ECUACIÓN DE

BESSEL Juan Camilo Sacanamboy

APLICACIONES

• Propagación de ondas.

• Potenciales estáticos.

• Conducción del calor en objetos cilíndricos.

• Difusión de una red.

• Procesamiento de señales.

INTRODUCCIÓN

• Ecuación de Bessel de orden v

• Cuando se resuelve la ecuación se supone

que 𝑣 ≥ 0

SOLUCIÓN

x=0 es un punto no singular regular de la ecuación de Bessel, se sabe que

existe al menos una solución de la forma y = 𝑐𝑛𝑥𝑛+𝑟∞

𝑛=0 (T. Frobenius)

• Ecuación indicial: 𝑟2 − 𝑣2 = 0

o Raíces indiciales: 𝑟1 = 𝑣 y 𝑟2 = −𝑣

SOLUCIÓN

• 𝑟1 = v

Entonces,

SOLUCIÓN

• La elección c1 = 0 implica que c3=c5=c7=...=0, por lo que para k=0,2,4,...

se encuentra, después de establecer k+2=2n, n=1,2,3,..., que

• Con esto se tiene que,

SOLUCIÓN

En la práctica se acostumbra a elegir a 𝑐0 como

Reescribiendo,

FUNCIONES DE BESSEL DE

PRIMERA CLASE

• Si se usan los coeficientes 𝑐2𝑛 apenas obtenidos y r = v, una solución de

la ecuación es y = 𝑐2𝑛 𝑥2𝑛+𝑣∞

𝑛=0

Funciones de

Bessel de primera clase

de orden v

SOLUCIÓN GENERAL

• v = 0 : ambas soluciones son la misma (Problema!)

• v > 0 y 𝑟1 − 𝑟2 = 𝑣 − −𝑣 = 2𝑣 no es un entero positivo o Caso I-Sección 6.2: 𝐽𝑣 𝑥 y 𝐽−𝑣 𝑥 son li

𝑦 = 𝑐1𝐽𝑣 𝑥 + 𝑐2𝐽−𝑣 𝑥 . (Bien!)

• v > 0 y 𝑟1 − 𝑟2 = 𝑣 − −𝑣 = 2𝑣 es un entero positivo o Dos posibilidades

v=m=entero positivo: 𝐽−𝑚(𝑥)y 𝐽𝑚(𝑥) no son li (Propiedad (i) )

(Problema!)

v es la mitad de un entero positivo impar: 𝐽−𝑣(𝑥)y 𝐽𝑣(𝑥) son li (Bien!)

• La solución general en (0,∞) es

𝒚 = 𝒄𝟏𝑱𝒗 𝒙 + 𝒄𝟐𝑱−𝒗(𝒙), 𝒗 ≠ 𝒆𝒏𝒕𝒆𝒓𝒐.

ECUACIÓN DE BESSEL DE

SEGUNDA CLASE

• Para cualquier valor de v la solución general

en 0,∞ se puede escribir como:

• 𝒚 = 𝒄𝟏𝑱𝒗 𝒙 + 𝒄𝟐𝒀𝒗(𝒙), donde

𝑌𝑣 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑣𝜋 𝐽𝑣 𝑥 −𝐽−𝑣(𝑥)

𝑠𝑒𝑛𝑣𝜋

Función de Bessel de segunda clase de orden v

ED RESOLUBLES EN TÉRMINOS

DE BESSEL

• Algunas veces es posible convertir a una ED

de Bessel con un cambio de variable

o 𝒙𝟐𝒚′′ + 𝒙𝒚′ + ∝𝟐 𝒙𝟐 − 𝒗𝟐 𝒚 = 𝟎 : Ecuación

paramétrica de Bessel de orden v

o 𝒙𝟐𝒚′′ + 𝒙𝒚′ + 𝒙𝟐 + 𝒗𝟐 𝒚 = 𝟎 : Ecuación modificada

de Bessel de orden v

o 𝒚′′ + 𝟏−𝟐𝒂

𝒙 𝒚′ + 𝒃𝟐𝒄𝟐𝒙𝟐𝒄−𝟐 +

𝒂𝟐−𝒑𝟐𝒄𝟐

𝒙𝟐𝒚 = 𝟎, 𝒑 ≥ 𝟎:

Ecuación especial

ECUACIÓN PARAMÉTRICA DE

BESSEL DE ORDEN V

• Problemas con valores en la frontera relacionados con ED parciales

(coordenadas cilíndricas)

𝒙𝟐𝒚′′ + 𝒙𝒚′ + ∝𝟐 𝒙𝟐 − 𝒗𝟐 𝒚 = 𝟎

𝑡 =∝ 𝑥, ∝> 0

Forma Bessel

Solución:

ECUACIÓN MODIFICADA DE

BESSEL DE ORDEN V

• 𝒙𝟐𝒚′′ + 𝒙𝒚′ + 𝒙𝟐 + 𝒗𝟐 𝒚 = 𝟎 𝑡 = 𝑖𝑥 , 𝑖2 = −1

Reemplazando,

Forma de Bessel

Solución para todo v

Donde, 𝐼𝑣 𝑥 𝑦 𝐾𝑣 𝑥 𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑖

ECUACIÓN ESPECIAL

• 𝒚′′ + 𝟏−𝟐𝒂𝒙 𝒚′ + 𝒃𝟐𝒄𝟐𝒙𝟐𝒄−𝟐 +

𝒂𝟐−𝒑𝟐𝒄𝟐

𝒙𝟐𝒚 = 𝟎,

𝒑 ≥ 𝟎:

Muchas ED se ajustan a su forma mediante

elecciones apropiadas de los parámetros

Solución: 𝒚 = 𝒙𝒂[𝒄𝟏𝑱𝒑 𝒃𝒙𝒄 + 𝒄𝟐𝒀𝒑(𝒃𝒙

𝒄)

TABLA

• Bessel General:

• Bessel Paramétrica

, 𝑡 =∝ 𝑥 ∝≥ 0

• Bessel modificada: