H F H

F H F H $ F H

A �� �

� ! �

� ! ! � ! �! � ! �

� ��# � # ��

� � # � # �� �� �� ! ��

− −∞ ∞

− − −− −

� − < <�= = Γ −�� >�

� � �

<"������� �����������������! �������- ��*� �������������

4 � �� ��� ���� #� ���&� ��% � ��� �<� �� ������ �� ��� -�� dF < H� � 0 � ��� �� �� ���� � F < H� � � ���

F H�dF < H F < H$

� �� 0�� � 0 � � � � ����π

+∞ +∞+

−∞ −∞= � � <�% ����� ���� � ������ ���� ������% � ����� $ $� � �= + ����

$ $ F H�dF < H F H$

� �� 0�� � 0 � � � � ����π

+∞ +∞+

−∞ −∞= +� � �

+���� ��� ������� ���������������������� �����F�<��H���������F�<�0H������

��

� �

� �

θθ

=�� =�

�������

��

0

ρ ϕρ ϕ

=�� =�

<������� �����

���F H�� 0� �ρ θ ϕ+ = − ���� ���� ����θ= �; ���������

$ $���F H ���F H

A A A A

� �dF < H F H F H$ $

�� ��� � 0 �� � � ��� �� � �� � �π π

ρ θ ϕ ρ θ ϕθ θπ π

+∞ +∞− −= =� � � � �

'�% % �� ϕ �������G���� �� ������&��% ��� ��!�����#� ���% � �������� ��� ���<�������% �� �� ������ ���������� �

����� ��

F,��H��$

���

A A

�dF < H F H$

��� � 0 �� � �� � �π

ρ θ θπ

+∞= � � �

; �� ��� ��� ����� � ��!����� ���� �� ��� F����� F$�(HH� ���N� AA

�d dF < H F H F H F H$

� � 0 � �� � # � ��ρ ρπ

+∞= = � <� ����� ���

��� ����% ������. � /�����������A��

? ������� ������% � ���������������� ����������-��� ���% � ��� ��<���������������� ���

� � �

�dF < < H F < H $

�� �� � �� � � � � � � �� ��

π

+∞ +∞

−∞ −∞= � �

� �

����� � �� �

� ��������������������������������� �F < < H�� � �=� ���� �F < < H�� � �=� <��� �<�������������������� �������

�� ���� �������� � �=����

� $ ����

A A�$

�dF H F H �� � � �

$$ $ $

� � ��

�� � � � � �� � �

πρ θθ θ

+∞− −

−=

� � � �Γ Γ − � � � �

� ��

<�

�����% % ���

( )

�� ��$ ��� $$

�A �

$

F H� � �

�� $$ $ $

��� ��

# �

� � �

πρ θ

ρθ θ

ρ

−−−

� � � �= Γ Γ − � � � �� <�

� ����������

Page 31: Les fonctions de Bessel

@ �������������� �<�$AA)� (�� +��% � �����% �� �% ��������

�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������

� �� �

$ $�

�A$

dF H F H F H� �

�� � � � � # � ��ρ ρ ρ

+∞− −

� � = � �

� �

? ����� ��

��

$F H F H�

� � � � �−

= ����

��

$ dF H F H�

� �ρ ρ ρ−

= <�� ����������

AF H F H F H� �� � # � ��νρ ρ

+∞= � ����

AF H F H F H� � � # � �νρ ρ ρ ρ

+∞= � �

!�B���#�������% ������� ������ ���������� ����% ������. � /���

Page 32: Les fonctions de Bessel

@ �������������� �<�$AA)� ($� +��% � �����% �� �% ��������

�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������

0������������������ ����������! ��������� ����

1���� � �� �� ���� � �<� ���� ��� ��A

F H F H��� � � � � ��∞

−= �� � ��� ��� ����% ��� ��� ������� F����� �������� ��� ���

�� ���!� ������ ��������� ��!����<����H�

C�����,�������! ��������� ������������������������ �

+���� � � ���� ��� ����� �� ������ ������� ����� �� !� ���&�������� ���� ���� �� ���� �� ��� ������� �� �� ����� ������ ��&��� ���� �� ����!��% ������������������������% � ��#��

( )$ (

$ �F �H F �H F �HF $H F �HF $H

P P P � �V F �H $V F �HF $H (V

�� � � � � � � � � � � � � �� � � " �

" " " " " "

+ + + + + += + + + ++ + +

'����� ���� ��� ����������������������������������������� �

F2��H�� $ � $ ��

F P P P H P P P�F� H�

�� � � " � � � " � "

��

� �= − −� �−�

7 ����� ��� � ������#������������ ��!�����A

F < < H F H��# � � � # �� ��ανν α

∞−= � <�������� ������ ���������� ����% ���

������������� F H� # ��αν �1��� ������� F H# ��ν ���������% ����������<� ������� ���

$$

A

F �HF H

V F �H $

���

�� # �� �

� �

να ν α

ν ν

∞ ++ +

=

− � �= Γ + + � � �

����

$ $$ $

A AA A

F �H F �HF < < H

V F �H $ V F �H $

� �� ��� ��� �

� �

� �# � � � �� � � ��

� � � �

ν νν α ν αν α

ν ν

∞ ∞+ +∞ ∞− −+ + + +

= =

− −� � � �= = Γ + + Γ + +� � � � � � �

�������� �

AF H � �� � � ��

∞ − −Γ = � <��

$

$ $$ � $ �

A A A

� �F$ �H

�� � � � �� �

� ��� � �� � � � �� �

� � � �

ν αν α ν α

ν α ν α ν α+ +∞ ∞ ∞

− + + − − + ++ + + + + +

� �= = = Γ + + +

� �� � � <�

���N�

$ $

$ � � $A A

� F �H F$ �H F$ �HF < < H

V F �H $ V F �H$

���

�� �

� � � � �# �

� � � �� � �

ν ν

ν α ν ν αν α ν αν α

ν ν

∞ ∞+

+ + + + += =

� �− Γ + + + Γ + + +� �= = − Γ + + Γ + +� � � � �P�

� �� �� �������� ��������������������à <�� ������ ��

( )

$

$ �� $

� � � � ��

$ � � � � �$ $ $ $ $F < < H P � P � P

� $ $ $ $ $�

$

� �# � �

� �

α ν

ν α

α ν α νν α α ν α ν ν

ν+ +

� � � �Γ + + Γ + + � �� � � �= + + + + + − � � � �Γ Γ + � �

? �������� ��F2��H�� ������ ���������

( )

$

$ �� $ $$ $ $

� � � � ��

$ � � � � �$ $ $ $ $F < < H P P � P

� $ $ $ $ $�F H $

� �# � �

� �� �

α ν

ν α

α ν α νν α α ν ν ν

ν+ +

� � � �Γ + + Γ + + � �� � � �= + + − + � � +� �Γ Γ + + � �

?����% % � ������ ���� �� Aα = ������S���� ������ ���

Page 33: Les fonctions de Bessel

@ �������������� �<�$AA)� ((� +��% � �����% �� �% ��������

�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������

( )$ �� $

A$ $

� � ��

� � � � � �$ $ $F H F H P P � P

� $ $ $ $ ��F� H $

��# � � # � �� ��

ν ν ν

ν νν ν ν

ν

∞−

+

� � � �Γ + Γ + � �� � � �= = + − + � � +� �Γ Γ + + � �

�� �

� ��������% �� ������ ���������������������������% � ���&������������� ��������� ������

( ) F �� H

A

� �F H ��� ��

$� �� � �

�# � � � �� �� � ��π π

ππ π−

−= − =� � <�

����� ��� � ���������

F2�$H�

F �� HF �� H

A A

F �� H

A

� �F H

$ $

� �

$ �� $ ��

�� � �� � � ��� �� � ��

� �� � � �� ���

# � � �� � �� � �� ��

� ��� ��

� � � � � �

π π

π π

π π

π π

π π

π π

+∞ +∞− − −−

− −

+∞− −

− −

� � � �= =� � � �� �� �

� �−= =� �+ +� �

� � � �

� �

�N� ��� ��������� � ���� � ��!������ ���% ��� ������������ � �� ������� ��� ������� +��� �� % �� �� � �� ��� �= <�

���� �� ��= ����� �

�� $

� �� �

� �= − � �

�P���� ������������� π− �#�π <�������������������������!� �% ����������

$

�F H

$ �

�2

�# � ��

� � ��π=

+ −�� �

$ $ �� ��+ − ������&����� ��� $� �� � �= − − + ���� $

$ �� � �= − + + ��� ��������������&��% ������#���� ��������

��� 2�P� �$� ���� � � �T��� ��� ��� �� ���� � #� � ��!���� ��� ��� ��!����� ���� ��� ������� ��� ������� ��� ������ �� ���� ���������% � ������T��<�������

( )$

$ $$ �

�F H $

� �

� � �

� ��

# �� � � �

=− + +

− + +� �� �= =� �+ + + +� �

� ��

1��� ���% ����������������� ��F2�$H<�� ������ ������� ���� �����������% ��������-�<����� ������� F H F H�� �- � � # ��−= �

���!�B���#���������������������% �!����������������

��

� � � �

������ F H�� ��� <�

( )$

$

�F H

� �- �

− +=

−� �

? ������������ ���� ��#������-���� ��� ������������������� �������������#�����!�% � ������������������#���� ����<���������������������������� ������������� ��#������ ������ � �� �������

C�����$� �� ���� �! �#������1�������������� �������

�����% ���������������������% ����F$��H�������� ����#�� ���� ������� ����� �

A

� � �F H

�� �

� � � � ���� �

−+∞

+ +� �

= � � �� ����

������ ���� ���������������������������� �������������� �����

F2��H�� ( )3$

� �A A

� � �F H F H �N F H $ F H

� ��

�� �

�� � � � �� � � # �� � � ��

� �� �ϕ ϕ

−+∞ +∞

+ +� � � �= = =

� �� � � �� � �

; ������������������������������������� ���������������-���������� F HV

!�� �

!= <��

Page 34: Les fonctions de Bessel

@ �������������� �<�$AA)� ()� +��% � �����% �� �% ��������

�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������

�A A A

� � �F H

V F �HV

! !�� �� ��

! !

� �� � � �� � �� � ��

! � ! � �

−+∞ +∞ +∞− − −

+= = = = =−� � �� �

� ������ ��� ����������� ���0++�7 ���I���������������� ���� ��!� � �� ��������% :% ���% �!� �����������������

������������������#�Z�<�� ��� F HF �H

!�� �

!=

à +������ ��% �!��

�F H

!� �

� +=� �

+�� � ������� ���� ������ ��������������� ������ ���������

$

3$ 3$

A A A

$ F �H $ F �H F �HF H F H F$ H F H F H

$ VF HV $ F HV V V F HV

� �� � � � � � � �� � � �

� �

� � �

�� �� � � � �� �� # �� �� �� �

� � � � � � � � �φ

∞ ∞ ∞ +

= = =

� � � �− − −= = = = + + +� � � � <�

������ ���� � �������% �!����������������� ��������% ����

� � �A A

F �H � �F H

V V

��� � � ���

� � � � �� �

� � � �� � �

� � �� � �φ

∞ ∞ −

+ + + += =

� �−= = − = � �

� �

"��� � ��#�F2��H����

� � �A A A

A A A A

� � � � �F H F H F H F H

� �F H F H F H F H

� ��

� ��� � � � �

�� ��� �� �

�� � � � �� � � � �� � � � ��

�� � � � �

� � �� � � �� � � � �� � ��� �

φ

φ φ

− −+∞ +∞ +∞

+ + +

+∞ +∞ +∞ +∞− −

� �= = =

� �

� � � �= =� � � �� � � �

� � �

� � � �

� �

���3$

3$

A A A

� �F H F H F H F$ H F H F$ H F H

��

� � �� �

�� � � �� �� # �� � � �� # �� � � ��

�� �φ

+∞ +∞ +∞� �= = � �� � � �

C"����� �� ��������� �����! � �! �������

; ��� ������� �� ����������� ���� �� F% ��������������� JA< J� +∞ H������ ��� ����� ��������� ���� ���������������

�������% �!���; ������������"������������������� ���� �$

A

$F H

��� � ��

π−Θ = � �

��

F H��� - ���

− �$

$ $

� � �

� �

+ −+ +

[ ]F H F H$ F H

� � �� - � � �� � �

νν νν − + −−

<� Aν > � ( ) $$ $� � � �

ν−+ + + �

[ ]F HA F H� � �� - � � �− + − � ( ) �

F $ HF $ H� � � �−

+ + �

�F H

$

��� - ���

νν ν− <� �ν > − �

( ) $$

$

� � �

� � �

ν−+ +

+�

AF H- �� <� AF H# �� � $ $

� �−<�

$ $

� �+�

�3$

�3$F HF H $

�- ��

ν

νπν

−� � Γ � �

<��3$

�3$F HF H $

�# ��

ν

νπν

−� � Γ � �

� ( )$ $� �ν−

− <� ( )$ $� �ν−

+ <� Aν > �

F H# ��

��

νν

ν� ( )$ $� � �

ν−+ + <� Aν > �

�F H- ��

�νν <�

�F H# ��

�νν � ( )$ $ $ $

� � � � �ν−

− + −<�

( )$ $ $ $

� � � � �ν−

+ + +<� Aν > �

Page 35: Les fonctions de Bessel

@ �������������� �<�$AA)� (,� +��% � �����% �� �% ��������

�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������

AF$ H# �� �<�

$�F$ H

�# ��

ν

ν

−� � � �

<�

$�F$ H

�- ��

ν

ν

−� � � �

�3� � ��

�− <� 3� � ��

�ν− <� 3� � ��

�ν �

����F$ H���π

<��

�� F$ H���π

�3� � ��

− <� 3� � ��� �

− �

���� F$ H���π

<��

�� F$ H���π

�3� � ��

�<� 3� � ��� �

$

)

($

���

�π

−<��

$

� �− Θ � �

<�

$

)�

���π

−<�

$

)�

$

���

−�

� ��− <�� � ��

−<�� � ���

− <� AF H/ � � �

$

)�

$

���

−<��

F $H� ��

+ <�

$

)�

���

−� AF H/ � � <� �

�F H��� / ��

�<� ��

F H/ � ��

<� A� > �

AF H) �� <� AF H/ �� �$ $

$ $

$� � � �

�� �π

+ +−

+<�

$ $

$ $

�� � � �

�� �

+ −

−�

( )3$$ $�� �

� � - � ��

νν

νλ λλ

− −� � − +� �<� � λ> � F $ H

F $ H

F $ H

� � �� � � � �

�� � �

νλ− +

� �+ − +� �

+�

( )3$$ $�

� # � ��

νν

νλ λλ

−� � − +� �<� � λ> �

$ $$ $

$ $

� �� � �

�� �

ν

λ− +� �+ −� �� �

+<� Aν > �

( )3$$ $�

� - � ��

νν

νλ λλ

−� � − +� �<� � λ> �

$ $$ $

$ $

� �� � �

�� �

ν

λ− −� �− −� �� �

−<� Aν > �

( )$ $�

$ $

�# � �

λ λλ

−−

<� � λ> � $ $� ��� � λλ − +− − <� Aν > �

( )$ $�

$ $

�- � �

λ λλ

−−

<� � λ> � $ $� � �� �λ λ− − −− <� Aν > �

���F$ H� <� ���F$ H� �� ����

� �<�� ���

� ��

2���) �#������

?�. �����<�` �5 � ��<�6���� ��������� ���� �4�������<�1��� !��<�$AA��

� -���������� ������� �����,����������D��

7 ��������<����"��������� ���&��<�?�������<��992�

� A�������� �0���������$��,�����!������$��" ���������"� ��E� ���D�1�"�!!���,�������,�����D�

>�> !��<�2�!� ,!�����������4,!���&���<�= ���� ����'��<��9EA�

� ��$��" ���������""��"�>��!� �!��������������?��&�����7�,D���� ������0�������������""�����D�����"�!� ������������� �"����������,����������E� �F �"���"��,D��

. �. �� �����<�6������"��������� ���4���&���!��4,!���&��<�= ���� ����'��<��9E(�

� F����,>�!���� ��$�� ���,��������G� ��� "� "� �� ����� �������� ������!����!,������� ��� ���� ��������D6E� ������ ������ "�!� ��� ��������� >���� �"�������E� �����&��D�

5 �>����<����4,!���&��������� ���4���&������ ����4���"����<�. e f���<�$AA$�

Page 36: Les fonctions de Bessel

@ �������������� �<�$AA)� (2� +��% � �����% �� �% ��������

�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������

� ������������0������������!� �������"�>�!����������"�!��,4����� �D�

"�`���% � �<���� �������4,!���&��>�0� �--<�1��� !��<�$AA(�

� 2�����!��������"�"������ ��&�����������B�!!��8���0����� ������� E������"�( �3������������ �:D�

5 �"��� <���� �����,� �����"�!� ���<�4 � ��<��998�

� ������!����!���������� ���� ����"�!� ���>���0������"( @D�2�!!���������4������&��������#����%4�!����D�

1�4 �' �����M�<�2���������� ���>�0� �--<�+�������+������ ���������� �����% � ���<��99E�

� A����,�,���"��,"���������������� ����$��" ��������""����� ��G���!��������������4������&���D�

` �4 �% � !��<���������!����������6�� �"�<�?�������<�$AA$�

� �� ��,�������,����������������� ���� �������� ����0�� ��������� �E� "����H���� ���� "�����������&��������D�6����� ���,������������������"�������������� ������������!,�����6�� �"�D�

?�-�5 ����/���e �` �7 �5 ���� <���!������"������������ ����<�'�% ����!��� ���������+����<��9$E�F$AA(H�

� �����&���"������������� ����"�������������"� ��E� ���D�6���,�,���"�����������,�!������������ ��@$!��,����������,�����I3=D�6�� �0������� ��!J!��"������������"�������"4������������������"���������� ���"�������$�����,�������K ������"�$��!���D�

` �7 �5 ���� <����������������4���4������������� ����"�����<�'�% ����!��� ���������+����<��9$$�F�992H�

� �J!��� ��!��&���� &��� ��,",��!!������ �� �,�,���"�� ���� ����"���� ��� ��?���� �,�� ���� �D� ��� ����� � ��� !J!�� ��� "���������&���������������,����,�������0���!������� �D�

0�7 �1 ���� <�����������������!�<�4 ����<�7 �] �[��/<��9,��F�99,H��

� ����"��������� �"�������E�������!������0���,�D�F�� �"�������������" ������!J!����� ���������������0�����������D�

? ������������ ���������<������������"�������������� �������&���������<����������� ����<�$AA)�

� 6�����!� ������������ ,���D�%�!!����L�

7���-�������>�����!� ����"4����K 0�����������!� ����

� ������������������ ��

����33] ] ] � �����34 ���+ ��3�����3 ���� �% ��

>��������������� ������������� ������

����33] ] ] ���� ���� ��� � �����3� ������3�����3��� ����3�� �����3����& �% �

+����� �����������������% �������������� ��� ��� �������������% % � ����

����33% �� ] ����] �����% ��% 3`�% % ��� ���� �% ��